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VOLUMEN 2
'i ¡ i i y
TERCERA EDICIÓN
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TOPICOS DE CALCULO
VOL. II
- INTEGRAL INDEFINIDA
- INTEGRAL DEFINIDA
•INTEGRALES IMPROPIAS
- APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
- COORDENADAS POLARES
- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
- SUPERFICIES
MAXIMO MITACC MEZA - LUIS TORO MOTA
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TOPICOS DE CALCULO
VOL. II
TERCERA EDICION
MAXIMO MITACC - LUIS TORO MOTA
IMPRESO EN EL PERU
PRINTED IN PERU
Prohibida la reproducción total o parcial por todos los medios
gráficos, sin permiso de los autores.
Número de Inscripción en le Registro Nacional
de Derechos de Autor N° 160
Impreso en los Talleres Gráficos de:
Editorial THALES S.R.L.
TERCERA EDICION
Mayo del 2009
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PRÓLOGO
E n esta se g u n d a e d ició n de T ó p ic o s de C á lc u lo V o l. II, n o s h e m o s e sfo rza d o por
presentar el cá lc u lo integral para fu ncio n e s reales de una va ria b le real y la
geom etría an alítica en el espacio, en fo rm a tal que resulte de m á x im o p ro v e c h o a
los
estudiantes
cuyo
ca m p o
de
e sp e cia liza ción
no
sea
estrictam ente
las
m atem áticas. L a orientación p rin cipal del libro es ha cia a p lic a c io n e s en d iv e rsa s
áreas de la ciencia, lo cual a m p lía la utilidad del texto.
A u n q u e en esta e d ició n la estructura b ásica general no se ha ca m bia do , se ha
realizado una gran cantidad de revisiones. H e m o s reestructurado casi la totalidad
del capitulo 6 y el capítulo 7, se han hecho u na gran cantidad de m o d ific a c io n e s a
lo
largo
de
todo
el
libro,
lo s
cuales
con siste n
en
ejem p los
a d icio n ale s
d e sa rrolla d os y re d acción de procedim ientos. E l conjunto de ejercicios prop u e stos
se ha m od ifica d o , co n la a d ició n de n u e vo s ejercicios.
E l L ib r o se d iv id e en siete capítulos. E n los p rim e ro s cuatro ca p ítulo s se hace una
presentación de la integral indefinida, integral definida, integral im p ro pia, y sus
a plicaciones.
Hem os
visto
por
co n ve n ie n c ia
desarrollar
p rim e ro
la
integral
inde finid a con la fin a lid ad de fa m iliarizar al estudiante con las técnicas y/o
artificios de integración que luego se usan en los ca p ítu lo s siguientes. E l capítulo
cin co trata sobre las co orde n a da s polares y su s a plicaciones. E n los cap ítulos
sigu iente s (del sexto al séptim o), se inicia con una in trod u cción breve de vectores
en el e spa cio trid im e n sio n a l y se continua con recta, plano, su p e rficie s y se
co n clu y e con las co ord e n a d a s cilin d rica s y esféricas.
N u e stro p ro p ó sito es que esta edició n no lenga errores, pero es casi un a x io m a que
todo libro de M a te m á tica lo s presente; p or tal m o tiv o co n sid e ra m o s que este texto
n o sea la excep ción, a pesar del esm ero y la d e d ica ción puesta para detectarlos y
co rre girlo s antes de su im presión. E n tal sentido, los autores co m p a rtim o s la
re sp o n sab ilid a d de lo s m ism o s, aclarando que d ic h o s errores han sid o co m e tid os
solam ente p or un o de lo s autores.
Q u e re m o s expresar nuestro agrad e cim ie n to a los p rofesores y a lu m n o s de todo el
p aís p o r la a co gid a b rin d a d a a la edició n anterior y espe ram os que esta n u e va
e d ició n tenga la m ism a preferencia.
L o s A u to re s
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IN D IC E
C A P I T U L O 1: I N T E G R A L I N D E F I N I D A
A n tid e riv a d a e integración in d e fin id a ..........................................
1
P rop ie da d es de la integral in d e fin id a .....................................
4
Integrales in m e d ia ta s...........................................................
5
M é t o d o s de in te grac ió n ........................................................
10
In te gració n p or su stitu ció n o ca m b io de va ria b le .............
11
In te gració n p or p a r t e s ....................................
20
T é c n ic a s de in te gra c ió n ........................................................
29
Integrales de a lgu n a s fu n c io n e s trigonom étricas e h ip e rb ó lic a s
32
in te gra le s de la fo rm a / sen™* c o s - x d x y
32
f s , n ^ x c o sk ’ x d x
Inte gració n p or su stitu ció n trig o n o m é t ric a ................................
45
M é to d o de integración p o r d e sc o m p o sic ió n en fra ccion e s p arciales
56
Inte gració n de a lgu n a s fu n c io n e s irra cio n ale s........... ..............
68
C A P I T U L O 2: I N T E G R A L D E F I N I D A
S u m a to ria s............................................................................
95
C á lc u lo del área de una re gió n plana por s u m a to ria s ..............
104
S u m a su p e rio r y su m a in f e r i o r ............................................
112
Integrales inferiores y s u p e r io r e s ..........................................
115
Integral de R ie m a n n ..............................................................
116
P rop ie dad es de la integral d e fin id a .......................................
120
T e o re m a s fundam entales del cá lc u lo in t e g r a l........................
121
C a m b ia de variab le en una integral d e f in id a ........................
130
In te gració n p or partes en una integral d e f in id a ......................
134
C á lc u lo a p ro x im ad o de las integrales d e fin id a s...................
144
C A P I T U L O 3: I N T E G R A L E S I M P R O P I A S
Integrales im p ro p ia s co n lím ite s in fin ito s..............................
149
Integrales im p ro p ia s co n lím ite s f i n i t o s ...............................
152
Integrales im p ro p ia s co n integrando no n e g a tiv o ............. .
161
C A P I T U L O 4: A P L I C A C I O N E S D E L A I N T E G R A L D E F I N I D A
Á r e a de re gio n e s p l a n a s ....................... ....... ...........................
167
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V o lu m e n de un só lid o en fu n ció n de las áreas de las secciones p la n a s ...... 181
V o lu m e n de un só lid o de re v o lu c ió n .....................................
185
M é to d o del d is c o circu la r y del a n illo circ u la r......................
185
M é to d o de la corteza c ilin d rica .............................. ...............
191
L o n g itu d de a r c o ..................................................................
201
Á re a de una supe rficie de r e v o lu c ió n ...................................
208
M o m e n t o s y centros de m asa (ó centros de g r a v e d a d ) ...........
214
A p lic a c io n e s de la integral en los n e g o c io s ............. ...............
229
C A P I T U L O 5: C O O R D E N A D A S P O L A R E S
Siste m a de co orde n a da s p o la r e s ..................................... ........
237
R e la ció n entre las co orde n a da s p olares y las re c ta n g u la re s.......
239
D ista n c ia entre d o s p u ntos en coordenadas p o la r e s ...................
240
E c u a c ió n p olar de una r e c t a .............................. .....................
241
E c u a c ió n polar de una c irc u n fe re n c ia .......................................
243
D isc u sió n y gráfica de una ecuación p o l a r ................................
244
Intersección de c u rv a s en coordenadas p o la r e s ...........................
248
D e riv a d a s y rectas tangentes en coorde nadas p o la r e s ..............
251
Á n g u lo entre d o s c u rva s en coorde n adas p o la r e s ......................
254
Á r e a de re gio n e s en co orde n a da s p o la r e s ........................ .......
262
L o n g itu d de arco en coorde n adas p o la r e s .................................
266
V o lu m e n de un só lid o de re v o lu c ió n en co orde n adas polares....
268
C A P IT U L O 6 : R E C T A S Y P L A N O S E N E L E S P A C IO
T R ID IM E N S IO N A L
V e cto re s en el e sp a cio t r id im e n s io n a l...................... .................
273
Re p re sen tación ge o m é trica de un vector en i 3 ....... ..................
274
V e cto re s paralelos en R 3 ..........................................................
276
M ó d u lo y longitud de un vector en K 3 ......................................
277
Á n g u lo entre d o s v e c t o r e s .........................................................
2 78
Ve ctore s orto go n ales o p erpe n d icu lare s.....................................
279 •
P roducto v e c t o r ia l............. .......................................................
283
A p lic a c io n e s del p rod ucto v e c t o r ia l............................................
285
A p lic a c ió n del triple prod ucto e s c a la r ........................................
287
Recta en el e s p a c io .............................. .....................................
295
R e la c ió n entre lo s c o se n o s directores de una recta.......................
296
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E c u a c io n e s de un p la n o en el e s p a c io .........................................
306
Á n g u lo entre d o s p l a n o s .............................................................
319
P ro y e cc ió n ortogonal de una recta sobre un p l a n o ......................
320
C A P I T U L O 7: S U P E R F I C I E S
E s f e r a ....................................................................................
342
D is c u s ió n y gráfica de la ecuación de una s u p e r f ic ie .................
347
C i l i n d r o s .................................................................................
352
Su p e rficie de r e v o lu c ió n .........................................................
356
Su p e rficie s c u a d rá tic a s .............................................................
361
C o o rd e n a d a s cilin d rica s y coordenadas e s fé ric a s ........................
369
C o o rd e n a d a s e sfé ric a s...............................................................
371
A p li c a c i o n e s ..............................................................................
373
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(r
'
........
.... 1............................
^
INTEGRAL
INDEFINIDA
^
......
..... — ^
1.1 A N T I D E R I V A D A E I N T E G R A L I N D E F I N I D A
E n el lib ro de T ó p ic o s de C á lc u lo V o lu m e n 1, se trató p rincipalm ente el p ro b le m a
b ásico siguiente: “ D a d a u n a fu n c ió n encontrar su d e riv a d a ” . S in em b argo, existen
m uc h a s a p lic a c io n e s del c á lc u lo que están re lacio n ad as con el p rob le m a inverso,
el cual es: “ D a d a una fu n c ió n / , d efinid a en un intervalo /, encontrar una fu n c ió n
F cu y a d e riv a d a sea la fu n c ió n / , es decir,
F '( x ) = / ( x ) , V x G /.
D e f in ic ió n 1. Se a / un intervalo y / : / -> M una función. U n a fu n c ió n F: / —» M
tal que F ' ( x ) = / ( x ) , V x G /, se d en o m ina p rim itiv a o antiderivada de / en / y
se escribe
F (x ) = Ant (/ (x )), V x G /
E je m p lo 1.
Se a /(x) = 4 x 3 , x G R
y
g(x) = ex , x G B .
L a s fu n c io n e s F( x ) = x 4 y G ( x ) = e x, x G K , son respectivam ente a n tid erivadas
de / y g en E , es decir,
F' (x ) = ( x 4) ' = 4 x 3 , V x E R
G '( x ) =
( e xy = e * , V x G l
T a m b ié n son a ntid erivadas de / ( x ) = 4 x 3 las fu n cio ne s
F1(x ) = x 4 + 2, F2 {x) = x 4 + ln7i
1007T
y
F 3( x ) = x 4 + -
pues su s d erivadas so n igu a le s a / ( x ) = 4 x 3
A n á lo ga m e n te , otras a ntid eriva d a s de g ( x ) = e x son, por ejem plo,
V3
G iC x ) = e x - 1, G2 ( x) = e x - e e, C 3 ( x ) = e x + —
don d e k es cu alq u ier constante real.
y C 4(x ) = e x + k
T O I% ()S DE C Á L C U L O - VOLUMEN II
Observación i. Si F { x ) = A n t ( f ( x ) ) en I, entonces F ( x) + C, donde C es una
constante real, es también antiderivada de f en l.
lista p ropiedad es evidente, pues si F ( x ) = A n t ( J { x ) ) en I, entonces
F '(x)=f(x),
V xel
T a m b ié n ( F ( x ) + C ) ' = F' {x) = / ( * ) , V x 6 /. Enton ce s
F ( x ) + C = A n t ( f { x ) ) en /
U n a pregunta natural es: “S i F (x ) = A n t ( f ( x ) ) en el intervalo /, ¿c u a lq u ie r otra
antiderivada de / en I difiere de F a lo m ás en una co n sta n te ?” . D ic h o de otro
m odo, si F ^ x ) = A n t ( f ( x ) ) en /, ¿necesariam ente Fr ( x) = F ( x ) + C, V x e l ?
L a respuesta es afirm a tiva y se deduce de la siguiente prop osición.
P r o p o s ic ió n 1.
Se a / : / -» E
una fu n ció n d efinid a en el intervalo abierto / y
F:I -» E
una antiderivada o p rim itiva de / . S i
antiderivada de / , entonces
: / -> E
es tam bién una
F1 ( x ) = F ( x ) + C
para a lgu n a constante C.
D em ostración
D e fin im o s la fu n c ió n H p or H ( x ) = F ^ x ) - F ( x ) . E n to n ce s
H' ( x) = Fi ( x) - F' {x) = f ( x ) - f ( x ) = 0, V x E l
Lu e go , H' ( x) = 0 , V x e l .
D e aquí se d educe que
H( x ) = C , V x e l , donde C es una
constante (ver
C o ro la rio 1 del T . V . M . T ó p ic o s de C á lc u lo V o l. 1). L u e go , se tiene
H ( x ) = F i C O - F{ x ) = C <=> F ^ x ) = F ( x ) + C , V x e l
Geom étricam ente, sig n ific a que si F ( x ) = A n t ( f ( x ) ) en el intervalo /, cu alq uier
otra antiderivada de / en I es una cu rva paralela al gráfico de y = F ( x ) (F ig. 1.1).
2
INTEGRAL INDEFINIDA
D e f in ic ió n 2.
S e a F ( x ) u na antiderivada de f { x ) d efin id a en el in te rvalo I. L a
in te g r a l in d e f in id a 'd e f ( x ) es e f conjunto de tod as
las a n tid erivadas de f ( x )
d e fin id a s en d ic h o intervalo y se representa m ediante el sím b o lo
J f ( x ) d x = F(x ).+ C
d ond e C es u na constante real que se d e n o m in a c o n sta n te de in te g r a c ió n .
L a fu n c ió n / ( x ) se lla m a integrando, f { x ) d x es el elem ento de integración, x
variab le de la integral- y el s ím b o lo j se d e n o m in a sím b o lo de la integral. L a
e x p re sió n
/ / (x )d x
se lee “ integral de f ( x ) co n respecto a x ” o “ integral
in d e fin id a de / ( x ) diferencial x ” .
Observación 2, De la definición 2 se deduce las siguientes propiedades:
i)
^ ( J / ( x ) d x ) — (J / (x )d x )
= ( F ( x ) + c y = f ( x ) , es d e c i r :
“la derivada de la integral indefinida es igual al integrando "
ti)
d
/ (x )d x j =
/ (x )d x j dx = f{x)dx
¡ii) Si f es una función derivable en I, entonces una primitiva de f es f . Luego,
J f'{x)dx = f(x ) + C
iv) Como d { f { x ) ) = / ' ( x ) d x , de (iii) se deduce:
J d (/ (x )) = f(x ) + C
De
las p rop ie da de s ii) y
iv), se co n clu ye que la integral in d e fin id a puede
interpretarse c o m o u na o p e ra ció n in ve rsa de la d iferenciación, pues al a p licar la
integral in d e fin id a a la diferencial de la fu n c ió n f { x ) , ésta reproduce la fu n c ió n
/ ( x ) m ás la constante de integración.
E j e m p lo 2.
D e l ejem p lo 1 se deduce:
i)
J e xdx = e x + C
ii)
J 4 x 3d x = x 4 + C
E n la fig ura 1.2 se m uestra la grá fica de las antiderivadas de / ( x ) = e x , es decir,
de F ( x ) = e * + C , d on d e C es un a constante real. S i C > 0, la grá fica de y = e x
se d e sp la za paralelam ente C un idad es h acia arriba y si C < 0, se d esp laza
paralelam ente C u n id a d e s h a cia abajo.
3
TÓPICO S DE C Á L C U LO - V O LU M EN II
Ejem plo 3.
Como d ( x ln x - x ) = ln x d x, por la obs. 2-iv , se deduce:
J d ( x l n x —x) = J \nx dx = x l n x - x + C
, ,
E jem p lo 4 .
í
1
x
J - ^ —j = - a r c t a n - + C , pues
n
x
\'
1
1
1 __ 2__
( - a r c t a n - + C) = -
X^
4 + x2
1 +=r
4
1.2 P R O P I E D A D E S D E L A I N T E G R A L I N D E F I N I D A
P r o p o s ic ió n 2. S i / y g so n fu n cio n e s que adm iten antiderivadas en el intervalo /
y k es una constante cualquiera, entonces las fu n cio n e s / ± g y k f
antiderivadas en / y se tiene:
a)
adm iten
[ íf(x) ± g ( x ) ] d x = J f (x )d x ± J g(x)dx
b) I [kf(x)]dx = k j f ( x ) d x
D e m o s t r a c ió n
a) C om o | J [ / ( x ) ± 5 ( x ) ] d x j = / ( x ) ± ^ ( x ) =
e n to nce s
/ (x )d x j ±
J g(x)dx ,
J [ f ( x ) ± g ( x ) ] d x y J f ( x ) d x ± J g ( x ) d x s o n las a n tid e riv a d a s
de / ( x ) ± g ( x ) . P o r tanto,
j [/ (*) ± 9 (x)]dx = J f ( x ) d x ± j g ( x )d x
b ) L a d em ostra ción q ueda c o m o ejercicio para el lector.
D e la parte (a) se deduce que la integral inde finid a de u n a su m a alge b ra ica de
varias fu n c io n e s es igu a l a la su m a alge b raica de sus integrales.
E j e m p lo 5. Calcule j ( e x - 4 x 3 + ln x ) d x .
S o lu c ió n . E n virtu d de la p ro p o sic ió n 2 y de los e jem plos 1, 2 y 3 se obtiene:
J (e x - 4 x 3 + l n x ) d x = J e xd x - J 4 x 3d x + J l n x d x
= ( e x + Ct ) - ( x 4 + C 2) + ( x l n x - x + C3)
= e x - x 4 + x In x - x + C, d o n d e C = Cx + C2 + C3
E n lo que sig u e solam ente usare m o s u na constante ú n ic a de inte gració n para la
su m a de 2 o m á s fu nciones.
4
INTEGRAL INDEFINIDA
1.3 I N T E G R A L E S I N M E D I A T A S
S i c o n o c e m o s f ' ( x ) , p o r la o b se rva ció n 2 -iii se d educe que
j f'(x)dx = f(x) + C
ó
J d(f(x)) = f{x) + C
E sta integral se d e n o m in a integral inmediata. P o r ejem plo, un a integral inm ediata
es / d x = x + C. E n se g u id a , presentarem os una tabla de integrales inm ediatas,
que contiene, adem ás de las integrales de fu n c io n e s elem entales, otras que serán
de m u c h a utilidad. P o r co m o did ad , en lugar de la variab le x u sa re m o s la letra u.
M á s adelante, ve re m o s que u puede ser una fun ción , es decir, u = u ( % ) .
F Ó R M U L A S E L E M E N T A L E S D E IN T E G R A C IÓ N
J du = u + C
1.
3.
5.
f
un+1
J
u nd u = ---------------- + C , n — 1
n +1
f
ciu
\ a udu = -------- b C
J
ln a
j — = ln|u| + C
2.
4.
6.
f
e udu = e + C
J
f
| se n u du = - c o s u + C
J
7.
J eos u d u = se n u + C
8 . tan u d u = ln [se c u| + C
j
9.
J c o t u d u = ¡njsen u¡ + C
10.
J secu
12.
J
14.
J s e c u tan u du = s e c u 4- C
” ■ / ese u du = ln | csci¿ — coti¿| + C
13.
J csc2u du = —cot u + C
du — ln | se c u + tan u| + C
s e c 2u du = tan u + C
15. J ese u cot u d u = — ese u + C
16. J se n h u du = co sh u + C
17. j c o sh u du = s e n h u + C
18. j ta n h u du = ln|cosh u| + C
19. J sech2u du = ta n h u + C
20.
2 1 . J s e c h u tp nh u d u = — s e c h u + C
2 2 . J c s c h u coth u d u = — c o s h u + C
5
J c sc h Ju du = - c o t h u + C
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
■h
du
1
+ u-
a
U
arctan —+ C , (a > 0)
1
u —a
2a
u + a
1
u + a
2a
u - a
= — ln
■ h
= — ln
f
26
27.
28.
—=
du
=
+ C , (a > 0)
+ C , (a > 0)
u
= a rc se n - + C , (a > 0 )
f
du
i
,----------- 1
I - p =
= In u + V u 2 ± a 2 + C
v u2 ± a2
r
1
du
— ;..= J uvu2 — a2
- a r c s e c ------ 1- C , (a > 0 )
a
a
29
. J yj a 2 — u 2du = —juVa 2 - u 2 + a a r c s e n - + C , (a > 0 )
30
j yj'u2 + a 2du = - |u%/u2 + a 2 4- a 2 ln ( u + J u 2 + a 2)j 4- C
31.
J yju 2 - a 2du = - [ u v u 2 - a 2 - a 2 ln |u + V u 2 - a 2 j] + C
aj
C a d a una de éstas fó rm u la s se pueden ve rifica r m ediante la d e riv a c ió n (respecto a
la variable u).
P o r ejem plo, en el ca so de la fó rm u la 2 4 se tiene:
d
/ 1
iu — ai\
d u \ 2 a n lu + aU
1 d
(ln | u - a \ - ln|u + a|)
2 a¡L UU
1
1
1
2a u - a
1
u + a
1
iu - a i
P o r ta n to ■ I —^------ j = t;— ln --------- + C
J u'- — a 2 2a
lu + a l
f
du
E n el caso de la fó rm u la 18, se tiene:
d
se n h u
( In c o s h u|) = — — — .?= t a n h u
du
co sh u
—
D e lo a n t e r io r s e d e d u c e q u e
J ta n h u d u = ln | c o sh u| + C.
6
INTEGRAL INDEFINIDA
E jem p lo 6 . C alcule J ( 6x 4 - x 2 + 3 )d u .
Solución
U s a n d o las fó rm u la s de integración, tenem os
J (6 x 4- x 2 + 3 ) d u = J 6x 4d x - J x 2d x + J 3d x
= 6 J x 4d x -
J x zdx + 3 J dx
6
x3
= - x 5 - — + 3x + C
E jem p lo 7. Calcule J (v 2 — \ [ x) 2dx.
Solución
C o m o ( V 2 — V * ) 2 = ( 2 — 2 V 2 V x + x ), entonces se obtiene
j (V 2 - yfx)2dx =2 J dx - 2 V 2
J x 1/2d x + J xd x
r 3/2
= 2„ _ 2V 2 _
y2
+ y
+ C
= 2 x - ^ 4 2 x 3/z 4 - ^ x 2 + C
E jem p lo 8. Halle
f 3 x 5 — 6 x 2 + yfx
J
I ------------------- ---- dx.
x6
Solución
D iv id ie n d o térm ino a té rm in o el integrando y a p lican d o las p rop ie d a d e s de la
integral, se tiene
f 3xs - 6 x 2 +tJx
f
f dx
f
I ---------- -------------- d x = 3 I x d x - 6 I ------ ¡- x s/2d x
2
- x 3 - 6 \n\x\ ~ - x 3l2 + C
E n los ejem p los anteriores, el m étodo para hallar las integrales co n sistió en tratar
de d e sco m p o n e r el integrand o co m o la su m a algebraica de v a ria s fu n c io n e s y
luego a plicar las p rop ie d a d e s e nunciadas en la p ro p o sic ió n 2. E ste m étod o es
llam ado "m étodo de in tegración por descom posición” . E n ciertas funciones,
d e sco m p o n e r la fu n c ió n en su m a s parciales n o es tarea fácil, pues depende de la
experiencia, ha bilid ad y práctica del que calcula.
7
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
E jem p lo 9. Calcule
dx
,
J/ s e n h 2x c o sh -x
S o lu c ió n
1
c o s h 2x - s e n h 2x
Como ----- —----—— = -----------—---------—— = csch^x - sech2x, entonces
s e n r rx co sh -x
s e n h 2x co sh ^ x
/ s e n h 2x c o s h 2x = / CSCh2* d x ~ / Se ch 2 * d x = ~ COth X “ t a n h x + C
E jem p lo 1 0 . E n c u e n tre
r
■
x2 + 2
--------dx.
J x 2( x 2 + 4 )
S o lu c ió n
E xp re sa n d o el n u m e rad or del
d enom inador, resulta
integrando
en
térm inos
2
de
los
factores
del
1
+ 2 = x z + - ( x z + 4 - x 2) = - [ ( x 2 + 4 ) + x z ]
A h o ra , e sc rib im o s la integral co m o la su m a de d o s integrales (h a cie n d o las
sim p lific a c io n e s en cada integrando) y obtenem os
í
l f i ! + ( i 2 + 4)
*¿ +2
J x 2( x 2 + 4 )
X ~ 2j
1
+2
x
: a rc ta n -
~ 2 l2 í
1
X
1
-a rc ta n - - —
4
2
2x
E jem p lo 1 1 . H alle / =
+ C
í
x 2 —5
— —— — dx
J x 2( x 2 - 9 )
Solución
P roce d ie n d o del m is m o m o d o que en el ejem plo anterior, resulta
x 2 — 5 = x 2 + | ( x 2 - 9 - x 2) = | ( x 2 - 9 ) i- -”X 2
9
_
9
f í * 2 + | ( * 2 - 9)
J
4
x 2( x z - 9 )
1
x + 3
4 r
9
dx
5 r dx
dx- 9 j x 2-9 + 9 j I 2
5
2
= 9 ' ¿ ln x — 3 ~ 9 x + ° ~ 2 7
8
1 r dx
2 J x 2"+ ~ 4 + 2 J x 2^
x 2( x 2 + 4 )
rl
i1 ri
dx
i r
ix + 3|
lnL —31
5
~9x + C
INTEGRAL INDEFINIDA
3 dx
Ejem plo 12. Halle
J x 2( x 2 + 5 )
S o lu c ió n
U sa n d o el m ism o p roced im ie n to de los ejem plos anteriores, se obtiene
3
3
3
3 = - ( x 2 + 5 — x 2) = — ( x 2 + 5 ) - - x 2 . Luego,
_
3 ,7 .,.,,
2 j
3
r ^ ( x 2 + S ) - ^ x 2 dx ^ 3
J
5 J x2 + 5
x
3
a rc ta n — + C
5V5
V5
E jem plo 13. Se a /: R -> K
=2 y
m
3 r
5 J x2
x 2( x 2 + 5 )
5x
rdx
una fu n c ió n co n tinu a en E
=
tal que
* e
x > 1
\ e x,
De te rm in e f ( x ) .
Solución
( - 1 , oo < x < 0
/ '( x ) =
|1.
0 < x < l
le *,
x > l
f - x + Cu x < 0
=>f ( x )
= I x + C2 ,
0 < x < 1
l e * + C3 , x > l
D e la co ntin uidad de / en E, se tie n e
0
= C, = C 2
/ (O ) -
l*m / ( x ) =
x-»
0_
ü m / ( x ) <=* 2
ii) / ( l ) =
lim _ / ( x ) =
lim + / ( x ) «=> 1 + C2 = e + C 3
R e s o lv ie n d o las e cu a cione s (1 ) y (2), se obtiene:
í-x
P o r tanto, / ( x )
= |
+2,
x
x + 2,
1
a2 - u2
( 2)
= 2, C 2 = 2 y C 3 = e - 3.
<0
0 < x <
le* + e - 3 ,
Observación 3.
(1 )
x
>1
Una identidad útil en el proceso de integración es
1
2a a —u
a -r u
9
1
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
E jem p lo 1 4 . C alcule
f dx
I ——
Solución
U s a n d o la identidad de la o b se rva ció n 3, se tiene
(■
dx
1 f r
_
1
1
J x 4 — 9 ~ ~ 6 J i x 2 + 3 + 3~—~}
111
- —
*
a rcta n —
6 LV3
E jem p lo 1 5 . E n c u e n tre
V3
dx
1
+ V3
+ C
+ — — ln
2V3
-V 3
f x 2 + 13
- -dx.
J V FT9
Solución
T ra b a jan d o de m anera adecuada en el nu m e rad or del integrando, se obtiene
f
dx
f x 2 + 13 ,
f (x 2 + 9) + 4
f r—-----.
dx =
—
— dx = \ yjx2 + 9 dx + 4 1
J Vx2+ 9
J
Vx2+ 9
J
J V* 2 + 9
= - j * V * 2 + 9 + 9 ln (x + yj x2 + 9 )] + 4 ln (x + j x 2 + 9) + C
= 2 [ W * 2 + 9 + 1 7 ln ( x + J x 2 + 9 )] + C
1.4 M É T O D O S D E IN T E G R A C IÓ N
A n te s de presentar los m étodos de integración “p or su stitució n o c a m b io de
va ria b le ” y “p or partes”, es necesario hacer notar una d iferencia esencial entre las
op e racio ne s de d e riv a c ió n y de integración. D a d a una fu n c ió n elem ental (fu n c ió n
que se obtiene m ediante un nú m e ro finito de op e racio ne s de sum a, resta,
m ultip licación , d iv isió n y c o m p o sic ió n de fu n c io n e s de las fun cio n e s: constante,
potencia
( y - x a ),
( y = a x),
exp one n cial
lo ga rítm ica
( y = lo g a x),
trigon o m é trica s y trigon o m é trica s inversas), su d erivada m antiene la m ism a
estructura, es decir, tam bién se exp resa c o m o una fu n c ió n elem ental, m ientras que
en la integral indefinida, esto solam ente sucede en c o n d ic io n e s m u y especiales.
P o r ejem plo, las integrales sim p le s c o m o
l ^ i x .
fe*dx.
J V i + x 3 dx
, J ser¡(x2) d x , j c o s ( x 2) d x
no pueden ser e xp re sa d a s en té rm in os de “co m b in a c io n e s fin ita s” de fu n c io n e s
elementales.
10
INTEGRAL INDEFINIDA
D e l punto de vista práctico, la integración se presenta co m o una o p e ra ció n m ás
co m p lica d a que la derivación , pues ésta tiene re glas generales de d eriva ción;
m ientras que para la integración es p osib le hacer artificios que son v á lid o s para
clases particulares de funciones. C a d a caso particular requiere un en sayo , una
tentativa, por lo que se re co m ie n da práctica, m ás práctica y m ás práctica.
1.4.1 I N T E G R A C I Ó N P O R S U S T I T U C I Ó N O C A M B I O D E V A R I A B L E
Para hallar la integral in de fin id a por este método, d iv id im o s nuestro a n á lisis en
dos partes: re co n ocim iento del m od elo y ca m b io de variable.
E n el re co n ocim ien to del m od e lo re alizam o s la su stitu ció n m entalm ente, m ientras
que en ca m b io de variab le e sc rib im o s los p aso s de la sustitución.
E l proced im ie n to de sustitució n en la integración es com p arable con la regla de la
cadena en la d erivación. Re cu e rd e que para fu n c io n e s d eriva bles y = f { u )
y
u = g ( x ) , la regla de la cadena establece
d
S i h a ce m o s la sustitución u = g ( x ) , entonces a partir de la d e fin ic ió n de la
integral d efinid a tenem os
J f'{g(x))g'(x)dx = f{g(x)) + C = f ( u ) + C
A s í, h e m o s p rob ado la siguiente prop osición:
]
P r o p o s ic ió n 3.
S i y = f ( u ) es una fu n ció n derivable de u, u = g ( x ) es una i
fu n c ió n d erivable de x y F es una antiderivada de / , entonces
J f ( g ( x ) ) g ' ( x ) d x = F ( g ( x ) ) + C (R e c o n o c im ie n to del m o d e lo )
S i ha ce m o s el ca m b io de va ria b le u = g ( x ) , entonces d u = g ' ( x ) d x . L u e go ,
J f(g (x ))g '(x )d x = J f(u )d u = F (u ) + C
E jem p lo 16. Calcule J ( x 3 + l ) 4 3 x 2 dx.
Solución
Sea t = x A + 1 . entonces d t = 3 x 2 d x . Lu e go ,
II
|
TO PICO S DE C Á L C U LO - V OLU M EN II
X4
í
E jem p lo 1 7 . H alle la integral I
-d x .
J Vx5 + 1
Solución
Si
= x 5 + 1 , se tiene d t = 5 x 4d x . En ton ce s
t
f
x4
T 'f •-
V x5 + 1
J
,
1 f 5 x 4dx
dx = r
Tr ,
i r
= c
,,,
f“
V x5 + 1 5 J
5J
1 7
£í„
d t = - - - t 6/7 + C
5
6
= ¿ 7 ( * 5 + i)6 + c
r Sexdx
E jem p lo 1 8 . Calcule la inte gral J - ^ = = = = .
Solución
Si
u
= e x , se tiene d u = e * d x . Lu e go , se obtiene
f
S e xd x
......
J Vi - e 2*
f
= 5
---
J V l^ ü 2
E jem p lo 1 9 . C alcule I =
du
= 5 arcsen u + C = 5 arcsenfe*) + C
f se nh xcosh x
— ----------— - — dx.
J (1 + s e n h 2x ) 5
Solución
S i co n sid e ra m o s u = 1 + s e n h 2x , se tiene d u = 2 s e n h x c o s h x d x . Lu e go ,
f ? du
1 u“4
1 í
/ - J - ¡ ^ - 2j U
E jem p lo 2 0 . H alle
1
d U ~ 2 ( ^ ) + C - - 8( 1 + s e n V x y + C
f a rc s e n V x d x
I — ■ = = — .
■/
Vx — X2
Solución
r-
. '
Si se hace u = a r c s e n V x , se tiene du =
1
dx
dx
------- — = = — ■— ..... . P o r tanto,
V T ^ x 2V x
2V x
- x2
r arcsenVx dx
f
J —
— = J 2 u d u = u + C = [arcsenVx] + C
2
= arcsen2Vx + C
Observación 4. En ciertos casos, es necesario realizar algunas operaciones en el
integrando p a r a que el cambio de variable sea más f ác i l de realizar.
12
INTEGRAL INDEFINIDA
I
Ejemplo 21. Calcule I
2 + J2 + J 2 + 2 c o s (5 \/ x + 4 ) • x 1/ 2dx.
Solución
E n el integrando, a p lic a m o s la identidad trigon o m é trica
Q
9
1 + eos 9
e o s — = ------ —
2
2
2+
1=
- í
-i.
!2 +
ó 1 + e os 0 = 2 e o s 2 —
2 +
|2 [ l + e o s (5V3c + 4 )] • x i / 2 d x
12 + 2 co s 5-^
+ 4 ■x~1/ 2dx =
J
2 + 2 eos
5Vx + 4
5
_ .
16
Si u = ----- — -, e n to n ce s du = —~ x ,¿dx <=> — d u = x
8
16
5
32 f
/ = — I eos u du = —
E jem p lo 2 2 . H alle / =
5 V * 4- 4
1/2dx
' ‘ d x . Luego,
32
32
/5Vx + 4 \
|+ C
se n u + C = — s e n I ----- g —
x dx
J e 3* ( l - x ) 4
Solución
L u e g o de expresar el d e n o m in a d o r en una so la potencia, tenem os
f
xe x dx
C
r
xe x dx
= J e 4x( l — x ) 4 = JJ ( e x -— x. e x) 4
L u ch o , hacem os u = e x — x e x . E n to n ce s du = —x e xd x ■*=> —du = x e xdx
l)c esiii manera, se obtiene:
/
f du _
1
J u4
3u 3
+ C =
3 e 3* ( l - x ) 3
13
+ C
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
(x 2 - 1 ) dx
E je m p lo 23. Calcule / = J
(.x 2 + l ) V x 4 + 1
Solución
D iv id ie n d o el nu m e rad or y el d en o m in a do r entre x 2 , se tiene
, =
f
Si u = x + - ,
x
t 1 ~ x 1) d x
f
e n to n ce s du = ( l -----t ) dx
\
V u2 = x 2 + — + 2 ^
x2
x 2)
u2 — 2 = x2 + —
. P o r tanto, se obtiene
x-
du
1
|u|
1
(x2+ 1
...... = — are see — + C = — are see
■
—
J xW u2 — 2 V 2
V2
V2
\ V 2 |x|
r
I =
f x + 2
E jem p lo 2 4 . Calcule / = I -- ------ ^
( X — i-J
J
“.x.
Solución
S i h acem os
u = x — 2 , se tiene d u = d x
. Lue go ,
/ = J (U +J )dU = | (u~3 + 4 u - 4)du
u “2
4
,
= - — "3“
3x +
2
+C = - ^ 2 F +C
r
E jem p lo 2 5. C alcule / = |
f
x íix
= .
Ii + x 2 + 7 ( i + x 2) 3
Solución
L a integral puede e scrib irse co m o
/
x dx
f
1 + x z + V ( l + x 2) 3
x dx
Vl + W
,--------Si c o n sid e ra m o s i¿ = 1 + V x 2 + 1< e nto n ce s d u =
l + V l + x2
x dx
Vx2 + 1
. Luego,
/ = J — = J u í/2du = 2 Vü + C = 2J 1 + V 1 + x 2 + C
14
INTEGRAL INDEFINIDA
E jem p lo 2 6 . Calcule I = J x V x + 4 dx.
S o lu c ió n
S i se hace u = V * + 4 , entonces u 2 = i + 4 y d x
2 u d u . P o r consiguiente,
/ = [ ( u 2 - 4 )u. 2 u d u = j ( 2 u 4 - 8 u 2)d u
( x + 4 ) 3/2
(6x - 16) + C
15
E J E R C IC IO S
/?. - x 3/2 + 3 x + C
J 4 x ( x + 1) d x
R. ^ x 5/z + 3 x3/2 + C
4 dx
Vó
/?. 4 arcse n — + C
—
V6
x ^
dx
+ C
x (x 2 — 8)
* ~ 16 ln x 2 - 8
7 x 2 + 16
3
x
4
/?. - a r c t a n ---------- 1- C
2
2
x
x4 + 4x2
18 d x
/?.
9xz - x4
2
1
x
3
3 dx
in
x - 1
\\n
x 2 + 4x - 5
x + 5
4 dx
x + 3
+ C
+ C
2x + 5
R. 2 a r c s e n ------------ i- C
V — 4 x 2 — 20x — 9
J V ~ 4 x 2 - 12x - 5 dx
R.
10.
I I.
1
( 2 x + 3 ) V ~ 4 x 2 - 1 2 x - 5 + 4 a rc s e n
2 X3 X
2x + 3
+ C
(D'ÍE^s)-
3 /6 ' *
-dx
25
scn h x d x
R. - ■
(1 + c o s h x ) 3
2(1 + c o s h x ) :
■+C
dx
R. - - t a n ( l — 4 x ) + C
c o s 2( l - 4 x )
4
15
T O N IC O S D ii C Á L C U L O - V O L U M L N II
1
13. J c o s ( 7 x + 4 ) d x
14.
J c l' 2x~r,) d x
R. - e i2x- ^ 4- C
(lnX+ l ) e x l n x d x
15. J
R. x x + C
dx
16.
17.
R. - s e n ( 7 x 4- 4 ) 4- C
R. — --------b C
x ln2x
f
In x
dx
---------
R. ln IIn x I 4- C
J x lnx
18.
R. ------ ~ + C
1 4- In 4
dx
19.
20
(4e)x
J 4 xe x dx
3
R. - - ( c o t x - 1 ) 2/3 4- C
se n 2x V c o t x - 1
./
sen x e t a n 2x
R. - e ta,>2* 4- C
c o s Jx
ev*3e
2'. I
2 ( 3 eÆ )
R.
t ~InT3 ~ + c
dx
‘I
R- 2 J l n ( x 4- -J 1 4- x 2) 4- C
(1 4- x 2) ln (x 4- V i + x 2)
arctan* + x l n ( x 2 + 1 ) 4 - 1
23.
1 -f X 2
dx
R■ e arctanx 4- — l n ( x 2 4- 1) 4- arcta n x 4- C
4
24,
25
26
Ji
se n x
I
dx
■dx
R. s e n x 4- ■
•*+■ C
R. — ta n 5 x 4- C
1 4- c o s l O x
dx
■ / V 2 x 4- 1 - yjx
R. 2 ( V 2 x 4- 1 4- V x ) — 2 [ a r c t a n V 2 x 4- 1 4- a r c t a n V x ] 4- C
^
27.
f ( X 2 - 2 x + l ) 1/5 j
-------- ---------------- dx
J
1- x
R. - - ( x - 1 ) 2/ 5 4- C
16
INTEGRAL INDEFINIDA
28.
29.
30.
31.
f
V4 — x 4
35.
36.
h
*• arcsenf t ) - senl’ " ' ©
R. ta n x - s e c x + C
a rc ta n 2x
f l n ( l n x j)
J
I
1
■dx
o
Z
1
dx
xlnx
1
/?. - l n ( l + 4 x 2) - - a r c t a n 2 ( 2 x ) + C
R. - l n 2 ( l n x ) + C
R. -
2 X 4- 3
x - ^ K 2^ 3) + c
dx
/ Ve* -
R. 2 arctanVfc^ - 1 + C
1
f sen x c o s x
-.dx
R. - a r c s e n
2
dx
_
+ C
\ V2
1
(L
( 2 ta n x \
R. - a r c t a n ) — - — ) + C
/ 4 + 5 c o s 2x
A
1
dx
R.
4 + 5 s e n 2x
3
J
( 2 cot x
a rc ta n ( — =— | + C
V
3
)■
1
dx
e
x
+ 4
/
R. - - l n ( l + 4 e x) + C
In 3 x
40.
41.
+c
/?. - [ ( x + l ) 3/2 — ( x - l ) 3/2] + C
+ se n x
x -
38.
39.
-dx
/V ^ T
J V2 - s e n 4x
37.
+C
dx
+ 4x2
34.
R.—
' V2 + x 2 — V2 —x 2
32.
33.
x 2x
J x 2x( \ n x + 1 ) dx
i x In 5 x
dx
R.
In — ln | ln 5 x | + l n x + C
ln ( x + V x 2 + 1)
/
1 + x2
dx
R. - [ ln ( x + V x 2 + 1 )]
42.
/ v r + se n x d x
R. — 2 V l — s e n x + C
43.
j V l + c o s x dx
R. 2 V l - c o s x + C
«. J.
R. a r c t a n ( e * ) + C
e x + ex
17
+ C
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
f
45'
44
dx
dx
~r= =
/?• ~(Vx + 1) 3/2 - 4(Vx + 1 ) 1/2 + C
J vvx
y f W -+ 1
á
f
arctanVx
í
(x-2)
• J v ï + æ + x * dx
*n
R• tarctan^ r + C
,
_
fyfx2 - X + l \
_
*• 2 arcse" (----- Ï----- ) + c
' j
s e n l 'fse n x ++x xros
r InInr x)dx
id r
3. Ij j;Z
x2senx~i(senx
cosx
48.
4 9 '■
.
í~
ß , ì x 2 sen x + ^
2'
R. J l n x + V l n x + ...
—------
i----- -
e lr,(2x) 4 in x + V l n x + ... + o o — x
+ C
f e os 6 x + 6 e o s 4 x + 15 e os 2 x + 10
J
e o s 5 x + 5 e os 3 x + 10 c o s x
R - 2 senx + C
dX
f se n 8 x d x
1/ 'se n 2 4x \
5L I 9 + senHx
52.
f c o s 2x ( t a n 2x + 1 )
—---------- ----------- —— d x
J (s e n x + c o s x ) 2
f
b3‘
R' J^arctan (— 3— j + C
R
I s e c x - ta n x
J J s e c x + t a n x d*
54. J c s c 3x d x
R' >n|secx + t a n x | - ln(secx) + C
R.
55. J s e c 3x d x
f
1
--------------------- 1- r
1 + ta n x
- - [ e s c x c o t x 4- ln |csc x - c o tx| J + C
R. - [ ln l s e c x + ta n x| + s e c x ta n x ] + C
2
e 2x
56'
J 4 t + ~ é * dX
57.
I ----------------
rV ^ T
J
fi- - ( e í - l ) 3/2 - 2 ( e I + l ) 1',2 i - C
e arctan * + ln f ( l + x 2)'íx2eX- x2] + V é ^ = T
*-------------dx
\l 1 4- y ^-\!p x 4- y 2pX — v2 — 1
R. earctan* + ^ l n 2 ( l + x 2) + a rc ta n x + C
4
qs
f
xdx
J ( x - l ) 5e 4x
n
R■ ~ 4 (x — l ) 4 e 4 Ar + C
18
1
INTEGRAL INDEFINIDA
2e x + e x
59- /1 3^ - ^
dx
fi. l n | V 3 e 2* - 4 V 3 - e " 2*| + C
In x dx
60
R. -
/ x 3( ln x — l ) 3
2 x 2( ln x - l ) 2
+C
4 dx
f ---------- =
61
1
J cos x v l - s e n 2 x + 2 c o s 2x
_____________________
R. 4 ln [ ( t a n x — 1 ) + V t a n 2x - 2 ta n x + 3 ] + C
62. J ( 4 — 3 l n x ) 4 d ( l n x )
/?. - —
(4 -3 1 n x )s + C
Ve* + 2
f e *V e * + 2
63
J
ex + 6
•dx
fi. 2 V e * + 2 - 4 a r c t a n ----- -------- h C
x3
x 5 dx
fí. Y
■/ x3 - 8
. 1 + ta n x
| -------- —
dx
■ J se n 2 x
8
+ -ln | x 3 - 8 |+ C
/?. - l n | c s c 2 x - co t 2x\ + ta n x + C
65.
6 6 . U n a fu n c ió n /: R -
«o )
es continua en E y satisface:
x + |1 - x|
H a lle f ( x ) .
=-fy/ 'W =
l2 + 1
x < 1
R. / W = arctan* - 2 '
(. l n ( x 2 + 1 ) - a rc ta n x - In 2 ,
67. H a lle la e c u a c ió n d e la c u r v a p a r a el cu a l y " =
x
x > 1
y q u e es ta n g e n te a la
2
R. y = —+ 1
re cta 2 x + y = 5 e n el p u n t o (1; 3 )
6 8 . H a lle la e cuación de la cu rva cu ya tangente en el punto (0; 2 ) es h o rizon tal y
/
10 \
tie n e p u n t o d e in fle x ió n en ( — 1 ; "g - ) y
y " ; = 4.
2
v
R. y = - x 3 + 2 x 2 + 2
x2 + Vi + x
69. E n c u e n t r e la a n t id e r iv a d a d e / ( x ) = — j---—
— , d e m o d o q u e d ic h a
VTTx
709\
a n t id e r iv a d a p a s e p o r P ^0;
280/
, „ r3
,
6
3
6 _______
R. (1 + x ) / - (1 + x ) - - (1 + x ) + - + - V l T x + 1
L8
5
L 1
19
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
1.4.2 M É T O D O DE I N T E G R A C I Ó N P O R P A R T E S
Sean u y v d o s fu n cio ne s d efinid as y derivables en el intervalo /. P o r la re gla de
la diferencial del producto, se tiene
d ( u v ) = u d v + vdu
P o d e m o s re e scrib ir la e xp re sió n co m o
u dv = d ( u v ) - vdu
Integrando a m b o s lados de la igualdad se obtiene la fó rm u la
J u d v = u v —j vdu
Esta fó rm u la es c o n o c id a c o m o fórm ula de integración p o r p artes.
Observación 5. La idea básica de la integración po r partes consiste en calcular
la integral original mediante el cálculo de otra integral, la cual se espera que sea
más simple de resolver que la integral original dada.
Para descomponer el elemento de integración en dos f actores u y dv,
normalmente se elige como la función u aquella parte del integrando que se
simplifica con la derivación y d v será el f actor restante del elemento de
integración. Esta no es una regla general, pues en la práctica la habilidad y la
experiencia del que calcula son las mejores herramientas.
Observación 6. Cuando se determina la función v a partir de su diferencial dv,
no es necesario considerar la constante de integración, pues si en lugar de v se
considera v + C, C constante, entonces
j u d v = u ( v + C) - j ( v
+ C)du = uv -
J v du
Esto significa que la constante C considerada no figura en el resultado final.
E je m p lo 2 7 .
C a lc u le
j l n x dx.
Solución
D e acuerdo con la su ge re n cia d ada en la o b se rva ció n .2, e le g im o s
1
u = ln x = > du = - dx
x
dv = dx = s v =
J dx = x
(n o se c o n sid e ra la co n sta n te de in te g ra c ió n )
P o r la fó rm u la de in te gración p o r partes, se obtiene
í ,
J ln x d x = x ln x -
20
f x dx
I
- x\nx - x + C
INTEGRAL INDEFINIDA
E jem p lo 2 8 . C alcule I =
J ( x 2 + 3x - 1 ) e Zxdx.
Solución
Esco ge m o s
u = x 2 + 3x — 1 = > du = (2 x + 3)d x
\ d v _ g 2x^x ^
v — J e 2xd x = — e 2x
L u e g o , ob tenem os
/ = - ( x 2 + 3 x - l ) e 2x -
J
(* + 2)
E n la ú ltim a integral (m ás sim p le que la o rig in a l) a p lic a m o s n u evam ente la
integración p or partes con
(
3
¡u = x + - = $ d u = d x
d v = e 2xd x = * v = - e 2x
2
P o r lo tanto,
/ = - ( x 2 + 3 x - l ) e 2x
02x
= ( x 2 + 2 x - 2 ) — •+ C
E jem p lo 2 9 . Calcule / = J e ax c o s b x dx.
Solución
Escoge m os
<u = e ax => d u = a e ax d x
1
d v = e o s bx d x = > v = 7- s e n 6 x
b
Entonces,
1
/ = - e a* s e n 6 x
b
~ í ¡ e axsen b x d x = - b— s e n bx
¡í
e axsen b x d x
In te g ra n d o n u e va m e n te p o r p a rte s en | e ax se n bx d x , e sc o g e m o s
/'
C u = e ax = > d u = a e ax d x
|d y = s e n bx d x =* v = — —c o s b x
21
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
De esta manera, se obtiene
^ = ~b e<XX' S6 n
~ ~b [ ~ b G<ÍX C° S
1
+ b í eaXQ0S^x d x \
ó
a2
a
1 = - e ax se n b x 4- — e a* c o s b x - ~ I
o
bz
b2
A h o ra , se despeja / de la últim a ecuación y al resultado final se su m a la constante
de integración
1 . a2\ ,
axísenbx
acosbx\
e ax
1=
— ( b s e n b x 4-a e os bx ) + C
a2 + b2
'
—
E jem p lo 3 0 . Calcule / =
j s e c 5x dx.
Solución
E n p rim er lugar, e sc rib im o s la integral dada com o
/ =
J
s e c 5x d x
=
J sec3x. sec2x d x
jltim a integral, u tiliza m o s integración p or partes e ligie n d o
E n la últim
f( u = s e c 3x
3* = * du = 3 s e c 3x ta n x dx
'■dv = s e c 2x • i
d x =$ v = t a n x
Entonces,
/ = ta n X s e c 3x -
J 3 s e c 3x
l = ta n x s e c 3x -
J
t a n 2x d x
3 s e c 3 x ( s e c 2x - 1 ) d x
I = ta n x s e c 3x - 3 j s e c 5 x d x 4- 3
J sec3 x dx
I = ta n x se c x - 3 / 4 - 3 J V I + ta n 2x s e c 2x d x
3
41 = ta n x s e c Jx 4- - ( s e c x ta n x 4- ln | s e c x 4- t a n x | )
1
3
/ = - ta n x s e c 3x 4- - (se c x ta n x 4- ln | s e c x 4- t a n x | ) 4- C
22
INTEGRAL INDEFINIDA
E jem pia 31- Calcule
J x arctan x dx.
S o lu c ió n
E sco ge m o s
u = arctan x = > d u — ■
/ =
dx
1 f x 2 dx
\ x arctan x d x = — arctan x
2 J 1 + x2
2
f x 2 d xx '
P a ra c a lc u la r la in te g ra l
------- r , se efectúa la d iv is ió n y se tiene:
J 1 + r
, = T araan)I‘ l / ( i - r í ^ ) * r
X2
1
( x 2 + 1)
1
£*
Lt
= — a rc t a n x - - ( x - a rc ta n x ) + C = ----- ------ a rc t a n x - - x + C
¿
L>
f c o s x + x se n x —
— 1í
E j e m p lo 332.
2 . C alcule / C
= alcule
J ----- / =^ jx — ^ 2—
S o lu c ió n
U tiliza n d o la identidad s e n 2* + c o s 2x = 1, e sc rib im o s la integral c o m o
f c o s x + x s e n x - s e n 2x - c o s 2x
Í=J
(se n x - x ) 2
f - c o s x ( c o s x - 1 ) - se n x ( s e n x - x )
1
/
(se n x - x
I ---------------^
^) 2
f - ■c o s x ( c o s x —
- 1)
J
sen x dx
f
(sen x - x ) 2
J (sen x - x)
I
P ara la integral J, a p lic a m o s la integración p or partes con
Í u = —e o s x => du = s e n x dx
( c o s x - 1 )dx ^
dV ~ ( s e n x - x ) 2 ^
L u e go ,
f
c oxs x- x
se n
_
v ~ ( Sen x - x )
sen x d x
"Jf ( sseennxx -d xx )
--------- + J ( s e n x - x )
/ =
P o r lo tanto,
cosx
/ = -------------- + C
se n x - x
1
f
Jf ( sseennxx -d xx )
J
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
E jem p lo 3 3 . Calcule / =
J
dx.
Solución
Se p aran d o la integral en la su m a de d os integrales, se tiene
I =
J ~ d x + J e x \n x d x
¡
Para la integral / , h acem os j u ~ ^ n x = > d u = —
vdi? = e x d x =$ v — e x
A s í,
1= j ~xdx +\eX]nx ~I ~^dx\= e * l n * +c
r ^.garctan*
E jem p lo 3 4 . Calcule / = í ----------------- dx.
J (1 + x 2)3/2 ux
Solución
g a rc ta n x
Como la integral de — ^
2 es inm ediata, elegim os
g a rc ta n x
d v = - .. 2 d x
1 + x2
Lu e go , tenem os
x e ar<
1 ~ ’ ' n- ■ --- ~ j — --- ~ d x
V T +x2
J ( 1 4 * 2 )3 7 2
J
E n la integral J co n sid e ra m o s
1
u = ■■■•.
V í T ?
,
x dx
= * du = - ( i + * 2) 3/2
g a r c ta n x
d v = — ------—d x => v = e arctanjc
1 +x2
Luego, se tiene
i =
~
”—^an x
V i + x2
v r + i^
r
j ( i + * 2) 3/2
-i « a rc ía n x ( v _ < \
Portante, l = i - -■_ ! ?
2
ii + c
Vi + x2
24
dx
INTEGRAL INDEFINIDA
O tra fo rm a d e ca lc u la r la integral del ejem plo anterior es hacer el c a m b io de
v a ria b le t = a rcta n x y la in te gral se tra n sfo rm a en J e csert t dt.
E j e m p lo 3 5. Calcule / =
[ ■
s e n h 2x dx
J ( x co sh x — s e n h x ) 2
S o lu c ió n
,
M u ltip lic a n d o y d iv id ie n d o entre x , se tiene
f senh x
/
J
x senh x dx
(x co sh x - se nh x ) 2
x
A h o r a e sc o g e m o s
se nh x
x co sh x - s e n h x
u = ---------- =¡> d u = ----------■— ---------------d x
x
xl
1
x se nh x
d v = -------- -------------- -— — d x = > v
(x co sh x - senh x ) 2
x co sh x - s e n h x
En ton ce s
senh x
r dx
x (se n h x - x c o s h x )
J x2
1
se nh x
1 = — ----- :---------------- r - r - - - + C
x(se n h x - x c o s h x )
E j e m p lo 3 6. Calcule / =
x
f e enx( x c o s Jx — se n x )
I ----------------- --------------- dx.
J
CQS¿X
S o lu c ió n
T e n e m o s l = J x e sen x e o s x d x -
h n h a c ie n d o
J
sen x
sen* ---------- d x
C O S 2X
(u = x = > d u = dx
< ,
,en _
,
td f = e
eos x d x = > v = e
U = x e senx
_
...
se obtiene
" J
('iu = e sen * = > d u = e sen * e o s x d x
Kn /2, h a c ie n d o
,
sen * .
1
— a * = * v = ------co s^ x
co sx
dv = —
l 2 = ----------- [ e senx d x = e senx se c x cosx
J
25
re s u lta
[ e senx d x
J
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
E JE R C IC IO S
Calcule las siguientes integrales indefinidas.
v3
1. J x 2 ln x dx
R. — (3 l n x — 1 ) + C
2. J (7 + x — 3 x z ) e ~ x d x
ñ. ( 3 x 2 + 5 x - 2 ) e _* + C
3.
J x s e c2x dx
fí. a : t a n x + ln | e o sx | + C
4.
J a rcse n (2 x)dx
V i - 4x2
/?. x a re se n 2 x h------------------ 1- c
_
f ln x
1 + 2 ln x
* J^
-— --------1- C
4x2
6 . J ln ( x + V i + x 2) d x
7.
j
R. x ln ( x + V 1 + x 2) - V 1 + x 2 + C
X
e o s ( l n x ) dx
R. - [ s e n ( l n x ) + e o s ( l n x ) ] + i '
8 . J s e n ( ln x )d x
/?. - [ s e n ( l n x ) — e o s ( l n x ) ] + C
9.
J x a r c t a n 2x dx
R- 2 [(*2 + l ) a r c t a n 2x - 2 x a rcta n x + l n ( x 2 + 1)] + C
10
/ a r c s e n 2x d x
R. x aresen2* + 2 V I - x 2 aresen x - 2 x + C
ii.
R. ln x |ln (ln x ) - 1| + C
fx,n(hr)
Lí ,
R.
x2+
1
- ln
(X — 1
(—
)
Vx + 1 /
x + C
x 2 dx
J
f
J
R.
n xv )V2
(i rx cr no cs xv -— sc eo n
(x 2 + l) e x
—
R.
(x + i y
26
se n x ( e o s x - s e n x )
2x e x
x + 1
ex + C
eot x + C
INTEGRAL INDEFINIDA
15.
x e*
(1 + x ) 2
x e
dx
R. ---------- + e x + C
1+x
17.
x a rc t a n y j x 2 — l d x
(1 - x 2) 3/2
R. - x 2 a r c t a n V * 2 - 1
/?.
dx
a rc ta n *
18.
19.
20.
^
1
_
16.
a rc s e n x
Vi - x2
- 1 + C
1
1 - x
2
1 + x
+ —ln
+ C
a rc ta n x
-dx
R.
es c 5x d x
R.
X
(X + 1 \
+ In|x| — l n i / l + x 2 + C
- c s c 3x c o t x - - ( e s e x c o t x + ln | c sc x + c o tx | )j + C
R. Vi - x 2 ln f------ + 2 a r c s e n x + C
Vx + 1 /
V i — X2
21.
e 2* c o s ( e * ) d x
22.
e a* s e n ¿ x d x
23.
a rc ta n (V x + 1) d x
24.
ln ( V x + V i + x ) d x
25.
se n 2( In x ) dx
/?. e*sen (e* ) + co s(e* ) + C
■[a se n b x — b c o s b x J + C
a2 + b2
R. ( x + 2 ) a r c t a n V x + 1 - V x + 1 + C
R. { x +
ln ( V x + V x + 1 ) — ~ V x 2 + x + C
R. x s e n 2 (ln x ) - - [x s e n ( 2 ln x ) - 2 x e o s (2 In x ) ] + C
^gSen x C 0 S 4 X _
^
dx
COSJX
R. e sen x - - [see x ta n x + ln | s e c x + ta n x |] + C
27.
( x 2 - s e n 2x )
x - se n x e os x + x e o s x - se n x
2H.
(a rc c o s x - ln x ) d x
- dx
R. x ( c s c x - c o t x ) + C
R. x á rc e o s x - V 1 - x 2 — x ( I n x - 1 ) + C
27
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
S i / (x ) =
la integral:
29.
—a / ( x ) y g " ( x ) = b g(x), donde a y b so n constantes, hallar
j f M g " ( x ) dx
a+ b
lf(x)g'(x) - f'(x)g(x)} + C
-y
I 4 x 3 a rc s e n —dx
30.
x2 -
’• /
1 + c
x a rc ta n x
í
-’P (1 + x2)2
31.
I ~~7Z-----T ^ r d x
32.
x 4 — x a rc ta n x
| — — ------- — — d x
33.
I
(1 + x 2) 4
, a rcse n V x
| ------ —— d x
34.
Vx
,1/x
35. I
..
37.
■dx
e os x e x dx
36.
J x ex i
38.
J
x a rc ta n V x 2 - 1 d x
•/
(x se n h x - c o s h x ) 2
^ 2cai.2 ,
r
x 2 s e c 2x
I — ------------------- ^~z^dx
J (ta n x - x se
s e ic 2x ) 2 '
/
:eos x d x
1
a rc s e n
1 ---------- *
39
>/
41.
43.
45.
x3
c o s h 2x d x
dx
j a rc ta n ^ j V x - 1 dx
/ senh" ‘J r
J
( e 2* - x 2) ( x - 1 )
------- - d x
x 2e x
fx c o sx
J
-d x
42.
’■ /
44.
I
48.
(x se n x + e o s x ) ( x 2 - c o s 2x )
dx
í
I
*5
(x + a ) 2
f
• J - = = [ l n ( l + X )* - ln (l - x )*] d x
28
/l+*\
: In ( -------- J d x
J VI - x 2
a ln (x + a + V x 2 + 2 a x )
■ /
Vx
46. J c o sh 3 x e o s 2 x d x
se n x + 1
(x
- c o sx) 2
(x +
ln (2 + Vx )
|— '
' ' dx
Vi - x /
INTEGRAL INDEFINIDA
1.5 T É C N I C A S D E I N T E G R A C I Ó N
1.5.1
In tegrales de algunas funciones que contienen un trin om io cu a d ra d o
de la fo rm a:
/
I
I.
n]
í — 5—
dx
f
---------
II.
J p x 2 + qx + r
dx
í —
J j rp x 2 + q x + r
[ (ax + b)dx
J p x 2 + qx + r
( ax 4- b)d x
f
J J p x 2 + qx + r
E n lo s c a so s (I) y (II), es suficiente com pletar cu a d ra do s en el trin o m io y aplicar
las fó rm u la s que correspondan: (23), (24), (2 5 ) ó (26).
E n los c a so s ( I I I ) y ( I V ) se u sa el siguiente artificio:
a
aq
a x + b = — (2 p x + q) — — + b
2p
2p
L a e xp re sió n 2 p x + q es la d erivada del trin o m io cuadrado. E n to n ce s
r (ax
( a x +4- bb)d
)dx
aa Cf (2p
( 2pxx +4-q)d
q ) dxx
2p j p x 2 + qx + r
J p x 2 + qx + r
a qaq\
\ f f
(/
V
dx
2 p ) ) p; x 2 + q x + r
a
/
aq\
= —— l n [p x ¿ + q x + r| + I b - — 1A
2
p
V
2 p)
P or otro lado,
I'
((ax
ax ++ b ) d x
__ a f
J yjpx2 + qx + r
( 2px
2p x +
+ q)dx
/
^ ^
J J p x 2 + qx + r
a
/—^---------
a q \^ f
dx
'2 p / J J p x 2 + q x + :
(
acl\
\
2p )
= - V p x 2 4- qx + r 4- \ b - — j B
p
I ,as integrales (¿4) y (B) son de los c a so s I y II, respectivam ente.
E je m p lo 37. C a lc u le las sigu iente s integrales:
f
3 dx
f
J
4 x z 4- 4 x - 3
f
2 dx
J x 2 2x
-
í
J \ l x 2 4- 6 x 4- 1 8
S o lu c ió n
C o m p le ta n d o
el
cu a d ra d o
dx
4- 1 0
5 dx
^ i V — x 2 — 8 x — 12
en
cada
trinom io
m ig r a c ió n , tenem os
29
y
a p lican d o
las
fó rm u la s
de
TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II
dxx
3 d
f
3 fr
2 dx
3
J 4 x 2 + 4 x - 3 ~ 2 J ( 2x + l ) 2 - 4 = ^ln
f
dx
■
) J x 2 - 2x + 10
(
c)
2
7
f
1
dx
+ C
(x-l\
J ( x - l ) 2 + 9 “ 3 a rC ta n ( _ 3~ J + C
dx
r
dx
,
,--------------------,
f ■ ¿ . T i = 2 1 t =~
= 2 ln * + 3 + V x 2 + 6 x + 1 8 + C
J J ( x + 3)2 + 9
L
J
J V x 2 + 6 x + 18
„ f
5 dx
d) I 7 '
0
i V -x 2-
E je m p lo 38.
r
dx
~ „„ =
5 — — ■
=
8 x — 12 J ^ 4 - ( x + 4 ) 2
f (3 x - 5 )d x
í
/x + 4 \
= 5 a rc se n ( — - — ) + C
v 2 )
C a lc u le las siguientes integrales:
r
J x 2 + 6x + 18
c)
2x-l¡
2x + 3
2 ~ ‘
(1 - 4 x ) d x
J V9x2 + 6 x ^ 1
ix
d)
J V x 2 + l O x + 21
( - ( iiiíW í
J x ( x + 3)
S o lu c ió n
C o m p le ta n d o cu ad rado en cada trin o m io y u san d o el artificio indicado, se tiene
3
3
a) 3 x — 5 = — ( 2 x + 6 ) — 9 — 5 = — (2 x + 6 ) — 14. E n to n c e s
f
(3 x — 5 )dx
J x 2 + 6 x + 18
_
(2 x + 6 )d x
3 r
f
2 J x 2 + 6 x + 18
dx
1 4 J ( x + 3)2 + 9
3, / ,
14
/x + 3 \
= 2 (x + 6 x + 1 8 ) — — a rcta n — - — J + C
4
4
2
7
b ) 1 — 4 x = — — ( 1 8 x + 6 ) + l + — = — - ( 1 8 x + 6 ) + — . Luego,
f
Cl ~ 4 x )d x
J V 9 x 2 + 6x - 3
4
_ _ 2 [
:
7
^ 7
1 f
3 dx
----------------------------------------------------
= — - V 9 x 2 + 6x - 3 + - l n
y
(1 8 x + 6)d x
J V 9 x 2 + 6 x - 3 + 3 3 J y/ ( 3 x + l ) 2 - 4
9
3 x + 1 + V 9 x 2 + 6x - 3 + C
y i
1
i
1
c) 2 — x = — — ( 2 x + 1 0 ) + 2 + 5 = — - ( 2 x + 1 0 ) + 7. E n to n ce s
x )d
( 2 -— x)
dxx
f __ (2
_
J Vx2 + l O x + 21 ~
1i rf
((2x
2x ++ 110)dx
0)d x
f
dx
2 j Vx2
V x 2 + lO x + 21
2 1 + 7 iJ 'V ( x + 5 ) 2 - 4
= - V x 2 + 1 0 x + 21 + 7 ln Ix + 5 + V x 2 + 1 0 x + 2 l| + C
30
INTEGRAL INDEFINIDA
f (4 4- 5 x )
d) J x (x + 3 ) dX
55 ff 2x
2 x 44- 33
77 ff
2 j x 2 + 3 x dX
2
J
dx
3V
í
\ x + 2)
9
4
5
7
i x
= - l n | x 2 + 3x\ — - l n
2
6
I * 4- 3 '
E je m p lo 39.
