Microeconomía: Competencia bajo Equilibrio Parcial

Curso fundamental de microeconomía
con perspectiva histórica y reflexiones críticas acerca de la
microeconomía neoclásica
Competencia bajo equilibrio parcial
Segunda edición
Sergio Monsalve
Volumen I
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias Económicas
Escuela de Economía
BOGOTÁ, D.C.
2017
Índice general
Índice de figuras
IX
Presentación
XXIII
Introducción: sobre la economía neoclásica, sus métodos y sus
objetivos
1. Los pioneros neoclásicos y la economía como ciencia natural . . . .
2. La institución de mercado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. La noción de competencia perfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. La institución de mercado bajo competencia perfecta . . . . . . . .
5. Nota final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.
Competencia perfecta
1
2
4
6
8
9
13
1. Principios de la teoría del consumidor
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. La noción de consumidor y de utilidad . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Principios de la función de utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1.
Hipótesis sobre las curvas de indiferencia . . . . . . . . . .
1.4. La restricción presupuestaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. El problema principal del consumidor . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Análisis marginalista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. El caso fundamental de la función cuasilineal . . . . . . . . . . .
1.8. Comportamientos de la curva de demanda . . . . . . . . . . . . .
1.9. Nota histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
13
13
13
14
15
20
23
27
32
36
39
iv
Índice general
2. Minimización del gasto
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Minimización del gasto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Sobre las medidas de los niveles de utilidad . . . . . . . . . . . .
2.4. Preferencias reveladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. La función de gasto y los índices de precios al consumidor . . . .
2.5.1.
Sobre los ICV e IPC calculados por el DANE . . . . . . . . .
2.6. Nota histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
45
45
56
57
58
59
60
3. Tipos de mercancías y el concepto de elasticidad
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Metodología de la economía neoclásica . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1.
Precios fijos y presupuesto variable . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2.
Presupuesto fijo y precios variables . . . . . . . . . . . . . .
3.3. La noción de elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.
Clasificación de las elasticidades . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2.
Elasticidades en un mercado colombiano . . . . . . . . . . .
3.3.3.
Cálculo teórico de elasticidades . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Curvas de Engel y trayectorias de expansión del ingreso . . . . .
3.5. Proporciones de la renta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Funciones de utilidad homotéticas . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7. Nota histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
71
71
72
72
77
77
83
85
87
90
91
94
4. Efecto ingreso y efecto sustitución
99
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2. Ecuaciones de Slutsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3. Ecuaciones de Slutsky en nuestras funciones de utilidad . . . . . 103
4.4. Ecuación de Slutsky y funciones cuasilineales . . . . . . . . . . . 107
4.5. Oferta de trabajo: el ocio como un bien . . . . . . . . . . . . . . 108
4.6. El ahorro como elección intertemporal . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.7. La matriz de sustitución Hicks-Slutsky . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.8. Excedente del consumidor en las funciones cuasilineales . . . . . 114
4.9. ¿Existen las funciones de utilidad? . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.10. Nota sobre la hipótesis de racionalidad del consumidor . . . . . . 119
5. Principios de la teoría de la producción
123
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2. Características de la función de producción neoclásica . . . . . . 124
5.3. Rendimientos a escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.4. El problema principal del productor . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.4.1.
Maximización del beneficio con un solo insumo . . . . . . . 136
5.4.2.
Maximización del beneficio con dos insumos . . . . . . . . . 141
5.5. Nota histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.5.1.
Sobre la historia de la función de producción . . . . . . . . 148
Índice general
v
6. Minimización del costo de largo plazo
155
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.2. Minimización del costo de largo plazo . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.3. Curvas de costo de largo plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.4. La curva de oferta después de minimización del costo . . . . . . . 167
7. Minimización del costo de corto plazo
179
7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.2. Curvas de costo en el corto plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.3. Cálculo de curvas de costo en el corto plazo . . . . . . . . . . . . 181
7.4. Del corto plazo al largo plazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.5. Sobre el costo medio en el corto plazo . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.6. Discontinuidad de la curva de oferta . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.7. Libre entrada y salida de empresas . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.8. Elasticidad-precio de la oferta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.9. Excedente del productor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.10. ¿Existen las funciones de producción? . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.11. Apéndice: cálculo del PIB en Colombia . . . . . . . . . . . . . . . 203
8. Equilibrio parcial competitivo: la tijera de Marshall
211
8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.2. La noción de equilibrio parcial competitivo . . . . . . . . . . . . 212
8.3. Sobre la noción de agente representativo . . . . . . . . . . . . . . 215
8.3.1.
Existencia de la empresa representativa . . . . . . . . . . . 215
8.3.2.
Existencia del consumidor representativo . . . . . . . . . . 218
8.4. Oferta y demanda laboral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
8.5. Casos particulares de la tijera de Marshall . . . . . . . . . . . . . 222
8.6. Existencia del equilibrio de largo plazo . . . . . . . . . . . . . . . 224
8.7. Problemas con la existencia del equilibrio . . . . . . . . . . . . . 225
8.7.1.
“Extraño” equilibrio de largo plazo . . . . . . . . . . . . . . 225
8.7.2.
Oferta agregada discontinua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
8.7.3.
El problema del número entero de empresas . . . . . . . . . 228
8.8. Estabilidad del equilibrio parcial (modelo de la telaraña) . . . . . 231
8.9. Observaciones finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
8.10. Nota histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.10.1. El valor del agua y los diamantes, según Menger . . . . . . 235
8.10.2. El problema de la agregación del capital . . . . . . . . . . . 235
II.
Fallas de mercado: una introducción
243
9. Óptimo de Pareto y la noción de falla de mercado
245
9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
9.2. Optimalidad paretiana del equilibrio parcial . . . . . . . . . . . . 246
9.3. Distribución del ingreso bajo productividad marginal . . . . . . . 248
vi
Índice general
9.4. La noción de falla de mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
9.5. Fallas de mercado causadas por impuestos y subsidios . . . . . . 252
9.5.1.
Impuesto a la cantidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.5.2.
Curva de Laffer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
9.5.3.
Subsidio a la cantidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
9.6. Precios mínimos, máximos y cuotas . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
9.7. Dinero en equilibrio parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
9.8. Nota histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
9.8.1.
Sobre el origen del término “falla de mercado” . . . . . . . 260
9.8.2.
El modelo de competencia perfecta como modelo del laissez
faire, del capitalismo o de una economía de mercado . . . . 261
10. Monopolio
271
10.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
10.2. El problema básico del monopolista . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
10.3. Equilibrio del monopolista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
10.4. Regulación del monopolista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
10.5. El índice de Lerner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
10.6. Comparación de excedentes y beneficios . . . . . . . . . . . . . . 286
10.7. Algunas prácticas del monopolista . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
10.7.1. Discriminación de precios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
10.7.2. Barreras a la entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
10.8. Aproximación al problema del monopsonio . . . . . . . . . . . . . 292
10.9. Monopolio bilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
10.10. Sobre las leyes antimonopólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
11. Oligopolio y competencia monopolística
301
11.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
11.2. Modelos de oligopolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
11.2.1. Duopolio de Cournot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
11.2.2. Duopolio en cartel (colusión) . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
11.2.3. Duopolio de Stackelberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
11.2.4. Oligopolio de Cournot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
11.3. Competencia monopolística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
11.3.1. Competencia monopolística à la Chamberlin . . . . . . . . 312
11.3.2. El modelo lineal de Hotelling . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
11.3.3. El modelo de Bertrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
11.3.4. El modelo circular de Salop . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
11.4. Índices de concentración oligopólica . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
11.4.1. El índice de Herfindahl-Hirschman . . . . . . . . . . . . . . 319
11.4.2. El ratio (o tasa) de concentración . . . . . . . . . . . . . . 320
Índice general
A.
vii
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
325
A.1. La integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
A.1.1.
Antiderivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
A.1.2.
La integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
A.1.3.
Primer teorema fundamental del Cálculo . . . . . . . . . . 335
A.1.4.
Segundo teorema fundamental del Cálculo . . . . . . . . . . 337
A.1.5.
Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
A.2. Funciones de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
A.3. Curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
A.4. Límites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
A.5. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
A.5.1.
El diferencial total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
A.6. La derivada direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
A.7. Regla de la cadena en dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
A.8. Funciones implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
A.9. Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . 357
A.10. Ecuación de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
A.11. Funciones cóncavas y convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
A.12. Propiedades de las funciones cóncavas . . . . . . . . . . . . . . . 365
A.13. Funciones cuasicóncavas y cuasiconvexas . . . . . . . . . . . . . . 372
A.14. Propiedades de las funciones cuasicóncavas . . . . . . . . . . . . . 373
A.15. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
A.16. El teorema de punto fijo de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . 388
Bibliografía
391
Respuestas y sugerencias a algunos problemas impares
403
Índice alfabético
424
Índice de figuras
1.1.
1.2.
Función de utilidad z = U (x, y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curvas de indiferencia U (x, y) = U0 para distintos niveles de
utilidad U0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Curvas de indiferencia para una función de utilidad tipo CobbDouglas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. “Curvas” de indiferencia en un caso Leontief. . . . . . . . . . . .
1.5. Curvas de indiferencia para una función de utilidad lineal. . . . .
1.6. Curvas de indiferencia para la función de utilidad cuasilineal
U (x, y) = x1/2 + y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Hipótesis de continuidad de las curvas de indiferencia. Es decir,
las curvas de indiferencia no pueden estar “rotas”. . . . . . . . . .
1.8. La canasta A es menos preferida que la canasta B y que la canasta
C (es decir, la canasta A tiene menos utilidad (U0 = 1)). Por su
parte, la canasta B y la canasta C son indiferentes –ambas tienen
la misma utilidad (U0 = 2)–. Etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9. Convexidad de las preferencias: las combinaciones convexas son
“preferidas” a la especialización (“Hipótesis de la dieta balanceada”). Observe que si λ = 1 entonces la combinación convexa es
la canasta A en un extremo de la recta; y si λ = 0 entonces la
combinación convexa es la canasta B del otro extremo de la recta. Obviamente, si λ = 1/2 la combinación convexa corresponde
a la canasta promedio (1/2)A+(1/2)B que se ubica exactamente
en la mitad del segmento de recta; etc. . . . . . . . . . . . . . . .
1.10. Restricción presupuestal: está compuesta por todas las canastas
(x, y) que puede adquirir un consumidor con presupuesto M , a
los precios de mercado p1 y p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
14
15
16
16
17
17
18
19
19
20
Índice de figuras
x
1.11. Desplazamiento de la recta presupuestal por cambio en el presupuesto M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.12. Rotación de la recta presupuestal ante un aumento en el precio p2 . 21
1.13. Rotación de la recta presupuestal ante un aumento en el precio p1 . 22
1.14. Oportunidades de consumo perdidas por cambio en las variables
de la recta presupuestal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.15. El problema principal del consumidor. La solución (x∗ , y ∗ ) al
problema, indica las demandas del consumidor por ambos bienes. 23
1.16. Demandas en un caso Cobb-Douglas. . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.17. Demandas en un caso Leontief. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.18. Demandas en el caso lineal cuando p2 > p1 . . . . . . . . . . . . . 26
1.19. En la asignación A es posible ir al mercado y cambiarla (a los
precios corrientes) por la asignación B que da más utilidad, etc.
Hasta llegar al punto E(x∗ , y ∗ ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.20. Descripción gráfica de la tasa marginal de sustitución. . . . . . . 29
1.21. Características de las demandas para las funciones de utilidad
Cobb-Douglas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.22. Decisión de consumo de un hogar que sólo demanda un bien. . . 33
1.23. A mayor precio del bien, menor consumo de este. El triángulo
adjunto permite medir las pendientes de las tangentes a la curva. 34
1.24. Demanda marshalliana del bien x, con función de utilidad dada
por U (x, y) = x1/2 + y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.25. Demanda marshalliana del bien x, con función de utilidad dada
por U (x, y) = ax − (b/2)x2 + y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
αM
para la función de utilidad
1.26. Curvas de demanda x∗ = (α+β)p
1
Cobb-Douglas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
p2
1.27. Comportamiento de la demanda x∗ = p1 pM
2 para una fun2 +(p1 )
ción de utilidad separable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.28. Curva de demanda x∗ = 1/4p2 para la función de utilidad cuasilineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.29. Comportamiento de la demanda x∗ = p1M
+p2 para una función de
utilidad Leontief. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
Maximización de la utilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Minimización del gasto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¿Qué es lo que miden las demandas hicksianas?: miden los cambios en las demandas marshallianas después de un aumento en
precios y la correspondiente compensación en presupuesto, para
regresar al nivel de utilidad inicial. . . . . . . . √
. . . . . . . . . .
Demandas para la función cuasilineal U (x, y) = x + y. . . . . .
Demanda marshalliana x∗ para la función de utilidad lineal con
p2 ∗ fijo. Si aumenta el precio p1 por encima de p2 ∗ , no comprará
nada del bien x. Pero si disminuye el precio por debajo de p2 ∗ ,
entonces comprará el bien x a la manera usual: dependiendo de
una curva de demanda descendente. . . . . . . . . . . . . . . . .
46
46
48
51
55
Índice de figuras
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
Demanda hicksiana h1 para la función de utilidad lineal con p2 ∗
fijo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
No se viola el ADPR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
No se viola el ADPR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Se viola el ADPR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bienes normales e inferiores. Los comportamientos en B , C y D
se describen a partir de A, ante un aumento en el presupuesto. .
Los bienes x e y son bienes sustitutos (brutos). Los comportamientos en B y C se describen a partir del punto A, después de
cambios en p1 y p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Los bienes x e y son bienes complementarios (brutos). Los comportamientos en B y C se describen a partir del punto A, después
de cambios en p1 y p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
El bien x es Giffen. Obsérvese que x disminuye cuando p1 disminuye. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
“Extraña” curva de demanda del bien Giffen x. . . . . . . . . . .
Gráfico comparativo de elasticidades-precio de la demanda. . . .
Demanda de la función de utilidad U (x, y) = x + y. . . . . . . . .
Gráfico comparativo de elasticidades-ingreso de la demanda para
un bien normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zonas elásticas e inelásticas de una recta de demanda. . . . . . .
Curvas de Engel (para los dos bienes x y y, respectivamente) en
la función de utilidad Leontief. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curvas de Engel (para los dos bienes x y y, respectivamente) en
la función de utilidad Cobb-Douglas. . . . . . . . . . . . . . . . .
Curvas de Engel para una función de utilidad separable. . . . . .
Trayectoria de expansión del ingreso para la función de utilidad
Cobb-Douglas U (x, y) = xy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trayectoria de expansión del ingreso para la función de utilidad
U (x, y) = x1/2 + y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curvas de nivel de una función homotética. . . . . . . . . . . . .
xi
56
68
68
68
72
73
73
73
76
79
80
81
82
88
88
89
89
90
92
Efecto total (o precio), efecto ingreso y efecto sustitución. . . . . 100
Ilustración de la ecuación (4.4) de Slutsky. . . . . . . . . . . . . . 102
Efecto sustitución nulo en la función de utilidad Leontief. . . . . 105
Para la función de utilidad lineal, todos los efectos (precio, sustitución e ingreso) son nulos si (todavía) p1 > p2 . Que A = B
significa que no hubo cambios en las demandas después del aumento de precio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
El efecto ingreso es nulo al pasar de p1 > p2 a p2 > p1 bajo la
utilidad lineal (es decir, de A a B). Obsérvese que para regresar al
punto A después de una disminución del precio del bien x (punto
B), ningún presupuesto será adecuado. Es decir, todo el efecto
será sustitución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Índice de figuras
xii
4.6.
4.7.
Característica particular de las funciones cuasilineales. . . . . . . 108
Curva de oferta laboral creciente ante aumento salarial. La recta
horizontal punteada es una asíntota de la curva. . . . . . . . . . . 109
′
4.8. Oferta laboral decreciente ante aumento salarial (si L > m/p). . 110
4.9. La curva de demanda inversa es idéntica a la curva de utilidad
marginal: ambas están regidas por la ecuación p = U ′ (x). . . . . 115
4.10. Aquí U ′ (x) es la utilidad marginal, p es el precio que está dispuesto a pagar el consumidor y P es el precio del mercado por
unidad (exógeno al consumidor). El excedente del consumidor es
el área en gris claro a la izquierda de la curva de demanda. . . . 116
4.11. Excedente del consumidor con demanda x = 10 − 2p. . . . . . . . 116
4.12. Esquema básico de interrelación entre las distintas funciones que
describen a un consumidor, conocido como el “problema de integración” (Antonelli, 1886). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
5.9.
5.10.
5.11.
5.12.
5.13.
Ejemplo de una función de producción con apenas un insumo. . . 125
Función de producción con dos insumos. . . . . . . . . . . . . . . 126
Típica función de un solo insumo con rendimientos decrecientes
a escala. Nótese que f (tx∗ ) < tf (x∗ ) para todo t > 1 y x∗ fijo. . . 127
Típica función de producción de un solo insumo con rendimientos
constantes a escala. Nótese que f (tx∗ ) = tf (x∗ ) para todo t > 0
y x∗ fijo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Típica función de un solo insumo con rendimientos crecientes a
escala. Nótese que f (tx∗ ) > tf (x∗ ) para todo t > 1 y x∗ fijo. . . . 129
Función de un solo insumo sin rendimientos a escala específico. . 131
Maximización del beneficio para una tecnología de la forma y =
f (x). Las rectas de isobeneficio ascienden desde la recta de beneficio cero hasta la recta en donde el beneficio es óptimo. . . . . 137
Bajo rendimientos crecientes a escala, no es posible maximizar
el beneficio, pues si supusiéramos que esto sucede en la cantidad
x∗ , se llegaría a una contradicción, ya que el beneficio en tx∗
(con t > 1) es superior. En efecto: Π(tx∗ ) = pf (tx∗ ) − w(tx∗ ) >
tpf (x∗ ) − twx∗ = tΠ(x∗ ) > Π(x∗ ). . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
“Maximización” del beneficio para rendimientos constantes a escala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Funciones con rendimientos decrecientes a escala. . . . . . . . . . 140
Maximización del beneficio con dos insumos en el proceso de
producción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Cantidades de insumos (x∗ e y ∗ ) elegidas por el productor que
maximiza su beneficio. Allí debe darse la ecuación de equilibrio
w1
∂F
del productor ∂F
∂x / ∂y = w2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Curva de oferta de producto con tecnología Cobb-Douglas (α +
β = 3/4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Índice de figuras
xiii
6.1.
El problema de la minimización de costos del productor dado
un nivel de producción z0 . Aquí x∗ y y ∗ son las cantidades de
insumos que la empresa solicita al mercado para poder fabricar
z0 unidades del producto, con costo mínimo. . . . . . . . . . . . . 156
6.2. Dados los costos de los factores en el mercado, si partimos de A,
podemos disminuir costos, mediante sustitución, hasta alcanzar
el punto de equilibrio E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.3. Diferentes tipos de funciones de costos de acuerdo a los rendimientos a escala de una función de producción Cobb-Douglas. . . 159
6.4. Función de√ costo convexa estricta para la tecnología dada por
√
F (x, y) = x + y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.5. Minimización de costos para una función de producción tipo
Leontief. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.6. Función de costos con tecnología Leontief. . . . . . . . . . . . . . 160
6.7. Funciones de costo Cobb-Douglas de largo plazo. . . . . . . . . . 162
6.8. Un caso especial de función de costo de largo plazo. . . . . . . . . 164
6.9. Productor que se enfrenta a la decisión de producir en dos plantas
con rendimientos decrecientes a escala. . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.10. Productor que se enfrenta a la decisión de producir en dos plantas
con rendimientos crecientes a escala. . . . . . . . . . . . . . . . . 166
√
1/3
6.11. Curva de oferta para la tecnología F (x, y) = ( x + y) . . . . . 168
6.12. Un tipo de oferta Cobb-Douglas con cambio exógeno. . . . . . . . 169
7.1.
7.2.
Curvas de costo Cobb-Douglas de corto plazo. . . . . . . . . . . . 183
Curvas√de costo total, marginal y medio para la tecnología y =
√
x + k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.3. Función de producción f (x) = x3 − 3x2 + 3x. . . . . . . . . . . . 184
7.4. Curva de costo total de corto plazo. . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.5. Curvas de costo marginal (izquierda) y costo medio (derecha) de
corto plazo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.6. Posibles formas de las curvas de costo de corto plazo. . . . . . . . 186
7.7. Formas posibles de las curvas de costo marginal y medio para las
correspondientes tecnologías de la figura 7.6. . . . . . . . . . . . . 187
7.8. Función de producción (izquierda) y curva de oferta (derecha). . 188
7.9. Cambios en k en una función de producción Cobb Douglas en el
corto plazo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.10. Caso Cobb-Douglas con rendimientos constantes a escala. Observemos cómo las curvas de costo de corto plazo están siempre por
encima de la de largo plazo. Esto es así, porque, en el largo plazo, es posible hacer mayores ajustes entre insumos que permiten
reducir los costos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.11. Rendimientos crecientes a escala en el largo plazo. . . . . . . . . 191
7.12. Rendimientos decrecientes a escala en el largo plazo. . . . . . . . 191
Índice de figuras
xiv
7.13. Comparación del precio de mercado (p) y el costo medio de una
empresa (C(y0 )/y0 ). El beneficio de la empresa aparece representado por el área del rectángulo en color gris que es igual a y0
multiplicada por la diferencia entre el precio y el costo medio en
y0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.14. Comparación del precio de mercado y el costo medio de una
empresa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.15. La producción y0 es la escala mínima de eficiencia. . . . . . . . . 193
7.16. Oferta discontinua en el corto plazo. . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.17. Oferta de la empresa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.18. Conformación de la oferta en el largo plazo. . . . . . . . . . . . . 197
7.19. Curva de oferta de la industria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.20. Comparación de elasticidades en una curva de oferta. . . . . . . . 199
7.21. Descripción del excedente del productor. . . . . . . . . . . . . . . 200
7.22. Ilustración del ejemplo 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.23. Flujo circular de pagos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
8.8.
8.9.
8.10.
8.11.
8.12.
8.13.
8.14.
8.15.
8.16.
8.17.
8.18.
8.19.
8.20.
8.21.
8.22.
8.23.
Agregación de curvas de demanda. . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Agregación de curvas de oferta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
A este esquema, Marshall (1890) lo llamaba “la tijera”. . . . . . . 214
Equilibrio parcial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Equilibrio parcial en bienes intermedios. . . . . . . . . . . . . . . 215
Ejemplo típico (para nuestro curso) de curva de costos de la industria bajo competencia perfecta: con rendimientos decrecientes
a escala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Ilustración del ejemplo 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Ceteris paribus (estática comparativa) cuando A > 0 aumenta. . 221
Conformación de salarios por oferta y demanda laboral. . . . . . 222
Ilustración del caso I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Ilustración del caso II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Ilustración del caso III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Ilustración del caso IV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Equilibrio parcial de largo plazo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Impacto en los salarios de una mejora tecnológica. . . . . . . . . 224
Extraña “existencia” de equilibrio parcial competitivo. . . . . . . 226
Un mercado sin equilibrio parcial de corto plazo. . . . . . . . . . 227
Equilibrio de largo y corto plazo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Nuevo equilibrio de corto plazo no existe para k > 1.0128. . . . . 228
Modelo de la telaraña o dinámica del precio de un bien bajo
equilibrio parcial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Para la misma relación K/L puede haber varias tasas de interés r.237
Equilibrio parcial en el comercio internacional. . . . . . . . . . . 240
La introducción de un arancel provoca una disminución de las
importaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Índice de figuras
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.
9.6.
9.7.
9.8.
9.9.
9.10.
9.11.
9.12.
9.13.
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
10.5.
xv
Distribución del excedente social entre excedente de productor y
consumidor. La suma de las áreas negra y gris es la mayor cantidad de dinero legal que puede producir la competencia perfecta
dados los gustos de los agentes y la tecnología de la industria. . . 247
Competencia según el número de empresas en el mercado. . . . . 252
Ilustración de la pérdida irrecuperable de eficiencia por aplicación
de impuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Incidencia de un impuesto a la cantidad. . . . . . . . . . . . . . . 254
Análisis de incidencia sobre el consumidor y el productor de un
impuesto a la cantidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
En el panel de la izquierda, el recaudo va creciendo a medida que
aumenta el impuesto pero, a partir de un punto crítico, el recaudo
comienza a decrecer ante un aumento del impuesto. En el panel
de la derecha se señala la curva generada por los recaudos ante
variaciones del impuesto. Esta última se conoce como curva de
Laffer (Arthur Laffer [1940,–]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Subsidio a la cantidad: otra falla de mercado. . . . . . . . . . . . 256
Salario mínimo como precio mínimo. . . . . . . . . . . . . . . . . 257
El precio de la VIS como precio máximo. . . . . . . . . . . . . . . 258
Las cuotas como fallas de mercado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Conjunto y frontera de posibilidades de producción de la economía Crusoe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Variación compensada (V C). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Variación equivalente (V E). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Equilibrio de un monopolista legal. . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Análisis de excedentes bajo monopolio legal. . . . . . . . . . . . . 275
Monopolio para el caso del ejemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . 276
Competencia perfecta para el caso del ejemplo 1. . . . . . . . . . 277
Comparación de excedentes bajo monopolio y competencia perfecta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
10.6. Beneficio bajo competencia perfecta a medida que la producción
aumenta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
10.7. Ilustración del ejemplo 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
10.8. Beneficio (de corto plazo) de un monopolista legal. . . . . . . . . 283
10.9. Posible beneficio negativo (de corto plazo) de un monopolista. . . 283
10.10. Regulación de un monopolista con beneficio negativo, ahora mediante precios tipo Ramsey. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
10.11. Regulación del monopolio legal con subsidios. . . . . . . . . . . . 284
10.12. El beneficio del monopolista es la porción del excedente del consumidor bajo competencia perfecta, que le es transferido debido
a su poder de mercado y también a su tecnología. . . . . . . . . . 287
10.13. Ejemplo de fijación de precio límite. Note que también el precio competitivo arroja pérdidas, y que el precio Ramsey (precio
donde Demanda=Costo Medio) arroja ganancias nulas. . . . . . . 291
xvi
Índice de figuras
10.14. Equilibrio del monopsonista (xms , wms ) comparado con el equilibrio competitivo (xcp , wcp ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
10.15. Comparación de excedentes entre la competencia perfecta y el
monopsonio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
10.16. Un modelo de negociación como modelo de monopolio bilateral. . 294
11.1. Equilibrio del duopolio Cournot: y1∗ = y2∗ = (a − c)/3. . . . . . . . 304
11.2. Duopolio Cournot versus equilibrio competitivo. Podemos observar cómo el precio competitivo pcp = c es menor que el precio
de duopolio pd = (a + 2c)/3. El triángulo negro es la pérdida
irrecuperable de eficiencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
11.3. Duopolio Cournot versus monopolio. . . . . . . . . . . . . . . . . 307
11.4. Comparación de estructuras de mercado. . . . . . . . . . . . . . . 309
11.5. Comparación de los oligopolios Cournot y la competencia perfecta.311
11.6. Comportamiento de corto plazo del competidor monopolista. . . 312
11.7. Comportamiento de largo plazo del competidor monopolista: beneficio cero para todas las empresas. Aquí n es el número de
competidores que entran al mercado del monopolista. . . . . . . . 313
11.8. Ilustración del problema de competencia monopolística del ejemplo 2. Observemos también la posibilidad de exceso de capacidad
instalada, pues Q baja al pasar del corto plazo al “largo plazo”. . 314
A.1. Integral definida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
A.2. Integral definida como sumatoria de áreas. . . . . . . . . . . . . . 329
A.3. Suma de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
A.4. Ilustración del ejemplo 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
A.5. Ilustración del ejemplo 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
A.6. Ilustración del ejemplo 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
A.7. Integral impropia convergente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
A.8. Integral impropia convergente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
A.9. Función de dos variables z = f (x, y). . . . . . . . . . . . . . . . . 341
A.10. Curva de indiferencia f (x, y) = α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
A.11. Curvas de indiferencia para una función de utilidad tipo CobbDouglas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
A.12. Curvas de indiferencia para una función de utilidad lineal. . . . . 342
A.13. Límite en dos variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
A.14. Continuidad en dos variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
A.15. Límite infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
A.16. Límite al infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
A.17. z = f (x, y) = x2 y 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
∂f
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
A.18. Derivada parcial
∂x
∂f
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
A.19. Derivada parcial
∂y
A.20. Más rápido en la dirección del gradiente. . . . . . . . . . . . . . . 352
A.21. Ilustración del ejemplo 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
Índice de figuras
xvii
A.22. Plano tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
A.23. Panel a): una típica función cóncava. Panel b): una típica función
convexa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
A.24. Panel izquierdo: función
√ convexa en [0, a] y cóncava en [a, b]. Panel derecho: f (x) = x, x ≥ 0 es estrictamente cóncava. . . . . . 362
√
A.25. En el panel a), la función f (x, y) = xy, x ≥ 0, y ≥ 0. En el
panel b), la función f (x, y) = x2 + y 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 364
A.26. En el panel a) se muestra el conjunto de nivel superior Sα , el cual
es un conjunto convexo (teorema 16). En el panel b) se presenta
la condición de concavidad “ pendiente de CD ≤ pendiente de
AB ” (teorema 17). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
A.27. Rectas tangentes con pendientes decrecientes. . . . . . . . . . . . 367
A.28. f (x) = ln x (Panel a) y g(x) = 1/xα (Panel b). . . . . . . . . . 368
A.29. f (x) = xα con diferentes valores de α. . . . . . . . . . . . . . . . 368
√
A.30. En el panel a), la función f (x, y) = xy. En el panel b), la
2 2
función f (x, y) = x y para x > 0, y > 0. . . . . . . . . . . . . . 370
A.31. Un punto crítico de una función cóncava es un máximo global. . 371
A.32. Una función cuasicóncava no cóncava: f (x) = Mín{f (x), f (y)}. . 372
A.33. Una función cuasicóncava no continua. . . . . . . . . . . . . . . . 373
A.34. Sα para la función f (x, y) = xγ y β ; γ, β > 0; x, y > 0. . . . . . . . 374
A.35. En el panel a) se muestra una función cuasicóncava y convexa
y = x2 , x > 0. En el panel b) se muestra que las combinaciones
convexas λx + (1 − λ)y, λ ∈ (0, 1) siempre obtienen un mayor
valor cuando la función es cuasicóncava estricta. . . . . . . . . . . 375
A.36. La función f (x, y) = yex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
A.37. Panel a): Curvas de nivel xy = α para distintos α’s. Panel b):
Restricción 3x + 4y = 5, x, y > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
A.38. Curvas de nivel y recta de restricción. . . . . . . . . . . . . . . . 379
A.39. Solución gráfica del ejemplo 40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
A.40. Solución gráfica del ejemplo 41. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
A.41. En el panel a): rectángulo inscrito en un círculo de radio R. En
el panel b): transformación y solución gráfica del ejemplo 42. . . 385
A.42. Ley de la refracción de la luz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
A.43. Solución gráfica del ejemplo 45. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
A.44. Teorema de punto fijo de Brouwer. . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
La Economía Política o Economía es un estudio de la humanidad en el sentido
cotidiano; examina esa parte de la acción individual y social que se conecta muy
de cerca con la obtención y el uso de los requisitos materiales del bienestar.
Así, de un lado es el estudio de la riqueza, y del otro lado, el más importante,
el estudio del hombre. (...)
Alfred Marshall, Principles of economics, 1920, p. 1.
Libertad del Individuo, Autoridad del Estado, Igualdad de Condiciones, Desigualdad de Posiciones: esta es la fórmula general de la constitución de la ciencia social.
Una vez se aplique esta fórmula (. . . ) la ley del comportamiento del Hombre estará científicamente establecida, como lo está la ley del movimiento de la Tierra
alrededor del Sol.
León Walras, Études d’Économie politique appliquée, 1898, p. 453.
A la memoria de mis hermanos, Daniel y Gilma Elena.
Presentación
Este primer volumen del Curso fundamental de microeconomía para estudiantes
de ciencias económicas, busca presentar, de una manera amable y a la vez precisa, el sistema básico de referencia con el que la economía neoclásica ha venido
pretendiendo, desde finales del siglo XIX e inspirado principalmente en la física
clásica, estudiar la economía agregada (o, más específicamente, los mercados) a
partir del comportamiento individual y optimizador de los agentes y del concepto
de equilibrio parcial.
Más detalladamente, este curso semestral de introducción a la economía neoclásica
–hoy conocido en nuestras Facultades como “Microeconomía I” o también como
“Introducción a la Microeconomía”– busca, en primer lugar, entender el comportamiento de los hogares –consumidores– y las empresas –firmas– en un ambiente de
“competencia perfecta” en donde todos los agentes toman como dados los precios
del mercado. En segundo lugar, busca estudiar la noción de equilibrio parcial de
mercado (en otras palabras, los mercados tomados aisladamente) y su eficiencia. Y,
en tercer lugar, se aplica a discutir algunas de las “fallas1 de mercado” (es decir,
cuando el equilibrio parcial ya no es eficiente) dentro de diferentes estructuras de
mercado tales como el monopolio, el oligopolio y la competencia monopolística.
El paso adelante en los siguientes cursos es, usualmente, continuar con el mismo
principio epistemológico, pero ahora a la luz del equilibrio general de mercado (los
mercados interconectados), para después dar el paso a un estudio más profundo de
las diferentes fallas de mercado, en ambientes de equilibrio parcial y general. Estos
serán el objetivo de los volúmenes II y III de esta colección.
En el camino (y este es un propósito último del porqué enseñamos microeconomía
en nuestras Facultades) se busca permitirle al estudiante entender por qué la teoría
microeconómica –o neoclásica–, a pesar de sus importantes e indudables éxitos en el
entendimiento de algunos de nuestros problemas económicos, y de los innumerables
matices de aproximación por parte de sus fundadores, fue demasiado ambiciosa en
1 O, de manera más castiza, “fallos de mercado”. Sólo que recurrimos al término “fallas de
mercado” porque se ha instalado en la literatura económica en castellano, como un término propio
de esta.
xxiii
xxiv
Presentación
aquel propósito, y quedó inhabilitada para el estudio de la economía como un todo,
frustrando así el sueño de algunos de los más radicales pioneros neoclásicos2 .
Y son precisamente las alternativas de pensamiento económico las que desentrañan
algunas de las dificultades de la visión neoclásica. Partamos de que nuestra aproximación, en este curso, se diferencia de otras visiones de la economía como la clásica,
la marxista, la keynesiana y, aún, la poskeynesiana, en la medida en que el modelo neoclásico es el modelo microeconómico “puro”, pues comienza describiendo un
“universo económico ideal” únicamente a partir del funcionamiento de sus partículas esenciales (hogares y empresas con incentivos económicos muy específicos)3 ,
para después ir agregando a la estructura, otros actores y otros incentivos.
Este intento se aparta, por ejemplo, de la aproximación marxista (Karl Marx [1818–
1883]), en las mismas categorías socioeconómicas consideradas, como es el caso de la
teoría del valor entendida por el marxismo como teoría de la explotación y su énfasis
en la teoría de la evolución del capitalismo. En efecto, en el modelo microeconómico
(que, insisto, es el mismo modelo neoclásico), están prácticamente ausentes las
relaciones institucionales profundas de las sociedades, más allá de un mercado entre
sectores agregados de consumidores y productores, lo que, en principio, no permite
tener razones claras del porqué de su aparición ni tampoco de su evolución. En ese
contexto, la teoría neoclásica prescinde de la división de la sociedad en clases y de
conceptos como excedente y explotación, y sólo se interesa por cómo funcionan los
mercados a través de las señales de precios.
Un ejemplo más está en que, en general, ninguno de los economistas clásicos aceptaba el utilitarismo de Jeremy Bentham (1748–1832) que es un elemento básico de
la antropología económica neoclásica: aquel agente maximizador de placer y minimizador de dolor no estaba en la concepción de los economistas clásicos4 . Y aunque
la economía neoclásica comparte con la economía política clásica la visión de un
mundo económico caracterizado por la división del trabajo, la propiedad privada
de los medios de producción, los mercados, la ley de Say5 y un Estado que sólo
tiene ciertas funciones esenciales para el buen funcionamiento de esos mercados (y
sólo eso), también tiene diferencias esenciales en el planteamiento de la teoría del
valor, la distribución y la producción.
Pero la diferencia más importante está en la característica visión neoclásica de no
hacer énfasis en el fenómeno del desarrollo económico, que fue el gran tema de las
2 Inclusive se afirma que la microeconomía es una visión frustrada de la economía que, por
sobrevivencia, se ha dedicado a estudios más “locales” y parciales de la economía (por ejemplo,
la organización industrial, la economía pública, etc.). Más aún, a la microeconomía no sólo le
viene ocurriendo lo que a otras disciplinas con mayor tradición como la física o la biología, como
lo es la profundización de su fragmentación en distintos “pequeños territorios”, sino también el
advenimiento y consagración de los métodos experimentales que permitan orientar la investigación
futura.
3 Procedimiento conocido como “individualismo metodológico” (C. Menger, 1871).
4 John S. Mill (1803–1873), por ejemplo, rechazaba la hipótesis de conmensurabilidad homogénea entre dolores y placeres.
5 Aquí nos referimos a la popular interpretación de la ley de los mercados de Say (Jean-Baptiste
Say [1767–1832]) que afirma que toda oferta crea su propia demanda y que los precios son tales
que igualan el valor de las mercancías producidas con el valor del gasto en esas mercancías.
Presentación
xxv
teorías económicas de Adam Smith (1723–1790), David Ricardo (1772–1823), Marx
y todos los economistas clásicos. Además, para los clásicos y para Marx, el funcionamiento del sistema económico no podría entenderse sólo a partir de una teoría
del comportamiento de los agentes individuales y de su agregación por sumas; y
esto explicaría que utilizaran la categoría de “clase social”. Con la visión neoclásica homogénea, desapareció la política de la economía (lo que era inseparable para
los clásicos) y se convirtió en economía pura, en ciencia económica o, simplemente, en economía (“economics” por emulación de “mathematics”). Es decir, se hizo
una ciencia de profesión con fronteras muy específicas: para hacer de la economía
política una teoría verdaderamente científica había que sustraer la sociedad y la
historia.
Por su parte, las aproximaciones macroeconómicas keynesiana (J. M. Keynes [1883–
1946]) y postkeynesiana buscan explicar el funcionamiento macroeconómico de una
economía capitalista, mediante algunas relaciones a priori de variables agregadas,
además de otros híbridos conceptuales y analíticos, incluidos allí algunos microeconómicos (es decir, neoclásicos). En particular, el estudio del desempleo involuntario,
de la producción y el empleo restringidos por la demanda y no por la oferta, la negación de la ley de Say y también del individualismo metodológico, etc., se apartan
radicalmente de las preocupaciones neoclásicas. Es por todo lo anterior que las esperanzas del pensamiento microeconómico ahora están puestas en las relativamente
recientes “microeconomía institucional” y “microeconomía de economías complejas”, entre otras, creyendo que podrían trazar un retorno a la economía política
sustantiva que algunos de los grandes pioneros “neoclásicos” postulaban: una teoría en la que las instituciones, la evolución, el aprendizaje, etc., jueguen a favor de
un marco más amplio y menos mecánico del comportamiento político, económico
y social 6 .
Al menos por lo anterior (si no por mucho más), quisiéramos que quedara claro,
entonces, que al presentar esta teoría tal como lo hacemos en este curso de Microeconomía I, no pretendemos darle el diploma de aprobado. Por el contrario, un
objetivo buscado, en este caso, es permitirle al estudiante ejercer su espíritu crítico, notando, para agravar tensiones, que lo que hoy conocemos como “economía
neoclásica” es una síntesis y homogeneización de muchos esfuerzos y visiones muy
diversas de sus pioneros del siglo XIX y principios del XX, A. Cournot, J. Dupuit,
W. S. Jevons, L. Walras, C. Menger, A. Marshall, F. Edgeworth, entre otros. Una
homogeneización sobre la que, seguramente, ninguno de estos autores habría estado
de acuerdo totalmente. Así, buscamos motivar al estudiante para que comience a
hacer crítica necesaria y pertinente, es decir, con conocimiento de causa, que es
como debe realizarse toda búsqueda verdaderamente científica. Al fin y al cabo, la
ciencia no avanza con argumentos de autoridad; las ideologías, sí.
6 Los términos “microeconomía institucional” y “microeconomía de economías complejas” hoy
utilizados en la literatura internacional, son, en mi concepto, desafortunados. Esto porque, en sí, el
término “microeconomía neoclásica” es un pleonasmo. Por ello podrían ser más convenientes neologismos tales como “economía microscópica institucional” o “economía microscópica compleja”,
respectivamente. En otras palabras, el origen histórico del término mismo (“microeconomía”) y
su uso a lo largo del siglo XX, conlleva una ineludible carga significativa hacia la teoría neoclásica.
xxvi
Presentación
Una palabra final sobre la organización del texto. Como decíamos antes, este se
ha destinado para acompañar el trabajo en un curso semestral de Microeconomía I
para estudiantes de pregrado. Se ha intentado que en el manual hayan abundantes
y significativos ejemplos resueltos (además de ejercicios propuestos) para que el
tránsito del estudiante sea formador y a la vez interesante en cada momento de su
aprendizaje; así, resolver los ejercicios es parte integral del curso. Complementando
esto, en el Apéndice del texto se señalan los prerrequisitos matemáticos básicos para
desarrollar el curso sin inconvenientes. El cálculo diferencial en una variable y un
buen curso de fundamentos de economía son una condición sine qua non. También
cabe advertir que utilizaremos la notación para indicar que una demostración
(prueba de un teorema), ha finalizado; y la notación N para indicar, cuando sea
necesario explicitarlo, que un ejercicio, un ejemplo o una nota ha culminado.
Termino señalando que este primer volumen es producto de mi enseñanza del curso
de Microeconomía I en la Universidad Nacional de Colombia–Sede Bogotá durante
los últimos años. En este tiempo, he tenido el apoyo de las directivas de la Facultad de Ciencias Económicas, de la Escuela de Economía, del Centro Editorial
(en especial de su director, profesor Álvaro Zerda, y de su coordinadora, señora
Nadeyda Suárez) y también de los estudiantes consecutivos del curso, quienes con
sus actitudes y objeciones ante el material, lo han enriquecido tanto. En particular,
quisiera agradecer a los profesores Edgar Bejarano, José Guillermo García, Germán
Guerrero y Gustavo Junca por su gestión y apoyo incondicional a este proyecto. El
aporte del profesor Erick Céspedes quien fuera el encargado de redactar un par de
secciones en el texto, fue inmenso; al igual que el de los profesores Óscar Benavides, Liliana Franco y Olga Manrique, de quienes recibí comentarios y sugerencias a
versiones preliminares. También debo reconocer a la Facultad de Ciencias Económicas y Humanas de la Universidad Nacional–Sede Medellín por el respaldo ofrecido
mientras estuve como profesor visitante en el segundo semestre de 2014.
Pero, de manera importante, quisiera escribir unas palabras de agradecimiento muy
especiales a mis profesores auxiliares y monitores del curso, durante este tiempo:
Carlos David Ardila, Mercy Arias, Paula Castañeda, Salomón Bechara, María del
Mar Cantero, Carlos Güisa, Sebastián Higuera, Christian Martínez, Mabel Moreno
(quien me animara inicialmente a convertir mis notas de clase en un libro), Fabio
David Nieto, Jorge Luis Prieto, Julián Villamil y Adrián Zuur, y a los estudiantes Leonardo Esteban y Camilo Sánchez. A través de su apoyo y solidaridad se
consolidó este trabajo. También quiero agradecer enormemente el fino y cuidadoso
trabajo de transcripción del manuscrito al programa LATEX, por parte del economista Diego Ávila, y la rigurosa mirada del texto (para producir esta segunda edición
revisada, corregida y aumentada) por parte de los economistas Lina María Castillo,
Andrés Gallegos, Nicolás Herrera, Laura Melo, Alejandra Ramírez y Brian Salamanca. Diego, Andrés y Alejandra fueron quienes resolvieron y revisaron muchos
de los ejercicios del libro y nos proveyeron de sus respuestas para un mejor aprovechamiento por parte de los estudiantes. El Apéndice matemático al final del texto,
fue digitado por el economista Daniel Rodríguez y la última revisión fue llevada a
cabo por Lina María Castillo, Leidy Gómez y Juliana Peláez.
Presentación
xxvii
Agradecido, entonces, entrego este modesto esfuerzo a la comunidad académica y
profesional con la ilusión de que el intento no será en vano. Al fin y al cabo, las
cosas más simples son, a menudo, las más difíciles de entender completamente.
Sergio Monsalve
Escuela de Economía
Universidad Nacional de Colombia
Sede Bogotá
Septiembre de 2017
Introducción: sobre la economía neoclásica, sus métodos y
sus objetivos
La economía neoclásica (homogénea) tiene como principio epistemológico la visión
general de que la Economía es una ciencia natural con la misma categoría de la
Física clásica (y también, un poco, de la Biología). Y es por ello que la orientan
los mismos principios o características: i) Los sistemas están conformados por partículas; ii) Estas partículas se rigen por fuerzas emanadas de cierto “principio de
mínima acción” (o similar) que afirma que la naturaleza es económica en todas sus
acciones; iii) Las partículas se estabilizan alrededor de ciertos estados de equilibrio
del sistema. Y la metodología de investigación consiste en, inicialmente, estudiar
el sistema “sin rozamientos” (competencia perfecta), para después incorporar las
“fricciones”, una a una, y así asimilar el funcionamiento del sistema económico
“completo”.
Pero, ¿y por qué es tan importante un “principio de mínima acción” (o similar)? En
la Física, este principio es una afirmación acerca de la naturaleza del movimiento
que permite replantear la mecánica clásica de una manera más general y potente
que las mismas leyes de Newton. Además, ha servido de principio básico en la teoría
de la relatividad, en la mecánica cuántica y en la física de partículas. Es por eso
que el “principio de mínima acción” está en el corazón de buena parte de la física
teórica, tanto del siglo XIX como de la contemporánea.
Algunos ejemplos y aplicaciones del “principio de mínima acción” son los rayos de
la luz, que, en situaciones ópticas tales como la refracción y la reflexión, siguen
un “principio de menor tiempo”(Principio de Fermat). También, si calculamos la
acción de una pelota moviéndose en el vacío (sin rozamientos) con una velocidad
constante, veremos que la trayectoria que sigue es la que consume el menor tiempo
posible: una línea recta. Que es también lo que hacen las partículas de un rayo de
luz en el vacío: un rayo de luz es un ejemplo ideal de una línea recta. Similarmente,
la forma esférica de una burbuja se explica como la minimización de la cantidad de
superficie jabonosa que contiene una cantidad de aire dada, etc.
Otro ejemplo, ahora desde la biología evolutiva, es la eficiencia en los organismos (C. Darwin [1809–1882]) donde la lucha local por la sobrevivencia es un
1
2
Introducción: sobre la economía neoclásica
principio regidor. Por ejemplo, la “simetría” del cuerpo humano, como resultado de
la adaptación (optimización local) del organismo a su entorno; y el hecho de que en
los animales, una falta sutil de simetría puede reflejar un pobre desenvolvimiento
dentro del ambiente de vida que se relaciona con bajo nivel de sobrevivencia, mala
salud y escasa descendencia futura, expresa claramente esta idea.
1.
Los pioneros neoclásicos y la economía como
ciencia natural
La tabla 1 responde por el esquema de asimilación de la Economía a la Física y (de
soslayo) a la Biología. Esta conversión se llevó a cabo, fundamentalmente, durante
la segunda mitad del siglo XIX y principios del XX, pero se apuntaló durante el
siglo XX. Sus más reconocidos pioneros fueron León Walras (1834–1910), William
Jevons (1835–1882), Carl Menger (1840–1921) y Alfred Marshall (1842–1924)1 , y
algunos de sus más importantes consolidadores fueron Vilfredo Pareto (1848–1923),
Irving Fisher (1867–1947), Arthur C. Pigou (1877–1959), John Hicks (1904–1989),
Paul Samuelson (1915–2009), Kenneth Arrow (1921–2017) y Gerard Debreu (1921–
2004), entre otros.
Ciencia Natural
Partículas
Principio de mínima
acción
Equilibrio
Economía
Agentes
— Optimización (Física)
— Adaptación (Biología)
Equilibrio
Tabla 1. ¿La Economía es una ciencia natural?
Y advertimos esto por el peligro siempre latente de que el estudiante crea que
la versión homogénea de la economía neoclásica que aprenderá en este curso (y
que se enseña en casi todas las escuelas de economía del mundo), fue lograda por
un acuerdo implícito o explícito de todos estos autores en una misma visión y
dirección. Esto está muy lejos de la realidad, pues no todos ellos coincidirían en
las mismas premisas y avances del paradigma neoclásico tal como lo presentamos
aquí, y tampoco, en su tiempo, fueron todos conscientes de que estaban facilitando
la creación de un nuevo y gran esquema para pensar la Economía como una ciencia
en sí misma, al asimilarse de manera franca a la Física del siglo XIX.
Dentro de los pioneros más decididos en esta asimilación estaban William Jevons
y León Walras:
La Teoría de la Economía (. . . ) muestra una cercana analogía con la Mecánica
Estática, y se encuentra que las Leyes de Intercambio son semejantes a las Leyes
1 Esta es una lista canónica de pioneros de lo que hoy conocemos como “economía neoclásica”.
Sin embargo, al hacer esto, obviamente ignoramos nombres fundamentales como Cournot, Gossen,
Slutsky, Dupuit, Edgeworth, Fisher, la escuela italiana (Pantaleoni, Barone, Amoroso, La Volpe),
etc.
1. Los pioneros neoclásicos
3
de Equilibrio de una palanca determinadas por el principio de las velocidades
virtuales.
Jevons, The Theory of Political Economy, 1871, p. VII.
Las matemáticas serán la lengua especial para hablar de hechos cuantitativos, y
en consecuencia la economía será una ciencia matemática con el mismo título de
la mecánica y la astronomía.
Walras, Économique et mécanique, 1909, p. 323.
Por su parte, Carl Menger, más escéptico, afirmaba en dos apartes del Prefacio de
sus Principles of Economics de 1871:
Juzgar los resultados a que nos ha conducido el (. . . ) método de investigación
[natural], decidir si hemos logrado exponer con éxito el hecho de que los fenómenos
de la vida económica se gobiernan por unas leyes estrictas similares a las que rigen
en la naturaleza, es cosa que corresponde a nuestros lectores. Tan sólo querríamos
prevenir aquí contra la opinión de quienes niegan la regularidad de los fenómenos
económicos aludiendo a la libre voluntad de los hombres, porque por este camino
lo que se niega es que las teorías de la economía política niegan el rango de ciencia
exacta.(. . . )
Si, y bajo qué condiciones, una cosa es útil para mí; si, y bajo qué condiciones, es un
bien; si, y bajo qué condiciones, es un bien económico; si, y bajo qué condiciones,
tiene valor para mí y cuál es la medida de este valor; si, y bajo qué condiciones,
se produce un intercambio económico de bienes entre dos agentes económicos y
cuáles son los límites dentro de los cuales puede llegarse a la formación del precio,
todas estas y otras muchas cuestiones son tan independientes de mi voluntad como
las leyes de la química son independientes de la voluntad de un químico práctico2 .
(ed. 2007, p. 48)
Por su lado, en la metodología de sus Principles of Economics de 1890, Marshall
insiste en la necesidad de usar tanto la investigación sobre los aspectos institucionales e históricos de la vida económica, como la búsqueda científica de las leyes
naturales: ambos aspectos eran necesarios para entender la Economía. Al comienzo
de los Principles de la edición de 1920, Marshall aseguraba que
Las leyes de la acción humana no son realmente tan simples, tan definidas ni
tan claramente asegurables como la ley de la gravitación; aunque muchas de ellas
pueden equipararse con las leyes de aquellas ciencias naturales que tratan con
asuntos más complejos. (p. 32)
A partir de esta analogía, Marshall concluía que la Economía debía imitar los
principios básicos de la ciencia, integrando algunos aspectos muy especiales (como
2 De hecho, algunos autores (por ejemplo, Alter, 1982) consideran que Menger no debería
hacer parte de los cuatro pioneros de la microeconomía neoclásica (Jevons, Menger, Walras y
Marshall). Sin embargo, lo mismo podría decirse de cada uno de ellos. Al fin y al cabo, es al
proceso de homogeneización de la economía neoclásica a partir de los trabajos originales de ellos,
al que puede culparse de esta diferencia esencial con lo que hoy enseñamos en nuestras aulas.
4
Introducción: sobre la economía neoclásica
el tiempo) al estudio de los mercados, e imitando la utilización del recurso del
ceteris paribus 3 que los científicos utilizaban para comprender y predecir el mundo
natural. Así, para Marshall las analogías mecánicas son útiles para el desarrollo
inicial de la teoría y para problemas “estáticos”; pero cuando las teorías intentan
acercarse a los hechos reales de la vida y el análisis se mueve en un plano superior,
es preferible usar las analogías orgánicas y biológicas:
La Meca del economista está en la biología económica más que en la dinámica
económica. Sin embargo, los conceptos biológicos son más complejos que los de la
mecánica.
Marshall, Principles of Economics, 1920, p. XII.
No obstante, y pese a la importancia que le daba a los aspectos históricos e institucionales, en los Principles de Marshall dominaba el punto de vista mecanicista4 .
2.
La institución de mercado 5
Originalmente, un mercado era un lugar público de un pueblo, donde se exponían
provisiones y otros objetos para la venta; pero la palabra se ha generalizado para
significar cualquier grupo de personas que estén en relaciones de negocios y lleven
a cabo transacciones de cualquier mercancía.
Jevons, Theory of Political Economy, 1871, cap. IV, §15.
El marco institucional que determina las condiciones bajo las cuales se lleva a
cabo el proceso de producción, intercambio y distribución, y que conocemos como “mercado”, está constituido, desde la perspectiva neoclásica, por los siguientes
elementos:
1. Las “partículas” (agentes) son:
a) Los consumidores (hogares).
3 Ceteris paribus (que proviene del Latín y significa “todo lo demás constante”) es el mecanismo
más socorrido de la Economía cuando de evadir los problemas temporales, se trata. Consiste en
fijar todas las variables del sistema, excepto una de ellas, y observar el comportamiento del sistema
bajo esa “dinámica”. En el transcurso del presente trabajo, recurriremos en múltiples ocasiones al
ceteris paribus.
4 Cabe anotar que lo que estudiaremos en este curso sobre equilibrio económico parcial se debe,
de manera importante aunque no exclusiva, a los libros II y III (teoría de precios con analogías
mecánicas) de los Principles of Economics de Marshall. Los libros I, IV y V son dominados por
la visión biológica.
5 Las instituciones son las leyes, las normas informales y convenciones que dan una estructura
duradera a las interacciones sociales y económicas entre los miembros de una población. Las
estructuras de propiedad, el dinero y los mercados implícitos en numerosas negociaciones, son
ejemplos notables de instituciones. El término “institución” también se usa a veces en lenguaje
corriente, para referirse tanto a entes individuales como a una empresa particular, a un sindicato,
o a un banco central; pero para evitar confusiones, a estas entidades se les acostumbra llamar
“organizaciones”.
2. La institución de mercado
5
b) Los productores (empresas o firmas) de bienes y servicios.
Este es el principio básico de lo que se conoce como “individualismo metodológico” (Menger, 1871): asumir que el todo está compuesto por sus partículas
individuales y que el resultado del agregado es la suma de las acciones individuales 6 .
2. El principio de mínima acción (o similar) opera en el mercado de dos maneras:
a) Los consumidores maximizan su satisfacción en el consumo.
b) Los productores maximizan el beneficio (ingresos menos costos).
Como veremos, el “principio de mínima acción” (racionalidad u optimización)
en una economía, está en la entraña misma de la noción de marginalidad 7
aunque no todos los pioneros fuesen conscientes de esto. Por ello, al origen
y primer desarrollo de la economía neoclásica también lo llaman “revolución
marginalista”8 .
3. Por su parte, el concepto básico de equilibrio de una economía es “oferta de
bienes y servicios igual a demanda de bienes y servicios”. Esta idea de balance de “fuerzas económicas opuestas” (que parte de la Física de una bola
que descansa en la parte inferior de una taza, del péndulo que cuelga verticalmente, etc.) es una idea organizativa central a toda la teoría neoclásica: es
la mutua compatibilidad de las acciones individuales de los consumidores y
los productores.
En el caso de Walras (1874, 1877), esta noción de balance de fuerzas económicas fue sugerida, sin duda, porque había leído el Recherches sur les Principes
Mathématiques de la Théorie des Richesses de Augustin Cournot (1838), y su innovador uso de formas funcionales y Cálculo diferencial para describir relaciones
económicas, antes sometidas exclusivamente al reino de lo literario. Pero también,
y muy fundamentalmente, porque había estudiado el Éléments de Statique (1803)
de Louis Poinsot, en donde aprendió cómo se deducían las ecuaciones de equilibrio general de un sistema mecánico a partir de las ecuaciones de equilibrio de las
partículas.
La nebulosa idea de Walras de que en un sistema económico, todo afecta todo (cada
cambio induce cambios y cada uno de estos, a su vez, induce otros cambios) lo conduciría, eventualmente, a que las partículas eran los consumidores y productores,
6 El lector desprevenido podría preguntarse cuál es el papel del Gobierno o del Estado aquí, y
por qué no aparecen en esta descripción. La razón fundamental es que para la literatura neoclásica
de mercado “puro”, el Gobierno o el Estado son “agentes extraños” que únicamente propenden
por la coordinación entre los distintos agentes de la Economía.
7 La noción de marginalidad (o variación en el margen) está asociada a la diferencia de una
cantidad determinada y el siguiente dato de esa misma cantidad. Hasta donde se sabe, fue introducida en forma matemática por von Thünen (1826) en su clásico Der isolierte Staat in Beziehung
auf Landwirtschaft und Nationalökonomie (El Estado aislado en relación con la Agricultura y la
Economía Nacional podría ser una traducción de este título).
8 Esta noción de racionalidad está en la raíz de la filosofía naturalista que postulaba el universo
como una máquina racional que minimiza la energía para su funcionamiento.
6
Introducción: sobre la economía neoclásica
que las “fuerzas” del mercado eran la oferta y la demanda por los productos, y que
estas dependían de los precios de todos los otros productos (incluyendo allí, salarios
y rentas). Finalmente, llamó “precios de equilibrio” a los precios que hacían que
la oferta igualara a la demanda en cada mercado. Fue con estos elementos que dio
origen a la teoría del equilibrio general económico –ver volumen II (Competencia
bajo equilibrio general)–.
De otro lado, y a diferencia de Walras, para Marshall (1890) el concepto de equilibrio económico parcial (es decir, de los mercados vistos aisladamente) es la principal
noción mecanicista que aplica tanto al estudio de la conducta de los individuos como de las sociedades, pues estaba convencido de que el equilibrio general no se
daba nunca. De hecho, la noción de equilibrio parcial de Marshall nunca pretendió
explicar los fenómenos económicos y sociales más allá de una zona circunscrita,
en donde se busca observar ajustes localizados del sistema, imitando la manera en
que los organismos vivos evolucionan según la teoría darwiniana. Por ello algunos
expertos en la obra de Marshall (por ejemplo, Loasby (1978, 1979) y Dardi (2010),
entre otros), han mostrado que la agenda de investigación marshalliana es incompatible con la agenda del equilibrio general de Walras; es decir, el equilibrio parcial
no es un caso particular (ni aproximación) de la teoría del equilibrio general, pues
aunque el sistema marshalliano es un sistema incompleto de ciencia social y económica, los elementos que le faltan no se los aporta la teoría del equilibrio general
de Walras 9 .
3.
La noción de competencia perfecta
La economía neoclásica homogénea, como una ciencia natural, atacó, de manera
principal, el problema del funcionamiento científico del sistema del mercado de
bienes y servicios. Y lo hizo a la manera de la Física: primero estudiando el sistema
“sin rozamientos” y luego “con rozamientos”. Y, en principio, asimiló esto de la
siguiente forma:
Sistema sin rozamientos
Sistema con rozamientos
−→
−→
Mercado bajo competencia perfecta
Mercado bajo competencia imperfecta
Pero ¿en qué consiste un “mercado bajo competencia perfecta”? Permitamos que
Walras, en sus Éléments d’économie Politique Pure de 1874, nos lo explique.
(. . . ) Los mercados mejor organizados desde el punto de vista de la competencia
son aquellos en que las ventas y las compras se hacen mediante subasta, a través de
agentes tales como los agentes de cambio, corredores de comercio o voceadores que
las centralizan, de tal forma que ningún cambio tiene lugar sin que las condiciones
sean anunciadas y conocidas y sin que los vendedores tengan la oportunidad de
9 Sin embargo, sería precisamente Marshall quien llevaría a cabo cierta síntesis de los trabajos de
sus antecesores y contemporáneos marginalistas (Cournot, Dupuit, Jevons, Menger e, inclusive,
Walras) con la teoría clásica de Smith y Ricardo. De aquí surgiría, posteriormente, el término
“teoría neo-clásica”, que fuera acuñado por T. Veblen (1900).
3. La noción de competencia perfecta
7
rebajar sus precios y los compradores de aumentarlos10 . Así funcionan las bolsas
de valores públicos, las bolsas de comercio, los mercados de grano, de carne, etc.
Al lado de estos mercados existen otros donde la competencia, aunque no tan bien
organizada, funciona todavía de una manera bastante adecuada y satisfactoria:
tales son los mercados de frutas y legumbres, de volatería11 . Las calles de una
ciudad donde se encuentran almacenes y panaderías, carnicerías, tiendas de ultramarinos12 , sastrerías, zapaterías, constituyen mercados con una organización un
poco más defectuosa desde el punto de vista de la competencia pero, sin embargo,
esta se encuentra presente de forma suficiente. (. . . )
Supondremos un mercado perfectamente organizado desde el punto de vista de la
competencia13 , de igual forma que en la mecánica pura se supone que las máquinas
se encuentran libres de rozamientos. (p. 70)
Por su parte, Jevons, en su The Theory of Political Economy de 1871, lo llamaba un
“(. . . ) [mercado] teóricamente perfecto sólo cuando todos los comerciantes tienen
perfecto conocimiento de las condiciones de la oferta y la demanda y la consecuente
tasa de cambio” (Ed. 2007, p. 87).
Diremos entonces que un mercado funciona bajo competencia perfecta (o, también,
bajo “concurrencia perfecta”) si ningún agente, aisladamente, tiene influencia significativa sobre los precios del mercado14 . Para decirlo de manera coloquial, un
agente (consumidor o productor) dentro de un mercado competitivo es lo que una
gota dentro de una gran piscina: hace parte de ella, pero si retiramos esa gota,
en nada afectará la cantidad de agua en la piscina. A un mercado así se le llama
“mercado competitivo”, “mercado bajo competencia perfecta” o, inclusive, “mercado bajo libre concurrencia”. Este tipo de mercado es, en la práctica, un imaginario
teórico; una utopía. Pero, para la economía neoclásica, una útil utopía: la libre
competencia representa el ideal del orden natural15 .
Además, sin duda, la hipótesis de competencia perfecta también tiene un criterio moralista: todos son iguales ante el mercado competitivo. Por ejemplo, Walras
(1896) destacaba la justicia en el mercado competitivo, en términos de dos condiciones: Primero, la total libertad de cada individuo para buscar su propia ventaja
10 Esta afirmación de Walras no significa que los vendedores y compradores puedan manipular
precios, sino que podrán aumentar o disminuir las demandas y las ofertas al mercado.
11 Una tienda de volatería es, fundamentalmente, una tienda de carnes de ave (pavo, codorniz,
pato, etc.), de conejo, de liebre, e inclusive de pollo.
12 Una tienda de ultramarinos es lo que hoy conocemos como tienda de abarrotes.
13 Quizás de aquí proviene el término “competencia perfecta”.
14 Aunque algunos autores –ver, por ejemplo, D. Walker (1996)– insisten en que Walras nunca
definió una economía en competencia perfecta como aquella en que todos los agentes eran tomadores de precios, ya que ni siquiera era claro de dónde era que los estaban tomando. En su lugar,
se arguye que lo que Walras definía como competencia perfecta era una situación de mercado en la
que un gran número de individuos interactuaban libremente pero no como tomadores pasivos de
precios, pues ellos mismos colocaban los precios a los que estaban dispuestos a comprar o vender.
Más aún, una cita como la anterior de Walras parecería confirmar esa percepción.
15 Por su parte, si algún agente del mercado sí tiene influencia sobre algún precio del mercado,
entonces el mercado funciona bajo competencia imperfecta (por ejemplo, impuestos, subsidios,
monopolios, oligopolios, etc.). Sobre esto discutiremos más adelante en el curso (semanas 9 a 11).
8
Introducción: sobre la economía neoclásica
en el mercado; y segundo, la completa eliminación de cualquier oportunidad para un individuo de beneficiarse en el intercambio a expensas de su contraparte o
de cualquier otro. No cabe duda de que bajo esta mirada, el sistema de mercado competitivo es profundamente moralista; o, al menos, en términos de la moral
individualista y burguesa de la Europa del siglo XIX.
4.
La institución de mercado bajo competencia
perfecta
En resumen, un mercado bajo competencia perfecta se caracteriza por:
a) Un conjunto de mercancías (bienes y servicios) que son “escasas”; es decir,
escasas en número y deseadas. Si es necesario especificarlo, cada mercancía
estará determinada por fecha y lugar16 .
b) Un espacio geográfico (o virtual) en donde los agentes (consumidores y productores) llevan a cabo las transacciones de las mercancías.
c) Los precios de cada una de las mercancías son tomados por los agentes (consumidores y productores) del mercado, de manera paramétrica. Es decir, el precio
es un dato arrojado por el mercado en su funcionamiento agregado, pero no es
determinado, de manera unilateral, por ningún agente de la economía.
d) Las mercancías y sus precios son completamente conocidos por los agentes del
mercado (información simétrica). En la “práctica”, esto significa que si un agente
va a tomar su decisión de consumo o producción y no conoce algún precio, puede
averiguarlo, sin costo alguno, en el mercado. Sin embargo, esta aparentemente
grande cantidad de información no puede ser estratégicamente importante para
los agentes.
e) Los precios de mercado estarán formados por la igualación de la oferta y la
demanda del mercado.
Esta institución del mercado competitivo se creará a través de los derechos adquiridos por los agentes (ingreso en los consumidores (en dinero con respaldo del
Estado) y tecnología en los productores). La existencia de estos derechos develan
el único papel que desempeñará el Estado en un mercado bajo competencia perfecta: establecer el marco jurídico y ser el garante para darle respaldo legal a las
transacciones mercantiles17 .
16 Por ejemplo, la carne de vaca (así pueda ser proveída en una cantidad limitada) no sería
una mercancía de estas, en una economía conformada completamente por vegetarianos; y el aire
limpio tampoco lo será en una economía con abundante cantidad de él, aunque es deseado.
17 No sobra anotar que antes del comienzo del siglo XX, las escuelas de economía estaban adscritas a las escuelas de Derecho.
5. Nota final
5.
9
Nota final
A partir del trabajo de los pioneros muy brevemente descritos aquí, aquellos seguidores sólo interesados en teoría pura, marcaron un derrotero de desconexión con
sus trabajos en teoría pura y sus pretensiones sociales y de ciencia moral. Esto sería
parcialmente responsable de que, en adelante, el estudio de la economía neoclásica
se dividiera entre las aproximaciones normativa y positiva y, además, se allanó el
camino para que falsearan el modelo neoclásico de mercado, presentándolo como
la restauración de la teoría liberal económica. Hicieron del mercado competitivo
y su asignación (que, como veremos, es eficiente en cierto sentido), la base objetiva científica para comparar todo tipo de problemas sociales y económicos: si
una política económica fallaba, entonces la razón era que alguna de las hipótesis
de funcionamiento del mercado competitivo, no se cumplía: había una “falla” de
mercado.
Y este programa de investigación (sobre el cual los pioneros no habrían coincidido),
comenzaría, principalmente, con la hoy conocida como “tradición paretiana”, que
tuvo su inspiración en el Manuel d’Économie Politique (1906) del sucesor de Walras
en Lausanne: el italiano Vilfredo Pareto. Y también, entre otros, el inglés John
Hicks, al estudiar el problema del mercado competitivo planteado por los pioneros,
se inspiró mucho en el trabajo de Pareto, y en su clásico e influyente Value and
Capital (1939b), así lo confirmó.
Posteriormente, la visión paretiana-hicksiana del trabajo original de los pioneros
neoclásicos sería apuntalada por la saga de tratados clásicos Traité d’Économie
Pure de Maurice Allais (1943), el Foundations of Welfare Economics de Oskar
Lange (1942) y el Foundations of Economic Analysis de Paul Samuelson (1947).
No hay duda de que la segunda parte del siglo XX fue de predominio de una
teoría neoclásica basada en la visión paretiana-hicksiana, que oscureció, segmentó,
homogeneizó e, inclusive, esterilizó una parte sustancial del aporte original de los
pioneros. Y ya no fue más la Economía una ciencia pura, un arte y una ciencia
moral con fines de veracidad, interés material y justicia como pretendían algunos
de ellos.
Y aún así, hoy la enseñamos. Y la enseñamos debido a que muchos creen que ayuda
a pensar numerosos problemas económicos fundamentales como el comportamiento de algunas estructuras de mercado y otras instituciones. La enseñamos porque
es la base de algunas importantes aproximaciones macroeconómicas y porque se
considera que es útil y conveniente al momento de realizar trabajo empírico econométrico. Todo esto, sin ignorar la todavía persistente creencia fundamental de que
la Economía es, ciertamente, una ciencia natural similar a la Física clásica.
Nos preparamos, entonces, a comenzar a entender los principios de la teoría neoclásica (homogeneizada), convencidos de que, cualquiera sea el caso, no hay ninguna
aproximación inválida en economía. Y seguros también de que el mestizaje intelectual y analítico es la mejor forma de llegar a la comprensión cabal de los problemas
económicos desde el método científico.
Parte I
Competencia perfecta
11
Semana 1
Principios de la teoría del consumidor
1.1.
Introducción
Durante esta primera semana estudiaremos los principios básicos de la teoría del
consumidor bajo competencia perfecta (es decir, asumiendo que el consumidor vive
en una economía en donde debe aceptar los precios del mercado y nada puede hacer
para influir en ellos), haciendo particular énfasis en la epistemología que lleva a la
formación de las demandas de este agente económico, que es el objetivo central.
La teoría neoclásica logra esto mediante la maximización del gusto (deseo) por el
consumo que tiene un consumidor (que aquí llamaremos “utilidad”), pero que está
restringido por su presupuesto.
1.2.
La noción de consumidor y de utilidad
Un consumidor (en ocasiones también llamado “hogar”) es una persona, un grupo
o una familia con un propósito de consumo unificado. La teoría neoclásica del
consumo (o del consumidor) bajo competencia perfecta, busca entender el proceso
de la formación de la demanda bajo los parámetros de la economía como ciencia
natural; es decir, asumiendo a los consumidores como partículas y optimizando
cierta función para obtener las demandas.
Y el problema es: ¿cuál es esa función? Para definirla, la teoría neoclásica asume que, de alguna forma, existe un “deseo interno” del consumidor hacia las
mercancías que le produce placer (o felicidad) y que lo lleva a demandar por
ellas, pero que no está influenciado por hechos exteriores al consumidor. Ese placer que le produce obtener las mercancías y consumirlas, se mide en una escala
13
14
Semana 1. Principios de la teoría del consumidor
cuantitativa de valoración uniforme, que la economía neoclásica simplifica, para
propósitos analíticos, mediante una función: ella es la función de utilidad (o utilidad cardinal) que especificamos enseguida.
1.3.
Principios de la función de utilidad
En adelante trabajaremos, fundamentalmente, con dos mercancías, x e y, aunque
todo es posible entenderlo (y lo haremos ocasionalmente) en el caso de una sola
mercancía, o extenderlo, inmediatamente, a tres o más mercancías. Sin embargo,
para nuestro propósito, en este texto, de estudiar economías bajo el criterio del equilibrio parcial, esto es suficiente, pues será usual interpretar a x como la mercancía
a analizar, y a y (ye) como el “resto de mercancías”. Por su parte, asumiremos aquí
que todo consumidor tiene su propia función de utilidad U (x, y) que mide, de alguna forma, la “satisfacción” (“placer”, “felicidad” o “bienestar”) que la “canasta” o
“cesta” de consumo (x, y) le produce (figura 1.1). Esta es la “fuerza de atracción”
o “deseo de consumo” hacia las diferentes canastas de bienes del mercado; señala
sus preferencias o gustos al momento de elegir qué consumir.
z
z = U (x, y)
y
b
(x, y)
x
Figura 1.1. Función de utilidad z = U (x, y).
Es típico asumir inicialmente y para propósitos analíticos, que U (x, y) es una función continua, monótona creciente en cada uno de sus argumentos (x e y)1 , y
cuasicóncava2 en el primer cuadrante del plano cartesiano R2 , notado mediante
R2+ = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0} [3] .
1 Es decir, si x aumenta, también aumenta U (x, y); y si aumenta y (ye), también aumenta
U (x, y).
2 Una función de utilidad cuasicóncava en el primer cuadrante del plano cartesiano R2 , se define
mediante la característica de que para todo nivel fijo de utilidad U0 , los conjuntos definidos por
S = {(x, y) | U (x, y) ≥ U0 } son convexos. Esto significa que las curvas de nivel son curvas convexas
al origen (ver Apéndice matemático (sección A.13) al final del manual), como entenderemos más
adelante.
3 En ocasiones se requerirá que la función de utilidad sea cuasicóncava estricta para que los
típicos resultados neoclásicos se tengan (ver Apéndice matemático (sección A.13) al final del
manual).
1.3. Principios de la función de utilidad
15
Ejemplo 1. (Cinco funciones típicas de utilidad)
Estas son cinco clases de funciones típicas, cada una con características particulares
como funciones de utilidad:
a) La primera función de utilidad que presentamos es la función Cobb-Douglas
U (x, y) = xα y β con α, β > 0.
b) La segunda función de utilidad es la función Leontief U (x, y) = Mín{αx, βy}
con α, β > 0 [4] .
c) La tercera función de utilidad es la función lineal U (x, y) = αx+βy con α, β > 0.
d) La cuarta función de utilidad es la función cuasilineal U (x, y) = αu(x) + βy
donde u(x) es una función cóncava estricta5 , con α, β > 0.
e) La quinta función de utilidad es la función separable U (x, y) = αu(x) + βv(y)
donde u(x) y v(y) son funciones cóncavas estrictas y α, β > 0.
Las diferencias en comportamiento de cada una de estas funciones de utilidad, se
irán develando a medida que avancemos en las cuatro primeras semanas.
1.3.1.
Hipótesis sobre las curvas de indiferencia
A partir de la función de utilidad U (x, y) es muy conveniente, desde el punto de
vista del análisis gráfico, calcularle sus correspondientes curvas de nivel de utilidad
(también llamadas curvas de indiferencia o de isoutilidad) determinadas por la
canastas (x, y) que satisfacen la ecuación U (x, y) = U0 , donde U0 es una constante
fijada de antemano (figura 1.2). Se trata de todas las canastas de consumo (x, y)
que tienen el mismo nivel de utilidad u0 ; es decir, que le producen al consumidor
la misma satisfacción U0 . Veamos algunos ejemplos de esto.
U (x, y)
y
Curva de nivel U0
x
Figura 1.2. Curvas de indiferencia U (x, y) = U0 para distintos niveles de utilidad U0 .
4 Aunque esta función fue utilizada mucho antes por Walras (1874), entre otros.
5 Ver Apéndice matemático (sección A.12) al final del texto.
16
Semana 1. Principios de la teoría del consumidor
Ejemplo 2. (Curvas de indiferencia)
a) Comencemos construyendo las curvas de indiferencia en un caso particular
(α, β = 1) de la función Cobb-Douglas: si U (x, y) = xy = U0 , con U0 > 0
cualquiera, entonces, despejando, se obtiene una colección de hipérbolas de la
forma y = U0 /x. Para dar una idea de cómo surgen estas (ver figura 1.3), basta
con hacer U0 = 1, y dibujar la hipérbola y = 1/x. Luego puede hacer U0 = 2, y
construir la hipérbola y = 2/x; etc. Variando U0 encontrará todas las curvas de
nivel. Cabe aquí advertir que si U0 = 0 entonces, a partir de xy = 0, se tendrá
que x = 0 (eje y) ó y = 0 (eje x), y así la curva de indiferencia estará conformada
por los dos ejes. Sin embargo, como veremos, esta curva de indiferencia no es,
usualmente, trascendental.
y
U0 = 0
U0 = 4
U0 = 3
U0 = 2
U0 = 1
U0 = 0
x
Figura 1.3. Curvas de indiferencia para una función de utilidad tipo Cobb-Douglas.
b) Ahora construyamos las curvas de indiferencia para la función de utilidad de
tipo Leontief U (x, y) = Mín{x, y} con α = β = 1. Estas satisfacen la ecuación
Mín{x, y} = U0 para U0 fijo. Las escuadras de la figura 1.4 describen bien estas
curvas de nivel.
y
y=x
U0 = 2
U0 = 1
x
Figura 1.4. “Curvas” de indiferencia en un caso Leontief.
Para construirlas, basta que el lector, por ejemplo, comience colocando U0 = 1,
y pase a encontrar todas las canastas (x, y) tales que Mín{x, y} = 1. Entonces
1.3. Principios de la función de utilidad
17
encontrará puntos tales como (1, 1), (1, 2), (1, 3), . . . , etc; y también puntos tales como (2, 1), (3, 1), (4, 1),. . . , etc. Una vez el lector coloque estos puntos en
la figura 1.4, encontrará la escuadra predicha en esa figura. Y, por supuesto,
podemos hacer lo mismo con cualquier nivel U0 > 0 diferente de 1, para construir todas las curvas de nivel correspondientes a la función de utilidad de tipo
Leontief. ¿Cuál será la curva de nivel U0 = 0 en este caso?
c) Pasemos ahora a construir las curvas de nivel de un caso particular de una
función lineal: U (x, y) = x + y (α, β = 1). Estas resultan al resolver la ecuación
x + y = U0 y, por tanto, estas curvas de nivel son rectas de la forma y =
U0 − x (ver figura 1.5). Notemos que aquí la “curva” de nivel U0 = 0 consiste
únicamente de la canasta (0,0).
y
U0 = 3
U0 = 2
U0 = 1
x
Figura 1.5. Curvas de indiferencia para una función de utilidad lineal.
√
d) Las curvas de indiferencia de la función de utilidad
√ cuasilineal U (x, y) = x + y
se construyen escribiendo la ecuación
U (x, y) = x + y = U0 . De donde (figura
√
1.6) se obtiene que y = U0 − x (parábolas). También aquí, la curva de nivel
U0 = 0 es la canasta (0,0).
y
3.0
2.5
U0 = 3
2.0
1.5
U0 = 2
1.0
0.5
1
2
3
x
Figura 1.6. Curvas de indiferencia para la función de utilidad cuasilineal U (x, y) = x1/2 + y.
e) Finalmente,√ las curvas de indiferencia de la función de√ utilidad separable
√
√
U (x, y) = x + y, se construyen haciendo U (x, y) = x + y = U0 . De
18
Semana 1. Principios de la teoría del consumidor
√
donde se obtiene que y = (U0 − x)2 . Estas curvas de indiferencia son semejantes a las curvas de la figura 1.6. ¿Cuál es la curva de indiferencia de nivel
U0 = 0? N
Ahora: la hipótesis de que U (x, y) sea una función continua, monótona creciente
estricta en cada uno de sus argumentos (x e y)6 y cuasicóncava en el primer cuadrante del plano cartesiano R2 , conlleva, inmediatamente, cierto comportamiento
general, también típico neoclásico, de las curvas de indiferencia:
i) Las curvas de indiferencia son continuas. Esta característica, trasladada de la
función de utilidad (que es continua) a las curvas de indiferencia, nos asegura,
de manera intuitiva, que ninguna curva de indiferencia puede “estar rota”
(figura 1.7)7 . En otras palabras, no habrá ningún cambio “brusco” en utilidad.
y
x
Figura 1.7. Hipótesis de continuidad de las curvas de indiferencia. Es decir, las curvas de
indiferencia no pueden estar “rotas”.
ii) Un aumento en las cantidades consumidas –de la mercancía x y de la mercancía
y (ye)– implica un aumento de la utilidad. Por lo tanto, las curvas “más
lejanas” (en el sentido noreste) con respecto al origen son las que tienen mayor
nivel de utilidad. A esta característica la llaman monotonicidad de las curvas
de indiferencia y es el resultado de que la función de utilidad sea monótona
creciente en cada uno de sus argumentos (x e y) (figura 1.8).
iii) Debe observarse que también las curvas de indiferencia satisfacen la condición
de transitividad (que se ilustra en la figura 1.8) señalando, por ejemplo, que,
dado que la canasta A es menos preferida que la canasta B (pues A está en
6 Es decir, si x aumenta (aunque y (ye) esté fijo) entonces U (x, y) aumenta; y si y (ye) aumenta
(aunque x esté fijo) entonces U (x, y) aumenta. Sin embargo, algunas funciones de utilidad no
satisfacen esta condición, sino únicamente que si ambas cantidades (x e y) aumentan entonces
la utilidad aumenta como en el caso de la función de utilidad Leontief. A este último tipo de
funciones les aplicaremos todos los criterios sobre la teoría que sean posibles, sin ignorar el hecho
de que no satisfacen plenamente la condición de monotonicidad creciente estricta en cada uno de
sus argumentos.
7 Sin lugar a dudas esta hipótesis de continuidad sobre la función de utilidad y, por ende, sobre
las correspondientes curvas de nivel es un artificio analítico que la economía neoclásica impone
sobre sus elementos matemáticos para que haya mayor “tratabilidad analítica”. Es decir, para que
los resultados deseados puedan obtenerse recurriendo a las herramientas del Cálculo diferencial.
1.3. Principios de la función de utilidad
19
una curva de indiferencia inferior a la curva de indiferencia en la que está B),
y la canasta B menos preferida que la canasta D, entonces la canasta A es
menos preferida que la canasta D.
y
b
U0 = 0
b
B
D
b
b
E
U0 = 4
C
A
b
U0 = 3
U0 = 2
U0 = 1
U0 = 0
x
Figura 1.8. La canasta A es menos preferida que la canasta B y que la canasta C (es decir, la
canasta A tiene menos utilidad (U0 = 1)). Por su parte, la canasta B y la canasta C son
indiferentes –ambas tienen la misma utilidad (U0 = 2)–. Etc.
iv) (Hipótesis de la dieta balanceada) Las curvas de indiferencia satisfacen la condición de “convexidad al origen” que, en ocasiones, se interpreta así (figura
1.9): las combinaciones convexas λA + (1 − λ)B (asumiendo 0 < λ < 1) de las
dos canastas A y B son “preferidas o indiferentes” (en términos de la función
de utilidad) que la “especialización” consistente en escoger la canasta A o la
canasta B, que están en los extremos de la recta.
y
A
λA + (1 − λ)B
Combinaciones convexas
b
B
x
Figura 1.9. Convexidad de las preferencias: las combinaciones convexas son “preferidas” a la
especialización (“Hipótesis de la dieta balanceada”). Observe que si λ = 1 entonces la
combinación convexa es la canasta A en un extremo de la recta; y si λ = 0 entonces la
combinación convexa es la canasta B del otro extremo de la recta. Obviamente, si λ = 1/2 la
combinación convexa corresponde a la canasta promedio (1/2)A + (1/2)B que se ubica
exactamente en la mitad del segmento de recta; etc.
Por ejemplo, si este consumidor tuviera que elegir, por un lado, entre 10 manzanas y 2 libras de arroz –notada por la canasta (10,2)–, y, por otro lado, entre
20
Semana 1. Principios de la teoría del consumidor
2 manzanas y 10 libras de arroz –notada por la canasta (2,10)–, la característica de convexidad al origen de las curvas de indiferencia de este consumidor,
nos indicará que, en lugar de esas dos canastas, preferiría “mezclarlas” consumiendo, por ejemplo, la canasta promedio 1/2(10, 2) + 1/2(2, 10) = (6, 6).
Es decir, 6 manzanas y 6 libras de arroz. En otras palabras, los consumidores
muestran un “gusto por la variedad”. Esta condición es una consecuencia directa de la cuasiconcavidad de la función de utilidad (ver el Apéndice matemático
(sección A.13) al final del libro).
1.4.
La restricción presupuestaria
Ahora pasamos al segundo instrumento (después de la función de utilidad o, equivalentemente, de sus curvas de indiferencia) en la teoría del consumidor. Esta es la
restricción presupuestal (o presupuestaria) que se define mediante la ecuación
p1 x + p2 y = M
donde p1 > 0 es el precio por unidad del bien x dado por el mercado; p2 > 0
es el precio por unidad del bien y (ye) también dado por el mercado; y M es el
presupuesto (renta) que tiene el consumidor para gastar en las mercancías x e y.
En principio, el presupuesto M no depende de los precios de los bienes x y y [8] .
Esta ecuación define todas las canastas (x, y) que se pueden consumir al gastarse
todo el presupuesto M , bajo los precios p1 y p2 .
y
M
p2
p1 x + p2 y = M
(recta presupuestal
con pendiente −p1 /p2 )
M
p1
x
Figura 1.10. Restricción presupuestal: está compuesta por todas las canastas (x, y) que puede
adquirir un consumidor con presupuesto M , a los precios de mercado p1 y p2 .
8 Siguiendo a Alfred Marshall (1890), el propósito inicial de la hipótesis de que M no dependa
de los precios de mercado (por ejemplo, de los salarios y de rentas) es que el enfoque principal
de este trabajo es el equilibrio parcial, y asumimos que los mercados de las mercancías en que
está interesado el consumidor, están aislados (por ejemplo, del mercado laboral o de capitales).
Esto se diferencia del equilibrio general que es cuando estos mercados están integrados. De otro
lado, se ha asumido que la restricción presupuestal es una igualdad de la forma p1 x + p2 y = M y
no una desigualdad de la forma p1 x + p2 y ⩽ M (indicando esto último que el consumidor no se
gasta necesariamente todo su presupuesto), debido a que, en general, en nuestro modelo, a mayor
consumo de mercancías, mayor satisfacción (utilidad). Luego el consumidor querrá utilizar todo
el presupuesto si quiere maximizar la utilidad.
1.4. La restricción presupuestaria
21
Obsérvese que la recta que define la restricción presupuestal también se puede
escribir de la forma y = −(p1 /p2 )x + (M/p2 ). Por ello, cuando x = 0 (es decir, no
consumimos nada del bien x) obtenemos que el consumo del otro bien es y = M/p2 ,
que es el intercepto con el eje y (ye); y cuando y = 0 –es decir, no consumimos nada
del bien y (ye)– obtenemos, despejando, que la cantidad consumida del otro bien
es x = M/p1 , que es el intercepto con el eje x (figura 1.10). Sobre la restricción
presupuestal podemos efectuar estática comparativa (ceteris paribus) de la siguiente
manera:
i) Cambio de M en la restricción presupuestal (figura 1.11): si aumenta el presupuesto M (permaneciendo constantes los precios p1 y p2 ), la recta presupuestaria se desplazará hacia arriba de manera rígida; pero si, por el contrario, el
presupuesto M disminuye, la recta presupuestaria se desplazará hacia abajo.
y
′
M
p2
Recta presupuestal con
′
′
aumento de M a M : p1 x + p2 y = M
M
p2
p1 x + p2 y = M
(recta presupuestal
inicial)
M
p1
′
M
p1
x
Figura 1.11. Desplazamiento de la recta presupuestal por cambio en el presupuesto M .
ii) Cambio de p2 en la restricción presupuestal (figura 1.12): Si aumenta el precio p2 , la proporción M/p2 disminuirá (asumiendo que M y p1 permanecen
fijos); y por lo tanto, la recta presupuestaria girará en sentido contrario de las
manecillas del reloj, tal como aparece en la figura 1.12. Si, por el contrario, el
precio p2 disminuye, entonces la proporción M/p2 aumentará (asumiendo, de
nuevo, que M permanece fijo); y, por lo tanto, la recta presupuestaria girará
en el sentido de las manecillas del reloj.
Aumento en p2
y
M
p2
Recta presupuestal con
′
aumento de p2 a p2
p1 x + p2 y = M
(recta presupuestal
inicial)
M
′
p
2
M
p1
x
Figura 1.12. Rotación de la recta presupuestal ante un aumento en el precio p2 .
22
Semana 1. Principios de la teoría del consumidor
iii) Cambio de p1 en la restricción presupuestal asumiendo que M y p2 permanecen fijos (figura 1.13): El comportamiento gráfico es similar al aumento o
disminución de p2 tratado en II) arriba.
y
Recta presupuestal con
′
aumento de p1 a p1
M
p2
p1 x + p2 y = M
(recta presupuestal
inicial)
M
′
p1
x
M
p1
Aumento en p1
Figura 1.13. Rotación de la recta presupuestal ante un aumento en el precio p1 .
Con lo anterior en mente, en la figura 1.14 podemos observar, en algunos casos,
las oportunidades de consumo perdidas (o ganadas), debido a un cambio unilateral
(ceteris paribus) de parámetros.
y
Recta presupuestal
p1 x + p2 y = M
x
y
y
Canastas ahora imposibles
(en gris) por el aumento
del precio p1
x
Canastas ahora imposibles
(en gris) por la disminución
del presupuesto M
x
Figura 1.14. Oportunidades de consumo perdidas por cambio en las variables de la recta
presupuestal.
1.5. El problema principal del consumidor
1.5.
23
El problema principal del consumidor
Uniendo ahora las dos piezas claves en la teoría del consumidor (función de utilidad y restricción presupuestaria), llegamos al problema principal de la teoría del
consumo bajo competencia perfecta:
Maximizar
x,y≥0
sujeta a
U (x, y)
p1 x + p2 y = M
Es decir, maximizar la satisfacción en el consumo, sujeta al presupuesto que se
tenga disponible y a los ya aceptados precios del mercado (figura 1.15). El objetivo
central al resolver este problema es encontrar sus soluciones óptimas (x∗ , y ∗ ), que,
en adelante, llamaremos las demandas del consumidor por los bienes x e y. Así se
han construido las herramientas epistemológicas que nos dan cuenta de cómo se
pueden formar las demandas en una economía bajo competencia perfecta.
El proceso específico consiste (ver figura 1.15) en fijar la recta presupuestaria
p1 x + p2 y = M , e ir aumentando paulatinamente la utilidad hasta alcanzar el
máximo de esta. Y esto se logra en la figura subiendo las curvas de nivel en el
sentido noreste, lo más lejos posible del origen, pero sin despegarse definitivamente
de la recta presupuestal. Veamos unos ejemplos de ello.
y
Demandas (x∗ , y ∗ )
U (x, y) = U (x∗ , y ∗ )
mi
uti ento
lid
de
ad
la
b
p1 x + p2 y = M
Cr
eci
y∗
x∗
x
Figura 1.15. El problema principal del consumidor. La solución (x∗ , y ∗ ) al problema, indica las
demandas del consumidor por ambos bienes.
Ejemplo 3. (Demandas para utilidad de tipo Cobb-Douglas)
Resolvamos del problema de consumidor
Maximizar
x,y≥0
sujeta a
xy
p1 x + p2 y = M
24
Semana 1. Principios de la teoría del consumidor
Solución.
La restricción p1 x + p2 y = M la podemos reducir a
y=
M − p1 x
p2
(1.1)
Y con esto, colocamos nuestro problema de optimización en la siguiente forma:
M x − p1 x2
x(M − p1 x)
=
Maximizar
x≥0
p2
p2
Derivando esta función cóncava estricta con respecto a x, e igualando a cero, obtenemos que:
M − 2p1 x
=0
p2
y así
M − 2p1 x = 0
o bien,
x=
M
2p1
y, reemplazando en la ecuación (1.1), llegamos a que y = M/2p2 . Y así obtenemos
las demandas marshallianas (en honor de Alfred Marshall [1842–1924]) de este
consumidor:
M
M
x∗ =
;
y∗ =
2p1
2p2
Notemos que estas demandas son directamente proporcionales al presupuesto M ,
e inversamente proporcionales a su propio precio. Y, además, si el presupuesto y
los precios se multiplican por la misma cantidad (es decir, se duplican, se triplican,
etc.), las demandas marshallianas no cambian. Esto último sucede siempre con las
demandas marshallianas, ya que al satisfacer la restricción presupuestaria definida por p1 x + p2 y = M , aquellas no cambiarán si los precios y el presupuesto se
multiplican simultáneamente por un mismo número positivo cualquiera. Es decir,
el consumidor competitivo no padece de “ilusión monetaria”.
y
Demandas
M
M
(x∗ , y ∗ ) = 2p
, 2p
1
y∗
b
x∗
2
x
Figura 1.16. Demandas en un caso Cobb-Douglas.
1.5. El problema principal del consumidor
25
Ejemplo 4. (Demandas para utilidad de tipo Leontief)
Si la función de utilidad a maximizar es U (x, y) = Mín{x, y}, el problema planteado
por el consumidor será:
Maximizar
x,y≥0
sujeta a
Mín{x, y}
p1 x + p2 y = M
Sin embargo, este problema no puede resolverse utilizando análisis marginalista (es
decir, con derivadas) como en el caso Cobb-Douglas, y tendremos que recurrir al
método gráfico. En la figura 1.17 se ve que al subir las escuadras de isoutilidad en
el sentido noreste, las demandas marshallianas serán iguales, pues los vértices de
las escuadras de isoutilidad deben desplazarse siempre a lo largo de la recta y = x,
hasta que el “último” vértice intersecte la recta presupuestaria. Así, las demandas
marshallianas deben satisfacer x∗ = y ∗ . Y, por lo tanto, de la recta presupuestaria
p1 x + p2 y = M se obtiene que:
p1 x∗ + p2 x∗ = M
De manera que, despejando x∗ , se llega a que las demandas marshallianas estarán
dadas por:
M
[9]
x∗ =
= y∗
p1 + p2
y
y=x
Demandas
x∗ = y ∗ = p M
+p
1
2
b
x
Figura 1.17. Demandas en un caso Leontief.
Observamos que estas demandas dependen de ambos precios (p1 y p2 ), algo que
no sucede, por ejemplo, con las demandas de la función Cobb-Douglas. Lo que se
tiene aquí es que esta función es utilizada cuando existe “complementariedad” uno
a uno entre los dos bienes; por ejemplo, una cucharadita de azúcar por cada taza
9 Detrás de este proceso de optimización gráfico que conduce a demandas de la forma (x∗ , y ∗ )
con x∗ = y ∗ , está el razonamiento de que si sucediera, por ejemplo, x∗ < y ∗ , entonces
Mín{x∗ , y ∗ } = x∗ = Mín{x∗ , x∗ }. Por lo tanto, reduciendo y ∗ hasta el nivel x∗ se obtendría
el mismo nivel de utilidad pero gastando menos presupuesto. Obviamente, unas demandas x∗ ,
y ∗ donde x∗ < y ∗ no podrían ser óptimas, es decir, no podrían ser demandas marshallianas. No
sobra agregar que algo similar sucedería si x∗ > y ∗ .
26
Semana 1. Principios de la teoría del consumidor
de café. Así, si el azúcar y el café son complementarios para este consumidor (su
gusto lo obliga a acompañar uno con otro) entonces el precio de un bien afectará
la demanda del otro bien. Algo similar ocurre, en general, con los automóviles y la
gasolina.
Ejemplo 5. (Demandas para la utilidad lineal)
Como para U (x, y) = x + y tampoco es posible llevar a cabo análisis con derivadas,
entonces procedemos notando que si p2 > p1 , el consumidor se especializará en el
consumo del bien con precio más bajo; es decir, gastará todo el presupuesto en
el bien x, y nada en el bien y (ye). En efecto: llevando las rectas de indiferencia
lo más lejanas posibles (moviéndose hacia el noreste) pero sin abandonar la recta
presupuestaria, encontramos que en el punto A de la figura 1.18 las demandas son:
x∗ =
M
p1
y∗ = 0
;
Similarmente, si p1 > p2 entonces:
x∗ = 0
M
p2
y∗ =
;
Ya en el caso p1 = p2 , las demandas x∗ , y ∗ quedan determinadas únicamente por la
restricción presupuestaria p1 x + p2 y = M , es decir, por x + y = M
p1 , y el consumidor
podrá elegir cualquier canasta (x, y) que satisfaga esta condición.
ci
en
ef
er
pr
i
im
de
la
s
C
c
re
to
en
as
y
Recta
presupuestaria
Demandas
x∗ = pM ; y ∗ = 0
1
A
x
Figura 1.18. Demandas en el caso lineal cuando p2 > p1 .
Es usual recurrir a este tipo de función cuando el consumidor adquiere uno u otro
bien de manera indiferente. Es decir, cuando un bien sustituye perfectamente al otro
en el consumo, sin ninguna diferencia esencial. Esto es lo que ocurre, de manera
aproximada y para algunas personas, con las gaseosas Pepsi y Coca-Cola; con la
mantequilla y la margarina; con el café y el té; e, inclusive, con la cerveza y el vino.
1.6. Análisis marginalista
1.6.
27
Análisis marginalista 10
Ahora pasamos a caracterizar la ecuación marginalista general que deben satisfacer
las demandas de un consumidor cuando, además de las condiciones antes explicitadas, la función de utilidad es diferenciable con continuidad y cuasicóncava estricta
(lo que es muy usual en aplicaciones). Y aunque hasta ahora hemos resuelto de
manera simplista el problema primal de este consumidor insertando la condición
de presupuesto y = −(p1 /p2 )x+M/p2 en la función de utilidad, para después pasar
a derivar (si es posible) e igualar a cero, el procedimiento que ahora comenzaremos a explicar nos llevará a entender mejor (y de una manera general) lo que, en
estos casos importantes, está involucrado al interior del cálculo de sus demandas.
Veamos.
Recobrando inicialmente el problema del consumidor:
Maximizar
x,y≥0
sujeta a
U (x, y)
p1 x + p2 y = M
ahora lo resolvemos en forma general recurriendo al método de los multiplicadores
de Lagrange. Para ello requerimos que la función U (x, y) sea cuasicóncava estricta y
diferenciable con continuidad (es decir, derivadas parciales continuas) en el primer
cuadrante del plano R2 [11] . Escribimos el lagrangiano
L = U (x, y) + λ(M − p1 x − p2 y)
Y derivamos con respecto a x, y (ye) y λ e igualamos a cero las tres ecuaciones:
∂L
∂U
=
− λp1 = 0
∂x
∂x
∂U
∂L
=
− λp2 = 0
∂y
∂y
∂L
= M − p1 x − p2 y = 0
∂λ
Esto nos lleva (dividiendo las dos primeras ecuaciones término a término después
de simplificarlas) a las ecuaciones de equilibrio del consumidor:
∂U
∂x
∂U
∂y
=
λp1
p1
=
λp2
p2
;
p1 x + p2 y = M
10 Los resultados que siguen podrían no ser válidos si la función de utilidad no es diferenciable
con continuidad y cuasicóncava estricta. Por ello, casos como los de la función de utilidad de tipo
Leontief o la función lineal quedan excluidas de este análisis. Para ellas se tendrá que recurrir a un
método alternativo (por ejemplo, al método gráfico o a técnicas de optimización como el método
Kuhn-Tucker). Este último es una generalización del método de Lagrange que utilizamos aquí,
pero permite encontrar soluciones que pueden estar sobre los ejes x ó y (ye) –ver, por ejemplo,
Monsalve (ed.) (2010), vol. III–.
11 Ver el Apéndice matemático (Sección A.5) al final del libro.
28
Semana 1. Principios de la teoría del consumidor
/∂x
Al término ∂U
∂U /∂y se le llama “tasa marginal de sustitución entre las mercancías
x e y”, por razones que entenderemos enseguida. Y, por lo tanto, la ecuación de
equilibrio fundamental es:
∂U
∂x
∂U
∂y
=
p1
p2
que se conoce como ecuación de equilibrio de Jevons (Jevons, 1871) y se lee: “tasa
marginal de sustitución igual a la relación (o razón) de precios”. En la figura 1.19
se explica gráficamente la ecuación de Jevons. En el punto A de la recta presupuestaria, el consumidor puede ceder un poco del bien y (ye) y recibir del mercado una
cantidad adicional del bien x, que lo ubica en el nuevo punto de consumo B. Este
también está en la recta presupuestaria pero notemos que ahora está en un nivel
superior de utilidad (curva de indiferencia superior).
y
−
b
A
b
B
∂U/∂x
pendiente de la curva
=
de nivel en el punto E(x∗ , y ∗ )
∂U/∂y (x∗ ,y∗ )
C
b
E(x∗ , y ∗ )
b
b
F
−
p1
pendiente
=
de la recta
p2
x
Figura 1.19. En la asignación A es posible ir al mercado y cambiarla (a los precios corrientes)
por la asignación B que da más utilidad, etc. Hasta llegar al punto E(x∗ , y ∗ ).
De la misma forma, en el mercado el consumidor puede ir entregando y recibiendo a
cambio hasta llegar al punto E(x∗ , y ∗ ) que es el de equilibrio y en donde deberá darse
que la tasa marginal de sustitución es igual al nivel relativo de precios (ecuación
de Jevons). Observemos que este punto de equilibrio sí le maximiza la utilidad al
consumidor, puesto que si este intentara seguir intercambiando en el mercado y
pasara a un punto de la recta presupuestaria como F, entonces llegaría a un nivel
de utilidad inferior.
Pero entonces: ¿qué mide la tasa marginal de sustitución? Veamos esto. La curva
de nivel que pasa por el punto de equilibrio E(x∗ , y ∗ ) del consumidor –es decir, que
1.6. Análisis marginalista
29
pasa por las demandas marshallianas (x∗ , y ∗ )–, satisface la ecuación
U (x, y) = U (x∗ , y ∗ )
siendo U (x∗ , y ∗ ) = U0 una constante. Tomando entonces diferenciales totales (ver el
Apéndice matemático (sección A.5) al final del texto) a ambos lados de la ecuación
U (x, y) = U0 se obtiene que:
∂U
∂U
dx +
dy = 0
∂x
∂y
ó
∂U
∂U
dx = −
dy
∂x
∂y
Y, de allí, obtenemos (figura 1.20) que:
dy
∂U/∂x
=−
∂U/∂y
dx
Es decir, las tasas marginales de sustitución coinciden (en valor absoluto) con las
pendientes de las rectas tangentes a las curvas de nivel. Así, la tasa marginal de
sustitución mide la cantidad que debe aumentarse de y (ye) al disminuir “una
unidad”12 de x, pero siempre manteniéndose en la misma curva de utilidad. Lo
importante aquí es que, en equilibrio, esta tasa marginal de sustitución es, exactamente, la relación de precios p1 /p2 dada por el mercado (ver figura 1.20).
y
U (x, y) = U0
∂U/∂x
∂U/∂y
1
x
Figura 1.20. Descripción gráfica de la tasa marginal de sustitución.
La ecuación de equilibrio de Jevons (que algunos autores pioneros neoclásicos la
asimilaban, para el consumo, a lo correspondiente a una “ecuación de calor”, o a una
“ecuación termodinámica”) es una igualdad entre una tasa subjetiva de intercambio
con una tasa real de intercambio en el mercado. Es decir, es la igualdad entre un
“costo de oportunidad subjetivo” (del consumidor) con un “costo de oportunidad
12 Realmente no es una unidad sino un diferencial dx.
30
Semana 1. Principios de la teoría del consumidor
objetivo” (mercado), pues la tasa marginal de sustitución nos dice cuánto vale el
bien 1 en términos del bien 2 para el consumidor (tasa subjetiva), mientras que
el precio relativo nos dice cuánto vale el bien 1 en términos del bien 2 para el
mercado (tasa objetiva). En definitiva, el consumidor deberá “adaptarse bien” al
mercado para poder maximizar sus gustos, dado su presupuesto. Veamos algunos
ejemplos de aplicación directa de la ecuación de Jevons para calcular las demandas
marshallianas.
Ejemplo 6. (Función de utilidad Cobb-Douglas generalizada)
Para resolver el problema del consumidor de tipo Cobb-Douglas
Maximizar
x,y≥0
sujeta a
xα y β
p1 x + p2 y = M
escribimos directamente la ecuación “tasa marginal de sustitución = relación de
precios”:
∂U/∂x p1
=
∂U/∂y
p2
Ecuación de equilibrio (de Jevons)
que, en este caso, es:
p1
αxα−1 y β
=
βxα y β−1
p2
de donde obtenemos, cancelando términos, que:
p1
αy
=
βx
p2
y así,
y
βp1
=
x
αp2
Ahora colocamos esta ecuación en la restricción presupuestaria p1 x + p2 y = M , y
obtenemos
βp1 x
=M
p1 x + p2
αp2
Y despejando x, se llega a:
x∗ =
αM
(α + β)p1
Luego, llevando esto a la restricción presupuestal y despejando y (ye), obtenemos
que:
βM
y∗ =
(α + β)p2
Con ello hemos encontrado las demandas marshallianas utilizando la ecuación de
Jevons. Notamos en este caso, que cada demanda sólo depende de su propio precio
(ver figura 1.21).
Aumento en p2
1.6. Análisis marginalista
31
y
y
M
p2
M
p2
M
′
p2
A
b
b
b
B
A
bB
x
M
p1
M
p1
M
′
p1
x
Disminución en p1
Figura 1.21. Características de las demandas para las funciones de utilidad Cobb-Douglas.
Ejemplo 7. (Función de utilidad separable)
En el caso
√
Maximizar
x,y≥0
sujeta a
la ecuación de Jevons es:
x+
√
y
p1 x + p2 y = M
√
y
p
√ = 1
p2
x
O bien,
y
=
x
p1
p2
2
Ahora colocamos esta ecuación en la restricción presupuestaria p1 x + p2 y = M , y
obtenemos
2
p1
p1 x + p2
x=M
p2
y así,
x∗ =
M p2
p1 p2 + p1 2
y∗ =
M p1
p1 p2 + p2 2
y, por tanto,
Notemos que las dos demandas dependen ahora de ambos precios y del
presupuesto.
32
1.7.
Semana 1. Principios de la teoría del consumidor
El caso fundamental de la función cuasilineal
Consideremos, de manera principal para nuestros objetivos, el caso general de la
“función cuasilineal” de utilidad
U (x, y) = U (x) + y
donde U (x) es una función monótona estrictamente creciente, con continuidad en
su derivada y también cóncava estricta en R++ = {x ∈ R | x > 0} [13] . Estas
condiciones de la función de utilidad U (x) caracterizan al consumidor con utilidad
marginal decreciente en el bien x; es decir, que aunque la utilidad crece indefinidamente, la utilidad marginal U ′ (x) decrece indefinidamente, mientras más se
consume del bien x [14] . Sobre esto, Walras, Jevons y Marshall escribían:
El deseo que tenemos por las cosas, o la utilidad que las cosas nos dan, disminuye
gradualmente a medida que el consumo aumenta.
Walras, Éléments, 1977, p. 461.
Cada incremento de un alimento es menos necesario o posee menos utilidad, que
el previo.
Jevons, The Theory of Political Economy, 1871, cap. III, §16.
La utilidad marginal de algo para cualquier persona, disminuye con cada aumento
en la cantidad que ya tiene de ella.
Marshall, Principles of Economics, 1920, p. 79.
Este tipo de función de utilidad cuasilineal es importante porque concentra su
atención en el comportamiento de la mercancía x, dejando la variable y (ye) para
el “resto” del consumo. A esta variable y (ye), Marshall la llamaba “dinero” y Hicks
la llamaba “poder adquisitivo general”, por razones que entenderemos enseguida15 .
13 Ver el Apéndice matemático (sección A.11) al final del texto.
14 La razón en esto es que U ′ > 0 y U ′′ < 0. La primera es la condición de monotonicidad
estrictamente creciente y la segunda condición es la de concavidad estricta. A este criterio se le
conoce en la literatura como la “ley de la utilidad (marginal) decreciente”.
15 Esta hipótesis marshalliana de que la variable “y” es “dinero”, tiene una formulación formal
muy precisa en la microeconomía moderna: se llama el “teorema de la mercancía compuesta”
–Hicks (1939), Leontief (1936)–, que muestra que si estamos interesados en modelar un mercado
particular aisladamente, lo podemos hacer siempre que los precios de las otras mercancías (en este
caso es sólo una (“dinero”)) se muevan en tándem (es decir, los precios de las otras mercancías
suben todas o bajan todas).
1.7. El caso de la función cuasilineal
33
Escribiendo la ecuación de equilibrio de Jevons16 para este caso, obtenemos que:
U ′ (x)
p1
=
1
p2
ó
U ′ (x) =
p1
p2
Si se asume p2 = 1 (numerario medido en “dinero”), entonces se llega a la ecuación
de equilibrio del consumidor:
U ′ (x) = p1
(Utilidad marginal = precio)
Es decir, para maximizar la utilidad, un consumidor adquiere una cantidad x, de
tal forma que su utilidad marginal (derivada de la función de utilidad) sea igual al
precio del mercado (figura 1.22).
U (x)
′
Pendiente U (x∗ )
Función cóncava: utilidad marginal
decreciente como típica hipótesis
p1
1
neoclásica
x∗
x
Figura 1.22. Decisión de consumo de un hogar que sólo demanda un bien.
En otras palabras, consume hasta que al agregar “una unidad” más, la diferencia de
utilidades coincide con el precio del mercado17 . A esta utilidad marginal, que es el
“motor” del deseo por las mercancías por parte del consumidor18 , Walras la llamaba
“rareté”; Jevons la llamaba “final degree of utility”; para Marshall era el “terminal
value-in-use”; y la Escuela Austríaca de Menger, la llamaba “Grenznutzen”. Note
que si p1 crece, entonces, dada la concavidad estricta de la función de utilidad
(utilidad marginal estrictamente decreciente), la cantidad consumida x, disminuye
(ver figura 1.23).
16 Aquí estamos asumiendo que el problema de maximizar la función de utilidad U (x) + y sujeta
a p1 x + p2 y = M tiene solución interior x > 0, y > 0. Como se podrá ver en el ejemplo 4
de la semana 2, la solución y > 0, exigirá que el presupuesto M sea relativamente alto con
respecto a los precios. Es decir, en nuestro curso, este tipo de consumidor cuasilineal será uno que
consumirá del bien x pero también “ahorrará” parte de su presupuesto M en dinero y (ye). Sin
embargo, no sobra advertir que para presupuestos relativamente bajos, la solución óptima será
x∗ = M/p1 , y ∗ = 0. Pero en este curso estaremos repetidamente interesados en la solución con
ambas demandas positivas.
17 Recuerde el lector que, realmente, no es una unidad más, sino un diferencial (dx) más.
18 Afirma la teoría neoclásica que son los cambios (en este caso de utilidad) los que producen
“deseo” por las mercancías.
34
Semana 1. Principios de la teoría del consumidor
Observemos también que a partir de la curva inversa de demanda U ′ (x) = p, si
encontramos la función inversa de U ′ , que se escribe (U ′ )−1 , entonces la demanda
por el bien x, x∗ = (U ′ )−1 (p), no depende del presupuesto M . La razón de esto,
de acuerdo con la ecuación de Jevons, es que la utilidad marginal del bien y (ye)
es 1 (uno). De hecho, en general, esto mismo se daría si esta utilidad marginal es
constante, y para ello basta aplicar la ecuación de Jevons a una función de utilidad
cuasilineal de la forma U (x, y) = U (x) + βy donde β > 0 es constante. Por ello, en
una función cuasilineal, Marshall consideraba a esta variable y (ye) como “dinero”
y Hicks la llamaba “poder adquisitivo general”: porque cada unidad adicional de
dinero arrojaba una utilidad marginal igual, sólo ponderada por una tasa de interés
constante 19 .
U (x)
Precio p1
Precio p1
más bajo
más alto
p1
1
x∗
x∗∗
x
Figura 1.23. A mayor precio del bien, menor consumo de este. El triángulo adjunto permite
medir las pendientes de las tangentes a la curva.
En consecuencia, a partir de este momento asumiremos convenientemente que la
variable y (ye) está medida en dinero legal y, por consiguiente (para poder sumar
en las mismas unidades U (x) y y (ye) en la función cuasilineal U (x, y) = U (x) + y)
también la función√de utilidad U (x) estará medida
en dinero legal20 . Por ejem√
plo, si U (x, √
y) = x + y entonces U (x) = x, y así la curva de demanda es
U ′ (x) = 1/2 x = p, lo que conlleva, despejando x, que la demanda marshalliana
del bien x es x∗ = 1/4p2 (figura 1.24).
Otro caso, muy importante en la práctica, es cuando la función de utilidad es de
la forma U (x, y) = ax − (b/2) x2 + y con a, b > 0 fijos y x ≤ a/b 21 . Entonces
la demanda marshalliana x∗ por el bien x será dada por p = a − bx∗ , que es la
demanda recta donde el máximo precio es p = a y la máxima cantidad del bien
x es a/b (ver figura 1.25). Es decir, este consumidor se sacia con a/b unidades del
bien x, lo que muestra el problema de la satisfacción de las necesidades totales del
consumidor sin recurrir a los precios como señales de escasez.
19 El lector interesado en ampliar sobre la hipótesis marshalliana de la utilidad marginal constante del dinero, puede consultar, por ejemplo, Georgescu-Roegen (1968).
20 Aunque Marshall reconocía que esta utilidad podía medirse en dinero, no avanzó más allá en
esta idea.
21 En este caso, las condiciones sobre U (·) sólo se satisfacen en el intervalo (0, a/b).
1.7. El caso de la función cuasilineal
35
p
p
0.8
a
0.6
0.4
0.2
1
2
3
4
5
x
a/b
Figura 1.24. Demanda marshalliana del bien x,
con función de utilidad dada por
U (x, y) = x1/2 + y.
x
Figura 1.25. Demanda marshalliana del bien x,
con función de utilidad dada por
U (x, y) = ax − (b/2)x2 + y.
En su momento histórico de finales del siglo XIX todo esto se consideró, por parte
de algunos economistas, como un descubrimiento de primer nivel científico: se había
encontrado la ecuación que rige la demanda, como resultado de la utilidad marginal
decreciente. Y además, esta demanda siempre era inversamente proporcional al
precio, lo que era congruente con los datos empíricos de la mayoría de los bienes
que se transaban en el mercado. Se había “descubierto” la ley de la demanda como
consecuencia de la utilidad marginal decreciente22 .
Cabe, no obstante, precisar aquí que Marshall fue el primero en deducir la curva
de demanda a partir de una curva de utilidad separable con utilidad marginal del
dinero constante. Jevons y Walras habían mostrado antes la relación entre utilidad
y demanda pero no lo habían establecido formalmente. Y aunque Jevons postuló
las funciones de utilidad separable (sin utilidad marginal del dinero constante),
Walras sólo recurrió a las curvas de utilidad marginal decreciente como curvas de
demanda. Por ello, el que Marshall fuera pionero en utilizar funciones de utilidad
separable con utilidad marginal del dinero constante, dio origen a múltiples críticas
por parte de sus contemporáneos (y también de economistas posteriores). En su
época, Marshall se defendió asegurando que su teoría económica era una descripción
aproximada de la realidad que podía aplicarse de manera eficaz, a diferencia de las
de Walras y Edgeworth quienes estaban (afirmaba él) mucho más inclinados al
formalismo y al rigor:
La función del análisis y la deducción en economía no es proveer de unas cuantas
largas cadenas de razonamiento sino proveer de cadenas cortas y sencillos lazos de
conexión.
Marshall, Principles of Economics, 1920, p. 638.
Marshall siempre defendió sus hipótesis de utilidad separable y utilidad marginal
del dinero constante sobre bases operacionales y, más aún, aseguraba que habrían
22 Una importante crítica al mecanismo de hallar demandas suponiendo que el consumidor maximiza la utilidad sujeta a la restricción presupuestaria se encuentra al señalarse la concepción
“típicamente burguesa” del individuo que aumenta su utilidad partiendo de su riqueza, en contraste con la gran masa de población en una sociedad capitalista, cuyo principal problema es el
de no morir de hambre en lugar de mejorar sus condiciones.
36
Semana 1. Principios de la teoría del consumidor
pocos problemas prácticos para los que se requiriera hacer correcciones importantes
a su teoría si se tenía en mente su objetivo práctico. Al final de cuentas, creía que
la teoría pura no ayudaría a mejorar la situación de la humanidad tan inmediata
y directamente como lo haría su teoría.
1.8.
Comportamientos de la curva de demanda
En lo que sigue, y a través de ejemplos, mostraremos que no es posible asegurar
a priori ningún comportamiento general de la demanda de un bien ante cambios
en el presupuesto y en el precio de los otros bienes. Para ello, siempre es necesario
observar cuidadosamente la función de utilidad que se está estudiando. Veamos.
Ejemplo 8.
Tomemos, por ejemplo, la demanda marshalliana del bien x de la función CobbDouglas (ejemplo 6) dada por la ecuación
x∗ =
αM
(α + β)p1
Puede notarse que, aquí, un cambio en el precio p2 del bien y (ye) no altera la
demanda del bien x, pero si el consumidor es “más rico” o “más pobre” (aumento o
disminución del presupuesto M ), podrá haber desplazamientos hacia arriba o hacia
abajo (respectivamente) de la curva de demanda (figura 1.26).
p1
Crecimiento de la demanda
cuando el presupuesto M
aumenta (es decir, cuando
el consumidor es "más rico")
αM
x = (α+β)p
1
x∗
αM
Figura 1.26. Curvas de demanda x∗ = (α+β)p
para la función de utilidad Cobb-Douglas.
1
Ejemplo 9.
Ahora tomemos la √
demanda marshalliana del bien x∗ para la función separable de
√
utilidad U (x, y) = x + y, dada por:
x∗ =
M p2
p1 p2 + (p1 )2
Aquí se tiene que si M aumenta (es decir, el consumidor es “más rico”), la demanda
x∗ se desplaza hacia arriba. Y también observamos que sucede lo mismo si aumenta
el precio p2 del bien 2. Esto último debido a que el consumidor, ante una subida
1.8. Comportamientos de la curva de demanda
37
del precio del bien y (ye), “sustituirá” en su consumo algo de este bien por un poco
del bien x (ver figura 1.27). Vale la pena, en este punto, que el lector observe la
diferencia entre este tipo de comportamiento de la demanda y el presentado en el
ejemplo anterior de la demanda de la función Cobb-Douglas.
p1
p1
Desplazamiento de la
demanda ante un
aumento del presupuesto
M
Desplazamiento de la
demanda ante un
aumento del precio p2
del bien y (ye)
x∗
x∗
p2
Figura 1.27. Comportamiento de la demanda x∗ = p pM+(p
2 para una función de utilidad
1 2
1)
separable.
Ejemplo 10.
√
Sabemos que si U (x, y) = x+y la demanda marshalliana del bien x es x∗ = 1/4p2 ,
donde p es el precio del bien x indexado en dinero (es decir, p2 = 1). Observemos
que este tipo de curva de demanda (figura 1.28) no se desplazará hacia arriba por
un aumento del presupuesto del consumidor: es inmutable ante este cambio23 .
p
No se tiene crecimiento de la
demanda x∗ cuando el
presupuesto aumenta
x∗
Figura 1.28. Curva de demanda x∗ = 1/4p2 para la función de utilidad cuasilineal.
Esto, evidentemente, contrasta con el comportamiento de las demandas presentado
en los ejemplos 8 (función de utilidad Cobb-Douglas) y 9 (función de utilidad
separable).
23 Todo esto es así porque aquí hemos asumido que p = 1. No obstante, notemos que si p
2
2
varía (por ejemplo, por un cambio de denominación en los billetes o, aún, por devaluación de la
unidad de medida del “dinero”, etc.) entonces la curva de la demanda marshalliana ascenderá a la
manera usual. Este cambio es interpretable como un aumento presupuestal pues, al fin y al cabo,
la mercancía y (ye) (que es “dinero”) y el presupuesto M están indexados en la misma unidad p2 .
38
Semana 1. Principios de la teoría del consumidor
Ejemplo 11.
Si U (x, y) = Mín{x, y} (función Leontief) la demanda marshalliana x∗ está dada
por la ecuación
M
x∗ =
p1 + p2
Entonces, ante aumentos en el presupuesto M , la curva de demanda se desplazará
hacia arriba. Sin embargo, dada la “complementariedad” de los bienes x e y (ye),
aquí ocurre que ante un aumento del precio p2 , la demanda del bien x disminuye,
haciendo que la curva de demanda se desplace hacia abajo (ver figura 1.29).
p1
p1
Desplazamiento hacia
abajo de la demanda
ante un aumento del
del precio p2 del bien
y (ye)
Desplazamiento de la
demanda ante un
aumento del presupuesto
M
x∗
x∗
Figura 1.29. Comportamiento de la demanda x∗ = p M
para una función de utilidad Leontief.
+p
1
2
Resumiendo, debemos ser cuidadosos al afirmar que “un aumento de la riqueza
desplaza la curva de demanda hacia arriba” o que “un aumento del precio del
bien y (ye) desplaza la curva de demanda del bien x hacia arriba”. Lo que hemos
estudiado aquí muestra que antes de hacer tales afirmaciones, es necesario observar
el comportamiento analítico de la función de utilidad del consumidor. Inclusive,
más adelante señalaremos un caso un tanto al margen pero radical, en el que es
posible que la demanda baje cuando baja su propio precio (bien Giffen).
Nota 1. (Divisibilidad de las mercancías)
En este punto el lector podría tener la sensación de que al calcular las demandas marshallianas de un consumidor, podría no tener sentido cantidades continuas
(por ejemplo, fracciones de bienes indivisibles). Y aunque sobre este problema discutiremos en el volumen II (Competencia bajo equilibrio general) mostrando que
la hipótesis de convexidad del conjunto de canastas no es esencial al modelo, esto
puede interpretarse convenientemente en este punto. Por ejemplo, Pareto (1909,
III, § 66) decía:
Cuando decimos que un individuo consume un reloj y un décimo, sería ridículo
tomar esas palabras al pie de la letra. El décimo de un reloj es un objeto desconocido del que no nos servimos. Pero esas palabras significan, simplemente que, por
ejemplo, cien individuos consumen 110 relojes.
1.9. Nota histórica
39
Cuando decimos que el equilibrio tiene lugar cuando un individuo consume un reloj
y un décimo, queremos decir simplemente que el equilibrio tiene lugar cuando 100
individuos consumen unos uno, otros dos relojes o más y aún ninguno, de manera
que todos en conjunto consumen alrededor de 110, y que la media es para cada
uno 1.1.
También existen interpretaciones como tiempo de uso del bien o (en el mismo
sentido de Pareto) una porción de una cantidad grande de ese bien, etc.
1.9.
Nota histórica
El concepto de “utilidad” podría seguirse hasta la antigua Grecia con una aplicación
de las filosofías epicúrea (de Epicuro [341 a.C.–270 a.C.]) y estoica, que enfatizaban
en la formación voluntaria y consciente de los gustos y capacidades de disfrute que
derivan en satisfacción. Así, el gusto de comer pan se debe un poco al pan pero
más a la capacidad de disfrutarlo y concentrar la atención en esa sensación. Pero
el punto central de esta filosofía no se detenía allí, sino que hacía énfasis en que
uno podría (y debería) entrenar el gusto y concentrar la atención en él, de tal
manera que sólo necesitara un pequeño pedazo de pan para quedar satisfecho; es
decir, proclamaban la frugalidad y no el consumo sin aliento de la teoría económica
neoclásica.
Los utilitaristas clásicos, especialmente Jeremy Bentham (1748–1832), estaban bien
advertidos del origen epicúreo del término y sus connotaciones para esta escuela
helenista. Y es precisamente a Bentham a quien se le considera el “padre del utilitarismo”, es decir, de la tradición filosófica centrada en la idea de que la acción
humana es explicable a través del deseo por alcanzar el placer y evitar el dolor.
Precisamente la reducción de placeres y dolores a una escala cuantitativa de valoración uniforme está enraizada en el sistema utilitario de Bentham: es la imagen
de una humanidad conformada por una masa de máquinas vivientes y calculantes.
Hoy no hay duda –ver, por ejemplo, Stark (1946)– de que esta fue la base de la visión neoclásica de Jevons, Edgeworth y también Menger. Por ejemplo, para Jevons
(1871) la economía es una teoría
enteramente basada en el cálculo de placer y dolor, y el objeto de la economía
es maximizar la felicidad comprando placer al más bajo costo de dolor. (Prefacio,
§24)
Sin embargo, las actitudes de Marshall y Walras no están tan comprometidas con el
utilitarismo de Bentham. Por ejemplo, la posición de Marshall hacia el utilitarismo
como teoría ética, es siempre matizada, y esto puede observarse por la progresiva
limpieza de ideas utilitaristas en sus escritos, movido por su convicción de las
implicaciones éticas de la teoría económica:
Se asume que la utilidad está correlacionada con el desear o el querer. Ya se ha explicado que los deseos no pueden medirse directamente, sino únicamente de manera
indirecta a través de los fenómenos visibles a los que ellos dan origen; y en el caso
40
Semana 1. Principios de la teoría del consumidor
que tiene que ver principalmente con la economía, están especialmente implícitos
en el precio que una persona está dispuesta a pagar por satisfacer su deseo. (. . . )
Marshall, Principles of Economics, 1920, p. 78.
Por su parte, en Walras se atisbaba el principio regidor de la satisfacción utilitarista
benthamita, pero su presencia no era explícita en tal sentido. Precisamente sobre el
cálculo de las demandas a partir de la maximización de la utilidad, Walras (1909)
decía lo siguiente:
Los fenómenos mecánicos son exteriores, pero los fenómenos económicos (de la
demanda) son interiores. Se tienen instrumentos para determinar la atracción de
los astros los unos hacia los otros, pero no se tienen para medir la intensidad de las
necesidades en las personas que intercambian. Pero no importa, puesto que cada
individuo que intercambia se encarga de operar él mismo esta medida, consciente
o inconscientemente, y de decidirlo en interior profundo. (. . . )
Que la medida sea exterior o que sea interior, en razón de que los hechos que se
van a medir sean físicos o psíquicos, no impide que exista esta medida; es decir,
que sea posible la comparación cuantitativa. (p. 323)
Y agregaba inmediatamente:
Así como las fuerzas serán la causa del espacio recorrido por un objeto, y las masas
serán la causa del tiempo empleado en recorrer ese espacio, las utilidades (y las
‘raretés’) serán la causa de la demanda24 .
Cabe observar, finalmente, que en los años posteriores a 1870, Jevons y Walras elaboraban sus teorías de la demanda (y del intercambio) dependiendo crucialmente
de la hipótesis de que la función de utilidad era aditiva; es decir, de la forma ya
estudiada U (x, y) = U (x) + V (y). En 1881, Edgeworth mostraba que esa hipótesis
era poco realista, aunque no ahondó en el problema de generalizar los tipos de
funciones de utilidad. Sin embargo, unos años más tarde, a principios del siglo XX,
Pareto (1906) y Slutsky (1915), entre otros, mostraron cómo construir una teoría
sistemática de la demanda del consumidor con funciones de utilidad no necesariamente aditivas. Y fueron ellos también quienes dieron las condiciones analíticas
para que las curvas de indiferencia fueran “convexas al origen”. Sobre lo anterior,
discutiremos un poco más en las siguientes semanas.
Ejercicios
(Observación: Los ejercicios señalados con uno (∗) o dos (∗∗) asteriscos tienen, a
juicio del autor, un nivel de dificultad un tanto o muy superior, con respecto a los
ejercicios corrientes que aparecen sin asterisco.)
24 “La ‘rareté’ es la derivada de la utilidad efectiva respecto a la cantidad poseída, exactamente
como se define la velocidad: la derivada de la distancia recorrida respecto al tiempo empleado en
recorrerla” (Walras, 1874, p. 250).
Ejercicios
41
1. Responda las siguientes preguntas:
a) ¿Por qué dos curvas de nivel de utilidad no pueden interceptarse?
b) ¿Puede ser que la restricción presupuestaria sea la misma, incluso en el
caso de hogares cuyas preferencias son diferentes?
c) ¿Por qué los precios p1 y p2 explícitos en la recta presupuestal del consumidor competitivo están medidos en precio por unidad? Es decir, ¿por
qué no pueden adquirir a precios por docena, por centena, etc., de tal
manera que a algunos consumidores les resultara menos costoso comprar
cantidades grandes del bien que quieren consumir?
2. Dibuje las curvas de indiferencia (o de isoutilidad) en el primer cuadrante
(conjunto de canastas) R2 + , para las siguientes funciones de utilidad:
a) U (x, y) = 5x + 3y
b) U (x, y) = Mín{3x, 7y}
c) U (x, y) = ln(1 + x) + y
d) U (x, y) = ln(1 + x) + ln(1 + y)
e) U (x, y) = yex
f) U (x, y) = (x − 1)(y − 1) (con x ≥ 1, y ≥ 1)
Observe cuidadosamente las diferencias entre estos tipos de curvas de indiferencia.
3. Mabel consumía 100 unidades de x y 50 unidades de y. El precio de x aumentó de 2 a 3. El precio de y permaneció en 4. ¿En cuánto tendría que aumentar
la renta de Mabel para que pueda permitirse el continuar adquiriendo exactamente 100 unidades de x y 50 unidades de y?
4. Julián tiene como función de utilidad U (x, y) = xy para los duraznos (x) y
los bananos (y). Supongamos que el precio de los duraznos es 1, el precio de
los bananos es 2 y su presupuesto es 40.
a) En un gráfico, trace la recta presupuestaria de Julián. Indique algunos
puntos de su curva de indiferencia que correspondan a un nivel de utilidad de 150. Ahora indique algunos puntos de la curva de indiferencia
correspondientes a un nivel de utilidad de 300 y dibuje esta curva también.
b) ¿Puede adquirir alguna cesta que le permita obtener una utilidad de 150?
c) ¿Puede adquirir alguna cesta que le permita obtener una utilidad de 300?
d) ¿Existe en el gráfico una cesta que Julián pueda adquirir y que corresponda
a una utilidad superior a 150?
e) ¿Cuál es la tasa marginal de sustitución de Julián en el tiempo en que
consume 8 duraznos y 50 bananos?
42
Semana 1. Principios de la teoría del consumidor
5. Lo mismo que en el ejemplo anterior, pero ahora Julián tiene, en cada caso,
la función de utilidad
a) U (x, y) = Mín{x, y}
b) U (x, y) = x1/2 + y 1/2
c) U (x, y) = x1/2 + y
6. Para la función de utilidad U (x, y) = 4x2 + 6y:
a) Calcule la tasa marginal de sustitución.
b) ¿A medida que el consumidor sustituye x por y (ye), se tiene que esta tasa
crece, decrece o permanece constante?
c) ¿Contradice lo anterior la hipótesis de cuasiconcavidad en las curvas de
isoutilidad?
7. (Un caso especial) A Jorge Luis le gusta el pan pero es indiferente ante el
queso (bien neutral). Muestre que las curvas de indiferencia son verticales si
en el eje x se colocan las cantidades de pan y, en el eje y (ye), el queso.
8. (Otro caso especial) ¿Podría dibujar curvas de indiferencia que describan
el comportamiento de un consumidor que se sacia con 10 tazas de agua y
10 cucharaditas de café instantáneo? (Sugerencia: Considere el caso no-típico
U (x, y) = −(x−10)2 −(y −10)2 . Note la no-convexidad al origen de las curvas
de nivel.)
9. (Un consumidor sin la propiedad de convexidad en las preferencias)
Dibuje las curvas de indiferencia de Mercy cuyos gustos están definidos por
la función de utilidad U (x, y) = Max{x, y} donde “Max” significa “Máximo”.
Interprete el comportamiento de Mercy, en especial con respecto a la propiedad de convexidad al origen de las preferencias. ¿Le gusta a Mercy “mezclar”
en el consumo?
10. a) Encuentre una función de utilidad que pueda representar a un consumidor
tal como Diego, que siempre prefiere su taza de café con dos cucharaditas
de azúcar. (Sugerencia: Piense en una función de utilidad Leontief conveniente).
b) (Sobre la divisibilidad de las mercancías) Similarmente al caso a)
anterior, encuentre una función de utilidad que represente a un consumidor de automóviles y de llantas; es decir, existe una relación automóviles/llantas=1/5. ¿Qué sentido tiene la canasta (1.5, 7.5)? ¿Es decir, qué
significa consumir 1.5 automóviles y 7.5 llantas? Más aún: ¿Qué significado tiene afirmar que esta canasta es indiferente a la canasta (1.6, 7.5)? El
problema que se plantea aquí es el de la “divisibilidad de las mercancías”
que está concebida como un comportamiento ajeno al modelo neoclásico:
para estos es usual asumir que todas las mercancías son divisibles en cada
posible medida (medios, tercios, cuartos, etc.).
Ejercicios
43
11. a) ¿Es la cocaína un “bien” para el consumidor en el sentido que se estudia
en este curso, aún sabiendo que puede ser dañina para el consumidor?
Explique. Similarmente para el tabaco y el alcohol. ¿Podría analizarse de
manera similar los alimentos altos en colesterol?
b) (Sobre la saciedad de un consumidor) ¿Si un consumidor sólo compra las cantidades de pan que necesita, compraría más si baja el precio?
¿Contradice esto la ley de la demanda? ¿Será este un consumidor que se
sacia? Explique.
c) En el mismo sentido del literal anterior, ¿cómo podría modelarse el consumidor que, en determinado periodo, necesita (y compra) un solo refrigerador?
12. ¿Cuáles serían las demandas marshallianas si un bien es deseado y el otro es
neutral, asumiendo que la recta presupuestaria es p1 x + p2 y = M ?
13. Es usual escribir la recta de demanda inversa de un consumidor (es decir,
la función inversa de la demanda) en la forma p = a − bx donde a, b > 0.
¿Cuál sería la recta de demanda agregada (es decir, la suma de las demandas
de los consumidores) si a este consumidor se le adicionaran N consumidores
idénticos a él? ¿Qué sucedería con la demanda agregada si, como se asume
usualmente en competencia perfecta, N es “muy grande”? Interprete este
resultado.
14. (∗) Calcule las demandas (estableciendo las condiciones sobre M , p1 y p2 ,
para los que esto es posible) para la función de utilidad cuasilineal (y
cuadrática)
U (x, y) = (x − x2 ) + y
(Sugerencia: Dibuje las curvas de indiferencia y note que, en algunos casos,
la solución óptima y ∗ es negativa, algo que no puede darse en una demanda.)
15. (∗) Calcule las demandas (cuando sea posible) para la función de utilidad
de tipo Gossen (Gossen, 1854).
U (x, y) = α + (βx−δx2 ) + (γy − µy 2 )
donde α, β, δ, γ, µ > 0. En este ejemplo se encuentran algunos casos en que la
saciedad del consumidor está presente.
16. Calcule las demandas marshallianas para la función de utilidad cuasilineal
U (x, y) = U (x) + y = xα + y para 1 > α > 0.
17. Calcule la demanda por el bien x para la función de utilidad cuasilineal (y
exponencial)
e−ax
+y
(a > 0)
U (x, y) = U (x) + y = −
a
Note que la función U (x) es creciente, aunque es siempre negativa. Esto no
debería ser causa para evitarla como función de utilidad. ¿Por qué?
44
Semana 1. Principios de la teoría del consumidor
18. (∗) Calcule las demandas marshallianas en los siguientes casos:
a) U (x, y) = xy + xy 2
b) U (x, y) = xy + x + y
c) U (x, y) = xy + Mín{x, y}
Dibuje las respectivas curvas de nivel.
19. (∗∗) ¿Será posible calcular las demandas marshallianas en el caso agregado
U (x, y) = Máx{Mín{2x, y}, Mín{x, 2y}}?
(Sugerencia: Dibuje las curvas de nivel cuidadosamente. Observe que es posible la no-convexidad al origen de las preferencias e interprete esto.)
20. (∗∗) Lo mismo que en el caso anterior para la función de utilidad
U (x, y) = 2x + 2y −
2
2
1
− 2−
+1
2
3x
3y
2xy
21. (∗) Similarmente que en los dos casos anteriores, para la función de utilidad
(
xy si x ≥ 1
U (x, y) =
y
si x < 1
Interprete el comportamiento de este consumidor.
Semana 2
Minimización del gasto
2.1.
Introducción
Esta semana observaremos una aproximación diferente al problema principal del
consumidor, ahora buscando entender la formación del gasto de un hogar (consumidor) que quiere estar en un determinado “nivel de vida” (medido por la función
de utilidad). Estudiaremos la relación entre esos dos problemas aparentemente disímiles. Y, finalmente, presentaremos algunos de los índices de precios construídos
a partir de la función de gasto mínimo.
2.2.
Minimización del gasto
Paralelo al problema de maximizar la utilidad sujeta a la restricción presupuestaria,
el consumidor tiene otra alternativa: minimizar el gasto del hogar. Como veremos,
este nuevo problema tiene un carácter más normativo que el problema principal
del consumidor. Aquí, en lugar del problema primal planteado como
Maximizar
x,y≥0
sujeta a
U (x, y)
p1 x + p2 y = M
(figura 2.1)
planteamos el problema de minimización de su gasto como:
Minimizar
p1 x + p2 y
sujeta a
U (x, y) = U0
x,y≥0
45
(= e = gasto)
(figura 2.2)
46
Semana 2. Minimización del gasto
donde U0 es un nivel de utilidad (bienestar) fijo deseado. Observemos en las figuras
2.1 y 2.2 siguientes que, gráficamente, los problemas son muy similares.
y
y
Curva de nivel
∗
U (x, y) = U (h∗
1 , h2 )
U (x, y) = U (x∗ , y ∗ )
y∗
(x∗ , y ∗ )
b
x∗
p1 x + p2 y = M
h∗
2
x
∗
(h∗
1 , h2 )
b
h∗
1
Figura 2.1. Maximización de la utilidad.
Recta de isogasto
p1 x + p2 y = e
x
Figura 2.2. Minimización del gasto.
En efecto: para calcular el gasto, no requerimos de llevar a cabo nuevos cálculos
pues basta con tener resuelto el problema principal del consumidor, ya que los
puntos óptimos, tanto en la figura 2.1 como en la figura 2.2, son exactamente los
mismos. Para ver esto, es suficiente notar que si planteamos el lagrangiano1 para
el problema de minimización del gasto
L = p1 x + p2 y − λ (U (x, y) − U0 )
y tomamos derivadas parciales con respecto a x, y (ye) y λ, e igualamos a cero,
obtenemos:
∂U
∂U
; p2 = λ
; U (x, y) = U0
p1 = λ
∂x
∂y
Y es claro que dividiendo término a término las dos primeras ecuaciones, llegamos
a la ya conocida ecuación de Jevons:
∂U /∂x
p1
=
p2
∂U /∂y
que es la misma que determina las demandas en el problema primal del consumidor2 . Entonces, si tomamos las demandas marshallianas (x∗ , y ∗ ) y las evaluamos en la función de utilidad U (x, y), obtendremos el nivel máximo de utilidad
V = U (x∗ , y ∗ ) que se puede alcanzar dado el presupuesto –que llamaremos, en adelante, utilidad indirecta (Roy, 1942; 1947)–. Después, si fijamos la curva de utilidad
de nivel V = U (x∗ , y ∗ ), y ahora la llamamos U0 (pues es constante), y tratamos
1 Asumimos aquí que la función de utilidad U satisface las mismas condiciones analíticas del
problema principal del consumidor, estudiadas en la semana 1.
2 De hecho, los dos problemas son “duales”. Este concepto de dualidad (que da origen a las
mismas soluciones) es tomado de la teoría de la programación (optimización) lineal desarrollada
a mediados del siglo XX.
2.2. Minimización del gasto
47
de encontrar el mínimo presupuesto que se requiere para estar allí, encontraremos
precisamente el mínimo gasto –o función de gasto (Hicks, 1939b)–. Veamos cómo
opera todo esto en un caso concreto3 .
Ejemplo 1.
Si U (x, y) = xy, teníamos, en el ejemplo 3 de la semana 1, que las demandas
marshallianas eran
M
M
x∗ =
;
y∗ =
2p1
2p2
Y entonces, la utilidad máxima (o utilidad indirecta) se calcula así:
M2
M
M
∗ ∗
∗ ∗
=
V = U (x , y ) = x y =
2p1
2p2
4p1 p2
En esta última ecuación, simplemente hacemos V = U0 y M = e (esta e proviene
del inglés “expenditure” que significa “gasto”), para obtener:
e2
4p1 p2
U0 =
Y de allí se obtiene, despejando e = 2(U0 p1 p2 )1/2 que es la función de gasto de este
consumidor. Esta función mide cuánto requiere “gastar” una familia para tener un
nivel de utilidad (bienestar) U0 cuando los precios que enfrenta en el mercado son
p1 y p2 . Así, ella permite medir en cuánto debe compensarse a una familia para
que recupere su nivel de bienestar, ante, por ejemplo, un aumento de precios, y, por
eso, es muy utilizada en problemas de políticas públicas y sociales. Más adelante
se aclarará un poco más este punto. N
Ahora: a partir de la función de gasto e = p1 x + p2 y y derivando parcialmente,
obtenemos las demandas así:
∂e
∂e
[4]
=x
,
=y
∂p1
∂p2
Pero en este momento, dado que el nivel de utilidad U0 es aquí constante, estas
demandas cambian de notación y de nombre: se llaman demandas hicksianas o demandas compensadas (Hicks, 1939), se notan (h1 , h2 ) en lugar de (x, y), y satisfacen
entonces las ecuaciones (Shephard, 1953):
∂e
= h1
∂p1
,
∂e
= h2
∂p2
(Lema de Shephard)
3 La formalización del argumento acabado de presentar de manera heurística está fuera del
alcance de este manual. Si el lector está interesado en profundizar sobre esto, puede consultar
Monsalve (ed.) (2010), vol. III.
4 Para el lector bien preparado con herramientas del cálculo, este paso no es completamente
correcto, pues x y y (ye) pueden también depender de los precios p1 y p2 . Sin embargo, al nivel de
este curso daremos “demostraciones” heurísticas de este tipo, dadas las entendibles limitaciones
matemáticas en este nivel del proceso de aprendizaje del estudiante. Si el lector está interesado
en la demostración formal, puede verla en Monsalve (ed.) (2010), vol. III.
48
Semana 2. Minimización del gasto
donde h1 es la demanda hicksiana por el bien x, y h2 es la demanda hicksiana por
el bien y (ye).
Ejemplo 2.
En el caso del ejemplo 1 que venimos discutiendo con U (x, y) = xy, teníamos que
1/2
e = 2 (U0 p1 p2 ) , y, por lo tanto, por el lema de Shephard:
∂e
= U0 p2 (U0 p1 p2 )−1/2
∂p1
∂e
h2 =
= U0 p1 (U0 p1 p2 )−1/2
∂p2
h1 =
lo que nos lleva, haciendo un poco de álgebra, a que las demandas hicksianas de
este consumidor sean:
1/2
1/2
p1
p2
,
h2 =
N
U0
U0
h1 =
p1
p2
y
U (x, y) = U0
M
p2
(h1 (p1 , p2 , U0 ), h2 (p1 , p2 , U0 ))
′
′
A
(h1 (p1 , p2 , U0 ), h2 (p1 , p2 , U0 ))
∆e
M
′
p2
B
M/p1
x
Figura 2.3. ¿Qué es lo que miden las demandas hicksianas?: miden los cambios en las demandas
marshallianas después de un aumento en precios y la correspondiente compensación en
presupuesto, para regresar al nivel de utilidad inicial.
Pero, al fin de cuentas, ¿qué es lo que miden las demandas hicksianas? Veamos
esto en detalle. Estando en las demandas marshallianas del punto A (figura 2.3),
supongamos que sucede un aumento en el precio p2 (cambia de p2 a p′2 ), y así
pasamos de la recta presupuestaria continua a la segmentada. Para recuperar el
nivel de bienestar U0 , debemos entonces aumentar el gasto en una cantidad ∆e
(presupuesto) y, al hacerlo, pasamos a la recta presupuestaria que es paralela a la
segmentada, y llegamos a las demandas marshallianas del punto B . En la figura
2.3 señalamos las correspondientes demandas hicksianas en los puntos A y B , y el
gasto (∆e) necesario para regresar al nivel U0 . Así obtenemos la respuesta buscada:
las demandas hicksianas miden los cambios de las demandas marshallianas A a
2.2. Minimización del gasto
49
las demandas marshallianas B (debido a un aumento en el precio p2 ), pero sin
abandonar el nivel de bienestar U0 . En otras palabras, miden la sustitución que
hace un consumidor entre una mercancía y otra, para mantenerse en el mismo
nivel de bienestar a pesar del aumento de precios. Veamos un ejemplo concreto del
procedimiento anterior.
Ejemplo 3.
Consideremos el problema siguiente:
Maximizar
U (x, y) = xy
sujeta a
3x + 2y = 45
x,y≥0
Si el precio del bien x aumenta en un 20 %, calculemos las dos demandas hicksianas
y el gasto.
Solución.
Comencemos observando que las demandas marshallianas de este problema (ver
ejemplo 3, semana 1) son:
x∗ =
45
= 7.5
(2)(3)
y∗ =
,
45
= 11.25
(2)(2)
Así, el nivel de utilidad recibido allí es:
U (x∗ , y ∗ ) = (7.5)(11.25) = 84.375
Si aumenta el precio del bien x en 20 % (pasando de 3 a 3.6), las nuevas demandas
marshallianas son:
x∗∗ =
45
= 6.25
(2)(3.6)
,
y ∗∗ =
45
= 11.25
(2)(2)
Y así el nivel de utilidad ha bajado a
U (x∗∗ , y ∗∗ ) = (6.25)(11.25) = 70.3125
Ahora: según el ejemplo 1 anterior, dados los nuevos precios, para recuperar el nivel
de utilidad original de 84.375, el hogar deberá subir el presupuesto de 45 a
e = 2(U0 p1 p2 )1/2 = 2[(84.375)(3.6)(2)]1/2 = 49.295
La nueva recta presupuestal es, entonces, 3.6x + 2y = 49.295, que es paralela a la
segunda recta presupuestal 3.6x + 2y = 45. Y las nuevas demandas serán:
h1 =
49.295
= 6.8465
(2)(3.6)
;
h2 =
49.295
= 12.3237
(2)(2)
lo que muestra (comparando con las demandas marshallianas originales x∗ = 7.5
y y ∗ = 11.25) que al elevarse el precio del bien x, el consumidor decidió consumir
50
Semana 2. Minimización del gasto
menos de este y lo sustituyó consumiendo más del bien y (ye). Notemos también
que:
U (h1 , h2 ) = U (6.8465, 12.3237) = 84.375
corresponde al nivel de utilidad original, mostrando, como dijimos, que sólo sustituyó el bien que aumentó de precio por un poco del otro bien, pero manteniéndose
en el mismo nivel de utilidad que es 84.375. N
Finalmente, observemos que también podemos utilizar las fórmulas de las demandas hicksianas (que las hallamos derivando parcialmente la función de gasto
e = 2(U0 p1 p2 )1/2 con respecto a p1 y p2 ) para confirmar el cálculo de las demandas
anteriores:
1/2 1/2
p2
(84.375)(2)
h1 =
=
= 6.8465
U0
p1
3.6
1/2 1/2
p1
(84.375)(3.6)
h2 =
=
= 12.3237
U0
p2
2
Ejemplo 4.
Encontremos las demandas marshallianas, la función de utilidad indirecta, la función de gasto y las demandas hicksianas, a partir del problema principal del consumidor
√
x+y
Maximizar
x,y≥0
sujeta a
p1 x + p2 y = M
Solución.
Este problema se puede reducir a:
Maximizar
x≥0
√
M − p1 x
x+
p2
Y derivando esta función cóncava estricta con respecto a x, e igualando a cero,
obtenemos que:
p
1
√ − 1 =0
2 x p2
de donde se obtiene que:
∗
x =
p2
2p1
!2
Así que, ya lo sabíamos, no depende de M . Por lo tanto,
!2
p2
M − p1
2p1
M
p2
M − p1 x
∗
=
=
−
y =
p2
p2
p2
4p1
2.2. Minimización del gasto
51
Así, resumiendo, las demandas marshallianas de este consumidor (figura 2.4) son:
x∗ =
p2
2p1
2
;
y∗ =
p2
M
−
p2
4p1
y
p1 x + p2 y = M
Solución:
b
x∗ = (p2 /2p1 )2
y ∗ = (M/p2 ) − (p2 /4p1 )
b
x
Para bajos presupuestos, la
solución es x∗ = M/p1 , y ∗ = 0
Figura 2.4. Demandas para la función cuasilineal U (x, y) =
√
x + y.
Nótese que sólo la demanda del bien y (ye) depende del presupuesto (M ) y de ambos
precios (esto no sucede en el caso Cobb-Douglas); más específicamente, la demanda
del bien x es la misma sin importar el nivel de renta. Pero también debe notarse que
p2
2
la demanda por el bien y (ye), y ∗ = M
p2 − 4p1 , es positiva sólo cuando M > (p2 ) /4p1 .
Es decir, este es un consumidor que adquiere una cantidad positiva del bien x a
cualquier nivel de presupuesto, pero que sólo comienza a adquirir del bien y (ye)
(es decir, a “ahorrar en dinero y (ye)”) cuando el presupuesto es relativamente alto
(en otras palabras, cuando es “suficientemente rico”)5 .
Ahora: la utilidad máxima, en este caso, es:
U=
√
p2
p2
M
+
−
2p1
p2
4p1
M
p2
=
+
p2
4p1
x∗ + y ∗ =
que es la función de utilidad indirecta V de este consumidor; es decir, si M ≥
(p2 )2 /4p1 :
p2
M
+
V (M, p1 , p2 ) =
p2
4p1
5 Notemos, entonces, que se tienen dos soluciones de este problema: una, es esta solución con
x > 0, y > 0, para presupuestos relativamente grandes; y la otra es x > 0, y = 0, que obliga a que
las demandas sean x∗ = M/p1 , y ∗ = 0. Nosotros asumiremos la primera solución basándonos en
la hipótesis de que lo típico es encontrar un consumidor que siempre tiene el presupuesto suficiente
para consumir al menos dos bienes en su canasta familiar. Aunque esto es discutible.
52
Semana 2. Minimización del gasto
Y la función de gasto se construye haciendo V = U0 y M = e en la función de
utilidad indirecta, para obtener que:
U0 =
e
p2
+
p2
4p1
Es decir,
e = p2 U0 −
p2 2
4p1
Y, por su parte, las demandas hicksianas son:
2
∂e
p2
=
∂p1
2p1
p2
∂e
= U0 −
h2 =
∂p2
2p1
h1 =
(no depende de U0 )
Notemos que h2 > 0 sólo cuando U0 > p2 /2p1 .
Ahora hagamos un poco de aritmética con lo que acabamos de calcular. Supongamos que este consumidor tenía un presupuesto de $200 y enfrentaba precios de
mercado p1 = 5, p2 = 7, pero, que por alguna razón que el consumidor no comprende bien, el precio del bien 1 aumentó a p1 = 5.3. Si este consumidor no quiere
bajar su nivel de bienestar, entonces deberá agregar a su presupuesto de $200 una
cantidad determinada que se puede establecer así:
i) En primer lugar, las demandas marshallianas originales son:
x∗ =
p2
2p1
2
=
7
2(5)
2
= (0.7)2 = 0.49
M
p2
200
7
−
=
−
= 28.57 − 0.35 = 28.22
p2
4p1
7
4(5)
√
ii) El nivel de utilidad para estas demandas es U (0.49, 28.22) = 0.49 + 28.22 =
28.92.
y∗ =
iii) El nivel de gasto para mantener este mismo nivel de utilidad al nuevo precio
de mercado es:
e = p2 U0 −
p2 2
(7)2
= (7)(28.92) −
= 202.44 − 2.31 ≈ 200.14
4p1
(4)(5.3)
Por lo tanto, la cantidad que debe adicionar el consumidor a su presupuesto original
de $200, es, aproximadamente, $0.14.
Ejemplo 5. (Función de utilidad Stone-Geary)
Calculemos las demandas marshallianas, la utilidad indirecta, la función de gasto y
las demandas hicksianas de la función de utilidad de tipo Stone–Geary
2.2. Minimización del gasto
53
U (x, y) = (x − 1)2 (y − 3)4 sujeta a p1 x + p2 y = M [6] . Aquí, los valores 1 y 3 en
los coeficientes de la función de utilidad, se interpretan como “niveles de consumo
mínimo”; es decir, los consumos deben ser iguales o mayores que estos valores.
Solución.
Hagamos (por conveniencia algebraica) X = x − 1, Y = y − 3 en la función de utilidad y escribamos la restricción presupuestaria de la siguiente forma:
p1 X + p2 Y = p1 (x − 1) + p2 (y − 3) = p1 x + p2 y − p1 − 3p2 = M − p1 − 3p2 .
Hagamos entonces m = M − p1 − 3p2 (asumimos que esta m es positiva7 ), y procedemos a resolver el típico problema Cobb-Douglas que resulta ser:
X=
2m
m
=
6p1
3p1
;
Y =
4m
2m
=
6p2
3p2
Es decir,
2m
m
; y−3=
3p1
3p2
y así, utilizando que m = M − p1 − 3p2 , llegamos a que las demandas marshallianas
son:
M − p1 − 3p2
2(M − p1 − 3p2 )
x∗ = 1 +
; y∗ = 3 +
3p1
3p2
Ahora calculamos la función de utilidad indirecta V reemplazando las demandas
marshallianas en la función de utilidad, para obtener:
2 4
M − p1 − 3p2
M − p1 − 3p2
∗
2 ∗
4
2
V = (x − 1) (y − 3) =
3p1
3p2
x−1=
Después obtenemos la función de gasto haciendo, en la utilidad indirecta, V = U0
y M = e:
24 (e − p1 − 3p2 )6
U0 =
36 (p1 )2 (p2 )4
Y despejando llegamos a que:
1/6
= 3(2)−2/3 (p1 )1/3 (p2 )2/3 (U0 )1/6
e − p1 − 3p2 = 2−2/3 36 (p1 )2 (p2 )4 U0
Y así, la función de gasto es:
e = 3(2)−2/3 (p1 )1/3 (p2 )2/3 (U0 )1/6 + p1 + 3p2
Derivando esta función de gasto con respecto a p1 y a p2 , obtenemos ahora las dos
demandas hicksianas:
h1 = (2)−2/3 (p1 )−2/3 (p2 )2/3 (U0 )1/6 + 1
h2 = (2)1/3 (p1 )1/3 (p2 )−1/3 (U0 )1/6 + 3
6 Las funciones de utilidad Stone-Geary son generalizaciones de las funciones de utilidad CobbDouglas con niveles mínimos de consumo diferentes de cero.
7 Específicamente, aquí se asume que M − p − 3p > 0, lo cual se logra si M es mayor que
1
2
p1 +3p2 . El significado de esto es que M debe ser relativamente grande (con respecto a los precios)
para poder recibir los niveles de consumo mínimo.
54
Semana 2. Minimización del gasto
Ejemplo 6.
Encontremos las demandas marshallianas, la función de utilidad indirecta, la función de gasto y las demandas hicksianas para la función de utilidad
U (x, y) = Mín{3x, 2y} con restricción presupuestaria p1 x + p2 y = M .
Solución.
Con el mismo argumento que utilizamos al hallar las demandas para la función
Leontief U (x, y) = Mín{x, y}, en donde igualábamos x a y (ye) y procedíamos a
pasar a la restricción presupuestaria para encontrar estas demandas explícitamente,
también aquí comenzamos haciendo la igualación de 3x con 2y. Veamos.
A partir de 3x = 2y se obtiene y = 3x/2 (es decir, por cada unidad del bien x, el
consumidor demanda 3/2 unidades de y). Llevando esto a la restricción presupuestal
2M
obtenemos que p1 x + p2 ( 3x
2 ) = M . Despejando x, obtenemos que x = 2p1 +3p2 y,
por lo tanto, de y = 3x
2 se llega a que:
y=
3
2M
2p1 +3p2
2
=
3M
2p1 + 3p2
Así tendremos que las demandas marshallianas son:
x∗ =
2M
2p1 + 3p2
;
y∗ =
3M
2p1 + 3p2
Ahora calculamos la función de utilidad indirecta reemplazando las demandas
marshallianas en la función de utilidad, para obtener:
2M
3M
∗
∗
V = Mín{3x , 2y } = Mín 3
,2
2p1 + 3p2
2p1 + 3p2
6M
=
2p1 + 3p2
Después obtenemos la función de gasto haciendo, en la utilidad indirecta, V = U0
y M = e:
6e
U0 =
2p1 + 3p2
Despejando e de aquí, llegamos a la función de gasto:
p
p2 1
e=
U0
+
3
2
Y derivando el gasto con respecto a p1 y a p2 , obtenemos las dos demandas
hicksianas:
h1 = U0 /3 ; h2 = U0 /2
Es decir, los cambios en precios no afectan estas demandas, pues los bienes son
“complementarios”; sólo las afectan los niveles de utilidad U0 .
2.2. Minimización del gasto
55
Ejemplo 7.
Encontremos las demandas marshallianas, la función de utilidad indirecta, la función de gasto y las demandas hicksianas para la función de utilidad U (x, y) = x + y
con restricción presupuestaria p1 x + p2 y = M .
Solución.
En la semana 1 (ejemplo 5), habíamos mostrado que las demandas marshallianas
son:
i) x∗ = M
p1
ii) x∗ = 0
,
,
y∗ = 0
si
p1 < p2
y∗ = M
p2
si
p2 < p1
iii) Cuando p1 = p2 , las demandas marshallianas x∗ , y ∗ son cualquiera que satisfagan la restricción presupuestaria (figura 2.5): x + y = M
p1 .
p1
p2 ∗
M/p2 ∗
x∗
Figura 2.5. Demanda marshalliana x∗ para la función de utilidad lineal con p2 ∗ fijo. Si aumenta
el precio p1 por encima de p2 ∗ , no comprará nada del bien x. Pero si disminuye el precio por
debajo de p2 ∗ , entonces comprará el bien x a la manera usual: dependiendo de una curva de
demanda descendente.
Por lo tanto, la función de utilidad indirecta es:
V = x∗ + y ∗ =
M
Mín{p1 , p2 }
[8]
Y, por consiguiente, su función de gasto es:
e = Uo Mín{p1 , p2 }
Ahora: ¿cuáles son las demandas hicksianas? En este caso no podemos utilizar el
Cálculo diferencial, pero, aún así, es posible calcularlas. Por ejemplo, la demanda
8 Observe aquí que en el caso extremo p = p , debemos encontrar x∗ +y ∗ cuando p x∗ +p y ∗ =
1
2
1
2
M ; es decir, cuando x∗ + y ∗ = M/p1 = M/p2 .
56
Semana 2. Minimización del gasto
hicksiana h1 para p2 ∗ fijo es:


