Ejercicios capítulo 3 - grupo 11
3-1. En el modelo de Reddy Mikks (ejemplo 2.2-1), considere la solución factible
𝑥1 = 3 Toneladas y x2=1 tonelada. Determine el valor de las holguras asociadas para las
materias primas M1 y M2.
Solución
𝑆𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑥1 = 3 ; 𝑥2 = 1
𝑀1 = 6𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 24
6𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑠1 = 24
𝑠1 = 24 − 6𝑥1 − 4𝑥2
𝑠1 = 24 − 6(3) − 4(1)
𝑠1 = 24 − 18 − 4
𝑠1 = 2
La holgura de la restricción de materia prima M1 es de 2 toneladas.
𝑀2 = 𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 6
𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑠2 = 6
𝑠2 = 6 − 𝑥1 − 2𝑥2
𝑠2 = 6 − 3 − 2(1)
𝑠2 = 6 − 3 − 2
𝑠2 = 1
La holgura de la restricción de materia prima M2 es de 1 tonelada.
3.31. La compañía Gutchi fabrica monederos, bolsas para rasuradora y mochilas. La
elaboración incluye piel y materiales sintéticos, y la piel es una materia prima escasa. El
proceso de producción requiere dos tipos de mano de obra calificada: costura y acabado. En
la siguiente tabla seda la disponibilidad de los recursos, su utilización para los tres
productos y las utilidades unitarias.
a). Formule el problema como un programa lineal y encuentre la solución óptima (utilice
TORA, Excel Solver o AMPL).
b). A partir de la solución óptima, determine el estado de cada recurso.
Solución
Planteamiento:
X1= número de monedero fabricados diariamente
X2= número de bolsas fabricadas diariamente
X3= número de mochilas fabricadas diariamente.
Función objetivo:
Máx.
Z= 24x1+22x2+45x3
Sujeto a:
2x1+x2+3x3≤ 42
2x1+x2+3x3≤ 40
2x1+x2+3x3≤ 45
Paso 1. Pasar a forma estándar.
Z-24X1-45x3=≤ 0
2x1+x2+3x3+s1≤ 42
2x1+x2+2x3+s2≤ 40
1
1x+ 2 x2 +x3+ s2= 45
Paso 2.
S1=42
S2=40
S3=40
x1, x2, x3= 0
z=0
variables básicas [s1, s2, s3]
variables no básicas [x1, x2, x3]
paso 3.
Básica
z
X1
X2
X3
S1
S2
S3
b
z
1
-24
-22
-45
0
0
0
0
S1
0
2
1
3
1
0
0
42
S2
0
2
1
2
0
1
0
40
S3
0
1
1
2
1
0
0
1
45
Básica
z
X1
X2
X3
S1
S2
S3
b
z
1
6
-7
0
15
0
0
630
X3
0
2/3
1/3
1
1/3
0
0
14
S2
0
2/3
1/3
0
-2/3
1
0
12
S3
0
1/3
1/6
0
-1/3
0
1
31
Básica
z
X1
X2
X3
S1
S2
S3
b
z
1
20
0
0
1
21
0
882
X3
0
0
0
1
1
-1
0
2
S2
0
2
1
0
-2
3
0
36
S3
0
0
0
0
0
-1/2
1
25
Respuestas:
X2
36
X3
2
S3
25
X1, S1, S2
0
Z
882
Es decir, se deben fabricar y vender 36 unidades de bolsos para rasuradora y 2
unidades de mochilas, la utilidad será de $882
Queda disponible 25 horas de acabado.
B). S1 y S2, S3 abundante.
3.63. Una compañía fabrica dos productos, A y B. Los ingresos unitarios son $2 y $3,
respectivamente. Las disponibilidades diarias de dos materias primas, M1 y M2, utilizadas
para fabricar los dos productos son de 8 y 18 unidades, respectivamente. Una unidad de A
utiliza 2 unidades de M1 y 2 unidades de M2, y una unidad de B utiliza 3 unidades de M1 y
6 unidades de M2.
a). Determine los precios duales de M1 y M2 y sus intervalos de factibilidad.
b). Suponga que pueden adquirirse 4 unidades más de M1 a un costo de 30 centavos por
unidad. ¿Recomendaría la compra adicional?
c). ¿Cuánto es lo máximo que la compañía debería pagar por unidad de M2?
d). Si la disponibilidad de M2 se incrementa en 5 unidades, determine el ingreso óptimo
asociado.
Solución
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠:
𝑥1 = 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑐𝑢𝑡𝑜 𝐴
𝑥2 = 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝐵
𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜:
𝑀𝑎𝑥𝑍 = 2𝑥1 + 3𝑥2
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑒𝑠:
2𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 8
3𝑥1 + 6𝑥2 ≤ 18
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
𝑀é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜:
𝑆𝑒 𝑣𝑎 𝑎 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛:
2𝑥1 + 2𝑥2 = 8
𝑆𝑖 𝑥1 = 0 → 𝑥2 =
𝑆𝑖 𝑥2 = 0 → 𝑥1
8
=4
2
8
=4
2
3𝑥1 + 6𝑥2 = 18
18
=3
6
18
𝑆𝑖 𝑥2 = 0 → 𝑥1 =
=6
3
𝑆𝑖 𝑥1 = 0 → 𝑥2 =
Grafica
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑀1 = 2𝑥1 + 2𝑥2
− 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜:
𝐸𝑛 𝐵 (0,3)
2 (0) + 2(3) = 6
𝐸𝑛 𝐹 (6,0):
2(6) + 2(0) = 12
𝐸𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠: 6 ≤ 𝑀1 ≤ 12
− 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝐷𝑢𝑎𝑙:
𝑅𝑒𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑍 = 2𝑥1 + 3𝑥2
𝐸𝑛 𝐵(0,3)
2(0) + 3(3) = 9
𝐸𝑛 𝐹 (6,0)
2(6) + 3(0) = 12
0