C a lc u le las siguientes integrales:
^ f ( 3 e 2x - 4 e x) ^
^
(senh x + 3 coshx)
^
^
J coshx(6 senh2x 4- senh 2x + 5)
J V 4 e* — ex — 3
S o lu c ió n
a)
I
( 3 e 2x - 4 e x)
f (3ex - 4 )e *d x
v '4 e * - e * - 3
J V 4 e * - e 2* - 3
S i se hace t = e x , entonces d t = e x d x . L u e g o ,
l =
jf
(3 1 - 4)d t
J V 4t - t 2 - 3
_
3 I"
f (4 —
- 2t)dt
+ ^ [f
2 j V 4t - t2 - 3
dt
J yjl - ( t - 2 ) 2
= - 3 V 4 í - t 2 — 3 + 2 a rc se n (t — 2) + C
= —3y j 4e x — e 2* — 3 4- 2 a r c s e n (e * — 2) 4- C
r
^ ^
(se n h x + 3 co sh x ) d x
J c o s h x (6 s e n h 2x 4 - se n h 2 x 4 - 5)
(s e n h x + 3 c o s h x ) d x
= /:co sh x (6 s e n h 2x 4- 2 se n h x co sh x 4- 5 )
D iv id ie n d o n u m e rad or y d e n o m in a d o r entre c o s h 3x , se tiene
(ta n h x 4- 3 ) s e c h 2x dx
J
= J 6 t a n h 2x 4- 2 ta n h x 4- 5 s e c h 2x
(ta n h x 4- 3 ) s e c h 2x dx
J 6 ta n h 2x 4- 2 ta n h x 4- 5 (1 — ta n h 2x )
A h o r a bien, si t = ta n h x , entonces d t = s e c h 2x dx. P o r consiguiente.
r (t 4- 3 ) d t
_ 1 f ( 2 t + 2) d t
n f
dt
1 ~ J t 2 + 2 t + 5 ~ 2 J t 2 + 2 t + 5 + 2 J (t 4- l ) 2 4- 4
1 ,
,
/tanh x + 1 \
- ln | t a n h 2x 4- 2 t a n h x 4- 5| 4- arctan ^------ --------J 4- C
31
TÓPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II
! '5‘2
r H IP E R B Ó U C A ES A LG U N A S FU N C I° N ES T R IG O N O M É T R IC A S
R e co rd e m o s las sigu ien te s identidades:
1. sen 2u + cos2u = 1
2. se c 2u _ tan2u = 1
3. c sc2u -
4
cot2u = 1
sen2u _ 1 ~ cos 2u
2
r
,
1 + cos 2 u
5. c os2u = ----------- ---------
6
cosh2u _ senh2u =
1
7. sech2u + tanh2u = 1
8. coth2u _ csch2u =
1
9. senh2u =
1 0 cosh2u = cosh 2 u + l
~ 1
¿
2
E stas identidades so n m u y im portantes en los artificios para re so lve r ciertos tip os
de integrales de fu n cio ne s trigon om é tricas e hiperbólicas.
I.
IN T E G R A L E S D E L A F O R M A :
J
s e nmx cosnx dx y
j
s e n h mx e o s h n*
dx.
Se co nsid e ra n 2 casos:
C A S O 1: Uno de los exponentes m ó n e s un entero im p ar positivo.
0
S i m es im p a r positivo, se factoriza se n x dx (o s e n h *
d j ) y se e xp re sa los
se no s o se no s h ip e rb ó lic o s) restantes en fu n c ió n de co se n o s (o co se n o s
h ip e rb ó lic o s) u san d o la identidad
s e n 2* = 1 — e o s 2*
(ó
s e n h 2* = c o s h 2* - 1 )
ii) S. n es im p a r p o sitivo , se procede de m anera sim ilar, es decir, se factoriza
e o s * d x (o c o s h x dx) y se expresa los co se n o s (ó co se n o s h ip e rb ó lic o s)
restantes en fu nció n de se no s (o se no s h ip e rb ó lic o s) u san d o la identidad.
e o s 2* = 1 - s e n 2*
Ejem plo 4 0 .
a)
(o
c o s h 2* = 1 + s e n h 2* )
C a lc u le las integrales
I s e n 3* e o s4* dx
b) J s e n h 5* V ^ i h 7
dx
Solución
a) / =
J
s e n 3* e o s4* dx =
=
J
s e n 2* e o s4* (se n * dx)
- cos2* )cos4* (sen * dx)
INTEGRAL INDEFINIDA
d u = - s e n x d x . A s í, se tiene
E n la ú ltim a integral, h a ce m o s u = e o s x =*
/ = J (1 - i i 2) u 4 ( - d u ) = -
f Cu4 - u 6) d u = - y
c o s 5x
+ y
+ C
•(5 e o s2* - 7 ) + C
35
b) f s e n h 5x V ^ i h l d x = J (c o s h 2x - l ) 2(c o sh x ? ' 2 (se n h x dx)
=
J
(c o s h 9/2x - 2 c o s h 5/2x + c o s h 1/zx ) ( s e n h x dx)
= J L c o s h 11/2x - ~ c o s h 7/2x + \ c o s h 3/2x + C
11
7
3
C A SO 2 : A m bos exponentes m y n son p ares y m ayores o iguales a cero .
E n este caso, se u san las identidades:
1 - eos 2 x
s e n 2x = ------- ^------/
1 + eos 2 x
,
y
C°
e osh 2 x - 1
= ------- 2------.,
co sh 2 x +
í ó s e n h 2x ------- ------ y c o s h x = ----- -
J
A l efectuar las operaciones, se obtienen té rm inos que contienen p oten cia s pares e
im pares de e os 2 x (ó c o s h 2 x ) . L o s té rm in os que tienen las potencias im p ares se
integran teniendo en cuenta el caso 1. L o s té rm inos que tienen las p otencias pares
se reducen de n u e vo u sa n d o sucesivam ente las identidades indicadas.
Ejem plo 41. C a lc u le las integrales:
a)
J s e n h 4 3 x dx
b)
f s e n 2x c o s 4x d x
Solución
a, f se n h -3 , ¿ r = / ( E S Í J p i ) 2 dx = i J ( c o Sh>6* - 2 cosh 6 * + 1) dx
= 1 f ( £ £ í < y í l í l _ 2 c0 s h 6 , + l ) d ,
= ^ | (c o sh 1 2 x - 4 cosh 6 x 4- 3 ) dx
= i f —
8 \12
senh 1 2 x - ^ s e n h 6x + 3 x ) + C
3
>
33
TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II
u
f
4
.2
,
f / I - c o s 2 x \ / I 4-cos2x\
dx
b) J sen- x cos4x dx = J ( ------- ------- j ( -------------- J
= - J (1 + eos 2x - cos22x - cos 32 x) dx
f /
1
14- cos4x\
1
[
- g J ^1 4- eos 2 x ----------------- j dx - - I (1 - sen 2 2 x)(cos 2 x dx)
(j + C0S2X~ \ C0S 4X) d X ~ l 6 j <'1 ~ sen22x)(2 cos 2 x dx)
1/x 1 ^ 1
\ 1/
1
\
= ¿ J
= 8 ( 2 + 2 SGn 2 * ~ 8 Sen 4X) ~ T 6 [ Sen 2X ~ 3 sen32x) + C
1 (
se n 4x
= 16 { X —
4-
s e n 32 x \
+—
) +C
II. I N T E G R A L E S D E L A F O R M A :
J
ta n h mx se ch nx dx
J
y
J
ta n mx s e c n x d x ,
j
c o tmx c s c nx d x ,
c o th mx c s c h nx dx.
Se co n sid e ra n 2 casos: m entero p o sitivo im par y n entero p o sitiv o par.
C A S O 1. S i
m
es
(ó c o t x c s c x d x
ó
un
e n te ro
im p a r
p o sitivo ,
ta n h x s e c h x d x
se
factoriza
ta n xse cxd x
ó co th x c sc h x d x ) y se e xp re sa las
tangentes (ó cotangentes ó tangentes hipe rb ólica s ó cotangentes h ip e rb ó lic a s)
restantes en té rm in os de s e c x
identidad: t a n 2u = s e c 2u - 1
ó c o t h 2u = 1 4- c s c h 2u).
E j e m p lo 42.
(ó
e sex
J
c)
J
se ch x
ó c s c h x ) m ediante la
ó
t a n h 2u = 1 - s e c h 2u
C a lc u le las sigu ien te s integrales:
r
f ta n 3x
3)
ó
(ó c o t2u = c s c 2u - 1
: dx
ta n h 3x V s e c h x dx
b)
J
co t S x d x
d)
j
co th sx c sc h 3x dx
S o lu c ió n
f ta n 3x
3) J
r se c 2x - 1
f ta n 2x
^ c dx = J i ^ (tan* Sec* dx) = J - ^ i ^ ( t a n x s e c x d x )
=
j
(se c ~ 3x - se c ~ 5x ) (tan x sec x dx)
(si u = s e c x , du = s e c x tan x d x )
1
= --se c
2
-9
1
x 4- - s e c 4x 4- C
4
34
1
,
= - c o s 2x ( c o s 2x - 2 ) 4- C
4
INTEGRAL INDEFINIDA
b)
f
f C0 t 4X
cot 5x d x =
J
=
J
,
-------- ( c o t x c s c x d x )
CSC X
f ( csc2x — l ) 2
J
= -
-------------------(cot x csc x d x )
cscx
í (c sc 3x - 2 c s c x 4-------- ) ( - c o t x e s c x d x )
J
cs cx
c 4x
\
-------- csc2x + ln|cscx| I + k
c)
f
f ta n h 2x
J
J V sechx
,
,--------ta n h 3x v s e c h x d x =
,........: (tan h x sech x x a x )
=
f 1 —- se
s ecchr2x
rx
J
— ^ = = _ (ta n h x se ch x dx)
V se ch x
=-
J
(se c h ~ 1/2x — se c h 3/,2x ) ( — ta n h x se ch x dx )
= — ^ 2 V s e c h x — - s e c h 5/2x j + C
d)
j
c o th 5x c sc h 3x d x =
J
c o th 4x c sc h 2x (c o th x c s c h x ) dx
= J (1 + c sc h 2x ) 2 csch x (coth x csch x d x )
= - J ( c s c h x + 2 c sc h 3x + c sc h 5x ) ( - c o t h x c s c h x d x )
n
i
i
\
= — I - c sc h zx + - csch 4x + - csch 6x 1 + C
\2
2
6
/
C A SO 2. Si n es un en tero p a r positivo, se factoriza s e c 2x d x (ó c s c 2x d x ó
s e c h 2x d x ó c s c h 2x d x ) y el resto de las secantes (ó cosecantes ó secantes
h ipe rb ólica s
ó
cosecantes
h ip e rb ólica s)
ta n x (ó c o t x ó ta n h x ó co th x )
u san d o
se
transform an
la identidad
en
té rm in o s
de
s e c 2x = 1 + t a n 2x
(ó c s c 2x = 1 + c o t 2x ó s e c h 2x = 1 - t a n h 2x ó c s c h 2x = c o t h 2x - 1 ).
TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II
E je m p lo 43.
Calcule las siguientes integrales:
a)
J ta n 3/2x se c 4x dx
b)
j csc4x dx
c)
J ta n h 2x s e c h 4x dx
d)
j csch6x d x
Solución
a)
j ta n 3/2x s ec4x d x = J ta n 3/2x s ec2x(sec2x dx)
=
j ta n 3/2x ( l + ta n 2x ) ( s e c 2x dx)
- J (ta n 3/<2x + ta n 7/2x ) ( s e c 2x dx)
(si
t = ta n x , d t = s e c 2x dx)
2
2
= - t a n 3/2x + - t a n 5/2x + C
O
7
J csc4x dx = J
b)
(si
dx) = -
c s c 2x ( c s c 2x
J (1
-f co t 2x ) ( - c s c 2x dx)
t = cot x , dt = — c s c 2x dx)
= - ^cot x + ^ co t3x j + C
c)
j
ta n h 2x se c h 4x d x = / ta n h 2x ( l - ta n h 2x ) ( s e c h 2x dx)
=
J ( ta n h 2x - ta n h 4x ) ( s e c h 2x dx)
1
,
1
= - t a n h 3x - - t a n h 5x + C
d)
J
csch 6x dx -
J
(c o th 2x - l ) 2 (c sc h 2x dx)
= - J (c o th 4x - 2 c o th 2x + l ) ( - c s c h 2x dx)
= - ^ - c o t h 5x - - co th 3 x + coth x j + C
36
INTEGRAL INDEFINIDA
III.
IN T E G R A L E S D E L A F O R M A :
J s e n (mx) cos(nx) d x , J s en( mx)s en(nx) dx, J e o s (mx) cos(nx) d x ,
J senh(mx)
j
co sh (n x ) d x ,
J senh(mx)senh(nx)dx y
c o s h ( m x ) c o s h ( n x ) dx.
P ara calcular estas integrales se usan las fórm ulas:
1
a) se n (mx) eos (nx) = - [s e n (m -
n)x + se n (m + n)x]
b ) s e n ( m x ) s e n ( n x ) = - [c o s (m - n ) x - e o s (m + n) x]
c) eos (mx) eos (nx) = - [c o s(m - n) x 4- eos (m + n) x]
1
d ) s e n h ( m x ) c o s h ( n x ) = - [s e n h (m + n)x + s e n h ( m -
n)x]
1
e) s e n h ( m x ) s e n h ( n x ) = - [c o s h (m + n ) x — e o sh (m — n )x ]
1
f) c o s h ( m x ) c o s h ( n x ) = — [c ó sh (m + n) x + e o s h (m — n)x]
E je m p lo 44. C a lc u le las siguientes integrales:
a)
J
se n 2x eos 3 x dx
b)
c) j senh
j
eos 3 x e os 4x dx
d) J cosh 4 x senh x d x
S o lu c ió n
a)
J
se n 2 x c o s 3 x dx
= - J [se n ( 2 — 3 ) x + s e n (2 4- 3 ) x ] d x
= 2 / ^S6n
b) J c o s 3 x c o s 4 x d x
c)
J
se n h 3 x se n h 4 x
~ S8n X^ X ~ 2 ( ------ 5*" C° S * ) +
= - J [ c o s ( — x ) 4- eos 7 x ] d x = - ^ s e n x 4- - s e n 7 x )
d x = - J [ c o s h 7x — c o sh x jd x
TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II
d)
J
c o sh 4 x se n h x d x =
—j
[s e n h 5 * - s e n h 3 x ] d x
1/1
1
\
~ 3 C0S 3 x ) + ^
= 2 \ 5 C° S
E n este ejem plo, se han usad o las identidades:
se n h (-u ) = -senh u ,
c o sh (— u ) = c o sh u ,
E j e m p lo 45.
se n (-u ) = -se n u
c o s ( -u ) = co su
C a lc u le las integrales:
y í
i
~
a) I s e n 3 ( 3 * ) t a n 3 * d *
b)
J
c)
f
e
.
í se n 4* + e o s4*
------ ------------ T - d x
J s e n 2* — e o s2*
r
os*
■
■dx
J V'sen7 ( 2 *)eos*
d) I eos3* sen 3* dx
J
S o lu c ió n
a)
/=
f
J
s e n 3 ( 3 * ) tan 3 * dx =
f s e n 43 x
------—
J eos 3 *
dx
_ J (1 - c o s 2 3 * ) 2
eos 3 *
-dx
= J(sec3x - 2 eos 3* + cos33 * )d *
1
2
1 f
= - ln |s e c 3 x + tan 3*| - - sen 3* + - I (1 - sen23*)(3 eos 3* dx)
1
2
1/
1
1
1
\
= - ln |s e c 3 * + tan 3*| - - sen 3* + - (sen 3* - - s e n 33* + C
j
3
3V
3
/
1
,
= - ln |s e c 3 * 4- tan 3*| - - s e n 3* - - s e n 33* + C
■J
J
7
f sen4* + eos4*
b)
r 4 ( 2 + 2 cos22*)
i ----------- J~ d x =
ñ-------- d x
J ----sen2*
- eos2*
J ------------- e o s 2*
-lí
1
( s e c 2 * + eos 2 x ) d x
,
1
= - - r h i ( s e e 2 * + tan 2*| - - s e n 2 * + C
4
4
38
INTEGRAL INDEFINIDA
c)
/ -
cos *
I f
cos x dx
C0SX
H - 1 f
J Y s e n ^ ( 2x T c o s x
V 2 7 J V s e n 7x c o s 8*
f
Se o b se rv a que esta integral no se adapta a n in g u n o de los tip o s e stu d iad os en
(I). C u a n d o se presentan estos casos, a veces, es co nveniente tra n sfo rm a r a los
otros casos, es decir, a p roductos de tangentes y secantes ó cotangentes y
cosecantes. E n este ejem plo, transform ando a tangentes y secantes (d iv id ie n d o
entre e o s 5* , nu m e rad or y d e n o m in a d o r) se obtiene:
1
f
' = V l 2 8 J t a n 7/3*
1
, .
1
f 1 + ta n 2*
= ÍV f J
t a n 7/3*
s e c 4*
O
0" * d* )
.t a n 7/3x + ta n 1/3* ) s e c 2* d *
4 V2J v
J
= —r rz ( —- c o t4/3* + - t a n 2/3* ) + C
4V2V
4
)
2
f
7
f (1 + eos 4*\
d) } = I cosJ2* sen 3* dx = J ^------------- J eos 2* sen 3* dx
4
/ ( c „ s 2 x Sen 3 ^
=-
J [sen * + sen 5*]dx + - J [eos 4* sen *+ eos 4* sen 5x ] d x
1
+ Í J eos 4*(cos 2* sen 3 x ) d x
1
1 ir
= — — eos * - - eos 5* + - I [ - s e n 3* + sen 5* + sen * + sen 9 x ] d x
\(
1
\ 1/1
1
1
\
= - — eos * - - eos 5 * I + - - eos 3* — - eos 5 * - eos * ----- eos * + C
4V
5
/ 8 \3
5
3
1
3
1
= - - eos * + — eos 3* - — eos 5 * - — eos 9* +
8
24
40 72
E je m p lo 46.
/
C
Calcule las siguientes integrales:
f
a) j tanh42 * d x
b)
f, s^e n 4 3 *
----- T¿—d x
J e o s 33 *
e)
d)
9
f
I seeh 3x d x
e)
f sen^x
I —— dx
e o s “*
f
J
ta n ¿ x s e c * d *
Solución
Se o b se rv a que n in g u n a de las integrales se adaptan a los c a so s estudiados, p or lo
que será necesario efectuar a lgu n a s transform aciones. E n efecto,
39
•
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
a) I tanh 4 2 x d x = J (1 - sech2x ) 2 dx = J ( 1 - 2 sechz 2 x + sech 4 2 x) dx
= x — tanh 2x + J (1 — tanh 2 2 x) sech2x dx
1/
1
= x - tanh 2 x + - ( t a n h 2 x - - t a n h 3 2x) + C
1
1
¿
O
= x - - t a n h 2 x - - t a n h 32 x + C
b) J sech3x dx = J - J l - tanh2* (sech2* dx)
(Si u = tanh x , du = sech2x dx)
= —[tanh x Vl - tanh2x + arcsen(tanh x)j + C
lr
= - [tanh x sech x + arcsen(tanh x)] + C
f sen2x
f
r
^ J c ö s ^ x dx = J tan2x Sec4* dx = I tan2x^1 + tan2x)(sec2x dx)
=
( sen43x
I (tan2* + tan4x)(sec2x dx) = ^tan3x + ^tansx + C
3
5
J
r (1 - cos23x)2
3 J co s33x “ J
^3*
r
dx = J (sec 3* ~ 2 sec 3* + cos 3*)
= J Vl + tan23x sec23x dx - ^In|sec3x + tan 3x| + ^sen3x
A
1r
= ~ |tan 3x sec 3x + In|sec 3x + tan 3x|] - A
1
1
1
= gtan 3x sec 3x - -In|sec 3x + tan 3x| + ^ sen 3x + c
e) I tan2* secx d x = J y / s e c ^ x ^ l ( t a n x s e c x d x )
1,
= - | s e c x t a n x - ln|secx + ta n x | ] + C
INTEGRAL INDEFINIDA
f
ddx
x
+
l:)riii|)lo 4 7 . Halle la integral J
u sa n d o la s u s t it u c ió n x = 2 ta n i
So l ut-ion
( .uno x = 2 ta n 0 , d x — 2 s c c 29 d9. En tonce s
f
dx
Il f
s e c 290 dB
see
1 f
1
se n 2 0
i
1 f (1 + c o s 2 9 ) d 9
'i
2
-iJ
1
16
+ C = — [0 + s e n 0 c o s 0 ] + C
16
x
2x
( a rc t a n - 4- ,
, 4 -C
16 V
2
4 + x 2)
l’.tra re g re sa r a la va ria b le o rig in a l x, en vista de q u e t a n # = - ,
se c o n stru y e
d triángulo
A partir de este triángulo, se obtiene que
sen 0 =
y
Vx2+ 4
e o s ti = —
V x 2 4- 4
E J E R C IC IO S
C a lcu le las sigu ien te s integrales indefinidas:
+ 2 x — 8 dx
1.
R.
9 dx
/ V 9 x z - 1 2 x + 13
3
3.
dx
- [ ( x 4- l)Vx2 - « x -
8 - 9 ln |x 4- 1 4- J x 2 4- 2 x - 8|J 4- C
fl. 3 ln [3 x - 2 4- V 6 * 2 - 1 2 x T l 3 ] 4- C
fi. - a r c t a n ( 2 x - 4 ) 4- C
4 x 2 — 1 6 x 4 -1 7
4
— Ix
: dx
V x 2 4- 2 x — 8
ß . - 7 a /x 2 4- 2 x - 8 4- 11 ln
41
x
4- 1 4- v x 2 4- 2 x - 8 | 4- C
i u n c u s U t CALCULO - VOLUMHN II
5.
3 + 5*
f— !
J 9 * 2 - 1 2 * + 13 dx
R- — In (9 * 2 - 1 2 * + 1 3 ) + y
j
f
(2 — x) dx
_____________ __
J V —* 2 — 1 0 * — 21
J
1.
a rcta n ( ^ y ~ ) + C
^^
^ ~ xZ ~ 1 0 * — 21 + 7 a rc se n
+ C
se n 2 * + 3 c o s *
V 9 + 4 s e n * - c o s 2*
dx
*■ 2 V s e n 2* T T s e n * T 8 - In | s e n * + 2 + x » 7 T 4 l i I 7 T T 8 |
8.
[
(5 se n h * + 4 c o sh x)dx
J co sh * ( 9 s e n h 2* + 6 s e n h 2 * + 5 )
R- r l n | 4 ta n h 2* + 12 tan h *| - — In l- t a n h * + 1 l
12
12 tanh
ta n h * + 5 I
16
J s e n 2* dx
9.
n
se n 2 *
*
*• 2 ---- i ~ +C
1 0 . J c o s h 25 * dx
D X
1
R- 2 + ^
3*
n . / s e n 4* dx
se n ( ! 0 * } + C
se n 2 *
se n 4 *
*• T — 4~ + —
1 2 . / c o s 5* dx
2
n
c o s 8*
40
15.
f s e n 3*
I -----r - d *
J c o s 4*
J s e n h 3* dx
J s e n h 8* c o s h 5* dx
18.
j
ta n 6* dx
(4 c o s 2* - 5 ) + C
1
3 c o s 3*
- se c* + C
1
R■ - c o s h * ( c o s h 2* — 3 ) + C
*
se n 1 2 *
s e n 36 *
' 16
192
+ ~144~+C
16. j s e n 2 ( 3 * ) c o s 4 3 * dx
17.
1
se n * - - s e n 3* + - s e n 5* + C
, 3 . / c o s 7* s e n 3* d *
„„
14.
+c
1
2
i
R. - s e n h 9* + - s e n h 3* + - s e n h 5* + C
1
1
g tan * - - t a n 3* - tan * + * +
42
c
+
c
INTEGRAL INDEFINIDA
A
1
1
,
19. J c o t5* dx
R. —- c o t 4* + - c o t z* + ln | se n *| + C
20. J ta n h 4* dx
R. x — t a n h * - - t a n h 3* + C
21. J se c 4* V c o t3* dx
R. — 2Vcot * + - Vtan3* + C
2 2 . J ta n 5* V e o s 3x dx
R.
23. J t a n h 6* se c h 4* dx
R. - t a n h 7* — - t a n h 9* + C
24.
í
J
J
I
V2 dx
2
7
9
R. - V t a n * ( 5 + ta n 2* ) + C
c o s 3* V s e n 2 *
25.
2
-sec5/2* —4 sec1/2* —-cos 3/2x + C
se n 3 * se n 5 * dx
se n 2 *
se n 8 *
------ 77 — + C
4
16
R■ —
1
1
10
18
1
1
I eos 2 * eos 7 x d x
R. — se n 5 * + — se n 9 * + C
27.
J s e n 52 * c o s B2 * dx
R. - s e n 6 ( 2 * ) - - s e n 8 ( 2 * ) + C
28.
j s e n 3* e o s3* dx
R. -
29.
J (1 4- eos 4 * ) 3/2 dx
R. — se n 2 * — — s e n 3 2 * + C
2
3
30.
J c o t4 (3 x) dx
R. —- c o t 3 3 * + - c o t 3 * + * -I- C
31.
i
ax
->x
| sen4 - cos'1-
26.
e o s ( 2 * ) + - i - e o s 3( 2 * ) + C
48
V2
1
V2
,
9
,
dx
32. J ta n 3* dx
33.
16
J ta n 3 ( 3 * ) s e c 3 ( 3 * ) c ¿ *
, '
1
3
*
1
16
32
1
R■ TZ ~ T o se n 2 * — — se n * + C
24
ta n 2*
R. — ------h ln| co s*| + C
1
1
15
9
,
R. — s e c 53 * - - s e c 33 * + C
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
f s c n 3x
' i
36. /
V
^ dX
,3
_____
R' 3V i ¿ n ( - c o s 2x + 3) + C
dx
1
2 t a n x + ^ t a n 3x — c o t x + C
s e n 2x c o s 4x
37. f
dx
J s e n 5x c o s 5x
1
3
1
ai\ —
?9tan *~ 1 ^
^ “«i«»
^n l^a n x
~ ~ c o t 2x ——
——
c(o t4* 4* C
3 8 ’ / v s e n x c o s 3x
R-2Vtáñx + C
^
¿
oq í Sec4*H
1
■ J ta n 4x
R- - co tx - 3 c° t 3x + C
I S o tx c o s^ x dx
40.
R. 2-sfséñx - ^ s e n 5' 2x + ^ s e n 9' 2x + C
í s e n 2( nx)
i ^
R •“ [3 tan3 C^x)+ - t a n s ( 7rx)J +
J
R. ¿ c o s 6 x - A Co s 4 x ^
se n x se n 2 x se n 3x d x
.43. f sen 4x eos 5x dxr
cos9 x
18
44. í sen 8x sen 3x dx
r sen
J
, r
10
r .i senh 4x + ^senh 2x
j senh 4 x senh x dx
R. _
J
49. f senh2x cosh 5x dx
o
4
COsh 5x + ^ cosh 3 x + C
R x
^en
i sen 2x
' 4
32
-8
r
R‘ ~ 2 ^
44
sen 6x
'
n
12
sen lOx
~ 48
sen^ ^x j_ senh 3x
90
28
dx
V s e n 3x c o s ^ x
+ C
c o s 2 x - ¿ c o s 4 * + ¿ c 0S6x + C
R. l
J
50./
x _ sen
J cosh 3 x cosh x dx
48. f cos2x sen24 x d x
cos 2 x + C
2
22
47. J sen3x eos 3x d x
C
cosx
J
46.
^
J c o s 6 (jrx) dx
42.
45.
4
8Ó ~ + C
senh 5x
tt:—
10
+C
2
x + 3 t a n x V t lF * + C
INTEGRAL INDEFINIDA
1.5.3 I N T E G R A C I Ó N P O R S U S T I T U C I Ó N T R I G O N O M É T R I C A
Las integrales de la fo rm a f R ( x , J p x 2 + q x + r ) d x ,
d ond e R es u n a fu n c ió n
racional de las va ria b le s x y J p x 2 + q x + r , se puede sim p lific a r p o r m e d io de
una su stitu ció n trigo n o m é trica adecuada.
C o m p le ta n d o el cu ad rado en el trin o m io p x 2 + q x + r se obtiene u na e xp re sió n
de la fo rm a
I)
u 2 + a 2 ó u 2 — a 2 ó a 2 — u 2, d on d e a es una constante.
S i el trin o m io tiene la fo rm a
u - a sen 9 ,
a 2 —u 2, m ediante la sustitució n
a > 0
se e lim in a el radical, p ues V a 2 - u 2 = a e o s 9 . T a m b ié n se tiene que
d.u = a e o s 9 dO
P a ra regresar a la va ria b le o rig in a l u, se em plea el triá n g u lo fo rm a d o co n la
u
sustitución sen 6 = — (Fig. 1.3 a).
(a)
Fig. 1.3
II) S i el trin o m io tiene la fo rm a a 2 + u 2, m ediante la sustitución
u - a ta n Q , a > 0
se e lim in a el radical, pues
Va2 + u 2 = a se c 9 . T a m b ié n se tiene que
d u = s e c 29 d 8
P a ra regresar a la va ria b le o rig in a l u, se u tiliza el triá n g u lo fo rm a d o co n la
u
s u st itu c ió n tan 9 = -
a
(Fig. 1.3 b).
III) S i él trin o m io tiene la fo rm a u2
t-
a 2 , m ediante la sustitución
u = a se c 6 , a > 0
se e lim in a el radical, p u es
Vu2 - a 2 = a ta n 6 . T a m b ié n se tiene
du = a se c 9 ta n 9 d9
P a ra expresar la integral o rig in a l en té rm inos de su va ria b le u, se em p lea el
u
t r iá n g u lo e la b o r a d o c o n s e c f i = -
(F ig. 1.3 c).
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45
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
E jem plo 48 . Calcule / =
J ^ 9 - x 2 dx.
Solución
* = 3 sen 8, d x - 3 eos 8 d d
H a cie n d o ia su stitució n
y ca lc u la n d o la integral
trigon o m é trica que resulta, se tiene
j V 3 2 — x 2 dx — J ^ p^ - ^ ^ s e ñ 2d eos 9 dd
/=
3
c o s 20 . 3 eos 6 dd
= J 9 eos 26 dd = - J (1 + eos 29) dd
9(
9
xV9 - x 2
x
4- se n 0 eos 9) + C = - I arcsen-4------- -------
= -(0
- ( Xy¡9 - x 2 + 9 are sen - ) + C
E j e m p l o 4 9 . C a lc u le / = /
dx
x 2-J 1 6 + 9 X 2
Solución
Sea 3 x = 4 t a n 0 , dx = - s e c 28 dd. Luego,
s e c2d dd
dx
_4 f
2V ll66 4- 9 x 2 ~ 33JJ ^ t a n 20 V 1 6 4- 1 6 ta n 20
J x 2V
í
3 f secd
3 f c o sí
= —
----- T - d d = —
----- — d 0
16 J tan2d
16 J se n 2d
3
V 16 4 -9 x 2
16
.+
3x
- C S C 0 4- C
16
V 1 6 4 -9 X 2
„
c = ----------— -------- + c
E j e m p l o 5 0 . C a lc u le /
16x
:d x.
,
J Vx2 — 9
Solución
H a c ie n d o x = 3 sec 9 , d x = 3 sec 9 tan 9 d 9 , se obtiene
(
f :2 7 se c 3 0 . 3 sec d tan d dd
xJ
=
dx =
J Vx2 — 9
J
V 9 s e c 20 — 9
= 2 7 J ( 1 4- ta n 2 0 ) s e c 20 d d = 2 7 (ta n d 4- - t a n 3flj 4-
= 9 v ' x 2 — 9 4- - ( x 2 — 9 ) 2 4- C
O
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46
INTEGRAL INDEFINIDA
dx
J V x 2 + 2x
4- 5
X3
I'li'iiiplo 51. Halle I =
Solución
i om pletando
el
cu ad rado
en
el
trin o m io
y
Imi icndo la su stitu ció n
v I 1 = 2 ta n 9 , d x = 2 s e c z 9 d d
M' obtiene
x 3 dx
x 3 dx
f
/ V x 2 + 2x + 5
J J(x + l )2 + 4
I (2 tan 0 — l ) 3 2 se e 20 dd
2 se c0
= J (2 tan 0 - l ) 3 see 8 dd
(8 tan30 see 6 - 1 2 tan20 see 0 4- 6 tan 6 see 0 - see 0) dd
H
see30 - 6 see 8 tan 8 + 5 ln|see0 + tan 8 \ - 2 see 8 + C
3
1
t____________________
(xz + 2x + 5 ) 3/2 - - (x + 1 )V * 2 + 2x + 5 + 5 In \x + 1 + *Jx2 + 2x + s| - J x ^ T Y T s + C
(2x2 - 5 x - 5 ^
4- 5 ln ¡x + 1 + V * 2 + 2 x + 5| + C
lije m p lo 52. H alle /
dx
/ ( 1 + X 4)a/\/T + X 4 - X 2"
Solución
s e c 20
Si se hace x ¿ = tan 0 => d x = — ;— . d f t .
líntonces
se e 20 d 0
dx
/ (1 + x 4)VVl + x 4 - x 2 - /■■
> se e 20 V se e 0 — tan 0
eos 0 d8
eos0 d0
V s e n 0 — s e n 20
z
1/ lT
1
1
/
2
2
Vvi+x4
= - a r e s e n ( 2 se n 0 - 1 ) 4- C = - a rcse n
-a rc se n
2
2x 2
- ^
=
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47
1
4 -C
+ C
TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II
E jem p lo 5 3 . Calcule / -
12 dx
,
__________________
/;( 2x - l ) / ( 4 x 2 - 4x - 8 ) 3
Solución
C o m p le ta n d o el cuadrado en el trin om io y haciendo la sustit jc ió n
2 x - 1 = 3 se c 9,
d x = - se c 9 ta n 9 d.9
R e su lta
/
12 dx
= / ( 2x - 1 ) V ( 4 x 2 — 4x — 8) 3
12 dx
- / {2.x — l ) [ ( 2 x — l ) 2 — 9 ]3/2
■/
1 8 sec 8 tan 9 dd
2
3 s e c 0 2 7 t a n 30
9
2
,
= — [—cot 6 — 0] + C = —
J
co t 26 d9 = —
j ( esc29 — 1 ) d 6
2/
2x - 1 \
(■
+ a re se n — - — J + C
9 V V 4 x 2 - 4x - 8
e _:>f dx
E jem p lo 5 4 . Calcule J
/ ( 9 e ~ 2x + 1) 3/2'
Solución
S i se sustituye
3e * = t a n fl,
= - - s e c 29 d 9 , se tie n e
e
e x dx
= J [ ( 3 e ~x ) 2 + I ] 3/2
J
r ~ 3 sec29 d 9
\ r
s e c 39
3
J eos 9 d 9
--se n 9 + C
Vi + 9e~2*
+ C
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48
INTEGRAL INDEFINIDA
R | c in p lo 55. Calcule / =
I XV *
X- d*
J V 2 —x
S o lu c ió n
R a c io n a liz a n d o el integrando, obtenem os
fx\[i-x
f
J V2 -x
x(l~x)
r x ( l - x)dx
X ~ J V l ^ / 2^
X ~ \ V x 2 - 3x + 2
A lio ra bien, com p letand o el cuadrado en el trin o m io y haciendo la su stitu ció n
3
1
1
- = - se c 8, d x = - se c 8 ta n 8 d 8
2
2
Sus t . 2x - 3 = s e c 9
2
c obtiene
2x- 3 /
f
ly / x 1 - 3 x + 2
x ( l - x)dx
/ Q \
\(y
1
2
r ^ se c 8 +
1
^ se c 6 ta n 0 dd
( l - ^ - i se c
^ ta n 8
= - -
J
( s e c 3 8 + 4 s e c 28 4- 3 se c 8) d d
3
1 r
= - ta n 8 - - l n | s e c 0 + ta n 8\ - 4
4 J
------------------
y / l + t a n 20 s e c 2d d d
3
1
= - t a n 8 - - l n | s e c 0 4- ta n 8 | - - ( s e c 8 ta n 8 + ln | s e c 0 4- ta n 0\ 4- C
4
o
1
7
= - - t a n 0 ( 8 4- s e c 0 ) - - l n | s e c 0 4- ta n 8\ 4- C
O
O
2sJx 2 — 3x 4- 2
7
i
____________
= ----------------------- ( 8 + 2x - 3 ) - - l n \2x - 3 4- 2 j x 2 - 3x 4- 2 4- C
O
O
'
'
____ i
y j — 3 x “h 2
7
i
= ------------ ----------- (5 4- 2 x ) - - \ n \ 2 x - 3 4- 2 V * 2 - 3 x 4- 2| 4- C
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49
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
Si el integrando contiene una expresión de la form a V a 2 —u
Observaci ón 7.
ó V a 2 + u 2 ó V u 2 - a 2 , a veces una sustitución hiperbólica es más efectiva.
Par a V a 2 - u 2 , la sustitución es u = a ta n h t.
Par a Va2 + u 2 , la sustitución es u = a senh t.
Par a Vu2 —a 2 , la sustitución es u = acoshí.
En el prim er caso, V a 2 - u2 = a se c h t.
En el segundo caso, 'Ja2 + u 1 = a c o s h t.
En el tercer caso, V u 2 - a 2 = a s e n h t.
E j e m p lo 5 6 . Calcule / =
J x 2J x 2 + 4 dx.
S o lu c ió n
U sa n d o la sustitución
x = 2 se n h í , d x = 2 co sh í d t
tenem os
/ -
J x 2y ¡ x 2 + 4 d x = J 4 sen h 2 t 2 cosh t 2 cosh t d t
- 1 6 J sen h 2 t co sh 2t d t = 4 J sen h 22 í d t = 2 J (co sh 4 t - l)d £
1
- - s e n h 4 í - 2 t + C = 2 senh tc o s h t(s e n h 2 t + co sh 2t ) - 2 1 + C
xV 4 + x 2 / x 2
4 + x 2\
x
j _ 2 Se n h - 1 - + í:
xV 4 + x 2
4
2
x 2 dx
E jem p lo 5 7 . Calcule / ~ f ■
J V
< x2 + 4x - 5
Solución
Completando el cuadrado en el trinomio y haciendo la sustitución
x + 2 = 3 cosh t , d x = 3 senh i d t
resulta
Irn {
J
dx
_ _ *2
f
*2dx
+ 4 * - 5 ~ J / ( * + 2)z - 9
f (3 co sh t ~ 2 ) 2 3 sen h t d t
i
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50
3 sen h t
INTEGRAL INDEFINIDA
(3 co sh t - 2 ) 2 dt = J (9 c o s h 2í - 12 co sh t + 4 ) d t
í
/ c o sh 2 t + 1
9 ^-----------------) - 1 2 c o sh t + 4 )
dt
9
17
- c o s h 2t - 12 c o sh t + —
dt
2
2
9
17
= - s e n h 2t - 12 se nh t + — t + C
4
2
9
17
= - senh tc o s h t — 12 senh t + — -t + C
2
2
V x 2 + 4x - 5
17
--------- - --------- (x — 6 ) + — c o s h -
O b s e r v a c i ó n 8 . Si la i nt e g r a l
( x 4- 2 \
(
-
J + ^
t iene la f o r m a I R [ x n ; J a 2 ± x 2) dx
ó
I R ( x n ; J x 2 — a 2) d x , do n d e n es ent e r o i mp a r posi t i vo, es p r e f e r i b l e
z 2 = x 2 - a 2.
usar ia sustitución z 2 = a 2 ± x 2 ó
I.je m p lo 58.
C a lc u le las siguientes integrales:
x 3 dx
J)
f ( x s - x)
b)
Vx2- 9
dx
x 3 dx
x 3 dx
<0
—
J Vx
V. 2 + 3
« J (3 — x 2) 4
( x 2 + 9 ) 3/2
S o lu c ió n
a) U tiliza n d o z 2 = x 2 - 9, 2 z d z = 2 x d x <=> z d z = x d x se tiene
x 3 dx
( x ddx)
x)
r x 4 (x
Vx2— 9
J
=
- 9
Vx2 —
ff( z 2 + 9 ) 2z d z
J
J (z 4 + 1 8 z 2 + 9 ) d z = ^ z 3 + 6 z 3 + 9 z + C
= - ( z 4 + 3 0 z 2 + 45) + C
Vx2 - 9
( x 4 + 12x - 1 4 4 ) + C
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51
/
TÓPICOS DE CÁLCULO - VO LU M EN II
b) H aciendo z 2 = x 2 + 3, z d z = x dx se obtiene
f (x 5 - x)
f [(z2 - 3)2 - ] z dz
r (x * - l ) ( x d x )
_
J V^T3
J
VFT3
z
"J
f
z **
= J (z4 - 6z 2 + 8)dz = Y
- 2 z3 + 8z + C
z
= -[z4 -1 0 z 2 +40] + C
Vx2 + 3 ,
= ----- ------ ( x 4 - 4 x 2 + 1 9 ) + C
c) S i se sustituye z 2 = x 2 + 9, z d z = x d x resulta
r
J
x 3 dx
_
( X 2 + 9)3/2
r x 2(x dx)
- J (x
f ( z 2 - 9) (z dz)
2 + 9)3/2 -
J
dz
9
1
,
= z H ------h C = - ( z + 9 ) + C
z
z
1
Vx2 + 9
( x 2 + 18) + C
d ) H a c ie n d o z — 3 — x 2, x d x = - - d x se obtiene
f
x 5 dx
í x 4( x d x )
f (3 - z ) 2( - í d z )
J (3 - x 2)4 ~ J ( 3 - x 2) 4 = J
6
1 f/ 9
2J
1/3
3
+
i?
1\
1\
“ 2 \ ^ ~ I * + z) + C
x4 - 3 x 2 + 3
~
2 ( 3 - x 2) 3
+ C
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INTEGRAL INDEFINIDA
E JE R C IC IO S
f
x~ dx
J
vf^F
J *
1
x /-------- R. - - a r c s e n x - - v l - x 2 4 - C
R. - j x V 4 + x2 + ln (x + J 4 + x 2)j 4- C
+ x 2 dx
x
V4 - x 2
|x
R. 2 a rc s e n ----------- -—
j x z \ ¡4 - x z d x
f
- 2xj + C
V l + xi
R . --------------- 4- C
dx
J x 2v l + x 2
dx
J
( X 2 -r 1 ) V 1 -
'
X 2
I y[2x ,
1
R. — a r c t a n l - = =
)+ C
vf
\V 1 - X 2
V 2 x 2 4- 7
,
R. — — ------- ( x 2 + 7) + C
x 3 dx
v 2x2 + 7
V x 2 4- 3
( x 2 + 3 ) 3/2
R. ---- r--------- ----- + C
9x
27x3
dx
x 4V x 2 + 3
r
(4 x + 5 )d x
J ( x 2 — 2 x + 2 ) 3/2
R.
9 x - 13
^
_______ : 4~ C
V x 2 - 2 x 4- 2
5x - 3
(2x - 3 )d x
f-4
JI ( Xx 22 4- 2 x - 3 ) 3/2
4 V x 2 + 2x - 3
f V x 2 — 4x
( x 2 - 4 x ) 3/2
:+ C
dx
6x 3
vs
x 4 dx
R.
(4 - x 2y /z
2 0 ( 4 - x 2) 5/2
( x 2 - 2 5 ) 3/2 d x
( x 2 - 2 5 ) s/2
x6
125x5
1
dx
I 1
4- C
+c
V x 2 4- 2 x
if. - a r s e n ( * + l ) + i 5 r n 5 j + C
(x ■+■l) 3Vx2 + 2x
sen x dx
J Vcos2x + 4cosx 4- 1
r
/?.
- l n j c o s x + 2 + V c o s 2x + 4 c o s x + l j + £
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
e x\ ¡ e 2x - 4 - 2 e 2x( e x + 2 )
------------- — "■■■■■ ■ —— —dx
2 { e x + 2 ) 4 e 2x~ - 4
15.
|—
_
16.
f 2 x 2 - 4 x 4- 4
j — dx
5 /
R. —\ n\ e x + 2| - V e 2* - 4 + c
- (x - 1 ) V 3 + 2 x - x 2 + C
R. a resen
J 4 3 + 2 x —x 2
dx
17
18.
í
4 V x 2 - 2x + 5
( x 2 + 3x
3 x )d x
J (X
( x - l )WV x 2 - 2 x + 1 0
R.
V * 2 - 2a: + 10 + 5 In | V *2 - 2x + 10 + x + l| + - ln
J V4 — x 2
( 3 + x 2) 2 x 3
R. - -
/
21
i
.2
x - 1
(*2 + l )2 , 7
,
-------------+ ( x 2 + 1 ) +
f V y 2 ~ 4 dy
y4
+C
—
( y 2 - 4 ) 3/2
y 3
_
2x2 4 - 1
-f* €
+ C
Vx2 - 2
k. arctan--------- + C
‘ J (x 2 —l)Vx 2 - 2
(x 2 + 4)2
4
■ Í2
r
22
23
V x 2 - 2x + 1 0 - 3
V4 - x 2
/? .------ ----- (8 + x2) + C
Í4^ L
m
20'
x- 1
R.
( x 2 - 2 x + 5 ) 3/2
x
dx
x
14x
2
x 2 4- 4J
R- r161
r l a r c t a n r ----— — - 1 4- C
dx
fi. a rc t a n
■ / ( 2 x 2 4- l ) V x 2 + 1
25.
f3 x a rc se n x
I — .
dx
J V ( i - * 2) 5
J Vi - x 2
vi - x /
R
*
) + C
W
2/
■ V1 i 4- xr 2
aresen x
i1r[
(1 — x 2) 3/7
2l ~
x
AT + 1
-4 -in
4- C
VT
dx
] n f 1 + X ) ( 2 73
*■ l n l T ^ I A 3 z
1
~ 5
s
\
,
89
/2 5 + 6x 2\
- z J + g ó a rc s e n * “ * 2 ( —
donde z = J l - x 2
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e T ' j + c-
INTEGRAL INDEFINIDA
it
x¿ - 3
1
:d x
In |x 2 + V * 2 _ 4 | - - a r c s e n —
+ C
A v/x4 - 4
1
x dx
V x 4 — 4 x 2 4- 5 — 1
/?. - I n
4- C
x2- 2
(x 2 - 2 ) V x 4 - 4 x 2 + 5
x 2 dx
¿'t
4 x 2 — 12x — 5
\l
( 2 x 4- 3 \
i-----------------------11 a rc s e n ^ — - — j 4- -J—4-x2 - 12x — 5 (3 — 2 x )
411
II
1
x z dx
R ‘ 64
( x 2 4- 4 ) 3
x
2 x ( 4 - x 2) 1
a rc ta n - 4- C
'2
( 4 + x 2) 2
2 x :i d x
1 - 3x2
^------ T“TT 4- C
R ■
( v ’ - l )4
dx
1,’
4- C
R.
(() _ x 2)3
3 6 ( 9 - x 2)
2 1 6 ( 9 - x 2)
6(x 2 — l )3
3
(3 + x f
■4- - In
9 — x2
4
4- C
( 4 x 2 4- l ) d x
4I
( v - 3 )V 6 x — x 2 — 8
1 - Vóx - x 2 - 8
/Í. 2 4 a r c s e n ( x — 3 ) 4- 3 7 In
4y¡6x — x 2 — 8 4- C
x — 3
e* - 5
e 2x d x
R.
It
4- C
4 V e 2* - 2 e * 4- 5
J ( c ¿x - 2 e x 4- 5 ) ) 3
senh 2x dx
(2 c o s h 2x — 3 s e n h 2x — 2 c o s h x ) 3/2
3 — co sh 2 x
:4 - C
R
2 V 2 c o s h 2x - 3 s e n h 2x - 2 c o s h x
ill
! sen 2 x se n x d x
I (,
-
4 s e n 2 x - 1 9 s e n 2x ) 5/2
4 ta n x — 16
/
5 (ta n x -4 )2
+ 12 +
W t.m 2* - 8 ta n x + 20 \ t a n 2x - 8 ta n x 4 20
128
3 ( ta n 2x - 8 ta n x + 2 0 ) 3/
"tC
dx
</
(*
1) ( x 2 - 2x + 5 ) 2
(x - l ) 2
R- 32
x 2 — 2x + 5
55
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4-
1
8 ( x 2 - 2 x + 5)
+ C
TÓPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II
1.5.4
M É T O D O D E IN T E G R A C IÓ N P O R D E S C O M P O S IC IÓ N EN
F R A C C IO N E S P A R C IA L E S
I.5.4.1
IN T E G R A C IÓ N D E F R A C C IO N E S S IM P L E S
Se d en o m in a n fraccion e s sim p le s a ias funciones que se presentan bajo una de las
form as siguientes:
0
fW
•*)
/ O ) = 7—
,n >2,n e N
(x — r ) n
ill)
f(x) —
=
x —r
ax + b
J jX
2 '------ :— , d o n d e p x 2 + qx + r no tiene raíces reales, es decir,
“t” CJX T Y
qz — Apr < 0.
IV )
^ s
CLX + b
f ( x ) = -— — -----------— , d o n d e n > 2 , n e N , q 2 - Apr < 0.
(;p x 2 + qx + r) n
^
p
L a s integrales de estas fra ccion e s sim p le s son inm ediatas, pues
i)
U)
f
a
J x —r
í (x - r ) n dX ~ (1 - n) ( x - r ) n_1 + C
f
iii)
d x = a ln ¡x - r| + C
ax + b
— 7 - -------- ;—
J px2 +qx + r
f
dx
(d e sa rro lla d o en 1.5.1 caso III)
J
ax + b
( 2 p x + q) dx
J (p x 2 + qx + r ) n X
2 p J ( p x 2 + qx + r ) n + \
2p ( n - 1 ) ( p x 2 + qx + r ) n~
f
-+
dx
i ( p x 2 + qx + r ) n
dx
f
( * - S ) /J ( p x 2 + qx + r ) n
;
Para ca lcu la r la integral /, al com pletar el cuadrado en el trinom io, se obtiene
r
J = ~
J v J
í
Ti
du
, in , '
( u 2 + k 2Y
2r ’
j
j
r~
R
donde u = J p . x + — =
,
y k =
y
4 r P _ <7
-----------44np
E n esta ú ltim a integral, se puede u sar la sustitución trigon o m é trica u = k ta n 0 ó
la siguiente fó rm u la de reducción:
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56
INTEGRAL INDEFINIDA
l'le m p lo 59. U sando la fórm ula de reducción, calcule / =
J
dx
f
dx
+
.
S o lu c ió n
l n este ca so n = 2 y k = 2. E n to n ce s
r
dx
x
2 (2 ) - 3
] ( x 2 + 4 ) 2 “ 2.22(2 - l ) ( x 2 + 4 ) 2-1 + 2.22(2 - 1) J (x 2 + 4 )
x
1 1
x
1/
x
2x
\
“ 8 ( ^ 4 ) + 8 ' 2 arCt3n 2 + C = 16 l arCtan 2 + Í ^ T í ) + C
1.5.4.2
IN T E G R A C IÓ N
DE
F U N C IO N E S
R A C IO N A L E S
POR
D E S C O M P O S IC IÓ N E N F R A C C IO N E S S IM P L E S
Sim la
P (x)
ra cio n a l f ( x ) = — -r, d o n d e
fu n c ió n
Q(x)
P (x )
y
Q{ x ) s o n p o lin o m io s
i <«primos de g ra d o s m y n ( m , n e N ), respectivam ente.
Si m < n , se dice que la fu n c ió n racional es prop ia y cu a n d o m > n , se dice que
rs una fu n c ió n racional im propia.
Por ejemplo, las fu n c io n e s racionales
x 5 - 6x2 + 7
y
2x4 + 8
ato
J
"
2 x &+ 3 x 3 + 2
mm propias, pues el gra d o del p o lin o m io del n u m e rad or es m en o r que el g ia d o del
p o lin o m io del d e no m in a d o r; m ientras que las fu n c io n e s racionales
3x4 - 2x2 + 7
x 2 + 2x + 3
F(X) ~
5x3 - 3x2 + 1
_
y
" 2x2 - 7x3 + 4
son im propias.
Si / (x ) =
P( x)
es Una fu n c ió n ra cio n al im p ro p ia , p o r el a lg o ritm o de la d ivisió n ,
uxisicn p o lin o m io s C ( x ) y / ?(x ) ú n ico s tales que
l’t o
rr
^
------- = C( x) +
Q(x)
ilmule el gra d o de
Q( x)
R(x)
es m e n o r que el grad o de
Q(x) .
C( x )
y
R ( x ) son,
ii'speclivam ente, el cociente y el resto de la d iv isió n de P ( x ) entre Q( x ) .
I tío sig n ific a que toda fracción im p ro p ia puede ser exp resad a c o m o la su m a de un
p o lin o m io y de una fracción propia. A s í, la integral de una fra cción im p ro p ia
IMifilc ser escrita c o m o
í pt o ,
f
, ( Rt o
dx
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57
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
En se gu id a , ve re m o s el m étodo de integración para una fracción propia, el cual se
basa en que “toda fracción racional propia puede ser d escom p uesta en la su m a de
fracciones sim p le s” . Este hecho se sustenta en el co n ocim ie n to de d o s teorem as
del Á lg e b r a que a dm itire m os sin dem ostración.
T e o r e m a 1. S i
Q ( x ) se
Q ( x ) es un p o lin o m io de grado n ( n > 1 ) , entonces
d esco m p on e c o m o un prod ucto de factores de 1er gra d o y de factores de 2 do
grad o irreductibles en M, de la siguiente forma:
Q(x) = a( x — r j ) " 1(x — r 2) n2 ... (x - rk) nk( x2 + p^x + q1) m» ...(x 2 + psx + qs) m> ( * ) ,
2 m l + ... + 2 m s
donde n = TI-L+ n 2+ ... + n k +
T e o r e m a 2.
S i el p o lin o m io ( ? ( * )
un p o lin o m io
de gra d o
m enor
posee la d e sco m p o sició n '( * ) y
que n, entonces
la fracción
P (x )
es
P (X j
p ro p ia
se d e sco m p on e u nívo cam e nte en fracciones sim p le s co m o
P( X) _ ^11
Q(x)
x —
+ -
A12
^21
+ (x — r x) 2
(x - r j ) ni + (x - r2) + (x - r 2) 2 +
Alnt-
+ .-4-
( x - r 2)"2
^
Bl l x + ^11
^
( x 2 + p 1x + q 1)
_l_
B S1X + C s í
A k l-
^
x 2 + psx + qs
Ak2
+
(x - rk)
+... +
(x — rk) 2
Bl2x + ^12
^22
^
^
A k n *__ +
( x - r k) nk
J
^
^lm , +
( x 2 + p xx + Ch) 2
( x 2 + p jX + Q i)mi
B s2 X + C S2
®smj "t" Q m s
( x 2 + psx + q s) 2
( x 2 + psx + qs) ms
E n resum en, p o d e m o s a firm ar que la integración de una fu n c ió n racional (p ro p ia ó
im p ro p ia ) se reduce a integrar a lo m ás un p o lin o m io y las fraccione s sim ples.
Recuerde que si ei grad o del num e rad or es m a yo r o igual que el gra d o del
denom in ador, p rim e ro se debe d iv id ir (sa lvo que se em plee otro artificio de
integración).
C u a n d o se d e sco m p o n e una fu n c ió n racional en fraccion e s sim ples, la e cuación
resultante
es
una
identidad,
es decir,
es verdadera
para todos
los
va lo re s
sig n ific a tiv o s de la variab le x. E l m étodo para determ inar las constantes que se
presentan en los nu m e rad ore s de las fracciones sim p le s se basa en un T e o re m a del
A lg e b r a que establece que los p o lin o m io s de un m ism o grad o so n idénticos
cuand o so n igu a le s los coeficientes que corresponden a potencias iguales. E sta s
constantes tam bién se pueden determ inar re so lvie n d o la iguald ad de p o lin o m io s
para un n ú m e ro suficiente de va lo re s de x.
E n el sigu iente ejem plo, sin determ inar las constantes, m ostrarem os c o m o se
de sco m p on e una fra cción propia.
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58
INTEGRAL INDEFINIDA
Sea la fracción p rop ia
7 x 4 — 2 x 3 + x 2 — %/2x + n
P(x)
Q( x) = (x + l ) ( x - 4 ) 3 ( x 2 + 9 ) ( x 2 + 1 ) 2
I .1 d e sc o m p o sic ió n de esta fra cción en fracciones sim p le s se e xp re sa c o m o
P( x)
A
B
C
D
Ex + F Gx + H
Jx + M
■+ -------r + 7------ :t t + -:------ ; t t + — ---- — H---- ^---- - + -
Q( x)
x + 1
(x - 4 ) 2
x - 4
(x - 4 ) 3
x2 + 9
x2+ 1
(x 2 + l )2
donde A, B, C, D , E, F, G, H, J y M son constantes a determinar.
f x 3 —3x + 3
— :---------- i r dx .
lile m p lo 6 0 . Calcule / =
H
J
x2 + x
- 2
S o lu c ió n
I n prim er lugar, se d ivide, y a que el integrando es un a fra cción racional im propia.
x 3 — 3x + 3
1
1
= x — 1 + — ---------- - = x - 1 + ■
x2+ x - 2
( x - l ) ( x + 2)
x2+ x - 2
dx
x2
1 iit'í’o, J = j (x — l) d x + J •
—
—X
(x — l ) ( x + 2 )
2
A l d esco m p on e r el integrando de I en fracciones sim p le s, se tiene
1
A
B
(x — l ) ( x + 2 )
x — 1
x + 2
donde A y B son constantes a determinar. M u ltip lic a n d o esta e cu a ció n p o r el
m ín im o c o m ú n m últip lo del denom inador, se obtiene la e c u a c ió n p r in c ip a l
1 = A( x + 2 ) + B ( x - l ) , V x £ l
A h o ra bien, para determ inar las constantes A y B se debe e sco g e r va lore s
npi op ia do s de x. E sto s va lo re s son aquellos que hacen igual a cero el d e n o m in a d o r
de cada fracción sim ple. A s í, tenem os:
l'm a x = 1 en la ecu ación principal, nos queda: 1 = 3A <=> A = 1 / 3
l'n ia x = - 2 en la e cu a ció n p rincipal, resulta: 1 = - 3 B «=> B = - 1 / 3
I ui'^o,
1 /3
/( :
1 /3 \
1
x + 2)
1
,
1
,
1.
dx = -ln|x —1| — -ln|x + 2| + C = -in
3
3
3
x
.
x + 2
+ C
'n i lauto.
X2
/ = y - í
1
X
+ ^ T
- x
+ 3 1" x + 2
+ C
I ti el ejem plo anterior, para calcular la integral I no es necesario d e sco m p o n e r en
li h it iones sim ples, pues tam bié n se puede calcular co m p le tan d o cuadrados. E n los
llá m e n le s ejem plos, u sa re m o s el m étodo m ás adecuado.
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59
TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II
f X2
x¿—
— 6x + 8
------ - d x
J x 2 + 2x + 5
E jem p lo 6 1 . Halle I = I — —
Solución
C o m o el integrando es una fra cción im propia, p rim ero se d iv id e y lu e go se aplica
el artificio presentado en 1.5.1. A s í, se obtiene
f x z - 6x + 8
f
3 - 8x
i
f (8 x - 3 )dx
= I 7' , o — r ? d x = I 1 + - ^ — =------ - d x = x J x 2 + 2x + 5
J L
x 2 + 2x + 51
J x 2 + 2x + 5
f
2x + 2
rf
dx
= x — 4 I —-— ------ dx + 11 I ,
J x 2 + 2x + 5
J (x + l ) 2 + 4
,
11
¡x + 1 \
x —4 l n ( x 2 + 2x + 5 ) + — arctan ^— - — J + C
E jem p lo 6 2 . Halle J
.
Solución
.
J
,
dx
x3 + 1
L a d e sc o m p o sic ió n que corresponde a la'fracción p rop ia del integrando es
1
1
A
x3+ 1
(x + l ) ( x 2 - x + 1)
x + 1
Bx + C
x2- x
+ l
P
E lim in a n d o d enom inadores, obtenem os la e cuación principal:
1 = A ( x 2 - x + 1 ) + ( Bx + C) ( x + 1)
(*)
Para x — — 1 en la e cuación ( * ) , se tiene: l = 3A ==> A = 1/ 3.
Ig u a la n d o coeficientes de x 2 en ( * ) , resulta: 0 = i 4 + í ? = > f i = — 1/3.
Igu a la n d o coeficientes de x en ( * ) , obtenem os: O = - A + B + C =$ C = 2/3.
E n esta integral, el p rob le m a m a y o r es la integración de la fracción sim p le /?. U n
m étodo que facilita la integración de este tipo de fraccione s sim p le s (y que se usa
cuando el d e n o m in a d o r presenta factores cuadráticos irreducibles) con siste en
expresar el integrando co m o
donde
1
1
A
D(2x - 1 ) t E
X3 + 1
(x + l ) ( x 2 — x + l )
x + 1
2x - 1
es la d erivada del d e n o m in a d o r x 2 - x + 1. O b sé rv e se que para
x2 — x + 1
integrar la se g u n d a fra cción es suficiente separar en d o s integrales tal c o m o
verem os a continuación.
E n la igu a ld ad anterior, m u ltip lica n d o por el d e n o m in a d o r se obtiene la n u e va
ecuación p rincipal:
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INTEGRAL IND EFIN ID A
1 = A (x2 - X + 1) + [D ( 2 X - 1 ) + E ](x + 1)
Para x = - 1 en ( * * ) , se obtiene: 1 = 3A = > A = 1 /3 .
Igu a la n d o coeficientes de x 2 en ( * * ) , resulta: Q = A + 2 D = $ D = — 1/6.
Igu a la n d o coeficientes de x en ( * * ) , se tiene: 0 = —A + D + E = > E = 1/2.
fu e g o ,
1
1
1
= -ln|x + 1 | - gln(x 2 - x + 1) + -^arctan
í 2 x ~~
+c
dx
■
lí j e in p lo 6 3 . C alcule J
S o lu c ió n
C o m o x 3 - 1 = (x - l ) ( x 2 + * + 1 ), a p lic a m o s el m étodo del ejem plo anterior.
1)c este m od o, la d e sc o m p o sic ió n en fraccion e s sim p le s es
1
A
x3 - 1 ~ x - l +
B (2 x + 1 ) + ^
x2 + x + 1
E lim in a n d o d e n o m in a d o re s .s e obtiene A = 1/3, B = - 1 / 6 . C = - 1 / 2 . P o r tanto.
dx
mp
p lo
lo 6
E je m
64
4 .. H
H alle
alle /
/ -— J <•* _ 2 ) 2 ^
- 4 x + 3 )'
S o lu c ió n
( orno ( x - 2 ) 2 ( x 2 - 4 x + 3 ) = ( x - 2 ) 2 ( x - 3 ) ( x - 1), entonces
(x — 2 ) 2 ( x 2 — 4 x + 3 )
x — 2
(x - ¿ V
x - i
x -1
l lim in a n d o den om in adore s, obtenem os la e cuación p rincipal:
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TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
l = A ( x - 2 )(x - 3 ) ( x - 1) + B(x - 3 )(x - 1) + C(x - l ) ( x - 2 ) 2 + D(x - 3 ) ( x - 2 ) 2
Trab ajan d o con esta e cuación principal, se tiene
Para x
=
2
= > 1 = —B
=> B - - 1
Para x
=
3
=> 1 = 2C = >
Para x
=
1
=> 1 = - 2 D
C = 1/2
=¡> D = - 1 / 2
Ig u a la n d o coeficientes de x 3 resulta: 0 = i4 + C + D = > . 4 = 0
P o r consiguiente,
I
dx
rf
_
S o (rx :- 2 ) 2 ( * - 3 ) ( x - l )
1
1
1 r
dx
1 f
( x - 2 ) 2 + 2 J x —3 ~ 2
dx
J x-1
x - 3
: ------^ + r l n
x - 2
2
E j e m p lo 6 5 . H alle
dx
x —1
+ C
I - j Vsen x-dx.
c o sx
S o lu c ió n
E s c r ib im o s la integral c o m o
/ =
f' vV se
s erT
n xx
J
---------- d x =
cosx
f v se n x co sx
— ----------- — dx
l - s e n 2x
J
H a cie n d o u 2 — s e n x => e o s x d x = 2 u d u y d e sco m p o n ie n d o el resultado en
fracciones sim ples, se tiene
22u
u 22du
du
r 2 u 2 du _ í
"
r r i /2
1/2
1
J 1 - u 4 ~ J (1 - U2)(l + u 2) ~ J l l - u + 1 + u " l T ^ du
1 , | u+l i
1
IVsenx + 1
2
2
V üñx- 1
~ ln ------ r - a rcta n u + C = - l n
lu-H
E j e m p lo 6 6 . Cacule
I= j
,
------
a rc ta n V se n x + C
dx
x ( x 69 + l ) 3 '
S o lu c ió n
Se tiene qu e / =
dx
1 f
6 9 x 68 d x
I - —^7 --------- -- — ¡ -----------------J x ( x 69 + l ) 3 6 9 J x 69( x 69 + l ) 3
»S i en la ú ltim a integral se hace u = x 69 + 1 => d u = 6 9 x 68 d x , resulta
/- 1
69
f
du
Ju 3 (u - 1 )
1
f \A
B
c
D
6 9 J [u + u 2 + i í 3+ w - l j
62
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1
INTEGRAL INDEFINIDA
D e term inand o las constantes A,
B,
C y D p o r el p roced im ie n to u sa d o en los
ejem plos anteriores, se obtiene
1
1
1 . Í L Í _ jL _ - L
1
d u = -ln | u | H------t - r - r + ln|u - 1| + C
u
2u 2
i9 J i u
u2 u 3 + u - 1
69
>.69
1
+ 1
6 9 r " k 69 + 1
K | e m p lo 6 7 . Calcule 1 =
2 ( x 69 + l ) 5
+ C
J V t a n x dx.
