Rubén Darío Muñoz López – 2021
Más allá del teorema de Pitágoras.
Rubén Darío Muñoz López
Más allá del teorema de Pitágoras - 2021
SEMEJANZA ISOMÓRFICA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS POR
INTERSECCIÓN
Qué tienen en común los siguientes
triángulos rectángulos.
En las figuras (a), (b) y (c) el triangulo
interno es semejante a los triangulos mas
mayores y que a su vez tienen las mismas
dimensiones.
El ejercicio pretende encontrar un triángulo
rectángulo de lados enteros ABC, tal que al
invertir el orden de sus catetos se obtiene el
triángulo rectángulo AC’A’. Sobrepuestos
los triángulos de tal forma que ambos
coincidan en uno de los vértices de ángulo
agudo. La intersección de ambos triángulos
determina otro triangulo rectángulo de
lados y área entera ACF.
En este articulo se presenta el caso de un
triángulos rectángulo que
genera un
triángulo rectángulo semejante de lados
enteros al ser girado y superpuesto consigo
mismo.
Antes de proceder con las explicaciones se
presenta el siguiente ejercicio que ha sido
publicado en el grupo de matemáticas: Más
allá del teorema de Pitágoras y en la pagina
en FB Dario Lanni matemáticas.
El mínimo valor que puede asumir el cateto
menor es tres; así que si a = 3, el mínimo
valor para x = 4. Pero más adelante, como
ya se dijo, veremos que en realidad el
mínimo valor para el cateto x = 12, en
consecuencia a = 9 y c = 15.
Solución al problema
La solución al problema es: el triángulo
rectángulo ABC de lados 12, 16 y 20 con el
correspondiente triangulo semejante ACF
de lados 9, 12, 15.
DEMOSTRACIONES
1 de 3
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Más allá del teorema de Pitágoras.
Pero como se intuye que las soluciones son
infinitas, se procede a su demostración.
Aproximación numérica a la solución
Sea: 𝑎 = 𝐶𝐹, 𝑐 = 𝐴𝐹
Continuando con el análisis se tiene que el
cateto menor debe ser mayor entonces que
4.
Además: 𝑦 = 𝐴𝐶′, 𝑧 = 𝐴𝐴′
Se cumple que los triángulos rectángulos
ACF y AC’A’ son semejantes, por tanto:
Si x = 6, no existe un triangulo transverso
cuyo segundo cateto este entre los valores 4
y 8.
𝑥 2 + 𝑎2 = 𝑐 2 ⟹ 𝑥 = √𝑐 2 − 𝑎2
Por semejanza de triángulos entre
AC’A’ y ACF
Para x = 8, se sabe que la terna posible seria
8, 15, 17 lo cual contradice la paridad.
𝑎 𝑥
𝑥2
= ⇒ 𝑎 = … (1)
𝑥 𝑦
𝑦
𝑐 𝑥
𝑧𝑥
= ⇒ 𝑐 = … (2)
𝑧 𝑦
𝑦
𝑎 𝑥
= … (3)
𝑐 𝑧
Para x = 10; se sabe que la terna posible
seria 10, 24, 26
que tampoco tiene
solución.
Probando ahora con x = 12 se obtiene la
terna 12, 16, 20 y esta si determina una sub
terna para el triángulo ACF de 9, 12, 15.
Siendo la primera solución al problema.
Análisis de Paridad de los términos de los
lados del triángulo rectángulo
A continuación se presentan las fórmulas
generales con base en la expresión
pitagórica:
Con respecto a los elementos de la terna,
interesa saber que si x y z son impares no
puede dividirse exactamente entre y, por
tanto, (1) y (2) serian incompatibles con
soluciones enteras.
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
En el triángulo ACF por teorema de
Pitágoras
𝑥 2 + 𝑎2 = 𝑐 2 ⇒
𝑥 2 → 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
=∄
𝑦 → 𝑝𝑎𝑟
𝑎𝑦 + 𝑎2 = 𝑐 2 ⇒ 𝑦 =
Por consiguiente x y z deben ser pares, y de
ser así y no podría ser impar (teoría de
composición de ternas pitagóricas por
sextales).
En consecuencia se descarta que las ternas
tengan cateto menor x e hipotenusa z impar.
𝑐 2 − 𝑎2
𝑎
En el triángulo ACB por teorema de
Pitágoras
2 2
2 2
𝑧
𝑥
𝑥
𝑐
𝑧2 𝑐2
𝑥2 + 2 = 2 ⇒ 1 + 2 = 2
𝑐
𝑎
𝑐
𝑎
4
𝑐 − 𝑎2 𝑐 2
𝑎2 𝑐 2 + 𝑧 2 𝑎2 = 𝑐 4 ⇒ 𝑧 2 =
𝑎2
√𝑐 4 − 𝑎2 𝑐 2
𝑧=
𝑎
Primera conclusión
Los
lados
del
triángulos
ABC
necesariamente deben ser pares al mismo
tiempo. Como los términos de las ternas x,
y, z son pares, estas serán reductibles a
casos primitivos.
