Por Rubén Darío Muñoz López – 2019
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS CUYA ÁREA ES IGUAL A
SU PERÍMETRO
CASO: Triángulo rectángulo de lados enteros
Por Rubén Darío Muñoz López – 2019
RESUMEN
En este artículo se presenta las fórmulas para determinar triángulos rectángulos de lados
enteros cuya área es igual a su perímetro. Así mismo se presenta una demostración sencilla de
que no existen más que dos triángulos rectángulos de lados enteros en la que el área del
triángulo es igual a su perímetro.
La demostración se basa en las fórmulas generales de generación de ternas pitagóricas
enteras.
Para todo: 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑘 ∈ 𝑁. Se tiene que: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 , si se cumple que 𝑧 > 𝑦 > 𝑥 ≥ 3.
𝑥 ∈ 𝑁, 𝑦 =
𝑥2 − 𝑘2
𝑥2 + 𝑘2
,𝑧 =
2𝑘
2𝑘
Para determinar triángulos rectángulos cuya área es igual a su perímetro es suficiente aplicar
las siguientes formulas:
𝑥 =𝑘+4
𝑦=
4𝑘 + 8
𝑘
𝑧=
𝑘 2 + 4𝑘 + 8
𝑘
El cateto menor “x”, el cateto mayor “y” y la hipotenusa “z” sólo depende de la diferencia
pitagórica k que asume todos los valores de la serie natural, es decir k = 1, 2, 3…n.
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No es difícil determinar analíticamente de que existen solamente
dos triángulos rectángulos de lados enteros que cumplen la
condición de que su área es igual a su perímetro y estos son las
ternas pitagóricas: 5, 12, 13 y 6, 8, 10 pertenecientes a los únicos
triángulos rectángulos de lados enteros cuyas áreas respectivas
son 30 y 24 unidades. Para el caso general, es decir en el
conjunto de números reales, existen infinitos triángulos
rectángulos que cumplen dicha condición.
Palabras claves: Ternas pitagóricas y Triangulo rectángulo.
1.1 Introducción
Las ternas pitagóricas de números enteros es el conjunto de una tripleta de números enteros
positivos de la forma (x, y, z) que cumplen el teorema de Pitágoras, es decir: “la suma de los
cuadrados de dos números es igual al cuadrado del tercer número”.
x2 + y2 = z2
Según las fórmulas desarrolladas por el autor de este artículo, sobre la generación de ternas
pitagóricas, en todo triangulo rectángulo de lados enteros, el cateto mayor y la hipotenusa de
una terna pitagórica de números enteros depende exclusivamente del cateto menor x y de la
diferencia pitagórica k según las siguientes expresiones:
𝑦=
𝑥2 − 𝑘2
𝑥2 + 𝑘2
∧𝑧=
=𝑦+𝑘
2𝑘
2𝑘
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Determinar el área de un triángulo rectángulo es tan elemental como determinar el semi
producto de los catetos es decir:
𝐴=
𝑥𝑦
2
Del mismo modo el perímetro se determina por la suma de sus tres lados
𝑃 =𝑥+𝑦+𝑧
Así que básicamente el problema se reduce a determinar las condiciones para que A = P
1.2 Cálculos justificatorios cuaternas pitagóricas irreductibles lado menor impar.
Según el enunciado como el área A es igual al perímetro P es decir A = P. Remplazado los
valores del cateto mayor “y” y la hipotenusa “z” en función del cateto menor “x” según las
fórmulas generales de generación de terna pitagóricas de lados enteros, presentadas líneas
arriba, tenemos:
Para el área
Para el perímetro
𝑥 2 − 𝑘 2 𝑥 2 + 𝑘 2 2𝑥 2 + 2𝑘𝑥
𝑃=𝑥+
+
=
2𝑘
2𝑘
2𝑘
𝑥2 − 𝑘2
𝑥(
) 𝑥3 − 𝑘2𝑥
2𝑘
𝐴=
=
2
4𝑘
Igualando las expresiones
:
𝑥 3 −𝑘 2 𝑥
2𝑥 2 +2𝑘𝑥
=
⇒ 𝑥 3 − 𝑘 2 𝑥 = 4𝑥 2 + 4𝑘𝑥
4𝑘
2𝑘
Ordenando
:
𝑥 3 − 4𝑥 2 − 𝑘 2 𝑥 − 4𝑘𝑥 = 0
Agrupando y factorizando
:
𝑥 3 − 4𝑥 2 − 𝑥(𝑘 2 + 4𝑘) = 0
Simplificando en x
:
𝑥 2 − 4𝑥 − (𝑘 2 + 4𝑘) = 0
Completando cuadrados
:
𝑥 2 − 4𝑥 + 4 − (𝑘 2 + 4𝑘 + 4) = 0
Factorizando
:
(𝑥 − 2)2 − (𝑘 + 2)2 = 0
Finalmente
:
𝑥 = 𝑘+4
