SOLUCIONARIO
Primer simulacro de Matemática
2024
SEMESTRAL UNI
Aritmética
Utilizaremos el tiempo de vencimiento común (Tvc): x
30 80 000 60 200 000 90 400 000
680 000
x 74,11
Resolución N.° 1
x
Tema: Tanto por ciento
Teniendo en cuenta:
Como el tiempo se pide en día se considera 74.
Precio de venta = Precio de costo + Ganancia
Respuesta: 74
Precio de costo (fábrica): C
Por lo general, la ganancia es un tanto por ciento del precio de
costo.
Clave: E
Resolución N.° 4
Tema: egla de interés
Del enunciado, tenemos:
(100 + t)%(100 + q)(100 + p)%C = 1,716 C
Sea C el capital depositado.
Por dato:
r% = 10% bimestral <>20% cuatrimestral
Capitalización cuatrimestral, significa que cada 4 meses los
intereses se acumulan al capital.
Gráficamente
Efectuando:
(100 + t)(100 + q)(100 + p) = 1716000
(100 + t)(100 + q)(100 + p) = 110 × 120 × 130
p = 30; q = 20; t = 10
suman 60
+20%C
Respuesta: 60
C
Clave: A
+20%(120%C)
+20%(144%C)
120%C
144%C
4 meses
172,8%C
4 meses
En los 12 meses el capital se incrementó en 72,8%
Tema: Razones
Del enunciado:
N.° de libros de matemáticas: 5 × 9 = 45
N.° de libros de biología: 3 × 9 = 27
Total: 8 × 9 = 72
Respuesta: 12
Clave: E
Resolución N.° 5
Tema: Magnitudes proporcionales
Luego:
Si agregamos x libros de biología
Inicialmente: 8 personas / 10 días / 8 h/d
45 27 x
x 23
9
10
suman: 5
Respuesta: 5
Clave: E
Resolución N.° 3
Tema: Regla de descuento
S/80 000
S/200 000
S/400 000
90 días
Pintan la mitad
8 personas
5 días
8 h/d
(8+x) personas
2 días
10 h/d
auditorio UNI
Luego:
(N.° de obreros)(N.° de días)(N.° h/d) = cte
letras reemplazadas
60 días
Pintan la mitad
se contrata x personas adicionales
De los datos, se tiene:
30 días
+28,8%C
4 meses
Resolución N.° 2
+24%C
Reemplazando los valores, tenemos:
8 × 5 × 8 = (8 + x) × 2 × 10
x=8
única letra
reeplazable
S/680 000
Respuesta: 8
Clave: A
x días
1
Solucionario del Primer Simulacro de Matemática
Resolución N.° 6
Resolución N.° 9
Tema: Regla de interés
Tema: Estadística descriptiva
Recordemos que: Interés simple = (capital)(tasa)(tiempo)
I.
f
hi = i
n
Para Alicia hallamos el interés obtenido en un año en los 2 bancos.
• I1: 1,5%(1250 - 500) = 11,25 (banco ABC)
• I'1: 1%1250 - 1 = 11,50 (banco CDE)
De la misma manera para las demás personas
Banco ABC
Banco CDE
Alicia
11,25
11,50
Beatriz
24,45
20,30
Cecilia
57,30
42,20
Dora
104,25
73,50
Falsa
II. Falsa
La mediana es un valor numérico que divide al total de
datos en 2 partes de igual tamaño.
III. Verdadero
xi 2
n
x 2
desviación estándar
Es decir: x 18 19 16 17 14
5
x 16, 8
De la tabla se observa que 3 de ellos deberán depositar su dinero
en el banco ABC para obtener mayor interés (beneficio) en un
año.
2
182 19 2 16 2 172 14 2
16, 8 5
396 1,72046
Respuesta: 3
Donde: σ > 1,7
Clave: D
Respuesta: FFV
Resolución N.° 7
Clave: D
Tema: Regla de mezcla
Resolución N.° 10
Del enunciado, tenemos:
Tema: Teoría de conjuntos
n
80
80%
50%
pierde 20%
n+80
60%
Del enunciado, tenemos
gana 10%
Mayores de edad
Menores de edad
Por propiedad:
(Ganancia aparente) = (Pérdida aparente)
10% × 80 = 20% × n
n = 40
Luego: pureza del alcohol
Varones
Mujeres
10
9
4 7
15
29
nacieron
hoy
2
18
47
Respuesta: 15
Clave: A
80 x% 100%
80 n 80 x% 100%
80 40 x% 66, 67%
Álgebra
Resolución N.° 11
Tema: Tópicos de Álgebra
Aplicando el teorema del resto
Respuesta: 40 y 66,67%
I.
