MÓDULO N.° 1: Fundamentos de álgebra Introducción El álgebra es una rama fundamental de las matemáticas que nos permite explorar y manipular relaciones abstractas entre números y símbolos. Este módulo, Fundamentos de álgebra, está diseñado para comprender los conceptos básicos del álgebra mediante el análisis de números reales, expresiones algebraicas y ecuaciones, desarrollando una base en las habilidades del pensamiento matemático abstracto. Este módulo está dividido en dos unidades principales: Figura 1. Estructura del módulo Fuente: elaboración propia En la unidad 1, comenzaremos explorando los números reales, el conjunto numérico que sirve como base para la mayoría de las operaciones algebraicas. Aprenderemos sobre sus propiedades fundamentales, que nos permitirán manipular expresiones algebraicas con confianza. Profundizaremos en el concepto de potencias, una herramienta poderosa para expresar multiplicaciones repetidas de manera concisa. Finalmente, nos adentraremos en el mundo de las expresiones algebraicas, combinando números y variables para representar relaciones matemáticas complejas. Figura 2. Números reales Fuente: Psicología y Mente, 2024, https://lc.cx/WNb9n0 En la unidad 2 trabajaremos el mundo de las ecuaciones, analizando desde los conceptos iniciales. Realizaremos una introducción a las ecuaciones lineales, aprendiendo a interpretar y formular estas relaciones matemáticas. Dominaremos diversas estrategias para resolver ecuaciones y sus aplicaciones prácticas. Luego, avanzaremos hacia las ecuaciones de segundo grado, explorando los diferentes métodos de resolución. A lo largo de este módulo, no solo aprenderemos conceptos y técnicas algebraicas, sino que también desarrollaremos habilidades de pensamiento lógico y resolución de problemas. Estas competencias son invaluables en una amplia gama de disciplinas, desde las ciencias y la ingeniería hasta la economía y la informática. Figura 3. Técnicas algebraicas Fuente: elaboración propia Video de inmersión 02:59 Unidad 1: Introducción al álgebra Tema 1: Números reales Los números reales son aquellos que se encuentran en la recta numérica, incluyendo los números racionales e irracionales, tanto positivos como negativos, y el número cero. Estos números pueden escribirse de diversas maneras, desde formas simples utilizadas en operaciones matemáticas básicas hasta representaciones más complejas. El símbolo de los números reales es R. Figura 4. Números reales Fuente: White, 2015, https://lc.cx/6DwVyf Los números reales surgieron de la necesidad de los pueblos antiguos de contar y resolver problemas cotidianos. Los babilonios utilizaban números reales para contar sus animales, y los egipcios, a través de matemáticos como Pitágoras, fueron los primeros en usar fracciones. En el siglo XIX, los matemáticos Georg Cantor y Richard Dedekind lograron sistematizar los números reales mediante avanzadas construcciones matemáticas. Los números reales son esenciales para llevar a cabo todas las operaciones matemáticas necesarias para resolver problemas. También se utilizan para llevar a cabo las siguientes acciones. Figura 5. Funciones de los números reales Fuente: elaboración propia El sistema de números reales se divide en dos grandes grupos: 1. Números racionales. Son aquellos que pueden expresarse como la división de dos números enteros. Dentro de este grupo se encuentran: a) Fracciones no enteras. Incluyen tanto fracciones positivas como negativas. b) Números enteros. Incluyen números positivos y negativos, y el cero. Los números enteros positivos se conocen como números naturales. 2. Números irracionales. Son aquellos cuya representación decimal es infinita y no periódica. Ejemplos de estos números incluyen la raíz cuadrada de números no cuadrados perfectos, el número π (pi), y el número áureo (φ). A continuación, veamos una tabla con ejemplos de cada uno de los conjuntos nombrados: Tabla 1. Ejemplos de números reales Fuente: elaboración propia Algunas características de los números reales son las siguientes: Figura 6. Características de los números reales Fuente: elaboración propia En conclusión, los números reales constituyen un conjunto fundamental en matemáticas, abarcando tanto los números racionales como los irracionales. Su importancia radica en varios aspectos clave, a saber: Representación continua. Los números reales permiten describir cualquier punto en una recta numérica. Base para el análisis matemático. Son importantes para el cálculo, las funciones continuas y el estudio de límites. Aplicaciones prácticas. Se utilizan en mediciones precisas, cálculos científicos, análisis de ingeniería y modelado de fenómenos físicos. Propiedades algebraicas. Forman un cuerpo ordenado y completo, lo que permite operaciones y comparaciones consistentes. Comprender los números reales no solo enriquece nuestro entendimiento matemático, sino que también nos proporciona herramientas poderosas para resolver problemas en ciencias, ingeniería y economía. Su estudio sienta las bases para