Examen de Matemáticas
1. (2,5 puntos) Dada la función f (x) = e−x x2 , se pide:
a) (1 punto) Determinar su dominio, ası́ntotas y cortes con los ejes.
b) (0,75 puntos) Calcular su derivada, intervalos de crecimiento y decrecimiento
y extremos relativos.
c) (0,75 puntos) Determinar los puntos de inflexión y dibujar la curva y = f (x).
2. (2,5 puntos) Los estudiantes de un centro docente han organizado una rifa benéfica
con la que pretenden recaudar fondos para una ONG. Han decidido sortear un
ordenador portátil, que les cuesta 600€. Quieren fijar el precio de la papeleta, de
modo que la recaudación sea máxima. Saben que si el precio de cada una es 2€,
venderı́an 5000 papeletas, pero que, por cada euro de incremento en dicho precio,
venderán 500 papeletas menos. ¿A qué precio deben vender la papeleta? Si el único
gasto que tienen es la compra del ordenador, ¿cuánto dinero podrán donar a la
ONG?
3. (2,5 puntos) Se considera la función real a trozos:
(
2
, si x ≤ 1, x ̸= −1
f (x) = x+1
ln x
, si x > 1
x−1
a) (0,5 puntos) Estudiar la continuidad de f en x = 1.
b) (1 punto) Hallar las ası́ntotas de f , si existen.
c) (1 punto) Determinar el valor de un x0 < 1 que verifica que la recta tangente a
la gráfica de f en el punto (x0 , f (x0 )) tiene pendiente − 21 . Escribir la ecuación
de dicha recta tangente.
4. (2,5 puntos) Sea f (x) = ax3 + bx2 + cx + d un polinomio que cumple que f (1) = 0,
f ′ (0) = 2 y tiene dos extremos relativos para x = 1 y x = 2.
a) (1,75 puntos) Determinar a, b, c y d.
b) (0,75 puntos) ¿Son máximos o mı́nimos los extremos relativos?
1
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