Matemáticas para Electrónica Industrial: Guía Técnica

ELECTRONICA INDUSTRIAL
Nivel: Técnico Básico
Especialidad Electrónica Industrial
Facilitador: Raul Soto Riera
Santa Cruz – Bolivia
ELECTRONICA INDUSTRIAL “Matemáticas”
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Presentación
Este texto guía es una herramienta que permitirá seguir sistemáticamente los
contenidos de la especialidad con el objetivo que los participantes construyan sus
conocimientos a partir de las experiencias adquirida desde la comunidad como
práctica cotidiana y de actividades de indagación, participación y reflexión tanto
dentro como fuera del aula.
El contenido de la guía tiene una serie de temas referidos a las diferente técnicas
matemáticas que será aplicados para solución y ejecución de leyes eléctricas, los
cuales en el desarrollo de cada unidad de aprendizaje, presentan cuestionamientos
y alternativas; planteamientos y conocimientos concretos, dignos de ser
profundizados, analizados y discutidos, junto con la puesta en práctica de lo
planteado en la autoevaluación, nacerán nuevas experiencias dentro este
maravilloso campo de la investigación, que constituyen el camino para construir
nuevas articulaciones entre la teoría y la práctica, entendiendo que la investigación
debe partir de la práctica cotidiana y la teoría debe ayudarnos a la realización
correcta de la práctica.
Debemos considera la importancia de los avances realizados de estudio de la
electricidad se desarrollaron aplicando distintas teorías y la experimentación con
distintos materiales eléctricos, siendo para esto necesario comprender y utilizar de
manera correcta los conceptos matemáticos, físicos y eléctricos para entender las
aplicaciones de las leyes y principios fundamentales necesarios en el análisis de los
distintos circuitos eléctricos.
Para finalizar este trabajo es producto de nuestra formación y experiencia como
facilitador en el área de electricidad Industrial
LIC. Raul Soto Riera
DOCENTE ESPECIALIDAD ELECTRICIDAD INDUSTRIAL
BTH TECNICO BASICO.
Prof. Raul Soto Riera
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Tabla de contenido
1.- Razón ..............................................................................................4
1.2.- Razón aritmética o por diferencia .................................................4
1.3.- Razón geométrica o por cociente .................................................5
2.- LA REGLA DE TRES O REGLA DE TRES SIMPLE........................5
2.1.- Regla de tres simple. ....................................................................5
2.2.- Reglas de tres Compuestas .........................................................7
3.- DESPEJE DE FORMULAS .............................................................9
4.- NOTACIÓN DE ÍNDICES: POTENCIA DE 10. ..............................12
4.1 Notación científica. .......................................................................14
5.- Mínimo Común Múltiplo ................................................................15
6.- Máximo Común Divisor .................................................................16
M.C.D. por inspección ........................................................................17
M.C.D. por descomposición en factores primos ..................................17
7.- Potencia y radicación ....................................................................18
7.1.- POTENCIACIÓN ........................................................................18
7.2.- POTENCIA DE UN NÚMERO FRACCIONARIO ........................20
7.3.- POTENCIA Y RADICACIÓN .....................................................21
7.3.1.- RADICACIÓN ..........................................................................21
7.3.3.- RAÍZ DE UNA POTENCIA .......................................................23
Exponente fraccionario .......................................................................24
BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................27
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Proporcionalidad y porcentaje
Razon
Regla de Tres Simple
Despeje de formulas
Potencia de 10
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Programa de matemáticas
El empleo creciente de los métodos cuantitativos en diversas disciplinas como la
economía, la psicología, y la sociología, así como en las ciencias naturales y exactas, ha
convertido a los procesos matemáticos y algebraicos en una importante herramienta
para su estudio, ya que el lenguaje matemático ofrece la posibilidad de trabajar con
conceptos en un nivel de formalidad tal, que permite la formulación de generalizaciones.
PROPÓSITOS GENERALES.
Los propósitos generales de esta unidad son que el participante:
 Ubique los momentos clave en la historia de las matemáticas relacionadas con el
desarrollo de la aritmética y el álgebra.
 Resuelva operaciones básicas entre polinomios y expresiones con potencias, e
interprete problemas prácticos representándolos por medio de expresiones
algebraicas.
 Domine todos los casos de productos notables y factorización, así como las
ecuaciones lineales.
 Reconozca que la matemática está inmersa en un proceso histórico-social
dinámico y complejo.
COMPETENCIAS.
Al término de este curso, el alumno estará capacitado para:











Manipular todo tipo operaciones aritméticas, especialmente con fracciones.
Enunciar las propiedades de los números reales.
Trabajar con las operaciones básicas entre polinomios.
Reconocer las formulas básicas de los productos notables y factorización.
Manejar las leyes de los exponentes.
Resolver ecuaciones de primer grado.
Traducir problemas prácticos al lenguaje algebraico, así como, encontrar
soluciones e interpretar resultados.
Resolver ecuaciones de primer grado.
Traducir problemas prácticos al lenguaje algebraico, así como, encontrar
soluciones e interpretar resultados.