conceptos más avanzados en matemáticas y es crucial para el desarrollo del pensamiento lógico y cuantitativo. Tema 2: Propiedades de los números reales Los números reales (designados por R) abarcan casi todos los números que podemos escribir o conocer. Es decir, incluyen los siguientes: Figura 7. Clasificación de los números reales F uente: Enciclopedia Significados, 2024, https://lc.cx/sPDsj1 Los números racionales pueden expresarse como el cociente de dos enteros y tienen una representación decimal periódica. Los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica. Los números reales pueden ser positivos, negativos o cero, y no incluyen números imaginarios o infinitos. A continuación, revisemos las operaciones y propiedades de los números reales: Tabla 2. Operaciones y propiedades de los números reales - suma SUMA Propiedad Propiedad interna La suma de dos números reales es un número real. Propiedad asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) Ejemplo 3+5=8 (ambos números, 3 y 5, son reales y su suma, 8, también es un número real). (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) Lado izquierdo: (2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9 Lado derecho: 2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9 Ejemplo cotidiano Si tenemos 3 libros y compramos 5 más, ahora tenemos 8 libros. Si sumamos 2 manzanas y 3 naranjas, y luego agregamos 4 plátanos, es lo mismo que si primero sumamos 3 naranjas y 4 plátanos, y Propiedad conmutativa: a+b=b+a 4+7=7+4 Lado izquierdo: 4 + 7 = 11 Lado derecho: 7 + 4 = 11 Propiedad elemento neutro: a+0=a 9+0=9 Propiedad elemento inverso: a + (−a) = 0 6 + (-6) = 0 luego agregamos 2 manzanas. Si nos pagan $ 40 000 hoy y $ 7000 mañana, tendremos el mismo total de $ 47 000 que si nos pagaran $ 7000 hoy y $ 40 000 mañana. Si tenemos 9 lápices y no añadimos ninguno más, seguimos teniendo 9 lápices. Si caminamos 6 metros hacia adelante y luego 6 metros hacia atrás, volvemos al punto de partida. Fuente: elaboración propia Tabla 3. Operaciones y propiedades de los números reales - multiplicación MULTIPLICACIÓN Propiedad Propiedad interna: El producto de dos números reales es un número real. Propiedad asociativa: (a × b) × c = a × (b × c) Ejemplo 3 × 5 = 15 (Ambos números, 3 y 5, son reales y su producto, 15, también es un número real). 12×23×34=12×23×34 Lado izquierdo: 12×23×34=13×34=14 Lado derecho: 12×23×34=12×24=14 Ejemplo cotidiano Si tenemos 3 cajas con 5 manzanas cada una, en total tenemos 15 manzanas. Si compramos 2 paquetes de 3 cajas cada uno, y luego multiplicamos por 4 artículos en cada caja, obtendremos el mismo número de artículos que si multiplicamos 3 cajas con 4 artículos cada una y luego por 2 paquetes. 12×34=34×12 Propiedad conmutativa: a×b=b×a Lado izquierdo: 12×34=38 Lado derecho: 34×12=38 Propiedad elemento neutro: a×1=a 25×1=25 Si nos pagan $ 4000 por hora y trabajamos 7 horas, ganamos lo mismo que si nos pagan $ 7000 por hora y trabajamos 4 horas. Si tenemos 9 lápices y los multiplicamos por 1, Propiedad elemento inverso: a × 1/a = 1 34×43=1 34×12+23=34×12+34×23 Propiedad distributiva: a × (b + c) = (a × b) + (a × c) Lado izquierdo: 34×12+23=34×76=78 Lado derecho: 34×12+34×23=38+12=78 seguimos teniendo 9 lápices. Si tenemos 6 manzanas y las dividimos en grupos de 1/6 de manzana, obtenemos exactamente 1 manzana entera. Si compramos 2 paquetes y cada paquete contiene 3 naranjas y 4 plátanos, obtenemos el mismo resultado que si compramos 2 paquetes de 3 naranjas más 2 paquetes de 4 plátanos. Fuente: elaboración propia El caso de la división en el conjunto de los números reales es algo particular y requiere atención especial, desde el hecho que la división por cero no está definida, es decir, intentar dividir cualquier número por cero no tiene sentido matemático y se considera una operación inválida. Aquí encontramos otras características que no debemos olvidar: Figura 8. Características de los números reales - división Fuente: elaboración propia Las propiedades de los números reales, particularmente en las operaciones de suma y multiplicación, proporcionan una estructura sólida para el análisis matemático y sus aplicaciones. Estas propiedades, como la asociatividad, conmutatividad, y la existencia de elementos neutros e inversos, no solo facilitan los cálculos, sino que también permiten modelar y resolver problemas complejos en diversos campos, como el análisis en finanzas o economía. Es importante destacar la propiedad distributiva, que vincula la suma y la multiplicación, y es fundamental en álgebra y en simplificaciones matemáticas. Además, la división en los números reales merece especial atención, recordando siempre que la división por cero no está definida. Tema 3: Potencias Las potencias son una operación matemática que representa el producto de un número, llamado base, multiplicado por sí mismo un cierto número de veces, indicado por el exponente. La potencia an se define como el producto de n veces el número a. En esta notación, a es la base y