Inverso Multiplicativo y Divisores de Cero en Zn
Ariadna Leiva
Marzo 2025
Inverso Multiplicativo en Zn
1
En el conjunto Zn , un número a tiene un inverso multiplicativo si existe un número x → Zn tal que:
a·x↑1
(mod n)
(1)
Esto es posible si y solo si a y n son coprimos, es decir:
mcd(a, n) = 1
1.1
(2)
Demostración
Supongamos que mcd(a, n) = 1, lo que significa que a y n son coprimos. Por el Teorema de Bézout,
existen enteros x e y tales que:
a·x+n·y =1
(3)
Tomando módulo n en ambos lados de la ecuación:
a·x↑1
Zn .
(mod n)
(4)
Por lo tanto, x es el inverso multiplicativo de a en Zn , lo que demuestra que a tiene un inverso en
Divisores de Cero en Zn
2
Un número a → Zn es un divisor de cero si existe un número a ↓= 0 y b ↓= 0 tal que:
a·b↑0
(mod n)
(5)
Esto significa que a · b es un múltiplo de n. Para que esto ocurra, debe cumplirse:
Es decir, que a y n no sean coprimos.
2.1
mcd(a, n) ↓= 1
(6)
Demostración
Si a es un divisor de cero en Zn , entonces existe un b ↓= 0 tal que:
a·b↑0
(mod n)
(7)
Esto implica que a · b es divisible por n, es decir, existe un entero k tal que:
a·b=k·n
(8)
mcd(a, n) ↓= 1
(9)
Lo anterior indica que a y n tienen un divisor común mayor que 1, es decir:
Por lo tanto, si mcd(a, n) ↓= 1, entonces a es un divisor de cero en Zn , ya que puede ser multiplicado
por otro número distinto de cero b para dar un múltiplo de n.
1
Ideales del anillo Z
Ideales en Z
En el caso de Z, el conjunto de los números enteros, podemos caracterizar los ideales de Z de manera
más simple debido a que Z es un anillo principal, lo que significa que cada ideal en Z puede ser generado
por un solo elemento, es decir, todo ideal en Z tiene la forma:
I = (d) = {d · n | n → Z}
donde d es un número entero. El conjunto (d) es el ideal generado por d, y consiste en todos los
múltiplos de d.
Tipos de Ideales en Z
1. El Ideal (0)
El ideal generado por 0 es el conjunto (0) = {0}, que contiene solo el elemento 0. Este es un ideal trivial
en Z.
M 0
19
m = n = NK /kE *
por eso es trivial.
=
2. El Ideal (d) para d ↓= 0
Para cualquier d → Z, el ideal generado por d es el conjunto de todos los múltiplos de d. Es decir:
(d) = {d · n | n → Z}
Esto incluye tanto números positivos como negativos, dependiendo de d.
Por ejemplo:
• El ideal (1) es Z entero completo, ya que 1 · n = n para todo n → Z. Por lo tanto, (1) = Z.
• El ideal (2) es el conjunto de los múltiplos de 2: (2) = {. . . , ↔4, ↔2, 0, 2, 4, . . . }.
• El ideal (3) es el conjunto de los múltiplos de 3: (3) = {. . . , ↔6, ↔3, 0, 3, 6, . . . }.
3. El Ideal Z
El ideal generado por 1 es (1) = Z, ya que todo número entero es un múltiplo de 1. Es el ideal máximo
de Z.
4. Ideales Triviales
El único ideal trivial de Z es el ideal Z mismo, generado por 1, ya que todos los enteros son múltiplos
de 1.
Entonces los Ideales en Z
Los ideales de Z son precisamente los conjuntos de la forma (d), donde d es un número entero. Es decir,
cada ideal en Z está formado por los múltiplos de algún entero d, y los ideales en Z son de la forma:
• (0) — El ideal trivial que solo contiene el número 0.
• (d), para cualquier d → Z, que contiene todos los múltiplos de d.
• Z — El ideal generado por 1, que es el conjunto completo de los enteros.
2
0