Clave: B
II.
Resolución N.° 8
Tema: Análisis combinatorio
III. Reemplazando en el dividendo
x 2 2 x 2
Supongamos que son n autos los que quedan por vender, pero se
exhiben de 3 en 3 (interesa el orden)
2
x 1 x 2
2
9
x2 4
1 9
x 2 4
1° auto 2° auto 3° auto
Dato: n × n-1 × n -2 = 210
Luego: 7 × 6 × 5
∴ n=7
Respuesta: 7
1
2
1
x2 = x - 2
x2 - x + = 0
IV. Luego, el resto es R(x) = x +
Clave: D
Respuesta: x +
2
7
4
7
4
Clave: A
Semestral UNI
Resolución N.° 12
Resolución N.° 15
Tema: Números complejos I
Tema: Funciones
Sea z = x + yi
Reemplazando en
Reordenando por zonas
1; x 1
g x 2 x 1; 1 x 0
1; x 0
z z 3 3i
x 2 y 2 x yi 3 3i
x 2 y2 3 x y 3 i
Hallemos la variación en cada zona:
• g(x) = -1; x ≤ -1
• g(x) = 2x + 1; -1 < x ≤ 0
-1 < x ≤ 0
× (2), (+1)
-1 < 2x + 1 ≤ 1
g(x) ∈⟨ - 1; 1]
x 2 y2 3 x y 3 0
x 2 y2 9 6 x x 2 y 3
3 9 6x
x 1
Entonces z = 1 - 3i
∴ Re(z) = 1
• g(x) = 1; x > 0
Por lo tanto, Rang = [-1; 1]
Respuesta: 1
Clave: B
Respuesta: [-1; 1]
Clave: D
Resolución N.° 13
Resolución N.° 16
Tema: Ecuación cuadrática
Tema: Matrices
Se debe cumplir
∆≥0
(-4)2 - 4(1)(n) ≥ 0
16 - 4n ≥ 0
16 ≥ 4n
n≤4
n ∈⟨ - ∞; 4]
3 2 1 a 7 10 4 5 b 2 14 18 3 2b 3a 4 7 10 4 5b 4a 10 14 18 De la igualdad
• 3 - 2b = 7 ⇒ b = -2
• 3a+4 = 10 ⇒ a = 2
⇒ ab = -4
Respuesta: ⟨ - ∞; 4]
Clave: C
Respuesta: – 4
Resolución N.° 14
Clave: E
Tema: Funciones
Se debe cumplir
Resolución N.° 17
Tema: Gráfica de funciones
x2 x 2
0
x2 x 2
Piden el número de soluciones
x 2 x 2
0
x2 x 2
x2
5
x5
x2
5
x5 Está bien definida si:
•
f x x2 x 2 0
x 2 x 1 0
p x Aplicando gráfica de funciones
x 2; x 2
Y
x 2 x 2
0
x2 x 2
x 2 x 2
x2 x 2
f
2
0
p
X
x 2 x 2 x 2 x 1 0
+
+
|x| ≤ 2
⇒ x ∈⟨ - 2; 2⟩
Por lo tanto, Domf = ⟨- 2; 2⟩
Luego, la ecuación tiene una solución
Respuesta: 1
Clave: B
Respuesta: ⟨- 2; 2⟩
Clave: C
3
Solucionario del Primer Simulacro de Matemática
Geometría
Resolución N.° 18
Tema: Gráfica de relaciones
Resolución N.° 21
Sea z = x + yi, reemplazando en
z 3 i 1 3i Tema: Congruencia de triángulos
2
x yi 3 i 1 3i Nos piden: x
2
B
x 3 y 1 i 22
a
60°
2
2
x 3 y 1 4
2
x 3 y 1
2
b
M
42
N
Graficando
Im
3
φ
b
a
C
•
∆ANC: x = α + φ ...(1)
• ∆ACL ≅ ∆CBM (L.A.L)
→ mMCL = mLAC = α
• En el vértice C: α + φ = 60°
Re
–1
60° α
α
A
L
x
4
En (1): x = 60°
Área pedida = π(4)2 u2 = 16π u2
Respuesta: 60°
Respuesta: 16π
π u2
Clave: D
Clave: B
Resolución N.° 22
Resolución N.° 19
Tema: Puntos notables
Tema: Series numéricas
Nos piden: P
Sea
Q
2
S 9 n 2 3 n 1
2
9 n 2 3 n 1
B
E
3
4
4 2 3
2
2
S 9 ...