.Solución
21 dt
SI lineem os t 2 = t a n x =» x = a r c t a n t 2 y
f 2t2 dt _
dx =
1+ t
e n to n ce s
2 tz dt
f
1 ~ J i + t4 “ J ( T + V 2 t + t z) ( l - V 2 t + t 2)
I ,ii l'actorización de 1 + t 4 se realizó del siguiente modo:
I f t 4 = ( t 2 + l ) 2 - 2 t 2 = ( t 2 + l ) 2 - ( V 2 t ) 2 = ( t 2 + 1 - V 2 t ) ( t 2 + 1 + V 2 t)
I ,¡t d e sc o m p o sic ió n del integrando es
A ( 2 t + V 2 ) + B t C( 2 t - s / 2 ) + D _
t2 + V 2t + l
t2 - V 2t + l
2 12
“ l + t4
E lim in a n d o den om in adore s, se tiene
212 = [¿ (2 t + V2) + B ][t2 - V2t + 1] + [C(2t - V2) + Z>][t2 + V2t + l]
Igu a la n d o lo s coeficientes de las potencias de t en los d o s p o lin o m io s, se obtiene
2A + 2 C ^ = 0 ,
( B + D ) + V 2 ( C —A) = 2 ,
yj2(B - D) = 0 , V 2 G 4 - C ) + B + D = 0
K e so lv ie n d o las e cuaciones, resulta
i4 = — V 2 / 4 , C = V 2 / 4 , B = — 1 /2 , D = 1 /2
I uego,
V2 r
_ i r_
2t + V 2
’ 4 J t 2 + V 2t + 1 f
dt
2 J t2 + V 2t + 1
V2 f
2t - V 2
1 f
dt
4 J t 2 - V 2 t + 1 t + 2 j t2 - V 2 t + 1
h iiegra n d o y sim p lifica n d o , se obtiene
/^
^2
V 2 , t2 - V 2 t + 1
— — a r c t a n (V 2 t + l ) + — a r c t a n (V 2 t — l ) + C
/ = T4 ln t 2 + V 2 t + 1
donde t = V ta n x.
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r
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLU M EN II
sec2x dx
Ejemplo 68. Calcule I = í ------—
J 3 + 4 tan x + sec2x '
Solución
E s c r ib im o s la integral c o m o
l = [
x sec2* dx
- f _____ x s e ^ x dx
_ f x sec2x dx
J 3 + 4 tan x + sec2x J 3 + 4 tan x + ( 1 + ta n 2* ) ~ (ta n x + 2 ) 2
J
A p lic a n d o el m étodo de integración p o r partes, e le gim o s
( u = x => du = dx
sec2x dx
\ d v = 71-------- V = - (tan x + 2 )2
tan x + 2
Lu e go ,
r
l =
dx
----------- _ +
tan x + 2
J tan x + 2
J
H a c ie n d o t = ta n x =* d t = se c 2x d x en la integral ], se tiene
,
ddx
xf
f
_ r sec2x
_______dx
se c2x dx _______
J tan x + 2
J (tan x + 2)(1 + tan2x)
rr
dt
J (' t + 2 ) ( 1 + t 2)
D e s c o m p o n ie n d o el integrand o en fra ccion e s sim ples, tenem os
1
_
( í + 2 ) ( l + t 2)
5
t + 2
. ~ l ñ ( 2 t) + 5
■+ •
1 + t2
L u e go ,
l r
1
2 r
1 r 2t dt
dt
dt
1 0 J 1 + t2 + 5 J 1 + t2
5j t + 2
1
2
J = p ln | t + 2| — —— ln | l + t 2 1 + - a r c t a n t + C
b
10
1
1
5
2
7 = g In|tan x + 2| - — ln | l + ta n 2x| + - a r c t a n ( t a n x) + C
Finalm ente, ob tenem os
*
/ — ------------- “
tan x + 2
1
(ta n x + 2 ) 3
10
sec2x
H----- ln
2
+ - * + C
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INTEGRAL INDEFINIDA
E J E R C IC IO S
II,illc las s ig u ie n t e s in te g ra le s in d e fin id a s:
4x2 + 6
/ x 3 + 3x
í
I
dx
R. l n [ x 2 ( x 2 + 3 )] 4- C
8
X‘
-dx
4 l n [ x 2 4- 4| +
( x 2 4- 4 ) 2
^ '2
x 4 - 4 x 2 - 14a:
-dx
x 2 —2x — 8
x2 + 4
C
x
■>
68 ,
,
14 ,
R. — 4 - x 4 - 8 x 4 - — ln [x — 4 | — — ln|jí + 2| + C
dx
/ ( x 2 + 2x + 5 ) 3
R.
X 2 4- X -
x 4- 1
+ x
r
dx
R. ------------— + - ln | x - 1 | - - l n | x 4 - l| 4- C
2 (x - 1)
ln|x|
2 x 2 4- 3x
- X 3 4- X 2
dx
R.
4
4
ln (x 2 - 2 x 4- 3)
2
•+ - arctan
3
<c t
\i
)
x 4- 1
X
1
(x2+ 1
R. - l n —z----- 6 \ x 2 4- 4
-dx
4 4- 5 x 2 4- 4
2 x 2 —3x — 3
l ) ( x 2 - 2 x + 5)
a rc t a n x 4- a rc t a n - 4- C
dx
1
R. - l n ( x 2 — 2 x 4 - 5 ) - ln|x — 1 | - F - a r c t a n
r
10.
J
4- C
1
I x2 I
R. — 4 - ln ------ - + c
dx
x 2 + x —2
«)
8
1
/; :3 - x 2 - x + 1
h
3
(x + 1\
~ a r c t a n ( — - — j 4- C
2 (x 4 1)
3 (x -t - l)
•4, . „—
( x 2 4- 2 x 4- 5 ) 2 4 ( x 2 4- 2 x + 5)
1
x2
■dx
1 - x6
x 2 dx
x 6 - 1 0 x 3 4- 9
( ^ )
4- C
X 3 4- 1
R. - l n
6
4- C
B. i l n
+ C
4 x 4- 1
-dx
X 2 4 -1
1
R. - l n ( x 2 4- x + 1 ) — V 3 arctan
II
2x
-dx
X 2 4- 1
2x + 1
4
/2x
+ — a rc t a n
V3
V3
V
V3
i)
2
/ 2 x 2 4- V
V3
V
R. — a rc ta n ----- ——
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65
V3
+ C
4- C
TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II
f
14.
Z x<■
--------
+1
J x 4 + x- ■
-dx
x2- X + 1
|m
Ä-.
1
/2 x + 1 \
1
/2 x - 1\
+ — arctan — = r— + — arctan — = — + C
V3
V V3 )
V3
\ V3 /
i( ^ )
x 2 dx
X 3 -
• / x 6 - 10x3 + 9
9
+ C
fi' 2 4 ln x 3 — 1
dx
/i
V2
1 + V 2x + x 2
/?. — ln
+ -^ -a rc ta n (V 2x + l ) —
1 — V2x + x1
dx
17.
1
ñ.
x8 + x6
r
x
18' J
a rc ta n (V 2x — l ) + C
-
bx3
1
1
+ — — ---------- a rc t a n x + C
3x4
x
7 .
+ xJ
- 2 4 ' + 1 d%
. 4
„
4
1, , ,
1
|2x 4 + 1 — V5|
2V5
|2x 4 + 1 4 - v 5 i
,
R. :rln | x 4 - 1 | - - l n [ x 6 + x 4 - 1 -------— l n ----------------- = + C
2
4
dx
1 9 ./
f
20.
dx
X ( X 999 +
I
R. ¡ n | x | - ^ i n | x 7 + 1 | + —
—
7
7 ( x ■t
x (x 7 + l )2
1
l) 2
1
R. ln|x|-------- ln jx 999 •<- l l + --------- — ------- + C
999
dx
9 9 9 ( x 9"
1
/ x (x 9 + l )3
+ C
tj
1
„
R. ln|x|— - ln | x + l| +
9 (x 9 +
9
+ 1)
1
4-------- — ^—
1)
I 8 (x 9 +
? + C
l )2
dx
R •r r l n l x 11
■ / X 12 ( X 11 + 1 )
f
23 i
25.
1■/
+ 1| -
l l x 11
-
ln|x| + L
co t x d x
c i S í 7x + 1 )
f
24.
11
R. ln | s e n x j —
7
ln | se n 'x + 1| + — -----:--------~ + C
7 ( s e n 'x + l j
ta n x d x
J ( c o s " x + 1)
R. — ln|cos x + l| - lnjcos x ) -
9 9 (c o s "x + l)
+ C
P
' x 4V s e n x + V s e n x + c o s x
----------------- dy.
I ---------- , ,
( x 4 + 1) c o s x
Ä. | m
V se n x + 1
-------V se n x - 1
V2.
x 2 + V2x + 1
a rc t a n fV s e n x ) + —— ln ---------------------- — -------8
x 2 - V2x + 1
+ — arc tan (V 2 x + l ) -
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arc tan (V 2 x - l ) + C
I IN 1 cvjKAL LNUfcMINIUA
dx
lU.
/ Xs + 1
V5
2 x 2 - ( l - V 5)x + 2
R- 20
™ ln
2 x 2 - (1 + V 5 )x + 2
V lO — 2V5
+ ------ — ------ arctan
10
/ 4 x - (l+ V 5 )\
—
+
V 10-
V
2V 5 /
V IO + 2V 5
^ ( Ax - (1 - V 5 ) \ , „
--------— ------ a rcta n —
|+ C
V V 10 + 2 V 5
10
,'7.
j Vtañhxdx
co sx V se n x + 1
se n x + 2
1
2 (c o s 5 x + l)
•+ C
1 - V co sx
2 dx
/?. In
+ 2 a rc ta n (V c o s x ) + C
1 + V co sx
V c o s x sen x
5
X3
J i13!
fi. - [ x 3 - l n ( x 3 -
dx
x3 + x - 1
;»2.
co s5 x+ l
4
<0.
C
cos 5 x - 1
R. - I n
se n 5 x ( l + co s 5 x )
1!.
— — arctan(tanh x ) + C
R. 2 V s e n x + 1 — 2 a r c t a n V s e n x + C
dx
dx
2').
tanh X + 1
1
Ä. - I n
2
/ (x 2 + 2 )2
Ä.
dx
2—x
1 )] + C
I n J x 2 + 2 ------ — arctan —
4 (x 2 + 2)
4V 2
^
V2
+C
4 x 2 - 8x
u.
/ ( x - l ) 2( x 2 + l ) 2
dx
3x
R.
- 1
(x - l ) ( x 2 + 1)
+ In
, (*
~ 1) \
— ■■
. 1 + a rc t a n x + C
x2 + 1 )
dx
(■I
/ (x 2 — x )(x 2 - x + l ) 2
x - 1
10
Æ. In
3V3
3x + 2
/ x (x + l ) 3
dx
a rc ta n
/2x - 1
— —
V V3
2x — 1
3 ( x 2 — x + 1)
4x + 3
R. — ------ —w + ln 2 (x + l ) 2
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x
(x + l ) 2
+ C
+ C
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
1.6 IN T E G R A C IO N D E A L G U N A S F U N C IO N E S IR R A C IO N A L E S
H e m o s v isto que las fu n c io n e s racionales poseen integrales que se e xp re sa n c o m o
co m b in a c io n e s lineales finitas de fu n cio ne s elementales. E s t o n o sucede c o n las
fu n cio ne s irra cio n ale s sa lv o en a lg u n o s ca so s particulares.
E n esta se c c ió n y en las siguientes, v a m o s a estudiar a lg u n o s tip o s de fu n c io n e s
irracionales c u y a s integrales pueden ser expresadas c o m o un a su m a fin ita de
fu n cio n e s elem entales. P a ra esto, es necesario un adecuado c a m b io de va ria b le de
m anera que el integrand o de la n u e va integral sea una fu n c ió n racional.
f
1 .6 .1 IN T E G R A L E S D E L T IP O
í
j A
/ a + b x \ mi/ni
(
_
)
/ a + b x \ mk/nk
;...; ( —
)
dx
E n este caso, R es una fu n c ió n ra cio n al de variables
/ a . + b x \ mJni
x ■f c r s )
/ a + b x \ mk/nk .
■ •••y
'* > "* »• > .................... " • 6 :
a + bx
P o r tanto, lo s e xp o n e n te s de -------—
c + dx
s o n n ú m e ro s racionales.
E n esta situación, se hace el c a m b io de variable
a + bx
c + dx
= t n , d o n d e n = m. c. m. {ri!, n 2, - , n k}
D e sp e ja n d o x, se obtiene
t nc — a (be — a d ) n í n_1
y
dx=
■í b - d ñ ‘ - i c
Su stitu ye n d o estas e xp re sio n e s en el integrando, se obtiene que R es u n a fu n c ió n
racional de va ria b le t.
dx
xl/2(1 + xl/4) •
E j e m p lo 6 9 . C alcule J = f
S o lu c ió n
E n este caso, lo s exponentes fra ccio n a rio s de x so n 1 / 2 y 1 /4 . E n to n ce s
m .c. m . { 2 , 4 } = 4
H a cie n d o el c a m b io de variab le
f
4 t3 dt
r
4t
^ j 1+ ~ J 1+
~
t2(
t)
x — ? 4 =* d x = 4 13 d t resulta
f (
t dt ~
j
4
\ ~ t
\
+1/
= 4 t - 4 ln |t + 1 | + C = 4 x 1/4 - 4 l n |x 1/4 + l | + C
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INTEGRAL INDEFINIDA
K jcin p lo 70. Halle I = f
dx
J V X - 1 + \jx - 1 '
S o lu c ió n
I .ds cxp on cn te s fra ccio n a rio s de x - 1
son 1/2 y 1 / 3 .
Si se hace x ~ 1 = t 6 ( 6 = m. c. m. {2 , 3 } ) => d x = 6 t s dt.
I liego,
f 6t5 dt
r
t3
r ,
i
J t 3 + t 2 ~ 6 ] T T i dt = 6 l ( t 2 ~ t + 1 - ^
.
) dt
= 2 t 3 - 3 t 2 + 6 t - 61n|t + 1| + C
- 2\¡x - 1 - 3 V x - 1 + ó V x - 1 - 6 1 n | V x — 1 + l l + C
E je m p lo 7 1. Calcule / =
í
J
í— —
1 —
y] 1 + x 2 x
S o lu c ió n
Se escribe
i
/=
í
J
~
r
I** ~ 1 ^ - 1f
jl + x 2 x
2
;x2 “ 1
1 ■—
2 * dx
J J i + x 2'~P~
I luciendo el cam bio de variable z = x 2, se obtiene
/ = - [
2
J ,21 ~+ 1z dzz
I n ''s t a ú ltim a integral, el crite rio e stu d ia d o n o s s u g ie re re e m p la z a r —
= ^
I »nam os al lector se g u ir este cam ino. R e s o lv e m o s la integral u san d o el sigu iente
l = ± r _ j £ Z l ) d z _ _ l r (z-l)dz
2 J zv 1 + zVz — 1
dz
ir
2 j zVJ T T J 2 ) 4 ^ 1
ir
2
1
,
--------- ,
i
- l n | z + V z 2 - 1¡ - ~ a r c s e c | z | + C
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J
dz
¡V P ^ T
TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II
E j e m p lo 7 2 . Calcule / =
J -Jtan2x + 2 dx.
S o lu c ió n
E s c rib im o s la integral co m o
l
r ta n 2* ++ 2
se c 2x + 1
[r sec2x
J V t a n 2* + 2
J V t a n 2x + 2
_ f
ssec
e c 2xx dx
“x
+ [f
dx
J V t a n 2x + 2
iJ V t a n 2x + 2
'i
'2
A p lic a n d o las fó rm u la s de integración correspondiente a cada integral, te ne m os
+ C1
/* = ln jta n x +
[
/, =
eos x d x
f e os x d x
(senx\
,
=
■— -- a r e s e n I — —
+ C2
J V s e n 2x + 2 e o s 2*
J V 2 — s e n 2*
' v2 /
P o r consiguiente,
i
--------------- 1
I = ln |tan x + V t a n 2* + 2 1 + a re se n ^
/sen x \
j + C
dx
1 .6 .2 IN T E G R A L E S D E L A F O R M A
, n e
(x - a ) n4 p x 2 + qx + r
P ara ca lcu la r esta integral, se debe usar la siguiente s u s t it u c ió n r e c íp ro c a
1
dt
x - a = j = > d x = - jj
dx
E j e m p lo 7 3 . C alcule / =
I —
J x 2y/ 4 x 2 + X + 4
S o lu c ió n
1
1
H a c ie n d o la s u s t it u c ió n x = - = > d x = — - r d t ,
t
tz
s e o b tie n e
dt
t2
t dt
f — = U L = = - Í
J 11 ¡ 4A , 1 , ,
J V 4 t2 + t + 4 + 7 + 4
t 2 \| t2
-~í
8J
(8 t + l) d t
dt
s
dt
if
V 4 t 2 + 1 + 4 ' 8.1
8j
= - - V 4 í 2 + t + 4 + — í= ln | 2 t + 7 + V 4 t2 + t + 4 + C
4V
2V63
I
4_
'
1 V4 + 4 x 2 + x
1
8 + x
2V63
4x
----------------------- + — = = ln
4
x
V4x2 + x + 4
+ -------------------- + C
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70
INTEGRAL INDEFINIDA
dx
Ejemplo 74. Calcule / = [ _____ i
J ((xx —
)yfx + 3 x - 9
- 2
2)y/x2
S o lu c ió n
1
1
C o m o x — 2 = — => d x = —— dt , e n to n c e s
dt
t2
dt
- / í| TJ (3i + 2^ + 3(l + 2 ) - 9
= = - ln t + - + V t 2 + 7 t + 1 + C
45
I
2
-ln
7 x - 12
V x2 + 3x - 9
2 (x - 2)
x - 2
E j e m p lo 7 5. Calcule J = f .. + 3 )d x —
J x 2yj 3x2 + 2x + 1
S o lu c ió n
1
1
Si se h a c e x = - = > d x = - ^ - d t . L u e go ,
dt
=_ f
J
( í +3) tf2
f
(1 + 3 t ) d t
1 / 3 + 2 + 1 - J V t2 + 2 í + 3
t 2y J F + t + 1
3 f
2t + 2
2 J Vt2 + 2 t + 3
d t “h 2
dt
J/:V(t + l ) 2 + 2
= — 3-y/t2 + 2 t + 3 + 2 ln |t + 1 + V i 2 + 2 t + 3¡ + C
3V 3x2 + 2x + 1
+ 2 In
x + 1 + V 3 x 2 + 2x + ll
+ C
1 'i a lg u n o s casos, la su stitu ció n recíproca puede facilitar
integración, c o m o v e re m o s en lo s d o s ejem plos siguientes.
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71
el
proceso
de
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
r -yx
Vx —■
- ;X
E j e m p lo 76. Calcule / = J — — — dx.
S o lu c ió n
1
1
S i se h a c e x = - = > d x = — ^ d t . Lue go ,
t
t2
* 11 _ J _
= - J
- - ^ = - J V t 2 - 1 t d t ,(u = t 2 - l , d u
E j e m p lo 7 7. Calcule / =
J ■
= 2t d t )
dx
(x + l ) 4 x 2 ‘
S o lu c ió n
1
1
Si se hace x + 1 = 7 = > d x = - - ^ d t . Luego,
t
* ~~
t
dt
t4 H
= - f y + t 2 + 3 í + 4 l n ( l - 1) +
+ c
1
1
3
1 x 1
x + li
„
-------- — H-------------- H-----------f- 4 ln -------r H--------- 1 + C
.3(x + l ) 3 (x + 1 ) 2 x + l
ljc + l l
x i
1 .6 .3 IN T E G R A L E S D E L A F O R M A
J R [ x - . J a x 2 + bx + c ) dx
E n este caso, R es u n a fu n c ió n ra cio n al en las va ria b le s x y V a x 2 + bx + c. U n a
integral de esta fo rm a se ca lcu la u sa n d o las ‘‘s u st itu c io n e s de E u l e r ” . E sta s
su stitu cio n es perm iten tran sform ar el integrando en una fu n c ió n ra cio n al de
variable t. S e presentan 3 casos:
C A S O I. S i c > 0 , el ca m b io de variab le es V a x 2 + b x + c = t x + Ve.
E le v a n d o al cuadrado, resulta
a x 2 + b x + c = t 2x 2 + 2 V e t x + c
<=> ( a - t 2) x 2 + ( b — 2 V c t ) x = 0
«=* x [ ( a - t 2) x + ¿ - 2 V c t] = 0
72
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INTEGRAL INDEFINIDA
E n esta ú ltim a ecuación, e lim in a n d o la so lu c ió n x = 0, se obtiene x = <p(t ), que
es una fu n c ió n racional de t, y d x = ( p' ( t ) dt . dond e
fu n c ió n ra cio n al de t. P o r lo tanto,
<p'{t )
es tam bién una
J R ( x , ] y ] a x 2 + bx + c ) d x = J R(<p(t); tcp(t) + Ve) <p'( f ) d t
donde el integrando del se g u n d o m ie m bro es una fu n c ió n racional de va ria b le t.
dx
E j e m p lo 78. Calcule ] = \ ■
J .x V 2 x 2 + x + 1 '
S o lu c ió n
H a cie n d o y = V 2 x 2 + x + 1 = t x + 1 y e le vand o al cuadrado, se obtiene
2 x 2 + x = t 2x 2 + 2 t x
E lim in a n d o la so lu c ió n x = 0, se obtiene
2t ■
2 ( t 2 — t + 2)
dx
2 —t 2 '
(2 — t 2) 2
y=
"
dt,
t ( 2 t - 1)
2 —t 2
+ 1 =
1 ‘
t + 2
2 —t 2
Lue go , re e m p lazan d o estos va lo re s en la integral y sim p lifica n d o , n os queda
2V2x2 + x + 1 - 2
2 d t = ln | 2 t — 1| + C = ln
. . J 21 - 1
J' = f
C A S O II.
+ C
S i a > 0 , se hace la su stitu ció n V a x 2 + b x -f c = V a x + t.
E le v a n d o al cuadrado y sim p lifica n d o , se obtiene
b x + c = 2 V a í x + t 2 . D e esta
dx
e cu a cio n .se ob tie n e q ue x
y
s o n fu n c io n e s ra c io n a le s de t y p o r tanto, el
~
n u e vo integrando es tam bién una fu n c ió n racional de variab le t.
E j e m p lo 7 9 . Calcule / =
j
dx
xVx2 + x + 1
S o lu c ió n
Se a y = v x 2 + x + l = x + t.
E le v a n d o al cuadrado, se obtiene x 2 + x + 1 = x 2 + 2 t x + t 2. Lu e «o ,
1
1 - 21
-tc + t •
, dx - 2
(1 - 2 t ) 2
- r
dx, y =
+ 1- i
i - 21
Finalm ente, reem plaitando estos va lore s en I y sim p lifica n d o , se tiene
dt
'J
= ln
t — li
t+ 1
+ C = ln
Vx2 + x + 1 - x -
1
Vx2+ x + 1 ~ X+ 1
73
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TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
C A S O III.
E l trin o m io
a x 2 + bx + c tiene dos raíces reales r
y
s. E n este
caso, la sustitució n es y - V a x 2 + b x + c = t { x - r).
E le v a n d o al cuadrado, se obtiene
a x 2 + b x + c = a ( x - r ) ( x — s ) = t 2(x - r ) 2
C a n c e la n d o el factor x — r, resulta a ( x — s ) -
dx
De esta iguald ad , se sig u e que x , —
dt
t 2{x - r).
e y s o n fu n cio n e s ra c io n a le s de t y, p o r
ende, el n u e vo integrando es tam bién una fu n c ió n racional de va ria b le t.
E j e m p lo 8 0 . C alcule /
,
=/;
dx
____________
W x 2 - 3x + 2
S o lu c ió n
C o m o x 2 - 3 x + 2 = (x - 2 ) ( x - 1 ) , reem plazam os
y = y/ x2 - 3x + 2 = y/{x - 2) ( x - 1) = t ( x - 1)
E le v a n d o al cu a d ra do y sim p lific a n d o el factor x — 1, q ueda x - ¿ — t 2( x - 1).
L u e go , se obtiene
2 — t2
2t d t
dx=ó ^ w
t
A
Finalm ente,
,
dt
Í = - 2 I —
V2
= - T ln
t-V 2
4 x - 2 4- y¡2(x - 1)
V2
+ C = T ln
+ C
t + y¡2
4 7 = 2 -J 2 (x -1)
1 . 6 . 4 I N T E G R A L E S D E L A F O R M A : J x m ( a + b x n) p d x
A una e xp re sió n de la fo rm a x m ( a + b x n) p d x , don d e m, n y p so n n ú m e ros
racionales, se lla m a b in o m io diferencial. P afn u ty L v o v ic h
C h e v y s h e v (1 8 2 1 -
1894), el m atem ático ru so m ás em inente del sig lo X I X , dem ostró que la integral
de
los
b in o m io s
d iferenciales
co n
exponentes
ra cio n ales
puede
expresarse
m ediante fu n c io n e s elem entales solam ente en los ca sos sig u ie n te s (siem pre que
a ^ 0 y b
0):
C A S O I:
p es u n n ú m e ro entero
C A S O II:
m + 1
---------es u n n u m e ro entero
n
m + 1
C A S O I II : — :-----h p es u n n ú m e ro entero
’ n
Si n in g u n o de lo s n ú m e r o s p ,
m + 1 m + 1
---------, — ------- h p es entero, la in te gral n o p u e d e
ser expresada m ediante fu n cio n e s elementales.
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74
INTEGRAL INDEFINIDA
C A S O I.
x = z r , donde
S i p es un n ú m e ro entero, se hace la su stitució n
r = m. c. m. de los d en o m in a do re s de las fra ccion e s m y n .
C A S O II.
Si
m + 1
— - — es u n n ú m e ro entero, h a c e m o s la su stitu c ió n a + b x 11 — z s,
d ond e s es el d e n o m in a d o r de la fra cción p (c o m o p es un nú m e ro
r
racional, P = ~> con r y s n ú m e ro s e n te ro s c o p r im o s )
m + 1
C A S O III. S i ---------- 1- p es u n n ú m e ro entero, se utiliza la s u stitu c ió n
n
a + b x n — z sx n ó a x ~ n + b = z s
don d e s es el d e n o m in a d o r de la fracción p.
E j e m p lo 8 1 . Calcule / = J x 2 ^ 1 + x ^
¿Lx.
S o lu c ió n
E n este caso, m = 1/2, n = 1/3, p - - 2 e l (ca so I) y m. c. m. {2,3} = 6.
L a su stitu ció n es x = z 6, d x = 6 z 5dz,
x 1/2 = z 3 y
x 1/3 = z 2.
A s í, tenem os
f,
fr z s.
3. 6 z b5 d z
~x 1/z
i/¿
r.
6 I ( 1 + z 2 ) 2 dz
= J ( l +. X 1/3)2dX === JI T(T1—- f z 2)7TT2 -ZZ6J
I
I = I „
Efectuand
d o la d iv is ió n en el integrando, se obtiene
fr 4 z 2 + 3
f - - + ^ 2 )2 dz
r ) d z - 6 ( j - - +3z) - 6 I-l
f, ,/ ,
4z2 + 3 \
,
(/ zz 5s 2 z 3
\
/ = 6 | |z + 2 z 2 + 3 —
, _ ,N, ) d z = 6 ( - - —
+ 3 z )-6
= 6 J ( z4 + 2z2 + 3 - a ^
”7 ”
Para ca lcu la r la integral J, u sa m o s la sustitución trigono m é trica z = ta n 6.
f 4z2 + 3
f (4 ta n 20 + 3 ) s e c 28dB
= /(3 + s
7
e
[
= J - - - - - - - - = J (4sen " + 3
1 ' J IT T ^ P
n
= / (3 + l ^ H
se n 0 eos 0
) M =18 - ^
7z
= 2 « ---------- 5------- + C > = 2 arCta" Z “ 2 ( T T P j + C '
P or lo tanto,
6
/ = - z 5 - 4z
5
3z
+ 1 8 z - 2 1 a rc ta n z + -------- r + C
1 + z2
= % x s' b - 4 V x + 1 8 V x - 2 1 a rc ta n \ [ í +
+ C
5
1 + Vx
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+ C,
’
TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II
E j e m p lo 8 2
J x1/3(2
C alcule } =
+ ^ 2/3) 1/4 dx.
S o lu c ió n
1
2
1
E n este caso, se tiene m = - , n = - , p = 3
3
4
A h o ra , la s
titución es
m + 1
---------= 2 E 2 ( c a s o i I ) ,
n
y
'
2 + x 2/3 = z 4 , \¡ X~X,Z d x = 4 z 3d z
ó
d x = 6 x 1/3z 3d z
Lu e go ,
y
J
x 1/3( z 4 ) 1/,46 x 1/3z 3 d z
6
( t
=
--
%
r
)
+
c
3 (V2
=
I
= 6
+
"
J x 2/3z 4 d z = 6 j ( z 4 - 2 ) z 4d z
'
2 / 3 ) 9/4
-
^
5( 2
+
"
2 / 3 ) s/4
+
c
dx
E j e m p lo 8 3. C alcule / = J ^
t 6( 6 5 - x 6y / 6 '
S o lu c ió n
/ = J x - 6 (6 5 — x 6) ~1/6 dx.
E s c r ib im o s la in te gral c o m o
1
P u esto q ue
m = —6, n = 6, p = - -
6
y
m + 1
------ — + p = — 1 a TL (c a so III),■
n
h ace m os la su stitu ció n
6 5 - x 6 = z 6x 6
ó
z 6 = 6 5 x -6 - 1, d x = - — x 7z 5 d z
65
P o r tanto, tenem os
I = J x ~ 6 ( z 6x 6)~ 6
— x 7z 5 d z j = - —
J z 4 dz
1
=
_
( 6 5 - x 6) 5/6
z5+ C = - - - —
7 — + C
325
325x5
E j e m p lo 8 4. C alcule 1 = J V x V * 3 + 1 d i ­
s o lu c ió n
La integral tiene la fo rm a 1 = J x 1/2( l + x 3) 1/í2 d x . Luego,
1
m = -,
1
n = 3, p = —
y
A hora, hacem os 1 + x 3 = z 2x 3
m + 1
— --------------------1- p = 1 £
ó x ~ 3 + 1 = z z, d x = - 2 / 3 x 4z d z.
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TL
INTEGRAL INDEFINIDA
En ton ce s
/ = J x 1/2( z 2x 3')1/ 2 ^ - - x 4z dz'j = - -
| x 6z 2 d z —
2 r
_ 3
J (z2
1
- 1)2
z 2 c¿z
Para ca lcu la r la últim a integral, usam os la sustitución z = s e c B. A s í, se tiene
/ = -
2 f se c 20 see 0 tan 0 dff
ta n 40
I /
2 f se c 30
2 f
3
3
J
ta n 3fl
j
c s c 30 dd
1 4- c o t20 ( - c s c 20 ) d 0
= - [ c o t 0 c s c 0 4- ln | co te 4- cscfl|] 4- C
14- z
•+ ln
+ c
V P -
x V x 4 4 -x
1
i
,--------- ¡
------------- + - ln x 3/2 + j l + x 3 4- C
J
6
1
l
J
E j e m p lo 85. Calcule / =
V i + e 4x
-dx.
S o lu c ió n
dt
H a cie n d o t = e x, dx — —
t
resulta
r V T T e 4* r v i + tV4i + 14 r
' = J — ^
- d r= } - p
C om o m = — 2 , n = 4 ,
1 + t4 = z 4t4 ó
- d“
l
r 2( l + 14) 1/4 dt
1
m 4 -1
p = — , ----------1- p = 0 E TL ento nce s
4
n
t ~ 4 4- 1 = z 4 y d t
- t 5z 3 d z
Lu e ao, se tiene
/= -
jt
2( z 4t 4) 1/4t bz 3 d z = -
- '- 1 /
z4 - 1
1
-z --ln
J t 4z 4 d z = - J
1
—- d z
z2 + 1
z — 1
z 4 -1
4- - a r c t a n z 4- C
Finalm ente, retornando a ia variab le inicial x, se tiene
V i 4- e 4x
1
/ = ------------------------ln
e*
2
V i 4- e 4x - e >
1
/ V i 4- e 4ArN
4- - a rc ta n I ------ —----- | 4-
V i 4- e 4x 4- e*
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II
E jem p lo 8 6 . Calcule J
,
6 dx
_______________
s e n x v e o s 3* + s e n 3x
Solución
D iv id ie n d o n um e rad or y d e n o m in a d o r entre c o s 2x, se obtiene
¡_ f
6 dx
r
J s e n x V co s^ F T se ñ ^ x
6 s e c 2x d x
J ta n x Vi 4- ta n 3x
H a cie n d o t = ta n x, tenem os
f
/ =
6 d ti
- j = = = =
J t Vi 4- t 3
r
ó r H i + t 3) ' ^ d t
J
1
P u esto q u e m = - 1 ,
n = 3,
m + 1
P =Y — - — = 0 e Z , hacem os
+ t 3 = z 3, d t = t _2z 2 d z
1
Lu e go ,
J - f 6 t ~ 1( z 3) ~ 1/3t ~ 2z 2 d z = j 6 t ~ 3z d z = f 6 2 d Z
Para calcular la últim a integral,
fracciones sim p le s, esto es,
i4
J
■/
z
u sam os
el
m étodo
de
d e sc o m p o sic ió n
en
B ( 2 z 4- 1) 4- C
1
z 2 4- z 4- 1
dz
M e d ian te operaciones, se obtiene que los va lore s de A, B y C son:
A = 2,
B = - 1 y C = 4.
P o r lo tanto,
f
1
2
f 2 zz ++ l1
f
dz
------ T d z ~
~ 2~.----- — d z 4- 4 ---------J z - 1
J z2
z 4- 1
) ,
i
(Z 4' Í ) + l
= 2 ln|z — 1| — ln | z 2 4- z 4- 1| +
V3
a rc ta n ( — —— ) + C
V V3 >
= 2 ln | ( l 4 - 13) 1' 3 - l| - ln | ( l + 13) 2/3 4- (1 4 - 13) 1/3 + 1| 48
/2 V i 4- £3 4- 1 \
4- —=. arctan I ---------- —-------- ) 4- C , d o n d e t = tan x
V3
\
V3
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78
INTEGRAL INDEFINIDA
E J E R C IC IO S
C a lc u le las sig u iente s integrales:
f
1.
¿x
I — —
57=
R. 2 V x — 3 x 1/l3 + 6 x 1/6 — 6 l n l l + x 1/6 ! + C
J Vx + Vx
1
r -J~x Hy
1
1n
2 ‘ J y + x 4/5
2x1/2 ~ Y x V 1 ° + 10x1/10 - 1 0 a rc ta n (x 1/10) + C
f 5 x 2 + 2 0x - 24
-------- ;-------- -----Vx + 5
3.
J
4.
fl. 2 (x + 5 ) s/2 - 2 0 (x + S ) 3/2 + 2 (x + 5 ) v " + C
[ ............... ....... ... .................
J ( 2 x + 5 ) V 2 x - 3 + 8 x - 12
R. - a rc ta n ( 1 + - V 2 x — 3 ^ + C
2
V
2
/
5.
f 8x + 2 l V 2 x - 5
-----------; .......
dx
J
4 + V2x - 5
6.
------ — 777— ;----------------------------------------------------------------------------------- t t f t t
J ( x + I ) 3/4 - ( x + I ) 5/4
7
J
r
(2 — x — 5 ) ( 8 V 2 x — 5 + 1 5 )
R. ------------------------------------------ - + C
6
dx
I
f ( x — 2 ) 2/3 d x
_____
Z ] (X-2)V> + 3
f
x 1/7 + x 1/2
x 8/7
1S/14 d x
8.
/Vx - 2\
*.
+ C
/?. 7 X 1/7 - 1 4 X 1/14 + 2 8 In C x 1/14 + 1 ) + C
f Vx + i
9. I - = ---- ■dx
1
J V F + i
4
4
R. — x 5/4 — - x 3/4 + 2 x 1/2 + 4 x 1/4 - 2 l n ( l + V x } - 4 a rc t a n - + C
f 9 V T =rx
—
,---------R. a r c s e n x + V 1 - x 2 + C
........d r
J VTTx
11
í-
x - 9
f
2
j
x + 9
dx
R.
'
3 ¡2 - x
,
4
/3x - 1 2\
- ln|x + 9| - ^ a r c t a n I - -------— ) + C
3
V2x + 18/
3/2 +
x \ z/3
12 .
J
13.
j sjsen 2x + sen x d x
/?. - Vsen x - sen2x - arcsenV l - sen x + C
14.
J V c o s 2x + c o s x d x
Ä. V c o s x - c o s 2x + a r c s e n V l -e o s x + C
(2 -x )2
^ 4 ( 2^ )
dX
79
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+C
TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II
dx
I (eos x - sen x)Vcos
R.
2x
1 - x dx
í
Vi - x 2
1 - V i - x2
R. - l n
1 + x x2
¡1 -i- ta n x
-------------- + C
J 1 - ta n x
■+C
f
17-
2 —s e n x
--------------e o s x d x
J J 3 4- s e n x
-------------- ,------------¡3 4 - se n x
R. V 3 4- se n x V 2 - se n x 4- 5 are se n --------------- y-C
f
dx
18.
J x 2V x z — 2 x 4- 4
R.
.
Vx2 - 2 x + 4 —2
3x
3 2(x - 4 + 2 V z 2 —2 x + 4)
dx
2
19
f
x -
4 + 2Vx2 - 2 x + 4
+ C
/ V x2 + 2x - 3 - x >
R. — arctan
/ x V x 2 4- 2 x - 3
20
+ ln
--------------—-----------
V
V3
+ C
v3
¡x - 2
dx
R. 2. I -------- 4 - C
■vi x
J ( x - 1 ) V x 2 - 3 x 4- 2
1
f 4 2 - x
y - x‘
■dx
21' J —
4 2 —x —;.2 4 2
R . --------------------- 4- — ln
x
dx
•/ ( x - 2 ) 4 x 2 — 4 x + 1
23.
i - v n 4" X
X
I -----—
x V l -t- X 4- X ¿
/
r ir
•42- x - .
V2|
/2x + 1\
—
— are se n (
j 4 -C
4
/ V3
\x
,
X 4- 2 -
2¡
2 V l 4- X -r X 2 !
R. ln
Xa
dx
24 / (1 4- x)Vl 4- x 4- x 2
1
V3
R . ---- —aresen ------- 1 4- C
R. ln
-| -t- c
X 4- Vi 4- X 4- X 2
x 4 *2 4 -V l4 *x 4 -x ¿
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INTEGRAL INDEFINIDA
26.
(1 - V i + x + x 2) 2
dx
/
x 2V l + x + x 2
— 2 ( v x 2 4- x + 1 — 1 )
' 4- V l 4- x + x 2 -
R- ---------------------------------f- In
1
x —V l 4 - x + x 2 + 1
'
x
4- C
4- x 4- 1
27.
dx
x V x 2 - x 4- 1
2x - 1 r - -----------19
I
,------------ — ,
R' — ^ ¡ ~ v * - x 4- 1 + — in | 2 x - 1 + 2 V x 2 - X ‘+ lj + C
x + 2
28.
-.dx
(x - l ) v x ‘ + 1
1
R. In (x + yj x2 + ir} -----— In
■+
v2
X - 1
dx
29.
Vx2 + 1
+ C
s[2
tan x — v s e c 2x + tan x
R, In
+ c
tan x + 2 + V s e c 2x + ta n x
dx
30.
1
/e* - 2\
ft. - a r c s e n ------ —
+C
2
V e*V 2 /
V ? Zx + 4 e ;c — 4
dx
31.
(x - l ) 3V 5 x 2 - 8 x + 4
V 5 x 2 — Sx + 4 ( 4 - 3 x )
R.
32.
f
2 (x -
l)2
-t- C
x - 1
dx
J ( x 2 - 1)VX2
D vx2 + X - 6
1
/ II - 3x\
R. - - a rc s e n — --------4
33.
V 5 x2 — 8x + 4 + .
+ In
f 3_VX
J (Vx + l ) 2
dx
\ 4x - 4 /
i
¡ X -r 1'3\
a rc s e n ( --------- + C
k' d
x + b/
2v6
3
°
R. - x 2/3 - 6 x :/3 + — ... . + 9
2
+1
+ if + C
f (V x + I f 2
34.
R. - ( x 1' 3 + I ) 5' 2 - 2 ( x 1/3 + I ) 3' 2 + C
V x
J
35.
36.
r
dx
J (1 + x 2) 3/ 2
f
R.
4- C
V X2 +
1
dx
J V x 2 ( l + V x 2)
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R. 3 a rc ta n x + C
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
38.
dx
Vi + x 2
+ C
/ X 2 ( l + X 2) 3/2
V i + x2
39.
J J ( 1 + V x ) 3 dx
An
40.
,V 2 - V í
| ----- — ---- d x
41.
| x 5 V ( H - ; t 3) 2 d x
( 7 V x — 4 ) (1 + V x ) 7/4 + C
K. —
n 2 ( 4 + 3 V x ) ( 2 - V x ) 3/2
fí. ----------------- ------' — + c
b
5x3 - 3
(1 + x 3) 5/3 + C
40
V i + X 1/3
-d x
x 2 /3
42.
43.
/?. 2 ( 1 + V x ) 3/2 + C
(2 + x 2/3) 5/4
- ( l 0 x 2/3 - 1 6 ) + C
15
J V x ( 2 + V x ^ ) 1/4 d x
dx
4 4 ./ ;
45.
(1 + x 3) 2/3
R.
x 3( l + X 3) 1/3
+ C
2x*
dx
i?, - l n
/ VTTx*
4
V i + x4
+ - arctan |
1 + x4
+ C
V i + X4 + .
. x 3 + 2x2
46. I —------- —
dx
*■/ (1 + x 3) 3/2
R.
-V I +X 3 ----- —
3
3V1 + x 3
dx
1
Z 2 5 - ■ x 3Xí 4/E
R . --------- --------------100 \
xa )
47 j x 5( 2 5 — x 5) 1/5
- C
48. J e 7* ( l - e 3* ) 5/4 d x
4
R. - -
1 (1 — g 3 * )l/4 _ A . (1 -
e 3 * ) 1 3 / 4 + _ L ( i _ e 3 X y 7 /4
3
c o s x s e n 7x d x
49
' ■ / ( s e n 2x + c o s 2x + s e n 4x ) 3/2
«.
i f v 'l
se rrx
V I -r s<;pn4
e n 4xr /
50.
27
3r
V 8 x 3 + 27
« • ^ í 8* 3 + 2 7 ) S/9- ^
dx
51- h
( 8 x 3 + 27)
2/9
128
1 /I + x
( x ~ 3 -t- I ) 4/3
*■
, 3 x 2/ 3
- 52 \ h x r:
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( l + x 3) 1^
+ c
INTEGRAL INDEFINIDA
1.8
IN T E G R A C IÓ N D E F U N C IO N E S R A C IO N A L E S
T R IG O N O M É T R IC A S
En
general, las fu n c io n e s que contienen c o m b in a c io n e s de fu n c io n e s
trigono m é tricas n o so n integrables p or m ed io de p roced im ie n to s elementales.
V e re m o s a lg u n o s c a so s en los cuales si es p o sib le la integración.
1 .8 .1 IN T E G R A L E S D E L A F O R M A :
J R(cosx;senx)dx
E n este caso, R es u na fu n c ió n racional que contiene se no s y co se n o s. P ara
transform arla en u na fu n c ió n racional de va ria b le z, se u tiliza la sustitución
universal
x
z ' = ta n 2 <^ > x ~ 2 a r c t a n z
E n consecuencia,
2 dz
d x = ------- - ,
1+ z 2
1 — z2
2z
eos x = —---- - y se n x — -------- -
1+z2 *
1 + z2
D e esta m anera, el integrando, que es una fu n c ió n racional que contiene se n o s y
cosenos, se tra n sform a en un a fu n c ió n racional de variab le z.
E j e m p lo 8 7. C alcule I =
f
dx
----------- -------------J c o s x + 2 se n x + 3
Solución
x
Si h a c e m o s z = tan - , e n to n ce s
2 dz
,_ f
TTz2
J 1 - z 2 ,4z
, „
l + z 2+ l + z 2+ó
_ f
dz
J z 2 + 2z + 2
_ f
dz
J (z + l ) 2 + l
= a r c t a n ( l + z ) + C = arctan ^1 + t a n - ^ + C
Observación 9. La “sustitución universal’’ ofrece la
posibilidad de integrar cualquier función racional de
sen x y eos x . Sin embargo, en la práctica, conduce a
menudo a funciones racionales demasiado complicadas. Por
esta razón, en algunos casos, es preferible usar la sustitución
auxiliar
t — ta n x
(*)
Con esta sustitución se tiene
dt
t
1
d x — ------r, s e n x =
. e os x =
1 + t2’
VI + t 2'
*
VI + t 2
83
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN Ii
Esta sustitución ( * ) debe ser usada cuando la función racional trigonométrica
tiene ia f or ma
i)
J R( s e nkx ; e o s nx ) d x , donde k y n son n úme r o s e n t e r o s pares.
ii) J R ( t a n x ) d x
E j e m p lo 8 8 . Calcule )
dx
,
J : 3 + c o s 2x
S o lu c ió n
C o n sid e ra n d o la o b se rva ció n anterior, u sa m o s la su stitu ció n a u x ilia r
D e esta m anera, se obtiene
=
f
T + F
----------- i—
J 3 ¡
1
=
f
dt
— ;-----
J 3t2 + 4
t = ta n x.
1
t
/ V 3t\ , „
= — = arctan — — + C
2V3
\ 2
ó + l + t2
1
/V3 ta n x \
— a rcta n ---------- 4- C
2V3
\
2
/
x
E n este ejemplo, si u tiliza m o s la su stitu c ió n u n iv e rsa l z = t a n - , o b te n e m o s
2
j
J
dz
1 + z2
2(1 4- z 2) d z
- , A - z 2V
\1 + z 2/
J 4 ( z H z 2 + l)
y es evidente que esta últim a integral ofrece m a yo re s dificultades.
E j e m p lo 8 9. C alcule I =
f
tan x
-----------— dx.
J 2 4- ta n 2*
S o lu c ió n
t = ta n x, se obtiene
E m p le a n d o la su stitu ció n a u x ilia r
t_ f
íc^í
f í t
t \ j,
1 ~ J (2 + t 2) ( i + t 2: = J u T F ~ 2 T ^ J
■= j l n ( t 2 4 - l ) - ^ l n ( 2 + t 2) 4 - C
1,
~ 2
/ t 2 + 1\
1
U 2 + 2j + C ~ 2
/ t a n 2x + l\
( t a n 2* 4- 2 j + ^
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84
INTEGRAL INDEFINIDA
E j e m p lo 9 0 . C alcule / =
2 4
4- 3 e o s x
f
I ------dx.
J eos X 4- 4 e o s2*
S o lu c ió n
D e sc o m p o n ie n d o la integral, se tiene
2 4 -3 eos x
dx
■ / c o s x ( l 4- 4 c o s x )
[(—
= J Vccoo s x
l4 -4 e o s x /
Idx
5 dx
~ J 2 se c x d x - j y + 4 e o s *
= 2 ln j s e c x 4- ta n x\ -
J-
5 dx
4- 4 e os x
J
x
Para ca lc u la r la in te gral J, u s a m o s la su stitu c ió n u n iv e rsa l z = t a n - . Luego,
(V 3 z ) 2
10
1
V3
2V5
ln
V 3 z4 -V 5
4- C
V 3 z-V 5
1 4- z
V 3 t a n ^ 4- V 5
+ C
= J l
V3 ta n ^ — V5
P o r lo tanto,
V 3 ta n ^ 4- V 5
1 = 2 ln | s e c x 4- ta n x\ -
+ C
- ln
V 3 ta n j - V 5
dx
E j e m p lo 9 1. C alcule / =
I -------J 3 —x 4 - 2 V 1 - X 2 '
S o lu c ió n
U s a m o s la sustitución trigon o m é trica x = s e n 0. E n to n ce s
eos 8 dd
I
se n 0 4 -2 eos 8
zlhora, u s a m o s la s u stitu c ió n u n iv e rsa l z = tan — . Luego,
¿
1 — z2
f
2 dz
1 4 z z
J,
3
2z
1 -i- z 2
1 4- z 2
. 2 ( 1 - z 2) ~ J
— 2 z 2)dz
f (2
________
v
(z2 - 2 z 4- 5 ) ( z 2 4 - 1 )
_
1 4- z 2
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
D escom poniendo la últim a integral en fracciones sim ples, se obtiene
f [1 /2z + 4 \
1 í { 2 z - 2) + 12
1 ~ ] [ s U 2 + lJ
5 \ z 2 — 2z + 5
- 1 í f
2z
4
dz
12
___ 2—z — 2
5 J iz 2 + 1 + z 2 + 1
z2 -
2z + 5
(z — l ) 2 + 4J
dz
= ^ Jln(z2 + 1) + 4 arctan z - ln (z2 - 2z + 5) - 6 arctan ( ^ y ~ ) ] + c
(
ir
z2 + i
+ 4 arctan z - 6 arctan^
+ C
“ 5 r i z 2-2 z + 5
tan 2 ó + 1
ln
/ tan 2 - 1
+ C
+ 2x - 6 arctan ^
E J E R C IC IO S
C a lc u le las sig u ie n te s integrales:
dx
1.
/ 4 + 3 eos*
fí. — ln
í 2 + sen x + 3 eos*
4* C
6
2 tan j + 1
2
dx
R. — a rc t a n --------— ------1 + C
V3
\
V3
/ 2 + sen *
4.
dx
sen x dx
/ I + sen x
6.
sen2*
dx
J 1 + eos2*
7.
S
/
■t
x\
„
+ * +
c
-arctan ^2 tan-J + C
R.
/ 5 - 3 eos *
5.
+ C
ta n ^ - 1 + Vó
V6,
dx
2.
tan :
- a rc t a n — —
7
l V7
R.
R.
X
1 + ta n 2
/tan
*^
/ta n *\
Æ. v 2 a rc ta n ^
j - * + C
f
7T
dx
Ir
1
». - g [ « ( 4 * ) + ^
sen 24 * + tan24*
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arctan
/ta n 4 x M
„
+ C
INTEGRAL 1NDEFINIDA
f
dx
Ö'
J 3 + s e n 2x - c o s 2x R ' T arCtan(V2 ta,,JC) + ';
9■
J s e n 4x + c o s 4x ^X
f
se n 2x
R ' a r c t a n ( ™ s 2 * ) 4- C
f 3 se n x 4 -2 co sx
1 0 - h c p n v , i ™ C v dj:
2 sen x 4 -3 c o s x
11
_
^¡ 2
12
5
fl. t ^ x - — l n | 2 s e n x + 3 c o s x | + C
'1 3
13
T 1 + ta n x
• J T -tan x^ *
,
— l n l c o s x — s e n x| -f- C
1
dx
12'
I ¡ e n 2x - 5 s e n x c o s x
13-
r
cos x
----- i-------7----------- fl. - l n
J s e n 2x - 6 s e n x + 5
1 /I
f
dx
q------ 2— T c --------- 3
J 3 s e n 2x + 5 c o s 2x
1C
f
16.
f
dx
fl. 7D ln | l - 5 c o tx | + C
i
sen x - 5
4
s e n x -i- 1
~r C
1
/ V 3 ta n x \
fl- - ^ r a r c t a n ------- —— j -i- C
^15
\
^5
j
1
|2tan x +
fl. - = l n
' v i3
~
n— ; ~--------------------------- z s e n 2x 4 - 3 s e n x c o s x - c o s 2x
3 -v l3
2 ta n x 4 - 3 4 - V T 3
dx
J ;c o s 2x -f 5 c o s x 4- 6
1
/ n ? \
f l - - — a rc ta n —
V2
^ v2 y
2
/ ta n ö \
4 - — a r c t a n — =r=- 4- C
V3
^ v '3 y
dx
~ ~ 1 — r-x----------------------- ----- 5—
fl. a rc t a n (2 ta n x 4- 1 ) 4- C
c o s zx 4- 2 s e n x c o s x -t- 2 s e n 2x
f s e n 2x - 2 c o s 2x
J
8
/ v ' 3 ta n x ',
fl. 3 x — — a r c t a n ------ — — j -4- C
• v6
'v
v/2
J
5----------;------- d x
3 - c o s 2x
C S P n ^ Y 4- r n ^ ^ r
1 9 ‘ j V e n 2x - c o s 2x d *
f
20-
1 4- ta n x
" ln|sec 2 x + ta n 2x| - s e n 2 x
C
^------------------d x
1
1
ft. - I n | c s c 2 x — co t 2x| 4- - ta n x 4- C
2
2
s e n x ta n x
1
J 2 sen x c o s x
f
*
2L J s e n 3x — c o s 3x
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R~ 3
" 11 + C
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
E N T R E T E N IM IE N T O
1.
2.
dx
Jí -x J x—+ 1
f
V x2 - 1
x
x
dx
J x6 + 1
arctan x V3
----g----- ^ 12
3.
1
R. a r c s e n — I----------------- f- C
fx'¿ 4- V3x + 1\
1
1
+ 1 ) + g arctan(2* + v3) 4- -arctan(2x - VI) + C
(
( a rc s e n x +
,
vr^2
/ dx
x+2
dx
2x + 3
3 x 2 + l l x 4- 10
J v.
4.
X—
^
R. x a r c s e n x 4- C
¡2 x 4- 3
R. 2 a rc t a n j------------ (- C
x 4- 2
dx
í V
V 22xx - Vx 4- 4
R.
2Vx 4- 4 4- 2V2x 4- 4 V 2 ln
Vx - 2Vx 4- 4 4- 4V2I
x - 4
dx
6.
3V i
R. 3 a rc t a n x
J Vx
v x Vx (1 4- V x)2
1
4- C
c
4- Vx
I
7.
J e*(cotx-i-lnsen x)dx
8'
x ) f >1 X ~ ^ 2 dx
9.
10.
11.
12.
J (1
f
r. e* l n j s e n x¡ ■+• C
R.
| 4- C
6 e 4*
J í T ^
f Va —x
— ----- —dx
J Va - v x
R.
/ e o s x 4- e o s 2 x 4 -... 4- e o s ( n x )
r
v 4 + ex dx
- 2 e 3x - ? e Zx - 6 e x - 6 \ n \ e x - 1| 4- C
R. a a r c s e n —
a
s e n x 4- s e n 2 x 4- . . . 4- s e n ( n x )
f
1
• 4- — ln| 1 — x
4 ( 1 — x 4)
4
dx
2V a v a - x -
fl. - ■
n 4-
ia -x v x -r C
-ln cos
R. 2 ^ 4 4- e 2* + 2 ln
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88
\
-v/4 1- e x - 2¡
-I -1- C
V 4 -i-e * 4-2Í
INTEGRAL INDEFINIDA
3 x ~ ■+■
dx
R. in
2 V x ( 4 — 3 x 2) V 3 x 2 4- x — 4
S u g e r e n c ia : h a c e r ta n 0 —
V 3 x 2 + x - 4 4- V x
a/3 x 2 -
4
'JX
V3x2 - 4
x 2 dx
14.
J l 4 - X 3 4- 7 ( 1 + X 3)
!
|2 4- 3 x
X -
3
11
dx
fí. V 3 x 2 — 7 x — 6 H------ — In
7
x ------ 1-
7
x 2 ---- x — 2
6
^3
2 a/3
4- C
( x 4- l ) d x
16.
(2 x 4- x 2) a/2 x 4- x 2
\/2x 4- x 2
2*
17.
r
18.
1 4- 2 X
dx
1 — 4*
R - iIn 4r in
1 — 2*
x - Vx - 2
------------
d r
J x2 ~ ^ ( x - i y
R. - l n | ^ x — 2 4 - 1| 4- — ln|(x - 2 ) 2/3 - (x - 2 ) 1/3 + £|
1
(2 W = 2 -l\
------ ■= arctan --------- = ------- | 4- C
4V7
V
V7
(4 4- x 2) 1/2
dx
( 4 + x 2) 1/2
I
/?. x - 5 In
4- x
25
----- = l n
1
20.
dx
j
/7 — V 3 ta n
V21
R. e ^ ¡4x 3/4 - 1 2 x 1/2 4- 2 4 x 1/4j + C
r 1
1
21. —=• s e n - d x
j xJ
x
22.
f
I
J \Vx
a rc ta n
-dx
- a
1
1
/?. - c o s —
x
x
1
s e n - 4- C
x
R. yj x ( x - a) ■+• a i n j v x 4- v * - a| -1- C
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
24.
I
xV l - x
dx
I — ■
4T=x
fl. - V 4 x 2 - 1 2 x +
7
8 - l ( 2 x - 3 ) V 4 x 2 - 12x + 8 O
.
_______________
- - l n 2x — 3 4- V 4 x 2 - 1 2 x + 8 + C
O
I
I
dx
/?. V 2 ln j s e c ^ + t a n ^ | + C
■ í V i + cosx
a rc se n V 2 x
26.
|
rfr
R. V 2 x - ( a r c s e n V 2 x ) ( V l - 2 x ) + C
i': V 1 - 2 x
27.
,'4* + l
I
|—
n
d*
R . x - 2 ln | 2 * + l| + C
m + x
--------- d x
/?. y j mx + x 2 + m l n ( V x + 4 m + x ) + C
-> 3 /2
V i — x2
29.
/
a rc se n x d x
x “1
'
s e n 2x d x
30.
31.
íi
(1 — x )
a rc se n x
1
ln x
D _ _____
____________________
, f*
*
3x3
( a + b \ 1/2
6x2
3
f yf a t a n x \
x
+ b c o s 2x
, 2a + x
1 ----------
/
x
la- x
I-------- d x
r ~z -------- r
u — x
R. V a 2 - x 2 - 2 a I---------- 1- C
ya + x
— x
■ / Vx + 1 - V x 2 + 1
dx
2
^
/?. - ( x + 1 ) 3/2 + - [ x V x 2 4- 1 + l n ( x + V x 2 + 1 )] + C
r
(x 2 - l)d x
1
33‘ J x V l + 3 x 2 + x 4
(Su&
/?. i c o s h - ^ ^ i l ^
u = x + -)
+ ta n h -1
3 + V5 ^
^arcse c ( 2 x 2 + 3 ) \
“ 1
34.
35.
J
V i
Va3 — x3
dx
.
)
+ C
2
/?. x a r c s e n (
|+ C
3
\ a 3/2
4 —x
/
2 + x
dx
i?. 3 arc co s ( ~ y —) + 3 V x 2 - 2 x + 8 4- C
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90
INTEGRAL INDEFINIDA
36.
dx
/ ( * + l ) V T + 3l T l F
R. fin
x + V i + 3x + 3 x 2
<S “8ere" “ : “ = I T Í
y usar binom ios)
1
(1 + 3x + 3 x 2) 3/2
•— ln
D
V i + 3x + 3 x 2
+ 1
/ 2 V l + 3x + 3X2 —x \
1
' v f arctan [ ----------- W x ----------- ) + c
37.
1 + V 2 sen x
J s e c x see 2 x d x
R. — ln
V2
38.
1
---- ln
2
1 - V 2 sen x
1 4- sen x
1 — sen x
+ C
x z + x 4- 2 + 2 y j x 3 4- x 2 4- x 4- 1 d x
2
1
/?. - ( x + 1 ) 3/2 4- - [x-\/l + x 2 4- ln ( x + y¡ x2 + l ) j + C
39.
dx
/?. V 2 a rc t a n
e* — 1
— ------- h C
(1 4- e * ) V e * - 1
se cx V se c2 x
40.
dx
a re s e n (ta n x )
R. ln | a rc s e n (ta n x)| 4- C
1 — eos x
41.
í I—
J Jcosa
■/ V T m
eosx
-d x , 0 < a < x < n
R. - 2 a re s e n | ------2a \ + C
co s-
-.dx
R. —
( 2 e * - 3 ) ( 1 4 - e * ) 2/3 4 - C
dx
■/
( c o s 2x 4- 4 s e n x - 5 ) e o s x
R. ln | (l - se n x ) 1/2( l 4- se n x ) 1/18(2 - se n x ) ~ 4/9| 4dx
/ e o s x V 2 4- s e n x
1
6 — 3 se n x
+ C
V 3 4- V 2 4- sen x
í?. ln | V l + sen x\ H----- — ln
4- C
1 2 a/3
-\¡3 — V 2 4 sen x
ta n x d x
■ / ( s e c 999x + l ) 2
R. ln|secx| - — -ln | se c 999x 4 - 1| 4- — — —
— ■— 4-C
999
9 9 9 ( s e c 999x 4- 1)
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91
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
r ____ ^
4 6.
____
J x 4 + a 2x 2 + a 4
1
x 2 + ax + a 2
x 2 - ax + a 2
/ aV3x ,
-i--------- = a rc t a n — -------- | + C
\a2 — x2
2 a 3V 3
47. D e te rm in e un p o lin o m io cuadrático P ( x ) tal que P ( 0 ) = 1 y P ' ( 0 ) = 0, de
f
P(x)dx
4 8 i. J x 17 l n ( x 2)
49.
R. P (x ) = - 3 x 2 + 1
se a u n a fu n c ió n ra c io n a l.
™ doque 1
, /lnx
dx
fl. 2 x 18
J t a n ( ln x ) G Íx
1
\ 1 8 ~ 324/ + C
R. x — 2 a rc t a n x 4- C
50., f |vV ri - r e o s x d x
R. — 2 V i + c o s x + C
e a da
1
K.
52.
i senh“1 -
K
53.
55.
56.
. x
R. x s e n h 1 —
a
dx
a
i ta n h - 1 - dx
J
a
I
R. x t a n h
rtCLX
R.
I x 2 a rcc o s - dx
a
I * 2 a rc ta n - dx
/
a
a
R. —
* *
r a rcc o s
I _______
j dx
'J
x2
+ C
X^
X Í7Y2
i?. — a rcta n ------- — + — ln (a 2 + x 2) + C
i
/ c o th -1 ©
a 2( 1 + a x )
Ä. — arccos - - - ( x 2 + 2 a2)s¡ a2 - x 2 + C
3
a
9
a rc ta n :
5 9I
: e ° t-C
J x 2 + a2 + C
x e ax d x
/
1 + x
| l n ( a 2 - x 2) + C
(1 + a * ) 2
57
58
\
1
x
6
6
x
1
a
2a
a rc ta n - + —
a
+ x
I n ------ r------ h C
x2
R. x c o t h -1 - + ^ l n ( x 2 - a 2) + C
a
2
_
1
x
1
a + Va2 - x2
R. —
a r c c o s - + - l n ---------------------- h C
x
a
a
x
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92
INTEGRAL INDEFINIDA
1 u ‘~‘
6 0 . ¡(x + s ^ r d x
w
+ C, u = x + V *2+ 1
2 J T + ~9
(co sx - sen x)
dx
/ ■ 5 + sen 2x
1
/ se n x + c o sx \
¿ " " “ I------ 2, ----- ) + C
B'
dx
i ( x 2 e o s 2a + x sen 2 a + 1)2
x cos a + sen a
: “i- C
eos 3a Vx2 cos2a + x sen 2a + 1
63.
f sech5x d x
J
1
3
R. — sech3x tanh x + - [sech x tanh x + arcsen(tanh x)] + C
64. / (tan x + s e c x )20 sec2x d x
dx
4
R• ö
65./
V (x - l ) 3(x + 2 )5
66 ■
67
(eos 2x — 3) dx
ícos4xV4
,
- cot2x
ñ . ---- tan x (2 + tan2x ) V 4 — cot2x + C
3
J
V( 1 + x 2)5
J:
-dx
,-------
R. ln ( x + V I + x ) 2 -
68
ix - 1
3 ^ -----x 4- 2
j- v'sen3(2x)
j
v ( i + * 2) 5
_ , —
5x5
J ( i + x 2y
- V
v i + x2
„„ -------------------- + C
3x3
4V2
r-
R . ----- — V c o t 5x + C
dx
s e n bx
Su ge rencia: hacer u = c o t x
' V i + X 8
>r
r.
dx
<>9. I ---------,13
f 3 i sen2x
7<)- J
-
(1 + x 8) 3/2
,„
-i- c
12x12
R. — Vtan5x(5 tan2x + 11) + C
dx
V21
7L Jí “cC oO sS J3x v s e n 2x
R.
93
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,_____
(tan2x + 5)Vtan x ■+■C
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
1 + s e n 2x
72./
V sen x
R. ---------- + C
dx
2 c o s 2x V s e n x
73.
co sx
,'Vx- 1 + V x - í
| --------------- r --------- d x
* J :
x - 2
e x( x 2 - 8)
e * (x + 2)
- ..+ C
x - 2
R■ —
75.
j e sen* ( s e c 2x - c s c 2x + c s c x ) d x
fi. efefl*(ta n x + c o t x ) -f C
,senh-1 jr
J e * enh_1* ( x V l T x 2 + i )
76
(1 + x 2) 3/2
77.
■dx
(1 + x 2) 3/2
x 2I n 2x ( l -r l n x )
| — — — y ~ --, / d x
•t- x ¿ Inr
ñ
f
i?, x ln x - a r c t a n ( x in x ) + C
e x:(( x + l1))
xex —1
R.
78, j _ i 42xv 22 d x
+ ea 2xx
-ln
2
xex + 1
C
e 3 x x 2 ^ x +
f■ e**
’ J ~1
79.
i .■„ . \ 2 ¿>2at
-t- x z e
ds
• / (1 + g Z a r c t a n * ) ^ + * 2 )
R. x e x — a rc t a n ( x e x ) -t- C
dx
ñ. a rc t a n ( e arctan* ) - r C
s e n x + xcos x
■ / (1 - x s e n x ) V - l + x 2 - x 2c o s 2x
82.
1 + xse n x
/?. - ....
- + r.
V x 2^ e n 2x — 1
:dx
x + 20
......d x
- - ...
y¡ (5 - 4 x - x 2) 3
R.