U0
h1 = 0


intervalo [0, U0 ]
si p1 < p2 ∗
si p1 > p2 ∗
si p1 = p2 ∗
como el lector puede comprobar (figura 2.6). La demanda h2 se calcula similarmente.
p1
p2 ∗
h1
U0
Figura 2.6. Demanda hicksiana h1 para la función de utilidad lineal con p2 ∗ fijo.
2.3.
Sobre las medidas de los niveles de utilidad
Notemos que la función de utilidad V (x, y) = 2 ln(1+x)+3 ln(1+y) es, simplemente,
el logaritmo natural de la función de utilidad definida por U (x, y) = (1+x)2 (1+y)3 .
Es decir, simplemente se ha cambiado la escala de medición de la utilidad. Sin
embargo, vamos a observar que esto no cambia las demandas marshallianas. En
efecto: la ecuación de Jevons para U (x, y) (que es la que arroja las demandas
marshallianas) es la usual
p1
∂U /∂x
=
(2.1)
∂U /∂y
p2
Y, por su parte, la ecuación de Jevons para la función V es:
∂V /∂x
∂V /∂y
=
p1
p2
(2.2)
Sin embargo, dado que V = ln(U ), notemos que:
∂V
∂x
∂V
∂y
=
1
U
1
U
∂U
∂x
∂U
∂y
=
∂U
∂x
∂U
∂y
Esto hace que las ecuaciones de equilibrio (2.1) y (2.2) sean, exactamente, las
mismas y, por tanto, las demandas marshallianas coinciden.
2.4. Preferencias reveladas
57
En general, las funciones de utilidad de la forma V (x, y) = g(U (x, y)) donde U (x, y)
es otra función de utilidad y g(t) es una función estrictamente creciente y diferenciable con continuidad cualquiera, son las que permiten cambiar la escala de medida
de utilidad sin que las demandas marshallianas cambien. Efectivamente, observemos que las demandas de V (x, y) = g(U (x, y)) son las mismas que las de U (x, y).
Para ello, basta mostrar que la ecuación de Jevons no cambia, y esto, sin duda, es
cierto:
∂(g(U (x, y))
∂x
∂(g(U (x, y))
∂y
∂ U (x, y)
∂U (x, y)
p1
∂x
∂x
=
=
=
∂U (x, y) p2
∂ U (x, y)
g p (U (x, y))
∂y
∂y
g p (U (x, y))
que resulta después de cancelar g ′ (U (x, y)) (que es mayor que cero pues g(·) es
estrictamente creciente) en el numerador y denominador del segundo cociente de
arriba. Reafirmando la idea con otro ejemplo, podemos, entonces, estar seguros
1
1
1
1
de que las demandas marshallianas de U = x 2 + y 2 y V = (x) 2 + (y) 2 + 1 son
h 1
i2
1
exactamente las mismas. Y también las mismas de W = x 2 + y 2 . El lector
puede comprobar esto si resuelve los correspondientes problemas de consumidor
para las funciones U , V y W , tal como ya se enseñó en la semana 1.
2.4.
Preferencias reveladas
¿Cómo creer en los supuestos sobre la función de utilidad, sin mencionar que las
funciones de demanda implicadas resulten plausibles? Más aún: ¿en qué condiciones
sí tiene sentido el supuesto de maximización de una utilidad? ¿Cómo podemos
probar que los agentes actúan como supusimos que actuaban? ¿Cómo verificar
que los datos se ajustan a la teoría de las preferencias que suponemos? Si las
propiedades de las funciones de demanda definitivamente nos convencen, estamos
ante un razonamiento incompleto, porque lo que observamos de los consumidores
no es su función de demanda; es decir, los economistas no pueden acercarse al
consumidor y observar su función de demanda; podemos observar y medir, con
precisión, variables tales como el ingreso monetario de un individuo y también
podemos investigar sus elecciones de consumo para ciertos precios. Pero no podemos
tener la función de demanda como resultado directo de la observación y de la
indagación. Tenemos algunos datos perturbados, pero no su función de demanda;
esta no es observable.
Ahora: sí podemos tener datos parciales, y ajustar una función de demanda a los
datos con algún método estadístico. Pero siempre que la forma funcional no ajuste,
tendremos que dar alguna razón hipotética por la cual la función de demanda no
ajustó. Por ejemplo, la simultaneidad de efectos (muchos no observados) podría
decirnos que frente a una caída del precio del bien x, la demanda no aumentó
(sino que bajó) porque tal vez –al mismo tiempo– el precio de algún bien sustituto
58
Semana 2. Minimización del gasto
bajó mucho más o, tal vez, fue el ingreso el que bajó, de tal forma que resulta
imposible refutar el comportamiento maximizador del consumidor utilizando como
instrumento a la función de demanda. Notemos que cuando los datos no se ajustan
a la función de demanda, no estamos “refutando” la teoría: sabemos que muchos
hechos podrían explicar lo ocurrido, sin que la teoría falle.
El punto de partida de los teóricos de la preferencia revelada (Samuelson, 1947) es
que la función de demanda no es observable (directamente). Además, como nuestro
objeto de análisis son las preferencias (función de utilidad), no podemos ver si
actúan como si las maximizaran, porque tampoco podemos ver esas preferencias.
Lo que es observable son las elecciones a ciertos precios, pero no las preferencias en
el sentido objetivo. De esta forma, Samuelson propuso reconstruir la teoría, pero
ahora basándonos en unos axiomas que capturaran lo que las elecciones revelan,
donde el objeto sobre el que se construye la teoría es claramente observable: las
elecciones y los precios.
En el ejercicio 16 de esta semana 2 se discutirán los argumentos presentados por Samuelson, que se han convertido, hasta cierto punto, en una herramienta alternativa
al estudio del comportamiento del consumidor 9 .
2.5.
La función de gasto y los índices de precios al
consumidor
Si tenemos construida la función de gasto e(p1 , p2 , U0 ), se pueden especificar diversas medidas de bienestar de los hogares. La más conocida es el índice de costo de
vida (ICV) de la forma:
e(p1 p , p2 p , U0 )
I=
× 100
e(p1 , p2 , U0 )
que es el cociente de gastos de los hogares ante un cambio de precios de mercado
de (p1 , p2 ) a (p1 p , p2 p ). Si este índice es mayor que 100, se requiere de mayor ingreso
para mantener el mismo nivel de vida U0 . Pero si es menor que 100, es posible
ahorrar y aún mantener el mismo nivel de vida U0 . Es usual recurrir a e(p1 , p2 , U0 )
como el gasto en cierto año base.
Por ejemplo, recordando que si el consumidor tiene una función de utilidad
U (x, y) = xy, la función de gasto es:
e = 2(U0 p1 p2 )1/2
entonces, si p1 = p2 = 1, y hay un alza de 20 % en el precio del bien 1 (p1 = 1.2)
pero no en el bien 2, el índice de costo de vida será
#
"
√
2 (U0 (1.2) (1))1/2
× 100 = 1.2 × 100 = 109 > 100
I=
1/2
2 (U0 (1) (1))
9 Toda la sección sobre preferencias reveladas dentro del texto, fue desarollada por el profesor
Erick Céspedes.
2.5. La función de gasto
59
Por lo tanto, se requiere de un mayor ingreso para recuperar el nivel de vida anterior
(U0 ).
2.5.1.
Sobre los ICV e IPC calculados por el DANE
Los indicadores de precios al consumidor calculados por el DANE (Departamento
Administrativo Nacional de Estadística) son, básicamente, de dos tipos: índices
de costo de vida (ICV) e índices de precios al consumidor (IPC). Los primeros
buscan medir el cambio del gasto entre dos periodos de tiempo referido a una
canasta previamente establecida de bienes y servicios, que se asume que compone la
estructura del gasto familiar. Los segundos son aproximaciones a los índices de costo
de vida en los que la canasta de bienes y servicios está compuesta, usualmente, por
bienes de consumo final. Por su parte, la metodología del DANE divide la canasta de
bienes y servicios actualmente en 9 grupos: 1. Alimentos, 2. Vivienda, 3. Vestuario,
4. Salud, 5. Educación, 6. Cultura, diversión y esparcimiento, 7. Transporte, 8.
Comunicaciones, 9. Otros gastos.
Grupo de
gasto
Ponderación
Índice
Enero
Índice
Febrero
Índice
Marzo
Alimentos
Vivienda
Vestuario
Salud
Educación
Diversión
Transporte
Comunicaciones
Otros gastos
28.21 %
30.10 %
5.16 %
2.43 %
5.73 %
3.10 %
15.19 %
3.72 %
6.35 %
112.51
116.08
99.70
118.87
120.93
101.93
107.62
105.40
111.27
112.44
116.55
99.67
120.02
125.94
100.61
108.10
105.63
111.64
112.63
116.3
99.75
120.82
125.93
100.47
108.68
107.59
111.70
Tabla 2.1. Índices de precios al consumidor para el año 2013 con base en diciembre de 2008
(= 100).
Existen numerosos indicadores de precios, aunque son algunos los más utilizados
en las mediciones:
1. El índice de Laspeyres (o índice de ponderaciones fijas) que mide cuánto
aumenta o disminuye el valor de compra de la canasta entre dos periodos de
tiempo, manteniendo fijas las cantidades de compra del primer periodo.
2. El índice de Paasche que mide cuánto aumenta o disminuye el valor de compra
de la canasta entre dos periodos de tiempo, si se pudiera comprar la cantidad
que se compra actualmente pero a los precios del periodo anterior. Este índice
permite detectar cambios en las preferencias (patrones de consumo).
3. El índice de Fisher (o índice ideal) busca incorporar las virtudes de los dos
índices anteriores; es decir, incorpora cambios por “efectos-precio” y también
60
Semana 2. Minimización del gasto
cambios en las preferencias. El problema aquí está en que, para su construcción, se requiere de mucha más información sobre el comportamiento de los
consumidores.
A manera de ilustración simple de lo anterior, en la tabla 2.1 aparecen los índices
de costo de vida (que son índices de Laspeyres) en Colombia para el año 2013 con
base en diciembre 2008 (=100), de acuerdo con el DANE. Allí también aparece la
composición del gasto de acuerdo al grupo. El lector interesado puede consultar
directamente las estadísticas del DANE. Es altamente sugerido.
2.6.
Nota histórica
Para la economía clásica (e inclusive para el padre de la economía matemática
Augustin Cournot [1838]) las funciones de demanda siempre eran tratadas empíricamente, y una síntesis de esto, en pleno desarrollo de la economía neoclásica, fue la
aproximación del economista alemán Gustav Cassel10 (1899). Para este, además de
que las funciones de utilidad incorporaban a la economía desconfiables elementos
psicológicos con extrañas medidas, la idea central era que no creía que se requiriera
de ninguna infraestructura de funciones de utilidad para estudiar las demandas.
Por su parte, tampoco el seguidor de Walras en Lausanne (Suiza), Vilfredo Pareto11 ,
estuvo del todo satisfecho con el concepto de utilidad cardinal. Para él la medida
del gusto o felicidad en el consumo era, definitivamente, un problema. Esto último trató de remediarlo en el Manuel d’Économie Politique (Pareto, 1909), en
donde recurrió a las “curvas de indiferencia” (introducidas –con otra perspectiva
y objetivos– por Edgeworth, 1881) y reemplazó las hipótesis sobre la función de
utilidad por postulados acerca de comportamientos observables que dieran origen
a esas curvas de indiferencia, pues creyó que recurriendo a estas se le daban bases
más sólidas al modelo de competencia perfecta. Era el origen de la teoría ordinal de
la utilidad (ver ejercicio 15 al final de esta semana 2). Así, lo que para Walras era
el descubrimiento clave de la economía (es decir, la utilidad cardinal), para Pareto
sólo fue una hipótesis conveniente y sin referente alguno en la realidad: la clave
estaba en la utilidad ordinal.
Inclusive, Enrico Barone (1908), seguidor de Pareto, aseguraba que para hallar la
curva de demanda no era necesario acudir a ningún concepto de utilidad ni de
“grado final de utilidad”, ni “rareté”, o similares, como tampoco a las curvas de
indiferencia de Pareto: había que alejarse de conceptos metafísicos y sutiles como
estos. Y aunque la teoría sobrevivió y se sistematizó con las contribuciones, en particular, de W.E. Johnson (1913), E. Slutsky (1915), Hicks & Allen (1934), Samuelson
(1938) y Hicks (1939b), en donde se buscaba, principalmente, responder a los problemas abiertos que había dejado Pareto –y otros– en la teoría de la demanda, la
disyuntiva entre tratar la utilidad de manera cardinal u ordinal, permanecía. Por
ejemplo, Johnson (1913) fue ambiguo con respecto a la dualidad ordinal-cardinal de
10 Sobre Gustav Cassel y su obra, discutiremos en el volumen II de esta colección.
11 Sobre la vida y obra de Pareto discutiremos en el volumen II de esta colección.
Ejercicios
61
la teoría de la utilidad: recurría a argumentos de una y otra aproximación. Por su
parte, Allen & Hicks (1934), y Samuelson (1938) se inclinaron por la presentación
ordinalista: los primeros profundizaron en los desarrollos paretianos de las curvas
de indiferencia, y Samuelson recurrió a la observación directa del comportamiento
del individuo a través de las “teoría de las preferencias reveladas” (ver ejercicio 16
al final de esta semana 2).
No obstante, sin duda el hecho más trascendental en este punto fue el redescubrimiento del artículo de Slutsky (1915). Este había sido el primero en sistematizar de
manera definitiva la teoría de la demanda del consumidor bajo funciones generales
de utilidad (no sólo funciones separables), cercano a como lo hacemos hoy en día.
Sin embargo, publicaría este fundamental artículo en el Giornale degli Economisti
(que era la misma revista italiana en la que Pareto había publicado la mayoría de
sus artículos) y, por alguna extraña razón, fue ignorado hasta los años posteriores
a 1930 en que fue descubierto por V. Dominedó (1933) en Italia. Más tarde Schultz
(1935) y el mismo Allen (1936) darían aviso a la corriente principal del pensamiento
económico sobre la existencia de este fundamental trabajo.
Allí, Slutsky mostraba que lo que se podía hacer con el tratamiento cardinalista
también se podía hacer con el ordinalista. Pocos años más tarde, el mismo Hicks
(1939b), en su clásico Value and Capital, desarrollaría la teoría del consumo presentando los resultados de Slutsky de una manera sistemática y formal. El Value
and Capital sería (y es) el primer texto de referencia estándar del análisis de la
demanda del consumidor y, en general, uno de los puntales de la homogeneización
de la teoría neoclásica que hoy estudiamos en nuestras aulas.
Ejercicios
(Observación: Los ejercicios señalados con uno (∗) o dos (∗∗) asteriscos tienen, a
juicio del autor, un nivel de dificultad un tanto o muy superior, con respecto a los
ejercicios corrientes que aparecen sin asterisco.)
1. Calcule las demandas marshallianas, la función de utilidad indirecta, la función de gasto y las demandas hicksianas en los siguientes casos, generando
una tabla con estas funciones:
√
(Función cuasilineal)
a) U (x, y) = 3 x + 4y + 1
b) U (x, y) = x + y + 2x1/2 y 1/2
c) U (x, y) = ln(1 + x) + y
d) U (x, y) = Mín{7x, 5y} + 1
e) U (x, y) = Mín{x − 1, y − 2}; x ≥ 1, y ≥ 2
f) U (x, y) = Mín{(x − 1)2 , (y − 2)2 }; x ≥ 1, y ≥ 2
g) U (x, y) = yex
h) U (x, y) = y 2 e2x
(Función separable)
(Función de tipo Leontief)
62
Semana 2. Minimización del gasto
i) U (x, y) =
√
√
x − 1+ y − 4; x ≥ 1, y ≥ 4
j) U (x, y) = Mín{x, y 1/2 }
Función separable con
niveles de subsistencia
k) (∗) La función cuasilineal general U (x, y) = U (x) + y donde U (·) es una
función cóncava estricta. [Sugerencia: En cada uno de los casos pedidos,
es suficiente dejar indicada la ecuación deducida]
l) Compare los resultados del literal k) anterior con los correspondientes para
la función de utilidad U (x, y) = αU (x) + y para α > 0. ¿Qué podría medir
el coeficiente α?
m) U (x, y) = x2 + y 2 (curvas de indiferencia convexas al origen)
n) U (x, y) = ln(1 + x) + y 1/2
2. Consideremos un consumidor cuyas preferencias se representan mediante la
función de utilidad
U (x, y) = Mín{y + 2x, x + 2y}
a) Deduzca las demandas marshallianas.
b) Calcule la función de utilidad indirecta, la función de gasto y las demandas
hicksianas.
3. Encuentre las demandas marshallianas de un consumidor que tiene como
función de utilidad U (x, y) = 2 ln(1 + x) + 3 ln(1 + y) bajo la restricción
presupuestaria 3x + 2y = 70. Luego encuentre las demandas marshallianas de
un consumidor que tiene como función de utilidad U (x, y) = (1 + x)2 (1 + y)3
bajo la restricción presupuestaria 3x + 2y = 70. Compare las soluciones en
cada caso. Explique su respuesta.
4. Regrese al mismo problema anterior pero con restricción presupuestaria general p1 x + p2 y = M . Calcule las funciones de utilidad indirecta y de gasto,
y las demandas hicksianas para ambos tipos de función de utilidad.
5. Dada su función de utilidad U (x, y) = Mín{x, y}+1, el consumidor se enfrenta
inicialmente a los precios p1 = 5, p2 = 2, y tiene una renta de M = 200. Si
p1 sube en dos unidades, permaneciendo todo lo demás constante, ¿cuál es
la renta que habría que entregarle en subsidio para que mantenga intacto su
nivel de bienestar? Ilustre el problema con una buena gráfica.
6. a) Si U (x, y) = xy, deduzca la función de gasto resolviendo directamente el
problema
Minimizar
p1 x + p2 y
sujeta a
U (x, y) = U0
x,y≥0
recurriendo a una simple sustitución (escriba U (x, y) = U0 como xy = U0 ,
y así, y = U0 /x; y luego reemplace esta y (ye) en la función objetivo
Ejercicios
63
p1 x + p2 y). Reconfirme que la función de gasto obtenida es la misma que
se señaló en el ejemplo 1, al comienzo de la presente semana.
b) Generalice lo anterior para la función de utilidad Cobb-Douglas
U (x, y) = xα y β .
c) Confirme, por este método, algunas de las funciones de gasto obtenidas
en el ejercicio 1 anterior.
7. En cada uno de los siguientes casos, decida qué le da mayor utilidad al consumidor: un aumento de una unidad en el presupuesto M o una unidad adicional
del bien x. Asuma, por simplicidad, que el estado de la economía competitiva
señala que p1 = p2 = 1, M = 100. Analice su respuesta cuidadosamente.
a) U (x, y) = 3xy
b) U (x, y) = 3x1/2 + y
c) U (x, y) = 3x1/2 + y 1/2
d) U (x, y) = Mín{3x, y}
(Sugerencia: ¿Si usted fuera un planificador central benevolente, qué bonificación le daría a una persona: una unidad monetaria o un cupón redimible
por una unidad del bien x (pero no redimible por dinero)? Como lo verá, la
respuesta a este problema es: depende de cada caso.)
8. Lo mismo que en el caso anterior pero ahora focalice la atención sobre el bien
y (ye) en lugar del bien x.
9. En cada uno de los siguientes casos, decida qué le da mayor utilidad al consumidor: un aumento de 1 % en el presupuesto M o una reducción del 1 % en
el precio del bien x:
a) U (x, y) = 3xy
b) U (x, y) = 3x1/2 + y
c) U (x, y) = 3x1/2 + y 1/2
d) U (x, y) = Mín{3x, y}
Asuma, por simplicidad, que el estado de la economía competitiva señala que
p1 = p2 = 1, M = 100. Analice su respuesta cuidadosamente.
10. Lo mismo que en el caso anterior pero ahora focalice la atención sobre el bien
y (ye) en lugar del bien x.
11. (∗) Para la función de utilidad U (x, y) = x1/2 + y, decida cuál de las dos
demandas por el bien x (marshalliana o hicksiana) tiene mayor pendiente en
valor absoluto. Para tal efecto, asuma p2 = 1. Explique por qué es esto así
desde el punto de vista económico. ¿Es generalizable este resultado?
64
Semana 2. Minimización del gasto
12. (∗) Compruebe la identidad de Roy (1942)
x=−
∂v/∂p1
∂v/∂M
;
y=−
∂v/∂p2
∂v/∂M
en el caso específico de las funciones Cobb-Douglas, Leontief y cuasilineal
U (x, y) = x1/2 + y. Observe que esta identidad permite recuperar las demandas marshallianas a partir de la función de utilidad indirecta. ¿Podría
el lector dar una justificación analítica –a la manera de sugerencia para la
demostración – de la identidad de Roy?
13. (∗∗) A partir de la función de utilidad indirecta
V (p1 , p2 , M ) = U ( x(p1 , p2 , M ) , y(p1 , p2 , M ) )
demuestre la identidad de Roy.
14. (∗) Partiendo de que las demandas marshallianas son homogéneas de grado
cero en presupuesto y precios, pruebe que la función de utilidad indirecta
también es homogénea de grado cero en estas mismas variables.
15. (∗∗) (Funciones de utilidad y relaciones de preferencia) Existen múltiples formas de establecer el aparato epistemológico de la teoría de la demanda.
Una de ellas ha sido la estudiada en este texto, que consiste en partir de una
función de utilidad explícita y de allí deducir las demandas del consumidor.
Otra, que es equivalente a la anterior, es partir de la función de gasto. Aún
así, en numerosos libros de texto de microeconomía se prefiere comenzar el estudio de la formación de la demanda a través de las relaciones de preferencia
sobre las canastas de consumo. Es como sigue:
i) Sobre el conjunto de canastas (x, y) ∈ R2+ del consumidor, se define
una “relación de preferencia” - (donde (x1 , y1 ) - (x2 , y2 ) se lee “la
canasta (x1 , y1 ) es menos preferida o indiferente a la canasta (x2 , y2 )”).
Observemos que esta relación conforma un subconjunto del producto
cartesiano R2+ × R2+ , a saber, todas las parejas ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) que
satisfacen la condición (x1 , y1 ) - (x2 , y2 ).
ii) Una vez establecida la relación de preferencia - de este consumidor,
comenzamos a exigirle características propias:
En primer lugar, que la relación sea completa: Para todo par de
canastas (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) se tiene que (x1 , y1 ) - (x2 , y2 ) o bien
(x2 , y2 ) - (x1 , y1 ).
En segundo lugar, que la relación sea reflexiva: (x1 , y1 ) - (x1 , y1 )
para toda canasta (x1 , y1 ).
En tercer lugar, que la relación sea transitiva: Si (x1 , y1 ) - (x2 , y2 )
y (x2 , y2 ) - (x3 , y3 ) entonces (x1 , y1 ) - (x3 , y3 ).
Ejercicios
65
En cuarto lugar, que la relación satisfaga la propiedad de monotonicidad: Si x1 ≥ x2 y y1 ≥ y2 pero x1 6= x2 ó y1 6= y2 entonces
(x1 , y1 ) ≻ (x2 , y2 ), donde esto último significa que no es cierto que
(x2 , y2 ) % (x1 , y1 ).
La quinta propiedad es que la relación de preferencia - sea continua; es decir, que para toda canasta (x2 , y2 ), el conjunto de canastas
{(x1 , y1 ) | (x1 , y1 ) - (x2 , y2 )} y también el conjunto de canastas
{(x1 , y1 ) | (x1 , y1 ) % (x2 , y2 )} son conjuntos cerrados. En palabras
más simples, si tomamos una sucesión de canastas cualquiera de
estos dos conjuntos (uno a la vez) y observamos que estas se aproximan indefinidamente a otra canasta, entonces esta última también
será una canasta de las del conjunto a donde pertenece la sucesión.
Un teorema principal en esta fundamentación de la teoría de la demanda por
relaciones de preferencia, es que si la relación satisface las cinco propiedades
de arriba, entonces existe una función de utilidad continua U (x, y) con dominio R2 + , que “representa” a esta relación de preferencia (Debreu, 1954).
Es decir, que U (x1 , y1 ) ≥ U (x2 , y2 ) si, y sólo si, (x1 , y1 ) % (x2 , y2 ).
Con esto se muestra la conexión que existe entre las dos aproximaciones a la
teoría del consumidor: por relaciones de preferencia y por función de utilidad.
Como ya dijimos, este último camino fue el seguido por nosotros en nuestro
texto. El otro es seguido por otros autores12 .
Ahora, le pedimos al lector que responda las siguientes preguntas:
a) ¿Cuáles de las cinco propiedades mencionadas en II) arriba, satisfacen las
siguientes relaciones de preferencias sobre el conjunto de canastas?:
i) (x1 , y1 ) % (x2 , y2 ) si, y sólo si, x1 y1 ≥ x2 y2
ii) (x1 , y1 ) % (x2 , y2 ) si, y sólo si, x1 + y1 ≥ x2 + y2
iii) (∗) (x1 , y1 ) % (x2 , y2 ) si, y sólo si, x1 > x2 o si cuando x1 = x2
entonces y1 ≥ y2 . A esta última se le conoce como relación de
preferencia lexicográfica.
b) (∗) De los casos señalados en el literal a), ¿a cuáles se les puede aplicar el
teorema sobre la existencia de función de utilidad, mencionado arriba?
c) Para cada una de las siguientes funciones de utilidad, encuentre una relación de preferencia que dé origen a ella:
i) Cobb-Douglas
ii) Leontief
iii) Separable
iv) Cuasilineal
v) Lineal
12 Una tercera vía es estudiar la teoría del consumidor teniendo como base la teoría de las
preferencias reveladas (Samuelson, 1947), que presentamos brevemente en el ejercicio 16.
66
Semana 2. Minimización del gasto
d) (∗) Describa la propiedad que caracterizaría a una relación de preferencia
cuasicóncava, mostrando la equivalencia con la noción de cuasiconcavidad
de la función de utilidad13 .
e) A partir de una relación de preferencia - defina la “relación de indiferencia” (notada como ∼) que permite determinar las curvas de indiferencia
del consumidor.
16. (∗∗) [Preferencias reveladas14 (Samuelson, 1947)] Supongamos que hay
sólo dos bienes, donde los datos observados son las cantidades elegidas y los
precios en cierto momento, que se denotan por (x1 , x2 ) y (p1 , p2 ), respectivamente. Diremos que la función de utilidad u(x1 , x2 ) racionaliza los datos observados (x1 , x2 ), (p1 , p2 ) si las canastas menos costosas (o de igual costo) que
la elegida, denotadas como (y1 , y2 ) (es decir, p1 x1 + p2 x2 ≥ p1 y1 + p2 y2 ), generan menor (o igual) utilidad u que la elegida (es decir, u(x1 , x2 ) ≥ u(y1 , y2 )
si p1 x1 + p2 x2 ≥ p1 y1 + p2 y2 ). Consideraremos, entonces, que si la eligió fue
porque generaba mayor (o igual) utilidad que las otras que pudo haber elegido. Esto quiere decir que la canasta que escoge el consumidor es coherente
con una función de utilidad u que se está maximizando y por eso decimos que
u racionaliza los datos.
Asimismo, si las preferencias son monótonas y el agente maximiza al escoger
(x1 , x2 ), entonces p1 x1 + p2 x2 > p1 y1 + p2 y2 implica u(x1 , x2 ) > u(y1 , y2 ).
Lo cual significa que si eligió una canasta (x1 , x2 ) es porque es estrictamente
preferida a todas las que tenían un menor costo.
Para las definiciones de preferencia revelada que se presentan a continuación
supondremos que las preferencias son monótonas:
1. Si p1 x1 + p2 x2 ≥ p1 y1 + p2 y2 , entonces decimos que el consumidor revela
directamente que prefiere (x1 , x2 ) a (y1 , y2 ), denotado (x1 , x2 )RD (y1 , y2 ).
2. Si p1 x1 + p2 x2 > p1 y1 + p2 y2 , entonces decimos que el consumidor revela directamente que prefiere estrictamente (x1 , x2 ) a (y1 , y2 ), denotado
(x1 , x2 )P D (y1 , y2 ).
3. Si (x1 , x2 )RD (y1 , y2 ) y (y1 , y2 )RD (z1 , z2 ), entonces (x1 , x2 )R(z1 , z2 ), lo
cual significa que el consumidor revela (indirectamente) que prefiere (x1 , x2 )
a (z1 , z2 ).
4. Si (x1 , x2 )P D (y1 , y2 ) y (y1 , y2 )P D (z1 , z2 ), entonces (x1 , x2 )P (z1 , z2 ), lo
cual significa que el consumidor revela (indirectamente) que prefiere estrictamente (x1 , x2 ) a (z1 , z2 ).
13 Sobre las funciones cuasicóncavas ya habíamos comentado en la semana 1, pero si el lector
está interesado en entender mejor este concepto, puede consultar el Apéndice matemático (sección
A.13) al final del texto.
14 Este ejercicio, que tiene un nivel superior al del resto del libro, sólo le pide al lector atención y
cuidado para una juiciosa lectura. Es altamente recomendado para el estudiante serio de economía.
El material de este, fue llevado a cabo por el profesor Erick Céspedes.
Ejercicios
67
Las definiciones 3 y 4 muestran que la preferencia fue revelada de forma
indirecta, en virtud de un supuesto de transitividad.
Ahora bien: si hay una función de utilidad que racionaliza la conducta del
consumidor, entonces u(x1 , x2 ) ≥ u(y1 , y2 ) si p1 x1 + p2 x2 ≥ p1 y1 + p2 y2 . De
otra parte, bajo el supuesto de preferencias monótonas, u(y1 , y2 ) > u(x1 , x2 )
si p1 y1 + p2 y2 > p1 x1 + p2 x2 . Luego si p1 x1 + p2 x2 ≥ p1 y1 + p2 y2 no puede
ocurrir p1 y1 + p2 y2 > p1 x1 + p2 x2 , puesto que no podemos permitir que
ocurra u(x1 , x2 ) ≥ u(y1 , y2 ) y u(y1 , y2 ) > u(x1 , x2 ) al mismo tiempo. Ahora:
si (x1 , x2 ) se hubiera revelado (indirectamente) preferida a (y1 , y2 ) tendríamos
entonces lo que se conoce como el axioma general de preferencia revelada.
Axioma general de preferencia revelada (AGPR). Si un consumidor
revela (indirectamente) que prefiere (x1 , x2 ) a (y1 , y2 ) entonces no puede revelar directamente que prefiere estrictamente (y1 , y2 ) a (x1 , x2 ). Esto es, si
(x1 , x2 )R(y1 , y2 ) entonces no ocurre que (y1 , y2 )P D (x1 , x2 ).
Es importante que el lector note que el AGPR incluye implícitamente el supuesto de preferencias monótonas. Se puede demostrar que el AGPR es equivalente a tener una función de utilidad monótona que racionaliza los datos, es
decir, se satisface el AGPR si, y sólo si, existe una función de utilidad monótona que es consistente con elecciones maximizadoras para los datos observados.
Esto es parte de lo que se conoce como el teorema de Afriat (Afriat, 1967),
el cual, además, señala que el AGPR es equivalente a que exista una función
de utilidad continua, monótona y cóncava15 que es consistente con elecciones
maximizadoras para los datos observados, para lo cual existe un algoritmo de
verificación que se conoce como las desigualdades de Afriat.
Notemos que siempre que existe una función de utilidad monótona que racionaliza los datos entonces existe una función de utilidad continua, monótona
y cóncava que también los racionaliza. Así, por lo dicho, la convexidad de las
preferencias implicada por la concavidad de la función de utilidad no puede
ser verificada, puesto que aunque no fuera cóncava la función de utilidad “verdadera”, podríamos encontrar una función cóncava que racionaliza esos datos,
pues sólo basta con que la función de utilidad sea monótona y el agente sea
maximizador. Sin embargo, en virtud del AGPR, sí podemos testear el comportamiento maximizador de los agentes y la monotonicidad de sus preferencias.
Axioma débil de preferencia revelada (ADPR). Si un consumidor revela directamente que prefiere (x1 , x2 ) a (y1 , y2 ) y (x1 , x2 ) 6= (y1 , y2 ), entonces no puede revelar directamente que prefiere (y1 , y2 ) a (x1 , x2 ). Esto es,
(x1 , x2 )RD (y1 , y2 ) entonces no ocurre que (y1 , y2 )RD (x1 , x2 ).
15 Que la función de utilidad sea creciente y cóncava implica que las curvas de indiferencia
son convexas, no se debe confundir la concavidad de la función (que es una montaña en R3 con
“joroba”, y en ese sentido cóncava) con las propiedades de las curvas de indiferencia que son las
curvas de nivel de la “montaña”, las cuales deben ser convexas siempre que la función de utilidad
sea cóncava y creciente.
68
Semana 2. Minimización del gasto
El ADPR señala que siempre que el consumidor revele directamente que prefiere (x1 , x2 ) a (y1 , y2 ), si escogiera (y1 , y2 ) en vez de (x1 , x2 ) entonces la
canasta (x1 , x2 ) no era alcanzable en ese momento. Para ilustrar, considere
que el consumidor en cierto momento, cuando los precios eran (3, 2), eligió
(0.5, 2.25), y, en otro momento, cuando fueron (2, 3), escogió (0.5, 1.66); luego
p1 x1 + p2 x2 ≥
|
{z
}
3∗0.5+2∗2.25=6
y
p1 y 1 + p2 y 2
|
{z
}
p1 y 1 + p2 y 2
|
{z
}
3∗0.5+2∗1.66=4.82
2∗0.5+3∗1.66=5.98
p1 x1 + p2 x2
|
{z
}
2∗0.5+3∗2.25=7.75
Lo anterior señala que (x1 , x2 )RD (y1 , y2 ) y no ocurre que (y1 , y2 )RD (x1 , x2 ),
por lo cual podemos decir que no se viola el ADPR. De forma equivalente, se
puede decir que el agente escogió (x1 , x2 ) cuando pudo haber escogido (y1 , y2 )
(que era menos costosa), por lo cual (x1 , x2 ) se revela preferida a (y1 , y2 ). Pero
cuando escogió (y1 , y2 ) lo hizo porque no era alcanzable (x1 , x2 ) a esos precios,
por lo cual (y1 , y2 ) no se reveló preferida a (x1 , x2 ). La figura 2.7 muestra la
situación mencionada.
(x1 , x2 )
(x1 , x2 )
(y1 , y2 )
(y1 , y2 )
(y1 , y2 )
(x1 , x2 )
Figura 2.7. No se viola el
ADPR.
Figura 2.8. No se viola el
ADPR.
Figura 2.9. Se viola el
ADPR.
Si el consumidor, en cierto momento, cuando los precios eran (3, 2), eligió
(0.5, 2.25), y, en otro momento, cuando fueron (2, 3), escogió (2.25, 0.5), tampoco violaría el ADPR. También puede decirse que debido a que el axioma
tiene la forma de una implicación, el hecho de que el antecedente sea falso
(por lógica de predicados) lleva a una proposición verdadera. La figura 2.8
muestra esta situación.
Ahora: si el consumidor, en cierto momento, cuando los precios eran (3, 2)
eligió (1.66, 0.5), y, en otro momento, cuando fueron (2, 3), escogió (0.5, 1.66),
entonces se puede decir que sí viola el ADPR, debido a que:
p1 x1 + p2 x2
|
{z
}
3∗1.66+2∗0.5=5.98
≥
p1 y 1 + p2 y 2
|
{z
}
3∗0.5+2∗1.66=4.82
Ejercicios
69
y
p1 y 1 + p2 y 2
|
{z
}
2∗0.5+3∗1.66=5.98
≥
p1 x1 + p2 x2
|
{z
}
2∗1.66+3∗0.5=4.82
Es decir, (x1 , x2 )RD (y1 , y2 ) y (y1 , y2 )RD (x1 , x2 ). Esta situación es la que se
ilustra en la figura 2.9.
Axioma fuerte de preferencia revelada (AFPR). Si un consumidor revela
(indirectamente) que prefiere (x1 , x2 ) a (y1 , y2 ) y (x1 , x2 ) 6= (y1 , y2 ), entonces
no puede revelar (indirectamente) que prefiere (y1 , y2 ) a (x1 , x2 ). Esto es, si
(x1 , x2 )R(y1 , y2 ) entonces no ocurre que (y1 , y2 )R(x1 , x2 ).
El AFPR amplía el ADPR considerando la consistencia de las elecciones en el
sentido de que las preferencias deben ser transitivas, y si se satisface el AFPR
entonces debe satisfacerse el ADPR, aunque el ADPR podía satisfacerse aún
cuando no se satisfaga el AFPR.
No profundizaremos en el AFPR, porque es nuestro interés solamente hacer
una introducción a la teoría de las preferencias reveladas y sus alcances. Sin
embargo, es importante resaltar que el ADPR y el AFPR pueden ser violados
por funciones de utilidad que estén asociadas a bienes sustitutos perfectos.
Por ejemplo, piénsese en la función u(x1 , x2 ) = x1 +x2 y que el ingreso es 100,
siendo x1 el consumo en una gaseosa que es indiferente al consumo x2 en otra
gaseosa. Si suponemos que en cierto momento los precios son p1 = p2 = 1,
entonces el consumidor maximizador podría elegir x1 = 100, x2 = 0; pero,
digamos que en otro momento, con los mismos precios p1 = p2 = 1, podría
elegir x1 = 0, x2 = 100; en cuyo caso (x1 = 100, x2 = 0)RD (x1 = 0, x2 = 100)
y (x1 = 0, x2 = 100)RD (x1 = 100, x2 = 0), lo cual señalaría una violación al
ADPR, y por supuesto, también del AFPR.
Así, para que el ADPR y el AFPR capturen una lógica maximizadora consistente, se requiere asumir que las curvas de indiferencia no tienen tramos
rectos. Y, así, podemos utilizar directamente estos dos últimos axiomas para
contrastar si las elecciones de los consumidores maximizadores son, además,
consistentes con unas preferencias en las cuales exista una única elección para
cada precio o, lo que es lo mismo, cuando se hubiera probado que el agente es
maximizador y con preferencias monótonas (a través del AGPR, por ejemplo),
la violación del ADPR sirve para refutar preferencias convexas estrictas.
Este apartado resume los aspectos esenciales del enfoque de las preferencias
reveladas impulsado por Samuelson. Aún hoy día, hay que decir, existe un
espectro de posibilidades de contrastación empírica: ¿cuáles de los modelos
derivan restricciones testeables? Los economistas todavía no hemos dado una
respuesta definitiva a este problema.
Semana 3
Tipos de mercancías y el concepto de elasticidad
3.1.
Introducción
En esta semana estudiaremos, inicialmente, los diferentes tipos de comportamiento
de las demandas ante variaciones (ceteris paribus) en precios o en presupuesto, lo
que permitirá caracterizar los mismos bienes que se demandan. Después introduciremos la noción de elasticidad, que es una medida precisa de la variación porcentual
de la demanda con respecto a variaciones porcentuales de sus parámetros (precios,
presupuestos). Se discutirán sus fortalezas y debilidades como herramienta de análisis económico.
3.2.
Metodología de la economía neoclásica
La metodología típica de investigación de la economía neoclásica homogénea se
cumple a través de tres pasos fundamentales:
i) Plantear el problema del agente optimizador.
ii) Encontrar los equilibrios.
iii) Realizar estática comparativa sobre los equilibrios (ceteris paribus).
En nuestro caso del consumidor, ya tenemos el problema principal, y ahora haremos
estática comparativa con las demandas marshallianas (equilibrios). El primer caso a
estudiar es: ¿qué sucede con las demandas marshallianas si M varía pero los precios
están fijos? Y el segundo caso es: ¿qué sucede con las demandas marshallianas si
los precios varían pero M queda fijo?
71
72
3.2.1.
Semana 3. Tipos de mercancías y elasticidad
Precios fijos y presupuesto variable
Sean x y y las demandas marshallianas para cierto consumidor. Cuando los precios
están fijos pero el presupuesto varía, podrían presentarse dos casos especiales:
a) Siempre se da que ∂x/∂M > 0; es decir, cuando al aumentar el presupuesto M ,
también aumenta la demanda del bien x. En este caso, diremos que x es un bien
normal. Lo mismo si siempre se tiene que ∂y/∂M > 0.
b) Siempre se da que ∂x/∂M < 0; es decir, cuando al aumentar M , disminuye la
demanda del bien x. En este caso, diremos que x es un bien inferior. Lo mismo
si siempre se tiene que ∂y/∂M < 0.
En la figura 3.1 ilustramos estos dos conceptos.
y
En C, x es un bien
inferior pero y es
C un bien normal
B
A
En B, ambos
bienes (x e y) son
normales
En D, x es un bien
normal pero y es
D
un bien inferior
x
Figura 3.1. Bienes normales e inferiores. Los comportamientos en B , C y D se describen a partir
de A, ante un aumento en el presupuesto.
Como veremos en los siguientes ejemplos, es muy usual encontrar que los bienes
sean normales, mas no es igual en el caso de los bienes inferiores. En el ejemplo 5
más adelante, se mostrará un caso en el que esto último ocurre.
3.2.2.
Presupuesto fijo y precios variables
Si el presupuesto está fijo y los precios varían, podrían presentarse dos casos importantes:
a) Siempre se da que ∂x/∂p2 > 0, ∂y/∂p1 > 0: es decir, cuando al aumentar p2 ,
aumenta la demanda del bien x; y, también, cuando al aumentar p1 , aumenta la
demanda del bien y. En este caso, diremos que x e y (ye) son bienes sustitutos
(brutos) (figura 3.2).
b) Siempre se da que ∂x/∂p2 < 0, ∂y/∂p1 < 0: es decir, cuando al aumentar p2 , disminuye la demanda del bien x; y, también, cuando al aumentar p1 , disminuye la
demanda del bien y. En este caso, diremos que x e y son bienes complementarios
(brutos) (ver figura 3.3).
3.2. Metodología general de la economía neoclásica
y
73
y
M
p2
M
p2
′
p2 > p2
′
p2 > p2
M
′
p2
B
M
′
p2
B
A
A
C
C
M
′
p1
′
p1 > p1
x
M
p1
Figura 3.2. Los bienes x e y son bienes
sustitutos (brutos). Los comportamientos en
B y C se describen a partir del punto A,
después de cambios en p1 y p2 .
M
′
p1
′
p1 > p1
M
p1
x
Figura 3.3. Los bienes x e y son bienes
complementarios (brutos). Los
comportamientos en B y C se describen a
partir del punto A, después de cambios en p1
y p2 .
c) Por su parte, un bien Giffen (Robert Giffen [1837–1910]) (figura 3.4) está definido para M fijo, pero precios variables. Si el precio de un bien baja y la demanda
por ese bien también baja, entonces ese bien es Giffen. Así, si siempre se da
que ∂x/∂p1 > 0 entonces x es bien Giffen; y si siempre se da que ∂y/∂p2 > 0
entonces y (ye) es un bien Giffen (figura 3.4). Por consiguiente, este tipo de
bienes viola la ley de la demanda que afirma que el precio de una mercancía cae
ante aumentos de su cantidad disponible en el mercado.
y
B
A
x disminuye
p1 disminuye
x
Figura 3.4. El bien x es Giffen. Obsérvese que x disminuye cuando p1 disminuye.
Cabe advertir que los bienes Giffen no son comunes, como el mismo Marshall lo
aseguraba:
Hay, sin embargo, algunas excepciones. Por ejemplo, como ha señalado el señor
Giffen, un aumento en el precio del pan hace un efecto tan grande en los recursos
74
Semana 3. Tipos de mercancías y elasticidad
de las familias trabajadoras más pobres y aumenta tanto la utilidad marginal del
dinero para ellos, que se ven forzados a recortar su consumo de carne y de los
productos a base de harina más costosos: y el pan siendo todavía el alimento más
barato que puedan obtener, lo consumirán más y no menos. Pero tales casos son
raros; cuando aparecen deben tratarse separadamente.
Alfred Marshall, Principles of Economics, 1920, pp. 109-1101 .
Un ejemplo concreto de una función de utilidad para la que uno de los bienes es
Giffen puede encontrarse en el ejemplo 5 adelante.
Ejemplo 1.
La función Cobb-Douglas
U (x, y) = xα y β
tiene como demandas marshallianas
αM
(α + β)p1
,
y∗ =
α
∂x
=
>0
∂M
(α + β)p1
,
∂y
β
=
>0
∂M
(α + β) p2
x∗ =
βM
(α + β)p2
Y puesto que:
entonces ambos, x e y, son bienes normales. Sin embargo, dado que ∂x/∂p2 = 0 y
∂y/∂p1 = 0, estos bienes no son sustitutos ni complementarios brutos2 . N
Esta última situación (un tanto “extraña”) presentada en casos como el de las
demandas marshallianas de la función de utilidad Cobb-Douglas –pues es claro
que allí opera “cierta sustitución” importante entre los dos bienes x y y (ye)–,
ha dado origen a que se estudie más detenidamente este problema. Por ello, en
lugar de definir bienes sustitutos y complementarios recurriendo a las demandas
marshallianas (x, y), esto se lleva a cabo con las demandas hicksianas (h1 , h2 ) (es
decir, sobre la misma curva de utilidad) (Hicks & Allen, 1934). En tal caso, los
bienes se llamarán sustitutos y complementarios netos, en lugar de sustitutos y
complementarios brutos, que son los que hemos definido anteriormente.
Ejemplo 2.
Probemos que, en el caso anterior de una función de utilidad Cobb-Douglas, los
bienes x y y (ye) son sustitutos netos, a pesar de no ser sustitutos brutos. En efecto:
dado que las demandas son:
x=
αM
(α + β) p1
,
y=
βM
(α + β) p2
1 Aunque usualmente se asocia con Marshall traer a la luz los bienes Giffen, fue Pareto (1893)
el primero en demostrar que los bienes Giffen podían existir teóricamente. Y Marshall conoció el
trabajo de Pareto cuando aquel preparaba la tercera edición de los Principles.
2 En ocasiones, a estos bienes en que la variación es cero, se les llama “independientes”.
3.2. Metodología general de la economía neoclásica
75
entonces la utilidad indirecta es:
α β
αM
βM
V =
(α + β) p1
(α + β) p2
Así, la función de gasto es:
e = ((α + β) p1 )
α
α+β
((α + β) p2 )
β
α+β
U0
αα β β
1
α+β
y, por tanto,
∂2e
∂h1
=
>0
∂p2
∂p1 ∂p2
∂h2
∂2e
=
>0
∂p1
∂p2 ∂p1
[3]
lo que muestra que ambos bienes son, efectivamente, sustitutos netos.
Ejemplo 3.
La función de utilidad tipo Leontief U (x, y) = Mín{x, y} tiene como demandas
marshallianas:
M
= y∗
x∗ =
p1 + p2
Y puesto que:
1
∂y
1
∂x
=
>0 ,
=
>0
∂M
p1 + p2
∂M
p1 + p2
entonces ambos, x e y (ye), son bienes normales. Además, dado que:
∂x
−M
=
<0
∂p2
(p1 + p2 )2
∂y
−M
<0
=
∂p1
(p1 + p2 )2
estos son bienes complementarios brutos. Sin embargo, como las demandas hicksianas
en el caso de la función Leontief son
h1 = U0 = h2
entonces los bienes no son complementarios netos ni sustitutos netos.
Ejemplo 4.
√
En la función de utilidad U (x, y) = x + y, donde
2
p2
M
p2
−
; y∗ =
x∗ =
2p1
p2
4p1
3 De hecho, estas dos derivadas de segundo orden son iguales (ver Apéndice matemático (sección
A.9) al final del texto).
76
Semana 3. Tipos de mercancías y elasticidad
el bien x no es normal (no depende de M ) pero el bien y (ye) sí lo es. De otro
lado, puesto que en la región donde M > (p2 )2 /4p1 se da que ∂x/∂p2 > 0,
∂y/∂p1 > 0, entonces los bienes son sustitutos brutos. También, puesto que las
demandas hicksianas, en este caso, son:
2
∂e
p2
h1 =
=
(no depende de U0 )
∂p1
2p1
p2
∂e
= U0 −
h2 =
∂p2
2p1
p2
, entonces en esta región se tiene que:
donde h2 > 0 sólo cuando U0 > 2p
1
∂h1
>0 ,
∂p2
∂h2
>0
∂p1
lo que muestra que los bienes también son sustitutos netos.
Ejemplo 5. (Un ejemplo de bien Giffen)
Para la función de utilidad definida por U (x, y) = ln (x − 1) − 2 ln (2 − y) donde
1 < x, 1 < y < 2, las demandas marshallianas son:
x∗ = 2 +
2p2 − M
p1
;
y∗ =
2(M − p1 )
−2
p2
con p1 + p2 < M < 2p1 + 2p2 , como el lector puede corroborar recurriendo
a la ecuación de Jevons y a la ecuación presupuestal. Pero en la región donde
p2 < p1 se tiene, más específicamente, que 2p2 < M < 4p1 , y allí ∂x/∂p1 > 0. Por
consiguiente, en esta región, el bien x es Giffen (figura 3.5).
p1
x
Figura 3.5. “Extraña” curva de demanda del bien Giffen x.
Algo más que podemos observar aquí es que, en la región en que las demandas
están bien definidas, estos bienes no son complementarios ni sustitutos brutos pues
∂x
>0 ,
∂p2
∂y
<0
∂p1
Realmente este es un caso muy particular de comportamiento del consumidor. Pero
a pesar de lo anterior, y como veremos, la teoría neoclásica del equilibrio parcial
ignorará casi completamente estos “casos extraños”.
3.3. La noción de elasticidad
3.3.
77
La noción de elasticidad
Continuando con el análisis de estática comparativa (ceteris paribus) aplicado a las
demandas marshallianas, ahora introducimos la noción de elasticidad. Ya estudiamos una clasificación de los bienes (normal, inferior, complementario o sustituto)
de acuerdo con el signo (positivo o negativo) de las derivadas de las demandas
marshallianas o de las demandas hicksianas (con respecto al ingreso y al precio).
Lo que ahora estudiaremos es exactamente cuánto es esa variación mediante porcentajes; es decir, mediante la noción de elasticidad de la demanda definida por
Marshall en sus Principles of Economics de 1920:
La elasticidad de la demanda en un mercado es mayor o menor dependiendo de
si la cantidad demandada aumenta mucho o poco ante una caída en el precio, y
disminuye mucho o poco para un aumento dado en el precio. (p. 86)
Pero antes de concentrarnos en la elasticidad de la demanda, definamos, en general,
lo que es la elasticidad ǫ de una variable a que depende de otra variable b. Es la
siguiente:
∆a
variación porcentual de a
ǫ=
= a
variación porcentual de b
∆b
b
O bien,
∆a b
∆b a
Y que, en el caso diferenciable, se escribe como
ǫ=
ǫ=
∂a b
∂b a
Esto se interpreta usualmente así: ante un cambio de 1 % en la variable b, la variable
a variará ǫ %. No sobra, aún así, destacar que esto no es del todo preciso, pues,
en el caso diferenciable, no es el cambio de 1 % lo relevante sino un cambio de un
diferencial db % (tomado a partir de un punto fijo (a, b)) lo que representará un
cambio de ǫ % en la variable a.
3.3.1.
Clasificación de las elasticidades
El comportamiento de las curvas a(b) con respecto a las elasticidades, permiten
cierta clasificación no exhaustiva, que es la siguiente:
a) Si su elasticidad (con respecto a b) es siempre cero, diremos que la variable a es
perfectamente inelástica.
b) Si su elasticidad (con respecto a b) es siempre mayor que 1 en valor absoluto,
diremos que la variable a es elástica.
c) Si su elasticidad (con respecto a b) es siempre menor que 1 en valor absoluto,
diremos que la variable a es inelástica.
78
Semana 3. Tipos de mercancías y elasticidad
d) Si su elasticidad (con respecto a b) es siempre igual a 1 en valor absoluto, diremos
que la variable a tiene elasticidad unitaria.
e) Si su elasticidad (con respecto a b) es siempre infinita en valor absoluto, diremos
que la variable a es perfectamente elástica o que tiene elasticidad infinita.
Ejemplo 6.
Los coeficientes α y β de la función de utilidad Cobb-Douglas
U (x, y) = xα y β
son elasticidades, pues un simple cálculo nos muestra que la elasticidad de la utiU
lidad con respecto al bien x es igual a ∂U
∂x / x = α; y, similarmente, la elasticidad
U
de la utilidad con respecto al bien y (ye) es igual a ∂U
∂y / y = β. Así, es corriente
argumentar (olvidando un poco la precisión matemática) que si se aumenta en 1 %
el consumo del bien x, la utilidad aumentará α %. Y, similarmente, si se aumenta
en 1 % el consumo del bien y (ye), la utilidad aumentará β %.N
Ahora: continuando con la estática comparativa sobre las demandas marshallianas,
distinguiremos dos tipos muy especiales de elasticidades:
a) Elasticidades-ingreso (o renta) de la demanda:
∂x M
∂M x
;
∂y M
∂M y
∂x p1
∂p1 x
;
∂y p2
∂p2 y
∂x p2
∂p2 x
;
∂y p1
∂p1 y
b) Elasticidades-precio de la demanda:
A estas dos últimas elasticidades se les llama “elasticidades-precio cruzadas”. A
las dos primeras, en ocasiones, se les llama “elasticidades del propio precio”.
En la figura 3.6, aparecen distintas curvas de demanda con elasticidades diferentes.
Allí, la curva de demanda en negrilla es más elástica que la curva de demanda punteada pues, ubicándonos en un punto previamente determinado de demanda x∗ , a
una variación en el precio de 1 %, la curva de demanda en negrilla tiene un cambio
porcentual mayor (base del triángulo inferior) que la curva de demanda punteada
(base del triángulo superior). Y, en la misma gráfica, las rectas de demanda horizontal y vertical son casos límite, en el que la primera corresponde al caso de
elasticidad infinita y la segunda al caso de elasticidad cero.
3.3. La noción de elasticidad
79
Precio
Elasticidad
cero
1%
Elasticidad
infinita
1%
Curva de demanda
más elástica
Curva de demanda
menos elástica
Demanda
x∗
Figura 3.6. Gráfico comparativo de elasticidades-precio de la demanda.
Ejemplos de esto, bajo el riesgo de simplificar demasiado, son:
i) La insulina, a la que se le considera de elasticidad-precio cero pues es un bien
que no tiene sustituto y habrá que comprarla a cualquier precio o, en otro
caso, estar en riesgo alto de muerte: el consumo de insulina es “insensible”
a su precio. Por ello, podríamos adaptar esta situación a un problema de
consumidor de la forma
Maximizar
y>0
sujeta a
U (x0 , y)
p1 x0 + p2 y = M
donde x0 (> 0) son las unidades (fijas) de insulina necesarias durante el periodo. Esto nos lleva a las demandas marshallianas
x∗ = x0
,
y∗ =
M − p1 x0
p2
Claramente, la demanda por la insulina tiene elasticidad-precio cero. Note la
condición M > p1 x0 que exige el problema para que el consumidor pueda
adquirir el medicamento4 .
ii) El agua, que es un ejemplo muy socorrido de un bien con elasticidad-precio
baja, pues a pesar de que aumente el precio, la falta de un sustituto adecuado a
este bien básico, hace que las familias siempre la incluyan como bien obligado
en su canasta familiar. Similar caso es el de la sal. Inclusive bienes como los
cigarrillos o el aguardiente podrían también tener baja elasticidad-precio.
4 El lector podría (y, quizás, debería) preguntarse aquí, qué sucedería si el consumidor no
pudiera acceder a la insulina. ¿Tal vez intervención del Estado con subsidio?
80
Semana 3. Tipos de mercancías y elasticidad
iii) Por su parte, ejemplos de bienes con elasticidad-precio alta son aquellos que
tienen sustitutos “casi perfectos”, como es el caso de la carne de pollo en
Colombia en la década posterior de 1990: ante un aumento en el precio, las
familias han preferido sustituirla por otro tipo de carnes tales como la de res
o la de cerdo. Un poco más adelante se presentarán las cifras que, según cierto
estudio, confirmarían lo anterior.
iv) En algunos países, la Coca-Cola y la Pepsi son bienes “sustitutos perfectos”,
es decir, los consumidores son indiferentes entre las dos marcas. Por lo tanto,
si baja el precio de la Coca-Cola (asumiendo que es el mismo de la Pepsi), los
consumidores comprarían toda la cantidad posible de unidades de Coca-Cola
y ninguna unidad de Pepsi. Algunos autores asimilan este comportamiento a
que la curva de demanda de la Coca-Cola es perfectamente elástica (elasticidad infinita) y que se puede ilustrar como una recta horizontal. Sin embargo,
no es exactamente así. En efecto: como bien sabemos, la demanda del bien x
(digamos Coca-Cola) en el caso de una función de utilidad con bienes “sustitutos perfectos” de la forma U (x, y) = x + y (donde el bien y (ye) es la Pepsi)
es de la forma ilustrada en la figura 3.7; es decir, de la forma


0
∗
x (p1 ) = [0, M/p∗2 ]


