Transformada de Laplace: Definición y Propiedades

Capı́tol 3
Transformada de Laplace
3.1
Introducció. Integració impròpia.
Recordem la regla de Barrow per al càlcul d’una integral definida: Si f és una funció integrable en l’inteval
Rb
[a, b] i contı́nua i F és una primitiva d’f , llavors a f (t) dt = F (b) − F (a).
Observem que aquesta regla de Barrow només ens serveix per calcular l’àrea que hi ha baix d’una
corba a un interval finit i quan la funció és contı́nua. S’ens planteja el problema de com calcular l’área
que hi ha baix una corba a un interval infinit o quan la funció té, per exemple, una assı́mptota vertical.
Extendrem el concepte d’integral per poder cobrir aquests dos casos, i també una combinació de tots dos.
Aquesta extensió en què o bé l’interval d’integració és infinit, o bé la funció és infinita s’en diu integral
impròpia.
Integral impròpia de primera espècie: es tracta d’aquella en què l’interval d’integració és infinit
(un o tots dos lı́mits).
Definició 3.1: Integrals impròpies de primera espècie
• Siguin a ∈ R i f una funció real integrable a l’interval [a, b], per tot b > a. Si el lı́mit
Z b
lim
b→+∞
f (x) dx
a
existeix i és finit, direm que la integral impròpia de primera espècie
i se defineix com
Z +∞
R +∞
a
f (x) dx és convergent,
Z b
f (x) dx = lim
b→+∞
a
f (x) dx.
a
En cas contrari, direm que és divergent.
• Siguin b ∈ R i f una funció real integrable a l’interval [a, b], per tot a < b. Si el lı́mit
Z b
lim
a→−∞
f (x) dx
a
existeix i és finit, direm que la integral impròpia de primera espècie
i se defineix com
Z b
Z b
f (x) dx = lim
a→−∞
−∞
27
f (x) dx.
a
Rb
−∞
f (x) dx és convergent,
CAPÍTOL 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE
28
En cas contrari, direm que és divergent.
• Sigui f : R → R integrable a l’interval [m, M ], per qualssevol m < M ∈ R. Si les dues integrals
impròpies
Z a
Z +∞
f (x) dx
f (x) dx
−∞
a
convergents per qualque a ∈ R, llavors direm que la integral impròpia de primera espècie
Rsón
+∞
f (x) dx és convergent y la definirem com
−∞
Z +∞
Z a
Z +∞
f (x) dx.
f (x) dx +
f (x) dx =
−∞
−∞
a
En cas contrari, direm que és divergent.
Exemples 1
(a) Calculam la integral
R ∞ dx
Z ∞
Z b
1
dx
= lim
b→∞
x2
x2 :
1
1
b
dx
1
−1
=
lim
= lim
+ 1 = 1,
b→∞ x 1
b→∞ b
x2
per tant la integral impròpia és convergent.
Z ∞
dx
√ per a > 0 :
(b) Calculam
x
a
Z ∞
a
dx
√ = lim
x b→∞
√
√ b
√
dx
√ = lim 2 x a = lim 2 b − 2 a = ∞,
b→∞
b→∞
x
a
Z b
per tant la integral impròpia divergeix.
(c) Calculam ara la següent integral impròpia
Z ∞
R∞
a
sin(x) dx per a ∈ R.
Z b
sin(x) dx = lim
b→∞
a
a
b
sin(x) dx = lim − cos(x)]a = lim − cos(b) + cos(a)
b→∞
b→∞
i aques lı́mit no existeix perquè és ocil·lant.
R∞
2
(d) Calculam −∞ xe−x dx :
Z ∞
xe
−x2
−∞
Z c
dx =
xe
−x2
Z ∞
dx +
xe
−∞
c
c
b
−x2
Z c
dx = lim
a→−∞
xe
a
−x2
Z b
dx + lim
b→∞
2
xe−x dx =
c
−1 −x2
−1 −c2 1 −a2
−1 −b2 1 −c2
−1 −x2
e
+ lim
e
= lim
e
+ e
+ lim
e
+ e
=
a→−∞ 2
b→∞
b→∞
2
2
2
2
2
a
c
−1 −c2 1 −c2
=
e
+ e
= 0.
