Por Rubén Darío Muñoz López – 2020 TERNAS ENTERAS DEL TRINOMIO p 2 + r 3 = q 3 Por Rubén D Muñoz L Extraído del libro Más allá del teorema de Pitágoras volumen III RESUMEN El trinomio de la forma 𝑝2 + 𝑟 3 = 𝑞 3 es una particularización del trinomio 𝑥 𝑎 + 𝑦 𝑏 = 𝑧 𝑐 cuyas soluciones enteras conforman la terna (𝑝, 𝑟, 𝑞) tal que 𝑝, 𝑟, 𝑞 > 0. En este articulo se presenta un método para determinar las soluciones enteras para valores cuadráticos de p, es decir cuando p es un cuadrado perfecto. Sean los números arbitrarios 𝑛, 𝑚 ∈ 𝑁 tal que n > m > 0; se cumple que las soluciones enteras del trinomio 𝑥 3 − 𝑦 3 = 𝑧 4 están dadas por las siguientes expresiones: 𝑧 = 3𝑛2 𝑚 + 3𝑛𝑚2 + 𝑚3 𝑦 = 3𝑛3 𝑚 + 3𝑛2 𝑚2 + 𝑛𝑚3 𝑥 = 3𝑛3 𝑚 + 6𝑛2 𝑚2 + 4𝑛𝑚3 + 𝑚4 Trasponiendo términos en 𝑥 3 − 𝑦 3 = 𝑧 4 tenemos 𝑧 4 + 𝑦 3 = 𝑥 3 y haciendo cambio de variable tenemos que: 𝑧 4 = 𝑝2 , 𝑦 3 = 𝑟 3 ∧ 𝑥 3 = 𝑞 3 con lo cual se obtiene el trinomio de la forma 𝑝2 + 𝑟 3 = 𝑞 3cuyas soluciones enteras están expresadas por las siguientes expresiones algebraicas para todo𝑛, 𝑚 ∈ 𝑁. 𝑝 = (3𝑛2 𝑚 + 3𝑛𝑚2 + 𝑚3 )2 𝑟 = 3𝑛3 𝑚 + 3𝑛2 𝑚2 + 𝑛𝑚3 𝑞 = 3𝑛3 𝑚 + 6𝑛2 𝑚2 + 4𝑛𝑚3 + 𝑚4 PALABRAS CLAVES: Trinomio. Ternas pitagóricas. Teorema de Pitágoras. Por Rubén Darío Muñoz López – 2020 1.1INTRODUCCIÓN El teorema de Pitágoras, conocido universalmente por la belleza de su sencillez y por ser insumo básico en la solución de muchos problemas matemáticos en diferentes áreas, y cuya formulación matemática es 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 ; se convirtió por siglos en una obsesión cuando Fermat postuló que era imposible extender su concepto a potencias mayores a 2. Es decir no existen soluciones enteras para el trinomio 𝑥 3 + 𝑦 3 = 𝑧 3 ; lo cual ha sido demostrado luego de mas de 300 años. Quizás una nueva obsesión se este entreteniendo a la luz de una lámpara, intentando postular un método general para determinar las soluciones enteras del trinomio 𝑥 𝑎 + 𝑦 𝑏 = 𝑧 𝑐 . Por ahora intentaremos dar un método particular para determinar las ternas enteras de la forma (𝑝, 𝑟, 𝑞) tal que 𝑝, 𝑟, 𝑞 > 0 del trinomio 𝑝2 + 𝑟 3 = 𝑞 3 y cuyas expresiones algebraicas siguientes permiten generar una infinidad de ternas conociendo únicamente dos números naturales n y m. 