M/p1
si p1 > p2 ∗
si p1 = p2 ∗
si p1 < p2 ∗
Entonces queda claro que si el precio de la Coca-Cola y de la Pepsi son iguales
(es decir, p1 = p2 ∗ ), una variación porcentual pequeña del precio p1 de la
Coca-Cola con respecto al precio de p2 ∗ (fijo) de la Pepsi, causará cambios
sustanciales en la demanda, como lo muestra la figura, pero no hasta el punto
de ser infinita. Es decir, cuando p1 = p2 ∗ , la demanda puede tener una alta
elasticidad, pero no infinita.
p1
p2 ∗
M/p2 ∗
x∗
Figura 3.7. Demanda de la función de utilidad U (x, y) = x + y.
3.3. La noción de elasticidad
81
Cambiando de frente, un análisis similar se puede llevar a cabo para la curva de
demanda versus ingreso, pero estudiando ahora la elasticidad-ingreso5 . En la figura
3.8, con un argumento similar al que utilizamos para describir las elasticidadesprecio, ahora se señalan allí los diferentes tipos de elasticidades ingreso. Aquí, la
curva en negrilla presenta menos elasticidad-ingreso que la curva punteada. Los
casos límite son la recta horizontal sobre el eje de abscisas (Demanda) en la que la
elasticidad-ingreso es infinita, y la recta vertical sobre el eje de ordenadas (Ingreso)
en la que la elasticidad-ingreso es cero.
Ingreso
Demanda con
elasticidad-ingreso cero
Demanda
menos elástica
1%
1%
Demanda
más elástica
Demanda con
elasticidad-ingreso infinita
x0
Demanda
Figura 3.8. Gráfico comparativo de elasticidades-ingreso de la demanda para un bien normal.
Ejemplo 7. (Elasticidades en el caso lineal)
Algunos ejemplos de esto son: I) Los bienes que, independientemente del ingreso, no
son consumidos (elasticidad-ingreso cero), son los que tienen el precio más alto entre
sus “sustitutos perfectos”, como podría ser el caso aproximado de la Coca-Cola y
la Pepsi explicado antes cuando p1 > p2 ∗ . II) Sin embargo, no existen ejemplos de
demanda con elasticidad-ingreso infinita, a menos que los bienes sean gratuitos.
¿Por qué?
Que a mayor precio del producto, más sensible es un consumidor ante cambios en
precios, debido, quizás, a que los consumidores sustituyen el producto costoso por
otros menos costosos, se ilustra en el hecho de que el tramo elástico (en precio)
de la recta de demanda x = a − bp con a, b > 0 en la figura 3.9, es el segmento
resaltado en negrilla, pues cuando p > a/2b:
ε=
∂x p
−bp
=
< −1
∂p x
a − bp
como el lector puede comprobar fácilmente.
5 La razón por la que estas curvas son menos populares es, sin duda, el análisis de equilibrio
parcial en donde la curva de demanda únicamente depende de los precios.
82
Semana 3. Tipos de mercancías y elasticidad
p
a/b
Tramo elástico
de la demanda
(más sensible a los
cambios en los precios)
Tramo inelástico
de la demanda
(menos sensible a los
cambios en los precios)
a/2b
a
a/2
x
Figura 3.9. Zonas elásticas e inelásticas de una recta de demanda.
a
), y el tramo inelástico de la recta de
Así, el punto de elasticidad unitaria es ( a2 , 2b
demanda corresponde al segmento punteado en la misma figura 3.9. Sin embargo,
esta interpretación, aunque recurrente, no es cierta siempre. Observando el siguiente
caso, entenderemos mejor.
Ejemplo 8.
Vimos, en el ejemplo inmediatamente anterior, que las curvas de demanda pueden
presentar una zona elástica y una inelástica en precios. No obstante algunas pueden
tener la misma elasticidad en toda la curva, como es el caso de la curva de demanda
de la forma X = Ap−α (con A, α > 0) que tiene elasticidad −α en toda la curva. En
efecto: observemos, simplemente, que (∂X/∂p)(X/p) = −α. Con esto se muestra
que una curva de demanda no siempre tiene un tramo elástico y otro inelástico,
como en el caso de la recta de demanda: en su lugar, podría ser toda inelástica o
toda elástica. Así, afirmar que un consumidor sustituye más cuando los precios son
más altos, puede no ser cierto, como lo ilustra el presente ejemplo.
Ejemplo 9.
Suponga que cuando el precio de mercado es p∗ = 12, el consumidor compra x = 3
unidades de cierto bien. Asuma, además, que la elasticidad-precio en ese momento
es estimada como ε = −0.04. Entonces observemos que podemos estimar una recta
de demanda lineal para el consumidor, que se adapta bien a estos tres datos. En
efecto, supongamos que la ecuación de demanda es x = a − bp para ciertos a, b > 0
que debemos hallar. Comenzamos notando que 3 = a − 12b. Y después observamos
que como
dx p
= −0.04
ε=
dp x
entonces:
−b
12
3
= −0.04
3.3. La noción de elasticidad
83
Por consiguiente, b = 0.01; y así, a partir de 3 = a − 12b se encuentra que a =
3 + 12b = 3 + 12(0.01) = 3.12. Por lo tanto, la recta de demanda que satisface los
tres datos dados al principio del ejercicio es x = 3.12 − 0.01p. N
Aunque no todos los economistas coinciden en ello, se argumenta que determinar la
elasticidad de la demanda puede ser de gran importancia para el sector empresarial
y también para el Estado, puesto que permite anticipar el comportamiento del
mercado ante una variación de factores como el precio de los bienes y servicios.
Por ejemplo, con el incremento del precio de los combustibles, es posible que el
precio de muchos productos se incremente también, por lo que es necesario que las
empresas puedan medir con exactitud cuánto afectará a sus ventas esa situación,
y así realizar los ajustes y correcciones necesarios para alcanzar el menor impacto
negativo posible. Para una empresa de turismo, dado el caso, si se incrementa el
precio de los combustibles se incrementará el precio de los pasajes, situación que
posiblemente hará que muchas personas decidan no ir de vacaciones, lo cual afectará
directamente a las empresas relacionadas con el turismo, etc.
No obstante, es muy importante notar que las elasticidades podrían depender del
nivel de precios vigente en el mercado, y así, las curvas de demanda tendrían una
elasticidad diferente en cada estado precio-demanda de la economía. Por ello, es
que los más convencidos de este tipo de estadísticas, recurren a conceptos como
“elasticidades de corto plazo” y “elasticidades de largo plazo”. En el “corto plazo”,
es decir, ante repentinos cambios en los precios, los consumidores usualmente mantienen sus mismos comportamientos. Pero en el largo plazo, es decir, si los precios se
estabilizan alrededor de nuevos precios, los consumidores cambiarán sus demandas
por sustitutos.
Por ejemplo, en 1973, como parte de la estrategia política derivada de la Guerra
del Yom Kippur (Israel), la OPEP detuvo la producción de crudo y estableció un
embargo para los envíos de petróleo hacia Occidente, especialmente hacia Estados
Unidos y los Países Bajos. A corto plazo, en estos países continuaron utilizando sus
automóviles viejos devoradores de gasolina y, en general, su antiguo hábito de despilfarrar combustible. Sin embargo, en el largo plazo, los consumidores compraron
automóviles más pequeños, recurrieron a estufas de gas, y a otras fuentes de energía, etc. Según esto, la curva de demanda por petróleo es más elástica en el largo
plazo que en el corto plazo 6 . Por lo tanto, aunque debemos ser muy cuidadosos al
momento de hacer inferencias con resultados de elasticidades de demandas agregadas, ellas son una herramienta de análisis muy recurrida en el diseño de políticas
macroeconómicas y microeconómicas.
3.3.2.
Elasticidades en un mercado colombiano
En los siguientes ejemplos, asumiremos que, de manera agregada, o, más específicamente, sumando las demandas individuales, logramos conseguir la demanda
6 Algo similar ha venido ocurriendo en Colombia con las estufas eléctricas y a gas (UPME,
2015).
84
Semana 3. Tipos de mercancías y elasticidad
agregada de un país o de un sector económico, y que, mediante encuestas cuidadosamente realizadas y análisis econométricos, se consigue estimar estas elasticidades.
Cabe advertir que, en muchas ocasiones, las agencias del gobierno colombiano (DNP,
DANE, etc.) son resistentes a hacer públicos algunos de estos datos, por razones de
posibles manipulaciones de precios por parte de agentes económicos con intereses
privados.
Ejemplo 10. [Mercado de carnes en Colombia 1970–1998 (Galvis, 2000)]
En las dos siguientes tablas se muestran estimaciones de las elasticidades-ingreso
y las elasticidades-precio de la demanda de carnes en Colombia desde 1970 hasta
1998.
a) Elasticidades-ingreso de la demanda de carnes.
Periodo
Res
Cerdo
Pollo
1970
1975
1980
1985
1990
1995
1998
0.79
0.78
0.76
0.75
0.73
0.67
0.67
0.68
0.72
0.64
0.6
0.49
0.56
0.55
2.81
2.56
3.02
3.25
3.91
3.5
3.53
Tabla 3.1.
b) Elasticidades-precio propio de la demanda de carnes.
Periodo
Res
Cerdo
Pollo
1970
1975
1980
1985
1990
1995
1998
-1.19
-1.21
-1.25
-1.27
-1.3
-1.42
-1.41
-1.5
-1.42
-1.56
-1.63
-1.82
-1.7
-1.71
-5.32
-4.69
-2.36
-2.07
-1.9
-1.68
-1.69
Tabla 3.2.
Según estas estadísticas, los colombianos serían, en general, más sensibles a aumentos de precio en la carne de pollo que a aumentos de precio en la carne de res o de
cerdo. Es decir, si el precio de estas carnes aumenta en la misma proporción, en sus
dietas sustituyen más fácilmente el pollo que la carne de res o de cerdo. Además,
también el consumo de la carne de pollo aumenta más sustancialmente con el aumento de los ingresos. En definitiva, los datos afirman que los colombianos, durante
el periodo de 1970 a 1998, han consumido carne de res y de cerdo de manera usual,
con respecto a cambios en el ingreso y en los precios, pero el consumo de la carne
de pollo sí ha sido más sensible a estos cambios.
3.3. La noción de elasticidad
3.3.3.
85
Cálculo teórico de elasticidades
Recurriendo a las funciones de utilidad que hemos venido estudiando durante las
semanas anteriores, podemos caracterizar con mucha precisión el cambio porcentual
de las demandas marshallianas ante un cambio porcentual de los precios o del
presupuesto. Veamos esto en detalle.
1. En el caso de las demandas marshallianas de la función Cobb-Douglas
x∗ =
αM
(α + β)p1
,
y∗ =
βM
(α + β)p2
tenemos que sus elasticidades-ingreso son unitarias:
!
∂x M
α
M
! =1
=
∂M x
(α + β)p1
αM
(α + β)p1
∂y M
=
∂M y
β
(α + β)p2
!
M
βM
(α + β)p2
! =1
elasticidad
unitaria
elasticidad
unitaria
lo cual implica que cambios en el ingreso no afectan la composición del consumo.
Pero también las elasticidades-precio (propias) de la demanda son (en valor
absoluto) unitarias:
!
∂x p1
p1
αM
elasticidad
!
= −1
=−
unitaria
∂p1 x
(α + β)p1 2
αM
(α + β)p1
!
∂y p2
p2
βM
elasticidad
!
=
−1
=−
unitaria
∂p2 y
(α + β)p2 2
βM
(α + β)p2
lo cual implica que cambios en el precio tampoco afectan la composición del
consumo.
Y las elasticidades-precio cruzadas son cero:
∂x p2
=0
∂p2 x
;
∂y p1
=0
∂p1 y
perfectamente
inelásticas
Notemos, finalmente, que las elasticidades precio e ingreso de las demandas
de este tipo de consumidor Cobb-Douglas son independientes de los precios
del mercado.
86
Semana 3. Tipos de mercancías y elasticidad
2. En el caso de las demandas marshallianas de la función Leontief
x∗ =
M
= y∗
p1 + p2
tenemos que sus elasticidades-ingreso también tienen elasticidad unitaria:
!
M
1
∂x M
elasticidad
!=1
=
unitaria
∂M x
p1 + p2
M
p1 + p2
=
∂y M
∂M y
Sin embargo, las elasticidades-precio (propias) de la demanda son diferentes,
pues, en este caso, sí dependen de los precios del mercado:
!
!
∂x p1
p1 + p2
M
p1
(inelástica)
=−
p1 = −
2
∂p1 x
M
p1 + p2
(p1 + p2 )
!
!
p1 + p2
M
∂y p2
p2
=−
p2 = −
(inelástica)
2
∂p2 y
M
p
1 + p2
(p1 + p2 )
Y, similarmente, las elasticidades-precio cruzadas también dependen de los
precios de mercado:
∂x p2
p2
=−
∂p2 x
p1 + p2
p1
∂y p1
=−
∂p1 y
p1 + p2
(inelástica)
(inelástica)
Lo anterior muestra que variaciones porcentuales en el ingreso no van a cambiar la composición del consumo. Sin embargo, variaciones porcentuales en
los precios sí la afectarán.
√ √
3. En el caso de la función de utilidad separable U (x, y) = x+ y, las demandas
marshallianas son:
M p2
M p1
x∗ =
; y∗ =
p1 p2 + p1 2
p1 p2 + p2 2
y, por tanto, las elasticidades-ingreso son:
∂x M
∂y M
=1=
∂M x
∂M y
(elasticidad unitaria)
Por su parte, las elasticidades-precio (propias) de la demanda son:
∂x p1
p2 + 2p1
=−
∂p1 x
p2 + p1
∂y p2
p1 + 2p2
=−
∂p2 y
p2 + p1
(elástica)
(elástica)
3.4. Curvas de Engel
87
Y, similarmente, las elasticidades cruzadas:
∂x p2
p2 + p1 p2
p1
= 1
=
2
∂p2 x
(p1 + p2 )
p1 + p2
2
∂y p1
p1 p2 + p2
p2
=
=
∂p1 y
(p1 + p2 )2
p1 + p2
(inelástica)
(inelástica)
√
4. En el caso de la función cuasilineal U (x, y) = x+y, las demandas marshallianas
son:
(p2 )2
M
p2
x∗ =
, y∗ =
−
(si 4M p1 > (p2 )2 )
4p1 2
p2
4p1
y, por tanto, las elasticidades-ingreso son:
∂x M
=0
∂M x
∂y M
4M p1
=
∂M y
4M p1 − (p2 )2
(elasticidad cero)
(elástica)
Note aquí que si M crece (con precios fijos), esta última elasticidad decrece.
Por su parte, las elasticidades-precio (propias) de la demanda son:
∂x p1
= −2
∂p1 x
∂y p2
4M p1 + (p2 )2
=−
∂p2 y
4M p1 − (p2 )2
(elástica)
(depende de M y de p1 )
Y, similarmente, las elasticidades cruzadas:
∂x p2
=2
∂p2 x
∂y p1
p2 2
=
2
∂p1 y
4M p1 − (p2 )
(elástica)
(depende de M y de p2 )
¿Bajo qué condiciones tienen sentido las elasticidades anteriores?
3.4.
Curvas de Engel y trayectorias de expansión
del ingreso
Las curvas de Engel (Ernst Engel [1821–1896])7 de un bien, relacionan la variación
de la demanda de ese bien, ante cambios en el presupuesto. Esto, a nivel agregado,
7 Engel, recurriendo a encuestas de familias de clase trabajadora en Bélgica, estudió cómo
variaban los gastos en alimentación de los hogares cuando variaba el ingreso. Encontró que estos
gastos aumentaban en función creciente del ingreso y del tamaño de la familia, pero que la
proporción de la alimentación en el ingreso decrecía con este. Esta misma relación, hoy conocida
como Ley de Engel, se ha visto comprobada en muchos otros países y épocas.
88
Semana 3. Tipos de mercancías y elasticidad
y en principio, permite comparar las demandas entre distintos “estratos” socioeconómicos (niveles de ingreso). En general, las curvas de Engel son las mismas
demandas marshallianas, cuando los precios son fijos. Por ejemplo:
i) En el caso U (x, y) = Mín{x, y}, dada la complementariedad de los bienes, las
curvas de Engel son rectas que pasan por el origen y tienen pendiente (p1 +p2 );
es decir, las curvas de Engel son M = (p1 + p2 )x, M = (p1 + p2 )y (figura 3.10).
M
M
Pendiente
p1 + p2
Pendiente
p1 + p2
y
x
Figura 3.10. Curvas de Engel (para los dos bienes x y y, respectivamente) en la función de
utilidad Leontief.
ii) Y en el caso de la función Cobb-Douglas U (x, y) = xy, las curvas de Engel
también son rectas: M = 2p1 x y M = 2p2 y (figura 3.11).
M
M
Pendiente 2p1
x
Pendiente 2p2
y
Figura 3.11. Curvas de Engel (para los dos bienes x y y, respectivamente) en la función de
utilidad Cobb-Douglas.
Notemos que si p1 = p2 , las curvas de Engel de ambos bienes en los casos I y II
son iguales; y si los precios difieren, las curvas de Engel de los bienes x y y del
caso de la función de utilidad de Leontief tienen una pendiente igual al promedio
de las pendientes de las curvas de Engel de esos bienes en el caso de la función
Cobb-Douglas.
√
III) Para la función de utilidad cuasilineal U (x, y) = x + y, donde
2
p2
M
p2
∗
−
; y∗ =
x =
2p1
p2
4p1
3.4. Curvas de Engel
89
2
con M > (p2 ) /4p1 , las curvas de Engel son:
2
2
p2
(p2 )
∗
x =
; M = p2 y +
2p1
4p1
M
(figura 3.12)
M
Pendiente p2
Pendiente
infinita
(p2 )2
4p1
(p2 )2
4p1
p
x∗ = ( 4p2 )2
y
x
1
Figura 3.12. Curvas de Engel para una función de utilidad separable.
Por su parte, la trayectoria de expansión del ingreso está conformada por las
mismas demandas marshallianas pero escritas como ecuaciones paramétricas que
dependen del parámetro ingreso (M ). Por ejemplo, en la función Cobb-Douglas
U (x, y) = xy, la trayectoria está determinada por los puntos (x, y) tales que
x = M/2p1 , y = M/2p2 . Y para dibujarla, notemos que esa trayectoria está definida
por la ecuación y = (p1 /p2 )x (figura 3.13).
Ahora: la trayectoria de expansión del ingreso puede “torcerse” más hacia un bien
que hacia otro; es decir, en la medida en que aumenta el ingreso, se consume,
proporcionalmente, más de un bien (bien de lujo) que de otro (bien necesario).
y
Trayectoria de
expansión del ingreso
p
y = ( p1 )x
2
x
Figura 3.13. Trayectoria de expansión del ingreso para la función de utilidad Cobb-Douglas
U (x, y) = xy.
También podemos considerar el caso de la función de utilidad U (x, y) =
donde
2
p2
p2
M
∗
x =
−
,
y∗ =
2p1
p2
4p1
√
x + y,
90
Semana 3. Tipos de mercancías y elasticidad
Aquí se tiene que la trayectoria de expansión del ingreso es de la forma indicada
en la figura 3.14, y se ve que x es un bien necesario pero el bien y (ye) es un bien
de lujo.
y
Trayectoria de expansión
del ingreso
x
Figura 3.14. Trayectoria de expansión del ingreso para la función de utilidad U (x, y) = x1/2 + y.
También, en ocasiones, esto se interpreta como que a medida que aumenta el ingreso
es posible “ahorrar” más en “dinero” –bien y (ye)–, aunque el consumo del bien
x permanezca constante. Recordemos que este “ahorro” sólo puede hacerse, para
2
precios fijos, a partir de una cantidad de ingreso en adelante (M > (p2 ) /4p1 ).
3.5.
Proporciones de la renta
Las proporciones de renta (o ingreso) gastada por un consumidor, las definimos así:
p2 y ∗
p1 x∗
,
s2 =
M
M
∗
∗
donde x y y son las demandas marshallianas del consumidor. Notemos que, debido
a la restricción presupuestaria p1 x∗ + p2 y ∗ = M , se tiene que s1 + s2 = 1, que es
lo que les da su nombre.
s1 =
Dada esta definición, es inmediato probar que para la función Cobb-Douglas
U (x, y) = xα y β estas proporciones son:
s1 =
α
α+β
,
s2 =
β
α+β
De otro lado, para la función de bienes complementarios de tipo Leontief U (x, y) =
Mín{x, y} estas proporciones son:
p2
p1
,
s2 =
s1 =
p1 + p2
p1 + p2
√
Y para la función cuasilineal U (x, y) = x + y, se tiene que:
s1 =
(p2 )2
4M p1
,
s2 = 1 −
(p2 )2
4M p1
3.6. Funciones de utilidad homotéticas
91
Observemos que para ciertas funciones de utilidad (por ejemplo, la función CobbDouglas), estas proporciones son constantes e independientes del mercado (es decir,
no dependen de los precios ni de la renta). En cambio, para otras (caso Leontief)
dependen de los precios (por tanto, sí dependen del mercado). También podemos
notar que en el particular caso cuasilineal, la proporción del bien x baja a medida
que aumenta el presupuesto, es decir, los hogares de ingresos bajos tienden a gastar mayor porcentaje de su presupuesto en un bien necesario, que los hogares de
ingresos altos.
Ejemplo 11. (Canasta familiar por niveles de ingresos)
Según datos del DANE (Departamento Nacional de Estadística) del año 2008, las
proporciones de renta gastadas por los colombianos en bienes básicos aparecen en
la tabla 3.3. Como se observa, a medida que los ingresos de las familias colombianas
se mueven de “bajos” a “altos”, pareciera que la proporción de la renta gastada
en las canastas que se considerarían constituidas por bienes necesarios (es decir,
“Alimentos”, “Vivienda” y “Vestuario”) tiende a disminuir. Cabe anotar que para
los bienes que componen la canasta de “Vivienda”, quienes mayor proporción de su
renta destinan a ella son las familias de ingresos medios, aunque dicha proporción
apenas disminuye al pasar de familias de ingresos bajos a familias de ingresos altos.
De otro lado, y a manera de observación aislada, los datos muestran que en algunas canastas de bienes como “Diversión”, “Transporte” o “Comunicaciones”, la
proporción de renta destinada a ellas, al parecer, tiende a aumentar a medida que
los ingresos de las familias crecen. El mismo comportamiento se observa en las
canastas de bienes de “Educación” y “Salud”.
Alimentos
Vivienda
Vestuario
Salud
Educación
Diversión
Transporte
Comunicaciones
Otros
Ingr. bajos
34.66 %
29.74 %
5.68 %
2.04 %
4.79 %
2.33 %
11.03 %
3.14 %
6.59 %
Ingr. medios
27.09 %
30.42 %
5.11 %
2.41 %
5.99 %
3.19 %
15.32 %
3.98 %
6.47 %
Ingr. altos
18.24 %
29.66 %
4.2 %
3.39 %
6.83 %
4.43 %
23.88 %
4.03 %
5.35 %
Total
28.21 %
30.1 %
5.16 %
2.43 %
5.73 %
3.1 %
15.19 %
3.72 %
6.35 %
Tabla 3.3. Proporciones de gasto de acuerdo al nivel de ingresos.
3.6.
Funciones de utilidad homotéticas 8
Una función de utilidad V (x, y) es homogénea de grado 1 si V (tx, ty) = tV (x, y)
para todo t > 0. Por ejemplo, la función Cobb-Douglas de la forma V (x, y) =
xα y 1−α es una función homogénea de grado 1 porque V (tx, ty) = (tx)α (ty)1−α =
8 El material de esta sección tiene elementos de un nivel superior al resto del texto.
92
Semana 3. Tipos de mercancías y elasticidad
txα y 1−α = tV (x, y). También la función de utilidad Leontief es homogénea de
grado 1 e igualmente la función de utilidad lineal. Sin embargo, ninguna función
de utilidad cuasilineal es homogénea de grado 1 pues sabemos que en V (x, y) =
V (x) + y, la función V (x) es cóncava estricta.
Ahora: una función de utilidad homotética U (x, y) es una transformación monótona
de una función de utilidad V (x, y) homogénea de grado 1. Es decir, U (x, y) es una
función homotética si U (x, y) = g(V (x, y)) donde g : R → R es una función
continua y estrictamente creciente y V (x, y) es una función de utilidad homogénea
de grado 1. Así, en el caso de la función Cobb-Douglas V (x, y) = xα y 1−α podemos
tomar, por ejemplo, g(t) = t2 . Entonces, la función de utilidad
2
U (x, y) = g(V (x, y)) = xα y 1−α = x2α y 2−2α
es una función homotética. Otro caso puede ser tomar g(t) = t + 1 pues así:
U (x, y) = g(V (x, y)) = xα y 1−α + 1
es también una función homotética.
Pero ¿por qué son importantes este tipo de funciones? Porque tienen propiedades
muy interesantes y, a veces, deseables para la implementación empírica. En primer
lugar, notemos que si V (x, y) está medida en cierta escala, entonces U (x, y) está medida en otra escala, pero manteniendo siempre el orden de las curvas de nivel entre
las diferentes canastas de consumo, debido a la monotonicidad (creciente estricta)
de la función g(·). Por ejemplo, en la función homotética U (x, y) = xα y 1−α + 1
con respecto a V (x, y) = xα y 1−α , tendremos que si la canasta (x, y) tiene nivel
de utilidad V0 + 1 entonces la canasta (2x, 2y) tiene utilidad 2V0 + 1; y la canasta
(3x, 3y) tiene nivel 3V0 + 1; etc. Así, si se traza una recta desde el origen hacia el
noreste en el primer cuadrante, las curvas de indiferencia mantienen invariante su
inclinación y, por consiguiente, cada una de ellas es una traslación rígida de una
curva escogida de antemano pero al azar (ver figura 3.15).
y
V0 + 1
2V0 + 1 3V0 + 1
(3x, 3y)
(2x, 2y)
(x, y)
x
Figura 3.15. Curvas de nivel de una función homotética.
En segundo lugar, y por lo anotado antes en la sección 2.3 de la semana 2, observemos que las demandas marshallianas tanto de V (x, y) como de U (x, y) son las
3.6. Funciones de utilidad homotéticas
93
mismas, pues la restricción presupuestaria no cambia sino, únicamente, la escala
en que se mide la función de utilidad. Así, el máximo en la escala de V (sujeta a
restricción presupuestaria) está asociado directamente (mediante la función g(·))
con el máximo en la escala de U sujeta a la misma restricción9 .
En tercer lugar, las demandas de una función homotética siempre tienen elasticidadingreso igual a 1, pues la tasa marginal de sustitución es proporcional al cociente
y/x, que incorporado en la restricción presupuestaria nos lleva a que las demandas
sean lineales en el presupuesto M , y eso es lo que obliga a que la elasticidad-ingreso
sea igual a 1. En efecto, de la ecuación de Euler para funciones homogéneas (ver
Apéndice matemático (sección A.10) al final del texto), se tiene, para toda función
homogénea de grado 1 y diferenciable U (x, y), que:
x
∂U
∂U
+y
= U (x, y)
∂x
∂y
Por lo tanto, dividiendo a ambos lados de la igualdad por y
∂U
, se llega a:
∂y
1
x ∂U/∂x
+1=
y ∂U/∂y
ǫ
donde ǫ = (∂U/∂y)y/U es la elasticidad de la utilidad con respecto a la mercancía
y. Luego en el punto de equilibrio, recurrimos a la ecuación de Jevons para obtener
que:
x p1
1
+1=
y p2
ǫ
y así:
x
=
y
1
p2
−1
ǫ
p1
Como en el punto de equilibrio ǫ es constante, entonces la proporción x/y es constante. Por lo tanto, colocando esta ecuación en la restricción presupuestaria, resultan las demandas marshallianas dependiendo linealmente del presupuesto. Queda
como ejercicio, probar que lo que es cierto para las funciones homogéneas de grado
1, también lo es para las funciones homotéticas, pero este paso ya es sencillo.
Un buen ejemplo general de esto son las funciones Cobb-Douglas, pues todas ellas
son homotéticas. En efecto, U (x, y) = xα y β se puede escribir como
α+β
α
β
U (x, y) = x α+β y α+β
donde, en este caso, g(t) = tα+β . Sin embargo, debe aclararse que esto también
es cierto, en general, para funciones homotéticas no-diferenciables. Por ejemplo,
dada la función de utilidad homotética U (x, y) = Mín{x, y} + 1, las demandas
9 Pero que las demandas marshallianas sean iguales no exige que la función V (x, y) sea homogénea de grado 1.
94
Semana 3. Tipos de mercancías y elasticidad
marshallianas de esta función de utilidad son las mismas de la función de utilidad
Leontief U (x, y) = Mín{x, y}:
x=
M
p1 + p2
,
y=
M
p1 + p2
Notemos que la elasticidad–ingreso es igual a 1. Dejamos como ejercicio para el
estudiante aventajado mostrar que si la elasticidad-ingreso de las demandas x e y
son iguales a 1, entonces las proporciones de renta gastada por el consumidor serán
siempre las mismas, sin importar el nivel de ingresos. Además, la trayectoria de
expansión del ingreso será entonces una línea recta. Este es un comportamiento de
los hogares que, en ciertas situaciones, es muy útil para el trabajo empírico.
Finalmente, debemos agregar que las funciones de utilidad homotéticas también
conducen a una forma simple de la función de gasto: siempre es de la forma e =
f (p1 , p2 )U0 y, por lo tanto, la función de utilidad indirecta es de la forma V =
M/f (p1 , p2 ). Calculando por la identidad de Roy, las demandas marshallianas son,
entonces, de la forma x∗ = x(p1 , p2 )M , y ∗ = y(p1 , p2 )M [10] . Tener estas formas en
las funciones esenciales en el comportamiento individual del consumidor, permiten,
además, construir convenientes comportamientos agregados en el consumo de un
sector compuesto por consumidores de este tipo. Sin embargo, la demostración de
todo lo anterior trasciende el objetivo fundamental de este texto introductorio a la
microeconomía.
3.7.
Nota histórica
Con el trabajo del gran sintetizador teórico John Hicks en Value and Capital
(1939b), para los finales de los años 1930, la ortodoxia de la teoría de la demanda
basada en criterios cardinalistas u ordinalistas a la manera Slutsky-Hicks, estaba en
su apogeo. Sin embargo, cierta corriente empírica, proveniente de manera principal
de la Universidad de Chicago, arrojaba dudas con respecto a los desarrollos teóricos. Por ejemplo, Schultz (1935, 1938), Stigler (1939), Wallis & Friedman (1942)
y Knight (1944) mostraban con claridad la incompatibilidad entre los desarrollos
teóricos sobre la curva de demanda con las curvas de demanda empíricas obtenidas
con datos estadísticos.
Y entre las razones que esgrimían para que ello sucediera era que el análisis de las
curvas de indiferencia separaba el factor-gusto (utilidad) de los factores-oportunidad
(precios y presupuesto), y que estos factores, de hecho, estaban intrínsecamente interconectados. En particular, Wallis y Friedman proponían, en vez, que la teoría
del consumo se desarrollara aislando los factores correlativos con la demanda del
consumidor tales como ingreso, riqueza, precios, tipo de familia, ocupación, edad,
nacionalidad, etc. y observar cuál es la influencia sobre la demanda de cada uno de
estos factores.
10 El lector puede confirmar, a manera de ejemplo, que la función Cobb-Douglas (que es homotética) satisface lo inmediatamente afirmado.
Ejercicios
95
Sin embargo, la teoría neoclásica del mercado no escuchó seriamente ninguna de
estas críticas de falta de realismo y de relevancia empírica. Y la defensa es aparentemente clara: una de las razones para que las demandas empíricas y las demandas
teóricas no coincidan es que las segundas surgen en ambientes ideales de competencia perfecta, mientras que las primeras se construyen, en general, en ambientes
reales y específicos de competencia imperfecta.
Ejercicios
(Observación: Los ejercicios señalados con uno (∗) o dos (∗∗) asteriscos tienen, a
juicio del autor, un nivel de dificultad un tanto o muy superior, con respecto a los
ejercicios corrientes que aparecen sin asterisco.)
1. ¿Cuál es la principal ventaja de utilizar la elasticidad (expresada en términos
porcentuales) frente a otros valores medidos en términos de unidades?
2. a) Supongamos que usted desea modelar el comportamiento de un grupo homogéneo de consumidores que sólo consumen dos bienes complementarios
brutos. ¿Cuál función de las estudiadas en el curso le ayudaría a modelar
mejor la utilidad de este grupo?
b) ¿Y si los bienes fueran sustitutos brutos?
3. En cada uno de los siguientes casos, construya una función de utilidad que
describa la situación:
a) Los bienes x y y (ye) son sustitutos netos donde 1 unidad de x es equivalente (en utilidad) a 5 unidades de y (ye).
b) Los bienes x y y (ye) son complementarios netos donde 1 unidad de x es
equivalente (en utilidad) a 5 unidades de y (ye).
4. Calcule la elasticidad-precio de la demanda x = 3 − 2p en cinco diferentes
puntos. ¿Alguno pertenece a la “región inelástica” de la recta?
5. ¿Cuál es el signo (positivo o negativo) de la elasticidad-ingreso de un bien
normal? ¿y la de un bien inferior?
6. El gobierno aumenta los precios del transporte público, ¿existen bienes sustitutos para el transporte público?, ¿debería el gobierno tener en cuenta la
elasticidad-precio de la demanda?
7. (∗) Pruebe que si una curva de demanda es elástica en el precio, la proporción
del ingreso en ese bien cae cuando el precio sube. Confirme esto con algunos
ejemplos concretos.
8. ¿Una multiplicación por constante A > 0 en la función Cobb-Douglas tiene
efectos en la elasticidad-precio?
96
Semana 3. Tipos de mercancías y elasticidad
9. Calcule las elasticidades-precio e ingreso de las demandas para las siguientes
funciones de utilidad:
a) U (x, y) = 2x + 5y
√
b) U (x, y) = 3 x + 4y
c) U (x, y) = yex
d) U (x, y) = −e−x + y
e) (∗) La función cuasilineal general U (x, y) = U (x) + y donde U (·) es una típica función estrictamente creciente y cóncava estricta en R+ . [Sugerencia:
Basta con escribir la ecuación correspondiente.]
En cada caso, clasifique los bienes en sustitutos (brutos y netos) y complementarios.
10. a) Muestre que la recta de demanda p = a − bx (con a, b > 0) es más elástica
(en valor absoluto) que otra recta de demanda de la forma p = a − cx (con
c > 0) si, y sólo si, c < b.
b) (∗) ¿Podría el lector generalizar esto para dos rectas de demanda de la
forma p = a − bx y p = c − dx donde a, b, c, d > 0?
11. Muestre que una curva de demanda tal como x = 2M/3p se puede “linealizar”
tomando logaritmos a ambos lados de la ecuación, y escribiéndola de la forma
X = a − bP
para ciertas constantes a y b con b > 0, donde P = ln(p) y X = ln(x) (aquí,
ln(·) es la función logaritmo natural).
12. Muestre, mediante manipulación de diferenciales, que otra forma en que se
b
describe la elasticidad ǫ = ∂a
∂b a es:
ǫ=
∂ ln a
∂ ln b
donde ln(·) es la función logaritmo natural. La conveniencia de este resultado
se encuentra en que si una curva está escrita en la forma logarítmica
ln a = α ln b + β
entonces α es la elasticidad de a con respecto a b. Por ejemplo, ¿cuál es la
elasticidad de la demanda x con respecto al precio p, si ambas variables están
relacionadas mediante la ecuación ln p = −3 ln x + 5?
13. Calcule las proporciones de la renta gastada por un consumidor si las preferencias son:
a) U (x, y) = 2x + 5y
Ejercicios
97
√
b) U (x, y) = 3 x + 4y
c) U (x, y) = yex
d) U (x, y) = −e−x + y
e) (∗) La función cuasilineal general U (x, y) = U (x) + y donde U (·) es una
función estrictamente creciente y cóncava estricta. [Sugerencia: Basta con
escribir la ecuación correspondiente.]
¿Dependen, en cada caso, estas proporciones del mercado?
14. (Condición de Engel sobre las demandas marshallianas). Pruebe que
a partir de la restricción presupuestaria p1 x + p2 y = M se obtiene, derivando
parcialmente y manipulando algebraicamente, que:
s1 ǫ1 + s2 ǫ2 = 1
donde si es la proporción gastada en el bien i, y ǫi es la elasticidad-renta de
la demanda del bien i. Confirme esto en el caso Cobb-Douglas y en el caso
Leontief. Interprete económicamente este resultado.
15. Supongamos que la función de utilidad de cierto consumidor es cuasilineal de
la forma U (x, y) = 20x − x2 + y. Asumamos p2 = 1.
a) Encuentre la elasticidad de la demanda del bien x con respecto a su propio
precio p1 .
b) ¿Para qué valores de p1 es elástica la demanda? ¿Y cuándo inelástica? ¿Y
cuándo de elasticidad 1?
c) Midiendo el gasto del consumidor en el bien x (es decir, p1 x) mediante
el eje vertical, y precio p1 en el eje horizontal, establezca las zonas de
crecimiento, decrecimiento y el punto de máximo.
d) Relacione esto con lo obtenido en el literal a) anterior sobre elasticidades.
Discuta el resultado.
16. Como consecuencia del arreglo de una huelga de taxis, en que se concedió a
los taxistas un fuerte aumento de salarios, los propietarios aumentaron las
tarifas de taxis. ¿Fue acertada esta decisión?
17. Marshall (1920, cap. IV) aseguraba que la elasticidad-precio de la demanda es
mayor cuanto mayor es la proporción que en el presupuesto total de un individuo, representan los gastos en el bien (la sal, por ejemplo, es, usualmente, un
bien con poca elasticidad-precio y también representa un gasto pequeño tanto
para ricos como para pobres). ¿Estaba Marshall en lo correcto? Explique.
Semana 4
Efecto ingreso y efecto sustitución
4.1.
Introducción
Ya sabemos que, típicamente, la demanda de un consumidor bajo competencia
perfecta depende de su ingreso (renta) y de los precios. Hemos estudiado una medida
de la demanda ante variaciones porcentuales de la renta o de los precios: es la noción
de elasticidad. Sin embargo, aún no conectamos, simultáneamente, ambos efectos;
es decir, ¿cuál es la relación de un cambio de precios con un cambio en la renta?
La idea fundamental aquí es que si un hogar enfrenta un aumento del precio de
uno de los bienes que consume, entonces, usualmente, verá reducido su bienestar. Y
si mediante algún mecanismo (aumento en el salario, bonificaciones, etc.) pudiera
recuperar el bienestar perdido, encontraría que, seguramente, también habrá hecho
algún tipo de sustitución del bien que subió de precio por otro bien en el mercado.
Precisamente el estudio simultáneo de estos tres factores (efecto precio, efecto renta
y efecto sustitución [Slutsky, 1915; Hicks, 1937, 1939]) son ahora el objetivo en esta
semana.
4.2.
Ecuaciones de Slutsky
En la figura 4.1 se ilustra el caso de un consumidor quien, inicialmente, enfrenta
un aumento del precio p2 , dando origen a una disminución en su consumo del bien
y (ye), y a un aumento en su consumo del bien x (es decir, en la figura pasamos del
punto A al B). Sin embargo, esto le ocasionó al consumidor un descenso en el “nivel
de vida” (bienestar). Entonces tratamos de compensar este descenso de bienestar,
mediante un aumento en la renta (pasamos del punto B al C en la misma figura).
Pero, una vez allí, de nuevo en el nivel de bienestar original, se hace necesario
99
100
Semana 4. Efecto ingreso y efecto sustitución
sustituir cierta cantidad del bien x por cierta cantidad de y (ye) –sin perder el
nivel de bienestar– para regresar al estado de consumo inicial que se había afectado
por el alza inicial en el precio del bien y (ye) (es decir, pasamos del punto C al
A). El consumidor ha, entonces, sustituido algo del bien x por algo del bien y (ye)
debido a que este último había aumentado su precio relativo.
y
M
p2
Efecto precio
A
Efecto sustitución
(sobre la misma curva de nivel)
C
M
′
p2
B
Efecto
ingreso
M/p1
x
Figura 4.1. Efecto total (o precio), efecto ingreso y efecto sustitución.
Para medir exactamente el valor de estas variaciones (vectores) que acabamos de
mencionar, se tiene una colección –un tanto complicada– de ecuaciones fundamentales en la teoría del consumidor que se llaman las ecuaciones de Slutsky (del ya
mencionado economista ruso Eugene Slutsky [1880–1948]), con las que, además,
se revelan importantes relaciones entre las demandas hicksianas y las demandas
marshallianas:
∂h1
∂x
∂x
x
(4.1)
=
+ −
∂p1
∂p1
∂M
∂y
∂h2
∂y
x
(4.2)
=
+ −
∂p1
∂p1
∂M
∂x
∂h1
∂x
y
(4.3)
=
+ −
∂p2
∂p2
∂M
∂y
∂h2
∂y
y
(4.4)
=
+ −
∂p2
∂p2
∂M
En cada una de las cuatro ecuaciones de Slutsky (4.1), (4.2), (4.3) y (4.4), el primer
término a la izquierda se llama “efecto total” (o “efecto precio”) y mide la variación
de la demanda ante cambios en los precios. El segundo término (primer término
a la derecha de la igualdad) se llama “efecto sustitución” y mide la variación en
la demanda ante cambios en los precios pero sin perder bienestar (utilidad); y el
tercer término (segundo a la derecha de la igualdad), se llama “efecto ingreso”
4.2. Ecuaciones de Slutsky
101
(o “efecto renta”) y mide el cambio que surge en la demanda ante cambios en la
renta (ingreso). Note que el efecto sustitución se lleva a cabo con las demandas
hicksianas, es decir, sobre la misma curva de indiferencia1 . La figura 4.1 describe,
precisamente, a la ecuación (4.4).
Vamos ahora a mostrar una aproximación (suficientemente buena para los objetivos
de este curso) de por qué estas ecuaciones son ciertas y, precisamente, lo ilustraremos con la ecuación (4.4). Sea y(p1 , p2 , M ) la demanda marshalliana por el bien y,
y supongamos que cambia el precio p2 a p2 ′ . Entonces:
h
i
′
y(p1 , p2 , M ) − y(p1 , p2 ′ , M ) = y(p1 , p2 , M ) − y(p1 , p2 ′ , M )
h
i
′
− y(p1 , p2 ′ , M ) − y(p1 , p2 ′ , M )
′
donde M es tal que la demanda y (ye) se mantenga en la misma curva de nivel en
que estaba y(p1 , p2 , M ). Así la ecuación anterior la podemos escribir como
∆y
∆h2
∆y M
=
−
∆p2
∆p2
∆p2
(∗)
donde ∆y = y(p1 , p2 , M ) − y(p1 , p2 ′ , M ), ∆h2 = y(p1 , p2 , M ) − y(p1 , p2 ′ , M ′ ) y
∆y M = y(p1 , p2 ′ , M ) − y(p1 , p2 ′ , M ′ ), después de haber dividido estos tres términos
por la variación ∆p2 = p2 − p2 ′ .
Sin embargo, puesto que M = p1 x + p2 y, ante el cambio de p2 a p2 ′ se tendrá,
tomando diferencias finitas (∆) a ambos lados de esta ecuación presupuestaria,
que:
∆M = y∆p2
Y esto, llevado a la ecuación (∗) de arriba, nos muestra que:
∆y
∆h2
=
−
∆p2
∆p2
∆y M
∆M
y
(∗∗)
que es la versión discreta de la ecuación de Slutsky (4.4):
∂h2
∂y
=
−
∂p2
∂p2
∂y
∂M
y
(ver figura 4.2)
1 Antes de continuar, pedimos al lector que observe nuevamente y con mucho cuidado, las
cuatro ecuaciones de Slutsky. Son ecuaciones de complicada escritura, pero la virtud que tienen
es que ellas encierran casi todo lo que es esencial a la teoría del consumidor bajo la perspectiva
neoclásica. Así que pedimos un poco de paciencia y reflexión en este punto, aunque más adelante
las ilustraremos con varios ejemplos teóricos y de aplicación.
102
Semana 4. Efecto ingreso y efecto sustitución
y
M
p2
Efecto ∂y
precio ∂p2
∂h2
Efecto
sustitución ∂p2
A
Efecto
−
renta
C
M
′
p
2
∂y ∂M
y
B
x
M/p1
Figura 4.2. Ilustración de la ecuación (4.4) de Slutsky.
Ejemplo 1.
En el problema
x2 y
Maximizar
x,y≥0
sujeta a
3x + 2y = 45
el precio del bien x aumenta en un 20 %. Calcule los efectos precio, ingreso y
sustitución.
Solución.
Las demandas marshallianas iniciales de este problema son:
x∗ =
2(45)
= 10
(3)(3)
y∗ =
,
(45)
= 7.5
(3)(2)
Si aumenta el precio del bien x en 20 %, las nuevas demandas marshallianas son:
x∗∗ =
2(45)
= 8.33
(3)(3.6)
,
y ∗∗ =
(45)
= 7.5
(3)(2)
Para regresar al nivel de utilidad original, recurrimos a la recta presupuestal
3.6x+2y = 50.816 (que es paralela a la segunda recta presupuestal 3.6x+2y = 45).
Y las nuevas demandas serán:
x∗∗∗ =
2(50.816)
= 9.41
(3)(3.6)
;
y ∗∗∗ =
(50.816)
= 8.47
(3)(2)
4.3. Ecuaciones de Slutsky
103
Chequeemos que, efectivamente, tienen el mismo nivel de utilidad:
U (x∗ , y ∗ ) = U (10 , 7.5) = 750
U (x∗∗∗ , y ∗∗∗ ) = U (9.41 , 8.47) = 750
Por lo tanto, el efecto precio (o total) EP está dado por la diferencia entre las
segundas y las primeras demandas marshallianas:
EP = (8.33 − 10 , 7.5 − 7.5) = (−1.67 , 0)
El efecto ingreso (o renta) EI es la diferencia entre las segundas y las terceras
demandas marshallianas:
EI = (8.33 − 9.41 , 7.5 − 8.47) = (−1.08 , −0.97)
Y el efecto sustitución ES es la diferencia entre las terceras y las primeras demandas
marshallianas:
ES = (9.41 − 10 , 8.47 − 7.5) = (−0.59 , 0.97)
Note que:
Efecto precio = Efecto sustitución + Efecto ingreso
Una pregunta para el lector: ¿Cómo obtuvimos el presupuesto M = 50.816 de
arriba? Deberá recurrir a calcular la función de gasto de este consumidor, tal como
se mostraba en la semana 2.
4.3.
Ecuaciones de Slutsky en nuestras funciones
de utilidad
Veamos algunos ejemplos teóricos que buscan ilustrar las ecuaciones de Slutsky
recurriendo a funciones de utilidad específicas:
a) En la función de utilidad Cobb-Douglas
U (x, y) = xy
comprobaremos ecuación 4.1 de Slutsky:
!
∂x
∂h1
∂x
x
=
+ −
∂p1
∂p1
∂M
(Efecto precio = Efecto sustitución + Efecto ingreso)
En primer lugar, se tiene que:
x=
M
2p1
,
y=
M
2p2
(4.1)
104
Semana 4. Efecto ingreso y efecto sustitución
Y, por lo tanto,
∂x
M
=−
∂p1
2p1 2
(Efecto precio)
Además, como la función de utilidad indirecta es:
V =
M2
4p1 p2
Entonces la función de gasto (haciendo V = U , M = e) es:
√ √ √
e = 2 U p1 p2
Y como
∂e
h1 =
=
∂p1
entonces:
√ √
U p2
√
p1
1√ √
∂h1
U p2 (p1 )−3/2
=−
∂p1
2
Pero como
U=
M2
4p1 p2
entonces:
1 √ √
−
U p2 (p1 )−3/2
2
s
1
M
M2 √
= −
p2 (p1 )−3/2 = −
2
4p1 p2
4(p1 )2
∂h1
=
∂p1
(Efecto sustitución)
De otro lado,
∂x
−
x=−
∂M
1
2p1
M
2p1
=−
M
4(p1 )2
(Efecto ingreso)
Por lo tanto,
Efecto precio = Efecto sustitución + Efecto ingreso
b) En la función de utilidad Leontief
U (x, y) = Mín{x, y}
comprobaremos otra de las cuatro ecuaciones de Slutsky, a saber:
!
∂y
∂h2
∂y
y
=
+ −
∂p2
∂p2
∂M
(Efecto precio = Efecto sustitución + Efecto ingreso)
(4.3)
4.3. Ecuaciones de Slutsky
105
Mostraremos entonces (figura 4.3) que, efectivamente, el efecto sustitución es
nulo en la función de utilidad Leontief (recuérdese que los bienes aquí son complementarios).
y
M
p2
No existe efecto
sustitución
A=C
M
′
p2
B
A partir de la línea
punteada que pasa por B,
este es el presupuesto después
de un aumento en el ingreso
Presupuesto
original
Recta presupuestal después de un
′
aumento a p2 en el presupuesto original
x
Figura 4.3. Efecto sustitución nulo en la función de utilidad Leontief.
Partiendo de las demandas marshallianas
M
= y∗
x∗ =
p1 + p2
obtenemos la función de utilidad indirecta
M
M
M
=
,
V = Mín
p1 + p2 p1 + p2
p1 + p2
Luego haciendo aquí V = U0 y M = e, tendremos que:
e
U0 =
p1 + p2
O bien, e = (p1 + p2 )U0 . Y por el lema de Shephard, h2 =
∂e
= U0 ; de donde
∂p2
∂h2
=0
∂p2
(efecto sustitución)
Por su parte,
M
∂y
=−
(efecto precio (o total))
2
∂p2
(p1 + p2 )
∂y
M
M
1
−
=−
(efecto ingreso)
y=−
2
∂M
p1 + p2
p1 + p2
(p1 + p2 )
Por lo tanto,
Efecto precio = Efecto sustitución + Efecto ingreso
106
Semana 4. Efecto ingreso y efecto sustitución
√
c) En la función de utilidad cuasilineal U (x, y) = x + y, comprobaremos otra de
las cuatro ecuaciones de Slutsky:
∂h2
∂y
∂y
x
(4.2)
=
+ −
∂p1
∂p1
∂M
2
p2
M
p2
∗
Aquí, x =
; y∗ =
−
. Por lo tanto,
2p1
p2
4p1
∂y
p2
=
(efecto precio (o total))
∂p1
4p1 2
p2
∂y
x=−
(efecto ingreso)
−
∂M
(2p1 )2
Para hallar el efecto sustitución, recordamos (ejemplo 4, semana 2) que la fun∂e
p2
p2 2
. Y así, h2 =
= U0 −
y
ción de gasto es e = p2 U0 −
4p1
∂p2
2p1
∂h2
p2
=
∂p1
2p1 2
Claramente se cumple que:
(efecto sustitución)
Efecto precio = Efecto sustitución + Efecto ingreso
d) En el caso de la función de utilidad lineal U (x, y) = x + y, el análisis puede
hacerse gráficamente para mostrar que, aquí, todos los efectos son nulos siempre
y cuando se mantenga que p1 > p2 después del cambio de precios (figura 4.4).
y
A=B
Recta presupuestal después
de un aumento en p1
Recta presupuestal
original
Recta de
indiferencia
x
Aumento de p1 pero todavía con p1 > p2
Figura 4.4. Para la función de utilidad lineal, todos los efectos (precio, sustitución e ingreso) son
nulos si (todavía) p1 > p2 . Que A = B significa que no hubo cambios en las demandas después
del aumento de precio.
4.4. Ecuación de Slutsky y funciones cuasilineales
107
Pero si comenzamos con p1 > p2 y después del cambio de precios (disminución
de p1 ) resulta p2 > p1 , entonces todo el efecto precio (o total) será efecto
sustitución y el efecto ingreso será nulo (figura 4.5).
y
Recta presupuestal después
de una disminución en p1
A
Recta presupuestal
original
B
x
Figura 4.5. El efecto ingreso es nulo al pasar de p1 > p2 a p2 > p1 bajo la utilidad lineal (es
decir, de A a B). Obsérvese que para regresar al punto A después de una disminución del precio
del bien x (punto B), ningún presupuesto será adecuado. Es decir, todo el efecto será sustitución.
Aquí también es posible realizar el trabajo analítico con cualquiera de las cuatro ecuaciones de Slutsky. Pedimos al lector tomar una de estas ecuaciones y
comprobarla recurriendo a las demandas marshallianas señaladas en el ejemplo
5 de la semana 1.
Nota 1. (Sobre bienes Giffen)
Vale aclarar que el efecto sustitución (del bien x) frente a una reducción del precio
(del bien x) siempre es no negativo, mientras que el efecto ingreso asociado puede
ser positivo (bien normal), negativo (bien inferior) o cero (bien neutral). Ahora:
a partir de la ecuación EP = ES + EI, el lector podrá entender que cuando el
bien x es Giffen (es decir: EP < 0 en la componente del bien x, cuando el precio
de x baja), entonces, siendo ES > 0, por obligación el bien x debe tener EI < 0.
Así, si el bien es Giffen entonces debe ser un bien inferior. Sin embargo, hay que
notar que no basta con que sea inferior; realmente se requiere que el EI sea “tan
negativo” que al sumarlo con el ES (que es positivo) termine resultando al final
un EP negativo. Entonces así podemos decir, de manera coloquial, que los bienes
Giffen son una clase especial de bienes que son “muy inferiores”. Sabemos que estos
bienes son difíciles de encontrar en la práctica, aunque, como vimos, teóricamente
no resultan una paradoja.
4.4.
Ecuación de Slutsky y funciones cuasilineales
Sabemos que cuando la función de utilidad es una típica cuasilineal de la forma
U (x, y) = U (x) + y, la curva de demanda por el bien x está dada por la ecuación
108
Semana 4. Efecto ingreso y efecto sustitución
p = U ′ (x). De aquí se ve claro que ∂x/∂M = 0 y, por tanto, en la ecuación (4.1)
de Slutsky
∂x
∂h1
∂x
x
=
+ −
∂p1
∂p1
∂M
el efecto ingreso es nulo, y así:
∂h1
∂x
=
∂p1
∂p1
Esto indica que ante un aumento o disminución del presupuesto, la cantidad demandada por el bien x no cambia (ver figura 4.6). Esta particular característica de
las funciones cuasilineales de utilidad, resultará muy conveniente al momento de
hacer análisis de equilibrio parcial, como veremos más adelante.
y
Aumento del presupuesto
b
b
x
Figura 4.6. Característica particular de las funciones cuasilineales.
4.5.
Oferta de trabajo: el ocio como un bien
Es claro que aunque un consumidor (hogar) demanda del mercado bienes y servicios, también es, usualmente, un ofertante de trabajo (mano de obra). De hecho,
en un número grande de los hogares colombianos, esta es la única componente del
presupuesto M . Como veremos enseguida, la teoría neoclásica homogénea trata el
problema de cuánto trabajo ofrecer por parte de un consumidor (en competencia
perfecta) de una manera un tanto singular.
Supongamos que el consumidor escoge entre dos opciones, consumo c (que es un
bien) y trabajo l (que es un “mal”), y que además tiene un ingreso (renta) m que no
depende de los salarios devengados. Este m puede provenir de que el consumidor
tenga acciones en empresas o de otro tipo de dividendos; sin embargo, también
puede ser el caso de que m = 0. Asumamos que sus gustos por el consumo y el
trabajo están determinados por una función de utilidad U , y que puesto que la mano
de obra es un “mal”, recurrimos a un “bien” que llamaremos “ocio” y que podremos
describir así: Si L′ es el número de horas disponibles en el periodo de estudio, y l
4.5. El problema de la decisión de oferta de trabajo
109
es el número de horas trabajadas en el mismo periodo, entonces L = L′ − l es el
número de horas de ocio que “disfruta” el consumidor.
Por lo tanto, según lo aprendido antes, planteamos el problema de este consumidor
así:
Maximizar U (c, L)
c,L≥0
sujeta a
pc + wL = wL′ + m
donde p es un índice de precios al consumidor y w es el salario por hora. Se escribe
ahora M = wL′ + m, y se estudian las condiciones de equilibrio a la manera usual
enseñada antes en el texto2 .
Ejemplo 2.
Suponiendo que U es una función de utilidad Cobb-Douglas U (c, L) = cL entonces
sabemos que las demandas marshallianas son:
c∗ =
M
wL′ + m
=
2p
2p
;
L∗ =
M
wL′ + m
=
2w
2w
Y ahora con estas demandas encontramos la oferta laboral (l∗ ) de este consumidor:
wL′ − m
wL′ + m
=
2w
2w
Por lo tanto, resumiendo, la demanda por bienes y servicios es:
l∗ = L′ − L∗ = L′ −
c∗ =
wL′ + m
2p
l∗ =
m
L′
−
2
2w
Y la oferta laboral es:
l∗ = oferta laboral
′
L /2
b
′
w = m/L
w = salario
Figura 4.7. Curva de oferta laboral creciente ante aumento salarial. La recta horizontal punteada
es una asíntota de la curva.
2 Obsérvese que el presupuesto M depende del salario w. Este planteamiento se aparta un tanto
del análisis que hemos venido realizando bajo equilibrio parcial en el que el presupuesto M es
independiente de los precios.
110
Semana 4. Efecto ingreso y efecto sustitución
Claramente, si w (salario) aumenta, entonces la oferta laboral (l∗ ) aumenta. Es
la típica curva de oferta laboral con pendiente positiva. Aquí lo que sucede es
que el efecto ingreso no “obstaculiza” completamente el efecto sustitución, pues el
aumento salarial hace que sea más costoso el ocio (L) y prefiere sustituirlo por más
consumo que ahora es posible por el aumento del poder de compra (figura 4.7).
Pero este es el caso para una función de utilidad Cobb-Douglas. ¿Qué sucedería
si la función de utilidad fuera del tipo Leontief U (c, L) = Mín{c, L} para la que
no es posible sustituir consumo por ocio? En este caso sabemos que las demandas
marshallianas son:
M
wL′ + m
c∗ =
=
= L∗
p+w
p+w
Y así, la oferta laboral es:
l∗ = L′ − L∗ = L′ −
wL′ + m
pL′ − m
=
p+w
p+w
Luego en esta instancia sucede algo distinto. Aquí, si w (salario) aumenta, entonces
disminuye la oferta laboral l∗ , pues este consumidor no puede sustituir entre consumo y ocio, y al hacerse más rico (ya que el salario aumenta) entonces demanda
más ocio: no existe efecto sustitución y el efecto total es efecto ingreso (figura 4.8)3 .
l∗ = oferta laboral
′
l∗ = L − m/p
b
w = salario
′
Figura 4.8. Oferta laboral decreciente ante aumento salarial (si L > m/p).
Como vemos, no es posible decidir absolutamente nada con respecto a cuál es el
comportamiento de la oferta de trabajo con respecto a un aumento salarial. Bajo
3 Aquí debe observarse que los efectos sustitución e ingreso no son, en el caso del mercado
laboral, los mismos que en mercados de bienes usuales. De hecho, debemos observar que para
el estudio de la oferta laboral, en el problema de optimización que se plantea inicialmente, se
asume un presupuesto M que varía con el salario, algo que hasta ahora no se permitía ya que
el presupuesto era constante e independiente de los precios, en nuestro modelo usual. Esta separación entre presupuesto variable o no variable con los precios da origen a los efectos Slutsky
(para presupuesto variable con los precios) y efectos Hicks (para presupuestos invariables con los
precios). Aún así, la ecuación efecto total (precio) = efecto sustitución + efecto ingreso, continúa
dándose en el caso de los efectos Slutsky, aunque sobre esto no profundizaremos aquí.
4.6. El problema de la decisión de ahorro
111
los preceptos de la teoría neoclásica, todo va a depender de la forma como el
consumidor valore y sustituya el consumo y el ocio. Es decir, en definitiva, depende
de su función de utilidad.
Finalmente, vale la pena observar que bajo competencia perfecta es el trabajador
quien decide si trabaja y cuánto. Por lo tanto, según esto, la razón de que un trabajador no pueda conseguir trabajo al nivel de salarios dado por el mercado laboral, es
porque alguna de las hipótesis del modelo competitivo, falla. Pero tal observación
es muy discutible. En particular, si el trabajador no tiene la capacitación adecuada
para asumir un trabajo, entonces el nivel de los salarios no definirá la situación. Es
aquí donde entra en juego la teoría de la formación de capital humano, que es una
de las más importantes vertientes de la teoría neoclásica moderna. Al fin y al cabo,
el impacto de esto en el crecimiento económico y en la distribución del ingreso, es
indudable.
Nota 2. (Oferta laboral inelástica en Colombia)
Prada et al. (2009) estimaron la elasticidad de la oferta agregada de trabajo en
Colombia, consistente en el cambio porcentual de la oferta de trabajo efectiva ante
un cambio porcentual de 1 % en el salario real (aunque manteniendo la utilidad
marginal del consumo constante bajo una función de utilidad separable). Mediante
análisis econométricos encontraron una elasticidad de 0.31, que parecería indicar
que la oferta laboral en Colombia es inelástica.
4.6.
El ahorro como elección intertemporal
Es usual en el contexto intertemporal de dos periodos (y no de uno solo, como hemos
venido estudiando), asumir que la función de utilidad es aditivamente separable; es
decir, que es de la forma
u(x, y) = v(x) + βv(y)
donde v(·) es una función estrictamente cóncava y diferenciable con continuidad;
x ≥ 0 representa el “consumo presente”; y ≥ 0 el “consumo futuro”; 0 < β < 1.
Este tipo de funciones de utilidad tiene ciertas propiedades a veces convenientes.
El requerimiento de que la utilidad del consumo futuro sea descontada (β < 1)
significa que el consumidor es “impaciente” en el tiempo: β cercano a cero significa
que el consumidor es “muy impaciente” y β cercano a 1 significa que el consumidor
es “muy paciente”. En otra forma, β cercano a cero significa que al consumidor le
interesa, primordialmente, su consumo actual y no su consumo futuro; y β cercano
a 1 significa que el consumidor está mucho más preocupado por su consumo futuro.
Esta idea de “antes” y “después” en el consumo puede trazarse al menos hasta
Eugene Böhm-Bawerk (1889) e Irving Fisher (1930).
Aplicaciones de este modelo básico están a la mano. Por ejemplo, un hogar, además de tomar la decisión de consumir bienes y servicios, también puede decidir
cuánto ahorrar (e, inclusive, cuánto invertir) de su presupuesto inicial. Ahorrar para consumir después, para las emergencias familiares (enfermedades, accidentes),
112
Semana 4. Efecto ingreso y efecto sustitución
para la jubilación, para heredar, etc. Así, este consumidor maximizaría su utilidad
u(x, y) = v(x) + βv(y) sujeta a la restricción presupuestaria
1
x+
y=w
1+r
donde r > 0 es el tipo de interés y w > 0 es el ingreso total “hoy”. Esto significa
que el consumidor puede elegir entre consumir todo el ingreso “hoy” (y = 0) y
obtener x = w, o bien consumir todo el ingreso en el “futuro” (x = 0) y obtener
y = (1 + r)w. Este consumo “futuro” es el ahorro.
Para tomar la decisión sobre cuánto consumir hoy y cuánto ahorrar del ingreso w,
el hogar resuelve
Maximizar
x,y≥0
sujeta a
u(x, y) = v(x) + βv(y)
1
y=w
x+
1+r
Y para hacer esto, la ecuación de Jevons es la condición de optimalidad:
∂v(x)/∂x
= 1/(1/(1 + r)) = 1 + r
β∂v(y)/∂y
Así, las dos ecuaciones que permitirán decidir entre cuánto consumir y cuánto
ahorrar son:
∂v(x)/∂x
= β(1 + r)
(∗)
∂v(y)/∂y
1
x+
y=w
(∗∗)
1+r
Ejemplo 3.
√
Supongamos que v(x) = x. Entonces la ecuación de Jevons es:
√
1/(2 x)
√ = β(1 + r)
1/ 2 y
Y, por lo tanto, despejando la variable y (ye) de aquí, se obtiene que:
2
y = (β (1 + r)) x
(∗ ∗ ∗)
E insertando esta última ecuación en la restricción presupuestaria (∗∗), obtenemos
que:
1
2
(β (1 + r)) x = w
x+
1+r
Lo que nos lleva a que el consumo actual será:
x∗ =
w
1 + β 2 (1 + r)
4.7. La matriz de sustitución Hicks-Slutsky
113
Y colocando este valor de x∗ en (∗ ∗ ∗), encontramos que el ahorro será:
2
y∗ =
(β (1 + r)) w
1 + β 2 (1 + r)
Observe que si β = 0 (el futuro no importa), se tendrá que x∗ = w y y ∗ = 0.
w
Pero, si por el contrario, β tiende a 1 (el presente no importa), entonces x∗ = 2+r
2
w
∗
y y ∗ = (1+r)
2+r . Y, también, si el tipo de interés r crece, el consumo actual (x )
∗
decrece, pero el consumo futuro (y ) es mayor. N
El modelo de elección intertemporal de dos periodos que acabamos de presentar
muy brevemente, puede ser extendido a un número finito o (inclusive) infinito de
periodos. Con este tipo de modelos, la economía neoclásica estudia no sólo problemas de asignación con horizonte infinito (dándole un aire “dinámico” a la teoría),
sino también problemas de precios de activos financieros, problemas monetarios y
de crédito, políticas fiscales del gobierno, el problema del crecimiento económico,
etc. Es decir, los modelos intertemporales son una de las herramientas más utilizadas por la macroeconomía neoclásica con microfundamentación. En la semana 9
del volumen II (Competencia bajo equilibrio general) profundizaremos un poco más
sobre la modelación bajo elección intertemporal.
4.7.
La matriz de sustitución Hicks-Slutsky
Una de las consecuencias inmediatas sobre la curva de demanda obtenida de manera
teórica al maximizar la utilidad sujeta a la restricción presupuestaria es que:
∂hj
∂hi
=
∂pj
∂pi
i, j = 1, 2
(∗)
ya que:
hi =
y
∂e
∂pi
;
hj =
∂e
∂pj
∂2e
∂2e
=
∂pi ∂pj
∂pj ∂pi
(Lema de Shephard)
[4]
Además debemos recordar, por las ecuaciones de Slutsky, que las demandas
hicksianas están completamente determinadas por las demandas marshallianas.
Así, una de las consecuencias de que las demandas marshallianas provengan de
un proceso de maximización de la utilidad sujeta a una restricción presupuestaria,
es que se tenga la condición (∗) de arriba.
A la matriz cuyo término en la entrada ij es ∂hi /∂pj se le conoce como “matriz
de sustitución Hicks-Slutsky” o, simplemente, matriz de sustitución, que, por lo
4 Ver el Apéndice matemático (sección A.9) en donde se muestran ejemplos de la veracidad de
esta última igualdad.
114
Semana 4. Efecto ingreso y efecto sustitución
anteriormente expuesto, debe ser una matriz simétrica. Es decir, la matriz de sustitución y su matriz traspuesta (en esta última basta colocar cada fila de la matriz
de sustitución como la correspondiente columna), coinciden5 . Precisamente, este es
uno de los criterios que las demandas empíricas usualmente no satisfacen, y que
lleva a arrojar dudas sobre el marco teórico neoclásico de la teoría de la demanda.
Sin embargo, no olvidemos que existe una profunda diferencia entre una demanda
empírica y una demanda teórica bajo competencia perfecta.
4.8.
Excedente del consumidor en las funciones
cuasilineales
Ya hemos visto que el precio que paga una persona por un objeto nunca puede
exceder y apenas alcanza lo que estaría dispuesto a pagar en vez de irse sin él: así
que la satisfacción que obtiene de su compra, generalmente excede lo que paga; y
así deriva un surplus de satisfacción por su compra. El exceso del precio que está
dispuesto a pagar en lugar de irse sin el objeto, menos lo que realmente paga, es
la medida económica de este excedente de satisfacción. Puede llamarse excedente
del consumidor (consumer’s surplus).
Marshall, Principles of Economics, 1920, p. 103.
En palabras simples, el excedente del consumidor (Dupuit, 1844; Marshall, 1890;
Hotelling, 1938; Hicks, 1941, 1946) es una medida de bienestar que consiste en la
diferencia entre lo que un consumidor está “dispuesto a pagar” por una mercancía,
y lo que realmente paga, al precio del mercado. Así, el excedente del consumidor
también puede interpretarse como la cantidad de dinero que sería preciso dar al
consumidor para que renunciara a todo el consumo de un bien. Ahora: recordemos
que, en general, la ecuación de equilibrio del consumidor, U ′ (x) = p, se tiene
para funciones de utilidad cuasilineales de la forma U (x) + y, en donde nuestra
preocupación se centra en el bien x y el bien y (ye) es “dinero”, además de que
colocamos el precio de este como numerario. Por lo tanto, su demanda marshalliana
es x = (U ′ )−1 (p).
Ejemplo 4.
√
Si U (x) = x entonces de la ecuación U ′ (x) = p se obtiene que:
1
√ =p
2 x
(utilidad marginal = precio)
Así la demanda marshalliana es x = 1/(4p2 ) y, por lo tanto, ¡las dos curvas anteriores son iguales! (figura 4.9).
5 Y tiene otras propiedades analíticas (en particular, que sea semidefinida negativa (ver teorema
18, Apéndice matemático al final del texto)) que, en conjunto con su simetría, son condiciones
suficientes y necesarias para que una colección de demandas sea la consecuencia de la maximización
de cierta función de utilidad sujeta a la restricción presupuestaria (Hurwicz, 1971).
4.8. El excedente del consumidor
115
p
Curva
utilidad marginal = precio
¡coincide con la curva de
demanda!
x
Figura 4.9. La curva de demanda inversa es idéntica a la curva de utilidad marginal: ambas
están regidas por la ecuación p = U ′ (x).
En consecuencia, el excedente del consumidor que resulta de comprar x0 unidades
del bien x al precio P (por unidad) en el mercado, será el área entre la curva de
demanda inversa p = U ′ (x) y la recta p = P (figura 4.10). ¿Por qué? Porque, una
vez comprada la cantidad x del bien con 0 < x < x0 , al comprar una “muy pequeña”
cantidad extra, ∆x, el consumidor recibirá un excedente aproximadamente igual a
U ′ (x)∆x−P ∆x, y, por tanto, la suma de estos excedentes desde x = 0 hasta x = x0
será el excedente total que reciba un consumidor por comprar x0 unidades del bien.
Así, el excedente del consumidor se medirá, en general, como el área debajo de la
curva de demanda inversa p = U ′ (x) y por encima de la recta p = P desde x = 0
hasta x = x0 ; o, en forma de integral6 (figura 4.10):
Excedente del consumidor =
Z x0
0
(U ′ (x) − P ) dx
= U (x0 ) − U (0) − P x0
Sin embargo, sabiendo que las demandas marshallianas de una función de utilidad
no cambian cuando se le aumenta a la función una constante, entonces podemos
hacer U (0) = 0, para obtener que el excedente del consumidor por consumir x0
unidades es igual a U (x0 ) − P x0 ; es decir, la satisfacción de consumir x0 unidades
menos lo pagado al comprar esas x0 unidades al precio P .
Con esto se muestra que cuando calculamos el excedente del consumidor en el
caso de la función de utilidad cuasilineal, este es una buena medida del bienestar
del consumidor debido a que coincide con la utilidad del mismo. Además, debemos
notar que al construir una curva de demanda (cantidad x versus precio p) ignoramos
el presupuesto, y esto se debe a que el efecto ingreso para el bien x, en una función
cuasilineal, es nulo. Todo lo anterior se hace convenientemente, pues el propósito
fundamental del curso es el estudio del equilibrio parcial (oferta = demanda) de un
solo bien (el bien x), sin explicitar los cambios en el ingreso de los consumidores
(aunque, como veremos, es tenido en cuenta de una forma distinta).
6 Ver Apéndice matemático (sección A.1) al final del texto.
116
Semana 4. Efecto ingreso y efecto sustitución
p
Curva
′
p = U (x)
Excedente del
consumidor
Lo que se paga por la
compra de x0 unidades
al precio P de mercado
P
x0
x
Figura 4.10. Aquí U ′ (x) es la utilidad marginal, p es el precio que está dispuesto a pagar el
consumidor y P es el precio del mercado por unidad (exógeno al consumidor). El excedente del
consumidor es el área en gris claro a la izquierda de la curva de demanda.
Ejemplo 5.
Consideremos la función de demanda x = 10 − 2p. Entonces el excedente del consumidor al comprar 4 unidades del bien a un precio de mercado de $3 es $4, y para
ello basta observar que $4 es el área del triángulo sombreado en la figura 4.11.
p
Excedente del
consumidor
5
3
10
4
x
Figura 4.11. Excedente del consumidor con demanda x = 10 − 2p.
Nota 3.
En ocasiones la curva inversa de demanda presenta asíntotas cuando x = 0. En tales
casos, el excedente del consumidor se acostumbra a medir mediante una integral
impropia (si esta existe)7 :
Excedente del consumidor =
Z x0
0
(U ′ (x) − P ) dx
= U (x0 ) − lı́m+ U (x) − P x0
x→0
7 Ver Apéndice matemático (sección A.1.5) al final del texto.
4.9. ¿Existen las funciones de utilidad?
117
Obviamente, para que la integral exista, debe existir el límite de la función de
utilidad U (x) cuando x tiende a cero por la derecha y, en tal caso, podemos asumir
que es igual a cero.
Ejemplo 6.
√
En el caso de la función de utilidad cuasilineal U (x, y) = x+y = U (x)+y, se tiene
que la curva de demanda es x = 1/4p2 y por tanto el excedente del consumidor al
consumir x0 unidades al precio de mercado P , es:
Excedente del consumidor = U (x0 ) − lı́m+ U (x) − P x0
x→0
√
= x0 − 0 − P x0
√
= x0 − P x0
Nota 4.
Debe advertirse, aún así, que el concepto de excedente del consumidor ha sido controversial desde su introducción por Dupuit (1844). Y aunque muchos economistas
–entre ellos, Marshall (1890) y Hicks (1939)– recurrieron a él, Samuelson (1947) fue
muy crítico de este concepto como medida de bienestar, en particular porque, precisamente, esta medida funciona bien (casi únicamente) con funciones cuasilineales
de utilidad.
4.9.
¿Existen las funciones de utilidad?
En primer lugar, analizaremos brevemente cómo es que se puede utilizar todo el
sistema del modelo de consumo que hemos estudiado en estas semanas, para hacer
comparaciones de bienestar de hogares y, por lo tanto, políticas públicas y sociales
centralizadas. Todo, como es de esperarse, depende de que nuestras funciones sean
implementables (es decir, estimables) econométricamente –con técnicas estadísticas apropiadas– basándonos en datos observables. En la figura 4.12, encontramos
que si conocemos la función de utilidad, entonces podemos conocer las demandas marshallianas, que solamente dependen de datos observables: los precios y el
presupuesto. Y, claro está, si conocemos la función de utilidad y las demandas
marshallianas, entonces también conoceremos la función de utilidad indirecta, que
es estimable, por depender, también, de los datos observables precio y presupuesto.
De hecho, por la identidad de Roy (ejercicio 12, semana 2), podemos obtener las
demandas marshallianas a partir de la utilidad indirecta.
Ahora: la figura 4.12 muestra también que, a partir de la función de utilidad, podemos calcular las demandas hicksianas y, de allí, la función de gasto. Y, por supuesto,
por el lema de Shephard, también podemos construir las demandas hicksianas, a
partir de la función de gasto. Además, por criterios de dualidad ya explicados en
estas semanas, si tenemos la función de utilidad indirecta, podemos calcular la función de gasto y, de allí, las demandas hicksianas. En resumen, la figura 4.12 muestra
que, en principio, se puede construir cualquiera de las funciones estudiadas aquí
(demandas marshallianas, demandas hicksianas, gasto y utilidad indirecta) a partir
118
Semana 4. Efecto ingreso y efecto sustitución
de la función de utilidad. Sin embargo, ¿será cierto que a partir de una de estas
últimas funciones, podemos recuperar la función de utilidad? De hecho, la pregunta
es más fácil observando la figura 4.12: ¿Será cierto que a partir de la función de
gasto, podemos recuperar la función de utilidad? Veamos el próximo ejemplo 7.
Demandas marshallianas
Función de utilidad
y
Id
en
t
co
n
id
ad
ec
ua
cio
ne
s d
e S
lu
ts k
t
op
n
ió
ac
iz
m
i
ut
i
de
li
da
d
R
oy
co
no
ci
da
Utilidad indirecta
on
es
de
m
at
r iz
de
su
st
it u
ció
Hacer V = Uo , M = e
co
nd
ici
n
Definición de gasto
Función de gasto
Demandas hicksianas
Lema de Shephard
Figura 4.12. Esquema básico de interrelación entre las distintas funciones que describen a un
consumidor, conocido como el “problema de integración” (Antonelli, 1886).
Ejemplo 7.
√ √ Dada la función de gasto e = 2 p1 p2 U0 deduzcamos que una función de utilidad de la que se pudo originar es la función de utilidad Cobb-Douglas
√
U (x, y) = xy.
Solución.
Puesto que
√
√
p2
p1
∂e
∂e
;
= √ U0
= √ U0
∂p1
p1
∂p2
p2
y como
∂e
∂e
= x,
= y (lema de Shephard), entonces:
∂p1
∂p2
√
√
p2
p1
U
=
x
;
√
√ U0 = y
0
p1
p2
2
Y así, multiplicando término a término estas ecuaciones, se obtiene que xy = (U0 ) ,
√
y, por lo tanto, U0 = xy, que es una función Cobb-Douglas con parámetros α = 12
y β = 21 . N
4.10. Nota sobre la hipótesis de racionalidad del consumidor
119
El ejercicio anterior nos muestra, en principio, que si estimamos la función de gasto
podríamos tener también la función de utilidad. Y efectivamente así es, aunque el
problema general es mucho más complicado que este simple ejemplo (Hurwicz &
Uzawa, 1971). En resumen: la estimación de estas dos funciones es fundamentalmente equivalente y el problema de estimar la función de utilidad se convierte en
un círculo vicioso (¿o virtuoso?) alrededor de la estimación de la función de gasto.
Finalmente, cabe señalar que un problema similar consiste en estimar la función de
utilidad –conocido como el problema de integrabilidad (Antonelli, 1886)– o la función de gasto si conocemos las demandas marshallianas. La solución a este problema
está íntimamente relacionado con que el consumidor se gaste todo el presupuesto
(es decir, en el caso de dos variables, que p1 x + p2 y = M ) y con ciertas características ya advertidas de la matriz de sustitución: que sea simétrica y semidefinida
negativa. En el Apéndice matemático (teorema 18) al final del texto, se define este
último concepto.
4.10.
Nota sobre la hipótesis de racionalidad del
consumidor
El sistema de referencia filosófico al que pertenece el Homo economicus (y, dentro
de él, la concepción neoclásica de la economía), puede ser trazado hasta el racionalismo cartesiano y proviene del positivismo de las ciencias naturales, especialmente
de la física del siglo XVII. Sin embargo, como podría esperarse, se han presentado
diversas objeciones contra esta hipótesis de racionalidad. La más común es la alegación de que el comportamiento efectivo de los agentes económicos no siempre se
ajusta a los supuestos de racionalidad y maximización o, al menos, que no existen
suficientes evidencias sociológicas o psicológicas para suponerlo. Según esta línea
argumentativa, el marco de decisión racional que supuestamente guía las decisiones
de los agentes económicos, y la misma idea de que esos agentes son ejemplares de
la especie Homo economicus, puede ser una ficción útil, pero siempre una ficción.
Entre otras, existe una importante disciplina surgida en las últimas décadas, conocida como economía conductual o del comportamiento, que se ha dedicado precisamente a investigar cómo es, efectivamente, la conducta de los agentes económicos,
con el fin de comprobar si se ajusta a los supuestos del marco de decisión racional.
Precisamente uno de los pioneros de la economía conductual, el Premio Nobel de
Economía 2002, Daniel Kahneman, decía:
El misterio es cómo ha sobrevivido por tanto tiempo una concepción de utilidad que
es vulnerable a tan obvios contraejemplos. Sólo puedo explicarlo por una debilidad
de la mente de los académicos que a menudo he observado en mí mismo. La llamo
teoría de la ceguera inducida: una vez que usted ha aceptado una teoría y la ha
usado como herramienta en su mente, es extraordinariamente difícil notarle errores.
Si usted tiene una observación que no parece ajustarse al modelo, entonces asume
que debe haber una explicación perfecta que de algún modo usted ha descuidado.
120
Semana 4. Efecto ingreso y efecto sustitución
Se le da a la teoría el beneficio de la duda, confiando en la comunidad de expertos
que la han aceptado.
Daniel Kahneman, Thinking, fast and slow, 2011, pp. 276–277
En esta discusión, sin lugar a dudas, la economía experimental tiene un compromiso
con la teoría económica del siglo XXI 8 .
Ejercicios
(Observación: Los ejercicios señalados con uno (∗) o dos (∗∗) asteriscos tienen, a
juicio del autor, un nivel de dificultad un tanto o muy superior, con respecto a los
ejercicios corrientes que aparecen sin asterisco.)
1. Un consumidor tiene una función de utilidad U (x, y) = x + y con restricción
presupuestal 2x+3y = 18. Mediante una buena gráfica, responda lo siguiente:
a) ¿Cuáles son las demandas? ¿Qué nivel de utilidad (bienestar) máxima
alcanza?
b) Si el precio del bien x aumenta 25 %, ¿cuál será el ingreso adicional necesario para mantenerse en el mismo nivel de bienestar anterior? ¿Se requiere
de un efecto sustitución para regresar a las demandas originales antes del
aumento de precio?
c) Las mismas preguntas que en b), pero ahora lo que sucede es un aumento
del 100 % en el precio del bien x.
2. a) Compruebe las cuatro ecuaciones de Slutsky cuando el consumidor tiene
la función de utilidad
U (x, y) = A x1/2 y 1/2
,
A>0
b) Similarmente para la función de utilidad U (x, y) = x1/2 + y.
3. Falso o verdadero:
a) En general, el efecto sustitución es negativo o cero.
b) Si un bien es normal, el efecto ingreso “refuerza” el efecto sustitución.
c) Para que un bien sea Giffen es necesario que sea un bien inferior. Más aún,
el efecto ingreso debe “dominar” al efecto sustitución.
(Sugerencia: en a), b), c), el lector podría requerir de observar la ecuación
de Slutsky).
4. (∗∗) Demuestre las ecuaciones de Slutsky (4.1), (4.2) y (4.3), imitando lo
hecho para la ecuación (4.4) al comienzo de la presente semana.
8 De hecho, el premio Nobel en Economía de 2017 fue otorgado a otro investigador principal
de la economía conductual: Richard Thaler.
Ejercicios
121
5. Suponga que la función de utilidad de los bienes x y y está determinada por
U (x, y) = 3xy + y + 1
a) Calcule las funciones de demanda marshallianas de x y y. También describa cómo las desplazan los cambios de presupuesto o del precio del otro
bien.
b) Calcule la función de gasto de x y y.
c) Utilice la función de gasto estimada en el apartado anterior para calcular
las funciones de demanda compensada de los bienes x y y. Describa cómo
los cambios de los ingresos o los del precio del otro bien desplazan las
curvas de demanda compensada de x y de y.
6. Encuentre la oferta
cuando la función de utilidad es separable de la
√
√ laboral
forma U (c, L) = c + L donde c es consumo y L es ocio.
7. (∗) Encuentre las elasticidades-salario de la oferta laboral para cuatro casos de funciones
de la forma
√de utilidad: Cobb-Douglas, Leontief, separable
√
√
U (c, L) = c + L y cuasilineal de la forma U (c, L) = L + c.
8. (∗) (Cano, 2001) El bien X es el servicio de educación ofrecido por instituciones privadas (colegios y universidades). El “consumidor” es un jefe de hogar,
quien dispone de un ingreso y decide la cantidad (número de matrículas por
curso semestral) que compra de este bien, tanto para él mismo como para sus
dependientes.
Suponga que el consumidor A es un jefe de hogar que dispone de un ingreso
resultante de su trabajo como profesional. Es viudo y tiene dos hijos, de los
cuales uno es estudiante y el otro ya está graduado y trabaja. No tiene más
dependientes. Así mismo, el consumidor B es un jefe de hogar con un ingreso
igual al de A. Tiene tres hijos, todos estudiantes, y tanto él como su esposa,
además de trabajar, tratan de adelantar una carrera con la limitación que les
da el valor de la matrícula.
a) En un mismo gráfico, presente y explique el equilibrio del consumidor A
y del consumidor B con relación al consumo del bien X, frente al resto de
bienes (bien Y ).
b) Suponga que se aumenta el valor de las matrículas para el siguiente semestre, pero los ingresos de A y de B y el precio de Y se mantienen
constantes. Analice el efecto sobre el equilibrio del consumidor B, diferenciando el efecto ingreso y el efecto sustitución, según Slutsky. Muéstrelo
en el gráfico.
c) Con base en el resultado del punto anterior, deduzca las curvas de demanda
de cada consumidor por el bien X, señálelas en otro gráfico, indicando para
cada una el tipo de elasticidad.
122
Semana 4. Efecto ingreso y efecto sustitución
9. (∗) (Este ejercicio conducirá al lector a utilizar y generalizar muy finamente
la teoría del consumidor aprendida hasta ahora en el curso.) Supongamos
que un consumidor distribuye su ingreso en consumo (c), ocio (L), y ahorro
(s), mediante la función de utilidad U (c, L, s) = Mín{c, L} + s. Plantee este
problema como uno de consumidor, construyendo primero la restricción presupuestaria, y luego hallando las demandas por ocio y ahorro, y también la
oferta laboral.
10. Si U (x, y) = 3x − x2 + y, entonces, bajo un precio de mercado del bien x igual
a P = 1/2, calcule el excedente del consumidor para este bien.
Semana 5
Principios de la teoría de la producción
5.1.
Introducción
Así como la teoría neoclásica del consumidor se basa en la función de utilidad,
también la teoría de la producción se basa en su propia función: la función de
producción. Una función de producción es una regla explícita que transforma, de
manera óptima, insumos (o factores) en productos. Es la “caja negra” de la teoría de la producción neoclásica, pues resume de una manera reduccionista, todo el
proceso productivo interno de la empresa o firma: se asume que los problemas de
eficiencia técnica que involucran ingeniería y administración dentro de la empresa,
están totalmente representados, de alguna forma, por esa función.
En esta semana estudiaremos el concepto de función de producción, su relación
con la noción de rendimientos a (de) escala y la conexión de estos con el problema
fundamental del productor según la teoría neoclásica: maximizar el beneficio de la
empresa (ingresos menos costos) sujeto a la restricción tecnológica (función de producción). Señalemos que en el propósito de las empresas al maximizar el beneficio,
también surgirán las correspondientes demandas por los insumos y, fundamentalmente, la oferta de la empresa al mercado.
No sobra aclarar que, en esta instancia, maximizar beneficios significará hacer la
mayor cantidad de dinero posible (respaldado por autoridad monetaria) que bajo
un régimen de propiedad privada e independientemente de la forma legal de la empresa –unipersonales, comanditarias, anónimas, de responsabilidad limitada, etc.–,
irá al presupuesto de los dueños y de sus familias, quienes, a su vez, invertirán una
parte de este en la misma empresa o en diferentes activos, aunque también de allí
partirá el presupuesto para gastar en consumo. Y sabemos que, en general, a más
ingreso, mayor satisfacción de las familias (medida por su función de utilidad). Así,
123
124
Semana 5. Principios de la teoría de la producción
desde la perspectiva neoclásica, un motor de fondo (o incentivo) del mercado bajo
competencia perfecta por parte de los consumidores y también de los productores
es el gusto (o necesidad) por el consumo.
5.2.
Características de la función de producción
neoclásica
En nuestro curso, estudiaremos funciones de producción de solo uno o dos insumos
(o factores) y un producto. La generalización a más de dos insumos es directa e
inmediata; sin embargo, la ampliación a varios productos es más complicada1 . Y la
razón fundamental para que sólo estudiemos funciones de producción de un único
producto, es que nuestro norte inicial es el análisis del equilibrio parcial competitivo
de la industria de un solo bien, entendiendo esto, claro está, como otra simplificación
conveniente de la estructura de mercado.
Una función de producción es una función de la forma
f : R+ → R+
x → y = f (x)
[2]
(un solo insumo x)
donde x es la cantidad no-negativa de insumos y y es la cantidad máxima producida, o de la forma
F : R2+ → R+
(x, y) → z = F (x, y)
(dos insumos x e y)
donde x e y son las respectivas cantidades no-negativas de esos insumos (o factores)3 y z = F (x, y) es la cantidad máxima producida con esos insumos. Asumiremos, a menos que precisemos lo contrario, usualmente, que tanto y = f (x) como
z = F (x, y) son funciones cuasicóncavas4 , diferenciables con continuidad en R++
1 Sobre esto discutiremos en el volumen III: Competencia bajo equilibrio de Nash.
2 Recordemos que R
+ = [0, ∞).
3 Los insumos o factores son aquellos bienes de la economía que son utilizados para la producción
de otro bien. Por ejemplo, en la construcción de una casa requeriremos de tierra, mano de obra,
ladrillos, cemento, vidrios, etc. Más adelante, observaremos que la economía neoclásica distingue
factores de capital (K) y de trabajo (L). En la variable K incluye bienes tales como maquinaria,
edificios (también los ladrillos, el cemento y los vidrios), etc. Y en la variable L amalgama el
factor humano de trabajo desde el obrero raso hasta el trabajador más calificado.
4 Esta condición sobre la función de producción es, para la teoría neoclásica, muy conveniente
analíticamente aunque también es económicamente interpretable como veremos más adelante. En
particular va a permitir asegurar la minimización de los costos de la empresa. No sobra aclarar
aquí que esta hipótesis también lleva a que las curvas de nivel F (x, y) = constante sean similares
(por su convexidad al origen) a las correspondientes curvas de nivel de una función de utilidad
analizadas en la semana 1. Y, por consiguiente, también está afirmando que la “combinación de
insumos” conduce a más altas producciones. Si el lector está interesado en revisar de nuevo la
noción formal de cuasiconcavidad, puede consultar el Apéndice matemático (sección A.13) al final
del libro.
5.2. Función de producción neoclásica
125
(números reales estrictamente positivos) o en R2++ = {(x, y) ∈ R2 | x > 0, y > 0}
(primer cuadrante del plano cartesiano, pero sin incluir los ejes)5 ; con f (0) = 0 y
F (0, 0) = 0, respectivamente. Adicionalmente, será usual que supongamos que las
funciones de producción tienen la condición de que a mayor cantidad de insumos,
más producción; es decir, presentan lo que en adelante llamaremos “productividades marginales estrictamente crecientes” en cada uno de los insumos:
i) En el caso de una función de producción con un solo insumo, f (x), tendremos,
para x ∈ R++ , que f ′ (x) > 0 (producción marginal positiva) tal como se
ilustra en la figura 5.1.
f (x)
b
b
b
b
b
b
x
Figura 5.1. Ejemplo de una función de producción con apenas un insumo.
ii) Y en el caso de una función F (x, y) con dos insumos, tendremos
∂F
>0 ,
∂x
∂F
>0
∂y
(figura 5.2)
(producciones marginales positivas)
en el conjunto R2++
[6]
.
Cabe observar aquí que, en la práctica, una función de producción con un solo
insumo de la forma f (x), se puede entender como una función de dos variables
F (x, y) pero en la que el insumo y (ye) es constante. Es decir, F (x, k) = f (x), donde
la producción se realiza con x variable pero con y = k constante. Más adelante
comprenderemos que cuando una empresa no puede variar todas las cantidades
de insumos, sino que algunos de ellos permanecen fijos por un periodo de tiempo,
habrá que distinguir la producción entre el corto plazo y largo plazo. En el corto
plazo, algunos factores pueden permanecer fijos. En el largo plazo, todos los factores
son variables 7 .
5 Cabe observar que algunas funciones de producción muy importantes pueden no satisfacer
esta condición de diferenciabilidad con continuidad. No obstante, le aplicaremos a estas funciones
todo el análisis que nos permita, aunque sin involucrar, obviamente, ninguna derivada.
6 No sobra agregar aquí que también existen ejemplos muy importantes de funciones de producción que no satisfacen la condición de productividades marginales estrictamente crecientes. Ese
es el caso de la función de producción z = F (x, y) = Mín{x, y} que estudiaremos más adelante.
7 Realmente, deberíamos escribir f (x) en lugar de f (x). Sin embargo, a menos que debamos
k
especificar esto, asumiremos que una función de la forma f (x) representa una tecnología en la que
el insumo y (ye) está fijo en algún nivel k.
126
Semana 5. Principios de la teoría de la producción
F(x,y)
y
x
Figura 5.2. Función de producción con dos insumos.
Ejemplo 1. (Construcción de una función de producción)
Según la perspectiva neoclásica y en versión muy simplificada, toda empresa debería
estar en condiciones de construir datos a la manera de la tabla 5.1 o de la tabla
5.2. Obviamente, en teoría, cualquier empresa podría construir tablas mucho más
completas y detalladas de sus necesidades de insumos y de su producción óptima,
resumidas y extrapoladas en su función de producción. No obstante, en la práctica,
este tipo de funciones (particularmente, a nivel agregado) se estiman recurriendo a
técnicas econométricas.
x=mano de obra
(en horas)
1
2
3
5
7
9
y=máquinas
1
1
1
1
1
1
f (x)=producción
máxima
1
1.5
2
3
3.5
4
Tabla 5.1. Producción con un solo insumo variable (mano de obra) y otro fijo (máquinas), que
podría dibujarse (extrapolando valores) mediante una gráfica como la de la figura 5.1.
x=mano de obra
(en horas)
1
2
3
5
7
9
y=máquinas
1
1
2
3
4
6
F (x, y)=producción
máxima
1
1.5
2.5
3.5
4.2
7
Tabla 5.2. Producción con dos insumos variables (mano de obra y máquinas), que podría
dibujarse (extrapolando valores) mediante una gráfica como la de la figura 5.2.
5.3. Rendimientos a escala
5.3.
127
Rendimientos a escala 8
Para propósitos analíticos que entenderemos más adelante –fundamentalmente para
diferenciar el tipo de empresas que opera bajo competencia perfecta–, la teoría neoclásica divide, de manera no-exhaustiva, las funciones de producción de uno o dos
insumos (f (x) o F (x, y)) en tres clases: funciones de producción con rendimientos
decrecientes, constantes y crecientes a escala. Veamos esto con detalle.
i) Una función f (x) o F (x, y) tiene rendimientos decrecientes a escala si, para
todo escalar t > 1, respectivamente,
f (tx) < tf (x)
(para un insumo)
F (tx, ty) < tF (x, y)
(para dos insumos)
Así, por ejemplo, si se duplican (t = 2) los insumos (factores), la producción estará por debajo del doble de la producción inicial. Similarmente, si se triplican
(t = 3) los insumos (factores), la producción estará por debajo del triple de la
producción inicial; etc. (figura 5.3).
y
y = tf (x)
tf (x∗ )
y = f (x)
f (tx∗ )
x∗
tx∗
x
Figura 5.3. Típica función de un solo insumo con rendimientos decrecientes a escala. Nótese que
f (tx∗ ) < tf (x∗ ) para todo t > 1 y x∗ fijo.
En la práctica, es corriente –aunque no totalmente claro– asociar los rendimientos decrecientes a escala con:
Factores fijos: por ejemplo, la tierra.
Ineficiencia tecnológica.
Ineficiencia administrativa: dificultades en la organización, coordinación
e integración que surgen en la administración de una empresa.
Número grande de trabajadores: puede no funcionar tan bien como los
pequeños equipos de trabajo.
8 En ocasiones, también llamados rendimientos de escala.
128
Semana 5. Principios de la teoría de la producción
Sin embargo, como entenderemos más adelante, la primera justificación (factores fijos) es la más socorrida cuando de hablar de rendimientos decrecientes
a escala bajo competencia perfecta, se trata. Concatenado con esto, existe un
resultado muy útil (y que no probaremos aquí)9 , que caracteriza cuándo una
función de producción de un solo insumo tiene rendimientos decrecientes a
escala. Es el siguiente:
“Toda función de producción f (·) cóncava estricta con f (0) = 0, tiene rendimientos decrecientes a escala.”
De esta manera, si la función de producción f (·) satisface f (0) = 0, f ′ > 0
y f ′′ < 0 (por tanto, es una función cóncava estricta10 ), entonces presenta
rendimientos decrecientes a escala. Así, con este resultado se puede asegurar
que, por ejemplo, las funciones f (x) = xα para 0 < α < 1 y f (x) = ln(1 + x)
tienen rendimientos decrecientes a escala.
Es muy importante advertir que las funciones f (·) con las características
f (0) = 0, f ′ > 0 (marginalidad creciente) y f ′′ < 0 (rendimientos marginales
decrecientes) son, para la economía neoclásica, las más típicas con rendimientos decrecientes a escala, y serán a ellas a las que usualmente nos referiremos
(a menos que se especifique algo distinto) como “funciones de producción con
rendimientos decrecientes a escala con un solo insumo”. Notemos, además, que
estas tres condiciones significan, respectivamente, que: I) No puede producirse
algo a partir de nada (f (0) = 0); II) Más insumos implican mayor producción
(f ′ > 0); productividad marginal decreciente (f ′′ < 0), es decir, a mayor cantidad de utilización del insumo x, menor es la productividad marginal f ′ (x).
También existe un criterio diferencial para que una función de producción con
dos insumos, F (x, y), tenga rendimientos decrecientes a escala: debe satisfacer F (0, 0) = 0, ∂F/∂x > 0, ∂F/∂y > 0 y ser cóncava estricta. Pero para
entender este concepto aquí, necesitaríamos que el lector ya hubiera conocido
de antemano el cálculo de varias variables más a profundidad. En el Apéndice
matemático (sección A.12) se presenta la noción de concavidad de una función
de dos variables F (x, y).
ii) Una función f (x) o F (x, y) tiene rendimientos constantes a escala si, para
todo escalar t > 0, respectivamente,
f (tx) = tf (x)
F (tx, ty) = tF (x, y)
(para un insumo)
(para dos insumos)
Así, por ejemplo, si se duplican (t = 2) los insumos (factores), la producción será igual al doble de la producción inicial. Similarmente, si se triplican
9 Para su demostración, ver Monsalve (ed.) (2010), volumen III.
10 Ver Apéndice matemático (sección A.12) al final del libro.
5.3. Rendimientos a escala
129
(t = 3) los insumos (factores), la producción será igual al triple de la
producción inicial; etc. (figura 5.4).
y
y = tf (x)
y = f (x)
tf (x∗ ) = f (tx∗ )
f (tx∗ )
tf (x∗ )
x∗
tx∗
x
Figura 5.4. Típica función de producción de un solo insumo con rendimientos constantes a
escala. Nótese que f (tx∗ ) = tf (x∗ ) para todo t > 0 y x∗ fijo.
iii) Una función f (x) o F (x, y) tiene rendimientos crecientes a escala si, para todo
escalar t > 1, respectivamente,
(para un insumo)
(para dos insumos)
f (tx) > tf (x)
F (tx, ty) > tF (x, y)
De esta manera, si se duplican los insumos (factores), la producción estará
por encima del doble de la producción inicial. Similarmente, si se triplican los
insumos (factores), la producción estará por encima del triple de la producción
inicial; etc. (figura 5.5). Y, por supuesto, podemos identificar algunas funciones
de producción (para un solo insumo) con rendimientos crecientes a escala
mediante el siguiente resultado:
“Toda función de producción f (·) convexa estricta, con f (0) = 0, tiene rendimientos crecientes a escala” 11 .
y
y = tf (x)
y = f (x)
f (tx∗ )
tf (x∗ )
x∗
tx∗
x
Figura 5.5. Típica función de un solo insumo con rendimientos crecientes a escala. Nótese que
f (tx∗ ) > tf (x∗ ) para todo t > 1 y x∗ fijo.
11 Para su demostración, ver Monsalve (ed.) (2010), volumen III.
130
Semana 5. Principios de la teoría de la producción
De esta manera, si f (0) = 0, f ′ > 0 (marginalidad creciente) y f ′′ > 0
(rendimientos marginales crecientes) entonces la función de producción tiene
rendimientos crecientes a escala. Ejemplos funcionales de esto son f (x) = xα
con α > 1 y también f (x) = ex − 1.
Nota 1. (Marshall y los rendimientos a escala)
El concepto de rendimientos a escala, en el sentido tecnológico, es tan antiguo
como la economía misma, aunque no fue cuidadosamente definido hasta, quizás,
Alfred Marshall (1890). Marshall utilizaba el concepto de rendimientos a escala para
capturar la idea de que las firmas pueden, alternativamente, enfrentar “economías
de escala” (es decir, disminución de costos medios por grandes niveles de producción
con insumos muy especializados) o “deseconomías de escala” (crecimiento de esos
mismos costos medios), y presentaba razones por las cuales las firmas podrían
enfrentar rendimientos a escala cambiantes.
Precisamente uno de los más importantes conceptos de Marshall en este sentido fue
el de distrito industrial. Dicho concepto, que es propuesto inicialmente en los Principles (1890) y posteriormente desarrollado en Industry and Trade (1919), tiene su
origen en la posición de Marshall, distinta a la predominante entre los economistas
de su tiempo, sobre la existencia de dos formas de obtener economías de escala
en la industria: la concentración de la producción en grandes empresas integradas
verticalmente12 o la concentración en un territorio determinado de un buen número
de pequeñas y medianas empresas que cooperan y compiten entre sí:
Encontramos que determinadas ventajas de la división del trabajo sólo se pueden
obtener en las fábricas muy grandes, pero que muchas, más de las que pueda parecer
a simple vista, se pueden obtener de pequeñas fábricas y talleres, con tal de que
exista un número muy elevado en la misma actividad. (Marshall A. & Marshall
M., 1879, p. 83)
La definición del concepto de rendimientos a escala (y su relación con las economías y deseconomías de escala) fue discutido posteriormente, con más profundidad
y rigor, por Wicksell (1900; 1901; Wicksell, Clark & Hobson, 1902); Wicksteed
(1910), Sraffa (1926), Keynes (1932) y Hicks (1932; 1936), entre otros. Hoy en día
se asocia las economías de escala de Marshall (costos medios decrecientes) con los
rendimientos crecientes a escala13 . En muchas ocasiones (por ejemplo, en el largo
plazo) estos dos conceptos coinciden. En otros, como en el corto plazo, no necesariamente. Y esto lo podrá observar más adelante el lector en las figuras 6.7 (semana
6) y 7.1 (semana 7), en donde los rendimientos constantes a escala también podrían
satisfacer esa condición. Para ayudar a precisar lo anterior, observemos que si una
función F (x, y) presenta rendimientos crecientes en el largo plazo, entonces para
t > 1:
12 El término “integración vertical” señala una situación en que la empresa extiende sus actividades sobre más de una etapa sucesiva del proceso productivo. Inclusive existen empresas que llevan
a cabo todo el proceso, desde los insumos primarios hasta el bien final, sin recurrir a empresas
intermediarias.
13 Aunque esta asociación no es aceptada por muchos economistas (ver Mosca, 2007).
5.3. Rendimientos a escala
131
w1 (tx) + w2 (ty)
w1 x + w2 y
<
F (tx, ty)
F (x, y)
(*)
donde w1 , w2 > 0 son los costos por unidad de x y y (ye), respectivamente. Notemos
que la desigualdad (*) indica que el costo medio de producción decrece si se amplía
la escala t de producción. Pero la afirmación recíproca, debemos ser enfáticos en
esto, no es necesariamente cierta en el corto plazo, y esto lo entendermos bien en
las semanas 6 y 7. N
Señalemos finalmente que es posible encontrar descripciones de funciones de producción que tienen diferentes rendimientos a escala para diferentes niveles de producción (ver figura 5.6). Por ejemplo, cuando una firma produce pequeñas cantidades, puede mostrar rendimientos crecientes a escala debido a que podría hacer un
uso más eficiente de los recursos; pero si produce grandes cantidades enfrentaría
rendimientos decrecientes ya que un aumento en el tamaño de la empresa haría,
quizás, más ineficiente la producción (ver Wicksell, 1901; 1902).
y = f (x)
Etapa con rendimientos
decrecientes a escala
Etapa con rendimientos
crecientes a escala
x
Figura 5.6. Función de un solo insumo sin rendimientos a escala específico.
También, en ocasiones, se justifica este tipo de comportamiento con la idea de que
un factor (usualmente, mano de obra) es variable y el otro (usualmente, capital)14
es fijo, y que en etapas de producción menores se tiene un alto grado de cohesión
laboral y eficiencia productiva, lo que lleva a presentar rendimientos crecientes a
escala; pero que si la producción pasa de cierto nivel, entonces los requerimientos
de más mano de obra harán que la gestión sea menos eficiente y esto lleve a la
empresa a comportarse bajo rendimientos decrecientes a escala.
Ejemplo 2. (Funciones de producción y rendimientos a escala)
√
a) f (x) = x es una función con rendimientos decrecientes a escala: si t > 1,
f (tx) = (tx)1/2 = t1/2 x1/2 < tx1/2 = tf (x)
14 Más adelante (semana 8) señalaremos que la hipótesis de tratar las máquinas, los edificios,
etc., como insumos de capital que son medidos en cierta unidad homogénea, es considerada como
una de las más grandes falencias de la teoría neoclásica homogénea. Aunque algunos de sus
representantes más importantes bajo argumentos variados, no lo creyeran así.
132
Semana 5. Principios de la teoría de la producción
b) f (x) = Ax (A > 0 es constante) es una función con rendimientos constantes a
escala: si t > 0,
f (tx) = A(tx) = t(Ax) = tf (x)
c) f (x) = x2 es una función con rendimientos crecientes a escala: si t > 1,
f (tx) = (tx)2 = t2 x2 > tx2 = tf (x)
d) La función general de Leontief F (x, y) = Mín {x/a, y/b} (a, b > 0 constantes)15
es una función de producción con rendimientos constantes a escala, pues si t > 0
entonces:
nx y o
tx ty
= t Mín
,
,
= tF (x, y)
F (tx, ty) = Mín
a b
a b
Un ejemplo sencillo que ilustra este tipo de función de producción es cuando los
insumos son “complementarios”. Por ejemplo, un caja de cereal (cereal + caja);
un paquete de papas fritas (papas + empaque), etc.
√
√
e) F (x, y) = x + y es una función de producción con rendimientos decrecientes
a escala, pues si t > 1, entonces:
1/2
1/2
F (tx, ty) = (tx) + (ty)
= t1/2 x1/2 + t1/2 y 1/2
= t1/2 x1/2 + y 1/2 < t x1/2 + y 1/2 = tF (x, y)
f) Un caso muy importante: la función de producción Cobb-Douglas
F (x, y) = xα y β [16] . Inicialmente, notemos que para cualquier t > 0,
F (tx, ty) = (tx)α (ty)β = tα+β xα y β = tα+β F (x, y)
Por lo tanto:
Si α + β < 1 entonces tα+β < t si t > 1, y así F (x, y) tiene rendimientos
decrecientes a escala.
Si α + β = 1 entonces tα+β = t si t > 0, y así F (x, y) tiene rendimientos
constantes a escala.
15 La función de producción F (x, y) = Mín{x, y} fue introducida por Wassily Leontief en 1936
en su Quantitative Input-Output Relations in the Economic System of the United States aunque
los mismos pioneros neoclásicos, entre ellos, Jevons, Menger y Walras, utilizaban procesos de
producción con cociente fijo de factores (x/y) que no eran sustitutos. Recordemos que esta misma
función ya había sido adaptada como función de utilidad en la semana 1.
16 Aunque habíamos recurrido a ella como función de utilidad, la función Cobb-Douglas fue
introducida originalmente como función de producción en 1928 por Charles Cobb y Paul Douglas
(1928) en su artículo “A Theory of Production” publicado en American Economic Review. Allí
(aunque anticipados por Knut Wicksell (1900)), afirmaban que esta función de producción, con
x = unidades de capital, y = unidades de mano de obra, β = 1−α = 0.741, se ajustaba a los datos
de la industria manufacturera de los Estados Unidos, si no se consideraba el progreso tecnológico.
5.3. Rendimientos a escala
133
Si α + β > 1 entonces tα+β > t si t > 1, y así F (x, y) tiene rendimientos
crecientes a escala.
Aquí, si α > β diremos que la producción es más intensiva en x que en y
(ye). Por ejemplo, en el caso de una función de producción con rendimientos
decrecientes a escala Cobb-Douglas F (L, K) = L1/2 K 1/4 donde L = horashombre (mano de obra), K = unidades de capital (máquinas, edificios, etc.), se
tiene que esta empresa es más intensiva en mano de obra (1/2) que en capital
(1/4) pues, recordemos (imitando lo estudiado en la teoría del consumidor) que
α y β son las respectivas elasticidades-insumo de la producción (ver ejercicio 11
del presente capítulo).
g) Otro caso importante es el de la función CES (Constant Elasticity of
Substitution)17 (Arrow, Chenery et al., 1961)
1/ρ
F (x, y) = [xρ + y ρ ]
,
0<ρ<1
que tiene rendimientos constantes a escala, pues si t > 0, entonces:
F (tx, ty) = [(tx)ρ + (ty)ρ ]
1/ρ
= [tρ (xρ + y ρ )]
1/ρ
1/ρ
= t[xρ + y ρ ]
= tF (x, y)
Honrando el nombre de esta función, el parámetro ρ mide una elasticidad de
sustitución entre insumos, que también estudiaremos en el penúltimo ejercicio
de la semana 6. Este concepto de elasticidad de sustitución es el más importante
cuando se trata de medir la posibilidad de sustitución de un insumo por otro en
un proceso productivo.
√
h) La función cuasilineal de producción F (x, y) = x + y presenta rendimientos
decrecientes a escala, ya que si t > 1,
√
√
F (tx, ty) = tx + (ty) < t( x + y) = tF (x, y)
i) La función de producción cuadrática F (x, y) = x2 + y 2 + xy tiene rendimientos
crecientes a escala, pues si t > 1 entonces:
F (tx, ty) = (tx)2 + (ty)2 + (tx)(ty) = t2 x2 + y 2 + xy
= t2 F (x, y) > tF (x, y)
Nota 2. (Notación de insumos K y L)
Es muy común para la economía neoclásica, estudiar funciones de producción de la
forma F (L, K) donde L es mano de obra y K es capital, en lugar de la forma F (x, y).
Así que, en adelante, recurriremos a cualquiera de las dos formas de escribirlas:
F (L, K) o F (x, y). Marshall (1920), al respecto, afirmaba mucho más que esto:
17 Esta función de producción de elasticidad de sustitución constante, fue introducida en la
teoría económica en 1961 por Arrow, Chenery, Minhas & Solow en Capital–Labor Substitution
and Economic Efficiency (Review of Economic Studies).
134
Semana 5. Principios de la teoría de la producción
Los agentes de la producción se clasifican, generalmente, en tierra, trabajo y capital. Por tierra se entienden el material y las fuerzas que la naturaleza proporciona
libremente para ayudar al hombre, en la tierra, en el agua, en el aire, y la luz y el
calor. Por trabajo se entiende el esfuerzo económico del hombre, ya sea manual o
intelectual. Por capital se quiere significar [. . . ] la cantidad de riqueza almacenada
considerada como un agente de producción, más bien que como una fuente directa
de satisfacción: el capital consta, en gran parte, de conocimiento y de organización
y una parte de esto es de naturaleza privada y otra no. El conocimiento es nuestra
máquina de producción más potente; nos permite someter a la naturaleza y obligarla a satisfacer nuestras necesidades. La organización ayuda al conocimiento; tiene
muchas formas [. . . ]. La distinción entre propiedad pública y privada respecto al
conocimiento y la organización es de una importancia considerable y siempre creciente [. . . ] y por este motivo parece a veces conveniente considerar la organización
como un cuarto agente de la producción. (Libro IV, Capítulo I, Introducción)
Sin embargo, la teoría neoclásica homogeneizada nos explica que la variable K
en la forma funcional F (L, K), puede amalgamar, de alguna forma, todo insumo
diferente a la mano de obra L. Sobre la imposibilidad de hacer esto, discutiremos
un poco, como ya dijimos, al final de la semana 8. N
Continuando con nuestra discusión sobre las funciones de producción, observemos
ahora que si una firma con tecnología F (L, K) opera con rendimientos constantes
a escala en el largo plazo –es decir, con libertad de elegir cualquier cantidad de
insumos L (mano de obra) y K (capital)– y tiene marginalidades estrictamente
positivas, entonces en el corto plazo (con K = K ∗ constante), opera con tecnología
f (L) = F (L, K ∗ ) bajo rendimientos decrecientes a escala. En efecto: si t > 1
notemos que:
tK ∗
K∗
∗
f (tL) = F (tL, K ) = F tL,
= tF L,
< tF (L, K ∗ ) = tf (L)
t
t
Para ilustrar esto, observemos dos ejemplos:
1. Si la función de producción Cobb-Douglas de una empresa (o de un sector
productivo) en el largo plazo, se escribe como
F (L, K) = Lα K 1−α
0<α<1
entonces la función de producción en el corto plazo (K = K ∗ > 0 constante)
se escribe como
f (L) = (K ∗ )
1−α
Lα = (constante)Lα
y esta opera con rendimientos decrecientes a escala.
2. Otro caso típico como lo es la tecnología CES (Constant Elasticity of
Substitution)
F (L, K) = [Lρ + K ρ ]
1/ρ
0<ρ<1
5.4. El problema principal del productor
135
que presenta, en el largo plazo, rendimientos constantes a escala. Pero que en
el corto plazo, con K = K ∗ > 0 constante, se transformará en
f (L) = [Lρ + K ∗ ρ ]
1/ρ
Y según lo indicado antes, esta función f (L) de corto plazo, presenta rendimientos decrecientes a escala.
Nota 3.
También observemos que si una firma con tecnología fK ∗ (L) = F (L, K ∗ ) opera con
rendimientos constantes a escala en el corto plazo (K = K ∗ = constante) y marginalidades estrictamente positivas, entonces, en el largo plazo, opera con tecnología
F (L, K) bajo rendimientos crecientes a escala. En efecto: si t > 1 notemos que:
F (tL, tK) = ftK (tL) = tftK (L) = tF (L, tK) > tF (L, K)
Para ilustrar esto, observemos que en el caso de la función de producción CobbDouglas con rendimientos crecientes a escala F (L, K) = LK α con α > 0, se tiene
que, en el corto plazo (K = K ∗ ), opera con rendimientos constantes a escala.
Nota 4. (Cambio técnico exógeno)
Cada función f (x) o F (x, y) estudiada anteriormente, puede también ser ampliada
por un coeficiente
estudiar funciones de la
√ positivo A. Es decir, también√podemos
√
forma f (x) = A x, f (x) = Ax2 , F (x, y) = A( x + y), F (x, y) = Axα y β , etc.
A este coeficiente, cuando es mayor que 1, se le acostumbra asociar con “mejoras
tecnológicas” ya que hacen a la empresa más productiva. Por ejemplo, cuando los
operarios en una empresa manufacturera aumentan sus habilidades por repetición
diaria del oficio, es decir, se especializan en el oficio, esto puede asimilarse a que en
lugar de L obreros, ahora se requiera sólo una porción de esos L obreros, lo que se
traduce en un aumento proporcional en la producción. Notemos, sin embargo, que
este tipo de “cambio técnico” no da origen a cambios en la escala18 .
5.4.
El problema principal del productor
Que dentro de la epistemología neoclásica exista (explícita o implícitamente) un
principio armónico optimizador –“principio de mínima acción” o similar– y se decida que ese principio sea el de la maximización del beneficio de la empresa (ingresos
por ventas menos costos de producción), inducirá, como veremos enseguida, a que
las funciones usuales de producción de las empresas en competencia perfecta presenten, entre sus características, rendimientos decrecientes o constantes a escala19 .
18 Este es un ejemplo del clásico problema de la división del trabajo por especialización con el
objeto de aumentar la producción y, usualmente, aumentar las ganancias de la operación.
19 Al menos, al nivel de este manual de microeconomía. Porque, sabemos, sería posible estudiar,
por ejemplo, tecnologías que para bajos niveles de producción presenten rendimientos crecientes
a escala, pero para altos niveles de producción aparezcan los rendimientos decrecientes a escala;
y aún así, sea posible maximizar el beneficio (figura 5.6) como será claro más adelante. También
136
Semana 5. Principios de la teoría de la producción
Y esto se hace porque una empresa con rendimientos crecientes a escala podría no
ser precio-aceptante, debido a que usualmente presentan altos niveles de inversión
con, por ejemplo, altos costos fijos por I+D (Investigación y Desarrollo), y para
recuperar estos costos, desarrollan patentes y derechos que les hacen tener algún
poder de mercado (por ejemplo, operando como monopolistas, oligopolistas, etc.).
Así, más adelante se verá que tendremos que descartar la presencia de las tecnologías con rendimientos crecientes a escala si de estudiar la estructura de competencia
perfecta se trata.
Siguiendo, entonces, el precepto neoclásico de optimización de la función objetivo
sujeta a restricciones, los productores maximizarán la función de beneficio:
Π = (ingresos por ventas) menos (costos de los insumos)
bajo el argumento básico de que si no maximizan el beneficio, perderían dinero y
esto podría llevarlos, inclusive, fuera de la industria. Y con esto en mente, estudiaremos dos casos bajo competencia perfecta:
1. En el caso de una empresa que opera con un solo insumo y = f (x), el problema
al que se enfrenta el empresario es:
Maximizar
x≥0
sujeta a
Π = py − wx
y = f (x)
donde p = precio de mercado por unidad del producto; w = costo por unidad
del insumo x.
2. Y en el caso de una empresa que opera con dos insumos z = F (x, y), el
problema al que se enfrenta el empresario es:
Maximizar
x,y≥0
Π = pz − w1 x − w2 y
sujeta a
z = F (x, y)
donde p = precio de mercado del producto; w1 = costo por unidad del insumo
x; w2 = costo por unidad del insumo y (ye).
Observemos en detalle cada uno de estos dos casos.
5.4.1.
Maximización del beneficio con un solo insumo
Profundicemos, inicialmente, en el primer caso, cuando y = f (x). El problema
Maximizar
x≥0
Π = py − wx
sujeta a
y = f (x)
es conveniente especificar que esto no significa que toda tecnología con rendimientos decrecientes
a escala opere bajo competencia perfecta. Podría suceder el caso de una empresa con esos rendimientos y que coloca precios. Por ejemplo, una pequeña mina en un pueblo aislado en donde esta
es, prácticamente, la única fuente de trabajo de los hombres de ese pueblo. Los dueños de esta
mina podrían asignar ellos mismos el nivel de salarios aprovechando su posición dominante.
5.4. El problema principal del productor
se reduce a
Maximizar
137
pf (x) − wx
x≥0
Entonces, si asumimos que f (x) es estrictamente creciente (f ′ > 0) y cóncava
estricta (f ′′ < 0) (que bajo f (0) = 0 es equivalente a los rendimientos decrecientes
a escala) y diferenciable con continuidad en R++ , derivando e igualando a cero
obtenemos que pf ′ (x) − w = 0, o bien, pf ′ (x) = w (ingreso por productividad
marginal = costo marginal del insumo); o, equivalentemente,
f ′ (x∗ ) = w/p
(5.1)
(Ecuación de equilibrio del productor con solo un insumo)
que asegura que, para maximizar el beneficio, el productor debe requerir del mercado un nivel de insumos x∗ tal que su productividad marginal f ′ (x∗ ) coincida con
w/p que es el “costo real” por unidad del insumo x (figura 5.7).
y
Produción óptima
y = f (x∗ )
Rectas isobeneficio (igual beneficio)
py − wx = k (> 0)
b
Aumento del
beneficio
y = f (x)
y = (w/p)x (recta de beneficio cero)
pues es equivalente a
py − wx = 0
Demanda del insumo
x∗
x
Figura 5.7. Maximización del beneficio para una tecnología de la forma y = f (x). Las rectas de
isobeneficio ascienden desde la recta de beneficio cero hasta la recta en donde el beneficio es
óptimo.
Este factor w/p, en competencia perfecta, será dado por el mercado del insumo
(que define el valor w) y por el mercado del producto (que define el valor de p). Por
consiguiente, la ecuación (5.1) muestra, de manera precisa, cómo el agente deberá
adaptar su producción (por productividad marginal) a las condiciones del mercado
(relación de precios), si busca maximizar el beneficio. A partir de la ecuación (5.1)
de equilibrio del productor, llamaremos en adelante:
x∗ = demanda del insumo por parte del productor
f (x∗ ) = oferta de producto al mercado por parte del productor
Π∗ = pf (x∗ ) − wx∗ = beneficio recibido por el productor
Con el caso que acabamos de exponer (es decir, el de un insumo fijo y otro variable),
comenzamos a entender que la noción de concavidad de la función de producción
–es decir, la productividad marginal estrictamente decreciente– es fundamental al
proceso de maximización del beneficio. En efecto: notemos que, en consonancia con
138
Semana 5. Principios de la teoría de la producción
esto, si f (x) tiene rendimientos crecientes a escala, no es posible la maximización
del beneficio: no hay límite de beneficio pues crece indefinidamente (figura 5.8).
y
beneficio
Aumento del
y = f (x)
y = (w/p)x
(beneficio cero)
x
Figura 5.8. Bajo rendimientos crecientes a escala, no es posible maximizar el beneficio, pues si
supusiéramos que esto sucede en la cantidad x∗ , se llegaría a una contradicción, ya que el
beneficio en tx∗ (con t > 1) es superior. En efecto:
Π(tx∗ ) = pf (tx∗ ) − w(tx∗ ) > tpf (x∗ ) − twx∗ = tΠ(x∗ ) > Π(x∗ ).
Por su parte, también notemos que si la producción tiene rendimientos constantes a
escala, entonces: I) no se produce absolutamente nada; II) no existe solución o, III)
en caso extremo, puede tener múltiples soluciones. En el panel superior de la figura
5.9 (caso I), el productor presenta pérdidas en cualquier plan de producción y, por
lo tanto, su obligación será no operar (solución nula) y desaparecer del mercado.
Esta es la situación, por ejemplo, cuando la tecnología es y = f (x) = x y además
w > p: si el costo por unidad del insumo (w) es mayor que el precio de venta (p),
entonces la empresa siempre tendrá pérdidas en cualquier nivel de producción f (x).
En efecto: pf (x) − wx = px − wx = (p − w)x < 0, para todo nivel de insumo x > 0.
Caso I: solución nula
y
y = f (x)
Aumento del
beneficio
pf (x) − wx < 0
(rectas de
isobeneficios
negativos)
solución en x = 0
(beneficio cero)
x
y
y
Caso III: infinitas soluciones
Caso II: no hay solución
beneficio
Aumento del
y = f (x)
y = f (x)
pf (x) − wx > 0
(rectas de
isobeneficios)
x
La función de
producción
y = f (x) coincide
con y = (w/p)x
(beneficio cero)
x
Figura 5.9. “Maximización” del beneficio para rendimientos constantes a escala.
5.4. El problema principal del productor
139
El caso en el panel inferior izquierdo de la figura 5.9, el productor podrá aumentar
sus beneficios tanto como quiera. Para ilustrar lo que sucede aquí, tomemos el
ejemplo anterior y asumamos de nuevo y = f (x) = x con w < p. Entonces el
costo por unidad del insumo es menor que el precio por unidad del producto que
vende este productor. Así incrementará el beneficio aumentando la producción:
pf (x) − wx = px − wx = (p − w)x > 0 para todo x > 0. Y, finalmente, el
panel en el caso inferior derecho de la figura 5.9 (que será una situación muy
particular e importante en discusiones posteriores de este manual) nos muestra
que, independientemente de la producción, el beneficio será cero. Para guiar con
un ejemplo de esto, imaginemos nuevamente a y = f (x) = x pero ahora w = p.
Entonces el beneficio pf (x) − wx = px − wx = 0, sin importar la cantidad x > 0
del insumo ni su producción f (x).
Los comportamientos señalados en las figuras 5.8 y 5.9 (rendimientos crecientes y
constantes a escala, respectivamente), muestran que estos tipos de tecnologías no
son completamente “compatibles” con la maximización del beneficio y, por ende,
con el mercado bajo competencia perfecta, tal como lo hemos definido. Y esto no es
casualidad y da un halo de justificación a la maximización del beneficio como objetivo de la empresa competitiva, pues observaremos en capítulos posteriores (fallas
de mercado) que tecnologías como estas (en especial, las de rendimientos crecientes
a escala) pueden tener cierto poder monopolístico (o similar) en el mercado, que
las aparta de la competencia perfecta donde todos los agentes son tomadores de
precios.
Ejemplo 3. (Salarios e interés “fijados” por productividad marginal)
Estudiemos los dos siguientes casos particularmente característicos e importantes
para la teoría neoclásica de la producción:
a) Si f (L) es una función de producción cóncava estricta –es decir, f (0) = 0,
f ′ > 0, f ′′ < 0– que tiene como único insumo la mano de obra L –es decir, con
los otros insumos fijos, por ejemplo, capital (K = K ∗ )–, entonces la condición
de maximización del beneficio –dada por la ecuación (5.1)–
f ′ (L∗ ) = w/p
nos asegura que la cantidad óptima de mano de obra a contratar, L∗ , es tal
que su productividad marginal coincide con el salario real w/p. Es de aquí que
parte la tan criticada teoría neoclásica de salarios asociada a la productividad
marginal. Sin embargo, no debemos olvidar que esto sólo ocurre si la empresa
es tomadora de precios. También notemos que, dada la condición de concavidad
de la función de producción (f ′′ < 0), existe una relación inversa entre el salario
real w/p y la mano de obra a contratar L∗ ; es decir, a menor [mayor] salario
real, mayor [menor] cantidad de mano de obra contratada.
b) Similarmente, si f (K) es una función de producción cóncava estricta (es decir,
f (0) = 0, f ′ > 0, f ′′ < 0) que tiene como único insumo al capital K, entonces
tendríamos que para maximizar el beneficio, la ecuación
f ′ (K ∗ ) = r/p
(r = tasa de interés nominal)
140
Semana 5. Principios de la teoría de la producción
señalaría la relación marginalista entre la cantidad de unidades de capital (K ∗ )
y la tasa de interés real (r/p) del mercado. Así, dada la condición f ′′ < 0 de
la función de producción f (K), a mayores tasas de interés real (r/p), menores
cantidades de capital (K ∗ ) se utilizarán. De esta manera, se establece el vínculo
entre la productividad marginal decreciente (f ′′ < 0) y las tasas reales de interés
(también conocidas como “precios del servicio del capital”) y viceversa. Sobre
este punto regresaremos en la semana 9.
Ejemplo 4.
Supongamos que nuestra función de producción es de la forma
y = f (L) = Lα
para 0 < α < 1
(recordemos que α, aquí, es la elasticidad-insumo de la producción). Sus gráficas,
con α variando, son una familia de funciones cóncavas estrictas (figura 5.10). Para
maximizar el beneficio de esta empresa
Π = pLα − wL
hacemos ∂Π/∂L = 0. Es decir, pαLα−1 − w = 0; o, despejando,
1/(α−1)
w
L=
pα
Esto nos lleva a la demanda óptima
L∗ =
pα 1/(1−α)
w
(Demanda por mano de obra)
Así, la oferta de producto al mercado es:
y ∗ = f (L∗ ) =
pα α/(1−α)
w
Y el beneficio obtenido es:
Π∗ = pf (L∗ ) − wL∗ = Cp1/(1−α) w−α/(1−α)
donde
C = (α)α/(1−α) − (α)1/(1−α)
y
y = L (caso límite)
y = L3/4
y = L1/2
y = L1/4
L
Figura 5.10. Funciones con rendimientos decrecientes a escala.
5.4. El problema principal del productor
141
Se ve que ambos (producto y beneficio) son directamente proporcionales al precio
de venta del producto, e inversamente proporcionales al salario. Así, por ejemplo,
si α = 2/3, w = 1, tendremos que la demanda por mano de obra de la empresa al
mercado será L∗ = (8/27) p3 ; la oferta del producto al mercado es y ∗ = (4/9) p2 ; y,
finalmente, el beneficio de la empresa será Π∗ = (4/27) p3 , donde p es el precio de
mercado del producto que se ofrece.
Es importante observar que, en el caso general, si α tiende a 1 (es decir, si la tecnología con rendimientos decrecientes a escala “converge hacia” los rendimientos
constantes a escala) entonces, para w < p fijos, se tendrá un aumento tanto de la
demanda de mano de obra L, como de la oferta al mercado y también de los beneficios. Así, podríamos extrapolar este ejemplo, y afirmar que, bajo competencia
perfecta, mientras más “eficiente” es esta tecnología, mayor cantidad de trabajadores contratará. Aquí, no debemos olvidar que no hay sustitución de la mano de
obra con otro insumo (por ejemplo, capital), ya que esta empresa opera en el corto
plazo con capital fijo.
5.4.2.
Maximización del beneficio con dos insumos
Vamos a centrarnos ahora en el caso de una empresa que opera con dos insumos y
con tecnología z = F (x, y), y que se enfrenta al problema:
Maximizar
x,y≥0
Π = pz − w1 x − w2 y
sujeta a
z = F (x, y)
(figura 5.11)
O, lo que es igual:
Maximizar
x,y≥0
pF (x, y) − w1 x − w2 y
Para estudiar las características analíticas de esta solución, primero debemos recordar que F (x, y) es diferenciable con continuidad, con derivadas parciales estrictamente positivas en x e y y cóncava estricta en R2+ (ver Apéndice matemático
(sección A.12) al final del texto), pues, en otro caso, el problema de maximizar
el beneficio como tal, podría no tener solución general. Además, también hemos
asumido que F (0, 0) = 0 20 .
Dado esto, pasamos a derivar parcialmente (con respecto a la variable x y con
respecto a la variable y (ye)) la función de beneficios
Π = pF (x, y) − w1 x − w2 y
y a igualarla a cero, obteniendo que:
p
∂F
= w1
∂x
;
p
∂F
= w2
∂y
(Ingreso marginal = costo marginal para ambos insumos)
20 Ver Monsalve (ed.) (2010), vol. III, en donde se demuestra que estas condiciones sobre F (x, y)
implican rendimientos decrecientes a escala.
142
Semana 5. Principios de la teoría de la producción
O bien,
∂F
w1
=
∂x
p
;
∂F
w2
=
∂y
p
(productividades marginales = precios reales de insumos)
Después, dividiendo término a término estas dos últimas ecuaciones, tendremos
que:
∂F/∂x w1
=
∂F/∂y
w2
(Ecuación de equilibrio del productor con dos insumos)
Esta ecuación de equilibrio es la condición para que la empresa maximice el beneficio, y se lee: “en equilibrio, la tasa marginal de sustitución técnica (∂F/∂x/∂F/∂y)
es igual a la relación de precios de los insumos (w1 /w2 )”.
F(x,y)
Plano Π = pz − w1 x − w2 y
que contiene la
solución (x∗ , y ∗ , F (x∗ , y ∗ ))
que maximiza el
beneficio Π
F (x∗ , y ∗ )
b
y
(x∗ , y ∗ )
b
x
Figura 5.11. Maximización del beneficio con dos insumos en el proceso de producción.
Pero: ¿qué significado tiene aquí la “tasa marginal de sustitución técnica”? De
manera similar a lo hecho para la teoría del consumidor, si escribimos la curva de
nivel de producción que pasa por el punto de maximización del beneficio (x∗ , y ∗ )
como F (x, y) = k ∗ donde k ∗ = F (x∗ , y ∗ ), entonces, tomando el diferencial total, se
obtiene que:
∂F
∂F
dx +
dy = 0
∂x
∂y
o bien,
∂F/∂x
dy
=−
∂F/∂y
dx
Y así la tasa marginal de sustitución técnica mide cuánto del insumo y (ye) se
requiere para mantener el mismo nivel de producción, si reducimos en “una unidad”
el insumo x (figura 5.12)21 .
21 Realmente, ya sabemos, es un diferencial dx del insumo x.
5.4. El problema principal del productor
143
y
Recta de costo mínimo
w1 x + w2 y = w1 x∗ + w2 y ∗
Curva de nivel
de producción
F (x, y) = F (x∗ , y ∗ )
(x∗ , y ∗ )
∂F ∂F
∂x / ∂y
w
≈ w1
2
1
x
Figura 5.12. Cantidades de insumos (x∗ e y ∗ ) elegidas por el productor que maximiza su
w1
/ ∂F = w
.
beneficio. Allí debe darse la ecuación de equilibrio del productor ∂F
∂x ∂y
2
En resumen: si el empresario busca maximizar su beneficio bajo competencia perfecta, entonces debe producir en un nivel tal, que la tasa marginal de sustitución
técnica (dada por su tecnología) iguale a la relación de precios de los insumos (dados
por el mercado). La ecuación de equilibrio del productor es, entonces, una relación
entre un “costo de oportunidad tecnológico” y un “costo de oportunidad del mercado”. Sin embargo, esto sólo se da, usualmente, bajo rendimientos decrecientes a
escala.
Ejemplo 5. (Maximización del beneficio con función Cobb-Douglas).
El problema explícito es:
Maximizar
Π = pz − w1 x − w2 y
sujeta a
z = F (x, y) = xα y β
x,y≥0
Aquí, debemos asumir que α + β < 1 para que la función de producción sea cóncava estricta y, por tanto, tenga rendimientos decrecientes a escala. Recurriendo
directamente a las ecuaciones de equilibrio, tenemos que:
p
∂F
= w1
∂x
,
p
∂F
= w2
∂y
(5.2)
;
pβxα y β−1 = w2
(5.3)
Llegando, en este caso, a que:
pαxα−1 y β = w1
Y así, dividiendo término a término estas dos ecuaciones, encontramos que:
w1
αxα−1 y β
=
βxα y β−1
w2
(5.4)
144
Semana 5. Principios de la teoría de la producción
De aquí obtenemos, cancelando términos, que:
y
βw1
=
x
αw2
(tasa de sustitución entre insumos)
y por tanto,
y=
βw1 x
αw2
[22]
(5.5)
Luego colocando esta ecuación (5.5) en la primera ecuación de (5.3) se llega a que:
α−1
αx
βw1 x
αw2
β
=
w1
p
(5.6)
Y así, después de una confiable manipulación algebraica de la ecuación (5.6) y
luego de insertar la solución x en la ecuación (5.5), encontramos las demandas por
insumos:
p1/(1−α−β)
x∗ =
(∗)
(w1 /α)(1−β)/(1−α−β) (w2 /β)β/(1−α−β)
y∗ =
p1/(1−α−β)
(w1 /α)α/(1−α−β) (w2 /β)(1−α)/(1−α−β)
(∗∗)
Notemos que ambas cantidades de insumos son directamente proporcionales al
precio de venta p del producto: si el precio es alto entonces la empresa producirá
más para satisfacer el mercado y, por lo tanto, requerirá de más insumos. También
observemos que si los costos de los insumos (w1 y w2 ) aumentan, disminuirán las
demandas por ellos. Y algo más allá: notemos que si α y β crecen entonces ambas
demandas crecen, justificándose esto porque la “mejora tecnológica” conlleva mayor
productividad y, por tanto, también mayor necesidad de insumos.
Ahora: sabemos que la oferta al mercado es igual a z ∗ = F (x∗ , y ∗ ) = (x∗ )α (y ∗ )β .
Luego recurriendo a las demandas por insumos (∗) y (∗∗) anteriores, se llega, después de otra tediosa manipulación algebraica, a que la oferta al mercado de esta
empresa es:
p(α+β)/(1−α−β)
(∗ ∗ ∗)
z∗ =
α/(1−α−β)
β/(1−α−β)
(w1 /α)
(w2 /β)
Y también, recurriendo a las ecuaciones (∗), (∗∗) y (∗ ∗ ∗), calculamos el beneficio
Π∗ = pz ∗ − w1 x∗ − w2 y ∗ que recibe la empresa si opera a estos niveles:
Π∗ = pz ∗ − w1 x∗ − w2 y ∗
1−α−β
=
p1/(1−α−β)
α/(1−α−β)
(w1 /α)
(w2 /β)β/(1−α−β)
[23]
22 Notemos que si los precios de los factores permanecen constantes, entonces la producción
βw1
y
= αw
. Esto no siempre
óptima siempre se realiza con proporciones constantes de factores: x
2
ocurre con otras funciones de producción.
5.4. El problema principal del productor
145
El análisis ceteris paribus para las funciones de oferta y beneficio es similar al que
hicimos antes para las demandas de insumos. Para ilustrar lo anterior, si α = 1/2,
β = 1/4, w1 = 2, w2 = 3 se tiene que:
x∗ =
p4
768
;
y∗ =
p4
2304
;
z∗ =
p3
192
Π∗ =
;
p4
768
En la figura 5.13 aparece dibujada la curva de oferta z ∗ . ¿Cómo interpretaría el
lector la concavidad estricta de esta función de oferta? ¿Qué significado económico
tiene esta característica?
p
z
Figura 5.13. Curva de oferta de producto con tecnología Cobb-Douglas (α + β = 3/4).
Ejemplo 6. (Maximización del beneficio con función √
separable).
√
Dada la función de producción cóncava estricta F (x, y) = x + y y aplicando
directamente la ecuación de equilibrio ∂F/∂x/∂F/∂y = w1 /w2 , se obtiene que:
2
w1
y
=
x
w2
(tasa de sustitución entre insumos)
Sin embargo, no requeriremos, en nuestro caso de una función separable, de esta
complicada ecuación. Serán suficientes las ecuaciones básicas de equilibrio del √
productor (ingreso marginal por insumo = costo marginal del insumo): como p (1/2 x) =
w1 entonces
p2
(demanda insumo x)
x∗ =
(2w1 )2
1
Y, similarmente, puesto que p 2√
y = w2 , entonces:
y∗ =
p2
(2w2 )2
(demanda insumo y)
Por lo tanto, la curva de oferta de esta empresa al mercado es:
1
1
∗
∗ ∗
p
+
z = F (x , y ) =
2w1
2w2
23 El primer estudio de las funciones de beneficio fue el trabajo pionero de Harold Hotelling
(1932).
146
Semana 5. Principios de la teoría de la producción
Y, finalmente, calculamos el beneficio de esta empresa:
1
1
1
1
Π∗ = pz ∗ − w1 x∗ − w2 y ∗ =
+
p2 −
+
p2
2w1
2w2
4w1
4w2
1
1
+
p2
=
4w1
4w2
Llevar a cabo un poco de ceteris paribus con las ecuaciones anteriores, por parte
del lector, sería aquí muy instructivo.
Nota 5. (Teoría malthusiana de la población)
He afirmado que la población, cuando no está restringida, crece a una tasa geométrica; y la subsistencia del hombre a una tasa aritmética.
Thomas Malthus, An Essay on the Principle of Population, 1798, p. 4.
Como lo registra la cita, el economista inglés Thomas Malthus (1766–1834) aseguraba que puesto que la población tendía a crecer a tasas geométricas mientras
la producción de alimentos tendía a crecer a tasas aritméticas, el futuro de la humanidad estaría en serio riesgo de inanición. No hay duda de que la predicción
de Malthus se ha realizado en algunos países –por ejemplo, en algunos africanos–
donde las tasas de crecimiento demográfico son muy superiores a las tasas de crecimiento de su producción de alimentos. Sin embargo, en otros países las mejoras
tecnológicas en la producción de alimentos han llevado a que esta producción aumentara más rápidamente que la población. Algunos aseguran que este cambio en
la producción de alimentos se ha dado a través de cambios tecnológicos exógenos.
Es decir, a través de un coeficiente A > 1 que multiplica a la función agregada de
producción.
Era usual encontrar entre los economistas clásicos la hipótesis de que la producción
agrícola y también la minera presentaban rendimientos decrecientes a escala, mientras que la industria manufacturera presentaba rendimientos constantes a escala.
Cuando estas hipótesis se mezclaban con el argumento de Malthus, mostraban un
panorama desolador, sobre todo para las economías basadas en la manufactura,
pues como consecuencia inmediata, el crecimiento de la población aumentaría el
empleo en el sector manufacturero más que lo que lo hace en el sector agrícola y
aumentaría la oferta manufacturera más que la agrícola. Por lo tanto, la presión
demográfica aumentaría los precios de la agricultura más (relativamente) que los
de la manufactura. Pero este tipo de argumentos son, siempre, muy discutibles.
Nota 6. (Beneficio nulo bajo rendimientos constantes a escala)
Ya habíamos mostrado que si la producción tiene rendimientos constantes a escala,
entonces el problema de maximizar el beneficio: a) no tiene solución; b) tiene una
única solución nula (“no operar”) o, en caso extremo, c) puede tener múltiples
“soluciones”. En la práctica, es corriente (aunque esto arroja críticas) que la teoría
neoclásica asuma que la “maximización” del beneficio se alcanza bajo beneficio
cero; es decir, escoge x∗ tal que pf (x∗ ) = wx∗ ; o, en otra forma, f (x∗ )/x∗ =
5.5. Nota histórica
147
w/p (producción media = costo marginal real). Lo mismo sucede en funciones de
producción F (x, y) con rendimientos constantes a escala y con dos insumos: se
escoge x∗ , y ∗ tales que satisfagan la ecuación Π = pF (x∗ , y ∗ ) − w1 x∗ − w2 y ∗ = 0.
Pero, obviamente, en ninguno de los dos casos se está llevando a cabo ningún proceso específico de maximización del beneficio. Esto es lo que sucede, por ejemplo,
con la función de producción de tipo Leontief y con la función CES, ya que ellas
presentan rendimientos constantes a escala. Sobre el problema de la “maximización” de la función de beneficios bajo rendimientos constantes a escala, daremos,
en la sección 7.7 adelante, ciertos “argumentos paliativos”, que para algunos justifica plenamente este tratamiento dado al problema por la economía neoclásica
homogénea24 .
Nota 7. (Críticas a la maximización del beneficio)
Numerosos autores critican la “falta de realismo” y la “falta de adecuación” para
propósitos empíricos, de la hipótesis de la maximización del beneficio por parte
de la empresa del modelo neoclásico (homogéneo). Por ejemplo, Bejarano (2011),
distingue, al menos, cuatro “tipos” de críticas:
i) El managerialismo, que afirma que es la función de utilidad del administrador
de la empresa, la que realmente se maximiza. Por ejemplo, prestigio, salarios
de administradores y accionistas, crecimiento de los ingresos por ventas, etc25 .
ii) El behaviorismo, que afirma que, dada la limitada información y no total
habilidad de los administradores de la empresa, lo más que pueden alcanzar
es una “conducta satisfactoria” en ventas, en beneficios, etc.
iii) La supervivencia y conservación de la participación de la firma en el mercado
es el verdadero objetivo.
iv) La prevención de entrada de competidores a través de precios límite es el
objetivo.
Estas críticas han conducido a modelos en los que la empresa no maximiza beneficios sino que, por ejemplo, maximiza ingreso por ventas, maximiza el volumen
de producción o, inclusive, maximiza el excedente del trabajador (empresa cooperativa). Aún así, independientemente de esto, lo que quizás se debe resaltar de la
hipótesis de la maximización del beneficio es que su objetivo, al final de cuentas,
es ayudar a explicar la formación de los precios y la asignación de los recursos de
una empresa (competitiva o no). Y con ello, en principio, quizás, salva su razón de
ser.
24 De hecho, también en el volumen II regresaremos a este mismo problema pero en un ambiente de equilibrio general, en donde, inclusive, la condición de beneficio cero se justificará con
argumentos morales (Walras, 1874).
25 Incluso esta corriente afirma que existe evidencia empírica de que las firmas manejadas por
administradores (gerentes) tienen menores beneficios que las administradas por sus propietarios.
148
Semana 5. Principios de la teoría de la producción
5.5.
Nota histórica
5.5.1.
Sobre la historia de la función de producción
Se sugiere que las primeras apariciones de fórmulas algebraicas relacionando insumos con productos estuvieron en los trabajos de Wicksteed (1894) y Wicksell
(1900), aunque, al parecer, Johann von Thünen ya se les había anticipado desde
1826. Von Thünen, en The Isolated State (1826), planteó una función de producción
de la forma P = hq n donde P es la producción por trabajador, q es el capital por
trabajador, y h es una constante que incorpora la fertilidad del suelo y la eficiencia de la mano de obra. Aquí, el parámetro n está entre 0 y 1. Esta, sin duda, es
una función de tipo Cobb-Douglas en términos per-cápita, estudiada casi noventa
años antes que Charles Cobb y Paul Douglas describieran el comportamiento de
la industria manufacturera en los Estados Unidos durante el periodo 1889–1922
mediante insumos de capital y trabajo26 . Inclusive el mismo Wicksell (1900, 1901)
se adelantó a Cobb y a Douglas, estudiando funciones de producción de la forma
P = cLa C b , donde a + b = 1, c > 0 es una constante, L es mano de obra y C es
capital.
Igualmente, la historia de la función Leontief F (x, y) = Mín{x/a, y/b} (con
a, b > 0) no comenzó con este famoso economista ruso-norteamericano y ganador del Premio Nobel en 1973, quien recurriera a estas funciones explícitas de
producción en sus tablas insumo-producto para la economía de los Estados Unidos de la posguerra (Leontief, 1936). De hecho, ya los pioneros neoclásicos Jevons,
Menger y Walras habían recurrido a comportamientos productivos sin sustitución
entre insumos y con relaciones constantes de producto-insumo y de insumo-insumo,
equivalentes a esta función.
No obstante, algunos de ellos reconocían la posibilidad de que hubiese sustitución
entre insumos y que aquellas relaciones constantes fueran variables, de tal manera
que también la productividad marginal, lo fuera. Por ejemplo, en la última edición
de los Éléments (1900), Walras incorporaría una generalización a la hipótesis de
no sustitución, y para ello recurrió a una ecuación de producción [“ecuación de
fabricación”] con rendimientos constantes a escala de la forma Q = F (T, P, K, . . . ).
Pero quizás debido a que este intento fue tardío dentro de su trabajo científico,
nunca incorporó una teoría completa de la productividad marginal en el modelo de
producción.
También Marshall (ya lo habíamos mencionado antes) formularía una función de
producción agregada de la forma P = F (L, E, C, A, F ), donde L es mano de obra,
E es eficiencia, C es capital, A es nivel de tecnología y F es la fertilidad del suelo. De
hecho, en esta función de producción consideraba que cada una de estas variables
era un “flujo” –es decir, dependía del tiempo–.
No obstante lo anterior, el gran periodo de desarrollo de la teoría de las funciones de producción fue durante los primeros años 50 y finales de los 70 en el siglo
26 Von Thünen también estudió una función de producción de la forma P = h(L + C)n Ln−1
donde L es mano de obra, C es capital, y h, n son parámetros positivos con n un entero.
Ejercicios
149
XX. En aquella época se presentaron numerosas formas específicas de funciones
de producción que tenían conveniencias empíricas. Por ejemplo, se incorporó a la
literatura una de las funciones más utilizadas en la teoría neoclásica (homogénea) del productor: la función CES de Arrow, Chenery, Minhas & Solow (1961)
F (x, y) = (xρ + y ρ )1/ρ . Esta es una generalización, no sólo de la función de producción Cobb-Douglas, sino, también, de la Leontief y de la lineal (ver el penúltimo
ejercicio de la semana 6), lo que la convirtió en un paradigma para el estudio de
producciones agregadas en economías competitivas. Posteriormente, hasta la década de los años 80, se encontraron distintas versiones que generalizaban en una u
otra forma la función CES (inclusive incorporando el cambio técnico no-constante)
para hacerla más conveniente a ciertos estudios particulares o a las circunstancias
económicas del momento.
Pero esta tendencia ya comenzó a detenerse poco a poco después de los años 70, tras
el final de la “controversia Cambridge del capital” entre los economistas norteamericanos del MIT (Samuelson y Solow, principalmente) y los economistas ingleses de la
Universidad de Cambridge (Sraffa y Robinson, particularmente), sobre el problema
de la existencia de una función de producción agregada de la forma Y = F (L, K),
y sobre la existencia de la medida de unidad de capital (K). Inclusive, algunos afirman que el surgimiento de la “era neoclásica” devino, en parte, con las críticas de
Marx a los economistas clásicos, y que el comienzo del fin de la escuela neoclásica
comenzó, precisamente, con la derrota en la controversia del capital. Acerca de esto
discutiremos un poco más al final de la semana 8.
Ejercicios
(Observación: Los ejercicios señalados con uno (∗) o dos (∗∗) asteriscos tienen, a
juicio del autor, un nivel de dificultad un tanto o muy superior, con respecto a los
ejercicios corrientes que aparecen sin asterisco.)
1. a) ¿Es un vendedor de dulces a la entrada de la universidad, un productor
de los descritos por la teoría del curso? Si es así, ¿cuáles son los insumos?
¿cuáles son los productos? ¿Qué escala podría tener este pequeño negocio?
(Sugerencia: La respuesta a la primera pregunta es “Sí”).
b) ¿Podría existir en la realidad un proceso productivo que opere con un solo
insumo? Explique.
2. Dibuje, en el plano cartesiano, una función de producción f (L) que se rija por
la tabla de abajo. Aquí, L son horas-hombre (mano de obra) y K es capital
(maquinaria, edificios, etc.). En este punto sería muy importante que el lector
comenzara a pensar cómo es posible medir K; es decir, cuál podría ser la
unidad uniforme de medida para, por ejemplo, dos edificios y tres tractores,
reconociendo no sólo sus diferentes características físicas sino que también
son bienes duraderos. Más adelante señalaremos que tal medida no existe y
que esta es una de las más fuertes críticas a la construcción neoclásica de
funciones de producción de la forma F (L, K).
150
Semana 5. Principios de la teoría de la producción
L
1
2
3
4
5
6
7
K
2
2
2
2
2
2
2
F(L,K)
√1
√2
3
2
√
√5
√6
7
3. En el análisis de producción de algunas empresas, en ocasiones se suele recurrir a la noción de “etapa de producción”, y es usual distinguir tres de ellas:
la primera va desde la producción de cero unidades hasta el punto en que
la productividad media es máxima (y, por tanto, igual a la productividad
marginal27 ); la segunda etapa empieza donde termina la primera y finaliza
cuando el producto marginal es cero; y, finalmente, la tercera etapa comienza
cuando el producto marginal es negativo.
K
L
Produción
total f(L)
Producción marginal
f(L+1)-f(L)
Producción media
f(L)/L
8
8
8
8
8
8
8
8
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
20
45
75
100
120
135
145
145
20
25
30
25
20
15
10
0
-
20
22.5
25
25
24
22.5
20.7
18.13
a) Confirme o corrija las dos últimas columnas de la tabla adjunta, y señale
(si existen) las tres etapas de la producción para la función f (L). Indique
a partir de dónde se dan los rendimientos marginales decrecientes.
b) Decida si es cierto que una empresa competitiva que maximiza el beneficio
producirá cuando el producto medio sea decreciente y el costo medio sea
creciente.
Aquí, nuevamente, L es horas-hombre (mano de obra) y K es capital (máquinas, edificios, etc.).
4. Determine el tipo de rendimientos a escala de las siguientes funciones, en caso
de que exista:
27 Para entender esto, basta derivar la productividad media f (x)/x e igualarla a cero. Allí el lector verá en el numerador de la derivada el término xf ′ (x)−f (x) = 0, lo que lleva, inmediatamente,
a que f (x)/x = f ′ (x), que es lo que se quería observar.
Ejercicios
151
1/2
a) f (x) = 3x
i) F (x, y) = x2 + y 3
b) f (x) = x3
j) F (x, y) = xn +y n para n > 1 entero.
c) f (x) = 1/x
k) F (x, y) = xy + 5
d) f (x) = ln(1 + x)
l) F (x, y) = x1/2 y 1/2 + 5
e) f (x) = e
x
f) F (x, y) = x + y + Mín{x, y}
g) F (x, y) = xy + Mín{x, y}
1/2
h) F (x, y) = x2 + y 2
m) F (x, y)
y = 5.
=
650x2 y 2 − x3 y 3 con
n) (∗) f (x) = 1 si x ⩾ β, f (x) = 0 si
x < β para β > 0 fijo.
5. Las curvas de nivel de producción F (x, y) = constante (también llamadas
“isocuantas de producción”) en la figura a) del panel de abajo, describen una
tecnología:
a) Con rendimientos constantes a escala.
b) Con rendimientos decrecientes a escala.
c) Con rendimientos crecientes a escala.
d) Ninguna de las anteriores.
y
y
3
3
Nivel de
producción = 10
2
Nivel de
producción = 8
1
Nivel de
producción = 100
2
Nivel de
producción = 20
1
Nivel de
producción = 5
5
10
15
x
a)
Nivel de
producción = 5
5
10
15
x
b)
6. Las curvas de nivel de producción F (x, y) = constante (también llamadas
“isocuantas de producción”) en la figura b) del panel de arriba, describen
una tecnología:
a) Con rendimientos constantes a escala.
b) Con rendimientos decrecientes a escala.
c) Con rendimientos crecientes a escala.
d) Ninguna de las anteriores.
7. Explique y decida si es falsa o verdadera la siguiente afirmación: “Si los rendimientos son decrecientes a escala, las isocuantas de producción se alejan
cada vez más, unas de otras. Similarmente, si los rendimientos son crecientes
a escala, las isocuantas están cada vez más cerca unas de otras. Y, finalmente,
si los rendimientos son constantes a escala, las isocuantas guardan la misma
distancia, unas de otras.”
152
Semana 5. Principios de la teoría de la producción
8. Encuentre la demanda de insumos, la oferta de producto y el beneficio máximo
si la tecnología es f (x) = 4 ln(1 + x), p = $10, w = $2.
9. Calcule las demandas por insumos, la oferta y el beneficio para las siguientes
tecnologías con rendimientos decrecientes a escala:
a) f (x) = 3x1/2 + 2
b) F (x, y) = x1/2 + y 1/3
c) F (x, y) = (x + y)α con 0 < α < 1.
10. Si una función de producción F (L, K) (L=horas-hombre, K=capital) es homogénea de grado 1 (es decir, F (tL, tK) = tF (L, K) para todo t > 0), demuestre que esta función puede ser expresada en términos per-cápita, es decir,
F (L, K) = Lf (k, 1) donde k = K/L. ¿Por qué es interesante este resultado?
11. Muestre que para la función de producción Cobb-Douglas F (x, y) = xα y β ,
los coeficientes α, β son las elasticidades de la producción con respecto al
correspondiente insumo (elasticidades-insumo). Es decir, α = (∂F/∂x)(x/F )
y β = (∂F/∂y)(y/F ). Así, en este caso, ante un aumento de dx % en el insumo
x, el productor obtendrá un aumento α % en su producción.
12. (∗) Si α tiende a 1 (es decir, las tecnologías con rendimientos decrecientes a
escala tienden a una con rendimientos constantes a escala) en el ejemplo 4 de
esta semana 5, estudie el comportamiento de las demandas por el insumo, la
producción y el beneficio. Dibuje e interprete económicamente.
13. a) Ubique, si existe, la combinación insumo-producto que maximice el beneficio para la función de producción dibujada enseguida.
b) ¿Qué rendimientos a escala presenta esta función de producción?
y = producto
vector de
precios (w, p)
x = insumo
Tecnologías de este tipo son propias de un área de la teoría económica conocida como análisis de actividades (Koopmans, 1951). En este caso particular, la
producción presenta tres “actividades” (¿cuáles son?). El análisis marginalista de la economía neoclásica homogénea enfrenta muchas dificultades al llevar
a cabo el estudio de este tipo de tecnologías debido a la no-diferenciabilidad
de estas funciones de producción. Sobre el modelo de análisis de actividades
Ejercicios
153
del Premio Nobel en Economía (1975) Tjalling Koopmans, discutiremos en
el volumen II (Competencia bajo equilibrio general).
14. Dé dos ejemplos de funciones de producción F (x, y) que tengan rendimientos
decrecientes a escala pero que no sean cóncavas estrictas y, por lo tanto,
pueden no determinarse las curvas de demandas por insumos ni la curva de
oferta bajo competencia perfecta.
15. ¿Será cierto que si F (L) y G(L) son dos funciones de producción con rendimientos decrecientes a escala, entonces la oferta de la función de producción
agregada F (L) + G(L) es la suma de las ofertas de cada una de las dos funciones de producción?
Semana 6
Minimización del costo de largo plazo
6.1.
Introducción
En la presente semana, estudiaremos el problema de la minimización del costo de
una empresa bajo competencia perfecta; es decir, estudiaremos la manera como se
construye la más poderosa herramienta analítica de la teoría neoclásica del productor, particularmente en sus aplicaciones econométricas: la función de costo. En el
camino, también entenderemos la razón de diferenciar los costos en el largo plazo
–es decir, cuando ningún insumo es fijo– y en el corto plazo –es decir, cuando algún
insumo es fijo–, y su relación con el comportamiento tecnológico de la empresa en
un ambiente de competencia perfecta.
6.2.
Minimización del costo de largo plazo
Después de la maximización del beneficio, el otro problema que plantearemos en
la producción, es el de la minimización del costo. Es decir, la empresa tratará de
resolver el problema
Minimizar
w1 x + w2 y
sujeta a
F (x, y) = z0
x,y≥0
donde z0 > 0 fijo, es un nivel de producción dado a priori, y w1 , w2 son los respectivos costos por unidad de los insumos x y y (ye) recibidos del mercado1 . Es
1 Debe observarse que es corriente asumir, en estas instancias, que los costos w y w provienen
1
2
de mercados competitivos para ambos insumos x y y (ye). Sin embargo, si sólo se trata de construir
155
156
Semana 6. Minimización del costo de largo plazo
decir, el problema del productor es tratar de producir la cantidad z0 al menor costo
posible (figura 6.1)2 . Algo que favorece este estudio es que no exige ninguna condición notable de la función de producción F (x, y) excepto que sea cuasicóncava3 . No
sobra advertir la similitud de este problema con el de la construcción de la función
de gasto del consumidor: basta con pensar que el consumidor “produce” utilidad,
para que la equivalencia sea exacta. Sobre esto discutiremos más adelante.
y
Recta isocosto
(mismo costo)
w1 x + w2 y = constante
Curva de nivel
de producción
F (x, y) = z0
w1 x + w2 y = w1 x∗ + w2 y ∗
y∗
Solución
(x∗ , y ∗ )
Las rectas de
isocosto descienden
x
x∗
Figura 6.1. El problema de la minimización de costos del productor dado un nivel de producción
z0 . Aquí x∗ y y ∗ son las cantidades de insumos que la empresa solicita al mercado para poder
fabricar z0 unidades del producto, con costo mínimo.
Para resolver el problema de minimización de costos, recurrimos, de nuevo, al método de los multiplicadores de Lagrange (ver Apéndice matemático (sección A.15) al
final del libro), lo que nos obliga a exigir que la función de producción sea cuasicóncava estricta y diferenciable con continuidad. Escribimos, entonces, el lagrangiano
L = w1 x + w2 y − λ(F (x, y) − z0 )
y calculamos sus correspondientes derivadas:
∂L
=0:
∂x
∂L
=0:
∂y
∂L
=0:
∂λ
∂F
∂x
∂F
w2 = λ
∂y
w1 = λ
F (x, y) = z0
(6.1)
(6.2)
(6.3)
la función de costo, esta hipótesis puede ser demasiado estricta, ya que el mercado de alguno de los
proveedores podría tener características diferentes a las de la competencia perfecta. Un ejemplo
de ello es la competencia estratégica entre proveedores por dar el mejor precio al cliente. Aún en
estos casos, se puede construir la función de costo sin referencia alguna a la competencia perfecta,
sólo bajo la hipótesis de que los precios de los insumos son dados, y que la tecnología es conocida.
2 En general, las funciones de costo de producción y su análisis se deben al famoso trabajo
Foundations of Economic Analysis de Paul Samuelson (1947) y también al de Ronald Shephard
(1953).
3 Aunque, al nivel de este libro, es conveniente en numerosas ocasiones, suponer que sea cuasicóncava estricta y no sólo cuasicóncava, como entenderemos enseguida.
6.2. Minimización del costo de largo plazo
157
Dividiendo término a término las ecuaciones (6.1) y (6.2), encontramos la reconocida ecuación de “tasa marginal de sustitución técnica = cociente de precios de
insumos”:
w1
∂F/∂x
=
(6.4)
∂F/∂y
w2
De manera que las condiciones de equilibrio del productor para la minimización de
costos son la ecuación (6.4) más la restricción tecnológica
(6.5)
F (x, y) = z0
En la figura 6.2 se describe el problema de ir buscando bajar los costos de producción mediante sustitución de insumos –cuando esto es posible–, aunque siempre
manteniéndonos dentro de la curva de nivel de producción z0 : del punto A pasamos
al punto B, y luego al punto C, etc., hasta llegar al punto E de equilibrio, que es
donde se minimiza el costo.
y
b
A
b
Recta de isocosto (igual costo)
w1 x + w2 y = constante
B
b
C
Curva de nivel de producción
F (x, y) = F (x∗ , y ∗ )
E(x∗ , y ∗ )
b
x
Equilibrio del productor
Figura 6.2. Dados los costos de los factores en el mercado, si partimos de A, podemos disminuir
costos, mediante sustitución, hasta alcanzar el punto de equilibrio E.
Ejemplo 1. (Minimización de costos para la función Cobb-Douglas)
En este caso concreto, el problema fundamental es:
Minimizar
w1 x + w2 y
sujeta a
xα y β = z0
x,y≥0
Pero como en la restricción es posible despejar y =
problema se reduce a:
Minimizar
x>0
w1 x + w2
z 1/β
0
xα
z0 1/β
, entonces nuestro
xα
158
Semana 6. Minimización del costo de largo plazo
Derivando esta función convexa estricta con respecto a x e igualando a cero, llegamos a que:
α
w2 (z0 )1/β x−(α/β)−1
w1 =
β
De donde, despejando x, obtenemos la demanda (condicionada al nivel de producción z0 ) del insumo x:
β
1
αw2 α+β
∗
x =
(z0 ) α+β
βw1
Note que si w2 (costo del insumo y) o z0 (producción) aumentan, también aumentará la demanda del insumo x. Y, claramente, si w1 (costo del insumo x) aumenta,
bajará la demanda por el insumo x. De manera similar, si la intensidad α aumenta,
la demanda por x aumenta; y si la que aumenta es la intensidad β, disminuirá esta
misma demanda.
Ahora: utilizando la restricción tecnológica y = (z0 /xα )
da (condicionada) del insumo y (ye):
∗
y =
βw1
αw2
α
α+β
1/β
, conseguimos la deman-
1
(z0 ) α+β
El comportamiento de esta demanda es muy similar al de la demanda por el insumo
x ante cambios en los parámetros w1 , w2 , z0 , β y α.
Finalmente, la función de costo es, entonces,
C(z0 ) = w1 x∗ + w2 y ∗
" β/α+β
α/α+β #
βw1
αw2
(z0 )1/α+β
+ w2
= w1
βw1
αw2
Y, por ello, la función de costo de la tecnología Cobb-Douglas se acostumbra a
escribir así:
C(z0 ) = B(z0 )1/α+β
donde
B = w1
αw2
βw1
β/α+β
+ w2
βw1
αw2
α/α+β
Aquí, si w1 , w2 o z0 aumentan, también lo hará el costo de producción.
En general, podemos dibujar las tres formas posibles de la función de costo de
la tecnología Cobb-Douglas C(z) = B(z)1/α+β y ver entonces (figura 6.3), que
tiene tres tipos de comportamiento característico: si la función de producción tiene
rendimientos decrecientes a escala (α + β < 1), la función de costo es convexa; si
tiene rendimientos constantes a escala (α + β = 1), la función de costo es lineal;
y si la tecnología tiene rendimientos crecientes a escala (α + β > 1), la función de
costo es cóncava. Así, si la tecnología tiene rendimientos decrecientes a escala, el
6.2. Minimización del costo de largo plazo
159
costo marginal de producir una unidad adicional es, relativamente, más alto que si
la tecnología tiene rendimientos crecientes a escala.
C(z)
C(z)
α+β <1
C(z)
α+β =1
α+β >1
z
z
z
Tecnología con rendimientos
decrecientes a escala
Tecnología con rendimientos
constantes a escala
Tecnología con rendimientos
crecientes a escala
Figura 6.3. Diferentes tipos de funciones de costos de acuerdo a los rendimientos a escala de una
función de producción Cobb-Douglas.
Ejemplo 2. (Minimización de costos para función separable)
El problema fundamental es:
Minimizar w1 x + w2 y
x,y≥0
√
√
sujeta a
x + y = z0
√
Pero como en la restricción es posible despejar y = (z0 − x)2 , entonces nuestro
problema se reduce a:
√
Minimizar w1 x + w2 (z0 − x)2
x≥0
Derivando esta función convexa estricta e igualando a cero, obtenemos que:
√
1
=0
w1 + 2w2 (z0 − x) − √
2 x
Resolviendo para x de la ecuación anterior, llegamos a que la demanda (condicionada) por el insumo x es:
2
w2 z0
∗
x =
w1 + w2
Y como el problema es “simétrico” con respecto a x e y (ye) entonces tendremos
que la demanda (condicionada) por el insumo y (ye) es:
2
w1 z0
y∗ =
w1 + w2
Por consiguiente, la función de costo es (ver figura 6.4):
2
2
w1 z
w2 z
∗
∗
+ w2
C(z) = w1 x + w2 y = w1
w1 + w2
w1 + w2
= Bz 2
(convexa estricta)
160
Semana 6. Minimización del costo de largo plazo
donde
B=
w1 (w2 )2 + w2 (w1 )2
w1 w2
=
(w1 + w2 )2
w1 + w2
C(z)
C(z) = Bz 2
z
Figura 6.4. Función de costo convexa estricta para la tecnología dada por F (x, y) =
√
x+
√
y.
Ejemplo 3. (Minimización de costos para función Leontief)
El problema, aquí, es:
Minimizar
x,y>0
sujeta a
w1 x + w2 y
(figura 6.5)
Mín{x, y} = z0
Este problema se resuelve de manera geométrica semejante al de la minimización
del gasto para una función de utilidad (recurriendo sólo a la figura 6.5) para obtener
que:
x∗ = y ∗ = z0
(demandas condicionadas de insumos)
C(z)
y
y=x
C(z) = Bz
w1 x + w2 y = constante
x∗ = y ∗
= z0
b
Mín{x, y} = z0
x
w1 x + w2 y = (w1 + w2 )z0
Figura 6.5. Minimización de costos para una
función de producción tipo Leontief.
z
Figura 6.6. Función de costos con tecnología
Leontief.
6.3. Curvas de costo de largo plazo
161
Note que estas demandas no dependen de los precios de los insumos ni del precio
de venta. Y así la función de costo es:
C(z0 ) = w1 x∗ + w2 y ∗ = (w1 + w2 )z0
o bien, de manera general,
donde
C(z) = Bz
B = w1 + w2
(figura 6.6)
Por lo tanto, la función de costo de una tecnología Leontief es lineal. Obsérvese
que, obviamente, no podíamos utilizar el Cálculo diferencial en este ejemplo, dado
el problema de diferenciabilidad de la función Leontief.
Ejemplo 4. (Minimización de costos para rendimientos crecientes)
El problema es:
Minimizar
w1 x + w2 y
sujeta a
yex = z0
x,y≥0
Entonces sustituimos y = e−x z0 en la función objetivo y llegamos a que debemos
resolver
Minimizar w1 x + w2 e−x z0
x≥0
Derivamos con respecto a x e igualamos a cero para obtener, después de simplificar,
que w1 = w2 (e−x z0 ). O bien,
w2 z0
ex =
w1
Y así,
∗
x = ln
w2 z0
w1
donde z0 > w1 /w2 . Por consiguiente,
y ∗ = e−x z0 =
w1
w2
que no depende del nivel de producción z0 (¿por qué?). Y esto conduce a que la
función de costo de esta tecnología es:
w2 z0
∗
∗
C(z0 ) = w1 x + w2 y = w1 ln
+ w1
w1
que es una función cóncava estricta para w1 , w2 , z0 tales que z0 > w1 /w2 . Note que
esta tecnología tiene rendimientos crecientes a escala, pues si t > 1 entonces:
F (tx, ty) = tyetx > tyex = t F (x, y)
162
Semana 6. Minimización del costo de largo plazo
6.3.
Curvas de costo de largo plazo
Una vez obtenida la función de costo de un productor, agregamos dos funciones de
costo que también tienen importancia analítica en el comportamiento de largo plazo
de este agente. Si C(z) es la función de costo de largo plazo, entonces definimos:
C(z)
z
Costo marginal de largo plazo = C ′ (z)
Costo medio de largo plazo =
Enseguida (figura 6.7) dibujamos las funciones de costo (o costo total), de costo
medio y de costo marginal de largo plazo para la función de producción CobbDouglas:
C(z) = B1 z 1/(α+β)
!
1−α−β
1
′
C (z) = B1
z α+β
α+β
(Costo total)
(Costo marginal)
1−α−β
C(z)
= B1 z α+β
z
Rendimientos decrecientes
a escala
(Costo medio)
Rendimientos constantes
a escala
C(z)
C(z)
C(z)
z
z
′
′
C (z)
C (z)
z
z
z
C(z)
z
C(z)
z
z
z
′
C (z)
C(z)
z
Rendimientos crecientes
a escala
z
Figura 6.7. Funciones de costo Cobb-Douglas de largo plazo.
z
6.3. Curvas de costo de largo plazo
163
Y aunque la figura 6.7 corresponde a las tres curvas de costo para los tres tipos de
rendimientos a escala en el caso particular de la función Cobb-Douglas, resulta que
este cuadro es, en general, similar, para las más usuales funciones de producción
con alguno de estos tres tipos de rendimientos. Es decir, si la función de producción presenta rendimientos decrecientes a escala, la curva de costos es, usualmente,
convexa estricta y creciente (mientras más alto sea el nivel de producción cuesta
más producir una unidad adicional); y el costo marginal y el costo medio siempre
son crecientes aunque no está especificado con qué tipo de concavidad-convexidad.
De otro lado, si la función de producción presenta rendimientos constantes a escala,
la función de costo es lineal (siempre cuesta lo mismo producir una unidad adicional); y las funciones de costo marginal y costo medio son constantes. Y, finalmente,
si la función de producción presenta rendimientos crecientes a escala, la función de
costo es, usualmente, cóncava estricta y creciente (mientras más alto sea el nivel de
producción cuesta menos producir una unidad adicional); y las funciones de costo
marginal y costo medio típicamente son convexas y decrecientes a cero. Obviamente, existen excepciones (no radicales) a esta regla, y un caso de ellos lo veremos en
el literal e) del ejemplo siguiente.
Ejemplo 5. (De la función de gasto a la función de costo)
Formalmente, los problemas de encontrar la función de gasto en el consumidor y
la función de costo de largo plazo en el productor, son similares. En efecto, basta
escribir, en el correspondiente problema de minimización de gasto del consumidor,
U0 = z, e = C, p1 = w1 y p2 = w2 , para convertir una función de gasto en una de
costo. Veamos esto.
a) En el caso de la función de utilidad Cobb-Douglas U (x, y) = xy, se tenía (ejemplo 1, semana 2) que la función de gasto era e = 2(U0 p1 p2 )1/2 . Por lo tanto,
la función de costo total de largo plazo para la tecnología con rendimientos
crecientes a escala F (x, y) = xy es la función cóncava estricta:
C(z) = 2(zw1 w2 )1/2 = 2(w1 w2 )1/2 (z)1/2
(cóncava estricta)
b) Similarmente, para la función Leontief U (x, y) = Mín{x, y}, se tiene que la
función de gasto (ver ejemplo 6, semana 2, para un caso similar) e = (p1 +p2 )U0 ;
lo que nos lleva a que la función de costo de largo plazo para la tecnología con
rendimientos constantes a escala F (x, y) = Mín{x, y} es:
C(z) = (w1 + w2 )z
(lineal)
√
√
c) En el caso de la función separable U (x, y) = x + y, la función de gasto es de
la forma e = B(U0 )2 donde B es una constante que depende de los precios p1
y p2 . Por lo tanto, la función de√costo total para la tecnología con rendimientos
√
decrecientes a escala F (x, y) = x + y, es de la forma
C(z) = Bz 2
(convexa estricta)
donde B es una constante que depende de los precios de los insumos w1 y w2 .
164
Semana 6. Minimización del costo de largo plazo
d) Consideremos ahora el caso de la función de utilidad lineal U (x, y) = x+y, cuya
función de gasto (ver ejemplo 7, semana 2) es e = U0 Mín{p1 , p2 }. Entonces la
función de costo de largo plazo para la tecnología lineal F (x, y) = x + y es:
(lineal)
C(z) = Mín{w1 , w2 }z
e) Ahora presentamos
un caso especial que es el de la función de utilidad cuasilineal
√
U (x, y) = x + y, en el que la función de gasto (ejemplo 4, semana 2) era
e = p2 U0 − (p2 )2 /4p1 (cuando esta era mayor o igual que cero). Entonces, la
función de costo √
de largo plazo de la tecnología con rendimientos decrecientes a
escala F (x, y) = x + y, es (figura 6.8):
2
C(z) = w2 z −
(w2 )
4w1
(lineal)
cuando esta es mayor o igual que cero. Este es un caso concreto en que la función
de costo total no es convexa estricta, a pesar de que la tecnología presenta
rendimientos decrecientes a escala. En efecto, observemos que si t > 1:
√
√√
√
F (tx, ty) = tx + ty = t x + ty < t x + ty = tF (x, y)
Pero este comportamiento no es usual en la práctica. Note que tampoco la curva
de costo marginal (que aquí es constante) es típica, aunque la curva de costo
2
(w2 )
C(z)
= w2 −
(que es cóncava estricta) sí lo es.
medio
z
4w1 z
C(z)
w2 /4w1
z
Figura 6.8. Un caso especial de función de costo de largo plazo.
f) Finalmente, consideremos el caso en el que la función de utilidad es la del ejemplo
√
1/3
anterior, pero ahora elevada a la potencia 1/3: U (x, y) = ( x + y) . De la
semana 2, traemos las demandas marshallianas de este consumidor:
2
M
p2
(p2 )
;
y∗ =
−
x∗ =
2p1
p2
4p1
y con ellas obtenemos la utilidad indirecta:
1/3
p2
M
+
V =
p2
4p1
6.3. Curvas de costo de largo plazo
165
Y así, la función de gasto es:
e = p2 (U0 )3 −
2
(p2 )
4p1
Por lo tanto, la curva de costo de largo plazo de la tecnología dada por la
√
1/3
es:
ecuación F (x, y) = ( x + y)
2
C(z) = w2 z 3 −
(w2 )
4w1
(convexa estricta)
que se comporta a la manera usual de las curvas de costo para rendimientos
decrecientes a escala.
Ejemplo 6. (Una aplicación del concepto de rendimientos a escala)
Si un empresario tiene dos plantas de su empresa operando con diferentes costos,
una pregunta básica es cómo distribuir la producción entre ellas. Es decir, debe
decidir entre operar en las dos plantas o especializarse en una de ellas y cerrar
la otra. El siguiente ejemplo muestra dos casos sobre cómo la función de costo
permite decidir este tipo de situaciones económicas y cómo esta decisión depende
radicalmente del tipo de rendimientos que pudiera presentar la tecnología.
a) Supongamos, primero, que la empresa tiene dos plantas con funciones de costo
C1 (y1 ) = 3(y1 )2 y C2 (y2 ) = 2(y2 )2 (rendimientos decrecientes a escala). Entonces el problema de este empresario se puede explicitar minimizando el costo
total C1 (y1 ) + C2 (y2 ) sujeto a que la suma de las producciones sea una cantidad
fija. Es decir:
Minimizar
sujeta a
3(y1 )2 + 2(y2 )2
y1 + y2 = Y
donde Y es la cantidad fija a producir entre las dos plantas.
y2
3(y1 )2 + 2(y2 )2 = constante
Solución
3Y
( 2Y
5 , 5 )
b
y1 + y2 = Y
y1
Figura 6.9. Productor que se enfrenta a la decisión de producir en dos plantas con rendimientos
decrecientes a escala.
Este problema se puede resolver analíticamente utilizando los multiplicadores
de Lagrange, pero quizás es más conveniente, aquí, resolverlo gráficamente (ver
166
Semana 6. Minimización del costo de largo plazo
figura 6.9). Basta con trasladar hacia el suroeste las curvas de nivel de las
2
2
elipses 3(y1 ) + 2(y2 ) = constante, hasta que toquen tangencialmente a la recta
y1 + y2 = Y , y lo harán en el punto (y1 , y2 ) = ((2/5)Y, (3/5)Y ). Como puede
verse en la figura 6.9, el empresario producirá en ambas empresas, aunque lo
hará más en la planta menos costosa (pues y2 es mayor que y1 en la solución).
b) Sin embargo, una situación distinta se presenta cuando las funciones de costo
1/2
son C1 (y1 ) = 3(y1 )1/2 y C2 (y2 ) = 2(y2 )
(rendimientos crecientes a escala).
En efecto: el problema del empresario ahora es:
Minimizar
sujeta a
1/2
3(y1 )
1/2
+ 2(y2 )
y1 + y2 = Y
donde Y es la cantidad fija a producir entre las dos plantas. Y observando la
figura 6.10, notamos que el empresario ya no utiliza las dos plantas para su
producción sino que llevará a cabo toda la operación en la menos costosa de las
1/2
dos; es decir, producirá todo en la planta 2 que tiene como costo 2(y2 ) .
y2
Solución
(0, Y )
b
y1 + y2 = Y
y1
Figura 6.10. Productor que se enfrenta a la decisión de producir en dos plantas con rendimientos
crecientes a escala.
La diferencia entre los casos a) y b) es que en el primero estamos en presencia
de rendimientos decrecientes a escala mientras que, en el segundo, el empresario
tiene dos plantas con rendimientos crecientes a escala. De hecho, el caso b) es una
justificación elemental del porqué de los monopolios naturales: es demasiado costoso
para la administración de una ciudad, construir una red de acueducto paralela a la
que ya está establecida allí, para llevar el mismo producto a los hogares, y por ello,
usualmente sólo existe una empresa de acueducto y alcantarillado en la mayoría de
las ciudades. Sobre el problema del monopolio discutiremos más a profundidad en
la semana 10.
6.4. Curva de oferta después de minimización del costo
6.4.
167
La curva de oferta después de minimización
del costo
Para cualquier empresa que asume los precios de los insumos como dados por el
mercado, ya hemos resuelto el problema de encontrar la curva de costos de largo
plazo. Sin embargo, falta una parte en esto: ¿cómo encontramos la función de oferta
de largo plazo? Resulta que después de resolver el problema de minimización de costos de largo plazo, debemos pasar por un segundo procedimiento: la maximización
del beneficio; es decir, debemos resolver el problema, para z ≥ 0:
Maximizar
z≥0
pz − C(z)
Derivando con respecto a z, e igualando a cero, se obtiene otra importante ecuación
de equilibrio del productor:
p = C ′ (z)
(Precio de venta = costo marginal)
Esta ecuación de equilibrio del productor (introducida inicialmente por Augustin
Cournot en 1838) afirma que el nivel óptimo de producción (es decir, la oferta) z ∗
debe ser tal que si le agregamos “una unidad”, la variación del costo de producción
coincide con el precio de venta del mercado.
Sin embargo, para que esta ecuación sí resuelva el problema de maximización de
esta forma, usualmente la función C(z) debe ser convexa estricta (C ′′ > 0) y, por
lo tanto, la función de producción debe tener, típicamente, rendimientos decrecientes a escala. Todo lo anterior, por supuesto, al ser el costo marginal (C ′ (z))
estrictamente creciente (pues la segunda derivada de C(z) es positiva), conduce a
la típica condición competitiva de que la curva de oferta de largo plazo p = C ′ (z)
sea creciente en z.
Ejemplo 7. (Curva de oferta Cobb-Douglas en el largo plazo)
Consideremos la tecnología F (x, y) = xα y β con α + β < 1. Entonces ya sabemos
(ejemplo 1) que su función de costo total es la curva convexa estricta C(z) =
B z 1/α+β (con B > 0) y así la ecuación de maximización del beneficio es:
1−α−β
1
′
p = C (z) =
Bz α+β
α+β
Luego despejando z de aquí, encontramos que la curva de oferta de este producto
α+β
al mercado es:
(α + β)p 1−α−β
z(p) =
B
donde ya sabemos que en la constante B están implícitos los costos de los insumos.
Notemos que si α + β = 1/2, la curva de oferta es una línea recta.
168
Semana 6. Minimización del costo de largo plazo
Ejemplo 8. (Curva de oferta con tecnología separable en el largo plazo)
Sabemos (ejemplo 2) que la función de√costo total para la tecnología con rendi√
mientos decrecientes a escala F (x, y) = x + y, es la cuadrática
C(z) = Bz 2
(convexa estricta)
donde B > 0 es una constante que depende de los precios de los insumos w1 y w2 .
Por lo tanto, la curva de oferta de largo plazo será la línea recta
p = C ′ (z) = 2Bz
(lineal)
que es la misma z = p/2B.
Ejemplo 9. (Otra curva de oferta de largo plazo)
En el caso de la tecnología con rendimientos decrecientes a escala definida por
√
1/3
F (x, y) = ( x + y) , la curva de costo de largo plazo es –ver ejemplo 5f)–:
2
(w2 )
(convexa estricta)
4w1
Por lo tanto, la curva de oferta de largo plazo es una función cuadrática:
C(z) = w2 z 3 −
p = C ′ (z) = 3w2 z 2
que es la misma
z=
p
3w2
(figura 6.11)
1/2
p
z=
p 1/2
3w2
z
Figura 6.11. Curva de oferta para la tecnología F (x, y) =
√
x+y
1/3
.
Ejemplo 10. (Curva de oferta lineal en el largo plazo)
Consideremos la tecnología con rendimientos decrecientes a escala definida por
F (x, y) = Mín{x/a, y 1/2 /b} para a, b > 0. Entonces, resolviendo el problema
Minimizar
x,y≥0
sujeta a
w1 x + w2 y
x y 1/2
=z
Mín
,
a b
6.4. Curva de oferta después de minimización del costo
169
se obtienen las demandas por insumos así:
x∗ = az
y ∗ = (bz)2
,
Y, por consiguiente, la función de costo de largo plazo es:
C(z) = w1 x∗ + w2 y ∗ = (a w1 )z + (b2 w2 )z 2
Lo que conduce (aplicando p = C ′ (z)) a que la curva de oferta sea lineal:
p = aw1 + (2b2 w2 )z
para p > a w1
[4]
aunque debe señalarse que la empresa no producirá nada (z = 0) si p ⩽ aw1 .
Ejemplo 11. (Oferta Cobb-Douglas con cambio técnico exógeno)
Consideremos de nuevo la función Cobb-Douglas con cambio tecnológico, modelado
por un parámetro A > 1. Es decir, la tecnología ahora es F (x, y) = Axα y β con
α + β < 1. Entonces basta observar que la función de costo de largo plazo está
dada por la misma función de costo del ejemplo 7, pero reemplazando z0 por z0 /A
(¿por qué?). Así, la función de costo es:
C(z) = B
1
z α+β
A
Y esto, en particular, muestra que una mejora tecnológica disminuye los costos de
producción. Y, por su parte, la oferta estará dada por la ecuación
(α + β)p
z=A
B
α+β
1−α−β
lo que nos lleva a la observación de que la curva de oferta “gira hacia la derecha”
si A > 1 (figura 6.12), pues este cambio tecnológico conlleva, por cada precio de
mercado del producto (p), un aumento en la oferta (z) ponderada por el factor A.
p
Giro a la derecha
debido a una
mejora tecnológica (A > 1)
z
Figura 6.12. Un tipo de oferta Cobb-Douglas con cambio exógeno.
4 Esta condición se coloca para que haya oferta z mayor que cero.
170
Semana 6. Minimización del costo de largo plazo
Ejemplo 12. (Curva de oferta Cobb-Douglas obtenida por dos caminos)
En el ejemplo 5 de la semana 5, habíamos maximizado el beneficio de una función
Cobb-Douglas con rendimientos decrecientes a escala (α + β < 1). Los resultados
que obtuvimos fueron:
i) Las demandas por insumos:
1
p 1−α−β
∗
x =
w1
α
(1−β)
! (1−α−β)
w2
β
β
! (1−α−β)
(6.6)
1
p 1−α−β
y∗ =
w1
α
α
! (1−α−β)
w2
β
(1−α)
! (1−α−β)
(6.7)
ii) La oferta al mercado es igual a:
α+β
p 1−α−β
∗
z =
w1
α
α
! 1−α−β
w2
β
β
! 1−α−β
(6.8)
iii) Y el beneficio es:
1
∗
Π =
(1 − α − β)p 1−α−β
β
α
! 1−α−β
! 1−α−β
w2
w1
α
β
(6.9)
Lo que haremos enseguida es mostrar que estos mismos resultados se pueden obtener recurriendo a la función de costo y luego maximizando el beneficio. En primer
lugar, sabemos que la función de costo de la tecnología Cobb-Douglas, se acostumbra a escribir así:
1
C(z) = B(z) α+β
(6.10)
donde
B = w1
αw2
βw1
β/α+β
+ w2
βw1
αw2
α/α+β
Por lo tanto, a partir de la ecuación de maximización del beneficio p = C ′ (z), la
oferta al mercado es:
1−α−β
B
(z) α+β
p=
α+β
Así,
α+β
p 1−α−β
∗
z =
(6.11)
α+β
1−α−β
B
α+β
Ejercicios
171
que, incorporando aquí el valor de B dado arriba y con un poco de manipulación
algebraica, se muestra que es equivalente a la curva de oferta (6.8). De otro lado,
a partir de la curva de costo (ecuación (6.10)) y el lema de Shephard
x∗ =
∂C
∂w1
;
y∗ =
∂C
∂w2
además de la ecuación (6.11), se obtienen las demandas (condicionadas) por insumos (6.6) y (6.7). Y, finalmente, se calcula la función de beneficios mediante la
ecuación
Π∗ = pz ∗ − C(z ∗ )
que es la renta económica del productor.
Ejercicios
(Observación: Los ejercicios señalados con uno (∗) o dos (∗∗) asteriscos tienen, a
juicio del autor, un nivel de dificultad un tanto o muy superior, con respecto a los
ejercicios corrientes que aparecen sin asterisco.)
1. Encuentre las demandas condicionadas de insumos y la función de costo de
largo plazo para una empresa que opera con bienes complementarios de la
forma
z = F (x, y) = Mín{3x, 2y}
¿Es posible asociarle un beneficio máximo a esta empresa?
2. A partir de√ la función de gasto de la función de utilidad separable
√
U (x, y) = 3 x + y + 3, deduzca la función de costo (de largo plazo) de
la correspondiente función de producción. Recordemos aquí que el problema
de la minimización del gasto en la teoría del consumidor es, esencialmente,
el mismo de la minimización del costo de “producir” utilidad.
3. Una agencia del gobierno de cierto país, estima que el número de pasajeros
transportados (P ) entre dos ciudades de este mismo país, tiene la forma
P = Axα y β
donde A, α, β > 0 son constantes y, además, x = número de vuelos nacionales
de aerolíneas de bajo costo, y = número de vuelos nacionales de aerolíneas
de regular costo. Mediante un ejercicio econométrico, la agencia estimó que
A = 7, α = 0.2389, β = 0.5384. Con esta información y con lo aprendido en
el curso, constrúyale a esta agencia la función de costo, la función de oferta,
la función de beneficios y las demandas de vuelos nacionales.
4. Si la tecnología de una empresa viene representada por la función de producción CES de la forma F (L, K) = (K 1/2 + L1/2 )2 , obtenga las demandas
condicionadas de factores y la función de costo de largo plazo.
172
Semana 6. Minimización del costo de largo plazo
5. Halle la combinación de inputs (que es el término en inglés para insumos o
factores) (K, L) que minimizan el costo de producir 550 unidades de producto,
teniendo en cuenta que la función de producción es F (K, L) = 10K 0,6 L0,2 y
los precios de los insumos son wK = 20, wL = 11.
6. Utilizando las ecuaciones (6.4) [tasa marginal de sustitución técnica=cociente
de precios de insumos] y (6.5) [restricción técnica], deduzca la curva de costos
de largo plazo para la función Cobb-Douglas. Confirme el resultado con lo
obtenido en el ejemplo 1.
7. (Funciones homogéneas) Una función de producción f (x) o F (x, y) es homogénea de grado k ≥ 0, si es cierto que para todo t > 0, f (tx) = tk f (x) y
F (tx, ty) = tk F (x, y), respectivamente. Pruebe que si una función es homogénea de grado k, entonces:
a) Si 0 < k < 1, la función presenta rendimientos decrecientes a escala.
b) Si k = 1, presenta rendimientos constantes a escala.
c) Y si k > 1, presenta rendimientos crecientes a escala.
Indique varios ejemplos de funciones homogéneas de producción e identifique
el grado de homogeneidad de cada una.
8. (Funciones homotéticas) Similar a lo ya presentado para la teoría del
consumo, una función de producción homotética F (x, y) es una transformación estrictamente creciente de una función G(x, y) homogénea de grado 1.
Es decir, F (x, y) es una función homotética si F (x, y) = g(G(x, y)) donde
g(·) : R+ → R+ es una función continua estrictamente creciente. El caso típico es la función Cobb-Douglas de la forma F (x, y) = xα y 1−α para 0 < α < 1.
Y el argumento principal para que este tipo de funciones sea tan importante,
es similar a lo explicado en el caso de las funciones de utilidad: tienen propiedades interesantes y características deseables en la implementación empírica.
Por ejemplo, toda función homotética tiene una función de costo lineal y, en
algunos trabajos empíricos, es utilizada para describir un sector productivo
competitivo compuesto por múltiples firmas pequeñas (que, usualmente, operan con rendimientos decrecientes a escala). El ejercicio aquí, consiste en que
el lector señale tres ejemplos de funciones de producción homotéticas diferentes al caso de la función Cobb-Douglas y confirme que la función de costo es,
efectivamente, lineal.
9. a) Encuentre una función de producción cuya función de oferta de largo plazo
sea z = 2p.
b) Encuentre una función de producción cuya función de oferta de largo plazo
sea z = −3 + 2p.
(Sugerencia: Observe las funciones de oferta deducidas en la presente semana
y coloque valores específicos a los precios de los insumos y a otros parámetros
si fuera necesario.)
Ejercicios
173
10. Si la función de oferta de corto plazo es z = 1 − (w/p), ¿cuál es la función de
costo de corto plazo? Dibuje esta función.
11. (∗) Deduzca la curva de costo total, costo medio y costo marginal de la
tecnología CES.
12. (∗) Deduzca la curva de costo total, costo medio y costo marginal para la
tecnología F (x, y) = ax + by donde a, b > 0.
13. (Lema de Hotelling) Mediante un argumento heurístico (es decir, con una
argumento bien orientado hacia la demostración rigurosa pero sin llenar los
detalles) señale la verosimilitud del conocido como lema de Hotelling: Si Π(p)
es la función de beneficio de una empresa competitiva, entonces dΠ(p)/dp =
y(p) donde y(p) es la oferta de la empresa al mercado. Confirme este lema
mediante varios ejemplos.
14. (Lancaster, 1969) Todos los procesos siguientes producen una tonelada del
mismo producto cuando son operados al nivel unidad:
Procesos
P1
P2
P3
P4
P5
Inputs
Capital
Trabajo
(horas de máquina) (horas de trabajo)
12
1
10
3
8
4
7
6
6
12
a) Dibuje un diagrama e indique los puntos que representan combinaciones
de inputs para niveles unidad de cada proceso.
b) Suponiendo que todos los procesos pueden operarse a todos los niveles
(fracciones incluidas), y que pueden combinarse sin interacciones, determine qué procesos son ineficientes.
c) Dibuje la isocuanta unidad, de producción del bien.
d) Con los datos proporcionados anteriormente, determine la relación de sustitución de capital por trabajo cuando nos movemos de cada proceso eficiente hacia el adyacente.
e) A partir del diagrama (o por cualquier otro procedimiento) determine el
aumento de output correspondiente al aumento de mano de obra de 42 a
72 (horas de trabajo), cuando el capital se mantiene constante al nivel de
84 horas de máquina. ¿Cuál es el producto marginal del trabajo en ese
intervalo?
174
Semana 6. Minimización del costo de largo plazo
15. (∗∗) (Elasticidad de sustitución (Hicks, 1932): una medida de la
sustitución entre insumos5 ) Imitando lo llevado a cabo con el consumidor,
la teoría neoclásica homogénea busca relacionar las demandas por insumos
condicionadas con los precios de mercado, para poder definir si los bienes son
sustitutos o complementarios: se esperaría que la demanda condicionada de
cada insumo dependa, entre otros, de los precios de los insumos w1 y w2 .
Esto ocurre en los casos cuando las curvas de nivel de producción son suaves
(es decir, la tasa marginal de sustitución, siempre existe). Pero en los casos
tipo Leontief eso no sucede pues las demandas condicionadas son “puramente
tecnológicas”.
Así, debemos entender que (dado el problema del productor competitivo –que
es muy distinto al del consumidor competitivo–) las demandas condicionadas
se dividen en dos: 1) Aquellas que dependen de condiciones puramente tecnológicas pero también del mercado (y, por tanto, de la subjetividad –al fin
y al cabo w1 y w2 son cantidades que provienen del mercado y, por tanto, de
la subjetividad–); y 2) Aquellas que dependen sólo de condiciones puramente tecnológicas. Claramente, la teoría neoclásica homogénea hubiera querido
trabajar sólo con las primeras. Pero la teoría clásica prefiere trabajar con
las segundas. Sólo que si se quiere abarcar a ambas, habrá que buscar otro
mecanismo para medir la sustituibilidad de insumos. Esa es la elasticidad de
sustitución de Hicks (1932) que ahora presentamos.
La idea central con esta elasticidad es medir el cambio porcentual en las
proporciones de insumos, asociados a un cambio de un 1 % en la tasa marginal
de sustitución técnica6 . Es decir, la elasticidad de sustitución del bien y con
respecto al bien x se mide mediante la fórmula
σ=
d(y/x)/(y/x)
d(Fx /Fy )/(Fx /Fy )
(1)
donde Fx y Fy son las derivadas parciales de la función de producción con
respecto a x y a y (ye), respectivamente7 . La elasticidad de sustitución es,
de hecho, una “medida de la curvatura” de las curvas de nivel de la función de producción F (x, y) como lo mostrara Lerner (1935): la elasticidad de
sustitución será menor para las curvas de nivel con mayor curvatura.
Mostraremos que la elasticidad de sustitución de la función de producción
Leontief F (x, y) = Mín{x, y} es 0 (es decir, no hay ninguna sustitución entre
insumos); y que la elasticidad de sustitución del bien x con respecto al bien y
1/ρ
en una función CES de la forma F (x, y) = (xρ + y ρ )
(ρ < 1, ρ 6= 0) es igual
5 Este ejercicio presenta un nivel analítico superior al del resto del libro. El objetivo, aquí, es
que el estudiante lleve a cabo una lectura cuidadosa de este particular e importante concepto de
elasticidad.
6 De hecho, recordemos, el cambio no es de un 1 % sino de un diferencial dx %.
7 Aquí utilizaremos esta notación para las derivadas parciales, sólo por conveniencia tipográfica
y simplicidad notacional.
Ejercicios
175
1
a σ = 1−ρ
. Es por esta razón que esta función se la llama CES (Constant
Elasticity of Substitution), pues tiene la elasticidad de sustitución constante
(es decir, no depende de x ni de y). Pero más allá de esto, observaremos
que si ρ tiende a 0 entonces la elasticidad de la CES es la elasticidad de la
Cobb-Douglas (es decir, σ = 1); y que si ρ tiende a −∞ (menos infinito), la
elasticidad de la CES es la de la Leontief (σ = 0). Es decir, la función CES, a
través de pasos al límite, abarca los dos casos: el de la función Cobb-Douglas
y el de la función Leontief. Más aún: si ρ = 1, la función CES es una función
lineal con elasticidad de sustitución infinita (σ = ∞). Veamos lo anterior en
detalle:
a) En primer lugar, calculemos la elasticidad de sustitución de la función
de producción CES. Aunque antes, notemos que la fórmula (1) anterior
para la elasticidad de sustitución también se puede escribir (recordando
la derivada de la función logaritmo natural (ln)) como
d ln xy
σ = x
d ln F
Fy
1/ρ
Entonces, para la función CES F!!
(x, y) = (xρ + y ρ )
se tiene que:
y
i)
d ln
= d(ln y) − d(ln x)
x
1
1
−1
ii)
(xρ + y ρ )( ρ )
ρxρ−1
Fx =
ρ
1
1
−1
(xρ + y ρ )( ρ )
ρy ρ−1
Fy =
ρ
ρ−1 x
x
iii) Como ln F
=
ln
= (ρ − 1) (ln x − ln y) entonces:
Fy
y ρ−1
d ln
Fx
Fy
= (ρ − 1) (d (ln x) − d (ln y))
(∗)
(∗∗)
iv) De las ecuaciones (∗) y (∗∗) arriba, obtenemos, de acuerdo a la definición de elasticidad de sustitución, que:
σ=
1
1−ρ
b) Ahora calculemos la elasticidad de sustitución de la función de producción
Cobb-Douglas. Como la función !!
es F (x, y) = xα y β entonces:
y
i)
= d(ln y) − d(ln x)
(∗)
d ln
x
ii)
Fx = αxα−1 y β
y
Fx = βxα y β−1
176
Semana 6. Minimización del costo de largo plazo
iii) Como ln
Fx
Fy
α
= ln αy
βx = ln β + ln y − ln x entonces:
Fx
d ln
= d (ln x) − d (ln y)
Fy
(∗∗)
iv) De las ecuaciones (∗) y (∗∗) arriba, obtenemos, de acuerdo a la definición de elasticidad de sustitución, que:
σ=1
c) Finalmente, calculemos la elasticidad de sustitución de la función de producción Leontief. Aquí, dado que esta función F (x, y) = Mín{x, y} no
es diferenciable, no podremos utilizar la fórmula de elasticidad de sustitución. Por lo tanto, recurriremos a otro método: probaremos que si ρ tiende
a −∞, entonces la función CES se transforma en la función Leontief. Y en
efecto es así, pues, asumiendo x > y (es decir, Mín{x, y} = y) obtenemos
que:
ln (xρ + y ρ )
1/ρ
= lı́m
lı́m ln (xρ + y ρ )
ρ→−∞
ρ→−∞
ρ
= lı́m
ρ→−∞
ρ
ln y ρ xyρ + 1
ρ