Reconocer e interpretar problemas prácticos por medio de ecuaciones lineales.
Plantear un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y encontrar
sus soluciones.
PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJE
Razón y proporción
Una razón es un cociente o fracción entre dos magnitudes.
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Una proporción es una igualdad entre dos razones.
El 4 y el 15 se denominan extremos y el 5 y el 12 medios
¿Como se calcula un dato desconocido en una proporción?
Sabemos que si dos fracciones son equivalentes, al multiplicar en cruz el resultado
es el mismo.
El producto del medio tiene que ser igual al producto del extremo.
Practico
Calcular los términos que faltan:
15
3
80
𝑋
R. 12 ∗ 𝑋 =
R. 5 ∗ 60 =
80∗60
= 960
5
6. Tenemos una bolsa con pelotas amarillas y rojas, la razón entre pelotas amarillas
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y rojas es de 3 a 7, si en total hay 80 pelotas. ¿Cuántas amarillas y cuantas rojas
tenemos en la bolsa?
7. tenemos una bolsa de dulces de limon y fresa, y la razón entre pelotas dulces de
limon y fresa es de 5 a 9, si en total son 154 dulces. ¿Cuántos dulces de cada sabor
hay en la bolsa?
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RESUELVA EL PRACTICO 1 EN CASA
1.- Razón
Razón o relación de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades.
Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuánto excede
una la otra, es decir, restándolas, o hallando cuántas veces contiene una a la
otra, es decir, dividiéndolas. De aquí que haya dos clases de razones: razón
aritmética o por diferencia y razón geométrica o por cociente.
1.2.- Razón aritmética o por diferencia de dos cantidades es la diferencia indicada
de
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dichas
cantidades.
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Las razones aritméticas se pueden escribir de dos modos: Separándolas dos
cantidades con el signo ― o con un punto (.). Así, la razón aritmética de 6 a 4 se
escribe: 6―4 ó 6.4 y se lee seis es a cuatro.
Los términos de la razón se llaman: antecedente el primero y consecuente el
segundo. Así, en la razón 6―4, el antecedente es 6 y el consecuente 4.
1.3.- Razón geométrica o por cociente de dos cantidades es el cociente indicado de
dichas cantidades.
Las razones geométricas se pueden escribir de dos modos: En forma de
quebrado, separados numerador y denominador por una raya horizontal o
separadas las cantidades por el signo de división (). Así, la razón geométrica
de 8 a 4 se escribe u 84 y se lee ocho es a cuatro.
Los términos de la razón se llaman: antecedente el primero y consecuente el
segundo. Así, en la razón 84, el antecedente es 8 y el consecuente 4.
2.- LA REGLA DE TRES O REGLA DE TRES SIMPLE.
Es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres o más valores conocidos y
una incógnita. En ella se establece una relación de linealidad (proporcionalidad) entre los
valores involucrados.
Regla de tres es la operación de hallar el cuarto término de una proporción
conociendo los otros tres.
La regla de tres más conocida es la regla de tres simple directa, aunque también existe la regla
de tres simple inversa y la regla de tres compuesta.
2.1.- Regla de tres simple.
En la regla de tres simple, se establece la relación de proporcionalidad entre dos valores
conocidos A y B, y conociendo un tercer valor X, calculamos un cuarto valor. Y,4
La relación de proporcionalidad puede ser directa o inversa, será directa cuando a un mayor
valor de A habrá un mayor valor de B, y será inversa, cuando se dé que, a un mayor valor
de A corresponda un menor valor de B, veamos cada uno de esos casos.
a) Regla de tres simple Directa.
La regla de tres simple directa se fundamenta en una relación de proporcionalidad, por lo que
rápidamente se observa que:
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Donde k es la constante de proporcionalidad, para que esta proporcionalidad se cumpla
tenemos que a un aumento de A le corresponde un aumento de B en la misma proporción. Que
podemos representar:
y diremos que: A es a B directamente,
como X es
a Y,
siendo Y igual
al
producto
de B por X dividido entre A.
Imaginemos que se nos plantea lo siguiente:
Si necesito 8 litros de pintura para pintar 2 habitaciones, ¿cuántos litros necesito para pintar 5
habitaciones?
Este problema se interpreta de la siguiente manera: la relación es directa, dado que, a mayor
número de habitaciones hará falta más pintura, y lo representamos así:
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b) Regla de tres simple inversa
En la regla de tres simple inversa,en la relación entre los valores se cumple que:
Donde e es un producto constante, para que esta constante se conserve, tendremos que un
aumento de A, necesitara una disminución de B, para que su producto permanezca constante,
si representamos la regla de tres simple inversa, tendremos:
Y diremos que: A es a B inversamente,
como X es
a Y,
siendo Y igual
al
producto
de A por B dividido por X.
Si por ejemplo tenemos el problema:
Si 8 trabajadores construyen un muro en 15 horas, ¿cuánto tardarán 5 trabajadores en levantar
el mismo muro?