2x + 5
- + r
V 5 - 4 x - x 2
I n 2 ( 4 * + 2 (1+A:))
83.
dx
( 2X + 5 )V 5 - 4 2 * - 4 *
r
84
J e senx( c s c 2x - s e c 2x - c s c x ) d x
1 - 2 *
— ..
V5^ 4 2 ^ 7 4 7
+ a rc s e n
(2X + 2
l
3
. r
y ’1"
R. - e sen* ( c o t x + t a n x) + C
94
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INTEGRAL
DEFINIDA
2.1 S U M A T O R I A S
Sean m y n d o s n ú m e ro s enteros tales que
para cada i e 1, c o n m < i < n. E l sím b o lo
i
m < n y / una fu n c ió n d efin id a
m
¿=m
representa la su m a de los té rm in os f ( m ) , f ( m + 1), ...,/ (n ); esto es,
n
/ ( 0 = f { m ) + f ( m + 1) + / ( m + 2 ) +
+ / (n )
t=m
L a letra g rie g a S (sig m a ) es llam ada sím b o lo de la sum atoria, i es el índice o
variable, m es el lím ite infe rio r y n es el lím ite superior.
P o r ejemplo, si / ( i ) = i 2 , entonces
5
5
i2 = 22 + 32 + 42 + 52
^ T / (0 =
i-2
i=2
D e la m ism a m anera, si n > 1,
n
y
sen(¿j¡:) = se n x + s e n 2x + ... + se n nx
í= i
2.1.1 P R O P I E D A D E S D E L A S U M A T O R I A
n
1. a) ^
k = (.n - m + 1)/í , /c es constante
¿=m
n
b) ^
k = nk , k es co nsta nte
i= i
n
2.
n
fc . / ( i ) =
fey
/ (/ ) , k es constante
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II
3.
^
[/ ( i) ± g ( i )] = ^
¿~m
5 ( 1)
/ (i) ± ^
i=m
(P ro p ie d a d D istrib u tiv a )
i- m
n
4.
a) ^ [ / ( i ) - / ( ¿ - 1)] = f ( n ) - f ( m - 1)
(P ro p ie d a d T e le scóp ica )
:= m
n
b) 2 ][/(0 - /(£ - 1)] =
- /(O)
n
5-
a) ^
[/ (i + 1 ) - f ( i - 1)] = f ( n + 1) + / ( n ) - f ( m ) - f ( m - 1)
i~m
(P ro p ie d a d T e le scó p ica )
n
b) £ [ f ( i + 1) - / ( i - 1)] = f i n + 1) + / ( n ) - f { 1) - /(O )
400
E j e m p lo 1. C alcule el v a lo r de ^ ( V ¿ — V i — 1 + 4).
¡=5
S o lu c ió n
P o r la prop ie dad 3, se tiene
400
400
^ ( V 7 - V i — 1 + 4)
;= £
400
= ^ ( v '7 - Vt ;= 5
l ) -r
y
4
i= S
E n la prim e ra sum atoria, a plican d o la propiedad 4 -a para
/ (i) = V i , m = 5 y
n = 4 0 0 , se obtiene
400
^ ( V 7 - V i - 1 ) = (V 4 Ó 0 - v 4 ) = 18
1= 5
En
la se g u n d a sum atoria, a p lican d o
la p ropiedad
1-a para k = 4, m = 5 y
n = 4 0 0 , se tiene
^ 4
= ( 4 0 0 — 5 + 1 )4 = 1 5 8 4
Por tanto,
400
]T (V 7 - Vi - 1 + 4) = ^ ( V i - Vi - l ) + ^
4 = 18 + 158 4 = 1602
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96
INTEGRAL DEFINIDA
Ejemplo 2. Calcule una fórm ula p ara ^ [ ( ¿ + l ) 2 - (i - l ) 2].
S o lu c ió n
- i ;2
Si / ( i) =
2 , entonces / (/ + 1 ) = (t + l ) 2 y f ( i - l ) 2 = (¿ _ i ) 2 . p or tant0)
por la p ropiedad telescópica 4-b, se tiene:
n
^ [ ( ¿ + l ) 2 - (¿ - l ) 2] = (n + l ) 2 + n 2 - l 2 - O2 = 2 n 2 + 2n
1= 1
ó
n
^ [(¿ + l ) 2- ( i - l ) 2]) = 2n(n + l)
(a)
í —1 .
C 'om o (¿ + l ) 2 - ( i - l ) 2 = 4¿, reem plazando esta igu ald ad en ( a ) se obtiene
n
^
4i =
2n( n + 1)
1=1
D e esta parte se d educe una fó rm u la m u y conocida:
V 1.
n ( n + 1)
L 1~
2
í= i
E je m p lo 3. U sa n d o las prop ie dade s de la sum atoria, dem uestre que:
, V-
n(n + l)
,v V ,
1=1
c) ^
n(n + l)(2n + 1)
1=1
¿3 = n2(n + 1) 2
d) ^
,4 _ n ( n + 1 ) ( 6 n 3 + 9 n 2 + n - 1)
30
1=1
i= i
S o lu c ió n
a) V e r ejem plo 2.
b) C o n sid e ra m o s / ( i ) = ¿ 3 . U sa n d o la propiedad 5-b, se tiene
n
^ [ ( t + l ) 3 - (i - l ) 3] = ( n + l ) 3 + n 3 -
l 3 - O3
í=i
S im p lific a n d o en a m b o s lados y luego a plicand o las p ropiedades 3-b, 2 -b y 1-b
de la sum atoria, obtenem os
n
n
^ T ( 6 i 2 + 2 ) = 2 n 3 + 3 n 2 + 3 n <=>
Í=1
n
6 t2 +
1=1
n
<=> 6 ^
i= i
2 = 2 n 3 + 3 n 2 + 3n
1=1
n
í 2 + 2 n = 2 n 3 + 3 n 2 + 3n
i2 = 2n3 + 3 n 2 + n
6
¿= i
97
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
Finalm ente,
n ( n + 1 ) ( 2 n 4 -1 )
I
6
í=i
c) y d) Eje rcicios. Sug. para c): considere / ( i ) = ¿4 y use la prop. 4.
Z
a ( a n — 1)
a 1 = -------------- .
£= 1
a — 1
S o lu c ió n
A p lic a n d o la prop iedad 4 -b a / ( i ) =
n
n
^ ( a ‘ -
a '- 1 ) = a " -
a' y luego a plican d o la p rop ie dad 2, se tiene
■
n
1 <=> ^ T ( a ' - — ) = a " - 1 <=> ^ ( - -------- ) a‘ =
1=1
i= i
an -
1
/ (i)
la
i= i
Finalm ente,
V
i _
Z
a
a ( an ~ 1 )
(a-1)
n
E j e m p lo 5. D e te rm in e u n a fó rm u la p ara ^
se n kx.
k=l
S o lu c ió n
Para calcular la sum atoria de se no s o cosenos, se co n sid e ra co m o
c o fu n ció n de la fu n c ió n que aparece en la sum atoria y se a p lica la propiedad
telescópica 5-b. E n este caso,
n
f ( k ) = e os kx. A s í, se tiene
^ [ c o s ( k + 1) x —eos (k — 1) x] = cos(n + 1) x + eos nx — eos x — 1
k =i
U tiliza nd o las identidades trigon o m é tricas para c o s ( a ±
b) y sim p lifica n d o , se
sigue
n
^ ( - 2
se n x se n kx) = c o s ( n + l ) x + c o s n x — c o s x — 1
k =i
n
- 2 se n x ^
se n k x — e o s (n + 1 ) x + eos n x — eos x — 1
k= 1
Finalm ente,
z
c o s ( n + l ) x + c o s nx — e o s * — 1
se n kx = ---------------------- ----------------------------2 se n x
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98
INTEGRAL DEFINIDA
n
E jem p lo 6 . Halle una fórmula para ^
fc fe!
fc=i
S o lu c ió n
Si f ( k ) = ( k + 1)!, p o r la p ro p ie d a d 4 -a, se tiene
n
^ [(fc+ l)!-/c!] = (n + 1)1-1
k= 1
n
J][fc!(fc + l)-fc!] =(n + l ) ! - l
k=l
Finalm ente,
^fcfcl = (n + l ) ! - l
, „ r,
E j e m p lo 7. D e te rm in e u n a fo rm u la p ara
v -> t a n h l9 / c x
> --------------- .
Z_i sech 19 kx
k= 1
S o lu c ió n
Z
ta n h 1 9 k x
v~>
—
— = > s e n h 1 9 kx
k= 1
k=l
sech 19 kx
í-u
Se procede de m anera s im ila r a lo realizado en el ejem plo 5 para la fun ció n
trigonom étrica. S i /(/c) = c o s h 1 9 k x , p or la p ropiedad 5-a, se tiene
H
^
[c o sh 1 9 ( k + l ) x - c o s h 1 9 (fc - l ) x ] = c o s h 1 9 ( n + l ) x + c o s h 19 n x - c o s h 1 9 x -
1
k-1
n
2 s e n h 1 9 x ^ se n h 19 kx = co sh 1 9 ( n + l ) x 4- c o sh 1 9 nx — c o sh Í 9 x - 1
k=l
finalm ente,
n
V 1
co sh 1 9 (n + í ) x + co sh 19 nx - co sh 19 x - 1
> s e n h 1 9 k x = -----------------------------------------------------------------------Z -j
2 se nh 19 x
k =1
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99
TÓPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II
n
b k s e n ( x + ky).
E j e m p lo 8. H a lle u n a fó rm u la p a ra /? = ^
k= 1
Solución
A p lic a n d o la p rop ie da d 4 -a a f ( k ) = bk s e n ( x + ky ) , se tiene
n
s e n ( x 4- k y ) - ¿ k_1 s e n ( x +
(k - l ) y ) ] = b n s e n ( x + n y ) - s e n *
k=l
a
n
^
n
b k se n(x + k y ) —
^
b k s e n ( x + k y —y ) = a
fc=l_______ __________ k = l
P
1 n
P —— ^¡T &fc[ s e n ( * + /cy) eos y — se n y eos (x + /cy)] = a
fc=i
n
/c o s y \
s e n y v-»
-
( l - — J p -\—
-— ^
,
b k c o s ( x + ky) = a
(1 )
k = l ___________________ (
5
Para determinar (5 ), aplicam os el criterio inicial.
n
c o s ( x + k y ) - ¿?/£_1cos (x + (k — 1 )y ) ] = b n c o s ( x + n y ) — e o s *
k=l
^
n
S —— ^
¿ fc[c o s (x + k y ) eos y + s e n ( x + ky ) s e n y] = b n c o s ( x + n y ) - c o s x
k= 1
Luego,
se n y
b S = ------------ ( « ) + - ; ------------- [í>n eos ( x + n y ) — c o s x ]
o-eosy
o-eosy
(2 )
Finalmente, reem plazando (2) en (1) y efectuando las operaciones correspondientes,
obtenemos
b(b-cosy)
b 2 — 2¿cosy + 1
sen y (b n cos(x + ny) - eos x)
sen(x + ny) —sen x ---------b — eos y
100
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INTEGRAL DEFINIDA
E j e m p lo 9. D e te rm in e u n a fó rm u la para
^
ln(fe + 1).
k=1
S o lu c ió n
D e sa rro lla n d o la sum ato ria y a plican d o las p ropiedades del logaritm o, se obtiene
n
^
ln(fc + 1) = ln 2 + ln 3 + ... + In n + ln (n + 1)
k =l
= ln [2 .3 .....n. ( n + 1 )]
= ln [ ( n + 1)!]
E J E R C IC IO S
Determ ine una fó rm u la para cada una de las siguientes sum atorias.
n
1. ^ ( V 2 i + 1 - -y/2i - 1)
R. y/2n + 1 - 1
= 1
Í: =
1
100
I
k= i
ln( ¡ d h )
n
R- - ' " ( 5151>
4
4n
3- kI- 1 (4 fe - 3)(4fe + 1)
R.
' 4n + 1
Sugerencia: d e sc o m p o n e r en fracciones parciales a:
4
■I
k= l
Z
/í = 1
2k + 3k
4
(4fc - 3)(4fe + 1)
3
6k
1
'2
2 .3n
2 k + fe(fe + 1)
2 ^ " (fe2 + fe)
e fc + 2
1
R. 1
'
2"
1
1
2n + 2
2 n_1
e
k~ 1
101
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3 n - e'1
T O P IC O S D E C Á L C U L O - V O L U M E N II
n
7.
Y
2 ?i + 1
fl. 3
—
?i(n 4- 1)
k= 2
8.
^
V/c + i - Vfc
v ’n r 1 -
V F T T
fc=i
1
y 'n + 1
il
9.
1
¡i =1
n 2 + 3n + 3
R.
(/c + l ) ( / c 2 + 5/c 4- 6 )
2 (n + 2 ) ( n + 3)
n
10
I
( k 4- x ) ( k + x + 1 ) ( k + x + 2 )
n ( 2 x + n + 3)
fí.
2(n +
11
l ) ( n 4- x 4- 2 ) ( x 4- 2 ) ( x 4- 1 )
1
/?.
Z i ln k k [\n(k + l ) ^ 1]
2 ln 2
k=1
12
a : 4-
( n 4- 1 ) l n ( n 4- 1 )
2k + 1
I
fe=i
n ( n + 2)
R. ------------ -
k 2(k + l ) 2
(n + l ) z
U
13
s e n 3 ( n + l ) x 4- s e n 3 n x — s e n 3 x
^
R.
co s(3 kx)
2 sen 3x
/¿=i
2 6 9 / 1 0 2n -
14.
A
15.
fe = l
V I O ''
1
R.
1 00 '= /
999 V
R.
+ 6k -f 4
1 0 2n
4 (n 4- 2)
100
16.
^
s e n 2/c( 2 x )
/?. t a n 2 ( 2 x ) (1 - s e n 2002 x )
k~l
100
17.
/?.
fc=i
102
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16
1
1
16(5")
5 98
IN T E G R A L D E F IN ID A
8ì.. ^>
k xx K~'
k 1
n x n+1 - ( n + l ) x n + 1
fi.
ix
fc=l
II
5 k s e n ( 5 k - x)
19. ^
k=l
R.
n
20
5[(5 —cos 5)(5n sen(5n —x) + sen x) + sen 5(5n cos(5n —x) —cosx]
4(13 —5 cos 5)
r
16 csc kx
; c o"t 5/ex s e" e 9k x
I
k=1
4[sen(2n + l)x + sen(2ruc) —sen 2x]
sen(2x)
[sen 4(n + l)x + sen(4nx) —sen 4x]
sen 4x
R. 6n + -------------------------— — ------------------------+
1e h - [3 s e n a c o s a ] k
21.
Z :
3k
k=l
e [(3)
sen 2 a [(s e n a co s a ) n - 1]
~ l]
e - 3
"
1
se n (2 a ) - 2
0
1
!- Z 2 4 + l Qk - 2 5 k 2
^
k=l
5
4
fi. ( n - l ) 2 n+1 + 2
k 2k
23. ^
1
5n + 4 + 5n - 1
k=i
\
n
24. ^
c o s 2k 3;c
fi. c o t 2 3 x [ l - c o s 2n ( 3 x ) ]
k=l
2 5 - Z l o g „ r 2 2k ) l o g „ r 2 2k+2ì
k=l
26.
V 1. - ,-------- nfc
> [V à T x ]
k=l
(lo g ^ v G
2( n + l ì )
V 3 + x [ ( 3 + x ) n/2 fi. 1
V3 + X - 1
103
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l]
J
TOPICOS DE CALCULO - VO LU M EN II
2.2 C Á L C U L O D E L Á R E A D E UNA R E G IÓ N P L A N A P O R S U M A T O R IA S
2.2.1
PARTICIÓN DE UN INTERVALO CERRADO
Definición 1. Sea [a ;b ] un intervalo cerrado. Una partición del intervalo [a; b]
es el conjunto P de puntos Xo,x1(x2, - . x n; con a = x 0 < x v < x 2 ... < x n = b.
Se denota con P - {x0, x v x 2, ..., x„}.
Observación 1
i)
Toda partición P de [a; b] divide en n subintervalos a l intervalo [a; b],
ii) La longitud de cada subintervalo
con Atx = x, —
. Se verifica
[x¡„1; x t\, p a r a i = 1,2, ...,n , se denota
n
y A¿x - b - a
(.=1
iii) Se llama norma o diámetro de la partición P al número
||P|| = m áx{A iX /
i = 1,2, ...,n }
iv) Cuando el intervalo [a; b] se divide en n partes iguales, la longitud de cada
subintervalo es
Ax =
b —a
n
En este caso, los extremos de cada subintervalo son
x Q = a , x x - a + A x , x 2 = a + 2 A x ,..., x¡ = a + ¿ A x ,..., x n = b
2.2.2 A P R O X I M A C I Ó N
D E L Á R E A D E U N A R E G IÓ N P O R Á R E A S D E
RECTÁNG ULO S
Se a / : [a; b] -> R
n egativa
región
una fu n c ió n contin ua y no
(/ (x ) > 0)
plana
en
[a;b]. Se a R la
p or
las
lim itada
gráfica s
de
y = / ( * ) > las rectas x — a , x — b y el eje
x
(llam a da re g ió n b a jo la g r á f ic a de / de a
h a sta b) (fig. 2 . 1).
Se a P = { x 0 , x 1, x 2, ...,xn } una p artición [a; b].
P o r la co n tin u id a d de /
en [ a ;b ], p od em os
elegir un co njun to de puntos
u t , u 2, —, u n, de
tal m anera que / ( u ¿) sea el v a lo r m ín im o de /
en [ x i - i j x j ,
i = 1 , 2 ,..., n.
104
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F'9' 2-1
INTEGRAL DEFINIDA
A si, c o n stru im o s n re ctán gulos cu ya s bases son lo s su b in te rva lo s de P y cu ya s
respectivas alturas so n / ( u 1) , / ( u 2), . . . , f ( u n). L a s áreas de estos re ctá n gu lo s son
/ ( i í J A j X , / ( u 2) A2x , . . . , f ( u n)A nx respectivam ente.
I.os n re ctán gulos co n sid e ra d o s form an el llam ado polígono rectangular inscrito
en R (fig. 2.2). E l área de este p o líg o n o lo denotam os con / ( P ) , es decir,
71
K p ) = ' Y J f ( M i) A ix
¡=i
D e m anera sim ilar, e le g im o s
v x, v 2, ..., vn en los n su b inte rva lo s de P, de m odo
que / '( v ¿) es el v a lo r m á x im o de f en [ x ^ ^ x i ] , i = 1 , 2 , ..., ?i, y c o n stru im o s los
n rectángulos cu ya s bases s o n los su bin te rvalo s de P y cu ya s alturas respectivas
son f ( v 1) , f ( v 2) , . . . , f ( v n).
Kl p o líg o n o rectangular fo rm a d o por estos n rectángulos está circu n scrito a la
región R (fig. 2.3) y su área, denotada por C ( P ) , está dada porn
C(P ) = 2 J f ( v ¡)Aix
¡=i
D a d a s d o s p articiones
/\ y
P2. S i / ( P J es el área del p o líg o n o inscrito y C ( P 2)
es el área del p o líg o n o circunscrito, se verifica
l ( P \ ) < C ( P 2) para toda partición P1 y P 2 de [a; b]
(I)
Sea L el conjunto de todas !as áreas de los p o líg o n o s rectangulares in scritos en R,
es decir,
i = { / ( P ) / P e s p a r t ic ió n de [a; b ]}
y U el conjunto de todas la áreas de los p o líg o n o s rectangulares circ u n sc rito s a R,
esto es,
U = ( C ( P ) / P e s p a r t ic ió n de [a; b ]}
105
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN U
C o m o cada nú m e ro del conjunto L es m enor o igual que cua lq u ier n ú m e ro del
conjunto
U (p o r I), entonces L es acotado superiorm ente y U es acotado
inferiorm ente. P o r lo tanto, existen
= s u p ( L ) y As = in f (U)
P o r d e fin ició n de ín fim o y de suprem o, se verifica
/ ( P ) < A¡ < As < C(P), d e d o n d e A¡ < As
P or lo tanto, el á re a i4 de la re gió n R (fig. 2.1), si existe, debe estar entre A t y As ,
es decir, A ¿ < A < As
Se dem uestra m ás adelante que A¡ = A¡. Lu e go , se puede d e fin ir el área A de la
región R co m o
A — A¿ — As
T a m b ié n
se dem uestra que si
t1( t2, —, t n
son
puntos e le g id o s en
los n
subintervalos, es decir, t¿ E [xi_ 1; x¡], i = 1 , ...,n; entonces
(10
Observación 2
i)
Considerando la parte (iv) de la observación 1, si cada t¿ es el extremo
derecho de cada subintervalo (t¡ = a + ihx, i = 1 ,2 , . . . n ) y teniendo en
cuenta que ||P|| -> 0 <=> n -* oo, entonces (II) pu ede ser escrito como:
( III)
do n d e Ax =
b —a
,
= a + ¡A x , i = 1, ...,n
n
(Esta fórm u la es un caso particular).
ii) Si cada t¿ es el extremo
t ¿ = a + (i - l ) A x ,
izquierdo de cada
i = 1,..., n
subintervalo.
entonces
E je m p lo 10. P o r rectángulos inscritos, calcule el área de la re gió n Rlim itada p or
las gráfica s de y = x +
1 , * = 0 , x = 3 y el eje x.
S o lu c ió n
f ( x ) = x + 1,
a = 0 y b = 3. C o m o / es creciente en [0; 3], / presenta m ín im o en el extrem o
L a grá fica de la re gió n se m uestra en la Fig. 2.4. E n este caso,
izq uie rd o de cada subintervalo, es decir,
t¿ = a + (t — l) A x ,
3 -0
3
i = 1 .... n , d o n d e A x = ---------= —
n
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106
n
INTEGRAL DEFINIDA
Kntonces
3
3
3
t¡ = 0 + (/ - 1 ) - = - i -----y
n
n
n
3
3
n
n
f ( t i) = t i + l = - i + l -------- .
l’or tanto, utilizand o la fó rm u la dada en la o b se rv a c ió n 2 y la su m a to ria de i,
leñem os
A = lim
n-»co
= lim *->oo /n
Fig. 2.5
E je m p lo 11. P o r re ctángu los circunscritos, calcule el área de la re gió n R lim itada
por las gráfica s de y = x 2 , x = 3 y el eje x.
S o lu c ió n
l;.l g rá fico de la re gió n R se m uestra en la fig. 2.5. A partir del gráfico, se deduce
que a = O , b = 3 y, p o r tanto, Ax = 3/n .
C o m o / es creciente en [0; 3], / tiene v a lo r m á x im o en el extrem o derecho de
cada intervalo. A s í,
t¡ = a + iAx ó ti = - i
y f(ti) = — i2
Lu e go ,
A =
limI-YV
n-*co \ n Z - i n ¿
i= i
27 n(n + l)(2n + l)
n-*co \ u
J
n-*co \ j l '3
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£
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN 11
E n los e jem plos que siguen, no se tendrá en cuenta los re ctá n gu lo s inscrito s ni los
rectángulos circunscritos. L o s puntos
derechos de lo s subintervalos.
Ejem plo 12.
serán co n sid e ra d o s c o m o lo s extre m os
C a lc u le el área de la región R lim itada p o r las gráfica s de
y = 3 + x + x 3 , x = — 1, x = 2 y el eje x.
Solución
a = — 1, b = 2 , f ( x ) = 3 + x + x 3
3
Ax = — ,
3
ti = —1 + — i
n
n
12
y
27 „
27
/(t,) = i + Ir¿ - - t í 2
Para calcular el área de la región (F ig. 2.6), se tendrá en cuenta la su m a to ria de i,
de t 2 y de i 3.
A = lim
3 ^ /
12
27
27 \
- )
1 + — i - — i2 + — i3
n-* oo n ¿ j
¡= i
\
n
n2
[3 f
12
n ( n + 1)
n
n
2
3
1 + 6
r?
27
)
n (n + l) (2 n + 1)
27
= lim
— n H --------------------------- -------------------------------1- —
= lim
n-*oo
b
n 2 (n + l ) 2
----------------4
5 7
Fig. 2.6
2
Fig. 2.7
Ejem plo 13. C a lc u le el área de la re gió n R lim itada por las gráfica s de y = e x.
x = O , x = 1 y el eje x.
Solución
La re gió n se m u e stra en la Fig. 2.7. La lo n g itu d de cada s u b in te rv a lo es A x = — ,
1
ti = ~ i Y f(t ¡) = en
h
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108
71
IN T E G R A L D E F IN ID A
I n este caso, u sare m o s el resultado obtenido en el ejem plo 4 para a =
1
A = lim — / en
n L- a
lim
n-»cn
e l/ n [ (g l/ n y l _ j y
= lim
,1¡n _ ]_
n—
»co
1
e n (e — 1 )
n
e 1/11 — 1
A sí,
1 ,1/n
= (e - l ) l i m
n
= (e - 1 ) u 2
- e l/n
(*)
x e
( * ) Se hace el ca m b io de va ria b le x = — => lim
= lim — — - = 1.
n
n->oo e 1/n — 1
x->o e x — 1
( A l aplicar la R e g la de L ’H ó p ita l al ú ltim o lím ite)
E je m p lo 14.
C a lc u le el área de la re gió n bajo la gráfica de
f{x) = se n *
10; 7T/2J.
S o lu c ió n
L a gráfica de la región se m uestra
en la Fig. 2.8. A s í, tenem os
n
= s e n ^ ¿.
TT V “ *
TI
n-*-»oo 2 n jLu
2n
lim
—
> se n —
í= i
= lim
n-*oo
= lim
i
71 i 1 + c o s £ ) - cos ( n S
2n
- cos (n +
i
(**)
2sen®
1 + cos (ín ) “ cos (§) ~ cos
se n
(s )
[1 + 1 - 0 - 0 ]
■
(s )
( * * ) Se u sa el resultado del ejem plo 5 para x = n ¡ 2 n .
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109
W )
.
1u 2
en
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
E je m p lo 15. C a lc u le el área de la región bajo la cu rva y = s e n h x en [0 ; 1],
S o lu c ió n
L a región R se m uestra en la fig. 2.9.
/
Se tiene
1
1
Ax = - , t ¿ = - ¿
n
n
A = lim
y
/ ( t í) = se n h
y - senhx
(\ \
-¿
\n J
7
í É senhG i)
n-> co
1= 1
Fig. 2.9
i
lim
1
c o s h ( n + 1 ) — + c o s h ( n ■—^ — c o s h i
v
Jn
\
nJ
n
n->cc
2 Se „ h ( i )
c o sh ( l + i ) + co sh 1 — co sh ^ — 1
- lim
2 c o s h ( l) - 2
n-*co
E je m p lo 16.
(c o s h (l) - l ) u 2
C a lc u le el área de la región lim itada por las g rá fica s de y = 2\¡x ,
eje x, y x = 9.
S o lu c ió n
Para
evitar
la
su m ato ria
de
la
ra íz
cuadrada,
to m a m o s
com o
variable
independiente a la variable y , es decir, / ( y ) = y 2 / 4. L a re gió n está lim itada por
las curva s / ( y ) = y 2 / 4, .9 ( y ) = 9, las rectas y = 0 c y = 6 (fig. 2.10).
•El área del i-é sím o rectángulo es [g(Zi) - / ( z , ) ] A y .
P o r tanto, el área de la re gió n está dada p or
110
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INTEGRAL DEFINIDA
^ = *im
4 AyZ ^ (zí)- /(z4
d o n d e A y = £ , z i = 0 + iA y = ^ i ,
n
n
g ( Zi) = 9 y f ( z ¡ ) = Í ( - A
4 \rc )
9
(.orno g ( z , ) - f (z¡ ) = 9 - — i 2, se tiene 4 = lim
n-* oo
n*-
6V ( 9
- )
ruL-¡
= ~ i
n¿
9
= 3 6 u 2.
----- - i 2)
n-
E J E R C IC IO S
i:n cada uno de lo s e jercicios siguientes, encuentre el área de la re gió n lim itada
por las cu rva s dadas.
1. y = ( x - l ) 3 , x = 3 , x = 8 y el e j e *
R. 2 3 8 5 / 4 u 2
2 . y = x 2 , x = 0 , x = 2 y el eje x
R. 8 / 3 u 2
3. y = 4 - x 2 y el eje x
R. 3 2 / 3 u 2
4. y = 4 - |x|, x = - 4 ,
x = 4 , el eje x
R. 8 u 2
5. y = 2 v x , eje x , x = 0 , x = 4
R. 3 2 / 3 u 2
6 . y = x 3 , x = - 1 , x = 1 , eje x
R. 1 / 2 u 2
7. y = 1 2 - x 2 , e j e x , x = - 3 , x = - 2
R. 3 0 5 / 6 u 2
8 . y = 2 - '! * ( , e j e x , x = - 2 , x = 2
R. 4 u 2
9. y = x 2 , y = 4 - 3.x2
/?. 1 6 / 3 u 2
1 0 . y = m x , m > 0 , eje x , x = a , x = b , c o n 0 < a < b
R11. y = x 2 - 2 x - 1 , eje x , x = 1 , x = 4
m ( ¿ 2 - a 2)
------- V
• 2
/13V2
"■ l
3
\
- 4j "
4
12. y = 3 x - 3 x ‘ - - x 3 , eje x , x = 0 , x = i
/?. 1/6 u 2
13. y = c o s h x , x = 0 , x = l ,
e je x
ñ. s e n h ( l ) w 2
, e je x
/?. 2u
•
14. y = e o s x , x =
n
n
x = -
15. 4 y = ( x t _ 4 ) 2 , 4 y = ( x + 4 ) 2 , 4 y = - ( x - 4 ) 2 , 4 y -
-(4 + x)2
K. 6 4 / 3 u 2
16. y = 3 x 2 , y = - 1 - 3 x 2 , x = 0 , x = 3
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111
R. 5 7 u l
,
TÓPICOS DE CALCULO - VOLUM EN 11
2.3 S U M A S U P E R IO R Y S U M A IN F E R IO R
En
esta se cción
y
en
las
siguientes, hasta la se cció n
2.10,
co n sid e ra da s están d efin id as en un intervalo / = [a; b], co n a <
Definición 2. S i P x y P 2
refinam iento de P x cuand o
las
fu n c io n e s
b.
so n d o s particiones de /, se dice que P 2 es un
c P 2 , Se com prueba fácilm ente que si P 2 es un
refinam iento de Pj , entonces ||P2 || < H H .
Definición
3.
Sea
u na
fu n ció n
acotada
en
/ = [a; b]
y
P = { x 0, x 1, ...,xn } una partición de /. C o n I¡ denotam os al j-é s im o su b in te rva lo
de /, es decir, l¡ = \xj_x)Xj\, j = 1 ,
C o m o / es acotada en ¡ , existen m¡ y Mj tales que
m¡ = i n f { / ( x ) / x e Ij } ; M¡ = s u p { / ( x ) / x G !¡}
Se cum ple: m¡ < / ( x ) < M¡, V x £ I¡, j = 1,2, ...,n.
D e fin im o s:
a) L a s u m a in f e r io r de / para P , que se d esigna con S ( / ; P ) , se define c o m o
n
n
S(f; P ) = ^
m j( x j - xH 1) = £
7=1
m ; Ayx
7=1
b) L a strm a s u p e r io r de / para P, que se denota con 5 ( / ; P ) , se define c o m o
n
S(/ ;P ) = ^ M , A , x
j'= l
E j e m p lo 17.
Se a / ( x ) =
k
la fu n c ió n constante d e fin id a en
/ = [a; b}. L a
gráfica de la fu n c ió n se m uestra en la fig. 2.11. Se tiene
n
n
S_(f. P) = ^
kAjX = k ^
áj-x = k(b - a), donde k = inf{/(x) /
xe //}
■ • 7= 1
n
S (f,P ) - ^
n
fcA/X = k y
A , x = k ( i - a ) , d o n d e /c = s u p { / ( x ) / x E /,}
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112
Fig. 2.11
Fig. 2.12
INTEGRAL DEFINIDA
(
E je m p lo 18. S i f ( x ) = x , x e 1 = [a ;b ], entonces
n
£ (/ .p ) -
l¡],j = 1 , 2 , , n
* j - i A j x , d o n d e xh x = in f { / ( x ) / i e
j=i
n
= ^ ]x jA jX , donde
j~ 1
= s u p { / ( x ) / x E 1¡},¡ = 1 ,2
I ;i gráfica de la fu n c ió n se m uestra en la Fig. 2.12.
I.jc m p lo 19. C o n sid e re m o s " l a fu n ció n de D iric h le t”
c, s
( 1 , s i x es ra c io n a l
,
lo , si x es irra c io n a l 1 x e
l’ara cua lq u ier p artición
r
~
,
]
P se ve rifica que m¡ = 0 y M¡
= 1 , j = 1,2, ...,n.
Luego,
n
S( f , P) = Y
n
¡= i
2.3.1
l . A ;x = ¿ - a
O.A; x = 0 y 5 ( / , P ) =
j= i
S IG N IF IC A D O
IN F E R IO R E S
G E O M É T R IC O
D E L A S S U M A S S U P E R IO R E S E
L a s su m a s su p e rio r e in fe rior p oseen una interpretación geom étrica sim ple.
L n p rim e r lugar, a n a lice m o s el sig n ific a d o del producto hjAjX,
d on d e h¡ es
nij
ó Mj y Aj'x es la lo ngitu d del su bin te rvalo Ij = [ x j ^ x j ] .
S i hj > 0 . entonces hjAjX es num éricam ente igual al área del rectángulo de base
/, y altura
h¡. S i h¡ = 0 , entonces hjAjX = 0; y si hj < 0 , entonces hjA¡x es
num éricam ente igu a l al op ue sto del área del rectángulo de base ¡¡ y altura - h¡.
P or esta razón, al n ú m e ro
hjAjX
rectángulo cu y a base es Ij y altura es
lo d e n o m in a re m o s á re a a lg e b r a ic a
del
\hj\ , es decir, el área alge b raica es p o sitiva
si el rectángulo esta sob re el eje x y negativa, si está debajo de eje x.
lin la se cció n 2.2.2 (fig u ra s 2.2 y 2.3), v im o s que cu a n d o / es no n e ga tiva en /,
S_(f>P) y S ( f . P ) (que den o tam os p or I {P ) y C ( P ) ) son, respectivam ente, las
áreas de lo s p o líg o n o s rectangulares inscrito y circ u n sc rito a R, don d e R es la
re gió n lim ita da p or la s grá fica s de / , las rectas x = a , x = b y del eje x.
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113
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
E n las fig u ra s 2.13 y 2.14 se m uestran, respectivam ente, S ( f , P ) y S ( f , P ) $ m a
una fu n ció n que no necesariam ente es positiva.
L a c o n d ic ió n de que / esté acotada en / = [a; b] es esencial para que existan los
valores m¡ y M¡ . E sto s n úm e ros se definieron c o m o los ín fim o s y su prem os, en
ve z de m ín im o s y m á x im o s (co m o se h izo en la se cció n 2 .2 .2 ), y a que en esta
op ortu nid ad no se e x ig ió qug / sea continua.
2.3.2 P R O P I E D A D E S D E L A S S U M A S S U P E R I O R E S E I N F E R I O R E S
C o m o / es acotada sobre /, existen m y M tales que
m = in f { / 0 ) / x E I }
y
M = s u p { / 0 ) / x E /}
P r o p o s ic ió n 1. Se a / una fu n c ió n acotada i'n
una p artición de /. En ton ce s
/ = [a ;b ]
y P =
[ x 0,x-i.
..., x n }
( 1)
m ( b - a ) < S ( f , P ) < S ( f , P ) < M( b - a )
D e m o s t r a c ió n
Se tiene
m < m , < Mj < M. M u ltip lic a n d o to d os io s té rm in os p o r A ¡x > U
su m a n d o las re la cio nes obtenidas para j = 1 ,2 ,..., n , ob tenem os
n
^
n
mAjX <
7= i
7=i
«
m X A¡x j =i
n
nijAjX < ^
;= i
n
Mj Aj X <
MA¡x
ó
j= i
n
ajx
j= i
n
C om o ^
Ayx = b - a, e n to n ce s m ( b - u ) < 5 (/ , P ) < 5 (/ , P) < M (b - a).
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y
INTEGRAL DEFINIDA
P r o p o s ic ió n 2.
S i / es una fu n c ió n acotada en /, y Px y P 2 so n d o s particiones
de I tales que P2 es un refinam iento de Pr , (Pt c P2), entonces
‘0 •!(/. Pi) < S ( f , P 2) y
b)
S ( f , P x) > S ( f , P2)
S i P2 — / \ tienen r puntos, entonces
í ( f , P 2 ) - S ( f , P í ) < r ( M - m ) \ \ P 1\\
S(f.P1)- S if , P 2)<r^M-m)\\Pi\\
D e m o s t ra c ió n (se deja co m o ejercicio para el lector).
P r o p o s ic ió n 3. Se a /
una fu n c ió n acotada en /,
y P x y P2 d os p articiones
arbitrarias de /. E n to n ce s
•
S ( / . P 1) < 5 ( / . P 2)
(2)
D e m o s t ra c ió n
Sea P — P1 U P2. C o m o Pt c P y
Stf.PjlZSif.P)
y
P2 c f ,
p o r la p ro p o sició n anterior, se tiene
S ( f , P ) < S ( f , P 2)
Por la p ro p o sic ió n 1, se tiene S J J .P ) < S ( f , P ) . L u e go .
S ( M ) < S ( f , P 2)
2.4 I N T E G R A L E S I N F E R I O R E S Y S U P E R I O R E S
D e n ote m o s con D al conjunto de todas las particiones p o sib le s de l. S i f
acotada en /, la d e sigu a ld a d (1 ) es verdadera para todo P e D y
{S(f,P)
conjunto
\S(f,P)
/
P eo)
D e fin ic ió n 4.
/■ P 6 D)
es
acotado
superiorm ente
es
a segu ra que el
v - el
conjunto
es acotado inferiormente.
S i / es una fu n c ió n acotada en /, el nú m e ro s u p { £ ( / , P ) / P 6 D}
se d e n o m in a integral in fe rio r de / en / y se in dica c o m o
]_=
f f(x)dx =
s u p (S( f , P ) / P e D]
Ja
E l nú m e ro
i n f ( S ( f , P ) / P e D)
se d e n o m in a integral su p e rio r de f en / y se
indica co m o
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115
TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II
2.4.1
P R O P IE D A D E S
DE
LAS
IN T E G R A L E S
S U P E R IO R E S
E
IN F E R IO R E S
S i / es fu n c ió n acotada en /. entonces
_
]_ < J
2.
rb
ó
rb
I f{x)dx <
I f{x)dx
Ja
Ja
(3 )
S i / es fu n c ió n acotada en /, entonces
m { b - a) < ) _ < ] < M( b - a)
3.
(4 )
d ond e m = in f { f ( x ) / x E 1}
y
M = su p { f ( x )
S i / es acotada en /, existen q
y c 2 E I tales que
¿ = f ( c - j ( b - a ) y / = / ( c 2) ( ¿ - a )
de m o d o que
(5 )
< f ( c 2) < M.
m< / (q )
4-. S i / es acotada en / y
/ x E /}.
cE ( a ; b ) , se tiene
'•O
pC
rO
f(x)dx = j f(x )d x + I f{x)dx
Ja
í
b
rC
rb
f(x)dx = J f(x)dx + J f(x)dx
2.5 I N T E G R A L D E R I E M A N N
D e fin ic ió n 5. Se dice que una fu n c ió n acotada f : ¡ - > K
es in te g r a b le R ie m a n n
en / si
rb
J = [ f(x)dx = í f (x) dx = f f(x)dx
*'a
Ja
Ja
P o r sim p licid a d , se llam a in te g r a l de / s o b re / o in te g r a l d e fin id a de / s o b r e /
o
in te g r a l de / de a h a sta b.
En
j
f ( x ) d x , el sím b o lo
j es
lla m a d o sím b o lo de in t e g r a c ió n .
Este sím b o lo , que es una S alargada, fue in trod u cido p o r L e ib n iz para representar
la sum a, que p ro v ie n e de la palabra latina “ su m m a ” . A d e m á s, f ( x )
es el
f { x ) d x es el elem ento de integración, el n ú m e ro a es el lím ite
inferior y b es el lím ite superior. L a variable x n o tiene sig n ific a d o especial, ya
integrando,
que
í
Ja
f f á d x = í f ( z ) d z = í f ( t ) d t = í f ( y ) d y - í f{u)du
Ja
Ja
Ja
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Ja
etc.
INTEGRAL DEFINIDA
l'.jcin p lo 20.
Se a f ( x ) = k
la fu n c ió n constante. P o r el e je m p lo 16, p ars
/ = [a; b] se tiene S ( f , P ) = S (J , P = k ( b — a ).
Enton ce s J = ] = k ( b — a ). P o r lo tanto, / es integrable en [a; b] y se tiene
rb
J
Ja
k d x —k(b - a)
E je m p lo 21
(fu n c ió n
no
integrable). C o n sid e re m o s
la fu n c ió n
de
D irich le t
/': [0; 1] -» IR, d e fin id a p or
x e s ir ra c io n a l
x es ra c io n a l
Para cualquier partición P de 1 = [0; 1] (ejemplo 19), se tiene:
S(/ ;P ) = 0
y
5 (/ ;P ) = l
Entonces 7 = 0 y J = 1 y, por tanto, / no es integrable en ¡.
Observación 3. Interpretación geom étrica de la integral definida de una función
continua f en [a; b].
De la interpretación geom étrica de las sumas superiores e inferiores (secc. 2.3.1),
deducimos que si R es la región plana limitada p o r las gráficas de f , las rectas
X = a , x = b y el eje X, y /4(fl) representa numéricamente al área de la región
R; entonces
a) Si f ( x ) > 0, V x 6 [a; b ] , A(R) =
f f(x)dx
*a
b ) Si f ( x ) < 0 , V x e [a; b] ► - A(R) = f f ( x ) d x
JQ
c ) Si al n ú m ero I f ( x ) d x lo lla m a m o s área a lg e b ra ic a , p a r a una f u n ció n
Ja
arbitraria f continua en [a; b], esta integral definida de f en [a; b] representa
la suma de las áreas algebraicas de las regiones determinadas p o r la gráfica de f
y el eje X, desde x = a hasta x = b.
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T O P IC O S D E C A L C U L O - V O L U M E N II
E je m p lo
22.
La
gráfica
de /
consta
de
se gm e n tos de recta y una sem icircunferencia,
ik
co m o se in d ica en la fig u ra adjunta. Halle:
4
a)
í / ( x ) d x b)
Jo
J -6
“6
c)
f
/ (x )d x d)
f
y
V
| / (x )| d x
•'-6
y
*
5
¿ x
/■
/ *
/ !
i\
i\
i \
í f(x)dx
i
i
!
-4
J-6
e) E l área de la re gió n lim itada por la gráfica
de / , el eje x y las rectas x = —6 y x = 8 .
S o lu c ió n
a)
C o m o el área del círcu lo de radio r = .4 es Ax = n r 2 = I ó í t u 2, entonces
í
A,
J / W
^
= - T
= —A4 ti
= -
es /12 = 4 u 2
b) D a d o que el área de un triángulo de base b = 2 y altura h = v
/4
y el área del se m ic írc u lo es A = — = 8n u 2, ento n ce s
í f(x)dx = í
J-6
c)
/ ( x ) d x + í f ( x ) d x = Az - A = 4 - 8 tt.
J —4
J-6
Puesto que la integral d efin id a desde —6 hasta 8 está fo rm a d a p or la su m a de
áre a s a lg e b ra ic a s de u n triá n g u lo ( A2 = 4 ) , de u n se m ic írc u lo
/ A2
—
\
= — 8 n j,
de u n triá n g u lo (Á3 — 2 ) y de u n rectágulo ( A 4 = 12), e n to n ce s
r8
I
r —4
/ (x )d x =
J- 6
I
/• 4
J - 6
r 5
/* 8
f (x)dx + I / (x )d x + I / (x )d x
/ (x )d x + I
J4
J - 4
J s
= 4 + ( — 87t ) + 2 + 1 2 — 1 8 ■ 87T
d) C o m o |/(x)| = — / ( x ) , V x G [ - 4 ; 4 ] , entonces
í
/ (x )d x =
j-ó
f
/ (x )d x - í
J-6
f(x)dx + í f ( x ) d x + í f(x)dx
■ '-4
Js
**4
= 4 - C— 8 tt) + 2 + 1 2 = 1 8 + 8 tt
e) E l área de la re gió n p ed ida es
4 (R ) =
í
J-6
|/(x)| d x =
[
f (x) dpTh( ( - / (x ))d x + [ / (x )d x + í f(x)dx
J-6
' = 4 — ( —87r) + 2 + 1 2
• '- 4
( 1 8 + 87r) u 2
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-M
->5
INTEGRAL DEFINIDA
T eorem a 1
(C rite rio de integrabilidad de R iem an n ).
Si /
es una función
;icotada en /, una co n d ic ió n necesaria y suficiente para que / sea integrable en / es
que d ad o e > 0 arbitrario, exista una partición P de 1 tal que
(6 )
S(f,P )-S (f,P )<£
D em ostración
;i) ( = * ) P o r hipótesis, / es integrable en /. S i ¿ = s u p [ S { f , P ) / P e D } , dado
£ > 0, existe una partición P1 de / tal que
J_-¿<S(f.Pi)
ó ¿-K f.P J < |
(7 )
P o r otro lado, sie n d o ] = in f { S ( f , P ) / P e D) y tom and o el m is m o e > 0 ,
existe u na p artición P2 tal que
S ( f , P 2) < 7 + |
ó
(8)
S ( f , P 2) ~ ] < -E
S u m a n d o m ie m b ro a m ie m b ro las d esigua ld a d e s (7 ) y ( 8 ) y c o n sid e ra n d o que
/ = ] , obtenem os
S ( j r, P2) - S ( f , P 1) < E
C o n sid e ra n d o Pí U P2 = P (es un refinam iento de P, y P 2 ), tenem os
S ( f , P ) - S ( f , P ) < S ( f . P 2) - S ( f , P J < £
b) ( < = ) S u p o n g a m o s que d ad o £ > 0, existe una partición P de I tal que (7) es
verdadero. C o m o
J_ > S ( f , P ) y ] < S ( f , P )
se obtiene 0 < J — J < 5 (/ , P ) - S (/ , P ) < e. C o m o £ es arbitrario, se obtiene
7-7 = 0 o 7=7
P o r tanto, / es integrable en /.
Hasta ahora,
I f ( x ) d x se ha d efin id o so lo si a < b . P o r conveniencia, se d an
¿as sigu ien te s definicio n e s:
Definición 6. S i a < b , se define
I f ( x ) d x = — ¡ f ( x ) d x , sie m p re que I f { x ) d x
h
Ja
Ja
Definición 7. S i / es una fu n c ió n d efinid a en o. se define
,-a
I
f(x)dx = 0
a
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exista.
TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II
P r o p o s ic ió n
4. S i f
es una fu n ció n continua en / = [a; b],
entonces /
es
integrable en /.
L a d em ostración se deja co m o ejercicio al iector.
2.5.1 P R O P I E D A D E S D E L A I N T E G R A L D E F I N I D A
1. S i / es una fu n c ió n integrable en /, entonces es integrable en cu alq uier
su bin te rva lo [c; d ] c /.
2.
S i f es una fu n c ió n integrable en /, entonces para toda constante real k , k f es
integrable en / y se tiene:
(9 )
f k f{x)dx = k í f(x)dx
Ja
Ja
3.
S i / y g so n fu n c io n e s integrables en I, entonces / ± g
tiene:
rb
pb
rb
l f ( x ) ± g ( x ) ] d x = \ f (x) dx ± I g(x)dx
Ja
Ja
Ja
4.
es integrable en / y se
(10)
S i f es integrable en los intervalos [a; c] y [c; b], entonces / es integrable en
I = [a; b] y se tiene:
( 11 )
f f(x)dx = í f(x)dx + í f(x)dx
Ja
Ja
Je
(P rop ied ad aditiva respecto al intervalo de integración).
Esta prop ie dad es vá lid a para tres nú m e ros arbitrarios a , b , c siem pre que las
tres integrales existan.
5.
S i / es integrable en I = [a; b] y f ( x ) > 0 ,
V x E I. entonces
( 12)
f f(x)dx> 0
Ja
6 . S i / y g son fu n c io n e s integrables en /y f ( x ) < g ( x ) , V x E /, entonces
í f(x)dx <
Ja
7.
(13)
í g(x)dx
Ja
S i / es integrable en
/ = [a; b] y m < f ( x ) <
m(b - a) < í f ( x ) d x < M{b - a )
M, V x E /, entonces
(14)
-'a
8.
S i / es integrable en
I, entonces
f /(x )d x | S í \ f ( x ) \ d x
Ja
I
(15)
Ja
120
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1N I h C jK A L D t r l N I U A
2.5 .2 T E O R E M A D E L V A L O R IN T E R M E D IO P A R A IN T E G R A L E S
T eorem a 2.
S i / es una fu n ció n continua en I = [a; 6 ], entonces existe un
núm ero c G / tal que
í f(x)dx = f ( c ) ( b - a )
Ja
D em ostración
E l T e o re m a del V a lo r Interm edio de una fu n c ió n continua indica: “ S i f
continua en [a; b]
y se cum ple que / ( a )
es
/ '( ¿ ) , entonces para cu a lq u ie r o)
entre / ( a ) y f ( b ) existe un nú m e ro c entre a y b tal que / ( c ) = 6 )".
P or hipótesis, / es integrable en /, pues / es co n tinu a en I (Prop. 4 ). Lu e go , por
(14), se tiene:
m( b — a) < f f ( x ) d x < M( b - a)
Ja
donde m y M son el m ín im o y el m á x im o a bso lu to s de / en I, respectivam ente
(estos va lo re s existen p orq ue / es continua).
Lu e go , m = f ( x m ) y M = f ( x M ) , con x m y x M G / , y
fbf(x)dx
f ( Xm) ~
b -a
~ / ( * m)
P o r el teorem a del v a lo r interm edio para fu n cio n e s continuas, existe c entre x m y
x M (c G /) tal que
fbf (x ) dx
rb
f (c ) = — ------------, es decir, I f { x ) d x = / ( c ) ( ¿ — a ) , con c e I
b -a
Ja
2 .6 T E O R E M A S FU N D A M E N T A L E S D E L C Á L C U L O IN T E G R A L
T eorem a 3 (P rim e r T eo rem a Fu ndam ental del C álcu lo In teg ral o T eo rem a de
B arro w )
S i f es u n a f u n c ió n c o n t in u a en
/ = [a ;b ]
y
F es la f u n c ió n d e f in id a p o r
F( x) = I f { t ) d t , x G /, e n to n ce s se tiene
F '( x ) = ¿ ( /
f(t)dtj = f (x ) ,v x e i
D em ostración
P o r d efinición, para x G [a; b] {x fijo), se tiene
,
,. F( x + h ) - F ( x )
f * +h f ( t ) d t - f i f ( t ) d t
F ( x ) = l i m ------------ -------------- l i m ----------------- r-----------------
h h-*oh
h-*o
,
! * f w t + c kf w t - s * f w t
r v ( í) d í
= h m ---------------------------- :-----------------------------= u m -------------------
h-*o
h
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h-o
n
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
Por el teorema del valor intermedio para integrales, para el par de números x y
x + h e [a; b] existe c entre x y x + h tal que
rX+h.
I
f ( t ) d t = / (c )(x + h - x ) = hf(c)
Jx
Luego,
F'(x ) = lim
h->o
h
, c entre x y x + h
}
F '( x ) = lim f ( c ) , c entre x y x + h
h-0
F'(x ) = / (x ), V x E / , e s decir, F es u n a a n tid e riv a d a de / en /.
Observación 4. Este teorema establece un enlace entre los conceptos de integral
definida e indefinida. Se prueba que una función f continua en I admite una
antiderivada dada p o r F( x) = / * f ( t ) d t , pues F '( x ) = f ( x ) , V x € /.
es un teorema de existencia, pues si f es una función continua en l, existe
F( x) = / * f ( t ) d t
tal que F' ( x) = f ( x ) , V x G 7.
Como F( a ) = 0 , F
es la
antiderivada de f en l cuya gráfica p a sa p o r el punto (a ; 0 ).
T eo rem a 4 (Segundo T eorem a Fu n d am en tal del C álcu lo In teg ral)
S i / es una fu n c ió n continua en / = [a; b] y F es una a ntid erivada de f
en /
( F '( x ) = f ( x ) , V x E /), entonces
[ f ( x ) d x = F ( b ) - F ( a ) = [ F( x ) ] b
Ja
a
(1 6 )
D em ostración
C o m o F es una a ntid erivada de / en / y, por el p rim e r teorem a fundam ental,
F defin id a p o r F ( x ) = / f ( t ) d t es tam bién una antiderivada de / en / , entonces
existe u n a constante c tal que F( x) = F ( x ) + c , V x E l.
A s í, tenem os
F( b) = F( b) + c = f f ( t ) d t + c y
*a
F( a) = F (a) + c =
C o m o /Qa / ( t ) d t = 0, entonces
F( b ) - F ( a ) =
f f(t)dt
Ja
C o m o la va ria b le t n o tiene sig n ific a d o especial, se c o n clu ye
í f ( x ) d x = F( b) - F ( a )
■'a
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122
1
f ( t ) d t 4- c
INTEGRAL DEFINIDA
Observación 5
n) \ F ( x ) ] ba es una notación p a r a F( b ) — F( a) .
h) La fórm ula dada en (16) es llamada “Fórmula de N ewton-Leibniz” debido a
que estos dos matemáticos establecieron, independientemente uno d el otro, la
relación íntima entre los conceptos de la derivada y de la integral. -El nombre
que se le da a esta fórm u la es convencional, y a que ni Newton (1642-1727) ni
Leibniz (1646-1716) dieron exactamente con esta fórmula.
c) Obsérvese que la diferencia F( b ) - F( a ) no depende de la elección de la
antiderivada F, puesto que todas las antiderivadas se diferencian en una
constante, la que desaparece al efectuar ¡a diferencia. Por eso, al calcular una
integral definida no es necesario considerar la constante en la antiderivada.
E j e m p l o 2 3 . S e a la fu n c ió n F { x ) =
a)
b) F " ( x )
F '0 0
------- - d t . C a lcu le
Jn0 1 + t
c) F’( 1 )
S o lu c ió n
a) Sie n d o
/ ( t ) = 1 / ( 1 + t 2)
una fu n c ió n continua, p or el p rim e r teorem a
fundam ental, se tiene F' ( x) = 1 / (1 + x 2) , V x > 0
(es ne ce sario notar que
F' { x) = 1 / (1 + x 2) es v á lid o para todo x e R ). C o m o
entonces F es un a fu n c ió n estrictamente creciente en R .
F' ( x ) > 0 , V x R ,
b) F" ( x ) = —2 x / { l + x 2) 2 (F presenta punto de in fle xió n en x = 0).
c) F ' ( 1 ) = 1 / 2 .
Finalm ente, dado que F ' ( x ) = 1 / (1 + x 2) , entonces F ( x ) = a rc t a n x + C para
a lgu n a constante C. C o m o F ( 0 ) = 0, entonces
= a rc t a n (O ) + C => C = 0, es decir, F ( x ) = a rc ta n x
0
E je m p lo 24. C a lc u le el v a lo r de cada una de las integrales
S o lu c ió n
a)
U n a antiderivada de f ( x ) = 1 / (1 + x 2) en l = [ - 1 ; 1] es F ( * ) = a rc t a n x
(en esta antiderivada, p o r la obs. 5-c, no se co n sid e ra la constante). L u e g o ,
f
J
r 1t/2
dx
1
■■
7T y 7T\
n
T + x 2 = [arctan x ] _ 1 = a r c t a n ( l) - a r c t a n ( - l ) = - -J = jj.
b) J sen x dx = - [ c o s x ] ^ 2 = - ^ c o s - - cosO j = 1
o
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123
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
c) f e* d x =
Ja
o
C 1 — e° = e — 1
== e
f1
1
d ) I se n h x d x = [c o s h x ] = c o s h ( l) - 1
Jq
u
C o m p a re las respuestas obtenidas en (b), (c) y (d) co n las ob tenid as en los
ejem plos (13), (1 4 ) y (1 5 ) de este capítulo.
E je m p lo 2 5
i)
Se a G ( x ) = / “ f ( t ) d t , donde / : / = [a; b] -> R es co n tin u a
una fu n c ió n d erivable (u :
y u = w (x )
es
—» /). Pruebe que
d
G' ( x) = / ( u ) . u ', d o n d e u' = — ( u ( x ) )
ax
ii) Se a H( x ) = f ^ f ( t ) d t , d o n d e / y u = tt(x ) tienen las c o n d ic io n e s d adas en
(i). D e m u e stre que
d
H ' ( x ) = - / ( u ) . u ', d o n d e u ' = — ( u ( x ) )
dx
S o lu c ió n
i)
Si F (x ) = / * f ( t ) d t y
u
(F o u )(x ) = F ( u (x )) =
= u ( x ) , entonces
f ( t ) d t = G(x) . P o r la re gla de
la cadena, se tiene
G' ( x ) = F '( u ( x ) ) . u '( x ) = F '( u ) . u ' = f ( u ) . u ', pues F '( x ) = / ( x ) .
E n resum en, G '( x ) = / ( u ) . u '.
ii) H( x ) = f “ f ( t ) d t = - / “ / ( t ) d t
P o r (i), t f '( x ) = - ( / ( u ) . u ') = - / ( u ) . u '.
E j e m p lo 2 6 . S e a G ( x ) =
Halle: a) G '( x )
í
— — -—
—dt y W (x ) = f
J_3 1 + 9 s e n 2t
3 12 + 9 se n t + 15 ^
b) t f '( x )
S o lu c ió n
a) U sa n d o el ejem plo 23-i), para / ( t ) = 1 / (1 + 9 s e n 2 1) y u = x 4, se tiene
1
C ' W = 3 - r ^ ------^
‘4x3
l + 9 s e n 2 ( x 4)
4x3
l + 9 s e n 2 ( x 4)
b) U s a n d o el resultado del ejem plo 2 3 -ii), obtenem os
.
1
H M = -----r — :-----r r —
-• 3x
x 6 + 9 se n (x 3) + 15
,
3x2
x 6 + 9 s e n ( x 3) + 15
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124
INTEGRAL DEFINIDA
rX*
E jem p lo 2 7 . S i G(x) = [
Jx2
I j l + y 3 d y , h a lle G '( x ) .
S o lu c ió n
C o m o / ( y ) = ^/1 + y 3 es co n tinu a en M, e n to n c e s
G (x) =
f
y i + y 3 dy =
Jx2
f
\ ] l + y 3 dy + í
Jo
¿x2
X j l + y 3 dy
Lu e go ,
G '( x ) = - \ ¡ l + x * • 2 x + V l + x 9 • 3 x 2
= x [ 3 x V i + x 9 - 2 3V l + x 6]
E je m p lo 2 8 . C a lc u le el v a lo r d e
r 1 j x ld x
-------- 1 + x2
S o lu c ió n
Si / ( x ) = { ^ 2
si x > 0
1 + x2 '
’ e n to n c e s / ( * )
X
,
“ l + x2
si x < 0
P ara ca lcu la r esta integral, se aplicará la prop ie dad a d itiva respecto al intervalo de
integración. E n efecto,
f f ( x ) d x = f f ( x ) d x + f f ( x ) d x = = — i —l
dx + í ■ *
dx
J- 1
J-i
J_x l + x 2
J0 1 + x 2
rl
i°
= - [ - l n ( l + x 2)j
rl
i1
- l n ( l + x 2)]^
ln 2 ) + | ( l n 2 ) = l n 2
=
E jem p lo 2 9. Calcule J =
í |x2 + x — 6 | dx.
J~4
S o lu c ió n
L a va ria ció n de s ig n o s de x 2 + x - 6 = ( x + 3 ) ( x - 2 ) es
+
-3
lu e g o |;t2 + x - 6 | = í A:2 + * _ 6 '
i.uego, |x + x
6 | l _ (x2 + x _ 6 l
+
2
s i x 6 ( - 00; - 3 ] u [ 2 ; + c o )
s i x 6 < _ 3 ;2 >
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125
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
A p lic a n d o la prop ie dad aditiva de la integral respecto al intervalo de integración,
se tiene
2
f \ x2 + x - 6\dx = í
( x2 + x - 6 ) d x - f ( x2 + x - 6 ) d x + f ( x 2 + x - 6 )dx
■'—4
J—3Jo
3
«'—4
3
v2
+ lT + T - 6,
-3
125\
■
i - i "
38
109
6 ) + T
- T~
x > 9, resuelva la ecuación:
E j e m p lo 30. Sa b ie n d o que
16 dt
27T
/ 2 + yfx \
3
= — + ln 1 ------ I - 2 arctan - —ln 5 ... (a)
9 V2(16 - t 2) 3
Syfx - 10
i
S o lu c ió n
,
,
En p rim e r lugar, ca lc u la m o s la integral
16 dt
u s a n d o la su stitu c ió n
J Ví(16 —t2)
f
I - = -------------
t = u 2 y d t = 2udu. D e esta manera,
f 16 dt
_ f 32 u du
f
32
f
4
i Vt(16 - t 2) ~ J u( 16 - u4) ~ J 16 - u4 dU “ J 4 - u2
f
4
+ J 4+ü* d“
, |u + 2|
aín
lVF+21 '
/Vt\
= ln ---- - + 2 arctan (-) + C = ln —---- + 2 arctan —- + C
\u-2\
'2'
V t-2
\2
Lu e go ,
16 dt
9
Vt(
16- t 2)
i
In
Vt + 2
Vt 1
+ 2 arctan(—)
V t-2
Vx
3
+ 2 arctan — — 2 a rcta n - - In 5
V i
,
, + 2 a rc t a n ——
V s V z - 10)
O'
2 a r c t a n - ... (ß)
2 2^
R e e m p la za n d o (/?) en (a ), se tiene
. / Vx + 2 \
ln
V?
+ 2 arctan T
V*
2n
<=> 2 arctan — = y »
3
2ir
- 2 arctan 2 = T
A/x\
n
+
ln ( 4 ± i L ) _
\Syix-lQ )
4x
, ns
V*
2 arctan
arctan I — 1= - <=>— = tan (-J » — = V3
F inalm ente, x = 12.
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126
INTEGRAL DEFINIDA
E J E R C IC IO S
I . K n cada u n o de lo s sigu ien te s ejercicios, calcule la d eriva d a de las sigu ien te s
(unciones.
..) /■■'(x
)- j
c o s h ( 2 t 2 + 1) d t
”Senx
J
I»)
a
^
------------d t
a rcse n t
f í [ y -—
C)
R. F '(x ) = 2 co sh ([8x2 + 1)
*■
r d t ) dy
j *
^ —
'2 \ J 8 1 + 1 + se n 2t
r*3
1
F 'w
=Í
t t A + s e n 2t
dt
j.
rJ0 i + s e n 2 t
e o s2( y 2 + 4 ) d y
d) F(x) =
• 'a
e) F Q t) = se n |J
s e n ^J
s e n 3t d t ] d y
/•arcsen^cosArj
2. Sean F ( x ) =
1 — se n x
/ (se n t ) dt A /3
J -senx
J
______
1 4- se n x
____________
<Jg(t) d t = V i - . e o s x
sñ
rfW
Halle H' ( x) si H( x ) =
í
____
dt
•'g (x) ( 1 - V l - x 2) ^
f3 X + 1
3. Si
JQ
/1I \
2
f C t j d t = ----- h a x , calcule lo s va lo re s de a de m o d o que f ax
\4.
16
T '
/?. a = — 2 ó 1
[ x*
ts
4. Si F( x) — J ^ 1 + {4 d t , halle F'(x).
sX + X 2
5. Si G(x) =
I
■>x2+ i
2 ~t2 d t , calcule G '( x ) y G '( l ) .
r e*
6 . Si F ( x ) = I
x ( t 2 + l ) d t , calcule F '( x ) .
7. Sea G(x) = I
f ( t ) d t , d o n d e f • 1 -* R
•Vi(x)
fu n c io n e s
es u na fu n c ió n c o n tin u a y las
, <Pz ' . ] - * I , que son fu n cio n e s derivables. D e m u e stre que
G '( x ) = f(<p2(x )) • <p'2 ( x ) - / O P i O O ) • < p 'i( x )
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127
T O P IC O S D E C A L C U L O - V O L U M E N II
8. Sea / : [ —!; 2] -> E una función continua. Si F es una antiderivada de / en
[ - 1 ; 2], con F ( - 1 ) = 3 y F( 2 ) = 7, calcule J
R. 4
f(x)dx.
9. E n la fig u ra adjunta se m uestra la gráfica de una fu n ció n g. S i f es la fu n ció n
d e fin id a p o r f ( x ) = J ^ g C O d t , x G [ - 3 ; 8 ],
yt
Calcule gráficamente:
a) / ( — 3 )
c) / ( 8 )
b) / ( O )
b) 6
R. a) 0
10. Se a / : [ - 6 ; 6 ] -> E
c) 34
6 8
-3
una ¿unción
una fu n ció n continua y g: [ - 6 ; 6 ] ->
im p a r continua, tal que I / ( x ) d x = 10 y I g ( x ) d x = — 2. Halle:
J -6
“'-6
rO
a) í t / (x ) + £ ( x ) ] d x
fí. 12
b ) [ [ / (x ) + s # ( x ) ] d x
R. 20
•'-6
•'-6
11. E n los sigu ien te s ejercicios, calcule / ( 2 ) sabiendo que /
es co n tinu a y
ve rifica la ecu ación dada para todo x > 0 .
a)
[ f { t ) d t = x 2( l + x )
Jo
b)
í
R. 1 6
X2
f(t)dt
R.
x 2( l + x )
2 + 3V2
L
■'O
rfW
c)
I
Jo
d)
f
t 2 d t = x 2( l + x )
R. V 3 6
r X 2 {l + l)
1
f(t)dt = x
12. D e m ue stre que si / es continua, entonces
J f(u)(x-u)du = J
Sug: c o n sid e re F( x) =
I
Jo
^ J f(t)dt^jdu
f ( u ) ( x - u ) d u , e nto n ce s F '( x ) = I f ( u ) d u .
Jo
L u e g o , halle su antiderivada y calcule F ( 0 ) para su constante.
