Investigación Teorema de Maxwell - Betti Jose Jorge Mejia Romero

MÉTODOS DE ANÁLISIS DE
MAXWELL Y LEY DE BETTI
Jose Jorge Mejia
UNICAH Análisis Estructural II
Contenido
Objetivos ............................................................................................................ 2
Introducción........................................................................................................ 3
Contenido ........................................................................................................... 4
Ejercicio.............................................................................................................. 7
Conclusión .......................................................................................................... 9
Bibliografía....................................................................................................... 10
Objetivos
 Poder determinar por todos los métodos posibles la pendiente y
deflexión que se pudiese generar en una viga.
 Reconocer y aplicar los teoremas de Maxwell-Betti.
Introducción
El teorema de Maxwell nos ayuda a determinar que tan flexible nuestra
estructura puede ser y para estructuras indeterminadas con determinados
grados de indeterminación pueden simplificarse por métodos de fuerzas, sean
éstos virtuales o de fuerza real.
Expondremos de forma más concisa el funcionamiento del Teorema de
Maxwell y su parte más simplifica, la ley de Betti, los que nos ayudara a
determinar la flexibilidad o el trabajo que mi viga realiza.
Contenido
El teorema de Maxwell, Es el teorema que relaciona los coeficientes de
flexibilidad de cualquiera de los puntos en una estructura elástica, ya sea
armadura, una viga o marco.
Este teorema, también conocido como el teorema de los desplazamientos
recíprocos y puede enunciarse como lo siguiente: El desplazamiento de un
punto B en una estructura debido a una carga unitaria que actúa en el punto A
es igual al desplazamiento del punto A cuando la carga unitaria actúa en el
punto B, es decir, Fb/a = Fa/b
Cuando una carga unitaria real actúa en A, suponga que los momentos
internos en la viga están representados por mA. Para determinar el coeficiente
de flexibilidad en B, es decir, Fba. Se coloca una carga virtual unitaria en B, y
se calculan los momentos internos Mb.
 Fba= ∫
𝑀𝑏•𝑀𝑎
𝐸𝐼
𝑑𝑥
De igual forma, si se debe determinar el coeficiente de flexibilidad Fab
cuando una carga unitaria real actúa en B, entonces Mb representa los
momentos internos en la viga debido a una carga unitaria real. Por otra parte,
Ma representa los momentos internos debido a una carga unitaria virtual en A.
 Fab = ∫
𝑀𝑎•𝑀𝑏
𝐸𝐼
𝑑𝑥
Ambas integrales dan el mismo resultado, lo que demuestra que el teorema de
reciprocidad es verdadero, dado que por ambas direcciones se tiene que llegar
al mismo resultado y se puede enunciar como siguiente: La rotación en el
punto B en una estructura debida al momento de par unitario que actúa en el
punto A es igual a la rotación en el punto A, cuando el momento de par
unitario actúa en el punto B. (Hibbeler, 2012)
Por otra parte, si se tiene una fuerza unitaria y un momento centrado unitario,
aplicados en puntos separados de la estructura, también se puede establecer
que: La rotación en radianes en el punto B de una estructura debida a una
carga unitaria que actúa en la junta A es igual al desplazamiento en el punto
A, cuando un momento concentrado unitario actúa en el punto B. (Hibbeler,
2012)
Se puede ahorrar algunos tramites al aplicar el método de la fuerza a los
problemas que son estáticamente indeterminados de segundo grado o de tercer
grado. En pocas palabras uno solo necesita calcular uno de los coeficientes de
flexibilidad Fba o Fab, dado que, Fba=Fab.
También el teorema de los desplazamientos recíprocos (Teorema de Maxwell)
tiene aplicaciones en el análisis de modelos estructurales y en construcción de
líneas de influencia con el principio de Müller-Breslau.
Cuando el teorema de los desplazamientos recíprocos se formaliza en un
sentido más genera, se conoce como la ley de Betti. La ley de Betti
brevemente es el trabajo virtual Uab realizado por un sistema de fuerzas ∑Pb
que experimentan un desplazamiento causado por un sistema de fuerzas ∑Pa
es igual al trabajo virtual Uba causado por las fuerzas ∑Pa cuando la
estructura se deforma debido al sistema de fuerzas de ∑Pb. En otras palabras,
Uab = Uba.
El teorema de Betti es en una estructura elástica lineal, el trabajo hecho por un
primer grupo de fuerzas R1 durante la deformación producida por un segundo
grupo de fuerzas R2 es igual al trabajo hecho por el segundo grupo de fuerzas
a través de las deformaciones causadas por el primer grupo.
Cuando se carga la estructura se producen desplazamientos y las fuerzas
realizan un trabajo, éste se almacena en la estructura y a su vez permite que
sea devuelto cuando retiramos las cargas. Esta capacidad para almacenar
trabajo es lo que hemos definido como energía y que se denomina Energía
Interna de Deformación Ei. Esta denominación se debe a que la energía se
almacena internamente a costa de deformar las estructuras.
Estos teoremas buscan encontrar y relacionar las deformaciones que sufren las
estructuras frente a determinadas cargas o casos.
El Teorema de Maxwell-Betti describe la relación que tiene que existir entre
los trabajos realizados por dos estados de carga actuantes sobre una misma
estructura para que la energía de deformación sea independiente del orden de
aplicación de estos estados.
Ejercicio
Conclusión
El teorema de Maxwell-Betti no es nada más que otro de los múltiples
métodos existente para poder determinar la pendiente y deflexión máxima en
el elemento estructural, dicho desplazamiento y pendiente son producidas
debido a las cargas puntuales y momentos internos. El teorema Maxwell-Betti
es un método gráfico que por medio del teorema de superposición se puede
determinar los desplazamientos y ángulos en la estructura.
El Teorema de Maxwell, o también conocido como, el teorema de
reciprocidad no es nada mas que una confirmación de cargas aplicadas a
distancias opuestas una de las otras con sus métodos.
Bibliografía
Hibbeler, R. (2012). Análsisi Estructural- Octava edición. Mexico: Pearson
Educación .