n es el exponente. Figura 9. Potencia Fuente: elaboración propia A continuación, veamos un ejemplo concreto: Figura 10. Ejemplo de potencia Fuente: elaboración propia Revisemos un ejemplo de aplicación: Tabla 4. Ejemplo de aplicación de potencia Fuente: elaboración propia A continuación, se presentan las principales propiedades de las potencias, junto con ejemplos: Figura 11. Propiedad de la potencia Fuente: elaboración propia Figura 12. Propiedad de la potencia Fuente: elaboración propia Figura 13. Propiedad de la potencia Fuente: elaboración propia Figura 14. Propiedad de la potencia Fuente: elaboración propia Figura 15. Propiedad de la potencia Fuente: elaboración propia Es importante entender que las potencias y sus propiedades no son solo un concepto simbólico en el álgebra, sino que se utilizan en diversas situaciones cotidianas y laborales, como las siguientes. Figura 16. Situaciones cotidianas y laborales donde se utiliza la potencia Fuente: elaboración propia Veamos algunos ejemplos de la clasificación anterior: Tabla 5. Ejemplos de uso de la potencia Fuente: elaboración propia Tabla 6. Ejemplos de uso de la potencia Fuente: elaboración propia Tabla 7. Ejemplos de uso de la potencia Fuente: elaboración propia Las potencias son una herramienta matemática fundamental que simplifica la expresión de multiplicaciones repetidas y facilita cálculos complejos. Su importancia se manifiesta en diversos aspectos: Simplificación de expresiones. Las potencias permiten representar de manera concisa productos de factores iguales, lo que es especialmente útil en álgebra y cálculo. Modelado de crecimiento exponencial. Son cruciales para describir fenómenos que crecen o decrecen rápidamente, como el interés compuesto o el crecimiento poblacional. Notación científica. Las potencias de 10 son la base de la notación científica, esencial para expresar números muy grandes o muy pequeños de forma manejable. Computación y tecnología. Son fundamentales en la programación y en el diseño de algoritmos eficientes. Leyes de los exponentes. Las propiedades de las potencias, como la multiplicación y división de potencias de igual base, o la potencia de una potencia, son herramientas poderosas para simplificar cálculos y resolver ecuaciones. Comprender las potencias y sus propiedades no solo mejora la competencia matemática, sino que también desarrolla el pensamiento lógico y la capacidad de abstracción. Su aplicación en campos tan diversos como las finanzas, la ingeniería y las ciencias naturales demuestra su versatilidad y relevancia en el mundo moderno. Tema 4: Lenguaje algebraico En la Antigüedad, solo se utilizaban los números reales para representar cantidades fijas. Los egipcios y babilonios resolvieron ecuaciones lineales y cuadráticas, pero fue con la introducción de símbolos para representar cantidades que las matemáticas experimentaron un avance significativo. Esto dio origen al álgebra, que se caracteriza por el uso de letras para representar cantidades desconocidas. Este enfoque permitió representar un número infinito de valores con una sola letra o con varias, lo que facilitó a los antiguos la formulación de sus trabajos de manera más sencilla y promovió una mejor lectura y comprensión. Los símbolos algebraicos utilizados en los libros de álgebra tienen menos de 400 años. François Viète (1540-1603), abogado y diputado al Parlamento, fue un importante matemático francés del siglo XVI, que dedicó la mayor parte de su tiempo libre a las matemáticas. Escribió muchos trabajos sobre álgebra, geometría y trigonometría. La obra más famosa de Viète, In Artem, mejoró enormemente la notación algebraica, antes, la práctica habitual era utilizar diferentes símbolos para representar valores desconocidos, como 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑒𝑡𝑐. Figura 17. François Viète Fuente: [imagen sin título sobre François Viète], (s.f.), https://lc.cx/7qyrSy Viète utilizó letras en latín; además, amplió el uso de letras para representar no solo variables, sino también constantes. La nueva notación aclara las operaciones que utilizan para construir una serie completa de términos. Tabla 8. Variable y constante Fuente: elaboración propia Una expresión algebraica, además de tener números, incluye también algunos símbolos. La forma en que se escriben estas expresiones se llama notación algebraica y se compone de cinco elementos principales: variables o incógnitas, coeficientes, operadores, exponentes y paréntesis. Veamos de qué se trata cada uno de ellos: Figura 18. Notación algebraica Fuente: GCFGlobal, s.f., https://lc.cx/iGHX1l Figura 19. Elementos de la notación algebraica Fuente: elaboración propia En la aritmética, generalmente los números se representan con cifras, mientras que las relaciones, leyes y reglas se expresan con palabras. De esta manera se dice que el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la base por la altura. Utilizando el álgebra, el enunciado anterior se puede expresar como: Si el área, base y altura se representan