ln
ρ
ρ

x
yρ + 1
ln (y )

+
= lı́m 
ρ→−∞
ρ
ρ
ρ
ln xy + 1
= ln (y) + lı́m
ρ→−∞
ρ
= ln y
ρ
ρ
ln(( x
y ) +1)
x
=
0
ya
que
lı́m
= 0 dado que x > y.
pues lı́m
ρ
y
ρ→−∞
ρ→−∞
Por lo tanto, hemos probado que:
1/ρ
= ln y
lı́m ln (xρ + y ρ )
ρ→−∞
o, lo que es equivalente (retirando los símbolos de logaritmo natural (ln)):
1/ρ
lı́m (xρ + y ρ )
ρ→−∞
= y = Mín{x, y}
que era lo que queríamos probar.
Únicamente resta concluir que si ρ tiende a −∞ (infinito), entonces:
1
=0
ρ→−∞ 1 − ρ
σ = lı́m
Ejercicios
177
que es la elasticidad de sustitución de la función de producción Leontief.
d) No sobra anotar aquí que si ρ = 1 entonces la función CES es la función de
producción lineal F (x, y) = x + y con lo que su elasticidad de sustitución
es σ = ∞.
Así, resumiendo un tanto todo lo anterior, si es el caso de que se requiere en
un modelo económico asumir un “alto nivel de sustitución” entre insumos,
entonces se recurre a una función CES con una elasticidad de sustitución
1
σ = 1−ρ
alta, para lo que bastará hacer ρ cercano a 1 (aunque menor que
1). Pero si, por el contrario, se requiere estudiar un proceso productivo con
un “bajo nivel de sustitución”, entonces se modela con ρ negativo y grande.
De hecho, la razón del porqué la función de Leontief tiene elasticidad de
sustitución 0 (cero) es porque es el caso límite de esta última situación: no
existe ninguna sustitución entre insumos8 .
16. (∗∗) Decida sobre la veracidad de la siguiente fórmula para la elasticidad de
sustitución definida en el ejercicio 15 anterior:
σ=
Fx Fy (xFx + yFy )
xy(2Fxy Fx Fy − Fxx (Fy )2 − Fyy (Fx )2 )
8 El término elasticidad de sustitución fue acuñado por John Hicks en su Theory of Wages de
1932. El problema consistía en encontrar una buena medida del grado de sustitución que existe
entre cualquier par de insumos en un proceso productivo. El concepto atrajo inmediatamente la
atención de Robinson (1933) y Machlup (1935), y desde entonces ha jugado un papel destacado
en la teoría neoclásica.
Semana 7
Minimización del costo de corto plazo
7.1.
Introducción
(. . . ) Marshall fue un economista de precios, un economista de demanda y oferta y,
en principio y énfasis, un economista de oferta y costo de producción. Los aspectos
de la demanda en su análisis, sin dificultad seria, pueden articularse con lo poco
que la doctrina clásica tenía para decir al respecto.
H. J. Davenport, The Economics of Alfred Marshall, 1935, p. 15.
En sus Principles of Economics de 1890, Marshall definió cuatro periodos temporales artificiales en el funcionamiento de una empresa: el primero es un periodo de
muy corto plazo en el que la oferta de la empresa permanece fija; el segundo es el
periodo de corto plazo en el que la producción puede aumentar porque aumentan
los factores de producción variables de la empresa pero permanece al menos uno
constante (por ejemplo, el tamaño de la planta o el número de máquinas); el tercero
es el periodo de largo plazo en el que la producción puede aumentar porque aumentan libremente todos los factores. Y, finalmente, el último es el periodo secular, o
de muy largo plazo, en el que la tecnología y la población varían.
En nuestro texto no estudiaremos a fondo el periodo de muy corto plazo ni el secular
de Marshall, aunque les daremos una ojeada ocasionalmente. Nos restringiremos
al estudio del largo plazo –que es lo que hemos venido haciendo, ya que todas las
curvas de costo que hemos estudiado en la semana 6, son, en este sentido, curvas
de largo plazo– y al estudio del corto plazo (que es la tarea que vamos a asumir a
partir de ahora). En el camino, enfrentaremos algunas de las mayores dificultades
que implica abordar una teoría de la producción desde la perspectiva neoclásica.
En particular, se verá la necesidad que tiene la teoría de crear otro plazo (que
179
180
Semana 7. Minimización del costo de corto plazo
en este texto lo llamaremos “largo plazo” –con comillas–) en el que las empresas
entran y salen del mercado hasta que este se estabiliza alrededor de ciertos precios
y cantidades.
Para resumir, diremos que no cabe la menor duda de que el problema del tiempo
(plazos) es uno de los más difíciles de tratar y la teoría neoclásica homogénea –ya
lo habían advertido sus críticos Nicholas Kaldor y Joan Robinson– tiene en ello un
gran obstáculo epistemológico, como el lector podrá ir comprobando a medida que
vaya avanzando en la lectura del texto.
7.2.
Curvas de costo en el corto plazo
Sabemos que es usual en la literatura de la economía neoclásica homogénea, escribir
una función de producción con dos insumos, de la forma z = F (x, y). Entonces es
muy común que se afirme que, en el corto plazo, la variable x es ajustable a las
necesidades de la empresa, pero que la variable y (ye) no lo es, debido a que, por
ejemplo, la maquinaria, los edificios, etc., no son puestos a disposición de la empresa de manera inmediata (bajo el argumento de que toma tiempo construir una
nueva planta, comprar nueva maquinaria, conseguir mano de obra muy especializada, etc.)1 . En el corto plazo, entonces, la función F (x, y) se escribe de la forma
f (x) = F (x, k) con y (= k) permaneciendo constante.
Comenzando el estudio de las curvas de costo de corto plazo para tecnologías de la
forma f (x) = F (x, k), escribiremos, en este curso, el costo total de la empresa, C,
de la siguiente forma simplificada:
C = w1 x + w2 k = Cv + CF
donde:
C = Costo total de corto plazo
w1 , w2 = Costos por unidad de los insumos x y k, respectivamente
Cv = w1 x = Costo variable de corto plazo
k = Constante que representa la cantidad del insumo fijo y (ye)
CF = w2 k = Costos fijos (o generales)
1 Sin duda, aquí estaría en el orden del día estudiar el problema de la inversión. De hecho, la
distinción entre el corto y el largo plazo en la producción está regido por el tiempo en que las
inversiones se llevan a cabo. La inversión requiere gastar hoy para producir valor futuro y, por
ello, sería necesario hacer un análisis del valor de pagos futuros. Inclusive estaríamos obligados a
entrar en el estudio de herramientas financieras básicas. Sin embargo, para el análisis del equilibrio
parcial bajo competencia perfecta a este nivel, asumiremos que el mercado asigna los precios de
cada bien de capital recurriendo, por ejemplo, al valor presente:
valor presente del bien de capital = −I +
∞
X
t=1
Rt
(1 + r)t
donde I es el nivel presente de inversión en el bien, r es la tasa de retorno y Rt es el rendimiento
del bien en el tiempo t.
7.3. Curvas de costo en el corto plazo
181
Y con esto definimos:
C
z
Cv
Costo variable medio de corto plazo =
z
∂C
Costo (total) marginal de corto plazo =
∂z
∂Cv
Costo variable marginal de corto plazo =
∂z
Costo total medio de corto plazo =
Con estas definiciones básicas comenzaremos nuestro trabajo de esta semana 2 .
7.3.
Cálculo de curvas de costo en el corto plazo
Es muy simple calcular las curvas de costo de corto plazo para una tecnología de la
forma y = f (x) [3] . En primer lugar, la demanda por el insumo x es, simplemente,
x = f −1 (y)
donde f −1 (·) es la función inversa de la tecnología f (x). En segundo lugar, el
problema de calcular la función de costo se reduce a:
Minimizar
w1 x + w2 k
sujeta a
f (x) = y
x≥0
Y aquí sólo una sustitución nos resuelve el problema:
C(y) = w1 x + w2 k = w1 f −1 (y) + w2 k
Por lo tanto, la función de costo marginal será dada por:
C ′ (y) = w1 (f −1 )′ (y)
donde (f −1 )′ (y) es la derivada de la función inversa f −1 . Y, por su parte, la función
de costo medio será:
−1 w2 k
f (y)
C(y)
+
= w1
y
y
y
2 En teoría, una función de costos debe y puede incorporar todo tipo de costos, incluídos los
costos operativos y de capital, todo tipo de costos de oportunidad, los costos hundidos (es decir,
costos que no pueden recuperarse cuando la empresa deja la industria) y los costos de transacción
(es decir, costos en que se incurre cuando los bienes son muy heterogéneos o muy complejos). Sin
embargo, la visión de la empresa basada en la función de producción y las funciones de costos (el
enfoque que estudiamos en este texto) refleja un visión básicamente tecnológica de la empresa, que
debería ser ampliada con una concepción que tenga también en cuenta los aspectos contractuales,
informativos, institucionales, organizativos o de incentivos
3 Nótese que cuando de funciones de un solo insumo se trata, asumimos que la variable y (ye)
es el producto, y la variable x es el insumo. Se espera que este repentino cambio de variables no
genere confusión en el lector, pues el objetivo es, precisamente, no utilizar notación excesiva.
182
Semana 7. Minimización del costo de corto plazo
Ejemplo 1.
Consideremos, a manera de ejercicio esencial, el problema de minimizar el costo de
una función de producción Cobb-Douglas de la forma y = F (x, k) = xα k β (para
α, β > 0) con un insumo variable (x) y un insumo fijo (k):
Minimizar
w1 x + w2 k
sujeta a
xα k β = y
x≥0
(Problema de minimización de costos en el corto plazo)
Como observamos, aquí (puesto que sólo hay un insumo activo) no es necesario llevar a cabo ningún proceso de optimización, sino que, directamente de la restricción
xα k β = y, se obtiene que:
y 1/α
x = β/α
k
Y, por lo tanto, la curva de costo total es:
C(y) = w1 x + w2 k =
w 1
k β/α
y 1/α + w2 k
Por su parte, la curva de costo medio de corto plazo tiene la forma
C(y) w1 (1−α)/α w2 k
y
+
=
y
y
k β/α
Y la curva de costo marginal de corto plazo es:
h w i
1
y (1−α)/α
C ′ (y) =
αk β/α
Todas estas curvas tienen formas diferentes que se resumen en la figura 7.1, donde
aparecen las diversas curvas de costo (total, marginal y medio) de corto plazo de
la tecnología Cobb-Douglas, dependiendo del tipo de rendimientos a escala (valor
de α). Similar a lo que sucede con las curvas de costo de largo plazo, un hecho
notable es que este cuadro es, típicamente, el mismo para las más importantes
funciones de producción con alguno de estos tres tipos de rendimientos. De esta
manera, si la función de producción presenta rendimientos decrecientes a escala, la
curva de costos de corto plazo, típicamente, es convexa estricta y creciente aunque
no parte del origen (debido a los costos fijos); el costo marginal de corto plazo es
creciente, aunque no está especificado con qué grado de concavidad o convexidad
se manifiesta. Lo que sí está bien especificado es que la curva de costo medio en el
corto plazo tiene forma de U, y esta es una característica muy común y fundamental
en el marco de la competencia perfecta.
De otro lado, si la función de producción presenta rendimientos constantes a escala, la función de costo de corto plazo, es típicamente lineal; la función de costo
marginal es constante; y la función de costo medio es convexa y decreciente hacia
un valor distinto de cero. Finalmente, también en el corto plazo, si la función de
7.3. Curvas de costo en el corto plazo
183
producción presenta rendimientos crecientes a escala, la función de costo, es típicamente cóncava estricta y creciente; y las funciones de costo marginal y costo medio
son convexas y decrecientes a cero.
No sobra, sin embargo, aclarar aquí que existen casos de funciones de producción
que no tienen los comportamientos “normales” que acabamos de señalar. Y aunque
estos casos están, usualmente, en el margen de las discusiones empíricas usuales de
la teoría neoclásica homogénea, no deberían ser ignorados.
Rendimientos constantes
a escala (α = 1)
Rendimientos decrecientes
a escala (α < 1)
Rendimientos crecientes
a escala(α > 1)
C(y)
C(y)
C(y)
w2 k
w2 k
w2 k
y
y
′
C (y)
α < 1
2
′
′
C (y)
α = 1
2
y
C (y)
α > 1
2
w1
αkβ/α
y
y
y
C(y)
y
C(y)
y
C(y)
y
w1
kβ/α
y
y
y
Figura 7.1. Curvas de costo Cobb-Douglas de corto plazo.
Ejemplo 2.
Para encontrar la curva de costo total de corto plazo (y = k)
√ bajo√la función de
producción con rendimientos decrecientes a escala F (x, y) = x + y, escribimos
el problema
Minimizar
x≥0
sujeta a
w1 x + w2 k
√
√
x+ k =y
184
Semana 7. Minimización del costo de corto plazo
Y observamos que, simplemente, despejando de la restricción la variable x y reemplazando, se resuelve este problema:
√
√
con y ≥ k
C(y) = w1 x + w2 k = w1 (y − k)2 + w2 k
A partir de aquí, calculamos las funciones de costo marginal y medio:
√
C ′ (y) = 2w1 (y − k)
√
C(y)
w1 (y − k)2
w2 k
=
+
y
y
y
con y ≥
con y ≥
√
k
√
k
Las tres curvas de costo las señalamos en la figura 7.2.
C(y)
′
C (y)
C(y)
y
k1/2
y
Figura 7.2. Curvas de costo total, marginal y medio para la tecnología y =
√
x+
√
k.
Ejemplo 3. (Tecnología de corto plazo y rendimientos a escala).
Consideremos la tecnología de corto plazo f (x) = x3 −3x2 +3x que tiene el particular comportamiento de presentar rendimientos decrecientes a escala en las etapas
iniciales de producción y rendimientos crecientes a escala en etapas posteriores
(figura 7.3).
f (x)
1
x=1
x
Figura 7.3. Función de producción f (x) = x3 − 3x2 + 3x.
7.3. Curvas de costo en el corto plazo
185
Este tipo de tecnología es utilizada en el análisis microeconómico, debido a que
muestra la característica de aquellas empresas que, para cantidades relativamente
bajas de mano de obra, son ineficientes desde el punto de vista de la gestión interna,
pero que para cantidades mayores de mano de obra son más eficientes. En ocasiones,
este comportamiento es asociado a importantes procesos de aprendizaje al interior
de la empresa.
Calcularle la demanda por el insumo x a esta tecnología resulta bastante simple si recurrimos a un truco algebraico: x3 − 3x2 + 3x = (x − 1)3 + 1. Así, de
f (x) = x3 − 3x2 + 3x = y obtenemos que la demanda por el insumo x es
x∗ = (y − 1)1/3 + 1, y la función de costo total de corto plazo (figura 7.4) es
C(y) = w1 x + w2 k = w1 (y − 1)1/3 + w2 k + w1
C(y)
w2 k + w1
w2 k
Pendiente infinita
y
y=1
Figura 7.4. Curva de costo total de corto plazo.
Por lo tanto, las funciones de costo marginal y medio son
w 1
C ′ (y) =
(y − 1)−2/3
3
y
C(y)
kw2 + w1 + w1 (y − 1)1/3
=
y
y
respectivamente (figura 7.5).
C(y)
y
′
C (y)
y=1
y
y
Figura 7.5. Curvas de costo marginal (izquierda) y costo medio (derecha) de corto plazo.
186
Semana 7. Minimización del costo de corto plazo
Ejemplo 4. (Graficación de curvas de costo de corto plazo)
Otros ejemplos de construcción de curvas de corto plazo con diferentes tipos de
rendimientos para distintos niveles de producción, aparecen en los tres paneles de la
figura 7.6. Claramente, la forma de construirlas fue recurriendo a la fórmula general
para las curvas de costo total dada por C(y) = w1 x + w2 k = w1 f −1 (y) + w2 k.
Tecnología con
factor fijo
Curvas de costos totales
(corto plazo)
f (x)
C(y)
y=x
w2 k
x
f (x)
y
Panel A
C(y)
y=x
w2 k
x
f (x)
y
Panel B
C(y)
y=x
w2 k
x
y
Panel C
Figura 7.6. Posibles formas de las curvas de costo de corto plazo.
Obsérvese que este costo total no parte de cero debido a los costos fijos. Y tomando
los mismos casos de tecnologías y curvas de costo total anteriores, ahora dibujamos
(en figuras a mano alzada) las correspondientes curvas de costo marginal dadas
por:
C ′ (y) = w1 (f −1 )′ (y)
7.3. Curvas de costo en el corto plazo
187
y de costo medio dadas por (ver figura 7.7):
C(y)
w1 f −1 (y) w2 k
=
+
y
y
y
Notemos que en el último caso (Panel C), se muestra la posibilidad de que la curva
de costos marginales (e inclusive costos medios) tenga forma de U , aunque no tenga
rendimientos decrecientes a escala en todo su rango.
Curva de costo
marginal
Curva de costo
medio
′
C (y)
C(y)
y
y
y
Panel A
′
C(y)
y
C (y)
y
y
Panel B
′
C(y)
y
C (y)
y
y
Panel C
Figura 7.7. Formas posibles de las curvas de costo marginal y medio para las correspondientes
tecnologías de la figura 7.6.
Ejemplo 5. (Un caso muy particular)
Sea
(
1 si L ≥ 1
z = f (L) =
0 si L < 1
188
Semana 7. Minimización del costo de corto plazo
Aquí podemos interpretar L = 1 como que el proceso requiere, al menos, de una
hora de trabajo para poder producir una unidad. Con menos unidades no se produce nada; con más unidades se seguirá produciendo la misma unidad. Está claro
que para poder aumentar la producción, la empresa requerirá de (digamos) más
máquinas, etc., pues con sólo mano de obra no podrá ser más productiva (figura
7.8, izquierda). En este caso, la curva de beneficios es (suponiendo, por simplicidad,
que el costo de los insumos fijos es cero):
(
p − wL
Π=
−wL
si L ≥ 1
si L < 1
donde p es el precio del producto y w es el salario. Y así, la curva de oferta es de
la forma (figura 7.8, derecha)
(
1 si w ⩽ p
z=
0 si w > p
f (L)
z
1
1
1
L
(7.1)
p
w
Figura 7.8. Función de producción (izquierda) y curva de oferta (derecha).
Este es un ejemplo en el que la ecuación precio = costo marginal es absolutamente
inútil para calcular (así sea parcialmente) la oferta de la empresa, ya que la función
de costos no es, ni siquiera, una función (es una correspondencia de uno a varios ya
que, por ejemplo, existen múltiples niveles L de mano de obra que producen una
cantidad z = 1 y, por lo tanto, C(z) = wL no estaría unívocamente definida para
ese nivel de producción z = 1), y, por consiguiente, no se puede definir el costo
marginal. Está claro que en casos como estos, la teoría neoclásica homogénea que
venimos aprendiendo se hace resbaladiza.
7.4.
Del corto plazo al largo plazo
Aprovechando el mismo ejemplo de la tecnología Cobb-Douglas mostrado en la sección 7.3 anterior, y dado su comportamiento “típico”4 , haremos un poco de estática
comparativa (ceteris paribus) que nos mostrará algunos resultados interesantes:
4 Típico para el pensamiento del modelo neoclásico homogeneizado.
7.4. Del corto plazo al largo plazo
189
1. En primer lugar, si en la demanda de corto plazo
x=
y 1/α
k β/α
variamos el insumo fijo k, entonces aparecerían las gráficas de la figura 7.9
para los distintos valores de α. Se ve claramente que para los tres tipos de
tecnología, las demandas por el insumo x van bajando a medida que k va
aumentando pues, a medida que se va proveyendo más del otro insumo, se
irá sustituyendo el insumo x por este.
x
x
k crece
x
y
α=1
y
k crece
k crece
α<1
α>1
y
Figura 7.9. Cambios en k en una función de producción Cobb Douglas en el corto plazo.
2. En segundo lugar, estudiemos el caso concreto en el que la curva de costo
total de corto plazo
C(y) = w1 x + w2 k
w 1
=
y 1/α + w2 k
k β/α
tiene β = 1 − α y α < 1 (rendimientos constantes a escala). Si hacemos variar
el insumo fijo k, entonces aparecerán curvas convexas estrictas como las a, b,
c de la figura 7.10.
Según la teoría neoclásica homogénea, con la variación de k se tiene la posibilidad de una justificación de abrir o no una nueva planta de la empresa
(entiéndase por esto “ampliar la capacidad de producción”). En efecto: supongamos que la empresa está operando sobre la curva de costo total del
extremo izquierdo (curva a) de la figura 7.10. Entonces abrirá una nueva
planta si la demanda del mercado requiere un nivel de producción más allá
del punto y0 , a partir del cual trabajaría (totalmente) con la siguiente (a la
derecha) curva de costo total (curva b). Y si el mercado lo requiere, esto lo
hará hasta la cantidad y1 , momento en el cual construiría una nueva planta
–es decir, ampliaría la capacidad instalada– y operaría (totalmente) sobre la
curva de costo total siguiente (curva c); etc.
190
Semana 7. Minimización del costo de corto plazo
Caso α < 1
β =1−α
C(y)
a
b
Curva de costo
de corto plazo
k crece
b
b
c
Envolvente: curva de
costo total de largo plazo
(por debajo de las curvas
de costos de corto plazo)
w2 k
y0
y1
y
Figura 7.10. Caso Cobb-Douglas con rendimientos constantes a escala. Observemos cómo las
curvas de costo de corto plazo están siempre por encima de la de largo plazo. Esto es así, porque,
en el largo plazo, es posible hacer mayores ajustes entre insumos que permiten reducir los costos.
Complementando todo lo anterior, y profundizando desde el lado teórico, notamos que si el cambio en el insumo fijo k es continuo, surge una “envolvente”
de puntos que conforman un recta que pasa por el origen (ver figura 7.10).
Esta recta es la curva de costo total de largo plazo5 pues ahora se minimiza el
costo pero con el insumo y (ye) siendo variable. Además, una curva de costo
de largo plazo en forma de recta identifica la tecnología: tiene rendimientos constantes a escala. Efectivamente esto es cierto, pues habíamos asumido
β = 1 − α [6] . Este resultado también lo podemos interpretar afirmando que,
ceteris paribus, el aumento paulatino del insumo fijo k, llevará a un aumento
de la eficiencia tecnológica de la empresa, pasando de ser, en el corto plazo,
una empresa con rendimientos decrecientes a escala, a una con rendimientos
constantes a escala en el largo plazo.
3. En tercer lugar, si en la curva de costo total de corto plazo
w 1
C(y) = w1 x + w2 k =
y 1/α + w2 k
k β/α
variamos el insumo fijo k, entonces tendremos, para el caso α + β > 1 con
0 < α < 1 (rendimientos crecientes a escala), la figura 7.11. El argumento
que se plantea aquí es muy similar al realizado en el caso anterior. El punto
importante es que la curva de costos de largo plazo es cóncava estricta como
corresponde, típicamente, a los rendimientos crecientes a escala.
5 Este resultado, al igual que otros similares, son usualmente demostrados rigurosamente, mediante el teorema de la envolvente (ver, por ejemplo, Monsalve (ed.), 2010). Sin embargo, no sobra
señalar que fue Jacob Viner (1932) quien mostrara por primera vez estas curvas envolventes en
Cost Curves and Supply Curves.
6 ¿Podría el lector mostrar aquí que la pendiente de la recta de costo total de largo plazo en la
figura 7.10 es el costo medio mínimo, y que, por tanto, en el largo plazo, la curva de oferta será
la recta p=costo medio mínimo?
7.5. La función de costo medio de la empresa
C(y)
191
Caso
α+β >1
a
b
Curva de costos
de corto plazo
Envolvente: curva
de costo total de
largo plazo
(por debajo de las
de corto plazo)
b
k crece
c
b
w2 k
y0
y
y1
Figura 7.11. Rendimientos crecientes a escala en el largo plazo.
4. Similarmente, cuando α + β < 1 (rendimientos decrecientes a escala), en la
figura 7.12 se indica la formación de la curva de costos convexa estricta de
largo plazo de la empresa.
C(y)
Caso
α+β <1
a
k crece
Curva de costo
de corto plazo
b
b
c
Envolvente: curva de
costo total de largo plazo
(por debajo de
las de corto plazo)
b
w2 k
y0
y1
y
Figura 7.12. Rendimientos decrecientes a escala en el largo plazo.
De los últimos tres casos señalados anteriormente, se desprende que a pesar de que
la producción de corto plazo se lleve a cabo bajo rendimientos decrecientes a escala,
la de largo plazo puede presentar rendimientos decrecientes, constantes o crecientes
a escala. Eso dependerá de la “intensidad de uso” del insumo y = k en cada etapa
consecutiva de producción de corto plazo.
7.5.
Sobre el costo medio en el corto plazo
La curva de costo medio de corto plazo es una herramienta fundamental de análisis
microeconómico neoclásico de una empresa competitiva –típicamente, con rendimientos decrecientes a escala– por varias razones:
1. En primer lugar, porque, en principio, es calculable por parte del empresario
a partir de datos observables.
192
Semana 7. Minimización del costo de corto plazo
2. Porque si el costo medio en un nivel de producción y0 > 0 es menor que
el precio de mercado del producto, el empresario sabrá que percibe ganancias (figura 7.13). Y, en caso contrario, estará incurriendo en pérdidas. Esta conclusión se deduce de que el beneficio de la empresa, que es igual a
py − C(y) = y[p − C(y)/y], es mayor que cero si, y sólo si, p es mayor que
C(y)/y. Obsérvese que aquí se está asumiendo que la empresa sólo entrará a
operar (incluyendo únicamente entonces sus costos fijos) con un nivel y0 > 0,
si el precio es mayor que el costo medio de producir y0 [7] .
Curva de costo
marginal de
corto plazo
Curva de costo
medio de
corto plazo
p
Costo medio
C(y )
= y0
0
en y0
Beneficio
y0
y
Figura 7.13. Comparación del precio de mercado (p) y el costo medio de una empresa
(C(y0 )/y0 ). El beneficio de la empresa aparece representado por el área del rectángulo en color
gris que es igual a y0 multiplicada por la diferencia entre el precio y el costo medio en y0 .
Y todo lo anterior da pie a entender, recurriendo a la curva de costo medio,
cuándo una empresa puede entrar o no al mercado: entra si el precio de
mercado es mayor que el costo medio mínimo (figura 7.14).
Esta empresa no
entrará al mercado ya que
sus costos son muy altos
Precio de
mercado p0
Esta empresa sí
entrará al mercado
y
Figura 7.14. Comparación del precio de mercado y el costo medio de una empresa.
7 Sin embargo, en otros textos podría el lector encontrar el argumento siguiente: Puesto que
el costo total es de la forma C(y) = Cv (y) + CF entonces una empresa ya establecida en la
industria, operará (produciendo una cantidad y > 0), siempre y cuando esto sea mejor que no
producir absolutamente nada (y = 0). Es decir, cuando py − C(y) ≥ −CF ; o, lo que es igual,
py − Cv (y) ≥ 0. Esto conduce a que el precio de mercado debe ser mayor o igual que el costo
medio variable: p ≥ Cv (y)/y. En lo que sigue, el lector podría estudiar este caso como una opción
adicional de análisis.
7.6. Discontinuidad de la curva de oferta
193
3. Porque el empresario competitivo típico –es decir, con rendimientos decrecientes a escala–, en el corto plazo, tendrá costo medio mínimo cuando produce
a un nivel y0 (escala mínima de eficiencia) que iguale este costo medio con
el costo marginal de corto plazo. En efecto, esto se ve a partir del siguiente
cálculo:
′
C(y)
yC ′ (y) − C(y)
=
=0
y
y2
cuando yC ′ (y) = C(y) y así se tiene que
C ′ (y) =
C(y)
y
que ocurre exactamente en la escala mínima de eficiencia y = y0 . Por lo tanto,
si busca maximizar el beneficio, debe producir en un nivel tal, que el precio
de mercado (si es mayor que el costo medio mínimo) iguale al costo marginal
de esa producción (figura 7.15).
Curva de costo
marginal de
corto plazo
Curva de costo
medio de
corto plazo
Costo medio
mínimo
b
y0
y
Figura 7.15. La producción y0 es la escala mínima de eficiencia.
Al menos por estas razones, sino por otras, la teoría neoclásica asegura que la curva
de costo medio de una empresa es fundamental para orientar el comportamiento
productivo de una empresa bajo competencia perfecta.
7.6.
Discontinuidad de la curva de oferta
Durante el procedimiento de maximizar el beneficio en el corto plazo se recurre,
obviamente, al beneficio con los costos de corto plazo incorporados. Sin embargo,
debe advertirse que aunque se maximice el beneficio en el largo plazo con beneficios
positivos o cero, en el corto plazo podría suceder que se maximice el beneficio, pero
estos sean negativos (por ejemplo, si los costos fijos son muy altos), y así, en ausencia
de otros incentivos, sería mejor no operar. Esto tendrá como consecuencia que la
curva de oferta de corto plazo sea discontinua. Veamos un ejemplo.
194
Semana 7. Minimización del costo de corto plazo
Supongamos que, en el largo plazo, una empresa competitiva es de tipo CobbDouglas con α = β = 1/2, y que enfrenta la curva de costo total de corto plazo
(con y = k) que, sabemos (ejemplo 1), es de la forma
w 1
C(y) =
y 2 + w2 k
k
Entonces, en principio, podríamos creer que la curva de oferta en el corto plazo
estaría dada por:
w 1
y
p = C ′ (y) = 2
k
o, equivalentemente,
kp
y=
2w1
El problema aquí es que, bajo esta hipótesis, el beneficio en el corto plazo podría
ser menor que cero para precios de mercado suficientemente bajos. En efecto: la
función de costo medio está dada por:
w2 k
C(y) w1 =
y+
y
k
y
Y así, el costo medio mínimo se alcanza cuando el costo medio iguala al costo
marginal; es decir, cuando:
w w2 k
C(y) w1 1
y+
y
=
= C ′ (y) = 2
y
k
y
k
cuya solución es y ∗ =
w2
w1
1/2
mayor que cero sólo cuando p >
es discontinua (figura 7.16):
k. Por lo tanto, el beneficio de esta empresa es
C(y ∗ )
√
= 2 w1 w2 , por lo que la curva de oferta
y∗
p
y=
kp
2w1
(ecuación precio = costo marginal)

0
y=
kp

2w1
√
si p < 2 w1 w2
√
si p ≥ 2 w1 w2
√
p∗ = 2 w1 w2
b
y∗ = k
p
w2 /w1
y
Figura 7.16. Oferta discontinua en el corto
plazo.
7.7. Libre entrada y salida de empresas
195
La razón de esta discontinuidad de la curva de oferta, no hay duda, es la existencia
de costos fijos que obligan a la empresa a entrar al mercado sólo si el precio de
venta es suficientemente alto. Así, es esperable que las curvas de oferta de largo
y corto plazo bajo competencia perfecta, puedan diferir de manera importante, y
esto lo entenderemos mejor más adelante en esta misma semana.
7.7.
Libre entrada y salida de empresas
Entender que operando bajo competencia perfecta y rendimientos constantes a
escala, una empresa con beneficio
Π = py − Cy
,
C > 0 constante
lo “maximiza” cuando p = C (beneficio cero), es decir, que cuando al precio de
mercado p = C la empresa ofrece cualquier cantidad del bien, es muy difícil. No
se entiende bien por qué una empresa con rendimientos constantes a escala, que
cuando el precio de mercado (p) es mayor que su costo por unidad (C), bajo competencia perfecta puede obtener tantos beneficios como desee, no lo hace. Una razón
que esgrime en ocasiones la teoría neoclásica es que no es usual que una empresa
de estas sea precio-aceptante ya que podría estar en condiciones de colocar precios
o de alguna otra manipulación estratégica, dada su tecnología. En otras palabras,
una empresa con rendimientos constantes a escala podría no “vivir” en competencia
perfecta. O sea, el problema no existe.
Sin embargo, el interrogante no lo “resuelve” la teoría neoclásica, sino recurriendo
a un nuevo concepto que incluye dentro de la competencia perfecta: la libre entrada
y salida de empresas sin ningún costo (Clark, 1940; Samuelson, 1947). Al fin y al
cabo, si el principio moral básico de la competencia perfecta es “todos son iguales
(anónimos) ante el mercado”, no existe ninguna razón para que los agentes no sean
libres de entrar y salir de él. Así, bajo libre entrada y salida de empresas, esa firma
con rendimientos constantes a escala tendrá, eventualmente, ante la entrada de
competidores, beneficio nulo. Sin embargo, un argumento así no es convincente, en
absoluto, pues no se entiende con claridad cómo una empresa con esta capacidad
tecnológica esté condenada a no obtener beneficios, aún en competencia perfecta.
Ahora: cuando la teoría asume que la que opera bajo rendimientos constantes a escala no es una empresa, sino la industria comprendida por infinidad de “pequeñas”
empresas competitivas –presumiblemente con rendimientos decrecientes a escala–
que producen el mismo bien homogéneo, entonces, para asegurar que esta tiene
beneficio cero –y, por tanto, también cada una de las empresas que la conforman–,
la teoría neoclásica se apoya en ese argumento. Bajo esta idea, la competencia perfecta obliga, entonces, a que las empresas vayan reduciendo sus beneficios a medida
que entran competidores y esto las conduciría, a todas, a tener beneficio cero y, por
lo tanto, también a la industria que opera bajo rendimientos constantes a escala.
No obstante, debemos señalar aquí que la entrada al mercado sólo se cumplirá si
196
Semana 7. Minimización del costo de corto plazo
los costos medios mínimos son suficientemente bajos. Esta es, claro está, una de las
“barreras a la entrada” 8 .
Y precisamente con este tipo de argumentos, la teoría neoclásica homogénea tiene
una veta para las críticas. Una de las más fuertes está en el que es conocido como
“el problema del número entero” (Pignol, 1998). Se afirma, sin aquí detallar, que
a medida que las empresas competitivas comienzan a entrar en la industria, el
beneficio de “largo plazo” es cero (suponiendo la demanda constante). Sin embargo,
para que esto ocurra, el número de empresas que entran a la industria y hacen
cero el beneficio, debe ser un número entero, pues, en otro caso, la penúltima
empresa en entrar, recibiría beneficios positivos y la última recibiría beneficios
negativos (pérdidas) y, por lo tanto, no entraría a la industria. Entonces, algunos
autores de la teoría neoclásica homogénea afirman que este problema no tiene
importancia, ya que basta con asegurar que el equilibrio es “aproximado” y que
a esa penúltima empresa le corresponderán beneficios “muy pequeños”, cualquiera
que sea el significado de esto último (de hecho, los beneficios “pequeños” para la
industria pueden ser “grandes” para una pequeña empresa competitiva).
Otra crítica a la teoría neoclásica es que bajo la hipótesis de libre entrada y salida
de empresas, el número de estas que pueden entrar antes de que el beneficio sea cero
puede ser relativamente pequeño, lo que, en principio, podría contradecir el hecho
de que esas empresas sean precio-aceptantes, pues es más razonable esperar esta
condición de un número relativamente grande de empresas. Algunos economistas
como el mismo Pignol (1998), señalan que este concepto de entrada y salida de
empresas es más apropiado para el estudio de la competencia monopolística9 , pero
no para el de la competencia perfecta. Cabe mencionar, finalmente, que los problemas indicados aquí se han tratado de “subsanar” en diversas formas, en especial
a través de modelos “dinámicos” de equilibrio parcial bajo conceptos de equilibrio
tales como el “equilibrio intertemporal” (Hicks, 1939b). Pero casi nunca se logra10 .
Ejemplo 6.
Recordemos la empresa competitiva de tipo Cobb-Douglas con α = β = 1/2 estudiada en la seción 7.6, y que tiene la curva de oferta de corto plazo (capacidad fija
k en el segundo insumo) discontinua (figura 7.17) dada por:
y=


0


kp/2w1
√
si p < 2 w1 w2
√
si p ≥ 2 w1 w2
8 Obviamente, el beneficio cero de las empresas las obligarían a operar en el costo medio mínimo
(es decir, en la escala mínima de eficiencia).
9 La competencia monopolística es una estructura de mercado en la que existen un número
grande de competidores pero siempre muchos menos que en competencia perfecta. Sobre esta
estructura discutiremos en la semana 11.
10 Sobre el concepto de equilibrio intertemporal discutiremos brevemente en el volumen II (Competencia bajo equilibrio general) de esta colección.
7.7. Libre entrada y salida de empresas
197
p
√
p∗ = 2 w1 w2
b
y∗ = k
p
y
w2 /w1
Figura 7.17. Oferta de la empresa.
Entonces, variando k de manera continua –es decir, tomando todos los números
positivos y no sólo los enteros– y construyendo la envolvente, obtendremos una
secuencia de curvas de oferta como en la figura 7.18, que irán conformando la
oferta de largo plazo, y que, según la teoría neoclásica, se asimila a la oferta de la
industria que aparece en la figura 7.19 11 .
p
√
p∗ = 2 w1 w2
b
b
b
b
b
b
y
Figura 7.18. Conformación de la oferta en el largo plazo.
Esta función de oferta de la figura 7.19 está señalando que, en el largo plazo:
i) Si el precio está por debajo de p∗ la industria no producirá.
ii) Si el precio está al nivel de p∗ producirá cualquier cantidad del bien.
iii) Y aunque no se representa allí, si el precio de mercado está por encima del
nivel p∗ , la oferta es “infinita” conformada por las ofertas de una “infinidad” de
pequeñas empresas operando en competencia perfecta. Aquí, cabe advertir que
la suma de infinitas cantidades positivas, no necesariamente es una cantidad
infinita.
Y, efectivamente, observaciones como estas llevarían a pensar que no estamos en
presencia de una empresa que está operando en el largo plazo sino de toda la
industria conformada por infinidad de empresas similares a la primera:
11 Parecería que hacer este tipo de extrapolaciones mentales para asimilar el comportamiento
de la industria a partir de la replicación del comportamiento de un solo productor, exige más
capacidades de buen dibujante que de buen economista.
198
Semana 7. Minimización del costo de corto plazo
i) Si el precio está por debajo del de equilibrio, ninguna de las empresas producirá
y, así, tampoco lo hará la industria.
ii) Si el precio está al nivel de p∗ , la industria producirá una cantidad indefinida
del bien, formada por la suma de las producciones de las empresas individuales.
iii) Si el precio está por encima del nivel p∗ la industria producirá una cantidad
“infinita” del producto.
p
√
p∗ = 2 w1 w2
y
Figura 7.19. Curva de oferta de la industria.
Son argumentos como estos los que hacen que muchos economistas de la corriente
neoclásica homogénea consideren que las curvas de largo plazo generadas por la replicación de una sola empresa competitiva, coinciden con las curvas de la industria.
En ocasiones esta intuición es teóricamente correcta. En otros casos –la mayoría–
no lo es. Sobre esto discutiremos más profundamente en la semana 8.
7.8.
Elasticidad-precio de la oferta
Al igual que se estudiaron las curvas de demanda por parte del consumidor competitivo, podemos estudiar las curvas de oferta –de corto y largo plazo– de un productor
competitivo y, particularmente, sus elasticidades. Por definición, si z = z(p) es la
curva de oferta, entonces la elasticidad-precio de la oferta es:
ε=
∂z/∂p
z/p
√
√
Por ejemplo, en el caso de la función de producción separable F (x, y) = x + y,
cuya curva de oferta de largo plazo es z(p) = Bp2 para cierta constante positiva
B, se tiene que su elasticidad-precio es constante:
ε=
∂z/∂p
z/p
=
2Bp
=2
Bp
lo que indica que si el precio de mercado del producto p aumenta en 1 % entonces
la oferta de la empresa al mercado aumentará en 2 % [12] . De hecho, más generalmente, si una empresa tiene curva de demanda de la forma z(p) = Bpα con α > 0,
12 No sobra insistir aquí en que esto no es totalmente preciso al decirlo así: lo correcto es que
ante un aumento porcentual en un diferencial dp % en el precio, la oferta de largo plazo aumentará
2 %.
7.8. Elasticidad-precio de la oferta
199
se tendrá que la elasticidad-precio de la demanda es constante e igual a α:
∂z/∂p
z/p
ε=
αBpα−1
Bpα−1
=
=α
En la figura 7.20 se muestra cuál curva de oferta es más elástica: claramente, la
curva de oferta punteada tiene una mayor elasticidad-precio en cualquier punto z ∗
fijo.
p
1%
1%
z∗
z
Figura 7.20. Comparación de elasticidades en una curva de oferta.
Y así es en general: mientras menos “levantada” sea la curva de oferta, mayor será la
elasticidad-precio, es decir, más drástica será la reducción en la producción ante una
baja en 1 % del precio de mercado del producto. Por ejemplo, una curva de oferta de
corto plazo es menos elástica que la correspondiente curva de oferta de largo plazo,
ya que, en el corto plazo, la empresa tiene menos opciones de ajustar insumos. A
la característica de que “los objetos restringidos son menos ‘responsivos’ que los
objetos no restringidos”, Samuelson (1947) la llamaba el Principio de LeChatelier.
Veamos esto en el siguiente ejemplo 7.
Ejemplo 7.
En la función de producción F (x, y) = x1/4 y 1/4 , la función de oferta de largo plazo
está dada por la fórmula
(α+β)/(1−α−β)
(α + β)p
z=
B
que con α = β = 1/4 nos arroja p = 2Bz. Por su parte, la función de oferta de
corto plazo se comienza a construir haciendo α = β = 1/4 en la fórmula de costo
marginal ya obtenida al principio de la presente semana:
h w i
1
z (1−α)/α
C ′ (z) =
αk β/α
que en nuestro caso es:
4w1 3
z
C (z) =
k
′
200
Semana 7. Minimización del costo de corto plazo
Y como la curva de costo medio
C(z) w1 3 w2 k
z +
=
z
k
z
!1/4
!
4
C(z ∗ )
w2 k 2
∗
=
con
w1 1/4 w2 3/4 k 1/2 , entonces la
es mínima en z =
3w1
z∗
33/4
curva de oferta de corto plazo es:
"
!
#1/3


4
k

1/4 3/4

w1 w2 k 1/2
p1/3 si p ≥


3/4

4w
3
1

z=
!




