Cálculo de una variable Integración por cambio de variable 2 Integración por sustitución o cambio de variable Objetivo • Obtener la antiderivada general de funciones de una variable real, aplicando la TÉCNICA DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE. Importante.- Tener el conocimiento de reglas de integración elementales. 3 Integración por sustitución o cambio de variable Introducción • Suponga que 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 no puede ser escrita en la forma de integrales elementales ya conocidas. En algunos casos, las antiderivadas pueden ser obtenidas aplicando la TÉCNICA DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE. • El cambio de variable consiste en el uso de alguna función 𝑥 = 𝑔 𝑢 que permita transformar 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 en una nueva integral de la forma 𝑔 𝑢 𝑑𝑢, la cual se pueda determinar posteriormente. 4 Integración por sustitución o cambio de variable Ejemplos Obtenga las siguientes antiderivadas: 1. 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 2. 3. 4. 5. 𝑥 𝑑𝑥 2 1+𝑥 3 𝑒 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 −𝑥 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 4 − 5 6 𝑥 3 𝑑𝑥 5 Integración por sustitución o cambio de variable Ejemplo 1 Obtenga la siguiente antiderivada: 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 Sea 𝑢 = 2𝑥 , entonces 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 : 𝑑𝑢 1 1 𝑐𝑜𝑠 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 2 2 2 1 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝐶 ; C ∈ ℝ 2 6 Integración por sustitución o cambio de variable Ejemplo 2 Obtenga la siguiente antiderivada: 𝑥 𝑑𝑥 2 1+𝑥 Sea 𝑢 = 1 + 𝑥 2 , entonces 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 : 1 𝑑𝑢 1 𝑑𝑢 1 = = 𝑙𝑛 𝑢 + 𝐶 𝑢 2 2 𝑢 2 𝑥 1 2 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 1 + 𝑥 +𝐶 ; C∈ℝ 2 1+𝑥 2 7 Integración por sustitución o cambio de variable Ejemplo 3 Obtenga la siguiente antiderivada: 3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 Sea 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 , entonces 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 : 1 +1 3 𝑢 3 4 3 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢 𝑑𝑢 = +𝐶 = 𝑢 +𝐶 4 3 4 3 4 3 3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 +𝐶 ; C∈ℝ 4 3 1 3 8 Integración por sustitución o cambio de variable Ejemplo 4 Obtenga la siguiente antiderivada: 𝑒 −𝑥 2 𝑥 𝑑𝑥 Sea 𝑢 = −𝑥 2 , entonces 𝑑𝑢 = −2𝑥 𝑑𝑥 : 𝑑𝑢 1 1 𝑢 𝑢 𝑢 𝑒 − =− 𝑒 𝑑𝑢 = − 𝑒 + 𝐶 2 2 2 1 −𝑥 2 −𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑒 +𝐶 ; C∈ℝ 2 9 Integración por sustitución o cambio de variable Ejemplo 5 Obtenga la siguiente antiderivada: 𝑥 4 − 5 6 𝑥 3 𝑑𝑥 Sea 𝑢 = 𝑥 4 − 5, entonces 𝑑𝑢 = 4𝑥 3 𝑑𝑥 : 6+1 𝑑𝑢 1 1 𝑢 1 7 6 6 𝑢 = 𝑢 𝑑𝑢 = +𝐶 = 𝑢 +𝐶 4 4 4 7 28 1 4 4 6 3 𝑥 − 5 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 −5 7+𝐶 ; C∈ℝ 28 10 Integración por sustitución o cambio de variable Ejercicios propuestos Obtenga las siguientes antiderivadas: 2 𝑥 3 +2𝑥 1. 3𝑥 + 2 𝑒 2. 10𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 3. 5 4. 5. 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 −𝑥−3 𝑑𝑥 2 𝑥 +6𝑥+5 1 3 2 1−𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 Cálculo de una variable Integración por cambio de variable