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Unidad 1: Álgebra para proyectos
Octavio Martı́nez-Baltodano
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Unidad 1: Álgebra para proyectos
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Outline I
Álgebra para proyectos
Introducción de la unidad
Modelando con Álgebra
Reglas de Álgebra
Polinomios
Cálculo Diferencial en la Formulación y Evaluación de Proyectos
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Introducción de la unidad
Introducción de la unidad
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Introducción de la unidad
▶ Los fundamentos del álgebra y su papel crucial en la formulación y evaluación de proyectos.
▶ El álgebra es la rama de las matemáticas que se ocupa de las relaciones, las estructuras y las cantidades.
▶ Es una herramienta esencial para entender y describir una amplia gama de fenómenos en los negocios y la
economı́a.
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Modelando con Álgebra
Modelando con Álgebra
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Modelando con Álgebra
▶ El primer paso en la evaluación de un proyecto es a menudo construir un modelo que describa el proyecto.
▶ Por ejemplo, supongamos que estamos evaluando un proyecto para construir un nuevo producto. Podemos
tener costos fijos (como el costo de la maquinaria) y costos variables (como el costo de los materiales por
unidad de producto). Podemos modelar los costos totales (C ) del proyecto como una función del número de
unidades producidas (x ) con una ecuación algebraica como la siguiente:
C = F + Vx
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Modelando con Álgebra
C = F + Vx
10
8
C
6
4
2
F
0
0
2
4
6
8
10
X
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Modelando con Álgebra
▶ Por ejemplo, suponga que una empresa tiene costos fijos derivados del arriendo de un local de F = 50
millones y cada unidad extra del producto cuesta V = 5 millones. En ese caso, La función de costos totales
va a estar dada por:
C = 50 + 5x
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Modelando con Álgebra
Analizando con Álgebra
▶ Una vez que tenemos un modelo, podemos utilizar el álgebra para analizarlo.
▶ Por ejemplo, podrı́amos querer encontrar el punto de equilibrio del proyecto, que es la cantidad de unidades
que necesitamos vender para cubrir nuestros costos.
▶ Si asumimos que el precio de venta por unidad es P, entonces los ingresos (R) del proyecto son:
R = Px
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Modelando con Álgebra
Gráfico de la Función de Beneficios R = Px
10
8
R
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
x
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Modelando con Álgebra
▶ El punto de equilibrio es cuando los ingresos permiten cubrir todos los costos
Gráfico de Costos e Ingresos
Costos Totales
Ingresos
Costos / Ingresos (C / R)
300
200
Punto de equilibrio
100
0
0
2
4
6
8
10
x
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Modelando con Álgebra
▶ Igualando ingresos y costos para encontrar el punto de equilibrio, obtenemos:
R=C
Px = F + Vx
Px − Vx = F
x (P − V ) = F
x=
F
P −V
Resolviendo esta ecuación para x , obtenemos la cantidad de unidades que debemos vender para cubrir
nuestros costos:
x=
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F
P −V
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Modelando con Álgebra
▶ Por ejemplo, suponga el caso donde C = 50 + 20x y R = 30x , en ese caso tenemos que
x=
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50
50
F
=
=
=5
P −V
30 − 20
10
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Modelando con Álgebra
▶ Los costos variables podrı́an cambiar a medida que aumenta la producción. Podrı́amos tener un costo variable
que disminuye a medida que producimos más unidades debido a las economı́as de escala.
▶ Esto podrı́a modelarse con una ecuación como la siguiente:
C = F + Vx − Dx 2
Donde D es el descuento en el costo variable por unidad debido a las economı́as de escala.
▶ En este modelo, los costos totales disminuyen a medida que aumenta la producción, lo que refleja las
economı́as de escala.
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Modelando con Álgebra
▶ Por ejemplo, para una función de costos totales C = 50 + 20x − 3x 2
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Modelando con Álgebra
▶ También podrı́amos tener el caso opuesto, donde, por ejemplo, contratando más personal sin incrementar la
cantidad de maquinaria y equipo, puede provocar economı́as decrecientes de escala
▶ Esto podrı́a modelarse con una ecuación como la siguiente:
C = F + Vx + Dx 2
Donde D es el cargo en el costo variable por unidad debido a las economı́as decrecientes de escala.