4
1/4 3/4


w1 w2 k 1/2
si p <

0
33/4
Notemos que esta oferta de corto plazo es menos elástica (elasticidad-precio igual a
1/4 3/4
1/3) a partir de p∗ = 4/33/4 w1 w2 k 1/2 , que la oferta de largo plazo (elasticidadprecio igual a 1), como fácilmente el lector puede calcular.
Ejemplo 8. (Elasticidad infinita en la oferta agregada de una industria)
En el ejemplo 6 anterior, si la empresa está operando en un nivel y > 0, entonces
un pequeño cambio en el precio p∗ de mercado –debido, por ejemplo, a aumento
en los costos de los insumos– llevará a grandes cambios en la producción agregada
de la industria. Es por esto que se afirma que para y0 > 0, la oferta agregada es
“infinitamente” elástica.
7.9.
Excedente del productor
El excedente del productor (Marshall, 1890) es una medida de bienestar del productor que consiste en la diferencia entre el ingreso recibido por la venta de su producto
(a precio de mercado) y el costo marginal de producir esa misma cantidad (figura
7.21).
p
′
Costo marginal = c (y)
precio de mercado = p
Excedente del
productor
y∗ =
cantidad
vendida
y
Figura 7.21. Descripción del excedente del productor.
7.10. ¿Existen las funciones de producción?
201
Al igual que en el caso del excedente del consumidor, el excedente del productor
recibido por este al vender y ∗ unidades del bien cuando su precio por unidad en el
mercado es p, es:
Z y∗
Excedente
=
[p − c′ (y)]dy
del productor
0
= py ∗ − c(y ∗ ) + c(0)
= py ∗ − [c(y ∗ ) − cF ]
= beneficio de largo plazo + cF
(ya que c(0) = cF )
o, lo que es lo mismo, el excedente del productor es igual al beneficio de largo plazo
más los costos fijos. Así, en el largo plazo, el excedente del productor coincide con
los beneficios del productor.
Ejemplo 9.
Supongamos que la curva de oferta de largo plazo de cierta industria (precio igual
a costo marginal) para cierto bien, se estima regida por la ecuación p = 2y. Si el
precio de mercado es p∗ = $60 (y, por lo tanto, la cantidad en el mercado colocada
por la industria es y ∗ = 30), el excedente del productor será igual a $900 (ver
figura 7.22). En otras palabras, la industria obtuvo un beneficio de $900 al vender
30 unidades a un precio de $60, dada la estructura de costos y el precio de mercado.
p
p = 2y
p∗ = $60
Excedente del
productor
= $900
y ∗ = 30
y
Figura 7.22. Ilustración del ejemplo 9.
Sobre la importancia del concepto de excedente del productor en la teoría del
equilibrio parcial competitivo, estudiaremos en la siguiente semana.
7.10.
¿Existen las funciones de producción?
Así como en la teoría del consumidor discutíamos que la existencia de la función de
utilidad estaba íntimamente relacionada con la existencia de la función de gasto si
esta última satisfacía ciertas restricciones, en la teoría del productor hoy sabemos
202
Semana 7. Minimización del costo de corto plazo
que también existen condiciones sobre la función de costo para que esta provenga
de un proceso de maximización del beneficio de cierta función de producción.
Un posible esquema general de lo que hemos aprendido en las dos últimas semanas
es el siguiente: Si conocemos la función de producción de la empresa y esta presenta
rendimientos decrecientes a escala, podemos, en principio, encontrar las demandas
por insumos, la curva de oferta y también la función de beneficios. De otro lado,
si conocemos la función de costo de largo plazo (C) y los rendimientos son decrecientes a escala, entonces podemos hallar (bajo ciertas condiciones) la curva de
oferta mediante la ecuación “precio igual a costo marginal”. Pero también podemos
encontrar las demandas (condicionadas) por insumos (x∗ , y ∗ ) mediante el lema de
Shephard
∂C
∂C
x∗ =
; y∗ =
∂w1
∂w2
y, de allí, despejando el nivel de producción z0 , es posible, en general, encontrar la
función de producción bajo ciertas hipótesis (ver Shephard, 1953 y Uzawa, 1965).
Es decir, la información de la empresa contenida en la función de producción es
equivalente a la información contenida en la función de costo, siempre que rijan la
competencia perfecta y los rendimientos decrecientes a escala13 .
Así se demuestra que, bajo ciertas condiciones, la existencia de la función de producción es equivalente a la existencia de la función de costo, indicando que de la
misma manera como todo lo relevante –desde el punto de vista económico– en el
comportamiento de un hogar está en su función de gasto, también todo lo sustancial en el comportamiento –desde el punto de vista económico– de una empresa,
está en su función de costo. A continuación se presenta un ejemplo muy sencillo en
el que dada la función de costo, se deduce la función de producción.
Ejemplo 10. (De la función de costo a la función de producción)
Supongamos que
#
"
w1 w2
(z0 )2
C(z0 ) =
w1 + w2
es la curva de costos de largo plazo de una empresa. A partir del lema de Shephard
y un poco de manipulación algebraica, se tiene que:
2
2
w2 z0
∂C
w1 z0
∂C
∗
=
=
=x ;
= y∗
∂w1
w1 + w2
∂w2
w1 + w2
Y así, después de un poco de manipulación algebraica llegamos a que:
z0 = (x∗ )
1/2
+ (y ∗ )
1/2
lo que revela que la función de producción es z = (x)1/2 + (y)1/2 .
13 La conexión dual entre la función de costo y la función de producción, la introdujo Shephard
en 1953. Este trabajo sería profundizado por Uzawa (1965), McFadden (1962) y Diewert (1974),
entre otros. Los desarrollos econométricos, aprovechando la condición dual entre la función de
costo y la función de producción, comenzarían en los años posteriores a 1960 con Nerlove (1963)
y Diewert (1969).
7.11. Apéndice: Cálculo del PIB en Colombia
7.11.
203
Apéndice: cálculo del PIB en Colombia14
En este apartado se presenta una breve descripción de las conexiones entre la microeconomía y una medición agregada de interés práctico: el Producto Interno Bruto.
En este propósito, primero se caracterizará este agregado y después se ilustrará su
microeconomía.
Existen tres definiciones equivalentes del Producto Interno Bruto (PIB): 1) es el
valor de los bienes y servicios finales producidos al interior de una economía; 2) las
ganancias y remuneración a los factores de producción; y, 3) el valor agregado de
las actividades productivas. Y en todas las definiciones la medición se hace en un
periodo de tiempo determinado. El PIB de Colombia es publicado por el DANE para
datos anuales y trimestrales, es medido por unidad de tiempo, y es una variable
flujo, mientras que la riqueza de la economía es la variable stock, en tanto responde
a la dinámica acumulativa de inversión (y el ahorro).
En las cuentas nacionales, la “producción”15 es un concepto no equivalente al PIB.
La siguiente ecuación resume la diferencia:
PRODUCCIÓN = PIB + CONSUMO INTERMEDIO
donde el “consumo intermedio” recoge los gastos en bienes y servicios utilizados en
el proceso productivo, los cuales no son incluidos en el PIB.
Ahora: pasando a la microeconomía, consideremos a nuestra economía como un
sistema conformado por n industrias (i = 1, . . . , n) representada cada una por un
productor i, que, además de los usuales factores de producción Ki y Li , requiere
de ciertos insumos producidos por otras industrias Ti = (t1i , . . . , tni ), es decir, la
actividad productiva requiere de consumo intermedio. De esta forma, siendo γi la
producción y pi el respectivo precio por unidad, se tiene que los beneficios totales
de la economía son:
X
X
X
XX
Π=
pi γi −
wi Li −
ri Ki −
pi thi
i
i
i
i
Reorganizando se obtiene que:
X
X
X
wi Li +
ri Ki +
pi γi = Π +
i
i
| {z }
Producción
|
i
{z
PIB
}
h
XX
i
|
pi thi
h
{z
}
Consumo Intermedio
Y así vemos que el PIB puede ser interpretado como valor agregado
Producción – Consumo Intermedio
14 El material de esta sección fue llevado a cabo por el profesor Erick Céspedes y presenta un
nivel superior al del resto del libro. Es opcional pero recomendado.
15 También conocida como Valor Bruto de Producción en el argot del Sistema de Cuentas Nacionales de las Naciones Unidas.
204
Semana 7. Minimización del costo de corto plazo
Hemos dicho que hay tres definiciones equivalentes del PIB; la ecuación anterior
demuestra que el PIB puede ser interpretado 1) como valor agregado, es decir,
la diferencia entre producciónPy consumo
Pintermedio; o bien, 2) como ganancias y
remuneración a factores (Π + i wi Li + i ri Ki ) y, finalmente, 3) la interpretación
como valor de bienes y servicios finales puede extraerse del flujo circular de pagos
que discutiremos enseguida.
En la figura 7.23 se representan los pagos del flujo circular monetario, donde la
flecha “a”−→“b” señala un pago de “a” hacia “b” para compensar una transacción
real de “b” hacia “a”. La flecha sólo representa el pago monetario, mientras que la
transacción real no la ilustraremos con las flechas, la llevaremos en nuestra mente, y
exactamente en el sentido contrario de la flecha. El flujo de pagos de una economía
es un sistema de naturaleza contable, que por construcción debe estar balanceado.
Esto significa que toda entrada de recursos debe tener asociadas contrapartidas
equivalentes, de tal manera que la suma de las entradas monetarias en cada espacio
económico del diagrama es igual a las salidas monetarias del mismo espacio.
Industrias Yi = (Li , Ki , Ti ), Ti = (t1i , . . . , tni )
P P
i
Valor agregado
Producción
P
h
i
pi thi
Mercado de bienes y servicios
Consumo final
Consumo intermedio
pi γi
Valor agregado
Mercado de factores y ganancias wi Li , ri Ki , Πi
Agentes
Figura 7.23. Flujo circular de pagos.
El principio económico enunciado tiene un estatus de ley y su primera presentación
diagramática de las interdependencias económicas se debe al Tableau économique
de François Quesnay (1758), que sin duda es la primera contribución importante al
pensamiento económico. Ahora: es útil interpretar nuestra ley de forma semejante
a la tercera ley de Newton, en el sentido de que, también acá, con toda acción surge
una reacción igual y contraría; por analogía, podríamos llamar a nuestro principio
económico “principio de acción y reacción”, pero, en honor a François Quesnay
(1694–1774), lo llamaremos ley de Quesnay.
Veamos, entonces, la manera en que la ley de Quesnay representada en la figura
7.23, a priori, encaja perfectamente con las definiciones de PIB. Empecemos por
la definición de valor agregado. Las industrias (los productores) utilizan bienes y
servicios que implican, por supuesto, un pago al mercado de bienes y servicios, el
cual es representado como la flecha que va de “industrias” a “mercado
P P de bienes y
servicios”; y corresponde al consumo intermedio total notado i h pi thi . Por su
7.11. Apéndice: Cálculo del PIB en Colombia
205
parte, las industrias entregan su producción
en el mercado de bienes y servicios;
P
en consecuencia, reciben un pago i pi γi ilustrado como la flecha que va desde el
“mercado de bienes y servicios” a las “industrias”. La valoración de la producción
es de esperar que esté en función de la valoración del mercado. Así, por la ley de
Quesnay, el valor agregado es igual a la producción menos el consumo intermedio.
Actividades
Agricult. Minería Indust. Servicios Construc. Total
Agricultura
3.5
0.0
31.3
4.0
0.5
Minería
0.0
6.2
15.9
1.8
2.7
26.6
Industria
11.1
2.2
88.0
63.1
35.2
199.5
Servicios
3.0
6.7
38.3
147.3
10.4
205.6
Construcción
0.2
0.8
0.1
5.6
1.2
7.8
17.8
15.8
173.6
221.7
50.0
478.8
(2) Producción
56.7
86.0
250.5
556.3
96.4
1,045.9
(3)=(2)-(1) PIB a
precios de productor
38.9
70.1
76.9
334.7
46.4
567.1
(4) Impuestos a los
productos
-
-
-
-
-
54.5
(5)=(3)+(4) PIB a
precios de consumidor
-
-
-
-
-
621.6
(1) Consumo
medio
inter-
39.4
Tabla 7.1. Matriz de utilización 2011 (cifras en billones de pesos corrientes).
Es de resaltar que la economía es viable si genera valor agregado, más que si tiene
un proceso productivo; toda vez que cuando existe valor agregado – por la ley de
Quesnay – se tiene una entrada equivalente al “mercado de factores y ganancias”16 ,
y por esta vía, a los “agentes” que conforman la economía; en consecuencia, en
virtud de la ley de Quesnay se mostró que el PIB también es el pago al “mercado
de factores y ganancias”, que es otra de las definiciones del PIB. Ahora bien, la
contrapartida equivalente es que el “consumo en bienes y servicios finales”, es igual
al valor agregado, y, así, todos los flujos están equilibrados en virtud, de nuevo, de
nuestra ley de Quesnay. Finalmente, se demostró que el PIB es también el valor de
los bienes y servicios finales.
Este descubrimiento de “interconexiones equilibradas” de Quesnay, formulado hace
más de dos siglos y medio, está en el espíritu de las cuentas nacionales modernas.
Por ejemplo, la tabla 7.1 presenta una versión simplificada de la matriz de utilización del año 2011 elaborada por el DANE, que muestra la producción, el consumo
intermedio y el valor agregado de cada actividad donde, en términos generales, se
divide a la economía en actividades productivas, las cuales utilizan bienes y servicios de otras actividades. De esta forma, todas las actividades están entrelazadas
entre sí. A manera de ejemplo, podemos notar que el sector industrial utiliza bienes
agrícolas por valor de $31.3 billones, y de forma análoga se interpretan los demás
16 Note que para cada espacio, por la ley de Quesnay, las entradas deben ser iguales a las salidas.
206
Semana 7. Minimización del costo de corto plazo
valores de la matriz. Esta representación esquemática y medible se debe a las contribuciones de Leontief y Stone (1913–1991), ambos premios Nobel de economía, al
análisis de las cuentas nacionales y en el fondo está el espíritu de Quesnay.
Para finalizar este aparte sólo queda señalar que en la práctica las cuentas nacionales del DANE permiten identificar los consumos intermedios y el valor agregado
de por lo menos 61 actividades productivas. De ahí que las aproximaciones microeconómicas sean las pertinentes en los modelos computables para el análisis de
incidencia sectorial, más conocidos como modelos de equilibrio general computable
–ver una pequeña introducción en el volumen II (Competencia bajo equilibrio general)–, los cuales son entornos de simulación con interdependencias sectoriales,
con una formulación de teoría microeconómica y basados en datos de las cuentas
nacionales, y en este proceso siempre será necesario recordar a Quesnay.
Ejercicios
(Observación: Los ejercicios señalados con uno (∗) o dos (∗∗) asteriscos tienen, a
juicio del autor, un nivel de dificultad un tanto o muy superior, con respecto a los
ejercicios corrientes que aparecen sin asterisco.)
1. Suponga que una empresa tiene la posibilidad de elegir entre dos métodos
de producción: uno tiene un costo fijo de $50, 000 y un costo marginal de
$2, 000; el otro tiene un costo fijo de $120, 000 y un costo marginal de $1, 000.
Trace las curvas de costo total y medio, correspondientes a los dos métodos.
¿En qué niveles de producción utilizará la empresa la tecnología de costo fijo
bajo? ¿En cuál utilizará la de costo fijo elevado?
2. En un mercado competitivo de obleas, cierta empresa tiene unos costos fijos
de $14, 000 (por concepto de arriendo y otros) y unos costos variables que se
rigen por la tabla siguiente:
Producción (obleas)
Costo variable
(en pesos)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
29
32
39
47
48
59
62
77
82
Según los costos marginales, la empresa estaría produciendo obleas:
a) Con rendimientos constantes a escala.
b) Con rendimientos decrecientes a escala.
c) Con rendimientos crecientes a escala.
d) Ninguna de las anteriores.
3. Si la función de costo de corto plazo de cierta empresa es C(q) = 125 + 2q +
q 2 , determine el costo fijo, el costo variable, el costo promedio, el costo fijo
promedio y el costo variable promedio.
Ejercicios
207
4. Asuma como cierta la siguiente tabla simplificada de una empresa que produce
determinado artículo regida por una función de producción Y = F (L, K)
donde los costos por unidad de L =horas-hombre y K =unidades de capital
(léase máquinas, edificios, etc.) son wL = 1 y wK = 7.
a) De acuerdo con los datos, dibuje la función de producción (con factor fijo)
Y versus L. ¿Qué clase de rendimientos a escala presenta esta empresa?
Explique.
b) De acuerdo con los datos, dibuje las funciones de costo total, costo marginal y costo medio, a corto plazo.
c) Explique la forma de la función de costo total; en especial, el significado
económico de su convexidad o concavidad.
d) ¿Qué significado económico tiene la forma de la función de costo medio?
¿Tiene forma de U?
e) Identifique el costo medio mínimo. ¿Por qué es igual al costo marginal?
Explique.
f) ¿Para qué precio de venta del producto, la empresa estaría maximizando
el beneficio al nivel de insumos L = 15, K = 4?
L
K
0 4
1 4
2 4
10 4
15 4
28 4
30 4
31 4
35 4
40 4
44 4
52 4
60 4
Producción Producción Producción
Costo total
Costo marginal
Costo medio
Y
marginal
media
de corto plazo
de corto plazo
de corto plazo
0
2
2.828
6.320
7.746
10.58
10.95
11.13
11.83
12.65
13.26
14.42
15.49
——
1
0.707
0.316
0.258
0.189
0.182
0.179
0.169
0.158
0.151
0.138
0.129
——–
2
1.414
0.632
0.516
0.378
0.365
0.360
0.338
0.316
0.301
0.277
0.258
28
29
30
38
43
56
58
59
63
68
72
80
88
0
1
1.414
3.160
3.873
5.290
5.477
5.565
5.910
6.325
6.630
7.210
7.745
——
14.5
10.6
6.01
5.55
5.29
5.2945
5.298
5.3175
5.376
5.426
5.546
5.68
5. a) Dibuje la curva de costos totales, costos marginales y costos medios para
la función Leontief F (x, y) = Mín {x/a, y/b} para y = k ∗ constante y
a, b > 0 fijos.
b) En este mismo caso, dibuje las curvas de costo de corto plazo para k
variando y señale la curva de costo de largo plazo como la envolvente de
estas curvas.
208
Semana 7. Minimización del costo de corto plazo
6. Recurriendo a los resultados de esta semana, compare las demandas de insumos, la oferta de producto y el beneficio para la tecnología determinada por
z = x1/3 y 1/4 mediante los dos métodos siguientes:
a) Maximización del beneficio.
b) Minimización de costos y después maximización del beneficio.
7. Defina todos los posibles tipos de elasticidades de la curva de oferta de un
productor. Muestre que la curva de oferta y = Apα (α > 0) tiene elasticidadprecio constante α (aquí, A > 1 es una constante). Dibuje algunas de estas
curvas para distintos valores de α.
8. Si para la función Cobb-Douglas F (K, L) = K α Lβ , aumenta la elasticidadinsumo α, decida si el costo de largo plazo aumenta o disminuye. (Sugerencia:
Derive la función de costo con respecto a α, y observe su signo.) ¿Qué significa,
para el productor, el hecho de que α aumente?
9. Considere la función de producción F (x, y) = x1/4 y 3/4 . Con ella:
a) Calcule la función de oferta de largo plazo después de entrada y salida de
empresas (es decir, en el “largo plazo”). [Sugerencia: La curva será de la
forma p = costo medio. ¿Por qué?].
b) Calcule la función de oferta de corto plazo haciendo y = k (haga α = 1/4
y utilice lo realizado esta semana). Dibuje ambas funciones en un gráfico
“producción (eje x) versus precio (eje y)”. ¿Cuál de las dos tiene mayor
elasticidad-precio? Explique su respuesta.
10. Si la curva de costo total de corto plazo de una empresa se estima como
C(Q) = 40Q2 + 20Q + 35, calcule la curva de oferta de corto plazo.
11. Muestre que, en el corto plazo, una empresa con rendimientos decrecientes a
escala puede tener pérdidas si los costos fijos son muy altos.
12. Un productor con tecnología Cobb-Douglas F (L, K) = K 1/5 L1/2 enfrenta
una baja de 1 % en el precio de venta p. ¿A cuánto porcentaje ascenderá el
recorte de mano de obra?
13. (Ejercicio con otra notación)√
Considere el caso de una empresa con una
tecnología dada por F (T, L) = T L donde T, L son el tamaño de la planta
(medido en metros cuadrados) y el número de trabajadores, respectivamente.
El metro cuadrado de planta cuesta wT y a cada trabajador se le paga wL
por día. En a), b), c) y d) enseguida, asuma que el tamaño de la planta no
es posible cambiarlo en el corto plazo; más aún, considérelo fijo en un nivel
de T0 . Entonces:
a) ¿Cuántos trabajadores se deben contratar para producir Q unidades del
bien?
Ejercicios
209
b) Muestre que la función de costo de corto plazo es:
C(Q) =
wL Q2
2
(T0 )
+ wT T0
c) Dibuje las funciones de costo medio y marginal. En particular, establezca
si son crecientes o decrecientes, y si una es superior a la otra.
d) Explique cuánto vendería el dueño de esta empresa al precio p.
14. Calcule el nivel de producción óptima que maximice el beneficio de la empresa
con función de costo de corto plazo c(y) = y 2 +1 si el precio de venta es p = 2.
Haga lo mismo con la función de costo de largo plazo c(y) = y 3/2 + 1.
15. (∗) (Elasticidades de producción) Defina las elasticidades de las demandas por insumos con respecto a los costos unitarios w1 y w2 . Haga lo mismo
con el beneficio y el costo. Ilustre estas elasticidades en el caso de la función
de producción Cobb-Douglas con rendimientos decrecientes a escala.
16. (∗) Muestre, utilizando el lema de Shephard, que:
∂x
∂y
=
∂w2
∂w1
donde x e y son las demandas por insumos. Compruebe esto con las demandas por insumos (x e y) de la tecnología Cobb-Douglas bajo rendimientos
decrecientes a escala.
17. (∗) Aplicando el lema de Shephard, muestre que si la función de costo de
largo plazo es:
!
1
C(y) = w ln
1−y
entonces la tecnología es y = 1 − e−x . Dibuje la función de costo y la tecnología.
18. (∗) Gráficamente, encuentre las curvas de demanda por insumos en el largo
plazo de la función Cobb-Douglas, a partir de las funciones de demanda por
insumos en el corto plazo, recurriendo a “argumentos de envolvente”, tal como
lo realizamos en la presente semana (ver figura 7.9).
19. (∗) Sólo con las herramientas presentadas hasta ahora en el texto, discuta
la siguiente afirmación: “El costo de formar un estudiante de doctorado en
la Universidad Nacional tiene marginalidad creciente, y, por lo tanto, este
proceso de formación de capital humano tiene rendimientos decrecientes a
escala”.
210
Semana 7. Minimización del costo de corto plazo
20. (Ejercicio de lectura importante) Robert Aumann (1964) (Premio Nobel
2005) afirmaba que un continuo de firmas capturaba una forma idealizada de
la competencia perfecta. Y que el espíritu de esto era la idea de continuo
(por ejemplo, en fluidos conformados por infinitas partículas) que existía en
la Física. De hecho, afirmaba, en Economía se ha venido asumiendo desde el
siglo XIX que los precios y las cantidades son cantidades continuas. Aunque
quizás más “realista”, esta definición de Aumann es mucho más demandante
en términos matemáticos y, tal vez por esa razón, no es utilizada en nuestros
cursos introductorios de microeconomía. Para ilustrar la idea recurriremos a
un ejemplo (relativamente sencillo) en el que la curva de oferta de la industria
es continua a pesar de que las curvas de oferta de las empresas individuales,
no lo son. Sea
(
1 si L ≥ β
F (L, β) =
0 si L < β
donde β > 0 es un factor fijo que mide (digamos) las unidades de capital.
Esto significa que para producir una unidad se requiere, al menos, β unidades
de capital. Entonces, en este caso, la curva de oferta es de la forma
(
1 si β ⩽ p/w
z=
0 si β > p/w
donde p es el precio del producto z, y w es el salario. Ahora: como el lector
podrá observar, no es posible sumar las ofertas de las infinitas empresas, pues
esto daría origen a una oferta infinita (1 + 1 + 1 + 1 + (. . . ) = ∞). Entonces
Hildenbrand (1974) propuso estudiar la “oferta media”. Y para esto, estableció
una definición muy interesante e importante de oferta: dado que las distintas
empresas podrían tener diferentes niveles de β, pero que la mayoría –por
estar en competencia perfecta– tendrían un nivel relativamente bajo de este,
entonces definió la oferta de la industria de estas infinitas empresas, así:
!
Z p/w
1
dβ
1
z=
β2
1
donde la función de densidad 1/β 2 –con soporte desde 1 hasta ∞– señala la
distribución de las empresas en el mercado de acuerdo con el nivel de capital, arriba mencionada. Luego, calculando explícitamente la integral anterior,
obtenemos que la curva de oferta agregada es:
z = 1 − (w/p)
que es una curva continua. Este ejemplo muestra, de una manera clara, cómo
es posible que la oferta agregada de un continuo de empresas con ofertas discontinuas, pueda ser una curva continua. Es sobre este tipo de argumentos
que los autores neoclásicos descansan para presentarnos siempre como continua la curva de oferta de una industria. Sobre este problema discutiremos,
de nuevo, en el volumen II (Competencia bajo equilibrio general).
Semana 8
Equilibrio parcial competitivo: la tijera de Marshall
8.1.
Introducción
Podríamos discutir con razón si es la cuchilla superior o la inferior de un par
de tijeras la que corta un pedazo de papel, así como discutimos si el valor está
determinado por la utilidad o por el costo de producción.
Marshall, Principles of Economics, 1920, p. 290.
Hemos llegado a un problema central de la teoría microeconómica neoclásica: la formación del equilibrio parcial de un mercado bajo competencia perfecta, consistente
en la igualación de la demanda agregada y la oferta agregada por un mismo bien que
conforman los agentes (consumidores y productores) de la economía. Una justificación de la economía neoclásica homogénea sobre por qué estudiamos inicialmente
el equilibrio parcial en lugar del equilibrio general, es que cuando una economía
está formada por numerosos agentes y mercancías, los resultados de carácter general con respecto a variaciones de determinados parámetros, pueden resultar de
una gran complejidad. Por ello, según la teoría neoclásica homogénea, el análisis
del equilibrio parcial es, en numerosas ocasiones, más conveniente, ya que puede
arrojar resultados significativos con pocas herramientas y, de paso, servir de guía
hacia algunos resultados similares en el caso del equilibrio general y la competencia
imperfecta.
Ahora: en el modelo de equilibrio parcial bajo competencia perfecta, hemos afirmado que los precios de las mercancías están formados “de alguna forma” por el
mercado. En esta sección explicaremos cómo es que la teoría neoclásica asegura
que se lleva a cabo este “proceso” de formación de precios para mercados aislados
211
212
Semana 8. Equilibrio parcial competitivo
(equilibrio parcial) de una economía competitiva: precisamente con este objetivo,
Marshall1 desarrolló una muy famosa “tijera” conformada por las curvas de oferta
y demanda agregadas. Y en el camino, entenderemos que, en numerosas ocasiones
(fundamentalmente por razones de la práctica econométrica), la economía neoclásica homogénea recurre también a conceptos agregativos tan extraños y fascinantes
como discutibles: a la noción de agente representativo (consumidor o productor) de
la economía agregada y a la noción de capital agregado.
8.2.
La noción de equilibrio parcial competitivo
Definimos la demanda agregada por un bien homogéneo2 como la sumatoria de las
demandas de los n hogares, Xi (p), i = 1, 2, . . . , n, por ese mismo bien:
X
X(p) =
Xi (p)
i=1,...,n
Asumimos, en adelante, que todos los consumidores del mercado competitivo tienen funciones de utilidad cuasilineales de la forma Ui (x, y) = Ui (x) + y, donde el
bien x es el bien homogéneo, Ui (·) es una usual función de utilidad cóncava estricta
y diferenciable. Recordemos que esto, inmediatamente, implica que esta demanda
es independiente de la renta (las variaciones de esta sólo son posibles mediante
“devaluaciones” o “revaluaciones” en el numerario p2 ). Además, puesto que asumimos también que Ui (·) es cóncava estricta, entonces su curva de demanda siempre
tendrá pendiente negativa.
En segundo lugar, y de manera similar, definimos la oferta agregada de un bien
como la sumatoria de las ofertas de las m empresas, Yj (p), j = 1, 2, . . . , m, que
producen ese mismo bien:
X
Y (p) =
Yj (p)
j=1,...,m
Aquí asumiremos que todas las empresas del mercado competitivo, producen el
bien x con rendimientos decrecientes a escala (más específicamente, las funciones
de producción son funciones de corto plazo de la forma f (·) con f ′ > 0, f ′′ < 0 y
f (0) = 0).
La teoría del equilibrio parcial bajo competencia perfecta (Marshall, 1890) aísla el
mercado de ese bien, del resto de la economía, y asume, en principio, que el precio
p del bien se determina, únicamente, mediante la fórmula de equilibrio parcial de
mercado:
X(p) = Y (p)
(Demanda agregada = Oferta agregada)
1 Mas no Jevons, Menger y Walras para quienes la oferta agregada era completamente inelástica
(recta vertical).
2 Esta hipótesis es fundamental en lo que sigue, pues garantiza que el bien no tiene sustitutos
perfectos y que ante pequeños cambios en precios de nuestro bien, no hayan cambios drásticos
en la demanda. Es decir, esta hipótesis permite, en principio, asumir que la curva de demanda
agregada no es plana.
8.2. La noción de equilibrio parcial competitivo
213
Puesto que hemos asumido que todos los productores operan con rendimientos
decrecientes a escala y que tienen, por consiguiente, curvas de oferta Yj (p) con
pendiente positiva, es esperable (aunque no seguro) que la ecuación X(p) = Y (p)
tenga solución. De esta manera, la oferta de la industria igualada ante la demanda
agregada de los consumidores, determinará el precio del bien en cuestión. Este es
el precio de venta, que en equilibrio bajo competencia perfecta, asume como dado
cada una de las “pequeñas” empresas que conforman la industria; y también es el
precio de compra que cada uno de los muchos consumidores asume como dado por
el mercado3 . Con este fin, no sobra advertir que la demanda y la oferta agregadas
de un bien privado se calculan horizontalmente. Aquí, se fija el precio p y se suman
las demandas u ofertas correspondientes como lo ilustran las figuras 8.1 y 8.2.
p
p
x1
Demanda agente 1
p
x2
Demanda agente 2
x
x1 + x2
Demanda agregada
x
x
Figura 8.1. Agregación de curvas de demanda.
p
p
y1
Oferta empresa 1
y
p
y2
y
Oferta empresa 2
y1 + y2
y
Oferta agregada
Figura 8.2. Agregación de curvas de oferta.
Ejemplo 1. (“Sencilla” formación de precio de equilibrio parcial)
Una crítica usual e importante en este punto a la teoría neoclásica homogénea es
que se asume, bajo competencia perfecta, que los agentes toman los precios como
dados, pero que a su vez hacen un aporte infinitesimal a su formación. Así que
–se preguntan los críticos– al final de cuentas no se sabe si los agentes son precio3 Aquí el precio de equilibrio p (y todos los precios) estarán dados en términos del precio del
numerario y (ye) en la función de utilidad agregada U (x, y) = U (x)+y. Allí, decíamos en la semana
2, la mercancía y (ye) está descrita en términos monetarios; es decir, para nuestros propósitos,
podemos pensarlo como dinero con respaldo por autoridad monetaria o en términos de “costo de
vida”.
214
Semana 8. Equilibrio parcial competitivo
aceptantes o no. Sobre este punto discutiremos una vez hayamos avanzado un poco
más en la presente semana.
Para fijar ideas e introducir el problema de la formación de los precios de mercado
bajo competencia perfecta, asumamos que, allí, la curva agregada de demanda
(X(p)) de cierto bien se estima que es X(p) = 90 − p y que la curva agregada
de oferta (Y (p)) del mismo bien se estima regida por la ecuación Y (p) = p/2.
Entonces el precio de equilibrio del bien se determina igualando la oferta y la
demanda agregadas: 90 − p = p/2. Y así, el precio de mercado, el mismo que los
agentes individuales toman como dado, es p∗ = 60 y, por lo tanto, la cantidad de
equilibrio en el mercado es X ∗ = 30 = Y ∗ (figura 8.3).
p
Y =
p
2
90
Precio de
mercado
60
equilibrio parcial
b
X = 90 − p
30
90
X, Y
Cantidad de equilibrio
del bien en el mercado
Figura 8.3. A este esquema, Marshall (1890) lo llamaba “la tijera”.
Ejemplo 2. (Un caso más general)
Si la curva de demanda agregada de cierto bien de una economía es X = a − bp y
la oferta agregada es Y = c + dp (donde a, b, d > 0, c ⩽ 0 son tales que ad + bc > 0,
y por supuesto, sólo considerando X, Y ≥ 0, p ≥ 0) el equilibrio parcial del bien
(figura 8.4) es:
a−c
ad + bc
; p∗ =
X∗ = Y ∗ =
b+d
b+d
p
a/b
p∗
b
equilibrio parcial
−c/d
X∗ = Y ∗
a
Figura 8.4. Equilibrio parcial.
X, Y
8.3. El problema de la noción de agente representativo
215
En efecto: basta igualar la oferta a la demanda (X = Y ), es decir, a − bp = c + dp
y encontrar que p∗ = (a − c)/(d + b). Y llevamos este p∗ a la ecuación X = a − bp
o a la ecuación Y = c + dp, para obtener que X ∗ = (ad + bc)/(b + d) = Y ∗ .
Nota 1. (Equilibrio parcial en bienes intermedios)
Algunos bienes que se producen en el mercado no llegan a los hogares para su
consumo. Son los bienes intermedios y ejemplos de esto son algunas maquinarias
pesadas, ciertos productos químicos, etc. Para analizar el mercado de estos bienes,
se asume que las empresas los demandan como insumos y otras empresas los ofrecen
como productos. El equilibrio parcial, aquí, surge de la igualdad entre la oferta y la
demanda entre estos dos sectores productivos, sin que, aparentemente, intervenga
el consumidor final (ver figura 8.5). No obstante, debemos entender que en una
economía competitiva las empresas mismas son propiedad de los consumidores,
bien sea en la forma de propiedad individual, de sociedades limitadas o, inclusive,
de sociedades anónimas.
p
Curva de oferta
del bien intermedio
Curva de demanda
del bien intermedio
X, Y
Figura 8.5. Equilibrio parcial en bienes intermedios.
8.3.
Sobre la noción de agente representativo
Como se puede ver en los ejemplos anteriores, la necesidad en que se compromete
la teoría neoclásica homogénea para agregar demandas y ofertas, la enfrenta a uno
de los problemas más profundos y difíciles: construir agregados y preguntarse si
ellos, por sí mismos, conforman la demanda y la oferta (respectivamente) de algún
“agente representativo”. Es decir, si el comportamiento racional de este agente es,
precisamente, la suma de los comportamientos de los agentes competitivos individuales. En lo que sigue, discutiremos las limitaciones de este tipo de artificios que
la teoría neoclásica nos presenta para intentar resolver los difíciles problemas de
agregación que surgen en el cálculo explícito de los eventuales precios competitivos4 .
8.3.1.
Existencia de la empresa representativa
Tendremos que analizar cuidadosamente el costo normal de producir una mercancía, con respecto a un volumen de producción agregado dado; y para este propósito
4 Este concepto de agente representativo de una economía se asimila al concepto de centro de
masa de un sólido rígido estudiado por la física newtoniana.
216
Semana 8. Equilibrio parcial competitivo
tendremos que estudiar los gastos de un productor representativo para ese producto
de volumen agregado. De un lado, no queremos elegir algunos productores nuevos
que apenas están entrando en el negocio, que trabajan bajo muchas desventajas,
y tienen que contentarse por un tiempo con poco o ningún beneficio, pero que se
satisfacen con el hecho de que están estableciendo conexiones y dando los primeros pasos hacia la conformación de un negocio exitoso; ni del otro lado querremos
tomar una firma que por habilidad y fortuna de tiempo atrás, ha conformado un
vasto negocio, e inmensas tiendas bien organizadas que le dan superioridad sobre
casi todos sus rivales. En su lugar, nuestra firma representativa debe ser una que
ha tenido una usual larga vida, un buen éxito, que se ha manejado con habilidad
normal, y que ha tenido acceso normal a las economías, externas e internas, y esa es
la que pertenece a ese volumen agregado de producción; teniendo en cuenta la clase
de bienes producidos, las condiciones para comerciarlos y el ambiente económico
general.
Marshall, Principles of Economics, 1920, p. 264–265.
Podría decirse que el comportamiento de las empresas bajo competencia perfecta
se ha ido perfilando a lo largo de las últimas tres semanas: usualmente, son aquellas que operan bajo rendimientos decrecientes a escala en el corto plazo5 y con
bajos costos medios mínimos (y así no evitan la libre entrada de competidores). Es
decir, típicamente son empresas relativamente “pequeñas” con libertad limitada de
inversión en insumos tales como nuevas máquinas, nuevas plantas, etc.
Con este supuesto, nos podemos preguntar: ¿Y cuál es el comportamiento de la
industria conformada por las “pequeñas” empresas competitivas del sector? Vamos
por partes.
i) Comenzamos esta discusión, afirmando que, en ocasiones, la teoría neoclásica
homogénea asume que la curva de costos de la industria es la curva de largo
plazo (no de “largo plazo” con entrada y salida de empresas) que surge como
la envolvente de las curvas de costo en el corto plazo replicadas. Según este
argumento heroico, la variación de los insumos fijos se asemeja al comportamiento de una industria que recurre a múltiples unidades de ese insumo con
total libertad.
Sin embargo, inclusive aceptando esta hipótesis poco clara, este solo argumento no afirma absolutamente nada definitivo con respecto a la tecnología
de la industria: podría presentar, inclusive, rendimientos decrecientes, constantes o crecientes a escala, aún sabiendo que todas las “pequeñas” empresas
competitivas son las típicas que mencionamos antes.
ii) Si, adicionalmente, se asume la libre entrada y salida de empresas de la industria con el dudoso beneficio cero de “largo plazo”, entonces la industria
5 Como mencionábamos antes, para muchos economistas los rendimientos decrecientes en las
empresas competitivas reflejan la escasez de algún insumo en el proceso productivo. De hecho,
no es común encontrar una empresa con rendimientos decrecientes a escala que operando sin
restricciones en la utilización de insumos (largo plazo), sea precio–aceptante. Es más, una empresa
con estas características podría mostrar cierto poder estratégico en el mercado.
8.3. El problema de la noción de agente representativo
217
operaría como si fuera una sola empresa que, en el “largo plazo”, se rige bajo
rendimientos constantes a escala. Esto último obligaría, entonces, a que en ese
“largo plazo”, la función de costo de la industria sea de la forma C(y) = By
donde B > 0 es el costo marginal, y por consiguiente, la función de oferta será
de la forma p = B.
Por ello, es corriente que se modele una industria competitiva en el “largo plazo” con funciones, por ejemplo, de la forma F (x, y) = xα y 1−α con 0 < α < 1, o
con cualquier otra función de producción típica de largo plazo (de dos insumos
(a veces, L = trabajo y K = capital)) con rendimientos constantes a escala
(por ejemplo, una función de tipo Leontief o de tipo CES).
No obstante, en general, y para efectos del estudio del equilibrio parcial competitivo
al nivel de este curso, no siempre se supone que esto es así, sino que la economía
neoclásica homogénea, en su lugar, piensa la industria “como si” estuviera operando
en una zona gris entre el corto y el largo plazo, con rendimientos decrecientes a
escala, beneficios positivos y curva de costos totales estrictamente convexa (figura
8.6) y, por consiguiente, una curva de oferta estrictamente creciente y continua.
Por ejemplo, una función de producción que podría modelar una industria de este
tipo es cualquier función de producción típica de largo plazo con dos insumos
y rendimientos decrecientes a escala. Para justificar por qué esto último es así,
observemos el argumento presentado a continuación.
Venimos asumiendo de semanas anteriores que la curva de oferta (de largo plazo)
por el bien y (ye) de este productor j, está dada por Cj′ (yj ∗ ) = p. Por lo tanto, la
oferta yj ∗ estará dada por yj ∗ = (Cj′ )−1 (p) y la oferta agregada de m empresas de
este tipo sería
X
yj ∗ =
j=1,...,m
X
(Cj′ )−1 (p)
j=1,...,m
= (C ′ )−1 (p)
donde la función de costo C está determinada por la igualdad
(C ′ )−1 =
X
(Cj′ )−1
j=1,...,m
o bien por la igualdad

C′ = 
X
j=1,...,m
−1
(Cj′ )−1 
Y, por lo tanto, una antiderivada de la función
como función de costo agregada.
hP
′ −1
j=1,...,m (Cj )
i−1
operaría bien
218
Semana 8. Equilibrio parcial competitivo
C(y)
y
Figura 8.6. Ejemplo típico (para nuestro curso) de curva de costos de la industria bajo
competencia perfecta: con rendimientos decrecientes a escala.
Con este argumento se demuestra, bajo ciertos supuestos sobre las curvas de costo
Cj , la existencia de una (no única) función de costo C del agente representativo de
la industria. Notemos que esta función C siempre es creciente estricta y convexa
estricta (rendimientos decrecientes a escala) ya que hemos asumido que cada una
de las curvas de costo Cj es también convexa estricta.
Sin embargo, no existe ninguna razón para asegurar la existencia, en general, de
una empresa representativa para la industria competitiva ya que tratar con agregados heterogéneos en la teoría económica, no es simple –ver Grandmont (1992);
Hildenbrand (1994)–. Por el contrario, es uno de los problemas más profundos y
complicados que enfrenta la teoría neoclásica homogénea y sobre lo cual las críticas
abundan (ver, por ejemplo, Kirman, 1992). Por ello, lo más riguroso y coherente
con la teoría es estudiar cada industria separadamente, sin generalizaciones y, fundamentalmente, con buen soporte empírico. El resto, son ejercicios de ilustración
para que el estudiante nuevo comience a entender las bondades y defectos de la
aproximación de la teoría neoclásica –y, en, particular la hipótesis del productor
representativo– en el estudio de la teoría de la producción.
8.3.2.
Existencia del consumidor representativo
Recordemos que en nuestro enfoque microeconómico sobre el equilibrio parcial, hemos venido asumiendo que las demandas provienen de consumidores con funciones
cuasilineales de la forma Ui (xi , yi ) = Ui (xi ) + yi donde el subíndice i señala al
consumidor i = 1, 2, . . . , n. Entonces, de manera similar a como procedimos en la
construcción del productor representativo, escribimos la ecuación que rige la demanda del consumidor i, así: xi ∗ = (U ′ )−1 (p). Y esto nos conduce a que la demanda
agregada es igual a
X
X
xi ∗ =
(Ui′ )−1 (p)
i=1,...,n
i=1,...,n
= (U ′ )−1 (p)
donde la función de utilidad U está determinada por la igualdad
X
(U ′ )−1 =
(Ui′ )−1
i=1,...,n
8.3. El problema de la noción de agente representativo
O bien por la igualdad

U′ = 
X
i=1,...,n
219
−1
(Ui′ )−1 
Por consiguiente, aquí también una antiderivada de la función


X
i=1,...,n
−1
(Ui′ )−1 
serviría bien como función de utilidad agregada. Esto muestra que, bajo nuestras
hipótesis, existe un consumidor con función de utilidad U (x, y) = U (x) + y con
U (·) una función creciente estricta y cóncava estricta cuya demanda por el bien
x coincide con la demanda agregada de los consumidores. Este es el “consumidor
representativo” que opera “como si” el comportamiento agregado del sector consumo de la economía fuera la de él mismo. No sobra agregar que el hecho de que,
en nuestro caso, exista este agente representativo, es más la excepción que la regla:
se debe a que todos los agentes presentan funciones de utilidad cuasilineales y con
condiciones analíticas ideales. En casi cualquier otro caso, este agente no existe,
aunque la economía neoclásica recurre a él insistentemente sin argumentos bien
justificados. Quizás, se sigue pensando en la siempre segura existencia del centro
de masa de un sólido rígido que nos enseñó la Física del siglo XVII. ¡Así este centro
de masa esté, en ciertos casos, por fuera del sólido!
Ejemplo 3. (Otro ejemplo de formación de precios de equilibrio)
Supongamos que un “consumidor representativo” de la economía –es decir, es el
único agente de la economía y sus gustos “representan” los de todos los demás–
tiene una función de utilidad
U (x, y) = U (x) + y = x1/2 + y
(8.1)
Entonces su demanda está dada por la ecuación de maximización de la utilidad
U ′ (x) = p, donde p es el precio de mercado. O, lo que es lo mismo, después de un
poco de manipulación algebraica:
x=
1
4p2
(∗)
Por su parte, el “productor representativo” produce x mediante la función de costo
de largo plazo
wx2
C(x) = 2
(8.2)
A
donde A > 0 es un factor fijo de producción (si se quiere, puede considerarse
“exógeno”) y w es el salario. Aquí, la ecuación que nos da la oferta es a través de
la maximización del beneficio Π = px − C(x) = px − (wx2 )/A2 :
x=
pA2
2w
(∗∗)
220
Semana 8. Equilibrio parcial competitivo
Igualando las ecuaciones (∗) y (∗∗) de demanda y oferta de mercado obtenemos,
entonces, que el precio del mercado es:
p∗ =
w 1/3
(8.3)
4/3
(8.4)
2A2
y la cantidad del bien en el mercado es (figura 8.7):
∗
x =
A
√
2 w
Esto, inmediatamente, nos lleva a una pregunta: ¿Cómo se determina w? Y la
respuesta es que habrá que estudiar el mercado laboral correspondiente para determinarlo, también, mediante igualación de oferta y demanda. Sólo que, a su vez,
este mercado puede depender de otros precios, y así sucesivamente. Es esto lo que
obliga a pensar en el concepto de equilibrio general (Walras, 1874), y a encontrar
limitantes a la noción de equilibrio parcial. Sobre la noción de equilibrio general
económico discutiremos en el volumen II (Competencia bajo equilibrio general).
p
p∗ =
w
2A2
1/3
equilibrio
competitivo
x∗ =
2
A
√
w
4/3
x
Figura 8.7. Ilustración del ejemplo 3.
Ejemplo 4. (Un poco de ceteris paribus)
En el ejemplo 3 anterior en donde el equilibrio competitivo está dado por:
4/3
w 1/3
A
∗
∗
√
p =
; x =
2A2
2 w
si el factor exógeno A crece, entonces la oferta agregada aumenta, el precio de
equilibrio disminuye y la cantidad del bien en el mercado, aumenta (ver figura 8.8).
A manera de ilustración, este fenómeno podría asimilarse, en alguna medida, a la
situación de “mejora tecnológica”6 cuando la industria comienza a pasar del corto
plazo al largo plazo, donde el aumento del factor A responde por aumento en el
bien y (ye) (por ejemplo, más bienes de capital comienzan a entrar a la industria).
Entonces la oferta va siendo cada vez más elástica ya que al estar creciendo la
6 Existen múltiples formas de asimilar la noción de “mejora tecnológica” o “progreso tecnológico”. La que presentamos aquí es, quizás, la más simple de todas.
8.3. El problema de la noción de agente representativo
221
producción, cualquier cambio en los precios implicará un cambio cada vez más
grande en la oferta de la industria.
p
p∗ =
w
2A2
1/3
nuevo equilibrio parcial
cuando A crece
x∗ =
2
A
√
w
x
4/3
Figura 8.8. Ceteris paribus (estática comparativa) cuando A > 0 aumenta.
Finalmente, también podemos observar que el beneficio es igual a
Π = p∗ x∗ −
wx2
= 2−8/3
A2
A2
w
1/3
lo que muestra que mientras mayor sea A, mayor será el beneficio. Es decir, bajo
competencia perfecta, aunque los beneficios del empresario aislado no son relativamente grandes, existen incentivos a la innovación tecnológica.
Nota 2.
En las cuchillas de las tijeras de Marshall que, en principio, determinan el equilibrio
parcial, no se puede decir que una de ellas es producto de la individualidad subjetiva
(la demanda) y la otra es “puramente tecnológica” (la oferta), y esto está en la raíz
de la fuerte y justificada crítica de Sraffa al equilibrio parcial marshalliano (Sraffa,
1925; 1926), quien aseguraba que estas dos curvas son, de hecho, interdependientes.
El ejemplo que acabamos de presentar nos muestra un caso en el que la oferta (y,
por tanto, el equilibrio) depende de w (el salario) y este, a su vez, depende de la
subjetividad de los consumidores que ofrecen su trabajo; por lo tanto, en el fondo,
ambas curvas dependen de la subjetividad de los consumidores, es decir, de sus
funciones de utilidad. Es por esta razón que algunos críticos de la teoría neoclásica
afirman que los equilibrios competitivos son “cantidades psíquicas”. Al respecto,
Jevons decía:
Repetidas reflexiones e investigaciones me han llevado a la opinión un tanto nueva
de que el valor depende por completo de la utilidad... Se encuentra con frecuencia
que el trabajo determina el valor, pero sólo de una manera indirecta al variar el
grado de utilidad de las mercancías por medio de un aumento o de una reducción
de la oferta.
Jevons, The Theory of Political Economy, 1871, Introducción, §2.
222
8.4.
Semana 8. Equilibrio parcial competitivo
Oferta y demanda laboral
La teoría neoclásica afirma que la mano de obra no es, esencialmente, distinta a otra
mercancía. Ya hemos observado en la semana 4 la manera como los hogares ofrecen
mano de obra al mercado (considerando el “ocio” como un bien más7 ) y el agregado
de estas ofertas entre todos los trabajadores de la economía, conforman la oferta
laboral del mercado. Por su parte, las empresas solicitan mano de obra al mercado
para su producción y lo hacen de manera óptima a través de las demandas por
insumos. Agregando estas demandas por mano de obra, se conforma la demanda
de este insumo por parte del mercado. Y, en principio, es la conjunción de estas
dos curvas la que establece el salario de los trabajadores y la cantidad de mano
de obra a contratar. Por ejemplo, si la oferta laboral agregada (l) tiene la forma
l = 1/2 − 5/w donde w es el salario, y la demanda laboral agregada está dada por
l = 20/w, entonces el salario de equilibrio será dado por la igualación de las dos
últimas ecuaciones: 1/2 − 5/w = 20/w de donde se obtiene que w∗ = 50, l∗ = 2/5
son las soluciones de equilibrio (figura 8.9).
w = salario
Oferta agregada
de mano de obra por
parte de los hogares
equilibrio parcial
50
Demanda agregada
de mano de obra por
parte de las empresas
2/5
l = horas-hombre
Figura 8.9. Conformación de salarios por oferta y demanda laboral.
8.5.
Casos particulares de la tijera de Marshall
En adelante, ilustraremos algunos casos en los que se aplica convenientemente la
tijera de Marshall al cálculo del equilibrio parcial.
i) Aumento de salarios que sólo afecta la oferta: suponiendo que la curva de
oferta agregada de un producto se desplaza hacia arriba cuando aumentan los
salarios de los trabajadores en el sector productivo de ese bien –sin afectar
la demanda–, el diagrama de la figura 8.10 muestra que la oferta agregada
del producto disminuye, y por ende, aumenta el precio del bien. Algo similar
ocurre cuando aumentan los precios de otros insumos de producción.
7 Que, además, es “homogéneo”: es el mismo para todos los ofertantes de mano de obra. ¿Qué
podría entenderse por “ocio homogéneo”?
8.5. Casos particulares de la tijera de Marshall
p
223
p
Nuevo
equilibrio
Nuevo
equilibrio
Demanda
inicial del producto
Oferta agregada
inicial del producto
y
Figura 8.10. Ilustración del caso I.
y
Figura 8.11. Ilustración del caso II.
ii) Aumento de la demanda por expansión demográfica y con oferta fija: en este
caso, tanto los precios como la cantidad de equilibrio en la industria, aumentan
(figura 8.11).
iii) Aumento de la oferta como resultado de un buen año de cosecha: en este caso,
la cantidad de equilibrio subirá y el precio del producto bajará en el mercado.
Este caso ha permitido que se produzcan sobreofertas que conducen a que los
productores se deshagan del producto y así evitan que el precio se ubique por
debajo del costo medio mínimo (figura 8.12).
p
p
Oferta agregada
inicial del producto
Oferta agregada
inicial del producto
Nuevo
equilibrio
y
Figura 8.12. Ilustración del caso III.
y
Figura 8.13. Ilustración del caso IV.
iv) Un caso radical de la economía neoclásica del valor: en el muy corto plazo
de la producción (según Marshall), cuando la oferta agregada es constante (y,
por tanto, completamente inelástica), será únicamente la demanda agregada
la que determine el precio de mercado del producto (figura 8.13). Esta fue,
en particular, la convicción de Jevons, Menger y de toda la escuela austríaca.
Para Marshall sólo fue un caso particular.
Casos notables de este comportamiento son las obras de arte, los servicios de
artistas muy calificados (pintores, escultores, etc.) o de los deportistas de alta
224
Semana 8. Equilibrio parcial competitivo
competencia también altamente calificados. Por ejemplo: ¿cuál es el precio de
un cuadro de Botero? Será la que la demanda (el gusto) del público, determine.
Aquí la teoría neoclásica del equilibrio parcial roza con la teoría de las subastas,
donde las pujas son las que determinan el precio de ese bien de alta escasez.
v) El caso (límite) de la economía clásica del valor: en el “largo plazo” de la
producción competitiva (según Marshall), cuando la oferta agregada de la
industria es de la forma p = P ∗ (totalmente elástica), el precio estará determinado únicamente por los costos de producción (figura 8.14). De manera que
la hipótesis de beneficio cero en la oferta agregada (ver discusión en la semana 7) conduce a que puede explicarse la formación de precios de equilibrio sin
recurrir a la demanda. Este precio podría asimilarse al concepto de “precio
natural” que fuera una construcción teórica de Smith (1776) y Ricardo (1817).
p
w = salario
Oferta totalmente
elástica
P∗
Nuevo
equilibrio
y
Figura 8.14. Equilibrio parcial de largo
plazo.
Demanda inicial
de las empresas
l = horas-hombre
Figura 8.15. Impacto en los salarios de una
mejora tecnológica.
vi) ¿Cómo afectaría a los salarios de los trabajadores el progreso tecnológico en
el sector? En este caso, ante un aumento en el progreso tecnológico por un
factor exógeno A > 1, la curva de demanda de trabajadores por parte de las
empresas, se desplazaría hacia abajo, llevando a una baja de los salarios (figura
8.15). Sin embargo, este punto puede ser discutible a la luz de otras teorías.
Las ilustraciones de la tijera de Marshall en los distintos casos de mercado, son
innumerables. En los ejercicios al final de la presente semana, el lector encontrará
otros casos que merecen un estudio especial.
8.6.
Existencia del equilibrio de largo plazo 8
En este punto está a la orden del día preguntarnos si, de hecho, efectivamente
existe el equilibrio parcial, y bajo qué condiciones sucede esto. Para responderlo,
observemos que, dadas nuestras hipótesis sobre la función de utilidad U y sobre
8 Este material presenta un nivel más avanzado que el usual en el presente manual.
8.7. Problemas con la existencia del equilibrio parcial
225
la función de costo C, la existencia del equilibrio parcial consiste en garantizar
la existencia de una cantidad x∗ > 0 tal que: U ′ (x∗ ) = C ′ (x∗ ) Es decir, que se
satisfaga la ecuación de punto fijo
(U ′ )−1 (C ′ (x∗ )) = x∗
(∗)
Para probarlo, sea M > 0 tal que si x > M entonces C ′ (x) > U ′ (x) (este M
existe ya que U ′ (x) decrece estrictamente a cero y C ′ (x) es estrictamente creciente
(rendimientos decrecientes a escala)). Entonces, por el teorema de punto fijo de
Brouwer9 , en el intervalo [ε, M ] (para ε > 0 “suficientemente pequeño”) existe un
punto fijo x∗ de la función continua compuesta [(U ′ )−1 o C ′ ], que es lo que se deseaba probar. Es también claro, que es único dadas las condiciones de monotonicidad
estricta de U ′ y C ′ . Por lo tanto, si la industria presenta rendimientos decrecientes
a escala (más específicamente, si la industria se comporta a través de un productor
con función de costo agregada (de largo plazo) C(·), donde C ′ > 0 y C ′′ > 0), y
el consumidor representativo presenta preferencias regidas por una función cuasilineal típica U (x, y) = U (x) + y, entonces existe (y es único) el equilibrio parcial
competitivo (x∗ , p∗ ) donde p∗ = U ′ (x∗ ) = C ′ (x∗ ).
8.7.
Problemas con la existencia del equilibrio
No obstante lo acabado de presentar, una de las complicaciones que podría tener
el uso de la noción de equilibrio parcial y de la técnica de la tijera marshalliana,
es que, simplemente, en muchos casos significativos, tal equilibrio puede no existir.
Enseguida veremos dos casos en que esto podría suceder. Es para evitar tales situaciones que la teoría neoclásica homogénea hace los supuestos heroicos que hemos
asumido en la sección 8.6 anterior con respecto al comportamiento agregado.
8.7.1.
“Extraño” equilibrio de largo plazo
Si la función de utilidad del consumidor representativo fuera U (z) = az − bz 2
(a, b > 0) y la función de producción de la industria fuera
)
(
x y 1/2
,
F (x, y) = Mín
c d
(c, d > 0), con w1 , w2 los precios de los insumos, entonces la oferta de este mercado
es de la forma p = cw1 + 2d2 w2 z si p > cw1 pero z = 0 si p ⩽ cw1 ; y la demanda
es de la forma p = a − 2bz (ver figura 8.16). Notemos que si cw1 > a entonces el
equilibrio parcial sería p∗ = a, pero no habría producción (z ∗ = 0) ya que a ese
precio no merece la pena salir al mercado. ¿Qué significaría entonces un equilibrio en
el que una mercancía que no se produce tiene precio positivo? En nuestro contexto
de equilibrio parcial marshalliano, absolutamente nada; a menos que se asuma que
9 Ver Apéndice matemático (sección A.16) al final del texto.
226
Semana 8. Equilibrio parcial competitivo
p∗ = a es el “precio base” a partir del cual se comenzará a comerciar en el mercado,
o una interpretación similar.
p
Oferta
cw1
a
Demanda
a/2b
z
Figura 8.16. Extraña “existencia” de equilibrio parcial competitivo.
8.7.2.
Oferta agregada discontinua
Ya se había discutido en la semana 7 que podría suceder que la oferta agregada
de corto plazo fuera discontinua. Aquí, esto ocurre porque el agente representativo
no operará si el precio está por debajo del costo medio mínimo (figura 8.17, panel
izquierdo). La teoría neoclásica homogénea asegura que esto no es factible que
suceda, basándose en el argumento de que la oferta agregada bajo competencia
perfecta siempre es continua, aún si algunos agentes presentan ofertas de corto plazo
discontinuas. Al fin y al cabo, bajo competencia perfecta, son “muchos” productores
con peso infinitesimal en la industria y esto conduciría a la continuidad de la oferta,
afirman. En efecto, esto es consecuencia del teorema de Richter (Hildenbrand, 1974)
que ofrece condiciones bajo las cuales la suma de funciones de costo discontinuas
pueden dar origen a una continua (ver ejercicio 20, semana 7)10 .
Sin embargo, la sola posibilidad teórica (por ejemplo, cuando no son un “continuo”
de agentes) de que esta discontinuidad de la oferta agregada se dé, podría dar al
traste con la hipótesis del equilibrio competitivo, ya que este, simplemente, podría
no existir (figura 8.17, panel derecho). Una ilustración de este problema es aquella
situación en la que la demanda no es suficiente como para que se ofrezca el producto.
Es decir, es un caso en el que existe la demanda mas no se oferta, bien sea por
los altos costos fijos o porque los consumidores no tienen suficiente dinero para
pagar por el producto. En estas condiciones potenciales, este mercado no existirá, y
quizás, por ello la teoría neoclásica homogénea ignora estos casos de no-existencia de
equilibrio competitivo. ¿Podría dar el lector algún ejemplo de un producto que por
los altos costos de las empresas y bajos presupuestos de los hogares, simplemente
no se produce y, por lo tanto, no existe este mercado?
10 Los trabajos de Hildenbrand (1994) y Grandmont (1992) asumen que existen diferencias en
las características de los agentes de tal forma que pudiera haber una distribución de preferencias
e ingreso sobre la economía agregada. Sin embargo, este programa no ha dado aún los resultados
esperados (Hildenbrand & Kneip, 2005).
8.7. Problemas con la existencia del equilibrio parcial
p
Costo
marginal
227
p
Costo
medio
Oferta de
corto plazo
Demanda de
corto plazo
y
y
Figura 8.17. Un mercado sin equilibrio parcial de corto plazo.
Ejemplo 5. (Un caso un poco más complicado)
Supongamos que cierta industria está formada por 100 empresas competitivas,
todas idénticas. Inicialmente, la industria presenta una oferta infinitamente elástica
p∗ = 1 y enfrenta una demanda agregada dada por z(p) = 55 − 5p. Entonces, en
equilibrio, la industria ofrecerá una cantidad z ∗ = 50 unidades del producto, donde
cada empresa (de las 100 iniciales) ofrece 0.5 unidades al mercado. Ese es el punto A
en la figura 8.18. De pronto, en un periodo relativamente corto de tiempo, cambia la
demanda agregada a z(p) = 80−2p y la tecnología a z = x1/4 y 1/4 para cada empresa
(por ejemplo, por cambios en los gustos de los consumidores al preferir algún otro
sustituto, y también por cambios en la tecnología). Asumiendo w1 = w2 = 1, ¿cómo
reaccionará cada empresa a este cambio? La respuesta la dividimos en dos partes:
1. Si al momento del cambio de la demanda, las empresas operan en el largo
plazo, cada una tendría una curva de oferta igual a p = 4z (ver semana 5). Por
lo tanto, como la demanda agregada es z(p) = 80 − 2p, entonces, al igualarla
a la oferta agregada p = (4/100)z = (1/25)z, el nuevo precio de mercado
sería p∗ = 2.96 y la cantidad que ofrecería cada empresa sería z ∗ = 0.74 (o
sea que la industria produciría z ∗ = 74). Esto se indica en el punto B de la
figura 8.18. Tanto el precio como la oferta por empresa, aumentan en el largo
plazo con respecto al estado inicial de la industria.
p
Demanda agregada
inicial z(p) = 55 − 5p
Nueva demanda
agregada z(p) = 80 − 2p
Nueva oferta agregada
de largo plazo (p) = (1/25)z
b
p∗ = 1
B(74, 2.96)
Oferta agregada
A(50, 1)
inicial p = 1
b
z = producción agregada
Figura 8.18. Equilibrio de largo y corto plazo.
228
Semana 8. Equilibrio parcial competitivo
2. Sin embargo, si ante el cambio de la demanda, las empresas operan sólo con
y = k constante (ver semana 7), entonces sabemos que la oferta de cada
empresa en el corto plazo es:

!
!1/3


4
kp


k 1/2
si p ≥



33/4
 4
z(p) =
!




4


si p <
k 1/2

0
33/4
Y, por lo tanto, la oferta agregada de corto plazo será:

!1/3
!


kp
4


100
si p ≥
k 1/2



4
33/4

z(p) =
!




4


k 1/2
si p <

0
33/4
Pero si igualamos esta oferta agregada a la demanda agregada z(p) = 80 − 2p
entonces resulta que sólo existe equilibrio parcial competitivo para k relativamente pequeño (0 < k < 1.0128). Es decir, si k > 1.0128 no existe el equilibrio
(ver figura 8.19). Notemos, entonces, cómo aún con 100 empresas competitivas en la industria, la oferta agregada puede ser discontinua, e impedir que
exista el equilibrio parcial.
p
Demanda
Nueva demanda
agregada inicial
agregada
Oferta agregada
de corto plazo
Oferta
inicial
z
Figura 8.19. Nuevo equilibrio de corto plazo no existe para k > 1.0128.
8.7.3.
El problema del número entero de empresas
En lo que sigue, aparecen tres ejemplos que muestran que, inclusive, podría no
existir el equilibrio parcial de “largo plazo” (es decir, después de la entrada y salida
de empresas de la industria).
8.7. Problemas con la existencia del equilibrio parcial
229
i) Supongamos que la función de producción de cierta empresa es F (x, y) =
x1/4 y 1/4 con w1 = w2 = 1, y que, por tanto, la curva de oferta (ver semana 5)
es:
z ∗ = 4p
y el beneficio es:
Π∗ =
p2
8
Ahora supongamos que la demanda del mercado es de la forma z = ap para
cierta a > 0, y que el equilibrio de “largo plazo” existe con N empresas
similares que van entrando al mercado. Es decir que:
a
= N z ∗ = 4N p∗
p∗
Y por lo tanto,
p∗ =
a 1/2
4N
Así, a medida que N crece, el precio de equilibrio decrece a cero y, por consiguiente, el beneficio también decrece a cero. De esta manera, el precio de
equilibrio de “largo plazo” es p∗ = 0 y sólo con infinitas firmas se puede alcanzar este equilibrio. En consecuencia, el equilibrio de “largo plazo” no existe.
ii) En la función de producción F (x, y) = x1/4 y 1/4 con w1 = w2 = 1, la curva de
oferta de corto plazo con y = k (ver semana 7) es:
z=

!1/3


kp





 4







0
si p ≥
si p <
4
33/4
4
33/4
!
k 1/2
!
k 1/2
Y, por lo tanto, la función de beneficios es:
Π=




−k




!



1


1/3 4/3

 − 44/3 k p − k
si p <
si p ≥
4
33/4
4
33/4
!
k 1/2
!
k 1/2
Así, está claro
que el beneficio de esta empresa es nulo sólo cuando
p∗ = 4/33/4 k 1/2 que depende de k.
230
Semana 8. Equilibrio parcial competitivo
Supongamos ahora que la demanda del mercado es de la forma z = a/p (con
a > 0 fijo) y que el equilibrio de “largo plazo” existe con N empresas similares
que entran al mercado. Es decir, que:
∗ 1/3
kp
a
=
N
∗
p
4
o bien,
N k 1/3 =
41/3 a
=
(p∗ )4/3
4
41/3 a
!
!4/3
33/4
=
k 1/2
3a
4k 2/3
Y así,
N k = 3a/4
Esto muestra que, entonces, el número de plantas N queda indefinido. Aún
más: si, por ejemplo, k = 100, a = 50, entonces N = 0.375, lo cual no tiene ningún sentido. En definitiva, el equilibrio de “largo plazo”, en este caso,
tampoco existe.
iii) En Jehle & Reny (2001) aparece un ejemplo numérico en el que se muestra
con claridad el problema del número entero de firmas que entran al mercado
en el “largo plazo”. Ellos suponen que la demanda agregada por cierto bien
está dada por p = 39 − 0.09x, y que el beneficio de la firma j en el largo plazo
es:
Πj (p) = p2 − 2p − 399
lo que, por el lema de Hotelling (Πj ′ (p) = yj ), conduce a que la curva de oferta
de la empresa j es yj = Πj ′ (p) = 2p − 2 que es mayor que cero sólo si p > 1.
Entonces, en equilibrio de “largo plazo” con entrada y salida de empresas, se
deben tener las ecuaciones
100
9
(39 − p) = N (2p − 2)
;
p2 − 2p − 399 = 0
Y estas dos ecuaciones arrojan p = 21 y N = 5, por lo que yj = 40. Sin
embargo, es muy fácil cambiar alguno de los parámetros de este problema
para mostrar que no siempre N es un número entero. Por ejemplo, basta
asumir que la demanda agregada del problema es p = 39 − x, dejando el resto
del problema intacto. Esto, inmediatamente, nos lleva a que N = 9/20, lo cual
no tiene ningún sentido.
Es muy usual que los libros de texto utilicen ejemplos convenientes que muestran únicamente lo que desean explicar. Pero casi nunca le señalan al lector
las dificultades que pueden tenerse en otros casos.
8.8. Estabilidad del equilibrio parcial
8.8.
231
Estabilidad del equilibrio parcial (modelo de
la telaraña)
Desde los años 1930 venía siendo claro que el concepto de equilibrio parcial presentaba muchos problemas. Ya señalamos situaciones no extremas en las que, simplemente, un estado de equilibrio podría no existir. Y ahondando más en la preocupación,
en 1934 Nicholas Kaldor y por aparte Wassily Leontief, y posteriormente Ezekiel
(1938), probaron que, inclusive, el equilibrio parcial –en caso de que existiera–
podía no ser estable bajo dinámicas muy razonables y que todo dependía de las
elasticidades de las curvas de oferta y demanda.
p
Exceso de
oferta
Precios al
alza
Precios a
la baja
Exceso de
demanda
y
y0
Equilibrio asintóticamente estable
p
p
y0
Equilibrio estable
y
y0
y
Equilibrio inestable
Figura 8.20. Modelo de la telaraña o dinámica del precio de un bien bajo equilibrio parcial.
En la figura 8.20 observamos tres tipos de comportamiento en la dinámica del
equilibrio parcial. El primer panel presenta el caso cuando el equilibrio parcial es
asintóticamente estable, significando esto que si el equilibrio parcial es perturbado
–por ejemplo, por variaciones en las cantidades dispuestas en el mercado o por
variaciones en el precio–, la dinámica antagónica entre oferta y demanda (aumento
de precio si la demanda supera a la oferta, y disminución de precio si la oferta
supera a la demanda), permitirá que el mercado regrese al equilibrio competitivo
donde la oferta es igual a la demanda.
232
Semana 8. Equilibrio parcial competitivo
Pero esto no siempre sucede. En la figura 8.20 (inferior derecha), observamos el
caso en el que el equilibrio parcial competitivo es inestable. Esto significa que si el
mercado presenta alguna perturbación en cantidad o precio, el equilibrio nunca más
se recobrará. Y la gráfica inferior izquierda muestra un caso un tanto extremo en el
que el equilibrio parcial es estable mas no asintóticamente estable. Esto significa que
una perturbación en cantidad o en precio, llevará al mercado a “girar” alrededor
del equilibrio pero sin acercarse a él y tampoco sin alejarse.
Ejemplo 6. (Caso de estabilidad asintótica del equilibrio parcial)
Ya sabemos (ejemplo 2 anterior) que si la curva de demanda agregada de una
economía es X = a − bP y la oferta agregada es Y = c + dP (con a, b, c, d escogidos
adecuadamente), el equilibrio parcial del bien X es:
X=
ad + cb
b+d
; P =
a−c
d+b
Ahora supongamos una dinámica en la que, en cada día t, la oferta Yt se iguala con
la demanda del día siguiente Xt+1 (lo que es ofrecido un día por los productores,
al día siguiente se espera que sea solicitado por el mercado). Es decir, Yt = Xt+1 11 .
Entonces, a partir de las ecuaciones de oferta y demanda, se tendrá que:
c + dPt = a − bPt+1
o, lo que es igual,
Pt+1 =
a−c
−
b
d
Pt
b
que es una ecuación en diferencias que nos arroja la dinámica de precios del mercado. La solución a esta ecuación la encontramos así:
t a−c
a−c
d
P0 −
+
Pt = −
b
d+b
d+b
donde P0 es el precio inicial12 . De aquí queda claro que si d/b < 1 entonces el término (−d/b)t tiende a cero a medida que t crece indefinidamente, y, por lo tanto,
el precio Pt converge al precio de equilibrio que es a−c
b+d , y que, en este caso, será
asintóticamente estable. Por lo anterior, basta que d < b en las rectas de oferta (Yt )
y demanda (Xt ), para que la dinámica Yt = Xt+1 converja al equilibrio parcial.
¿Pero esto qué significa? Veamos.
En primer lugar, es fácil calcular que la elasticidad-precio de la demanda en el
punto de equilibrio es:
bc − ab
ε1 =
ad + bc
11 Muchos de los productos agrícolas son ejemplos de este tipo de comportamiento, pues, típicamente, los campesinos siembran en un periodo y cosechan en otro.
12 Ver, por ejemplo, Monsalve (ed.) (2010). Sin embargo, el lector puede encontrar esta ecuación
recursiva simplemente haciendo iteración de la ecuación, una y otra vez.
8.9. Observaciones finales
233
bP
(Recuerde que la elasticidad-precio de la demanda es ε1 = − a−bP
y basta evaluar
a−c
esta elasticidad en el precio de equilibrio P = d+b ). Similarmente, la elasticidadprecio de la oferta en el punto de equilibrio es:
ε2 =
ad − cd
ad + bc
Luego si comparamos el valor absoluto de la elasticidad de la demanda ε1 (recordemos que la elasticidad de la demanda es negativa) con la elasticidad de la oferta
ε2 (que es positiva), encontramos que |ε1 | > ε2 si, y sólo si,
ab − bc
ad − cd
>
ad + bc
ad + bc
Pero después de una simple manipulación algebraica, esto nos lleva a que b > d; es
decir, a la condición para estabilidad asintótica. Entonces el requisito para estabilidad asintótica de esta dinámica de precios, es que la elasticidad de la demanda (en
valor absoluto) sea mayor que la elasticidad de la oferta. Es decir, que la demanda
sea más “sensible” al cambio de precio que la oferta. Podría darse, entonces, que
mayores posibilidades de sustitución del bien por otros, facilita la estabilidad del
precio competitivo de ese bien. A una generalización de este resultado para diferentes curvas de demanda y oferta, se le conoce como el “teorema de la telaraña”
(cobweb theorem)13 .
Una de las críticas fuertes a este modelo básico de dinámica es que nada se afirma
acerca del porqué la oferta y la demanda agregadas deberían permanecer inalteradas
mientras se comercia, ni cuáles son los límites de esta variación y tampoco la
duración de estos intervalos. Como lo aseguraba el mismo Ezekiel (1938):
La teoría de la telaraña revela una serie de reacciones (. . . ) ya que las dos curvas
[oferta y demanda] existen en diferentes dimensiones. (p. 261)
Tratando de especificar estas dinámicas, a partir de los años 50 comenzaron a
incorporarse las expectativas: eran los primeros “modelos de telaraña estocásticos”.
No sobra, entonces, señalar que aún el problema es tema de estudio y debate.
8.9.
Observaciones finales
En este momento estamos, entonces, en condiciones de resumir brevemente el problema de la existencia y la estabilidad del equilibrio parcial competitivo:
i) En primer lugar, no es típico que una empresa competitiva aislada opere en
el largo plazo pues, así presente rendimientos decrecientes a escala, tiene a
su disposición cualquier cantidad de insumos que requieran, y este tipo de
13 El Teorema de la telaraña fue presentado originalmente por Henry Schultz, Jan Tinbergen y
Umberto Ricci, casi de manera simultánea, en 1930. Posteriormente sería estudiado por Kaldor
(1934), Ezequiel (1938), Samuelson (1949) y Akerman (1957), entre otros.
234
Semana 8. Equilibrio parcial competitivo
empresas podrían tener altos niveles de escalas mínimas de eficiencia, lo que
se convierte en un obstáculo para la libre entrada y salida de empresas. Sin
embargo, es precisamente para este tipo de empresas, cuando representan a
toda la industria, que se puede garantizar, usualmente, que existe el equilibrio parcial de largo plazo (pues la oferta agregada continua y estrictamente
creciente, intersecta una demanda decreciente estrictamente a cero).
ii) En segundo lugar, para las industrias típicas bajo competencia perfecta (operando con rendimientos decrecientes a escala en el corto plazo y con bajos
niveles mínimos de eficiencia), una vez se agregan, puede no existir el equilibrio parcial de corto plazo, mediano plazo y “largo plazo” por múltiples razones
que ya hemos ilustrado. Inclusive estos tres conceptos temporales nos lleva a
contradicciones entre cuál de ellos toma más tiempo en consolidarse.
iii) De otro lado, el equilibrio parcial competitivo de largo plazo, en caso de existir,
podría inclusive no ser estable bajo múltiples dinámicas (modelo de la telaraña), siendo el problema de fondo que aún no se entiende exactamente cómo
se logra –ni en qué tiempos o plazos– la fijación de los precios de mercado
a través del comportamiento racional individual. No hay duda de que existe
una gran confusión por parte de la teoría neoclásica homogénea con respecto
al problema del tiempo, y esta ausencia de dinámica en el modelo da paso a
extrapolaciones falsas de la teoría y también a críticas bien fundamentadas14 .
Por ejemplo, y este es un punto central de la crítica sobre el equilibrio parcial,
se afirma que en competencia perfecta cada agente debe aceptar los precios
que dicte el mercado pero, al mismo tiempo, ese agente hace parte infinitesimal
de él con sus demandas y/u ofertas. ¿Entonces cómo puede tomar como dado
un precio que ese agente ayuda a formar, así sea de manera infinitesimal?
¿Cuando tomaban sus decisiones de maximización de utilidad y de beneficio,
los precios ya eran de equilibrio o estaban en desequilibrio? ¿Ya existía el
mercado que ellos mismos iban a formar?
Es esta crítica la que lleva a pensar que el modelo de equilibrio parcial es,
necesariamente, un modelo centralizado atemporal: un agente central (en ocasiones llamado “subastador” [Walras, 1874]) coloca los precios de equilibrio
que son los que toma como dados los agentes de la economía y, a partir de
allí, operaría el modelo de la telaraña. Quizás sólo bajo una figura imaginaria
como esta puede explicarse, teóricamente, la formación de precios. Y esto, obviamente, es absolutamente insatisfactorio. Sobre este tema ampliaremos en
el volumen II (Competencia bajo equilibrio general).
Así las cosas el panorama de este problema de asimilar la noción de equilibrio parcial
competitivo, arrojaría muchas dudas. La teoría neoclásica homogénea se defiende
imponiendo condiciones matemáticas bajo las cuales la existencia del equilibrio
14 Por ejemplo, ¿están sincronizados estos tiempos con las “fechas” que están asociadas a cada
una de las mercancías?
8.10. Nota histórica
235
parcial competitivo en cualquiera de los plazos, existe, es único y es estable. Usualmente, son condiciones asociadas a la idea de que toda industria competitiva opera
en el largo plazo y que la dinámica de formación de precios es apreciablemente
simple. Todo esto, sin embargo, es muy problemático y objetable.
8.10.
Nota histórica
8.10.1.
El valor del agua y los diamantes, según Menger
En su obra Principles of Economics, Menger (1871) atacó de manera clara la paradoja del agua y los diamantes que había planteado Adam Smith (1937). El problema
de Smith surge de la manera como él hace la distinción entre el “valor de cambio”
(que es el precio usual de mercado) y el “valor de uso” de un mismo bien. Así decía
Smith:
(. . . ) Nada hay más útil que el agua y, sin embargo, poco se compra con ella;
poco, por no decir nada, puede obtenerse a cambio. Un diamante tiene, por el
contrario, un escaso valor de uso; pero a menudo puede obtenerse a cambio una
enorme cantidad de bienes. (Libro I, cap. IV)
Para explicar el problema planteado por Smith, Menger mostraba en una tabla la
utilidad marginal decreciente de varios tipos de bienes a medida que aumentaba
su consumo. Y señalaba que un consumidor que tenga 8 unidades de agua pero
ninguna de diamantes, obtendrá con su ingreso una utilidad marginal de 2 en la
novena unidad de agua, pero una utilidad marginal de 3 para la primera unidad
de diamantes. Así, el valor de los diamantes es mayor que el del agua porque su
utilidad marginal es mayor. Por tanto, para Menger los diamantes no se valoran
por los costos que implica su producción, sino en función de la utilidad marginal
que les conceden los consumidores. Parecería asumir curvas de oferta inelásticas
tanto del agua como de los diamantes.
8.10.2.
El problema de la agregación del capital
Durante los años 1953–1954, la famosa economista de la Universidad de Cambridge (Inglaterra), Joan Robinson, en su artículo The Production Function and the
Capital Theory (1953) planteó el problema sobre la existencia de una medida de
unidad uniforme para las unidades de capital K dentro de una función de producción neoclásica con rendimientos constantes a escala de la forma Q = F (L, K)
donde L es mano de obra y K es capital. Decía que la función de producción ha sido
un poderoso instrumento para la mala educación económica. En particular, afirmaba que nada se explicitaba con respecto a cómo se medían las unidades de capital
K, y que antes de que el estudiante preguntara, el profesor apresuraba el siguiente
tema, con la esperanza de que se le olvidara la pregunta. Además, afirmaba que
este hábito era transmitido de generación en generación sin mayores objeciones.
Estas críticas de la señora Robinson fueron el origen de lo que dio en llamarse
la “Controversia Cambridge sobre el Capital” (Harcourt, 1969), ya que fueron re-
236
Semana 8. Equilibrio parcial competitivo
presentantes de las dos famosas escuelas de economía (Cambridge (Inglaterra) y
Cambridge (USA)) los que generaron y desarrollaron esta disputa académica. Por
parte de los ingleses, estuvieron, además de Joan Robinson, Piero Sraffa, Luigi
Pasinetti y Pierangelo Garegnani; y por el lado de los norteamericanos estuvieron
Paul Samuelson, Robert Solow y Frank Hahn, entre otros.
La controversia Cambridge es usualmente considerada por los defensores de la Escuela Neoclásica como “una tormenta en un vaso de agua”; una anomalía. Sin
embargo, para los de la Escuela Neoricardiana, la dificultad es de fondo y está
resuelta a su favor. Hoy, las corrientes más ponderadas creen que el problema no
es una anomalía pero que aún no está resuelto completamente. Veamos en qué
consiste.
Bien sabemos que, bajo competencia perfecta, una vez se postula una función de
producción de la forma Q = F (L, K), la teoría marginalista maximizadora del
∂F
(K ∗ ) = r/p donde K ∗ es la cantidad óptima de capital
beneficio afirma que ∂K
empleado, r es la tasa de interés nominal y p es el precio por unidad del bien
producido. Ambos precios son dados por el mercado. Ahora: si K fuera la medida
de un solo bien (digamos, máquinas de construcción), la dificultad sería “resuelta”
explicando el significado de las divisibilidades. Pero si con K se está midiendo “de
alguna forma” bienes de capital heterogéneo (máquinas, edificios y otros bienes
duraderos) entonces surgen los mayores problemas. Es claro, en primer lugar, que
no existe una unidad física homogénea de medida para estos bienes heterogéneos.
Luego parecería necesario recurrir a unidades (monetarias) de valoración del capital
(Wicksell, 1911) y esto se hace, usualmente, mediante el valor presente del futuro
bien producido Q. Es decir, la medida involucra el tiempo. Y, por consiguiente, una
tasa de interés. Entonces los académicos de Cambridge (Inglaterra) demostraron
que si se medía de manera agregada un stock de capital mediante el valor presente
del futuro bien producido, podría suceder:
1. Que la misma tecnología Q (de hecho, la misma relación K/L) estuviera
asociada con tasas de interés diferentes (figura 8.21)15 .
2. Que la curva de demanda por capital (K) no siempre tuviera pendiente negativa.
Obviamente, ambos resultados contradecían la ecuación ∂F/∂K(K ∗ ) = r/p asumiendo que Q = F (L, K) es la usual tecnología con rendimientos constantes a
escala bajo competencia perfecta.
La “controversia Cambridge del capital” es una de las más profundas críticas a
las bases de la teoría neoclásica y, en particular, a sus análisis estático (ceteris
paribus) y sin tiempo explicitados en las funciones de producción de la forma
15 Este fenómeno se conoce como el problema del reswitching and capital-reversing
(Sraffa, 1962). Recordemos que si Q = F (L, K) tiene rendimientos constantes a escala, entonces F (L, K)/L = F (1, K/L) y, por tanto, la producción per capita puede expresarse como función
de la relación per capita K/L (capital per capita).
8.10. Nota histórica
237
Q = F (L, K) [16] . En particular, con ellos, todos los procesos de acumulación
quedan obscurecidos.
r
K/L
Figura 8.21. Para la misma relación K/L puede haber varias tasas de interés r.
Sin embargo, la escuela neoclásica respondió de varias maneras a estas críticas pero
nunca convincentemente y ello se refleja en el siguiente comentario de Blaug:
La Escuela de Cambridge tiene la loca idea de que si tenemos una teoría simple
pero rigurosa, y entonces descubrimos una falla en ella que la hace más complicada
de usar, todo está acabado. Que si necesitamos cinco neumáticos para un carro en
lugar de cuatro, ya no tenemos carro y que entonces lo tendríamos que reemplazar
por un avión. (1976, p. 38)
Y también en la afirmación del mismo Solow (1956):
Toda teoría depende de hipótesis que no son del todo ciertas. Eso es lo que la hace
una teoría. (p. 65)
Inclusive algunos economistas se adhieren a la visión positivista de Milton Friedman
(1953) quien asegura que en un modelo económico, las hipótesis juegan un papel
secundario siempre y cuando las conclusiones expliquen de una manera satisfactoria
el fenómeno económico que se trata de estudiar:
(. . . ) la relación entre el significado de una teoría y el “realismo” de sus “supuestos”
es casi la opuesta a la sugerida por la opinión que estamos criticando. Se comprobará que hipótesis verdaderamente importantes y significativas tienen “supuestos”
que son representaciones de la realidad claramente inadecuadas, y, en general,
cuanto más significativa sea la teoría, menos realistas serán los supuestos (en este
sentido). La razón es simple. Una hipótesis es importante si “explica” mucho con
poco, esto es, si abstrae los elementos comunes y cruciales de la compleja masa de
circunstancias que rodean al fenómeno, permitiendo predicciones correctas sobre
la base de esos elementos únicamente.
Friedman, Essays in Positive Economics, 1953, p. 14.
16 El problema central de la economía clásica sobre cómo se generaba la riqueza en una economía,
lo había reducido la economía neoclásica homogénea al problema de la asignación eficiente a través
del mercado competitivo, como aclararemos la próxima semana.
238
Semana 8. Equilibrio parcial competitivo
Sin embargo, esta metodología de Friedman y sus seguidores también ha sido objeto
de fuertes críticas.
Ejercicios
(Observación: Los ejercicios señalados con uno (∗) o dos (∗∗) asteriscos tienen, a
juicio del autor, un nivel de dificultad un tanto o muy superior, con respecto a los
ejercicios corrientes que aparecen sin asterisco.)
1. a) En un mercado competitivo de la papa se establece el precio de equilibrio
del kilo. Si diez usuales compradores de papa, dejan de hacerlo, ¿cambiará
la curva de demanda? Explique.
b) (Falso o verdadero) Si hay un aumento en la demanda (oferta) de un mercado competitivo, es porque fue causado por muchos compradores (vendedores).
c) ¿Podría ser el mercado de obras de arte, un mercado competitivo? ¿Y el
mercado de apartamentos de una zona de la ciudad? Explique.
d) ¿Podrá darse una figura de oferta-demanda a la manera usual de la tijera
de Marshall, si el mercado no es competitivo? ¿O esto es exclusivo de los
mercados competitivos?
2. ¿Cuál es la demanda agregada de dos consumidores que demandan así: p1 =
3 − 2y1 , p2 = 7 − 5y2 ? Dibuje las tres demandas.
3. (Otra notación utilizada recurrentemente) Un bien tiene las siguientes funciones de demanda (Qd ) y de oferta (Qs ):
Qd = 600 − 10P
; Qs = −100 + 10P
a) Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio.
b) ¿Cuál es la elasticidad-precio de la oferta y la demanda en el punto de
equilibrio?
4. Dadas las siguientes funciones de oferta y de demanda:
Qd = 700 − 4P + 6Y − 12Py
Qs = −600 + 25P + 4K + L
; Y = 200,
; K = 80,
P y = 40
L = 70
donde, Y = ingreso, Py = precio de otro bien, K = capital, L = empleo:
a) Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio.
b) ¿Cuál es la elasticidad-precio de la oferta y la demanda en el punto de
equilibrio?
c) ¿Cuál es la elasticidad-ingreso de la demanda, allí?
Ejercicios
239
d) ¿Qué sucede con el equilibrio si el ingreso aumenta en 20 %? Efectúe el
cálculo y realice un análisis gráfico.
e) ¿Qué sucede con el equilibrio si el empleo se reduce en 30 %?
5. Recurriendo a la tijera de Marshall, decida, en cada caso, si la afirmación es
falsa (F) o verdadera (V):
a) En general, un aumento de la oferta de un producto (desplazamiento hacia
la derecha de la curva de oferta) origina un decremento del precio de
equilibrio y un incremento de las cantidades de equilibrio intercambiadas.
b) En general, un descenso de la oferta de un producto (desplazamiento hacia
la izquierda de la curva de oferta) origina un incremento del precio de
equilibrio y un decremento en las cantidades de equilibrio intercambiadas.
c) Un aumento en el consumo por temporada (pescado en semana Santa,
buñuelos en Navidad, etc.) se podría describir como un cambio temporal
de gustos (función de utilidad).
d) La inclusión de costos de transporte obliga a una subida de la curva de
oferta de un producto.
6. Recurriendo a la tijera de Marshall, señale el efecto de cuestiones climáticas
(sequías, inundaciones, etc.) en los precios de determinados productos agrícolas. Similarmente, en el caso de una huelga de productores de arroz o un
paro camionero.
7. (∗) Dibuje la oferta agregada para el caso de dos firmas de una industria
competitiva, en la que ambas tienen costos medios totales en forma de U,
aunque una de ellas alcanza el mínimo en $1, 000 y la otra en $2, 000. Muestre
que la curva de oferta es discontinua en dos puntos. Explique con una figura
adecuada, por qué si esta fuera la curva de demanda agregada de la industria
competitiva total, entonces podría no existir equilibrio.
8. Suponga que en una industria competitiva hay 10 empresas idénticas, todas
con costo marginal de largo plazo igual a C ′ (y) = y 2 . Suponga que se estima
que la demanda del bien que produce esa industria, está dada por P = 11−Y ,
donde Y es la producción agregada. Calcule el equilibrio competitivo de esta
industria. (Sugerencia: Podría llegar a la ecuación cuadrática Y 2 +10Y −110 =
0 y luego factorizar).
9. Imite el ejercicio anterior, pero ahora con n empresas idénticas.
10. Encuentre el equilibrio parcial competitivo (si existe) para la siguiente economía: I) 3, 000 consumidores, todos con U (x, y) = x1/2 + y y con presupuestos
iguales a M = 1. II) 50 productores de tipo Cobb-Douglas F (x, y) = x1/2 y
con y = 2. III) w1 = 5, w2 = 3.
240
Semana 8. Equilibrio parcial competitivo
11. En un mercado competitivo operan doscientas empresas con dos tipos de
tecnologías distintas. La empresa tipo 1 tiene función de costo de corto plazo
c1 (y) = y 3 − 4y 2 + 3y + 3 mientras que la empresa tipo 2 tiene la función de
costo c2 (y) = 3y 2 + 5. Cien empresas son de tipo 1 y también cien empresas
son de tipo 2. Si la curva de demanda es y = 8 − p:
a) Determine la curva de oferta de cada empresa.
b) Determine la curva de oferta agregada y el equilibrio de largo plazo si no
es posible la entrada de nuevas empresas.
c) Determine (si existe) el equilibrio de “largo plazo” con libre entrada y
salida de empresas.
12. (Equilibrio parcial en el comercio internacional) El típico esquema
marshalliano de equilibrio parcial (tijera marshalliana), también es utilizado,
a manera de herramienta introductoria, para ilustrar algunos elementos básicos de la teoría del comercio internacional. En la figura 8.22 se presentan la
oferta y la demanda de un bien que es susceptible de consumirse internamente
en el país, o bien, exportarlo: si el precio interno del bien es menor que el
precio internacional, el país exportará; pero si el precio interno es mayor que
el precio internacional, entonces el país importará.
p
p
Precio
internacional
Precio
interno
Oferta
Oferta
Exportaciones
Precio
interno
Precio
internacional
Importaciones
Demanda
Demanda
x
Si el precio interno es menor que
el precio internacional, el país
exportará
x
Si el precio interno es mayor que
el precio internacional, el país
importará
Figura 8.22. Equilibrio parcial en el comercio internacional.
Por su parte, en la figura 8.23 se muestra que la introducción de un arancel provoca un aumento del precio internacional y una disminución de las
importaciones. Chequee cuidadosamente la pertinencia de estas figuras.
13. Algunos defensores de los TLC en Colombia afirman que un país exportador aumenta el excedente del productor, disminuye el del consumidor, pero
aumenta el excedente social; es decir, el bienestar general de nuestro país.
En la figura 8.22 (izquierda), señale el área que representa el aumento del
excedente social con que estos defensores de los TLC podrían argumentar esta
afirmación recurriendo a un diagrama de equilibrio parcial.
Ejercicios
241
14. En la figura 8.23, pruebe que la introducción de un arancel provoca una
disminución del excedente del consumidor y un aumento del excedente del
productor, pero que este aumento, junto con los ingresos recaudados por
el Estado, no compensan la disminución del excedente del consumidor. En
consecuencia, se produce una pérdida de la eficiencia global de la economía.
p
p
Oferta
Oferta
Precio interno
Precio interno
Precio
internacional
sin arancel
Precio internacional
con arancel
Importaciones
Importaciones
Demanda
Demanda
x
x
Figura 8.23. La introducción de un arancel provoca una disminución de las importaciones.
15. Recurriendo a los esquemas del ejercicio anterior, resuelva el siguiente ejercicio
numérico. Suponga que la demanda doméstica de cierto bien en Colombia está
estimada por Qd = 100 − 20p y que la oferta doméstica es Qs = 20 + 20p.
a) Pruebe que en ausencia de comercio internacional (también llamada “autarquía”), el precio del bien será p = $2 y la cantidad comercializada será
Q = 40.
b) Ahora asuma que Colombia se abre al comercio internacional y se sabe que
el precio internacional del bien (después de hacer el cambio a la tasa oficial
de la moneda correspondiente) es pm = $1.5. Pruebe que, a este precio
mundial, Colombia importará 20 unidades del bien.
c) Dibuje una tijera marshalliana y señale allí las áreas correspondientes al
aumento de surplus de los consumidores y las pérdidas de los productores
en Colombia. Señale el área correspondiente al aumento total del surplus en
el país.
d) Suponga que el contexto internacional llevó a Colombia a una devaluación
de 15 %. ¿Cómo impactará esto en los surplus calculados en c)?
e) Cuando el precio internacional está por debajo del precio doméstico, un
país podría no importar toda la cantidad demandada sino establecer aranceles (tarifas) de importación o cuotas de importación. Esto con el fin de
no perjudicar al sector productor del país. Por ejemplo, puesto que la cantidad importada sin restricciones es Q = 20, el gobierno podría autorizar
importar sólo hasta Q = 8 (cuota de importación). Pruebe que el precio que
se cobrará internamente será de $1.8 (recuerde que el precio internacional
242
Semana 8. Equilibrio parcial competitivo
es $1.5). Con un diagrama marshalliano, muestre que, con respecto a la
libre importación, los productores domésticos mejorarán, los consumidores
domésticos empeorarán, y el surplus doméstico total disminuirá $4.2.
f) Ahora suponga que en vez de una cuota, el gobierno colombiano coloca un
arancel de $0.3 por unidad del bien y así el precio doméstico será $1.5 +
$0.3 = $1.8. Muestre que el diagrama marshalliano es similar al caso e)
anterior y el análisis de surplus (excedentes) es también similar, excepto
por una diferencia. ¿Cuál es esta?
16. Resuelva el mismo ejercicio anterior pero ahora adaptándolo y haciéndolo pertinente ante un precio internacional de pm = $2.5, dando origen a exportaciones.
17. (∗) (Modelo de telaraña con inventario) Escriba un criterio sobre las
demandas y las ofertas lineales para que el equilibrio
sea estable, inestable,
etc. con una dinámica dada por la ecuación Yt = 15 Xt+1 (la producción en el
tiempo t se vende en el siguiente periodo) donde Xt = a−bPt , Yt+1 = c+dPt+1
con a, b, c, d > 0.
18. (∗) Se asegura en la presente semana que existen problemas con respecto a la
existencia de una unidad básica de capital K en una función de producción de
la forma Q = F (L, K). ¿Será entonces que la unidad de medida del trabajo L
está bien definida? ¿Cuál sería esta medida? ¿Será posible medir, con la misma
unidad, la mano de obra de un obrero raso y la de un ingeniero civil durante
la construcción de un edificio?
Parte II
Fallas de mercado:
una introducción
243
Semana 9
Óptimo de Pareto y la noción de falla de mercado
9.1.
Introducción
Sólo desde 1930 ha llegado a ser familiar el nombre de Pareto entre los economistas
de habla inglesa quienes recogieron su nombre en combinaciones tales como ‘ranking Pareto’; ‘condiciones de tasa marginal de sustitución de Pareto’; ‘curvas de
posibilidades de producción Pareto-eficientes’; ‘satisfechos-Pareto’; ‘ley de Pareto’;
y, por supuesto, ‘optimalidad de Pareto’. Todo comenzó cuando Henry Schultz
(1933, 1938), Sir John Hicks y Sir John Allen (Lerner, 1934) (Hicks, 1939) revelaron por primera vez en inglés las potencialidades analíticas de la contribución
teórica de Pareto; cuando A. P. Lerner (Hicks & Allen, 1934), Abram Bergson
(1938), Harold Hotelling (1938) y Nicholas Kaldor (1939) abrieron camino a los
criterios de bienestar social, más tarde atribuidos a Pareto; y cuando A. C. Pigou
(1924) entre otros, expuso a la crítica la doctrina econométrica de distribución
personal del ingreso.
William Jaffé, Pareto translated: A Review Article, 1972, p. 1190.
¿Por qué es importante encontrar el equilibrio parcial competitivo? Porque, si existe, es eficiente y, más específicamente, porque, como veremos, es “eficiente en el
sentido de Pareto” (Vilfredo Pareto [1848–1923]), aunque no resuelve el problema
de la distribución “justa” de la riqueza. Este es el éxito (y el fracaso) del mercado
competitivo desde el punto de vista teórico. De hecho, cualquier factor que altere la
competencia perfecta (impuestos, subsidios, monopolios, oligopolios, monopsonios,
etc.) hará que los agentes –consumidores y productores– pierdan excedentes y, por
lo tanto, que el mercado ya no sea eficiente: se ha producido una “falla de mercado”.
Sobre estos problemas estudiaremos, de manera introductoria, durante estas tres
245
246
Semana 9. Óptimo de Pareto
últimas semanas. En el volumen III (Competencia bajo equilibrio de Nash) de esta
colección profundizaremos en el estudio de las diferentes fallas de mercado.
9.2.
Optimalidad paretiana del equilibrio parcial
Es corriente en la teoría del equilibrio parcial competitivo, construir una función
de bienestar social (o “función de excedente social” o “surplus social”) del agente
representativo en el mercado del bien x, así:
B(x) = U (x) − C(x)
donde U (x) es la satisfacción de consumir x unidades del bien, y C(x) es el costo
de producir x unidades del bien1 . Así, el bienestar que reciben los consumidores
al adquirir x unidades del bien está medido por la diferencia entre la satisfacción
que produce su consumo menos el costo que ha implicado producir esas mismas x
unidades. Pero la clave aquí es darnos cuenta de lo que sucede cuando se maximiza
esta función de bienestar B(x). Para ello, derivamos e igualamos a cero esta función
cóncava estricta 2 , obteniendo que:
U ′ (x) = C ′ (x)
(Condición de optimalidad social)
Pero resulta que esta condición de máximo bienestar social se satisface en el equilibrio parcial competitivo, si recordamos las dos ecuaciones de optimalidad de los
agentes representativos:
U ′ (x) = p∗
C ′ (x) = p∗
(Consumidor representativo)
(Productor representativo)
donde p∗ es el precio de equilibrio parcial en el mercado del bien x, que se obtiene
igualando la oferta (de largo plazo) y la demanda por el bien x.
De manera que si ambos agentes optimizan -maximizando utilidad (consumidores)
y maximizando beneficio (productores)- en un mercado bajo competencia perfecta,
el bienestar social también se maximiza. A esta situación se le llama “óptimo social”
en el mercado competitivo del bien x y se logra cuando el precio de venta del bien
en el mercado es, exactamente, el precio de equilibrio parcial competitivo. Así, la
“señal de precios” (mecanismo descentralizado), si es de equilibrio, induce a los
agentes a consumir o producir de manera “óptima”.
1 Recordemos (por la semana 2) que puesto que U (x) hace parte de una función cuasilineal de
la forma U (x, y) = U (x) + y donde y (ye) está medido en dinero, entonces se está asumiendo que
U (x) también está medido en dinero. Por lo tanto, tiene sentido la diferencia entre U (x) y C(x)
ya que ambas están medidas en la misma unidad.
2 Es cóncava estricta porque las funciones U (x) y −C(x) lo son. Lo primero debido a las utilidades marginales estrictamente decrecientes y lo segundo debido a los rendimientos decrecientes
a escala de la industria, que son, en principio, las dos hipótesis neoclásicas básicas para que el
equilibrio parcial exista.
9.2. Equilibrio parcial y optimalidad paretiana
247
Ahora: para entender por qué este estado es “óptimo”, primero escribimos el “excedente social” B(x) = U (x) − C(x), así:
B(x) = [U (x) − p∗ x] + [p∗ x − C(x)]
donde
U (x) − p∗ x = utilidad − gasto = excedente del consumidor
p∗ x − C(x) = ingreso − costo = excedente del productor
¿Y por qué U (x) − p∗ x es el excedente del consumidor? Para ello requeriremos, de
nuevo, de una pizca del concepto de integral (ver Apéndice matemático (sección
A.1) al final del texto). Advirtiendo lo que ocurrirá aquí, notemos que si U (0) = 0
(que podemos asumir pues no importará la escala en que esté medida la utilidad)
entonces se tendrá que:
Z x
∗
(U ′ (x) − p∗ ) dx
U (x) − p x =
0
que es el área entre la curva U (x) (curva de utilidad marginal) y p∗ , que coincide
con el concepto de excedente del consumidor ya estudiado en la semana 4 (sección
4.8).
′
p
′
C (x) = p
Área que mide
el excedente del
consumidor
p∗ = precio
de mercado
Área que mide
el excedente del
productor
′
U (x) = p
x
Figura 9.1. Distribución del excedente social entre excedente de productor y consumidor. La
suma de las áreas negra y gris es la mayor cantidad de dinero legal que puede producir la
competencia perfecta dados los gustos de los agentes y la tecnología de la industria.
Similarmente, para el excedente del productor p∗ x − C(x) con C(0) = 0 (es decir,
en el largo plazo) se tiene que:
Z x
(p∗ − C ′ (x)) dx
p∗ x − C(x) =
0
3
Y ya la figura 9.1 aclarará todo .
3 ¿Qué sucedería si C(0) 6= 0?
248
Semana 9. Óptimo de Pareto
De manera que no es posible distribuir de una manera diferente el excedente social
(suma de las áreas en negro y en gris en la figura 9.1) sin que uno de los dos agentes
representativos tome del otro, pero llevando a este último agente a la ineficiencia.
La distribución realizada por excedentes de esta manera se llamará un óptimo de
Pareto (social). Es decir, para que una distribución (entre el consumidor representativo y el productor representativo –industria–) del excedente social –riqueza de
la economía– sea óptimo de Pareto (o Pareto-óptima), ninguno de los dos agentes
podrá tomar surplus del otro sin ocasionarle una pérdida de eficiencia. En palabras
del propio Pareto (1909):
Diremos que los miembros de una colectividad gozan, en cierta posición, del máximum de ophélimité4 , cuando es imposible encontrar un medio de alejarse muy
poco de esta posición, de tal suerte que la ophélimité de que gozan cada uno de
los individuos de esta colectividad, aumente o disminuye. Es decir que cualquier
pequeño desplazamiento a partir de esta posición, tiene necesariamente por efecto
aumentar la ophélimité de que gozan ciertos individuos, y disminuir aquella de la
cual gozan otros; de ser agradable a unos y desagradable a otros.
Vilfredo Pareto, Manuel d’Économie Politique, 1909, cap. VI, §33.
Al final de cuentas, se mostraba cómo era que la competencia perfecta distribuía
entre el sector de consumidores y el sector de productores, toda la riqueza social
producida bajo sus parámetros: lo hacía de una manera eficiente-Pareto aunque,
como veremos, no necesariamente “justa”.
9.3.
Distribución del ingreso bajo productividad
marginal
Jevons, Menger y Walras aplicaron el análisis marginal de manera casi exclusiva a
la teoría del intercambio y la demanda, no haciéndolo así en el lado de la oferta,
lo que no les permitió estudiar con más generalidad el problema de la distribución
del ingreso que tan importante había sido para la economía clásica. En gran medida, suponían que la oferta estaba dada y que el problema de la economía era la
asignación de recursos de una oferta fija entre varios usos alternativos. No dieron
ninguna explicación general de las fuerzas que determinan los precios de los factores
de producción cuando la oferta de dichos factores era variable, ni, por consiguiente,
de las fuerzas que determinan la distribución del ingreso.
La teoría de la productividad marginal desde la perspectiva neoclásica, que fue
desarrollada por los marginalistas de la segunda generación, vino a cubrir esta
carencia, particularmente por el discípulo de Jevons, Philip Wicksteed (1894) y
también por John Bates Clark (1889), además de los trabajos de John Hobson
(1891) y Knut Wicksell (1893), entre otros. Todos ellos escribieron en un momento
en el que la desigualdad en la distribución del ingreso era una de las objeciones
4 El término “ophélimité” es como Pareto denominaba a la “utilidad”.
9.3. Distribución del ingreso por productividad marginal
249
fundamentales contra el sistema capitalista al que era asociado el modelo neoclásico.
Esta teoría postula que, bajo competencia perfecta, la producción agregada retribuye
a cada uno de sus factores (insumos) mediante productividad marginal en dinero.
Ilustremos esto con un ejemplo sencillo.
Primero, asumimos que la función de producción agregada es F (L, K) = La K 1−a−α
para α muy pequeño y 0 < a < 1 (obsérvese que estamos asumiendo que la industria
opera con rendimientos decrecientes a escala pero muy cercana a los rendimientos
constantes a escala). Puesto que:
∂F
w
=
∂L
p
,
∂F
r
=
∂K
p
(Condición de equilibrio bajo competencia perfecta)
∂F
la ecuación de Euler L ∂F
∂L + K ∂K = (1 − α)F (L, K) (ver Apéndice matemático
(sección A.10) al final del texto)5 nos lleva a que:
wL + rK = p(1 − α)F (L, K)
(∗)
De otro lado, como
∂F/∂L
=a
F/L
(elasticidad-trabajo de la producción)
entonces, ya que ∂F/∂L = w/p, se tiene que, en equilibrio,
w/p
=a
F/L
y de aquí se obtiene directamente que:
w
L = aF (L, K)
p
(∗∗)
Insertando (∗∗) en (∗) se obtiene que:
r
K = (1 − α)F (L, K)
aF (L, K) +
p
y haciendo α tender a cero, se obtiene el resultado
r
K = (1 − a)f (L, K)
p
(∗∗∗)
5 El primero en aplicar formalmente el teorema de Euler a la teoría de la distribución del ingreso
bajo competencia perfecta (aplicado a funciones homogéneas de grado 1) fue A. W. Flux (1894),
aunque bajo la influencia de la primera prueba matemática (sin teorema de Euler) por parte de
Wicksteed (1894) que es la ecuación de distribución.
250
Semana 9. Óptimo de Pareto
dondef (L, K) = La K 1−a (observemos el cambio de función de producción después
de hacer α tender a cero). Para la mano de obra (L) el procedimiento es similar y
se obtendrá que:
w
L = af (L, K)
(∗∗∗∗)
p
Sumando las ecuaciones (∗ ∗ ∗) y (∗ ∗ ∗∗) obtenemos que, bajo competencia perfecta
y en equilibrio,
w
r
L+
K = f (L, K)
p
p
que es la conocida ecuación de distribución del ingreso por productividad marginal.
Sin embargo, debemos ser cautelosos al interpretarla. Ella dice que si el salario w,
la renta r, el precio p y la elasticidad a son parámetros dados, entonces, la producción agregada (aquí modelada con una función homogénea de grado 1 (rendimientos
constantes a escala) y diferenciable) de equilibrio competitivo se distribuirá entre
L y K mediante proporciones w/p y r/p, que coinciden con sus respectivas productividades marginales. Debe entonces advertirse enfáticamente, que la ecuación de
distribución del ingreso no afirma que los precios de los factores estén determinados mediante las respectivas productividades marginales. La determinación de estos
precios, bajo competencia perfecta, las establece el mercado (oferta=demanda) y
no la oferta únicamente.
Inclusive se ha llegado a afirmar que dado que los precios de los factores y la
tecnología determinan la productividad marginal de equilibrio, pero también esta
determina los precios de los factores, entonces se presenta un problema de “circularidad” y que, por ello, la teoría marginalista es un completo error. Este tipo de
argumentos falaces están presentes en muchas ocasiones en nuestras aulas.
Podría trazarse el origen de este error al mismo John Bates Clark y a muchos de
sus contemporáneos que lo asumieron. Inclusive, para él este tipo de resultados
conformaba una “ley natural” o “ley moral” que justificaba el status quo: no se
podía hacer nada para aumentar los salarios de la clase trabajadora, ni se debía
hacer nada, ya que el mecanismo de mercado garantizaba que los trabajadores
recibían el salario que moralmente merecían:
Es el propósito de este trabajo demostrar que la distribución del ingreso en la
sociedad está controlada por una ley natural, y que esta ley, si trabaja sin fricción,
le dará a cada agente de producción la cantidad de riqueza que ese agente crea.
John Bates Clark, The distribution of wealth, 1899, p. V.
Y en otro aparte afirma:
Si a cada función productiva se le paga de acuerdo a la cantidad de su producto,
entonces cada hombre recibe lo que produce. Si trabaja obtiene lo que crea trabajando; si provee capital, obtiene lo que su capital produce; y si, además, ofrece
el servicio de coordinar mano de obra y capital, obtendrá el respectivo producto
que pueda ser separado de la producción. Sólo en una de estas formas puede un
9.4. La noción de falla de mercado
251
hombre producir algo. Si recibe todo lo que crea a través de estas tres funciones.
(p. 7)
En aquella época (y aun hoy, sabiendo del erróneo argumento) la “justicia moral”
de Clark fue tomada como una apología de la distribución del ingreso en un sistema
capitalista: la productividad marginal fue el “verdadero principio en el que descansa
el derecho de propiedad” según palabras del propio Clark (1899). Y esto desataría,
obviamente, el disgusto de los socialistas. Inclusive, argumentos como los anteriores
se utilizan para el estudio de qué tan apartada está una economía de la competencia
perfecta y cuáles son las participaciones del capital y del trabajo en el PIB de un
país. Por ejemplo, estimaciones econométricas mediante este tipo de argumentos
han mostrado un descenso vertiginoso de la participación de la mano de obra en
el PIB de Colombia después de las políticas de apertura de los primeros años 90.
Pero, como hemos dicho, esto es tema de seria discusión.
9.4.
La noción de falla de mercado
Bien sabemos que el modelo competitivo es un modelo ideal. Utópico. Pero esa
perfección absoluta de este modelo científico se rompe cuando trata de aplicarse en
los hechos económicos cotidianos. Al fin y al cabo, en “la realidad”6 hay “fricciones”
en el mecanismo de mercado como es, por ejemplo, la colocación privada de los
precios, sin descuidar que los agentes no son necesariamente racionales ni tampoco
tienen el don de la videncia. Y una consecuencia de esto es que se distribuye de
manera ineficiente el surplus social. Es decir, el mercado ya no asigna eficientemente
en el sentido de Pareto (1906). Ha aparecido una “falla de mercado”.
La epistemología neoclásica nos muestra qué casos considerar en primer lugar. Si
algún agente manipula precios se aleja de la competencia perfecta y genera ineficiencia. Ese es el caso del monopolio (un solo vendedor) y el monopsonio (un solo
comprador); del oligopolio (pocos vendedores) y del oligopsonio (pocos compradores); y también de la competencia monopolística (muchos aunque no “demasiados”
vendedores), etc.
Pero también se aleja de la competencia perfecta cuando se trata de proveer un bien
público (todos los bienes en competencia perfecta son privados); cuando se pierde la
información completa de los agentes del modelo competitivo y surge la información
asimétrica (algunos agentes saben más que otros; por ejemplo, la información de los
precios no es la misma para todos los agentes de la economía); y se rompe también
la competencia perfecta cuando aparece un agente externo a los agentes anónimos
de la competencia perfecta (por ejemplo, asignando impuestos y subsidios por parte
del gobierno); etc. Todas ellas conducen a ineficiencia y, por eso, se les considera
“fallas de mercado”.
Los tres primeros tipos de fallas de mercado (monopolio y monopsonio; oligopolio y oligopsonio; competencia monopolística) están abarcados por el término de
6 O, al menos, la realidad que se ve desde la perspectiva neoclásica.
252
Semana 9. Óptimo de Pareto
“competencia imperfecta” o también bajo el rótulo general de “organización industrial” (ver figura 9.2). Algunas de las fallas de mercado explícitas que acabamos
de mencionar serán estudiadas en este curso (obviamente, existen “fallas” que no
consideraremos aquí), aunque cada una con diferente intensidad y profundidad: al
fin y al cabo este es sólo un curso de introducción a la microeconomía.
1
empresa
r
2
empresas
“Pocas”
empresas
r
r
r
Oligopolio
Competencia
Competencia
monopolística
perfecta
Monopolio Duopolio
“Muchas”
empresas
“Infinitas”
empresas
r
Figura 9.2. Competencia según el número de empresas en el mercado.
Vale la pena resaltar, finalmente, que un alto número de las más comunes fallas de
mercado, están en el sector productivo de la economía, pues es más fácil asimilar
la posibilidad de consumidores competitivos que de firmas competitivas.
9.5.
Fallas de mercado causadas por impuestos y
subsidios
Cuando se impone un impuesto o un subsidio, aparecen dos precios en el sistema:
i) el precio de demanda (pd ), que es el precio pagado por los compradores del bien;
y ii) el precio de oferta (ps ), que es el precio recibido por los vendedores. Por ello,
existen varios tipos de impuestos y subsidios, y los más conocidos son:
Impuesto a la cantidad:
pd = ps + t, t > 0
Impuesto al valor: pd = (1 + τ )ps , τ > 0
Subsidio a la cantidad: pd = ps − s, s > 0
Subsidio al valor: pd = (1 − s)ps , s > 0
Y las correspondientes condiciones de equilibrio de mercado (demanda D = oferta
S) son:
Impuesto a la cantidad:
D(pd ) = S(ps ), pd = ps + t
Impuesto al valor: D(pd ) = S(ps ), pd = (1 + τ )ps
Subsidio a la cantidad: D(pd ) = S(ps ), pd = ps − s
Subsidio al valor: D(pd ) = S(ps ), pd = (1 − s)ps
9.5. Fallas de mercado por impuestos y subsidios
253
Para fijar ideas con un ejemplo sencillo, imaginemos que, inicialmente, una empresa
que produce tufis mediante la curva de oferta p = 3x, y que además la demanda del
mercado por tufis está compuesta por x = 70 − p. Luego, el gobierno decide cargar
un impuesto (lump sum) a la cantidad de $15 por unidad. Veamos (figura 9.3) los
cambios en la situación de equilibrio, y la aparición de una pérdida de bienestar
social (mejor conocida en la literatura como “pérdida irrecuperable de eficiencia”
o “deadweight loss”). Este es un valor que la sociedad no disfruta; es el costo de
oportunidad de aplicar el impuesto pues cada peso recaudado le cuesta más que
eso a la sociedad 7 .
En efecto: una vez se ha cobrado el impuesto a la cantidad, la curva de oferta
cambiará de la recta p = 3x a la recta p = 3x + 15; la cantidad vendida cambiará
de 17.5 unidades a 13.75 unidades; y el precio al comprador pasará de $52.5 a
$56.25. Así, el precio que enfrenta el productor será el precio de venta menos el
impuesto, es decir, $41.25; mientras tanto el comprador, ya dijimos, enfrenta un
precio de $41.25 + $15 = $56.25.
p
p = 3x + 15 p = 3x
A
Precio final al
comprador después
del impuesto
Impuesto 15
( 56.25
52.5
D
B
A: Excedente del consumidor
B: Recaudo del gobierno
(ingreso fiscal)
C: Excedente del productor
D: Pérdida irrecuperable
de eficiencia
41.25
Precio de venta
menos el impuesto
C
13.75
p = 70 − x
17.5
x
Figura 9.3. Ilustración de la pérdida irrecuperable de eficiencia por aplicación de impuestos.
9.5.1.
Impuesto a la cantidad
En la figura 9.3 se ven claramente el excedente del consumidor (triángulo superior
A) y el excedente del productor (triángulo inferior C ), dependiendo de los distintos
precios que enfrentan. Y también se observa el recaudo por parte del gobierno
(rectángulo B) por un valor de $(15)(13.75) = $206.25. Lo que llama la atención es
precisamente la pérdida de eficiencia (deadweight loss) que se ilustra en la figura con
el triángulo negro (D) a la derecha del rectángulo B que mide el recaudo (y al que
7 Aquí ignoramos, como es usual en la teoría neoclásica homogénea del mercado, los costos de
transacción asociados con el cobro de los impuestos.
254
Semana 9. Óptimo de Pareto
se le llama el “triángulo de Harberger” [Arnold Harberger (1924,–)]). La moraleja
es clara: la intervención del gobierno ha causado ineficiencia. Se ha producido una
falla de mercado.
En la figura 9.4 se ha establecido un mismo impuesto sobre el producto, pero ese
impuesto lo enfrentan dos tipos de consumidores con dos curvas de demanda diferentes, una más elástica que otra. La oferta, mientras tanto, permanece constante.
Allí se ve sobre cuál de los dos consumidores incide más este impuesto. En efecto,
dado que la demanda del consumidor de la izquierda es menos elástica que la demanda del consumidor de la derecha, le impactará más el impuesto (en el sentido
de que tomará más de su excedente) que en el caso del consumidor de la derecha.
Y esto se aclara, cuando pensamos en un bien con baja elasticidad (por ejemplo,
bienes de primera necesidad sin sustitutos tales como la sal o el agua). Un impuesto sobre ese bien, impactará más al consumidor que si fuese cargado sobre bienes
menos necesarios y con sustitutos.
p
p
A: Impacto sobre excedente del consumidor
B: Impacto sobre excedente del productor
A: Impacto sobre excedente del consumidor
B: Impacto sobre excedente del productor
A
A
B
B
x
Cuando la demanda es inelástica (por ejemplo,
bienes de primera necesidad sin sustitutos), es
el consumidor quien paga la mayor parte del
recaudo.
x
Cuando la demanda es elástica (por ejemplo,
bienes sustitutos perfectos), es el productor
quien paga la mayor parte del recaudo.
Figura 9.4. Incidencia de un impuesto a la cantidad.
Probemos matemáticamente lo anterior para un caso particular simple. Consideremos el caso de una demanda de la forma pd = a − bx y una oferta de la forma
ps = c + dx. En la figura 9.5 observamos que el recaudo del gobierno es igual a
(p1 ∗ − ps )x∗ = (p1 ∗ − p0 ∗ )x∗ + (p0 ∗ − ps )x∗ . Entonces tendremos que:
Incidencia sobre el consumidor =
=
Pago del consumidor en el recaudo total
Recaudo total
(p1 ∗ − p0 ∗ )x∗
p1 ∗ − p0 ∗
p1 ∗ − p0 ∗
=
=
(p1 ∗ − ps )x∗
p1 ∗ − ps
t
b
bt
=
=
(b + d)t
b+d
9.5. Fallas de mercado por impuestos y subsidios
255
que aumenta cuando b aumenta (permaneciendo d > 0 fijo). Y sabemos que b (la
pendiente (en valor absoluto) de la recta de demanda) aumenta si, y sólo si, disminuye la elasticidad-precio de la curva de demanda, como el lector fácilmente puede
probar. De manera similar se puede mostrar que la incidencia impositiva sobre el
productor es igual a d/(b + d) y que aumenta cuando d aumenta para b > 0 fijo. Es
decir, a mayor elasticidad-precio de la oferta, mayor será la incidencia impositiva
sobre el productor. Y el mensaje es claro: un productor que varía (porcentualmente)
en mayor proporción su oferta ante un cambio (porcentual) de precios, producirá
más (y, por consiguiente, tendrá que pagar más) ante un impuesto sobre el producto
que vende.
p
A: impacto sobre excedente del consumidor
B: Impacto sobre excedente del productor
p = ps + t
pd = a − bx
ps = c + dx
A
p∗ = (ad + b(c + t))/(b + d)
1
p∗ = (ad + bc)/(b + d)
0
ps = p∗ − t
1
B
x∗ =
x
a−c−t
b+d
Figura 9.5. Análisis de incidencia sobre el consumidor y el productor de un impuesto a la
cantidad.
9.5.2.
Curva de Laffer
Otro punto interesante y que puede ilustrarse a partir de nuestro problema inicial de
la figura 9.3, es qué sucedería si el impuesto continúa allí subiendo indefinidamente
con el objeto de aumentar el ingreso fiscal del Estado. Y lo que surge a partir de la
tijera de Marshall es intuitivamente claro: el recaudo (ingreso fiscal) eventualmente
caerá debido a que los impuestos altos reducen el tamaño del mercado. Este es el
origen de la curva de Laffer (ver figura 9.6). Para ilustrar esto, asumamos el ejemplo
de la sección anterior junto con su correspondiente figura 9.5. Allí se tiene que el
recaudo es:
R(t) = (p∗1 − p∗s )x∗ = t
a−c−t
b+d
y, por tanto, el impuesto t∗ en el que este recaudo es máximo es cuando R′ (t∗ ) = 0;
2
es decir cuando t∗ = (a − c)/2, que da origen a un recaudo máximo R(t∗ ) = (a−c)
4(b+d) .
256
Semana 9. Óptimo de Pareto
Por lo tanto, si b aumenta (es decir, la elasticidad-precio de la demanda disminuye)
el recaudo máximo disminuye.
precio
Recaudo
fiscal
de l
nto to
e
s
m
Au pue
im
Curva de Laffer
cantidad
impuesto
Figura 9.6. En el panel de la izquierda, el recaudo va creciendo a medida que aumenta el
impuesto pero, a partir de un punto crítico, el recaudo comienza a decrecer ante un aumento del
impuesto. En el panel de la derecha se señala la curva generada por los recaudos ante
variaciones del impuesto. Esta última se conoce como curva de Laffer (Arthur Laffer [1940,–]).
9.5.3.
Subsidio a la cantidad
En la figura 9.7 se observan ahora el excedente del consumidor, el excedente del
productor, el gasto fiscal del gobierno al pagar el subsidio, y, por supuesto, la
pérdida irrecuperable causada por la acción del gobierno en el mercado competitivo.
p
p = 90 − x
p = 2x p = 2x − 20
A
B
D
C
G
EF
H
x
Figura 9.7. Subsidio a la cantidad: otra falla de mercado.
En efecto: aunque el excedente del consumidor inicialmente es igual a A+B, después
del subsidio aumenta a A+B+D+E+F, pues tendrá que enfrentar ahora un precio
más bajo. Similarmente, el productor tenía un excedente inicial igual a D+H, pero
después del subsidio recibirá un excedente igual a B+C+D+H, pues el mercado le
ha permitido un precio de venta más elevado. El costo fiscal en que incurre el
gobierno por esta política de subsidio es de B+C+D+E+F+G. De este costo, D+E+F
9.6. Precios mínimos, máximos y cuotas
257
fue a manos del consumidor y B+C fue a manos del productor. Y entonces surge
la pregunta: ¿en manos de quién quedó la parte G del costo fiscal del subsidio?
Y la respuesta es simple: es la pérdida irrecuperable de bienestar. Es decir, la
intervención del gobierno le restó una cantidad G al surplus total inicial A+B+D+H,
para entonces obtener A+B+D+H-G.
9.6.
Precios mínimos, máximos y cuotas
Otra forma en la que el gobierno puede actuar sobre un mercado competitivo,
consiste en colocar precios mínimos, precios máximos o cuotas en algunos mercados,
en lugar de permitir el precio de mercado competitivo que, por alguna razón de
equidad, el gobierno no considera conveniente para sus ciudadanos (suponiendo que
en la realidad tal precio existe).
1. Un precio mínimo es un precio por encima del precio de equilibrio competitivo. Un caso típico es en el mercado laboral: surge cuando el salario de
equilibrio es inferior al salario de sobrevivencia, justificando así la existencia
del salario mínimo (figura 9.8).
Salario
Excedente
disminuído para
las empresas
Pérdida irrecuperable
de eficiencia
Salario minímo
Oferta de trabajo por
parte de los trabajadores
Salario de
equilibrio
Demanda de trabajo por
parte de las empresas