3 3 3
6
x
x–6
Q
2
serie geométrica de razón
3
α
2 3 S 9 3 8
1 2 3
A
6
α
4
8
θ
C
θ
Cálculo de la bisectriz: (AQ)2 = (6)(8) - (3)(4) → AQ=6
Teorema bisectriz exterior:
Respuesta: 8
En el ∆ AQC: 8 x
Clave: C
4
x6
∴ x = 12
Resolución N.° 20
Tema: Programación lineal
Respuesta: 12
I. Falso
Porque, si la región factible es no acotada existen
problemas de programación lineal que tienen solución.
II. Verdadera
Porque, si la región factible es acotada por el teorema de
programación lineal siempre tienen solución es decir un
máximo o mínimo.
III. Falso
Porque, los puntos extremos son los vértices de la región
factible acotada o no acotada. Así también los puntos
extremos depende del número finito de restricciones.
Respuesta: FVF
Clave: D
4
Clave: C
Semestral UNI
Resolución N.° 23
Resolución N.° 25
Tema: Posiciones relativas entre dos circunferencias
Tema: Distancia entre rectas alabeadas
Nos piden: x
Nos piden: d(AB y OM)=x
B
Plano de
proyección
P
h
h
B’
B
T
S
a a
aQ
x+b–2a
M x+
b
6
C
x
O
•
Como las circunferencias son congruentes
→ TQ = MQ = a
•
Completamos longitudes: h + 2a + b = x + b - 2a + h
∴ x = 4a
Nos piden: mCentral y ND
x 2 3
2 ´
θ
Q
Respuesta: 2 3
2
θ
´
Clave: D
R
135°
´
Resolución N.° 26
´
Tema: Tronco de cono
M
Nos piden: x (x: radio de una sección paralela a las bases del
tronco de cono)
•Sea 2θ la medida del ángulo exterior del polígono regular
en ∆NPQ isósceles : mPNQ = mPQN = θ
•
•
Al completar el cono se observan
tres conos de radios b, x y a.
Por relación de volúmenes de
conos semejantes:
En N se observa : 3θ = 45°, θ = 15°
Se sabe que mcentral= mexterior
mcentral=30°
Se sabe mexterior =
Vb Vx Va
= =
=k
b3 x 3 a 3
360°
, n es número de lados
n
mexterior = 360 30 n 12
Número de diagonales (ND), N D 12 12 3 ND 2
n n 3
2
54
Vb
b
Vx
Va
x
a
Vb = kb3
Vx = kx3
Va = ka3
n
•
M
1
1
1
x 2 3 2 2 6 2
Tema: Polígonos
•
3 2
3 2
Luego: MB' = OB = 6
•
AOB notable de 45°: AM = 3 2
•
AMB' (relaciones métricas en )
Resolución N.° 24
N
6
•Por MA trazamos el plano de proyección perpendicular a OM.
M es la proyección de OM sobre P.
AB' es la proyección de AB sobre P.
Clave: E
P
45°
A
90°
Respuesta: 4a
2 ´
45°
6
–2a
b
bA
6 2
R
a
R
45°
Por dato, los troncos de conos parciales son equivalentes.
Vx - Vb = Va - Vx
kx3 - kb3 = ka3 - kx3
Respuesta: 30° y 54
x 3
Clave: A
a 3 b3
2
x 3
Respuesta:
a 3 b3
2
Clave: B
5
Solucionario del Primer Simulacro de Matemática
Resolución N.° 27
Resolución N.° 29
Tema: Hexaedro regular
Tema: Relación de áreas de regiones triangulares
Nos piden: m AL y plano ABCD
3a
B
4a
A
L
Nos piden:
3a
2a
C
13a
θ
Área ABC
B
D
M
Área APQ
6a
7a
5
F
G
E
α
H
A
BP
PC
=
Se observa:
Luego: LG = 7a
30M
Q
P
35M
7´
L: baricentro del ∆ BMC
Siendo: BC = 6a
→ LC = 13a
sen 5k
6´
7k
91M
α
6
θ
θ
7
C
5 AQ 7
=
;
7 BQ 6
Consideramos: AAPQ = 35M
Luego:
6
7
6
arc sen 7
6
sen 7
AABC = 35M + 30M + 91M
AABC = 156M
6
7
A APQ 35 M
35
= =
A ABC 156 M 156