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La relación del cateto menor con respecto a la diferencia pitagórica queda establecida en 4
unidades. Reemplazando en las ecuaciones generales de generación de ternas pitagóricas el
valor de x en función de k que puede asumir cualquier valor de la seri natural incluso cero; se
determinan las formas particulares para determinar los lados de un triángulo rectángulo cuya
área siempre será igual a su perímetro:
𝑘=𝑛
→ 𝑘 = {0,1,2,3, … , 𝑛}
𝑥 = 𝑘+4
→ 𝑥 = {4,5,6,7, … , 𝑛}
(𝑘 + 4)2 − 𝑘 2 4𝑘 + 8
=
2𝑘
𝑘
→ 𝑦 = {8,12,8,6, … }
(𝑘 + 4)2 + 𝑘 2 𝑘 2 + 4𝑘 + 8
𝑧=
=
2𝑘
𝑘
→ 𝑧 = {8,13,6,8, … }
𝑦=
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Tabulando valores según las expresiones deducidas para los primeros k naturales
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
x=k+4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
y
z
AREA
PERIMETRO
12
13
30
30
8
10
24
24
6.66666667 9.66666667 23.3333333 23.3333333
6
10
24
24
5.6
10.6
25.2
25.2
5.33333333 11.3333333 26.6666667 26.6666667
5.14285714 12.1428571 28.2857143 28.2857143
5
13
30
30
4.88888889 13.8888889 31.7777778 31.7777778
4.8
14.8
33.6
33.6
4.72727273 15.7272727 35.4545455 35.4545455
4.66666667 16.6666667 37.3333333 37.3333333
4.61538462 17.6153846 39.2307692 39.2307692
4.57142857 18.5714286 41.1428571 41.1428571
4.53333333 19.5333333 43.0666667 43.0666667
4.5
20.5
45
45
4.47058824 21.4705882 46.9411765 46.9411765
4.44444444 22.4444444 48.8888889 48.8888889
4.42105263 23.4210526 50.8421053 50.8421053
4.4
24.4
52.8
52.8
4.38095238 25.3809524 54.7619048 54.7619048
4.36363636 26.3636364 56.7272727 56.7272727
4.34782609 27.3478261 58.6956522 58.6956522
CATETOS DE TRIÁNGULO PITAGÓRICOS
Si el área y el perímetro de un triángulo
rectángulo son iguales, la función tiene una
asintota en 4 que es el mínimo valor de "y"
para las ternas pitagóricas de lados enteros.
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
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El mínimo valor entero k=1 determina el mínimo valor x=5 y el máximo valor y=12 para
z=13. A medida que k se incrementa el valor de y disminuye hasta la asíntota y=4.
Observándose que solamente existen dos parejas de catetos 5 - 12 y 6 – 8. El resto de los
valores son fraccionarios.
1.3 ANALISIS FINAL Y CONCLUSIONES
A medida que "x" tiende hacia el infinito, "y" tiende desde 12 hasta la asíntota y = 4. Y el
mínimo valor entero para "y" es 4, pero no existe una terna pitagórica para este valor. Por
tanto desprendiéndose de los valores tabulados las únicas ternas que cumplen la condición
establecida en este articulo son : 5,2,13 y 6,8,10.
A continuación se presentan las expresiones de los lados de un triángulo rectángulo cuya área
es igual a su perímetro en función del resto pitagórico k.
𝑥 =𝑘+4
𝑦=
4𝑘 + 8
𝑘
𝑧=
𝑘 2 + 4𝑘 + 8
𝑘
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Reemplazando estas expresiones en las fórmulas de área y perímetro se obtiene la
expresión algebraica para hallar área o perímetro de un triángulo rectángulo que cumple
la condición de ser iguales. Las expresiones para hallar el área y el perímetro en función
de k son por tanto iguales:
4𝑘 + 8
𝑘 2 + 4𝑘 + 8
2𝑘 2 + 12𝑘 + 16
𝑃 = (𝑘 + 4) + (
)+(
)=
𝑘
𝑘
𝑘
4𝑘 + 8
(𝑘 + 4) (
) 2𝑘 2 + 12𝑘 + 16
𝑘
𝐴=
=
2
𝑘
Un análisis más detallado de las ecuaciones cuadráticas implica que para cada valor de k
sólo concurren dos soluciones. Aunado esto a los valores mínimos y máximos
establecidos tubularmente podemos concluir que sólo existen dos triángulos rectángulos
de lados entero en que el área y el perímetro son iguales. Y para valores en R existen
infinitas soluciones.
BIBLIOGRAFÍA
[1] Ruben D. Muñoz L. (2014) Más allá del teorema de Pitágoras – Volumen II