Excedente
aumentado para
los trabajadores
Exceso de oferta
= desempleo
Mano de obra
Figura 9.8. Salario mínimo como precio mínimo.
De acuerdo con lo que explica la teoría neoclásica de la competencia perfecta,
el salario mínimo es una falla de mercado que causa desempleo o informalidad
y genera pérdidas de eficiencia. Por lo menos, a nivel microeconómico, tiene
impactos opuestos sobre los ingresos de los trabajadores, especialmente no
calificados, y sobre las ganancias de las empresas. Sin embargo, esta posición
dista de tener consenso, debido a que los salarios mínimos pueden justificarse
por razones de eficiencia o como una intervención orientada a corregir fallas
de mercado. De acuerdo con diferentes estudios (por ejemplo, BID et al.
(2004)), el balance entre los beneficios del mayor salario y el costo de las
258
Semana 9. Óptimo de Pareto
menores posibilidades de empleo tiende a ser positivo y, por lo menos, en
el corto plazo, los aumentos del salario mínimo mejoran la distribución del
ingreso laboral. Sin embargo, todo esto es discutible.
Debe advertirse, no obstante, que los precios mínimos también aparecen en
otros mercados tales como los de los productos agrícolas en algunos países.
2. Precio máximo (o tope) es un precio por debajo del precio de equilibrio que
busca generar un exceso de demanda que “jalone” el mercado. Casos típicos
son los precios máximos de arrendamiento, de medicamentos y también los
precios de la vivienda de interés social VIS (figura 9.9).
Precio de
vivienda VIS
Excedente del
comprador
de vivienda VIS
Pérdida irrecuperable
de eficiencia
Precio máximo
(
Excedente del
productor
de vivienda VIS
Exceso de demanda
de viviendas
Número de viviendas VIS
Figura 9.9. El precio de la VIS como precio máximo.
Dentro de los problemas que originan los precios máximos están que estos
tienden a estimular el comercio ilegal (por ejemplo, los mercados negros) y
también la discriminación (por ejemplo, por raza, religión, etc.).
3. Las cuotas: la imposición de cuotas por parte del gobierno (por debajo de la
cantidad competitiva) tiene como principal objetivo aumentar el bienestar de
los consumidores. Pero ello implicará la reducción del excedente del productor
y, por supuesto, la correspondiente pérdida de eficiencia (figura 9.10) debido al
aumento de precio por encima del precio competitivo. En ocasiones se asimila
que las cuotas funcionan como una combinación entre un precio mínimo y una
prohibición a la entrada al mercado. Sin embargo, uno de los problemas que
presenta el sistema de cuotas es que se basan, en ocasiones, en producciones
muy anteriores, sin evolucionar junto con los métodos de producción y la
tecnología. Por ello se hace necesario renegociarlas regularmente.
9.7. Dinero en equilibrio parcial
259
precio
Excedente del
consumidor
Pérdida irrecuperable
de eficiencia
Excedente del
productor
x∗ = cuota
cantidad x
Figura 9.10. Las cuotas como fallas de mercado.
9.7.
Dinero en equilibrio parcial
Desde los trabajos de los mismos pioneros neoclásicos, la economía neoclásica ha
venido intentando incorporar el dinero en los modelos de equilibrio parcial y general. Los problemas técnicos involucrados para hacerlo han sido formidables, pues el
surgimiento del dinero en estos ambientes de equilibrio presupone ciertas fricciones
tales como costos de información, ya que el proceso de intercambio descentralizado en economías monetarias no puede describirse simplemente como un proceso
multilateral sin costo.
Hoy en día se estudian diversos modelos, unos más exitosos que otros, pero ninguno completamente indiscutible. Entre ellos están 1) los modelos que incluyen
el dinero en la función de utilidad (como es el caso de nuestras funciones cuasilineales); 2) los modelos de dinero por adelantado (Cash in advance models); 3) los
modelos de búsqueda (Search models); y 4) los modelos de generaciones traslapadas
(Overlapping generations models). Sin embargo, para algunos de los pioneros neoclásicos, el problema de incorporar el dinero en sus modelos de equilibrio fue reducido a la “ecuación cuantitativa del dinero” dada por:
M = kP Y
donde M es la masa monetaria nominal media en circulación (puesta a disposición
de la economía por las autoridades monetarias); P es el nivel general de precios;
Y es la producción de la economía; y k es una constante que mide la periodicidad
con la que se efectúan los pagos de salarios, y que es casi inalterable en el corto
plazo. Y después reducían esto a una ecuación de equilibrio parcial (igualdad entre
oferta y demanda de dinero). Así, los desequilibrios entre la oferta y la demanda
de dinero serían causas de las alteraciones en el nivel general de precios (P ).
En numerosas ocasiones, esto es todo lo que se afirma sobre el papel del dinero en
el modelo neoclásico de equilibrio parcial que estamos estudiando en este curso: el
260
Semana 9. Óptimo de Pareto
Banco Central imprimirá dinero de manera proporcional al valor de la producción
de la economía (PIB), para que las transacciones puedan llevarse a cabo con moneda
legal respaldada por la autoridad monetaria, y con esto basta para que el modelo
simplificado de equilibrio parcial de intercambio estudiado por la economía neoclásica homogénea, funcione. Sin embargo, debemos advertir que el análisis del dinero
aún en un modelo descentralizado de equilibrio (parcial o general) es un reto para
los años por venir a pesar de los indudables éxitos de algunas teorías monetarias.
9.8.
Nota histórica
9.8.1.
Sobre el origen del término “falla de mercado”
Quizás donde las contribuciones de Pareto son más reconocidas es en la teoría del
bienestar económico. A principios del siglo XX (Pareto, 1906) mostró con claridad
y cierto rigor, algo que estaba quizás implícito en la teoría económica desde, por
lo menos, Adam Smith y su Wealth of Nations y sus seguidores: que un equilibrio
bajo competencia perfecta es también un óptimo de Pareto (hoy conocido como
el “Primer Teorema del Bienestar Económico”)8 . Y todo se debió, en una gran
medida, a la definición relativamente precisa de competencia perfecta por parte de
los pioneros neoclásicos (en especial, Walras).
Pero una vez estuvo bien definida la característica normativa del equilibrio competitivo, también estuvo al alcance la idea misma de “falla de mercado” y los problemas
de distribución asociada. Y aunque la noción de ineficiencia del mercado ya se tenía también desde el siglo XVIII de Smith y su “mano invisible”, hasta los pioneros
neoclásicos, el desarrollo de la noción de “falla de mercado” vino a decantarse en
el segundo tercio del siglo XX. De hecho, y esto es una curiosidad, el momento en
que aparece explícitamente el término “falla de mercado” es en Bator (1958). Allí,
la definía así:
¿Qué es lo que significa una “falla de mercado”? Típicamente, al menos en la teoría
de la asignación, entenderemos la falla de un sistema más o menos idealizado de
instituciones precio-mercado que sustenten actividades “deseables”, o que detengan
actividades “indeseables”. La deseabilidad de una actividad, a su vez, se evalúa
respecto a las soluciones de algún problema explícito o implicado de maximización
del bienestar. (p. 351)
Y aunque es la antípoda del comportamiento competitivo y de la economía neoclásica homogeneizada, la noción misma de “falla de mercado” es controversial. Una de
las críticas que se hace, consiste en qué entendemos por “eficiencia”. A diferencia
de la noción paretiana, algunos economistas, principalmente la escuela austríaca
(Menger, Hayek, von Mises, etc.), han planteado redefinir las nociones mismas de
competencia y eficiencia económica hacia un criterio de competencia y eficiencia
dinámica y no estática como lo plantea la teoría neoclásica del equilibrio parcial y
general (Meijer (ed.), 2008). Más aún, y desde otra perspectiva, algunos aseguran
8 Aunque se reconoce que Walras lo anticipó en esto.
9.8. Nota histórica
261
que la acción gubernamental podría estar “corrigiendo” el mercado hacia niveles
de eficiencia paretiana que no conllevan asignaciones “más justas”.
Inclusive otros, aún aceptando la noción paretiana de eficiencia, afirman que las “fallas de mercado” no son, necesariamente, un llamado automático a la intervención
estatal, en parte debido a que esta intervención puede aún empeorar la situación
que intentaban hacer más eficiente (por ejemplo, por deficiencias en el acopio de información). A esta situación la han dado en llamar “falla gubernamental” (Stiglitz
& Atkinson, 1976; Stiglitz, 1998).
Aún más allá, se afirma que la visión de una economía desde las “fallas de mercado”,
impide revelar otros aspectos de ineficiencia económica del sistema capitalista, como
son, por ejemplo, los dispares niveles de distribución del ingreso y, en general, los
problemas de cambio económico y social. En efecto, el análisis de la eficiencia de la
asignación es un sistema de referencia insuficiente para atacar a fondo problemas
políticos y sociales que exigen la formulación de juicios de valor. Esto, la teoría
neoclásica lo deja a la teoría de la elección social y no sólo a la teoría de la asignación
eficiente.
9.8.2.
El modelo de competencia perfecta como modelo del
laissez faire, del capitalismo o de una economía de
mercado
El diccionario MIT de economía moderna (Pearce, 1992) define así la noción de
“capitalismo”:
(Es un) sistema económico, social y político, en el que la propiedad, incluyendo los
activos de capital (capital assets) están bajo la propiedad y el control, en su mayor
parte, de personas naturales. El capitalismo contrasta con un sistema económico
anterior tal como el feudalismo, en que la mano de obra se compra a través de
un salario monetario y no a través de la costumbre, el deber o la obligación. Y
difiere del socialismo principalmente en su prevalencia de la propiedad privada, en
contraposición a la propiedad social de los medios de producción. Bajo el capitalismo se utiliza el sistema de precios como mecanismo de asignación de recursos
entre distintos usos. El grado en que se utiliza el mecanismo de precios, el grado
de competencia en los mercados y el nivel de intervención del gobierno, distingue
las formas exactas del capitalismo. (p. 52)
Por su parte, el mismo diccionario define una “economía de mercado” como
(...) un sistema económico en el que las decisiones acerca de la asignación de recursos y de la producción se llevan a cabo sobre la base de precios generados por
intercambios voluntarios entre productores, consumidores, trabajadores y propietarios de los factores de producción. La toma de decisiones en tal tipo de economía
es descentralizada -i.e. las decisiones las toman grupos e individuos de manera independiente en lugar de planificadores centrales-. Sin embargo, las economías de
mercado pueden funcionar, hasta cierto punto, bajo propiedad social. (p. 266)
262
Semana 9. Óptimo de Pareto
De otro lado, la doctrina del laissez faire-laissez passer (dejar hacer-dejar pasar)
tiene su base en los trabajos de la escuela fisiocrática desarrollada en Francia durante el siglo XVIII y asociada principalmente con Quesnay y Turgot. Esta escuela
se oponía a toda intervención gubernamental en la industria, especialmente con los
impuestos, de los que sólo aceptaba un impuesto a la tierra: creían en un orden
natural que incorporaba leyes naturales que permitían ejercer el derecho a disfrutar de los beneficios de la libertad de guiarse por el interés propio. Los fisiócratas
ejercerían mucha influencia en la economía clásica y también, muy especialmente,
en Adam Smith. Para este, los individuos que actúan por puro interés particular
conformarán una fuerza progresiva para la maximización de la riqueza total de una
nación. En este propósito, el gobierno tendría un papel permisivo, reduciéndose a
crear el aparato legal que permitiera estas acciones individuales.
Si seguimos estas “definiciones”, podríamos decir, sin ninguna duda, que el modelo neoclásico de competencia perfecta y fallas de mercado, tal como lo venimos
enseñando en este texto, se asimila mucho más a un modelo de una economía de
mercado y de laissez faire que a un modelo para el sistema económico capitalista
(que es, de acuerdo con la definición, demasiado general). Inclusive, es también posible asimilar el modelo aquí presentado, a un sistema de “socialismo de mercado”
(Lange et al., 1938) en el que los medios de producción pueden ser de propiedad social además de que las decisiones de desarrollo son tomadas de manera centralizada,
pero en el que las operaciones de la economía se dejan al mercado.
Y ampliamos la idea (desde la perspectiva de sus pioneros teóricos) de por qué el
modelo de competencia perfecta y fallas de mercado (modelo neoclásico homogéneo) es apenas una muy pálida representación analítica del capitalismo. El primer
gran teórico del capitalismo fue Karl Marx (1818–1883), para quien la gran diferencia entre la entonces naciente época capitalista y otras épocas es el rápido y
continuo cambio en los modos de producción y en el movimiento de las instituciones
sociales en pos de la acumulación del capital: el capitalista compra la capacidad
de trabajo del obrero, pero este no tiene derecho de propiedad sobre el producto
de su actividad. No hay duda de que Marx fue el primero que vio que la lógica del
capitalismo era el crecimiento sin límite.
Quizás el segundo gran teórico del capitalismo fue Thorstein Veblen (1857–1929),
conocido como el “padre del institucionalismo americano”. Para Veblen el capitalismo no podría analizarse únicamente desde el punto de vista económico, pues habría
que observarlo desde la perspectiva sociopolítica, sociológica y antropológica, y todo abarcado dentro de un marco evolutivo. Entre los fenómenos del capitalismo
estudiados por Veblen se encuentran: 1) La naturaleza y evolución del sistema empresarial americano; 2) Las raíces y consecuencias del imperialismo; 3) El creciente
rol de los medios de comunicación en la política económica; 4) Los orígenes, naturaleza y significación del “consumismo”. Y desde estas cuatro perspectivas muestra
que el capitalismo es un sistema, una lógica, una mecánica, cuyo objetivo es la
acumulación.
9.8. Nota histórica
263
Otro de los grandes teóricos del capitalismo fue Joseph Schumpeter (1883–1950).
En Capitalism, Socialism and Democracy de 1942, analiza los dos sistemas económicos. Para él, mientras el problema generalmente considerado era el de cómo el
capitalismo administra lo existente, lo importante es descubrir cómo el capitalismo
crea y destruye sus propias estructuras, siendo el espíritu de iniciativa (por ejemplo,
la extensión de las diversas formas de monopolio) el principal motor de evolución
económica del capitalismo contemporáneo en donde el empresario es el auténtico
héroe.
No siendo, obviamente, los anteriores autores los únicos en el estudio del capitalismo ni los únicos enfoques teóricos (no hemos mencionado aquí, por ejemplo, a
François Perroux ni a la vieja y nueva escuela institucionalista norteamericana de
Veblen, Commons, Mitchel, y tampoco a North, Myrdal, Galbraith, etc.), al final
de cuentas, al aparecer el mercado como el único procedimiento de coordinación,
se soslayan las grandes visiones teóricas del capitalismo como sistema económico,
dejando a la economía neoclásica –de la cual el modelo de equilibrio parcial aquí
enseñado es un referente principal– el análisis de los mercados interdependientes
pero sin ningún extracto social, histórico ni económico de las instituciones que le
subyacen.
Al final, que el modelo de competencia perfecta fue creado para ser un modelo
a escala del laissez faire y/o de un sistema de mercado capitalista, es tema de
muy álgido debate y central a las discusiones de economía política. Para ilustrarlo,
basta con señalar el caso muy importante de uno de los pioneros de la economía
neoclásica y que describe bien las circunstancias sociales, políticas y económicas
de finales del siglo XIX: León Walras. este fue acusado de ser defensor del laissez
faire-laissez passer y también de construir, en sus Éléments de 1874, un modelo
para estudiar el capitalismo (ver, por ejemplo, Morishima, 1977). Con respecto a lo
primero, aunque, efectivamente, el modelo de competencia perfecta que aparece en
los Éléments de Walras fue diseñado por él para describir el laissez faire, lo hizo con
un propósito científico: conocer los límites del mercado libre. Sin embargo, nunca
fue su defensor aunque sí afirmaba que la solución competitiva era superior desde
el punto de vista científico, pero no era aplicable mecánicamente a las situaciones
reales:
(. . . ) Me parece que usted me considera un defensor de la competencia libre absoluta. . . pero lo que es cierto es lo opuesto; más bien ha sido el deseo de responder
a la mal fundada e ininteligible aplicación de la noción de competencia, lo que me
ha llevado al estudio de la competencia libre en el comercio y la producción.
Jaffé, 1965, p.36, citando a Walras.
Aún más allá, Walras siempre creyó firmemente en la intervención del Estado,
aunque sólo hasta el punto en que asegurara la “igualdad de condiciones” (que, en
particular, requiere que la tierra sea propiedad del Estado y que no sea heredada
de unos a otros) y evitara la “desigualdad de posiciones” (que requiere que las
habilidades personales les sean dejadas a los individuos). Sólo en esta forma, según
él, podrían evitarse los posibles perjuicios de, por ejemplo, el monopolio privado:
264
Semana 9. Óptimo de Pareto
Libertad del Individuo, Autoridad del Estado, Igualdad de Condiciones, Desigualdad de Posiciones: esta es la fórmula general de la constitución de la ciencia social.
Una vez se aplique esta fórmula (. . . ) la ley del comportamiento del Hombre estará
científicamente establecida, como lo es la ley del movimiento de la Tierra alrededor
del Sol.
Walras, Économie Appliquée, 1898, p. 453.
De hecho, como reformador social presentó algunas teorías sobre la propiedad de
la tierra y la reforma de su distribución, llamando la atención sobre la urgencia
en este punto de la intervención del Estado en la economía. Esto, en contravía de
los economistas franceses de la época, que insistían en limitar al máximo el papel
del Estado en la economía. Por esto, Walras se vería obligado a estudiar los límites
del Hombre como parte del Estado y al Hombre como individuo, y los respectivos
dominios de la propiedad individual y de la propiedad del Estado en asuntos de
distribución, y esto lo haría en su Économie Appliquée y Économie Sociale. Para él
la economía aplicada (Économie Appliquée) fue, precisamente, la aplicación de sus
concepciones de economía pura (Éléments) y filosofía científica (Économie Sociale)
como fórmula para alejarse del laissez faire-laissez passer.
De otro lado, tampoco ninguna de las categorías concernientes al capitalismo aparece en el modelo de competencia perfecta de Walras. Los Éléments fueron diseñados
para mostrar cómo podría funcionar un sistema imaginario de conformidad con
ciertos criterios morales de justicia de acuerdo con las leyes filosóficas naturales,
aunque, por supuesto, atado a las pasiones, intereses y restricciones del mundo material. Era un modelo que estaba en el dominio de la ciencia, en el de las ideas y
en el del ideal de perfección9 .
Por consiguiente, uno de los más graves problemas en la interpretación correcta
–es decir, científica– del modelo de competencia perfecta, es la aparición de visos
ideológicos sobre él. De hecho, este modelo neoclásico (que en este curso está apenas en su versión de equilibrio parcial) ha dado origen, fundamentalmente, a tres
posiciones:
a) Aquellos que creen que el modelo de competencia perfecta describe muy adecuadamente la economía de libre mercado en un sistema capitalista y que su
optimalidad señala la no necesidad de la intervención del Estado.
b) Aquellos que creen que el modelo de competencia perfecta no describe adecuadamente la economía de mercado porque en ella aparecen “fallas” tales como
las “externalidades” (contaminación, etc.), las huelgas, etc. y que esto obliga a
una intervención, en alguna medida, del Estado.
9 Marshall, por su parte, siempre estuvo convencido de que el interés privado y el interés social
no son armónicos al mostrar que el laissez faire no se daba en numerosas situaciones. Sin embargo,
este argumento no lo llevó mucho más de allí. El estudio y exploración de este problema quedaría
en manos de su sucesor en la cátedra de Cambridge: Arthur C. Pigou (1877–1959).
Ejercicios
265
c) Aquellos que consideran que el modelo de competencia perfecta no describe
más que una economía que no existe y que confiar en la teoría de las fallas de
mercado es profundizar aún más en la equivocación.
Obviamente, el debate seguirá abierto y no hay remedio a la vista para esto. Sólo que
la simple observación del modelo científico de equilibrio parcial tal como lo hemos
enseñado en este curso, nos debería mostrar claramente sus alcances y limitaciones.
Lo demás es ideología.
Ejercicios
(Observación: Los ejercicios señalados con uno (∗) o dos (∗∗) asteriscos tienen, a
juicio del autor, un nivel de dificultad un tanto o muy superior, con respecto a los
ejercicios corrientes que aparecen sin asterisco.)
1) Suponga que la ecuación presupuestaria es p1 x + p2 y = M . El gobierno decide
establecer un impuesto de suma fija t al bien x, y un subsidio de suma fija al bien
y de s. Exprese algebraica y gráficamente la nueva restricción presupuestaria.
¿Podría esto causar suboptimalidad Pareto en la demanda agregada?
2) Frente a un equilibrio inicial dado por las curvas Qd = 200 − 2p y Qs = 60 + 5p,
se aplica un impuesto al consumidor de $5 por unidad vendida. Calcule el precio
y la cantidad de equilibrio previos a la aplicación del impuesto, y grafique la
situación inicial en este mercado. Plantee las nuevas ecuaciones de oferta y
demanda, una vez aplicado el impuesto a los productores. Calcule el nuevo
precio y cantidad de equilibrio en el mercado; aclare cuánto recibirá por unidad
el productor y cuánto pagará el consumidor. Calcule la incidencia impositiva
sobre el consumidor y sobre el productor. Muestre gráficamente y calcule la
recaudación del gobierno por la aplicación del impuesto.
3) En un mercado competitivo operan 100 empresas idénticas con función de producción Y = F (L, K) = L1/2 K 1/2 . La demanda de mercado por el producto es
X = 1, 000 − 20p, y los precios de los insumos son wL = wK = 4. Si en el corto
plazo el capital disponible para cada empresa es K ∗ = 16:
a) Determine el equilibrio competitivo de corto plazo.
b) (∗) Estudie los efectos sobre este equilibrio de las siguientes medidas del
gobierno:
i) Un impuesto t = 2 sobre el precio del producto.
ii) Un impuesto del 10 % sobre los beneficios.
iii) Un impuesto del 50 % sobre el factor fijo.
4) Utilizando la tijera marshalliana oferta-demanda, decida si es cierta la afirmación de cierto político que asegura que “un cambio tecnológico reduce el precio
de mercado del producto”. (Sugerencia: Piense bien su respuesta).
266
Semana 9. Óptimo de Pareto
5) (∗) Suponga que la oferta interna de cierto producto en el país es p = 3x;
la demanda interna es x = 70 − 2p, y que el país se ha abierto al mercado
internacional, donde el precio del producto es $20, y el “costo de internación”
(arancel más costo de transporte) es $5. Mediante una gráfica adecuada, señale
el precio y la cantidad de equilibrio, el recaudo, los excedentes y la pérdida
irrecuperable de eficiencia.
6) (∗) (Una economía Robinson Crusoe) En este ejercicio presentaremos una
primera aproximación a la teoría del equilibrio general que es la teoría que
busca integrar todos los mercados simultáneamente, sin aislarlos. Y para ello
estudiaremos el problema de equilibrio con dos bienes y un sólo agente: Robinson
Crusoe. En esta versión el náufrago Crusoe se encuentra en una isla, solitario, y
tratando de sobrevivir con sólo dos opciones: recolectar fruta o pescar. Se asume
que puede hacer esto utilizando únicamente sus horas de trabajo, mediante las
siguientes fórmulas:
p
p
;
y = 0.5 ly
x = lx
donde x es el número de frutas; y (ye) es el número de pescados; lx es el número
de horas empleadas por Crusoe en conseguir frutas, y ly es el número de horas
empleadas en pescar. Aquí, las raíces cuadradas indican que los rendimientos
son decrecientes pues existen limitadas cantidades de estos recursos en la isla.
Además note que conseguir frutas tiene el doble de dificultad con respecto a
pescar.
Ahora supongamos que Robinson sólo tiene L horas diarias disponibles para
estos dos oficios. Por lo tanto, lx + ly = L, y esto, nos conduce a que la “frontera
de posibilidades de producción” (FPP) (Lerner, 1932; Haberler, 1933) también
conocida como “función de transformación”, es el sector de la elipse (figura 9.11)
x2 + 4y 2 = L
y
b
b
b
Producción imposible
para la economía
Producción posible y
eficiente de la economía
Producción posible pero
ineficiente de la economía
x
Figura 9.11. Conjunto y frontera de posibilidades de producción de la economía Crusoe.
La FPP es uno de los más sencillos instrumentos de análisis económico, por cuanto ilustra ideas básicas de la teoría económica tales como: eficiencia/ineficiencia,
Ejercicios
267
pleno empleo de los recursos productivos, costo de oportunidad, crecimiento
económico/retroceso económico. Y como todo modelo, se basa en una serie de
supuestos: una economía que produce dos bienes, un nivel de recursos productivos dado, y un nivel tecnológico dado. Por ejemplo, en nuestro caso, Crusoe
sólo sería eficiente si está sobre la FPP de la figura 9.11, en un punto interior
sería ineficiente y un punto exterior estaría por fuera de sus posibilidades.
Sin embargo, también Robinson tiene gustos sobre las frutas y el pescado. De
hecho, le gustan igualmente, y siempre necesita combinar de los dos alimentos.
Esto se confirma mediante la función de utilidad
U (x, y) =
√
xy
El problema para Robinson es, precisamente, cómo distribuir adecuadamente
su tiempo diario entre los dos oficios, de tal manera que se sienta satisfecho al
máximo con su alimento. Entonces su problema es ubicar en la FPP la asignación
de fruta y pescado que le dé mayor utilidad. Es decir, debe resolver
Maximizar
sujeta a
√
xy
x2 + 4y 2 = L
El ejercicio aquí consiste en que el lector resuelva este problema de optimización
y llegue a la conclusión de que a pesar de ser más difícil conseguir frutas que
pescados, Robinson debe recoger diariamente el doble de frutas que de pescados,
dependiendo esta cantidad del número de horas L que le dedique a la recolección
de alimentos. También se pide que ilustre este ejercicio con una gráfica de la
frontera de posibilidades de producción.
7) (∗∗) (Variación compensada y equivalente [Hicks (1939b, 1941)]) La
variación compensada y equivalente son dos herramientas que nos permiten
analizar cómo los cambios en la relación de precios de ciertos bienes, pueden ser
tratados de manera que su nivel de utilidad sea el mismo antes o después de
este cambio, haciendo una modificación en la renta que el consumidor recibe.
Estos cambios generalmente se realizan vía impuestos y subsidios.
i) La variación compensada (V C) determina la cantidad de la renta que se
debe dar o retirar ante un cambio en la relación de precios, de manera que
su nivel de utilidad no se vea afectado. En otras palabras, determina el
cambio en la renta necesario para que ante la nueva relación de precios, su
nivel de utilidad permanezca constante (ver figura 9.12). En esta notamos
que se debe modificar la renta de tal forma que el consumidor se desplace
del punto A al punto, C , sin que su nivel de utilidad se vea modificado.
El cálculo de la variación compensada se determina por las funciones del
gasto, de la siguiente manera:
V C = e(p1 , p2 , U0 ) − e(p1 , p2 ′ , U0 )
268
Semana 9. Óptimo de Pareto
y
y
Aumento del precio del bien y
Disminución del precio del bien y
M
′
p2
M
p2
A
A
C
M
′
p2
C
M
p2
U0
B
U1
B
U1
U0
x
M/p1
x
M/p1
Figura 9.12. Variación compensada (V C).
ii) Por otro lado, la variación equivalente (V E) señala la cantidad de renta
que se debe entregar o solicitar de tal manera que con la relación de precios
original pueda alcanzar el nivel de utilidad que lograría con la nueva relación de precios (ver figura 9.13). Allí notamos que la renta debe variar de
tal forma que el consumidor se mueva del punto A al punto C . Así, su nivel
de utilidad será igual al nivel que alcanzaría si la variación en los precios
se hubiera aplicado. El cálculo de la variación equivalente estará dado por:
V E = e(p1 , p2 ′ , U1 ) − e(p1 , p2 , U1 )
y
y
Disminución del precio del bien y
Aumento del precio del bien y
M
′
p2
M
p2
A
M
′
p2
A
C
M
p2
U0
B
C
U1
B
U1
M/p1
U0
x
M/p1
x
Figura 9.13. Variación equivalente (V E).
Ahora con esta herramienta podemos responder las siguientes preguntas:
a) Calcule la variación equivalente y la variación compensada para la función
de utilidad cuasilineal y también para la función Cobb-Douglas.
Ejercicios
269
b) ¿Cuál es la relación entre el excedente (surplus) del consumidor y la variación
equivalente?
c) ¿Cuál es la relación entre el entre el excedente (surplus) del consumidor y la
variación compensada?
d) Suponga que existe una reforma tributaria que busca gravar ciertos productos
de la canasta básica familiar. ¿Qué herramienta emplearía el lector si le
solicitan calcular el subsidio que las familias más vulnerables deben recibir
de manera que no vieran afectada su calidad de vida?
Semana 10
Monopolio
10.1.
Introducción
Cournot [tomó] los hechos conocidos palpables respecto a las relaciones entre precio, producción y consumo de mercancías, e investigó estas relaciones analíticamente y diagramáticamente con un poder y lucidez que deja poco qué desear. Este
trabajo debe ocupar una posición notable en la historia. Es extraño que me hubiera
correspondido a mí, ser el descubridor de su valor entre los ingleses1 .
Jevons, The Theory of Political Economy, 1871, p. XXIX.
Estoy en deuda con mi padre, Auguste Walras, por los principios fundamentales de
mi doctrina económica; y con Augustin Cournot por la idea de utilizar el cálculo
de funciones en la elaboración de esta doctrina.
Walras, Éléments, 1900, p. 122.
Bajo la guía de Cournot, (. . . ) fui llevado a darle gran importancia al hecho de que
nuestras observaciones de la naturaleza, (. . . ), no se relacionan tanto con cantidades
agregadas, sino con incrementos de cantidades, y que, en particular, la demanda
por un bien es una función continua, de la cual el incremento marginal es, en
equilibrio estable, balanceado contra el correspondiente incremento de su costo de
producción.
Marshall, Principles of Economics, 1920, p. VIII.
Su “Recherches” todavía es la mejor afirmación en forma matemática de algunas
de las más altas generalizaciones en la ciencia económica.
Edgeworth, Antoine Augustin Cournot, 1926, p. 445.
1 Aunque reconoció explícitamente que ya Marshall había “descubierto” a Cournot en 1860.
271
272
Semana 10. Monopolio
Por definición, un monopolio es una estructura de mercado de cierto producto
homogéneo (es decir, sin sustitutos “cercanos” y con idénticos estándares), en el
que sólo hay un vendedor y muchos compradores competitivos. Es una de las “fallas
de mercado” más estudiada y, quizás, menos entendida. El término “monopolio”
proviene del griego “mono”= único y “poleo”= vender, y su primera referencia
podría remontarse a Aristóteles, aunque los monopolios han aparecido a lo largo
de la historia desde la más remota antigüedad.
Los grandes monopolios que surgieron a finales el siglo XIX fueron de la mano con el
desarrollo de la revolución industrial y comienzos de la era capitalista. Las razones
principales de la existencia de estos monopolios han sido las patentes (I+D), las
licencias de exclusividad, los costos fijos y los rendimientos crecientes a escala.
Por su parte, un monopsonista es un productor que es el único comprador de un
insumo (bien o servicio). El término proviene del griego “mono”= único y “psonio”=
comprador. Haremos, entonces, también un breve análisis del monopsonio simple.
10.2.
El problema básico del monopolista
Existen, fundamentalmente, dos clases de monopolio:
i) Monopolio legal (ordinario o simple). Creado por licencias otorgadas normalmente por el gobierno. Por ejemplo, la explotación minera (petróleo, oro, carbón, etc.) y las patentes legales (nuevas drogas farmacéuticas, los derechos de
autor, las franquicias, etc.). Aunque en ocasiones con altos costos fijos, asumiremos aquí, al nivel de nuestro curso, que estos monopolios operan (en el
corto o largo plazo) con rendimientos decrecientes a escala y en algunos casos,
constantes a escala. El primer tratamiento formal de la teoría del monopolio
ordinario es debida a uno de los más grandes precursores de la teoría neoclásica: el matemático y físico Augustin Cournot (1801–1877). El tratamiento aquí
presentado es relativamente cercano a la formulación de sus Recherches sur
les principes mathématiques de la théorie des richesses de 1838.
ii) Monopolio natural. Originado cuando una firma puede servir a todo el mercado eficientemente, ya que los costos medios son más bajos con una sola firma
que con varias. En general, operan con costos fijos altos y con rendimientos
crecientes a escala. Por ejemplo, acueductos, ferrocarriles, redes de electricidad, gas, etc., son casos en los que puede surgir un monopolio natural. Fue
Malthus (1815) el primero en reconocer y Mill (1848) el primero en tratar, el
problema del monopolio natural2 .
En este curso no discutiremos a fondo los monopolios naturales pues, en general,
tratan con economías de escala, y esto, para hacerlo rigurosamente, requiere de
2 Otros ejemplos de monopolio natural pueden ser los mercados de materias primas escasas en
una región o país, en donde sólo existe un proveedor que es el dueño de los terrenos en donde se
explotan.
10.3. Equilibrio del monopolista
273
herramientas teóricas y formales más allá de los alcances de este volumen3 . Asumiremos entonces –con algunas excepciones ocasionales–, que nuestro monopolista es
de tipo legal (ordinario o simple), y que, aunque está en capacidad de colocar el precio de venta de su producto, también enfrenta un mercado competitivo de insumos
(es decir, toma los precios de los insumos como dados). Por lo tanto, su función de
costos se calcula de la misma forma que lo hemos hecho para la empresa competitiva. También asumimos que los consumidores se comportan de manera competitiva
con una función agregada cuasilineal, acatando los precios que el mercado les dicta.
Para comenzar, aceptemos que el problema principal del monopolio legal es:
Maximizar
y≥0
Π(y) = py − c(y)
con la condición de que p = p(y) es la función inversa de demanda competitiva agregada, y c(·) es el costo de la empresa monopolista. Asumimos, para que
este problema tenga solución, que la segunda derivada del beneficio py − c(y),
a saber, (p(y) + yp′ (y) − c′ (y))′ = 2p′ (y) + yp′′ (y) − c′′ (y), es menor que cero.
Esto estaría satisfecho si, por ejemplo, c(x) es convexa (es decir, la tecnología
opera con rendimientos decrecientes o constantes a escala) y la curva de ingreso marginal ((yp(y))′ = p(y) + yp′ (y)) tiene pendiente negativa, es decir, que
(p(y) + yp′ (y))′ = 2p′ (y) + yp′′ (y) < 0.
Ahora: existen múltiples formas de garantizar esta última condición de optimalidad
de un monopolista. Por ejemplo, la más usual es si el productor tiene rendimientos decrecientes o constantes a escala en el corto o en el largo plazo (c′′ ≥ 0)
y el consumidor (competitivo) representativo con función de utilidad cuasilineal
U (y, z) = U (y) + z satisface la condición 2U ′′ (y) + yU ′′′ (y) < 0 donde p(y) = U ′ (y).
Aquí debemos observar que aunque U ′′ (y) < 0, también es cierto que puede ser que
U ′′′ (y) > 0, lo que no permite asegurar que la desigualdad 2U ′′ (y) + yU ′′′ (y) < 0
se dé para cualquier función de utilidad U (·) estrictamente cóncava.
Sin embargo, existen dos formas fundamentales de función de utilidad U (·) muy
utilizadas al nivel de un primer curso de microeconomía y en las que se puede
garantizar que la condición 2U ′′ (y) + yU ′′′ (y) < 0 siempre se tiene:
1. La primera es U (y) = ay − (b/2)y 2 + c (con a, b, c > 0) pues, en este caso,
2U ′′ (y) + yU ′′′ (y) = −2b < 0. Este tipo de función da origen a una recta de
demanda decreciente ya que la ecuación p = U ′ (y) se traduce en la ecuación
p = a − by.
2. La segunda función de utilidad es de la forma U (y) = by α con b > 0 y 0 < α <
1, pues 2U ′′ (y) + yU ′′′ (y) = 2bα(α − 1)y α−2 + (y)(bα(α − 1)(α − 2)y α−3 ) < 0
si, y sólo si, 2(α − 1) + (α − 1)(α − 2) < 0, o bien si 2 + (α − 2) > 0, lo cual
es cierto pues α > 0.
3 Emprenderemos este estudio en el volumen III: Competencia bajo equilibrio de Nash.
274
10.3.
Semana 10. Monopolio
Equilibrio del monopolista
Con hipótesis como las establecidas anteriormente, derivamos e igualamos a cero
la función de beneficio del monopolista
Π(y) = p(y)y − c(y)
y arribamos, entonces, a que la condición de primer orden para máximo beneficio
es:
p(y) + yp′ (y) = c′ (y)
(Ingreso marginal = costo marginal)
de donde se desprende (con p′ (y) = dp/dy) que:
dp/dy
p(y) 1 +
= c′ (y)
p(y)/y
Y así,
1
p(y) 1 +
= c′ (y)
ε(y)
(Ecuación de equilibrio del monopolista)
donde ε(y) = (dy/dp)/(y/p) es la elasticidad-precio de la demanda del producto.
Ahora: en equilibrio, la elasticidad-precio de la demanda ε(y) en el problema del
monopolista es menor que −1, pues si diera el caso −1 ⩽ ε(y) < 0, entonces el
ingreso marginal
1
p(y) 1 +
ε(y)
sería menor o igual a cero, y no podría ser igual al costo marginal, que es mayor que
cero. Es decir, para maximizar el beneficio, un monopolista (legal) siempre opera
en la parte elástica de la curva de demanda (ver figura 10.1). Además, notemos
que:
1
c′ (y) = p(y) 1 +
< p(y)
ε(y)
y así, en equilibrio del monopolista se tendrá que c′ (y) < p(y). Como consecuencia,
al maximizar el beneficio, el monopolista coloca cantidades de su producto en el
mercado a un precio superior que su costo marginal, y por lo tanto, superior al
precio de competencia perfecta4 .
4 Al respecto, Martin Shubik (1987, p. 125) afirmaba: “El lector promedio tiende a desconocer
que las presentaciones en los libros de texto de la condición de optimización ‘costo marginal igual
a rendimiento marginal’ para el monopolio, y de ‘costo marginal igual a precio’ para una firma en
competencia perfecta, vienen directamente del trabajo de Cournot (incluyendo una investigación
sobre las condiciones de segundo orden).”
10.3. Equilibrio del monopolista



p
275
P
a
re rte
ct e
a lá
de s t
de i c a
m de
an l
b
da a
Solución del
monopolista




pm
′
Costo marginal = c (y)
′
Ingreso marginal = p(y) + yp (y)
= p(y)(1 + 1/ε)
Demanda = p(y)
y
ym
Figura 10.1. Equilibrio de un monopolista legal.
Un problema aquí radica en que, entonces, no todos podrán acceder a ese bien o
servicio. Y como era de esperarse, bajo monopolio (en otras palabras, un productor
que define cantidad y precio del bien) el mercado “falla”, es decir, se pierde surplus
en la forma de pérdida irrecuperable de eficiencia. La figura 10.2 muestra que, en
este caso, la mayor pérdida de surplus le correspondería al consumidor, y esto era
esperable.
p
Excedente del
consumidor
pm
Pérdida
irrecuperable
Costo marginal
(oferta)
pc
Demanda
Excedente
del productor
Ingreso
marginal
ym
yc
y
Figura 10.2. Análisis de excedentes bajo monopolio legal.
Nota 1.
Obsérvese en la figura 10.2 que la ineficiencia en la asignación monopólica es equivalente a la que se tendría después de aplicar un impuesto sobre el volumen de ventas
de tal forma que desplazara la curva de costos marginales hacia arriba. ¿Cuánto
sería el valor de este impuesto?
276
Semana 10. Monopolio
Ejemplo 1.
Un monopolista con una función de costo de largo plazo C(y) = y 2 se enfrenta a
la curva de demanda competitiva y = 12 − p. ¿Qué precio fijará y qué cantidad
venderá? Comparemos con el caso competitivo.
Solución.
El problema es maximizar el beneficio Π = (12−y)(y)−y 2 que nos lleva a 12−2y =
2y. Y así, y ∗ = 3, p∗ = 9; y, además, Π∗ = 18 (figura 10.3). Notemos en esta figura
que el punto (3,9) está en la parte elástica de la curva de demanda. En efecto: la
elasticidad-precio de la demanda allí es:
ε=
dy/dp
−1
= ∗ ∗ = −3 < −1
y/p
y /p
De otro lado, en el caso competitivo el problema es:
py − y 2
Maximizar
y≥0
lo que nos lleva a que la curva de oferta es y = p/2. Y así, al igualar esta a la
demanda obtenemos p/2 = 12 − p ó p∗ = 8; y así, y ∗ = 4 y Π∗ = 16 (figura 10.4).
Demanda
12
Costo marginal
p∗
m = 9
b
Ganancias
Costo medio
3
Ingreso
marginal
y∗ = 3
6
12
y
Figura 10.3. Monopolio para el caso del ejemplo 1.
Comparando la figura 10.3 (monopolio) con la figura 10.4 (competencia perfecta),
observamos que la cantidad ofrecida al mercado por el monopolio es menor que
la cantidad ofrecida por la competencia perfecta. Y también el precio competitivo
es menor que el precio colocado por el monopolista. Es conveniente notar que
la diferencia esencial es la recta de ingreso marginal: en competencia perfecta es
horizontal (elasticidad infinita) y para el monopolista esta recta es inclinada.
10.3. Equilibrio del monopolista
277
p
Demanda
12
Costo marginal
(curva de oferta)
Costo medio
p=8
Ingreso marginal
(¿por qué es constante?)
Be
ne
fic
io
s
b
4
y∗ = 4
y
12
Figura 10.4. Competencia perfecta para el caso del ejemplo 1.
Ahora: para observar la pérdida de eficiencia causada por este monopolista, en
la figura 10.5 se lleva a cabo una comparación de surplus en las dos diferentes
estructuras de mercado, mostrando el efecto que se tiene sobre la competencia
perfecta, cuando un solo productor controla la oferta del producto.
p
p
12
12
A
A
C
p∗ = 9
b
p∗ = 8
b
B
B
y∗ = 3
6
12
y
A: Excedente del consumidor = 4.5
B: Excedente del productor = 18
C: Pérdida irrecuperable de eficiencia = 1.5
y∗ = 4
12
y
A: Excedente del consumidor = 8
B: Excedente del productor = 16
Figura 10.5. Comparación de excedentes bajo monopolio y competencia perfecta.
Ejemplo 2. (Pérdidas en monopolio)
Un monopolista con una función de costo de corto plazo C(y) = y 2 + a con a > 0
fijo, se enfrenta a la curva de demanda competitiva y = 12 − p. ¿Qué precio fijará
y qué cantidad venderá? Comparemos con el caso competitivo.
278
Semana 10. Monopolio
Solución.
El problema, en este caso, es:
Maximizar
Π = (12 − y)(y) − (y 2 + a)
Para analizarlo, distingamos tres casos:
Caso I (a > 18). Aquí, el beneficio siempre será negativo pues
Π = (12 − y)y − (y 2 + a) = −2(y − 3)2 + 18 − a < 0
Por lo tanto, el monopolio, en este caso, arrojará pérdidas a la empresa debido
a los costos fijos incluidos en la constante a.
Caso II (a = 18). En este caso, el beneficio será igual a
Π = −2(y − 3)2
lo que obligará a que la oferta del monopolio sea exactamente y ∗ = 3 porque,
en otro caso, obtendrá pérdidas. El precio será p∗ = 9.
Caso III (a < 18). En este caso, derivamos el beneficio Π con respecto a y
(ye) e igualamos a cero y también encontramos p∗ = 9, y ∗ = 3.
Por su parte, observemos el caso competitivo y también distingamos tres casos:
Caso I (p < 2(a)1/2 ). Aquí, el beneficio py − (y 2 + a) siempre será negativo
pues
py − (y 2 + a) = −(y 2 − py + a) = −[(y − p/2)2 − p2 /4 + a]
y ambos términos dentro del paréntesis son positivos ya que (y − p/2)2 ≥ 0
y también (dada la hipótesis) se tiene que −p2 /4 + a > 0. Por lo tanto, la
competencia perfecta, en este caso, le arrojará pérdidas a la empresa debido
a los costos fijos incluidos en la constante a.
Caso II (p = 2(a)1/2 ). En este caso,
py − (y 2 + a) = −(y − a1/2 )2
lo que obligará a que la oferta sea exactamente y = a1/2 porque en otro caso,
obtendrá pérdidas.
Caso III (p > 2(a)1/2 ). En este caso (ver figura 10.6) la parábola hacia abajo
del beneficio versus la producción y (ye), nos indica cuál será la oferta de este
empresario: derivando py − (y 2 + a) con respecto a y (ye) e igualando a cero,
obtenemos que:
y ∗ = p/2
Y esta, igualada a la demanda y = 12 − p, nos arroja el precio y la cantidad
de equilibrio bajo competencia perfecta:
p∗ = 8 ,
y∗ = 4
10.3. Equilibrio del monopolista
279
Finalmente, comparando estos con los valores de equilibrio del monopolista
(p∗ = 9, y ∗ = 3) observamos que, como es usual, el precio monopolista es mayor que el competitivo y su cantidad es menor. Sin embargo, también notamos que
para que este equilibrio competitivo exista, debemos tener que 8 > 2(a)1/2 ; es decir,
a < 16.
Beneficio
Producción y
Figura 10.6. Beneficio bajo competencia perfecta a medida que la producción aumenta.
Ejemplo 3. (Monopolio y rendimientos a escala)
Vamos a estudiar varios casos que nos permitirán comenzar a entender las necesidades tecnológicas de un monopolista ordinario:
a) Supongamos primero que la tecnología del monopolista es F (x, K) = Kx donde
K > 0 es fija. Y además supongamos, inicialmente, que U (y, z) = y 1/2 + z.
Entonces:
i) La demanda inversa es p(y) = 1/ 2y 1/2 y el ingreso marginal es
yp′ (y) + p(y) = 1/ 4y 1/2 .
ii) De otro lado, el costo total es C(y) = w1 (y/K) + w2 K, por lo que el costo
marginal es C ′ (y) = w1 /K.
iii) La ecuación de equilibrio del monopolista (ingreso marginal igual a costo
marginal) nos lleva a que:
w1
1
=
K
4y 1/2
de donde la cantidad de producto colocada por el monopolista es
y ∗ = (K/4w1 )2 , a un precio por unidad p∗ = 2w1 /K (que es el doble
del precio competitivo que coincide con el costo marginal).
iv) Finalmente, la demanda por el insumo x es:
x∗ =
y∗
K
=
K
(4w1 )2
y el beneficio es Π = p∗ y ∗ − C(y ∗ ) = [(1/16w1 ) − w2 ]K que para
4(w1 w2 )1/2 > 1 es negativo, independientemente del valor de K.
Es decir, sólo si los costos de los insumos w1 y w2 son “pequeños”, podrá esta
tecnología con rendimientos constantes a escala, generar beneficios para esa
280
Semana 10. Monopolio
demanda dada. Una empresa de este tipo, seguramente desaparecería y, dada la
demanda, podrían, quizás, aparecer pequeñas y pocas empresas proveyéndola.
b) Supongamos ahora que la demanda sube de tal manera que la utilidad es
U (y, z) = Ay 1/2 + z donde A > 0, aunque la tecnología sigue siendo la misma. De esta manera:
1/2
i) La demanda inversa es p(y)
y el ingreso marginal está dado por
= A/2y
′
1/2
yp (y) + p(y) = A/ 4y
.
ii) La ecuación de equilibrio del monopolista (ingreso marginal igual a costo
marginal) nos lleva a que:
A
w1
=
K
4y 1/2
de donde la cantidad de producto colocada en el mercado por el monopolista es y ∗ = (AK/4w1 )2 , a un precio por unidad p∗ = 2w1 /K (que es el
doble del precio competitivo y que coincide con el costo marginal).
iii) Finalmente, la demanda por el insumo x es:
x∗ =
A2 K
y∗
=
K
(4w1 )2
y el beneficio es Π = p∗ y ∗ − C(y ∗ ) = ((A2 /16w1 ) − w2 )K que para un
coeficiente A > 4(w1 w2 )1/2 es positivo y ampliado por la utilización del
valor K. Lo anterior muestra, en este caso, que existe un “nivel crítico” de
la demanda para que una empresa monopolista con esta tecnología opere
en el mercado.
Ilustremos esto con un ejemplo numérico. Supongamos que w1 = w2 = 1,
A = K = 5. En la figura 10.7 aparecen la curva de demanda inversa
p(y) =
5/2y 1/2 ; la curva de ingreso marginal Img = yp′ (y) + p(y) = 5/ 4y 1/2 ; la curva
de costo marginal C ′ (y) = 1/5; y la curva de costo medio C(y)/y = (1/5)+(5/y).
Las soluciones de este monopolio son y ∗ = (25/4)2 = 39.06 y p∗ = 0.4 con beneficios Π = 2.81.
Un ejercicio fundamental aquí es realizar ceteris paribus sobre este problema.
Veamos.
i) En primer lugar, observar que el precio del monopolista (p∗ = 2w1 /K)
es el doble del precio competitivo (p∗ = w1 /K = costo marginal). Aquí,
para hacer esta comparación, la industria competitiva se asume que está
conformada por “pequeñas” empresas y que opera con la misma tecnología
del monopolista. Notar también que ambos precios disminuyen si se recurre
a más unidades de K (mejora tecnológica), pero aumenta si el costo por
unidad de x también lo hace. Obsérvese que este precio no depende del
factor de demanda A.
10.3. Equilibrio del monopolista
281
p
Demanda
Solución
0.4
0.328
b
Beneficios
Costo medio
b
0.2
Costo marginal
Ingreso marginal
y
39.06
Figura 10.7. Ilustración del ejemplo 3.
ii) En segundo lugar, notar que la cantidad que ofrece el monopolio al mercado (y ∗ = (AK/4w1 )2 ) es la cuarta parte de la que ofrecería la industria
competitiva (y ∗ = (AK/2w1 )2 ) que se obtiene igualando la demanda con
el costo marginal (que, en este caso, es la misma oferta). Aquí, ambas cantidades se incrementan si A (demanda) o K (mejora tecnológica) lo hacen;
y disminuyen si w1 (costo del factor x) lo hace.
iii) La demanda por el insumo x (que podría ser, por ejemplo, mano de obra)
en el caso del monopolista es x∗ = A2 K/(4w1 )2 , y en el caso de la industria
competitiva es también la cuarta parte de la del monopolista
x∗ = A2 K/(2w1 )2 . Es decir, la industria competitiva recurre a más cantidad del insumo x que el monopolio. Observemos también que, en ambos
casos, la cantidad contratada de x∗ es mayor si aumentan A ó K y disminuye si aumenta w1 .
iv) Finalmente, el monopolio obtiene beneficios determinados por
Π = p∗ y ∗ − C(y ∗ ) = ((A2 /16w1 ) − w2 )K siempre que la demanda sea
relativamente grande con respecto a los costos (A > 4(w1 w2 )1/2 ). El beneficio de la industria competitiva es cero.
c) Ahora estudiemos el mismo problema con un monopolista ordinario que tiene
como función de producción F (x, K) = Kx1/2 . Entonces la ecuación de equilibrio del monopolista (ingreso marginal igual a costo marginal) nos lleva a que:
A
=
4y 1/2
2w1
K2
y
Despejando y (ye) obtenemos que:
∗
y =
AK 2
8w1
2/3
282
Semana 10. Monopolio
a un precio por unidad
A
p =
=
2(y ∗ )1/2
∗
A2 w1
K2
1/3
Finalmente, la demanda por el insumo x es:
4/3
∗ 2 A
y
=
K 2/3
x =
K
8w1
∗
y el beneficio es:
Π = p∗ y ∗ − C(y ∗ ) =
3A4/3 K 2/3
− w2 K
16w1 1/3
que es mayor que cero cuando
A4
>
K
16
3
w1
1/3
w2
3
Obsérvese que en el caso en que A = K = 5, w1 = w2 = 1, esta desigualdad no
se tiene. Es decir, la empresa obtiene pérdidas. Y la razón es que, en este caso,
esta empresa ha ampliado demasiado su planta para la tecnología que tiene y
para la demanda que existe. Obviamente, si se amplía la demanda y se mantiene
con bajo nivel relativo de K, podrá obtener beneficios.
Notemos, entonces, la diferencia con el caso anterior. Allí, mientras más grande
sea K (con los otros parámetros fijos) más beneficio se obtendrá, advirtiendo
que el hecho de que el beneficio sea positivo o negativo no depende de K. En este
ejemplo que acabamos de presentar es diferente: si K es muy grande (con los
otros parámetros fijos) entonces el monopolista tendrá pérdidas; es decir, sólo
para niveles relativamente bajos de K, podrá tener beneficios. Todo señala hacia
la “insuficiencia” tecnológica del monopolista con rendimientos decrecientes a
escala. Al final, nuestro monopolista con rendimientos decrecientes a escala se
adaptaría mejor a pequeñas demandas. Pero el monopolista con rendimientos
constantes a escala se adapta mejor a altas demandas.
10.4.
Regulación del monopolista
Típicamente, un mercado bajo competencia imperfecta no consigue asignar en forma eficiente los bienes, lo cual se refleja en que, por ejemplo, los precios suban por
encima del costo marginal. Como consecuencia, las compras de los consumidores se
reducen hasta niveles ineficientes, generando desigualdad en la renta y en el consumo, y una distribución inequitativa de todos los bienes. Para evitar esta situación,
algunos consideran necesaria la intervención del gobierno. Es el caso de un monopolista que es regulado por el gobierno, que escogerá el precio de tal manera que el
monopolista apenas cubra sus costos.
10.4. Regulación del monopolista
283
En la figura 10.8 estudiamos un poco más en detalle cuáles son las ganancias en el
caso de un monopolista. Allí asumimos que opera en el corto plazo (es decir, con
insumos fijos) dentro de un mercado competitivo de insumos, y, por ello, presenta
una curva de costos en forma de U. Sin embargo, un monopolista como este, puede
arrojar pérdidas en el corto plazo, tal como se ilustra en la figura 10.9. Esto ocurre,
por ejemplo, cuando presenta altos costos fijos.
p
Demanda
(ingreso medio)
Costo marginal
(oferta de corto plazo)
b
pm = precio del monopolista
Beneficios
Costo medio del monopolista
Ingreso
marginal
Costo medio (corto plazo): tiene la
misma forma que en competencia
perfecta (¿por qué?)
y
ym
Figura 10.8. Beneficio (de corto plazo) de un monopolista legal.
p
Costo marginal
(oferta de corto plazo)
Pérdidas
Solución del
monopolista
pm = precio del monopolista
Costo medio
(corto plazo)
b
Ingreso
marginal
Demanda
(ingreso medio)
ym
y
Figura 10.9. Posible beneficio negativo (de corto plazo) de un monopolista.
284
Semana 10. Monopolio
También, ante una posible amenaza de salida del mercado y suponiendo que el
bien producido por el monopolista es necesario para los consumidores, el gobierno
podría autorizar la colocación de un precio por encima del monopólico e igual al
mínimo costo medio, de tal manera que la empresa pueda seguir operando, aunque
con beneficios cero en el corto plazo (figura 10.10). Este precio por encima del
precio monopolista se conoce como precio Ramsey (Frank Ramsey [1903–1930]).
Usualmente, el gobierno tendría que subsidiar esta cantidad a los consumidores.
p
Costo marginal
(oferta de corto plazo)
Pérdidas
Solución del
monopolista
pR = precio Ramsey (regulado)
pm = precio del monopolista
Costo medio
(corto plazo)
b
Ingreso
marginal
Demanda
(ingreso medio)
yR
y
ym
1. Note que también el precio competitivo arroja pérdidas.
2. El precio Ramsey (precio donde Demanda=Costo medio)
arroja ganancias nulas
Figura 10.10. Regulación de un monopolista con beneficio negativo, ahora mediante precios tipo
Ramsey.
p
A: Excedente del consumidor
B: Excedente del productor
C: Pérdida irrecuperable
de eficiencia
Costo marginal
(oferta de corto plazo)
A
C
pm
Demanda regulada
(línea quebrada)
pcp
B
Ingreso
marginal
ym
ycp
Demanda
(ingreso medio)
y
Figura 10.11. Regulación del monopolio legal con subsidios.
Sin embargo, igualmente puede darse el caso opuesto, en el que el monopolista
ha colocado un precio demasiado alto para los consumidores, y el gobierno decide
10.5. El índice de Lerner
285
actuar colocando el precio competitivo pcp si los consumidores sólo compran (de
manera agregada) hasta la cantidad competitiva ycp (figura 10.11). Para cantidades
mayores a esta, el gobierno dejará el precio a merced del mercado competitivo.
Y, finalmente, otro caso sucede cuando el gobierno decide colocar un impuesto a
la cantidad sobre un bien (que, por ejemplo, no es benéfico para la salud pública)
que es producido por un monopolista. A este acto se le llama “regulación social”.
El problema aquí es si el precio del bien subirá en una cuantía superior o inferior
al impuesto. Y aunque este es un problema que depende de cada caso, vamos a
ilustrarlo con un ejemplo sencillo.
Ejemplo 4.
Suponga que una única empresa produce cigarrillos y que el costo marginal de
producirlos es constante. Suponga que se establece un impuesto t > 0 sobre cada
paquete de cigarrillos. Si la curva de demanda de cigarrillos es lineal, ¿subirá el
precio en una cuantía superior o inferior a la del impuesto?
Solución.
Asumamos c′ (y) = c > 0 constante y además p = a − by + t con b > 0. Entonces el
beneficio es Π = (a − by + t)y − cy. Si Π′ = (a − c + t) − 2by = 0 (beneficio máximo)
entonces tendremos que
a−c+t
y∗ =
2b
y así,
a+c
t
p∗ = a − by ∗ + t =
+
2
2
Por tanto, aquí, el precio sube en una cuantía inferior (t/2) a la del impuesto t.
10.5.
El índice de Lerner
Supongamos, a manera de ejemplo, que la curva de demanda que enfrenta un
monopolista es y = 1/pα (α > 1) y que el costo marginal es c (constante). Entonces
la ecuación de equilibrio del monopolista es:
1
=c
p 1+
ε
Pero como ε = −α, entonces:
c
p=
=
1 − 1/α
1
1+
α−1
c
En este caso se afirma que el precio tiene un mark-up (margen) constante sobre
el costo marginal. Es decir, el mark-up del monopolista mide la diferencia entre el
precio y el costo marginal y, en este caso, esa diferencia es [1/(α − 1)]c. Notemos
que mientras más elástica sea la curva de demanda (y, por lo tanto, más cercana
286
Semana 10. Monopolio
a la curva de ingreso marginal competitiva (horizontal)), menor será el mark-up,
y más cercano será el precio monopolista del precio competitivo. En ocasiones, se
recurre al mark-up como “medida de concentración del monopolio”.
En general, el índice de Lerner (Lerner, 1934), precisamente, es un indicador (o
índice) del poder de monopolio basado en el mark-up. A partir de la igualdad de
equilibrio monopólico
1
=c
pm 1 +
ε
se define este índice así:
1
pm − c
= − (< 1)
pm
ε
Es decir, se define como el negativo del inverso de la elasticidad de la demanda
en el punto precio-producción monopólico. Note que si ε (en valor absoluto) es
grande, entonces el precio monopólico es muy cercano al competitivo. Pero si esta
elasticidad es pequeña (demanda inelástica) el monopolio colocará un precio muy
por encima del costo marginal. De acuerdo con lo anterior, si IL = 0 estamos en
competencia perfecta; mientras que si IL es muy cercano a 1, el mercado enfrenta
un mayor poder monopólico de esta empresa. En nuestro ejemplo, como ε = −α,
entonces la curvatura de la demanda determinará qué tan competitivo es el precio
de la firma.
IL ≡
10.6.
Comparación de excedentes y beneficios
Continuando con nuestro ejemplo anterior de costos marginales constantes (c) y
demanda con elasticidad constante (−α) notemos que:
a) El excedente del consumidor bajo competencia perfecta cuando el precio de
mercado del producto es p∗ = c (asumiendo libre entrada y salida de empresas),
es:
Z ∞
c1−α
p−α dp = −
EC =
1−α
c
Y, por su parte, el excedente del consumidor bajo monopolio es igual a
1−α
Z ∞
αc
1
EC ∗ =
p−α dp =
cα
1−α
α−1
α−1
Esto nos lleva, después de manipulación algebraica, a que:
α−1
EC
α
=
EC ∗
α−1
Así, por ejemplo, si α = 3 entonces EC/EC ∗ = 9/4, o bien, el excedente del
consumidor bajo competencia perfecta es 9/4 del excedente del consumidor bajo
monopolio (figura 10.12).
10.7. Algunas prácticas del monopolista
287
p
Excedente del consumidor
bajo competencia perfecta
Pérdida irrecuperable
de eficiencia
Costo
Marginal
Beneficios
p∗ = c
Demanda y = 1/pα
Ingreso
marginal
y
Figura 10.12. El beneficio del monopolista es la porción del excedente del consumidor bajo
competencia perfecta, que le es transferido debido a su poder de mercado y también a su
tecnología.
b) Similarmente, observamos (con un poco de Cálculo diferencial) que la relación
αc 1−α
con respecto al excedenentre el beneficio del monopolista Πm = α1
α−1
te del consumidor EC bajo competencia perfecta, es, después de manipulación
algebraica,
α
α−1
Πm
=
EC
α
Por lo tanto, si α = 3 entonces el beneficio del monopolista es 8/27 del excedente del consumidor bajo competencia perfecta. O bien, 8/27 del excedente
del consumidor bajo competencia perfecta es transferido al monopolista, pues
sabemos que el excedente del productor bajo competencia perfecta es 0 (figura
10.12).
10.7.
Algunas prácticas del monopolista
“Discriminar precios” significa cobrar precios distintos a cada cliente o a cada mercado. Ejemplos de ello son las líneas aéreas que tienen el monopolio de una determinada ruta: pueden cobrarle una tarifa más alta a los clientes que viajan por negocios
(pues estos no tienen más remedio que viajar) que a los que van de vacaciones (pues
estos pueden tener otras alternativas); o un medicamento puede costarle más a un
paciente en Colombia que en Ecuador. Con estas prácticas, el monopolista obtiene
más beneficios que si cobrara un único precio en el mercado.
10.7.1.
Discriminación de precios
El economista británico Arthur Pigou (1920), clasificó el fenómeno de la discriminación de precios, en tres tipos:
288
Semana 10. Monopolio
Discriminación de primer grado, que consiste en aplicarle al comprador el
máximo precio que esté dispuesto a pagar por unidad del bien. Aquí se incluyen negociaciones (y regateos) sobre el precio del bien. No sobra aclarar que
este tipo de discriminación tiene dificultades de aplicación debido a que el
monopolista podría no tener información precisa sobre la disposición a pagar
de un potencial cliente. Aunque esto podría salvarse si hay un conocimiento
previo de este. Un médico rural es un caso típico.
Discriminación de segundo grado (o colocación de precios no-lineales – nonlinear pricing–), que consiste en aplicarle al comprador un precio diferente
dependiendo del número de unidades que compre. Por ejemplo, compras en
grandes cantidades –docenas, cargas, etc.–, por kilowatio-hora –energía–, por
metro cúbico –agua potable–, etc. Las empresas que son monopolios naturales (con rendimientos crecientes a escala) aplican este tipo de discriminación
a sus clientes, como es el caso de algunas empresas de servicios públicos en
ciertos países 5 .
Discriminación de tercer grado, que consiste en aplicarle distintos precios a
distintos compradores. Por ejemplo, a) Promociones tipo “Descuento para los
que estén cumpliendo años”; “Los viernes, el aperitivo es gratis para mayores
de 60 años”; “Happy Hour”; etc. b) Una compañía de teléfonos que cobra
diferentes tarifas por llamadas durante el día o la noche es un buen ejemplo
de esta discriminación de precios. Y la razón de que los precios sean más
altos durante el día es que la demanda es menos elástica: un gran número de
llamadas telefónicas tienen que realizarse en horario laboral. En efecto: dada
la ecuación de equilibrio pm (1 + 1/ε) = costo marginal, parecería claro que
el monopolista discriminador de tercer grado, le cobrará el precio más alto al
consumidor que tenga una menor elasticidad-precio (en valor absoluto) de su
demanda. Pero necesitamos aclarar esto un poco más.
La maximización del beneficio de un monopolista discriminador de tercer
grado lo lleva a resolver el problema de maximizar
Π = p1 y1 + p2 y2 − C(y1 + y2 )
donde C(y) es su función de costo. Derivando e igualando a cero con respecto
a y1 y a y2 , se tiene que:
IM g1 = C ′ (y1 + y2 )
;
IM g2 = C ′ (y1 + y2 )
y así,
IM g1 = IM g2 = C ′ (y1 + y2 )
Pero como
1
= C ′ (y1 + y2 ) ;
IM g1 = p1 1 +
ε1
IM g2 = p2
1
1+
ε2
= C ′ (y1 + y2 )
5 Sobre las discriminaciones de primer y segundo grado estudiaremos en el volumen III: Competencia bajo equilibrio de Nash.
10.7. Algunas prácticas del monopolista
289
entonces llegamos a la ecuación de equilibrio
1 + ε12
p1
=
p2
1 + ε11
Por lo tanto, p1 > p2 si, y sólo si, ε1 > ε2 , lo que muestra que el discriminador
le cobrará más al que tenga (en valor absoluto) menor elasticidad-precio de
la demanda.
Otro caso de discriminación de precios (¿de qué grado?) son los cupones de descuento que aparecen, por ejemplo, en los directorios telefónicos (páginas amarillas)
de las ciudades. Estos cupones discriminan sobre la base del costo del tiempo pues
asumen que las personas muy ocupadas no le pondrán atención a estos cupones,
mientras que las menos ocupadas, sí. Y además se estima que este último sector de
potenciales compradores es más sensible a los precios (demandas más elásticas).
Y en el caso de los descuentos por cantidad, la discriminación ocurre al diferenciar
entre, por ejemplo, las familias grandes y las pequeñas. Se estima que, usualmente,
las primeras son más sensibles a los precios que las segundas.
Ejemplo 5. (Discriminación de tercer grado)
Un vendedor monopolista tiene dos tipos de compradores, tipo 1 y tipo 2. Las
curvas de demanda correspondientes son p1 = 2 − 3y1 , p2 = 1 − 2y2 ; y la función
de costo es C(y) = y 2 donde y = y1 + y2 . Entonces el vendedor maximizará su
beneficio
Π = p1 y1 + p2 y2 − (y1 + y2 )2 = (2 − 3y1 )y1 + (1 − 2y2 )y2 − (y1 + y2 )2
y obtendrá, derivando con respecto a y1 y y2 , e igualando a cero:
1 − 4y1 − y2 = 0
;
1 − 6y2 − 2y1 = 0
Resolviendo simultáneamente, obtenemos que:
y∗ 2 =
2
22
,
y∗ 1 =
5
22
29
18
y así p∗ 1 = , p∗ 2 = . Por lo tanto, le cobra más al comprador de primer tipo
22
22
que al de segundo tipo. Pero ¿por qué? La clave, ya lo advertimos, está en las
elasticidades-precio de la demanda; es decir, le cobrará más al que tenga menor
elasticidad (en valor absoluto) o, lo que es lo mismo, al tipo de comprador que
sea “menos sensible” a un cambio de precios. En efecto, la elasticidad-precio de la
demanda del tipo 1 es:
29
p1
=−
−
2 − p1
15
y la elasticidad-precio de la demanda del tipo 2 es:
−
9
p2
=−
1 − p2
2
290
Semana 10. Monopolio
El beneficio que obtiene el monopolista es:
Π∗ = p1 y1 + p2 y2 − (y1 + y2 )2 = 0.2727
Si el monopolista no discrimina, entonces el problema será
py(p) − y 2 (p)
Maximizar
y≥0
donde y = y1 (p) + y2 (p). Es decir,
Maximizar
p>0
p
7 5p
−
6
6
−
7 5p
−
6
6
2
Derivando con respecto a p e igualando a cero, obtenemos que:
p∗ = 22.4/22
,
y ∗ = y1 + y2 = 0.318
Y el beneficio será Π = py ∗ − (y ∗ )2 = 0.223. Así, el beneficio será mayor si el
monopolista discrimina (Π = 0.2727) que si no discrimina (Π = 0.223). N
No sobra aquí aclarar que no siempre a un monopolista le conviene discriminar.
Eso dependerá de las circunstancias de cada caso. Por ejemplo, se cree (según
estimaciones) que las personas con bajos ingresos son más sensibles a los precios
(demanda más elástica) y, por tanto, obtienen precios más bajos cuando se lleva a
cabo discriminación de precios.
Hoy en día, la clasificación pigouviana de la discriminación de precios ha comenzado a entrar un poco en desuso, y en su lugar ha aparecido la clasificación de
discriminación directa e indirecta. En el primer caso se requiere de identificación
explícita para aplicar el precio (por ejemplo, el carné, la cédula, etc.); en el otro
caso es aplicado anónimamente. Así, los tres casos de discriminación pigouviana se
incorporan fácilmente en estos dos tipos de discriminación.
10.7.2.
Barreras a la entrada
Muchas empresas, cuya posición monopolística inicial posiblemente tuvo su origen
en alguna innovación o patente tecnológica, consiguen conservar su posición dominante, al menos durante un tiempo, aún después de haber expirado las patentes
(Kodak, IBM, Polaroid). Tres casos típicos de barreras a la entrada son:
i) Fijación depredadora de los precios: bajar los precios radicalmente (inclusive
por debajo del costo de producción de la nueva empresa) para que las empresas
competidoras no obtengan beneficios de la entrada, o que, si han entrado,
acaben quebrando.
ii) Exceso de capacidad: Construir instalaciones productivas mayores de lo que
es necesario, como señal de que la empresa ya existente está dispuesta a una
feroz competencia de precios y que puede hacerlo.
10.7. Algunas prácticas del monopolista
291
iii) Fijación de precio límite: Una empresa que esté considerando la posibilidad de
entrar al mercado de un monopolista, sabe qué precio se cobra en el mercado
y tiene una idea exacta de cuáles son sus propios costos de producción, pero
quizás no de los costos de producción del monopolista. Así, este puede tratar
de engañarlo haciendo pensar al potencial competidor de que sus costos son
bajos (por ejemplo, al cobrar un precio inferior al monopolístico que haga que
el volumen de ventas aumente y se vea como un negocio “próspero”) y que,
por tanto, podría ser rentable entrar en el mercado. Pero luego de entrar, el
competidor notará que ello no era así, y acabaría quebrando. A tal precio
inferior al monopolístico se le conoce como “precio límite”.
Para ilustrar con un ejemplo la fijación de un precio límite, observemos la figura
10.13. Una empresa que intente entrar en el mercado y producir una cantidad
inferior a yP L tendrá precio y costos medios mayores que los que está colocando
ahora el monopolista y, por lo tanto, nadie le comprará. Y si intenta producir
una cantidad mayor a yP L , tampoco podrá vender su producción a un precio que
cubra sus costos medios y tendrá pérdidas. Note que en yP L , el monopolista baja el
beneficio a cero. En todo lo anterior (debe observarse) se asume que la competencia
es con la misma tecnología.
p
Demanda
(ingreso medio)
Ingreso
marginal
pm = precio del monopolista
b
Costo marginal
Solución
de monopolio
pL = precio límite
(precio de Ramsey)
Costo medio
ym
yP L
y
Figura 10.13. Ejemplo de fijación de precio límite. Note que también el precio competitivo arroja
pérdidas, y que el precio Ramsey (precio donde Demanda=Costo Medio) arroja ganancias nulas.
El ejemplo anterior señala que, en el corto plazo, el monopolista se comporta con
curva de costo medio descendente y parecería estar produciendo con rendimientos
crecientes a escala, aunque ello no sea así. De todas maneras, en este corto plazo,
aplica precios Ramsey que, en general, es una herramienta para monopolistas multiproducto. Ellos son los precios que maximizan el excedente del consumidor sujetos a
la restricción de que los ingresos de la firma apenas cubran los costos. Y estimarlos
puede ser difícil, como en el caso de empresas de energía eléctrica que venden
electricidad a diferentes horas del día y del año.
292
10.8.
Semana 10. Monopolio
Aproximación al problema del monopsonio
Un monopsonista es un productor que es el único comprador de un insumo (bien o
servicio). El término proviene del griego “mono”= único y “psonio”= comprador.
Ejemplo de esto lo vemos en la Federación Nacional de Cafeteros que es monopsonista de los productores de café en Colombia: estos, por lo general, le venden a
la Federación a través de sus cooperativas de caficultores. Otros ejemplos (aproximados) son el mercado de carros de basura (en el que el único comprador es el
municipio, el distrito o el Estado), los uniformes de bomberos, los tanques de guerra,
etc. Es, entonces, muy común encontrar monopsonios en donde el único comprador
es el Estado. Haremos enseguida un breve análisis del monopsonio simple.
Asumamos aquí que el monopsonista es un productor que tiene una función de
producción con rendimientos decrecientes a escala f (x), donde x ≥ 0 es la cantidad
de insumos que compra al mercado de manera única. Entonces, del mercado, toma
como dada la curva de oferta del insumo w = S(x), y después maximiza el beneficio
a la manera usual:
Maximizar pf (x) − wx
x≥0
Bajo condiciones estándar sobre S(·) (diferenciabilidad, monotonicidad creciente y
convexidad estricta), derivamos e igualamos a cero para obtener que:
pf ′ (x) = S(x) + xS ′ (x)
| {z }
>0
Precio de compra = w
Costo marginal
′
(= S(x) + xS (x))
Costo de oferta
(w = S(x))
wcp
wms
b
b
xms xcp
′
Ingreso marginal (= pf (x))
(curva de demanda)
Cantidad x
(comprada al mercado)
Figura 10.14. Equilibrio del monopsonista (xms , wms ) comparado con el equilibrio competitivo
(xcp , wcp ).
Es decir, el ingreso marginal es igual al costo marginal, que difiere de la función
de oferta en el término positivo. Y esto lleva a que la cantidad demandada por el
monopsonista sea inferior a la cantidad en competencia perfecta, y que el precio
que paga sea también inferior con respecto al precio competitivo, como observamos
10.9. Monopolio bilateral
293
en la figura 10.14. Que el monopsonio da origen a ineficiencia y, por lo tanto, es
una falla de mercado, se ve claro en la figura 10.15.
w
Competencia perfecta
w
A
Monopsonio
A
C
B
B
x
A: Excedente del consumidor
x
B: Excedente del productor
C:Pérdida irrecuperable de eficiencia
Figura 10.15. Comparación de excedentes entre la competencia perfecta y el monopsonio.
Otro típico ejemplo de monopsonio es el mercado laboral en donde hay una sola
empresa demandando un determinado tipo de trabajo; como es el caso de una mina
en un pueblo aislado donde es, prácticamente, el único demandante de mano de
obra.
10.9.
Monopolio bilateral
Un monopolio bilateral es un mercado en donde cohabitan un monopolio de oferta
y un monopsonio de demanda, y en donde tanto el vendedor como el comprador
pueden influir en los precios. Pese a abarcar las dos formas teóricas de monopolio
puro y monopsonio puro, son bastantes frecuentes, pues representan el intercambio de bienes que, en numerosas ocasiones, se resuelven a través de negociaciones
directas entre las dos partes. Un ejemplo sencillo, aunque importante de esto, es el
de un sindicato que actúa como vendedor único de mano de obra y una empresa
que es el único comprador de esa misma mano de obra. Un aumento de salario de
0 a 100 % es, usualmente, uno de los objetos de negociación.
Ejemplo 6. [Negociación y monopolio bilateral (Rubinstein, 1982)]
Supongamos que los dos agentes del monopolio bilateral alternan sus ofertas: primero, el agente 1 realiza una propuesta de negociar cierta cantidad de un bien
(divisible y que normalizaremos en 1), que el agente 2 puede aceptar o rechazar.
Si el agente 2 rechaza la oferta, entonces es ahora él, el que le hará una oferta al
agente 1, que este, a su vez, puede aceptar o rechazar; etc. Suponemos también
que cada oferta toma un tiempo que hace que el bien se deprecie y este parámetro
está medido por λ ∈ (0, 1). Este, obviamente, es una medida relativa de la tasa
de interés. Supongamos, también, que este proceso dura un número indefinido de
periodos.
294
Semana 10. Monopolio
Para comprender el proceso, supongamos, inicialmente, que el número de etapas de
negociación es N = 4 (ver figura 10.16). Entonces, si se llegara al cuarto periodo
del juego, el agente 2 tomará todo; es decir, λ4 , para sí, y dejará nada para 1.
Pero el 1, entendiendo esto, le hará una oferta al 2 en el periodo 3, que este no
pueda rechazar: ganar lo mismo que en el cuarto periodo. Así, en el tercer periodo,
el agente 1 le propondrá al agente 2 una repartición de la forma (x , 1 − x) tal
que λ3 (1 − x) = λ4 ; es decir, la repartición propuesta por el agente 1 al agente 2
en el periodo 3, sería (1 − λ, λ) y los pagos ya descontados serían (λ3 − λ4 , λ4 ).
Obviamente, el agente 2 aceptaría.
Propone 1
Acepta 2
Rechaza 2
Propone 2
Acepta 1
Rechaza 1
Propone 1
Acepta 2
Rechaza 2
Propone 2
2 toma todo con utilidad λ4
Fin de la negociación
Figura 10.16. Un modelo de negociación como modelo de monopolio bilateral.
Sin embargo, al saber esto el agente 2, en el segundo periodo le hará una oferta al
agente 1 que lo beneficie a él (al agente 2) pero que le dé al agente 1 lo mismo que
va a recibir en el periodo 3, es decir, λ3 − λ4 . Así, le propondrá al agente 1 una
repartición de la forma (x, 1 − x) tal que λ2 x = λ3 − λ4 . Es decir, la repartición
propuesta por el agente 2 al agente 1 en el segundo periodo sería (λ − λ2 , 1 − λ + λ2 )
y los pagos ya descontados serían (λ3 − λ4 , λ2 − λ3 + λ4 ). Obviamente, el agente 1
aceptaría.
Finalmente, dado que la repartición propuesta por el jugador 2 al jugador 1 en
el segundo periodo, sería de (λ3 − λ4 , λ2 − λ3 + λ4 ), y que en esas condiciones el
agente 1 aceptaría, este podría hacerle en el primer periodo una propuesta al 2 que
lo beneficiara a él (al agente 1) y que le diera al agente 2 lo mismo que recibiría en
10.10. Sobre las leyes antimonopólicas
295
el segundo periodo. Esta oferta sería una repartición de la forma (x, 1 − x) tal que
λ(1 − x) = λ2 − λ3 + λ4 , y esto lleva a que 1 − x = λ − λ2 + λ3 . Es decir, a una
distribución de la forma
(1 − λ + λ2 − λ3 , λ − λ2 + λ3 )
y, en tal caso, la negociación terminaría con esta repartición.
Por lo tanto, los pagos propuestos por el agente 1 en el primer periodo y aceptados
por el agente 2 son
(λ − λ2 + λ3 − λ4 , λ2 − λ3 + λ4 )
Y en tal caso, la negociación terminaría con esta repartición.
Pero, ¿qué sucedería si el número de periodos N −→ ∞ ? Que el agente 1 propondría, en la primera etapa, una repartición de la forma
(1 − λ + λ2 − λ3 + · · · − λN −1 , λ − λ2 + λ3 − λ4 + · · · − λN )
Es decir, recurriendo a la fórmula de la serie geométrica (ver Monsalve (ed.), 2010),
se tendrá una repartición simple:
x1 =
1
1+λ
,
x2 =
λ
1+λ
Esta es la manera en que se repartirán la cantidad a negociar (1 unidad). No debe
descuidarse el hecho de que en este tipo de negociaciones, el agente que comience
a proponer (en este caso, el agente 1) lleva la ventaja en la negociación (x1 > x2 ).
Y también que si λ es pequeño –es decir, la negociación está prevista de terminar
rápido– entonces x1 es cercano a 1 y x2 es cercano a 0 (el primer proponente toma
ventaja de este “afán” en la negociación). Por el contrario si λ es cercano a 1 –es
decir, la negociación está prevista para un plazo largo–, entonces ambos, x1 y x2 ,
se acercan a 1/2 (división equitativa entre ambos) y el primer proponente pierde
el poder que le daba esta condición. Notemos que, entonces, la división 50 %-50 %
no es siempre la solución única y obvia a una negociación. N
Sin duda, la estructura del monopolio bilateral encarna la antípoda de la competencia perfecta. Las negociaciones “cara a cara” se diferencian radicalmente de aquel
mercado que dicta los precios de manera paramétrica. Por ejemplo, en la negociación tipo Rubinstein anterior, podemos adaptarlo e imaginarnos a un dueño de
empresa con el presidente del sindicato disputando aumentos salariales. El salario
ya no será el que dicte el mercado sino el que establezcan entre ellos dos y que se
ajuste, obviamente, a las reglas legales e institucionales del caso.
10.10.
Sobre las leyes antimonopólicas
Usualmente, los gobiernos toman medidas para frenar el poder de los monopolios,
aprobando leyes antimonopolio, regulando sus beneficios, o prohibiendo algunas
296
Semana 10. Monopolio
prácticas de los mismos. Así mismo, los gobiernos intervienen a través de la regulación de los precios, fijan y recaudan impuestos sobre las rentas recibidas por
la posesión de los diversos factores de producción, regulan la oferta monetaria y
las condiciones crediticias para fomentar el crecimiento económico y la productividad y también controlar la inflación y el desempleo de acuerdo con las condiciones
macroeconómicas de cada país.
Las leyes sobre competencia pueden tener varios objetivos generales: la promoción
y defensa de la competencia, la promoción de la eficiencia económica y el bienestar
de los consumidores, la libertad de iniciativa, la apertura de los mercados, la participación justa y equitativa de medianas y pequeñas empresas, la desconcentración
de poder económico, y la prevención de monopolios y usos indebidos de posiciones
de dominio. A nivel legal, doce países occidentales, incluyendo a Colombia, cuentan
con legislaciones e instituciones que defienden la competencia.
En Colombia se encuentran: la Constitución Política de 1991 (Artículos 333 y 334),
el Decreto Ley No. 2153 de 1992 por el cual se reestructura la Superintendencia de
Industria y Comercio, la Ley 1340 de 2009, el Decreto No. 1302 de 1964 por el cual
se reglamenta la Ley 155/59 sobre Prácticas Restrictivas Comerciales y la Decisión
285 de la Comisión del Acuerdo de Cartagena Contentiva de las Normas para
Prevenir o Corregir las Distorsiones en la Competencia Generadas por Prácticas
Restrictivas de la Libre Competencia.
En particular, el artículo 333 de la Constitución Nacional establece los principios
de libertad de empresa, libre competencia y libertad económica como derechos
radicados en cabeza de todos los ciudadanos y sometidos a los límites que establezca
la ley. La Constitución indica:
La actividad económica y la iniciativa privada son libres, dentro de los límites del
bien común. Nadie podrá exigir permisos previos ni requisitos, sin autorización de
la ley. La libre competencia es un derecho de todos que supone responsabilidades.
La empresa, como base del desarrollo, tiene una función social que implica obligaciones. El Estado fortalecerá las organizaciones solidarias y estimulará el desarrollo
empresarial. El Estado, por mandato de la ley, impedirá que se obstruya o se restrinja la libertad económica y evitará o controlará cualquier abuso que personas o
empresas hagan de su posición dominante en el mercado nacional.
La ley delimitará el alcance de la libertad económica cuando así lo exijan el interés
social, el ambiente y el patrimonio cultural de la nación.
Ejercicios
(Observación: Los ejercicios señalados con uno (∗) o dos (∗∗) asteriscos tienen, a
juicio del autor, un nivel de dificultad un tanto o muy superior, con respecto a los
ejercicios corrientes que aparecen sin asterisco.)
1. Muestre, en el problema del monopolista legal, que el ingreso marginal es
igual a I ′ (x) = p(1 + 1/ε) donde ε es la elasticidad-precio de la demanda.
Así, ε = −1 si, y sólo si, I ′ (x) = 0; ε < −1 si, y sólo si, I ′ (x) > 0; ε > −1 si,
y sólo si, I ′ (x) < 0. Ilustre esto con una gráfica apropiada.
Ejercicios
297
2. Una empresa monopolista tiene un costo variable medio constante de $5. La
empresa estima su curva de demanda en P = 24 − 0.027Y . Su costo fijo es de
$1, 700. ¿Cuánto beneficio se espera que alcance la empresa?
3. Un monopolista presenta una función de costos marginales constantes e iguales a $5 y enfrenta la demanda de mercado Q = 53−P . Determine el equilibrio
de mercado (cantidad, precio y utilidades del monopolio). Grafique la pérdida
irrecuperable del monopolio.
4. La demanda de un producto está dada por Q = 250 − (P/2). El bien es
producido por una empresa cuyo costo total está dado por CT = 200 + 20Q +
5Q2 . Calcule la cantidad y el precio de equilibrio si el competidor actúa como
monopolista.
5. Una empresa produce bajo la función de producción Q = 6K 0.5 L0.5 y enfrenta
la demanda de mercado Q = 100 − 5P , y paga precios de insumos por unidad
de wL = 18, wK = 8. Calcule el precio y la cantidad de equilibrio si actúa
como un monopolista.
6. Si las funciones de costo total y de demanda (en dólares) son, respectivamente,
CT (Q) = 50 + 15Q + Q2 /100; P = 215.4 − 5Q, indique el precio y la cantidad
de equilibrio, en los siguientes casos:
a) La empresa se comporta como una industria perfectamente competitiva.
b) La empresa se comporta como un monopolio maximizador de beneficios.
c) La empresa se comporta como un maximizador de ventas sujeto a una
restricción de generar un beneficio de $1, 933.
7. Un monopolista con una función de costo total igual a C(x) = x2 abastece a
un mercado cuya función inversa de demanda es p = 3, 000 − 4x.
a) Obtenga el equilibrio del monopolista y el excedente social.
b) Calcule la pérdida de eficiencia que sufre esta economía respecto a la
competencia perfecta.
c) Compare ambas situaciones con la que se obtendría si una regulación obligara al monopolista a comportarse como un “monopolio social”, es decir,
que obtuviera un beneficio nulo.
8. Un monopolista enfrenta una función de costo C(x) = 3x2 . La disposición a
pagar de los consumidores es p(x) = 40 − x.
a) Calcule los beneficios del monopolista.
b) Si el gobierno otorga una licencia al monopolista, la función de costo sería
C(x) = x2 . ¿Cuánto sería lo máximo que la firma monopolista estaría
dispuesta a pagar por la licencia?
298
Semana 10. Monopolio
9. (Cano, 2001) Suponga que en una ciudad el gobierno delega en una firma
privada el manejo de dos parques, con el propósito de que se preste un buen
servicio. Este consiste en mantener vigilancia y seguridad, aseo, información
a los usuarios, coordinación en el uso de los sitios de juegos, etc. La gente que
llega a estos parques debe pagar $50 por la entrada y así adquiere el derecho
a todos los servicios. La firma privada tiene como objetivo maximizar su
ganancia.
El Parque A está situado en un barrio con habitantes de nivel económico medio y alto, y el Parque B en un barrio de nivel económico bajo. La cantidad de
visitantes en cada parque está dada por las siguientes funciones de demanda:
QA = 40, 000 −
100
PA
3
;
QB = 80, 000 −
10, 000
PB
75
donde P es lo que paga cada persona para entrar (precio) y Q el número de
personas que entran al parque en un mes. La firma coordina centralmente el
manejo de los parques, con un costo total dado por la siguiente función:
CT (Q) = 5, 000, 000 + 10Q + (0.004)Q2
donde Q es el total de personas que entran mensualmente a los dos parques.
a) Suponga que la firma tiene libertad para fijar el precio de entrada en cada
parque. Calcule esos precios, la cantidad de visitantes y la ganancia de
la firma. Explique los conceptos que utiliza en sus cálculos y muestre sus
resultados en un gráfico.
b) Suponga que para cumplir con normas legales, la firma no puede discriminar precios y debe cobrar lo mismo en los dos parques. Calcule cuál es el
precio que debe cobrar la firma si desea maximizar su ganancia. Asimismo,
estime la cantidad de usuarios que atenderá en cada parque y muestre sus
resultados en el gráfico.
c) Suponga que, además de la norma legal que no permite la discriminación
de precios, el gobierno decide intervenir fijando ese precio con el fin de
que la firma atienda el máximo número de personas que desean y puedan
utilizar los servicios de estos parques. Calcule el precio que debe fijar y la
cantidad de visitantes que entrarán a cada parque. Calcule la ganancia de
la firma y compárela con el caso del punto anterior. Explique sus cálculos
y muestre sus resultados en el gráfico.
d) Comparando con los resultados del literal b) y como resultado de la intervención del gobierno analizada en el literal c), explique y calcule el
efecto sobre el bienestar de los usuarios en cada uno de los parques. Utilice el concepto del excedente del consumidor. Muestre sus resultados en el
gráfico.
10. Un vendedor monopolista tiene dos tipos de compradores, tipo 1 y tipo 2.
Las curvas de demanda correspondientes son p1 = 7 − 2y1 , p2 = 4 − y2 ; y la
Ejercicios
299
función de costo es C(y) = y 2 , y = y1 + y2 . ¿Le convendrá a este monopolista
(en términos de maximizar beneficios) discriminar precios (en tercer grado),
entre los compradores?
11. En el caso de un monopolista con costo marginal constante c, encuentre (si
existen) valores de a, b tales que las curvas de demanda p1 = a−y1 , p2 = b−y2 ,
no incentiven al productor a discriminar (en tercer grado), entre estos dos
tipos de consumidores.
12. (∗) (Cano, 2001) Una firma monopolista que produce cierto bien, enfrenta la
siguiente función de demanda:
P = 7 − (0.005)Q
La firma utiliza una función de producción de la cual sólo se conocen los
siguientes datos, donde L es el factor variable (trabajo), Q la producción
total y K el factor fijo:
L
Q
1
40
2
100
3
220
4
335
5
425
6
500
7
550
8
580
9
600
10
610
Suponga que esta firma es monopsonista en el mercado del factor L de donde
se conocen los siguientes datos sobre la cantidad de trabajadores-mes que se
ofrecen (L), dependiendo del nivel de salario (w):
L
w
1
140
2
180
3
220
4
260
5
300
6
340
7
380
8
420
9
460
10
500
a) Con estos datos, calcule la cantidad aproximada de trabajo (L) que la
firma está dispuesta a contratar y el salario que pagaría para maximizar
sus ganancias. Muestre sus cálculos en un gráfico.
b) Suponga que el gobierno fija el salario dejando en libertad a la firma para
decidir la cantidad de trabajo que contrata. Calcule el rango aproximado
donde se debe ubicar el salario mínimo para que la firma no disminuya el
número de trabajadores contratados. Muestre en el gráfico.
13. (∗) (Sobre mejoras tecnológicas y número de empleados contratados por un monopolista). Consideremos una empresa con tecnología
Y = F (L, K) = ALα K β con A > 0, α = 1/2, 0 < β < 1/2 que sólo puede
utilizar K = 3 unidades de capital. Además, supongamos que la demanda
agregada por este bien es p = a − bY donde a, b > 0.
i) ¿Cuántas horas-hombre contrataría esta empresa si fuera precio-aceptante?
ii) ¿Cuántas horas-hombre contrataría esta empresa si fuera monopolista?
300
Semana 10. Monopolio
iii) ¿Qué sucedería con las horas-hombre contratadas en competencia perfecta y en monopolio si el coeficiente A (desarrollo tecnológico exógeno)
creciera? ¿Cuál de las dos empresas requiere más mano de obra?
14. Un monopsonista tiene una función con rendimientos decrecientes a escala
f (x) = x1/2 , donde x es la cantidad de insumos que compra al mercado de
manera única. Del mercado toma como dada la curva de oferta del insumo
w = S(x) = 5x2 . Encuentre la cantidad comprada por el monopsonista y el
precio por unidad al que compra.
Semana 11
Oligopolio y competencia monopolística
11.1.
Introducción
Por definición, un duopolio es una estructura de mercado de cierto producto homogéneo (sin sustitutos “cercanos”), en el que sólo hay dos vendedores y “muchos”
compradores1 . Es una “falla de mercado” muy estudiada y, quizás, mejor entendida
que el monopolio. El término “duopolio” proviene del griego (“duo”= dos, “poleo”=
vendedor) y su primera referencia formal se remonta a Augustin Cournot (1838).
No obstante, al igual que el monopolio, esta estructura de mercado ha aparecido,
aquí y allá, desde tiempos remotos en la antigüedad.
Y aunque, para los economistas, Cournot (1838) es recordado principalmente por
su modelo de oligopolio, fue clara su influencia (explícita y reconocida) en la formación del pensamiento económico de Edgeworth, Jevons, Walras y Marshall, y
muy particularmente en su visión de la economía como una ciencia matemática
con formas funcionales explícitas y relaciones entre ellas. Inclusive (ya lo hemos
dicho), el primer modelo formal de monopolio tal como lo estudiamos en la semana
10, es debido a Cournot. Y también los primeros modelos formales de equilibrio
parcial se deben a él. Sin embargo, en lo que Cournot fue el gran pionero fue en
su tratamiento del problema del oligopolio, siendo el primero en plantear que para entenderlo, había que explicitar las interacciones entre ambos. Podría también
decirse que en la obra de Cournot se encuentra el advenimiento de la hoy conocida
Teoría de Juegos 2 (Von Neumann & Morgenstern, 1944; Nash, 1950, 1951).
1 Usualmente se asume que los consumidores conforman un sector competitivo del que los
actores conocen su comportamiento agregado, implicando esto cierto proceso centralizado de
información previa que podría no estar disponible.
2 También llamada “teoría de las decisiones interactivas”.
301
302
Semana 11. Oligopolio y competencia monopolística
Sin embargo, a pesar de su influencia sobre Edgeworth, Jevons, Walras y Marshall,
el trabajo de Cournot sólo fue reconocido en el mainstream de la teoría económica
a comienzos de los años 20 y 30 del siglo XX, cuando, a partir de la influencia
de los Principles de Marshall en Europa y del trabajo de Irving Fisher (1938) en
Norteamérica, comenzara el auge de la teoría de los mercados bajo competencia
imperfecta y de las preguntas por soluciones al problema del duopolio que planteara
Cournot.
11.2.
Modelos de oligopolio
Existen numerosos modelos de oligopolio, y la teoría hoy nos provee de un catálogo
del cual elegir para cada caso empírico. Algunos de ellos son:
1. Oligopolio de Cournot. Aquí, varias empresas compiten simultáneamente en cantidades producidas. Es el ejemplo de oligopolio más socorrido.
2. Modelos de empresa líder à la Stackelberg (liderazgo de la empresa dominante).
Este modelo supone que hay una empresa que es la más grande de la industria,
y que fija el precio o la cantidad. Las demás empresas constituyen un “segmento competitivo”, porque actúan como si estuvieran en competencia perfecta
al ser tomadoras de precios o cantidades. También se consideran modelos à la
Stackelberg cuando las empresas “seguidoras” tienen cierto poder estratégico.
3. Modelo de Hotelling. En este caso, cada empresa se diferencia por su localización
física en el mercado. Este tipo de “modelo de localización” es recurrentemente
utilizado para estudiar los problemas de diferenciación de producto por, por
ejemplo, calidad y variedad.
4. Modelo de Bertrand. En este modelo, paradigmático en la teoría moderna de
oligopolio, cada empresa compite por precios de manera estratégica.
5. Modelo de Edgeworth. En este caso, típicamente cada empresa toma sus decisiones suponiendo que las otras mantienen su precio constante y su capacidad
limitada.
6. Modelo de Salop. En este modelo se estudia el caso cuando una empresa ofrece
un producto diferenciado por el tiempo en que se hace la entrega.
La lista es innumerable, tal como el lector puede observar en la literatura científica
sobre modelos de oligopolio. En adelante, estudiaremos sólo unos casos básicos en
versión simple de este central y profundo problema. En el volumen III (Competencia
bajo equilibrio de Nash) analizaremos algunos modelos de oligopolio con mayor
atención.
11.2.1.
Duopolio de Cournot
El modelo básico de Cournot (que apareció en Recherches sur les Principes
Mathématiques de la Théorie des Richesses en 1838) presenta dos empresas, 1
11.2. Modelos de oligopolio
303
y 2, que producen un mismo bien homogéneo con costos marginales constantes
(c > 0), y que enfrentan una curva de demanda (conocida y pasiva) de la forma
p = a − (y1 + y2 ) donde y1 es la producción de la empresa 1 y y2 es la producción
de la empresa 2. Asumiremos aquí que a > c; es decir, que el precio inicial de
mercado es mayor que el costo marginal, que es el mismo que el costo de la unidad
de producción.
Toda la información anterior la saben ambos productores. Ahora: si ellos se involucran en una competencia por maximizar sus beneficios, ¿qué precio de mercado
colocarán, y qué cantidades del producto pondrán cada uno en el mercado? Inicialmente, cada una intentará maximizar sus beneficios:
Π1 = py1 − cy1 = (a − (y1 + y2 ))y1 − cy1
Π2 = py2 − cy2 = (a − (y1 + y2 ))y2 − cy2
(11.1)
(11.2)
Derivando Π1 con respecto a y1 e igualando a cero, obtenemos a − 2y1 − y2 − c = 0,
y así llegamos a que:
y1 =
a − c − y2
2
(Curva de reacción de 1)3
Entonces la empresa 1 nota que la maximización de su beneficio no depende de sí
misma y del mercado, sino que también depende de la producción y2 que coloque
su competidor en el mercado.
Por su parte, la empresa 2 debe haber hecho lo mismo: deriva Π2 con respecto a
y2 e iguala a cero, obteniendo a − 2y2 − y1 − c = 0, y así se llega a que:
y2 =
a − y1 − c
2
(Curva de reacción de 2)
Obviamente, la empresa 2 también nota que la maximización de su beneficio no
dependerá de sí misma y del mercado, sino que dependerá de la producción y1 que
coloque el competidor 1 en el mercado (figura 11.1).
Así las cosas, la empresa 1 va a incorporar la producción óptima de la empresa 2
dentro de sus cálculos, es decir, toma la curva de reacción de 2 y la incorpora en
su ecuación de producción óptima (curva de reacción de 1):
!
a − c − y1
a−c−
2
a − c − y2
y1 =
=
2
2
Y despejando obtiene que:
y1 ∗ =
a−c
3
3 Se le llama curva de reacción de 1 porque es la reacción óptima de la empresa 1 ante el
comportamiento de la empresa 2.
304
Semana 11. Oligopolio y competencia monopolística
Pero como la empresa 2 debió haber hecho el mismo cálculo, entonces, por simetría,
también va a obtener:
a−c
y2 ∗ =
3
Y así, a estas cantidades, el precio de equilibrio de mercado será:
p = a − (y1∗ + y2∗ ) = a −
O bien, p∗ =
2(a − c)
3
a + 2c
y el beneficio (que es el mismo para ambos, por simetría) será:
3
Π = (a − (y1∗ + y2∗ ))y1∗ − cy1∗ =
(a − c)2
9
y1
a−c
y1 =
a−c
3
a − c − y2
2
Equilibrio de Cournot
b
y2 =
a−c
3
a−c
a − c − y1
2
y2
Figura 11.1. Equilibrio del duopolio Cournot: y1∗ = y2∗ = (a − c)/3.
Lo primero que se nota es que el precio de equilibrio de este duopolio es mayor que
el costo marginal:
a + 2c
>c
p∗ =
3
pues, por hipótesis, a > c. Y, por lo tanto, debe haber ineficiencia (figura 11.2).
Estamos en presencia de una falla de mercado.
Como decíamos antes, Cournot fue casi totalmente ignorado hasta cuando algunos
de los pioneros neoclásicos le reconocieron sus múltiples e importantes aportes. En
lo que tiene que ver específicamente con la teoría del oligopolio, tuvo defensores y
contradictores. Entre los primeros se encontraba (parcialmente) Edgeworth (1897a),
Wicksell (1898) y Fisher (1938) (este último tradujo a Cournot al inglés); y entre
los segundos –definitivamente– estuvieron Bertrand (1883) y Chamberlin (1933).
Y cuando se revisan las críticas al modelo de Cournot, muchas de ellas recaían en
los problemas de estática y dinámica del modelo, en los problemas de información
11.2. Modelos de oligopolio
305
y las necesarias conjeturas acerca del comportamiento de los otros competidores,
además de la utilización del concepto-solución central de la teoría de juegos: el
equilibrio de Nash, desarrollado por John Nash en 19514 . Un poco más adelante,
veremos que Bertrand criticaba el modelo de Cournot porque, en su concepto, la
verdadera variable de interacción entre los competidores era la señal de precios y
no la cantidad producida. Sin embargo, esta crítica sólo es válida parcialmente.
p
a
pd =
a + 2c
3
Ingreso marginal de los duopolistas
Img = a − (3Y /2)
Excedente
del consumidor
Pérdida irrecuperable
de eficiencia
Excedente
del productor
pcp = c
Demanda agregada
p=a−Y
b
Yd =
2(a − c)
3
b
Ycp = a − c
Y = y1 + y2
(Producción agregada)
Figura 11.2. Duopolio Cournot versus equilibrio competitivo. Podemos observar cómo el precio
competitivo pcp = c es menor que el precio de duopolio pd = (a + 2c)/3. El triángulo negro es la
pérdida irrecuperable de eficiencia.
El primer problema lo ilustra –no lo resuelve, aunque algunos crean que sí– la
figura 11.1, en donde observamos que, independientemente de la cantidad inicial,
la estructura del modelo de Cournot conduce de nuevo (siguiendo la dinámica de
las rectas punteadas de la figura) al equilibrio de Cournot estático. El segundo
problema no tuvo las herramientas analíticas adecuadas (teoría de la información
asimétrica –ver, por ejemplo, Akerlof (1970) y Harsanyi (1966, 1968)–), hasta el
último cuarto del siglo XX.
Y el tercer problema apareció porque Cournot utilizó un concepto-solución muy
avanzado para su época: la solución a su modelo de oligopolio es, realmente, un
equilibrio (estratégico) de Nash (1951), en el sentido de que una vez los dos duopolistas acuerdan la estrategia precio-cantidad de equilibrio, ninguno de ellos cambiará
de cantidad (es decir, de estrategia), de manera unilateral. Obviamente, entender
un concepto como este, tomó tiempo. Inclusive hasta principios de los años 70 en
el siglo XX; es decir, veinte años después del artículo seminal de Nash.
4 John Nash (1928–2015) recibió el Premio Nobel de Economía en 1994. Sobre el trabajo de este
importante matemático y economista, hablaremos ampliamente en el volumen III (Competencia
bajo equilibrio de Nash).
306
11.2.2.
Semana 11. Oligopolio y competencia monopolística
Duopolio en cartel (colusión)
Ahora analizaremos la siguiente pregunta: ¿y qué tal si los duopolistas anteriores
se repartieran la cantidad monopolista en partes iguales? Es decir, ¿será posible
que los productores hagan colusión en un cartel? Veamos.
La función de beneficios bajo monopolio es:
Πm = py − cy = (a − y)y − cy
Derivando e igualando a cero esta función cóncava estricta, obtenemos:
a−c
a+c
; pm = a − y m =
2
2
La colusión en cartel consistiría, en este caso, en que ambas empresas produjeran
la mitad de la cantidad de monopolio:
ym =
ym
a−c
=
2
4
y así obtendrían, ambas, un beneficio
y y y m
m
m
−c
= (p − c)
Π=p
2
2
2
(a − c)2
a+c
a−c
=
=
−c
2
4
8
Por su parte, como ya antes habíamos definido Π1 (y1 , y2 ) = (a − (y1 + y2 ))y1 − cy1
y también Π2 (y1 , y2 ) = (a − (y1 + y2 ))y2 − cy2 , entonces un poco de manipulación
algebraica nos lleva a que:
y
5(a − c)2
a−c a−c
ym m
=
,
= Π2
, yd
= Π1
Π1 yd ,
2
3
4
36
2
ym
5(a − c)2
ym
a−c a−c
Π2 yd ,
=
,
= Π1
, yd
= Π2
2
3
4
48
2
Ahora resumimos la información de esta sección en la tabla 11.1 conocida como
un “juego en forma estratégica” (Nash, 1951) en donde cada casilla de la bimatriz
tiene dos números y no uno solo como en las matrices ordinarias. Allí aparecen los
beneficios Π1 y Π2 para las respectivas empresas, y entonces comparamos resultados:
❵❵❵
❵
❵❵❵ Empresa 2
❵❵❵
❵❵
yd
ym /2
yd
(a−c)2 (a−c)2
,
9
9
5(a−c)2 5(a−c)2
,
36
48
ym /2
5(a−c)2 5(a−c)2
,
48
36
(a−c)2 (a−c)2
,
8
8
Empresa 1
Tabla 11.1. Pagos en duopolio versus monopolio (cartel).
11.2. Modelos de oligopolio
307
O bien, haciendo (a − c)2 = 1 y expresando las fracciones de la bimatriz en decimales, aparece la tabla simplificada 11.2.
❵❵❵
❵
❵❵❵ Empresa 2
yd
❵❵❵
❵❵
yd
0.111 , 0.111
ym /2
Empresa 1
ym /2
0.104 , 0.139
0.139 , 0.104
0.125 , 0.125
Tabla 11.2. Tabla 11.1 con (a − c)2 = 1,
Aquí notamos que, en este modelo estático, los empresarios no alcanzan el acuerdo –colusión (o pacto entre dos para hacerle daño a un tercero) en un cartel– de
dividirse la producción de monopolio, a pesar de que para ambos es mejor (0.125)
con respecto al acuerdo de duopolio (0.111). Y esto sucede porque si llegaran a ese
acuerdo de colusión, entonces ambos tendrían incentivos para cambiar de estrategia
unilateralmente, pues esto les da más beneficios. Por ejemplo, si el empresario 2
se moviera de ym /2 a yd , dejando al empresario 1 en lo acordado (que era ym /2),
entonces obtendría 0.139 en lugar de 0.125 (ver tabla 11.2), que es mejor para el
empresario 2. Por lo tanto, no respetar el pacto unilateralmente lleva a mejores réditos. De acuerdo con esto, si ambos hubieran hecho lo mismo que hizo el empresario
2, entonces habrían llegado, nuevamente, a la estrategia de duopolio (yd , yd ): es
decir, a la estrategia de producir las cantidades indicadas por el duopolio Cournot
y obtener ambos un beneficio de 0.111.
p
a
Ingreso marginal del monopolista
p = a − 2Y
pm = a+c
2
Ingreso marginal de los duopolistas
Img = a − 3Y /2
pd = a+2c
3
Costo marginal = c
pcp = c
Demanda agregada
p=a−Y
Ym
= a
−
2 c
Yd
= 2
Yc
(a
−
3 c)
p =
a−
Y
(producción agregada)
c
Figura 11.3. Duopolio Cournot versus monopolio.
Finalmente, en la figura 11.3 se comparan las producciones y los precios de duopolio
Cournot, de cartel (monopolio) y de mercado competitivo. Es revelador que el precio
308
Semana 11. Oligopolio y competencia monopolística
de duopolio (pd ) esté entre los precios de cartel (pm ) y competitivo (pcp ). Enseguida
discutiremos qué es lo que esto significa.
11.2.3.
Duopolio de Stackelberg
En el caso del duopolio de Cournot, ambas empresas compiten de manera simultánea, únicamente evaluando, cada una, lo que la otra empresa podría hacer, e
incorporando esa evaluación dentro de sus propios cálculos. Ahora supongamos
que la empresa 1 es “líder” y que coloca primero una cantidad en el mercado (imaginemos una empresa ya instalada en el mercado como monopolista y que no puede
evitar la entrada de un competidor) a lo que la firma 2 (la “seguidora”), sabiendo esta cantidad, va a responder colocando otra cantidad. Veamos en detalle, qué
sucede en este caso.
Heinrich von Stackelberg (1905–1946) propuso en 1934, en Marktform und
Gleichgewicht, un modelo parecido al de Cournot en sus fundamentos, en el que el
precio de mercado es:
p = a − y1 − y2
y las funciones de beneficio de ambas empresas son:
Π1 = py1 − cy1 = (a − (y1 + y2 ))y1 − cy1
Π2 = py2 − cy2 = (a − (y1 + y2 ))y2 − cy2
(11.3)
(11.4)
donde c > 0 es el costo marginal constante (y el mismo) de ellas. Como la empresa
1 es la que coloca primero su cantidad en el mercado, es creíble que opere así: “Si yo
coloco la cantidad y1 en el mercado, ¿qué hará la empresa 2?”. Dada la información
que hay en este modelo, el empresario 1 puede hacer ese cálculo: toma la función de
beneficios del empresario 2 y la maximiza, derivando con respecto a y2 e igualando
a cero, para obtener que:
a − y1 − 2y2 − c = 0
Y así,
a − c − y1
(curva de reacción de 1)
2
Es decir, si el empresario 1 coloca en el mercado una cantidad y1 , el empresario 2
le colocará una cantidad
y2 =
y2 =
a − c − y1
2
(curva de reacción de 2)
Luego incorpora esta información dentro de su función de utilidad:
Π1 = (a − (y1 + y2 ))y1 − cy1
=
a−
a − c − y1
y1 +
2
!!
y1 − cy1
11.2. Modelos de oligopolio
309
Y deriva (con respecto a y1 ) e iguala a cero esta función cóncava estricta, para
obtener su producción óptima:
a−c
y1∗ =
2
a+3c
∗
∗
∗
y
p
=
a
−
y
−
y
=
Y así, y2∗ = a−c
1
2
4
4 . Y los pagos que reciben, entonces,
son:
(a − c)2
(a − c)2
Π1 =
; Π2 =
8
16
Ahora comparemos los resultados obtenidos hasta ahora. En la tabla 11.3 anotamos
el precio del producto, las producciones individuales y los beneficios de las dos
empresas bajo las tres estructuras de mercado estudiadas: el cartel, el duopolio de
Cournot y el duopolio de Stackelberg.
Precio del producto
Cantidad y1
Cantidad y2
Beneficio Π1
Beneficio Π2
Duopolio
Duopolio
Cartel
Cournot
Stackelberg
a+c
a + 2c
a + 3c
2
a−c
3
a−c
4
a−c
4
(a − c)2
3
(a − c)2
4
(a − c)2
8
9
16
4
a−c
8
(a − c)2
3
a−c
9
(a − c)2
2
a−c
8
(a − c)2
Tabla 11.3. Comparación de tres estructuras de duopolio.
p
a
Demanda del mercado
p=a− Y
pcartel =
pcournot =
pstackelberg =
a+c
2
a + 2c
3
a + 3c
4
pcompetitivo = c
(n = ∞)
Y
ca
r
te
Y = Producción
Y
a
Y
Y
st
co
co
ac
ur
agregada
m
ke
no
pe
lb
l =
ti
t =
er
t
iv
(a
2(
g =
o =
−
a
3(
−
c)
a
a
c)
/2
−
−
/3
c
c)
/4
Figura 11.4. Comparación de estructuras de mercado.
310
Semana 11. Oligopolio y competencia monopolística
Entonces la figura 11.4 aclara un poco más lo que sucede con estas tres estructuras. El precio más alto lo coloca el cártel (monopolio), después el duopolio de
Cournot, luego el duopolio Stackelberg y el que coloca el precio más bajo es el
precio competitivo (igual al costo marginal). Es este tipo de argumentos el que
recrea el imaginario de los economistas al dar a entender que a mayor cantidad
de competidores (de cartel a Cournot) y a mayor información (de Cournot a
Stackelberg5 ), el precio es menor y más cerca del “ideal” competitivo. Sin embargo, una afirmación de este tipo es discutible y requiere de modelos mucho más
ricos conceptual y analíticamente. En el volumen III (Competencia bajo equilibrio
de Nash), dicutiremos, de nuevo, este problema.
11.2.4.
Oligopolio de Cournot
En este caso que generaliza el duopolio de Cournot, tenemos n empresas con el
mismo costo marginal c, y además,
p = a − (y1 + y2 + y3 + · · · + yn )
Por consiguiente, para cada i = 1, 2, . . . , n,
Πi = pyi − cyi = (a − (y1 + y2 + y3 + · · · + yn ))yi − cyi
Y derivando e igualando a cero, obtenemos la curva de reacción de la