2
2
Rc
R∞
2
2
Com que les dues integrals per separat −∞ xe−x dx i c xe−x dx són convergents llavors la integral
total és convergent i a més a més val zero.
= lim
a→−∞
Integral impròpia de segona espècie: També tenim un altre tipus d’integral impròpia, que és
aquella en qué la funció es torna no fitada en qualque punt de l’interval. Per aquest cas, definim la seva
integral impròpia de la següent manera.
CAPÍTOL 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE
29
Definició 3.2: Integrals impròpies de segona espècie
• Sigui f una funció real de variable real que no està fitada a un entorn del punt b i que és
integrable a l’interval [a, b − ε] per tot ε > 0 tal que a < b − ε. Si el lı́mit
Z b−ε
lim+
ε→0
f (x) dx
a
existeix i és finit, direm que la integral impròpia de segona espècie
es defineix com
a
f (x) dx és convergent, i
Z b−ε
Z b
a
Rb
f (x) dx = lim+
ε→0
f (x) dx.
a
En cas contrari, direm que és divergent.
• Sigui f una funció real de variable real que no està fitada a un entorn del punt a i que és
integrable a l’interval [a + ε, b] per tot ε > 0 tal que a + ε < b. Si el lı́mit
Z b
lim
ε→0+
f (x) dx
a+ε
existeix i és finit, direm que la integral impròpia de segona espècie
es defineix com
Z b
Rb
a
f (x) dx és convergent, i
Z b
f (x) dx = lim
ε→0+
a
f (x) dx.
a+ε
En cas contrari, direm que és divergent.
• Sigui f una funció real de variable real que no està fitada a un entorn del punt c ∈ (a, b) i que
és integrable als intervals [a, c − ε1 ], [c + ε2 , b] per tots ε1 , ε2 > 0 tal que a < c − ε1 , c + ε2 < b.
Si les dues integrals impròpies
Z c
Z b
f (x) dx
f (x) dx
a
c
existeixen i són finites, direm que la integral impròpia de segona espècie
gent, i es defineix com
Z b
Z c
f (x) dx =
a
a
f (x) dx és conver-
Z b
f (x) dx +
a
Rb
f (x) dx.
c
En cas contrari, direm que és divergent.
Exemples 2
(a) Calculam la integral
R 1 dx
Z 1
Z 1
0
dx
= lim
x2
ε→0+
. Observem que l’integrand no està fitat a un entorn de 0.
0 x2
per tant és divergent.
ε
1
dx
−1
1
=
lim
= lim −1 + = ∞,
x2
ε
ε→0+ x ε
ε→0+
CAPÍTOL 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE
30
R2
(b) Calculam la integral 0 √dx
, en la què l’integrand no està fitat a un entorn de l’extrem superior
2−x
d’integració:
Z 2−ε
Z 2
√
√
√
2−ε
√
dx
dx
√
√
= lim+
= lim+ −2 2 − x 0 = lim+ −2 ε + 2 2 = 2 2.
ε→0
ε→0
ε→0
2−x
2−x
0
0
Per tant la integral és convergent.
R3
x
(c) Calculam la integral 0 (x2 −1)
3/5 dx. Observem que l’integrand no està fitat a un entorn del punt 1,
que està a l’interior de l’interval d’integració:
Z 3
Z 1−ε1
Z 3
x
x
x
dx = lim
dx + lim
dx =
2 − 1)3/5
2 − 1)3/5
2 − 1)3/5
+
+
ε
→0
ε
→0
(x
(x
(x
1
2
0
0
1+ε2
1−ε1
3
2/5 5
5
5
5
(1 − ε1 )2 − 1
− (−1)2/5 +
lim+ (x2 − 1)2/5
+ lim+ (x2 − 1)2/5
= lim+
4
4
4
ε1 →0 4
ε
→0
ε
→0
2
1
0
1+ε2
2/5
5
5
5 5
(1 + ε2 )2 − 1
+ lim+ (8)2/5 −
= − + 82/5 .