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Modelando con Álgebra
▶ Por ejemplo, para una función de costos totales C = 50 + 20x + 3x 2
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Modelando con Álgebra
▶ La función de costos cuadráticos de la forma C = F + Vx + Dx 2 y una función de ingresos lineal R = Px .
▶ Suponga que tiene el caso particular donde C = 100 + 20x − 3x 2 , R = 20x . graficamente tenemos
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Modelando con Álgebra
▶ El punto de equilibrio esta dado por
C =R
− 3x 2 = 20x
20x
100 + 100 − 3x 2 = 0
100 = 3x 2
3x 2 = 100
100
x2 =
3
r
x=
100
= 5.77
3
Esto pasa cuando los ingresos y costos son R = 20 ∗ 5.77 = 115.47
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Modelando con Álgebra
▶ Si en la operación anterior los 20x de ambos lados de la igualdad no se cancelaran, tendremos que recurrir a
la fórmula cuadrática.
▶ Por ejemplo, si tenemos C = 100 + 20x − 3x 2 , R = 10x , en este caso:
C =R
100 + 20x − 3x 2 = 10x
100 + 20x − 10x − 3x 2 = 0
100 + 10x − 3x 2 = 0
2
100 = 0
−3 x + |{z}
10 x + |{z}
|{z}
a
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b
c
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Modelando con Álgebra
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Modelando con Álgebra
▶ La fórmula cuadrática es
x1,2 =
−b ±
√
b 2 − 4ac
2a
En este caso
x1,2 =
−(10) ±
p
(10)2 − 4(−3)(100)
2(−3)
√
100 + 1200
−6
√
−10 ± 1300
=
−6
=
▶ Caso 1
x1,2 =
▶ Caso 2
x1,2 =
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−10 ±
√
−10 + 1300
26.055
=
= −4.34
−6
−6
√
−10 − 1300
−46.055
=
= 7.6759
−6
−6
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Modelando con Álgebra
▶ Note que si lo que se busca no es el punto de equilibrio, sino donde se obtienen los mayores beneficios,
entonces, lo que nos interesa es la función de beneficios
B =R −C
▶ Note que en el caso anterior hay economias de escala en los costos, de modo que luego del punto de
equilibrio, la empresa gana mas plata si produce mas, porque los ingresos son mayores que los costos.
▶ El caso mas comun a corto plazo es el opuesto, donde hay economias decrecientes a escala.
C = 10 + 20x + 3x 2 , R = 50x , es:
B =R −C
= 50x − 10 + 20x + 3x 2
= 50x − 10 − 20x − 3x 2
= −10 + 30x − 3x 2
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Modelando con Álgebra
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Modelando con Álgebra
▶ Cuando la función de beneficios es cuadrática, el punto de producción donde se alcanza el máximo beneficio
está dada por el vértice de la curva.
b
x∗ = −
2a
▶ En este caso particular
b
30
30
x∗ = −
=−
=
=5
2a
2(−3)
6
▶ Donde los beneficios de la empresa son
B = −10 + 30x − 3x 2
= −10 + 30(5) − 3(5)2
= 65
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Reglas de Álgebra
Reglas de Álgebra
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Reglas de Álgebra
Aquı́ te presentamos 25 reglas de álgebra esenciales.