1.2DEMOSTRACIONES 1.2.1 CASO PARTICULAR Dada la expresión 𝑥 3 − 𝑦 3 = 𝑧 4 … (1) 𝑦 𝑥 Sea: 𝑧 = 𝑛 ∧ 𝑧 = 𝑛 + 1 Por lo tanto: 𝑦 = 𝑧𝑛 ∧ 𝑥 = 𝑧(𝑛 + 1) Reemplazando en (1) (𝑧(𝑛 + 1))3 − (𝑧𝑛)3 = 𝑧 4 (𝑧𝑛 + 𝑧)3 − (𝑧𝑛)3 = 𝑧 4 𝑧 = 3𝑛2 + 3𝑛 + 1 Reemplazando valores para: 𝑦 = 𝑧𝑛 ∧ 𝑥 = 𝑧(𝑛 + 1) Se desprende el siguiente teorema: TEOREMA Dado el trinomio de la forma 𝑥 3 − 𝑦 3 = 𝑧 4 para todo 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑁 tal que 𝑥, 𝑦, 𝑧 > 0 se cumple que las ternas 𝑥, 𝑦, 𝑧 están dadas por: 𝑧 = 3𝑛2 + 3𝑛 + 1 𝑦 = 3𝑛3 + 3𝑛2 + 𝑛 𝑥 = 3𝑛3 + 6𝑛2 + 4𝑛 + 1. Por otro lado, si 𝑧 4 = 𝑝2 ⇒ 𝑥 3 − 𝑦 3 = 𝑝2 . Trasponiendo términos 𝑝2 + 𝑦 3 = 𝑥 3 Donde: 𝑝 = (3𝑛2 + 3𝑛 + 1)2 Por Rubén Darío Muñoz López – 2020 En la tabla siguiente se pueden apreciar algunas ternas para n ordenado para 𝑥 3 − 𝑦 3 = 𝑧 4 n 1 2 3 4 5 6 x 14 57 148 305 546 889 y 7 38 111 244 455 762 z 7 19 37 61 91 127 x3 y3 2744 185193 3241792 28372625 162771336 702595369 z4 343 54872 1367631 14526784 94196375 442450728 2401 130321 1874161 13845841 68574961 260144641 Este tipo de ternas existe cuando x > y ≥ z. En la tabla siguiente se pueden apreciar algunas ternas para n ordenado para 𝑝2 + 𝑟 3 = 𝑞 3 n 1 2 3 4 5 6 p 49 361 1369 3721 8281 16129 r 7 38 111 244 455 762 q 14 57 148 305 546 889 p2 r3 2401 130321 1874161 13845841 68574961 260144641 343 54872 1367631 14526784 94196375 442450728 q3 2744 185193 3241792 28372625 162771336 702595369 Este tipo de ternas existe cuando p > q ≥ r. 1.2.2 CASO GENERAL Dada la expresión 𝑥 3 − 𝑦 3 = 𝑧 4 … (2) Sea: 𝑦 𝑥 =𝑛∧ =𝑛+𝑚 𝑧 𝑧 Por lo tanto: 𝑦 = 𝑧𝑛 ∧ 𝑥 = 𝑧(𝑛 + 𝑚) TEOREMA Dado el trinomio de la forma 𝑥 3 − 𝑦 3 = 𝑧 4 para todo 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑁 tal que 𝑥, 𝑦, 𝑧 > 0 se cumple que las ternas 𝑥, 𝑦, 𝑧 están dadas por: 𝑧 = 3𝑛2 𝑚 + 3𝑛𝑚2 + 𝑚3 𝑦 = 3𝑛3 𝑚 + 3𝑛2 𝑚2 + 𝑛𝑚3 Reemplazando en (2) 𝑥 = 3𝑛3 𝑚 + 6𝑛2 𝑚2 + 4𝑛𝑚3 + 𝑚4 (𝑧(𝑛 + 𝑚))3 − (𝑧𝑛)3 = 𝑧 4 Por otro lado si 𝑧 4 = 𝑝2 entonces se cumple que 𝑥 3 − 𝑦 3 = 𝑝2 ,trasponiendo términos. 