Si se observa con atención el sentido del enunciado, resulta evidente que cuantos más obreros
trabajen, menos horas necesitarán para levantar el mismo muro (suponiendo que todos trabajen
al mismo ritmo).
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El total de horas de trabajo necesarias para levantar el muro son 120 horas, que pueden ser
aportadas por un solo trabajador que emplee 120 horas, 2 trabajadores en 60 horas, 3
trabajadores lo harán en 40 horas, etc. En todos los casos el número total de horas permanece
constante.
Tenemos por tanto una relación de proporcionalidad inversa, y deberemos aplicar una regla de
tres simple inversa, tenemos:
2.2.- Reglas de tres Compuestas.
En ocasiones el problema planteado involucra más de tres cantidades conocidas, además de la
desconocida. Observemos el siguiente ejemplo:
Si 12 trabajadores construyen un muro de 100 metros en 15 horas, ¿cuántos trabajadores se
necesitarán para levantar un muro de 75 metros en 26 horas?
En el problema planteado aparecen dos relaciones de proporcionalidad al mismo tiempo.
Además, para completar el ejemplo, se ha incluido una relación inversa y otra directa. En efecto,
si un muro de 100 metros lo construyen 12 trabajadores, es evidente que para construir un muro
de 75 metros se necesitarán menos trabajadores. Cuanto más pequeño es el muro, menos
número de obreros precisamos: se trata de una relación de proporcionalidad directa. Por otro
lado, si disponemos de 15 horas para que trabajen 12 obreros, es evidente que disponiendo de
26 horas necesitaremos menos obreros. Al aumentar una cantidad, disminuye la otra: se trata
de una relación de proporcionalidad inversa.
El problema se enunciaría así:
Si 12 trabajadores construyen un muro de 100 metros en 15 horas, ¿cuántos trabajadores se
necesitarán para levantar un muro de 75 metros en 26 horas?
La solución al problema es multiplicar 12 por 75 y por 15, y el resultado dividirlo entre el producto
de 100 por 26. Por tanto, 13500 entre 2600 resulta 5,19 (lo que por redondeo resultan ser 6
trabajadores ya que 5 trabajadores no serían suficientes).
Formalmente el problema se plantea así:
La resolución implica plantear cada regla de tres simple por separado. Por un lado, la primera,
que, recordemos, es directa, y se resuelve así:
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A continuación planteamos la segunda, que, recordemos, es inversa, y se resuelve así:
A continuación unimos ambas operaciones en una sola, teniendo cuidado de no repetir ningún
término (es decir, añadiendo el término C una sola vez):
Lo que nos da la solución buscada.
El problema se puede plantear con todos los términos que se quiera, sean todas las relaciones
directas, todas inversas o mezcladas, como en el caso anterior. Cada regla ha de plantearse
con sumo cuidado, teniendo en cuenta si es inversa o directa, y teniendo en cuenta (esto es
muy importante) no repetir ningún término al unir cada una de las relaciones simples.
Ejemplos
Para pasar 60 grados a radianes podríamos establecer la siguiente regla de tres:
Ubicamos la incógnita en la primera posición:
Esto formaliza la pregunta "¿Cuántos radianes hay en 60 grados, dado que π radianes son 180
grados?". Así tenemos que:
Donde π es el Número π= 3,1416
Una técnica útil para recordar cómo encontrar la solución de una regla de tres es la siguiente: X
es igual al producto de los términos cruzados (π y 60, en este caso) dividido por el término que
está cruzado con X.
Calcular cuántos minutos hay en 7 horas. Sabemos que hay 60 minutos en 1 hora, por lo que
escribimos:
El resultado es:
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3.- DESPEJE DE FORMULAS.
Según el célebre libro "Álgebra Elemental" de Baldor, una fórmula es la expresión
de una ley o de un principio general por medio de símbolos o letras. Citando las
ventajas del uso de las fórmulas que nos muestra Baldor, tenemos:



Expresan de forma breve una ley o un principio general, esto es sin tantas
palabras que tengamos que interpretar. Es más fácil decir F=m.a que: la
fuerza aplicada es directamente proporcional a la masa de cuerpo
multiplicada por la aceleración que este adquiere por motivo de la fuerza
aplicada.
Son fáciles de recordar. Creo que no es necesario decir ningún ejemplo.
Su aplicación es muy fácil, pues para resolver un problema por medio de la
fórmula adecuada, basta sustituir las letras por lo valores en el caso dado.
Despeje de variables en una fórmula
Reglas Para despejar
1.- Lo que está sumando pasa restando.
2.- Lo que está restando pasa sumando
3.- Lo que está multiplicando pasa dividiendo
4.- Lo que está dividiendo pasa multiplicando
5.- Si está con exponente pasa con raíz.
Con el siguiente procedimiento estarás en capacidad de despejar cualquier variable
en muchas fórmulas y ecuaciones de física, química, matemáticas etc.
Estos pasos deben aplicarse en el orden en que se presentan para obtener un
despeje
correcto.
1. Si existen denominadores, para eliminarlos debes hallar el común denominador
AAMBOS LADOS de la fórmula.