A continuación se presenta una tabla con
los primeros valores de ternas que cumplen
la condición del enunciado.
2 de 3
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k
4
8
12
16
12
20
24
28
32
36
24
30
40
44
48
52
x
12
24
36
48
60
60
72
84
96
108
120
120
120
132
144
156
y
16
32
48
64
144
80
96
112
128
144
288
225
160
176
192
208
z
20
40
60
80
156
100
120
140
160
180
312
255
200
220
240
260
a=x2/y
9
18
27
36
25
45
54
63
72
81
50
64
90
99
108
117
c
15
30
45
60
65
75
90
105
120
135
130
136
150
165
180
195
k'
3
6
9
12
5
15
18
21
24
27
10
16
30
33
36
39
Más allá del teorema de Pitágoras.
k/k' = y/x
1.3333333
1.3333333
1.3333333
1.3333333
2.4
1.3333333
1.3333333
1.3333333
1.3333333
1.3333333
2.4
1.875
1.3333333
1.3333333
1.3333333
1.3333333
𝑥 = 12𝑛, 𝑦 = 16𝑛, 𝑧 = 20𝑛
𝑘 = 4𝑛
𝑎 = 9𝑛, 𝑐 = 15𝑛, 𝑘′ = 3𝑛
Del mismo modo se tiene la segunda serie,
cuya relación que los emparenta es el
cociente y/x = 12/5.
𝑥 = 60𝑛, 𝑦 = 144𝑛, 𝑧 = 156𝑛
𝑘 = 12𝑛
𝑎 = 25𝑛, 𝑐 = 65𝑛, 𝑘′ = 5𝑛
En general se cumple:
(𝑎𝑛)2 + (𝑏𝑛)2 = (𝑐𝑛)2
El primer indicio que se observa es que
existe ternas que pueden agruparse en
sucesiones aritméticas:
𝑐𝑛 − 𝑏𝑛 = 𝑘′
𝑛(𝑐 − 𝑏) = 𝑘′
𝑏
𝑓=
𝑎
(𝐴𝑛)2 + (𝐵𝑛)2 = (𝐶𝑛)2
𝑧 = {20,40,60,80,100 … 20𝑛}
𝑦 = {16,32,48,64,144, … 16𝑛}
𝐴 = 𝑎𝑓, 𝐵 = 𝑏𝑓, 𝐶 = 𝑐𝑓
𝑥 = {12,24,36,48,60, … 12𝑛},
Ejemplo:
𝑘 = {4,8,12,16,20,24 … 4𝑛}
𝑓=
Estas ternas pitagóricas que
solución entera son de la forma:
(12𝑛)2
2
12
= 2.4
5
admiten
A continuación se presenta una tabla
ampliada con otros valores para triángulos
rectángulos de lados enteros que girados y
traspuestos sobre si mismos generan otro
triangulo rectángulo semejante de área y
lados enteros.
2
+ (16𝑛) = (20𝑛)
Y sus correspondientes triángulos semejantes:
Hipotenusa: 𝑐 = {15,30,45,60, , … 15𝑛}
Cateto mayor: 𝑥 = {12,24,36,48, … 12𝑛}
Cateto menor: 𝑎 = {9,18,27,36,45, … 9𝑛}
Diferencia pitagórica: 𝑘′ = {3,6,9,12, … 3𝑛}
Terna pitagóricas tiene la forma:
(9𝑛)2 + (12𝑛)2 = (15𝑛)2
Entonces se da el caso particular, en que la
relación que los emparenta es el cociente
y/x = 4/3.
3 de 3
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k
52
24
56
36
60
64
68
72
76
48
60
80
84
88
92
96
60
100
104
108
48
112
116
40
72
90
120
124
128
132
x
y
z
156 208 260
168 576 600
168 224 280
180 432 468
180 240 300
192 256 320
204 272 340
216 288 360
228 304 380
240 576 624
240 450 510
240 320 400
252 336 420
264 352 440
276 368 460
288 384 480
300 720 780
300 400 500
312 416 520
324 432 540
336 1152 1200
336 448 560
348 464 580
360 1600 1640
360 864 936
360 675 765
360 480 600
372 496 620
384 512 640
396 528 660
a=x2/y
117
49
126
75
135
144
153
162
171
100
128
180
189
198
207
216
125
225
234
243
98
252
261
81
150
192
270
279
288
297
Más allá del teorema de Pitágoras.
c
195
175
210
195
225
240
255
270
285
260
272
300
315
330
345
360
325
375
390
405
350
420
435
369
390
408
450
465
480
495
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error u omisión en la redacción del
contenido de este artículo. Sean bienvenidas
las observaciones y preguntas.
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