NÚMEROS PARES INTER PRIMOS GEMELOS Por Rubén Darío Muñoz López Antes de iniciar las explicaciones se deja el siguiente reto: EJEMPLO 2 +1 25 24 −1 23′ Ahora gravita básicamente dos interrogantes: qué hace que algunos números pares arrojen primos gemelos al sumarles y restarles al mismo tiempo la unidad, y si podemos considerar esta condición de forma infinita. *** Si a un número par cualquiera se le suma y resta 1 al mismo tiempo se obtienen dos números impares consecutivos, en algunos casos primos gemelos. 𝑁 + 1 = 𝑞′ Pero, antes de responder estos cuestionamientos sucede algo, aun más, interesante: si tomamos dos o más números pares que cumplen la condición de este artículo, nos encontraremos que la suma de estos pares también pertenece a ese conjunto de números, llamemos los, números pares inter primos. 𝑁 − 1 = 𝑝′ 𝑞 ′ = 𝑝′ + 2 EJEMPLO 6 + 12 + 18 = 30 Veamos algunos ejemplos: +1 6 −1 EJEMPLO 1 +1 19′ 18 −1 17′ El número par más pequeño que cumple esta condición es por supuesto 4. +1 4 −1 5′ 3′ 7′ 5′ +1 13′ 12 −1 11′ +1 19′ 18 −1 17′ +1 31′ 30 −1 29′ Intentaremos develar el misterio. Primero que nada, dividamos los números pares en dos subconjuntos: El conjunto de los que arrojan primos gemelos y el conjunto de los que no los generan. En otros casos al menos uno de los resultados de la suma o resta es un número impar no primo. Podemos, entonces, tomar todos los números pares que queramos y empecemos a sumar y restar una unidad al mismo tiempo a cada uno de ellos, y obtendremos los primeros números consignados en la siguiente lista: 5 7 4 6 3 13 19 25 31 37 43 49 55 12 18 24 30 36 42 48 54 11 17 23 29 35 41 47 53 5 61 67 60 66 59 65 Tal que q’ = p’ + 2; en cambio los números de la serie AZUL al menos uno de los valores anterior o posterior no es primo. Como se puede observar. En realidad no existe ningún misterio, sucede que todo número de la forma 6n siempre esta al medio de los números de la forma 6n + 1 y 6n – 1, y por tanto, ambos son impares y los números primos siempre se ajustan a una de esas formas, con excepción del primo impar mas péqueño que es 3. … ,6𝑛 − 2,6𝑛 − 1,6𝑛, 6𝑛 + 1,6𝑛 + 2, … Aquí surge la primera pista: con excepción de 4, el resto de los números pertenecen a la sucesión natural de múltiplos de 6. Pudiendo de este modo establecer una conjetura que intentaremos demostrar. Dada la sucesión de los números naturales múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, …, 6n se cumple que si se suma y resta 1 al mismo tiempo, se obtienen dos números impares consecutivos anterior y posterior a dicho número; en algunos casos esos números resultantes son primos gemelos. En el caso particular de 4 este se ubica entre 3 y 5, siendo este el único caso del sextal IV. En definitiva podemos establecer que 4 y todos los números "pares" múltiplos de 6 pertenecen al conjunto de los números pares que se encuentran entre primos o seudo primos de los sextales I y V: Ahora agrupemos en dos series, los números múltiplos de 6 que cumplen ambas condiciones. Por comodidad llamemos a los que arrojan primos gemelos serie ROJA y a la otra, serie AZUL; disponiéndolas de la siguiente forma: 7 13 19 12 18 11 17 25 31 24 6 5 37 36 30 23 43 29 49 55 48 54 42 35 41 61 67 66 60 47 53 73 59 79 85 91 78 84 90 77 83 89 72 65 71 En la serie ROJA se cumple definitivamente que: N ± 1 = primo 𝑁 + 1 = 𝑞′ 𝑁 − 1 = 𝑝′ Diagrama de ordenamiento sextales Así que en realidad cualquier número a y b múltiplo de 6 es un elemento de dicho conjunto. Con respecto a la sumatoria se tiene que siempre se cumplirá la condición de que la suma de los números pares inter-primos gemelos es otro número inter primo gemelo. Es decir: La suma de dos o más números consecutivos de ambas series se encuentra en la secuencia azul o roja. 6 + 12 + 18 = 30 12 + 18 + 30 = 60 18 + 30 + 42 = 90 30 + 42 + 60 = 132 Así que encontrar al menos una sumatoria que no cumpla esta condición seria genial dando pie a una conjetura interesante, sin embargo puedo asegurarles que no existe, por más grande que sea la cantidad de términos de la serie de números pares inter- primos gemelos. Incluso podemos afirmar que: “la sumatoria de dos de ellos consecutivos siempre será seis veces un numero impar”. DEMOSTRACIÓN: Sea m y n son dos números múltiplos de 6 consecutivos, tal que su suma siempre será múltiplo de 6. 𝑚 = 6𝑎 ∧ 𝑛 = 6𝑏 𝑚 + 𝑛 = 6𝑎 + 6𝑏 𝑚 + 𝑛 = 6(𝑎 + 𝑏) Si b = a +1 se tiene 𝑚 + 𝑛 = 6(𝑎 + 𝑎 + 1) 𝑚 + 𝑛 = 6(2𝑎 + 1) Al ser la suma múltiplo de 6, se cumple la condición. Por Rubén Darío Muñoz L - 2021 Un agradecimiento especial a los miembros del grupo Más allá del teorema de Pitágoras.