arc sen Respuesta:
Clave: E
Respuesta: 35/156
Clave: B
Resolución N.° 28
Tema: Ángulo entre rectas alabeadas
Resolución N.° 30
Nos piden: m ED y MO
Tema: Prisma
E
Piden: x
a
G
2a 2
2a
F
M
x
a a 2
2a
B
a
C
a 2
a
A
N
O
a
C
D
B
x
D
c=3
A
Sean a, b y c las dimensiones del paralelepípedo
Dato: V = 60
→ abc = 60, aristas consecutivas c < b < a
→ (5)(4)(3) = 60, es decir: a = 5; b = 4 y c = 3
Se observa que FB: 1⊥ , BA: 2⊥ → AF: 3⊥
→ mDAF = 90°; AF=5
∴ mADF = x = 45°
2
a2 a 2 a 2 2 a 2 a 2 cos x
4 cos x 3
3
cos x 4
3
x arccos 4
4
5
a=5
Tenemos:
Respuesta: arccos 3 E
b=4
2a
∆ AEB: equilátero
O: centro del cuadrado
Se traza MN // ED → MN = a 2
Además: MO = a 2
Por teorema de cosenos en ∆ MNO
2
H
Respuesta: 45°
Clave: B
Clave: A
6
Semestral UNI
Trigonometría
Resolución N.° 34
Tema: Identidades de arco doble
Resolución N.° 31
AMO: tanθ = 2
Sabemos:
Tema: Sistemas de medición angular
C
5
90 S 3
B
2 tan 1 tan 2 2 2
tan 2 1 2
tan 2 2 2
tan 2 π
Recordemos: S= 9k; C = 10k; R = k
20
Entonces:
3C = 450 - 5S
30k = 450 - 45k
k=6
θ
2
A
Resolución N.° 35
10
Tema: Reducción al IC
Dato: a(+cosx) = b(+senx) → senx = a cosx
b
10
Clave: B
Pide: F sen x cos x
sen x cos x
a
a
cos x cos x
1
b
F b
a
a
cos x cos x
1
b
b
a b
F a b
Resolución N.° 32
Tema: Razones trigonométricas de un ángulo agudo
1
Dato: senθ =
5
Piden: x
B
Respuesta: a b
a b
x
Clave: A
T
5
C
D
5
O
x
θ
5
25 x 2
Resolución N.° 36
A
Dato:
senθ = 1 - sen2θ
senθ = cos2θ
cscθ = sec2θ
csc2θ = sec4θ
Tema: Identidades fundamentales
Del gráfico:
25 x 2 1
5
5
x 2 6
sen Reemplazando en lo pedido:
3
E 26 csc 2 cos 2 csc2 Respuesta: 2 6
E 3 26 csc2 1 cos 2 26 csc2 sen 2 Clave: C
3
E 3 27 3
Resolución N.° 33
Tema: Razones trigonométricas de ángulos en posición
normal
Respuesta: 3
Del gráfico:
sen cos 7
25
Y
Clave: E
Resolución N.° 37
Tema: Funciones trigonométricas
P
Teorema: 1 sen 2 x 1
7
25
cos 180 D
Clave: A
Respuesta: 3π
sen 180 1
O
Respuesta: –2 2
∴ Medida radial = k rad 3 rad
20
C
M
24
25
24
25
7
α
25
7
180 24
Q
Aplicando tangente (F. creciente)
X
tan tan sen 2 x tan
4
4
4
1 f x 1
Piden:
sen cos sen 2 x 4 4
4
31
25
Ranf 1; 1
Respuesta: –31/25
Respuesta: [-1; 1]
Clave: A
Clave: C
7
Solucionario del Primer Simulacro de Matemática
Resolución N.° 38
Resolución N.° 40
Tema: Funciones trigonométricas inversas
Tema: Ecuaciones trigonométricas
Haciendo:
50senx cosx - 30cosx + 40senx - 24 = 0
8
17
8
sen 17
10cosx(5senx - 3) + 8(5senx - 3) = 0
arc sen
cot 4
2
arccot 4 2
Piden:
(5senx - 3)(10cosx + 8) = 0
8
17
/2
17
I.
θ
II.
15
Existe 3 soluciones pertenecientes a ; 2
4
2
2
Respuesta: 3
Respuesta: 4
Clave: C
Clave: D
Resolución N.° 39
Tema: Resolución de triángulos
6
5
3
= =
sen A sen B sen C
csc A 5=
csc B 3 csc C
6=
Entonces:
cscA = 5K; cscB = 6K; cscC = 10K
Pide:
3
3
3
x arc sen ; arc sen
5
5
5
4
4
cos x x arccos 5
5
sen x B
6
3
A
5
C
100 K 2 36 K 2 64 K 2 64
36 K 2 25 K 2 11K 2 11
Respuesta: 64/11
Clave: D
8
0