13. A partir del ejercicio anterior, dem uestre que
[ Xf ( u ) ( x - u ) 2d u = 2 f i f í f Zf ( t ) d t ) d z d u
Jo
•'o lyo \ Jq
J
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INTEGRAL DEFIN ID A
= ■
1
, V x > 0.
v i + s e n 2*
14. H a lle f ( x ) s i
15. C a lc u le el v a lo r de las siguientes integrales:
a)
J x 3 dx
c)
I
f 1/2
b)
1
(x + l ) 3 dx
r2
i
Vi - x2
Jo
J
d)
x
;------- 7 dx
Ji
i 1+ x
5
e)
J - i 1 + 1*1
I
g)
J3
h) I
Jo
|cosx|d x
Jo
r
° L
a!
—
5 x - 20
(2 - x ) ( x 2 + 1 )
dx
R. 1 ,336685 ...
se n 2(3 x )d x
r
° I
i “*
ln x dx
16. Sea / : [ - 6 ; 6 ] -» IR u n a fu n ció n continua. Si f es im p a r y
I
f ( x ) d x = 3,
6
halle J
R. - 3 5
( / ( x ) - 2x) dx.
17. Para cierta p ob lación , su p o n g a que N es una fu n c ió n co n tinu a tal que N ( x )
es el núm e ro de p erson as que alcanzan la edad de x en cu a lq u ie r año. Esta
fu n c ió n se llam a función de la tabla de vida. B a jo co n d icio n e s apropiadas, la
integral J * +n N ( t ) d t da el núm ero esperado de gente en la p o b la c ió n que
tiene exactam ente entre x y x + n años, inclusive. S i N ( x ) = 3 0 0 V 1 0 0 - x,
determ ine el n ú m e ro de personas que tienen entre 36 y 64 años.
R. 5 9 2 0 0 personas
18. Se a
una recta tangente a la cu rva C : y = g ( x ) en el punto P ( 2 ; 3 ) .
A d e m á s, la recta Lx pasa p or el punto Q ( 1 0 ; 7 ) que no está en la cu rva C.
Si f ( x ) = J
J t 2 + 7dt,
h a l l e / '( 2 ) .
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129
R. 2
TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II
2.7 CA M B IO DE V A RIA BLE EN UNA IN T E G R A L D EFIN ID A
S i / es u n a fu n ció n continua en / = [a; b] y si se re e m p laza la
T e o r e m a 5.
variable x de la integral p or g { t ) (es decir, x = g ( t ) ) , don d e g: [ a ; ß ] -> / tiene
d erivada co n tinu a en [a; ß] , con g ( a ) = a
g ( ß ) = b ; entonces
y
í f ( x ) d x = í f { g ( t j ) - g'(t)dt
Ja
Ja
(1 7 )
D e m o s t r a c ió n
Sea F ( y ) =
ry
í f ( x ) d x , y 6 I . P o r el P rim e r Teorem a F u n d a m e n ta l del Cálculo, se
Ja
tiene F ' { y ) = / ( y ) , V y 6 /.
P o r la regla de la cadena ó derivada de una fu n ció n com puesta, tenem os
í F í g m ' = F ' i m ) ■s ' ( t ) = / ( s e o ) •5 ' ( o
F ( g ( t ) ) es una antiderivada de
P o r tanto,
f ( g ( t ) ) - g ' ( t ) . P o r el S e g u n d o
T e o re m a Fun da m enta l del C á lcu lo , se tiene
C f ( f i ( 0 ) •g ' W d t = [ F ( g m ß = F { g ( ß ) ) - F ( g ( a ) ) = F ( b ) - F ( a )
•^a
=
í / (x )d x
•'a
Observación 5. Si la función g \ [ a \ ß ] -* [a; b] es tal que g ( ß ) = a y g { a ) = b,
p o r la fórm ula (17), se tiene
f f ( x ) d x = í f ( g C O ) ■g ' { t ) d t
Ja
Jß
E j e m p lo 3 1 . Calcule I =
f3
I
x2
3 3 dx.
J2 (1 + x )
S o lu c ió n
H a cie n d o
t = 1 + x 3, se tiene q ue
x = g(t) = V t - 1 ,
g'(t) =
3 V ( t - l )2 '
g(9) = 2
y
g ( 2 8 ) = 3. D a d o que g y g' son co n tinu a s en [9; 2 8 ], entonces
I _ J2 ( 1 + a : 3) 3 t _ J9
1 f 28
-
j L
,
2 \ j (t — l ) z f
t3
l r l ’28
] 28
70 3
j 9 - 381024
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INTEGRAL DEFINIDA
Hn la práctica, no es necesario dar la fu n c ió n g ( t ) explicitam ente. C o n sid e ra n d o
que el lector está habituado a cam biar la variab le en una integral indefinid a, só lo
n os queda d ecir que para cam biar los lím ites de integración basta re e m p lazar la
variable o rig in a l x p o r lo s lím ites de integración en la correspondiente sustitución
y así obtener lo s n u e vo s lím ites de integración (que so n los va lo re s de la n ueva
variable). E n el ejem plo anterior, procederíam os así:
C o m o la sustitució n es t = 1 + x 3, entonces d t = 3 x 2dx.
Para x = 2 => t = 9 = a ; para x = 3 = > t = 2 8 = / ? .
P or tanto,
x ¿2 d x
_
1 r 3 3x ¿
2 dx
1 fr 2Bd
2 t
~ J2 ( 1 + x 3) 3 ~ 3 J 2 (1 + x 3) 3 = 3
E j e m p lo 32. Calcule el v a lo r de 1 =
703
J9 t 3
381024
fi
(x^ — 1 ^dx
-------------- I
•'1/2 ( x 2 + l ) V x 4 + 1
S o lu c ió n
A n te s de efectuar el ca m b io de variable, d iv id im o s n um e rad or y d e n o m in a d o r por
x 2 ( x z > 0, p u e s x 6 [1 / 2 ; 1 ]) y luego re e m p la za m os t = x + 1 / x. E n to n ce s
_ f1
( x2 - l ) d x
f1
Ji/2 (x 2 + l ) V x 4 + 1
_
r2
- 's /2
dt
í V t 2
i
-
2
V 2
(l--p)dx
J i /2
1
|
1
/,ilNl2
aresee ,| —|f|
V 2 . 5/2
= - ^ ( a r c s e c ( V 2 ) - a re s e e ^ ) =
V2 V
v
1
2)
V2
- a re s e e ^ )
E j e m p lo 33. D e m u e stre que
a) Si / es co n tin u a en [0; a], e n to n ce s I f ( x ) d x =
Jo
I f(a-x)dx.
Jo
/*d
r a.
/ (x )d x = 2 I f (x) dx.
b) Si f e s fu n ció n p a r y co n tin u a en [ - a ; a], e n to n ce s I
j-a
Jo
c) Si f es fu n ció n im p a r y c o n tin u a en [- a; a], e n to n ce s I
f ( x ) d x = 0.
• '-a
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131
T Ó P IC O S D E C Á L C U L O - V O L U M E N II
f"
d ) Si f e s fu n c ió n p a r y continua, ento n ce s | x / ( c o s x ) d x = n f
í nI2
/ (c o sx )d x .
Jo
^0
fn
7r r
e) S i / e s continua, en ton ce s I x f ( s e n x ) d x = /(senx)dx.
-'o
2 J0
Solución
a)
En
la
J ^ f ( a —x ) d x
integral
En ton ce s para x = 0 = * z = a , y
a —x ~ z
reem plazam os
ydz = -d x .
para x = a => z = 0. P o r tanto,
f f ( a - x)dx ~ - f f ( z ) d z = f f ( z ) d z = f f ( x ) d x
ja
jo
Jo
J0
(L a última igualdad es válida porque ia variable z no tiene sign ificado especial)
b)
f f{x)dx = f f(x)dx + f f(x)dx
J - q _________
J-a
...
( a)
Jq
J
E n la integral / re e m p la za m os x = - y . En se gu id a , u tiliza m o s el hecho de que
p o r ser / par se verifica / ( - y ) = / ( y ) .
7 = [
/ (x )d x = -
f / (-y )d y =
J -a
f f(y)dy = f f(x)dx
Ja
... (/?)
Jo
Jq
R e e m p la za n d o (/?) en (a ), se obtiene
f f(x)dx = f f(x)dx +
c)
f / (x )d x = 2 [ / (x )d x
^0
*'-a
¿O
S ig u ie n d o el m ism o p roced im ie n to em pleado en la parte (b) y u tiliza nd o el
h echo de que / ( - y ) = - / ( y )
(p o r ser / impar), se prueba que
J - ¡ f{x)dx - - f f(x)dx
J-a
Jq
R e e m p la z a n d o este re su lta d o en (a ), se sig u e q u e f
f ( x ) d x = 0.
J-a
d ) y e) E je rc icio . E n a m b o s c a so s reem plazar x = n — y.
dx.
E j e m p lo 34. C alcule I = [
JQ
1 4"
X
Solución
S i u tiliza m o s la su stitu ció n x = ta n 8, tenem os
rMníl+x)
f nl*\n(l + x.an0)
Jo ~TT x*~
J0
,
r*/4
■ * * ' « ‘‘' = 1
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to(l + ta „ « ) J Í
IN T E G R A L D E F IN ID A
r XT/4
f
r
M
In l + t a n í ------- 6 ) I dd (a p lic a n d o el ejem plo 3 2 - a )
1=1
Jo
4
/■n/4
, = j0
l-ta n 0 \
,
f^ 4
ln V1 + l T t a ñ f l ) = i
rn¡4
1=1
/
2
\
(íT ia ñ d )
/-rt/4
In2d0- I
ln(l+ tanfl)c¡0
¿o________ __________ ,
i
Jo
/■ir/4
P o r tanto, 2 1 =
7r
7T
ln 2 d6 = - l n 2 , de d o n d e se co n clu ye que I = — ln 2.
4
Jo
E j e m p lo 3 5 . Calcule 1 =
8
r Itx s e n x dx
— — ----— .
Jq 1 "i eos X
S o lu c ió n
T e n ie n d o en cuenta que e o s 2x = 1 — s e n 2 x, se tiene
rnxser¡xdx
1=
------------ —
í 71
senx
x -----------dx
=
J0 1 + e o s 2*
2 - s e n 2x
J0
se n x
P u esto que el in te gra n d o es de la fo rm a x / ( s e n x), d o n d e / ( s e n x ) = ^ _ ser)2' ~ »
u san d o el ejem plo 32-e, obtenem os
rn
se n x
n f n senx
x - --------- - d x = — I ---------- 5- d x
J0
2 - s e n 2x
2 J0 2 - s e n 2x
1=
7T [ n
= 2 Í
Sen X
7T
= - 2 [arctan(coS* :'] 0
7T
TTr
= - - [ a r c t a n ( - l ) - a r c t a n (l)]
r^/4
r '■
E j e m p lo 3 6 . Calcule J =
7T
7Tl
7T2
2L 4
4J
’
2
(<x 9 eos x + V t a n x + se n x e t o s I + e o s 2 x) dx.
J --ntt//4
4
S o lu c ió n
r n /4
/•tt/4
( x 9 eos x + V t a n x + se n x e cos2jc) d x +
J = ]
J — ir/4
j2 -
/•TT/4
r^ 4
I
c o s 2x d x =
TI
r/-'r/41
+ eos 2 x
dx
I
J —Í t l 4
*'-7
1r
=
ü
se n 2 x i 'r/4
b
c o s 2x dx
J-7I/4
—
L
1 /7r
\
re + 2
/. = í f e + 1 ) = —
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133
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
es f ( x ) = x 9 e os x + V s e n x + s e n x e cos2*
E l integrando de
fu n c ió n im par, pues
y
es
una
/ ( - x ) = ( ~ x ) 9 c o s ( - x ) + 7 t a n ( - x ) + s e n ( - x ) e cos2( x~
>
= —x 9 e o s x - V t a n x - s e n x e cos2x = - f ( x )
rn/i
Luego, p o r el ejem plo 3 1 - a, se sig u e que J i =
f(x)dx = 0
J-n/4
n + 2
n + 2
P o r tanto, / = 0 H---------- = --------- .
2.8 I N T E G R A C I Ó N P O R P A R T E S E N U N A I N T E G R A L D E F I N I D A
T e o r e m a 6 . S i u = u ( x ) y v = v ( x ) son fun cio n e s co n d e riv a d a s co n tin u a s en
I = [a; b] , entonces
J u dv =
J v du
[u v ]^ -
(1 8 )
D e m o s t r a c ió n
D e la d iferencial de un producto se deduce que u d v = d ( u v ) - v du.
r b
L u e go ,
I
r b
u d v =
Ja
I
rb
[d (u v )-v d u ]
Ja
Ja
f*>
•'a
®
rb
d(uv) Ja
rb
.
u d v = [u v ]
=>
udv =
<=>
\ v du
■'a
(T o d a s estas integrales existen, pues u, v, u ', v ' son co n tin u a s)
E j e m p lo 3 7 . C alcule / =
f x 2 l n x dx.
'i
S o lu c ió n
^u = ln x
=> du = - d x
H a cie n d o
x
dv = x 2 dx
y =
o , o b te n e m o s
A
=» v = —
3
x3
l3
■jlnx
- Í / ^ c Í A : = ( 9 | n 3 - Í |n 1 ) - [ i ^
1
26
= 9 ln 3 — - ( 2 7 — 1 ) = 9 ln 3 — —
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134
I
a
v du
INTEGRAL DEFINIDA
E j e m p lo 3 8. Calcule el v a lo r de J = j
a rcta n J^jx - 1 dx.
S o lu c ió n
S i z = a r c t a n V V * — 1 => V * = s e c 2z => x = s e c 4z
Para x = 1 => z = 0
y d x = 4 s e c 4z ta n z d z.
y para x = 1 6 => z = tt/3. E n to n ce s
rii/3
} =
I
z • s e c 4z ta n z d z
Jo
Para integrar p or partes a esta últim a integral, c o n sid e ra m o s
=> d u — d z
\-dv = 4 s e c 3z • s e c z ta n z d z => v = s e c 4z
fu = z
En ton ce s
f *''3
se c 4z d z
7 = [z se c 4z]o 3 — I
(*)
Jo
r^/3
jj.
(1 + ta n 2z ) s e c 2z d z
— ( —) ( 1 6 ) — I
1Ó7T
í
tan3z \ n^
1Ó7T
r•— tan z +
= — -2 V 3
3
3
0
( * ) Para integrar se c 4z es suficiente considerar que s e c 2z = 1 + ta n 2z.
2.9 I N T E G R A C I O N D E F U N C I O N E S D I S C O N T I N U A S
D e f in ic ió n 6 . Se a /: [a; b] -» IR u n a fu n c ió n acotada y sea P = { x 0l x lt . . . , xn}
u na p artición de / = [a; b]. Se a n clt c 2 ,...,cn elem entos de /, de tal m an e ra que
Cj £ Ij
X yj ,
j
1/2, .../T I.
L a su m a
n
S(/ ,P ) = £ / ( c , ) A ;x
;= i
se d e n o m in a S u m a d e R i e m a n n de f con respecto a la partición P.
Sean m ; = i n f { f ( x ) / x £ /,} y M¡ - s u p { f ( x ) / x e 1¡}. E n to n ce s
rtij < f ( c j ) < Mj, j = 1,2, ...,n y m ás aún
S(/ ,P )< S (/ ,P )< S (/ ,P )
L a su m a de R ie m a n n es u n tipo de su m a que no necesariam ente es u n a su m a
inferior o una su m a superior, sin o m ás bien está co m p re n d id a entre ellas.
135
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
Se dice que S ( f , P )
D e f in ic ió n 7.
escribe
toda p artición P , co n 0 <
tiene lím ite J e R
si dado e > 0
5 (/ ,P ) = /
cu a nd o
(arbitrario), existe
||P|| < 8 , y para cualquier
||P|| —» 0
5 > 0
y se
tal que para
c¡ se tiene
\m ,P )-)\\< £
T eore m a 7
(d e D a r b o u x ) . S i / es una fun ció n acotada en /, u na c o n d ic ió n
necesaria y suficiente para que f sea integrable en / es que exista / G IR tal que
J im
5 (/ ,P )= / ;
( j = jj(x )d x ^
D e m o s t r a c ió n (Ejercicio).
T e o r e m a 8 . Se a n f , g ■l = [a ; b ] -» M
d os fun cio n e s tales que f ( x ) = g ( x ) ,
V x E I, excepto para un nú m e ro finito de puntos. S i g es integrable en /, entonces
/ es integrable en ¡ y se tiene
rb
r b
í f (x) dx = í g(x)dx
Ja
Ja
(1 9 )
D e m o s t r a c ió n
S i g es integrable en / y
g { x ) d x = J, p or el teorem a de D a rb o u x , d ad o
e > 0,
existe 8 X > 0 tal que para todo P , c o n 0 < ||P|| < 5 1; y V c¡ E l¡ se tiene
\ S { g , P ) - J \ < £P o r otro lado, si A = { x e / / f ( x ) * g ( x ) } posee r p u ntos (r fin ito ) y sea
L = s u p { \ f ( x ) - fl(x )| / x E /}, para toda p artición P , c o n ||P|| <
<rL
\S(f.P)-S(g,P)l =
Luego, si 8 = mín|<51(
P
2rL
se tiene
IS ( f . P ) - ] \ < m , P ) ~ S(g, P ) | + 15( 5 , P ) - J | < |
1 = £
E n resum en, para tod a partición P , co n ||P|| < 5, y V c¡ E / se v e rifica
\S(f,P)-J\<E
P o r tanto, p o r el teorem a de D a rb o u x , / es integrable en / y
f f (x) dx = í g(x)dx
J a
Ja
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136
, se tiene
2
IN T E G R A L D E F IN ID A
I ro i cm a 9.
S i / es c o n tin u a en
mi.îles e x i s t e n
/ = [ a;b] e x c e p t o e n ios p u n t o s
lim f ( x ) = f ( b ~ )
lim < / ( x ) = / ( a + ) y
a ó b, e n los
(f i n it o s ) , e n t o n c e s f es
j :-*b~
iiiii-i'.iahle e n / y e x i s t e u n a f u n c i ó n F, c o n F' ( x) = / ( x ) , V x E ( a ; b), tal q u e
■b
f
f(x)dx = F { b )-F (a )
■Jn
D e m o s tra c ió n . E je rc icio para c! lector.
D e fin ic ió n 8 ( F u n c ió n se c c io n a lm e n te c o n tin u a en
l ~ [ a ; ¿ ] ) . Se dice que la
lim d ó n / : / -> 1 es seccionalm ente continua en / cuand o / es con tin u a para todo
\ '
/ excepto para un núm ero finito de puntos
c ¡ , j = 1 , 2 m , para los
i nales existe
f ( c ~ ) = lim_ f ( x )
f(cf) =
y
x '* ci
‘.i i) - a
lim / (*)
x ~ ,c j
a c¡ = b, debe existir / ( a + ) o f ( b ~ ) respectivam ente.
r O K O L A R I O . S i / es seccionaim ente continua en
/ = [a ;b ], entonces / es
mu-arable en /.
í - 2 , si - 2 < x < - 1
I jcm p lo 39. Se a la fu n c ió n / ( x ) - ] x 3,
si - 1
< x < 1
( 2 ,
si 1 <
x < 2
.
S r pide:
.i) I race la gráfica de /.
Ii)
;,/ es integrable en [— 2 ; 2 ] ?
i ) Calcule I f ( x ) d x .
J-2
f f ( t ) d t , x £ [ - 2 ; 2 ] y trace su gráfica.
J-2
i ) D eterm ine el conjunto don d e F es derivable y halle F '( x ) .
il) Halle F ( x ) =
Solu ción
,i t I a gráfica de / se m uestra en la Fig. 2.15.
I>)
/ es integrable en
(/' es d isco n tin u a en
[— 2 ; 2 ]porque
x =
existen los lím ites laterales.
i) í
f(x)dx = f
J -2
í
J-2
estos
E n x = 2 existe el lím ite lateral p or izquierda).
f ( x ) d x +í f ( x ) d x + f
■ J-2
=
/ es seccionalm ente con tinu a en [— 2 ; 2 ]
- 1 , en x = 1 y en x = 2 ;pero en
J-l
( - 2)d x + í
f(x)dx
•'1
x 3d x + í 2 d x = - 2 + 0 + 2 = 0
■'-1
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puntos
T O P IC O S D E C A L C U L O - V O L U M E N II
d ) Si x e [ - 2 ; - 1 > => F ( x ) =
f ( - 2 )dt = - 2 x - 4
J-2
f(t)dt = J
( - 2 )dt + J
x4 9
t 3 dt = ■
T _ 4
Si x E (1; 2) =* F( x) = J f ( t ) d t — J
( — 2) d t + J
t 3 d t + J 2 d t = 2x — 4
Si x E [—1 ,1 ] =* F ( x ) = J
í-2x - 4,
P o r tanto, F ( x ) = | ( x 4 - 9 ) / 4 ,
- 2 < x < -1
- 1 < x < 1
\2x - 4,
1 < x <2
L a gráfica de F se m uestra en la Fig. 2.16.
f)
í —2 , - 2 < x < —1
F' ( x) = \ x 3 , — 1 < x < 1
i2 ,
1 < x < 2
L u e go , F es d erivable en [— 2; 2) excepto en los puntos x = —1 y x = 1.
Fig. 2.15
E j e m p lo 4 0 . T ra ce la gráfica de F( x) =
f 2 t e ~ cZ d t , x e R.
Jo
S o lu c ió n
i)
D( F) = E
ii)
Inte rse ccio n es con el eje x : P ( 0; 0 ), pues F ( 0 ) = 0.
iii) F '( x ) = 2 x e ~ * 2. E l ú n ico punto crítico es x = 0 y se tiene
Signo de F'(x) < -
L u e g o , F es creciente en
+
(0; + o o ) y F es decreciente en ( — oo; 0>. E l va lo r
m ín im o relativo es F ( 0 ) = 0.
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138
INTEGRAL DEFINIDA
iv) F" ( x ) = 2 e~x\ l
- 2 x 2).
L o s p u ntos críticos de in fle x ió n son x = V 2 / 2 y x = - V 2 / 2 .
Signo d e F ”( x) •<------- °----------- 1-------------------- 1------------------ ►
- V 2/2
V 2/2
P o r tanto, F es có n ca va hacia abajo en
( - 00 ; — \¡2 /2 ) U ( V 2 / 2 ; + 00)
c ó n ca va hacia arriba en
L a s a b scisa s de lo s p u ntos de
(~ V 2 / 2 ; V 2 / 2 ).
y
in fle xió n de F so n x = V 2 / 2 y x = —V 2 / 2 .
F( x) = 1 - e “* \ p or lo que y =
v) In te grand o se obtiene que
1
es asíntota
horizontal. L a grá fica de F se m uestra en la fig. 2.17.
F iq . 2.17
E J E R C IC IO S
I.
C a lc u le el va lo r de las sigu ien te s integrales:
r°
71
dx
1 J_14x2 + 8x + 8
16
dx
3.
■
4
r*
5. I s e n h x se n x d x
-'o
J0
-
1
/?. - s e n h í r
2
4.
'6 .
J0
r /3
7
I
tan x d x
J _„/3
f2
8'
6*n2
r1
3
x 8e - x dx
57r a 3
‘~ Í 6 ~
1
dx
- 5
ti
R. -
■■
Jo V2 - x 2
f a x s / 2 dx
J1 x 2 4x
f2
i
2
5
3
3e
R. - - —
R. 0
x 5 dx
( 1 + x 3) 3/2
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9
T O P IC O S D E C A L C U L O - V O L U M E N II
dx
> ■ / ; x 6( 6 5 - X 6) 1/ 6
1 0 . f x 8( l — x 3) 5/4 d x
fi.
1023
12300
128
i?.
-
■>1
11 . f x 4 ( l — x 2)3/2 d x
Jo
fV v r
R' 4
1—=
Vi - x
d x
I
2n
R’ "256
71
X dx
Jq
13.
5967
R . y ¡ 2 - ln (l + V 2)
f :J Z ^ x
x ex
e - 2
c - ,(1+ x ) 2 d
fi.
f ln yjl —■x d x
fi. ln 2 -----
2
Jo
16-
f 1/2
1 + x
L 1 / J2 - —
dx
¡■n/3
17.
I
c o t x ( ln s e n x ) d x
7- J
18.
11/3
V ía n x d x
í „/ó V t a n x + V c o t x
/•7T/4
tt/4
19.
I
|tan 5x | d x
J-7T/4
r 2*
20. I
fi. — 4- ln 2
2
| se n x — c o s x | d x
fi. 4 V 2
Ja
21.
22 .
23.
x se n x
---------- — d x
Jo 1 + c o s 2x
7T
í
4'X + 1 d x
fi. 5 + 5 ln -
x + 6
rn/:
11/3
T
V s e c x dx
‘'ir/ó V s e c x + V c s c x
fi.
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IN T E G R A L D E F IN ID A
Si
f ^ 2 se n x c o s x
--------------- d x en
7— — - -; 7 dx = A, calcule el v a lo r de la in te gral
(x + 2 ) 2
J0
x + 1
c n eos x
I
h
fu n c ió n de A.
R - ( - 4 ------ - -----2 \2
n + 2
f n cosxdx
Su ge re n c ia : e xp re se
[2
f 71 e o s x dx
J,
co sx
¿
)
L u e g o , calcule cada una de las d os integrales u san d o integración p o r partes y
finalm ente haga el ca m b io de variable x = 2 u.
f 1 ex
III. Si k =
dx, e xp re se lo s va lo re s de las sig u ie n te s in te grale s en fu n ció n
I
J q
X
T
i-
de k.
'• l - , 7 ^ T T d x
?
f 1 x e x¿
J0 x 2 + 1
s. f -
~*ce~a <Sug: u = a —x — 1)
dx
1
ex
dx
/?. k + 1 - - e
4. í e * l n ( l + x )
fi. e l n 2 - f c
J o (I x + 1 ) 2
2
Jo
IV . E je rc ic io s diversos.
1. C a lc u la r/ (O ) sa b ie n d o que / ( n) = 2 y
f [/ (x ) + f " ( x ) ] s e n x dx = 5.
Jo
R. 3
2. P ru e b e que
3. Si / ( x ) =
[ bsenx
Ja
cosa
eos b
f b c o sx
------- d x = -----------------— +
— -- d x .
x
a
b
Ja
x2
Í 1 2 x — 12 , si x < 1
, .
f 2*
_ s i x > 1 : 3 (1 ) = ^ m d t , X E R .
Calcule el v a lo r de f
g(x)dx.
R. 3 6 9 7 / 4
2
4. S i n es cua lq u ier n ú m e ro natural, calcule el v a lo r de
r^ se n (n + j ) x
J
x
sen 2
-d x
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/?. 7T
TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II
5. C alcule el valor de las siguientes integrales:
- 1' 2
a) J c o s(se n x ) In
f l + X\
— -J + 3x + 4
R. 4
dx
rn/2
b)
x se n x dx
R. 2
x 81c o s ( x 9) d x
R. 0
I
-'-71/2
çn/2
c)
I
J - ji/2
/•tt/4
d)
I [ x 14s e n ( x 7)] d x
J-nj
TI¡A
e) f
R. 12
[ ( x 5 + x 3 + x ) V l + x 4 + 3j d x
J-7
6 . Sea /: 1
u n a fu n ció n continua. Si se sabe que
f ( t ) d t = 6 , calcule
í
•/-i n
f / ( 2 x — 2 ) dx.
J —4
si 0 < x < 2
7. Se a / ( x ) =
-1 ,
si 2 < x < 3
.x -3 ,
s i 3 < x < 4
a) E sb o c e la gráfica de /.
b) C a lc u le JQ4 / ( x ) d x .
c) C a lc u le F ( x ) = f * f ( t ) d t , x G [0 ;4 ],
d) T ra ce la grá fica de F.
e) D e te rm ine en qué puntos F es derivable.
f*
8 . Sea F ( x ) =
e‘2
^------ ? d í -
J0 1 + t2
a) Pruebe que F es fu n c ió n impar.
b) Pruebe que F ( x ) > x , V x 6 i j
çtt/3
9. Calcule el v a lo r de
= [0; +oo).
Veos X
dx.
Ln/6
* 1V s e n x + V c o s x
co sz
10. La e cu a ción p a ra m é tric a de u n a c u rv a es
dz
H
h
;
se n z
-d z
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, t > 1. Halle
dy
dx '
INTEGRAL DEFINIDA
1 1. L a fu n c ió n / y su in ve rsa / _1 son continuas y / ( O ) = 0. P ruebe que
-5
r f ( 5)
f ~ 1( t ) d t = 5 / ( 5 )
/ (x )d x +
-'o
•'o
dx
12. Calcule el v a lo r de
( 2 x 2 + l)^ /x 2 T í '
r
r3
13. Calcule el v a lo r de
x2 - 4
i
x2-2 5
-3
dx.
4
f 3 xA 2 -_ T
14. C alcule el v a lo r de I
7-^— 7-71 dx.
3 I* 2 - 1 6 1
15. Se a / una fu n c ió n co n tin u a tal que / '( x ) < 0 en [1; 4].
S i / ( 1 ) = —2 , / ( 4 ) = —6 y
J 14 / ( x ) d x = —1 0 , calcule el v a lo r de
f f ~ 1( x ) d x .
J-f,
J-6
R. 12
x <2
’^2
16. Si / ( x ) = j
^
-1 + x 3
X < ° , calcule
J
[ / ( x ) - x]dx.
x > 0
r 271
17. Calcule I
•'O
(|sen x| + x )d x .
{ e 2- l
18. Calcule
f
[4 - 2 ln ( x + 1)] dx.
R. ' 2 ( e 2 - 3)
•'O
19. Calcule
f 5|x3 - 4 x | d x .
■'-1
dx
— =— — 7 .
(x2 + l ) 4
C alcule
15?r + 4 4
R.
96
/ * se n(t — l ) 2 d t
.’. l. Calcule l i m -------—-------— ------ .
*-1
Calcule
c n/2
J0
1
(1 — x )
dx
------- --------- p .
1 + fta n x ]^
Sugerencia:
hacer u = -2 — x.
o
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143
3
n
R. —
4
T Ó P IC O S D E C Á L C U L O - V O L U M E N II
2.10 C Á LC U LO A PR O X IM A D O DE LAS IN T E G R A L ES D EFIN ID A S
Para calcular una integral d efinid a por la fórm ula de N e w t o n -L e ib n itz se necesita
hallar una antiderivada del integrando; pero en el capítulo I h e m o s m e n c io n a d o
que no toda fu n c ió n continua tiene una antiderivada exp resad a m ediante fu n c io n e s
elementales, p o r lo que es necesario los m étodos a p ro x im a d o s para su cálculo. E n
esta se cción tendrem os en cuenta que, p or el teorem a de D a rb o u x ,
I
f ( x ) d x = ||Hmo ^ / ( t , ) A ¿ x , d o n d e P = { x 0 , x 1(
“
i= i
es una p artición de [a; b] , A ¡ x = x¡ — x ^
y
t¡ 6 [xi_ 1; x i],
2.10.1 A P R O X I M A C I Ó N P O R R E C T Á N G U L O S
Se a / : [a; b] -> E
una fu n ció n continua.
Se a P = [ x 0 = a , x 1, x 2, ... ,x n = b } una partición de [a; b ] de tal m anera que el
intervalo [a; b] quede d iv id id o en n partes iguales. L a lo n gitud de cada u no de los
su bin te rvalo s es
b - a
Ax = -------n
S e a y¿ = / ( * , - ) , i = 0 , 1 , 2 , . . . , n .
C a d a una de las su m a s
y 0A x + y xAx + y 2Ax + ... + y n. xAx
y xAx + y 2 A x + y 3A x + ... + y n A x
expresa aproxim ad am e n te la integral
í f(x)dx
L u eg o,
[ f( x ) d x s A x (y 0 + y! + y 2 +
+ y ,,^ !)
(2 0 )
Ja
í f ( x ) d x = Ax ( y x + y 2 + y 3 + - + y n )
Ja
T e n ie n d o en cuenta que y kAx es el área algebraica
(21)
del rectángulo de base A x
y
altura y k , en la fig u ra 2.18 se m uestra el p o líg o n o rectangular c u y a área alge b raica
es la a p ro x im a c ió n del v a lo r de /a&/ ( x ) d x u san d o la fó rm u la 19.
E l error que se com ete al ca lcu la r el v a lo r de la integral p o r la fó rm u la de los
rectángulos (1 9 ) ó ( 2 0 ) es m e n o r cuanto m a y o r es el n ú m e ro n.
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144
IN T E G R A L D E F IN ID A
2.10.2 A P R O X IM A C IO N P O R T R A P E C IO S
I n este
caso,
se
u san
trapecios rectangulares en
lugar de
lo s
rectángulos
tu n sid e ra d o s en el ítem anterior. Se a n los p u ntos P0( x 0; y 0), P i ( x 1; y 1), ... ,
/;,(.Y„;y„), donde x 0,
x n , y 0, yi,..., y n han sid o d e fin id o s en el ítem
anterior. C o n sid e ra m o s los n trapecios rectangulares
71, 7 2l ...,7 n que están
lim itados por las cuerdas
, P1P2,
Pn-í^n respectivam ente. C o m o las
.ucas alge b raicas de estos trapecios son, respectivam ente, ¡guales a
yi + y z .
y n-1 + y n .
— - — Ax , — - — Ax , ... , ------ ------- Ax ; e n to n c e s
yo + y i A
b f { x ) d x - y—° +- —y i Aa x H,------y i + —y 2 AA x H,—
a
¿
y * - i +-----y n A.x
H,--------
¿
¿
f ( x ) d x = ¡ ^ - ^ 1 + y 1 + y z +■■■ + y n- l ^ A x
( 22)
l,n la fig u ra 2.19 se m uestra el p o líg o n o rectangular cu y a área alge b ra ica es la
a p ro x im a c ió n del v a lo r de
f ( x ) d x u sando la fó rm u la 2 2 .
Igu a l que en el caso anterior, cuanto m a yo r es el núm e ro n, es m ejor la
a p ro xim a c ió n al v a lo r de la integral.
Fig. 2.1 9
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145
T Ó P IC O S D E C Á L C U L O - V O L U M E N II
2.10.3 A PR O X IM A C IÓ N PO R PA RÁBOLAS (FÓ R M U LA DE SIM PSO N )
P r o p o s ic ió n 5.
g ( x ) = A x 2 + Bx + C , donde x 6 [a; b ] , y 0 = g ( a ) ,
Se a
( a + b\
yi = s ( — 2 ~ J ' y 2 = 9
En ton ce s
AAxx
,
/*
I G 4 x 2 + B x + C ) d x = — [y 0 + 4 y t + y 2] , d o n d e A x
Ja
b — a
(2 3 )
^
D e m o s t r a c ió n
P o r el se gu n d o T e o re m a Fundam ental del C álculo ,
rb
A x3
(.A x 2 + B x + C ) d x =
Bx2
~ T + ~
+C *
Lu e go de efectuar las operaciones indicadas se demuestra que
fb
j
Ax
( Ax2 + B x + C) dx = — [ y2 + 4 y 1 + y 0].
y = A x 2 + Bx + C
C o n sid e ra n d o esta p rop osición , si la parábola
pasa p o r los
puntos
/a + b
\
2~ ¡ y i ) ■ p2( b ; y 2)
P0(a-,y 0) , P i
.
entonces el área algebraica bajo la parábola está dada por (23).
Sea f una fu n c ió n continua en [a; b]. Para hallar una a p ro x im a c ió n de
la idea b ásica es a p ro xim a r la gráfica
d iv id im o s
el
intervalo
[a; b]
en
de f
n partes
f(x)dx,
por arcos de parábolas.
iguales,
donde
n es
Para
par.
Sean
{ x 0 , x 1, x 2, ...,xn } los extrem os de los su bintervalos, y y¡ = / ( x ¡ ) , i = 1 ,2 , ...,n.
E l área a lge b ra ica bajo la p arábola que pasa p or los p untos ( x 0 ; y 0),
(x ^ y -J
Y i x 2; y 2) está dado p or ( y 0 + 4 y 1 + y 2 )A x / 3 . A s í m ism o , el área alge b raica bajo
la p arábola que pasa p or los puntos ( x 2 ; y 2), ( x 3 ; y 3) y
( y 2 + 4 y 3 + y 4) A x / 3
( x 4 ; y 4) , está dado por
y así sucesivam ente, hasta llegar al área alge b ra ica bajo la
parábola que pasa por los puntos ( x n _ 2 ; y n _ 2 ) '
( X i - n 'y n - i X
( x n ; y „ ) está dado
.
Ax
p or ( y n- 2 + 4 y n _ ! + y n ) A x / 3 .
P o r tanto,
fb
Ax „
f^
Ax
J
J
A x,
f { x ) d x = — (y 0 + 4 y x + y 2) + — (y 2 + 4 y 3 + y 4) +
+ —
(y „_2 + 4 y n_ 1 +
f ( x ) d x s — [(y 0 + yn) + 2 (y 2 + y 4 + ... + y n_2) + 4 ( y t + y 3 + ... + y n- i ) ]
E sta fó rm u la es llam ada f ó r m u la de S im p s o n .
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146
yn)
(2 4)
INTEGRAL DEFINIDA
E je m p lo 41. P ara n = 10, calcule por a p ro x im a c ió n el v a lo r de
f" 1 4 d x
J0 1 + X 2
S o lu c ió n
S i n = 16, entonces Ax - (1 - 0 ) / 1 0 = 0,1.
f(x
xí
4
\ _
o
il
o
O
(i 1
4* 1
O 1
1 + x 2
X
' C
x i = 0 ,1
y x = 3 ,9 6 0 3 9 6 0 4
x 2 = 0 ,2
xi
/ (*« )
0 ,6
y 6 = 2 ,9 4 1 1 7 6 4 7
y 7 = 2 ,6 8 4 5 6 3 7 5
y 2 = 3 ,8 4 6 1 5 3 8 4
y 8 = 2 ,4 3 9 0 2 4 3 9
x 3 = 0 .3
y 3 = 3 ,6 6 9 7 2 4 7 7
x 9 - 0 ,9
y 9 = 2 ,2 0 9 9 4 4 7 5
x 4 = 0 ,4
y 4 = 3 ,4 4 8 2 7 5 8 6
T“l
II
O
*
x 5 = 0 ,5
ys = 3 ,2
o
II
NJ
O
*
co
1!
II
O o
Vj
00
X (y =
P or la fó rm u la (2 0 ) (a p ro x im a c ió n p or rectángulos),
í1
4
7 T T T d x = 0 , í [ y 0 + Vi + y 2 + ■■■ + y 9] = 3 , 2 3 9 9 2 5 9 8 9
+ x
-'o
P or la fó rm u la (2 1 ) (a p ro x im a c ió n p or rectángulos),
4
4
-i
f
Í T ^ dX - 0,1 [}>1 + y2 + ■■■+ y 9 + y io ] = 3 , 0 3 9 9 2 5 9 8 9
i
P or la fó rm u la (2 2 ) (a p ro x im a c ió n p or trapecios),
4
í r
--dx = 0,1
= 3 ,1 3 9 9 2 5 9 8 9
+ x2
P or la fó rm u la (2 3 ) (a p ro x im a c ió n p or parábolas o m étodo de Sim p so n ),
f1
J
4
0,1 r
i + x z dx ~ ~ 3 ~'-y° + y i ° + 4(-y i + y 3 + y s + y ? + y ^ +
+ 2 ( y 2 + y 4 + y 6 + y 8)] = 3 , 1 4 1 5 9 2 6 1 4
Este ú ltim o v a lo r co m p a ra d o co n el va lo r real de la integral
"1 4 d x
í0 1 + * 2
= n = 3 ,1 4 1 5 9 2 6 5 ..
es exacto hasta la séptim a cifra decim al.
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14 7
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
E JE R C IC IO S
C a lcu le los va lo re s a p ro x im a d o s de las siguientes integrales:
1.
f ^ dx
I — , p o r la fó rm u la de lo s tra p e cios y la de S im p s o n (n = 2).
R. 1,61 8 2 y 1 ,6 0 9 8 respectivam ente
2.
r 2 dx
— , p o r la fó rm u la de lo s tra pe cios y la de S im p s o n (n = 10).
'i x
R. 0 ,6 9 3 7 7 y 0 ,6 9 3 1 5 respectivam ente
3 . í V 1 —x } d x , p o r la fó rm u la de lo s tra pe cios (n = 6 ).
■'o
R. 0 ,81 0 9
4.
f3
dx
, p o r la fó rm u la de S im p s o n (n = 4).
Ji 2 x - l
R. 0,81 1 1
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1 - ......................
<.........
3
•
"
^
INTEGRALES
IMPROPIAS
ti*
En la d e fin ic ió n de la integral definid a
í f { x ) d x , fu e ron e sta b lecid a s ias d os
Ja
restricciones siguientes:
I o E l intervalo / = [a-,b] es acotado
2 o / es acotada en / D
A h o ra tratarem os de librarnos de estas restricciones, extendiendo el concepto de
integral definida al caso en donde el intervalo de integración es in fin ito o el caso
en donde la fu n ció n del integrando / presenta d isco n tin u idad infinita en [a; b].
L a s integrales que tienen estas características se llam an in te g ra le s im p r o p ia s y
son de d o s tipos:
T ip o 1: Integrales im p ro p ia s con lím ites infinitos.
T ip o 2: Integrales im p ro p ia s con lím ites finitos (con d isco n tin u id a d es infinitas).
3.1 I N T E G R A L E S I M P R O P I A S C O N L Í M I T E S I N F I N I T O S
D e fin ic ió n 1.
Se a / :/ = [ a ; + o o ) - * R
una fu n ció n continua en el intervalo /.
L a integral im p ro pia de / de a a + c o se denota y se define com o
í
Ja
f ( x ) d x = lím f f ( x ) d x
t~’+ ' Ja
r+CO
Se dice que la integral im p ro p ia I
f { x ) d x c o n v e r g e cu a n d o el lím ite existe.
•'a
S i el lím ite no existe o es infinito, se dice que la integral im p ro p ia d iv e rge .
Observación 1. Com o vim os en el capítulo anterior, si f (x ) > 0 , la integral
definida
I f(x)dx
r e p r e s e n t a el área de la re g ió n p la n a lim ita d a p o r
la gráfica de f , el eje x y las rectas verticales x = a y x = t. Luego, cuando Ia
integral impropia es convergente podem os interpretar que el valor de la integra!
es el área de la región plana infinita que se encuentra a la derecha de la recta
x = a y está comprendida entre la gráfica de f y el eje x (Fig. 3.1).
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T Ó P IC O S D F C A I C U I. O - V O I I 'M F N II
Fig. 3.1
D e fin ic ió n 2.
Sea
Fig. 3.2
/: / = ( — °° ;b] -» R
una fu n ció n con tin u a en el intervalo /.
L a integral im p ro p ia de / de — oo a a se escribe y se define c o m o
"b
rb
í f ( x) =
J—00
l‘m í f { x ) d x
t-»-00 J
S i este lím ite existe, se dice que ¡a integral im p ro pia es c o n v e rg e n te ; en caso
contrario se dice que es d iv e rge n te .
P o r otro lado, si f ( x ) > 0, V x e / y la integral im p ro p ia
f { x ) d x converge,
I
j — 00
entonces
elv a lo r de la integral representa
el área
de la
ub icad a a izq uie rd a de la recta x = b y está lim itada p or
re g ió n plana infinita
la g rá fic a de. / y el eje x
(F ig. 3.2).
D e fin ic ió n 3.
Se a /: E - * K
una fu n ció n continua en el intervalo { - o o ; + c o } .
L a integral im p ro p ia de f de — oo a + co se escribe co m o
r + 00
I
r + co
f b
f ( x ) dx = I
J — 00
f ( x ) dx + I
J — OO
f ( x ) dx
J b
donde b es cu a lq u ie r núm e ro real.
rb
,.+ 0 0
f ( x ) d x es c o n v e r g e n t e si tanto I
La integral im p ro p ia
J — 00
f(x)dx
com o
—00
/ ( x ) dx s o n convergentes, y es d iv e r g e n t e
si a lg u n a
de las
in te grales
í
im p ro pia s del lado derecho diverge.
E j e m p lo 1. D e te rm in e si la inte gral |
( x - 2 ) e xd x c o n ve rg e o diverge.
J-00
S o lu c ió n
E n esta integral se a p lica la integración p or partes con u = x — 2 y d v = e xdx.
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150
IN T E G R A L E S IM P RO P IAS
D e la d e fin ic ió n de la integral im propia, se tiene
[
■Leo
lim f (x - 2) e x d x = lim [(x - 2 ) e x - e x] 2
t-f-CO Jt
t->-CO
t
( x - 2 ) e xd x =
lim [ - e 2 - ( t - 2 ) e t + e c] = - e z -
=
t —*—oo
E l ú ltim o lím ite es de la fo rm a
lim ( t - 2 ) e c =
t-*—oo
lim (t - 2 ) e c
0. A p lic a n d o la R e g la de L ’H ó pita l, se obtiene
t - 2
lim — —
t -+—co Q 1
1
lim -----
=
0
t- » - c o — Q~
P or lo tanto, c o n c lu im o s que
r 2
f
( x - 2 ) e xd x = - e 2
J — (
E n co n clu sió n , la integral im p ro p ia es convergente y co n ve rg e a — e 2.
r+°°
E j e m p lo 2. D e te rm in e si la integral
^ _j_ 2X
—— — — - d x co n ve rg e o diverge.
x "f- 3x
5
S o lu c ió n
+0°
i
x 2 4- 2x
x 3 4- 3 x 2 4- 5
dx
i r +0
3 x 2 + 6x
1
t
lim d * = x lim [ln x 3 + 3 x 2 + 5|]
t->+cc 3 J 1 x 3 + 3 x 2 + 5
3 t-*+oo
J1
1
1
3 t-»°°
3
— lim [ln | t 3 4- 3 t 2 4- 5| - ln 9 ] = ~ ( + o o ) = + o o
P or tanto, la integral im p ro p ia dada diverge.
r + CO
E j e m p l o 3. C a lc u le
-------- r d x .
Loo
1+X2
S o lu c ió n
E lig ie n d o b = 0 , se obtiene
r +0°
dx
_ r°
dx
.y =
r +co
J_ 00 1 + X 2 ~ J_!x¡1 + X 2 + Jg
=
=
1+ x 2
' r° dx
f b dx
lim
------- 7 + lim
------- 7
a->-oo J 1 + X 2
b-*+oo J 1 + x 2
lim [a rc ta n x]
a -> -° O
=
dx
0
a
4- lim [a rc ta n x]
b-*+co
b
Fig. 3.3
o
lim [a rc ta n (a )] 4- lim [a rcta n (b )] = - ( — rr/2) 4- n / 2 = n
a-> - co
ö-»+oo
[ +°°
P o r lo tanto, la in te gral im p ro p ia I
dx
------- - es con ve rgen te y co n ve rg e a n
J-oo i + x l
1
E n la Fig. 3.3 se m u e s t r a la g rä fic a de f ( x ) =
+ x2■
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1+ x 2
T Ó P IC O S D E C Á L C U L O - V O L U M E N II
f
ax
E j e m p lo 4. M u e stre qu e la integral I
—
J\
x^
converge si p > 1 y d iv e rge si p < 1.
S o lu c ió n
Para p
f cd x _
1, se tiene que
xp
J i
—p + 1
~
Lu e go ,
C+codx
a) Si p > 1 ,
—
XP
f rt dx
=
lim
t^ + QO
1
— = lim
XP
Í-.+CO (1 - P ) t p -1
1 -p .
p -1
y la integral co n sid e ra d a es convergente.
b) Si p < 1,
/•+cod x
I— = lim
Jj x p
+
r Éd x
— =
xp
t 1' ?
lim
+° 1 - p
=:
4-00
1—p
y la integral co n sid e ra d a es divergente.
f +” dx
c) Si p = 1 , I— - = lim
Jj
XP
I —
r £d x
= lim [ln
X
t->+co
t-*+00
t] = + C
y así la integral dada es divergente.
En resum en.
3.2
■/;
xP
es conve rgen te si p > 1 y d ive rge n te si p < 1 .
IN T E G R A L E S IM P R O P IA S C O N L ÍM IT E S F IN IT O S
D e fin ic ió n 4.
Se a /: I-» R
(donde I = [a; ó »
una fu n c ió n co n tin u a en / y
lim / ( x ) = co. L a in te g ra l im p r o p ia de / de a a b se d e fin e c o m o
x-*b
f f ( x ) d x = lim í / ( x ) d x
Ja
t-*»' Ja
S i ellím ite existe, se dice que laintegral im p ro p ia
contrario se dice que es d iv e rge n te .
es c o n v e rg e n te ; en caso
L a d e fin ic ió n dada tam bién es equivalente a
rb
I
rb-E
f { x ) d x = lim
Ja
Si / ( x ) > O, V x
I
/ ( x ) dx
E" 0+ Ja
£ [ a ; b ], y la inte gral im p ro p ia
I/ ( x )
dx
es convergente,
el
v a lo r de esta integral representa el área de la re gió n in fin ita lim ita da p or la gráfica
de /, el eje x y las rectas x = a
A
x = b (F ig. 3.4).
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152
INTEGRALES IMPROPIAS
a
t
Fig. 3.5
D e fin ic ió n 5.
Se a /: / - * E
(donde / = (a; b ]) una fu n c ió n co ntin ua en / y
J im / ( x ) = oo . La in te gral im p ro p ia de / de a a b se e scrib e co m o
f f ( x ) d x = lim í / ( x ) d x
Ja
a A
S i el lím ite existe, se dice que la integral im p ro p ia es co n vergen te; en caso
contrario se dice que es divergente.
L a d e fin ic ió n dada tam bién es equivalente a
rb
r b
I f(x)dx =
lim
Ja
e~>0 J a+e
f(x)dx
I
Si / ( x ) > O, V x e [a; ¿ ] y la in te gral im p ro p ia I / ( x ) d x es convergente, el v a lo r
de esta integral representa el área de la región infinita lim itada p or la g rá fic a de /,
el eje x y las rectas x = a
Definición 6.
A
Se a f : I -» E
x = b (Fig. 3.5).
(donde / = [a; £>]) una fu n c ió n co n tin u a en /,
excepto en a lg ú n p u n to d G (a; b) en d o n d e
lim / ( x ) = o o ó
lim / ( x ) = oo.
x-*d +
En ton ce s se define
f f ( x ) d x = í f ( x ) d x + í / (x )d x
• 'a
• 'a
rb
Jd
f d
rb
l.a inte gral im p ro p ia I f ( x ) d x es convergente s i tanto I f ( x ) d x c o m o I f ( x ) d x
ja
'a
Jd
son convergentes, y es d ivergente si a lgu n a de las integrales im p ro p ia s del lado
derecho diverge.
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15 3
TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II
Observación 2. Si la función f definida en (a; b) (a p u ed e ser —oo y b pu ede
ser + 00 ) tiene dentro del intervalo (a; b) un número finito de puntos de
discontinuidad infinita c1(c2, ....,cn , entonces la integral de la función f en
(a; b) se define como
f f(x)dx = f
f(x)dx+ f
*a
• 'a
f(x)dx + ...+ f
*Cx
f(x)dx
cn - i
siempre que cada una de las integrales impropias d el segundo miembro sean
convergentes. Si p o r lo menos una de las integrales diverge, entonces
fb
I f(x)dx
ta m b ié n d iv e r g e
Ja
E j e m p lo 5. D e term ine, s i existe,
f2
dx
I —
J1 V x - 1
S o lu c ió n
1
La fu n c ió n / ( * ) =
— .- es co n tin u a en (1; 2] y
lim f ( x ) = + 00.
Lu e go ,
/ =
[
=
lim
= lim Í 2 V x - 1 ] 2 = lim Í 2 - 2 V t - 1 1 = 2
í
P o r lo tanto, la integral im p ro p ia / es convergente y c o n v e rg e a 2.
E j e m p lo 6 . M u e s tr e q ue la in te gral
f 1 dx
I
—
Jq x
co n ve rge si 0 < p < 1 y d iv e rge si
p > 1.
S o lu c ió n
a) Para 0 < p < 1, n o s queda
[ v dx
f 1 dx
— = lirn
—- = lim
J0 x P
t-*o+ Jt x p
t->o+ 1 - p
ti-P
1 -p
1 -p
y la integral considerada es convergente.
b)
Para p = 1 , I
f * dx
— = lirn
J0 x t-*o+
f * dx
— =
x
lim ( - ln t) = +00
t-o+
y la integral dada es divergente.
c)
Para p > 1 , I
[' dx
— = lim
J0 x pt-»o* J t
f 1d x
I — =
xP
lim
11
( p - l ) t P -t-o+
1
p - 1
y la integral es divergente.
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+00
INTEGRALES IMPROPIAS
/■*/«
Ejemplo 7. Calcule, s i existe, la integral I
cot 9 d.6.
■ '-fr/4
S o lu c ió n
Se o b se rv a q u e la fu n c ió n / ( f l) = cot 6 =
tiene d is c o n tin u id a d in fin ita en
se n 8
9 = 0. A s i, la integral d ad a se escribe co m o
r0
r*r/ 4
I
J - n /4
r ít/ 4
c o t9 d8 +
co t 8 d.8 = i
J-n/4
cot 8 d8
Jo
Puesto que la integral
í
c o t 8 dd = lim í
lim [ln|sen 0 | ] I l M
co t 8 d 8 -
^
e - 'O + J - n / 4
J —n / 4
0+
'
J[im+ [ ln | -s e n (e )| - l n ( V 2 / 2 )] = - o o
-
es divergente, entonces la integral dada tam bién es divergente
r o e i/x
Ejemplo 8. Calcule
I
J
— j~ d x (si existe).
x
S o lu c ió n
C
La fu n c ió n f ( x ) = —
x
tiene d isc o n tin u id a d in fin ita en x = 0. Entonces, u s a n d o el
m étodo de in te gración p o r partes, se obtiene
rr0 egl/X
' — z - d■x = -lim
J_! Ï 3.
r
-1
ff ~- ££ ep i/x
1/x
r
I1
— j - d■x = -lim [eei / * _ _ e i/*l
£->0+J_! X3
£->0+1
X
2
+ - e _1/£ - 2 e '
£
— lim
£-*0+ L
e _1/£
0
N O T A : El lim ite Um+ — - — es de la fo rm a - . A p lic a n d o la Régla de L’H ô p ita l,
résulta
e -1/£
7
limi , --------=
lim
T7t- =
— u
ni — t
£-♦0 +
e
-l/ e 2 î
l i m -------------------------r-4
= 0
n
2—* ■
£-*o+ e1'*
£-*0+ei/£^_
+ 00
Ejemplo 9. Calcule, s i existe,
I
J-co
dx
¿)
Solución
La fu n c ió n / ( x ) = — — —
x {x - 2)
tiene d isc o n tin u id a d infinita en x = 0 y x = 2.
E lig ie n d o lo s p u ntos * = - l , x
3
= l y i = 3 ,
la in te gra l d ad a se escribe
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155
TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II
dx
r +"
_
r -1
dx
r°
dx
r1
dx
r2
dx
J_m x ( x - 2 ) + J_t x ( x - 2 ) + J0 x ( x - 2 ) + Jx x ( x - 2)
J_M x ( x - 2 )
’3
dx
J,
x ( x -- 2)
i2 *(*
2)
^ f +”
dx
J3
J3
x ( x - 2)
Puesto que la integral
rt
dt
lim
t->0- J-i 0
~ 1)
rl
t-2
lim
2 ln
=
2_
-ln 3
-
t
lim
1
x -
2
2 ln
= 4-00
dx
— ------- — es divergente.
es divergente, e n to n ce s la integral I
J —oo X (.X — ¿ )
De te rm ine el v a lo r de n para el cual la integral im p ro p ia
E je m p lo 10.
-+ » / «
3X
[ ( V—
J,
x + 1
2x2 + n)
x
dx
es convergente. A d e m á s, calcule la integral para d ich o v a lo r de n.
S o lu c ió n
A l aplicar la d e fin ic ió n de la integral im propia, se tiene
f +co /
l
n
3x
\
V Í T Í " 2 x 2 + n ) dX ~
I
t
n
3x
n
~ 2x 2 + n )
(t + l ) n
lim
ln
t-* + 00
( 2 t 2 + n ) 3/4
\
dx
2n
ln -
(2 + n ) 3/4J
Com o
( f + 1) n
lim
=--------T77 =
t^+co ( 2 í 2 + n ) 3/4
lim
( t + l)n
.....— -------------------------------V 8 Í 6 + 1 2 n t 4 + 6 n 2t 2 + n 3
3
e n to n c e s e ste lím ite e xiste c u a n d o n = -
3
ó n < 2 5/2
a) Si n = - ,
2
b) Si n < - ,
2
lim ln
t-»+oo
lim
t —*+oo
,
(t+ir
i-'-i—
(t + 1 )"
,
( 2 t 2 + ± ) 3/y
3
\ ( 2 -f-| )3/4;
3
7
3
= 74 l n 74 _ o
2 ln 2
2"
ln — ------- TT7T - ln ( 2 t 2 + n ) 3/4
(2 + n ) 3/4
3
3
7
3
P o r tanto, el v a lo r de n es - y d v a lo r de la in te gral es - ln — — - ln 2.
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INTEGRALES IMPROPIAS
E JE R C IC IO S
D e te rm in e si las sigu ien te s integrales so n con ve rgen te s o divergentes. S i es
convergente, calcule su valor.
r +00
1. I
í sen
x dx
i?, diverge
r+OO .
í
2- 1
P «*
r + 00
e ~ * dx
R. i
f +c°
\x\e x d x
R' i
3- I
Jo
4.
5
I
J — 03
f'
dx
' 1
5V4
r
(*-2 )3 / 5
6. r
JO
*
fi. 2
Ve*
r 1 dx
^3
7' J
r +0°
fi- diverge
dx
n
J -co 4 x 2 + 1
/•+00
9.
Jo
**2
xdx
i
l + 9) 2
(x2
fi- —
la
dx
'» ■ /
J0 V 9 ^
n.
17
r
7T
,
0— dx~
J-2
- 2 VxTT
*.
2
fi. O
r
J0 1 + cosx
diverge
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157
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
/• ig i/x
13.
J ——
Jo x
R. d iv e rge
r +“ d x
14- {
^
R - 100
r /2
16-
dx
í—
I
x..5 d x
rr+ "
I
d iv e rge
(1 + x 3) 7/4
r +0°
17.
Rú diverge
1 — se n a~:
Jq
— —
dx
- ---------------------------------------------------------------- - R. n
J-o* * 2 +' 2x + 2
r+ O O
e-a*sen bx dx
R.
—— — (a > 0)
f +0°
I
e a* eos fax d x
R.
t
(a > 0 )
a 2 + fc2
18. í
J0
19.
'o
+"
a¿ + o¿
a
dx
7T
xVx2 — 1
2
f +0° a r c t a n x
21' J P
?
22.
•+0° d x
í +0° — d—* -
Jn
X3 + 1
r1
dx
2 tt
R.
2V3
23- J„
*• ‘« ''“ se
r +co
24.
í
R .2
e - |x| d x
J — 03
25. J V i + x “ 2/3 d x
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158
/?. 2 ( 2 V 2 — 1)
INTEGRALES IMPROPIAS
r+ca
+ 00
26 .
27-
28
I x2e ~x 3 dx
fi. d ive rge
J—OO
—
1 —
— 2x
fr+ “
—X
¿JL
I
u.
;------ 7T~ d x
Jo 3 x 2/3(x - l ) 2 '
fi. d ive rge
dx
fi. 3
■/: |V F+T|
dx
+0°
29. /_
_œ e* + e~x
1 ( I - * 3) 1' 3
3o-
c
[ +0°
dx
fi. d ive rge
x
31-
^-------i d x
J --00
œ 1 + x4
32.
J -1
fi. 0
dx
fi. d ive rge
,2 x 3( l + x 3) 4/3
fi. d ive rge
„
lr+"Vxr=T
3H
—
35.
dx
r+œ
'
/
•'0
dx
(a2+fc2)(è2 + x2)
^ ________ _
2 a b (a + b)
fr-+00
36.
e
dx
fi. 1
* — 00
( aai - e
37.
—
=
Jo V a 2 -
38.
f
Jo V4x —x 2
4
dx
f i . 7T
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159
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
3 9.
40.
41.
f n sen 6 d d
r.
R. 2V2
—...............
J0 V I + eos 9
r4
x dx
f1
dx
R. 4
,
Jo V l 6 — x 2
R. n
------------------------Jo V x ^ x 2
x5
42.
dx
R. - -
■ /-iV T T ^ 3
44
9
x 5 dx
----------------( 1 + x 3) 5/ 2
r +0°
1
's
4
5V2
/?. -----18
dx
4 5- f
l ) ( x ~ o..
8 x +. ^
15)
diverge
:r 2
¿ x 3á d x
192
4 6 ‘ Ji
1 =V x - 1
R' ~3S
r-++CcOo
7.
47.
I
2
2
x 2e~3*
dx
27
Jo
48.
f4
dx
— -----Ji x 2 - 4
/?. diverge
<•+00
x ne~x d x
49.
R. ni
Jo
r +00c o s x
50. Sabiendo que I
— p -d x =
Jo
/Tf
f +0° s e n x
I— , halle el valor de la integral I
Vx
/?. V 2 tt
dx
5 1 . Muestre que I —------ converge si 0 < p < 1 y diverge si p > 1.
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160
,—
n2
dx.
J0
V x3
INTEGRALES IMPROPIAS
52. Si G ( a ) =
'•+00
dx
^ - + xa)X
( 1 + x 2 ) . c a lc u le G (0), G ( 1), G (2 ).
/?. 7t/ 4 ; nr/4; tt/4
f +° °se n x
tí
f +0° s e n 2x
53. S a b ie n d o q u e I
------- d x = — , calcule el v a lo r de I
— r — dx.
J0
x
2
J0
x2
R. n / 2
54. E sb o ce la gráfica de la fu n c ió n F ( x ) =
I
f ( t ) d t en lo s s ig u ie n te s casos:
J — 00
s i |t| > 1
(1,
b) m
= |i
2 ,
si t < 1
Si | t | > 1
555.
5 Se
S eaa /f ((xxI -) - í ^™ * * ’ sSÍ
|x| >~ 33
i W
1
f+co
D e te rm in e m de m o d o que I
/ (x )d x — 1.
R. m = —
J-œ
18
3.3 I N T E G R A L E S I M P R O P I A S C O N I N T E G R A N D O S N O N E G A T I V O S
P r o p o s ic ió n 1.
S e a / u n a fu n c ió n no negativa en
[ a ; b ) (esto es, / ( x ) > 0 ) e
integrable en [a; t] para todo t 6 [a; b).
Si la fu n c ió n F ( t ) =
I / ( x ) d x es acotada en [a; £>), e nto n ce s I / ( x ) d x converge.
Ja
• 'a
D e m o s t r a c ió n
C o m o / ( x ) > 0, V x £ [a; fe), e n to nce s F ( t ) =
I / ( x ) d x es creciente e n [a; 6).
Ja
Por hipótesis, F ( t ) es acotada. E n to n ce s F ( t ) es creciente y acotada en [a; b).
P o r tanto,
lim_ F ( t ) existe y es finito, es decir,
t—
I / ( x ) d x es convergente,
/
• 'a
161
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
P roposición 2 (C rite rio de C om p aración )
Se a n / y
g
fu n c io n e s tales que
a) Si
0 < / (x ) <
g ( x ), para to d o x e [a ; b ), e
[a; b). Lu e go ,
integrables en [a; t], V t e
I g ( x )d x converge, entonce s
I / ( x ) d x converge.
•Ja
'a
“' a
b ) Si I f ( x ) d x
diverge, e n to n ce s
• 'a
s(x )d x
diverge.
*'a
D em ostración
S e sigu e inm ediatam ente de la p ro p o sic ió n 1 y de la d e sigu a ld a d
í f ( x ) d x < í g ( x ) d x , V t 6 [a ; b )
• 'a
■'a
dx
f +0°
Ejemplo 11. V e rifiq u e s i J
4^
" i co n ve rge o diverge.
Solución
C om o
0 < -----
1
1
< —
r
,
f +codx
, M x £ [2; + 00), y — - es co n ve rg e n te (v e r
h'2
f +°°
ejem plo 2 , p = 6 ), e nto n ce s se concluye que J
2
x6
dx
——j = = =
x
- V
Ejemplo 12 . A n a lic e el co m p o rta m ie n to de la in te gral
es convergente.
l + :
f1
dx
,
= .
Jo V x 2 + 2 x
Solución
C om o 0 <
1
,
,
f 1*
< - = , V x £ (0; 1 ], y
-p
V x 2 + 2x
Vx
Jo V x
-
1
f1
'
,
es co n ve rg e n te (v e r ejem plo
dx
4, p = 1 / 2 ) , se co n clu ye qu e
es convergente.
Jo V x 2 + 2 x
Ejemplo 13. V e rifiq u e si
fr -33
dx
.
„■=
es co n ve rg e n te o divergente.
i-o, V x 2 + 3 x + 2
Solución
1
1
C om o 0 < — - < — - , V x £ ( - 00; - 3 ] , y
x
V x 2 + 3x + 2
I
3
dx
fí 3 dx
dx
---------------------- diverge, ento n ce s
j -00
*
es divergente.
Vx2 + 3x + 2
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162
IN T E G R A L E S IM P R O P IA S
rb
D efinición 7. Se dice que la integral im propia
f f ( x ) dx es a b s o lu ta m e n te
b
co n v e rg e n te cuando I |/( x ) |d x es convergente.
Ja
P ro p o sició n 3. Si
la
integral
I /( x ) d x
es
absolutam ente
convergente,
Ja
entonces es convergente.
Demostración
Como 0 < |/ ( x ) | — f ( x ) < 2 |/ ( x ) | , se sigue, por la proposición anterior, que
l / M I —/"(■*) es convergente. Luego,
rb
r-b
rb
I /( x ) d x = I |/ ( x ) |d x — I [ |/( x ) | - / ( z ) ] dx
Ja
Ja
Ejem p lo 1 4 . Analice sí
converge
Ja
f +coCOS O 2)
-------— dx es convergente o divergente.
x
I
Ji
Solución
La integral dada es absolutamente convergente, pues
eos (x 2)
1
< —
*
r
*
, V x e [ 1 ; + c o > , y la integral
f +c° d x
Ji
—
x
es convergente.
f +° ° c o s ( x 2)
Luego, por la proposicion anterior, I
Jl
----- -— dx es convergente.