por las letras A, b, y h respectivamente, nos queda: Si se conjuntan las expresiones utilizadas en álgebra para designar a las operaciones aritméticas con las reglas que operan sobre los números reales, se puede expresar cualquier operación matemática con el lenguaje algebraico. Tabla 9. Lenguaje cotidiano vs. lenguaje algebraico Fuente: elaboración propia Figura 20. Operaciones matemáticas Fuente: elaboración propia Cuando se combinan números, representados por símbolos, mediante operaciones de suma, resta, multiplicación, división o extracción de raíces, entonces la expresión resultante se llama expresión algebraica. Algunos ejemplos de expresiones algebraicas: Figura 21. Ejemplos de expresiones algebraicas Fuente: elaboración propia Usualmente en las expresiones algebraicas las letras toman valores reales, por ejemplo, en la expresión: Figura 22. Ejemplo de expresión algebraica Fue nte: elaboración propia Sin embargo, una expresión algebraica no siempre está definida en todos los números reales. Figura 23. Ejemplo de expresión algebraica Fuente: elaboración propia Como el lenguaje algebraico nos permite expresar una idea verbal mediante operaciones matemáticas, podemos utilizarlo en diversas situaciones cotidianas; todo aquello que implique el cálculo numérico de cantidades desconocidas tendrá relación con el álgebra. Algunos ejemplos de cómo empleamos el álgebra en nuestra vida diaria son los siguientes: estimar el tiempo de llegada al trabajo; si un vehículo viene lo suficientemente lejos y a una velocidad tal que nos dará tiempo de cruzar la calle con seguridad; la cantidad de cucharadas de azúcar que nos gusta en un café; la capacidad de almacenamiento de la memoria USB; la altura o longitud máxima saltar con la patineta, etc. Figura 24. Problema cotidiano donde se emplea el álgebra Fuente: elaboración propia Figura 25. Problema cotidiano donde se emplea el álgebra Fuente: elaboración propia El álgebra representa un hito crucial en la evolución de las matemáticas, transformando la manera en que abordamos y resolvemos problemas. La notación algebraica, con sus elementos clave, como variables, coeficientes, operadores, exponentes y paréntesis, proporciona un lenguaje universal y poderoso para expresar ideas matemáticas complejas de manera concisa y precisa. Esta abstracción permite no solo simplificar problemas complicados, sino también generalizar soluciones y descubrir patrones fundamentales en diversos campos de estudio. Las expresiones algebraicas, al combinar números y símbolos mediante operaciones matemáticas, ofrecen una flexibilidad incomparable para modelar situaciones del mundo laboral. Desde calcular áreas geométricas hasta describir fenómenos físicos complejos, el álgebra se ha convertido en una herramienta indispensable en ciencias, ingeniería, economía y muchas otras disciplinas. Es importante reconocer que, aunque las expresiones algebraicas generalmente operan en el dominio de los números reales, existen limitaciones y casos especiales que requieren atención cuidadosa, como las divisiones por cero o las raíces de números negativos. Antes de avanzar, resuelve las siguientes actividades: ☰ Accordion 1 ☰ Accordion 2 ☰ Accordion 3 A B C D Respuesta A B C D Respuesta A B C D Respuesta A B C D Respuesta Unidad 2: Ecuaciones Tema 1: Introducción a las ecuaciones. La historia de las ecuaciones matemáticas es tan antigua como la civilización misma. Desde los tiempos de los babilonios (alrededor del 2000 a.C.), los métodos para resolver ecuaciones han sido una parte fundamental del desarrollo matemático. En aquella época, las ecuaciones se describían con palabras en lugar de las variables (x, y, etc.) que utilizamos en la actualidad. Tabla 10. Evolución de las ecuaciones Época 2000 a.C. Siglo XVI Siglos XVII-XIX Siglo XX-XXI Avance Babilonios: descripciones verbales de ecuaciones Italia: nuevos métodos de resolución Expansión global de técnicas matemáticas Era computacional: soluciones para ecuaciones complejas Fuente: elaboración propia El Renacimiento italiano del siglo XVI marcó un punto de inflexión en el desarrollo de nuevos métodos para encontrar soluciones a ecuaciones. Este progreso se extendió por todo el mundo, continuando hasta bien entrado el siglo XIX. En la actualidad, el uso de computadoras y tecnologías avanzadas ha revolucionado nuestra capacidad para aproximar soluciones a ecuaciones de gran complejidad o con múltiples variables. Las ecuaciones tienen diversas aplicaciones en ciencias, ingeniería y economía; veamos algunos ejemplos. Figura 26. Ejemplo de uso de ecuaciones Fuente: elaboración propia Figura 27. Ejemplo de uso de ecuaciones Fuente: elaboración propia Figura 28. Ejemplo de uso de ecuaciones Fuente: elaboración propia La resolución de estos tipos de ecuaciones y desigualdades forma la base de muchos problemas matemáticos aplicados en ciencias, ingeniería y economía. Una manera de clasificar a las ecuaciones es de acuerdo con el grado de la expresión algebraica. De esta manera, las