TEOREMA DE LOS PRIMOS GEMELOS Caso: Diferencia de los cuadrados de dos primos gemelos Por Rubén Darío Muñoz López – 2019 RESUMEN En este artículo se presenta la demostración de la conjetura de que la diferencia de los cuadrados de dos primos gemelos sea un cuadrado perfecto tiene una única solución natural. Siendo 3 y 5 los únicos primos gemelos cuya diferencia de sus cuadrados es igual a un cuadrado perfecto 4. La demostración se basa en la aplicación de la teoría de sextales, desarrollada por el autor de este artículo, la cual se presentó al XXXII coloquio de la asociación matemática del Perú en diciembre de 2014 llevada a cabo en la Pontificia Universidad católica del Perú , así mismo puede revisarse en el libro Mas allá del Teorema de Pitágoras – Volumen I. Palabras claves: Números Primos, Ternas pitagóricas y Triangulo rectángulo. 1.1 Introducción Los números primos son aquellos que tienen solamente dos divisores, sí mismos y la unidad. La distribución de los números primos, aun se considera aleatoria. Dos primos cuya diferencia aritmética es 2, como 3 y 5, 11 y 13, 17 19 etc. se denominan primos gemelos. Sabemos que la diferencia de dos cuadrados fue uno de los caminos posibles para desarrollar las fórmulas de generación de ternas pitagóricas de números enteros, pero esta a su vez generó una conjetura que dice: Que la diferencia de los cuadrados de dos números primos gemelos que arrojen un cuadrado perfecto no es infinita. En este articulo la demostración de la conjetura de que la única terna que cumple que la diferencia de los cuadrados de dos números primos gemelos p y q es igual a un número cuadrado perfecto es finita, y solo cumple para 5 y 3; es decir 𝑞 2 − 𝑝2 ≠ 𝑎2 sí p >3 52 − 32 = 42 1.2 DEMOSTRACIÓN. 𝑞 2 − 𝑝2 = 𝑎2 ⟹ (𝑞 − 𝑝)(𝑞 + 𝑝) = 𝑎2 2(𝑞 + 𝑝) = 𝑎 2 Aplicando el teorema de Pitágoras a la diferencia primal se tiene: 𝜔12 − 𝜔52 = 𝜔6 4(𝑝 + 1) = 𝑎2 ∨ 4(𝑞 − 1) = 𝑎2 𝑞 2 = 𝑎2 + 𝑝2 ⟹ 𝑞12 = 𝑎62 + 𝑝52 Aplicando sextales se determina que los primos gemelos son de la forma 6n+1 y 6n+5. Siendo 6n+1 > 6n+5. Por ello descontando el único número primo de la forma 6n+3 que bien a ser 3 se tiene que a2 es múltiplo de 24. Esto se verifica tabulando Debe cumplirse que la distancia entre la hipotenusa y el cateto menor debe ser 2, sin embargo esto no es posible ya que la distancia tiende a incrementare según la función: d=z-x para algunos valores pequeños: 𝑧−𝑥 = a2 16 24 48 72 120 q 5 7 13 19 31 p 3 5 11 17 29 Por tanto, como 𝑞 → 𝜔1 ∧ 𝑝 → 𝜔5 4(𝜔5 + 1) = 𝑎2 → 24𝑛 4(𝜔1 − 1) = 𝑎2 → 24𝑛 Que pertenecería al sexto sextal. 𝑥 2 −1 2 −𝑥 ⟹𝑑 = 𝑥 2 −2𝑥−1 2 Y como toda ecuación cuadrática tiene una única solución entera, entonces se concluye que la hipótesis es correcta y verificable en el siguiente cuadro. x 3 5 7 9 11 13 15 a 4 12 24 40 60 84 112 z 5 13 25 41 61 85 113 d=z-x 2 8 18 32 50 72 98 Rubén Darío Muñoz López – 30-10-2019 1.3 ANALISIS FINAL Y CONCLUSIONES Como se desprende de la demostración y el cuadro donde d = z – x para z y x primos se observa que la diferencia aritmética es incremental, siendo solamente para 5 y 3 es d = 2 es decir los únicos primos gemelos. Esto conlleva a formular el siguiente teorema: TEOREMA DE LOS PRIMOS GEMELOS La diferencia de los cuadrados de dos números primos gemelos p y q que es igual a un número cuadrado perfecto es finita, y sólo cumple para 5 y 3; es decir 𝑞 2 − 𝑝2 ≠ 𝑎2 si p >3 52 − 32 = 42 Rubén Darío Muñoz López BIBLIOGRAFÍA [1] Rubén D. Muñoz L. (2014) Más allá del teorema de Pitágoras – Volumen I y Volumen II