ÁLGEBRA LINEAL
FACULTAD DE CIENCIAS EDUCACIÓN ARTES Y
HUMANIDADES
PhD(c). Benilda Cantillo Rudas
RESULTADO DEL APRENDIZAJE
Aplicar el método de determinantes para matrices para darle solución a
situaciones contextuales relacionadas con sistemas de ecuaciones lineales
CRITERIOS DE EVALUACIÓN.
CE1. Resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2 y 3x3 utilizando métodos
de determinantes, regla de Sarrus y Cramer.
CE2. Resolver Determinantes de orden superior aplicados a la solución de
sistemas de ecuaciones lineales.
CE3. Interpretar la solución de sistemas de ecuaciones lineales aplicados al
contexto, cuya respuesta está dada por el método de los determinantes.
Determinante de una matriz
El determinante de una matriz cuadrada 𝒏 × 𝒏 es un valor escalar propio de la
matriz.
Se denota como 𝐝𝐞𝐭(𝑨) ó 𝑨 y es un número real (R) que indica si una matriz
es invertible o no.
𝐝𝐞𝐭(𝑨) ≠ 𝟎, si y solo si, 𝑨 es una matriz invertible
𝑎11
𝐴= 𝑎
21
𝑎12
𝑎22
𝑎11
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑎
21
𝑎12
𝑎22
Ó
𝑎11
𝑨 = 𝑎
21
𝑎12
𝑎22
Determinante de una matriz 2X2
𝑎11
Sea 𝐴 = 𝑎
21
𝑎12
𝑎22 una matriz 2 × 2 se define su determinante como
𝐝𝐞 𝐭 𝑨 = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21
Ejemplo:
Sea 𝐴 =
𝑑𝑒𝑡(𝐴) =
3 4
evalué 𝐴
−1 2
3 4
= 3 2 − 4(−1) = 6 − (−4) = 6 + 4 = 10
−1 2
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 10
𝑨 es una matriz invertible, porque 𝑑𝑒𝑡(𝐴) ≠ 0
Determinante de una matriz 3x3
𝑎11
Sea 𝐴 = 𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎23 una matriz 3 × 3 se define su determinante como
𝑎33
𝑎22 𝑎23
𝑎21 𝑎23
𝑎21 𝑎22
𝐝𝐞 𝐭 𝑨 = 𝑎11 𝑎
− 𝑎12 𝑎
+𝑎13 𝑎
𝑎
𝑎
32
33
31
33
31 𝑎32
+
𝑎11
det(𝐴) = 𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
+
𝑎13
𝑎23
𝑎33
Método de los cofactores
Ejemplo:
1
Sea 𝐴 = 3
4
2 −1
0 1 cuál es el valor de 𝐴 .
2 1
𝐝𝐞 𝐭 𝑨 = 1
+
1
det(𝐴) = 3
4
0 1
2 1
−2
3 1
4 1
0 1
3
𝐝𝐞 𝐭 𝑨 = 1
−2
2 1
4
+(−1)
3
4
1
3 0
−1
1
4 2
𝐝𝐞 𝐭 𝑨 = 1(−2) − 2(−1) − 1(6)
0
2
+
2 −1
0 1
2 1
𝐝𝐞 𝐭 𝑨 = −2 + 2 − 6
𝐝𝐞 𝐭 𝑨 = −6
𝑨 es una matriz invertible
Determinante de una matriz 3x3
𝑎11
Sea 𝐴 = 𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
La regla de Sarrus
𝑎13
𝑎23 una matriz 3 × 3 se define su determinante como
𝑎33
𝐝𝐞 𝐭 𝑨 = 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟑𝟑 + 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟑 𝒂𝟑𝟏 + 𝒂𝟏𝟑 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟑𝟐 − 𝒂𝟏𝟑 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟑𝟏 − 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟐𝟑 𝒂𝟑𝟐 − 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟑𝟑
𝑎11
det(𝐴) = 𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13 𝑎11
𝑎23 𝑎21
𝑎33 𝑎31
+
+
𝑎12
𝑎22
𝑎32
+
Ejemplo:
1 2 −1
Sea 𝐴 = 3 0 1 cuál es el valor de 𝐴 .