1. Regla de la suma: la suma de dos números es la misma sin importar el orden. Es decir,
a+b =b+a
2. Regla del producto: el producto de dos números es el mismo sin importar el orden. Es decir,
ab = ba
3. Regla de la distribución: si se multiplica un número por una suma o diferencia, se puede distribuir el número
y multiplicarlo por cada término individualmente. Es decir,
a(b + c) = ab + ac
a(b − c) = ab − ac
4. Regla del cero: cualquier número multiplicado por cero es cero.
a·0=0
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Reglas de Álgebra
5. Regla de la unidad: cualquier número multiplicado por 1 es el mismo número. Es decir,
a·1=a
6. Regla de los signos (multiplicación): el producto de dos números con el mismo signo es positivo, mientras que
el producto de dos números con signos opuestos es negativo. Es decir,
(−a)(−b) = ab
(−a)b = −(ab)
7. Regla de los signos (división): al igual que con la multiplicación, la división de dos números con el mismo
signo resulta en un número positivo, mientras que la división de dos números con signos opuestos resulta en
un número negativo. Es decir,
(−a)/(−b) = a/b
(−a)/b = −(a/b)
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Reglas de Álgebra
8. Regla de las potencias: si se eleva un número a una potencia y luego se eleva el resultado a otra potencia, es
lo mismo que elevar el número a la potencia que es el producto de las dos potencias. Es decir,
(ab )c = abc
9. Regla de las raı́ces: la raı́z cuadrada de un número al cuadrado es el número absoluto original. Es decir,
√
a2 = |a|
10. Regla de los inversos: cada número tiene un inverso aditivo y un inverso multiplicativo. El inverso aditivo es
el número que, cuando se suma al número original, da cero. El inverso multiplicativo es el número que,
cuando se multiplica por el número original, da 1. Es decir,
a + (−a) = 0
a · (1/a) = 1
(siempre que a ̸= 0).
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Reglas de Álgebra
11. Regla de la transposición: si se tiene una ecuación y se quiere resolver para una variable, se pueden cambiar
los términos de lado cambiando su signo. Es decir, si
a+b =c
, entonces
a =c −b
.
12. Regla del absoluto: el valor absoluto de un número es siempre positivo. Es decir,
| − a| = a
|a| = a
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Reglas de Álgebra
13. Regla de la propiedad asociativa: al sumar o multiplicar tres o más números, el resultado no depende de
cómo se agrupen los números. Es decir,
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
14. Regla de la simplificación: las ecuaciones se pueden simplificar combinando términos similares. Es decir, si
a = b, entonces
a+c =b+c
ac = bc
15. Regla de las fracciones: para dividir una fracción por otra, multiplica la primera fracción por el recı́proco de la
segunda. Es decir,
a/b
a
d
=
·
c/d
b
c
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Reglas de Álgebra
16. Regla de las exponentes negativas: un número con un exponente negativo es igual al recı́proco del número
con el exponente positivo. Es decir,
1
a−b = b
a
17. Regla de la suma de exponentes: al multiplicar dos potencias con la misma base, se suman los exponentes. Es
decir,
ab · ac = ab+c
18. Regla de la resta de exponentes: al dividir dos potencias con la misma base, resta los exponentes. Es decir,
ab
= ab−c
ac
19. Regla de las fracciones con exponentes: un número elevado a una fracción es igual a la raı́z del número. Es
decir,
√
a1/b = b a
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Reglas de Álgebra
20. Regla de la multiplicación por el recı́proco: multiplicar un número por su recı́proco da 1. Es decir,
a · (1/a) = 1
21. Regla de la adición de raı́ces: no se pueden sumar raı́ces a menos que tengan el mismo radicando. Es decir,
√
√
√
a
a
a
b+ b=2 b
22. Regla de la multiplicación de raı́ces: puedes multiplicar las raı́ces con el mismo ı́ndice. Es decir,
√
√
√
a
a
b· ac = b·c
23. Regla de la división de raı́ces: se pueden dividir las raı́ces con el mismo ı́ndice. Es decir,
p
√
√
a
b/ a c = a b/c
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Reglas de Álgebra
24. Regla de las exponentes de cero: cualquier número (excepto el cero) elevado a la potencia de cero es uno. Es
decir,
a0 = 1
(siempre que a ̸= 0).
25. Regla de las exponentes de uno: cualquier número elevado a la potencia de uno es el mismo número. Es decir,
a1 = a
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Reglas de Álgebra
Ejemplo: Utilización de la regla de las potencias y la regla de los inversos en la evaluación del crecimiento
compuesto de un proyecto
▶ Supongamos que estás evaluando un proyecto de inversión y estás interesado en el crecimiento compuesto de
la inversión a lo largo del tiempo.
▶ Si estás invirtiendo una cantidad inicial (P), a una tasa de interés anual (r ), durante un número de años (t),
el valor futuro (F ) de la inversión se calcula ası́:
F = P(1 + r )t
Aquı́, estás utilizando la regla de las potencias para calcular el crecimiento compuesto.
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Reglas de Álgebra
▶ Otra regla importante
log ab = b log a
▶ Si necesitas resolver para otra variable (por ejemplo, cuántos años necesitarı́as para alcanzar un valor futuro
objetivo), puedes utilizar esta regla.
logF = logP + log(1 + r )t
logF − logP = tlog(1 + r )
t=
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logF − logP
logP(1 + r )
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Reglas de Álgebra
▶ Suponga que tiene ahorros de 20 millones de pesos y sabe que los bonos de EEUU dan una tasa del 5%, y
quiere tener un valor futuro de su inversión de 40 millones de pesos ¿cuanto tiempo deben mantener la
inversión?