X
Proposición 4 (C riterio del Lím ite)
Sean / y g fu n c io n e s
su p o n g a m o s que
no
negativas
integrables
en
i\) S i 0 < r < + o o , entonces las integrales im p ro p ia s
•
m
lim — — = r .
x-*b- g ( x )
F = í fW d x
Ja
y
G = í g(x)dx
Ja
son a m b as co nve rgen te s o a m b as divergentes.
b) S i
r — O y G co nve rge, entonces F converge.
c) S i r = ± o o y G diverge, entonces F diverge.
D em ostración, (ejercicio para el lector).
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163
[a; t], V t 6 [a; b),
y
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
C o r o la r i o 1.
Se a
su p o n g a m o s que
f
una
fu n c ió n
integrable
en
[a; t ] , V t G [a; + 00 ), y
lim x p/ ( x ) = r < + 00 .
X->+oo
Lu e go , se tiene:
a) Si p > 1, e n to n ce s Ja+° ° / (x )d x converge.
b ) Si r
f ( x ) d x diverge.
0 y 0 < p < 1, e n to n ce s
C o r o la r i o 2.
Se a / una fu n ció n integrable en [a; t ] , V t 6 [a; b), (b e l )
y
su p o n g a m o s que lim ( b - x ) p/ ( x ) = r < + 00 .
x -*b
L u e go , se tiene
a) Si 0 < p < 1, e nto n ce s
I / (x )d x
converge.
Ja
b) Si r
o y p > 1, e n to nce s
I / (x )d x
diverge.
Ja
r ”
E j e m p lo 15. A n a lic e si
h
d*
--------- co n ve rge o diverge.
x 3V 4 x 5 + x 3 — 1
Solución
C o n sid e ra n d o que
lim x 11/2----- , ..... - -.......— ■ = — (e n este caso p = —
X -.+ 0 0
x 3 V 4 x 5
4- x 3
—
1
2
\
se concluye, p o r el c o ro la rio 1, que la inte gral
E j e m p lo 16. V e rifiq u e si
>
2
/
r +0°
dx
I
-----converge.
J2
x 3V 4 x 5 + x 3 — 1
f5
dx
I — 2---------,2 co n ve rg e o diverge.
^2
^
)
Solución
T e n ie n d o en cu e nta q ue
M
1
1
lim (x — 2 ) 3/2 ■ ------- ------- t t t t t = — 7=
J
( x - 2 ) 3/2 (x + 1 ) 3/2
3^3
( en este
caso p - 3 / 2 > 1), la integral es divergente (se usa el co ro la rio a n á lo g o al
co ro la rio 2, re e m p lazan d o (í> - x ) p por (x - a ) p).
x dx
f°
E jem p lo 17. A n a lic
e si I
jp = = = = = = ^ =
lice
co n ve rg e o diverge.
J—oo V 2 x 9 4- 8 x — 10
Solución
L a in te g ra l c o n v e rg e , p u e s
lim x
*-*+ “
x
1
• ,-------V 2 x 9 + 8 x - 10
V2
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164
( b = 2 > 1).
1INi tOKALhb lívlrKUrlAÍS
EJERCICIOS
A n a lic e la co n ve rg e n c ia o d iv e rge n cia de las sigu ien te s integrales im p ropias.
1.
dx
" +0°
í
/?. co n ve rge
J2
dx
/?. co n ve rge
x 2 + 3x + 4
r+CO
(x + l) d x
/?. co n ve rge
x3- 1
í +0° x + x3 + 3
X4 + x dx
4- J
'
í
R- co n ve rg e
R. co nve rge
X3 + X2
+0°
dx
■l
c3 Mx2 + 4
r +0° x 3 + 1
j dx
7- J2
2
R ■ diverge
j^x 2n -r1
V
dx
o
x 2 Mx2 + X + 1
+”
e -2 * d x
R. co n ve rge
x 2 + 3x + 5
> 1
R. d ive rge
r-ruo
10.
e _Ars e n ( x 2) d x
R. co nve rge
e~x dx
R. co n ve rge
r +00
11.
I
0
12'
f +"
dx
i
x 2( i + e x)
R; ¿ o n v e r ee
165
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
i,
fS
R. c o n v e rg e
dx
' J4 x V 2 5 ^ F
14
f 3 * 3 + L dx
4 ^ 1
R. co n ve rg e
fxsen’Qdx
R. co n ve rg e
l"1 _______ ^ _______
R. co n ve rg e
r 1 s e n ( x 3) d x
R co nve rge
’ h
15.
17- í
r*
18
f ' _ i ---- dx
Jo
9n
r + co
R. converge
"i-
rlv
.__________ ____________
R. co n ve rg e
J1 x4 + 5x3 + x 2 +x + l
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APLICACIONES DE
LA INTEGRAL DEFINIDA
'tts
(F'
Hn este capítulo a bo rd a re m o s a lgu na s a plicacion e s de la integral d e fin id a a ios
p rob le m as geom étricos, fís ic o s y e conóm icos.
4.1 Á R E A D E R E G I O N E S P L A N A S
CASO
I: Se a /: [a ;b ] -» IR una función continua y
f ( x ) > 0, V x 6 /. D e la
interpretación ge om é trica de la integral d efinid a se sig u e que el área de la región
R lim itada p or la grá fica de /, el eje x, las rectas x = a y x = b (F ig. 4.1) está
dada por
A (R ) =
C A S O II:
Se a n /
f(x )d x ^ u 2
y
g
d os
fu n cio n e s con tin u as
V x £ [a; b]. E l área de la re gió n
íl
en
[ a \b ] y g ( x ) < f ( x ) ,
lim itada p o r las rectas x = a A x = b
las gráfica s de / y g (F ig . 4 .2 ) está dada por:
A (n) = ( í [f(x ) - g ( x ) ] d x ) u 2
Para dem ostrar esta fórm ula, co n sid e re m o s el nú m e ro real k tal que
V x £ [a; b].
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k < g(x),
y
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Efe ctuan d o u na traslación de ejes al origen 0 ' ( 0; fc), las nu e va s e cu a cio n e s de las
y = f(_x), y = g ( x )
y de las rectas
x = a
y
x = b son,
y x = f ( x ) —k , y x — g ( x ) - k , x = a y x - b
(p o r
las
fó rm u la s de traslación y x — y — k A x x — x). P o r lo tanto, en el n u e vo sistem a
cartesiano x 10 ' y 1 se ve rifica
cu rva s
respectivam ente,
0 < g ( x ) — k < f ( x ) - k , V x e [a; b]
L u e go , teniendo en cuenta la fó rm u la del caso I, se tiene
a
Observación 1. Si la región R está limitada p o r las gráficas de x = / ( y ) ,
x = g (y ), las rectas y — a A y — b (Fig. 4.3), donde f y g son funciones
continuas en [a; b] y g ( y ) < / ( y ) , V y E [a; b], entonces el área de la región R
es
y - o
Fig. 4 .4
Fig. 4 .3
E je m p lo 1. C a lc u le el área de la re gió n lim itada por
71
y = sen x , x - 0 , x
• y ~ ®
S o lu c ió n
D e la d e fin ic ió n d ada en el ca so 1 y de la fig ura 4.4, se obtiene
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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
I ¡im plo 2. C alcule el área de la región S lim itada por
y
2 |x |
, el eje x y las rectas x = — 2 y x = 1
1 + x2
Solución
l'itr la d e fin ic ió n de v a lo r absoluto, se tiene que
r-x , x < 0
1*1 = { ;
U , .x > 0
A m , por la fó rm u la dada en el caso I y la figura 4.5, resulta
-1
x ro
= [
f°
= -
2|x|
,
j
2x
f 1 2x
------- T dx
J0 l + x 2
------- r d x +
J-2 1 + x
= - [ l n ( x 2 + 1 ) ] ° 2 + [ l n ( x 2 + 1 ) ] q = ln 5 + ln 2 = (ln 1 0 ) u 2
r.jem plo 3. C a lc u le el área de la re gió n lim itada p or la p arábola y =
eje x y las rectas x = - 2
A
x 2 + 4 x , el
x = 2.
S o lu c ió n
( »bservando la gráfica de la re gió n (F ig. 4.6), se tiene que para / ( x ) = x 2 + 4 x se
m in p le
/ ( x ) < 0, V x 6 [ - 2 ; 0]
y
/ ( x ) > 0, V x 6 [0; 2]
l’or tanto, el área de la re g ió n p ed ida se d esco m p one en la su m a de las áreas de las
regiones
y R2, es decir,
A ( R ) = A ( R 1) + A ( R 2)
f0
f2
16
32
= - l
( x 2 + 4 x ) d x + I ( x 2 + 4 x ) d x = — + — •= 1 6 u 2
J -2
J0
J
3
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169
I»
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
E je m p lo 4. H a lle el área de la re gió n F lim itada p or las gráfica s de
y - x 2 , y —x3 , x - - 1 ,
x = 2
S o lu c ió n
lin la gráfica de la re gió n F (Fig. 4.7), se ob se rva que
x 3 < x 2 , V x 6 [ - 1 ; 1] y x 2 < x 3 , V x e [1; 2]
Luego,
A (F ) =
J1
r
( x 2 - x )d x +
Jr 2( x ,3 - x 2) d x =
8
17
25 _
— + — = — u
E je m p lo 5. H a lle el área de la re gió n lim itada por las gráfica s de
y = a r c s e n x , y = a rc c o s x , y = 0
S o lu c ió n
L a s gráfica s de las fu n c io n e s y = a rc s e n x y y = a rc c o s x están d adas en la Fig.
4.8. A h o ra bien, p o r la d e fin ic ió n de las in ve rsa s de estas fun cio ne s, resulta
x = s e n y < x = e os y , V y 6 [ü; - ]
P o r consiguiente, el área de la re gió n p ed ida es
,-71/4
,4 ( 12) =
I
Jo
( e o s y - se n y ) d y = ( V 2 - l ) u 2
liste ejem plo se puede re solve r u san d o a x c o m o variab le independiente, esto es,
/l(/2) =
/•>/2/2
r1
I
a rcse n x dx + f
arcc o sxd x
Jo
J\/2/2
lis evidente que en este caso el p roced im ie n to es m ás c o m p lic a d o que el anterior,
por
lo
que
re co m e n d a m o s
al
lector
escoger
adecuadam ente
independiente antes de a plicar la fó rm u la del área.
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170
la
variable
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
K jc m p lo 6. H a lle el área de la re gió n R lim itada p or las gráfica s de
y = 4 - x 2 , y = ln (2 x - 3 ) , y = 1
S o lu c ió n
I ;i gráfica de la re gió n R se m uestra en la fig. 4.9. P o r c o m o d id a d co n sid e ra m o s a
c o m o v a r ia b le i n d e p e n d i e n t e , e s t o e s , x = ^ 4 -
y
a
ey + 3
x
-. Luego, se
obtiene
A( R) ~ l
y - ^ 3y
(L r ^ ~ J * : r y ) dy = Tey
+ ^2
- y
) 3/2
I ji-m p ío 7. H a lle el área de la re gió n R lim itada p o r las gráfica s de
y = |x3 - 4 x 2 + x + 6 | , 3 y + x 2 = 0 , x = 0 , x = 4
S o lu c ió n
I ti gráfica de la re gió n R se m uestra en la fig. 4 .10 y su área de la re gió n es
A(R) =
=
J j|x3 - 4 x 2 + x + 6¡ -
y jj dx
f4
í 4x 2
Jo
|x3 - 4 x 2 + x + 6| d x +
— dx
Jo
3
l'íii.i hallar la integral del v a lo r absoluto, tenem os en cuenta que
|x3 - 4 x 2 + x + 6| = |(x + l ) ( x - 2 ) ( x - 3)|
[ x 3 - 4 x 2 + x + 6,
0 < x < 2
|x3 - 4 x 2 + x + 6| = •{ - ( x 3 - 4 x 2 + x + 6 ) , 2 < x < 3
3- 4x2 + x + 6,
3 < x < 4
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171
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
L u e go ,
r4
/=
í \x3 — 4 x 2 + x + 6\dx
'o
= í ( x 3 - 4 x 2 + x + 6 )d x - f ( x 3 - 4 x 2 + x + 6 ) d x + f ( x 3 - 4 x 2 + x + 6 )d x
Jo
J2
h
_ 22
1
4 7 _ 71
_ T + 12 + 12 ~ T
P o r tanto, el área de la re gió n R es
71
A (R )
64
341
2
u
4 V2
( r *
1 1
64
dx = -
E j e m p lo 8. H a lle el área de la re gió n í í que se encuentra en el p rim e r cuadrante y
está lim itada p o r las cu rva s x y = 1 , x y = 3 , x - x y = 1 , x — x y = 3.
S o lu c ió n
Se ve rifica fácilm ente que las gráfica s de las cu rva s se intersecan en los puntos
>1(2; 1/2) , 6(4; 1/4) , C (6; 1/2) y D ( 4; 3/4)
L a gráfica de la re gió n Q se m uestra en la fig. 4.11. Finalm ente, el área de la
re gió n Q es
AW
= A W ¿ + M B O = [ [(i - i) - 1} i x + j ‘ | ■- (i - ;) d x
729
= (2 — ln 4 ) + ^ 6 ln ^ — 2 j =
.
In 256 "
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172
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
E je m p lo 9. H a lla el área de la re gió n F , ubicada en el p rim er cuadrante y que está
lim itada p or las gráfica s de y = x 2 , x 2 = 4 y , x + y = 6.
S o lu c ió n
L a re gió n F se m uestra en la Fig. 4.12. L o s p u ntos de intersección de las cu rva s
en el p rim e r cuadrante se hallan re solvie n d o sim ultáneam ente
ecuaciones:
y = x2
y
_ 6 _ x <=> x
= 6 - x<=>x2 + x - 6 = Q= * x = 2 (p a ra el p rim e r cu a d ra n te )
y = x 2/ 4
y
=
6 -
los pares de
x <=> —
-
y = 6 —x
6- x
x - 2 4 1 - 2 (p a ra el p r im e r c u a d ra n te )
.uego, el área de la re gió n F es
A (F ) - A (F i) + A(F2) =
J ( x 2 - ^ x 2^Jdx + j
^6 - x - ^ j d x
1
1
= 2 + - ( 2 8 V 7 - 6 8 ) = - ( 2 8 a/7 - 6 2 ) u 2
K je m p lo 10. L a re gió n F , lim itada p or la cu rva y = 1 0 * - 5 x 2
y el eje x, es
d iv id id a en d o s partes igua le s p or una recta que pasa por el origen. H a lle la
e cuación de d ic h a recta.
S o lu c ió n
L a re gió n F se m uestra en la Fig. 4.13.
L a pendiente de la recta L que pasa por
el orige n y por el punto
.r>a2) es
(a; 1 0 a -
10a — 5 a 2
m = --------------- = 10 - 5a.
a
A sí, la e cuación de la recta L es
y = (1 0 - 5a)x.
I’or otro lado, el área de la región F es
/K F ) =
I
Jo
20
( 1 0 * — 5 x 2) d x — -—u 2
Fig. 4 .1 3
3
A(F)
10
Ahora, c o m o F = F1 U F2,c o n A (F 1) = A(F2), y A(Ft ) - —— = — , e n to nce s
ra
M F i) =
I
JQ
5
10
[ ( 1 0 x - 5 x 2) - ( 1 0 - 5 a ) x ] d x = - a 3 = — = > a = V 4
6
3
l’or lo tanto, la ecuación de la recta L es y = ( 1 0 - 5 \Í4 )x .
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173
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
E j e m p lo 11. U n a p aráb ola de eje vertical corta a la c u rv a
y = x3 + 2
en lo s
puntos ( — 1; 1 ) y (1; 3). S i se sabe que las cu rva s m e n c io n a d a s encierran una
región de área 2 u 2, halle la e cuación de la parábola.
S o lu c ió n
Este p rob le m a tiene d o s soluciones.
Prim er caso:
C u a n d o la p aráb ola está por debajo de la cu rva y — x 3 + 2.
Se g u n d o caso: C u a n d o la p aráb ola está por encim a de la c u rv a y = x 3 + 2.
P r im e r caso: Se a
(F ig. 4 .14 ) la región lim itada p o r la p aráb ola b u scad a y la
p arábola se m icú b ic a y = x 3 + 2.
C o n sid e ra n d o que la ecu a ción general de una p arábola de eje vertical es
y = A x 2. + Bx + C
y que
los p u ntos ( — 1; 1 ) y (1; 3 ) pertenecen a d ich a parábola, se tiene
1 = A - B + C
3
Com o ^ C f i) =
...
(a )
= A + B + C
f (x3 +
J -i
...(/?)
2 - A x 2 ~ Bx - C)dx = 2 = > A+ 3C = 3 ... (y )
R e s o lv ie n d o ( a ) , (/?) y ( y ) se obtiene
B = 1 , A = 3 /2 , C = 1 / 2
L u e go , la ecuación de la p aráb ola es 2 y = 3 x 2 + 2x + 1.
S e c u n d o caso: Se a F-¿ U ig- l l í j región lim itada por ¡a p arabola
b u scad a y la
parábola se m ic ú b ic a y = x 3 + 2.
C o m o A(F2) =
j ( A x2 Bx + C - x 3
+
R e so lv ie n d o ( a ) , (/?)
y
- 2 ) d x = 2 = > /I + 3 C = 9 ... (A)
(A ) se obtiene que la e cu a ció n de la p aráb ola es
2y = 7 + 2 x - 3 x 2.
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174
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
K jc m p lo 12. C alcu le , si existe, ei área de la re gió n infinita c o m p re n d id a entre ia
n irv a ( 2 a - x ) y 2 = x 3, ( a > 0 ) y su asíntota vertical.
S o lu c ió n
I ;i asíntota vertical de la cu rva es x = 2a. E n la fig. 4.16 se m uestra la grá fica de
l;i región infinita Q . Lu e go ,
A (íi)
=
2 -Í'o
--------- dx — 2 lim
2a —X
-
t->2a
,2a
JÍo' t
V 2Íax —:
-.dx
= 2 lim I —= =
: dx
t_>2a Jo ^
J a 2 -— ( x - a ) :
I laciendo u — x — a se obtiene
A ( ü ) = 2 t lim _ a 2 ^ a r e s e n ( — ^ ~ ) - ^
(.* + 3 a ) v 'x ( 2 a - x )
= 2 «¿‘12- “2[iarcse" ( - ir ) - ¿ (t + 3“)V«2a-t) +
= 2“2 ( t + t ) = (3,i“2)“ 2
Fig. 4 .1 7
K je m p lo
13. D a d a la re gió n infinita í í
lim itada superiorm ente p or x y = 1,
inferiorm ente p o r y x 2 + y - x - 0 y a la izq uie rd a p o r x = 1; calcule su área
si existe.
’
S o lu c ió n
L a re gió n Í2 se m uestra en la fig u ra 4 .17 y su área requerida es
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
E JE R C IC IO S
I)
So m b re e la re gió n Í2 lim itada p or las curva s dadas y calcule su área.
1. y = c o s x , x = - -TI, x = 71- , y - 0 .
3
2
,
22
2.
y = x 2 + 2 x - 3 , x = - 2 , x = 0 , y = 0.
/*. T
3.
y = 9 - x 2 , y = x 2 + 1.
64 .
fi. y u 2
4.
y
5.
y = 3 x - x 2, y = x 2 - x.
6.
x = 0 , y = ta n x,
7.
y = x 3 + x,
8.
y = l n ( x 2) , y = ln 4 , x = e.
R. ( 4 - e ln 4 ) u 2
9.
x = e y , x = 0, y = 0 , y = ln 4 .
R. 3 u 2
3x
10. y = a r c t a n x , y = a rc c o s — , y = 0.
/2
f i- u
11. y = a r e s e n x ,
». g - V l ) u 2
x
- x
, y = 0, x = - 1 ,
1 + x2'
x = 2.
u
, n
11
88 \
/?.
“—)u
, ( 1l + - - arctan 2 +- - ln
2
5/
8
,
R : 3 tt
y = -c o sx .
5
x = 0,
y = 2,
y = a rc c o s x ,
2
R. - u 2
y = 0.
4
x = 1.
2
4\
i)
2
1 2 . y = x 3 - 3 x 2 + 2 x + 2 , y = 2 x 2 - 4 x + 2.
13. y = 4 - l n ( x + 1 ) ,
y = l n ( x + 1 ) , x = 0.
R. 2 ( e 2 - 3 ) u 2
14. í í es la re g ió n encerrada p o r la elipse a 2x 2 + b 2x z = a 2b 2.
R- n a b
15. Í1 es la re g ió n de m a y o r área encerrada p or las c u rva s x 2 — 2 y 3 = 0 ,
x 2 - 8 y = 0,
R ■ ( _5 _ + 5 ^ ) u2
y = 3.
16. í í es la re gió n de m e n o r área lim itada p o r las cu rv a s x 2 + y 2 = 2 0 ,
y 2 = 2 x 3.
R. íI 2 0 a re s e n —2 - -8\
Ju
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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
17. í í es la región de m a y o r área encerrada por las gráfica s de S x 2 - 4 y = 0 y
la elipse c u y o s fo co s son los puntos (0, ± 6 ) y cu y a longitud de su eje m enor
R-
es
V
V 5 n — 9 V 5 a rcse n — —
V3
2 J
18. y 2 ~ x = 0 , y - x 3 = 0 , x + y - 2 = 0.
(4x-xz
l9 - y =
4
( x 2 + 8 x — 40
'
. y=
x< 0
R .1 7 u >
--------- 1 6 -------- • * > - ‘ .
\-3x-16,
x < -4
20. y ( x 2 + 4 ) = 4 ( 2 - x ) , y = 0 , x = 0.
/?, ^ _ l n 4 j u 2
2 1 . y = x 3 + x - 4 , y = x, y = 8 - x .
22. y — e x , y - e ~ x , x = 1.
r ^e ~
2 3. y — 2 x + 2 , x = y 2 + l , x = 0 , y = 0 , x = 2.
24. y = \ x ~ 2 \ ,
e u2
^
4
R. ( i s + í v
y + x 2 = 0 , x = 1 , x = 3.
R
— u2
'
25. y = y/'x2 - 3 ,
y = \ x - 1|, y = 0.
26. y = |sen x| con x e [0 ; 2tt] , y + x = 0 , x - 2 n = 0.
^
6
^ ]n3 - i ) u 2
R. ( 4 + 2 n 2) u 2
x2- 4
2 7 - y = ^ T _ 16 > x = - 3 ' X = 3 . y = 0.
28. y = arcsen x , y = a rc co s x , x = 0.
R. ( 2 - y j l ) u 2
29. y = arcsen x , y = a r c c o s x , y = 0.
r_ (y¡2 - i ) u 2
30. y = x 3 + 3 x 2 + 2 , y = x 3 + 6 x 2 - 2 5 .
31. y = x 2 , y = 8 — x 2 , y =
4 x + 12.
32. y = x 2 , 2 y = x 2 , y = 2 x .
<3. y + * = o , y = [ / ( t ) d t , d o n d e / ( í ) = í 3 f 2 1
f < 2 .
Jo
l — 2 t — 1 , t.> 2
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r . 108 u2
R.
64u2
K. 4 u 2
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
3 V 3 -7 T
R.
34. y = t a n 2* , y = 0 , x - — , x = 0.
35. x zy — 2 , x + y = 4 ,
* = 1,
\
ó
R. ( 9 / 4 ) u 2
* = 2.
36. y = x 4 , y = 8 x.
R. ( 7 9 / 5 ) u 2
37. y = x 3 - x , y = s e n f a x ) .
fi- ( í 4 ) " 2
38. x = 4 y - y 2 , x + 2 y = 5.
R. ( 3 2 / 3 ) u 2
39. y = s e c 2x , y = t a n 2x , x = 0.
«
. ( í - i y
1
40. y =
1
, 2 y = x 2.
*■ ( I 4 ) “ 2
+ x2
R. ( 3 n a 2/ 8 ) u 2
41. x 2^3 + y 2/3 = a 2!3.
8a3
42. x
/?.
= 4ay,
43. y =
| 2 0 x + a: 2 - x 3\ , y -
44. x =
y 3 —2 y 2 — 5 y + 6 , x =
/?. ( 2 3 2 1 / 1 2 ) u 2
0.
2 y 2+ 5 y - y 3 -R. 6 .( 2 5 3 / 6 ) u 2
'1
V3
4 5. y = a r c s e n 2 x , x = — ■
J
4
R.
46. y =
x e 8_2x\
y = x.
/?.
47
^ T 4 '
y = 0,
y =
4a"
2 a 7r — •
* = 0 'x =
V3
n
4'
e — 73
48. y =
R.
x 3 e 8 -2 * 2, y - 4 x .
49, y = | j c - l| ,
R. ( 7 / 3 ) u 2
y = x 2 - 2x , x = 0 , x = 2 .
50. y = V x T T - V x - 1, x = - 1 , x = 1.
R. 3 V 2 u 2
51. (x + y ) 2 = 16x, 5x + y = 8 .
R. 1 8 u 2
52. y = |x - 2| - |x - 6|, x - y = 4 .
R. 8 u 2
53. y = |x - 5| - |x + 3|, x + y - 2 -
0.
5 4 . y = se n x + | cosx| , x = - n , x - n , y = 0 .
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178
fí. 3 4 u 2
fi. 4
u
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
T>5. y =
X2
r, x
(4 —x 2) 3/ 2 ’
0, x — 1, y — 0.
R,
' X ~ L> y ~ u-
56.
y =
60 (x s - x 4 + x 3), y = - 2 x , x 2 =
.r)7.
y = x + se n x, y = x, x = 0, x = - .
1.
8x
= y 3,
52 u 2
R.
R —~ ^
6
58. 8 x = 2 y 3 + y 2 - 2 y ,
ty f'
2
’
y 2 + y -
u2
R. — u 2
2 = 0.
96
37
R. — u 2
59. x + y - y 3 = 0 , x - y + y 2 = 0.
12
60 . y -
c s e n ( - ) ln ( s e n
61 . y 3 ( x -
R . 2 a c ( l - ln 2 ) u
, x = 0 , x = an.
2
R . 9 u ,2
2 ) 2 = 1 , y = 0 , x = 1 , x = 10 .
62. y ( x 2 + 4 ) = 8 , 3 x 2 - 4 y - 8 = 0.
R . 2(7r +
,2
2 )u
63 . Í2 es u n a rc o d e la c ic lo id e c u y a e c u a c ió n p a ra m é tric a es
x
c i( t
s e n t),
y = íz (1 — e o s £).
R . 3 tccl2
f 2n
Su ge rencia : 4(.fi) =
y dx.
6 4 . D. es la r e g ió n lim it a d a p o r el a stro id e x = a e o s 3 t , y = a s e n 3 t.
3
/? .
-7 T U 2
8
65 . D. es la f ig u r a c o m p r e n d id a entre la h ip é rb o la
x 2 - y 2 = 9 , el eje x
d iá m e tro d e la h ip é r b o la q u e p a sa p o r (5 ; 4).
R. 9 l n 3
y el
2 \x \
66 . f í e s la r e g ió n lim it a d a p o r la g rá fic a d e / ( x ) = -------- - , el eje x y la s d o s
1 -f* X
re ctas v e rtic a le s c o r re sp o n d ie n te s a las a b s c is a s de lo s p u n t o s m á x im o s
a b so lu to s.
A (]n 4 )u 2
67 . í í es la r e g ió n lim it a d a p o r la g r á f ic a d e / ( x ) = 2 x 4 - x 2 , el eje x y las d o s
re ctas v e rtic a le s q u e p a s a n p o r lo s p u n to s m ín im o s re la tiv o s.
R. (7 / 1 2 0 ) u 2
60 .
69 .
e s la r e g ió n e n c e rra d a p o r y 2 = x 2 - x 4.
R. (4 / 3 ) u 2
Cí e stá lim it a d a p o r u n la z o d e la c u r v a a 2y 4 = x 4 ( a 2 - x 2).
n 4íj2 ?
R.
— u2
5
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17 9
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
70. £2 e s t á encerrada por un lazo de la curva 16a4y 2 = b2x (a —2 cu).
nh
ab
R. -
u2
71. Q está encerrada p or el lazo de la curva ( x 2 + y 2)3 = 4 a 2x
y^
30
Q está encerrada p or la lem niscata ( x 2 + y 2) 2
72
a (x
V )■
R. a 2 u 2
73. Q está acotada p o r y ( 4 + x 2) = 5 y el se m ic írc u lo su p e rio r de
S. ( 2 - 5 a r c t a n - + 5 ) u 2
x 2 + y 2 — 2 y = 0.
74
^
Q está encerrada p or la elipse (de eje o b licu o ) ( y - x + 3 )
- 4 - x .
R. 4 n u 2
7 5 . y = 9 - x 2 , y = ln (x - 2) , y = 2 .
E n cada un o de lo s siguientes ejercicios grafique ía re g ió n ilim itad a Q. y halle
II
su área (si existe), si se sabe que Q está co m p re n did a entre las grafica s de.
n
1 . y = s e c h x y su asíntota.
2
y su asíntota.
y =
2
2U
R. 16tt u 2
x 2 + 16
3
( 4 — x 2 ) y 2 = x 4 y s u s asíntotas verticales.
R- 2n u 2
R. no existe
4 . y = a rc ta n x , 2 y = i r , x = 0 .
7T 2
n
5 . y = se c h _1x y s u a sín tota vertical.
2W
4 |xl
6' y ~ 1 + x 4 ' V
1 + x 4'
I II
R■ ~^u
m
R.3nu2
De te rm in e m de m anera que la re gió n que está p or e n cim a de
debajo de la parábola y = 2 x - x 2 tenga área igual a 3 6 u .
IV
y
mx y
K. m -
I I área de la re gió n co m p re n d id a entre la p aráb ola y = 1 2 x - 6 x 2 y el eje
x es d iv id id o en d o s partes ig u a le s p or una recta que pasa p or el origen.
R. y ~ 6 ( 2 -
I lullc la ecua ción de d ic h a recta.
V
La
h ip é rb o la
equilátera
circu nfe re n cia x 2 + y 2 =
x2 - y2 = 8
d iv id e
en
3
V4Jx
re gio n e s
a
1 6 . H a lle el área de cada u n a de las regiones.
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la
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
4.2 V O L U M E N D E U N S Ó L I D O E N F U N C I Ó N D E L A S Á R E A S D E L A S
S E C C IO N E S T R A N S V E R S A L E S
Sea S un só lid o lim itado en el espacio. B a jo ciertas co n d icio n e s es p o sib le hallar
el v o lu m e n de este sólid o. P o r ejemplo, sea Sx una se cció n plana del s ó lid o S
obtenido al cortar el só lid o con un p la n o p erpend icular al eje x en el p unto de
abscisa x (F ig. 4 .1 8 ) y s u p o n g a m o s que existe un intervalo [a; b] tal que
-
u
xe[a:b]
S i >5(5X) es la fu n c ió n área de la se cción plana (llam a d a se cción transve rsal de S )
y es continua, V x e [a; b], entonces el v o iu m e n del só lid o 5 está d ad o p or
í A(Sx) d x
Jn
Fig. 4 .1 8
Fig. 4 .1 9
E je m p lo 14. L a base de un só lid o es la región lim itada p or la elipse
b 2x 2 + a 2y 2 - a 2b 2 .
I lalle el vo lu m e n del só lid o S si las secciones transversales perpe n d iculare s al eje
x son:
¡i) T riá n g u lo s re ctá n gu lo s isósceles, cada uno con hipote n usa sobre el p la n o x y .
b) C u ad ra d os.
c)
T riá n g u lo s de altura 2.
S o lu c ió n
a) L a grá fica de la se cció n transversal del só lid o se m uestra en la Fig. 4.19. E l
só lid o es la u n ió n de los Sx, x 6 [— a; a], donde Sx es un trián g u lo rectángulo
isósceles de área
M S X) ~ \ b h = ^ ( 2 y ) h = \ ( 2 y ) y = y 2 = ^ ( a 2 - x 2)
Lu e go ,
b2
F=Jf a —
(a 2 - x 2) d x - i^ -ab2J u 3
/4
\
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
h) S i las se ccion e s transversales so n cuadrados (F ig. 4.20), el só lid o queda
descrito c o m o la u n ió n de lo s Sx, x E [ - a ; a], tal que Sx es un cu a d ra do
lado 2 y = — y¡a2 -
e
x 2 . Luego, el área de la se cció n Sx es
¿ ( S * ) = ( 2 y ) 2 = 4 y 2 = 4 ^ ( a 2 - x 2)
P o r tanto, el vo lu m e n del só iid o es
y =
b2
4 ^ j ( a z - x z)dx = ( ^ - a b ^ u 3
í
JJ~a
~-n
&
c) S i las se ccio n e s transversales son trián gu los de altura 2 (F ig . 4.21), ei s o lid o es
la u n ió n de los S *, x 6 [ - a ; a], tal que S * es el trián g u lo de altura 2 y base
2 y = — J a 2 - x 2 . Así, el área d é la se cción p la na es
a
1
2b r — —
A(.Sx) = - ( 2 y ) 2 = 2 y = — J a 2 - .
P o r tanto, el v o lu m e n del só lid o resulta
V =
/-fl U
—
___ ____ _
y /a 2 - x 2 dx = (n a b ) u 3
La a
l 'i c m n lo 15
e lipses
U n a recta se m ue ve paralelam ente al p la no y z cortando a las dos
b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2 A
c 2 x 2 + a 2z 2 - a 2 c 2, que se encuentran en los
p lanos x y y x z respectivam ente. C a lc u le el v o lu m e n del cu e rp o asi engendrado.
Solución
Kn este sólid o, la se cción Sx
es un ro m b o (F ig. 4 .2 2 ) cu ya s d ia go n a le s so n
2 y A 2z. L u e g o , el área de la se cció n plana es
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---------------
U
, ........ .....
(lom o y = — y a 2 — x 2 A z — — J a 2 — x 2,
a
a
entonces el v o lu m e n del s ó lid o es
[a
=
|
J —a
be
2 — ( a 2 - x 2) d x
^
= (?a f,c )U=
E J E R C IC IO S
1.
L a base de un só lid o es un círcu lo de radio r. T o d a s las se ccion e s transversales
del sólid o, p erpendiculares a un diám etro fijo de la base son cuadrados.
Determ ine el volum en del sólido.
R. ( 1 6 r 3/ 3 ) u 3
U n só lid o tiene p or base un círcu lo de radio 1 y su s intersecciones con p la n os
perpendiculares a un diám etro fijo de la base so n triá n g u lo s re ctá n gu lo s
isósceles c u y a s h ipo te nu sa s son
las respectivas cuerdas de
los círculos.
D e te rm in e el v o lu m e n del sólido.
R. ( 4 / 3 ) u 3
V
H a lle el v o lu m e n del s ó lid o S que es la parte co m ú n a dos c ilin d ro s circulares
rectos de radio r, su p o n ie n d o que sus ejes se cortan perpendicularm ente.
R. ( 1 6 r 3/ 3 ) u 3
4.
L a base de un s ó lid o es una elipse c u y o s ejes m id e n 2 0 y 10 unidades. L a
intersección de este só lid o con un plano p erpend icular al eje m a y o r de la
elipse es un cuadrado. C a lc u le el vo lu m e n del sólido.
R. ( 4 0 0 0 / 3 ) i í 3
5.
H a lle el vo lu m e n de un só lid o S cu ya base es un círc u lo de rad io 3 y cuyas
se ccion e s plan as p erpendiculares a un diám etro fijo son triá n g u lo s equiláteros.
R. 3 6 v Í u 3
(>. L a base de un só lid o es la re gió n entre las p arábolas x = y 2 y x = 3 — 2 y 2 .
H a lle el v o lu m e n del s ó lid o si las secciones transversales p erpend iculares al
eje x son cuadrados.
R. 6 u 3
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183
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
/
1 ;i base de un só lid o es la región entre las parábolas y = x 2 A
y - 3 — 2 x 2.
H alle el v o lu m e n del só lid o si las secciones transversales perpe n d iculare s al
eje y son triá n g u lo s rectángulos isósceles, cada uno de ellos co n la h ipo te nu sa
sobre el p la n o x y .
R .( 3 / 2 ) u 3
8 . E l punto de intersección de las d ia go n a le s de un cuadrado (de lado variab le ) se
d esp laza a lo largo del diám etro (fijo) de una circun fe re ncia de ra d io 3. E l
plano
del
cu ad rado
perm anece
siem pre
p erpend icular
al
p la n o
de
la
circunferencia, m ientras que d o s vértices opuestos del cu a d ra d o se d esp lazan
por la circunferencia. H a lle el v o lu m e n del cuerpo así engendrado.
R. 7 2 u 3
9.
U n c ilin d ro circ u la r recto de radio r es cortado p or un p la n o que pasa p or un
diám etro de la base bajo un á n gu lo a respecto al p la n o de la base. H a lle el
vo lu m e n de la parte separada.
R. ( 2 r 3ta n a / 3 ) u 3
10.
E l triá n g u lo c u y o s vértices so n 0 ( 0 ; 0 ), A (a; b ) y B ( 0; b ) gira alrededor del
eje y . H a lle el v o lu m e n del co n o obtenido.
R. ( n a 2b / 3 ) u 3
11.
L a base de un só lid o es un círc u lo de rad io 3. T o d o p la n o perpe n d icular a un
diám etro d ad o interseca al só lid o en un cuadrado que tiene un lado en la base
del sólid o. C a lc u le el v o lu m e n del sólido.
R. 1 4 4 u 3
12.
L a base de un s ó lid o es la re gió n lim itada p or
y = 1 —x 2 , y = 1 — x 4 .
Las
d eterm inadas
se ccio n e s
tran sve rsales
del
só lid o
p or
p la n o s
perpe n d iculare s al eje x so n cuadrados. Encuentre el v o lu m e n del sólido.
13.
E n un só lid o las se ccio n e s transversales p erpend iculares al eje y son círc u lo s
c u y o s diám etro s se extienden entre la cu rv a
x = ^[y
y la recta x = y.
C a lc u le su vo lu m en.
R. ( t i/ 1 2 0 ) u 3
14.
L a base de un s ó lid o es un círcu lo lim itado p o r
x 2 + y 2 = 25
y las
se ccio n e s tra n sve rsales p erpendiculares al eje y so n triá n g u lo s equiláteros.
C a lc u le su vo lu m en.
15.
U n c ilin d ro recto c u y a base es una elipse está cortado p o r un p lan o in clin a d o
que pasa p or el eje m e n o r de la elipse. C a lc u le el v o lu m e n del cuerpo
engendrado, sa b ie n d o que la lon gitu d del eje m e n o r de la elipse es 8 y la
lon gitu d del sem ieje m a y o r es 1 0 .
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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
4.3 V O L U M E N D E UN S Ó L ID O D E R E V O L U C IÓ N
plan a'u red ed or^ e u n a í e c í f í^ c l)™ id a \n ne r l t 7 d bT ' d0
^
^
llama eje de revolución.
P
6 la r e g lo a La recta fiJa se
4.3.1 M E T O D O D E L D I S C O C I R C U L A R Y D E L A N I L L O C I R C U L A R
:*,"< £
•'!
4 M t 'o t o i i a d T T
r
a y - X = * ' ( F ig - 4 2 n U se c c ió " t r a s v e r s a l
q « p a l l l r e 'r T / “ “5" del SÓW0 5
P '“ o Perpendicular
•
i ^ r ,
P or x e
es un círcu lo de radio i v i = I f f r 'U
c irc u la r). E l area de esta se cción es
1/ M I
A (sx) = n y 2 = n [ f ( x y\2 i x e[a;b]
I -ucgo, p o r el m étodo de las se ccion e s transversales, el v o lu m e n de 5 es
Observación 2. Sea S el sólido de
' t'volucion obtenido p o r ¡a rotación en
h>rno a l eje y de la región plan a R limitada
,a c u n a x = 9 ( y ) (g continua en el
intervalo [ c ; d ]), e l eje y y ¡as rectas
v - c A y - d (Fig. 4.25).
/ monees el volumen d el sólido es
n fc [g(y)l2 d y ' j u 3
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m «*
(d isc o
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Observación 3.
Sean f , g \[ a - ,b ]
R funciones continuas cuyas gráficas se
encuentran a un mismo lado del eje x, y además \g ( x ) \ < ] / ( x ) | , V x 6 [a; ó].
Sea S el sólido de revolución que se obtiene p o r la rotación en torno al eje x de la
región ü acotada p o r las curvas y = f ( x ) , y = g ( x ) y ¡as rectas verticales
x — a , x = b (en la fig. 4.26, solamente se muestra el caso 0 < g { x ) < / ( x ) ) .
Como la sección transversal Sx obtenida p o r la intersección de S con un plano
perpendicular al eje x que p asa p o r x G [a; b] es un anillo circular (Fig. 4.27),
entonces el área del anillo circular es
¿ ( S * ) = Tt { [ f ( x) ] 2 - [ g ( x ) ] 2} , x G [a; b ]
Luego, el volumen del sólido de revolución S resulta
[ g ( x ) ¡ 2] d x
u
re vo lu c ió n es
-a v
- r ¿) d x
u
donde R es el ra d io m a y o r del a n illo circu lar y r es el ra d io m e n o r (fig. 4.26), S i
r = 0 , la fó rm u la es la que se obtiene p or el m étodo del d isc o circular.
Observación 4. Sean f , g : [ a; b] -> E funciones continuas cuyas gráficas se
encuentran en un mismo lado de la recta y = c y \ g ( x ) — c| < \ f ( x ) — c\,
V x G |a; b]. Sea S el sólido de revolución que se obtiene al hacer rotar en torno
a la recta y = c la región Q 1imitada p o r ¡as gráficas de y = f (x), y — g { x ) ,
x
a y x = b (Fig. 4.28).
/■'.monees el volumen del sólido S es
V -•
J
( l / ' M - c ] 2 - [g ( x ) - c ] 2} d x j u 3
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186
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Observación 5. Si la región Q limitada p o r las gráficas de x = / ( y ) , x = g ( y )
r las rectas horizontales y = c , y = d gira alrededor de la recta vertical
x - k (Fig. 4.29), donde las gráficas de f , g están a un mismo lado del eje de
rotación y \ g ( y ) - k\ < | / (y ) - k \ , V y 6 [c;d]. Entonces el volumen del
sólido de revolución obtenido es
v = (rc /cV ( y ) - k ] 2 - [ g ( y ) - k ^ d y ^ j u 3
E je m p lo 16.
C a lc u le el vo lu m e n del só lid o generado p or la rotación alrededor
del eje x de la re gió n lim itada p or las gráficas de y = e x, x = 0 , x = 1 , y = 0 .
S o lu c ió n
l-a re gió n se m uestra en la fig u ra 4.30. A p lic a n d o el m étodo del d isc o (R - e x), ■
se obtiene
V = n f ( e x) 2 d x = n í e 2x d x = ^ ( e 2 - 1 ) u 3
Jo
Jo
2
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TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
E je m p lo
17. L a re gió n
lim itada p or las gráficas de y — a r e s e n x , y — 0 y
x ~ —1 gira alrededor del eje y. C a lc u le el v o lu m e n del s ó lid o engendrado.
S o lu c ió n
Com o
el
eje de
rotación
es
el
eje y ,
co n sid e ra m o s
a y
com o
variable
L a re gió n lim itada p or las gráficas de y - x 2, y - V *
y x - 2
independiente. L a re g ió n se m uestra en la Fig. 4.31.
C o m o R = 1 y r = - s e n y , entonces el vo lu m e n del s ó lid o es
ry
1
1°
1
= ir - + - ss eenn ( 2 y ) j
2
4
J- E
n 2
2
E je m p lo 18.
= — - u3
4
gira alrededor del eje x. C a lc u le el vo lu m e n del sólido.
S o lu c ió n
L a s cu rva s y = x 2 y y = V *
se cortan en los p u ntos (0; 0 ) y (1; 1). E n
la
Fig. 4.32 se m uestra la re gió n entre ellas y la recta x = 2. E n la p rim era región,
(0 < x < 1 ) una se cción transversal es un a n illo circu la r co n ra d io m en o r r = x
y radio m a y o r R — V * . E n la se gu n d a re gió n (1 < x < 2 ), la se cció n transversal
es un a n illo circula r con rad io m en o r r = yfx y rad io m a y o r R = x 2.
P or lo tanto, el vo lu m e n del s ó lid o S es
V = n
- ( x 2) 2] d x + n ¡ \ ( x 2) 2 - ( ^ f ) d x
3
X
x = 3
Fig. 4.32
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188
Fig. 4.33
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Ejem plo 19. L a re gió n lim itada p o r la circunferencia
( x + 2 ) 2 + ( y >- 2 ) 2 = ]
j'.iiii a lie d e d or de la recta x — 3. C a lcu le el vo lu m e n del só lid o ge n e rad o (to ro de
revolución).
S o lu c ió n
I .a re gió n se m uestra en la fig. 4.33, donde
/ ( y ) = - 2 - V i - (y - 2) 2 A
A sí, el ra d io m a y o r /? y el
= 3 - / (y ) = 5 + V i
g ( y ) = - 2 + / i - ( y - 2)T
rad io m en o r r son, respectivam ente,
- (y - 2) 2 y r = 3 - 5 (y ) = 5 - v' l - ( y -
2)2
Lue go , el vo lu m e n del só lid o de re volu ció n es
V = 7i
( R 2 - r 2) d y = n
2 0 ^ Y ^ ( y ^ 2 y dy
= ÍOn [ ( y - 2 ) V i - ( y - 2 ) 2 + a r c s e n ( y - 2 )]
Ejem plo 20.
L a re gió n
lim itada por la elipse
0 < b < a gira alrededor de su eje m ayor.
generado.
= ( 1 0 n:2) u 3
b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b z
con
C a lc u le el vo lu m e n del só lid o
Solución
C o m o la elipse es sim étrica respecto al
eje m ayor, p o d e m o s co n sid e ra r que el
só lid o es generado p or la rotación de
la re gió n som bread a en la fig. 4.34
alrededor de! eje x. A s í, el rad io de
g iro del d isc o circu la r es
b i-----------R = y = -V a 2- x2
a
P o r consiguiente, el
só lid o de re v o lu c ió n es
vo lu m e n
ía
V = nj
del
í a b2
R 2d x = n J
/4
\
— ( a 2 - x z ) d x = y - a b 2n j u 3
Ejem plo 21. L a re gió n infinita co m p re n did a entre la cu rva x + x y 2 - y = 0 y
su asíntota vertical gira alrededor de su asíntota vertical. C alcu le , si existe, el
vo lu m e n del sólido.
Solución
A l d e sp e ja r x de la ecuación, o b te n e m o s x = „ V , con lo cual la a síntota
1+ y2
vertical de esta cu rva es x = 0 (eje y ), pues y -> ±00 <=> x -> 0 .
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189
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
C o n sid e ra n d o que la cu rva (F ig. 4.35) es sim étrica con respecto al o rige n y el rad io
de giro en el p rim e r cu ad rante es R = x = ^
-j . e nto n ce s el v o lu m e n del só lid o
es
+ oo
V = 2tc í
Jo
R2d y = 2n í
Jo
ft
2
(i + y 2) 2
d y = 2 n J im _
y 2
„
,
dy
í-+ o o J/n
0 ( i + y 2Y
H a cie n d o y = ta n 9, la integral resulta
y = 2 K , ! i S . [ í arctan(>,)- 2 ( i + 7 ) ] 0
= 2” tÜ ! S , [ i a rctan (t)- 2 c T T F ) ]
E je m p lo 22. D e te rm in e el v o lu m e n del só lid o de re v o lu c ió n generado al rotar
alrededor del eje x la re gió n infinita co m p re n d id a entre la recta y = O y la cu rva
y =
L
S o lu c ió n
1.a resiión se m uestra en la Fig. 4.36. A l aplicar el m étodo del disco, se obtiene
r+ “ / i
i' H
\2
1 te )
= , M im
j V
«
r +"
_!
; t 3 ‘b
«fe = ’' , l i ? „ l - 3 * ' ‘ /3 l'l = * tü 5 . ( - í r o + 3 )
= 37T u 3
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APLICACIONES DE LA INTEGRAL.DEFINIDA
4.3.2 M É T O D O D E L A C O R T E Z A C IL IN D R IC A
Sea f \ [ a; b] -» K , a > 0
una fu n ció n continua y n o negativa y S el s ó lid o dé
re volu ció n obtenido al hacer rotar en torno al eje y la re gió n í í lim itada p or las
f raileas y = / ( * ) , y = 0, x = a A x = b (F ig. 4 .38 )
i:i só lid o S (F ig. 4 .3 9 ) puede ser con sid e rado c o m o la u n ió n de lo s c ilin d ro s C
x G [a; b], es decir,
*’
5=
U
Cx
x e [ a :b ]
C o m o el área (lateral) de cada c ilin d ro circular recto Cx está d ad o por
A( CX) = 2 n x f ( x ) ; x 6 [ a , b]
se deduce que el vo lu m e n del s ó lid o S es
K = í
A(Cx ) d x - 2 n f x f ( x ) d x
Ja
Observación
6.
Sean
f ,g : [a; b] -> M
funciones continuas en [ a; b] tales que
,<l(x) < / ( * ) , V x e [a; b], y S e l sólido de
revolución obtenido al hacer rotar alrededor
de la recta x - c , con c < a, la región Q
limitada p o r las curvas y = f ( x ) , y = g ( x )
r las rectas
x = a y x = b (Fig. 4.40).
l-.ntonces el volumen d el sólido S es
Fig. 4 .4 0
V = Í2 n
(x - c) [ f ( x ) - g ( x ) ] d x
u
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191
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN 11
Observación
7.
Sean
f , g \ [a; b] •-> E
funciones continuas en [a; b] tales que
g ( x ) < f [ x ) , V x e [a, b], y S el sólido de
revolución obtenido al hacer girar alrededor
de la recta x = c, con c > b, la región Q
limitada p o r las gráficas de x = a , x = b ,
y = f ( x ) , y = g ( x ) (Fig. 4.41). El volumen
del sólido S es
K = ( 27t J
(c - x ) [ f ( x ) - g ( x ) ] d x " j u 3
Fig. 4.41
Observación 8. Sea Q la región limitada
p o r las gráficas
x = f ( y ), X = g ( y ) ,
y = a A y = b (Fig. 4.42), donde f y g son
continuas en fa; b] tales que g ( y ) < / ( y ) ,
V y G [a, b] , y S el sólido de revolución que
se obtiene a! hacer rotar la región Q
alrededor de la recta y = c, con c < a . El
volumen de S es
V = (^2n
j (y - c )[/(y ) - s (y )] d y j u 3
Observación 9. Sea Q la región limitada p o r
las gráficas de x = g (y ) , x = f ( y ), y = a
A y — b (Fig. 4.43), donde f y g son
continuas en [a; fa] tales que g { y ) < / ( y ) ,
V y 6 [a; b], y S el sólido de revolución que
se obtiene al hacer rotar la región Q
alrededor de la recta y = c, con b < c. El
volumen del sólido S es
V = ^ 2n
J (c-y)[f(y) - g(y)]dyju3
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Fig. 4.43
A P L IC A C IO N E S D E L A IN T E G R A L D E F IN ID A
l'.jem plo 23. Encuentre el vo lu m e n del só lid o e nge n dra do al g ira r sob re el cíe y
l:i región lim itada p o r la cu rva y = (x - 2 ) \ el eje x y la recta x = 3 .
S o lu c ió n
1.a re gió n se m uestra en la fig u ra 4.44. A p lic a n d o el m étodo de la corteza
leñem os
V = ZU i
X^
d x = ¿T l\2 x ( x ~ 2 ^ d x
= 2 n í (x 4 - 6 x 3 + 12 x2 - 8x)d x
h
147r
=
l'.jemplo 24.
H a lle el v o lu m e n del só lid o generado p o r la rotación de la re gió n
lim itada p or las gráfica s de x + y 2 + 3 y - 6 = 0 , x + y - 3 = 0
la recta y = 3.
alrededor de
Solución
l a re gió n se m uestra en la fig u ra 4.45. C o m o el eje de re v o lu c ió n es horizontal, el
vo lum en del só lid o es
V = 2n f
(3 - y ) l ( 6 - 3 y - y 2) - (3 - y ) ] d y
J -3
= 2n f
J_3
( y 3 - y 2 - 9 y + 9) d y
256 tt ,
= — ^— Uá
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TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
E je m p lo 25. C a lc u le el vo lu m e n del só lid o de re v o lu c ió n que se obtiene al g ira r
alrededor de la recta x = 1 la re gió n lim itada por las gráfica s de
y — ¡x2 — 2x — 3 \ , y + l = 0 , x — 1 = 0 , x — 4 = 0
S o lu c ió n
L a región se m uestra en la figura 4.46. A l aplicar el m étodo de la corteza
cilindrica, el vo lu m e n del só lid o es
V = 2n
J (x -
l ) [ | x 2 - 2x - 3| + 1 ] dx
U sa n d o la fig u ra 4 .46 y la d efinició n de va lo r absoluto, se tiene
¡xz - 2x - 3| = | 0 - 3 ) 0 + 1)1 = { _ ( * 2 ~ 2X ~ 3 ) '
2x-3,
1 ~ x<3
3 < x < 4
D e aquí resulta
V = 27r|j O _ 1 )[(3 + 2x - x 2) + l ] d x +
= 2n
( - 4 + 2x + 3 x 2 - x 3) dx +
J
J (x - 1 0
)[
Z _ 2x - 3 ) + 1 ] dx
O 3 - 3 x 2 + 2) d x
3 5 ^) = y59
,
= 2 ^ (( 6 + T
7 ru 3
E je m p lo 26.
C a lc u le el v o lu m e n del só lid o que se obtiene al rotar alrededor de
la recta y = 3 la re gió n Í1 = { O ; y ) e M 2 / O < x < c o s h - 1 0 ) - O < y < 2}.
S o lu c ió n
La región £2 se m uestra en la Fig. 4.47. E sta re gió n está lim itada p or x = c o s h y ,
x - O, y
O A
y = 2. C o m o el eje de g iro es la recta horizon tal y — 3,
entonces el v o lu m e n del só lid o de re v o lu c ió n es
V = 2 n í (3 - y ) ( c o s h y ) d y = 2 7 r [s e n h (2 ) -!- c o s h ( 2 ) - l ] u 3
Jo
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19 4
A P L IC A C IO N E S D E L A IN T E G R A L D E F IN ID A
E je m p lo 27. L a re gió n infinita co m p re n did a entre la gráfica de x y 2 = ( 3 a — x )
(<i > 0 ) y su asíntota vertical x = 0 g ira alrededor del eje y. C a lc u le el v o lu m e n
del só lid o generado.
S o lu c ió n
C o n la a y u d a de la re gió n que se m uestra en la fig u ra 4.48, el vo lu m e n del só lid o
pedido es
9 a 2n 2
— ^— u
Fig. 4 .4 8
E JE R C IC IO S
Ivn los sigu ien te s ejercicios, calcule el vo lu m e n del só lid o ge n e rad o p or la
rotación de la re gió n Q
1.
L
■
alrededor de la recta L, donde
eje x ; 12 :
y = x 2 , y = 4x. ( * )
( * ) Entién d ase Q lim itado p or las gráficas de y = x 2 A y = 4x.
2.
L: y — 0 ; I] ■y = ( x — 1)
3.
L
■
y = 0 ; SI
,
3 , x = —1 , x — 0 , y — 0.
: x 3 - 5 x 2 + 8 x — 4 , y = 0.
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195
3 1 7T
,
R. — - u 3
160
R. - ™ u '
T O P I C O S Di ; C Á L C U L O - V O L U M E N II
A.
L : y = 0; Í2: x 2 + ( y — 3 ) 2 = 1
R . 6 n 2u 3
5.
L: eje x ; ü: x 2 + y 2 - 2 b y + b 2 - c 2 = 0 (b > c > 0 )
R. ( 2 n 2b c 2) u 3
senx
7r
6 . L : e je x ; /2:y = -------------- , x = - , x
1 - c o sx
2
2
/3\
= -n
R. l n l - l u
3
\2 /
71
/2:)' = e * s e n ( e * ) , x = 0 , x = l n —
7.
L :e je x ;
8.
L : y = 4 ; Í2: y 2 = 4 ( 2 — x ) , x = 0
9.
L: eje x ; í l- . y = s e n x , y = 0 , x = 0 , x = —
/
V2\
R. I c o s l — 2 ~ ) u
1 2 8 V 2 tt
3
Tí
10. L : x = 4 ;
,
R. ----- ------ u
R. — u 3
4
R. 8 tc2 u 3
/ 2 :x 2 + y 2 = 1
4 9 rr
,
R. ------u 3
1 1 . L: x = —2 ; , í h y 2 = x , y = x 2
30
12. L: y = - 1 ; Í2:y = a r c c o s x , y = a r c s e n x , x = 1
13.
L: x = 0 ; /2 : y = V x 2 + 1 0 , x = 3 , x = 4
R.
(2 6 V 2 6 - 1 9 V l9 ) u 3
71
14. L : x = 0 ; í l : y = c o s x ,
y = 0,
x = 0,
x = -
15. L : y = 0 ; i 2 : y = ( v x - - ^ ) , x = 1, x = 4, y = 0
16. ¿ : y = 0 ;
R. 7r ( l n 4 + - ) u
/ 2V 2 /?. 16tt (■
¡— -----fi: y = 0, y = 2, x = 0, x = y j y 2 + 4
V
3
71
17. L . y = - 1 ; Í 2 : y = a r c s e n x ,
y = 0, x = —
18. L \ y = - 1 ; Í 2 : y = V x 2 - 3 , y = x - 1, y = 0
1
20. L: x = 0 ;íl: y = x 3 + x, x
,
Í7T
19. L : x = 0 ; / 2:y = ----- -t -jt , x = 0, x =
c o s ( x 2)
\4
y = 0
1671
= 1, x = 0
21. L: x = 1 ;
/ 2:y = |x 2 - 2 x - 3|, y + 1 =
22. L . y = 0 ;
í l \ y = x + 2, y 2 - 3 y = 2 x
fí. 7r u 3
i?. -y^r-
3
u
0,x = 2, x = 4
23. ¿ : e j e y ; Í 2 : y = | s e n x | , 2 x = 7r , 2 x = 37r , y =
45
R .— nu3
0
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196
,
1
A PLIC A C IO N E S D E LA IN TEG R A L D EFIN ID A
¡A. L :y = 0 ; í ¡ :y = V 4 - x 2 , y = l J x = 0 , x = V3
25. L-.y = 0 ; 12: x + y .' 6 . L: x — —1 ;
n. ^
= 0 ;
1,
V x + ^/y = 1
Í2: x = 0, y = 2,
^
= g
R. 2n\Í3u^
; ^
^
y = yfx
; . y
2
= o,* =
2 H. L : x = 0 ; . f i : y = 2 + s e n x, y = x, x = 0 , x
29. L :x
3
u
= 0 ; Í2: y = x 5, x = - 1 , x - - 2 ,
= ^
233
/?. -------t t u 3
7
y = -1
30. L :x — O - ñ \ a 2y 2 — b 2x 2 = a 2b 2, |x| = a
R. 4 ? m
—
12 u3
32. L \ y = 0 ; i2: ( x 2 + y 2) 2 = 4 ( x 2 - y 2)
33. L :x = 0r; Ñ : y = 3 x 2, y
fl. 2 t t | V 2 l n ( l + V 2 ) -
= 4 - 6x 2
/?.
34. L : x = 0 ; íl: x 2 + y 2 = 1 , x 2 + y 2 = 4
35. L :x
( Í2: c o ro n a )
u3
28
R.— nu3
OCA
/?. ------- n u 3
3
x = 8 - y 2
= 0 ; ú : x - y 2,
—
9
36. L : y = — 4; / 2 ;2 x + 3 y = 0, 4 x 2 + 9 y 2 = 3 6
37. ¿ : y
= 0;
/2: x 4 + y 4 =
4x2
38. L \x
— —2
; /2: ) x |3 - y
+ 1 = 0, x + 1 - 0 ,
39. L : x
= 5 ;
/ 2 : y ( l + x 2)
= 2,y
=
x2
40. L : y
= 4;
/ 2 : y ( l + x 2)
= 2,y
=
xz
41. L : e j e x ;
x2
y2
Í2 : — + — = 1
42. ¿ : e j e y ;
/3:
a2
y jru 3
fl.
x - 2
= 0, y = = 0
4
/?.
b2
2
a2
.
- n c i b 2u 3
3
2
+
b2
R.
1
7T
~ n a 2b u 3
3
7T
13. L \ y
= -
44. L: x
+ 1 — 0 ; ü\y =
; y = a rcta n x ,
x = 0, x =
y = 0
a rc ta n x, x = 0,4 x = n, y = 0
19?
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00 | N)
31. L :x = 4‘ ;. Í 2 : y = ( x - l ) 2, y = x + 1
TÓPICO S DE CÁLCULO - VOLUM EN II
4 5. L \ y = 2 ; íl-.y = l n x , y = 0, x = 0, y = 2
46. L :x = e 3 ; i 2 : y = l n x , y = 0 , x = 0 , y = 2
128
47.
L :x = - 2 ; í l : y = 0, y = 4 - x 2
4 8 . L-.y = 2 ;
Í 2 : y = 0,
R .^ -tcu 3
~3
44 00
r-
x = 4, y = Vx
*
R. — n u 3
~3
1
4 9 . L : y = - 2 ; ¿ 2 : y = V x - -^=, x = 1 , X = 4, y = 0
(
145\ ,
K. 7r ( h i 4 + —
Juó
SQ.
n
L: y = — 2 ; /2:x = y s e n y, x = 0, y = g
51.
L: e j e x ; ¿2 : y = ' ^ se n ' ¿ - y = 0, x = a, x = - c o n 0 < a < -
COS %
7T
7T
y
- c o s a + l n ( V 2 - 1 ) - ln ( c s c a - e p t a )
52. L: y
= 0 ; ¿ 2 : y = ( x + l ) e * , x = 0 , x = l, y = 0
53. L :x
= 0 ; /2:y = e x\
54- L \x
= 7) ü : y = x e 2*, x = l , x = 3, y =
55. L : y = - 1 ;
7T
y = 0, x = 0, x = 1
u3
R. 7r(e - l ) u 3
0
J 3 :y = l n x , y = 0, x = e
R. 7 ie u 3
56. L: eje x ; Í2: x 2y 2 + 1 6 y 2 = 16, x = 0, y = 0, x = 4 R. n z u 3
57. ¿ : e j e x ;
/a V 3
/2: T r iá n g u lo e q u ilá t e r o c o n v é rtic e s (0; 0), ( a ; 0 ), I - ; — a
na3
*•
—
58. L : x = - 3 ; /2: y = x 5 + 8 , y = ( x 3 - 2 ) 2, x = 0
59. l \e je y ; /2: es la re gió n cerrada p or el lazo de la cu rva ( y 2 - b 2) 2 = a 3x
256 nb9 _
R. ------.— r - u 3
315 a 6
60. L .’ e j e x ; Í2 es la re gió n encerrada por el lazo de la cu rva
= q x (x -_ 3a)
a> 0
R
™
( 1 5 _ 1 6 ln 2 ) u 3
x - 4a
¿
61. L: x = 4 ; Í2: x 2y 2 + 1 6 y 2 = 16, x = 0, y = 0, x = 4
R. 3 2 tt[ 1 - V 2 + l n ( 1 7 V 2 ) ] u 3
62. L : e j e x ;
fl es la región, en el p rim e r cuadrante, acotada por:
16
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,—
o
A P LIC A C IO N E S D E LA IN TE G R A L D EFIN ID A
__________
(.3. L : e ] e x ;
2
H : y = e~ xJ c o s ( e ~x ) , x = l n - ,
n
3
x = ln -
n
R ■ — [(3 - V 3 ) n - 3 ] u 3
()4. L: x =
1 ;
ú:
x 2 - 4 = y, y = - 3 x
fl.
625
------- t t u 3
6
(i.r>.
eje y ; /2 es la re gió n que se encuentra al lado derecho del eje y lim itada
p or x = 0 , ( 4 + x 2 ) y 2 = 4 - x 2
/?. 47r ( 7r - 2 ) i í 3
(>6 . A la cu rva ^ /xy - 2 x + 3 y - 6 = 0, en el punto (3; 3 ) se trazan las rectas
tangente y norm al. C a lc u le el vo lu m e n del só lid o generado p or la rotación
alrededor de la recta y = - 3 , de la región lim itada p or la tangente, la norm al
10222
R. ----------n u3
49
n o rm a l tra za d a y el eje y.
(i7. A la p arábola
y 2 = 1 2 x , en el punto de a b scisa
6 , se ha trazado una
tangente. C a lc u le el v o lu m e n del só lid o generado al g ira r alrededor del eje x,
la re gió n lim itada p or la tangente trazada, el eje x y la parábola.
R. 7 2 n u 3
(.8 . L: eje x ; íl: y = x e x, y = 0, x = 1
R. - <e 2 - l ) u 3
'
4
69. L: eje x , ü: es la re gió n lim itada p or y = 0 y un arco de la cicloid e
x —a(t
70.
L :e je y ;
71. L:x = a n ;
s e n t), y = a ( l - e os i)
R.
5 n 2a 2u 3
fl es la re gió n del p rob le m a 6 9
R.
6 n 3a 3u 3
KCL3
R. ------( 97r 2 - 1 6 ) u 3
SI es la re g ió n del p ro b le m a 6 9
6
72.
L . y = 2 a ; ü es la re gió n del problem a 69
R.
7 n 2a 3u 3
73.
L: eje x ; fí es la re gió n lim itada por x = a e o s 3t , y = a s e n 3 t.
74. Se a /; [ 0 ; + 00) -» ffi una fu n ció n continua tal q u e / ( x ) > 0 , V x > 1. Para
todo a > 1 , el v o lu m e n del só lid o generado p o r la rotación de la región
lim itada p or las g rá fica s de y = / ( x ) , x = 1 , x = a y el eje x, alrededor
/
-a
+ 2 a 2 - - j u 3. D e te rm in e f ( x ) .
del eje x es: V =
R. f ( x ) =
75.
Se a / : [0; + 00 ) -> K
Vtt
.V x 2 + 4 x
una fun ció n continua. Para todo a > 0, el vo lu m e n del
só lid o generado p or la rotación en torno al eje x de la región que se encuentra
entre la gráfica de y = / ( x ) y el eje x, desde x = 0 hasta x = a co n a > 0
es V = ( a 2 + a ) u 3 . De te rm ine / ( x ) .
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199
TO PIC O S DE C Á L C U LO - V O LU M EN II
En los siguientes ejercicios, Q. es una región infinita.