4 2 1
1 2 −1 1 2
det(𝐴) = 3 0 1 3 0
4 2 1 4 2
𝐝𝐞 𝐭 𝑨 = 1 0 1 + 2 1 4 + (−1)(3)(2) −4 0 −1 − 2 1 1 − (1)(3)(2)
𝐝𝐞 𝐭 𝑨 = 0 + 8 + (−6) − 0 − (2) − (6)
𝐝𝐞 𝐭 𝑨 = 2 − 8
𝐝𝐞 𝐭 𝑨 = −6
𝑨 es una matriz invertible
El menor de una matriz
Sea 𝑨 una matriz de 𝒏 × 𝒏 y sea 𝑴𝒊𝒋 la matriz de 𝑛 − 1 × 𝑛 − 1 que se obtiene
de 𝑨 eliminando el renglón 𝒊 y la columna 𝒋. |𝑴𝒊𝒋 | se llama menor 𝑖𝑗 de 𝐴.
Ejemplo:
1
Sea 𝐴 = 3
4
2 −1
0 1 encuentre |𝑀13 | (menor 13) y 𝑀32 (menor 32) de A.
2 1
𝑀13 =
3 0
4 2
|𝑀13 | = 3 2 − 0 4 = 6
𝑀32 =
1 −1
3 1
|𝑀32 | = 1 1 − −1 3 = 1 + 3 = 4
Cofactor de una matriz
Sea 𝑨 una matriz de 𝒏 × 𝒏. El cofactor 𝒊𝒋 de 𝑨, denotado por 𝑨𝒊𝒋 , ésta
dado por
𝑨𝒊𝒋 = −𝟏 𝒊+𝒋 𝑴𝒊𝒋
Esto es, el cofactor 𝒊𝒋 de 𝑨 se obtiene tomando el determinante del
menor 𝒊𝒋 multiplicándolo por −1 𝑖+𝑗
𝟏
𝒊+𝒋
−𝟏
=ቊ
−𝟏
𝒔í 𝒊 + 𝒋 𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓
𝒔í 𝒊 + 𝒋 𝒆𝒔 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓
Cofactor de una matriz: ejemplo
1 2 −1
Determine el cofactor de los elementos 𝑎11 y 𝑎32 de 𝐴 = 3 0 1
4 2 1
𝑨𝒊𝒋 = −𝟏 𝒊+𝒋 𝑴𝒊𝒋
𝟏 −𝟏
𝟑+𝟐
𝟎
𝟏
𝑨𝟑𝟐 = −𝟏
𝑨𝟏𝟏 = −𝟏 𝟏+𝟏
𝟑 𝟏
𝟐 𝟏
𝑨𝟏𝟏 = −𝟏 𝟐 𝟎 − 𝟐
𝑨𝟏𝟏 = 𝟏 −𝟐
𝑨𝟏𝟏 = −𝟐
𝑨𝟑𝟐 = −𝟏 𝟓 𝟏 + 𝟑
𝑨𝟑𝟐 = −𝟏 𝟒
𝑨𝟑𝟐 = −𝟒
La matriz de cofactores: ejemplo
1 2 −1
Determine la matriz de cofactores de 𝐴 = 3 0 1
4 2 1
−2 1
6
−4 5
6
2 −4 −6
𝑨𝒊𝒋 = −𝟏 𝒊+𝒋 𝑴𝒊𝒋
𝑨𝟏𝟏 = −𝟏 𝟏+𝟏
𝑨𝟏𝟐 = −𝟏 𝟏+𝟐
𝟎 𝟏
= 𝟏 −𝟐 = −𝟐
𝟐 𝟏
𝟑 𝟏
= −𝟏 −𝟏 = 𝟏
𝟒 𝟏
𝟑 𝟎
𝑨𝟏𝟑 = −𝟏 𝟏+𝟑
=𝟏 𝟔 =𝟔
𝟒 𝟐
−𝟏
= −𝟏 𝟒 = −𝟒
𝟏
𝟏 −𝟏
𝑨𝟐𝟐 = −𝟏 𝟐+𝟐
=𝟏 𝟓 =𝟓
𝟒 𝟏
𝑨𝟐𝟏 = −𝟏 𝟐+𝟏
𝟐
𝟐
𝑨𝟐𝟑 = −𝟏 𝟐+𝟑
𝟏 𝟐
= −𝟏 −𝟔 = 𝟔
𝟒 𝟐
𝟐 −𝟏
=𝟏 𝟐 =𝟐
𝟎 𝟏
𝟏 −𝟏
𝑨𝟑𝟐 = −𝟏 𝟑+𝟐
= −𝟏 𝟒 = −𝟒
𝟑 𝟏
𝑨𝟑𝟏 = −𝟏 𝟑+𝟏
𝑨𝟑𝟑 = −𝟏 𝟑+𝟑
𝟏
𝟑
𝟐
= 𝟏 −𝟔 = −𝟔
𝟎
Recordemos que…
❖ Una matriz cuadrada se denomina triangular superior si todas
sus componentes abajo de la diagonal son cero.
