Práctica dirigida 12. Criterios de convergencia. Funciones Gamma y Beta (1)

CÁLCULO II
SEMESTRE ACADÉMICO 2024 - II
________________________________________________________________________________________________________
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
VICERRECTORADO ACADÉMICO DE PREGRADO
Universidad del Perú, Decana de América
FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
PRÁCTICA DIRIGIDA N° 12
SEMESTRE: 2024 -2
ASIGNATURA
: Cálculo II
TEMA
: Criterios de convergencia de las integrales impropias.
Funciones Gamma y Beta.
1. Con los criterios de convergencia, analizar la convergencia de las siguientes integrales:
a)
+∞
∫0
1
√𝑥+𝑥 4
𝑑𝑥
5
𝑑𝑥
4 √(5−𝑥)(𝑥−4)
b) ∫
c)
3
𝑑𝑥
∫0 (1+𝑥 2)√9−𝑥 2
1
√𝑥
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
0 𝑒
−1
d) ∫
e)
+∞
∫0
1
3
5
6 √𝑥+ √𝑥 3 +1+3
𝑑𝑥
2. Responda lo siguiente:
a) Valor presente de un flujo de ingresos. El valor presente (VP), de un flujo de
ingresos que se deposita continuamente a la tasa 𝑓(𝑡) en una cuenta que gana
interés a una tasa anual 𝑟 capitalizada continuamente, durante un plazo de 𝑇 años,
está dado por
𝑇
𝑉𝑃 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑟𝑡 𝑑𝑡
0
Una empresa desea otorgar una beca a una universidad que proporcione un flujo
continuo de ingresos a una tasa 𝑓(𝑡) = 30 000 + 1500𝑡 dólares por año a
perpetuidad.
Suponiendo que la tasa prevaleciente de interés anual permanezca fija a 4%
capitalizada continuamente, ¿qué cantidad se requiere para financiar la donación?
(es decir el valor presente de la beca a perpetuidad)
__________________________________________________________________________________________
Av. Venezuela S/N, Ciudad Universitaria Pabellón B. Teléfono: 619-7000 (anexo 1209)
email: [email protected]
CÁLCULO II
SEMESTRE ACADÉMICO 2023 – II
________________________________________________________________________________________________________
3. Dada la curva de Agnesi 𝑓(𝑥) =
8𝑎3
𝑥 2 +4𝑎2
;𝑎>0
a) Halle el área de la región comprendida entre la curva y el eje 𝑥 . Graficar la región.
b) Hallar el volumen engendrado, cuando la región anterior gira alrededor del eje 𝑥.
4. Determine si el enunciado es verdadero o falso. Justifique su respuesta:
+∞
a) ∫𝑎
+∞
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 y ∫𝑎
𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 son divergentes entonces
+∞
∫ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥
𝑎
es divergente.
+∞
b) ∫𝑎
+∞
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 y ∫𝑎
𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 son convergentes entonces
+∞
∫ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥
𝑎
es convergente.
5. Responda lo siguiente:
a) Demuestre que
+∞
+∞
∫ 𝑥2𝑒
−𝑥 2
𝑎
b)
1
2
𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
2
𝑎
+∞ 1
Muestre que la integral ∫1 𝑥 𝑝 𝑑𝑥 es convergente si 𝑝 > 1 y divergente si 𝑝 ≤ 1.
+∞
c) Muestre que ∫0
1
𝑑𝑥 es convergente para todo 𝑛 natural.
(𝑥 2 +1)𝑛
d) Calcule el valor de 𝑐 para la cual la integral
+∞
∫ (
0
1
√𝑥 2 + 4
−
𝑐
) 𝑑𝑥
𝑥+2
converge. Evalúe la integral para este valor 𝑐.
e) Demuestre que si 𝑎 > 1 y 𝑏 > 𝑎 + 1 en tal caso la integral siguiente es convergente
+∞
∫
0
𝑥𝑎
𝑑𝑥
1 + 𝑥𝑏
6. Demuestre que:
+∞ (𝑡−1)𝑝
a) ∫1
𝑡2
𝑑𝑡 = 𝛤(1 + 𝑝)𝛤(1 − 𝑝)
, |𝑝| < 1
b) Para todo 𝑚 > 0 y 𝑛 > 0,
𝐵(𝑚 + 1; 𝑛) + 𝐵(𝑚; 𝑛 + 1) = 𝐵(𝑚; 𝑛)
__________________________________________________________________________________________
Av. Venezuela S/N, Ciudad Universitaria Pabellón B. Teléfono: 619-7000 (anexo 1209)
email: [email protected]
CÁLCULO II
SEMESTRE ACADÉMICO 2023 – II
________________________________________________________________________________________________________
c) 𝐵(𝑚 + 1; 𝑛) =
d) 𝐵(𝑝; 1 − 𝑝) =
𝑚
𝑚+𝑛
1 +∞
𝐵(𝑚; 𝑛) , 𝑚 > 0, 𝑛 > 0.
∫
𝑝 0
𝑑𝑥
1+𝑥1/𝑝
1
1
, 0 < 𝑝 < 1.
𝑚
e) ∫0 𝑥 𝑚−1 (1 − 𝑥 𝑟 )𝑛−1 𝑑𝑥 = 𝑟 𝐵 ( 𝑟 ; 𝑛) , 𝑚 > 0, 𝑛 > 0 𝑦 𝑟 > 0.
1
√𝜋 𝛤(𝑛)
1 1 , 𝑛 > 0.
𝛤( + )
1 𝑥 2𝑚
f) ∫0
𝑑𝑥 =
𝑛
√1−𝑥 2
𝑛 2
𝜋
g) Si 𝛤(𝑝) 𝛤(1 − 𝑝) = 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑝) , para 0 < 𝑝 < 1, entonces
+∞ 𝑑𝑥
𝜋
𝜋
= 𝑛 𝑐𝑠𝑐 (𝑛) , para 𝑛 > 1.
1+𝑥 𝑛
•
∫0
•
𝛤 (𝑛 + 2) =
•
𝛤 (𝑛 + ) =
1
1.3.5…(2𝑛−1)
√𝜋 , para 𝑛 > 0.
2𝑛
1
2
(2𝑛)!√𝜋
, para 𝑛 𝜖 ℤ+ .
4 𝑛 .𝑛!
Ciudad universitaria, noviembre de 2024
Los profesores del curso
__________________________________________________________________________________________
Av. Venezuela S/N, Ciudad Universitaria Pabellón B. Teléfono: 619-7000 (anexo 1209)
email: [email protected]