4
4 4
ε2 →0 4
3.2
Transformada de Laplace. Definició, exemples i propietats.
Anem a veure en aquesta secció la definició de la transformada de Laplace. És una eina que ens serà
molt útil tant per resoldre equacions diferencials ordinàries (que veureu a l’assignatura de Càlcul) com
per resoldre equacions en derivades parcials, que veurem més envant. A la darrera secció veurem una
aplicació a la resolució de circuits RLC.
Definició 3.3: Transformada de Laplace
Sigui f (t) una funció definida a l’interval [0, ∞). Definim la transformada de Laplace de f (t) com
la funció F (s) o L[f (t)](s) definida per la integral impròpia
Z ∞
F (s) = L[f (t)](s) =
e−st f (t) dt
0
per als valors de s ∈ R (o C) per als quals la integral està definida.
Observem que la integral de la definició de la transformada de Laplace és una integral impròpia de
primera espècie.
Exemples 3
(a) Calculam la transformada de Laplace de la funció f (t) = 1 per tot t ≥ 0.
Z ∞
F (s) =
e
−st
0
Z b
dt = lim
b→∞
e
0
−st
b
1
1
e−st
e−sb
= lim
−
= .
dt = lim
b→∞ −s 0
b→∞ −s
−s
s
Està clar que la transformada de Laplace només està definida per s > 0, ja que en altre cas la integral
impròpia divergeix.
(b) Calculam la transformada de Laplace de la funció f (t) = eat , a ∈ R, t ≥ 0.
Z ∞
F (s) =
e
0
Z b
−st at
e dt = lim
b→∞
e
0
(−s+a)t
b
e(−s+a)t
e(−s+a)b
1
1
dt = lim
= lim
−
=
,
b→∞ −s + a 0
b→∞ −s + a
−s + a
s−a
on la transformada únicament estarà definida per s > a, ja que altrament la integral impròpia divergeix.
CAPÍTOL 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE
31
(c) Considerem la funció de Heaviside o funció esglaó H(t) definida per
(
0
si t < 0
H(t) =
1
si t ≥ 0.
Observem que per traslació se pot moure l’esglaó de la funció a qualsevol altre posició. Aixı́ H(t − a),
denotada també com Ha (t), trasllada l’esglaó a la possició t = a, és a dir, es la funció
(
0
si t < a
Ha (t) = H(t − a) =
1
si t ≥ a.
Calculam la transformada de Laplace de la funció Ha (t) :
b
Z ∞
Z b
Z b
e−st
e−st Ha (t) dt = lim
e−st Ha (t) dt = lim
e−st dt = lim
L[Ha (t)](s) =
=
b→∞ 0
b→∞ a
b→∞ −s a
0
e−sb
e−sa
e−sa
+
=
.
b→∞ −s
s
s
= lim
Al cas particular d’H(t), és a dir a = 0 llavors,
L[H(t)](s) =
1
.
s
Fı́sicament, la funció de Heaviside fa la funció d’un interruptor, ja que si f (t) és una funció contı́nua
llavors (Ha · f )(t) és la funció
0
si t < a,
(Ha · f )(t) =
f (t) si t ≥ a,
que representa que la funció Ha “encen” la funció o senyal f a l’instant de temps t = a. Si ara consideram
0 ≤ a < b, llavors Ha (t) − Hb (t) té la forma
0
si t 6∈ [a, b),
Ha (t) − Hb (t) =
1
si t ∈ [a, b).
Per tant, la funció Ha · f − Hb · f serà

si t < a,
 0
f (t) si a ≤ t < b,
(Ha · f − Hb · f )(t) =

0
si t ≥ b.