empresa i:
X
1
i = 1, 2, . . . , n
a−c−
yj 
yi =
2
j6=i
Si se resuelven simultáneamente estas n ecuaciones, se obtiene que cada una producirá
a−c
yi ∗ =
i = 1, 2, . . . , n
n+1
Y así,
a + nc
n
(a − c) =
p∗ = a −
n+1
n+1
Por lo tanto,
∗
Πi =
a−c
n+1
2
i = 1, 2, . . . , n
Y haciendo n tender a ∞ (infinito), tendremos un comportamiento similar al de
competencia perfecta:
yi ∗ = 0
;
p∗ = c ;
Πi ∗ = 0
Es decir, la producción individual es nula (comparada con la producción agregada
de toda la economía); el precio es igual al costo marginal; y el beneficio individual es
5 En el modelo de Stackelberg ambos competidores saben que el empresario 1 es el líder, algo
que no ocurre en el modelo de Cournot.
11.2. Modelos de oligopolio
311
nulo (comparado con el beneficio agregado de toda la economía). Recordemos que
en competencia perfecta, el aporte individual es insignificante dentro de la operación
agregada de toda la economía, y eso haría parcialmente aceptable la conclusión de
la convergencia al equilibrio competitivo cuando el número de agentes, crece; pero
esto también discutible. En la figura 11.5 comparamos ahora las tres estructuras
(duopolio, oligopolio y competencia perfecta) con respecto a precio y cantidades
colocadas en la industria. Allí se nota claramente la convergencia del precio del
oligopolio de Cournot al precio competitivo cuando el número de competidores es
“infinito”.
p
a
p2−cournot =
pn−cournot =
Demanda del mercado
p=a−Y
a + 2c
3
a + nc
n+1
pcompetitivo = c
(n = ∞)
Y
2−
Y
Y = Producción
a
co
m
agregada
pe
ti
ti
vo
ot
ot
=
=
=
n
a
2(
(a
−
a
c
−
−
c)
c)
/(
/3
n
+
1)
Y
n
co
u
rn
−
co
ur
n
Figura 11.5. Comparación de los oligopolios Cournot y la competencia perfecta.
Ejemplo 1. (Friedman, 1983)
Supongamos ahora un oligopolio de Cournot en el que para i = 1, 2, · · · , n (con
n ≥ 2) la firma i tiene costos fijos ci (qi ) = a + 5qi + (qi )2 , donde a > 0 es el costo
fijo, y el mercado tiene función de demanda inversa p = 100 − 0.1Q. Entonces
X
Πi = pqi − a − 5qi − qi2 = 95qi − 1.1qi2 − 0.1qi
qj − a
j6=i
P
Derivando Πi con respecto a qi e igualando a cero se tiene que 95−2.2qi −0.1 j6=i qj
y como el problema es simétrico, en equilibrio de Cournot-Nash debemos tener que
qi = qj para todo i, j. Por lo tanto, 95 − 0.1(21 + n)qi = 0 y así, resolviendo para
qi tendremos que qi = 950/(21 + n). Y así,
Q = nqi = 950n/(21 + n),
p = 100 − 95n/(21 + n)
y la función de beneficios de la empresa i está dada por Πi = 11[95/(21 + n)]2 − a.
Está claro que si n tiende a infinito entonces qi tiende a cero, aunque Q aumenta
312
Semana 11. Oligopolio y competencia monopolística
hasta 950 unidades de producción (esto parece contradictorio pero no lo es); y, por
esto último, p decrece a $5 por unidad. No obstante, aparece un problema con lo
que acabamos de afirmar: n no puede crecer indefinidamente sin que los beneficios
lleguen a ser negativos. En efecto: notemos que, en equilibrio de Cournot-Nash,
Π ≥ 0 si, y sólo si, a < 11(95/(21 + n))2 . Por lo tanto, para que las n empresas
1
tengan beneficios positivos basta que se dé la condición n < [315/(a) 2 ] − 21, lo que
indica que si a (costos fijos) es grande, el número de empresas en el mercado, n, es
pequeño; y que si a es pequeño, el número de empresas n es grande.
11.3.
Competencia monopolística
La competencia monopolística es una estructura de mercado que asume la presencia de una gran cantidad de consumidores, pero “menos” que en competencia
perfecta (donde se supone, en ocasiones, que existe una cantidad infinita de ellos),
y una cantidad “apreciable” de productores (más que en la estructura oligopólica y
(mucho) menos que en la competitiva). Aquí se comercian productos diferenciados
mediante ubicación, marcas, calidad, horarios de servicio, etc. No hay barreras a
la entrada y salida del mercado. Ejemplos aproximados de ello son la mayoría de
negocios que vemos en el comercio: peluquerías, bombas de gasolina, charcuterías,
misceláneas, librerías, almacenes de artículos eléctricos, papelerías de barrio, etc.
11.3.1.
Competencia monopolística à la Chamberlin
En el estudio de la competencia monopolística estándar (inspirado, inicialmente, en
The Theory of Monopolistic Competition de Edward Chamberlin, 1933) se recurre
a entenderlo como un monopolio de partida o de corto plazo (figura 11.6), es decir,
antes de que entren competidores.
p
pm =precio del monopolista
Costo medio del monopolista
Demanda
(ingreso medio)
b
Solución
Costo marginal
(oferta)
Beneficio
Costo medio
(corto plazo)
Ingreso
marginal
ym
y
Figura 11.6. Comportamiento de corto plazo del competidor monopolista.
Y, una vez se observen las ganancias de esta empresa, entrarán otros a competirle
hasta llevar los beneficios de la empresa inicial a cero (es decir, beneficio cero en el
“largo plazo” [figura 11.7]). Es por esto que, ocasionalmente, se asimila la noción
de competencia monopolística a la de “competencia”, pero sin que necesariamente
coincida con la noción de competencia perfecta.
11.3. Competencia monopolística
313
Algo notable de esta estructura es que, en el largo plazo, al llevar los beneficios a
cero por competencia, el resultado es similar a si cada competidor actuara como
un monopolista ordinario pero enfrentando la demanda agregada. Ilustremos esto
con un ejemplo.
p
Ingreso marginal
Costo marginal
(oferta)
b
pm =precio monopolista
pcm = Precio de competencia
monopolística
b
b
pcp = Precio de competencia
perfecta
Costo medio (corto plazo)
Demanda p = a − y
Demanda (ingreso medio) de “largo
plazo” (ejemplo: p = a − ny)
ym ycm
ycp
y
Figura 11.7. Comportamiento de largo plazo del competidor monopolista: beneficio cero para
todas las empresas. Aquí n es el número de competidores que entran al mercado del monopolista.
Ejemplo 2. (En notación P , Q)
Una empresa en competencia monopolística se enfrenta a la función de demanda
Q = 20 − P y su función de costo es CT (Q) = Q2 − 4Q + 5.
a) Determine su precio y el nivel de producción a corto plazo. Evalúe si la empresa
obtiene beneficios económicos.
b) ¿Es posible la entrada de otras empresas al mercado? Encuentre la solución de
equilibrio para el largo plazo.
Solución.
a) En el corto plazo el competidor monopolista se comporta como un monopolista
y, por lo tanto, al maximizar su función de beneficios, debe igualar el ingreso
marginal con el costo marginal. Es decir,
d(P Q)
d(20 − Q)Q
=
= 20 − 2Q
dQ
dQ
d(Q2 − 4Q + 5)
d(CT )
=
= 2Q − 4
= Cmg =
dQ
dQ
Img =
Y de allí se tiene 20 − 2Q = 2Q − 4, y, por tanto, Q∗ = 6. Y así, de la función
de demanda Q = 20 − P , se obtiene que P ∗ = 14 (figura 11.8, panel izquierdo).
Y puesto que el costo medio (Cme = Q − 4 + (5/Q)) a este nivel de producción Q∗ = 6 es Cme ∗ = 17
6 , entonces esta empresa percibe un beneficio de
Π = Q∗ (P ∗ − Cme ∗ ) = 67.
314
Semana 11. Oligopolio y competencia monopolística
b) En el “largo plazo” buscamos inicialmente (figura 11.8, panel derecho) el nivel de
producción donde la tangente a la curva de costo medio es igual a la pendiente de
la curva de demanda P = 20−nQ donde n es el número potencial de entrantes a
competir; es decir, donde 1 − (5/Q2 ) = −n, lo que nos lleva a que la producción
de largo plazo es:
1/2
5
∗
Q =
(∗)
n+1
De esta manera, la nueva curva de ingreso marginal de largo plazo es:
Img =
d((20 − nQ)Q)
d(P Q)
=
= 20 − 2nQ
dQ
dQ
Ahora confirmemos que es una “industria monopolística” en el largo plazo: en
este caso, la producción se llevará a cabo en la intersección entre la nueva curva
de ingreso marginal y la de costo marginal; es decir, cuando 20 − 2nQ = 2Q − 4,
de donde
12
(∗∗)
Q∗ =
n+1
P
P
20
Cme = Q − 4 + 5
Q
Cmg = 2Q − 4
b
14
Cme = Q − 4 + 5
Q
Beneficios
8.417
b
P = 20 − Q
P = 20 − 27.8Q
17
Img =
20 − 2Q
6
6
20
Q
0.417
Q
Figura 11.8. Ilustración del problema de competencia monopolística del ejemplo 2. Observemos
también la posibilidad de exceso de capacidad instalada, pues Q baja al pasar del corto plazo al
“largo plazo”.
1/2
5
12
Igualando (∗) con (∗∗) tendremos que n+1
y así, n = 27.8, lo que,
= n+1
nuevamente, muestra el “problema del número entero” ya discutido en la semana
7. Con este valor de n, calculamos en (∗∗) que
Q∗ =
12
12
=
= 0.417
n+1
28.8
y que:
P ∗ = 20 − nQ∗ = 20 − (27.8)(0.417) = 8.417
11.3. Competencia monopolística
315
Sólo restaría confirmar que el beneficio es cero. En efecto:
Π = P ∗ Q∗ − C(Q∗ )
= (8.417)(0.417) − (0.417)2 + 4(0.417) − 5
=0
Notemos, entonces, que el precio del competidor monopolista de largo plazo no
coincide con el de competencia perfecta mostrando que la idea popular de que “la
competencia baja los precios” es cierta en este ejemplo, mas no al nivel de eficiencia.
La razón es que la entrada allí es de sólo unas cuantas empresas que colocan
precios y no de “infinitas” sin colocación de precios como requiere la competencia
perfecta. Al fin y al cabo, en competencia perfecta, después de la libre entrada
de competidores, todas operarán al nivel de eficiencia mínima. En competencia
monopolística, este nivel es, típicamente, mayor.
11.3.2.
El modelo lineal de Hotelling
En este modelo de diferenciación sobre una ciudad lineal (que asumiremos de longitud 1 por conveniencia analítica), los consumidores se distribuyen uniformente a lo
largo de ella (con densidad 1), y las dos únicas tiendas (que venden el mismo bien
físico) están localizadas en los dos extremos de la ciudad (la tienda 1 está en x = 0
y la tienda 2 está en x = 1). El costo por unidad del bien es c para ambas tiendas.
Los consumidores incurren en un costo de transporte t por unidad de distancia. La
demanda de la firma 1 es igual al número de consumidores que encuentran el producto a menor precio allí, que en la tienda 2. Sean p1 y p2 los precios del producto
en las respectivas tiendas 1 y 2, y asumamos que sus demandas están dadas, para
x ∈ [0, 1], por:
D1 (p1 , p2 ) = x
D2 (p1 , p2 ) = 1 − D1 (p1 , p2 )
donde debe darse que los que están a la izquierda de x compran en la tienda 0, y
los que están a la derecha de x deben comprar en la tienda 1, y, por lo tanto,
p1 + tx = p2 + t(1 − x)
Tomando esta última ecuación, se obtiene que:
x=
p2 − p1 + t
2t
E incorporándola en las demandas, se llega a que:
D1 (p1 , p2 ) =
p2 − p1 + t
2t
D2 (p1 , p2 ) = 1 − D1 (p1 , p2 ) =
p1 − p2 + t
2t
Supongamos ahora que los precios se escogen simultáneamente. El equilibrio de
esta competencia será dado resolviendo simultáneamente los problemas:
316
Semana 11. Oligopolio y competencia monopolística
a)
p2 − p1 + t
Máx(p1 − c)D1 (p1 , p2 ) = Máx(p1 − c)
p1 >0
p1 >0
2t
b)
Máx(p2 − c)D2 (p1 , p2 ) = Máx(p2 − c)
p2 >0
p2 >0
p1 − p2 + t
2t
(tienda 1)
(tienda 2)
Es decir, resolviendo simultáneamente las curvas de reacción dadas por
p2 − 2p1 + t + c = 0
p1 − 2p2 + t + c = 0
de donde se obtiene que p1 = p2 = c + t y los beneficios son:
p2 − p1 + t
(t)(t)
t
Π1 = (p1 − c)
=
= (= Π2 )
2t
2t
2
Es así como surge, entonces, la suboptimalidad en precios (pues c + t > c) y, por
tanto, estamos en presencia de una falla de mercado.
Hotelling (1929) fue el primero en recurrir a un segmento de línea, tanto para representar el producto que se está vendiendo, como las preferencias de los consumidores
que lo están comprando. Hoy en día, la literatura sobre este problema analiza dos
tipos importantes de diferenciación que pueden modelarse utilizando la recta de
Hotelling: calidad y variedad, medidos ambos desde x = 0 hasta x = 1. A la diferenciación por calidad se le llama diferenciación vertical, y a la diferenciación por
variedad se le llama diferenciación horizontal.
11.3.3.
El modelo de Bertrand
Joseph Bertrand [1822–1900] en Théorie Mathématique de la Richesse Sociale de
1883, criticaba los modelos de duopolio de Cournot (1838) por “irreales”, ya que,
como decíamos antes, consideraba que la verdadera variable estratégica a estudiar
era el precio, y no las cantidades a colocar por parte de las empresas. Según Bertrand, las cantidades no son un mecanismo efectivo de mercado, como sí lo son los
precios6 .
Recordemos, inicialmente, que los modelos de Cournot y Stackelberg estudian mercados de duopolio para un bien homogéneo (es decir, sin “sustitutos cercanos”). El
modelo inicial que planteaba Bertrand es para un bien homogéneo también, pero
esto, en principio, resultaba ser “poco interesante” pues, en cualquier momento, los
compradores demandarían únicamente de la empresa que les colocara el menor precio. Y así, por competencia, las dos empresas comenzarían alternadamente a bajar
6 La señal de precios es más efectiva como mecanismo de coordinación entre múltiples agentes
económicos dispersos. Pero este no es, necesariamente, el caso entre unos pocos competidores. Por
lo tanto, ambos modelos (Cournot y Bertrand) son válidos teóricamente.
11.3. Competencia monopolística
317
los precios hasta colocar, ambas, el precio igual al costo marginal (que Bertrand
consideraba fijo), y esto las llevaría, a ambas, a un beneficio cero. Esta situación de
mercado se conoció como la Paradoja de Bertrand, ya que sólo dos empresas son
suficientes para generar el resultado competitivo (precio igual a costo marginal).
Aunque la paradoja de Bertrand tiene, actualmente, varias salidas que hacen del
modelo uno muy interesante, en aquel entonces el mismo Bertrand entró a estudiar
el mercado de un bien diferenciado (por ejemplo, el mismo bien físico, pero que
se compra en lugares distintos tal como acabamos de señalar en el modelo de
Hotelling). Para ilustrarlo, asumamos, por simplicidad, que el costo marginal de
todas las empresas es constante c (es decir, producen con rendimientos constantes
a escala) y que las funciones de demanda son:
X
y i = a − pi +
ǫpj
i = 1, 2, . . . , n
j6=i
donde ǫ > 0 es un número “pequeño” que satisface 1/ǫ < n − 1 < 2/ǫ. Con esto
estamos suponiendo que las empresas que compiten con la empresa i ejercen un
pequeño impacto (a través de su colocación de precios) en la cantidad vendida yi
por la empresa i. Los beneficios de la empresa i = 1, 2, · · · , n estarán, entonces,
dados por:


X
Πi = pi yi − cyi = (pi − c)yi = (pi − c) a − pi +
ǫpj 
j6=i
Derivando la función cóncava estricta Πi con respecto a pi e igualando a cero se
obtiene que, para i = 1, 2, · · · , n,
P
a + c + ǫ j6=i pj
pi =
(funciones de reacción)
2
Y resolviendo simultáneamente se llega a que el equilibrio de Bertrand es:
p∗ =
a+c
2 + ǫ(1 − n)
yi ∗ = a + (ǫ(n − 1) − 1)p∗
;
i = 1, 2, · · · , n
Observemos (con un poco de manipulación algebraica) cómo, nuevamente, el precio
de equilibrio es mayor que el costo marginal c y se produce una falla de mercado
en contra del bienestar (excedente o surplus) de los consumidores. Sin embargo,
debemos advertir que este tipo de equilibrios puede no existir. En efecto: si no se
satisface la condición 1/ǫ < n − 1 < 2/ǫ de arriba, entonces p∗ sería negativo.
Y esto, además de Bertrand, ya la había advertido el mismo Edgeworth (1897b)
cuando estudiaba el modelo de Bertrand pero con capacidad limitada (modelo de
Edgeworth); es decir, cuando alguno de los oferentes no podía producir lo que se
le demandaba por parte del mercado. En este caso, también podría haber ausencia
318
Semana 11. Oligopolio y competencia monopolística
total de equilibrios. Obviamente, la teoría neoclásica ha tratado de replantear estos
modelos bajo otras hipótesis y criterios. Pero el problema de fondo continúa: la
competencia en modelos estáticos por cantidades (que son asimilados como modelos
de oligopolio de “largo plazo”) o por precios (que son asimilados como modelos de
“corto plazo”) en bienes homogéneos, arrojan resultados que no son similares. Ni
siquiera compatibles. Y los equilibrios pueden no existir.
11.3.4.
El modelo circular de Salop
En el clásico modelo de competencia monopolística de Salop (1979), que fuera
una extensión del modelo de Hotelling (1929), los consumidores ahora se ubican
uniformemente en un círculo con perímetro igual a 1. Por su parte, las empresas
también están situadas alrededor del círculo, y todos los desplazamientos tienen
lugar a lo largo de este, como una ciudad alrededor de un lago sin barcos. Los
consumidores, que quieran comprar 1 unidad del bien, tendrán un coste lineal
unitario de transporte t, y el excedente bruto que obtienen por el bien es s. Cada
empresa puede ubicarse sólo en una localización. Aquí, el beneficio de la empresa
es Πi = (pi − c)Di − f si entra al mercado, y Πi = 0 si no entra, donde Di es la
demanda de la empresa, f es un costo de entrada y c < s es el coste marginal. El
juego tiene lugar a lo largo de dos etapas:
i) En la primera, n empresas entran (las empresas potenciales deciden si entran
o no) y son situadas exógenamente de forma equidistante en el círculo.
ii) En la segunda etapa, las empresas compiten en precios, dadas sus localizaciones.
Empezamos (como en el modelo de Stackelberg) analizando la segunda etapa para las n empresas que han entrado. Como todas están ubicadas simétricamente,
analizamos un equilibrio simétrico donde todas fijan el mismo precio. La empresa
i sólo compite con las dos empresas vecinas. Si elige pi , un consumidor ubicado a
distancia x ∈ (0, 1/n) de la empresa i es indiferente entre esta empresa y la empresa
vecina si
1
pi + tx = p + t
−x
n
De donde se deduce que
p + nt − pi
2t
Por lo tanto, la empresa i se enfrenta a una demanda:
x=
Di (p, pi ) = 2x =
p + nt − pi
t
11.4 Índices de concentración oligopólica
319
Así, el problema de la empresa i es:
p + nt − pi
−f
Maximizar (pi − c)
pi
t
De la condición de primer orden (CPO) de este problema se deduce que 2pi =
p + nt + c. En un equilibrio simétrico pi = p y, por tanto pi = nt + c y Di = n1 . El
número de empresas de equilibrio viene determinado por la condición de beneficio
0 para las empresas que entren:
t
+c−c
pi − c
t
−f = n
−f = 2 −f =0
n
n
n
∗
Por lo tanto, en un equilibrio con libertad de entrada
√ competirán n =
∗
empresas, y el precio en este equilibrio será p = c + tf > c.
p
t/f
Inspirado en Hotelling (1929), el modelo de Salop describe la diferenciación de
productos mediante la ubicación física o temporal. Un ejemplo de esto son las
firmas de transporte aéreo, de trenes o de buses que prestan un servicio 24 horas
al día. Si interpretamos el círculo como esas 24 horas, cada ubicación en el reloj
puede entenderse como el servicio que sale del aeropuerto o de la estación, a esa
hora.
El modelo de localización circular de Salop ha sido extendido en múltiples direcciones –ver, por ejemplo, Economides (1993)–. Sobre este importante modelo
discutiremos nuevamente en el volumen III (Competencia bajo equilibrio de Nash)
de esta colección.
11.4.
Índices de concentración oligopólica
Los índices de concentración oligopólica miden el grado en que un reducido número
de empresas controlan la industria en su conjunto y, por consiguiente, su producción, precios y beneficios. En lo que sigue discutiremos brevemente dos de ellos: el
índice de Herfindahl-Hirschman y el ratio de concentración.
11.4.1.
El índice de Herfindahl-Hirschman
Un índice de concentración del mercado muy utilizado en la práctica es el índice
de Herfindahl-Hirschman dado por la fórmula
HHI =
n
X
(si )2
i=1
donde si es la participación (porcentual) o cuota de la empresa i en el mercado
conformado por n empresas. De esta manera, se da más peso a las empresas con
mayor participación en el mercado.
320
Semana 11. Oligopolio y competencia monopolística
En una escala tradicional de 0 a 10, 000, este índice es relativamente pequeño cuando el mercado está conformado por un número grande (n) de empresas de medida
relativamente similar (es decir, de la forma K/n para cierto K bien definido); mientras que cuando el mercado está conformado por una sola empresa (monopolio) este
índice es de 10, 000. Usualmente, se considera que si el HHI está entre 1, 500 y 2, 500
estamos en presencia de un mercado moderadamente concentrado; mientras que por
encima de 2, 500, estamos en presencia de un mercado altamente concentrado. Sin
embargo, también es posible que este índice sea medido, simplemente, en la escala
de 0 a 1, tal como lo mostramos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3.
Suponga que existen dos mercados, cada uno con 8 empresas y a cada una de ellas
le corresponde una cuota de mercado que se encuentra señalada en la tabla 11.4.
Calcule el indice HHI con base en la información suministrada.
Mercado 1
Mercado 2
s1
0.6
0.2
s2
0.11
0.2
s3
0.1
0.19
s4
0.06
0.15
s5
0.05
0.16
s6
0.05
0.04
s7
0.02
0.03
s8
0.01
0.03
Tabla 11.4. Participación en los mercados de cada una de las empresas.
Solución.
Para el mercado 1 tenemos que:
HHI1 = (0.6)2 + (0.11)2 + (0.1)2 + (0.06)2
+ (0.05)2 + (0.05)2 + (0.02)2 + (0.01)2
= 0.3912
Del igual manera, para el mercado 2 tenemos que:
HHI2 = (0.2)2 + (0.2)2 + (0.15)2 + (0.19)2
+ (0.16)2 + (0.04)2 + (0.03)2 + (0.03)2
= 0.1676
El índice de Herfindahl-Hirschman señala que el mercado 1 se encuentra más concentrado con un HHI de 0.3912, frente a un mercado 2 menos concentrado con un
HHI de 0.1676. N
Originariamente, este índice fue propuesto por Albert Hirschman en 1945 como una
medida alternativa para tratar de medir la concentración del actividad económica.
Posteriormente, Orris Herfindahl (1950) lo aplica al problema de la concentración
en una industria.
11.4.2.
El ratio (o tasa) de concentración
Otra de estas medidas es el ratio (o tasa) de concentración que es la participación de
las r empresas más grandes del sector. Este ratio se define como la cuota de mercado
Ejercicios
321
acumulada de las r mayores empresas de una industria, y se define mediante la
fórmula
r
X
si
CR(r) =
i=1
donde r es el número de las empresas más grandes y si es la participación de la
empresa i en el mercado.
Una de las críticas que se le hace al ratio (o tasa) de concentración es, precisamente,
la sensibilidad que presenta ante el r: si se toma r muy cercano a n puede caerse
en conclusiones incorrectas.
Ejemplo 4.
Con la misma información del ejemplo 3, calcular el ratio de concentración para
cada uno de los mercados, con r = 4 y con r = 8.
Solución.
Para estos mercados tenemos que:
CR(4)1 = 0.6 + 0.11 + 0.1 + 0.06 = 0.87
CR(4)2 = 0.2 + 0.2 + 0.19 + 0.15 = 0.74
que reconfirman la concentración (no los grados de esta) medida por el índice HHI.
Sin embargo, tomando r = 8 tenemos que:
CR(8)1 = 1 ;
CR(8)2 = 1
En general si r = n el ratio toma el valor de 1, siendo estos resultados inútiles para
analizar la concentración de un mercado. N
Los estudios tradicionales en competencia imperfecta basados en el paradigma de
que existe una relación causal unidireccional entre una estructura más concentrada,
una conducta alejada del supuesto competitivo, y unos beneficios elevados, están ya
desfasados. La relación estadística entre concentración y poder de mercado, aproximado mediante índices de concentración, es débil, siendo uno de sus problemas
que la conducta misma de las empresas puede tener un impacto sobre la estructura.
Esto obliga a considerar el comportamiento, además de la estructura de mercado,
como determinante del poder de mercado.
Ejercicios
(Observación: Los ejercicios señalados con uno (∗) o dos (∗∗) asteriscos tienen, a
juicio del autor, un nivel de dificultad un tanto o muy superior, con respecto a los
ejercicios corrientes que aparecen sin asterisco.)
1. ¿Si una tienda vende un producto que es proveído por un monopolista, es él
también un monopolista?
322
Semana 11. Oligopolio y competencia monopolística
2. El mercado de los tufis de un país muy lejano está formado por dos firmas, A y
B, cuyas funciones de costo son idénticas e iguales a C(q) = a + cq. La función
de demanda por tufis en este mercado es Q(P ) = d − P , donde d > a > c > 0.
Dados los siguientes escenarios:
a) Ambas firmas compiten de acuerdo al modelo de Cournot.
b) Las firmas coluden.
c) La firma A se comporta como líder, determinando la cantidad a producir.
d) La firma B se comporta como líder, determinando la cantidad a producir.
Encuentre el equilibrio (precios y cantidades) en cada escenario y las utilidades
de las firmas.
3. Un monopolista presenta una función de costos marginales constantes e iguales
a 5 y enfrenta la demanda de mercado Q = 53 − P . Determine el equilibrio de
mercado (cantidad, precio y utilidades del monopolio). Grafique el costo social
del monopolio. Ahora: debido a la alta demanda, una nueva firma logra entrar
al mercado. Su función de costo es la misma que la original. Suponga que las
firmas se comportan según un duopolio de Cournot, donde cada una maximiza
sus utilidades según lo que produce la otra firma.
a) Determine la función reacción de cada firma.
b) Determine cuál será la combinación de las cantidades producidas por cada
firma para la cual las expectativas de ambas se vean confirmadas (equilibrio
de Nash), determine el precio, cantidades y utilidades de cada una.
4. En un pequeño pueblo hay sólo tres productores de escopetas, los cuales tienen
función de costo (para las tres la misma) C(q) = 5 + 5q. La demanda agregada
por escopetas está representada por la función P = 30 − Q. Suponga que se
pueden producir “fracciones de escopetas”.
a) ¿Cuál es el equilibrio si los tres productores deciden producir simultáneamente y comportarse competitivamente según el modelo de Bertrand?
b) ¿Cuál es el equilibrio si los tres productores deciden utilizar estrategias de
Cournot?
5. Considere un duopolio con la función inversa de demanda P = 400−2Q donde Q
es el total de la cantidad producida por las dos empresas. La empresa 1 tiene un
costo marginal de 100 y la empresa 2 tiene un costo marginal de 40. Calcule las
cantidades à la Cournot, el precio de equilibrio y el beneficio de cada empresa.
6. Si C1 (Q1 ) = Q1 y C2 (Q2 ) = 5Q2 , encuentre el equilibrio à la Bertrand con productos diferenciados si las funciones de demanda que enfrentan los duopolistas
son Q1 = 1, 000 − 20p1 + 15p2 y Q2 = 800 − 15p2 + 5p1 .
7. A partir de la tabla 11.3 determine los excedentes del consumidor y del productor
bajo las tres estructuras de mercado estudiadas: el cartel, el duopolio de Cournot
y el duopolio de Stackelberg.
Ejercicios
323
8. Lleve a cabo el estudio de excedentes de consumidor y productor para la competencia Stackelberg y la competencia monopolística.
9. Una empresa de competencia monopolística se enfrenta a la función de demanda
Q = 30 − P y a la función de costo total de la empresa es C(Q) = Q2 − 3Q + 7.
a) Determine su precio y el nivel de producción a corto plazo.
b) Evalúe si la empresa obtiene beneficios económicos.
c) ¿Es posible la entrada de otras empresas al mercado?
d) Encuentre la solución de equilibrio para el largo plazo.
10. (∗) El oligopsonio es una estructura de mercado en la que hay productores
que son los únicos compradores de un insumo (bien o servicio). Por ejemplo, en
Colombia el bagazo de la caña de azúcar lo producen muchos ingenios y sólo
lo compran las pocas productoras de papel del país. Plantee el problema que
deben enfrentar dos duopsonistas que compiten por cantidades de insumos.
11. (∗) En la figura 11.2, calcule algebraicamente la pérdida irrecuperable de eficiencia (deadweight loss) para el duopolio de Cournot.
12. (∗∗) Estudie, de la forma que hemos llevado a cabo en el presente capítulo,
el problema de un líder à la Stackelberg y dos seguidores que compiten à la
Cournot.
13. (∗∗) Considere el modelo de Cournot donde la demanda inversa es P (Q) = a−Q
(a > 0, Q = q1 + q2 ), pero las firmas tienen costos marginales asimétricos: c1
para la firma 1 y c2 para la firma 2. ¿Cuál es el equilibrio si 0 < ci < a/2 para
i = 1, 2? ¿Qué sucede si c1 < c2 < a pero 2c2 > a + c1 ?
14. (∗∗) (¿Por qué sí podrían surgir los carteles?) Discuta brevemente el duopolio como un “juego repetido”. Específicamente, repita el juego de la tabla 11.2
pensando que los pagos se descuentan por un parámetro δ con 0 < δ < 1 en el
segundo periodo, por δ 2 en el tercer periodo, por δ 3 en el cuarto periodo, etc.
Asuma que la estrategia por parte de ambos jugadores es “jugar la estrategia
de cartel” en cada periodo, pero que si uno de ellos cambia unilateralmente a
la “estrategia Cournot” entonces el otro jugador continuará jugando también
la estrategia de Cournot, lo que los llevará a ambos a jugar esa estrategia por
siempre. Teniendo en cuenta el factor de descuento δ, ¿cuál de las dos estrategias
les dará a ambos jugadores pagos mayores: jugar siempre la estrategia de cartel
o, en alguna etapa, comenzar a jugar la estrategia Cournot y de allí en adelante
hacer lo mismo?
15. Un restaurante que ofrece el servicio de almuerzos a domicilio en diferentes sitios
de la ciudad, enfrenta la siguiente función de demanda:
Q = 200, 000 − 250P
324
Semana 11. Oligopolio y competencia monopolística
donde Q es el número de almuerzos al mes y P el precio de cada almuerzo, medido
en pesos. Este restaurante compite con otros n restaurantes idénticos, tratando
de diferenciar el producto a través de sistemas de propaganda. El restaurante en
cuestión tiene una función de producción con rendimientos constantes a escala y
compra los factores e insumos en mercados en competencia perfecta. Suponiendo
todos los factores variables, la firma calcula que cada almuerzo que produce le
cuesta $400, sin tener en cuenta costos de propaganda. Le ofrecen a la firma un
servicio de propaganda, asegurándole que le podrían aumentar la demanda en
50, 000 almuerzos al mes. Calcule el gasto máximo que podría hacer por este
tipo de propaganda.
16. (∗) En cierto modelo de Cournot para n empresas, el beneficio de cada una
de ellas es Πi = p(Q)qi − ci (qi ) con i = 1, 2, . . . , n (siendo Q = q1 + q2 +
· · · + qn ) donde la función de costo ci (qi ) es una función convexa. Suponga
que las funciones de demanda inversa p(Q) y la función de costo ci (qi ), son
diferenciables.
a) Escriba las ecuaciones que determinan el equilibrio del oligopolio.
b) Pruebe que, en este equilibrio,
si
p(Q) − c′i (qi )
=
p(Q)
ε
donde si = qi /Q es la participación de la firma i en el mercado, y ε es una
elasticidad (¿cuál es esta elasticidad?). Así,
n
X
i=1
si
p(Q) − c′i (qi )
p(Q)
n
=
1X
HHI
(si )2 =
ε i=1
ε
(*)
donde HHI es el índice de concentración de Hirschman-Herfindahl.
Lo anterior nos permite afirmar que las firmas grandes (aquellas con más
grande participación en el mercado), tienen una mayor desviación del comportamiento competitivo (precio igual a costo marginal). Por su parte, las
pequeñas firmas son aproximadamente competitivas (precio cercano al costo
marginal). Además, también podemos asegurar que el HHI refleja la desviación de la competencia perfecta en promedio, es decir, da el promedio por
el cual la industria se aleja de la ecuación precio igual a costo marginal. Y,
finalmente, podemos observar que la ecuación (*) generaliza la ecuación de
Lerner del monopolio ya que establece que el promedio ponderado del precio
menos el costo marginal es el HHI dividido por la elasticidad-precio de la
demanda.
Apéndice matemático
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial1
En adelante, asumiremos que el lector ya ha aprobado un curso de Cálculo diferencial en una sola variable al nivel de pregrado (aunque podría no haber estudiado
el concepto de integral en una sola variable), y dedicaremos la mayor parte de este
apéndice al Cálculo diferencial de las funciones de dos variables. Al ser un breve
resumen, no reemplaza el análisis a fondo de un curso formal de cálculo en varias
variables.
A.1.
La integral
A.1.1.
Antiderivadas
Probablemente el lector está ya familiarizado con las operaciones matemáticas inversas. Cuando se define la adición en los números reales, aparece, simultáneamente,
la sustracción; para la multiplicación se tiene, como operación inversa, la división;
y para la potenciación, la radicación. La derivación no es la excepción: conocida la
derivada F ′ (x) de una cierta función desconocida F (x), el proceso de encontrar una
tal F (·), será su operación inversa. A este proceso se le conoce como antiderivación o antidiferenciación. También se acostumbra a decir que F (·) es una función
primitiva o integral indefinida.
Definición 1. (Antiderivada)
Una función F (·) es una antiderivada (o primitiva) de otra función f (·) en un
intervalo abierto I, si F ′ (x) = f (x) para todo x ∈ I.
1 Este apéndice está basado en la colección Matemáticas básicas para economistas, 4 vols.,
Sergio Monsalve (ed.), Editorial Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, 2010. Agradezco el
aporte del profesor Fernando Puerta de la Universidad Nacional-Sede Medellín.
325
326
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
Por ejemplo, si sabemos que f (x) = 3x2 + 2x, es claro que F (x) = x3 + x2 es una
antiderivada de f (x), ya que F ′ (x) = 3x2 + 2x; esto es, F ′ (x) = f (x). Pero además,
G(x) = x3 + x2 − 3, ó H(x) = x3 + x2 + 1 también son antiderivadas de f (x) ya
que, G′ (x) = H ′ (x) = F ′ (x) = f (x). De hecho, todas las antiderivadas de f (x)
son de la forma F (x) + C = x3 + x2 + C, donde C es una constante real, como se
desprende de los dos siguientes teoremas:
Teorema 1. (Sólo las funciones constantes tienen derivada nula)
Si f (·) es derivable en un intervalo abierto I y si f ′ (x) = 0 para todo x ∈ I,
entonces f (·) es constante en I.
Teorema 2.
Sean F (·) y G(·) dos antiderivadas de la misma función f (·) en un intervalo abierto
I. Entonces existe una constante C tal que F (x) = G(x) + C para todo x ∈ I.
Lo anterior significa que si F (x) es una antiderivada de f (x), todas las antiderivadas
de f (x) están contenidas en la familia de funciones de la forma F (x) + C, donde C
es cualquier constante.
Nota 1. Z
El símbolo
denotará en adelante la operación de integración, y las antiderivadas
Z
de f (x) se denotarán por f (x) dx. Esto es, la igualdad
Z
f (x) dx = F (x) + C
es cierta si, y sólo si,
F ′ (x) = f (x)
para todo x en algún intervalo abierto I. N
Ahora: sabiendo que la integración es el proceso inverso de la derivación no debería
sorprendernos de que esta operación satisfaga las mismas condiciones de linealidad
de la derivada.
Teorema 3. (Álgebra de antiderivadas)
a) Para encontrar una antiderivada de una constante multiplicada por una función,
se encuentra primero la antiderivada de la función y después se multiplica por
la constante. Así,
Z
Z
a f (x) dx = a f (x) dx
a∈R
b) La antiderivada de una suma de dos funciones es la suma de las antiderivadas
de las funciones:
Z
Z
Z
[f (x) + g(x) ] dx = f (x) dx + g(x) dx
A.1. La integral
327
Este resultado puede generalizarse para un número finito de funciones; es decir,
Z
[f1 (x) + f2 (x) + · · · + fn (x) ] dx
=
Z
f1 (x) dx +
para cualquier n ∈ N.
Z
f2 (x) dx + · · ·
Z
fn (x) dx
Quizás la primera regla para el cálculo explícito de antiderivadas deba ser aquella
que lleva a cabo este proceso para las funciones con exponentes fraccionarios.
Teorema 4. (Regla de las potencias para las antiderivadas)
Si es n un número racional, entonces la antiderivada general de f (x) = xn es

xn+1


+ C n 6= −1

n+1
F (x) =



ln |x| + C
n = −1
Nota 2.
No sobra advertir que la operación de antiderivación anterior sólo es válida en un
intervalo abierto en el que la función con exponente fraccionario esté bien definida.
Ejemplo 1.
Utilizando los teoremas 2, 3 y 4, hallemos las siguientes antiderivadas:
Z
Z
d)
sec2 x dx
a) (3x + 5) dx
b)
c)
Z Z
1
1
+ √
3
x3
x
Z
1
dx
1 + x2
Z 1
2
f)
dx
+x
x
e)
dx
cos x dx
Solución.
a)
Z
(3x + 5) dx =
=
Z
Z
(3x) dx + 5 dx = 3 x dx + 5
x2
3 + C1 + (5x + C2 )
2
Z
dx
3 2
x + 5x + C, donde C = C1 + C2
2
Z
Z
Z
Z
Z 1
1
1
1
1
−3
√
+ √
dx +
dx =
dx = x dx + x− 3 dx
3
3
3
3
x
x
x
x
1
3√
3
=− 2 +
x2 + C
2x
2
=
b)
Z
328
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
Z
d(sen x)
c) Puesto que
= cos x entonces
cos x dx = sen x + C.
dx
Z
d(tan x)
d) Como
= sec2 x se tiene que
sec2 x dx = tan x + C.
dx
e) Sabiendo que
f)
Z 1
+ x2
x
A.1.2.
1
d(tan−1 x)
=
. Por tanto,
dx
1 + x2
Z
1
dx = tan−1 x + C
1 + x2
dx = ln |x| +
x3
+C
3
La integral definida
Intentemos calcular, primero, la medida del área de una región R en el plano limitada por el eje X, las rectas verticales x = a y x = b, y la curva que tiene
por ecuación y = f (x), siendo f (·) continua y no negativa (f (x) ≥ 0) para todo
x ∈ [a, b] (figura A.1).
y
R
a
x
b
Figura A.1. Integral definida.
Primero, definimos una región poligonal contenida en R dividiendo el intervalo
cerrado [a, b] en n subintervalos que, por ahora, tienen igual longitud ∆x. Por lo
tanto, ∆x es igual a (b − a)/n. Los puntos extremos de estos subintervalos los
denotamos por x0 = a, x1 = a + ∆x, x2 = a + 2∆x, . . . , xi = a + i∆x, . . . , xn−1 =
a + (n − 1)∆x, xn = b. Notemos el i-ésimo subintervalo por [xi−1 , xi ]. Como f (·)
es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces es continua en cada subintervalo
cerrado en que dividimos este. Por el teorema de valores extremos, existe un número
ci en cada subintervalo [xi−1 , xi ] para el cual f (·) tiene un valor mínimo absoluto.
Tendremos entonces n rectángulos, cada uno con ∆x unidades de base y una altura
de f (ci ) unidades (figura A.2). Sea S n unidades cuadradas la suma de las áreas de
estos n rectángulos; es decir,
S n = f (c1 )∆x + f (c2 )∆x + · · · + f (cn )∆x =
n
X
i=1
n
f (ci )∆x =
b−aX
f (ci )
n i=1
A.1. La integral
329
Sin importar cómo se defina el área de la región R, la noción intuitiva que de ella
tenemos, nos señala que debe ser que área de R ≥ S n .
y
f (c1 )
b
f (c3 )
b
f (cn )
b
x
x0 x1 x2 x3 x4 xn
=a
=b
Figura A.2. Integral definida como sumatoria de áreas.
Si n crece, (por ejemplo si se duplica el número de puntos de tal manera que la base
de los rectángulos se reduzca a la mitad), entonces S n aumentará, y parecerá que
su valor se aproxima a la noción de área de R que buscamos (figura A.2). Ahora:
si en lugar de los rectángulos inscritos hubiéramos tomado rectángulos circunscritos cuya altura es el máximo absoluto de f (·) en cada uno de los subintervalos y
conformáramos otra suma de rectángulos:
S n = f (d1 )∆x + f (d2 )∆x + · · · + f (dn )∆x =
n
X
n
f (di )∆x =
i=1
b−aX
f (di )
n i=1
donde di es el punto de valor máximo en [xi−1 , xi ], i = 1, 2, . . . , n, entonces, por
las mismas razones de arriba, área de R ≤ S n , y, en definitiva,
S n ≤ área de R ≤ S n
para todo n
Es de esperarse que si tenemos alguna noción de área, esta sea la que coincida con
lı́m S n y con lı́m S n . Por lo tanto, deberíamos definir el área de f (·) entre x = a
n→∞
n→∞
y x = b como el límite común
lı́m S n = lı́m S n
n→∞
n→∞
Buscando generalizar lo hecho hasta ahora, y también eliminar la condición de
continuidad de la función f (·), asumiremos, en vez, que la altura del rectángulo en
[xi−1 , xi ] es f (ξi ) para algún (aunque arbitrario) número ξi de dicho subintervalo.
Para ello necesitaremos la siguiente definición:
Definición 2. [Suma de Riemann (1854)]
Sea f : [a, b] −→ R una función acotada. Entonces:
a) Se define una partición P del intervalo [a, b] como el conjunto
P = {x0 , x1 , x2 , . . . , xn }
330
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
donde a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Tal partición genera n subintervalos [x0 , x1 ] , [x1 , x2 ] , · · · , [xn−1 , xn ]. La longitud del i-ésimo subintervalo
[xi−1 , xi ] se denotará por ∆i x (o ∆ xi ); es decir, ∆i x ≡ xi − xi−1 . Al
mayor de los números ∆1 x, ∆2 x, · · · , ∆n x se le llamará la norma de la
n
partición, y se denotará por k P k; esto es, k P k = máx {∆i x }i=1 .
b) Ahora escojamos un punto cualquiera en cada subintervalo de la partición P .
Sean ξ1 el punto escogido en [x0 , x1 ], ξ2 el punto escogido en [x1 , x2 ] y, así
sucesivamente, sea ξi el punto escogido en [xi−1 , xi ]. Formemos la suma
f (ξ1 ) ∆1 x + f (ξ2 ) ∆2 x + · · · + f (ξn ) ∆n x =
n
X
f (ξi ) ∆i x
i=1
A tal suma se le acostumbra llamar suma de Riemann, en honor del matemático Georg Bernhard Riemann (1826–1866).
Ejemplo 2. (Un ejemplo de suma de Riemann)
Sea la función f (x) = x2 − x + 1, definida en el intervalo [0, 1]. Encontremos
la suma de Riemann para la partición P = {0, 0.2, 0.5, 0.7, 1 } y los valores
ξ1 = 0.1, ξ2 = 0.4, ξ3 = 0.6, ξ4 = 0.9. Dibujemos una gráfica de la función (figura A.3) y mostremos los rectángulos cuyas medidas de área son los términos de
la suma de Riemann.
Solución.
y
y = x2 − x + 1
0.2
0.5 0.7
1
x
Figura A.3. Suma de Riemann.
Escribamos primero
4
X
f (ξi ) ∆i x = f (ξ1 ) ∆1 x + f (ξ2 ) ∆2 x + f (ξ3 ) ∆3 x + f (ξ4 ) ∆4 x
i=1
∆1 x = x1 − x0 = 0.2 − 0 = 0.2
f (ξ1 ) = (0.1)2 − 0.1 + 1 = 0.91
∆3 x = x3 − x2 = 0.7 − 0.5 = 0.2
f (ξ3 ) = (0.6)2 − 0.6 + 1 = 0.76
∆2 x = x2 − x1 = 0.5 − 0.2 = 0.3
∆4 x = x4 − x3 = 1 − 0.7 = 0.3
f (ξ2 ) = (0.4)2 − 0.4 + 1 = 0.76
f (ξ4 ) = (0.9)2 − 0.9 + 1 = 0.91
A.1. La integral
Luego,
4
P
i=1
331
f (ξi ) ∆i x = 0.91 × 0.2 + 0.76 × 0.3 + 0.76 × 0.2 + 0.91 × 0.3 = 0.835. La
figura A.3 ilustra la situación anterior. N
Y llegamos entonces a la definición formal de lo que significa que una función f (·)
sea integrable en el intervalo cerrado [a, b]:
Definición 3. [Función integrable (Riemann, 1854)]
Sea f (·) una función acotada cuyo dominio incluye el intervalo cerrado [a, b]. Se
dice que f (·) es integrable en [a, b] si existe un número L tal que para cada ǫ > 0
existe δ > 0, tal que para toda partición P para la cual k P k < δ y para cualquier
elección de ξi en [xi−1 , xi ], i = 1, 2, · · · , n, se tiene que:
n
X
n=1
f (ξi ) ∆i x − L < ǫ
Es decir,
lı́m
k P k→0
n
X
f (ξi ) ∆i x = L
i=1
Definición 4. (Integral definida)
a) El número L de la definición 3 se denotará por
definida de f (·) desde a hasta b”.
Rb
a
f (x) dx y se leerá “integral
b) Si tal número L existe, diremos que la función f (·) es integrable en el intervalo [a, b] o, equivalentemente, que la integral definida de f (·) desde a hasta
b, existe y es igual a L.
Rb
c) En la notación para la integral definida a f (x) dx, a f (·) se le llama la función
integrando; al número a se le llama
el límite inferior; y al número b se le llama
R
el límite superior. El símbolo se llama signo de integración (introducido por
Leibniz en 1675) que tiene similitud con una S alargada de “suma”.
Nota 3.Z
Aunque
es el mismo símbolo utilizado previamente para la antidiferenciación,
aquí tiene, en principio, una connotación totalmente distinta. Sin embargo, como se
verá más adelante, para un amplio rango de funciones es posible calcular la integral
definida de f (·) si se conoce una de sus antiderivadas. Esta es la razón para utilizar
el mismo símbolo en ambos contextos.
Ejemplo 3. (Área de un rectángulo = base por altura)
Demostremos que
Z b
c dx = c(b − a)
a
332
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
Solución.
Sean a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b y tomemos ξi ∈ [xi−1 , xi ]. Llamemos f (·)
la función definida por f (x) = c, con x ∈ [a, b]. Entonces
n
X
i=1
f (ξi ) ∆i x = f (ξ1 ) ∆1 x + f (ξ2 ) ∆2 x + · · · + f (ξn ) ∆n x
= c ∆1 x + c ∆2 x + · · · + c ∆n x
= c (∆1 x + ∆2 x + · · · + ∆n x)
= c ((x1 − x0 ) + (x2 − x1 ) + · · · + (xn − xn−1 ))
= c (xn − x0 ) = c (b − a)
Luego
Z b
c dx =
a
lı́m
k P k→0
n
X
i=1
f (ξi ) ∆i x = c (b − a), pues c (b − a) no depende de P
ni de la elección de los ξi . Notemos que
Z b
c dx es la medida del área del rectángulo
a
de altura c (si este es mayor que 0) y base b − a.
Nota 4.
a) Es claro ahora que si f (·) ≥ 0 en [a, b] es integrable, entonces
Z b
f (x) dx
a
coincide con la noción que tenemos de área de la región delimitada por f (x)
(“por arriba”); por x = a, x = b (“a los lados”); y por el eje X (“por debajo”).
b) Si algunos de los valores de una función f (·) continua son negativos y otros
positivos, la interpretación geométrica intuitiva de la suma de Riemann sería
entonces la suma de las áreas de los rectángulos que “están arriba” del eje X
menos las áreas de los rectángulos que “están por debajo” del eje X.
c) Si f (·) es integrable en [a, b] podemos dividir el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual longitud. Tal partición del intervalo [a, b] se llama partición
regular; esto es, ∆i x = ∆ x, para todo i = 1, 2, . . . , n. Además ∆ x = b−a
n y
así lı́m ∆ x = 0. Por tanto,
n→∞
lı́m
n→∞
n
X
i=1
f (ξi ) ∆ x = lı́m
n→∞
n
X
f (ξi )
i=1
b−a
n
n
1X
= (b − a) lı́m
f (ξi ) =
n→∞ n
i=1
Z b
f (x) dx
a
donde ξi es cualquier punto en [xi−1 , xi ].
Que tenemos una base fundamental de funciones integrables lo asegura el siguiente (muy importante) resultado que afirma, en palabras vagas, que “toda función
continua tiene área”:
A.1. La integral
333
Teorema 5. [Continuidad e integrabilidad (Riemann, 1854)]
Si una función f (·) es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f (·) es integrable en [a, b].
Ejemplo 4.
Calculemos el área de la región limitada por la curva y = x2 + x, el eje X, y las
rectas x = 0 y x = 2 (figura A.4).
Solución.
Como la función es continua y, por tanto, integrable, emplearemos rectángulos
inscritos y al intervalo [0, 2] lo dividiremos en n subintervalos iguales de longi= n2 (partición regular) así: x0 = 0, x1 = x0 + ∆x = n2 , · · · ,
tud ∆x = 2−0
n
xn−1 = x0 + (n − 1)∆x = (n − 1) · n2 . Ahora: como la curva tiene su mínimo en
el extremo izquierdo de cada subintervalo, entonces f (ci ) = f (xi−1 ) para todo
i = 1, 2, 3, . . . , n. Luego,
22
2
2
= 2 (i − 1)2 + (i − 1)
f (ci ) = f (xi−1 ) = f (i − 1) ·
n
n
n
De la definición de integral se tiene que:
A = lı́m
n→∞
n
X
n
X
2 4
2
2
(i
−
1)
+
(i
−
1)
n→∞
n n2
n
i=1
n
4 X 2
2
= lı́m 2
· (i − 1) + (i − 1)
n→∞ n
n
i=1
" n
#
n
X
4 2X
2
(i − 1)
(i − 1) +
= lı́m 2
n→∞ n
n i=1
i=1
4 2 (n − 1)n(2n − 1) n(n − 1)
·
+
= lı́m 2
n→∞ n
n
6
2
4
1
1
1
= lı́m
1−
2−
+2 1−
n→∞ 3
n
n
n
14
=
3
f (ci )∆x = lı́m
i=1
y
y
y = x2 + x
2
x
Figura A.4. Ilustración del ejemplo 4.
y = x4
1
2
x
Figura A.5. Ilustración del ejemplo 5.
334
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
Ejemplo 5.
Calculemos, utilizando la definición, la integral
Z 2
x4 dx (figura A.5).
1
Solución.
Puesto que f (x) = x4 , f (·) es continua y, por tanto, integrable, podemos to2−1
1
mar una partición regular; es decir, ∆i x = ∆ x =
= , donde: x0 = 1,
n
n
x1 = 1 + ∆ x, x2 = 1 + 2 ∆ x, . . . , xi = x0 + i ∆ x, . . . , xn = 1 + n ∆ x. O sea,
xi = 1 + i ∆ x = 1 + ni . Elijamos ξi como el extremo izquierdo en [xi−1 , xi ], que
corresponde al valor mínimo de f (·) ahí. Esto es, ξi = xi−1 , ya que f (·) es creciente
en [1, 2]. Luego ξi = 1 + i−1
n y, por tanto,
n
n 4
X
X
f (ξ1 )∆ x + f (ξ2 ) ∆ x + · · · + f (ξn ) ∆ x =
1
=
n
1
=
n
=
n X
i=1
i=1
4
6
4
(i − 1)4
1 + (i − 1) + 2 (i − 1)2 + 3 (i − 1)3 +
n
n
n
n4
i=1
" n
X
i=1
h
1+
f (ξi )∆ x =
n
4 X
6
1+
(i − 1) + 2
n
n
i=1
n
X
i=1
4
(i − 1) + 3
n
2
n
X
i=1
i−1
n
1
n
1
(i − 1) + 4
n
3
n
X
i=1
(i − 1)
4
#
4 n(n − 1)
6 (n − 1)n(2n − 1)
4 n2 (n − 1)2
1
n+
+ 2
+ 3
+
n
n
2
n
6
n
4
n(n − 1) 6(n − 1)3 + 9(n − 1)2 + n − 2
30n4
=1+
i
2(n − 1)
(n − 1)(2n − 1)
(n − 1)2
+
+
+
n
n2
n2
(n − 1)[6(n − 1)3 + 9(n − 1)2 + n − 2]
30n4
Por tanto, lı́m
n
P
n→∞ i=1
f (ξi ) ∆ x = 1 + 2 + 2 + 1 + 15 = 31
5 . Así,
Para considerar la integral definida
siguientes definiciones:
Z b
Z 2
x4 dx =
1
f (x) dx cuando a > b o a = b, se tienen las
a
Definición 5. (Orientación de Áreas)
Z a
Z b
Z a
f (x) dx = − f (x) dx.
f (x) dx existe, entonces
Si a > b y
b
31
.N
5
a
b
Ejemplo 6.
Del ejemplo 5 y la definición 5 se tiene que
Z 2
Z 1
31
x4 dx = −
x4 dx = −
5
1
2
A.1. La integral
335
Definición 6. (El Zárea de un punto es nula)
a
f (x) dx = 0.
Si a ∈ Df , entonces
a
Ejemplo 7. (Una función integrable pero discontinua)
Es fácil ver que el recíproco del teorema 5 no es cierto en el siguiente ejemplo: Sea
f : [0, 1] → R la función discontinua definida por
(
1 si x = 12
f (x) =
0 en otro caso
Entonces, aunque cualquier suma de Riemann para esta función es de la forma
n
P
f (ξi ) ∆i x donde ∆i x es la longitud de un subintervalo típico de la partición,
i=1
es claro que a lo más dos términos de los n de la sumatoria no se anulan, y sin
importar si en estos dos subintervalos es f (ξi ) igual a 1 ó a 0, cuando la norma de
la partición tiende a 0, se tendrá que ambos f (ξi )∆i x → 0. Por lo tanto,
Z 1
f (x) dx = 0
0
De hecho, aún más, se puede probar que una función acotada con un número finito
de puntos de discontinuidad en un intervalo cerrado, es integrable en ese intervalo.
A.1.3.
Primer teorema fundamental del Cálculo
Ahora presentamos el principal teorema del cálculo de Newton y Leibniz que relaciona los conceptos de derivada e integral y que, de paso, se convierte en la
herramienta clave para el cálculo explícito de integrales a través de antiderivadas.
Teorema 6.
Sean f (·) una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y x cualquier número
en [a, b]. Si F (·) es la función definida por
Z x
f (t) dt
F (x) =
a
entonces F ′ (x) = f (x) para todo x ∈ [a, b]. Aquí, si x = a, la derivada será la
derivada por la derecha, y si x = b, la derivada será la derivada por la izquierda.
Nota 5. (Toda función continua tiene una Zantiderivada)
x
f (t) dt, con un límite superior
El teorema 6 establece que la integral definida
a
variable, es una antiderivada de f (·) y, por tanto, toda función continua tiene una
antiderivada. Este teorema puede expresarse en forma equivalente como
Z
d x
f (t) dt = f (x)
dx a
Ejemplo 8.
Utilizando el primer teorema fundamental del cálculo, evaluemos las siguientes
expresiones:
336
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
Z
d sen x 1
dt
c)
dx 3
1 − t2
Z
d xp 2
a)
a − b2 sen2 t dt
dx 1
Z
d x −t2
e
dt
b)
dx −x
Z 3
d x dt
d)
dx x t
Solución.
Z xp
p
d
a2 − b2 sen2 t dt = a2 − b2 sen2 x
a)
dx 1
Z 0
Z x
Z
2
2
d x −t2
d
b)
e−t dt
e−t dt +
e
dt =
dx −x
dx
0
−x
h
i
R −x
Rx
d
2
2
=
− 0 e−t dt + 0 e−t dt
dx
du
= −1 y
Sea u = −x; entonces
dx
Z x
Z u
Z x
2
2
2
d
d
du
d
e−t dt =
−e−t dt
e−t dt
+
dx −x
du
dx dx 0
0
2
2
= −e−u (−1) + e−x
2
2
2
= e−x + e−x = 2 e−x
c) Como en el numeral b), hagamos u = sen x y apliquemos la regla de la cadena
para la derivación. Entonces
Z sen x
Z u
1
1
d
du
d
dt =
dt
2
2
dx
1
−
t
du
1
−
t
dx
3
3
=
1
cos x
· cos x =
1 − u2
1 − sen2 x
cos x
= sec x
cos2 x
"Z 3
"Z
#
#
Z x3
x
a
d
1
1
d
1
dt =
dt +
dt
dx
t
dx
t
x t
x
a
"Z 3
#
Z x
x
1
1
d
dt −
dt
=
dx
t
a
a t
=
d) Si a > 0,
=
Nota 6.
Observemos que si F (x) =
entonces
Z g(x)
1
3
1
2
1
· 3 x2 − = − =
x3
x
x x
x
f (t) dt con f (·) continua y g(·) y h(·) derivables,
h(x)
F ′ (x) = f (g(x)) g ′ (x) − f (h(x)) h′ (x)
A.1. La integral
337
Ejemplo 9.
Sea f : [1, 4] −→ R definida
por f (x) = 2, si 1 ≤ x ≤ 3, y f (x) = 5, si 3 < x ≤ 4.
Z
x
Describamos F (x) =
1
Solución.
f (t) dt, x ∈ [1, 4] y tracemos la gráfica de F (·).
Aquí, evaluando la integral F (·), tenemos que
F (x) = 2(x − 1)
si x ∈ [1, 3]
y
F (x) = (3 − 1) · 2 + (x − 3) · 5
Es decir,
F (x) =


2x − 2


5 x − 11
si x ∈ [3, 4]
si 1 ≤ x ≤ 3
si 3 ≤ x ≤ 4
En la figura A.6 se muestran las gráficas de f (·) y F (·): obsérvese cómo la función
f (·) es discontinua (aunque integrable); sin embargo, F (·) sí es continua.
f (x)
F (x)
5
9
2
4
1
3
4
x
1
3
4
x
Figura A.6. Ilustración del ejemplo 9.
A.1.4.
Segundo teorema fundamental del Cálculo
El primer teorema fundamental del cálculo relaciona, explícitamente, el cálculo
de áreas con el cálculo de antiderivadas. En otras palabras, con este resultado el
antiguo problema de cuadraturas se convierte ahora en un ¡problema de tangentes!
Teorema 7.
Sean f (·) una función continua en [a, b] y F (·) una antiderivada de f (·), es decir,
F ′ (x) = f (x) para todo x ∈ [a, b]. Entonces
Z b
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
338
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
Nota 7.
La conclusión del segundo teorema fundamental del cálculo se acostumbra escribir
así:
Z
b
b
f (t) dt = F (t)
a
a
= F (b) − F (a)
Y esto último significa que para calcular la integral de arriba se sustrae, del valor
de cualquier antiderivada de f (·) evaluada en b, el valor de esa misma antiderivada
evaluada en a. Observemos, como debería esperarse, que si en lugar de F (t) se elige
F (t) + C como antiderivada de f (t), se obtiene el mismo resultado:
Z b
b
f (t) dt = F (t) + C = [F (b) + C] − [F (a) + C] = F (b) − F (a)
a
a
lo que muestra que se puede elegir cualquier antiderivada de f (·) sin afectar el
resultado final de la integración.
Ejemplo 10.
Evaluemos las siguientes integrales utilizando el teorema fundamental del cálculo
y/o el teorema del cambio de variable:
Z 3p
Z 6
Z 3
3 + |x| dx
(x2 − 2 x) dx
c)
x3 dx
b)
a)
3
1
−3
Solución.
Z 3
x3 dx = F (3) − F (1), donde F (·) es una antiderivada de x3 . Tomemos la más
Z 3
34
x4
14
x3 dx =
simple de estas: F (x) =
. Luego
−
= 20
4
4
4
1
3
3
Z 6
6
3
6
x3
2
2
2
2
−x
−6 −
− 3 = 36
=
(x − 2 x) dx =
b)
3
3
3
3
3
a)
1
c) Utilicemos la definición de la función valor absoluto:


 x si x ≥ 0
|x| =


−x si x ≤ 0
Luego, aplicando el teorema fundamental del cálculo, se tiene que
Z 3 p
Z 0
Z 3
√
√
3 + |x| dx =
3 − x dx +
3 + x dx
−3
0
−3
=−
3
(3 − x) 2
3
2
0
3
+
−3
√ 3
= 4 3 22 − 1
(3 + x) 2
3
2
3
0
A.1. La integral
A.1.5.
339
Integrales impropias
En algunas ocasiones es necesario extender la noción de integral definida a otra
clase de integrales donde el intervalo de integración es infinito. Es decir, queremos
Z b
Z ∞
f (x) dx,
f (x) dx,
encontrar un significado preciso para expresiones como
−∞
a
Z b
Z ∞
f (x) dx, siendo este último el caso en que lı́m f (x) = ±∞
f (x) dx, y
x→a−
a
−∞
y/o lı́m+ f (x) = ±∞. Veamos cómo es esto posible sin ir mucho más allá de las
x→b
nociones de límite e integral.
Definición 7. (Integrales impropias)
a) Sea f (·) una función definida en un intervalo de la forma [a, ∞) o de la forma
(−∞, a].
Z ∞
Z b
f (x) dx ≡ lı́m
f (x) dx, si estas últii) En el primer caso, definimos
b→∞
a
mas integrales y el límite de ellas existen.
Z a
f (x) dx ≡
ii) En el segundo caso, definimos
−∞
a
lı́m
b→−∞
últimas integrales y el límite de ellas existen.
iii) Si
lı́m
f (·)
Z a
a→∞
b)
está
definida
en
Z a
definimos
(−∞, ∞),
f (x) dx, si estas
b
Z ∞
f (x) dx
−∞
≡
f (x) dx si estas últimas integrales y el límite de ellas existen.
−a
i) Si f (·) está definida en (a, b] pero no en a y en este punto tiende a más
Z b
Z b
f (x) dx si
f (x) dx = lı́m+
infinito o a menos infinito (±∞), entonces
a
estas últimas integrales y el límite de ellas existen.
c→a
c
ii) Si f (·) está definida en [a, b) pero no en b y en este punto tiende a más
Z b
Z c
f (x) dx = lı́m
infinito o a menos infinito (±∞), entonces
f (x) dx,
a
si estas últimas integrales y el límite de ellas existen.
c→b−
a
A todos estos límites los llamaremos integrales impropias. En el caso de que existan, diremos que la correspondiente integral impropia es convergente; de otra forma, diremos que es divergente. Veamos unos cuantos ejemplos que nos aclaren el
significado de este tipo de integrales.
Ejemplo 11. (Una integral impropia convergente)
Para calcular la integral impropia
Z ∞
e−2x dx
0
340
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
Z b
b
1
1
1
e−2x dx = − e−2r = − e−2b + . Por
Observamos que para cualquier b > 0,
2
2
2
0
0
Z ∞
1 −2b 1
1
−2x
tanto,
e
dx = lı́m − e
+ =
(figura A.7).
b→∞
2
2
2
1
Ejemplo 12. (Una integral impropia
divergente)
Z
∞
1
x− 2 dx observemos que para cualquier b > 0,
Para calcular la integral impropia
1
Z b
Z ∞
1
1
1 b
1
1
x− 2 dx = 2x 2 = 2b 2 −2, y que, por lo tanto,
x− 2 dx = lı́m 2b 2 −2 = ∞.
1
1
b→∞
1
Luego esta integral impropia es divergente. ¿Puede el lector dibujar una gráfica que
ilustre la integral que acabamos de calcular?
y
y
y = e−2x
y=
x
Figura A.7. Integral impropia convergente.
1
2
1
2
(x−1) 3
x
Figura A.8. Integral impropia convergente.
Ejemplo 13. (Otra integral impropia convergente)
Z 2
dx
Para calcular la integral impropia
2 (figura A.8), observamos que
1 (x − 1) 3
Z 2
Z 2
1 2
dx
dx
3
=3
2 = lı́m
2 = lı́m 3(x − 1)
+
+
c→1
c→1
c
1 (x − 1) 3
c (x − 1) 3
Ejemplo 14. (Integral impropia
Z ∞convergente)
1
dx procedemos de la siguiente forma.
Para calcular la integral impropia
1
+
x2
−∞
Z a
1
a
Sea a > 0; entonces
dx = arctang x|−a = arctang(a) − arctang(−a) =
2
1
+
x
−a
Z ∞
π
1
2 arctang a. Luego
dx
=
lı́m
2
arctang
a
=
2
= π. ¿Podría el
2
a→∞
2
−∞ 1 + x
lector dibujar una gráfica que ilustre la integral que acabamos de calcular?
A.2.
Funciones de dos variables
Cuando a cada punto (x, y) de cierta región Df del plano R2 se le asigna un
único número real z, entonces diremos que se tiene una función z = f (x, y) de dos
A.3. Curvas de nivel
341
variables sobre esa región Df . Por ejemplo,
z = f (x, y) = x + y; z = f (x, y) = xy; z = f (x, y) = x1/2 y 1/2
son funciones de dos variables. En los primeros dos casos, la región del plano Df es
el mismo R2 . Sin embargo, en el último caso, Df es el primer cuadrante del plano,
que notaremos R2+ . Es decir,
R2+ = {(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0}
A estas regiones Df se les llama el dominio de la función. Casi todas las funciones
de dos variables que se estudian en nuestro texto, tienen como dominio Df a R2+ .
Obsérvese que la representación gráfica de una función de dos variables es, usualmente, una superficie en el espacio de tres dimensiones, como en la figura A.9. No
sobra comentar que la teoría de las funciones de tres o más variables difiere muy
poco de la de dos variables. Es esta, entre otras, la razón para proceder aquí sólo
con dos variables.
z = f (x, y)
y
b
(x, y)
x
Figura A.9. Función de dos variables z = f (x, y).
A.3.
Curvas de nivel
Para el análisis gráfico es usualmente conveniente representar una función de dos
variables z = f (x, y) en el espacio de tres dimensiones, mediante las curvas de nivel,
que son curvas topográficas en el plano xy. Estas están definidas por la ecuación
f (x, y) = α = constante
donde esta constante puede variar sobre todos lo números reales (figura A.10). Por
ejemplo, si z = f (x, y) = xy es la función de dos variables, entonces, en R2+ (primer
cuadrante), las curvas de nivel serán de la forma xy = α donde α es una constante
no-negativa. Es decir, serán de la forma mostrada en la figura A.11). En nuestro
texto es usual estudiar únicamente las curvas de nivel cuando α > 0.
y = α/x
si
α>0
(hipérbolas)
y=0óx=0
si
α=0
(semiejes x y y)
342
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
z = f (x, y)
y
Curva de nivel α
x
Figura A.10. Curva de indiferencia f (x, y) = α.
Otro ejemplo es el de las curvas de nivel de la función lineal f (x, y) = x + y en el
primer cuadrante R2+ pero sin incluir los semiejes x y y. Estas serían rectas de la
forma x + y = α para α > 0. Es decir, rectas de la forma y = α − x (figura A.12).
Para α = 0 es el punto (0, 0).
y
y
α=3
α=0
α=4
α=2
α=3
α=1
α=2
α=1
α=0
Figura A.11. Curvas de indiferencia para una
función de utilidad tipo Cobb-Douglas.
A.4.
α=0
x
x
Figura A.12. Curvas de indiferencia para una
función de utilidad lineal.
Límites y continuidad
Muchos de los resultados fundamentales sobre límites y continuidad para funciones
de una sola variable real f (·) pueden extenderse con facilidad a funciones de dos
variables f (·, ·). Veamos cómo.
Definición 8. (Límites y continuidad en dos variables)
a) Límites
Sea f : Df (⊆ R2 ) −→ R una función de dos variables, donde Df es el dominio
de la función. Para (a1 , a2 ) ∈ R2 fijo, diremos que
lı́m f (x, y) = L
x→a1
y→a2
A.4. Límites y continuidad
343
(y se lee “el límite cuando x tiende a a1 y y tiende a a2 de la función f (x, y)
es L”) si, y sólo si, para todo ǫ > 0 existe δ > 0 tal que si (x, y) ∈ Df
y || (x, y) − (a1 , a2 ) || < δ entonces | f (x, y) − L | < ǫ (figura A.13). Aquí,
|| (x, y) − (a1 , a2 ) || = ((x − a1 )2 + (y − a2 )2 )1/2 .
b) Continuidad
Si (a1 , a2 ) ∈ Df y además
lı́m f (x, y) = f (a1 , a2 )
x→a1
y→a2
diremos que f (·, ·) es continua en (a1 , a2 ). En otro caso, diremos que es
discontinua en (a1 , a2 ) (figura A.14).
z = f (x, y)
z = f (x, y)
f (a1 , a2 )
L
y
y
(a1 , a2 )
(a1 , a2 )
x
x
Figura A.13. Límite en dos variables.
Figura A.14. Continuidad en dos variables.
c) Límites infinitos
Diremos que
lı́m f (x, y) = +∞
x→a1
y→a2
si, y sólo si, para todo M > 0 existe δ > 0 tal que si (x, y) ∈ Df y
|| (x, y) − (a1 , a2 ) || < δ, entonces f (x, y) > M (figura A.15).
De la misma forma definimos x→a
lı́m f (x, y) = −∞.
1
y→a2
d) Límites al infinito
Diremos que
lı́m f (x, y) = L
x→∞
y→∞
si dado ǫ > 0 existe M > 0 tal que si (x, y) ∈ Df y x > M, y > M entonces
| f (x, y) − L | < ǫ (figura A.16).
344
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
De forma similar, decimos que
lı́m f (x, y) =
x→−∞
y→−∞
L si dado ǫ > 0 existe
M < 0 tal que si (x, y) ∈ Df y x < M, y < M entonces | f (x, y) − L | < ǫ.
z
z
(a1 , a2 )
x
x
y
Figura A.15. Límite infinito.
y
Figura A.16. Límite al infinito.
Teorema 8. (Álgebra de límites)
Si x→a
lı́m f (x, y) = L y x→a
lı́m g(x, y) = M , entonces
1
1
y→a2
y→a2
a) x→a
lı́m [f (x, y) ± g(x, y)] = L ± M
1
y→a2
b) x→a
lı́m [f (x, y)g(x, y)] = L · M
1
y→a2
c) x→a
lı́m
1
y→a2
f (x, y)
g(x, y)
=
L
,
M
si M 6= 0
Teorema 9. (Álgebra de funciones continuas)
i) Sean f : Df (⊆ R2 ) −→ R, g : Dg (⊆ R2 ) −→ R dos funciones continuas en
un punto (a1 , a2 ) (que pertenece a la intersección de los dominios de ambas
funciones); entonces
a) (f ± g)(·) ;
b) (f · g)(·) ;
c)
f
g
(·)
si g(a1 , a2 ) 6= 0
también son continuas en (a1 , a2 ).
ii) Si f : Df (⊆ R) −→ R es continua en g(a1 , a2 ) donde g : Dg (⊆ R2 ) −→ R es
continua en (a1 , a2 ) entonces (f ◦ g)(·) es también continua en (a1 , a2 ).
Definición 9. (Continuidad en un conjunto)
Diremos que f : D(⊆ R2 ) −→ R es una función continua en A ⊆ Df si, y sólo
si, es continua en (a1 , a2 ) para todo (a1 , a2 ) ∈ A.
A.5 Derivadas parciales
345
Ejemplo 15.
Veamos que f (x, y) = xy es continua en R2 . En efecto, sea (a1 , a2 ) ∈ R2 cualquiera.
Si x → a1 y y → a2 , entonces, por el teorema 8 literal b), xy → a1 a2 ; y así,
f (x, y) = xy es continua en (a1 , a2 ).
Ejemplo 16.
La función f (x, y) = x2 y 2 es continua en R2 (figura A.17), como se demuestra
utilizando el ejemplo 15 y el teorema 8 –literal b)–.
z
y
x
Figura A.17. z = f (x, y) = x2 y 2 .
A.5.
Derivadas parciales
La noción de derivada en una sola variable puede extenderse fácilmente a funciones de dos variables como las de los ejemplos anteriores, si interpretamos convenientemente la nueva situación. Veamos. Sea f : A(⊆ R2 ) −→ R una función
cualquiera y (x0 , y0 ) ∈ A, donde A(⊆ Df ) es un conjunto abierto2 y no-vacío
del plano. Notemos, para ∆x 6= 0 “pequeño”, ∆x f = f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ),
∆y f = f (x0 , y0 + ∆x) − f (x0 , y0 ).
Definición 10. [Derivadas parciales (D’Alembert, 1743; Cauchy, 1821)]
Al número (si existe)
∆x f
f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 )
lı́m
= lı́m
∆ x→0 ∆x
∆ x→0
∆x
lo llamaremos la derivada parcial con respecto a la primera variable de f (x, y) en
el punto (x0 , y0 ) (figura A.18), y la representaremos (en notación original de A. N.
∂f
.
Condorcet (1769) y popularizada por C. G. Jacobi (1841)) mediante
∂x (x0 , y0 )
Análogamente, se define
lı́m
∆ y→0
∆y f
∂f
f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )
= lı́m
=
∆ y→0
∆y
∆y
∂y (x0 , y0 )
2 A es un conjunto abierto en R2 si para cada punto (x , y ) ∈ A existe un disco abierto de
0 0
radio r > 0, Dr (x0 , y0 ) = {(x, y) ∈ R2 | (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < r}, totalmente incluido en A.
p
346
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
y la llamamos la derivada parcial con respecto a la segunda variable de f (x, y) en
(x0 , y0 ) (figura A.19).
z = f (x, y)
plano y = y0
recta tangente
x
curva
f (x, y0 ) = f (x0 , y0 )
(x0 , y0 )
Figura A.18. Derivada parcial
y
∂f
.
∂x
Ahora: como la función f (x, y) puede representarse mediante una superficie en
∂f
el espacio, entonces la derivada parcial
puede interpretarse como la
∂x (x0 , y0 )
pendiente de la tangente a la curva a través de la cual el plano y = y0 corta a la
superficie f (x, y), y este número mide la variación de la función f (x, y) en el punto
(x0 , y0 ) si nos movemos en el sentido del eje X (figura A.18). De manera similar,
∂f
la derivada parcial
puede interpretarse como la pendiente de la tangente
∂y (x0 , y0 )
a la curva a través de la cual el plano x = x0 corta la superficie f (x, y), y mide
la variación de la función f (x, y) en el punto (x0 , y0 ) si nos movemos en el sentido
del eje Y (figura A.19).
z = f (x, y)
plano x = x0
recta tangente
y
curva
f (x0 , y) = f (x0 , y0 )
(x0 , y0 )
Figura A.19. Derivada parcial
x
∂f
.
∂y
Observemos que, entonces, para obtener la derivada parcial de f (x, y) con respecto
a x en el punto (x0 , y0 ) basta suponer la variable y (ye) constante y derivar, con
A.5 Derivadas parciales
347
respecto a x, la función resultante, para después evaluar el resultado cuando x = x0 ,
y = y0 . De manera similar, para obtener la derivada parcial de f (x, y) con respecto
a y en (x0 , y0 ), suponemos la variable x constante y derivamos, con respecto a y,
la función resultante; después evaluamos en (x0 , y0 ).
Ejemplo 17.
Calculemos las derivadas parciales en (1, 2) de la función:
f (x, y) = x2 + xy + y 2
Solución.
a)
∂f
= 2x + y|(1, 2) = 4
∂x (1, 2)
b)
∂f
= 2y + x|(1, 2) = 5
∂y (1, 2)
Por lo tanto, en el punto (1, 2) esta función crece más rápidamente en la dirección
positiva del eje Y que en la dirección positiva del eje X.
Nota 8.
∂f
∂f
Genéricamente, diremos que
y
son las funciones derivadas parciales con
∂x
∂y
respecto a la primera y segunda componente (respectivamente) de la función f (x, y).
Así, en el ejemplo 3 se tiene que,
∂f
= 2x + y
∂x
∂f
= 2y + x
∂y
−→ derivada parcial de f (x, y) con respecto
a la primera componente
−→ derivada parcial de f (x, y) con respecto
a la segunda componente
Nota 9. (Notación para las derivadas parciales)
Las derivadas parciales tienen otras notaciones, todas equivalentes, aunque algunas,
a nuestro juicio, más convenientes. Para la derivada parcial de la función f (·, ·)
∂f
con respecto a x, podemos encontrar en los libros de texto las siguientes:
=
∂x
′
fx = Dx f = D1 f = f1 = f1 ; y para la derivada parcial de la función f (·, ·) con
∂f
respecto a y podemos encontrar
= fy = Dy f = D2 f = f2 = f2′ . Sin embargo,
∂y
∂f ∂f
aquí (con pocas excepciones) se utilizan sólo las primeras notaciones:
,
.
∂x ∂y
Ejemplo 18.
Encontremos las derivadas parciales de las siguientes funciones, en los puntos indicados:
a) f (x, y) = xy;
(x0 , y0 ) = (1, 1)
x
b) f (x, y) = ;
y
(x0 , y0 ) = (0, 1)
348
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
c) f (x, y) =
1
;
x2 + y 2
(x0 , y0 ) = (3, 1)
d) f (x, y) = ln(2x + 3y);
(x0 , y0 ) = (2, 2)
Solución.
a)
∂f
= y;
∂x
∂f
= x;
∂y
∂f
= 1;
∂x (1,1)
∂f
= 1.
∂y (1,1)
Así, en (1, 1) esta función crece idénticamente en el sentido positivo del eje
X y en el sentido positivo del eje Y .
b)
∂f
1
= ;
∂x
y
∂f
x
= − 2;
∂y
y
∂f
= 1;
∂x (0,1)
∂f
= 0.
∂y (0,1)
Así, en (0, 1) esta función crece más rápidamente en el sentido positivo del
eje X que en el sentido positivo del eje Y .
c)
∂f
2x
=− 2
;
∂x
(x + y 2 )2
∂f
2y
=− 2
;
∂y
(x + y 2 )2
6
∂f
6
3
=−
=−
=− ;
∂x (3,1)
(9 + 1)2
100
50
2
∂f
1
=−
=−
∂y (3,1)
100
50
Esta función, en (3, 1), está decreciendo en la dirección positiva de ambos
ejes; sin embargo, decrece más rápidamente en la dirección positiva del eje X
que en la dirección positiva del eje Y .
d)
2
∂f
3
∂f
=
;
=
;
∂x
2x + 3y ∂y
2x + 3y
∂f
∂f
2
3
;
=
=
∂x (2,2)
10 ∂y (2,2)
10
En el punto (2, 2) esta función crece más rápidamente en la dirección positiva
del eje Y que en la del eje positivo X.
A.5.1.
El diferencial total
En la sección anterior hemos estudiado cambios de la función f (x, y) en el punto
(x0 , y0 ) a través de cambios en una de las variables, x ó y, manteniendo constante
a la otra variable; es decir, medimos la variación de la función f (x, y) en (x0 , y0 )
a través de sus cambios en las direcciones de los ejes coordenados x ó y. Ahora
cabe preguntarse qué sucedería si quisiéramos medir la variación en una dirección
distinta a la de los ejes. La respuesta a esta pregunta está basada en la noción
de diferencial total de f (x, y) en el punto (x0 , y0 ). Este es el concepto central de
derivación para funciones de dos variables.
A.5 Derivadas parciales
349
Definición 11. (Derivada en dos variables)
Diremos que f (·, ·) es diferenciable (o derivable) en el punto (x0 , y0 ) ∈ A(⊆ Df )
(o también que tiene diferencial total o derivada en (x0 , y0 )) si para todo ∆x,
∆y ∈ R, la diferencia ∆f ≡ f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) puede escribirse como
∆f =
∂f
∂f
∆x +
∆y + ǫ1 ∆x + ǫ2 ∆y
∂x (x0 , y0 )
∂y (x0 , y0 )
donde
lı́m ǫ1 = lı́m ǫ2 = 0
∆x→0
∆y→0
∆x→0
∆y→0
Nota 10.
Es fácil ver que f : A −→ R, (A ⊆ R2 abierto, no vacío) es diferenciable en
(x0 , y0 ) ∈ A si, y sólo si, existe un vector (a, b) ∈ R2 tal que para todo punto dado
por (∆x, ∆y) ∈ R2 con (x0 , y0 ) + (∆x, ∆y) ∈ A, se tiene que
f ((x0 , y0 ) + (∆x, ∆y)) − f (x0 , y0 ) = (a, b) · (∆x, ∆y) + ǫ(∆x, ∆y)
donde
lı́m
ǫ(∆x, ∆y)
h→0 ||(∆x, ∆y)||
=0
A ǫ(∆x, ∆y) se le denomina el término residual (o residuo). ¿Podría el lector identificar ahora el vector (a, b)?
El siguiente teorema es similar al que ya teníamos para funciones de una variable:
Teorema 10. (Derivabilidad implica continuidad)
Si f (·, ·) es diferenciable en (x0 , y0 ) ∈ A(⊆ Df ), entonces es continua en (x0 , y0 ).
En este punto, un lector desprevenido podría creer que para que una función de
dos variables sea diferenciable en un punto será suficiente que las dos derivadas
parciales existan en el punto. Sin embargo, esto no es así. En general, se requiere más
“regularidad” en la función: derivadas parciales continuas en el punto en cuestión,
es suficiente.
Teorema 11. (Condición suficiente para diferenciabilidad)
Si f (·, ·) tiene las dos derivadas parciales en A y estas son continuas en determinado punto (x0 , y0 ) ∈A(⊆ Df ), donde A es abierto, entonces es diferenciable en
(x0 , y0 ).
Definición 12. (Diferenciabilidad con continuidad)
Si f (·, ·) tiene derivadas parciales continuas en el punto (x0 , y0 ), diremos que
es diferenciable con continuidad en (x0 , y0 ). Si esto es cierto para todo punto
(x0 , y0 ) en el conjunto abierto A, diremos que f (·, ·) es diferenciable con continuidad en A.
350
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
Ejemplo 19.
Veamos que las siguientes funciones son diferenciables con continuidad:
a) f (x, y) = x3 + y 3
b) f (x, y) = x2 y 2
Solución.
a) Las primeras derivadas parciales de f (x, y) = x3 + y 3 son
∂f
= 3x2 ,
∂x
∂f
= 3y 2
∂y
Como estas derivadas son continuas en todo punto de R2 , entonces f (x, y) =
x3 + y 3 es diferenciable con continuidad en R2 .
b) Las primeras derivadas parciales de f (x, y) = x2 y 2 son
∂f
= 2xy 2 ,
∂x
∂f
= 2x2 y
∂y
Como estas derivadas también son continuas en R2 , entonces f (x, y) = x2 y 2
es diferenciable con continuidad allí.
A.6.
La derivada direccional
Consideremos nuevamente la condición de diferenciabilidad de la función f (·, ·) en
el punto (x0 , y0 ):
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )
=
∂f
∂f
∆x +
∆y + ǫ1 ∆x + ǫ2 ∆y
∂x (x0 , y0 )
∂y (x0 , y0 )
(1)
donde
lı́m ǫ1 = lı́m ǫ2 = 0
∆x→0
∆y→0
∆x→0
∆y→0
Ubiquémonos en el punto (x0 , y0 ) del plano. Desde allí, si necesitamos medir la va∂f
;
riación de la función f (x, y) en la dirección del eje X, basta con calcular
∂x (x0 , y0 )
y si necesitamos medir la variación de la función f (x, y) en la dirección del eje Y
∂f
es suficiente calcular
. De hecho, esto es claro de la ecuación de diferen∂y (x0 , y0 )
ciabilidad (1), pues:
a) Si hacemos allí ∆ y = 0, obtenemos
f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) =
∂f
∆x + ǫ1 ∆x
∂x (x0 , y0 )
A.6. La derivada direccional
351
b) Y si hacemos ∆ x = 0, obtenemos
f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) =
∂f
∆y + ǫ2 ∆y
∂y (x0 , y0 )
Ahora: si necesitamos calcular la variación de la función f (x, y) en el sentido del
vector u = (u1 , u2 ) ∈ R2 , es natural tomar
∆x = hu1 ,
∆y = hu2
con h → 0; con lo cual obtenemos, de la ecuación (1), que
f (x0 + h u1 , y0 + h u2 ) − f (x0 , y0 )
=
∂f
∂f
u1 · h +
u2 · h + ǫ1 h u1 + ǫ2 h u2
∂x (x0 , y0 )
∂y (x0 , y0 )
donde ǫ1 , ǫ2 → 0 cuando h → 0. Así, la medida correspondiente a esta variación
es:
!
∂f
∂f
∂f
∂f
· (u1 , u2 )
u1 +
u2 =
,
∂x (x0 , y0 )
∂y (x0 , y0 )
∂x (x0 , y0 ) ∂y (x0 , y0 )
= ∇f |(x0 , y0 ) · u
donde al vector de derivadas parciales
∂f
∂f
,
∂x (x0 , y0 ) ∂y (x0 , y0 )
∇f |(x0 , y0 ) ≡
!
se le conoce como vector gradiente de la función f (x, y) en el punto (x0 , y0 ).
Definición 13. (Derivada direccional)
Supongamos que f (·, ·) es una función diferenciable en el punto (x0 , y0 ). Entonces
la derivada de la función f (·, ·) en el punto (x0 , y0 ) ∈ A(⊆ Df ) en la dirección del
vector u (también conocida como la derivada direccional de la función f (·, ·) en la
dirección del vector u en el punto (x0 , y0 )) está definida por:
Du f (x0 , y0 ) ≡ ∇f |(x0 , y0 ) · u
donde asumimos que || u || = 1
Una razón de esta normalización3 , || u || = 1, es buscar congruencia con el hecho
de que
∂f
D(0,1) f (x0 , y0 ) =
= ∇f |(x0 , y0 ) · (0, 1)
∂x (x0 , y0 )
y
D(1,0) f (x0 , y0 ) =
∂f
= ∇f |(x0 , ,y0 ) · (1, 0)
∂y (x0 , y0 )
p
3 Aquí, recordemos que || u || = || (u , u ) || =
1
2
(u1 )2 + (u2 )2 .
352
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
y ambos, u = (1, 0) o u = (0, 1), tienen norma 1. Pero también se debe a que
si u = (u1 , u2 ) y || (u1 , u2 ) || = 1 entonces Du f (x0 , y0 ) = g ′ (0) donde g(h) =
f ((x0 , y0 ) + h(u1 , u2 )), y esta derivada ordinaria coincide con la pendiente de la
recta tangente a la gráfica de f (·) en la dirección del vector (u1 , u2 ).
Ejemplo 20.
2
2
Calculemos la derivada direccional
de la
función f (x, y) = x +y en el punto (1, 2)
en la dirección del vector u =
√1 , √1
2
2
(observemos que este ya está normalizado).
Solución.
En primer lugar,
1
1
Du f (x0 , y0 ) = ∇f |(x0 , y0 ) · u = 2x|(1, 2) , 2y|(1, 2) · √ , √
≈ 4.24
2
2
y comparamos esta variación de 4.24 con la variación en el sentido del vector (1, 0),
∂f
es decir, con
= 2; y también con la variación en el sentido del vector (0, 1),
∂x (1, 2)
∂f
es decir,
= 4. ¿Por qué esta diferencia? Las curvas de nivel resuelven este
∂y (1, 2)
interrogante: observemos que si estamos en el punto (1, 2), dada la forma de las
curvas de nivel (círculos), se avanza más rápidamente si se desplaza en diagonal
que a través de las direcciones laterales. N
y
u = (1, 1)
(1, 2)
b
x
Figura A.20. Más rápido en la dirección del gradiente.
Una pregunta válida aquí es entonces: si estamos en un punto (x0 , y0 ), ¿cuál es
la dirección a través de la cual el crecimiento es más rápido? La respuesta general
es nítida: Partiendo del punto (x0 , y0 ), la función f (x, y) crece más rápidamente,
precisamente en la dirección del vector gradiente ∇ f |(x0 , y0 ) . Para ver esto, basta
recordar que
Du f (x0 , y0 ) = ∇f |(x0 , y0 ) · u = || ∇f |(x0 , y0 ) || || u || cos ∢ ∇f |(x0 , y0 ) , u ;
y como || u || = 1, entonces
Du f (x0 , y0 ) = || ∇f |(x0 , y0 ) || cos ∢ ∇f |(x0 , y0 ) , u
(2)
A.6. La derivada direccional
353
Si queremos hacer la derivada direccional Du f (x0 , y0 ) máxima, tendremos que
hacer cos ∢(∇ f |(x0 , y0 ) , u) = 1 ó, equivalentemente, hacer ∢(∇ f |(x0 , y0 ) , u) =
0, que significa que u debe ser paralelo al vector gradiente ∇f |(x0 , y0 ) . Por lo
tanto, el máximo crecimiento de la función f (x, y) en el punto (x0 , y0 ) se encuentra
en la dirección del vector gradiente y, de (2), el valor máximo es, precisamente,
|| ∇ f |(x0 , y0 ) ||; es decir,
máx Du f (x0 , y0 ) = || ∇f |(x0 , y0 ) ||
||u||=1
Ejemplo 21.
En el caso del ejemplo 20, el máximo crecimiento se
del vector
√ da en la dirección
√
gradiente (2, 4) y la tasa máxima de crecimiento es 22 + 42 = 20 = 4.47. Observemos que esta es mayor que la tasa de crecimiento en el sentido del vector (1, 1),
que es, aproximadamente, 4.24; que la tasa de crecimiento en el sentido del vector
(1, 0), que es 2; y que la tasa de crecimiento en el sentido del vector (0, 1), que es
4 (figura A.21).
∇f |(1,2) = (2, 4) = dirección de máximo
crecimiento de las curvas de nivel en
(1,2). Notemos que la dirección (2, 4)
es la misma dirección (1,2).
y
b
(1, 2)
x
Figura A.21. Ilustración del ejemplo 21.
Ejemplo 22.
Calculemos la derivada direccional
√ de la función f (x, y) = xy en el punto (3, 2) en
la dirección del vector u = 12 , 23 , también la dirección de máximo crecimiento
(vector gradiente).
Solución.
1 √3 Du f (x0 , y0 ) = ∇f |(x0 , y0 ) · u = y|(3, 2) , x|(3, 2) ·
,
2 2
√ 1
3
≈ 3.59
,
= (2, 3) ·
2 2
En este caso, el máximo crecimiento√se da en la dirección del vector gradiente (2, 3)
y la tasa máxima de crecimiento es 32 + 22 = 3.60. Observemos
que esta es mayor
√
que la tasa de crecimiento en el sentido del vector ( 12 , 23 ), que es 3.59; que la tasa
354
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
de crecimiento en el sentido del vector (1, 0), que es 2; y que la tasa de crecimiento
en el sentido del vector (0, 1), que es 3. N
Finalmente, notemos que así como es inmediato asociar la derivada ordinaria con
la correspondiente recta tangente, también era de esperar que fuera posible asociar
el vector gradiente de las funciones de dos variables, con el correspondiente “plano
tangente”. Veamos cómo.
Definición 14. (Plano tangente)
Sea f (·, ·) una función diferenciable en un punto (x0 , y0 ) de su dominio. El plano
tangente a f (·, ·) en (x0 , y0 , z0 ) con z0 = f (x0 , y0 ) se define como
Tf (x0 , y0 , z0 ) =
(
∂f
∂f
= (x, y, z) ∈ R |
(x − x0 ) +
(y − y0 ) = z − z0
∂x (x0 ,y0 )
∂y (x0 ,y0 )
o
n
= (x, y, z) ∈ R3 | ∇ f |(x0 ,y0 ) · ((x, y) − (x0 , y0 )) = z − z0
3
)
El plano tangente es la “mejor” aproximación lineal a f (·, ·) en el punto (x0 , y0 ), así
como la recta tangente y − y0 = f ′ (x0 )(x − x0 ) es la “mejor” aproximación lineal a
f (·) en el punto x0 (figura A.22). Claramente
el vector normal N a este plano en
el espacio R3 , es
∂f
∂x
x0 ,y0
,
∂f
∂y
x0 ,y0
, −1 .
f (x, y) = z
vector normal N
plano tangente
b
x
(x0 , y0 )
y
Figura A.22. Plano tangente.
Ejemplo 23.
Calculemos el plano tangente a las siguientes funciones:
a) f (x, y) = x2 + y 2 en el punto (1, 1).
b) f (x, y) = x3 y en el punto (2, 3).
A.7. Regla de la cadena en dos variables
355
Solución.
∂f
∂f
= 2x y
= 2y. Por tanto,
∂x
∂y
a) Las derivadas primeras de f (·, ·) son
∂f
∂f
=
= 2. Así, el plano tangente de f (·, ·) en el punto (1, 1)
∂x (1,1)
∂y (1,1)
es
Tf (1, 1) = (x, y, z) ∈ R3 | 2(x − 1) + 2(y − 1) = z − 2
= (x, y, z) ∈ R3 | 2x + 2y − 2 = z
b) Las derivadas primeras de f (·, ·) son
∂f
∂f
= 3x2 y y
= x3 . Por tanto,
∂x
∂y
∂f
∂f
= 36 y
= 8. Así, el plano tangente de la función f (·, ·) en
∂x (2,3)
∂y (2,3)
el punto (2, 3) es:
Tf (2, 3) = (x, y, z) ∈ R3 | 36(x − 2) + 8(y − 3) = z − 24
= (x, y, z) ∈ R3 | 36x + 8y − 72 = z
A.7.
Regla de la cadena en dos variables
Puesto que las derivadas parciales son, esencialmente, derivadas de una sola variable, toda el álgebra básica de derivadas (suma, producto y cociente) se aplica sin
ningún inconveniente. Sin embargo, existe una regla de derivación que muestra la
manera en que se generaliza la regla de la cadena para una sola variable, y que es
muy útil en el cálculo de derivadas de funciones compuestas.
Teorema 12. (Regla de la cadena para dos variables)
Sea f : A(⊆ R2 ) → R una función diferenciable con continuidad en (x0 , y0 )
∈ A(⊆ Df ); y supongamos además que x : (a, b) → R y y : (a, b) → R son
funciones diferenciables en t = t0 ∈ (a, b) con x0 = x(t0 ), y0 = y(t0 ). Entonces
f (x(·), y(·)) : (a, b) → R también es diferenciable en t0 ; además,
df
dx
dy
∂f
∂f
=
+
dt t=t0
∂x (x0 , y0 ) dt t=t0
∂y (x0 , y0 ) dt t=t0
Ejemplo 24.
Si f (x, y) = x2 + y 2 , x(t) = t3 + 1, y(t) = ln t
(t > 0), entonces
∂f dx ∂f dy
1
df
=
+
= (2x) 3t2 + (2y)
dt
∂x dt
∂y dt
t
2 ln t
1
= 2 t3 + 1 · 3t2 + 2(ln t)
= 6 t5 + t2 +
t
t
356
A.8.
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
Funciones implícitas
Con las actuales herramientas analíticas a la mano, si F (x, y) = 0 es una ecuación
funcional donde F : A(⊆ R2 ) → R es una función diferenciable con continuidad
∂F
en un conjunto abierto alrededor de (x0 , y0 ) con
6= 0, entonces, en
∂y (x0 , y0 )
cierto conjunto abierto alrededor de (x0 , y0 ), encontraremos una única expresión
funcional de la forma y = f (x) en la que f (·) es diferenciable en un intervalo
alrededor de x0 , y tal que en ese intervalo se tiene que
∂F
dy
(3)
= − ∂x
∂F
dx
∂y
Esta última expresión, puede probarse fácilmente mediante la regla de la cadena:
como F (x, y) = 0 y F (·, ·) es una función diferenciable con continuidad en (x0 , y0 ),
entonces, en el conjunto abierto alrededor de (x0 , y0 ), se tiene que
∆F =
∂F
∂F
∆x +
∆y + ǫ1 ∆x + ǫ2 ∆y = 0
∂x
∂y
donde
lı́m ǫ1 = lı́m ǫ2 = 0
∆x→0
∆y→0
Luego,
∆x→0
∆y→0
∆y
∂F
∆y ∂F
=−
− ǫ1 − ǫ2
∆x ∂y
∂x
∆x
Tomando ∆ x, ∆ y → 0 tendremos que
∂F
dy ∂F
=−
dx ∂y
∂x
y así,
dy
∂F
=−
dx
∂x
∂F
∂y
Ejemplo 25.
Si F (x, y) = x2 + y 2 − 1, entonces de la ecuación F (x, y) = 0 podemos “despejar”
dos funciones implícitas
p
p
y = 1 − x2 y y = − 1 − x2 , |x| < 1
cuyas derivadas se pueden calcular así:
∂F
2x
x
dy
= − ∂x = −
=−
∂F
dx
2y
y
∂y
(4)
A.9. Derivadas parciales de orden superior
Por ejemplo, si y =
357
√
1 − x2 , sabemos que
2x
x
x
dy
=− √
= −√
=−
dx
y
2 1 − x2
1 − x2
√
y esta coincide con la ecuación (4). De manera similar cuando y = − 1 − x2 .
Ejemplo 26.
Si F (x, y) = x3 +xy 2 −exy , entonces la solución y = f (x) de la ecuación F (x, y) = 0
alrededor de (1, 0) debe ser diferenciable y su derivada está dada por:
∂F
dy
= − ∂x
∂F
dx (1,0)
∂y
=−
(1,0)
3x2 + y 2 − y exy
=3
2xy − x exy
(1, 0)
Nota 11.
En general, no es posible (o, al menos, no es fácil) encontrar por métodos directos
y simples, una forma explícita y = f (x) a partir de la ecuación F (x, y) = 0. Sin
embargo, sí tenemos información con respecto al comportamiento diferencial local
de la función f (x) y esto, en muchos casos, es lo más que podemos aspirar a saber
de ella, mediante las técnicas del cálculo diferencial.
A.9.
Derivadas parciales de orden superior
∂f ∂f
,
sobre el conjunto A, estas
∂x ∂y
se convierten, a su vez, en funciones de dos variables sobre A sobre las cuales
podemos indagar acerca de su diferenciabilidad parcial. Así, si cada una de ellas
puede ser diferenciada con respecto a x y y, obtendríamos cuatro derivadas parciales
de segundo orden:
∂2f
∂ ∂f
∂ ∂f
∂2f
;
≡
≡
∂x2
∂x ∂x
∂y ∂x
∂y ∂x
Si f : A(⊆ R2 ) → R tiene derivadas parciales
∂
∂2f
≡
∂x ∂y
∂x
∂f
∂y
;
∂2f
∂
≡
∂y 2
∂y
∂f
∂y
Sin embargo, es posible reducir estas cuatro derivadas a sólo tres, pues bajo condiciones de continuidad de las derivadas, se tiene, como veremos, que
∂2f
∂2f
=
;
∂x ∂y
∂y ∂x
es decir, no importa el orden en el que derivemos parcialmente.
358
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
Nota 12.
También las derivadas parciales de segundo orden podrían aparecer en otras nota∂2f
ciones, todas equivalentes:
= Dxy f = D12 f = f12 = fxy ; de manera similar
∂x∂y
para las otras derivadas parciales de segundo orden.
Teorema 13.
∂2f
∂2f
,
son continuas en una vecindad de (x0 , y0 ), entonces
Si
∂x∂y ∂y∂x
∂2f
∂2f
=
∂x∂y (x0 , y0 )
∂y∂x (x0 , y0 )
Ejemplo 27.
Comprobemos que
Solución.
∂2f
x2 + y 2
∂2f
=
cuando f (x, y) =
∂x∂y
∂y∂x
x−y
∂f
(x − y)(2x) − (x2 + y 2 )(1)
=
∂x
(x − y)2
2
2
x − y − 2xy
=
(x − y)2
∂f
(x − y)(2y) − (x2 + y 2 )(−1)
=
∂y
(x − y)2
x2 − y 2 + 2xy
=
(x − y)2
∂2f
(2x + 2y)(x − y)2 − (x2 − y 2 + 2xy) 2(x − y)(1)
=
∂y∂x
(x − y)4
2
2(x + y)(x − y) − 2(x2 − y 2 + 2xy)(x − y)
=
(x − y)4
2(x − y) (x + y)(x − y) − (x2 − y 2 + 2xy)
=
(x − y)4
2
2(x − y) x − y 2 − x2 + y 2 − 2xy
=
(x − y)4
4xy
=−
(x − y)3
∂2f
(−2y − 2x)(x − y)2 − (x2 − y 2 − 2xy) 2(x − y)(−1)
=
∂x∂y
(x − y)4
2
−2(x + y)(x − y) + 2(x2 − y 2 − 2xy)(x − y)
=
(x − y)4
A.10. Ecuación de Euler
359
2(x − y) −(x + y)(x − y) + x2 − y 2 − 2xy
=
(x − y)4
2
2(x − y) −x + y 2 + x2 − y 2 − 2xy
=
(x − y)4
−4xy(x − y)
4xy
=
=−
4
(x − y)
(x − y)3
Nota 13. (Derivadas parciales de orden superior)
Como puede ser ya claro en este punto después de utilizar el teorema 13, las derivadas de segundo orden son:
∂2f
∂2f
∂2f
,
,
∂x2
∂y 2
∂x∂y
y podríamos continuar diferenciando, y así obtener las derivadas de tercer orden:
∂3f
∂3f
∂3f
∂3f
,
,
,
∂x3
∂y 3
∂x2 ∂y
∂x∂y 2
y, en general, las derivadas de n-ésimo orden se obtienen así:
∂nf
p, q = 0, . . . , n
con p + q = n
∂xp ∂y q
Ejemplo 28.
Calculemos las derivadas de segundo y tercer orden de las siguientes funciones:
a) f (x, y) = ax2 + by 2 + cxy
b) f (x, y) = xα y β ;
α, β > 0
Solución.
∂f
a)
∂x
∂2f
∂x2
∂3f
∂x2 ∂y
b)
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂x2
∂3f
∂x3
∂3f
∂x2 ∂y
∂3f
∂y∂x2
= 2ax + cy ;
= 2a
;
=0
;
∂f
∂y
∂2f
∂y 2
∂3f
∂x∂y 2
= 2by + cx ;
= 2b
;
=0
;
= α(β)xα−1 y β−1
;
= α(α − 1)xα−2 y β
;
= α(α − 1)(α − 2)xα−3 y β ;
= α(α − 1)βxα−2 y β−1
;
= α(α − 1)βxα−2 y β−1
;
∂2f
∂y∂x
∂2f
∂y 2
∂3f
∂y 3
∂3f
∂x∂y 2
∂3f
∂y 2 ∂x
∂2f
∂x∂y
∂3f
∂x3
∂3f
∂y∂x2
=c ;
=0 ;
=0 ;
∂2f
=c
∂y∂x
∂3f
=0
∂y 3
∂3f
=0
∂y 2 ∂x
= α(β)xα−1 y β−1
= β(β − 1)xα y β−2
= β(β − 1)(β − 2)xα y β−3
= αβ(β − 1)xα−1 y β−2
= αβ(β − 1)xα−1 y β−2
360
A.10.
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
Ecuación de Euler
Uno de los resultados más recurrentes en el análisis económico estándar es la relación que existe entre las marginalidades de una función homogénea de grado
α ≥ 0 en dos variables (una función f (·, ·) es homogénea de grado α ≥ 0 si satisface f (tx, ty) = tα f (x, y) para todo t > 0): se le conoce como ecuación de Euler
(Leonhard Euler [1707–1783]).
Teorema 14. [Ecuación de Euler (1748)]
Si f : D(⊆ R2 ) −→ R es homogénea de grado α > 0 y diferenciable con continuidad
en el conjunto abierto no-vacío D [4] , entonces
x
∂f
∂f
+y
= αf (x, y)
∂x
∂y
(5)
Demostración.
Sea, para (x, y) ∈ D fijo, F (t) = f (tx, ty) con t > 0. Entonces, por la regla de la
cadena, se tiene que
∂F
∂F
F ′ (t) = x
+y
∂u
∂v
donde u = tx y v = ty. En particular, cuando t = 1,
F ′ (1) = x
∂F
∂F
∂f
∂f
+ x
=x
+y
∂x t=1
∂y t=1
∂x
∂y
(∗)
De otro lado, como por homogeneidad F (t) = tα f (x, y), entonces
F ′ (1) = α tα−1 f (x, y)|t=1 = αf (x, y)
(∗∗)
Así, de (∗) y (∗∗) anteriores,
αf (x, y) = x
∂f
∂f
+y
∂x
∂y
y esto prueba el teorema. N
En particular, si f (·, ·) es homogénea de grado α = 1 (rendimientos constantes a
escala) se tiene que
∂f
∂f
f (x, y) = x
+y
∂x
∂y
Obsérvese, que si f (x, y) es una función de producción, este valor es distribuido, de
∂f
manera ponderada, en las producciones marginales de ∂f
∂x , ∂y , de los insumos x, y, y
por ello ha sido centro de discusión en la teoría de la distribución por productividad
marginal. Queda como ejercicio sencillo comprobar la ecuación de Euler para, por
ejemplo, la función Cobb-Douglas.
4 Recordemos que esto significa que f (·, ·) tiene sus dos derivadas parciales, ∂f y ∂f , continuas
∂x
∂y
en D.
A.11. Funciones cóncavas y convexas
A.11.
361
Funciones cóncavas y convexas
A menos que se especifique lo contrario, en esta sección asumimos que C es un
conjunto convexo5 , no vacío de Rn .
Definición 15. (Función cóncava)
Diremos que una función f : C → R es cóncava si, y sólo si, para todo x, y ∈ C,
λ ∈ [0, 1], se cumple que
f (λx + (1 − λ)y) ≥ λf (x) + (1 − λ)f (y)
Diremos, además, que f (·) es estrictamente cóncava si la desigualdad anterior es
estricta para x 6= y, λ ∈ (0, 1).
Así, geométricamente, una función de dos variables es cóncava si el segmento de
recta que une dos puntos cualesquiera está por debajo del arco de la curva que los
une (figura A.23a).
Definición 16. (Función convexa)
Diremos que una función f : C → R es convexa si, y sólo si, para todo x, y ∈ C,
λ ∈ [0, 1], se cumple que
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y)
Diremos que es estrictamente convexa si la desigualdad es estricta para x 6= y,
λ ∈ (0, 1).
La interpretación geométrica para dos variables es que el segmento de recta está
por encima del arco de la curva que une a x y y (figura A.23b).
y
y
(1
f (x)
)+
(x
f (y)
(1
−
)
f(
)
(y
−
f
λ)
(1
(y
λx
+
(1
f (y)
−
λf
)+
(x
f
λ)
f(
x)
+
λ)
λf
f(
λx
−
y)
y
λ)
)
x
λx + (1 − λ)y
a)
y
x
x
λx + (1 − λ)y
y
x
b)
Figura A.23. Panel a): una típica función cóncava. Panel b): una típica función convexa.
5 Recordemos que C ⊆ Rn es un conjunto convexo si, y sólo si, para todo x, y ∈ C y λ ∈ [0, 1],
se tiene que también λx + (1 − λ)y ∈ C.
362
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
Nota 14.
a) Dadas las definiciones anteriores, es claro que una función f (·) es convexa
(estricta) si, y sólo si, −f (·) es cóncava (estricta).
b) Observemos que la concavidad es una noción de conjunto; es decir, una función puede ser convexa en cierta región de su dominio y cóncava en otra
(figura A.24, panel izquierdo).
c) A partir de la definición, también es claro que toda función estrictamente
cóncava es cóncava, y que toda función estrictamente convexa es convexa.
Ejemplo 29.
√
Probemos, mediante la definición 15, que f (x) = x es estrictamente cóncava en
[0, ∞) (figura A.24, panel derecho).
Solución.
Sean x, y ≥ 0, x 6= y y λ ∈ (0, 1). Entonces debemos mostrar que
f (λx + (1 − λ)y) > λf (x) + (1 − λ)f (y)
o, lo que es equivalente,
p
√
√
λx + (1 − λ)y > λ x + (1 − λ) y
Si elevamos ambos lados de esta desigualdad al cuadrado, tenemos que
√ √
λx + (1 − λ)y > λ2 x + (1 − λ)2 y + 2λ(1 − λ) x y
de la cual, reordenando términos, obtenemos que
√ √
λ(1 − λ)x + λ(1 − λ)y > 2λ(1 − λ) x y
√ √
√
√ 2
> 0, lo cual se cumple siempre,
o, lo que es igual, x + y > 2 x y, o,
x− y √
ya que hemos asumido x 6= y. Por lo tanto, f (x) = x es estrictamente cóncava en
[0, ∞).
y
f (x)
a
b
x
x
Figura A.24. Panel izquierdo: función
convexa en [0, a] y cóncava en [a, b].
√
Panel derecho: f (x) = x, x ≥ 0 es estrictamente cóncava.
A.11. Funciones cóncavas y convexas
363
Ejemplo 30.
√
Probemos que f (x1 , x2 ) = x1 x2 es cóncava en R2+ . ¿Será estrictamente cóncava?
(figura A.25a).
Solución.
Tomemos x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ R2+ , y λ ∈ [0, 1]. Entonces debemos probar
que
f (λx + (1 − λ)y) ≥ λf (x) + (1 − λ)f (y)
o, lo que es equivalente, que
f (λx1 + (1 − λ)y1 , λx2 + (1 − λ)y2 ) ≥ λf (x1 , x2 ) + (1 − λ)f (y1 , y2 )
Y esto es
p
√
√
(λx1 + (1 − λ)y1 )(λx2 + (1 − λ)y2 ) ≥ λ x1 x2 + (1 − λ) y1 y2
Si elevamos ambos lados de la desigualdad al cuadrado, obtenemos
(λx1 + (1 − λ)y1 )(λx2 + (1 − λ)y2 ) ≥λ2 x1 x2 + (1 − λ)2 y1 y2
√
√
+ 2λ(1 − λ) x1 x2 y1 y2
y, realizando los productos de la desigualdad, llegamos a:
λ2 x1 x2 + λ(1 − λ)x1 y2 + λ(1 − λ)y1 x2 + (1 − λ)2 y1 y2 ≥
√
√
λ2 x1 x2 + (1 − λ)2 y1 y2 + 2λ(1 − λ) x1 x2 y1 y2
de lo cual obtenemos que
√
√
λ(1 − λ)x1 y2 + λ(1 − λ)y1 x2 ≥ 2λ(1 − λ) x1 x2 y1 y2
Si λ = 0 ó λ = 1, esta desigualdad es cierta. Y si λ 6= 0, 1 entonces se tiene que
√
√
x1 y2 + y1 x2 ≥ 2 x1 x2 y1 y2
o
√
√
2
( x1 y2 − y1 x2 ) ≥ 0
y esta desigualdad se cumple siempre. Por lo tanto, tenemos que f (x) = f (x1 , x2 ) =
√
x1 x2 es cóncava en R2+ . Sin embargo, observe que esta función no es estrictamente cóncava pues la parte izquierda de la última desigualdad podría ser cero,
escogiendo adecuadamente x = (x1 , x2 ) y y = (y1 , y2 ). Por ejemplo, esto sucede si
tomamos (x1 , x2 ) = t(y1 , y2 ), para cualquier t > 0. La idea intuitiva aquí de por qué
√
f (x1 , x2 ) = x1 x2 es cóncava pero no estrictamente cóncava es que la superficie
está conformada “cóncavamente” por rectas (o rayos) que parten del origen (0, 0)
(figura A.25a)6 .
6 Imagine el lector cómo se forma una superficie cóncava uniendo sólo varillas rectas.
364
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
f (x, y)
f (x, y)
y
y
x
x
a)
b)
√
Figura A.25. En el panel a), la función f (x, y) = xy, x ≥ 0, y ≥ 0.
En el panel b), la función f (x, y) = x2 + y 2 .
Ejemplo 31.
Probemos que f (x1 , x2 ) = (x1 )2 + (x2 )2 es estrictamente convexa en R2 (figura
A.25b).
Solución.
Tomemos x = (x1 , x2 ) 6= (y1 , y2 ) = y ∈ R2 , y λ ∈ (0, 1). Entonces debemos probar
que
(λx1 + (1 − λ)y1 )2 + (λx2 + (1 − λ)y2 )2 <λ (x1 )2 + (x2 )2
+ (1 − λ) (y1 )2 + (y2 )2
lo cual, calculando los cuadrados, es
λ2 (x1 )2 + (1 − λ)2 (y1 )2 + 2λ(1 − λ)x1 y1 + λ2 (x2 )2 + (1 − λ)2 (y2 )2 +
2λ(1 − λ)x2 y2 < λ(x1 )2 + λ(x2 )2 + (1 − λ)(y1 )2 + (1 − λ)(y2 )2
o, simplificando, esto es equivalente a
λ2 (x1 )2 + (y1 )2 − 2λ(y1 )2 + λ2 (y1 )2 + 2λx1 y1 − 2λ2 x1 y1 + λ2 (x2 )2 +
(y2 )2 − 2λ(y2 )2 + +λ2 (y2 )2 + 2λx2 y2 − 2λ2 x2 y2 < λ(x1 )2 + λ(x2 )2 +
(y1 )2 − λ(y1 )2 + (y2 )2 − λ(y2 )2
y de nuevo simplificando, arribamos a que
λ2 (x1 )2 − λ(y1 )2 + λ2 (y1 )2 + 2λx1 y1 − 2λ2 x1 y1 + λ2 (x2 )2 − λ(y2 )2 +
λ2 (y2 )2 + 2λx2 y2 − 2λ2 x2 y2 < λ(x1 )2 + λ(x2 )2
Agrupando términos, obtenemos
2λ(1 − λ)x1 y1 + 2λ(1 − λ)x2 y2 < λ(1 − λ)(x1 )2 + λ(1 − λ)(x2 )2 +
λ(1 − λ)(y1 )2 + λ(1 − λ)(y2 )2
A.12. Propiedades de las funciones cóncavas
365
que es equivalente a
λ(1 − λ)(x1 − y1 )2 + λ(1 − λ)(x2 − y2 )2 > 0
y que, claramente, se cumple, pues λ ∈ (0, 1) y x1 6= y1 o x2 6= y2 .
A.12.
Propiedades de las funciones cóncavas
Recordemos que hemos asumido que, en adelante, C ⊆ Rn es un conjunto convexo no vacío. Dado esto, los siguientes teoremas nos presentan las propiedades
básicas de las funciones cóncavas. El primero de estos nos muestra que la definición aparentemente algebraica de función cóncava tiene una muy fuerte implicación
topológica.
Teorema 15. (Concavidad ⇒ continuidad)
Si f (·) es cóncava en C, entonces es continua en el interior7 de C. Es decir, no
existen funciones cóncavas discontinuas.
Teorema 16. (Una característica importante de las funciones cóncavas)
Si f : C → R es cóncava, el conjunto de nivel superior a α, definido por
Sα = {x ∈ C | f (x) ≥ α}, es convexo para todo α ∈ R (figura A.26). La afirmación
recíproca no siempre es cierta (ejemplo 35, adelante).
Teorema 17. (Condición de primer orden para la concavidad)
Sea f : C → R continua en C y diferenciable con continuidad 8 en el interior de C;
entonces, f (·) es cóncava en C si, y sólo si, para todo x, y en el interior de C:
f (x) − f (y) ≤ ∇f (y) · (x − y)
(6)
En particular, en el caso de funciones cóncavas de una sola variable, tenemos que
f (x) − f (y) ≤ f ′ (y)(x − y)
(figura A.26 b))
(7)
Además, en el caso general de n variables, f (·) es estrictamente cóncava si, y sólo
si, f (x) − f (y) < ∇f (y) · (x − y) para todo x, y en el interior de C, con x 6= y.
Sin embargo, esta condición de primer orden para la noción de concavidad, aunque
fundamental, no es la más utilizada en las aplicaciones. En su lugar, era de esperarse, aparecen las condiciones de segundo orden, pues estas son las que caracterizan
la forma en que se “curva” la función. Veamos esto.
◦
7 Recordemos que el interior de un conjunto C ⊆ Rn es el subconjunto C ⊆ C conformado por
los puntos x ∈ C para los cuales existe un r > 0 tal que la bola abierta de radio r y centro en x,
Br (x), está contenida en C; esto es, Br (x) ⊆ C (Monsalve (ed.), 2010, volumen II).
8 Es decir, con primeras derivadas parciales continuas en C.
366
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
y
f (x)
B
D
Sα
C
A
x
a)
y
x
x
b)
Figura A.26. En el panel a) se muestra el conjunto de nivel superior Sα , el cual es un conjunto
convexo (teorema 16). En el panel b) se presenta la condición de concavidad “ pendiente de
CD ≤ pendiente de AB ” (teorema 17).
Teorema 18. (Condición de segundo orden de las funciones cóncavas)
a) Si f (·) es dos veces diferenciable con continuidad en el interior de C y continua
en C, entonces f (·) es cóncava en C si, y sólo si, para todo x en el interior
de C, la matriz hessiana
2
n
∂ f
Hf (x) =
(x)
(8)
∂xi ∂xj
i,j=1
es semidefinida negativa; es decir, si, y sólo si, XHf (x)X T ≤ 0 para todo
X ∈ Rn .
b) En particular, en el caso de funciones de dos variables, tendremos que f (·)
es cóncava en C si, y sólo si, la matriz hessiana
A B
Hf (x) =
B C
con A =
∂2f
∂2f
∂2f
∂2f
,
B
=
=
,
C
=
, satisface A ≤ 0 y AC − B 2 ≥ 0
∂x2
∂x∂y
∂y∂x
∂y 2
para todo x en el interior de C.
c) Y en el caso de funciones de una sola variable (n=1), esta condición es, simplemente, f ′′ (x) ≤ 0 para todo x en el interior de C (es decir, las pendientes
de las rectas tangentes a f (·) van decreciendo [figura A.27]).
El teorema 19 estará en la misma dirección del teorema inmediatamente anterior.
Sin embargo, es muy importante especificarlo porque hará la advertencia de que,
en el caso de la concavidad estricta, ya la equivalencia de resultados no se da, y
en su lugar únicamente tenemos una implicación. Los contraejemplos para mostrar
que esto es así, son abundantes.
A.12. Propiedades de las funciones cóncavas
367
y
x
Figura A.27. Rectas tangentes con pendientes decrecientes.
Teorema 19. (Característica de las funciones estrictamente cóncavas)
a) Si f (·) es dos veces diferenciable con continuidad en el interior de C y continua
en C, entonces f (·) es estrictamente cóncava si, para todo x en el interior
de C, la matriz hessiana Hf (x) es definida negativa. El recíproco no es cierto
siempre.
b) En particular, en el caso de dos variables, tendremos que f (·) es estrictamente
cóncava si la matriz hessiana
A B
Hf (x) =
B C
donde A =
∂2f
∂2f
∂2f
∂2f
,B=
=
,C=
, satisface A < 0 y AC − B 2 > 0
2
∂x
∂x∂y
∂y∂x
∂y 2
para todo x en el interior de C (observe que, en tal situación, también C < 0).
c) En el caso de funciones de una sola variable, f (·) es cóncava estricta si, y sólo
si, f ′′ (x) < 0 para todo x en el interior de C.
Nota 15. (Propiedades de las funciones convexas)
Las propiedades fundamentales de las funciones convexas se obtienen utilizando el
hecho de que f (·) es convexa si, y sólo si, −f (·) es cóncava y, utilizando los resultados de los teoremas anteriores. Un buen ejercicio para el lector sería escribirlas
explícitamente.
Ejemplo 32.
Es fácil mostrar (figura A.28) que:
i) f (x) = ln(x) es estrictamente cóncava para x > 0.
ii) Si α > 0, g(x) = 1/xα es estrictamente convexa para x > 0.
Aquí basta aplicar directamente el teorema 19 y obtenemos, en cada caso, que:
1
i) f ′′ (x) = − 2 < 0 si x > 0.
x
ii) g ′′ (x) =
α(1 + α)
> 0 si x > 0.
x2+α
368
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
y
y
f (x) = ln x
g(x) =
1
,α>0
xα
x
x
b)
a)
Figura A.28. f (x) = ln x (Panel a) y g(x) = 1/xα (Panel b).
Ejemplo 33.
Mostremos (figura A.29) que la función f (x) = xα con x > 0 y α > 0 es:
i) Cóncava si, y sólo si, 0 < α ≤ 1.
ii) Estrictamente cóncava si 0 < α < 1.
iii) Convexa si, y sólo si, α ≥ 1.
y
α=4
α=2
α=1
α = 0.5
α = 0.3
1
1
x
Figura A.29. f (x) = xα con diferentes valores de α.
Solución.
La segunda derivada de la función viene dada por:
f ′′ (x) = α(α − 1)xα−2
i) f (·) es cóncava si, y sólo si, f ′′ (x) ≤ 0; así que debemos tener
α(α − 1)xα−2 ≤ 0, lo cual se cumple si, y sólo si, α ≥ 0 y α − 1 ≤ 0;
esto es, cuando 0 ≤ α ≤ 1.
A.12. Propiedades de las funciones cóncavas
369
ii) Para la concavidad estricta necesitamos que la última desigualdad en i) se
cumpla estrictamente. Por un argumento similar al anterior, tenemos que la
función es cóncava estricta si 0 < α < 1.
iii) Para que la función sea convexa necesitamos que f ′′ (x) ≥ 0, lo cual se cumple
si, y sólo si, α ≥ 0 y α − 1 ≥ 0; esto es, cuando α ≥ 1.
Ejemplo 34.
Mostremos que la función f (x, y) = xα y β , con x > 0, y > 0; α, β > 0, es:
i) Cóncava si, y sólo si, α + β ≤ 1.
ii) Estrictamente cóncava si, y sólo si, α + β < 1.
iii) Además, mostremos que, en ningún caso, la función es convexa.
Solución.
Tenemos que
∂f
= αxα−1 y β ,
∂x
y la matriz hessiana está definida por:
∂f
= βxα y β−1
∂y
A
Hf (x) =
B
donde
A=
B
C
∂2f
∂2f
α−2 β
=
α(α
−
1)x
y
,
B
=
= αβxα−1 y β−1
∂x2
∂x∂y
∂2f
C=
= β(β − 1)xα y β−2
∂y 2
i) Así, Hf (x, y) es semidefinida negativa si, y sólo si,
a) Cumple que
A=
∂2f
≤ 0,
∂x2
y C=
∂2f
≤0
∂y 2
es decir, si α ≤ 1 y β ≤ 1.
b) Y también debe cumplir que
∂2f ∂2f
−
∂x2 ∂y 2
∂2f
∂x∂y
2
≥0
es decir,
2
α(α − 1)xα−2 y β β(β − 1)xα y β−2 − αβxα−1 y β−1 ≥ 0
o, lo que es lo mismo,
αβ(α − 1)(β − 1)x2α−2 y 2β−2 ≥ α2 β 2 x2α−2 y 2β−2
o, (α − 1)(β − 1) ≥ αβ de lo cual obtenemos, −α − β + 1 ≥ 0 que es
equivalente a α + β ≤ 1.
370
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
ii) Por lo anterior, las condiciones de concavidad estricta A < 0 y AC − B 2 > 0
se satisfacen si, y sólo si, α < 1 y α + β < 1; es decir, si, y sólo si, α + β < 1
(puesto que hemos supuesto α > 0 y β > 0).
iii) Para que la función sea convexa debe ser A ≥ 0, lo cual se cumple si, y
sólo si, α ≥ 1. Además, debe ser AC − B 2 ≥ 0, lo cual, hemos mostrado, se
satisface si, y sólo si, α + β ≤ 1. Pero estas dos desigualdades no se pueden
satisfacer simultáneamente, dado que α, β > 0. Por lo tanto, la función nunca
es convexa.
Ejemplo 35.
De acuerdo con el ejemplo anterior, la función f (x, y) = x2 y 2 no es cóncava en
R2++ = {(x, y) ∈ R2 | x > 0, y > 0} puesto que su suma de exponentes (2+2=4) es
mayor que 1 (figura A.30b)). Sin embargo, para todo escalar α ∈ R+ , el conjunto
de nivel superior a α,
α1/2
Sα = (x, y) ∈ R2++ | f (x, y) ≥ α = (x, y) ∈ R2++ | y ≥
x
es todavía un conjunto convexo9 . Esto demuestra que el recíproco del teorema 16
es, en general, falso.
f (x, y)
f (x, y)
y
a)
y
b)
x
x
√
Figura A.30. En el panel a), la función f (x, y) = xy.
En el panel b), la función f (x, y) = x2 y 2 para x > 0, y > 0.
Solución.
Para ver esto, supongamos que (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ Sα ; es decir, asumamos que
α1/2
α1/2
y1 ≥
y y2 ≥
; entonces
x1
x2
α1/2
α1/2
+ (1 − λ)
x1
x2
λ
1−λ
= α1/2
+
x1
x2
λy1 + (1 − λ)y2 ≥ λ
= α1/2 (λg(x1 ) + (1 − λ)g(x2 ))
9 En esta definición hemos asumido α ⩾ 0. Si α < 0, S = ∅ que, por vacuidad, también es
α
convexo.
A.13. Funciones cuasicóncavas y cuasiconvexas
371
donde g(x) = 1/x. Pero sabemos (ejemplo 32, i)) que g(x) es estrictamente convexa
para x > 0; así que
α1/2 (λg(x1 ) + (1 − λ)g(x2 )) ≥ α1/2 g(λx1 + (1 − λ)x2 )
1
1/2
=α
λx1 + (1 − λ)x2
lo que es equivalente a λ(x1 , y1 ) + (1 − λ)(x2 , y2 ) ∈ Sα , que es el resultado buscado.
N
Dada la definición de función cóncava, podemos derivar convenientemente sus propiedades algebraicas.
Teorema 20. (Álgebra de funciones cóncavas)
a) Si a ∈ R, y f (·) es cóncava, entonces f (·) + a es cóncava.
b) Si a ∈ R+ y f (·) es cóncava, entonces a f (·) es cóncava.
c) Si f (·), g(·) son funciones cóncavas, entonces (f + g)(·) es cóncava.
d) Si f (·), g(·) son funciones cóncavas, entonces (f · g)(·) ni (f /g)(·) son necesariamente cóncavas.
e) Si f : C → R es cóncava estricta y F : R → R es estrictamente monótona creciente y estrictamente cóncava, entonces (F ◦ f )(·) es también cóncava estricta.
El siguiente teorema es uno de los más utilizados en las aplicaciones, ya que afirma
que si usted ya está seguro de que la función que va a maximizar es cóncava,
entonces basta derivarla (si esto es posible) y hacerla igual a cero. Allí aparecerán
entonces los puntos de máxima (en caso de que existan).
Teorema 21. (Es fácil optimizar funciones cóncavas)
Si f : C → R es cóncava y diferenciable con continuidad en el interior de C, todo
punto crítico (esto es, todo x∗ en el interior de C tal que ∇f (x∗ ) = 0) es un máximo
global (o absoluto) (figura A.31).
y
x∗
x
Figura A.31. Un punto crítico de una función cóncava es un máximo global.
372
A.13.
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
Funciones cuasicóncavas y cuasiconvexas
Una pregunta básica, que trataremos de responder en esta sección, es para qué
tipo de funciones es cierto el recíproco del teorema 9; es decir, que Sα sea convexo
para todo α ∈ R. La respuesta la encontramos en las funciones cuasicóncavas,
introducidas por John von Neumann en 1928.
Definición 17. [Función cuasicóncava (Von Neumann, 1928)]
Diremos que una función f : C → R (donde, recordemos, C es un subconjunto
convexo no vacío de Rn ) es cuasicóncava si, y sólo si, para todo x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1],
se cumple que
f (λx + (1 − λ)y) ≥ mı́n{f (x), f (y)}
Además, diremos que f (·) es cuasicóncava estricta si, y sólo si, para todo x, y ∈ C,
x 6= y, λ ∈ (0, 1), se cumple
f (λx + (1 − λ)y) > mı́n{f (x), f (y)}
Definición 18. [Función cuasiconvexa (Von Neumann, 1928)]
Diremos que una función f : C → R es cuasiconvexa (estricta) en C si, y sólo si,
−f (·) es cuasicóncava (estricta) en C.
Una inmediata relación entre las funciones cóncavas y cuasicóncavas la encontramos
en el siguiente teorema:
Teorema 22. (Concavidad ⇒ cuasiconcavidad)
Toda función cóncava (estricta) es cuasicóncava (estricta); y toda función convexa
(estricta) es cuasiconvexa (estricta).
Nota 16.
Que la condición de cuasiconcavidad es realmente un debilitamiento de las condiciones de concavidad, se ve en el hecho de que no toda función cuasicóncava es
cóncava (figura A.32). De manera similar, no toda función cuasiconvexa es convexa.
f (y)
f (x)
x
y
Figura A.32. Una función cuasicóncava no cóncava: f (x) = Mín{f (x), f (y)}.
A.14. Propiedades de las funciones cuasicóncavas
A.14.
373
Propiedades de las funciones cuasicóncavas
Quizás la primera propiedad de las funciones cuasicóncavas que debe mencionarse
es que, a diferencia de las funciones cóncavas, no toda función cuasicóncava es
continua, como se puede ver en la figura A.33. Sin embargo, sí existe una relación
entre monotonicidad y cuasiconcavidad para funciones con dominio real, que la
expresamos formalmente en el teorema 16.
y
x
Figura A.33. Una función cuasicóncava no continua.
Teorema 23. (Monotonicidad ⇒ cuasiconcavidad)
Si C ⊆ R entonces toda función monótona10 (estricta) es cuasicóncava (estricta).
Sin embargo, no toda función cuasicóncava es monótona.
La principal característica de las funciones cuasicóncavas se tiene en el siguiente
resultado:
Teorema 24. (Caracterización topológica de la cuasiconcavidad)
Una función f : C → R es cuasicóncava si, y sólo si, para todo α ∈ R, el conjunto
de nivel
Sα = {x ∈ C | f (x) ≥ α}
es un conjunto convexo.
Ejemplo 36. (Una clase especial de funciones cuasicóncavas)
Todas las funciones (Cobb-Douglas) f (x, y) = xγ y β , con γ, β > 0 son cuasicóncavas
estrictas en R2++ (figura A.34), porque para todo α ≥ 0, el conjunto de nivel superior
a α,
α1/β
2
γ β
2
Sα = {(x, y) ∈ R++ | x y ≥ α} = (x, y) ∈ R++ | y ≥ γ/β
x
es un conjunto convexo (la prueba de esto es similar a la del ejemplo 35). En
particular, observemos que si γ + β > 1, entonces f (·) es cuasicóncava estricta,
pero no es cóncava.
10 Es decir, creciente o decreciente.
374
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
y
xγ y β = 2.4
xγ y β = 1.6
xγ y β = 1
x
Figura A.34. Sα para la función f (x, y) = xγ y β ; γ, β > 0; x, y > 0.
Ejemplo 37. (Una función cuasicóncava y convexa)
Existen funciones cuasicóncavas que inclusive son convexas (y no son lineales): Si
f (x) = x2 , x ≥ 0, entonces para α ≥ 0,
Sα = {x ∈ R+ | x2 ≥ α} = {x ∈ R+ | x ≥
√
α}
es un intervalo y, por lo tanto, es un conjunto convexo.
Teorema 25. (Álgebra de funciones cuasicóncavas)
Si f (·), g(·) son dos funciones cuasicóncavas, entonces se cumple que:
a) La función h(·) = f (·) + a, a ∈ R, es cuasicóncava.
b) La función h(·) = a f (·) es cuasicóncava, si a ≥ 0.
c) La función h(·) = f (·) + g(·) no es necesariamente cuasicóncava.
d) Ni la función h(·) = f (·) g(·), ni h(·) = f (·)/g(·) son necesariamente cuasicóncavas.
e) Si F (·) es estrictamente creciente, entonces la función compuesta (F ◦ f )(·)
también es cuasicóncava. Si además f (·) es cuasicóncava estricta, entonces
(F ◦ f )(·) es cuasicóncava estricta.
Nota 17. (Una propiedad importante)
La definición de cuasiconcavidad estricta implica, en particular, que si
f (x) = f (y) = α con x 6= y, entonces f (λx + (1 − λ)y) > α para todo λ ∈ (0, 1). Es
decir, las combinaciones convexas λx + (1 − λ)y, λ ∈ (0, 1), tienen siempre mayor
valor que los puntos x, y, cuando estos dos estén en la misma curva de nivel (figura
A.35b).N
A.14. Propiedades de las funciones cuasicóncavas
ir
em
S
y
375
pa
r
fo
la
e
d
y
s
to λ) ]
n
u − ,1
p
e (1
[0
d
a
+ λ∈
ct x
r e λ ra
a
m
x
a)
b)
Figura A.35. En el panel a) se muestra una función cuasicóncava y convexa y = x2 , x > 0. En el
panel b) se muestra que las combinaciones convexas λx + (1 − λ)y, λ ∈ (0, 1) siempre obtienen
un mayor valor cuando la función es cuasicóncava estricta.
Hasta aquí hemos especificado la cuasiconcavidad sin hacer referencia a la diferenciabilidad de las funciones; sin embargo, si la función f (·) es diferenciable (una o dos
veces), podemos caracterizar la cuasiconcavidad mediante los teoremas siguientes:
Teorema 26. (Condición de primer orden para la cuasiconcavidad)
Sea f : C → R diferenciable en el interior de C. Entonces f (·) es cuasicóncava
(estricta) en C si, y sólo si, f (x) ≥ f (y) implica
∇f (y)(x − y) ≥ 0 (∇f (y)(x − y) > 0)
Así como las funciones cóncavas están determinadas por ciertas condiciones sobre la matriz hessiana (teorema 19), también podría esperarse que las funciones
cuasicóncavas tuvieran una característica similar. En efecto es así, y la correspondiente matriz se conoce como matriz hessiana orlada. ¿Cómo surge? Sabemos, por
el teorema de la función implícita (sección A.8), que si y(x) define localmente una
función a partir de la curva de nivel f (x, y) = α, entonces se tendrá que, en esa
vecindad,
dy
∂f /∂x
=−
dx
∂f /∂y
Y si a esta curva y(x) nos es posible calcularle la segunda derivada, obtendremos
que:
d2 y
d ∂f /∂x
=−
=−
dx2
dx ∂f /∂y
∂f
∂y
∂f ∂ 2 f
∂2f
∂ 2 f dy
∂ 2 f dy
−
+
+
∂x2
∂y∂x dx
∂x ∂x∂y
∂y 2 dx
2
∂f
∂y
376
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
=−
=
∂f
∂y
2
1
∂f
∂y
3
∂2f
∂f ∂f ∂ 2 f
−2
+
2
∂x
∂x ∂y ∂y∂x
3
∂f
∂y
∂f
∂f
0
∂x
∂y
∂f
∂x
∂2f
∂x2
∂2f
∂x∂y
∂f
∂y
∂2f
∂y∂x
∂2f
∂y 2
∂f
∂x
2
∂2f
∂y 2
∂f ∂f
,
, deter∂x ∂y
minarán qué tipo de concavidad-convexidad tendrán las curvas de nivel f (x, y) = α
y, de allí, la concavidad-convexidad del conjunto
Parece claro que condiciones sobre el determinante anterior y sobre
Sα = {(x, y) ∈ C | f (x, y) ≥ α}
que es el criterio que determina la cuasiconcavidad-cuasiconvexidad de f (·). Es
precisamente a este determinante al que llamaremos (en el caso 2 × 2) el hessiano
orlado (de orden 2) correspondiente a f (·, ·).
Definición 19. (Matriz hessiana orlada)
Dada f : C → R, definimos, para r ≤ n, la matriz hessiana orlada de orden r
(correspondiente a f (·)) como la matriz