ecuaciones se pueden clasificar del siguiente modo. Tabla 11. Clasificación de las ecuaciones Grado Grado 0 Ecuación constante Grado 1 Ecuación Forma 5=5 2x+3=7 Ejemplo de aplicación Presupuesto fijo: una empresa tiene un presupuesto fijo mensual de $ 5000. P = 5000 Cálculo de impuestos: calcular el impuesto sobre la renta con una tasa fija. lineal Grado 2 Ecuación cuadrática x2 − 4x + 4 = 0 Grado 3 Ecuación cúbica x3 − 6x2 + 11x – 6 = 0 Grado 4 Ecuación cuártica x4 − 5x3 + 5x2 − 5x + 1 = 0 Ecuaciones de grado superior x6 − x5 + x4 − x3 – x = 0 I = 0.15x + 200 Lanzamiento de proyectiles: determinar la trayectoria de un proyectil. h(t) = −4.9t2 + 20t + 5 Volumen de un objeto: calcular el volumen de una caja con dimensiones variables. V = x3 Análisis de vigas: determinar la deflexión de una viga bajo carga. y(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Cálculo de órbitas planetarias: modelar órbitas planetarias en astrofísica. O(r)= r6 + Ar4 + Br2 + C = 0 Fuente: elaboración propia Las ecuaciones han sido un pilar fundamental en el desarrollo de las matemáticas y, por extensión, de la ciencia y la tecnología. Su evolución, desde las descripciones verbales de los babilonios hasta los complejos sistemas computacionales actuales, refleja el progreso del pensamiento humano y nuestra creciente capacidad para modelar y resolver problemas del mundo real. Figura 29. Aportes de los egipcios y babilonios a las matemáticas Fuente: Sandra, 2024, https://lc.cx/U-A9JA La clasificación de ecuaciones por grado no solo proporciona una estructura para su estudio, sino que también ilustra la diversidad de fenómenos que pueden ser modelados matemáticamente. Desde las simples ecuaciones lineales hasta las complejas ecuaciones de grado superior, cada tipo tiene su lugar en la descripción de diferentes aspectos de nuestro mundo: Las ecuaciones lineales, fundamentales en economía y finanzas, nos permiten entender relaciones directas entre variables. Las ecuaciones cuadráticas, cruciales en física e ingeniería, describen trayectorias y optimizaciones. Las ecuaciones cúbicas y de grado superior encuentran aplicaciones en campos tan diversos como la arquitectura, la astrofísica y la biología molecular. La versatilidad de las ecuaciones se manifiesta en su capacidad para modelar desde situaciones cotidianas, como el cálculo de impuestos, hasta fenómenos complejos como las órbitas planetarias. Esta universalidad las convierte en una herramienta indispensable en prácticamente todos los campos del conocimiento humano. Tema 2: Resolución de ecuaciones lineales Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple. Esto es relativamente sencillo cuando Ia incógnita no está afectada por coeficientes numéricos, ya que se pueden resolver con un simple cálculo mental. Figura 30. Ejemplo de ecuaciones lineales Fuente: elaboración propia Un método para resolver una ecuación es reemplazar la ecuación original por una sucesión de ecuaciones equivalentes hasta que se obtiene una ecuación para la cual la solución sea obvia. Por ejemplo, todas las ecuaciones siguientes son equivalentes. Figura 31. Ecuaciones equivalentes Fuente: elaboración propia Para obtener ecuaciones equivalentes, podemos hacerlo de cuatro formas: Figura 32. Formas de obtener ecuaciones equivalentes Fuente: elaboración propia Figura 33. Ejemplo de ecuación equivalente Fuente: elaboración propia La siguiente tabla es una pequeña guía de referencia de cómo hacer un despeje de una variable. Tabla 12. Despeje de variable Fuente: elaboración propia Una de las aplicaciones importantes del álgebra es la descripción matemática de situaciones concretas utilizando expresiones algebraicas como modelos. Veamos un problema que lleva al planteamiento de ecuaciones lineales. Figura 34. Ecuaciones lineales - problema Fuente: elaboración propia La resolución de ecuaciones lineales es una habilidad fundamental en matemáticas que trasciende su aparente simplicidad. Este proceso no solo implica encontrar valores que satisfagan una igualdad, sino que también desarrolla el pensamiento lógico y la capacidad de abstracción. Los métodos para resolver ecuaciones lineales, desde el cálculo mental hasta las técnicas más estructuradas, proporcionan una base sólida para abordar problemas matemáticos más complejos. Las cuatro formas principales de obtener ecuaciones equivalentes —sumar o restar el mismo número a ambos miembros, multiplicar o dividir ambos miembros por el mismo número (distinto de cero)— son herramientas poderosas que se extienden a la resolución de ecuaciones más avanzadas. Más allá de la técnica, la verdadera potencia de las ecuaciones lineales radica en su capacidad para modelar situaciones del mundo real. Desde problemas cotidianos de finanzas personales hasta complejos cálculos en ciencias e ingeniería, las ecuaciones lineales proporcionan un marco para analizar y resolver una amplia gama de problemas prácticos. Tema 3: Ecuaciones de segundo grado Imaginemos una balanza en equilibrio perfecto. Si añadimos o