Aixı́, la funció de Heaviside pot ser molt útil per representar funcions a trossos. Per exemple la funció

si 0 ≤ t < 1,
 t
t − 1 si 1 ≤ t < 3,
f (t) =

sin(t) si t ≥ 3,
se pot escriure de la següent manera:
f (t) = t(H(t) − H1 (t)) + (t − 1)(H1 (t) − H3 (t)) + sin(t)H3 (t).
Abans de donar una taula amb les transformades de Laplace de les funciones més habituals hem de
saber quan aquesta transformada existeix. Al resultat següent se donen condicions suficients per a la
existència de la transformada de Laplace.
Teorema 3.1
Sigui f (t) una funció definida a [0, ∞) que cumpleix les següents dues condicions:
• f (t) és seccionalment contı́nua a [0, ∞), és a dir, es contı́nua a cada subinterval [0, b], amb
b > 0, excepte per a un nombre finit de punts, en què té discontinuı̈tats de bot,
• f (t) és d’ordre exponencial α, és a dir, existeixen constants reals T, M, amb T ≥ 0, tals que
CAPÍTOL 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE
32
|f (t)| ≤ M eαt per tot t ≥ T.
Llavors f (t) té transformada de Laplace definida per a tot s ≥ α.
Donam a continuació una taula amb les transformades de Laplace de les funcions més habituals i el
domini pels quals està ben definida en cada cas.
Funció
Transformada de Laplace
1
1
s
tn , n ∈ N
n!
sn+1
(s > 0)
ebt
1
s−b
(s > b)
Ha (t)
e−sa
s
(s > 0)
sin(bt)
b
s2 + b2
(s > 0)
cos(bt)
sinh(bt)
cosh(bt)
(s > 0)
s
s2 + b2
b
s2 − b2
s
s2 − b2
(s > 0)
(s > |b|)
(s > |b|)
Anem a continuació a veure quines són les propietats més importants de la transformada de Laplace.
Proposició 3.1
Siguin c1 , c2 ∈ R i f1 (t), f2 (t) funcions amb transformades de Laplace respectives F1 (s), F2 (s),
llavors
(1) L[c1 f1 (t) + c2 f2 (t)](s) = c1 L[f1 (t)](s) + c2 L[f2 (t)](s) = c1 F1 (s) + c2 F2 (s),
és a dir, l’operador transformada de Laplace és lineal.
Observem que usant la proposició anterior i l’exemple de la funció de Heaviside, podem calcular
fácilment la transformada de Laplace d’una funció definida a trossos.
Exemple 4: Calculam la transformada de Laplace de la següent funció:


si 0 < t < 2
3
f (t) = −2
si 2 ≤ t < 5


1
si t ≥ 5.
Utilitzant les propietats de la funció de Heaviside que hem vist anteriorment, podem escriure la funció
anterior com f (t) = 3(H(t) − H1 (t)) − 2(H2 (t) − H5 (t)) + H5 (t) = 3 − 5H2 (t) + 3H5 (t) i usant la linealitat
de la transformada de Laplace tenim
L[f (t)](s) = 3L[1](s) − 5L[H2 (t)](s) + 3L[H5 (t)](s) =
amb s > 0.
3 5 −2s 3 −5s
− e
+ e ,
s s
5
CAPÍTOL 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE
33
No és convenient usar la definició de la transformada cada vegada que la volem calcular. Per això
utilitzam la taula anterior de les transformades i el teorema que presentam a continuació, que ens permetrà
estalviar molta feina.
Proposició 3.2
Sigui f una funció tal que la seva transformada de Laplace existeix. Llavors
(2) Propietat de trasllació I: L[eat f (t)](s) = L[f (t)](s − a).
(3) Propietat de canvi d’escala: L[f (at)](s) = a1 L[f (t)]( as ).
(4) Propietat de trasllació II: L[Ha (t)f (t − a)](s) = e−as L[f (t)](s).
(5) L[Ha (t)f (t)](s) = e−as L[f (t + a)](s).
(6) Transformada de la derivada I: L[f 0 (t)](s) = sL[f (t)] − f (0).