▶ En este caso F = 40, P = 20, r = 0.05
t=
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log(40) − log (20)
logF − logP
=
= 14.2067
log(1 + r )
log (1 + 0.05)
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Polinomios
Polinomios
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Polinomios
▶ Un polinomio es una expresión algebraica que consta de variables y coeficientes, que se combinan utilizando
operaciones de suma, resta y multiplicación.
▶ Un polinomio de una variable (conocida como un polinomio univariado) tiene la forma:
P(x ) = an x n + an−1 x n−1 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0
Donde an , an−1 , ..., a2 , a1 , a0 son los coeficientes y n es el grado del polinomio.
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Polinomios
Aquı́ hay algunas reglas y operaciones importantes relacionadas con los polinomios que necesitarás entender:
1. Adición de polinomios: para sumar dos polinomios, simplemente sumamos los coeficientes correspondientes.
Por ejemplo, si tenemos dos polinomios P(x ) = 2x 2 + 3x + 1 y Q(x ) = x 2 + 2x + 3,
R(x ) = P(x ) + Q(x )
= [2x 2 + 3x + 1] + [x 2 + 2x + 3]
= 3x 2 + 5x + 4
2. Multiplicación de polinomios: para multiplicar dos polinomios, multiplicamos cada término en el primer
polinomio por cada término en el segundo polinomio y sumamos los resultados. Esta es una extensión de la
regla de distribución en álgebra.
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Polinomios
▶ Por ejemplo: Multiplicamos los polinomios P(x ) = 2x 2 + 3x + 1 y Q(x ) = x 2 + 2x + 3 término a término:
P(x ) · Q(x ) = (2x 2 + 3x + 1)(x 2 + 2x + 3)
= 2x 2 (x 2 + 2x + 3) + 3x (x 2 + 2x + 3) + 1(x 2 + 2x + 3)
= 2x 2 · x 2 + 2x 2 · 2x + 2x 2 · 3 + 3x · x 2 + 3x · 2x + 3x · 3 + 1 · x 2 + 1 · 2x + 1 · 3
= 2x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 3x 3 + 6x 2 + 9x + x 2 + 2x + 3
= 2x 4 + (4x 3 + 3x 3 ) + (6x 2 + 6x 2 + x 2 ) + (9x + 2x ) + 3
= 2x 4 + 7x 3 + 13x 2 + 11x + 3
Por lo tanto, P(x ) · Q(x ) = 2x 4 + 7x 3 + 13x 2 + 11x + 3.
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Polinomios
3. Grado de un polinomio: el grado de un polinomio es el exponente más grande en el polinomio.
4. Raı́ces de un polinomio: las raı́ces de un polinomio son los valores de x para los cuales el polinomio es igual a
cero.
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Cálculo Diferencial en la Formulación y Evaluación de Proyectos
Cálculo Diferencial en la Formulación y Evaluación de
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Cálculo Diferencial en la Formulación y Evaluación de Proyectos
▶ El cálculo diferencial es una rama del cálculo que se ocupa de la tasa de cambio y las pendientes de las curvas.
▶ La derivada de una función en un punto dado es la pendiente de la lı́nea tangente a la curva de la función en
ese punto.
▶ Para una función y = f (x ), su derivada se denota como f ′ (x ) o dy /dx .