2. Ahora lleva TODOS los términos que tengan la variable a despejar a un sólo lado
de la fórmula, y los demás términos al otro lado; debes tener en cuenta que cuando
pasas de un lado al otro los términos que estaban sumando pasan a restar y
viceversa.
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3.Suma los términos semejantes (si se puede).
4. TODOS los números y/o variables que acompañan la incógnita a despejar
pasan al otro lado a realizar la operación contraria: si estaban dividiendo pasan a
multiplicary viceversa. (OJO: En este caso NUNCA se cambia de signo a las
cantidades que pasan al otro lado).
5. Si la variable queda negativa, multiplica por (-1) a AMBOS lados de la fórmula
para volverla positiva (en la práctica es cambiarle el signo a TODOS los términos
de la fórmula).
6. Si la variable queda elevada a alguna potencia (n), debes sacar raíz (n) a
AMBOSlados de la fórmula para eliminar la potencia. Ten en cuenta que no siempre
es
necesario aplicar todos los pasos para despejar unaincógnita.
Ejemplo: Despeje x en la siguiente ecuación x2 /3 + 4y = y2/2 + x2
Aplicando los pasos que se explicaron, tenemos:
1. 2x2 + 24y = 3y + 6x2
6
6
El M.C.M entre 3 y 2 es 6.
2. 2x2 - 6x2 =
Se agrupan términos semejantes
3y - 24y
3. - 4x2 = - 24y
Se simplifican los términos semejantes.
x2 = - 24y
Se despeja la variable de interés (la x).
-4
5. Se despeja x extrayendo raíz a ambos lados
4.
En la ecuación x= (at²)/2
a) Despejar “a” 2x/a
Solución:
x = (at²)/2
2x = at²
(2x)/t² = a --> a = 2x/t²
b) Despejar "t"
Solución
x = (at²)/2
2x = at²
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2x/a = t²
√t = √2x/a ---> t = √2x/a
Ejemplos:
1.-Despejemos x en la ecuación z= r t − wa + dxdy
z= rt − wa + dxdy zdy=rt−wa+dx
zdy−rt=wa+dx
zdy−rt+wa=dx
zdy−rt+wad=x
x=zdy−rt+wad
2. Encontremos el valor de z en la ecuación xs=rtz
xs=rtz
xsr=tz
xsrt=z
z=xsrt
3. Encontremos el valor de «y» en la ecuación r+y−s=q
r+y−s=q
y−s=q−r
y=q−r+s.
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4.- NOTACIÓN DE ÍNDICES: POTENCIA DE 10.
(Nota: índice, potencia o exponente significan todos lo mismo)
El índice de un número te dice cuántas veces usas el
número en una multiplicación.
Esto quiere decir 10 × 10
(el 10 se usa 2 veces en la
multiplicación)
Ejemplo 1: 103 = 10 × 10 × 10 = 1.000

Con palabras: 103 se podría llamar "10 a la tercera potencia", "10 a la 3" o
simplemente "10 cubo"
Ejemplo 2: 104 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10.000

Con palabras: 104 se podría llamar "10 a la cuarta potencia", "10 a la
potencia 4" o simplemente "10 a la 4"
Puedes multiplicar cualquier número por sí mismo tantas veces como quieras con
esta notación (verexponentes), pero las potencias de 10 tienen una utilidad
especial...
Potencias de 10
Las "potencias de 10" son una manera muy útil de escribir números muy grandes.
En lugar de muchos ceros, puedes poner qué potencia de 10 necesitas para
hacer todos esos ceros
Ejemplo: 5.000 = 5 × 1.000 = 5 × 103


Cinco mil es 5 veces mil. Y mil es 103. Así que 5 × 103 = 5.000
¿Ves cómo 103 es una manera cómoda de escribir 3 ceros?
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Científicos e ingenieros (quienes a veces usan números muy grandes o muy
pequeños) encuentran muy útil esta manera de escribir números como:


9,46 x 1015 metros (la distancia que la luz viaja en un año), o
1,9891 x 1030 kg (la masa del Sol).
Así evitan tener que escribir muchos ceros. Se suele llamar notación científica,
o forma estándar.
Aunque parezca difícil al principio, hay un sencillo "truco":
El índice de 10 dice
Cuántas posiciones se mueven el punto decimal a la derecha.
Ejemplo: ¿Cuánto es 1,35 × 104?
Lo puedes calcular así: 1,35 x (10 × 10 × 10 × 10) = 1,35 x 10.000 = 13.500
Pero es más fácil pensar en "mover el punto decimal 4 posiciones a la derecha"
así:
Potencias Negativas de 10.
¿Negativas? ¿Qué es lo contrario de multiplicar? ¡Dividir!
Una potencia negativa significa cuántas veces se divide por el número.
¡Los exponentes negativos van en la dirección contraria!
Ejemplo: 5 × 10-3 = 5 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 = 0,005
Sólo tienes que recordar que para potencias negativas de 10:
Para las potencias negativas de 10, mueve el punto decimal a la izquierda.