(7) Transformada de la derivada II: L[f (n) (t)](s) = sn L[f (t)](s) − sn−1 f (0) − sn−2 f 0 (0) − . . . −
f (n−1) (0), on f (k) denota la derivada k−èssima de la funció f.
Rt
(8) Transformada de la integral: Si definim la funció g(t) = 0 f (s) ds, llavors
L[g(t)](s) =
L[f (t)](s)
.
s
(9) Sigui f funció real de variable real amb transformada de Laplace F (s). Llavors
F 0 (s) = L[−tf (t)](s).
A més a més,
dn F
(s) = (−1)n L[tn f (t)](s).
dsn
Exemples 5
(a) Calculam la transformada de Laplace de la funció f (t) = 11 + 5e4t − 6 sin(2t). Utilitzam les propietats
del teorema anterior:
L[f (t)](s)
=
=
11L[1](s) + 5L[e4t ](s) − 6L[sin(2t)](s) = 11L[1](s) + 5L[1](s − 4) − 6L[sin(2t)](s) =
11
5
12
+
−
.
s
s − 4 s2 + 4
(b) Calculam la transformada de Laplace de la funció f (t) = t sin(3t). Observem que per fer-ho podem
usar la propietat de la derivada de la transformada de Laplace i resultarà que L[t sin(3t)](s) = −F 0 (s),
essent F (s) la transformada de la funció sin(3t). Com que
L[sin(3t)](s) = F (s) =
3
s2 + 9
,
i F 0 (s) = (s2−6s
+9)2 llavors
L[t sin(3t)](s) =
6s
.
(s2 + 9)2
En general, si f (t) = tn sin(bt), i g(t) = tn cos(bt) amb n ∈ N, b ∈ R, les seves transformades de
Laplace són:
n
b
s
dn
n d
L[f (t)] = (−1)n n
,
L[g(t)]
=
(−1)
.
ds
s2 + b2
dsn s2 + b2
CAPÍTOL 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE
34
(c) Calculam la transformada de Laplace de la funció a trossos
0
si 0 < t < 1
g(t) =
t2
si t ≥ 1.
Podem utilitzar la funció de Heaviside i les propietats del teorema anterior. Si definim f (t) = t2
podem rescriure la funció g(t) com g(t) = H1 (t)f (t). Si ara aplicam l’apartat (d) del teorema anterior
obtenim:
L[g(t)](s)
=
=
3.3
L[H1 (t)f (t)](s) = e−s L[f (t + 1)](s) = e−s L[(t + 1)2 ](s) = e−s L[t2 + 2t + 1](s) =
2
1
2
−s
+ 2+
.
e
s3
s
s
Transformada inversa de Laplace
La utilització pràctica de la transformada de Laplace requereix no només el càlcul de la mateixa a partir
d’una funció donada, sinó també el problema invers, és a dir, trobar una funció f (t) coneguent la seva
transformada F (s).
Definició 3.4: Transformada inversa de Laplace
Donada la funció F (s), anomenarem antitransformada de F (s), o transformada inversa de
Laplace que denotarem per L(−1) [F (s)](t), a l’única funció contı́nua a [0, ∞) que satisfà L[f (t)](s) =
F (s).
El càlcul directe de la transformada inversa de Laplace involucra normalment l’ús de variable complexa i no ho tractarem aquı́. De totes formes, usarem les propietats de la transformada per calcular
antitransformades.
Donam a continuació una taula amb les transformades inverses de les funcions elementals (que no és
més que mirar la taula anterior de dreta a esquerra).
Funció
Transformada inversa de Laplace
1
s
1
n!
sn+1
tn
1
s−a
eat
b
s2 + b2
s
s2 + b2
b
s2 − b2
s
s2 − b2
sin(bt)
cos(bt)
sinh(bt)
cosh(bt)
Anem a veure a continuació com calcular la transformada inversa d’una funció racional F (s) = p(s)
q(s)
amb grau de p(s) menor que grau de q(s). Per poder calcular la seva antitransformada, la primera cosa
que hem de fer és descomposar la funció racional en fraccions simples.