1. L a cu rva
y 2 ( 2 a — x ) = x 3 gira alrededor de su asíntota vertical. H a lle el
vo lu m e n del só lid o generado.
R. 2 n 2a 3u 3
1
x
2. Sea fl la re g ió n infinita c o m p re n d id a entre las gráficas de y = - A y =
y que se encuentra a la derecha de la recta x = 1. E l eje de rotación es el eje
x. C a lc u le el vo lu m e n del só lid o generado.
1
3. n es la re g ió n c o m p re n d id a entre la cu rva y = - 2 — ^ y s u a sín to ta y el eje
de rotación es el eje x. C a lcu le el vo lu m e n del só lid o generado.
7T2
R. Y
C
4. fí es la re gió n c o m p re n d id a entre la cu rva y = J
„
u>
_4t
— ------ d i ( x e IR) y
su asíntota y el eje de rotación es su asíntota.
3
16'
5. £2 es la re gió n co m p re n d id a entre la cu rva x y z - 4 a 2 ( 2 a — x ) y su asíntota,
y e! eje de re v o lu c ió n es su asíntota. H a lle el vo lu m e n del s ó lid o generado.
R. Anz a 3 u 3
6 . fl es la re g ió n c o m p re n d id a entre la cu rva y 2 = — — -
y s u a sín tota x = 2 a
y el eje de re v o lu c ió n es x = 2 a. C a lc u le el v o lu m e n del só lid o engendrado.
R . 2 n 2a 3 u 3
7. fi es la re gió n co m p re n d id a entre la curva
rse n x
y = \ x
(o ,
x > 0
x = 0
y su asíntota, y el eje de re v o lu c ió n es el eje x. C a lc u le el vo lu m e n del só lid o
Tí
g e n e ra d o sa bie ndo i que
í
J0
dx = 2'
TI
,
R. — u 3
2
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200
A P LIC A C IO N E S D E LA IN TE G R A L D EFIN ID A
i. i L O N G IT U D D E A R C O
Se;; / : [a; b] -» R una fu n c ió n co n d eriva d a con tinu a en [ a; b]
y
P - { x0, x 1 ,
una partición de [a ;6], E sta p artición define un a p o lig o n a l
c o n f l u i d a p o r los se gm e ntos rectilíneos desde
< M * ¿ ; / ( * ¡ ) ) , p a r a i = 1 ,2, ... , n (Fig. 4.49).
n
^ ( x , ^ ; / (*,_ ,))
hasta
n
L{p) =
= Z V O i - * ¡ - i) 2 + (/ (.rj i =1
¿=1
i I num e ro ¿ -
¡|{i|m o L(P) , si existe, se llam a
desde ei punto (a ;/ ( a ))
hasta el
que en este caso el nú m e ro Lsiem pre existe.
y = f{x)
longitud de a rc o de la cu rva
punto
(£ > ;/ (£ )). D e m o stra re m o s
C o m o f es d erivable y co n tin u a en [ x t_ i ; x t] , i = 1 , 2 .....n, por el teorem a de
L a gra n ge o del V a lo r M e d io , 3 t ¡ 6 ( x ^ X t ) tal que
= f ( t i) ( x ¡ — x ¡ _ x) , i = 1 ,2 ,..., n
f (x¿) —
I laciendo A¿x = x¿ — x
, i = 1,2,..., n , te n e m o s
■A
n
V ( A¡ * ) 2 + [ / '( t i ) ] 2 . ( A 1x )2 = V
=
V i + [ / '( t ¿)]2
Í=1
fet
l’or tanto, la longitud de arco de la cu rva y = / ( * ) desde x = a hasta x = b es
n
1 ~ I
&
I
W
M
. es decir
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TO PIC O S DE C A LC U LO - V O LU M EN II
Observación 10. La longitud de la curva x = g ( y ) comprendida entre las rectas
y = c A y = d, donde g es una función con derivada continua en [c; d], es
1 = (j
■/1 + ífj'(y)]-dyju = | J j l +
4
Observación 11. Si la ecuación de la curva C viene dada en fo rm a param étrica
mediante un p a r de funciones con derivadas continuas, esto es,
C:£ : $ r
Entonces la longitud de la curva C desde t = a hasta t = fi es
¿=
Vl*'(t)]2+ [y'(OP dt'Ju
E j e m p lo 28. H a lle la longitud de la curva
( 1 + V sec2x + 1 \
n
n
,-------------y = v se c 2x + 1 - ln ---------------------- d e sd e x = — h a sta x = '
\
secx
J
4
3
S o lu c ió n
A l aplicar las re glas de d e riv a c ió n y sim p lific a n d o se obtiene
= tan x V s e c 2x + 1
^
dx
P o r lo tanto, c o n la fó rm u la de la lon gitu d de arco resulta
f
L=
d x = f * [1 + ta n 2x ( s e c 2x + l ) ] 1' 2 dx
1 + ®
4
4 / 4
K d x J
J ” /4
rn/3
= I
E j e m p lo 2 9
s e c 2x dx = [tan x \ n
J ^ = (V 3 - l ) u
E n c u e n tre la lo n g itu d de la cu rva cuya e cu a ció n es
desde x = —2 hasta x = — 1 .
S o lu c ió n
C om o y
J
1
x4
dy
= — r + — , e n to n ce s
—
2 x 21 6
dx
l = £
4T 7 W ?
(x 3
1 \
■+ —
= £
x3 1
= —-Luego, la lo n g itu d de a rco es
4 x3
J ( £ + i )
21
I dx = —
u
- Í T ( ^ ¿ )
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202
¡i- + 1
dx
A P LIC A C IO N E S DE LA IN TE G R A L D EFIN ID A
E je m p lo 30. C a lc u le 4a lo n gitu d total de la cu rva c u y a ecu a ción es:
n
y - J^ V co st d t,
~2
n
- ^- << xx << ^-
2 ~
2
S o lu c ió n
C
r
Com o f ( x ) = J ^ V e o s t dt,
7T 7Ti
Vx 6
e n to n ce s f ' ( x ) = V c o s x
es
~2
. r
co n tin u a en el in te rv a lo
^
2
- j . P o r lo tanto,
5
___________
L = J * V 1 + co sx dx =
~2
re
dx =
P e o s (| ) dx = 4 u
“2
“2
E je m p lo 31. H a lle el perím etro del triángulo c u rv ilín e o lim itado p o r el eje de las
abscisa s y p or las c u rva s c u y a s ecuaciones son
*
y = In (c o s x ),
*e
A y = ln (s e n x ),
x6(0;n)
S o lu c ió n
Las
gráfica s de f ( x ) = l n ( c o s x ) , x 6
y de g ( x ) = l n ( s e n x ) , x 6 (0;n)
se m uestran en la fig u ra 4.50. L a s longitudes de los lados del triá n g u lo c u rv ilín e o
son
n
¿1 = 2 “
[ n /*
¿2= 1
h
_________________
( n,z /------------------¿3 = j
•'/r/4
rn ¡4
V 1 + [ / 'O O P d x = |
V 1 + [5 '( x ) ] 2
Jo
V i + t a n 2x d x = l n ( V 2 + l ) u
( n' 2 /--------------=
V i + c o t 2x dx = l n ( V 2 + l ) u
^rr/4
P or tanto, el p e rím e tro del triá n g u lo c u rv ilín e o es P =
+ 2 ln ( V 2 + 1 )] u
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203
TÓ PIC O S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II
E je m p lo
32.
C a lc u le
la
lon gitu d
de
la
parábola
se m icú b ic a
2 y 3 = x 2,
co m p re n did a dentro de la circunferencia x 2 4- y 2 = 2 0 .
S o lu c ió n
L a gráfica de la p aráb ola se m icú b ic a se m uestra en la F ig. 4.51. L o s p u ntos de
intersección
de
las
dos
cu rva s
so n
( - 4 ; 2)
y
(4; 2 ).
A h o ra ,
d e riva n d o
im plícitam ente la ecu ación 2 y 3 = x 2 con respecto a y se tiene
dx
3y2
(d x \2
9y 4
/ y 3\
9y
— = —
= > 1 + — ) = 1 4 - — 5- = 1 4 - 9 y . I —
= 1 + —
dy
x
Vdy/
x2
\x J
2
C o m o la g rá fic a de la p arábola se m icú b ic a es sim étrica co n respecto ai eje y,
entonces la lo n gitu d de arco co m p re n d id a dentro de la circu nfe re n cia es
->r
i + \ y dy =
(Viooo - i)u
•'0
Ejem plo 3 3 . L a posición de una partícula en el instante t es
x ( t ) = 1 - eos t , y ( t ) = t - sen t
Halle el recorrido total entre t = 0 y t = l
Solución
El recorrido total de la partícula es
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E J E R C IC IO S
lin cada u n o de lo s ejercicios siguientes, determ inar la lo n gitu d del arco de la
cu rva descrita p or
c
, ,a + V a 2 - x 2
i---------ra ai
/ ( x ) - a ln(-------- --------- ) - V a 2 - x 2 ,x e
R. (a ln 3 ) u
a:4 + 3
/ (*) =
,i.
* 6 [ 1 ; 3]
6x
/ O ) = X 1' 2 - - x 3/ 2,
R.
x £ [0 ; 1 ]
R. - u
/ ( x ) = V e 2* - 1 - a r c s e c ( e * ) - 1 , x -£ [0; 4]
fW
O.
=
6
R. (e 4 - 1 ) U
393
x e [2; 5]
2x
/ (x) = ln ( - x ) ,
fi' lo - “
x e [-V 8 ; - V I ]
X
X
*.
*•
* 2 - 1 - ^ l n ( x + V x 2 - 1 ) , X £ [3; 5 ]
/ (x ) = ¿ W
R. 8 u
27
/?. — u
9. x = i y5/3 ~ ^ y 1/3-y e [0 ; i]
10 , y = ( 9 - x 2/3) 3 /2,
( l + í !» § )< *■
—— —
7. f ( x ) = - a r c s e n x - - V l - x 2 , x e
I).
(y )“
4
20
9
x £ [1; 2 ]
3 /—
R. - ( V í - 1 ) u
11 . y = - W 3 - x 2 + ^ a r c s e n ^ x j , x £ [ 0 ; 1 ]
/?.
12 . y -
1 - ln (c o s x ) ,x £ ¡0 ;£ ]
fí. I n ( V 2 + 1 ) u
13. y = a r c s e n ( e * ) , x £ [0 ; 1 ]
R. ln(e + V e 2 - 1) u
x
14. y = a c o s h - ,
a
y2
x € [0 \ b]
R. a senh
i
x = T ~ 2 l n y , y e [1;e]
l(>. / ( x ) = l n ( c o t h - ) , x £ [ a ; b ] , a > 0
+
(e2 + 1
R.
R.
’
e 26 - 1
ln^
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205
/b>
_ i) + a ~ b
TÓ PIC O S DE C Á LCU LO - V O LU M EN II
59
17. / ( * ) = y + ¿ . * e [ 1 ; 2 ]
R- 7T7U
18. x = ( a 2/3 - y 2/3) 3^2 , y e [ - a ; a]
R. 3 a u
R. — [ V 2 + l n ( l + V 2 ) ] u
2 0 . x =■ e c s e n t , y =
R. vV 22 ( e ’r - 1
l ))uu
e o s t, t e [ 0 ; 7r]
R. ln
— u
2 2 . x = a (e o s t + t s e n t ) , y = a ( s e n t - t e os t ) , t e [0 ;
a]
p u n to m á s p ró x im o d o n d e la tangente es vertical.
R. ~ a a 2u
II.
E n los sig u ien te s ejercicios, halle la longitud de arco de las c u rva s que se
indican.
1.
L a lo n gitu d total de la circu nfe re n cia x 2 + y 2 = a 2
R. 2 n a u
2. L a lo ngitu d total del astroide x = a e o s 3 t , y = a s e n 3 t
3.
R. 6 a u
L a lo ngitu d del arco de la ram a derecha de la tractriz
d e s d e y = a h a st a y = b c o n 0 < b < a.
R. a l n ^ - J u
/Xn 2/3
/ y >.2/3
4. La lo n g itu d de la cu rv a ( - J
+ M
=1
en el p r im e r cuadrante.
a 2 + ab + b 2
R. -------------:------ u
5. L a lo n gitu d total de la c u rv a cu y a e cuación es
4 ( x z + y 2) - a 2 = 3 a 4/3 y 2/3
6 . L a lo n gitu d total de la c u rv a 8 y 2 = x 2 - x 4
R. 6 a u
R. W 2 u
7. La longitud de la curva 9 y 2 = 3 x 2 + x 3 desde x = - 3 hasta x - 0
R. 4 V 3 i¿
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A P LIC A C IO N E S D E L A IN TE G R A L D EFIN ID A
II
l a longitud de arco de la p aráb ola se m icú b ica 5 y 3 = x 2 c o m p re n d id a dentro
134
de la circ u n fe re n cia x 2 + y 2 = 6
R. — -u
27
•J. C a lcu le el perím etro de
y2 = 2x3 A
la re gió n
de m enor área
lim itada p or las gráfica s
x 2 + y 2 = 20
X2
II). I,a lo n g itu d de la c u rv a y = - -
I n V x , d esd e x = 2 h a sta x =
3.
I I . L a lo n gitu d de la
R. 2 u
u ir v a y = V x - x 2 + a r c s e n V x .
I L a
lo n gitu d total de la cu rv a dada p or ( y - a rc s e n x ) 2 = 1 - x 2
R. 8u
2
13. La lo n g itu d del a rco de la cu rva y 2 = - ( x - l ) 3 c o m p re n d id a d e n tro de la
p a rá b o la y
x
— —
14. L a lo ngitu d del arco de la cu rv a dada p or x = ( t 2 - 2 ) s e n t + 2 t e o s t ,
y = (2 -
71^
t2) eos t + 2 t se n t, d esd e t = 0 ha sta t = n
15. L a lo ngitu d del arco de la cu rva y = l n ( l - x 2) desde x = 0 hasta x = 1 / 2
R. [ - ¿ + I n 3 ] u
III. L o s sigu ien te s ejercicios tratan del m ovim ie n to de u n a partícula.
1.
E n el tiem po t, una partícula se encuentra en el punto
P ( c o s t + t s e n t ; s e n t - t e o s t)
Encuentre la d istancia recorrid a desde el instante t = 1 hasta t = n
2.
E n el instante t, la p o sic ió n de una partícula es
x = 1 + a rc ta n t , y = 1 - ln \ / 1 + t 2
H a lle el re co rrid o desde el instante t = 0 hasta t = 1
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207
R. l n ( l + V 2 ) u
TÓ PICO S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II
4.5 Á R E A D E U N A S U P E R F IC IE D E R E V O L U C IÓ N
Se a
/: [a, b] -> M
un a fu nció n no negativa, con d erivada co n tin u a en
[a; £>].
H a cie n d o g ira r la gráfica de / desde x = a hasta x = b , alrededor del eje x, se
obtiene una su pe rficie de re v o lu c ió n (F ig. 4.52). E l área de esta su p e rficie de
re v o lu c ió n está dado p or
i4 ( S ) = (271 f f ( x ) y j 1 + [ f ( x ) ] 2d x
Fig. 4 .5 2
Observación 12, Si la curva se describe p o r la ecuación paramétrica
C : x = x ( t ) , y = y ( t ) , t e [a;/?]
donde x ( t ) y y ( t ) son funciones con derivadas continuas en [a; /? J, entonces el
área de la superficie generada al hacer girar la curva C alrededor del eje x es
A(S) = ( l n J % ( t ) V [ * '( O P + ty'(t)]2dt
Observación 13. Sea f : [a, b] -> E una función con derivada continua en [a; b]
tal que su gráfica está a un mismo lado de la recta y = c . Haciendo girar la
gráfica de f desde x = a hasta x = b alrededor de la recta y - c se obtiene
una superficie de revolución (Fig. 4.53) cuya área es
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.APLICACIONES DE’LA INTEGRAL DEFINIDA
Observación 14. Si la curva C se describe con la ecuación x = g ( y ) , V y 6
I " : H donde g es una función con derivada continua en [a; b] y S e s la superficie
./<• revolución que se obtiene al hacer rotar la curva C alrededor de la recta
\ = c , (Fig. 4.54), entonces el área de la superficie S es
J \ g ( y ) - c \^ jí + [ g ' ( y W d y ^ j u 2
4 (5 ) = i^2n
(*)
Si la e cu a ción de la cu rva C está dada en su fo rm a param étrica p or
x = x (t\
Vt 6 [a; /?]
y = y(t),
donde las fu n cio n e s x = x ( t ) , y = y ( t )
entonces la fó rm u la ( * ) se tran sform a en
A (S ) = Í 2 n (
Y
b
tienen d eriva d a s co n tinu as en
[a;/?]
|ar(t) - c|V"[x'(t)P + [y '(t)]2 d i ) u 2
k C >
-----------------.
i
c
c
/
a
-
J
-
.Y
n(y)
S
*x
-
\
C
.....w
-----------►
x
.Y - C
Fig. 4.54
E je m p lo 34. H a lle el área de la superficie generada al hacer gira r la gráfica de
/ (x) = V24 — 4 x , x £
[3; 6], alrededor del eje x.
S o lu c ió n
—2
(.orno f ' ( x ) - —
, el área de la su p e rficie re su lta n te es
V 2 4 - 4x
4
6
4 ( S ) = 2 n f f ( x y i + [ f ( x ) ] 2d x
Ja
= 2 n \ V 2 4 - 4x 11 + — 4
dx
h
y]
2 4 - 4x
= 2n I V 2 8 — 4x dx = ----- u 2
h
3
l a gráfica de f ( x ) = \/ 2 4 - 4 x se m uestra en la figura 4.55.
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T Ó PIC O S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II
YJ
c >
y
a: =
a co sh (— )
a
'" " A .
C7 i
—
0
y
f
a
<
>
a co sh (l)
r
x
Fig. 4.56
E je m p lo 35. H a lle ei área de la su pe rf cié engendrada por la re v o lu c ió n airededor
del eje y del arco de la c u rv a y = a eos
- 'i d esd e x = a h a sta x = a c o sh ( 1 )
a'
S o lu c ió n
C o n sid e ra n d o que la cu rva (F ig. 4.5« >) gira alrededor del eje y , el área de la
superficie ge ne rad a es
A (S) - 2tt f / ( y ) V 1 + [/ '(y )]2d y
•'o
/ y\
d o n d e x = / ( y ) = a c o sh
y
dx
— = f'(y) = s e n h Q
Lu e go .
A( S) = 2 n J
= 2n
a co sh
J a
Jl -< - se n h 2(^ )d y
na2 ,
„ ,
d y = ------(2 + s e n h 2 ) u
2
co sh 2
E j e m p lo 36. H a lle el área de la super íc ie cua n d o la cu rva
2 x = y v V - 1 + ln ¡ y - J y 2 - l | , y e [ 2 ; 5 ], g ira alrededor del eje x.
S o lu c ió n
L a ecu a ción param étrica de la c u rv a e:
. * ( 0 = ^[t%/t2 - l + l n | t - ^ f2 ~ 1 B , t 6 [2; 5]
y (t) = t
de donde x ' ( t ) = V t 2 - 1
A
y'(t) = 1
P o r tanto, el área de la superficie es
a (s ) =
í y c o T I x ' M F n / M F í !t = 2jt í t-J ( t 2 - 1) + 1 dt = 78n u 2
h
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210
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
I1'templo 37. Halle el área de la superficie generada por la revolución en torno al
rlr y
del arco de la curva y = - [ x2 - 21n x], x e [ l ; 4 ].
Solución
1.1ecuación paramétrica de la curva es
( x( t ) = t
1 e [1;4]
y (0 = ^ [t2 -2 1 n t] ’
1
1
tic donde x ' ( t ) - 1 , y '( t ) = - (t - - )
ucgo,
A(S) = 2 ?t J | x ( t y [ x ' ( t ) ] 2 + [y'(t)]2dt
= 2„ J
, J l + i ( , - i ) * d t = 2 , J ‘ l (, + | ) d t = 2 4 ™ ’
I jemplo 38. Calcule el área de la superficie de revolución que se obtiene al hacer
líirar la curva y = 2 - e x , desde x = 0 hasta x = 2 , alrededor de la recta
V- 2
So lu c ió n
I .i gráfica de la curva se muestra en la
ligura 4.57.
Se tiene que
dy
¿ =f'M
lu e g o ,
= -ex
según la fórmula, el área de la
superficie es
¿ ( S ) = 27r f ( 2 - f M ) J l + [ f ' ( x ) ] d x
*'0
= 2n í e xyfí' + ( ex) 2 dx
“'O
: 7r | e 2V l + e 4 - V2 + + ln
e2 + Vi + e‘
1+V2
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211
TÓ PIC O S DE C Á L C U L O -V O L U M E N II
E je m p lo 39. H a lle el área del elipso id e de re volu ció n que se obtiene al hacer
x2
v2
g ira r la elipse — + — = 1 , a lre d e d o r de:
a) su eje m a y o r
b) su eje m enor
S o lu c ió n
a) C u a n d o la elipse
gira alrededor de su eje m ayor, es su ficiente co n sid e ra r la
curva C d e scrita p o r / ( x ) = - - ^ 2 5 - x 2, x e
A l e m p le a r / ( x )
4 i----------= - V 25 - x 2 A
/ '( x )
[— 5; 5] (F ig.4 .5 8 ).
=
4x
- ^ = = = ,
,,
,
el area de
,
la
superficie resulta
r 5 ¿J,
A(S) = 2n j
__________
16x2
-V25-X'
l f
100
3\
/
= 27r ( l 6 + —
2 5 ( 2 5 - x 2)
dx
a rc s e n -Jw
b) C u a n d o la elipse gira alrededor de su eje m enor, es suficiente consid erar la
cu rva x = - V l 6 - y 2, y 6 [ - 4 ; 4] ( F ig .4.59).
4
L u e go , el área del e lip so id e generado es
5
A( S ) = 2 n J j V l 6 - y 2
25yz
1 +
1 6 ( 1 6 - y 2)
dy
/
8071,
\ ,
= Í507T + - ^ - l n 4 J u 2
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212
A P LIC A C IO N E S DE LA IN TE G R A L D EFIN ID A
E J E R C IC IO S
I.
E n ca d a u n o de lo s sigu ien te s ejercicios, halle el área de la supe rficie de
re v o lu c ió n que se obtiene al g ira r alrededor del eje x, las cu rv a s d ad as p or
1.
/ ( x ) — —x 3 , x £ [ 0 ; 2 ]
2.
/ (x ) = c o sx ,
3.
U n la zo de la cu rva 8 a 2y 2 = a 2x 2 - x 4
R. ( n a 2/ 4 ) u 2
4.
6 a zx y = x 4 + 3a 4 d e sd e x = a hasta x = 2 a
R. (4 7 r ra 2/ 1 6 ) u 2
5-
/ O ) = - x 3, x e [ 0 ; 2 ]
R. ^ ( 1 7 3/2 -
6.
y 2 + 4x = 2 l n y d e sd e y = 1 h a sta y = 2
R. ( IO t t / 3 ) u 2
7.
x = a c o s 3 t, y = a s e n 3 t
/?. (1 2 7 ra 2/ 5 ) u 2
8.
y = e ~x , x > 0
9.
x =
/?. ( 9 8 t t / 8 1 ) u 2
R. 2 jt[V2 + l n ( l + V 2 ) ] u 2
x e [-j;| ]
l)u 2
R. ;r[V 2 + l n ( l + V 2 ) ] u 2
et se n t, y = e c eos t d esd e t = 0 hasta t = |
R. 2 n y Í2 (e n - 2 ) / 5 u 2
10. y = e - *, x > 0
R. ^ [ V 2 + l n ( l + V 2 ) ] u 2
1 1 . x = a (e o s t + ln ( t a n | ) ) ,
fi. 47r a 2 u 2
y = a se n t
1 2 . y = t a n x d e sd e ( 0 ; 0 ) h a sta ( £ ; l )
V4 '
/?. t t ( V s - V 2 + l n ^
13. E l lazo de la cu rv a 9 a y 2 = x ( 3 a - x ) 2
V
R. 3 n a 2u 2
14. x 2 + ( y - /j) 2 = a 2, 0 < a < b (toro de re v o lu c ió n )
x3
t1;
e [0 ; 2]
17. y 2 = 4 a x d e sd e x = 0 h a sta x = 3 a
II.
R . 4 n 2a b u 2
1
15- y = y + 2 ¿ ‘ x e
16. y = 2 x, x
+ 2
V5 + 1
R ■(208rr/9)u2
r . 8 n V 5 i ¿2
R. (5 6/ ra 2/ 3 ) u 2
H a lle el área de la su pe rficie generada por la rotación en torno al eje y, de cada
una de las sigu iente s cu rva s
1. x = y 3 ,
y 6 [0; 3 ]
2. 6 a 2x y = x 4 + 3 a 4 desde x = a hasta x = 3 a
R. — [ ( 7 3 0 ) 3^2 - l ] u
R. ( 2 0 + ln 3 ) n a 2u 2
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213
T Ó PIC O S D E C Á L C U LO - V O LU M EN II
3 . 2 y
=
*V F ^ T + ln (*-V F ^ T ),x e[2 ;S ]
K . 7 8 U U 2
4. x 2 + 4 y 2 = 1 6
5. y - x 2 , x £ [1; 2]
6. y = x4/3, x e [1; 8]
III. H a lle el área de la superficie de re v o lu c ió n fo rm ada cu a n d o la cu rv a in dica d a
g ira alrededor del eje dado.
1. y = x 3/z , x G [1; 8]; alrededor de y = 1
2
V = í l + _ L ( x £ [1; 2]; a lre d e d o r de y = 1
' ^
3
4x
3. y = x 3, x 6 [1; 2]; alrededor de y = - 1
4. y = l n ( x - 1 ) , x G [2; e2 + 1]; alrededor de x = 1
5. y = 4 + e x, x G [0; 1];
alrededor de y = 4
6. y = 2 x , x £ [0; 2 ]; alrededor de y = - 1
R - 1 2 V 5 ttu z
4.6 MOMENTOS Y CENTROS DE MASA (ó CENTROS DE GRAVEDAD)
E l m om ento de m asa de un a partícula respecto a u n a recta L se define c o m o el
p rod ucto de su m a sa y su d istan c ia a la recta L. A s i, si m es la m g sa de la particu
y d su d istan cia a la recta L F ig. 4.60, entonces el m om ento de la p artícu la
respecto a la recta L está d ad o por
Ml = m d
Fig. 4.61
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A P LIC A C IO N E S D E LA IN TE G R A L DEFINIDA
•
E s conve n ie nte co n sid e ra r la partícula lo ca liza da en un p la n o de co o rd e n a d a s y
determ inar el m om ento de la partícula respecto a un eje de co ord e n a d a s ( o a una
recta paralela a un eje de coordenadas). E n este ca so se u sa n las d istan cia s
d irigidas, a sí el m om en to será p o sitivo o ne gativo o cero, se gú n la u b ic a c ió n de la
partícula; p o r ejem plo si la partícula de m asa m está en el punto ( x ; y ) F ig. 4.61 ,
entonces su s m o m e n to s Mx y My respecto a los ejes x e y , respectivam ente son
Mx = m y , My = m x
m 1, m 2 l ..., m n
S i un sistem a de n partículas de m asa s
puntos ( * ! ; y i ) , ( x 2; y 2),
están situ a d o s en lo s
respectivam ente, lo s m o m e n to s Mx y My
(x n;y n)
del sistem a de n partículas se definen co m o
n
Mx =
-
™ ¡y ¡
n
My =
]jr
rriiXi
( I)
i= 1
í= l
El c e n tro d e m a s a o c e n tro de g r a v e d a d de un sistem a de p artículas es un punto
P ( x ; y ) tal que, supuesto que la m asa total m del sistem a esta concentrad a en el
punto P , lo s m om en tos de P y del sistem a coinciden.
S i el sistem a de m partículas de m asas m u m 2, ■■■, m n
ub icad as en los puntos
(x \'< yi), f e ) y2).
- ( x n> Vn) tienen su centro de grave d a d en el p u nto
que la m asa total del sistem a es
P{x; y ) y
n
m = ^
mi
i= i
entonces los m om en tos Mx y My de P están d ad os p or
Mx = m y , My = m x
Luego, de ( I) se obtiene
n
my
n
= m¿y; y m x =
i= l
^
¡=1
De don d e resulta
_
Z "= 1m ¿x ¡
y y_ =
x = --------------------------m
m
En resum e n , si Mx y My so n los m om entos de un sistem a de partículas respecto
;i los ejes x e y respectivam ente y P ( x ; y ) es el centro de grave d a d o centro de
m asa del sistem a, entonces
My
Mx
* = -T
m
y = -mf
(II)
donde m es la m asa del sistem a.
215
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II
Ejem plo
40
C u atro
P3 ( 0; 5), P4 (2 ; 1 )
partículas
y
su s
están
m asa s
en
son
los
puntos
P t ( — 1; — 2), P 2 (1; 3),
m 1 = 2, m 2 = 3, m 3 = 3, m 4 = 4
respectivam ente, determ ine el centro de gravedad del sistem a fo rm a d o p or estas
cuatro partículas.
Solución
Tenem os
Mx = 2 ( — 2 ) + 3 ( 3 ) + 3 ( 5 ) + 4 ( 1 ) = 2 4
My = 2 ( — 1 ) + 3 ( 1 ) + 3 ( 0 ) + 4 ( 2 ) - 9
m = 2 + 3 + 3 + 4 = 12
Lu e go ,
- _M y _
9
- _ M X _ 24 _
_ 3
X- ñ r~ 1 2 - 4
’
V ~ ~m ~Y 2~2
P o r tanto, el centro de grayedad está u b icad o en el punto P ( 3 / 4 ; 2 )
4.6.1 C E N T R O D E G R A V ED A D D E UNA R E G IÓ N P L A N A ó L Á M IN A
E n p rim er lugar, es necesario tener en cuenta las sigu ien te s co n sid e ra cio n e s
a) U n a lá m in a es llam ada hom ogénea si d o s p orcio n e s de igu a l área tienen el
m ism o peso.
b) L a d e n s id a d
p de una lá m in a es la m asa de una un ida d cu a d ra d a de lámina.
S i un a lá m in a es hom ogénea, entonces su d ensidad (de área) p ■es constante y
si A es el área de d ic h a lám ina, entonces su m asa es m = pA
c) E l centro de m a sa de un a lá m in a hom ogénea, puede p ensarse c o m o el punto de
balance de la lám ina; si esta lá m in a tiene un centro geom étrico, este será
tam bién el centro de m asa ó centro de gravedad. P o r ejem plo, el centro de
m asa de una lá m in a circula r h o m o g é n e a es el centro del círcu lo; el centro de
m asa de u n a lám in a rectangular h o m o g é n e a es el centro del rectángulo
(intersección de las d ia go na le s). Se define el m om ento de un a lám in a de m asa
m respecto a una recta, c o m o el m om ento de una partícula de m asa m situado
en el centro de m asa de la lám ina.
d) S i una lá m in a se corta en trozos, el m om ento de la lá m in a es la su m a de los
m om en tos de su s partes.
Ejem plo 41 En cu en tre el centro de m a sa de una lá m in a h o m o g é n e a de d ensidad
p, que tiene la fo rm a propuesta en la F ig . 4.62 (la s m ed idas están en cm .)
Solución
L a lám in a está fo rm a d a p o r 3 re ctá n gu lo s y el área total de la lá m in a es igu a l a
9 3 c m 2. S i c o lo c a m o s lo s ejes de co ord e n a d a s tal c o m o se in d ic a en la figura, los
centros de m asa de lo s re ctá ngulo s
Rlt R2 y R3 son:
216
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U t L A 1ÍN 1 t O K A L U t , r 1 ÍN 1 U A
respectivam ente. L u e g o ,
Mx = ( 2 1 p ) ( y ) + ( 6 0 p ) ( 6 ) + ( 1 2 p )
/13\
= ^
p
969
My = ( 2 1 p ) ( y ) + ( 6 0 p ) ( S ) + ( 1 2 p ) ( 8 ) = —
p
P o r tanto, el centro de m asa ( x ; y ) de la lám ina está d ad o por
969
My
-J-P
x = ^ =
= 5 ,2 0 9 6 7 7 4 1 9
m
93 p
_
1197
y = —- =
'
Se a
F
m
un a
~2~P
—
93p
= 6 ,4 3 5 48 3 87 1
lá m in a h o m o g é n e a cu ya
d ensidad
es constante
e igual
a
p.
S u p o n g a m o s que F es la re g ió n lim itada p or las gráfica s de:
y = /(*),
y = a(x),
x = a,
donde f y g so n fu n c io n e s co n tinu a s en
y
x = b
[a ; b ]
y
/ ( x ) > g ( x ) , V x G [a;fr]
[ a;b]
y
c¡
(F ig. 4 .63 )
Se a
P = { x 1, x 2, ■■■,xn}
u na partición de
es el p u nto m e d io de
[x¿_ x; x¡] , entonces se tiene que:
m = p [ / ( c , ) - 5 ( c ¡) ] A ¡x , i = 1 ,2 ,...... n ( A ix = x¡ - x ^ )
es la m asa del i-é sim o rectángulo som bread o en la fig ura 4.63
217
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
lil centro de grave d a d del i-é sim o rectángulo se encuentra en el punto
(
f ( c¡) + g (c¡)>
[ Ci)
2
Su stitu ye n d o cada rectángulo p o r un punto m aterial y lo ca liza n d o la m a sa de cada
rectángulo en su centro de grave dad se obtiene que lo s m o m e n to s de m a sa de lo s
n rectángulos, d eterm inados p o r la partición, respecto a lo s ejes x e y son:
/l
lí
Mr
Z
™ ¡y ¡ =
/ (c ¡) + g ( a )
p [/ (c ¡) - 5 (c ¡)]
A jX
M,
L u e go , el centro de grave dad
(x ; y )
estará aproxim ad am ente en el centro de
gravedad de lo s re ctá n gu lo s d eterm inados p or la partición, es decir:
My _ P'Z’j =iCi [ f ( c i) - g j c ^ A j X
x
m
p E H iE / ( c¡) - S(c¡)]A¡*
Mx
I p i u m c d r - i g í c d ] 2} ^
y X m ~
p lU lfic d -g ic ^ x
P asan d o al lím ite cu a n d o
||P|| -» 0, se obtiene que las co ord e n a d a s
(x ;y )
del
centro de grave d a d de la lám ina F están d adas por
Ja * [ /( * ) - g ( x ) ] d x
^
_
^ J q {[/(* )]2 - to (* )]2}
£[fto-g(x)]dx
A
y
tf\f(.x)-g(x)]dx
C o m o se observa, las co ord e n a d a s del centro de m asa de la lá m in a h o m o g é n e a no
dependen de s u d en sid a d
p, s ó lo depende de su form a. U su a lm e n te el centro de
m asa de u na lá m in a se d e n o m in a ce n tro de g rav ed ad o cen tro id e, re se rva nd o el
térm ino centro de m asa p ara un sólid o.
Observación 1S
a) Si la región p l an a F es simétrica con respecto a la recta x = x 0 , entonces
x = X0
b) Si la región plana F es simétrica con respecto a la recta y — y 0 , entonces
y = yo
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A P LIC A C IO N E S D E L A IN TE G R A L D EFIN ID A
Observación 16 Si la región pl ana F esta limitado por las gráficas de:
x = f(y ), x = g(y), y = c, y = d
donde f y g son funciones continuas en [c; d] y f ( y ) > g ( y ) , V y g [ c ;d ]
l'ig. 4. 64, las coordenadas del centro de grav ed ad (x ; y ) de la región F son
_ _ 2/cd{[/(y)32-[g(y)]2}dy
~ -= C y t f W
/,d [ / ( y ) - g ( y ) ] d y
- 9(y)]dy
C ifX y ) -g (y )\d y
E je m p lo 42 Encuentre el centroide de la re gió n acotada p o r las cu rv a s y = x 3 ,
y = 4 x en el p rim er cuadrante.
,
S o lu c ió n
E l área y los m om en tos con respecto a los ejes x e y de la re gió n son
A( R) =
í ( 4 x - x 3) d x = 4
Jo
_2
2
My = i x [ f ( x ) - g ( x ) ] d x = í x ( 4 x - x 3) d x = ^
Jo
15
“ Í9 ( x ) ] 2} d x = ^ J
Mx = z 2 ¡ 0
My
64/15
x = — = --------m
_
Lue go ,
Mx
( 1 6 x 2 - x ü) d x =
256/21
m
„
,
/16 6 4 \
l’o r tanto, el ce n troid e es P \ — : —
V15 21/
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219
256
J T
TÓ PIC O S D E C Á LC U LO - V O LU M EN II
E je m p lo 4 3
H a lle el centro de gravedad de la re gió n lim ita da p o r las ciirvas
x 2 - 8 y = 0 , x 2 + 1 6 y = 24
S o lu c ió n
C o m o la re gió n F (F ig. 4 .6 6 ) es sim étrica respecto al eje y, se sabe que x = 0
E l área de la re g ió n y el m om ento con respecto al eje x so n
A
■
a
dx = 4V 2
16
16V2
24- x
dx =
16~
■ r ' d
/ 4\
_
P o r tanto, el ce n tro de g rave d a d es ^0; - J p o rq u e
E je m p lo 4 4
En cu en tre
el
centroide
de
la re gió n
Mx
4
_
A
lim ita da
p or
las
c u rva s
x = 2y - y 2 , x = 0
S o lu c ió n
C o m o el centro de m asa está situ ado en el eje de sim e tría y = 1 (F ig . 4.67),
entonces y = 1.
A p lic a n d o las fó rm u la s d ad as en la o b se rva ció n 16 se obtiene
i l o ( 2y - y 2) 2d y _ e /is _ 2
f g ( 2 y - y 2) d y
Luego, el ce n tro id e es P
;
4 /3
5
1j
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A P LIC A C IO N E S D E L A IN TE G R A L D EFIN ID A
(CJemplo 45
D e te rm in e el centroide de la re g ió n p la na lim itada p o r las cu rva s
y = / ( * ) . y = - x 2 , x = - 1 , x = 2, donde
f (x) = í 1 ~ x’
x ^ °
n )
x > 0
l x 2 + 1,
S o lu c ió n
L a re gió n se ilustra en la F ig . 4.68. D iv id ie n d o la re g ió n en d o s partes se obtiene
A =
11
í ( í - x + x 2) d x + f ( x 2 + 1 + .
J- 1
J0
22
55
16
= 2/
K 1 “ * ) 2 “ x *]d x +
f°
M, -
J-i
+ ! ) 2 “ x *~id x
r2
x ( l - x + x 2) d x +
_
107/12
,uego, x ■,
55/6
_
71/15
'
55/6
J0
1 1 _ 71
1 5 + ~3~ — 15
13
107
x ( x 2 + 1 + x 2)d x = ------ + 1 0 =
12
^
,
~12
/107
142\
V110
275/
y = -=— r , de d o n d e el ce n tro id e es P ----- ; ------ )
Fig. 4.68
E je m p lo 4 6
H a lle el centro de gravedad de la re gió n infinita, en el p rim er
cuadrante, co m p re n d id o entre la cu rva y = x e~ x y el eje x.
S o lu c ió n
L a re gió n se ilustra en la F ig . 4.69. Lu e go , se tiene
" +CO
A
J
o
x e~x d x =
lim [ - x e~ x - e~ x]o = 1
t-*+0°
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221
T Ó PIC O S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II
/* +00
i-to
My =
I
Jo
/■
r ++ »00
xf(x)dx = I
x 2e ~ xd x
Jo
= lim [-x 2e * —2xe * —2e *]£ = 2
t->+°0
M
x=- J
i
‘X
r +”
[ x2e ~ 2 x - Q ] d . x
Jo
1
r 1
1
1
i*
1
= - lim
— - x 2e 2x —- x e ~ 2x —- e ~ 2x¡ = 2 t-.+ « L 2
2
4
J0
8
Luego,
My
_
MX
1
* =T =2. y=T =8
P o r tanto, el ce ntro de grav e d a d de la re g ió n es P ^2;
T eo rem a (T eo rem a de Papp u s p a ra volúmenes)
S i un só lid o S es obtenido al hacer rotar una re gió n p la na F (F ig . 4 .70 ) en torno de
una recta del m is m o plano, que n o sea secante a la re g ió n F, entonces el v o lu m e n
de S es igua l al.área de la re gió n F m ultip licado p or 2 n r , sie n d o r la d istancia del
centro de g rave d a d de la re gió n F al eje de rotación, esto es,
V = 2 nr . A
donde A es el área de F.
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A P L IC A C IO N E S D E L A IN T E G R A L D E F IN ID A
Ejem plo 4 7
Calcule el volumen del sólido 5 generado por la rotación de la
S
a P ° rla P a r á b 0 ,a y = * 2 y ,a r e C ía y = * + - 2
a
en tom o a esta
Solución
Para determinar el centro de gravedad.de la región F (Fig. 4 .7 1 ) se tiene
A ( F) = í ( x + 2 - x z) d x = J-1
2
My = í
x ( x + 2 - x 2) d x = -
•'-i
Mx = \ í
4
[ ( x + 2 y - x 4] d x = —
5
¿ J -i
P o r tanto, el centroide ( x ; y ) de la re gió n tiene las co orde n a da s
A ~2
‘ y _ T " 5
C a lcu la n d o la d ista n c ia r del p u n to C ^
a
la recta y = * + 2 se tiene
r = ^ ~ y + 2 l = l l ~ l + 2| _ 9V2
Vi +1
V2
20
Lu e go , p o r el teorem a de Pap p us, el vo lu m en del só lid o S es
V = 2 u r. A = 2 n
Q
=
«3
Y' i.
l\
1
f
¡ \
F
Vv.7,
\\ \
\v
1
.
i
i
i
L
%
/1
/
Y
1
1
/
/
y (V s
'
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"x
►(-! ;0)
r
TÓ PIC O S D E C A LC U LO - V O LU M EN II
Ejem plo 48 L a re gió n lim itada p or las gráficas de y = x 2, y = 5 g ira alrededor
de una recta o b lic u a que pasa p o r el punto
¿4(1; 0 ). H a lle la e cu a ción de d ic h a
recta, si el v o lu m e n del só lid o generado es igual a 4 0 V 5 t t u 3
Solución
L a gráfica de la re g ió n se m uestra en la fig. 4.72. E n p rim e r lu ga r d ete rm in are m os
el centroide de la re g ió n F. C o m o el centro de m asa está situado en el eje de
sim etría (eje y), entonces x = 0.
P o r otro lado, la orde nad a del centroide de la re gió n es
- _ M* _
~ x ^ dx _
A
20v^
/ ^ r ( 5 - x 2) d x
20V5/3
L u e go , el centro de grave dad es ( x ; y ) = (0 ; 3 )
20V5
C o n sid e ra n d o q u e el área de la re g ió n F es A = — - — , se tiene
V = 40V57t = 2nr
=* r -
3
Finalm ente, si m es la pendiente de la recta L (eje de rotación) que p asa p o r el
punto A(l-, 0 ), entonces su e cu a ción es
y - 0 = m ( x - 1) ó
mx - y - m = 0
P uesto que, r — 3 es la d istancia del punto (x; y ) = (0 ; 3 ) a la recta L, entonces
3 —
\m x-y -m \
.
| -3 -m |
>—»* 3 —
Vm 2 + 1
.
Vm 2 + 1
<=> 9 ( m 2 + 1 ) = 9 + 6 m + m 2 <=> m ( 4 m — 3 ) =
3
<=* m = 0
ó
m = -
4
3
C o m o la recta L e s oblicua, m = - . P o r tanto, la e cu a ció n de la recta L es
4
3x — 4y — 3 = 0
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224
0
A P LIC A C IO N E S DE LA IN TE G R A L D EFIN ID A
E JE R C IC IO S
I.
En
ca d a
uno
de
ios
ejercicios,
encuentre
el
centroide
de
la
lám ina
h o m o g é n e a de d en sidad p que tiene la form a m ostradas en la figura.
12
■
10
-
A. < ^ 5 )
II.
E n los siguien te s ejercicios, encuentre el centro de gravedad de cada una de
las re gio n e s lim itadas p or las siguientes curvas.
1.
y = x 2 - 4 , y = 2x - x 2
*■ ( H
2.
)
y - v a 2 - x 2, y = 0
"■ (o:S
3.
y = 3x, y = x 2, y — 1 , y = 2
(en el prim er cuadrante)
(
67
2 (7 2 ^ 2 -5 3 )
U 8 ( 8 V 2 - 7 ) ' 1 5 (8 > / 2 -7 )
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225
T Ó PIC O S D E C Á LC U LO - V O LU M EN II
4.
y - X 2, y = x - x 2
R. Q j g )
5.
y = ln x , y = 4 , y = 4 - 4 x 2 (en el primer cuadrante) R. ( 1 4 ,6 1 ; 3 ,1 5 )
6.
y - x 2 + 1, y = x 3 - 1, x = 0 , x =1
7.
n
y = s e n x, y = cosa:, y = 0 desde x = 0 h asta x = —
"■ G 4 (f - i)(2+V5))
8.
y 2 = 4 - 2x, el eje y , y = 3
9.
x = 4y —y 2 ,
10.
Vx + ,/y = 3 ,
11.
y = |x|3 + 1 , x = - 1 , x = 2 , y = 0
( 1 2 3\
y = x
y = 0,
R.
ñ
x = 0
9\
R.
12. x + x y 2 - 2 = 0 , x - y 2 = 0
13. y 2 = 2 0 x , x 2 = 2 0 y
tx
14. y = —x , y = j 2
'
[X
, si x < 1
, SI X > 1
R . (9 ; 9 )
•
_
, x = 2
/8 8
15. x - 2 y + 8 = 0 , x + 3y + 5 = 0 , x = - 2 , x =
4
50\
fi.
16. y = 3 + 2 x — x 2 , y los ejes coordenados encierran dos regiones. Determine
el centroide de la región de menor área.
17. y ( x 2 + 4 a 2) = 8 a 3 y el eje x (región infinita)
R. ( o ; - a )
18. La región limitada por el lazo de y 2 = x ( x - 4 ) z
R.
19. L a región limitada por el lazo de y 2 = x 4 (3 - x )
l 12
R. (2 ;0 )
20. y = a resen x , y = 0 , x = 1
/ 1 6 5\
21. y 2 = 4 x 2 - x 3 , y = 0 en el p rim er cuadrante
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\
; 0J
R.
A P LIC A C IO N E S DE LA IN TE G R A L D EFIN ID A
.12. y = x 2 - 2 x - 3 , y = 6 x - x 2 - 3
R. (2;1)
¿3. y = x 3 - 3 x , y = x , s o b r e el la d o d e r e c h o d e l eje y
R,
x
y
¿4. La re g ió n e n c e rra d a p o r — + — = 1, en el p rim e r cu a d ra nte
D I
/4a
.
4£»\
1
R' \ 3 n ' 3 n )
25. L a re g ió n está lim itada p o r lo s ejes co orde nado s y x 2/3 + y 2/3 = V 2 5
/256
256\
\6 3 7 r '6 3 7 T /
26. L a re g ió n es un sector circ u la r de radio r y á n g u lo central 2 a
R. E n el eje de sim e tría, a la d ista n c ia - r -------- del vé rtice del se cto r
3
a
27. y = s e n x, ( 0 < x < n), y = 0
28. y = c o s h x , y = 0 , x = —1 , x = 1
29. y = a r c c o s x , y = n , x = 1
III. C e n tro de grave d a d y volúm ene s.
1. E l centro de grave d a d de la re gió n acotada p or las cu rva s x 2 = 4 y , y = m x
es un punto de a b scisa igua l a 2. D eterm ine el v a lo r de m
2.
/ 1 (0 ;0 ), B ( a ; 0 ) y C ( 0 ; a / 2 )
con
R. m = 1
a > 0 , so n lo s vértices de un triángulo.
C a lc u le el v o lu m e n del s ó lid o obtenido p or la rotación en torno a la recta
5 V 2 7 ra 3
y = x - a, de la re g ió n lim ita d a p o r el triá n g u lo ABC.
3.
S e a R la re g ió n del p la n o lim itado p o r la p aráb ola
R. ----------24
y = x2 - 1
y la recta
y = x — 1 . D e te rm in e el v o lu m e n del só lid o obtenido p or la rotación de la
re g ió n R a lre d e d o r de la recta y = x ~ 1.
7rV2
R. -----60
4. L a re gió n lim itada p o r las gráfica s de y 2 = 2 0 x , x 2 - 2 0 y
g ira alred edor de
la recta 3x + 4 y + 1 2 = 0. C a lc u le el v o lu m e n del só lid o generado.
R. 4000tt
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227
TÓ PIC O S DE C Á L C U LO - V O LU M EN II
5,
L a región lim itada p o r las gráfica s de y = x 2 , y = 5
g ira alred edor de una
recta o b lic u a que p asa p o r el punto ( - 1 ; 0 ). H a lle la e cu a ció n de la recta si el
v o lu m e n ge n e rad o es igu a l a ( 4 0 V 5
IV . E l centro de grave dad
(x ;y )
n )u 3
R. 3 x + 4 y + 3 = 0
del arco de una cu rv a (h o m o gé n e a ), cu y a
e cuación es y = f ( x ) c o n x 6 [a; b] , donde / es u n a fu n c ió n c o n d eriva d a
co n tin u a en [a; b ] , está dado por
_
f c x ji + if'ixw dx
j ^ i + [f(x)Y dx
f / w
' y
y i + i / 'M P d *
j ab y i + [ f ' ( x ) ) 2 d x
U s a n d o estas fórm ulas, determ ine el centro de grave d a d de las cu rva s c u y a s
ecuacion e s so n
1.
,-----------y = V a 2 - x2
2.
y = a c o sh -,
/
R.
x
x £ [-a ;a ]
a'
1 ' J
R■ (0 ;
22 a
—
(
a (e 4 + 4 e 2 -
V '
4 e (e2 /
3.
x = a ( t - s e n t ) , y = a ( l - e o s t ) , t e [0;27r]
4.
r Til
x = a c o s 3 t , y = a s e n 3t , t e [ 0 ; - j
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228
'4 a \
R. (?ra ;/2a
R.
3 /
2a\
1)
A PLIC A C IO N E S DE LA IN TEG R A L D EFIN ID A
4.7 A PL IC A C IO N E S DE LA IN T E G R A L EN LO S N E G O C IO S
4.7.1 E X C E D E N T E D E L C O N S U M I D O R
( on sid e re m o s la fu n c ió n d em an da p = f ( q )
de un determ inado artículo, donde
1/ representa la cantidad de artículos que se d em andan al p recio u nitario p. L a
l’i áfica de esta fu n c ió n es la cu rva de dem anda.
Si el p recio en el m ercado del artículo en m en ció n es
cantidad d em a n d a d a es
p0
y la correspondiente
q0, entonces los c o n su m id o re s que estu vie se n en
c o n d icio n e s de p agar p or el artículo un precio m a yo r que p 0 ganan, p o r el sim p le
hecho de que el p recio en el m ercado es menor.
Majo ciertas h ipó te sis e conóm icas, la ga n a n cia total del c o n su m id o r se representa
por el área bajo la cu rva de dem anda y sobre la recta p = p 0 (F ig. 4.73). A esta
arca se le d e n o m in a e xce d ente del c o n s u m id o r ( E C ) y está dado por
/ fQo
\
/ rqn
V -'O
/
V -'O
/
IJna fo rm a alternativa de calcular el excedente del c o n su m id o r es
(u. m. s ig n ific a u n ida d es m onetarias)
p = /(?)<=> ? =
Q
Fig. 4.73
229
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TÓPICO S DE CÁLCULO - VOLUM EN II
4.7.2 E X C E D E N T E D E L P R O D U C T O R
C o n sid e re m o s la fu n c ió n oferta p = f ( q )
de un determ inado artículo, d o n d e
q
es la cantidad de artículos ofertados al precio unitario p. L a grá fica de esta
fu n c ió n es la c u rv a de oferta.
S i el p re cio en el m ercado del artículo en m e n ció n es
p 0 y la correspondiente
cantidad ofertada es q0, entonces lo s productores que estu vie se n en c o n d ic io n e s
de vender el artículo a u n p recio m enor, ganan, p o r el sim p le he ch o de que el
p recio en el m ercado es m ayor.
B a jo ciertas h ip ó te sis económ icas, la ga n a n cia total del p rod u ctor se representa
p or el área sobre la cu rva de oferta y bajo la recta p = p 0 (F ig . 4.74). A esta área
se d e n o m in a e xce d en te d e l p r o d u c t o r ( E P ) y está dado, p or
Ep = ( f
[ P o - f ( ‘})]d q Sj u . m . = ^p0q0 - J
U n a fo rm a alternativa de excedente del productor es
EP = ( í
f (q )d q ju .m .
'
9 (.P)dp^u.m., d o n d e g = / -1 y P i = / (O )
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A P L IC A C IO N E S D E L A IN T E G R A L D E F IN ID A
’
l' Jt'iiip lo 4 9 S i la fu n ció n d em anda es p = 9 - a 2 v o - 5 H a llp m ^
)
ili'l con sum idor.
q > Po “ H a lle el c x c cdcnie
Sol u ció n
I .i región se m uestra en la fig ura 4.75. C o n la ayu da de ¡a figura se obtiene
f \(9 — q 2) — 5 jcJ<7 = 16 i!, m.
EC =
-Ai
excedente del productor.
S o lu c ió n
a re gió n se m uestra en la fig u ra 4.76. A s í, resulta
EP — f [1 6 - ( 4 + 3 q 2)] d q = 1 6 u. m.
Jo
E je m p lo 51
L a s fu n c io n e s de dem anda y de oferta, en situ ación de com petencia
perfecta s o n
p = 227 - - q 2
y
p = 2 + 2q 2 re spectivam ente. D e te rm in e el
el correspondiente excedente del co n su m id o r y el excedente'de productor.
S o lu c ió n
L I p recio en el m ercado y la correspondiente cantidad está determ inado p o r el
punto de e q u ilib rio E (F ig . 4.77). E l punto de e q u ilib rio es la intersección de las
curva s de oferta y de dem anda, esto es,
2 2 7
4
-
2
+ 2 q 2 => q 2 _ 1 0 0 => qe = 1 0 , de d o n d e pe = 202
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231
TÓ PIC O S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II
Fig. 4.78
Lue go ,
J0
500
1
11. m.
2 2 7 - j q 2 ~ 2 0 2 dq = —
4
J
[2 0 2 — (2 + 2 q 2)] dq =
r 10
EC = I
r 1°
EP =
E je m p lo 52
4000
u .m
L a cantidad ve n d id a y el correspondiente precio, en situa ción de
m o n o p o lio , se d e te rm in a n p o r la fu n c ió n de d e m a n d a p = — (10 — q Y y el costo
3
total es
C = — + 5a
de tal m a n e ra que se m axim ice la utilidad. D e te rm in e el
4correspondiente excedente del con su m idor.
S o lu c ió n
L a utilidad es U = I — C , / = in g r e s o y C = c o sto total
W = 0 =* /' - C' = 0 =» lMg = CMg
" L a utilidad se m a x im iz a si el ingre so m argin al (/ ' = IMg )
es igu a l al costc
m arginal (C' = CMg)”.
Com o / =
pq d ond e p = p re c io d e v e n ta y q = c a n t id a d v e n d id a , e n to n c e s
1
3
/ = -(1 0 - q ) 2q => IM g = 2 5 - 10q + -(?
3
Luego
En
9
3
I Mg = CMg => 2 5 - lO q + - q 2 = - ^ 2 + 5 => q = 2
q = 2 , la u tilidad es m á x im a porque U " ( 2) = - 1 0
P o r tanto,
r2ri
r 2
= j
i
26
j - ( i 0 - q ) 2 - 1 6 j de/ = Y
( F ig . 4 . 7 8 )
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A P LIC A C IO N E S DE LA IN TEG R A L D EFIN ID A
4.7.3 O T R A S A P L IC A C IO N E S
Ejem plo 5 3
A c tu a lm e n te el k ilo de h u e vo cuesta S/. 4,6. L o s e stu d io s re a liza d os
indican que dentro de x sem anas, el p recio estará ca m b ia n d o a ra zó n de
0 ,09 + 0 , 0 0 0 6 x 2 so le s p or semana. ¿C u á n to costará el k ilo de h u e vo s dentro de
10 se m a n a s?
Solución
dp
(.orno
—
r 10
= 0,09. + 0 , 0 0 0 6 x 2 = * I (0,09 + 0 , 0 0 0 6 x z) d x
es el a u m e n to en el
precio dentro de 10 sem anas
Luego, dentro de 10 sem anas el k ilo de hu e vo costará
10
p = 4 ,6 +
(0 ,0 9 + 0 , 0 0 0 6 x 2) d x = 4,6 + 1,1 = S / . 5,7
I
Ejem plo
54
H a lle
la
cantidad
p rod ucid a
que
m a x im iz a
la
u tilidad
y
la
correspondiente utilidad total (su p o n ie n d o com petencia perfecta) si el in gre so
m arginal es ¡Mg = 2 4 - 6q - q 2 y el costo m argin al es
CMg = 4 - 2 q - q 2.
Solución
L a u tilidad se m a x im iz a (su p o n ie n d o com petencia perfecta) cu a n d o el in gre so
m argin al (/ Mg ) es igua l al co sto m argin al ( CMg ) , luego
2 4 - 6q - q 2 = 4 - 2q - q 2 => q = 5
Com o
U' = UMg = IMg — CMg = 2 0 - 4 q y U " ( 5 ) < 0, entonces la utilidad
se m a x im iz a cu a n d o q = 5 y la utilidad m á x im a es
U =
í
( 2 0 - 4 q ) d q = 5 0 u .m .
Jn
Ejem plo 55
U n a e m p re sa textil ha co m p ra d o una m á q u in a c u y a p ro d u cció n
representa g a n a n cia s en un tiem po t dadas p or 6 = 2 7 - 2 t z , don d e G está en
u nidades de S /. 3 0 0 0 y t está en años. E l costo de reparación y m antenim iento en
el tie m p o t está d a d o p o r ñ ( t ) = - t 2 + 2 1, d o n d e R está en u n id a d e s de S/. 3 0 0 0
y t está en años. S u p o n ie n d o que la m áq u in a puede retirarse sin costo a lg u n o en
cualq u ier tiem po, ¿c u á n to s a ñ o s se debe m antener la m á q u in a p ara m a x im iz a r la
utilidad neta?
Solución
L a s ga n a n cia s so n igu a le s al costo de reparación y m antenim iento (F ig. 4.6)
cuando
1
2 7 - 2 t 2 = - t 2 + 2 t => t = 3
J
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233
TÓ PIC O S D E C Á L C U LO - V O LU M EN II
P or tanto, la m á q u in a debe retirarse después de 3 años. L a utilid ad neta d esp u és
de 3 años es
27 - 2 t Lu e go , la utilid ad neta después de 3 años es de 153 0 0 0 soles.
E j e m p lo 5 6
E l v a lo r de reventa de cierta m áq uin a in du strial d is m in u y e durante
un p erío d o de 10 a ñ os a una tasa que ca m bia con el tiem po.
C u a n d o la m á q u in a tiene x años, la tasa a la cual está ca m b ia n d o su v a lo r es de
2 2 0 (x - 10)
so le s p o r año. ¿ E n qué cantidad se deprecia la m á q u in a al cu m p lir
d o s a ñ o s y cuál es su p recio de reventa si su costo fue de S/. 12 0 0 0 ?
Solución
dV
Si V es el v a lo r de la m á q u in a , —
V(x) =
Com o
J
= 2 2 0 0 — 1 0); luego,
2 2 0 ( x - 1 0 ) =* V { x ) = H O x 2 - 2 2(Ubc + C
K 0 ) = 1 2 0 0 0 => C = 1 2 0 0 0
y
V (x ) = 1 1 0 x 2 - 2 2 0 0 x + 1 2 0 0 0 .
P o r tanto, V ( 2 ) = 8 0 4 0
E l p recio de reventa es de SI. 8 04 0 , y la m á q u in a ha su frid o u n a dep re cia ción de
SI. 3960.
O tro m étodo p ara re solve r este problem a. E l va lo r de dep re cia ción es
o
E sto sig n ific a que la m áquina, en d o s a ñ os se deprecia en Sí. 3 9 6 0 , en este
tiem po el v a lo r de reventa es 1 2 0 0 0 - 3 9 6 0 = S / . 8 0 4 0
E JE R C IC IO S
1.
S i la fu n c ió n d em anda es p = 2 5 - q 2, halle elexcedente del c o n su m id o r
la cantidad d em an dad a en el m erca d o es q0 = 3
2.
si
R. 18 u. m.
S i la fu n c ió n de oferta es p = 3 l n (q + 2 ) , halle el excedente del p rod u ctor
si el p re cio de venta en el m ercado es p 0 = 3
3. L a s fu n c io n e s de d em anda y oferta en situ ación de libre com petencia so n
p = _ (9 - q)2 y
p = - ( 1 + 3 q) re spectivam ente. C alcule el excedente del
4
4
c o n su m id o r y el excedente del productor.
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234
A PLIC A C IO N E S DE LA IN TE G R A L D EFIN ID A
■I
L a cantidad ve n d id a y el correspondiente precio, en situa ción de m o n o p o lio ,
p = 45 - q2
y el co sto total
C = 7 + 6 q + q 3/ 1 2 de m anera que se m a x im ic e la j utilidad. C a lc u le el
se determ inan p o r la fu n c ió n de dem anda
correspondiente excedente del con su m idor.
V
R.
1 6 V 3 u . m.
E l v a lo r de venta de cierta m áq u in a industrial d ism in u y e a un a tasa
que
el tiem po. C u a n d o la m áq u in a tiene t años, la tasa a la cual
está
cam bia con
ca m b ia n d o su v a lo r es
- 9 6 0 e ~ t/,s sole s por año. S i ei costo áe ¡a m á q u in a
fue de S/. 5 00 0 , ¿c u á l será su va lo r 10 años m ás tarde?
R.
(«. U n fabricante ca lcu la que su s ingre sos m a rgin a le s so n de
S/. 849,63
j l OO Q Q q
sole s
p or unidad cua n d o su p ro d u cció n es de q unidades. Se ha encontrad o que su
costo m a rgin a l correspondiente es de 0,4 q sole s p o r unidad. C u a n d o su n ive l
de p ro d u c c ió n es de 16 unidades, su utilidad es de S/. 520. ¿C u á l es su utilidad
cuan d o su n ive l de p ro d u c c ió n es de 25 u n id a d e s?
7.
R.
U n fabricante ha encontrado que su costo m argin al es de
S/. 6 4 6 ,2 0
6q + 1
so le s por
unidad cu a n d o se han p ro d u cid o q unidades. E l costo total de la p rim era
unidad es de S/. 130
a) ¿ C u á l es el costo de p ro d u cció n de las 10 prim eras u n id a d e s?
b) ¿ C u á l es el costo de p ro d u cció n de la d écim a u n id a d ?
c) ¿ C u á l es el costo fijo ?
R. a )S/ . 4 3 6
X.
b) S/. 58
c) S/. 126
L a tasa de crecim iento de la p ob la ció n de cierta ciud ad ca m b ia co n el tiem po.
L o s e stud io s in dica n que dentro de x m eses la tasa de crecim iento de la
p o b la c ió n será de 4 4- 5 x 2/3 p erson as p o r mes. L a p o b la ció n actual es de
10000 habitantes. ¿ C u á l será la p o b la ció n dentro de 8 m e se s?
R . 1 0125 p erson as
(). E l p recio del p o llo es actualm ente de Si. 4,5 p or kilo. Se espera que dentro de
x se m an as el p re cio estará aum entando a una tasa de 0 , 0 3 V x + 1 so le s p or
sem ana. ¿C u á n to costará el k ilo de p o llo dentro de 8 se m a n a s?
10.
R. S/. 5,02 el k iio
H a lle la cantidad que m a x im iza la utilidad y la correspondiente utilidad
m á x im a si el in gre so m argin al es
IMg = 2 0 - 2 q y el costo m a rgin a l es
CMg = 4 4- (q — 4 ) 2
11. L a s fu n c io n e s de oferta y dem anda son, respectivam ente p = 1 f ln ( q + 1)
y p -
5 - ln ( q 4- 1 ) . H a lle el excedente del c o n su m id o r y el excedente del
productor.
12.
R. EC = EP = ( e 2 - 3 )u .m .
L o s p rom otores de una feria de una ciudad calculan que t horas d esp u és de
que se abran las puertas (9 a.m.) los visitantes estarán entrando a la feria a
u na tasa de 5 4 ( t + 2 ) 2 - 4 ( t 4- 2 ) 3 p erson as p or hora. ¿C u á n ta s p ersonas
entrarán a la feria entre las 10 a.m. y el m ed io d ía ?
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235
TÓ PICO S DE CÁ LCU LO - VOLU M EN II
I í.
U n a em presa lia com p rad o una m áq uina cu ya cantidad p ro d u cid a representa
ga na n cia s en un tiem po t dadas por G ( t ) = 2 0 — 3 t 2 , d ond e t está en a ñ os
y G está en unidades de S/. 10000. E l costo de reparación y m antenim iento
en el tiem po está dado p or R ( t ) = 2 t 2, donde R está en u n ida d es de
S/. 1 00 0 0 y t está en años. Su p o n ie n d o que la m áq u in a se puede retirar sin
costo a lg u n o en cualquier tiem po t, ¿C u á n to s a ñ os se debe m antener la
m áq u in a para m a x im iza r las ganancias netas totales?
R. D entro de 2 años y UN ' = S / . 2 6 6 6 6 6 , 6 6
14.
U n a co m p a ñ ía está co nsid e ra n do la adición de p ersonal para propaganda. E l
1
costo de a d ició n de este p e rso n a l está d ad o p o r C ( x ) = —x, d o n d e C está en
unidades de S /. 6 0 0 y x es el núm ero de p erson as agregadas. E l in gre so
obtenido con el personal adicion al es
/(x) = 2 -¡x
,
dond e / está en
unidades de S/. 6 0 0 y x es el núm ero de personas agregadas. ¿ Q u é nú m e ro
de p ersonas para p rop agan das deben agregarse para m a x im iz a r la utilidad,
cuál es el in gre so neto a dicio nal (suponer que las fu n c io n e s son co ntin ua s)?.
15.
L a utilidad m argin al de cierta co m p añía es de
1 0 0 — 2x sole s p or unidad
cuand o se p rod u ce n x unidades. S i la utilidad de la c o m p a ñ ía es de S/. 7 0 0
cuand o se p rod ucen 10 un idad es ¿C u á l es la utilidad m á x im a p o sib le de la
c o m p a ñ ía ?