𝑝2 + 𝑦 3 = 𝑥 3 Resolviendo la ecuación se tiene que: 𝑧 = 3𝑛2 𝑚 + 3𝑛𝑚2 + 𝑚3 Reemplazando valores para: 𝑦 = 𝑧𝑛 ∧ 𝑥 = 𝑧(𝑛 + 𝑚) Se desprende el siguiente teorema: Donde: 𝑝 = (3𝑛2 𝑚 + 3𝑛𝑚2 + 𝑚3 )2 Por Rubén Darío Muñoz López – 2020 En las tablas siguientes se pueden apreciar algunas ternas para n y m ordenado para 𝑥 3 − 𝑦 3 = 𝑧 4. n m x y z x3 y3 z4 1 2 78 26 26 474552 17576 456976 2 2 224 112 56 11239424 1404928 9834496 3 2 490 294 98 117649000 25412184 92236816 4 2 912 608 152 758550528 224755712 533794816 5 2 1526 1090 218 3553559576 1295029000 2258530576 6 2 2368 1776 296 13278380032 5601816576 7676563456 7 2 3474 2702 386 41926580424 19726772408 22199808016 n 1 2 3 4 5 6 7 m 3 3 3 3 3 3 3 x 252 585 1134 1953 3096 4617 6570 y 63 234 567 1116 1935 3078 4599 z 63 117 189 279 387 513 657 x3 16003008 200201625 1458274104 7449150177 29675828736 98419153113 283593393000 y3 250047 12812904 182284263 1389928896 7245075375 29161230552 97272533799 z4 15752961 187388721 1275989841 6059221281 22430753361 69257922561 186320859201 Este tipo de ternas existe cuando x > y ≥ z. n 1 2 3 4 5 6 m 2 2 2 2 2 2 p 676 3136 9604 23104 47524 87616 r 26 112 294 608 1090 1776 q 78 224 490 912 1526 2368 p2 456976 9834496 92236816 533794816 2258530576 7676563456 Este tipo de ternas existe cuando p > q ≥ r. r3 17576 1404928 25412184 224755712 1295029000 5601816576 q3 474552 11239424 117649000 758550528 3553559576 13278380032 Por Rubén Darío Muñoz López – 2020 1.3ANALISIS Y CONCLUSIÓN FINAL Del estudio presentado en este artículo se pueden desprender las siguientes conclusiones para el trinomio 𝑥 3 − 𝑦 3 = 𝑧 4 a) La cantidad de ternas enteras que cumplen con el trinomio 𝑥 3 − 𝑦 3 = 𝑧 4 son infinitas y solo dependen de la relación de dos números arbitrarios naturales mayores que cero. b) Se cumple que x >y ≥ z. c) Algunas ternas les corresponde los valores y = z. Siendo las soluciones enteras para el trinomio: 𝑥 3 − 𝑦 3 = 𝑧 4 las siguientes expresiones. 𝑧 = 3𝑛2 𝑚 + 3𝑛𝑚2 + 𝑚3 𝑦 = 3𝑛3 𝑚 + 3𝑛2 𝑚2 + 𝑛𝑚3 𝑥 = 3𝑛3 𝑚 + 6𝑛2 𝑚2 + 4𝑛𝑚3 + 𝑚4 Y para el caso del trinomio de la forma 𝑝2 + 𝑟 3 = 𝑞 3 también existen infinitas ternas enteras que satisfacen la igualdad y que son consecuencia del trinomio 𝑥 3 − 𝑦 3 = 𝑧 4 dados dos números naturales arbitrarios 𝑛, 𝑚 ∈ 𝑁 cuyas soluciones están dadas por: 𝑝 = (3𝑛2 𝑚 + 3𝑛𝑚2 + 𝑚3 )2 𝑟 = 3𝑛3 𝑚 + 3𝑛2 𝑚2 + 𝑛𝑚3 𝑞 = 3𝑛3 𝑚 + 6𝑛2 𝑚2 + 4𝑛𝑚3 + 𝑚4 Por Rubén D Muñoz L – 2020 BIBLIOGRAFÍA [1] Más allá del teorema de Pitágoras, volumen III – Rubén D Muñoz L.