CAPÍTOL 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE
35
Els tipus de fraccions simples que poden presentar-se a la descomposició dependran de com siguin les
arrels del denominador. Els casos que es poden donar són:
A
.
• Arrels reals simples: s−a
A
• Arrels reals múltiples: (s−a)
m , m ∈ N, m > 1.
M s+N
• Arrels complexos simples: (s−a)
2 +b2 .
• Arrels complexos múltiples:
apunts.
M s+N
((s−a)s +b2 )m , m ∈ N, m > 1. Aquest cas no el tractarem en aquests
Calculam la antitransformada de cada una de les fraccions anteriors.
Proposició 3.3
Les antitransformades de les fraccions simples anteriors són
A
: només hem de recordar que la antitransformada és lineal i per tant
• s−a
−1
L
A
1
−1
(t) = AL
(t) = Aeat .
s−a
s−a
A
n!
n
• (s−a)
m , m ∈ N, m > 1 : Sabem que L[t ] = sn+1 , per n ∈ N. Per la propietat de trasllació,
L[eat f (t)](s) = F (s − a) i per tant
L[eat tn ](s) =
n!
,
(s − a)n+1
i aixı́
−1
L
A
A
A
−1 (m − 1)!
L
eat tm−1 .
(t) =
(t) =
(s − a)m
(m − 1)!
(s − a)m
(m − 1)!
M s+N
s
• (s−a)
2 +b2 : Recordem que L[cos(bt)] = s2 +b2 i aplicant una altra vegada la propietat de
s−a
at
sin(bt)](s) =
trasllació tenim que L[eat cos(bt)](s) = (s−a)
2 +b2 . Anàlogament sabem que L[e
b
.
(s−a)2 +b2
Descomposam la fracció de la qual volem calcular la antitransformada de la següent manera:
M (s − a)
aM + N
Ms + N
=
+
,
(s − a)2 + b2
(s − a)2 + b2
(s − a)2 + b2
i de l’expressió anterior podem calcular la antitransformada:
L−1
Ms + N
(t)
(s − a)2 + b2
s−a
aM + N −1
b
(t)
+
L
(t) =
(s − a)2 + b2
b
(s − a)2 + b2
aM + N at
= M eat cos(bt) +
e sin(bt).
b
= M L−1
Exemples 6
(a) Calculam la antitransformada de F (s) = s3 +5s21+2s−8 .
Primer cercam les arrels del denominador. Obtenim que aquestes arrels són s = 1, −2, −4. Per tant,
la nostra funció racional s’escriu com
1
A
B
C
=
+
+
.
s3 + 5s2 + 2s − 8
s−1 s+2 s+4
CAPÍTOL 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE
36
1
1
Obtenim els numeradors resolent el sistema d’equacions i resulta A = 15
, B = −1
6 , C = 10 . Ara,
aplicant la linealitat i la taula d’antitransformades tenim
1
1 −1
1
1 −1
1
1 −1
1
L−1 3
(t)
=
L
(t)
−
L
(t)
+
L
(t) =
s + 5s2 + 2s − 8
15
s−1
6
s+2
10
s+4
1 t 1 −2t
1
=
e − e
+ e−4t .
15
6
10
s+1
(b) Calculam la antitransformada de la funció F (s) = s2 (s+2)
3 . En aquest cas ja tenim les arrels del
denominador, per tant la descomposició en fraccions simples és
F (s) =
s+1
A
C
E
B
D
= + 2+
+
.
+
s2 (s + 2)3
s
s
s + 2 (s + 2)2
(s + 2)3
1
1
−1
Si calculam els coeficients obtenim A = −1
16 , B = 8 , C = 16 , D = 0, E = 4 . Per linealitat i usant la
taula d’antitransformades resulta:
−1 −1 1
1 −1
s+1
1 −1 1
1
−1
(t) =
(t) + L
L
L
(t) + L
(t)
s2 (s + 2)3
16
s
8
s2
16
s+2
1
−1 1
1
1
1
(t) =
+ t + e−2t − t2 e−2t .