Ejemplo: ¿Cuánto es 7,1 × 10-3?
Bueno, en realidad 7,1 x (1/10 × 1/10 × 1/10) = 7,1 x 0,001 = 0,0071
Pero es más fácil pensar en "mover el punto decimal 3 posiciones a la izquierda"
así:
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Resumen
El índice de 10 dice cuántas veces se mueve el punto decimal. Positivo es a la
derecha, negativo a la izquierda. Ejemplo:
Número
En notación
científica
Con palabras
Potencias positivas
5.000
5 × 103
5 miles
Potencias negativas
0,005
5 × 10-3
5 milésimos
4.1 Notación científica.
En las ciencias encontramos con mucha frecuencia cantidades muy grandes y
muy chicas. Por ejemplo, la velocidad de la luz es, aproximadamente,
de29,980,000,000 centímetros por segundo, y la masa aproximada de un átomo
de hidrógeno es 0.00000000000000000000001673 gramo. Podemos expresar
estos números en forma más compacta utilizando la notación científica. Un
número esta escrito en notación científica cuando tiene la forma
EJEMPLO
C
onvierte 29 980 000 000, a la notación científica.
SOLUCIÓN: El número 2.998 está entre el 1 y 10. Para obtener 29 980 000 000,
se debe recorrer el punto decimal de 2.998 10 lugares hacia la derecha. Esto se
hace multiplicando 2.998 por 1010
29 980 000 000 es igual a 2.998x1010
EJEMPLO
Convierte 0.00000000000000000000001673, a la notación científica.
SOLUCIÓN: El número 1.673 está entre el 1 y 10. Para obtener
0.00000000000000000000001673, debemos recorrer el punto decimal de 1.673
24 lugares hacia la izquierda. Esto lo podemos hacer si multiplicamos 1.673 por
10-24
0.00000000000000000000001673es igual a 1.673 x 10-24
EJEMPLO
Convierte -0.0013, a la notación científica.
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SOLUCIÓN: El número -1.3 está entre el 1 y 10. Para obtener -0.0013
recorremos el punto decimal de -1.3 tres lugares hacia la izquierda,
multiplicando por 10-3
-0.0013 = -1.3x10-3
EJEMPLO
Convertir 3.7x105 a la notación normal.
SOLUCIÓN: Ya que la multiplicación por 105 recorre el punto decimal 5 lugares
hacia la derecha, 3.7x105= 370,000
EJEMPLO
Convertir 1.1x10-3 a la notación normal.
SOLUCIÓN: Ya que la multiplicación por 10-3 recorre el punto decimal 3 lugares
hacia la izquierda, 1.1x10-3= 0.0011
5.- Mínimo Común Múltiplo
Mínimo Común Múltiplo: un entero es un múltiplo común de dos o más enteros
si es múltiplo de cada uno de ellos. Es frecuente tener que usar el menor entero
positivo que sea común múltiplo de dos o más enteros, al cual se le llama mínimo
común múltiplo y se simboliza por m.c.m. o M.C.M.
Mínimo Común Múltiplo por inspección
Cuando se trata de hallar el m.c.m. de números pequeños éste puede hallarse
muy fácilmente por simple inspección, de este modo:
Como el m.c.m. de varios números tiene que ser múltiplo de varios del mayor
de ellos, se mira a ver si el mayor de los números dados contiene exactamente
a los demás. Si es así, el mayor es el m.c.m. Si no los contiene, se busca cuál
es el menor múltiplo del número mayor que los contiene exactamente y éste
será el m.c.m. buscado.
EJEMPLO
Hallar el m.c.m. de 8 y 4
SOLUCIÓN: Como el mayor 8 contiene exactamente a 4, 8 es el m.c.m. de 8 y 4
EJEMPLO
Hallar el m.c.m. de 8, 6 y 4
SOLUCIÓN: 8 contiene exactamente a 4, pero no a 6. De los múltiplos de 8,
8×2=16 no contiene exactamente a 6, 8×3=24, contiene exactamente a 6 y 4.
24 es el m.c.m. de 8, 6 y 4
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EJEMPLO
Hallar el m.c.m. de 10, 12 y 15
SOLUCIÓN: 15 no contiene a los demás, 15×2=30 no contiene a 12; 15×3=45
tampoco; 15×4=60 contiene cinco veces a 12 y seis veces a 10. 60 es el m.c.m.
de 10, 12 y 15
Pasos para determinar el m.c.m.
a) Se halla la factorización prima de cada número.
b) El m.c.m. se forma con el producto de los factores primos comunes y no
comunes afectados por su mayor exponente.
EJEMPLO
Hallar el m.c.m. de 18, 24 y 15
18
9
3
1
2
3
3
24
12
6
2
1
232
2
2
3
2
15
5
1
233
3
5
35
 El m.c.m. de 18, 24 y 15 es (23)(32)(5) = 895 = 360
También se puede determinar la factorización prima de todos los números a la
vez.