0


 ∂f
 ∂x1


Dr = 
 ∂f
 ∂x2
 .
 .
 .
∂f
∂xr
∂f
∂x1
∂f
∂x2
∂2f
∂x21
∂2f
∂x1 ∂x2
∂2f
∂x2 ∂x1
∂2f
∂x22
···
∂2f
∂xr ∂x1
∂2f
∂xr ∂x2
···
···
..
.
..
.
···
···
∂f
∂xr



∂2f 
∂x1 ∂xr 



∂2f 
∂x2 ∂xr 
.. 

. 
∂2f
∂x2r
Observe que una función de n variables tiene n matrices hessianas orladas D1 , D2 , . . . ,
Dn .
Teorema 27. (Caracterización de segundo orden para las funciones
cuasicóncavas)
Supongamos que f (·) es dos veces diferenciable con continuidad en C ⊆ Rn . Entonces:
a) Si las matrices hessianas orladas satisfacen (−1)r | Dr |> 0 para todo x en
C, y todo r = 1, 2, . . . , n entonces f (·) es cuasicóncava estricta en C.
A.14. Propiedades de las funciones cuasicóncavas
377
b) En el caso de dos variables, tendremos que f (·, ·) es cuasicóncava si la matriz
hessiana orlada


0 a c
a A B 
c B C
donde a =
∂f
∂f
∂2f
∂2f
∂2f
,c=
,A=
,
B
=
,
C
=
, satisface:
∂x
∂y
∂x2
∂x∂y
∂y 2
i) a > 0 y c > 0; ó, a < 0 y c < 0
ii) a2 C − 2acB + c2 A ≤ 0
Ejemplo 38.
Probemos mediante el criterio del hessiano orlado del teorema anterior, que la
función f (x, y) = xα y β , α, β > 0, es cuasicóncava en R2++ .
Solución.
Aquí, a = αxα−1 y β , c = βxα y β−1 , A = α(α − 1)xα−2 y β , B = αβxα−1 y β−1 ,
C = β(β − 1)xα y β−2 .
a) En primer lugar, es claro que a > 0 y c > 0.
b) Además, se tiene que
2
β(β − 1)xα y β−2
− 2 αxα−1 y β βxα y β−1 αβxα−1 y β−1
2
+ βxα y β−1
α(α − 1)xα−2 y β
a2 C − 2acB + c2 A = αxα−1 y β
= α2 β(β − 1)x3α−2 y 3β−2 − 2α2 β 2 x3α−2 y 3β−2
+ α(α − 1)β 2 x3α−2 y 3β−2
= −αβ(α + β)x3α−2 y 3β−2 < 0.
Por lo tanto, se tiene la cuasiconcavidad de f (·, ·).
f(x,y)
y
x
Figura A.36. La función f (x, y) = yex .
378
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
Ejemplo 39.
Podemos probar que f (x, y) = yex (figura A.36) es cuasicóncava en R2+ utilizando
el criterio del hessiano orlado. En efecto: aquí a = yex , c = ex , A = yex , B = ex ,
C = 0, y vemos que:
a) En primer lugar, a > 0 y c > 0.
b) Además,
2
2
a2 C − 2acB + c2 A = 0 (yex ) − 2 (yex ) (ex ) (ex ) + (ex ) (yex )
= −2ye3x + ye3x = −ye3x < 0
de tal forma que f (·, ·) es cuasicóncava.
A.15.
Multiplicadores de Lagrange
El método de los multiplicadores de Lagrange es la técnica tradicional para resolver
explícitamente problemas de optimización restringida cuando las funciones objetivo
y de restricción son diferenciables con continuidad en R2++ . Este método se centra
en la solución específica del problema
Maximizar
x,y>0
f (x, y)
sujeta a g(x, y) = 0
(L)
donde la restricción es de igualdad estricta. En adelante, a este problema lo denotaremos por (L).
Con el objeto de entender cuál es la idea básica del método de los multiplicadores
de Lagrange (Lagrange, 1788) tratemos de resolver el problema siguiente:
Maximizar
x,y>0
sujeta a
xy
3x + 4y = 5
En estos problemas de optimización restringida, a menudo las curvas de nivel son
de una gran ayuda visual para identificar la ubicación de las soluciones en el plano.
Recordemos que, en el primer cuadrante del plano, las curvas de nivel (isocuantas)
de la función f (x, y) = xy, son hipérbolas hacia el origen: para α > 0, xy = α
equivale a y = α/x (figura A.37a).
Y la restricción del problema es que se deben satisfacer las condiciones 3x + 4y = 5,
x, y > 0 (figura A.37b). Es decir, debemos buscar sobre el segmento de recta de la
figura A.37b, el punto (x∗ , y ∗ ) (ambos mayores que cero) que haga f (x, y) lo más
grande posible. Si superponemos la figura A.37a con la figura A.37b y observamos
la dirección de crecimiento de las curvas de nivel, encontramos la figura A.38.
A.15. El método de Lagrange
379
y
y
α=1
α = 0.5
α = 0.1
x
x
a)
b)
Figura A.37. Panel a): Curvas de nivel xy = α para distintos α’s. Panel b): Restricción
3x + 4y = 5, x, y > 0.
y
∇g
ȳ
∇f
∇f = λ∇g
y∗
x̄
x∗
x
Figura A.38. Curvas de nivel y recta de restricción.
Gráficamente, un punto como (x∗ , y ∗ ) en la figura A.38 resuelve nuestro problema.
¿Cómo hallarlo? Lagrange encontró que, precisamente en (x∗ , y ∗ ), los vectores gradientes ∇f (x∗ , y ∗ ) y ∇g(x∗ , y ∗ ) ¡son paralelos! y que esto sólo ocurre allí, como se
ve cuando comparamos el comportamiento de los gradientes ∇f y ∇g en los puntos
(x∗ , y ∗ ), con, por ejemplo, (x̄, ȳ). Esto es, existe un escalar λ tal que
∇f (x∗ , y ∗ ) = λ∇g(x∗ , y ∗ )
(9)
Y en honor del descubridor de esta importante condición, al número λ se le llama
multiplicador de Lagrange 11 .
11 El término “multiplicador de Lagrange” fue acuñado sólo hasta 1919 por Gillie A. Larew en el
artículo Necessary Conditions in the Problems of Mayer in the Calculus of Variations, publicado
en Transactions of the American Mathematical Society.
380
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
Definición 20. (Condiciones de primer orden (CPO) de Lagrange)
Si f (·) y g(·) son funciones diferenciables con continuidad en R2++ , y λ ∈ R,
definimos las condiciones de primer orden del problema de Lagrange (L) de la
siguiente forma:
∇f (x, y) = λ∇g(x, y)
g(x, y) = 0
o, equivalentemente,
∂f
∂g
=λ ,
∂x
∂x
∂f
∂g
=λ ,
∂y
∂y
g(x, y) = 0
(CPO)
Y ahora nos preguntamos cuándo funciona bien el método de Lagrange; es decir,
cuándo las soluciones al problema de optimización que tenemos a mano, realmente
están entre las soluciones encontradas por el método. La respuesta la encontramos
en el siguiente teorema:
Teorema 28. [Multiplicadores de Lagrange (Lagrange, 1788)]
Supongamos que f : R2++ → R y g : R2++ → R tienen derivadas parciales continuas.
Si (x∗ , y ∗ ) ∈ R2++ resuelve el problema
Maximizar
f (x, y)
x,y>0
sujeta a
g(x, y) = 0
(L)
entonces existe un número λ 6= 0 tal que
∇f (x∗ ,y∗ ) = λ∇g (x∗ ,y∗ )
siempre y cuando
∇g (x∗ ,y∗ ) 6= 0
Demostración.
Por el teorema de la función implícita se tiene, de g(x, y) = 0, que alrededor de
(x∗ , y ∗ ) existe una única función diferenciable y(x) tal que g(x, y(x)) = 0 y que,
además,
∂g/∂x
dy
=−
dx
∂g/∂y
en esa vecindad. Ahora: de la condición que surge de maximizar f (x, y(x)) en
(x∗ , y ∗ ), obtenemos que, en (x∗ , y ∗ ),
df =
∂f
∂f
dx +
dy = 0
∂x
∂y
−1
Luego, en (x∗ , y ∗ ),
∂f
∂x
∂g
∂x
∂f
=
∂y
∂g
∂y
−1
A.15. El método de Lagrange
Llamemos λ ≡
∂f
∂y
∂g
∂y
−1
y, de manera similar,
381
. Así, en (x∗ , y ∗ ),
(x∗ ,y ∗ )
∂f
∂f
=
∂x
∂y
∂g
∂y
−1
∂g
∂g
=λ
∂x
∂x
(∗)
∂f
∂f
=
∂y
∂x
∂g
∂x
−1
∂g
∂g
=λ .
∂y
∂y
(∗∗)
De (∗) y (∗∗) se obtiene que
o, lo que es igual,
∂f ∂f
,
∂x ∂y
=λ
∂g ∂g
,
∂x ∂y
∇f (x∗ ,y∗ ) = λ∇g (x∗ ,y∗ )
Nota 18. (Definición de lagrangiano12 )
Existe una forma equivalente de resolver el problema (L). Escribamos su lagrangiano, L(·), como la función L : R++ × R++ × R → R definida por L(x, y, λ) =
f (x, y) − λ g(x, y). Entonces el problema de optimizar L(x, y, λ) nos conduce al
problema (L). En efecto: las condiciones de primer orden para optimizar L(·) son
∂L
∂f
∂g
=
−λ
= 0,
∂x
∂x
∂x
∂L
∂f
∂g
=
−λ
= 0,
∂y
∂y
∂y
∂L
= −g(x, y) = 0
∂λ
y esto es,
∂g
∂f
=λ ,
∂x
∂x
∂f
∂g
=λ ,
∂y
∂y
g(x, y) = 0
o, de forma más simple,
∇f (·) = λ∇g(·);
g(·) = 0
que son las condiciones de solución del problema (L).
Ejemplo 40.
Resolvamos el problema
Maximizar
x,y>0
sujeta a
xy
3x + 4y = 5
utilizando las condiciones de primer orden de Lagrange (figura A.39).
12 Aunque la idea fundamental es de Lagrange (“Mécanique Analytique” (1788)), el término
“lagrangiano” fue acuñado, al parecer, por Samuel Zahl en 1964 en el artículo “A Deformation
Method for Quadratic Programming” (1964) que apareció en el Journal of the Royal Statistical
Society.
382
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
Solución.
Aquí, f (x, y) = xy, g(x, y) = 3x + 4y − 5. Ambas funciones tienen derivadas
parciales continuas; luego, por el teorema 28, si (x∗ , y ∗ ) resuelve este problema de
optimización, entonces existe un escalar λ 6= 0 tal que
∇f (x∗ , y ∗ ) = (y ∗ , x∗ ) = λ(3, 4) = λ∇g(x∗ , y ∗ )
o, equivalentemente, un λ 6= 0 tal que
x∗ = 4λ,
y ∗ = 3λ
5
Pero como 3x∗ + 4y ∗ = 5, entonces 3(4λ) + 4(3λ) = 5. Y así, λ = 24
. Por consiguiente,
5
5
x∗ = ,
y∗ =
6
8
Vemos que ∇g(x∗ , y ∗ ) = (3, 4) 6= (0, 0); por lo tanto, el punto (x∗ , y ∗ ) satisface
todas las condiciones del teorema 28. Dado que este punto es la única solución
a las CPO, debería ser la solución al problema. En efecto: puesto que el conjunto
S = (x, y) ∈ R2+ | 3x + 4y = 5 es compacto y la función objetivo f (x, y) = xy
es continua, por el teorema de Weierstrass13 existe solución al problema. Además,
como en los extremos del conjunto restricción, ( 53 , 0), (0, 45 ), la función no tiene su
máximo (pues su valor allí es 0, y variando un poco x y y podemos obtener más
25 [14]
que 0), el valor máximo de la función es f (x∗ , y ∗ ) = x∗ y ∗ = 56 58 = 48
.
y
solución
y ∗ = 5/8
x∗ = 5/6
x
Figura A.39. Solución gráfica del ejemplo 40.
13 El teorema de Weierstrass asegura que toda función real continua definida sobre un conjunto
compacto (cerrado y acotado) de Rn , tiene un valor máximo y un valor mínimo. Un conjunto
compacto en Rn es un conjunto cerrado y acotado. Recordemos que un conjunto cerrado en
Rn es uno en el que si una sucesión {xn } de puntos de ese conjunto converge a algún punto
x en Rn entonces x también pertenece al conjunto; y, de otro lado, un conjunto acotado en
Rn es un conjunto que está incluido en una “bola” de la forma {x = (x1 , x, . . . , xn ) ∈ Rn |
(x1 − a1 )2 + (x2 − a2 )2 + · · · + (xn − an )2 < r} para ciertos (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ Rn , r > 0 fijos.
14 ¿El lector podría explicar por qué en la solución (x∗ , y ∗ ) se tiene y ∗ < x∗ ?
A.15. El método de Lagrange
383
Ejemplo 41.
También podemos utilizar la técnica de Lagrange para resolver el problema de
optimización
Maximizar
x,y>0
sujeta a
x+y
x2 + y 2 = 1
Solución.
Aquí, f (x, y) = x + y, g(x, y) = x2 + y 2 − 1, y dado que ambas funciones tienen
derivadas parciales continuas, buscamos un número λ 6= 0 tal que
∇f (x, y) = λ ∇g(x, y)
Es decir,
(1, 1) = λ(2x, 2y)
o,
2λx = 1,
2λy = 1
Es claro que λ 6= 0; y puesto que x2 + y 2 = 1, entonces
1
2λ
2
+
1
2λ
2
=1
Por lo tanto, λ2 = 12 y tendremos que λ = ± √12 . Como debe ser x > 0, y > 0,
entonces la solución a las CPO es:
√
2
∗
∗
x =y =
2
√ √ y ya que esta es la única solución a las CPO y satisface ∇g(x∗ , y ∗ ) =
2, 2 que
es distinta de (0, 0), debería ser la solución al problema, tal como se ilustra en la
figura A.40. En efecto: puesto que el conjunto
S = (x, y) ∈ R2+ | x2 + y 2 = 1
es compacto y f (x, y) = x + y es continua en S, por el teorema de
Weierstrass existe solución al problema; además, dado que en los extremos del
conjunto, (0, 1) y (1, 0), la función objetivo f (x, y) no toma su valor máximo
so√
√
bre S, entonces el valor máximo es el previsto: f (x∗ , y ∗ ) = x∗ + y ∗ = 22 + 22
√
= 2 [15] .
15 ¿El lector podría explicar por qué x∗ = y ∗ ? Es decir, ¿cuáles de las características del problema
hacen que las soluciones sean iguales?
384
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
y
solución
y∗ =
√
2
2
b
x∗ =
x
√
2
2
Figura A.40. Solución gráfica del ejemplo 41.
Ejemplo 42. (Un problema geométrico)
Para encontrar, entre todos los rectángulos inscritos en un círculo de radio R, el que
tiene mayor área, podemos representar el área de un rectángulo como el producto
(2x)(2y) de sus lados, donde x, y son números positivos que satisfacen la ecuación
x2 + y 2 = R2 (figura A.41a). Este problema se puede solucionar convirtiéndolo en
el problema representado en la figura A.41b. El problema es, entonces,
Maximizar
xy
x,y>0
x2 + y 2 = R2
sujeta a
Aquí, f (x, y) = xy, g(x, y) = x2 + y 2 − R2 , y dado que ambas funciones tienen
derivadas parciales continuas, queremos encontrar un λ 6= 0 tal que
∇f (x, y) = λ∇g(x, y)
Es decir,
∇f (x, y) = (y, x) = λ(2x, 2y) = λ∇g(x, y)
Así, y = 2xλ y x = 2yλ, por lo que x∗ = y ∗ . Reemplazando esto en la restricción
g(x, y) = 0, tenemos que
(x∗ )2 + (y ∗ )2 = 2(x∗ )2 = R2
y, por consiguiente,
∗
∗
x =y =
√
2R
2
√
√
Como ∇g(x∗ , y ∗ ) = ( 2R, 2R) 6= (0, 0) y esta es la única solución a las CPO,
debe entonces ser (después de aplicar el teorema de Weierstrass y estudiar los
valores de la función objetivo en los dos extremos de la restricción) la solución
al
√
problema. Así, el problema original se resuelve con un cuadrado de lado 2 R, que,
por consiguiente, tendrá área 2R2 .
A.15. El método de Lagrange
385
y
solución
R
y
y∗ =
√
2R
2
b
x
x∗ =
√
2R
2
x
b)
a)
Figura A.41. En el panel a): rectángulo inscrito en un círculo de radio R. En el panel b):
transformación y solución gráfica del ejemplo 42.
Ejemplo 43. (Otro problema geométrico)
Queremos encontrar el diseño de un tanque cilíndrico que contenga V litros de
agua, pero que utilice la menor cantidad de material en su construcción.
Solución.
La cantidad de material que se utiliza es igual a la suma de las áreas de la base y
de la pared del tanque; esto es, πr2 + 2πrh, donde r es el radio del cilindro y h su
altura. El volumen del tanque es πr2 h. Así, el problema es
Minimizar
πr2 + 2πrh
sujeta a
πr2 h = V
r,h>0
Aquí, f (r, h) = −(πr2 + 2πrh), g(r, h) = πr2 h − V ; por lo tanto, se satisfacen las
condiciones del teorema de Lagrange, de manera que las soluciones (que existen
por el teorema de Weierstrass, y no pueden ser soluciones con r = 0 ó h = 0) deben
estar entre las soluciones de las condiciones de primer orden, las cuales son
−(2πr + 2πh, 2πr) = λ(2πrh, πr2 )
Esto es equivalente a
−2πr − 2πh = λ2πrh,
−2πr = λπr2
lo que implica que λ = − 2r 6= 0; y así, r∗ = h∗ ; de esto, reemplazando en la
restricción, obtenemos
p
r∗ = h∗ = 3 V /π
Como
se satisface ∇g(x∗ , y ∗ ) 6= (0, 0), la cantidad óptima de material a usar es
√
3
2
3 πV .
386
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
Ejemplo 44. (La ley de la refracción de la luz [Ley de Snell (Snell, 1627)])
Un punto móvil debe pasar de A a B (figura A.42). En la trayectoria AM se mueve
con velocidad v1 , y en la M B con velocidad v2 . ¿Dónde deberíamos colocar el
punto M sobre la línea horizontal DD′ para que la trayectoria de A hasta B pueda
recorrerse lo más rápido posible?
Solución.
Sean α, β los ángulos desconocidos señalados en la figura A.42; a y b las longitudes
conocidas de las perpendiculares de los puntos A y B a la línea horizontal DD′ ,
respectivamente; y c la distancia horizontal conocida entre tales puntos. El tiempo
requerido para recorrer el camino de A a B está dado por la función
t(α, β) =
a
b
+
v1 cos α v2 cos β
0 < α, β < π/2
Se requiere entonces encontrar el mínimo de la función t (α, β) sujeta a la relación
entre los ángulos
a tan α + b tan β = c
Aquí, la función objetivo t(α, β) es continua, el conjunto restricción es compacto y,
por tanto, el problema cumple las condiciones del teorema de Weierstrass para que
tenga solución. Además, ninguna solución está en los extremos de la restricción,
como fácilmente puede comprobar el lector. Así, dado que se cumplen las condiciones del teorema de Lagrange, la solución debe satisfacer las condiciones de primer
orden
a
b sen β
b
a sen α
=λ
,−
,
− −
v1 cos2 α v2 cos2 β
cos2 α cos2 β
A
a
α
α
D′
M
D
β
b
β
B
c
Figura A.42. Ley de la refracción de la luz.
Y esto, con un poco de álgebra, implica que
sen α
v1
=
sen β
v2
A.15. El método de Lagrange
387
que es, precisamente, la ley de refracción de la luz. Según esto, un rayo de luz se
refractará en su paso de un medio a otro de tal forma que el tiempo que transcurre
de un punto en un medio, a otro punto en el otro medio, ¡sea mínimo!
Ejemplo 45.
Resolvamos para α, β > 0, p1 , p2 > 0 fijos,
xα y β
Maximizar
x,y>0
sujeta a
p1 x + p2 y = M
Solución.
Las condiciones de primer orden (CPO) de este problema son:
αxα−1 y β , βxα y β−1 = λ(−p1 , −p2 )
donde λ 6= 0. De allí obtenemos que
αy
p1
=
βx
p2
De esta igualdad despejemos y:
y=
p1 β
x
p2 α
y reemplacemos en la restricción, de forma que (figura A.43)
x∗ =
αM
(α + β)p1
y∗ =
βM
(α + β)p2
y, por tanto,
y
solución
βM
y ∗ = (α+β)p
b
2
αM
x∗ = (α+β)p
x
1
Figura A.43. Solución gráfica del ejemplo 45.
388
Las matemáticas de la teoría del equilibrio parcial
Como se cumple ∇g(x∗ , y ∗ ) = (−p1 , −p2 ) 6= (0, 0), y (x∗ , y ∗ ) es la única solución de las CPO, ella es la solución al problema. Podemos afirmar esto, dado que
el conjunto S = (x, y) ∈ R2+ | p1 x + p2 y = M es compacto, la función objetivo
f (x, y) = xα y β es continua y no es máxima en los bordes del conjunto de restricción
(teorema de Weierstrass). El máximo aquí viene dado entonces por:
α β
αM
αα β β M α+β
βM
.
f (x∗ , y ∗ ) =
=
β
(α + β)p1
(α + β)p2
(α + β)α+β pα
1 p2
Vemos que este resultado generaliza el ejemplo 40.
Ejemplo 46.
Resolvamos el problema
Maximizar
x,y>0
sujeta a
xy
x + xy + y 3 = 1
Solución.
En este caso f (x, y) = xy, g(x, y) = x + xy + y 3 − 1. Vemos que la función objetivo
es continua y que el conjunto restricción {(x, y) ∈ R2+ | x+xy+y 3 = 1} es compacto,
de tal forma que, por el teorema de Weierstrass, el problema tiene solución. Dado
que el óptimo no puede estar en los bordes del conjunto restricción, y como, además,
las derivadas parciales son continuas, la solución debe estar entre las condiciones
de primer orden, las cuales vienen dadas por:
(y, x) = λ(1 + y, x + 3y 2 )
de lo cual se obtiene
o, lo que es equivalente,
1+y
y
=
x
x + 3y 2
3y 3 = x
Reemplazando en la restricción obtenemos 3y 4 + 4y 3 = 1, lo que implica que
y ∗ = 0.56 y así, x∗ = 0.53
Dado que ∇g(x∗ , y ∗ ) 6= (0, 0), hemos encontrado el punto óptimo.
A.16.
El teorema de punto fijo de Brouwer
Los teoremas de punto fijo son herramientas que están profundamente enraizadas
en la naturaleza topológica y algebraica de Rn . Establecen, de hecho, interrelaciones entre las nociones de convexidad y continuidad, y ayudan a reducir, en cierta
medida, los comportamientos no lineales a descripciones lineales del problema en
estudio. Aquí presentaremos sólo uno de ellos: el teorema de punto fijo de Brouwer. Si el lector está interesado en estudiar más sobre puntos fijos, puede consultar
Monsalve (ed.) (2010), volumen III.
A.16. El teorema de punto fijo de Brouwer
389
Teorema 29. [Teorema de punto fijo de Brouwer (Brouwer, 1912)]
Supongamos que S es un subconjunto no vacío, compacto y convexo en Rn . Si
ϕ : S → S es una función continua, entonces ϕ(·) tiene al menos un punto fijo; es
decir, existe x∗ tal que ϕ(x∗ ) = x∗ (figura A.44).
y=x
y
1
b
y = ϕ(x)
1
x∗
x
Figura A.44. Teorema de punto fijo de Brouwer.
Ejemplo 47. (Ejemplos de puntos fijos)
a) Sea f : [0, 1] → [0, 1] definida por f (x) = x2 . Entonces los puntos fijos se
hallan resolviendo la ecuación x2 = x que nos lleva a dos puntos fijos: x∗ = 0,
x∗ = 1.
b) Sea ∆2 el simplex unitario en R2 , es decir, △2 = {(x1 , x2 ) ∈ R2+ | x1 +x2 = 1}
(que es un conjunto no vacío, compacto y convexo), y definamos f : ∆2 → ∆2
mediante
3x2
4x1
,
f (x1 , x2 ) =
x1 + 3 x1 + 3
que es una función continua. Los puntos fijos aparecen al resolver la igualdad
4x1
3x2
= (x1 , x2 )
,
x1 + 3 x1 + 3
la que nos lleva a
4x1
= x1
x1 + 3
;
3x2
= x2
x1 + 3
o a (x1 )2 = x1 , x1 x2 = 0. Y así, los puntos fijos son todos los puntos de la
forma (0, x2 ) para x2 ∈ [0, 1], y el punto aislado (1, 0).
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Respuestas y sugerencias a algunos problemas impares1
Semana 1
1. a) Si una canasta (x, y) tiene nivel de utilidad U0 y también nivel de utilidad U1 , entonces
U0 = U1 .
b) Debido a que la restricción presupuestaria y las preferencias son independientes en la
definición del consumidor presentada en el texto, dos hogares con distintas preferencias
pueden recibir el mismo ingreso y enfrentar los mismos precios de mercado.
c) En algunos casos se puede considerar como “unidad” una agrupación de bienes; un ejemplo de ello son las cubetas de huevos. Pero el problema aquí es que debe diferenciarse
claramente la cubeta de (digamos) 12 huevos y 12 huevos comprados al menudeo. Por
ejemplo, la primera trae un empaque resistente a los golpes que la hace un bien compuesto, mientras que el segundo simplemente son 12 huevos tomados aisladamente. Pero
nótese que bajo competencia perfecta, una bolsa con 12 huevos debe valer exactamente
doce veces más que una sola bolsa con un huevo, pues en caso contrario, el vendedor
estaría manipulando precios: vender más barato por docenas no es una práctica afín a
la competencia perfecta.
3) A partir de la información dada en el ejercicio, puede encontrarse la restricción presupuestal
inicial la cual es una línea recta que pasa por el punto (x, y) = (100, 50) y su pendiente,
en valor absoluto, es la relación inicial de precios entre x e y. Este mismo procedimiento
puede usarse para encontrar la segunda restricción presupuestal, luego de que el precio del
bien x pasara de 2 a 3. De esta forma se encuentra que el presupuesto mínimo suficiente
para adquirir la canasta (100, 50) es 2 × 100 + 4 × 50 = 400 con la relación de precios inicial,
y 3 × 100 + 4 × 50 = 500 con la segunda relación de precios. Por lo tanto, el presupuesto de
Mabel debe aumentar en 100 para que pueda adquirir la canasta (100, 50) con la segunda
relación de precios.
5) a) Para la función U (x, y) = Mín{x, y} tenemos que:
a) Sugerencia: las curvas de nivel son de la forma:
1 Este solucionario fue preparado y revisado por los economistas de la Universidad Nacional de
Colombia-Bogotá, Diego Ávila, Andrés Gallegos y Alejandra Ramírez. A ellos mis agradecimientos.
403
404
Respuestas y sugerencias a algunos problemas impares
y
x
b) Al aplicar la ecuación resultante del ejemplo 4, obtenemos que x∗ = y ∗ = 13.3. No
existe una canasta de bienes que logre un nivel de utilidad de 150.
c) No existe una canasta de bienes con la que logre alcanzar un nivel de utilidad de
300.
d) La utilidad máxima que alcanza es de 13.3; por lo tanto, no existe una canasta de
bienes que alcance valores mayores a 150.
e) Julián puede dejar de consumir hasta 42 bananos y aún así se mantendría en un
nivel de utilidad de 8.
c) Para la función de utilidad U (x, y) = x1/2 + y se tiene que:
a) Sugerencia: las curvas de nivel son de la forma:
y
x
b) Logrará alcanzar una utilidad de 20.5. Por lo tanto, no se cuenta con una combinación de los bienes (x y y) con la que se pueda lograr un nivel de utilidad de
150.
c) No existe una canasta que logre un nivel de utilidad igual a 300.
d) Por el criterio de monotonicidad, si no alcanza un nivel de utilidad de 150 como se
argumenta en el literal b), no puede alcanzar niveles mayores de utilidad.
7) Un aumento en el consumo de queso (y) es indiferente en la utilidad de Jorge Luis. Sin
embargo, un aumento en la cantidad de pan (x) sí conduce a un incremento en la utilidad.
Es por ello que las curvas de nivel no se alteran ante cambios en las cantidades de y,
pero sí ante cambios en las cantidades de x. Esto da como resultado curvas de indiferencia
verticales.
9) Si los precios son distintos, únicamente existirán soluciones de esquina, donde sólo consumirá el bien que tenga un menor precio. Si los precios de ambos bienes son iguales podrá
consumir entre dos canastas indiferentes, pero continuará consumiendo un sólo bien. Obviamente, a Mercy no le gusta mezclar en el consumo.
Semana 1
405
y
x
11) a) Sí: se puede analizar como un “bien” ya que el consumidor (de cocaína, alcohol, tabaco
o alimentos altos en colesterol) demanda estos productos independientemente de sus
efectos secundarios. Quienes consumen usualmente estos “bienes” desean satisfacer un
gusto y, posiblemente, ante un aumento de su ingreso, demandarán más de estos.
c) El problema es Maximizar U (1, y) sujeta a p1 + p2 y = M , cuyas demandas son x∗ = 1
y y ∗ = (M − p1 )/p2 . Notemos que y ∗ > 0 sólo si M > p1 . Si M < p1 entonces el
problema es Maximizar U (0, y) sujeta a p1 (0) + p2 y = M y así, x∗ = 0, y ∗ = M/p2 .
13) La curva de demanda agregada inversa sería p = a − bx/N donde x es la demanda agregada
total de los N consumidores. Notemos que si mantenemos fijo un nivel dado de precio y
aumentamos la cantidad de consumidores N , entonces la cantidad total demandada en el
mercado x se multiplica en la misma cantidad. La implicación de esta fórmula es que, si el
número de consumidores es “muy grande ”, entonces la curva de demanda se convertiría
en una perfectamente elástica, en la que todos los N consumidores estarían dispuestos a
comprar el bien a un precio menor que a, pero si el precio excede el valor de a entonces la
demanda se reduce a 0.
15) Luego de resolver el problema con el procedimiento explicado en la sección 1.6 tenemos
que:
2µM p1 + βp22 − γp1 p2
x =
∗
+
y∗ =
− 4 −δp22 − µp21
2 δp22 + µp21
βp22
µM p1
γp1 p2
−
+
2
2
2
δp2 + µp1
2 δp2 + µp21
2 δp22 + µp21
−p1
+
2
2µM p1 + βp22 − γp1 p2
2
−µM 2 + γM p2 + αp22
− 4 −δp22 − µp21
2
2p2 δp22 + µp1
1/2
−µM 2 + γM p2 + αp22
1/2
γp21
µM p21
M
βp2 p1
−
+
−
p2
2 δp22 + µp21
2 δp22 + µp21
p2 δp22 + µp21
con α, β, δ, γ, µ > 0. Estas demandas pueden no existir para ciertos valores de los parámetros y ciertos precios. De hecho, las funciones de utilidad tipo Gossen permiten modelar
casos de saciedad en el consumo, en los que la canasta (x∗ , y ∗ ) no necesariamente está sobre la recta presupuestaria, sino que puede ser una solución interna al problema de
maximización de la utilidad.
17) Recurriendo al método de los multiplicadores de Lagrange obtenemos que:
x =−
∗
ln
p1
p2
a
;
ln pp1 p1
M
2
y =
+
p2
p2
∗
Note que estas demandas, para ciertos parámetros en precios y constantes, pueden no existir. Además, respondiendo la pregunta planteada, aunque U (x) sea negativa, es adecuada
como función de utilidad porque es creciente, y eso implica que a mayor consumo del bien
x el consumidor experimenta una mayor utilidad (o, lo que es lo mismo en este caso, una
406
Respuestas y sugerencias a algunos problemas impares
menor "desutilidad.o pérdida). En la teoría ordinal de la utilidad (ver nota histórica de la
semana 2), no es importante el valor numérico que se obtiene de la función de utilidad (que
puede ser positivo o negativo), sino cómo este valor se compara en términos de magnitud,
a las utilidades obtenidas de otras canastas. En este caso, una canasta X es preferida que
una canasta Y si U (X) > U (Y ), sin importar si U (X) y U (Y ) son números positivos,
negativos, o incluso cero, desde que se cumpla la desigualdad.
19) Utilizando un procedimiento similar al del Ejemplo 4, de la presente semana 1, encontramos
que las demandas marshallianas están determinadas por:
(x , y ) =
∗
∗
(x, 2x)
x, x2
para x ∈ R+ si px ⩾ py
para x ∈ R+ si px ⩽ py
Con ayuda de la figura anterior podemos evidenciar la no-convexidad al origen en las
preferencias.
21) Desarrollando un proceso de optimización para cada uno de los casos y haciendo x∗ y ∗ = y ∗
para encontrar aquellos puntos donde las demandas marshallianas proporcionan el mismo
nivel de utilidad, obtenemos que ellas están definidas por:
(x∗ , y ∗ ) =

M M


,


 2p1 2p2
 M 


 0, p
2
Semana 2
si M ⩾ 4p1
si M ⩽ 4p1
1) De manera resumida se muestran los resultados para cada una de las funciones de utilidad
propuestas:
√
a) U (x, y) = 3 x + 4y + 1
Demandas marshallianas:
x∗ =
9p22
64p21
;
y∗ =
9p2
M
−
p2
64p1
Función de utilidad indirecta:
V (M, p1 , p2 ) =
Función de gasto:
e=
4M
9p2
+
+1
p2
16p1
9p22
p2
p2 U 0
−
−
4
64p1
4
Semana 2
407
Demandas hicksianas:
9p22
h1 =
;
64p21
h2 =
18p2
1
U0
−
−
4
64p1
4
c) U (x, y) = ln(1 + x) + y
Demandas marshallianas:
p2 − p1
p1
x∗ =
;
y∗ =
M + p1 − p2
p2
Función de utilidad indirecta:
p1
M
+
+ ln
p2
p2
e = p2 − ln
p2
−1
p1
;
V (M, p1 , p2 ) =
Función de gasto:
Demandas hicksianas:
h1 =
p2
p1
p2
p1
−1
+ U 0 + 1 − p1
h2 = U0 − ln
e) U (x, y) = Mín{x − 1, y − 2}; x ⩾ 1, y ⩾ 2
p2
p1
Demandas marshallianas:
x∗ =
M − p2
p1 + p2
;
y∗ =
M + p1
p1 + p2
Función de utilidad indirecta:
V (M, p1 , p2 ) =
M − p2
−1
p1 + p2
Función de gasto:
e = p1 (U0 + 1) + p2 (U0 + 2)
Demandas hicksianas:
h1 = U 0 + 1
g)
;
h2 = U 0 + 2
U (x, y) = yex
Demandas marshallianas:
x∗ =
M − p1
p1
;
y∗ =
p1
p2
Función de utilidad indirecta:
V (M, p1 , p2 ) =
Función de gasto:
h
i
e = p1 log
Demandas hicksianas:
h1 = ln
i) U (x, y) =
√
x−1+
√
p2 U0
p1
y − 4; x ⩾ 1, y ⩾ 4
p1 e
M −p1
p1
p2
p2 U0
p1
;
+1
h2 =
p1
p2
Demandas marshallianas:
x∗ =
p2 (M − p1 − 4p2 )
p1 (p1 + p2 )
;
y∗ =
p1 (M − p1 − 4p2 )
p2 (p1 + p2 )
408
Respuestas y sugerencias a algunos problemas impares
Función de utilidad indirecta:
V (M, p1 , p2 ) =
Función de gasto:
r
p2 (M − p1 − 4p2 )
+
p1 (p1 + p2 )
p1 + p2
Demandas hicksianas:
p22 U02 + 1 + p21 + 2p2 p1
;
(p1 + p2 )2
k) U (x, y) = U (x) + y
p1 (M − p1 − 4p2 )
p2 (p1 + p2 )
p2 p1 U02 + 5 + p21 + 4p22
e=
h1 =
r
h2 =
p21 U02 + 4 + 8p2 p1 + 4p22
(p1 + p2 )2
Demandas marshallianas:
x∗ = −
p1 ∂U −1 (x)
p2
∂x
;
y∗ =
∂U −1 (x)
∂x
p22
M p2 + p21
Función de utilidad indirecta:
V (M, p1 , p2 ) =
p2 M − p1
∂U −1 (x)
∂x
p22
+ p21
∂U −1 (x)
∂x
Función de gasto:
p2
e=− 1
∂U −1 (x)
∂x
p2
+ p1
∂U −1 (x)
+ p2 U 0
∂x
Demandas hicksianas:
∂U −1 (x)
h1 =
2p1
∂U −1 (x)
∂x
−
∂x
p2
;
h2 =
p21
∂U −1 (x)
∂x
p22
+ U0
m) U (x, y) = x2 + y 2
Si p1 > p2 :
• Demandas marshallianas:
x∗ =
M
p1
;
• Función de gasto:
y∗ = 0
• Función de utilidad indirecta:
V (M, p1 , p2 ) =
M
p1
e=
U0
p1
• Demandas hicksianas:
h1 = −
U0
p21
;
h2 = 0
Si p1 < p2 :
• Demandas marshallianas:
• Función de gasto:
M
y =
p2
e=
x =0
∗
;
∗
• Función de utilidad indirecta:
V (M, p1 , p2 ) =
M
p2
U0
p2
• Demandas hicksianas:
h1 = 0
;
h2 = −
U0
p22
Semana 2
409
Si p1 = p2 :
• Función de gasto:
• Demandas marshallianas:
h
x∗ ∈ 0,
M
p1
i
;
y∗ =
M
− x∗
p1
• Función de utilidad indirecta:
M
M
=
V (M, p1 , p2 ) =
p1
p2
U0
U0
=
p1
p2
e=
• Demandas hicksianas:
h1 ∈ −
U0
,0
p21
; h2 = −
U0
− h1
p21
3) Por medio del algoritmo estudiado en la semana 2, obtenemos los siguientes resultados
para cada una de las funciones sugeridas:
U (x, y) = 2 ln(1 + x) + 3 ln(1 + y)
x∗ = 9
•
• y ∗ = 43
2
U (x, y) = (1 + x)2 (1 + y)3
• x∗ = 9
• y ∗ = 43
2
Las respuestas son iguales porque la segunda función de utilidad es el logaritmo natural de la primera función de utilidad y estas transformaciones no cambian las demandas
marshallianas.
5) Por las demandas hicksianas, determinamos que el subsidio
debe dar al consumidor
que se le400
para que permanezca en el mismo nivel de utilidad 207
es
de
$
≈ $57.1429.
7
7
y
Aumento
de M
Aumento de p1
x
7) En un análisis comparativo y encontrando las demandas marshallianas podemos determinar
que:
a) Para la función U (x, y) = 3xy se tiene que el nivel de utilidad es mayor cuando hay un
aumento de una unidad en el presupuesto (M ) frente a un aumento de una unidad del
bien x.
c) Para la función U (x, y) = 3x1/2 + y 1/2 se tiene que el nivel de utilidad es mayor cuando
hay un aumento de una unidad en el presupuesto (M ) frente a un aumento de una
unidad del bien x.
9) De manera similar al análisis desarrollado en el numeral 7) encontramos que:
410
Respuestas y sugerencias a algunos problemas impares
a) Con la función U (x, y) = 3xy se tiene un beneficio mayor ante un aumento en 1 % en el
presupuesto (M ) que ante una reducción en la misma proporción en el precio del bien
x.
c) Igual situación que en a).
11) Por el ejemplo 4 de la semana 2, tenemos que:
x∗ = h∗1 =
y tomando p2 = 1 llegamos a que:
x∗ = h∗1 =
p2
2p1
2
1
4p21
De aquí resulta que ambas demandas tienen la misma pendiente. Esto se da debido a que el
consumidor que presenta este tipo de demandas, maximiza su utilidad del bien x cuando la
utilidad marginal sea igual al precio de mercado. Por ello, ante un cambio en el presupuesto
M las demandas marshallianas y las demandas hicksianas no se ven afectadas. Con esto, el
consumidor, ante un aumento en el presupuesto ceteris paribus, aumentará su “ahorro” o su
consumo en otros mercados, dependiendo de cómo se interprete y (“dinero”). Sin embargo,
cuando la utilidad marginal del bien x sobrepasa el precio de mercado p1 , la demanda por
este bien x no se ve afectada ante cambios de M ; por otro lado, ante cambios en la relación
de precios, la demanda por el bien x se ve modificada. Por esto, las demandas hicksianas,
en general, tienen mayor pendiente.
13) Partiendo de la función
V (p1 , p2 , M ) = U (x(p1 , p2 , M ), y(p1 , p2 , M ))
(*)
derivando respecto a p1 y conociendo que la función de demanda cumple con las condiciones
de primer orden del lagrangiano, llegamos a:
∂x(p1 , p2 , M )
∂y(p1 , p2 , M )
∂V (p1 , p2 , M )
= λ p1
+ p2
(**)
∂p1
∂p1
∂p1
Ahora recurriendo a las condiciones de primer orden de la función de demanda respecto a
p1 tenemos:
x(p1 , p2 , M ) + p1
∂x(p1 , p2 , M )
∂y(p1 , p2 , M )
+ p2
∂p1
∂p1
Incorporando está igualdad en (∗∗) llegamos a:
=0
∂V (p1 , p2 , M )
= −λx(p1 , p2 , M )
∂p1
Por otro lado, derivando (∗) con respecto a m:
(1)
∂x(p1 , p2 , M )
∂y(p1 , p2 , M )
∂V (p1 , p2 , M )
= λ p1
+ p2
∂m
∂m
∂m
Ahora derivando la restricción presupuestaria con respecto a m obtenemos:
∂y(p1 , p2 , M )
∂x(p1 , p2 , M )
+ p2
∂m
∂m
Insertando en (∗ ∗ ∗) tenemos que:
p1
∂V (p1 , p2 , M )
=λ
∂m
Ahora combinando (1) y (2) llegamos a la identidad de Roy:
∂V (p1 ,p2 ,M )
∂p1
∂V (p1 ,p2 ,M )
∂m
=−
λx(p1 , p2 , M )
λ
∂V (p1 ,p2 ,M )
∂p
x(p1 , p2 , M ) = − ∂V (p ,p1 ,M )
1
2
∂m
(***)
−1=0
(2)
Semana 3
15)
411
a)
i) Satisface las cinco propiedades.
ii) También satisface las cinco propiedades.
iii) Satisface todas las propiedades excepto continuidad.
c)
β
α β
i) (x1 , y1 ) % (x2 , y2 ) si, y sólo si, xα
1 y1 ⩾ x2 y2 con α, β > 0
ii) (x1 , y1 ) % (x2 , y2 ) si, y sólo si, Mín{x1 , y1 } ⩾ Mín{x2 , y2 }
β
β
α
iii) (x1 , y1 ) % (x2 , y2 ) si, y sólo si, xα
1 + y1 ⩾ x2 + y2 con α, β > 0
iv) (x1 , y1 ) % (x2 , y2 ) si, y sólo si, U (x1 ) + y1 ⩾ U (x2 ) + y2
v) (x1 , y1 ) % (x2 , y2 ) si, y sólo si, x1 + y1 ⩾ x2 + y2
e) (x1 , y1 ) ∼ (x2 , y2 ) si, y sólo si, (x1 , y1 ) % (x2 , y2 ) y (x2 , y2 ) % (x1 , y1 )
Semana 3
1) Al calcularse las elasticidades en términos porcentuales, las unidades de medida (kilos,
docenas, etc.) se eliminan y pueden compararse de manera sencilla para bienes de distinta
naturaleza.
3) a) La función de utilidad de tipo lineal es usualmente utilizada para modelar bienes sustitutos. Por ello, cualquier función homogénea conformada a partir de U (x, y) = x + y/5
cumple con la condición descrita.
5) La elasticidad-ingreso de los bienes normales tiene signo positivo. Es decir, ante un aumento
en el ingreso, la demanda por este bien también aumentará. Caso contrario cuando se
analizan bienes inferiores, ya que su elasticidad-ingreso es negativa.
7) Puesto que s1 = p1Mx
∗
entonces:
∗
x∗ + p1 dx
ds1
dp1
=
>0
dp1
M
si x∗ + p1 dx
dp
∗
1
> 0; es decir, si
dx∗
dp1
p1
( x∗ ) > −1 ó, lo que es lo mismo, si x es inelástica
ds1
con respecto a p1 . De la misma forma puede mostrarse que dp
< 0 si la demanda por x
1
es elástica.
9) a) En el siguiente cuadro presentamos cada uno de los casos:
Elasticidad-precio
Elasticidad ingreso
Si p1 < 25 p2
εx,p1 = −1, εy,p2 = 0
εx,M = 1, εy,M = 0
Si p1 = 25 p2
εx,p1 y εy,p2 son infinitas
εx,M y εy,M son infinitas
Si p1 > 25 p2
εx,p1 = 0, εy,p2 = −1
εx,M = 0, εy,M = 1
Podemos concluir que los bienes x y y (ye) no son bienes sustitutos brutos y tampoco
bienes sustitutos netos. De hecho, son bienes sustitutos perfectos.
c)
Elasticidad-precio (a partir de las demandas marshallianas):
εx,p1 = −
Elasticidad ingreso:
M
M − p1
εx,M = −
M
M − p1
εy,p2 = −1
,
,
εy,M = 0
412
Respuestas y sugerencias a algunos problemas impares
e)
Elasticidad-precio (a partir de las demandas marshallianas):
εx,p1 =
U ′ (x)−1 p1
,
xp2
εy,p2 =
2M
U ′ (x)−1 y
Elasticidad ingreso:
εx,M = 0 ,
εy,M =
M
U ′ (x)
−1
y
se obtiene, tomando logaritmos naturales, que:
11) De x = 2M
3p
ln(x) = ln(2M ) − ln(3p) = ln
Si hacemos X = ln(x), a = ln
2M
3
2M
3
p2
p1
p2
p1
2
2
− ln(p)
, b = 1, se obtiene lo pedido.
13) a) Proporciones de la renta para la función U (x, y) = 2x + 5y:
Proporción de la renta
Si p1 < 52 p2
s1 = 1
Si p1 = 52 p2
s1 ∈ [0, 1]
Si p1 > 52 p2
s1 = 0
;
;
s2 = 0
s2 = 1 − s1
;
s2 = 1
c) Proporciones de la renta para la función U (x, y) = yex :
s1 =
M − p1
M
;
s2 =
p1
M
e) Proporciones de la renta para la función U (x, y) = U (x) + y:
s1 =
p21 U ′(−1) (x)
M p2
;
s2 = 1 −
p21 U ′(−1) (x)
M p2
15) a) La elasticidad-precio de x respecto a p1 es:
εx,p1 = −
p1
2x
c) La figura correspondiente es:
x
p1
17) Es falso. Un contraejemplo se da cuando la función de utilidad es U (x, y) = (x)1/2 + y
debido a que e1 = −2 pero s1 = (p2 )2 4M p1 .
Semana 4
413
Semana 4
1) Para la función de utilidad U (x, y) = x + y con restricción presupuestal 2x + 3y = 18 tenemos
que su descripción gráfica es:
y
Solución
x
a) Las demandas marshallianas de los bienes x y y son (x∗ , y ∗ ) = (9, 0), alcanzando una
utilidad de U (9, 0) = 9.
b) Para mantener el mismo nivel de utilidad ante un aumento del 25 % en el precio del bien x
se requiere de un aumento en el ingreso (M ) de 4.5 unidades. No existe efecto sustitución
y esto se debe a la forma que tiene la función de utilidad.
c) Un aumento del 100 % lleva a que la demanda del bien x sea de 0 unidades y pase a
demandar únicamente el bien y. Para mantener el nivel de utilidad inicial es necesario un
aumento en el ingreso (M ) de 9 unidades. En este orden de ideas, inicialmente se presenta
un efecto sustitución y posteriormente un efecto ingreso.
3) a) Falso: en el caso de los bienes Giffen, el efecto sustitución puede llegar a ser positivo.
b) Verdadero: el efecto ingreso y el efecto sustitución son complementarios.
c) Verdadero: para que un bien sea considerado Giffen debe ser un bien inferior.
5)
a) Las demandas marshallianas son:
x∗ =
M − p1
2p1
;
y∗ =
M + p1
2p2
De esto podemos concluir que cambios en el precio p2 del bien y (ye) no tienen incidencia
en las cantidades demandadas de x. Por otro lado, alteraciones en el precio p1 del bien
x modifican las cantidades demandadas del bien y (ye) en el mismo sentido. En otras
palabras, si aumenta p1 aumenta la cantidad demandada de y (ye)).
c) Las demandas hicksianas son:
h∗1 =
r
p2 U0
−1
p1
;
h∗2 =
r
p1 U0
p2
Por tanto, ante un aumento en el precio p1 del bien x, las curvas de demanda compensada
se desplazan hacia abajo para h1 y hacia arriba para h2 . Caso contrario ante un aumento
en el precio p2 del bien y (ye): desplaza tanto la curva h1 como la curva h2 hacia arriba.
7) Las elasticidades-salario de la oferta laboral para cada uno de los casos son:
U (c, L) = Lα cβ :
εL,w = −
U (c, L) = Mín {L, c}:
εL,w =
αm
αLw + βLw
w(L′ p − m)
L(p + w)2
414
Respuestas y sugerencias a algunos problemas impares
U (c, L) =
√
L+
√
c:
p L′ w2 + m(p + 2w)
εL,w = −
U (c, L) =
√
Lw(p + w)2
L + c:
εL,w = −
p
2Lw
9) Planteemos el problema como:
Maximizar
U (c, L, s) = Mín{c, L} + s
sujeta a
M = p1 C + p2 L + qs
donde p1 y p2 son los valores a pagar por consumo y ocio respectivamente y q se interpreta
como el beneficio por ahorrar. Entonces, luego de desarrollar el procedimiento descrito en la
semana 4, se llega a los siguientes casos:
q ⩽ p1 + p2
(c∗ , L∗ , s∗ ) =
q ⩾ p1 + p2
M
M
,
,0
p1 + p2 p1 + p2
(c∗ , L∗ , s∗ ) =
Semana 5
0, 0,
M
q
1) a) Sí: se puede analizar como un productor. Los productos son las mercancías que el comerciante transforma por llevarlos de, por ejemplo, una mayoritaria, al lugar en que se
ubica, por ejemplo, para venderlos. Además, aparentemente, tiene rendimientos constantes a escala, puesto que si adquiere el doble de insumos, su producción crece en la
misma proporción, etc. Sin embargo, ¿sucedería lo mismo si comprara en la mayoritaria
grandes cantidades de los productos que vende? Evidentemente, no. Un pequeño productor de estos no podría recibir grandes cantidades de producto, debido a cuestiones
de logística y de capacidad instalada. En definitiva, para (muy) pequeñas cantidades
podría presentar rendimientos constantes a escala, pero para grandes cantidades, presentaría rendimientos decrecientes a escala.
3) Para L > 3 se presentan los rendimientos marginales decrecientes a escala. Ya que ante
aumentos de 1 unidad de L comienzan a reducirse las unidades adicionales que se fabrican.
5) Con rendimientos decrecientes a escala, por la misma razón que se da en el numeral 3).
7) Falsa: las isocuantas se alejan cada vez más unas de otras cuando presentan rendimientos
crecientes a escala.
9) a) Para la función f (x) = 3x1/2 + 2:
2
9p
La demanda de x es x∗ = 4w
2
9p
+2
La oferta de x es f (x∗ ) = 2w
9p
+8
w
Los beneficios son Π∗ = 14 p
b) Para la función F (x, y) = x1/2 + y 1/3 :
2
p
La demanda de x es x∗ = 4w
2
1
La demanda de y es y ∗ = 19
La oferta es F (x∗ , y ∗ ) =
Los beneficios son Π∗ =
2
√
p
w2
3
√
3w1
pp
w2
6w1
p 8
√
3/2
3w1
+3p
pp
w2
36w1
+9p
Semana 6
415
c) Para la función F (x, y) = (x+y)α con α ∈ (0, 1) no se tiene solución o se tienen infinitas
w1
soluciones dependiendo de la relación w
.
2
11) Sabemos que una elasticidad-insumo para x debe escribirse de la forma:
∂F x
∂x F
ǫ=
Entonces tenemos que:
∂(xα y β ) x
αxα y β
= α β =α
∂x
xα y β
x y
Y como la elasticidad-insumo para y debe escribirse de la forma:
∂F y
ǫ=
∂y F
entonces tenemos que:
∂(xα y β ) y
βxα y β
ǫ=
= α β =β
∂y
xα y β
x y
13) b) En la primera sección, rendimientos constantes a escala; en la segunda y en la tercera
sección de la curva, rendimientos decrecientes a escala.
ǫ=
15) Sabemos por el ejemplo 4 de esta semana 5, que para f (L) = L1/2 , tendremos que la oferta
2
2
p
1/2 + 5 tendremos que la oferta es y ∗ = p .
es y1∗ = 4w
2 ; y también que para g(L) = L
2
4w2
2
p
∗
∗
Sin embargo, la oferta para f (L) + g(L) = L1/2 + L1/2 + 5 es w
2 que no es la suma y1 + y2 .
Semana 6
1)
Las demandas condicionadas de insumos son:
z0 = 3x∗ = 2y ∗
La función de costo de largo plazo es:
C(z0 ) = w1 x∗ + w2 y ∗ = (w1 /3)z0 + (w2 /2)z0 =
2w1 + 3w2
6
z0
Dado que la función de costo de largo plazo no es convexa estricta, un beneficio máximo
no existe en este caso.
3)
La función de costo es:
C(z) =
0.5696
w2
w1
La función de oferta es:
z(p) = 0.415065
0.692654
w1 + 1.28369
w1
w2
0.307346
w2
z 1.2865
p
0.5696
w2
w1
0.692654
w1
w2
w1 + 1.28369
La función de beneficios está dada por:
Π∗ =
0.0107306p4.49035
w11.07274 w22.4176
0.307346
w2
!3.49035
La demandas de vuelos nacionales está determinada por las funciones:
x =
∗
y =
∗
−
−
0.394536w2
w1
w2
w1
0.307346 + 0.5696
0.394536w1
w1
w2
0.692654
w2
w2
w1
0.692654
0.307346
+ 1.28369
w1
w2
+
+
0.394536
w1
w2
0.692654
!
0.394536
w2
w1
0.307346
z01.2865
!
z01.2865
416
Respuestas y sugerencias a algunos problemas impares
5) La combinación de factores que minimizan el costo de producir 550 unidades es
(K ∗ , L∗ ) = (169.76, 102.88).
7)
a) Si 0 < k < 1, entonces:
f (tx) = tk f (x) < tf (x)
F (tx, ty) = tk F (x, y) < tF (x, y)
b) Si k = 1, entonces:
f (tx) = tk f (x) = tf (x)
F (tx, ty) = tk F (x, y) = tF (x, y)
c) Si k > 1, entonces:
f (tx) = tk f (x) > tf (x)
F (tx, ty) = tk F (x, y) > tF (x, y)
9) a) Un caso particular es la función de oferta con tecnología separable F (x, y) =
con el parámetro B igual a 14 .
√
x+
√
y,
11) Para la función de producción CES se tiene que:
La curva de costo total es:
C(z) =
El costo medio es:
C(z)
=
z
1
1
w2 w11−ρ + w1 w21−ρ
1
w2 w11−ρ + w1 w21−ρ
El costo marginal es igual al costo medio.
13)
1
ρ
ρ
w11−ρ + w21−ρ
ρ
−1/ρ
ρ
w11−ρ + w21−ρ
z
−1/ρ
Si y ∗ (p) es la función de oferta, entonces construimos la función diferenciable
f (p) = Π(p) − py ∗ (p)
(igual al negativo de los costos). Por la condición de primer orden tenemos que:
dΠ(p)
dy ∗ (p)
df (p)
=
− y ∗ (p) −
p=0
dp
dp
dp
Sin embargo, sabemos que al estimar la función de oferta y ∗ evaluada en el p∗ que satisface
dy ∗ (p∗ )
= 0. Por lo tanto, tenemos que:
la ecuación anterior, se tiene que
dp
dΠ(p∗ )
= y ∗ (p∗ )
dp
Semana 7
1) En el caso donde sean menos de 70 unidades se procede a producir con costos fijos bajos;
en caso contrario, se procede a utilizar la función con costos fijos altos. Si se requieren 70
unidades (exactas) es indiferente la decisión que tome.
3) Para la función dada se tiene que:
El costo fijo es 125.
El costo variable es 2q + q 2 .
2
.
El costo medio es 125+2q+q
q
.
El costo fijo medio es 125
q
El costo variable medio es 2 + q.
Semana 7
417
5) Debe tenerse en cuenta que el problema sólo puede solucionarse si k < qb donde k es la
cantidad del factor y que está fija en el corto plazo. En el corto plazo, es decir con y = k∗
fijo, tenemos que la demanda por x es x∗ = aq si se cumple la condición antes mencionada.
La curva de costo total, en este caso, está dada por C(q) = w1 aq + w2 k; el costo marginal
será, entonces, Cmg = w1 a; y el costo medio será Cme = w2 k/q + w1 a.
7)
∂y p
p
∂Apα p
=
= αApα−1
=α
α
∂p Ap
∂p Apα
Apα
1/4
9) a) Llamando P ∗ = (4/33/4 )w1
3/4
, la función de oferta estaría definida por
w2
z = 0 si P < P ∗
;
z = ∞ si P ≥ P ∗
tal como es de esperarse de una función de oferta de una industria que, en su conjunto,
opera con rendimientos constantes a escala (1/4 + 3/4 = 1). Además, esta curva de
oferta concuerda con la sugerencia dada de P =costo medio.
11) Un empresario competitivo con rendimientos decrecientes a escala debe cumplir con que:
w1 f −1
′
(y) = w1
f −1 (y)
w2 k
+
y
y
Sin embargo, si w2 k/y es muy grande, puede llevar a que el costo medio sea mayor que el
costo marginal, conduciendo así al productor, en el corto plazo, a recibir pérdidas.
13) Con la función dada se determina que:
a) El número de trabajadores está determinado por L = (Q/T0 )2 .
c) La figura correspondiente es:
Curva de costo
marginal de
corto plazo
Curva de costo
medio de
corto plazo
Q
15) Supongamos que y = F (L, K) es una función de producción con rendimientos decrecientes
a escala. Entonces:
Las elasticidades de las demandas por insumos, L∗ y K ∗ , con respecto a wi , i = 1, 2,
son:
∗ ∂L
wi
ǫL,wi =
para i = 1, 2
∂wi
L∗
∗ ∂K
wi
ǫK,wi =
para i = 1, 2
∂wi
K∗
Las elasticidades del beneficio, Π∗ , con respecto a wi , i = 1, 2, son:
ǫΠ∗ ,wi =
wi
Π∗
∂Π∗
∂wi
∂C
∂wi
para i = 1, 2
Las elasticidades del costo, C(y), con respecto a wi , i = 1, 2, son:
ǫC,wi =
wi
C
para i = 1, 2
418
Respuestas y sugerencias a algunos problemas impares
Por el ejemplo 5 de la semana 5 tenemos que:
1
1
p −α−β+1
L∗ =
w1
α
1−β
−α−β+1
w2
β
;
β
−α−β+1
(−α − β + 1)p −α−β+1
Π=
w1
α
y por el ejemplo 1 de la semana 7,
Por lo tanto, tenemos que:
w1
K β/α
α
−α−β+1
w2
β
β
−α−β+1
y 1/α + w2 K
1−β
−α − β + 1
α
ǫΠ,w1 = −
−α − β + 1
ǫL,w1 =
ǫC,w1 =
w1 y 1/α
α+β
w2 K α
+ w1 y 1/α
17) Aplicando el lema de Shephard tenemos que:
∂C(y)
=
∂w
∂w ln
1
1−y
∂w
E igualando a x:
ln
y despejando y llegamos a:
1
1−y
= ln
1
1−y
=x
y = 1 − e−x
19) Las marginalidades crecientes en la función de costo implican, típicamente, convexidad en
esta función. Y esta es una característica (de nuevo, típica) de los rendimientos decrecientes
a escala. En cuanto a esto, y estrictamente a esto, la afirmación es (típicamente) verdadera.
Semana 8
1) a) No afectará.
c) Ninguno de los dos mercados puede considerarse competitivo. En el caso de las obras
de arte (por ejemplo, un cuadro o una escultura) difícilmente puede tener un sustituto,
y el precio será fijado por la demanda de los consumidores y por algún mecanismo
manipulador de precios (discriminación, subastas, etc.). En el caso de los oferentes de
apartamentos en una zona específica de la ciudad, no se puede suponer que este sea un
grupo lo suficientemente grande.
3) a) El precio y la cantidad de equilibrio son:
P = 35
;
Q = 250
b) La elasticidad-precio de la oferta y la elasticidad-precio de la demanda en el punto de
equilibrio son ǫ1 = − 57 y ǫ2 = 75 , respectivamente.
5) a) V
b) V
c) V
d) V
11) a) Para cada una de las empresas tenemos que la curva de oferta es:
√
4 + 7 + 3p
Tipo 1: y ∗ =
, y ≥ 1.33794 ; Tipo 2:
3
y∗ =
p
6
Semana 8
419
b) La curva de oferta agregada está determinada por una función por partes:
z(p) = 100p/6
z = (100p/6) + 100(4 +
si
p < 1.68056
p
7 + 3p)/3
y el equilibrio de largo plazo es:
√
73 − 2 1198
≈ 1.26
z∗ =
3
;
p∗ =
si
p ≥ 1.68056
√
2 1198 − 49
≈ 6.74
3
13) a) Al resolver la ecuación 100 − 20p = 20p + 20 se llega al resultado.
c) En la siguiente gráfica se aprecia que el aumento del surplus del consumidor está dado
por el área A+B, y la reducción del surplus del productor por el área A. Por lo tanto,
el área B es el aumento total del surplus del país.
p
Qo
B
A
Qd
{
Q
Importaciones
e) En la siguiente gráfica se aprecia que la reducción del surplus del consumidor está dada
por el área A+B, y el aumento del surplus del productor por el área A. Por lo tanto, el
área B es la pérdida total del surplus del país.
p
Qo
B
A
Aumento en la
producción
15) Se tiene que:
Si db < 51 el sistema converge.
Si db = 51 el sistema permanece estable.
Si db > 51 el sistema es inestable.
{
{
Qd
Reducción en las
importaciones
Q
420
Respuestas y sugerencias a algunos problemas impares
Semana 9
1) (p1 + t)x + (p2 − s)y = M . Un impuesto en un mercado y un subsidio en otro, aunque pareciera
que se anulan, típicamente generan pérdidas irrecuperables de eficiencia que no se suman.
3) a) El equilibrio competitivo está determinado por:
p∗ =
100
22
;
Y = Oferta Agregada = Demanda Agregada =
10, 000
11
5) En el siguiente gráfico, el punto (10,30) representa el equilibrio inicial y el punto (20,25) el
equilibrio luego de la apertura internacional. Allí:
El área A representa el excedente del consumidor ($100).
El área B representa el excedente del productor ($104.17).
El área C representa el recaudo ($58.33).
Las áreas D y E representan la pérdida irrecuperable de eficiencia ($29.17).
P
A
(10, 30)
(20, 25)
E
C
B
D
Q
7) En el caso de la función Cobb Douglas U (x, y) = xy, tenemos que:
VC =2
p
VE =2
p
√
U0 p1 ( p2 − p′2 )
p
U1 p1 (
p
p′2 −
√
De la misma forma, para la función cuasilineal U (x, y) =
p2 )
√
x + y tenemos:
V C = (p2 − p′2 )(U0 − (p2 + p′2 )/(4p1 ))
V C = (p′2 − p2 )(U1 − (p2 + p′2 )/(4p1 ))
Semana 10
1) Es inmediato a partir de la fórmula I ′ (x) = p 1 + 1ǫ .
3) Q∗ = 24
5)
p∗ = 12
;
;
P ∗ = 29
;
Π∗ = 576
Q∗ = 40.
7) a) El equilibrio del monopolista está dado por (x∗ , p∗ ) = (300, 1800) con un excedente
social de $630, 000.
b) La pérdida de eficiencia es de $120, 000.
Semana 10
421
9) a) Tenemos que:
QA = 40, 000 −
100PA
3
;
QB = 80, 000 −
10, 000PB
75
Por lo tanto, despejando PA y PB respectivamente, obtenemos que:
PA = 1, 200 −
3QA
100
;
PB = 600 −
3QB
400
Sabemos que, para maximizar su beneficio, la firma privada debe igualar su ingreso
marginal con el costo marginal. Pero como el ingreso total está dado por:
IA = PA QA = 1, 200QA −
3Q2A
100
;
IB = PB QB = 600QB −
;
IM gB = 600 −
3Q2B
400
Entonces el ingreso marginal sería:
IM gA = 1, 200 −
3QA
50
3QB
200
(∗)
Y despejando QA y QB tenemos que:
QA = 20, 000 −
50IM gA
3
;
QB = 40, 000 −
200IM gB
(∗∗)
3
Ahora supongamos que IM g = IM gA + IM gB ; entonces tenemos que:
Q = 60, 000 −
250IM g
3
Y por lo tanto llegamos a que:
IM g = 720 −
3Q
250
(∗ ∗ ∗)
Ahora tomamos la función de costo marginal que está dada por:
C ′ (Q) = 0.008Q + 10
Por lo tanto, tendremos que:
Q = 35, 500
Ahora remplazando Q en (∗ ∗ ∗) tenemos que IM g = IM gA = IM gB = 294, y remplazando esto en (∗) y luego en (∗∗), tenemos que las cantidades y precios de monopolio
son:
PA = 747
PB = 447
Parque A:
; Parque B:
QA = 15, 100
QB = 20, 400
Y con esto llegamos a que:
Π = 10, 002, 500
La descripción gráfica del problema es:
PA
P
PB
CMg
(15,100 , 747)
(35,500 , 507)
(20,400 , 447)
IMgA
DA
IMgB
QA
IMg
DB
QB
D
Q
422
Respuestas y sugerencias a algunos problemas impares
11) Imitando lo realizado en la sección 10.7.1, si el monopolista discrimina se tiene que:
y1∗ =
a−c
2
;
y2∗ =
b−c
2
b+c
a+c
; p∗2 =
2
2
a2 + b2 − ac − bc
∗
Π1 =
2
p∗1 =
Y si no discrimina, entonces:
a+b
(con c < 2)
4 − 2c
a + b − bc − ac
Π∗2 =
2−c
El monopolista discriminará si, y sólo si, Π∗1 ⩾ Π∗2 . Se deja la simplificación algebraica al
lector.
p∗ =
13)
i) F (L, 3) = BL1/2 donde B = (3β )A. Aquí conviene obtener la demanda condicionada
L∗ =
Y
3β A
2
y luego proceder a obtener la cantidad afertada y vendida en el mercado Y ∗ , la cual,
reemplazada en la demanda por insumo, nos arroja
L =
∗
ii)
L =
∗
3β Aa
2w1 + 32β bA2
2
3β Aa
2w1 + 2(32β )bA2
2
Por lo tanto, en monopolio se contrata menos trabajo. Esto se desprende de que la
cantidad que se vende en monopolio es menor que la ofertada en competencia perfecta.
iii) No necesariamente. Realizando las derivadas, se encuentra que, por ejemplo, la demanda por mano de obra en la empresa competitiva crece sólo si 2w1 > 32β bA2 . Y
para la empresa de monopolio, la condición es w1 > 32β bA2 . Por lo tanto, depende
de los valores de los parámetros.
Semana 11
1) Podría ser, si el vendedor de la tienda está en un sitio apartado donde es el único vendedor.
3) Con base en el ejercicio 3 de la semana 10 tenemos que:
a) La función de reacción de la empresa está dada por:
qi =
53 − c − qj
2
con i = j = 1, 2 i 6= j
b) q1 = q2 = 16, p = 21, Π1 = Π2 = 256.
5)
Para la empresa 1:
y1∗ = 40
;
Π1 = $3, 200
y2∗ = 70
;
Π2 = $9, 800
Para la empresa 2:
p = 180
Semana 11
423
7) Luego de desarrollar el numeral 6) se encuentra que:
Modelo
Cártel
Cournot
Stackelberg
Excedente del productor
(a − c)2 /4
2(a − c)2 /9
3(a − c)2 /16
Excedente del consumidor
(a − c)2 /8
2(a − c)2 /9
9(a − c)2 /32
9) Para la empresa que se encuentra en competencia monopolista tenemos que:
a) La cantidad y el nivel de producción óptimo en el corto plazo es:
Q∗ =
33
4
;
P∗ =
87
4
b) Entonces tenemos que el beneficio es:
Π∗ =
1033
≈ 129.125
8
c) Sí: es posible el ingreso de nuevas empresas ya que tenemos beneficios positivos.
d) n = 25.036, Q = 0.5185147.
11) La pérdida irrecuperable de eficiencia en el duopolio de Cournot es
(a−c)2
.
18
13) Tenemos que:
P (Q) = a − Q = a − (q1 + q2 )
Donde:
0 < c1 < a/2
(Costo marginal de la firma 1)
0 < c2 < a/2
(Costo marginal de la firma 2)
Por consiguiente, los problemas de maximización del beneficio son:
Maximizar Π1 = (q1 (a − b (q1 + q2 )) − c1 q1 )
(Firma 1)
Maximizar Π2 = (q2 (a − b (q1 + q2 )) − c2 q2 )
(Firma 2)
q1 >0
q2 >0
Hallando las CPO (Condiciones de Primer Orden) para cada firma y despejando q1 y q2
respectivamente, tenemos que:
a − bq1 − c1
a − bq2 − c1
; q2 =
2b
2b
Remplazando q2 en la curva de reacción de q1 llegamos a que:
q1 =
q1∗ =
a + c2 − 2c1
3b
Ahora remplazando q1∗ en q2 tenemos que:
q2∗ =
a + c1 − 2c2
3b
Por lo tanto llegamos a que:
2a − c1 − c2
a + c1 + c2
; p∗ =
3b
3
Ahora: si tenemos que 2c2 > a + c1 y c1 < c2 < a entonces:
Q∗ =
a + c1 − 2c2
c2 − c1
a + c2 − 2c1
−
=
>0
3b
3b
b
Por lo tanto, la empresa más eficiente (con costos marginales más bajos) es la 1 y obtendría
la mayor cuota de mercado.
q1∗ − q2∗ =
Índice alfabético
Adam, Smith, 235
Afriat, Sydney, 57, 67
Agente
representativo, 212, 215, 226,
246
Agregación del capital
el problema de la, 235
Álgebra de funciones
cóncavas, 371
cuasicóncavas, 374
Álgebra en dos variables
funciones continuas, 344
Allais, Maurice, 9
Allen, Roy, 60, 61, 245
Análisis de actividades, 152
Antonelli, Giovanni, 119
Aristóteles, 272
Arrow, Kenneth, 2, 133, 149
Asignación
de recursos, 147, 248
eficiente, 237, 261
monopólica, 275
Aumann, Robert, 210
Axioma
débil de preferencia revelada, 67
fuerte de preferencia revelada,
69
general de preferencia revelada,
67
Barone, Enrico, 60
Barreras a la entrada, 196, 290, 312
exceso de capacidad, 290
fijación de precio límite, 291
fijación depredadora de precios,
290
Bator, Francis, 260
Behaviorismo, 147
Bejarano, Jesús Antonio, 147
Beneficio, 137, 144
Bentham, Jeremy, 39
Bertrand, Joseph, 304, 316
Bien(es)
complementarios, 73, 75, 90
brutos, 72, 75
netos, 74
de capital, 220, 236
de lujo, 89, 90
Giffen, 38, 73, 76, 107
homogéneo, 212
inferior, 72
intermedios, 215
necesario, 89–91
neutral, 42
425
426
normal, 72, 74, 75, 95
sustitutos
brutos, 72, 73
casi perfectos, 80
netos, 74
perfectos, 69, 80, 81
Blaug, Mark, 237
Böhm-Bawerk, Eugene, 111
Brouwer, Luitzen, 389
Cambio técnico exógeno, 135, 169
Canasta de consumo, 14
Capitalismo, 261
Cartel, 306
o cártel, 309
Cassel, Gustav, 60
Ceteris paribus, 4, 21, 22, 71, 145,
146, 188, 190, 236, 280
Chamberlin, Edward, 304, 312
Chenery, Hollis, 133, 149
Clark, John, 195, 248, 250, 251
Cobb, Charles, 132, 148
Cobb-Douglas, 15, 16, 23–25, 30, 31,
36, 37, 51, 53, 74, 78, 85,
88–93, 109, 110, 118,
132–135, 145, 148, 149, 157,
158, 162, 163, 169, 170,
182, 183, 188, 194, 196, 342
curva de oferta, 167
Función de beneficio, 143
Función de utilidad, 103
Colusión, 306
Comercio internacional, 240
Competencia
imperfecta, 95, 252, 282, 302
monopolística, 251, 301, 312
perfecta, 6, 7, 11, 13, 23, 60, 95,
99, 108, 114, 124, 127, 128,
135–137, 139, 141, 143, 155,
182, 193, 195, 211–213, 216,
218, 221, 226, 234, 245–251,
257, 260–263, 274, 276–279,
286, 287, 292, 293, 302,
310–312, 315
Cóncava(s)
Índice alfabético
función de bienestar, 246
función de costo, 158, 163, 190
función de producción, 128,
139–141, 143
función de utilidad, 15, 24, 32,
92, 111, 212, 273
Concurrencia perfecta, 7
Condición(es) de
Engel, 97
primer orden
de las funciones cóncavas, 365
de las funciones
cuasicóncavas, 375
para lagrangiano, 380
segundo orden
de las funciones cóncavas, 366
para las funciones
cuasicóncavas, 376
Conjunto convexo, 14, 361, 365, 366,
370, 373, 389
Conjunto de nivel superior, 365
Constitución Política de 1991, 296
Consumidor, 13, 14
representativo, 218, 225, 246,
248
Consumo intermedio, 203
Continuidad
en funciones de dos variables,
342
en un conjunto, 344
Continuidad implica integrabilidad,
333
Convexidad, 19, 42, 67, 373, 376, 388
al origen, 19, 20, 124
estricta, 292
Corto plazo, 188
periodo de, 179
periodo de muy, 179
Costo(s)
a corto plazo, 179–206, 216
a largo plazo, 155–171
curvas de, 216, 218, 283
de oportunidad, 143, 181, 267
objetivo, 29
subjetivo, 29
Índice alfabético
de producción, 135, 224, 290
de transacción, 181
de transporte, 315
de vida, 58, 59, 213
fijos, 136, 226, 272, 283, 297
fiscal, 257
función de, 217–219, 225, 313
hundidos, 181
marginal, 137, 141, 217, 274,
282, 285, 292, 303, 304,
310, 313, 314, 317
marginal del insumo, 137
medio, 223, 226, 284, 291, 313,
314
por unidad, 137–139
real, 137
total, 217, 297
variable, 297
Cournot
equilibrio de, 304, 305
modelo de, 304, 305, 322
oligopolio de, 310
Cournot, Augustin, 2, 5, 6, 60, 114,
167, 271, 272, 274, 301,
302, 316
Cuasicóncava, 14, 18, 27, 124, 156
Cuasilineal(es)
Función de utilidad, 15, 17, 32,
36, 37, 87, 90, 92, 106, 114,
115, 117, 133, 164, 212,
218, 219, 225, 246, 273
Cuota, 257, 258
Curva(s) de
costo de corto plazo, 180, 181
costo de largo plazo, 162, 190
costo en el corto plazo, 180
demanda, 23, 34–38, 60, 78,
80–83, 94, 107, 113, 115,
117, 198, 232, 236, 255,
274, 276, 277, 280, 285,
297, 303, 314
Engel, 87–89
indiferencia, 15–20, 40, 92, 94,
342
Laffer, 255, 256
427
nivel, 341
oferta, 167, 171
oferta (agregación), 213
oferta Cobb-Douglas, 167, 170
oferta de largo plazo, 167, 168
oferta en el corto plazo, 193
oferta lineal, 168
reacción, 303
Dardi, Marco, 6
Darwin, Charles, 1
Davenport, Herbert, 179
Deadweight loss, 253
Debreu, Gerard, 2, 65
Decisión de ahorro, 111
Demanda
agregada, 212
condicionada, 158
del insumo, 137
hicksiana, 47–50, 52, 63
laboral, 222
marshalliana, 24, 25, 29, 30, 43,
44, 56, 57, 61, 63
por insumos, 144, 181, 209
Derivada
direccional, 350, 351
parcial, 345
notación para las, 347
parcial con respecto a la
primera variable, 345
segunda variable, 346
parcial de orden superior, 357
Diewert, Walter, 202
Diferenciabilidad
con continuidad, 349
en funciones de dos variables,
349
implica continuidad, 349
Diferencial
total, 348
Discriminación
directa, 290
indirecta, 290
Discriminación de precios
de primer grado, 288
428
de segundo grado, 288
de tercer grado, 288
Distribución del ingreso, 248, 249
por productividad marginal, 248
Distrito industrial de Marshall, 130
Douglas, Paul, 132, 148
Duopolio, 301
de Cournot, 302
de Stackelberg, 308
en cartel, 306
Dupuit, Jules, 2, 6, 114, 117
Economía
conductual, 119
de mercado, 261
neoclásica, 1
Robinson Crusoe, 266
Ecuación(es) de
distribución del ingreso por
productividad marginal,
250
equilibrio
de Jevons, 28, 29, 33
del consumidor, 27
del productor, 142, 167
Euler, 249, 360
Slutsky, 99–101, 103
Edgeworth, Francis, 2, 35, 39, 40, 60,
271, 301, 302, 304
Efecto(s)
Hicks, 110
ingreso, 99, 100, 103–105
precio, 100
renta, 101
Slutsky, 110
sustitución, 99–101, 103, 104
total, 100
Elasticidad(es), 71, 77, 78
cálculo teórico de, 85
cuasilineal, 87
de corto plazo, 83
de la demanda, 77
de largo plazo, 83
de producción, 209
de sustitución, 133, 174–177
Índice alfabético
del propio precio, 78
elástica, 77
Función Cobb-Douglas, 85
Función Leontief, 86
Función separable, 86
inelástica, 77
infinita, 78
ingreso (o renta) de la demanda,
78
perfectamente elástica, 78
perfectamente inelástica, 77
precio cruzada, 78
precio de la demanda, 78, 253
precio de la oferta, 198
unitaria, 78
Elección intertemporal, 111
Empresa
representativa, 215
Engel, Ernst, 87
Epicuro, 39
Equilibrio
de Cournot, 304
de una economía, 5
del monopolista, 274
general, 220
intertemporal, 196
parcial
asintóticamente estable, 231
existencia, 225
competitivo, 211, 212
competitivo de largo plazo,
224
de mercado, 212
dinero en, 259
en bienes intermedios, 215
en el comercio internacional,
240
Escala mínima de eficiencia, 193
Escuela neoricardiana, 236
Estática comparativa, 21, 77, 78,
188, 221
Etapa de producción, 150
Euler, Leonhard, 360
Excedente
bajo monopolio legal, 275
Índice alfabético
del consumidor, 114–117, 247,
253, 256, 291
del productor, 200–201, 247,
253, 256, 258
Ezekiel, Mordechai, 231
Falla de mercado, 245, 251, 254, 256,
257, 260, 316
impuesto a la cantidad, 252
impuesto al valor, 252
incidencia de un impuesto a la
cantidad, 253
noción, 251
origen del término, 260
por impuestos y subsidios, 252
subsidio a la cantidad, 252, 256
subsidio al valor, 252
Fisher, Irving, 2, 111, 302, 304
Friedman, Milton, 94, 237, 238
Frontera de posibilidades de
producción, 266
Función(es)
cóncavas, 361
propiedades, 365
CES, 133, 134, 147, 149,
174–177, 217
Cobb-Douglas, 15, 16, 24, 132,
342
demanda, 23
Cobb-Douglas generalizada, 30
convexas, 361
propiedades, 367
cuasicóncavas, 372
propiedades, 373
cuasiconvexas, 372
cuasilineal, 15, 107
de beneficio, 136, 141, 147
de costo, 155, 156, 158, 159,
161–165, 167–170, 181, 182
cóncava, 158, 163
cóncava estricta, 163
Cobb-Douglas de corto plazo,
183
Cobb-Douglas de largo plazo,
162
429
marginal, 181
medio, 181, 182, 191, 194
de dos variables, 340, 341
de gasto, 45, 47, 50, 52–55, 58,
61, 156
de producción, 123, 124, 128,
132, 133, 135, 137, 201
cóncava, 139
con un solo insumo, 125
homogénea, 172
homotética, 172
de utilidad, 14
cuasilineales, 114
homotética, 91, 92
Stone-Geary, 52
estrictamente cóncava, 361
estrictamente convexa, 361
implícitas, 356
integrable, 331
Leontief, 15, 16, 27, 38, 42, 54,
61, 75, 86, 90, 91, 110, 132,
147–149, 160, 161, 163,
174–177, 207, 217
demanda, 25
lineal, 15, 17, 27, 106
demanda, 26
separable, 15, 17, 36, 61, 62, 86,
163
demanda, 31
Garegnani, Pierangelo, 236
Giffen, Robert, 73, 76
Gossen, Hermann, 43
Gradiente
vector, 350
Hahn, Frank, 236
Harberger, Arnold, 254
Harcourt, Geoffrey, 235
Hayek, Friedrich, 260
Herfindahl, Orris, 320
Hicks, John, 2, 9, 32, 34, 47, 60, 63,
74, 94, 99, 117, 174, 177,
196, 245
Hildenbrand, Werner, 210
430
Hipótesis de la dieta balanceada, 19
Hirschman, Albert, 320
Historia de la función de producción,
148
Hotelling, Harold, 145
Hurwicz, Leonid, 114, 119
Identidad de Roy, 64, 94
Impuesto, 7, 252
Incidencia de un impuesto a la
cantidad, 253
Índice de
concentración oligopólica, 319
costo de vida, 59
Fisher, 59
Herfindahl-Hirschman, 319, 324
Laspeyres, 59
Lerner, 285
Paasche, 59
ponderaciones fijas, 59
precios al consumidor, 58, 59
Individualismo metodológico, 5
Ingreso por productividad marginal,
137
Instituciones, 4, 9, 260, 262, 263, 296
Integración vertical, 130
Integral, 325
álgebra, 326
definida, 328, 331
impropia, 339
impropia convergente, 339
impropia divergente, 339
Inversión, 180
Investigación y Desarrollo, 136
Jaffé, William, 245
Jevons, William, 6, 7, 28–33, 35, 39,
40, 56, 57, 76, 93, 112, 132,
148, 212, 221, 223, 248,
271, 301, 302
Johnson, William, 60
Kahneman, Daniel, 119, 120
Kaldor, Nicholas, 180, 231
Kirman, Alan, 218
Knight, Frank, 94
Índice alfabético
Koopmans, Tjalling, 152
Laffer, Arthur, 256
Lagrange, Joseph Louis, 378, 381
Lagrangiano, 381
Laissez faire, 261–263
Lange, Oskar, 9, 262
Largo plazo, 180, 188
periodo de, 179
Lema de
Hotelling, 173, 230
Shephard, 105, 113, 117, 171,
202
Leontief
función de producción, 132, 147
función de utilidad, 104
Leontief, Wassily, 132, 206, 231
Lerner, Abba, 174, 245, 285
Ley(es)
antimonopolio, 295
de la demanda, 35
de Quesnay, 204
Libre entrada y salida de empresas,
195
Límite, 342
álgebra en dos variables, 344
al infinito en dos variables, 343
en funciones de dos variables,
342
infinito en dos variables, 343
Lineal
Función de utilidad, 106
Loasby, Brian, 6
Machlup, Fritz, 177
Malthus, Thomas, 146, 272
Managerialismo, 147
Marginalidad, 5
Mark-up, 285
Marshall, Alfred, 2–4, 6, 20, 24,
32–35, 39, 40, 74, 77, 97,
114, 117, 130, 133, 148,
179, 200, 211, 212, 214,
216, 221–225, 238, 239, 255,
271, 301, 302
Índice alfabético
Marx, Karl, 262
Matriz
de sustitución Hicks-Slutsky,
113
hessiana, 366
hessiana orlada, 376
semidefinida negativa, 114, 366
Maximización del beneficio, 123,
135, 137–139, 142
con dos insumos, 141
con un solo insumo, 136
Medidas de los niveles de utilidad, 56
Menger, Carl, 2, 3, 5, 6, 132, 148,
212, 223, 235, 248, 260
Mercado, 4
bajo competencia, 8
de carnes en Colombia, 84
definición, 8
Mercancías, 8
tipos de, 71
Método de Lagrange
multiplicadores, 378
Mill, John, 272
Minhas, Bagicha, 133, 149
Minimización del costo, 156, 157,
182, 208
de corto plazo, 179
de largo plazo, 155, 167
para función Cobb-Douglas, 157
para función Leontief, 160
para función separable, 159
para rendimientos crecientes a
escala, 161
Modelo
de Bertrand, 302, 316
de Cournot, 302, 304
de Edgeworth, 302
de la telaraña, 231
de la telaraña con inventario,
242
de localización, 315
de Salop, 318
lineal de Hotelling, 315
Monótona
creciente, 14, 18, 32
431
transformación, 92
Monopolio, 7, 166, 245, 251, 263,
271, 286, 287, 293
bilateral, 293
legal, 272
natural, 166, 272, 288
regulación del, 282
y rendimientos a escala, 279
Monopsonio, 245, 251, 292
Monotonicidad, 18, 32, 67, 225, 292,
373
Morishima, Michio, 263
Multiplicadores de Lagrange, 156,
378–380
Nash, John, 301, 305
Neoclásica, teoría, 5, 9, 13, 33, 76,
95, 108, 111, 123, 124, 127,
131, 134, 139, 149, 155, 174,
180, 183, 188, 189, 193,
195–197, 211, 213, 215, 216,
218, 221, 222, 224–226, 234,
236, 257, 260, 261, 272, 318
Nerlove, Marc, 202
Newton, Isaac, 1, 204
Oferta, 123, 140, 141, 144–146
agregada, 212
agregada discontinua, 226
de producto, 137
de trabajo, 108, 110, 111
empresarial, 144
laboral, 222
Oligopolio, 7, 245, 251, 301–321
à la Stackelberg, 302
de Cournot, 302, 310
modelo de Bertrand, 302
modelo de Edgeworth, 302
modelo de Hotelling, 302
modelo de Salop, 318
modelos de, 302
Oligopsonio, 251, 323
Optimizar funciones cóncavas, 371
Óptimo de Pareto, 245–265
Paradoja de Bertrand, 317
432
Pareto, Vilfredo, 2, 9, 40, 60, 74,
245, 248, 251, 260
Pasinetti, Luigi, 236
Peŕdida de eficiencia, 253
Peŕdida irrecuperable de eficiencia,
253, 275, 305
Periodo secular, 179
PIB en Colombia, 203
Pignol, Claire, 196
Pigou, Arthur, 2, 245, 264, 287
Plano tangente, 354
Poder adquisitivo, 34
general, 32
Poinsot, Louis, 5
Precio
límite, 291
mínimo, 257
máximo, 257, 258
Ramsey, 284
Preferencia(s)
convexidad en las, 19
lexicográfica, 65
revelada, 57, 58, 66, 67, 69
Principio de
Fermat, 1
mínima acción, 1, 2, 5, 135
Problema del número entero, 196,
230, 314
Problema principal de(l)
consumidor, 23
productor, 135
Producción
frontera de posibilidades de, 266
Producto
diferenciado, 312
homogéneo, 301
interno bruto, 203
Productor representativo, 215, 246
Proporciones de renta, 90
Quesnay, François, 204, 262
Ramsey, Frank, 284
Ratio de concentración, 320
Regla de
Índice alfabético
la cadena para dos variables,
355
Relación de preferencia, 64, 65
completa, 64
continua, 65
monótona, 65
reflexiva, 64
transitiva, 64
Rendimientos a escala, 123, 127, 130
constantes, 128, 129, 132–135,
138, 141, 146, 148, 158, 163,
182, 190, 195–198, 217, 236,
249, 250, 279, 282, 317, 360
crecientes, 129, 131–133, 135,
136, 138, 139, 158, 159,
161, 163, 166, 183, 184,
190, 191, 272, 291
decrecientes, 127, 128, 131–137,
140, 141, 143, 146, 158,
163–168, 170, 182, 184, 187,
190, 191, 193, 195, 202,
216–218, 225, 233, 234, 246,
249, 272, 282, 292
Restricción presupuestaria, 20, 24,
26, 30, 31, 35, 53–55, 62,
93, 112–114
Ricardo, David, 6
Robinson, Joan, 149, 177, 180, 235,
236
Roy, René, 46, 64
Rubinstein, Ariel, 293
Samuelson, Paul, 2, 9, 58, 66, 117,
149, 156, 195, 236
Schultz, Henry, 94, 233, 245
Schumpeter, Joseph, 263
Shephard, Ronald, 156
Shubik, Martin, 274
Slutsky, Eugen, 2, 40, 60, 61, 94, 99,
100
Smith, Adam, 6, 235, 260
Solow, Robert, 133, 149, 236, 237
Sraffa, Piero, 130, 149, 236
Stackelberg, Heinrich von, 308, 316
Stigler, George, 94
Índice alfabético
Stiglitz, Joseph, 261
Stone, Richard, 206
Subastador, 234
Subsidio, 7, 252
Sumas
de Riemann para integrales
ordinarias, 329
Tasa de concentración, 320
Tasa marginal de sustitución, 28–30,
93
entre mercancías, 28
técnica, 142, 143, 157, 172
Teoría
cuantitativa del dinero, 259
de juegos, 301
de la producción, 123
Teorema
fundamental del Cálculo
segundo teorema, 337
fundamental del Cálculo
primer teorema, 335
Teorema de(l)
Afriat, 67
bienestar económico, 260
Euler, 249
la envolvente, 190
la mercancía compuesta, 32
la telaraña, 233
punto fijo de Brouwer, 225, 388,
389
Richter, 226
Weierstrass, 382
Tijera de Marshall, 211, 222, 224,
238, 239
con “extraño” equilibrio de
largo plazo, 225
Transitividad, 18, 67
433
Trayectoria de expansión del ingreso,
87, 89, 90, 94
Triángulo de Harberger, 254
Turgot, Anne, 262
Utilidad, 13
cuasilineal, 15, 17, 37, 90, 92,
106, 114, 115, 117, 133,
212, 218, 219, 225, 246, 273
funciones típicas de, 15
indirecta, 46
marginal, 32, 33, 35, 74, 111,
114–116, 235, 246, 247
decreciente, 33
ordinal, 15, 60
Uzawa, Hirofumi, 114, 119, 202
Valor de(l)
agua, 235
los diamantes, 235
Variable
flujo, 203
stock, 203
Variación
compensada, 267
equivalente, 267
Veblen, Thorstein, 262
Vector gradiente, 350
Von Mises, Ludwig, 260
Von Neumann, John, 301, 372
Von Thünen, Johann, 5, 148
Wallis, Allen, 94
Walras, León, 2, 3, 5–7, 9, 32, 33, 35,
39, 40, 60, 132, 148, 212,
220, 234, 248, 260, 263,
264, 271, 301, 302
Wicksell, Knut, 130–132, 148, 236,
248, 304
Wicksteed, Philip, 130, 148, 248, 249
Este libro, editado por el Centro Editorial de la
Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad
Nacional de Colombia, se terminó de imprimir y
encuadernar en noviembre de 2017 en los talleres de
Digiprint Editores en Bogotá, D.C. con un tiraje de 500
ejemplares, sobre papel Bond blanco de 70 gramos.