LA TERNA PITAGÓRICA ENTERA MÁS GRANDE DE LA ACTUALIDAD Por Rubén Darío Muñoz López – 2019 RUSUMEN En este artículo se presenta la terna pitagórica irreductible más grande de la actualidad, basada en el reciente descubrimiento del número primo más grande denominado M77232917 y que es igual a 277232917-1 un número que tiene cerca de 23 millones de dígitos. Palabras claves: Ternas Pitagóricas y Números Primos 1.1 Introducción Para la determinación de la terna pitagórica irreductible más grande de la actualidad, se ha utilizado el método de diferencia pitagórica para la generación de ternas pitagóricas de números enteros, desarrollada por el autor y presentada al XXXII Coloquio de matemáticas de la Asociación Matemática del Perú realizado en la Pontificia Universidad Católica del Perú, en diciembre de 2014. Una terna, tupla o triplete pitagórico es un conjunto de tres números enteros positivos x, y, z tal que la sumatoria de sus cuadrados es cero, es decir: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟎. Existen básicamente dos tipos de ternas, las terna pitagóricas reductibles y las ternas pitagóricas irreductibles o primitivas. Una terna pitagórica reductible 𝒙, 𝒚, 𝒛 es aquella que puede reducirse a otra terna 𝒙′, 𝒚′, 𝒛′ de números enteros positivos dividiendo los términos por un divisor común de tal forma que el Máximo Común Divisor de la nueva terna sea 1. ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑧 + |𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒛𝟐 𝑆𝑖: 𝑀𝐶𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1 ⇒ 𝑥, 𝑦, 𝑧 → 𝑇𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑝𝑖𝑡𝑎𝑔ó𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 1.2 El número primo más grande de la actualidad Recientemente se ha publicado, la verificación del número primo más grande de la actualidad, al que se ha denominado M77232917 que bordea los 23 millones de dígitos, descubierto por un ingeniero de Tennessee y que es igual a 277 232 917 − 1. Gracias al poder de cómputo de muchos ordenadores y la tenacidad de varios matemáticos aficionados del proyecto Great Internet Mersenne Primer Search y 80 horas de cálculos con cuatro ordenadores distintos, quedó confirmado la “primalidad” del número M77232917. La verificación ha demandado más de 80 horas de cálculos utilizando 4 computadores diferentes. Aprovechando este descubrimiento, se presenta la terna pitagórica irreductible más grande de la actualidad, compuesta por M77232917 para el cateto menor y una diferencia entre hipotenusa y cateto mayor de 1. 1.3 Terna pitagórica de números enteros irreductible más grande de 2019 Si: M = 77232917 𝑥 = 2𝑀 − 1 𝑦 = 2𝑀 (2𝑀−1 − 1) 𝑧 = 2𝑀 (2𝑀−1 − 1) + 1 La terna pitagórica entera irreductible más conocida del mundo corresponde al triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5. Existen otras menos conocidas como 5, 12 y13 ó 7, 24 y 25. Utilizando ordenadores potentes es posible hallar otras ternas más grandes cuyo lado menor sea un número primo como por ejemplo 2017, 2034144 y 2034145; todas irreductibles, es decir no pueden reducirse por semejanza a otros triángulos de lados enteros más pequeños. En teoría como los números primos son infinitos, sería posible determinar ternas pitagóricas que cumplan el teorema de Pitágoras. Aplicando las fórmulas para calcular ternas pitagóricas primas irreductibles desarrolladas por el autor de este articulo se ha determinado la terna pitagórica irreductible más grande de la actualidad, basada en el número primo más grande verificado actualmente, denominado M77232917 que tiene cerca de 23 millones de dígitos. 1.4 Cálculos justificatorios Aplicando el método por diferencia pitagórica, se tiene, para todo: 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑧 + El teorema de Pitágoras dice que: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒛𝟐 , si se cumple que 𝑧 > 𝑦 > 𝑥 ≥ 3 Según las fórmulas desarrolladas por el autor de este artículo, el cateto mayor y la hipotenusa de una terna irreductible de números enteros depende exclusivamente del cateto menor según las siguientes expresiones: 𝑦= 𝑥2 − 1 2 ∧ 𝑧= 𝑥2 − 1 = 𝑦+1 2 Aplicando dichas fórmulas al número primo M77232917, la terna pitagórica enteras irreductible más grande sería: a) CATETO MENOR 𝑥 = 277 232 917 − 1 b) CATETO MAYOR (277 232 917 − 1)2 − 1 𝑦= 2 22(77 232 917) − 2(277 232 917 ) + 1 − 1 𝑦= 2 𝑦 = 22(77 232 917)−1 − 277 232 917 c) HIPOTENUSA (277 232 917 − 1)2 + 1 𝑧= 2 𝑧 = 22(77 232 917)−1 − 277 232 917 + 1 Rubén Darío Muñoz López - 2019 1.5 Conclusiones La terna pitagórica irreductible más grande de la actualidad es: 𝑥 = 277 232 917 − 1 𝑦 = 22(77 232 917)−1 − 277 232 917 𝑧 = 22(77 232 917)−1 − 277 232 917 + 1 Lo cual nos induce a pensar que quizás existe un número primo más grande que M77232917 y podría ser. 𝒛 = 𝟐𝟐(𝟕𝟕 𝟐𝟑𝟐 𝟗𝟏𝟕)−𝟏 − 𝟐𝟕𝟕 𝟐𝟑𝟐 𝟗𝟏𝟕 + 𝟏, pues sabemos que, si el cateto menor de un triángulo rectángulo de lados enteros es una potencia impar de 2 menos uno, la hipotenusa también puede ser un número primo. Esto se confirma basado en la teoría de sextales desarrollada por el autor la cual puede revisarse en el libro Mas allá del teorema de Pitágoras Volumen - II. Dejando la verificación de la “primalidad” de 𝒛 = 𝟐𝟐(𝟕𝟕 𝟐𝟑𝟐 𝟗𝟏𝟕)−𝟏 − 𝟐𝟕𝟕 𝟐𝟑𝟐 𝟗𝟏𝟕 + 𝟏, un número que tendría cerca de 46 millones de dígitos. BIBILIOGRAFIA [1] Ruben D. Muñoz L. (2014) Más allá del teorema de Pitágoras – Volumen II