EJEMPLO
Hallar el M.C.M. de 200, 300 y 225
200
300
225
2
100
150
225
2
50
75
225
2
25
75
225
23
3
25
25
75
25
25
25
3
5
5
5
5
1
1
1
32
52
5
6.- Máximo Común Divisor
El Máximo Común Divisor de dos o más números es el mayor de los divisores
comunes de dichos números; se simboliza por m.c.d. o M.C.D., cuando los
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números son pequeños el MCD puede calcularse fácilmente; por el contrario si
los números son grandes seguimos algunas reglas adecuadas.
M.C.D. por inspección
Como el M.C.D. de vario números tiene que ser divisor del menor de ellos,
procederemos así:
Nos fijamos en el número menor de los dados. Si éste divide a todos los demás
será el M.C.D. Si no los divide, buscamos cuál es el mayor de los divisores del
menor que los divide a todos y éste será el M.C.D. buscado.
EJEMPLO
Hallar el M.C.D. de 18 12 y 6
SOLUCIÓN: El número 6 divide a 18 y a 12 luego 6 es el M.C.D. de 18, 12 y 6
EJEMPLO
Hallar el M.C.D. de 20, 90 y 70
SOLUCIÓN: 20 no divide a 70, 10 es el mayor divisor de 20 que divide a 90 y a
70.
EJEMPLO
Hallar el M.C.D. de 48, 72 y 84
SOLUCIÓN: 48 no divide a los demás. De los divisores de 48, 24 no divide a 84;
12 divide a 72 y a 84. 12 es el M.C.D. de 48, 72 y 84.
M.C.D. por descomposición en factores primos
a) Se anotan los números en un simple renglón.
b) Se dividen todos los números entre factores primos comunes.
c) El MCD es producto de los factores primos comunes tomados con su
menor exponente.
EJEMPLO
Hallar el M.C.D. de 48 y 72
48
72
2
24
36
2
12
18
2
6
9
3
2
3
2
1
3
3
El MCD = 233 = 83= 24
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EJEMPLO
Hallar el M.C.D. de 464, 812 y 870
464
812
870
2
232
406
435
2
116
203
435
2
58
203
435
2
29
203
435
3
29
203
145
7
29
29
145
5
29
29
29
29
1
1
1
El MCD = 229 = 58
EJEMPLO
Hallar el M.C.D. de 60, 150, 40 y 850
60
150
40
850
2
30
75
20
425
2
15
75
10
425
2
15
75
5
425
3
5
25
5
425
5
1
5
1
85
5
17
17
1
El MCD = 25 = 10
1
7.- Potencia y radicación
Los babilonios utilizaban la elevación a potencia como auxiliar de la
multiplicación, y los griegos sentían especial predilección por los cuadrados y los
cubos. Diofanto (III d.C.) ideó la yuxtaposición adhesiva para la notación de las
potencias. Así x, xx¸xxx, etc. para expresar la primera, segunda, tercera potencias
de x. Renato Descartes (1596-1650) introdujo la notación x, x2, x3, x4, etc.
Aunque la palabra raíz proviene del latín radix, la radicación fue conocida por los
hindúes y por los árabes mucho antes que por los romanos. Las reglas para
extraer raíces cuadradazas y cúbicas aparecieron por primera vez en textos
hindúes.
7.1.- POTENCIACIÓN
Es la operación aritmética que tiene por objeto multiplicar por sí mismo un
número llamado base tantas veces como indica otro número llamado exponente.
Si escribimos 53, 5 será la base y 3 será el exponente, con lo cual tendremos
que:
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Cuando el exponente es 2, o sea, cuando estamos hallando la segunda potencia
de la base, se acostumbra decir que estamos hallando el cuadrado de la base.
Por ejemplo
. El término cuadrado viene de la nomenclatura
geométrica, puesto que el cuadrado de un número equivale en las unidades
correspondientes de superficie al área de un cuadrado. El área de un cuadrado
con un lado de 5m. será
m2.
Cuando el exponente es 3, es cuando estamos hallando la tercera potencia de
la base se acostumbra decir que estamos hallando el cubo de la
base.
, es el resultado de hallar el cubo de 5. El término cubo
también viene de la nomenclatura geométrica, ya que el cubo de un número
equivale en unidades correspondientes de volumen al volumen del cubo cuya
arista es dicho número.
Cuando los exponentes son 4, 5, 6, 7, 8, etc. se dice que estamos elevando la
base a la cuarta, quinta, sexta, séptima u octava potencia, respectivamente:
La potencia enésima de un número a equivaldrá a multiplicar n veces a por sí
mismo:
veces.
Ley de uniformidad
Cualquier potencia de un número tiene un valor único o siempre igual.
EJEMPLO
22=4 Siempre
53=125 Siempre
Potencia de un producto
Para elevar un producto a una potencia se eleva cada uno de los factores a dicha
potencia y se multiplican esa potencias.
Si tenemos el producto abc, Vamos a probar que (abc)n=an·bn·cn
Elevar el producto abc a la enésima potencia equivale a tomar este producto
como factor n veces; luego:
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Esta propiedad constituye la ley distributiva de la potenciación respecto de la
multiplicación.