quitamos pesos en un lado, debemos hacer lo mismo en el otro para mantener el equilibrio. Las ecuaciones son como esas balanzas, pero con números y letras en lugar de pesos. Las ecuaciones de segundo grado son un tipo especial de ecuaciones donde la letra (la incógnita) está 2 elevada al cuadrado. Por ejemplo, x + 3x - 2 = 0 es una ecuación de segundo grado. Resolverla significa encontrar los valores de x que hacen que la igualdad sea cierta. Las ecuaciones de segundo grado, también conocidas como ecuaciones cuadráticas, tienen la forma general: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Una vez que se han simplificado y ordenado todos los términos de la ecuación de la forma general, se pueden reconocer los siguientes términos: El término 𝑎𝑥2 que se denomina término cuadrático. El término 𝑏𝑥 que se denomina término lineal. El término 𝑐 que se denomina término independiente. Sabiendo que a, b, y c son constantes y x es la variable que queremos encontrar. La solución de una ecuación cuadrática se puede encontrar utilizando la fórmula general: Figura 35. Ecuación cuadrática Fuente: elaboración propia Dadas las condiciones anteriores, el discriminante (Δ) es un guía auxiliar en la elección del método de solución más conveniente para una ecuación cuadrática determinada. Se pueden tener tres casos posibles de la discriminante: Si el discriminante es un número positivo, entonces se trata de un trinomio que se puede factorizar fácilmente con los métodos estudiados para trinomios de la forma: 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐o de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Si el discriminante es igual a cero, entonces se trata de un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza como el cuadrado de un binomio. Si el discriminante es un número negativo, entonces se trata de un trinomio que no se puede factorizar. Por tanto, se resuelve completando el trinomio cuadrado perfecto o aplicando la fórmula general. Figura 36. Discriminante - problema Fuente: elaboración propia A continuación, resolvamos algunos problemas con ecuaciones de segundo grado. Tabla 13. Ecuaciones de segundo grado Ecuación -5x2+10x-2=0 Solución Los valores de a = -5; b = 10 y c = -2. x=-b±b2-4ac2a x=-10±102-4·-5·(-2)2(-5) x=-10±100-402·(-5) x=-10±7,75-10 x1=-10+7,75-10=-2,25-10=0,225 x2=-10-7,75-10=-17,75-10=1,775 Los valores de a = -1; b = 0 y c = 9. x=-b±b2-4ac2a x=-0±02-4·-1·92(-1) x=-0±0-362·(-1) x2+9=0 x=-0±6-2 x1=-0+6-2=-62=-3 x2=-0-6-2=-6-2=3 -x2+8x=0 Los valores de a = -1; b = 8 y c = 0. x=-b±b2-4ac2a x=-8±82-4·-1·02(-1) x=-8±64-02·(-1) x=-8±8-2 x1=-8+8-2=0-2=0 x2=-8-8-2=-16-2=8 Fuente: elaboración propia Las ecuaciones de segundo grado, o ecuaciones cuadráticas, representan un salto significativo en la complejidad y aplicabilidad de las matemáticas. Su forma característica, ax² + bx + c = 0, abre la puerta a una gama más amplia de problemas y fenómenos que pueden ser modelados y resueltos matemáticamente. La belleza de las ecuaciones cuadráticas radica en su versatilidad y en la profundidad de los conceptos que introducen. Múltiples soluciones: A diferencia de las ecuaciones lineales, las cuadráticas pueden tener dos soluciones reales, una solución real (raíz doble), o soluciones complejas, reflejando la riqueza de situaciones que pueden describir. El discriminante: Este concepto no solo guía la elección del método de resolución, sino que también proporciona información valiosa sobre la naturaleza de las soluciones antes de resolverlas. Métodos de resolución: Desde la factorización hasta la fórmula general, pasando por completar el cuadrado, cada método ofrece una perspectiva única y desarrolla diferentes habilidades matemáticas. Aplicaciones prácticas: Las ecuaciones cuadráticas son fundamentales en física (trayectorias de proyectiles), ingeniería (optimización de diseños), economía (modelos de oferta y demanda), y muchas otras disciplinas. La capacidad de resolver ecuaciones cuadráticas no es solo una habilidad técnica; es una puerta de entrada a un pensamiento matemático más avanzado. Desarrolla la intuición para reconocer patrones, fomenta la flexibilidad en el enfoque de problemas, y prepara el terreno para el estudio de funciones más complejas. Tema 4: Aplicaciones Las ecuaciones son herramientas matemáticas fundamentales que se utilizan para describir y resolver problemas en diversas áreas del conocimiento y de la vida cotidiana. Desde la física y la ingeniería hasta la economía y las ciencias sociales, las ecuaciones permiten modelar relaciones entre variables y predecir comportamientos y resultados. A continuación, se presentan algunas aplicaciones prácticas de las ecuaciones en diferentes campos. Figura 37. Partes de una ecuación Fuente: [imagen sin título sobre partes de una ecuación], (s.f.), https://lc.cx/fKal_x Tabla 14. Aplicaciones de las ecuaciones Física Ingeniería Economía Ciencias Sociales En física, las ecuaciones son esenciales para describir fenómenos naturales y realizar cálculos precisos. Por