4 −1
𝐹= 0 3
0 0
2
5
2
❖ Es una matriz triangular inferior si todas sus componentes arriba
de la diagonal son cero.
4
𝐺 = −1
6
0 0
3 0
2 4
Determinante de una matriz triangular
Sea 𝑨 = 𝒂𝒊𝒋 una matriz de 𝒏 × 𝒏 triangular superior o inferior. Entonces:
det 𝐴 = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 … 𝑎𝑛𝑛
El determinante de una matriz triangular es igual al producto de sus componentes
en la diagonal.
Ejemplo: en cada matriz encontrar el valor de su determinante.
1 2
𝐴 = 0 −2
0 0
−1
1
5
−2
B= 7
−2
0 0
−1 0
0 4
Determinante de una matriz triangular
Ejemplo: en cada matriz encontrar el valor de su determinante.
1 2
𝐴 = 0 −2
0 0
−1
1
5
−2 0 0
B = 7 −1 0
−2 0 4
Triangular superior
Triangular inferior
det 𝐴 = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 … 𝑎𝑛𝑛
det 𝐵 = 𝑏11 𝑏22 𝑏33 … 𝑏𝑛𝑛
det 𝐴 = 1(−2)(5)
det 𝐵 = (−2)(−1)(4)
det 𝐴 = −10
det 𝐵 = 8
Propiedades de los determinantes
❖ Si una matriz 𝑨 tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de 𝑨 es
cero.
6 2 −1
−2 6 0
𝐴 = 1 −2 1
B = 7 −1 0
0 0
0
−2 3 0
❖ El determinante de una matriz 𝑨 es igual al determinante de la transpuesta de A.
𝒅𝒆𝒕𝑨 = 𝒅𝒆𝒕𝑨𝑻
2 −5
𝐴=
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 12 − −15 = 12 + 15 = 27
3 6
𝐴𝑇 =
2
−5
3
6
𝑑𝑒𝑡𝐴𝑇 = 12 − −15 = 12 + 15 = 27
Propiedades de los determinantes
❖ Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz 𝑨 entonces el
determinante cambia de signo.
𝐴=
2 −5
3 6
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 12 − −15 = 12 + 15 = 27
B=
3 6
2 −5
𝑑𝑒𝑡𝐵 = −15 − 12 = −12 − 15 = −27
❖ Si una matriz 𝑨 tiene dos renglones (o dos columnas) iguales entonces 𝒅𝒆𝒕𝑨 = 𝟎.
1 2
𝐴 = 4 −6
1 2
−1
5
−1
entonces 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0
Propiedades de los determinantes
❖ Cuando un solo renglón (o columna) de una matriz 𝑨 se multiplica por un escalar 𝒌
el determinante de la matriz resultante es 𝒌 veces el determinante de 𝑨, 𝒌𝒅𝒆𝒕𝑨.
2 −5
𝐴=
3 6
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 12 − −15 = 12 + 15 = 27
Sea 𝑘 = 3 y se multiplique la segunda fila (renglón)
B=
2 −5
9 18
𝑑𝑒𝑡𝐵 = 36 − −45 = 36 + 45 = 81
Propiedades de los determinantes
❖ Si un renglón (columna) de 𝑨 es un múltiplo escalar de otro renglón (columna),
entonces 𝒅𝒆𝒕𝑨 = 𝟎.
2 −2
𝐴= 3 5
4 −4
4
−11
8
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0
❖ El determinante de la matriz identidad 𝑰 es igual a 1 (uno)
1 0
𝐴= 0 1
0 0
0
0
1
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 1
Propiedades de los determinantes
❖ El determinante de la suma no siempre es igual a la suma de los determinantes. Es
decir, para la mayoría de los pares de matrices 𝐴 y 𝐵
𝒅𝒆𝒕 𝑨 + 𝑩 ≠ 𝒅𝒆𝒕𝑨 + 𝒅𝒆𝒕𝑩
❖ Sí 𝑨 y 𝑩 son matrices 𝒏 × 𝒏, el determinante del producto 𝑨𝑩 es igual al producto
de los determinantes de 𝑨 y 𝑩 (recuerden que deben cumplir la regla para
multiplicar).
𝒅𝒆𝒕 𝑨𝑩 = 𝒅𝒆𝒕𝑨 ∗ 𝒅𝒆𝒕𝑩
Método de Cramer
EJEMPLO:
0