EJEMPLO
Resolver (3×4×5)2
SOLUCIÓN: (3×4×5)2 = 32·42·52 = 9×16×25 = 3600
7.2.- POTENCIA DE UN NÚMERO FRACCIONARIO
Para elevar un cociente exacto o una fracción a una potencia cualquiera se
elevan su numerador y denominador a dicha potencia.
Si tenemos la fracción
; Según la definición de potencia elevar
potencia n será tomarlo como factor n veces; luego:
a la
Esta propiedad constituye la ley distributiva de la potenciación respecto de la
división exacta.
EJEMPLO
Elevar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO
Elevar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO
Desarrollar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO
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Desarrollar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO
Desarrollar
SOLUCIÓN:
7.3.- POTENCIA Y RADICACIÓN
7.3.1.- RADICACIÓN
La radicación es la operación inversa de la potenciación y consiste en hallar la
base conocidos el exponente y la potencia.
Si
tenemos
que
,
podemos
escribir
que
,
donde
el
signo
recibe el nombre de signo radical, 49 es la cantidad subradical, 7
es la raíz cuadrada y el número 2 es el índice de la raíz. En este caso como el
índice de la raíz es 2 se trata de una raíz cuadrada.
Cuando el índice es 3 diremos que la raíz es cúbica, cuando es 4 se trata de una
raíz cuarta, cuando es 5 se trata de una raíz quinta, cuando es 6 se trata de una
raíz sexta, y así sucesivamente.
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Cuando la raíz es cuadrada, cuando el índice es 2, generalmente se omite dicho
índice:
Una raíz es exacta cuando al elevarla a la potencia que indica el índice coincide
con la cantidad subradical. 5 es la raíz cúbica exacta de 125 puesto que
.
Una raíz es inexacta cuando no existe ningún número entero que al elevarlo a la
potencia que indica el índice coincida con la cantidad subradical. La raíz cuadrada
de 63 es inexacta, puesto que no existe ningún número entero que elevado al
cuadrado dé 63.
Los únicos números naturales que tienen raíz cuadrada exacta son los cuadrados
perfectos: 1, 4, 9, 16, 25… etc. Análogamente, los únicos números que tienen
raíz cúbica exacta son los cubos perfectos: 1, 8, 27, 64, 125… etc.
Ley de uniformidad
La raíz de un grado dado de un número tiene un valor único o siempre es igual.
Así
da 49.
únicamente, porque 7 es el único número que elevado al cuadrado
Ley distributiva
La radicación no es distributiva con relación a la suma. Así
a
porque
y
Igualmente
a
no es igual
no
porque
es
igual
y
La radicación no es distributiva con relación a la multiplicación y a la división.
Raíz de un producto indicado
La raíz de cualquier grado de un producto indicado de varios factores es igual al
producto de las raíces del mismo grado de cada uno de los factores.
Tenemos el producto
. Vamos a demostrar que:
Según la definición de raíz,
a la potencia n reproduce el producto
será la raíz enésima de
si elevada
.
Elevando la raíz a la enésima potencia, tendremos:
, luego queda demostrado lo que nos
proponíamos.
Esta propiedad es la ley distributiva de la radicación con relación a la
multiplicación.
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EJEMPLO
Efectuar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO
Efectuar
SOLUCIÓN:
7.3.2.- RAÍZ DE UN NÚMERO FRACCIONARIO.
La raíz de cualquier grado de un cociente exacto o un número fraccionario es
igual a la raíz de dicho grado del numerador partida por la raíz del mismo grado
del denominador.
Sea la fracción
. Vamos a demostrar que
Según la definición de raíz,
será la raíz enésima de
, si elevada a la
potencian reproduce el quebrado
Esta propiedad es la ley distributiva de la radicación con relación a la división
exacta.
EJEMPLO
Efectuar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO
Efectuar
SOLUCIÓN:
7.3.3.- RAÍZ DE UNA POTENCIA.
La raíz de cualquier grado de una potencia se obtiene dividiendo el exponente
de la potencia por el índice de la raíz.
Sea la potencia
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. Vamos a demostrar que
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Según la definición de raíz,
será la raíz enésima de
28
si elevada a la
potencian reproduce la cantidad subradical .
Elevando
a la potencia n, tendremos.
demostrado lo que nos proponíamos.
, luego queda
EJEMPLO
Efectuar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO
Efectuar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO
Efectuar
SOLUCIÓN:
Exponente fraccionario
Hemos visto en el punto anterior que para extraer una raíz a una potencia, se
divide el exponente de la potencia por el índice de la raíz. Si el exponente no es
divisible por el índice, hay que dejar indicada la división, originándose de este
modo el modo el exponente fraccionario.
EJEMPLO
Efectuar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO
Efectuar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO
Efectuar
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SOLUCIÓN:
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Raíz de una raíz
La raíz de cualquier grado de una raíz se obtiene multiplicando los índices de
ambas raíces.