ejemplo, las ecuaciones de movimiento, como la ecuación de segundo grado s = v·t + a·t2, permiten calcular la posición de un objeto en movimiento bajo aceleración constante. Esta ecuación se utiliza para predecir la trayectoria de un proyectil, el desplazamiento de un vehículo o el movimiento de un objeto en caída libre. Otra aplicación importante es la ley de Hooke, que describe la relación entre la fuerza aplicada a un resorte y su elongación: F = k·x. Esta ecuación lineal se utiliza en el diseño de sistemas de suspensión, medición de fuerzas y análisis de materiales elásticos. En ingeniería, las ecuaciones cuadráticas y cúbicas se utilizan para resolver problemas de diseño y optimización. Por ejemplo, en el diseño de puentes y estructuras, se emplean ecuaciones de segundo grado para calcular la deflexión de vigas bajo carga, asegurando que las estructuras sean seguras y eficientes. La ecuación Y=P48EI(L3-8Lx2+16x3) se utiliza para determinar la deflexión de una viga simplemente apoyada con una carga puntual. En la ingeniería eléctrica, podemos utilizar la ecuación de Ohm para encontrar la relación entre la diferencia de potencial, la intensidad de corriente y la resistencia eléctrica. La ecuación V = I·R describe este comportamiento. En economía, las ecuaciones son fundamentales para modelar y analizar el comportamiento de mercados y agentes económicos. Las ecuaciones lineales y cuadráticas se utilizan para estudiar la oferta y la demanda, los costos de producción y la maximización de beneficios. Por ejemplo, la función de ingresos totales IT = P⋅Q y la función de costos totales CT = F + VQ se emplean para determinar el punto de equilibrio de una empresa. Otra aplicación importante es la función de beneficios B(x)=−2x2 + 12x – 20, que permite encontrar el nivel de producción x que maximiza los beneficios de una empresa. La solución de esta ecuación cuadrática proporciona información clave para la toma de decisiones en la gestión empresarial. En las ciencias sociales, las ecuaciones se utilizan para modelar comportamientos humanos y fenómenos sociales. Por ejemplo, en demografía, las ecuaciones de crecimiento poblacional, como la ecuación exponencial P(t)=P0·ert, permiten predecir el crecimiento de una población en función del tiempo, considerando la tasa de crecimiento r. En psicología y sociología, las ecuaciones estadísticas, como las ecuaciones de regresión, se emplean para analizar la relación entre variables y predecir resultados. La ecuación de regresión lineal y = m·x + b se utiliza para identificar tendencias y relaciones causales entre factores como la educación, los ingresos y la salud. Fuente: elaboración propia Las matemáticas no son la única ciencia que emplea ecuaciones para describir procesos y cálculos de manera simbólica y precisa. Como se evidencia en diversas disciplinas, el uso de ecuaciones trasciende el ámbito puramente matemático. La química, ciencia dedicada al estudio de la materia y sus transformaciones, ilustra perfectamente esta versatilidad. En esta disciplina, las ecuaciones desempeñan un papel importante al explicar las interacciones entre compuestos durante los procesos de cambio químico. Estas ecuaciones no solo indican qué sustancias reaccionan entre sí, sino que también especifican los productos resultantes, sus cantidades y proporciones. Figura 38. Aplicación de las ecuaciones en química Fuente: [imagen sin título sobre química], (s.f.), https://lc.cx/jouPO6 Figura 39. Aplicación de las ecuaciones - física Fuente: elaboración propia Figura 40. Aplicación de las ecuaciones - ingeniería Fuente: elaboración propia Figura 41. Aplicación de las ecuaciones - electrónica Fuente: elaboración propia Podemos observar que las aplicaciones de las ecuaciones lineales o cuadráticas es variado y se pueden hallar en todos los campos del mundo laboral. En un contexto más amplio, las ecuaciones son un puente entre la matemática elemental y conceptos más avanzados, como cálculo y análisis matemático. Su estudio no solo mejora las habilidades matemáticas, sino que también desarrolla una forma de pensar que es invaluable en muchos campos profesionales y académicos. Antes de avanzar, resuelve las siguientes actividades: A B C D Respuesta A B C D Respuesta A B C D Respuesta A B C D Respuesta Video de habilidades 06:51 Si ya viste el video, resuelve las siguientes actividades: 1) Una tienda local vende dos modelos de bicicletas: el modelo X y el modelo Y. El precio de la bicicleta modelo X es de $150.000 y el precio de la bicicleta modelo Y es de $250.000. Un cliente tiene un presupuesto total de $6.000.000 para comprar bicicletas para un evento comunitario. El cliente decide destinar 3/5 de su presupuesto a la compra de bicicletas del modelo X y 1/6 a la compra de bicicletas del modelo Y. ¿Cuántas bicicletas del modelo X y cuántas del modelo Y puede comprar el cliente? 