▶ Veamos algunas reglas importantes de derivación que necesitarás entender:
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Cálculo Diferencial en la Formulación y Evaluación de Proyectos
1. Regla de la potencia: si f (x ) = x n , donde n es un número real, entonces
f ′ (x ) = n · x n−1
2. Regla del producto: si f (x ) = g(x ) · h(x ), entonces
f ′ (x ) = g(x ) · h′ (x ) + h(x ) · g ′ (x )
3. Regla del cociente: si f (x ) = g(x )/h(x ), entonces
f ′ (x ) =
g ′ (x ) · h(x ) − g(x ) · h′ (x )
(h(x ))2
4. Regla de la cadena: si f (x ) = g(h(x )), entonces
f ′ (x ) = g ′ (h(x )) · h′ (x )
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Ejemplos de la regla de la potencia:
▶ Si f (x ) = x 3 , entonces aplicando la regla de la potencia:
f ′ (x ) = 3 · x 3−1 = 3x 2
▶ Si g(x ) = x 5 , entonces la derivada es:
▶ Si h(x ) = x 1/2 (es decir, h(x ) =
g ′ (x ) = 5 · x 5−1 = 5x 4
√
x ), entonces su derivada se calcula como:
h′ (x ) =
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1
1
1
1
1
· x 2 −1 = · x − 2 = √
2
2
2 x
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Ejemplos de la regla del producto
▶ Si h(x ) = (3x + 1) · x 3 , entonces la derivada se calcula como:
d 3
d
(x ) + x 3 ·
(3x + 1)
dx
dx
= (3x + 1) · 3x 2 + x 3 · 3
h′ (x ) = (3x + 1) ·
= 9x 3 + 3x 2 + 3x 3
= 12x 3 + 3x 2
▶ Si f (x ) = x 2 · e x , entonces aplicando la regla del producto:
d x
d 2
(e ) + e x ·
(x )
dx
dx
= x 2 · e x + e x · 2x
f ′ (x ) = x 2 ·
= x 2 e x + 2xe x
▶ Si h(x ) = (3x + 2) · x 3 , su derivada se calcula como:
h′ (x ) = (3x + 2) · 3x 2 + x 3 · 3
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Ejemplos de la regla del cociente
3
▶ Si f (x ) = xx+1 , entonces aplicando la regla del cociente:
f ′ (x ) =
3x 2 · (x + 1) − x 3 · 1
(x + 1)2
=
3x 3 + 3x 2 − x 3
(x + 1)2
=
2x 3 + 3x 2
(x + 1)2
2
+3x
▶ Si g(x ) = 2xx 2 −1
, entonces su derivada es:
g ′ (x ) =
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(4x + 3) · (x 2 − 1) − (2x 2 + 3x ) · 2x
(x 2 − 1)2
=
4x 3 + 3x 2 − 4x − 3 − (2x 3 + 3x 2 )
(x 2 − 1)2
=
2x 3 − 4x − 3
(x 2 − 1)2
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Ejemplos de la regla del cociente
4
2
▶ Si h(x ) = x2x−5x
−3 , entonces la derivada se calcula como:
h′ (x ) =
(4x 3 − 10x ) · (2x − 3) − (x 4 − 5x 2 ) · 2
(2x − 3)2
=
(8x 4 − 20x 2 − 12x 3 + 30x ) − (2x 4 − 10x 2 )
(2x − 3)2
=
6x 4 − 12x 3 − 10x 2 + 30x
(2x − 3)2
x
▶ Si h(x ) = ln(x
) , entonces la derivada se calcula como:
h′ (x ) =
1 · ln(x ) − x · x1
ln2 (x )
ln(x ) − 1
=
ln2 (x )
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Ejemplos de la regla del cociente
3
▶ Si f (x ) = xe x , entonces aplicando la regla del cociente:
f ′ (x ) =
3x 2 · e x − x 3 · e x
(e x )2
3x 2 e x − x 3 e x
e 2x
2
3x − x 3
=
ex
=
x
▶ Si f (x ) = xe 2 , entonces aplicando la regla del cociente:
f ′ (x ) =
e x · x 2 − e x · 2x
(x 2 )2
x 2 e x − 2xe x
x4
x
e (x − 2)
=
x3
=
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Cálculo Diferencial en la Formulación y Evaluación de Proyectos
Ejemplos de la regla de la cadena:
▶ Si f (x ) = (3x 2 + 2)5 , entonces aplicando la regla de la cadena:
d
(3x 2 + 2)
dx
= 5(3x 2 + 2)4 · 6x
f ′ (x ) = 5(3x 2 + 2)4 ·
= 30x (3x 2 + 2)4
▶ Si g(x ) =
√
1 + 4x 3 , entonces su derivada es:
1
d
g ′ (x ) = √
·
(1 + 4x 3 )
3
dx
2 1 + 4x
1
· 12x 2
= √
2 1 + 4x 3
6x 2
= √
1 + 4x 3
▶ Si h(x ) = e 2x +3 , entonces la derivada se calcula como:
d
(2x + 3)
dx
= e 2x +3 · 2
h′ (x ) = e 2x +3 ·
= 2e 2x +3
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FIN
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