− L−1
3
4
(s + 2)
16
8
16
8
(c) Calculam la antitransformada de F (s) = s33s−2
(s2 +4) . En aquest cas ja tenim les arrels del denominador,
per tant la descomposició en fraccions simples és
F (s) =
3s − 2
A
B
C
Ds + E
= + 2+ 3+ 2
.
s3 (s2 + 4)
s
s
s
s +4
−1
−3
Si cercam els coeficients obtenim A = 81 , B = 34 , C = −1
2 , D = 8 , E = 4 . Aplicant de nou linealitat
i usant la taula d’antitransformades resulta:
−1
3
3s − 2
1 −1 1
3 −1 1
1 −1 1
−1
8 s− 4
L
(t) = L
(t) + L
(t) − L
(t) + L
(t) =
s3 (s2 + 4)
8
s
4
s2
2
s3
s2 + 4
s
2
3 −1 1
1 −1 2
1 −1
3 −1
1 −1 1
L
(t) + L
(t) −
(t) − L
(t) − L
(t) =
= L
8
s
4
s2
2·2
s3
8
s2 + 4
8
s2 + 4
1 3
1
1
3
= + t − t2 − cos(2t) − sin(2t).
8 4
4
8
8
−1
3.4
Aplicació de la transformada de Laplace a la resolució de
circuits RLC
Una equació diferencial és una igualtat en la que apareix una incògnita que hem de calcular, però aquesta
incògnita no és un nombre, sinó que és una funció definida en un interval, i la igualtat involucra la funció
que cercam i una o vàries de les seves derivades. Les equacions diferencials són una de les principals
eines de les matemàtiques ja que s’usan habitualment per construir models matemàtics de problemes de
la ciència i l’enginyeria.
Una de les equacions diferencials més senzilles que podem trobar és
y 0 = y,
i el que cercam en aquesta equació és una funció y(x) que cumpleix que la seva derivada és igual a la
mateixa funció. La solució d’aquesta equació diferencial és y(x) = ex . Però no és l’única solució ja que
y(x) = 3ex també és solució, o y(x) = −2ex , y(x) = 52 ex , . . . . És a dir, qualsevol funció de la forma
y(x) = Kex , K ∈ R és solució de l’anterior equació diferencial. Això passa amb totes les equacions de
primer ordre (és a dir, aquelles en què només apareix la primera derivada): si hi ha solució hi ha infinites
CAPÍTOL 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE
37
i totes depenen d’un paràmetre. De manera anàloga, les equacions diferencials de segon ordre, és a dir
aquelles en què apareix la segona derivada, depenen de dos paràmetres, com per exemple
y 00 = −y.
L’equació anterior té com a solució y(x) = a cos(x) + b sin(x), on els coeficients a, b dependran de les
condicions inicials.
Quan conectam en sèrie una inductància de L henris, un condensador amb una capacitat de C faradis
i una resistència de R ohmis a una força electromotriu de e(t) volts i tancam el circuit, se produeix una
corrent elèctrica governada per la següent equació diferencial
Li0 (t) + Ri(t) +
1
q(t) = e(t),
C
on q(t) representa la càrrega elèctrica a l’instant t i i(t) és la intensitat de corrent. Sabent que i(t) = q 0 (t),
l’equació diferencial anterior se pot escriure com l’equació diferencial de segon ordre
Lq 00 (t) + Rq 0 (t) +
1
q(t) = e(t).
C
Aquesta equació sempre va acompanyada d’unes condicions inicials del circuit, que ens donen la càrrega
i la intensitat al moment inicial en què es tanca el circuit, és a dir, les condicions inicials
q(0) = q0 , i(0) = q 0 (0) = i0 .