24 bicicletas del modelo X y 4 bicicletas del modelo Y. 18 bicicletas del modelo X y 10 bicicletas del modelo Y. 15 bicicletas del modelo X y 12 bicicletas del modelo Y. 12 bicicletas del modelo X y 15 bicicletas del modelo Y. Retroalimentación 2) Una automotora vende autos del modelo XCHITA. Un cliente tiene un presupuesto total de $76.000.000 para comprar el vehículo. El cliente destina 1/7 de su presupuesto a la compra del modelo XCHITA. ¿Cuál es el valor del vehículo? $9.983.901. $10.857.143. $12.091.789. $12.987.111. Retroalimentación 3) Una fábrica de juguetes produce un nuevo modelo de coche a control remoto. El precio de este juguete está determinado por una ecuación cuadrática en función de la cantidad producida. El precio P(q) en pesos, en función de la cantidad producida q, está dado por la ecuación: Determina la cantidad aproximada de coches que la fábrica debe producir para que el precio sea igual a cero. 71 coches. 158 coches. 297 coches. 381 coches. Retroalimentación Cierre En esta lectura aprendimos temas clave sobre álgebra, los cuales son la base para comprender una variedad de situaciones matemáticas y aplicarlas en la vida diaria. Comenzamos con los números reales, que son la base de la mayoría de los cálculos matemáticos que hacemos. Comprender cómo trabajar con números reales nos permite realizar operaciones aritméticas básicas y resolver problemas que involucran longitudes, áreas y volúmenes. Figura 42. Números reales Fuente: Gómez, 2017, https://lc.cx/j4g2u2 Luego, exploramos las propiedades de los números reales, que son fundamentales para simplificar y manipular expresiones algebraicas. Estas propiedades incluyen la conmutatividad, asociatividad, distributividad, y el uso de identidades multiplicativas y aditivas. Conocer estas propiedades nos ayuda a realizar cálculos más eficientes y precisos. Avanzamos al tema de las potencias, una herramienta poderosa en matemáticas para expresar y calcular grandes números de manera compacta. El lenguaje algebraico es otro componente que permite traducir problemas del lenguaje cotidiano a expresiones y ecuaciones algebraicas para resolver problemas complejos de manera sistemática. Las ecuaciones lineales son la columna vertebral del álgebra y se encuentran en muchas aplicaciones prácticas, desde la economía hasta la ingeniería. Aprender a identificar y resolver ecuaciones lineales nos capacita para abordar problemas que involucran relaciones proporcionales y cambios constantes. Figura 43. Ecuaciones Fuente: Flex Flix Teens en Español, 2011, https://lc.cx/oYqCCm La resolución de ecuaciones lineales nos permite encontrar soluciones exactas a diversos problemas. Por otro lado, las ecuaciones de segundo grado, que aparecen frecuentemente en economía y en problemas informáticos, son igualmente importantes. La comprensión del discriminante y las soluciones de estas ecuaciones nos ayuda a analizar el comportamiento de parábolas y otras curvas cuadráticas. Finalmente, el análisis de las aplicaciones de las ecuaciones algebraicas en contextos del mundo real resalta su importancia en áreas como la informática, la contabilidad, la economía y las ciencias. Glosario Glosario Interactivo Buscar... Aritmética Diagrama sagital Ecuación segundo grado Factorización Aritmética La aritmética es la parte de las matemáticas que se ocupa de estudiar las propiedades y relaciones de los números naturales o, con un poco más de generalidad que no suele suponer mayor dificultad, de los números enteros. La aritmética más avanzada suele llamarse teoría de números (Stewart, 2022). Funciones Igualdad Interés compuesto Interés simple Monomio Números reales Plano cartesiano Polinomio ANTERIOR SIGUIENTE Bibliografía Referencias Becerra, J. (s.f.). Ecuaciones de Segundo Grado. Universidad Nacional Autónoma de México. http://prepa8.unam.mx/academia/colegios/matematicas/paginacolmate/applets/matematicas_IV/Applets_Geo gebra/ec2grado.html CGFGlobal, (s.f.). Álgebra: Expresiones algebraicas. https://edu.gcfglobal.org/es/algebra/expresionesalgebraicas/1/ Enciclopedia Significados, (2024). Números Reales: Qué son, Propiedades, Ejemplos y Clasificación. Enciclopedia Significados. https://www.significados.com/numeros-reales/ Flex Flix Teens en Español, (2011). Ecuaciones I - álgebra - educatina [video]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=2vBee9_9vPg Gómez, K. (2017). Numeros reales. GoConqr. https://www.goconqr.com/mapamental/8272064/numerosreales Machado, D. (2024). Números Reales: ¿Qué son? Ejemplos y Propiedades. Flamath. los Números Reales. https://flamath.com/numeros-reales Psicología y Mente, (2019). Clasificación de https://psicologiaymente.com/cultura/clasificacion-numeros-reales Rojas, E. (2023). La génesis de la teoría de conjuntos (primera parte). https://buzos.com.mx/noticia/lagenesis-de-la-teoria-de-conjuntos-primera-parte Sandra, (2024). Aportes de los egipcios y babilonios a las matemáticas. El Blog De Superprof México. https://www.superprof.mx/blog/aportes-egipcios-y-babilonios-matematicas/ Santos, M. (2024). El concepto de igualdad en matemáticas: una mirada profunda. 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