Se trata de extraer la raíz cúbica de
Según la definición de raíz,
Vamos a demostrar que
será la raíz cúbica de
reproduce la cantidad subradical
si elevada al cubo
, y en efecto:
Esta propiedad a la inversa, nos permite extraer la raíz cuarta extrayendo dos
veces la raíz cuadrada; la raíz sexta extrayendo la raíz cuadrada y la cúbica, etc.
EJEMPLO
Efectuar
SOLUCIÓN:
EJEMPLO
Efectuar
SOLUCIÓN:
Algoritmo para encontrar la raíz cuadrada
1. Tantear una raíz aproximada.
2. Dividir el número entre la raíz aproximada.
3. Obtener el promedio del resultado de la división y el divisor. El promedio
es la siguiente raíz aproximada.
EJEMPLO
Calculara la raíz cuadrada de 5
SOLUCIÓN:
Paso 1. Tanteamos una raíz aproximada de 5: 2
Paso 2. Dividimos el número entre la raíz aproximada:
Paso 3. Obtenemos el promedio del resultado y el divisor y lo tomamos como
nuestra siguiente raíz aproximada:
Repetimos los pasos con el nuevo valor de la raíz aproximada:
Paso 1. Tanteamos una raíz aproximada de 5: 2.25
Paso 2. Dividimos el número entre la raíz aproximada:
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Paso 3. Obtenemos el promedio del resultado y el divisor y lo tomamos como
nuestra siguiente raíz aproximada:
Repetimos nuevamente los tres pasos con el nuevo valor de la raíz aproximada
Paso 1. Tanteamos una raíz aproximada de 5: 2.2361
Paso 2. Dividimos el número entre la raíz aproximada:
Paso 3. Obtenemos el promedio del resultado y el divisor y lo tomamos como
nuestra siguiente raíz aproximada:
El nuevo valor de la raíz aproximada es igual que el anterior, por lo que hemos
obtenido la raíz cuadrada que buscamos.
El primer tanteo puede ser cualquier número, el algoritmo siempre funciona, sin
embargo entre más cercano al valor de la raíz sea nuestro primer tanteo más
rápido llegaremos al número buscado.
EJEMPLO
Calculara la raíz cuadrada de 20
SOLUCIÓN:
Para hacer nuestro primer tanteo nos acordamos que
y
por lo
que tomamos 4.5 como primera raíz aproximada. Siguiendo los pasos tenemos
que:
Paso 1. Tanteamos una raíz aproximada de 20: 4.5
Paso 2. Dividimos el número entre la raíz aproximada:
Paso 3. Obtenemos el promedio del resultado y el divisor y lo tomamos como
nuestra siguiente raíz aproximada:
Repetimos nuevamente los tres pasos con el nuevo valor de la raíz aproximada
Paso 1. Tanteamos una raíz aproximada de 20: 4.4722
Paso 2. Dividimos el número entre la raíz aproximada:
Paso 3. Obtenemos el promedio del resultado y el divisor y lo tomamos como
nuestra siguiente raíz aproximada:
En este ejemplo encontramos la raíz cuadrada buscada con tres decimales de
precisión en la primera vez que hicimos los tres pasos.
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BIBLIOGRAFÍA
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Instrucciones Técnicas Complementarias. México, 2003
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MCGraw-Hill. Tomo I y tomo II.1996.
DIRECCIONES ELECTRÓNICAS
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 Instalaciones eléctricas, accedido el: 8 de agosto de 2011 de la dirección
electrónica:
http://www.buenastareas.com/ensayos/InstalacionesElectricas/485644.html
 Circuitos eléctricos básicos, accedido el: 11 de agosto de 2011 de la dirección
electrónica: http://www.youtube.com/watch?v=oaXCbeiIwiI
 Informe sobre conceptos de electrónica e instalaciones eléctricas básicas,
accedido el: 11 de agosto de 2011 de la dirección electrónica:
http://www.monografias.com/trabajos13/eleba/eleba2.shtml
 Instalaciones eléctricas Domiciliarias, accedido el: 15 de agosto de 2011 de la
dirección
electrónica:
http://www.monografias.com/trabajos13/eleba/eleba2.shtml
 Soluciones eléctricas on-line, accedido el: 15 de agosto de 2011 de la dirección
electrónica:
 http://www.oni.escuelas.edu.ar/2001/bs-as/soluciones-electricas/menu.html
 Instalaciones eléctricas domiciliarias, accedido el: 21 de agosto de 2011 de la
dirección electrónica: http://www.youtube.com/watch?v=kEsbpH4lbTE
 Accidentes en Instalaciones eléctricas, accedido el: 21 de agosto de 2011 de la
dirección electrónica: http://www.buenastareas.com/ensayos/Accidentes-EnInstalaciones-Electricas/3251516.html
 Instalaciones eléctricas prácticas, accedido el: 8 de septiembre de 2011 de la
dirección electrónica: http://iguerrero.wordpress.com/2008/01/14/instalacioneselectricas-practicas/
 Elementos eléctricos, accedido el: 12 de septiembre de 2011 de la dirección
electrónica:http://www.oni.escuelas.edu.ar/2001/bs-as/solucioneselectricas/page7.html
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