Si volem trobar les dues funcions incògnita, i(t), q(t), hem de resoldre l’equació diferencial prèvia i ho
farem usant transformades de Laplace. Si aplicam transformades a l’equació anterior obtenim
LL[q 00 (t)](s) + RL[q 0 (t)](s) +
1
L[q(t)](s) = L[e(t)](s),
C
i usant les fòrmules de la transformada de Laplace de la derivada d’una funció resulta
1
L s2 L[q(t)](s) − sq(0) − q 0 (0) + R sL[q(t)](s) − q(0) + L[q(t)](s) = L[e(t)](s).
C
Si sustituı̈m les condicions inicials i aı̈llam L[q(t)](s) obtenim
L[q(t)](s) =
L[e(t)](s) + Lq0 s + Li0 + Rq0
.
Ls2 + Rs + C1
Llavors, la nostra funció solució q(t) serà la antitransformada de Laplace de la funció que apareix al
membre de la dreta de la igualtat anterior.
Vegem-ne uns exemples.
Exemples 7
(a) Consideram un circuit RLC amb L = 1H, R = 3Ω i C = 12 F. Calculam la càrrega que circula pel
circuit en qualsevol instant t i la seva intensitat si no hi ha font de força electromotriu i la càrrega
inicial és q(0) = 2C, i la intensitat inicial és i(0) = 1A.
Plantejam l’equació diferencial que modela el circuit:
q 00 (t) + 3q 0 (t) + 2q(t) = 0,
q(0) = 2C, i(0) = 1A.
Si aplicam transformades de Laplace a l’equació anterior obtenim
L[q 00 (t)](s) + 3L[q 0 (t)](s) + 2L[q(t)](s) = 0 ⇐⇒
⇐⇒ s2 L[q(t)](s) − sq0 − i0 + 3 (sL[q(t)](s) − q0 ) + 2L[q(t)](s) = 0.
Aı̈llant L[q(t)](s) resulta:
L[q(t)](s) =
(s + 3)q0 + i0
(s + 3)2 + 1
= 2
.
s2 + 3s + 2
s + 3s + 2
CAPÍTOL 3. TRANSFORMADA DE LAPLACE
38
Si descomposam el membre de la dreta en fraccions simples resulta:
A
B
(s + 3)2 + 1
=
+
2
s + 3s + 2
s+1 s+2
Cercant els coeficients obtenim que A = 5, B = −3, pel que sustituint
L[q(t)](s) =
5
3
−
.
s+1 s+2
Fent antitransformades de Laplace obtenim
5
3
q(t) = L−1
−
(t) = 5e−t − 3e−2t .
s+1 s+2
Si ara volem obtenir la intensitat del corrent, hem de derivar l’expressió anterior:
i(t) = −5e−t + 6e−2t .
(b) Considerem un circuit RLC amb L = 1H, R = 20Ω, C = 1 × 10−2 F i e(t) = 10V. A més a més tant
la càrrega com la intensitat inicial són zero.
L’equació que rigeix el circuit és
q 00 (t) + 20q 0 (t) + 100q(t) = 10.
Aplicant transformades de Laplace a ambdós costats resulta
L[q(t)](s)(s2 + 20s + 100) = L[10](s) =
10
10
⇐⇒ L[q(t)](s) =
.
s
s(s2 + 20s + 10)
Si feim la transformada inversa de Laplace tenim
10
10
−1
−1
q(t) = L
(t) = L
(t).
s(s2 + 20s + 10)
s(s + 10)2
Si descomposam el membre de la dreta com a suma de fraccions més simples obtenim
10
A
B
C
= +
+
,
s(s + 10)2
s
s + 10 (s + 10)2
1
i igualant coeficients obtenim A = 10
, B = −1
10 , C = −1. Si ara sustituı̈m a l’expressió anterior
q(t) = L−1
1
10
s
+
−1
10
s + 10
+
−1
10
(s + 10)2
(t) =
1
1
− e−10t − te−10t .
10 10
Finalment, el corrent del circuit l’obtenim derivant l’expressió anterior:
i(t) = q 0 (t) = e−10t − e−10t + 10te−10t = 10te−10t .