R. S/. 2 3 0 0
16.
E l costo m argin al de un fabricante es de 3 (q r — 4 ) 2 so le s p or u nidad cuand o
su n ive l de p ro d u cció n es de q unidades.
a) E x p re se el costo total de p rod u cció n del fabricante en té rm in os de sus
ga sto s generales (costo fijo) y el núm ero de unidad es p roducidas.
b) ¿ C u á l es el costo de la p ro d u cció n de 14 un idad es si el costo fijo es de
S/. 4 3 6 ?
17.
L a s fu n c io n e s de d em anda y de oferta, en situación de com p e te n cia p ura son
respectivam ente,
p = 30 — q 2
y
p = 2 q 2 + 3 , halle el excedente del
productor.
18.
S i la fu n c ió n de d em anda es
p = j 20 — q
y la cantidad d em an dad a es
q 0 = 4 , halle el excedente del co n su m ido r.
19.
H a lle
la
cantidad
p ro d u cid a
que
m a xim ice
la
utilid ad
(su p o n ie n d o
com p e te n cia pura) y determ inar la utilidad total en d ic h o punto si las
fu n c io n e s de in gre so m a rg in a l y de costo total están d ad as p or
ÍM g = 2 4 - 5 q - 2q 2 y CMg = 1 1 - 3 q - q 2
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236
COORDENADAS
POLARES
-S Í'
5.1 S I S T E M A D E C O O R D E N A D A S P O L A R E S
L a p o sic ió n de un punto P en un plano
se
puede
indica r
u san d o
las
c o orde n adas
co nsid e ra
p o la re s.
una
Para ello, se
sem irrecta
orientada
OA llam ada eje p o la r, que usualm ente
se co n sid e ra en fo rm a h orizontal y que
se extiende h acia la derecha (F ig. 5.1);
al o rige n O del eje p olar se d en o m ina
o r ig e n o polo.
A cada punto P de! p lan o se le asig n a
(r; 9)
dond e r es la longitud
del segm ento
OP y 9 es la m edida
en
del
un par
radianes
á n g u lo
cu y o
lado
inicial es el eje p o la r y el lado term inal
es el segm ento OP.
A l par (r; 9 ) se d e n o m in a c o o r d e n a d a s p o la re s de P y se denota
P ( r ; 9) , r es
llam ado r a d io v e c to r y 9 es el á n g u lo p o la r. D e la Fig. 5.1- p od ría d ed u cirse que
r > 0
y
O < 0 < 2 7 r , pero éstas no son las co n d icio n e s generales. Para asocia r
las co orde n a da s p olare s a un punto y form ar el siste m a de c o o r d e n a d a s p o la re s
en el p lan o es necesario tener en cuenta las siguientes consid eraciones:
1.
S i el án gu lo AOP se d esp laza a partir de
p o sitiv o y n e ga tivo en ca so contrario.
2. A la sem irrecta
OA
en sentido antihorario,
9 es
OA' que fo rm a con el eje p olar un á n g u lo de m ed ida 9 se
d e n o m in a eje 0 . E l rad io vector r es p o sitivo si P está situado en el eje 9 , y
es n e ga tivo si P está en la p ro lo n g a c ió n del eje 9 .
3. E l p o lo 0 está u n ívo ca m e n te determ inado p or r = 0 , es decir, al p o lo se le
puede a sig n a r el par (0 ; 9) , donde 9 es cualq u ier núm e ro real.
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*
TÓ PIC O S DE C Á LC U LO - V O LU M EN 11
Kjcinplo 1. U bique en el plano los puntos cuyas coordenadas polares son
•*(-*;) •
■
s (3;ir) •F<3:" 1)
Solución
Para ubicar estos p untos con m a y o r facilid ad usare m os la ro seta p o lar (F ig. 5.2).
E n esta roseta polar, r es constante en cada circunferencia y en cada sem irrecta, 9
es constante. A s í, los p untos A , B , C , D , E y F se m uestran en la Fig.5.2.
Observación 1
a) Para establecer la correspondencia biunivoca entre puntos del plano y las
coordenadas polares se debe considerar los valores principales
r > 0
y
0 < 0 < 2 tt
(1)
b) Cuando no se considera la restricción (!) a un punto dado,
infinitos pares de coordenadas polares
se puede asociai-
(r; 9). Si las coordenadas polares
P son (r; 0), también son coordenadas de P los pares:
((-l)nr ; 9 + nn) , n 6 2
(2)
Por ejemplo, ctl punto C ( 2; u) se puede asociar las coordenadas pola) es
(-2; 2rr) , (2; 3tt), (2; -7r), (2; 5rr), (-2; 6tt), ..., etc.
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de
C O O R D EN A D AS PO LARES
5.2
R E L A C IÓ N
ENTRE
LAS
COODENADAS
PO LARES
Y
LAS
CO O RDENADAS RECTANGULARES
C o n sid e re m o s el sistem a de coordenadas
rectangulares x O y , co n
Öx = OA , donde
OA es el eje p olar (F ig. 5.3).
Si
P
es
co orde na da s
un
punto
del
rectangulares y
p la n o
cuyas
p olares
son
O ; y ) y ( r ; 0 ) respectivam ente, el cam bio
de coorde n adas rectangulares a coordenadas
polares
se
relaciones:
efectúa
co n sid e ra n d o
x = r cos 9
y = r se n 9
las
^
Inversam ente, el ca m b io de coordenadas cartesianas a co orde n a da s p olares se
efectúa a través de las relaciones
r2 = x2+ y 2
y
ta n 8 = —
ó
r = ±/x2+ y2
y
ó
9 = a rc ta n —
E je m p lo 2
n) H alle ¡as c o o rd e n a d a s re cta n gu la re s dei p u nto P
b) H a lle las co orde na da s polares del punto P ( - v ' 3; - 1 ) .
S o lu c ió n
a) r = 4 , 6 = - = * x = 4 e o s ^ , y = 4 s e n ^ = » P ( 2 v 3 ; 2).
b) x = - V 3 , y = - 1
tan 6 = —
=> r = ±2
(3 e r cu a d ra n te ) => 8 — — ==> p Í 2 - — 'j
6
V ’ 6/
E je m p lo 3. E n (a) y (b) halle la ecuación p olar de la cu rva dada y en (c) y (d)
halle la ecu a ción cartesiana de la curva.
a) x 2 + y 2 = a 2 , a > 0 (circunferencia)
b) ( x 2 + y 2) 2 = a 2( x z - y 2) ,
a > 0 (lem niscata de B e rn o u lli)
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2 39
TÓ PIC O S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II
c) r •- 4 s e n 0 (circunferencia)
d) r =
2
---------(e lipse )
2 - eos 8
S o lu c ió n
a) x 2 + y 2 = a 2 =3^r2 = a 2 =» r = ± a
L a e cu a ción polar de una circunferencia de radio a (a > 0 ) y centro en el
origen es r = a
ó r = -a.
b) ( x 2 + y 2) 2 = a 2( x 2 - y 2) => r 4 = a 2( r 2 c o s 2& - r 2 s e n 2 0 )
=> r 2 = a 2 c o s 22 0
c) r = 4 sen 0 => r = 4 - =» r 2 = 4y => x 2 + y 2 = 4y
'
r
x 2 + ( y - 2 ) 2 = 4 (circunferencia de centro (0;
2
d )r = 2
^
„
2
é
3 r = j
n
¿
2 ) y radio 2)
2
= ,1 = 2 F ^ Í
r
=> 2 r - x = 2 => 4 r 2 = (2 + x ) 2 =* 4 ( x 2 + y 2) = (2 + x ) 2
=> 3 x 2 + 4 y 2 - 4 x - 4 = 0
(elipse)
5.3 D I S T A N C I A E N T R E D O S P U N T O S E N C O O R D E N A D A S P O L A R E S
La
distancia
entre
los
puntos
¿ f a ; 0 X) y f í ( r 2; 0 2) está dada por
d = J r j 2 + r 2 - 2 r t r 2 e os ( 0 2 - 0 ^
L a d em ostra ción se realiza u sa n d o la
ley de los co se n o s en el trián gu lo AOB
(F ig. 5.4).
P or ejem plo,
la d istancia entre
puntos A ( —3; 7 n / 1 2 )
los
y ( 5 ( 5 ; ír / 4 )
es
d =
I
7T
19 + 2 5 + 3 0 e o s - = 7
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Fig. 5.4
CO O RD EN A D A S P O LA R ES
5.4 E C U A C IÓ N P O L A R D E UNA R E C T A
I.
Se a L una recta que no pasa p or el origen. S i
N( p; w ) es el par p rin cip a l de
co ord e n a d a s p olares del pie de la perpendicular trazada del p o lo a la recta L y
P(r; 8 ) es un punto de la recta L (F ig.5 5), la ecua ción p olar de la recta es
r c o s ( 0 — oj ) = p
II.
(5 )
S i la recta L pasa p or el orige n (Fig. 5.6), su e cuación p olar es
8 = a , a co n stante
Observación 2
i)
Si la recta es perpendicular al eje pol ar y está a p unidades del polo, la
ecuación (5) se transforma en
r = eos 8 = ± p , p > 0
(6 )
El signo de p es positivo si la recta está a la derecha del polo, y es negativo
si está a la izquierda.
i i)
Si la recta es paralela al eje pol ar y está a p unidades del polo, la ecuación
(5) se transforma en
r se n 8 = ± p , p > 0
(7 )
El signo de p es positivo si la recta está p o r encima del eje polar, y es
negativo si está p o r debajo del eje polar.
iii)
La ecuación pol ar r e o s ( 8 - ùj) = p
(cartesiana) normal de la recta
es equivalente a la ecuación
x e o s cü + y se n o) = p
iv)
Una ecuación p ol ar de la recta que p as a p o r los puntos A f a ; 8 X) y
B (r2>s 2) es
rxr s e n ( 0 ! - 9 ) + r 2r s e n ( 0 - 0 2) = r i r 2 s e n ( 0 ! - 0 2)
241
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(8 )
TÓ PIC O S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II
Kjcinplo 4
a) H a lle la ecu ación de la recta perpendicular al eje p o la r que pasa p o r el punto
i4(6; 2 n / 3 ) .
b) H a lle la ecuación de la recta paralela al eje p olar que pasa p o r el punto
B( 2 V 2 ; ff/4).
c)
H a lle la ecua ción p o la r de la recta cuya e cuación cartesiana es
3 V 3 x 4- 3 y 4- 2 4 = 0
d) H a lle un a e cu a ción en co orde n adas polares de la recta que pasa p or los puntos
/ i( 4 ; 2 7 r / 3 ) y B ( 2 V 2 ; tt/ 4 )
S o lu c ió n
a) E n la Fig. 5.7 se ob se rva
p = 6 co s(2 7 r/ 3 ) = - 3
Luego,
la e cu a ción
p olar
de
la
recta L es
r e os 9 = - 3
b) p = 2 V 2 c o s ( 7 i/ 4 ) = 2. L u e go , la
e cuación p o la r de la recta es
r sen 0 = 2
c) C o n sid e ra n d o la e qu ivalen cia de la e cuación p o la r co n ia ecu ación norm al, es
necesario transform ar la ecu ación dada en su fo rm a norm al. P o r geom etría
analítica, se sabe que si la ecu ación cartesiana de u n a recta es de la form a
Ax 4- B y 4- C= 0 , C * 0
la e cu a ción
n orm a l se obtiene
(*)
____________________
d iv id ie n d o ( * ) entre
+^¡A2 4- B 2 , donde el
sig n o del radical es opuesto al sig n o de C. E n nuestro caso, se tiene A = 3>/3 ,
B = 3 y C = 4-24. P o r tanto, d iv id im o s entre
-J (3 V 3 )2 + 32 = - 6
y la
ecuación n orm a l de la recta es:
V3
1
------- x — y = 4
2
2
D e esta e cu a ción se deduce que c o so ) = - V 3 / 2 , s e n (o = - 1 / 2
y p = 4.
D e los va lo re s del se no y del co se n o se co n clu ye que o) está en el tercer
cuadrante y a) = 7 n / 6 . P o r tanto, la e cuación p o la r de la recta es
r c o s ( 0 — 77t / 6 ) = 4
d) L a e cu a ción
p olar de la recta que pasa por lo s p u ntos
B ( 2 V 2 ; ír/ 4 ), usand o la fó rm u la (8), está dada por
4 r se n ( y - d'j + 2 V 2 r s e n ( 0 -
=
8 V2
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sen^|
yl(4 ;2 7r/3 )
y
CO O RD EN A D A S P O LA R ES
5.5 E C U A C I Ó N P O L A R D E U N A C I R C U N F E R E N C I A
L a e cu a ción p o la r de una circunferencia
de centro C(p; a ) y rad io a, a > 0, es
r 2 + p 2 — 2 rp cos(9 —a ) = a 2
(9 )
E n la Fig. 5.8 se ob se rva que si P(r; 8)
es un punto de la circunferencia,
a plican d o la ley de los co se n o s en el
triángulo OCP, se obtiene la e cuación
(9).
Observación 3
i) Si la circunferencia p a s a p o r el polo y su centro está en el eje p ol ar (o su
prolongación), la ecuación (9) se reduce a
r = 2p c o s 0
( 10)
El centro de esta circunferencia es C(p; 0 ) y su radio es |p|.
ii) Si la circunferencia p a s a p o r el polo y su centro está en el eje n / 2 (o su
prolongación), la ecuación (9) se reduce a
( 11)
r = 2p sen 9
El centro de esta circunferencia es C(p; n / 2 ) y su radio es \p\.
iii) Si el centro es el pol o (p = 0 ) , la ecuación (9) se reduce a
( 12)
r = ±a
E je m p lo 5. H a lle la ecu a ción p o la r de la circunferencia tal que:
b) Su centro es C ( - 5; n / 2 ) y su radio es 5
a) Su centro es el p olo y su radio es 4
c) Su centro es C (3 ; 0 ) y su radio es 3d) Su centro .es
C (3; 7r /6 ) y su radio es
S o lu c ió n
U sa n d o convenientem ente las fó rm ulas dadas en (9), (10), ( 11 ) ó (1 2 ) se tiene
a) L a e cuación de la circun fe re ncia es r = 4 o r = — 4.
b) L a e cuación de la circun fe re ncia es r
= 6cos0.
c) L a e cuación de la circun fe re ncia es
r = — 1 0 s e n 9.
d) L a e cuación de la circu n fe re n cia es
r 2 - 6 r c o s ( 0 - n / 6 ) = 55.
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243
8
TÓ PICO S DE CÁ LCU LO - V O LU M EN II
5.<» D I S C U S I Ó N Y G R Á F I C A D E U N A E C U A C I Ó N P O L A R
l’ara trazar la gráfica de una e cuación en coordenadas p olares
E ( r \ Q ) = 0, es
conveniente realizar los siguientes pasos:
I)
In te rse c c io n e s
a) C o n el eje polar. Se hace 6 = n n , n E TL, y se resuelve la e cu a ción resultante.
b) C o n el eje n / 2 . Se hace 9 = tc/ 2 + n n , n E l , y se resuelve ¡a e cuación
resultante.
c) C o n el polo. Se hace r = 0 y se resuelve la e cuación que resulta.
II) S im e t r ía s
a)
( r ; 8)
por
( ( _ l ) n r; - 9 + nn) , n E l . S i la e cuación no va ría para a lg ú n v a lo r de
n, la
C o n respecto
al eje
polar.
En
la
ecuación
cu rva es sim étrica con respecto al eje
se
reem p laza
polar; si la ecu ación va ría para todo
n e 2 , la cu rva no es sim étrica con respecto al eje polar,
b)
C o n respecto
( _ ( _ l ) n r;
al eje n / 2 .
E n la
e cuación se reem p laza (r; 9) por
+ n7rj ( n E TL. S i la e cuación no va ria para a lg ú n v a lo r de n, la
cu rva es sim étrica con respecto al eje n / 2 \ si la ecuación va ria para todo
n E l , la cu rva no es sim étrica.
c) C o n respecto al polo. Se reem plaza
(r;0 )
p or
( - ( - l ) n r; 9 + nn) , n E TL,
en la ecu ación de la curva. S i la e cuación no va ría para algú n v a lo r de n, la
cu rva es sim étrica con respecto al polo; si la e cuación va ría para todo n E X ,
la cu rva no es sim étrica.
(*) Si
P(r;9)
cu rva
cuya
es cualquier punto de la
ecu a ción
p o la r
es
E ( r \ 9 ) = 0, el punto sim étrico de P
con respecto al eje polar es S ( r \ - 9 )
i’ ( r ; 6 )
(F ig, 5.9).
P or
o b se rva c ió n
1,
tam bién
son
S lo s pares
( ( - l ) ’V ; - 9 + nn) , n E l .
Si
el
punto
S pertenece a la curva,
( ( - l ) n r; - 9 + n n ) tam bién satisface
co ord e n a d a s
del punto
la ecuación para a lg ú n v a lo r de n, es
Fia. 5.9
decir, la ecuación no varía.
Por otro lado, si ( ( - 1 ) nr ; - 9 + n n ) no satisface la e cu a ción de la cu rva p ara j
todo n E TL, sig n ific a que S n o pertenece a la curva, es decir, la cu rva no es
;
sim étrica respecto al eje polar. D e m anera sim ila r se d educen las co n d icio n e s
para que una cu rva sea sim é trica co n respecto al eje n / 2 y al polo.
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244
i
COORDENADAS POLARES
III) E x t e n s ió n . S e d eterm ina la va ria ció n de r y 8
I V ) T a b u la c ió n . Se tabulan lo s va lo re s de r y 8.
V ) T r a z a d o d e la g rá fic a . E n un sistem a de co ord e n a d a s p olare s (es preferible
usar la roseta polar) se lo calizan lo s p u ntos ob te n id o s y se traza la c u rv a con
la in fo rm a c ió n obtenida en la discusión .
E je m p lo 6. D e te rm in e si so n sim étricas o no respecto al eje polar, al eje n / 2 y al
polo, las c u rva s c u y a s e cu a cione s son:
a) r = 4 e o s 8 + 2
b) r 2 = 9 [se n
+ l]
R e sp e cto al eje polar. R e e m p la za n d o en la ecu ación
(r; 8 )
c) r — 3 ( 1 + c o s 0 )
(ca ra col)
(ca rd ioid e)
S o lu c ió n
a) i)
p or
(r ; - 0 ) ,
se obtiene que r = 4 c o s ( - 0 ) + 2 = 4 c o s 0 + 2. P o r tanto, la c u rv a es
sim étrica co n respecto al eje polar.
ii) R e sp e cto al eje n / 2 . A l reem plazar (r; 8)
p o r ( - ( - l ) n r; - 8 + n n ) , se
tiene que - ( - l ) n r = 4 c o s ( - 0 + n n ) + 2.
S i n es p ar => - r = 4 e o s 8 + 2 (varía).
S i n es im p ar => r = 2 - 4 e os 8 (varía).
L u e g o , la cu rv a no es sim é trica porque la ecua ción va ría para todo n G TL.
iii) R e sp e cto al polo. A l reem p lazar (r; 8)
que - ( - l ) n = 4 c o s ( 0 + n n ) + 2.
p or ( - ( - l ) n r; 8 + n n ) , se tiene
S i n es p ar => - r = 4 e o s 8 + 2 (varía)
S i n es im p ar => r = 2 - 4 e o s 8 (varía)
L a cu rva n o es sim étrica co n respecto al polo. L a grá fica del caracol
r = 4 e o s 8 + 2 se m uestra en la figura 5.10.
b) i)
R e spe cto al eje polar. Para
(r; 2 n - 8) , se tiene
n = 2, es decir, re e m p lazand o (r ; 8 ) por
P o r tanto, la c u rv a es sim é trica con respecto al eje polar.
ii) R e sp e cto al eje n / 2 .
( — r; 2 n — 8) , se tiene
P ara
n = 2, es decir, reem p lazand o (r ; 8 ) por
P o r tanto, la cu rva es sim é trica con respecto al eje n / 2 .
iii) R e spe cto al polo. L a ecu a ción no va ría al reem plazar (r; 8 ) p o r ( — r; 8)
(para n = 0). L u e g o , la cu rva es sim étrica respecto al p o lo y su g rá fica se
m uestra en la Fig. 5 . 1 1.
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245
TÓ PIC O S DE C A LCU LO - V O LU M EN II
c) i:i cardioide
r = 3 ( l + co s0 )
es sim étrico con respecto al eje polar. N o es
sim étrico respecto al eje n / 2 ni respecto al p olo (verificar).
I,a gráfica del cardioide r = 3 ( l + c o s 0 ) se m uestra en la F ig. 5.12.
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cosO +2
240°
i V
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jk
X \^ *
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7
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3 N gQ
/
\ /
\ A
\
a
r = 3 (l + c o s 0 )
E je m p lo 7. D isc u tir y grafica r la e cuación r — 4 e os 9 + 2 (caracol).
S o lu c ió n
P o r la p e rio d ic id a d del coseno, es suficiente co nsid e ra r 8 6 [0; 2n].
I.
In te rs e c c io n e s
a) C o n el eje polar. R e e m p la z a m o s 9 = n n en la ecuación y se tiene
r = 4 c o s ( n 7 r ) + 2.
S i n es par => r = 6 => (6; 0 )
S i n es im p a r => r = — 2 => ( - 2 ; n )
b) C o n el eje n / 2 . R e e m p la z a m o s 9 = (tt/2 + n n ) en la e cu a ción y ob tenem os
r = 4 c o s (7t / 2 + n n ) + 2
S i n es par => r = 2 => (2 ; n / 2 )
S i n es im p a r => r — 2 => (2 ; 3 n / 2 )
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246
COORDENADAS POLARES
c)
C o n el polo. H a c ie n d o r = 0 en la ecuación, se obtiene
0 = 4 eos 6 + 2 ó
eos 9 = — 1 /2 . L u e go , 8 = 2 n / 3 V 9 = 4 n / 3 . L a cu rv a pasa p o r el polo.
II. S im e t ría s. E n el ejem plo 6 h em os visto que este caracol es sim é trico
solam ente respecto al eje polar.
III. E x t e n sió n , fl £ M A - 2 < r < 6,
IV . T a b u la c ió n
9
0
n/6
r
6
5,5
7T/4
4,8
n/3
4
n/2
2
2n/3
3n/4
Sn/6
7T
0
-0 ,8
-1 ,5
—2
V. T r a z a d o de la g rá fic a . L a gráfica se m uestra en la fig u ra 5.10.
E j e m p lo 8. D isc u tir y g ra fica r la e cuación r 2 = 9
S o lu c ió n
se" © + 1
P roce de m o s de m anera sim ila r a lo realizado en el ejem plo anterior.
I.
In te rs e c c io n e s
a) C o n el eje polar. 9 = n n => r 2 = 9 [s e n (n 7 r/ 2 ) + 1],
S i n = 0 => ( 3 ; 0 ) y ( — 3; 0). .
S i n = 1 => (4,2; 7r) y ( — 4,2; 7r).
S i n = — 1 => (0 ; — 7r).
b) C on el eje
7T
71
¿
6 = - + nn
¿t
( \ + nn\
se n
—
+1
S i n = 0 => (3,9; n / 2 ) y ( - 3 , 9 ; tt/2).
S i n = 2 => (1 ,6 ; S n / 2 ) y ( - 1 , 6 ; S n/ 2 ) .
c) C o n el polo, r = 0 => 9 = 3 n , 9 = 7n.
II. S im e t ría s . L a c u rv a es sim étrica con respecto al eje polar, al eje n / 2 y al
orige n (v e r ejem plo 6).
III. E x t e n sió n . 9 £ K
IV . T a b u la c ió n
es 47r)
y - 3 V 2 < r < 3V2.
(E je rc ic io para el lector. C o n sid e ra r que el perío d o de la fu n c ió n
V. T r a z a d o de la g rá fic a . L a gráfica se m uestra en la fig u ra 5.11.
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247
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
E je m p lo 9. T ra ce la gráfica de r = 1 — [2 s e n 2 0 ] , 0 e [0; n].
S o lu c ió n
D iv id im o s convenientem ente el intervalo [0; 7r] de m o d o que |[2 s e n 2 0 ] tom e un
solo va lo r entero en el su bin te rvalo considerado.
Si 0 £ [0; 7T/12) => 0 < 2 se n 2 0 < 1 => |2 sen 2 0 ] = 0 => r = 1.
Si 0 e [tt/12; 7t/4) => 1 < 2 se n 2 0 < 2 => [2 sen 2 0 ] = 1 => r = 0.
S i 0 = t i / 4 = ^ 2 se n 2 0 = 2 => [2 se n 2 0 ] = 2 =* r = - 1 .
Si 0 G <7t /4; 5 tt/ 12] => 1 < 2 se n 2 0 < 2 => 12 se n 2 0 ] = 1 => r = 0.
Si 0 6 <5tt/12; jt/ 2] =* 0 < 2 se n 2 0 < 1 =* 12 se n 2 0 ] = 0 => r = 1.
Si 0 e ( j t / 2 ; 7tt/12] =* - 1 < 2 se n 2 0 < 0 => \2 se n 2 0 ] = - 1
Si 0 6 <7tt/1 2; H t t / 1 2 )
=> r = 2.
=> - 2 < 2 se n 20 < - 1 =» [2 se n 2 0 ]
Si 0 e [1171/12; 7r> => - 1 < 2 se n 2 0 < 0 =>
=
12 se n 2 0 ] = - 1 =» r =
S i 0 = 7r => 2 se n 2 0 =
0 => [2 se n 2 0 ] = 0 => r = 1.
L a gráfica se m uestra en
la Fig. 5.13.
- 2 => r =
2.
5.7 I N T E R S E C C I Ó N D E C U R V A S E N C O O R D E N A D A S P O L A R E S
P r o p o s ic ió n 1. S i
r = / ( 0 ) es la ecu a ción de una cu rv a en co ord e n a d a s polares,
entonces
( - l ) n r = / ( 0 + 7i7r) , n £ Z
(1 3 )
es tam bién la ecu a ción de d ich a curva.
C o n sid e ra n d o esta p ro p o sició n , para hallar la intersección de d o s cu rva s cu y a s
ecuaciones en co ord e n a d a s p olare s son
r = f ( 6 ) y r = g(8)
se sig u e n lo s sigu ien te s pasos:
1. Se obtienen todas las ecu acion e s distintas de las d o s c u rv a s a p lic a n d o (1 3 ) a
cada u n a de ellas.
r = f ( 9 ) , r = A ( 0 ) , r = f 2( 9 ) , ...
r = g(9) , r
= g^G) , r =
g 2( 8 ) , ...
2. Se resuelven, para r y para 9, las e cu acion e s sim ultáneas
r=m
r = g(9)
'
fr = /i(0)
[ r = f(6)
lr = ^ ( 0 )
’ [r = 5 l (0 )
’
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248
e iC '
L O Ü K U tN A D A S P O L A R E S
3. Se ve rific a si el p o lo es un punto de intersección h acie n do
r = 0
en cada
e cuación para determ inar si existe so lu c ió n para 0 (no necesariam ente la
so lu c ió n será la m ism a).
I
ara tener una idea respecto a la cantidad de puntos de intersección de d o s curvas,
se sugiere trazar sus gráfica s previam ente de m o d o que se sim p lifiq u e el trabajo.
E je m p lo 10. H a lle las diferentes ecuaciones de las cu rva s
b) r = 2 + s e n 0
a) r = 2 + e os 2 0
S o lu c ió n
a) A p lic a n d o (13), las ecuaciones de r = 2 + e os 20 están dadas p or
( - 1 ) nr = 2 + eos 2 (0 + n n ) , n E l
S i n es par = * r = 2 + e os 29 . S i n es im p ar = > - r = 2 + e o s 29.
Lu e go , las diferentes e cuaciones de la cu rva son:
r = 2 + e o s 29
y
r = - 2 - e os 2 0
b) D e m anera sim ilar, las e cuaciones de r = 2 + s e n
0 están dadas por
( - l ) n r = 2 + s e n ( 0 + n n ) , n E TL
n es par => r = 2 + s e n 0. S i n es im par = > - r
Si
= 2 - s e n 0.
L u e go , las diferentes ecu acione s de la cu rva son:
r = 2 + se n0
E je m p lo 11.
y
r = - 2 + se n0
H a lle lo s p untos de intersección de las c u rva s c u y a s e cu a cio n e s en
coorde nadas p olares so n V 2 r = 3
y
r 2 = - 9 eos 20.
S o lu c ió n
L a s gráfica s de estas cu rv a s se m uestran en la Fig. 5.14. C o n sid e ra n d o las
sim etrías de estas cu rva s (respecto al eje polar, al eje n / 2
hallar un punto de intersección.
Al
re solve r
♦
sim ultáneam ente sus
i
i—
—
—
y al p olo), es suficiente
—
.
9
2
— , i
ecuaciones, se obtiene
'
-
7 C O S (Z t
T
= — 9 eos 2 0 = > c o s 2 0
1
= —
2
Jlr = l
L u e go , lo s puntos de intersección son:
Fig. 5.14
249
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
K je in p lo 12. H a lle los puntos de intersección de las cu rva s
r = 2 e os 0 y r = 2 s e n 6
S o lu c ió n
Las
gráfica s
de
estas
curvas
(circu n fe re ncias) se m uestran en la figura
5.15. E s evidente que el p o lo es un punto de
la
intersección
(en
r = 2 eos 6
G = 7r/2 => r = 0; en r = 2 se n G
Q - o => r = 0).
No
es
necesario
hallar
las
para
para
diferentes
ecuaciones de las d o s curvas, y a que al
re solve r sim ultáneam ente sus ecuaciones se
obtiene
2 e os 6 = 2 s e n 6 => ta n 6 = 1
=> Q = —
4
L u e go , los p untos de intersección so n P ( V 2; 7r/4) y el p olo .
E je m p lo 13. H a lle los puntos de intersección de las cu rva s
r = 4 ( 1 + s e n 6)
y
r ( 1 - s e n 6) = 3
S o lu c ió n
L a s gráfica s de r = 4 ( 1 + s e n 6 ) (card ioid e) y r ( 1 - s e n 0 ) = 3 (p ará bo la ) se
m uestran en la F ig. 5.16. Se ob se rva que el p o lo no pertenece a la intersección.
N o es necesario h allar las otras ecuaciones de estas curvas, pues al re solve r
sim ultáneam ente su s ecuaciones se obtienen los cuatro p u ntos que se ob se rva n en
el gráfico. E n efecto,
4 ( 1 + s e n 6) = 3 / ( 1 - s e n 6) ^ 4 e o s 26 = 3 => e o s 6 = ± V 3 / 2
Sn
7n
T
’ e - e
llr c
’ d
~6~
Lu e go , los p u ntos de intersección son
4 ( 6 ; 7r/6) , 6 ( 6 ; 5 n / 6 ) ,
C(2 ;7 tt/ 6 ) y D (2 ; ll7 r / 6 )
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25 0
Fig. 5.16
CO O RDENADAS POLARES
5.8 D E R I V A D A S
PO LARES
Y
RECTAS
TANGENTES
EN
CO ORDENADAS
Se a r — f ( 0 ) la ecuación de una curva. D e las fó rm u la s
(x = f ( 9 ) eos 9
x = r e o s 9 A y = r s e n 6 se obtienen P
(y = / (0 )se n 0
que so n las ecu acion e s param étricas con parám etro 0, de donde
dy
d y _ ¿e_
d y _ f ' { 9 ) sen 8 + / ( 0 ) eos 9
dx
dx
dx^'
dG
/ '( 0 ) e os 9 — / ( 0 ) s e n 9
(1 4 )
C o m o sabem os, esta d eriva d a es la pendiente de la recta tangente a la c u rv a en el
punto ( x ; y ) , es decir,
dy
— = ta n a
dx
(1 5 )
donde a es el á n g u lo de in clin a ció n de la recta tangente a la curva.
Se a P ( r \ 9 ) el punto de tan gencia y /? el á n g u lo que form a el rad io vector O P y
la recta tangente. E x a m in a re m o s los siguientes casos:
E n el ca so (a):
a = 9 + p => p = a — 9
E n el ca so (b):
p = a + n - 9 => p = n + ( a - 9 ) , de donde:
ta n p = ta n frr + ( a - 0 ) ] = t a n ( a - 9 )
L o que sig n ific a que en a m b a s situaciones se ve rifica ta n p = t a n ( a - 0 ), es
decir,
ta n p =
ta n a — ta n 9
1 + ta n a ta n 9
251
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(1 6 )
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II
C o n s id e r a n d o ( 1 4 ) y (1 5 ) se o b tie n e
/ '( 0 ) s e n 0 + / ( 0 ) cosd _
fí
f ' ( 9 ) e o s 6 - / ( f l) s e n 6
ta n /? =
i 4 . f i a s e n e + f{B) cose
1 + /f '' (f ñ
fí -- /f (fffYcen
0 )'l rnc
e os 0
0 )s e n fí
fí
Sim p lific a n d o se obtiene
/ (« )
tan/? = -7 77^ - , esto es,
fiey
dr
tan P ~
°
d 0 :::r c o t i?
<-1 ? ')
le
“ L a d erivada del ra d io vector r respecto al án gu lo p olar 6 es igu a l al p rod u cto de
la lon gitu d del p rim e ro por la cotangente del án gu lo fo rm a d o p or el rad io vector y
la tangente a la cu rv a en el punto d ad o” .
E je m p lo 14.
H a lle los valores de P, a y las e cuaciones cartesiana y p o la r de la
recta tangente a la cu rva r = a ( 1 — e os 0 ) en 0 = tt /6 ( a > 0 ).
S o lu c ió n
La
gráfica
de
r = a ( l — e os 0 )
120”
(ca rd ioid e) se m uestra en la Fig. 5.18.
dr
d6
\
J
L
60°
\ y*
/ S/
= a se n 6, de d o n d e
ta n /?
I
1
2 se n 2 2
a ( 1 - eos 0 )
a se n 0
^
/a
1 J K
pSN T
o
2 se n 02 e os 02
Lue go , ta n /? = ta n ( 0 / 2 ) , de don d e
240"
7T
* = 2 = >*
^
/
270"
300°
Fig. 5.18
12
(1 - eos 0)
El m ism o re su lta d o se ob tie n e al re e m p la za r 0 =
tt / 6
en tan /? -
a = e + p => « = jr /6 + n / \ 2
y
la
=> a = rr/4
mr = 1
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pendiente
de
la
recta
COORDENADAS POLARES
O lía fo rm a de obtener la pendiente es usando la fó rm u la (1 4 )
dy
/ '( 0 ) s e n 8 4- / ( 0 ) c o s 0
dr
~ TT7ñ\-------o----- 7 7 7 ------ 7 ■ d o n d e f ' { 9 ) = — = a se n 0
dx
f'{8)cos8-f(8)sen 8
J
d9
R e e m p la za n d o 8 = n / 6 en esta exp re sió n se obtiene
dy
— •= m r = 1
dx
Las co orde n a da s rectangulares (x ; y ) del punto de tangencia son
V3a/
V3\
a (
V3
x0 = rc o s0 = —
I 1 - — 1, y 0 = r s e n 0 = - í l - ~
L a ecuación cartesiana de la recta tangente es y - y 0 = l ( x - x 0), es decir,
5 - 3V3
x - y + •
-a = 0
y la ecua ción p olar de esta recta es
7n\ _ 3 V 3 - 5
r e os
4 )
E je m p lo 15.
4V2
H a lle las e cuaciones cartesiana y p o la r de la recta tangente a la
cu rva r 2 = 9 e o s 2 8 en el punto P ( 3 V 2 / 2 ; n / 6 ) .
S o lu c ió n
C o m o r 2 = 9 e os 2 8, d eriva ndo
im plícitam ente se obtiene:
À1
3n
4 \
9 s e n 28
1t
s
.. X
Luego,
dy
r' s e n 8 + r e o s 8
dx
r' e os 8 - r s e n 8
—
—
3V2
** _
7T
,
p ^
t
1 ' 1 1 S r 1 — i— j — ►
V v V V
/ 7
v /
■
R e e m p la za n d o
r = - . e
s/
/
X X\
s
3V3
= -& y r
Fig. 5.19
obtenem os
dy
dx
= 0 = mT
La s co orde na da s cartesianas de P son
x - 3^/4, y
3\/2/4. P o r tanto, la
ecuación cartesiana de la recta tangente es y = 3 ^ 2 / 4 .
L a e cuación p o la r de està recta es r se n 8 = 3 V 2 / 4 .
L n la fig. 5.19 se m uestra la gràfica de r 2 = 9 c o s 2 8 (lem niscata de B e rn o u lli).
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253
TÓ PIC O S DE C Á L C U LO - V O LU M EN II
5.9 Á N G U L O E N T R E D O S C U R V A S E N C O O R D E N A D A S P O L A R E S
Sean
C
C' d o s cu rva s que se
y T'
y
intersecan en el punto P. S i T
son,
respectivam ente,
las
rectas
tangentes a las cu rv a s en el punto P, el
á n gu lo entre las d o s c u rva s en el punto
P es el á n g u lo fo rm a d o p or las tangentes
T y T'.
S i las e cu a cion e s de las cu rva s C y
C'
están en co orde n a da s p olare s y /? y /?'
son, respectivam ente, los á n g u lo s que
fo rm an el eje p o la r y las rectas tangentes
Fig. 5.20
T y T' (F ig . 5.20), entonces:
4-TPT' = 4-OPT' - 4-OPT, es decir, 0 = /?' - P
L u e go ,
tan /?' - ta n /?
ta n 0
(t a n / ?'
y
(1 8 )
1 + ta n / ?'ta n /?
t a n /?
se ca lcu la n
a plicand o (1 7 ) en el p u nto de intersección de las
cu rvas)
Observación 4. Como la discusión del ángulo puede presentar dificultades, se
calcula el ángulo agudo entre las tangentes a las curvas considerando ¡tan (p\.
En todo caso, la interpretación gráfica del problema simplifica los cálculos.
E j e m p lo 16. H a lle el á n g u lo
de intersección entre las c u rv a s
r - 3 e o s 6.
S o lu c ió n
D e la grá fica de las d o s cu rv a s (fig. 5.21),
<p = P' ~ P-
se obtiene
Para
h allar
lo s
puntos
re so lve m o s
de
sim ultáneam ente
intersección
sus
e cuacione s y ob tenem os
3
4 eos 6
n
=i> e os 0 = -
Sn
“ " = 6 V 6 =~6
L o s p u ntos de intersección son
P ( 3 / 2 ; 7r/6) y
<2(3/2; S jt/ 6 ).
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4 rco s0 = 3
y
C O O RD EN A D A S P O LA R ES
Solam ente h a lla re m os el á n g u lo entre las d o s c u rva s en el punto P (se deja co m o
ejercicio allector el á n gu lo en el punto
Q).
0
r
3
dr
3 se n 6
- -ñ ^ ~T7T = 1------ 777 Y tan /?' - cot 0
4 c o sfl
dd
4 c o s 20
^
.
„
n) r = 3 eos 0
dr
=* — = - 3 se n 0 y tan Z? = - 3 cot 0
dd
r
Por la d ire c ció n de los á n g u lo s y a plican d o (18), se tiene:
tan p - tan /?'
tan <p = ———---------v
-cot 0 - cot 0
tan ó ~ -------------
1 + ta n p ta n /?
9
1 - c o t 20
Para 0 = n / 6 => ta n 0 = - V 3 . Finalm ente, (p = 2 n / 3 .
E JE R C IC IO S
I.
E x p re se en co orde n a da s polares los sigu iente s p u ntos d ad os en co ord e n a d a s
rectangulares.
1) P ( 3 / 2 ; - 3 / 2 )
2 )P (1 ;-V 3 )
3 ) ( - V 3 ; 1)
4) P ( V 8 ; V 2 )
5) P ( — 8; 8 )
6 ) (4 ; 4 ^ 3 )
II. E x p re se en co ord e n a d a s
co orde n a da s polares.
rectangulares
ios
sig uien te s
I) P (3 ;3 tt/ 4 )
2) P ( - 2 ; n )
4 ) P ( — 2; — S tt/ 1 2 )
5) P ( — 1 /2 ; - tt/ 4 )
puntos
dados
3) P ( 4 ; - 2 7 r / 3 )
. 6) P ( 3 ; 2 )
III. H a lle las e cuaciones p olare s de:
1 •y - 5 = 0
R. r se n 0 = 5
2. x 2 - x 2y 2 - y 4 = 0
3. x 2 + y 2 — 4 x + 2 y = 0
R. r — 2 ( 2 e o s 0 — s e n 0 )
4. 6 x y = 5
/?. 3 r 2 s e n 2 0 = 5
5 . y 2 = x 3/ ( 2 a - x )
R. 2 a ta n 0 s e n
6. x 2 + y 2 — 2 y = 0
fl. r = 2
sen 0
7. 3 ( x — 2 ) 2 + 4 y 2 = 1 6
ß. r ( 2 -
eos 0 ) =
6
8. y 2 - 4 x - 4 = 0
R. r ( 1 - e o s 0 ) =
2
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255
0= r
en
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
3 x 2 + 4 y 2 - 6x - 9 = 0
9.
R. r 2 ( 3 + sen 2 0 ) = 3 ( 2 r eos 0 - 3 )
1 0 .2 x y = a 2
R- r 2 sen 2 0 - a 2
11. x 2 - y 2 = a 2
R. r 2 eos 2 6 = a 2
IV . H a lle las e cu a cione s rectangulares de
1. r = a sen 9 - b c o s O
Æ. x 2 + y 2 + b x - a y = 0
2. r 2 = a 2 eos 2 0
R. ( x 2 + y 2) 2 = a 2( x 2 - y 2)
3. r ( l - eos 0 ) = 4
R. y 2 = 8 ( x + 2 )
4. r ( 2 - eos 0 ) = 3
R. 3 x 2 + 4 y 2 - 6 x - 9 = 0
5. r ( l - 2 eos 0 ) = 4
R. 3 x 2 — y 2 + 1 6 x + 1 6 = 0
6. r = a ( l — eos 0 )
R. ( x 2 + y 2 - a x ) = a 2( x 2 + y 2)
7. r 2 eos 2 0 = 3
fí. x 2 - y 2 = 3
8. r = 2 eos 2 0
R. ( x 2 + y 2) 2 = 2 ( x 2 - y 2)
9. r sen 2 0 = 4
R. x 2y 2 = 4 ( x 2 + y 2)
10. r = a sec 0 + b
R. (x - a ) 2 ( x 2 + y 2) = ¿>2x 2
11. r sen 20 = 4 eos 0
Æ. y 2 = 4 x
12. r = sen 2 0
ñ . ( x 2 + y 2) 3 = 4 x 2y 2
V . E je rc ic io s d ive rsos.
1. D e m u e stre que el área del trián gu lo de vértices
Cr i l ^ i) .
(r 3 ^ 3 )
está d ad a p or
2.
1
r s e n (0 2 - 0 i )
r * ™
í—
í —
s e n (0 3 - 0 2)
+ —
ñ—
s e n (0 x - 0 3)]
+
ü
1
H a lle la lo n gitu d de los la d os y el área del trián g u lo de vértices
a ) (1 ; 7t / 3 ) , (2; ít / 6 ) y (3 ; — tt/ 6 )
fí. J 5 - 2 V 3 , V 7 , V l Ó , ^ ( 3 V 3 - 2 )
b) (2 ; tt/ 8 ) , (4 ; 3 r r /8 ) y ( - 1 ; 7 tt/ 8 )
_________
/?. 2 j s ^ 2 V I , j 5 - 2 V 2 , V Í 7 , ^ ( 5 V 2 - 4 )
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COORDENADAS POLARES
i. D e m u e stre que el á n g u lo entre las rectas:
r c o s (0 - o)) = p y r c o s (0 - a>') - p '
es a - (o
'1. H a lle la e cuación de la recta que pasa p o r lo s p u ntos
i4 (r1; 0 1) y S ( r 2; 0 2).
Su ge rencia: co n sid e re un p u nto P ( r ; 0 ) cualq uiera de las rectas y las áreas de
los triá n g u lo s OAB, OBP y OPA.
s e n ( 0 t - 0 2)
se n (0 2 ~ 0)
se n (0 — 0 j)
----------------- - H---------------------- 1-------------------- = 0
r
rx
r2
5. H a lle la e cuación de la recta que pasa p o r el punto ( r ^ - j
a la recta r e o s ( 0 - cu) = p.
y es p erpe n d icu la r
R. r s e n ( 0 - coi) = T ^ s e n ^ - oj)
6. S i
C (a ;a )
es el centro de una circun fe re n cia de rad io a
co orde n a da s polares, dem uestre que r = 2 a e o s ( 0 - a )
circun fe re ncia que pasa p o r el polo.
exp re sa d o en
es la e cu a ción de la
7. P es cualquier punto de la circunferencia r 2 - 2 r e e o s ( 0 - a ) + c 2 - a 2 = 0.
S i O es el p o lo y Q un punto sobre OP de m anera que:
_____
OP
k
i) = =
ii) OP.OQ = d 2
OQ
H a lle la ecuación del lu ga r geom étrico descrito p o r Q en cada caso.
R. i) k 2r 2 - 2 c k r c o s ( 8 - a ) + c 2 - a 2 =
ii)
0
( c 2 - a 2) r 2 - 2 c d 2r c o s ( 0 - a ) + d* = 0
8. S i el fo c o de una có n ic a (parábola, elipse o h ip é rb ola ) está en el p o lo y la
directriz de lacó n ic a es una recta p erpendicular al eje p olar que está a una
distan cia de
2 p (p > 0 ), la e cuación de la có n ic a está dada por:
2 ep
r = — ----------- , e es la excentricidad de la cónica
l± e c o s 0
(1 9 )
v J
(la có n ic a es una elipse si 0 < e < 1 , una p aráb ola si e - 1 y una h ipé rb ola
si e > 1). S i la directriz está a la izq uierd a del polo, el s ig n o de (1 9 ) es
en
cam bio, si la directriz está a la derecha del polo, el sig n o de (1 9 ) es + .
S i el fo co se m antiene en el p o lo y la directriz es paralela al eje polar, la
ecua ción de la có n ic a está dada por
2 ep
r ~ 1 ± e se n 0
(' 2 0 )
S i la directriz está debajo del eje polar, el s ig n o de (2 0 ) es está sobre el eje polar, el s ig n o es + .
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257
y si
la directriz
TÓ PIC O S DE C Á LCU LO - V O LU M EN II
a)
H a lle la e cuación de la elipse con foco en el polo, exce n tricidad
e = - y
directriz perpendicular al eje p olar en el punto ( — 4; 0 ).
4
R. r =
b)
H a lle
la ecu a ción de
la p arábola con
foco
en
2 —eos 8
el p o lo
y
directriz
p erpend icular al eje p olar en el punto ( — 3; 0 ).
R. r
1 - eos 0
16
c)
D e sc rib a y grafiq u e la cu rva r =
5 + 3 se n 6
R. elipse
V I. T r a c e la gráfica de cada una de las ecuaciones siguientes.
1.
r = 5 se n 0 + 4 c o s 0
2. r s e n 0 = 4
3.
r eos 0 = 6
4. r z s e n 2 0 = 1 6
5.
r 2 = 1 6 sen 2 0
6. r ( 2 — c o s 0 ) = 4
7.
r ( 1 + se n 0 ) = 8
8. r ( l - 2 c o s 0 ) = 4, h ip é 'b o la
9.
r 2c o s 30 = a s e n 0
10. r = 2 a ta n 0 s e n 0, cisoid e
11. r = a s e n 2 -
3 0
12. r = a s e n J -
13. r = a 0, espiral de A rq u ím e d e s
1 4 . r = e a 0 , espirai lo ga ritm ica
15. r = a ( l + e o s 0 ), card ioid e
16. r = a ( l - c o s 0 ), card ioid e
17. r 2 = a 2s e n 2 0 , lem niscata
18. r 2 — a 2 c o s 2 0 , lem niscata
1 9 . r = 4 e o s 3 0 , ro sa de 3 pétalos
20. r 2 — 4 r + 3 + 2 c o s 0 = 0
21. r = a s e n 3 0 , ro sa de 3 pétalos
22. r = a s e n 2 0 , ro sa de 4 pétalos
23. r = a e o s 2 0 , ro sa de 4 pétalos
24. r = a s e n 4 0 , ro sa de 8 pétalos
25. r = a e o s 4 0 , ro sa de 8 pétalos
26. r = a s e n 5 0 , ro sa de 5 pétalos
27. r = a e o s 5 0 , ro sa de 5 pétalos
28. r = a ( 2 + e os 0 ), caracol de Pascal.
29. r = a ( l - 2 e o s 0 ), caracol de P ascal
30. r = 12 + 3 s e n 2 0 ]
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258
COORDENADAS POLARES
31. |r| = 3 e o s 2 0 , 0 e [0; tt]
32. |r| = - 3 e o s 2 9 , 9 e [0; rr]
V II.
E je rc ic io s sobre sim etrías.
1. D e te rm in e la co n d ic ió n para que una cu rva sea sim étrica co n respecto al
eje 7r/4.
2.
D e te rm in e la c o n d ició n para que una c u rv a sea sim étrica co n respecto al
eje 7T/3.
V IH . H a lle los puntos de intersección de los sigu ien te s pares de curva s
1. r s e n 9 = 2 a , r e os { 9 -
R. ( 2 a;
= a
' 2'
3 tt>
2. r = 2 esc 9 , r = 4 s e n 0
R. ( 2 V 2 ; Í ) ; ( 2 V 2 ; ^ )
3. r = a , r = 2 a e o s 2 0
4. r = a ( l - e o s 0 ) ,
r = a co s0
/?.
5. 3 r = 4 e o s 0 , r ( l + e o s 0 ) = 1R. (2 / 3 ; ± t t / 3 )
6. r = 4 ta n 0 s e n 0 , r = 4 e os 0
7. r 2 s e n 2 0 = 8 , r e o s 0 = 2
8. r = 1 + c o s 0 , 2 r = 3
1
9. r = - s e c ¿ - , r = 2
2
2
0
1
10. 3 r = 4 e os 0 , r e o s 2 — = —
2
11. r = l + c o s 0 ,
12. r e o s 0 = 4 ,
2
2 r (l-c o s 0 ) = l
r = 10 se n 0
13. r = a ( 1 + s e n 0 ) , r = a ( l - s e n 0 )
14. r = 3 + e o s 4 0 ,
r = 2 -c o s4 0
15. r = 2 + e os 2 0, r = 2 + s e n 0
259
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y e | p 0 |0
T Ó PIC O S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II
IX . I lalle los á n g u lo s /?, a
y la pendiente de la recta tangente para las siguien te s
cu rva s en lo s puntos dados. T ra ce la gráfica de la curva.
n
_ 37r
1. r = 4 ( 1 + s e n 0 ) ; P ( 4 ; 0 )
P~ 4 ' “ “ 4
2. r 2 = a z(c o s20) ; p ( - ^ ; - )
P
57T
~6~
3 . r ( l + s e n 0 ) = 4 ; Px (2 ; — ) , P 2 (4; n )
7T
4. r = 4 sen 30 ; P (4;—)
7T 271
5. r = a sen 0 ; 0 =
1a; l ) '
6. r = a sen 20 ; Px ^
( ° :f )
7. r ( l - sen 0 ); P(a;7r)
8. r = a sec20 ; P (2 a ;-)
X . H a lle el á n g u lo de intersección entre las cu rva s sigu ien te s en lo s p u ntos que se
indican.
n
n
1 . r = a c o s 0 , r = a s e n 0 ; e n P ^ a;4 j
'V 2
R' 2
/
2ta
2 . r = 4 e o s 0 , r = 4 c o s 20 - 3 ; e n P ^ - 2 ; — J
^
2
n
3 . r = a , r = 2 a sen a ; en P (a ; - )
4
r = - a se n 0 , r = eos 0
; e n elp o lo
X I. H a lle lo s á n g u lo s de intersección de las c u rva s siguientes:
1. 2r = 3 , r = a + c o s 0
2. 3 r = 1 0 , r ( 2 - s e n 0 ) =
P . j r /6
R.
5
n/3
3 . r = 1 — s e n 0 , r = 1 4- s e n 0
R. 0 o e n el p o lo ,
n/ 2 e n
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260
( 1 ; 7r ) ; —
e n (l;0 )
C O O R D EN A D AS PO LARES
4.
r = e o s 0 , r = s e n 29
/V 2
R. 0 o en (0; n / 2 ) ; 7 9 ° 6 ' aprox. en j[ —
\
5. r 2 s e n 29 = 4 , r 2 =
TT
;—
6
1 6 sen 20
R.
tt/ 3
6. r ( l - e o s 0 ) = 4 , r ( 2 + c o s 0 ) = 2 0
7. r = 3 ( 1 -
eos 0 ) ,
r = 3 eos 0
8. r = a e o s 0 , r = - a s e n 2 0
R. 0 o en el p o lo , arctan 3 V 3 en lo s o tro s p u n to s
9.
X II.
r = s e c 0 , r s e n 29
= 2
R. L a s c u rva s n o se cortan
E n los ejercicios del 1 al 4, dem uestre que las sigu iente s cu rva s se cortan en
á n g u lo recto.
1.
r ( 1 + e os 9) = a , r ( 1 - e os 9) - b
2.
r
= a ( l + e os 0 ) , r = a ( 1 -
3.
r
- 2 a e o s 0 , r - 2 b se n 0
4.
r
= 4 co s(0 — n / 3 ) , r 2 — 6r
5.
e os 0 )
eos 0 + 6 = 0
H a lle la c o n d ic ió n para que las circu nfe re n cias
r 2 - 2 cr e o s (0 - a ) + c 2 - a 2 = 0
y
r 2 + 2 c ' r c o s ( 9 — a ') + c '2 — a '2 = 0
se corten ortogonalm ente.
R. c 2 + c 12 — 2 cc' e os ( a — a ') = a 2 + a ' 2
6.
D e m ue stre
que
r c o s ( 0 — oj) = a + c e o s ( a — w )
es tangente
a
la
circu n fe re n cia r 2 — 2 c r c o s ( 0 — a ) + c 2 — a 2 = 0.
7.
H a lle
las
co ord e n a d a s
polares
de
los
centros
y
los ra d io s
de
¡as
circun fe re n cias
r = 4 eos ^0 — — J
y
r 2 - 2 r e os 0 - 2 = 0
Pruebe adem ás que las circun fe re n cias se cortan orto go nalm e n te (d o s
circu n fe re n cias se cortan ortogonalm ente si la su m a ' de los cu a d ra d o s de
su s ra d io s es igual al cu ad rado de la distancia entre su s centros).
261
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T Ó PIC O S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II
5.10 Á R E A S EN C O O R D E N A D A S P O L A R E S
Ivn esta se cción d ed u cire m os u na fó rm u la que perm ita obtener el área de u na
región F (F ig. 5.22) lim itada por una e cuación polar, esto es,
F = {(r; 0 ) É l 2 / a < 9 < p , 0 < r < / ( 0 ) }
donde / : [a; /?] -» E
es una fu n ció n continua y no negativa.
m g.
Fig. 5.22
E n té rm in os sim p le s, F es la re gió n co m p re ndid a entre las gráfica s de
r = / ( 0 ) , eje a , eje /? (c o n a < /?)
Sea 0 o e [ a \ p ]
y sea A ( 0 O) el área del sector lim itado p or la cu rva r = f ( 9 )
y por las rectas 9 = a y 8 = 9 0. Se a 6 0 + A 0 6 [a; /?], con
.m =
m ín
f{9)
0o<e<eo+A e
=
A
A 0 > 0, y
m áx
/ (0 )
tío< 0 íe o+A0
A ( 6 0 + A9) - A ( 9 0) está co m p re n did a entre las áreas de ios sectores
circulares de ra d io s m y M (F ig. 5.23). Para A 0 > 0 se tiene
E l área
m 2A9
M 2A9
< A ( 8 0 + A9) - A ( 9 0) <
L u e go .
m 2 ^ A ( 9 0 + A 9 ) — A ( 9 0) ^ M 2
~Y ~
C o m o f 2/ 2
A6
“ ~2
es continua en
[0 O; 0 O + A 0 ] ,
p or el teorem a de los va lo re s
interm edios, existe 9 G [90\ 9 0 + A 0 ] tal que
f 2( 9)
A ( 9 n + A 0 ) — A ( 9 0)
2
A9
P o r la co n tinu id a d de f 2/ 2 en 0 O, se sigu e que
A { 9 a + A0) - A ( 9 0)
lim
f 2( 9 0)
A9
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262
C O O R D EN A D AS PO LARES
P rocediendo de m o d o an álogo, para A0 < 0 . se tiene
lim A (°o + M ) - M Q 0)
A 0 -0 AO
f 2(Q0)
2
l’or tanto,
A '(9) = ~
^ , V 0 € [a,P\
y
(*)
l’or consiguiente, de ( * ) se deduce que la fó rm u la para hallar el área de la región
/■' expresada en co orde n a da s polares es
1 [P
a^
= 2¡
f 2W 0
Observación 5. Sean f , g: [a; /?] -> M funciones continuas en [ a , p ] tales que
() S g ( 8 ) < f ( 9 ) , V 6 e [ a; P] , y sea F la región limitada p o r las gráficas cíe
>' = 9 ( 0 ) , r = f ( 9 ) y ¡as rectas 0 = a y 0 = fJ (Fig. 5.24). Entonces el
área de la región F está dada p o r
A{ F) = \ f [ f 2( 6) - g \ d ) ] d O
Jir
l.je m p lo 17. C a lc u le el área de la región /•’ lim itada por la cu rva r - 2 + e os U y
los ejes 0 = 0 y 0 = n / 2 .
S o lu c ió n
I .a gráfica de la re gió n F se m uestra en la fig. 5.25.
A l aplicar la fó rm u la correspondiente para hallar el área, se tiene
MF) =
+ c o s 0 ) 2 d 0 = ^ J g2 ( 4 + 4 c o s 0 + 1-+ .™ S
+16
,
= -----
263
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dd
TO PIC O S DE C A LC U LO - V O LU M EN II
E je m p lo 18. C a lc u le el área de la re gió n lim itada p or la lem niscata
r 2 = a 2 eos 20
S o lu c ió n
C o m o la lem niscata es u n a cu rva sim étrica respecto al eje polar, es suficiente
m ultip licar p or 4 el área de la re gió n R (F ig. 5,2o). E n to n ce s
A( F) = 4
i
n
r*
JJo4«2 e o s 2 9 d 9
E j e m p lo 19. H a lle el área de la re gió n lífnitada p or lás p aráb olas
r ( l + e o s 9) = 4
y
r ( 1 - e os 0 ) - 4.
S o lu c ió n
E n este ca¿&, u n a p aráb ola es sim étrica á la otra p a rá b o la co n respecto al eje n / 2
9
(al reem plazar
por
n - 9
efl láf' prim era ecuación, se obtiene la se gu n d a
ecuación). E sta s paráb ola» so n sim étricas con respecto al eje p o la r y su s p u ntos de
intersección so n
los p untos
4 (4 ;7 r/ 2 )
y
B (4 ;3 7 r/ 2 ).
C o n sid e ra n d o
las
sim etrías, el área de la re g ió n enjre estas p arábolas (F ig. 5 .27 ) es 4 veces el área
de la re gió n R. E n la integral se u tilizará la identidad (1 + e o s 9 = 2 e o s 20 / 2 ).
1 fI
A(F) = 4
1 6 d9
2 J0 ( l + c o s 0 ) 2
_
ÍJ
32
d9
J0 [2 e o s2 6 / 2 ] 2
_
[2
J0
Ae
64
sec — d9
E je m p lo 20. C a lc u le el área de la re gió n que es interior a la c u rv a r = 2 a e o s 3 0
y exterior a la circun fe re ncia r = a, a > 0,
S o lu c ió n
L a re gió n se m uestra en la F ig. 5 .28 (parte som breada). P ara hallar el área total es
suficiente m u ltip lica r p or 6 el área de la re gió n R . E n to n ce s
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C O O R D E N A D A S POI.. A RES
90'
120"
150° N .
\
\
60°
/
\
R
T
30"
l M
k
r = ; a e o s 39
Fig. 5.28
Fig. 5.29
I je in p lo 21. C a lcu le el área de la región que es interior a las curva s
V 2r = 3
y
r z = -9 c o s2 0
S o lu c ió n
L a re gió n es la parte so m b re a d a que se m uestra en la c ig. 5.29. P o r sim e tría se
(iene
1 [3
2 f'i9
A( F) = 4 - j ¡ ! ( - 9 c o s 2 S ) d e + - l - M
4
3 ,
—
,
= - ( 6 + 7r - 3 ^ 3 ) ^
3
E je m p lo 22. H a lle el área de la re g ió n que es interior a la cu rva r = 3 a e o s 26 y
exterior a la cu rva r = a ( l + e o s 2 0 ) , a > 0.
S o lu c ió n
L a re gió n es la parte so m b re a d a que se ilustra en la fig. 5,30. P or sim etría, se tiene
A ( F ) = 4 [ A( RX) + A ( R z) l . dondfe
1 f6
i) = y
[ 9 a 2cosz.29 - a 2( 1 + eos 2 6 ) 2] d<9
‘ ^ Jo
. - « ü f 6( 3 + 4 eos 4 0 - 2 c o s 2 0 ) dfl = ^
^ i0
^(^2) = 2J
[9a2c o s 22ff - a 2( 1 + eos 2 0 ) 2]d 0
(d on d e a es tal que e o s 2 a == - 1 / 4 )
= -y J
[3 + 4 e o s 4 0 - 2 c o s 2 0 ] d 0 =
+ ~ 7 r ~ “ 3a
3
Luego, A(F) = a 2 ( 4 7 1 + ^ ^ 1 5 — 6 a j u2 = (9,95 a 2) u 2:
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265
TÓ PICO S DE C Á L C U LO - V O LU M EN II
5 .1 1 L O N G IT U D D E A R C O E N C O O R D E N A D A S P O L A R E S
Para calcular la lon gitu d de arco de una cu rva exp resad a p o r la e cu a ción p o la r
r = f ( 9 ) , 9 6 [ a; P] , param etrizam os en térm inos del parám etro 0. A s í. las
ecuaciones param étricas de la cu rva son
x = f ( B ) e o s 9 A y = / ( 0 ) s e n 8 , 9 6 [a;/?]
donde / es una fu n c ió n con d erivada continua V 9 6 [a; /?].
A l a plicar la d eriva d a de un producto, se obtiene
dx
—
uu
= f ' { 9 ) eos 9 - / ( 0 ) s e n 9
dy
y
—
do
= / '( 0 ) s e ! n 0 + / ( 0 ) e o s 0
En ton ce s
ÍS) +Q ’
L u e go , a p lic a n d o la fó rm u la de longitud de arco de una cu rva d ad a en e cu acion e s
param étricas, se tiene c}ue la lo n gitu d de arco de r = / ( 9 )
9 = ¡i está dada p or
L =
f
9 = a hasta
desde
’
V I / ( 0 ) P + [ / '( 0 ) ] 2 d.9
E je m p lo 23. H a lle a lon gitu d de arco de la cu rva r = a s e n 3 ( 0 / 3 ) , a > 0.
S o lu c ió n
L a gráfica de la cu rv a se m uestra en la fig. 5.31. L a cu rv a q ueda descrita si
9 6 [0; 37rJ (es sim étrica respecto al eje rt/2).
6
6
C om o [ / ( 0 ) ] 2 + l / '( 0 ) ] 2 = a 2 s e n 5 ~ + a 2s e n 4 >J
!
J
0Q
e o s2 - = a 2sen4 —, e n to n c e s
ví
r37r {
6
f 3n
,0
a f 3n (
2d\
3an
!
Ja 2 s e n 4 - d 9 =
a s e n 2 — d.9 = — j
( 1 — eos — ) d 9 = — — u
¡
.
3
i
p
3
2
J„
y
j
/
2
Jo
Fig. 5.31
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266
Fig. 6.32
C O O RD EN A D A S P O LA R ES
E je m p lo 24. H a lle la lon gitu d de arco de la parte de la p aráb ola r = a s e c 2( 6 / 2 )
cortada p o r la recta p erpe nd icula r que pasa p o r eí polo.
S o lu c ió n
L a grá fica se m uestra en la fig. 5.32. Se tiene ~ n f 2 < 0 < n / 2
y
dr
¿jj = / '( Ö ) = a se c 2( 0 / 2 ) t a n ( 0 / 2 )
A p lic a n d o la fó rm u la correspondiente, se tiene
n
1 = / l V [ / ( 0 ) ] 2 + [ / '( 0 ) ] 2 d9 = a f
~Z
—
í
® i.
®
, I
"2
9
s e cs — d9
e V-
®
— a s e c — t a n — + ln s e c — + t a n — J
l
2
2
1 2
2
2
= 2 a [ V 2 + ln (V 2 + l ) ] u
E je m p lo 25. H a lle la longitud de la cu rva
0 = 0 hasta 0 = tt/3.
r = 2b tan 0 se n 0, b > 0 desde
S o lu c ió n
L a grá fica de la cu rv a se m uestra en la fig. 5.33. C o n la fó rm u la de la d erivada
obtenem os
dr
d9
- r' = 2b se n 0 ( s e c 20 + 1)
Luego,
TT
‘
1 = l J r 2 + ( r ') 2 d9
n
= 2b j
tan 0 V s e c 20 + 3 d9
L n la últim a integral h a ce m o s el ca m b io de
variable u 2 = s e c 20 + 3. En ton ce s
2 u d u ~ 2 s e c 20 tan 0 d9 => tan 0 d6 -
u du
u2 - 3
C a m b ia n d o los lím ites de integración, se tiene
L = 2b
f vV? u
U2 du
i
H 7
3
; = 2b
^ 3 = 2 b lJ 2 i l + ^ Í > du =
. V3
u + —
lu - V 3
ln ------- -
2
u + V3
2 ¿ ( V 7 - 2 ) + V 3 f c ln f - p + V ^ (V 7 ~ V I)
l(2-V3)(V7 + V3).
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V7
TÓ PIC O S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II
5.12
V O L U M E N D E U N S Ó L ID O D E R E V O L U C IÓ N E N C O O R D E N A D A S
PO LARES
E n prim er lugar, q u erem os calcular el v o lu m e n de un s ó lid o (F ig. 5.35) obtenido
p or la rotación alrededor del eje x de un sector circu lar del p la n o x O y (F ig . 5.34)
c o m p re n d id o entre los á n g u lo s 0*
y
0 2.
i
/
y
\
/
1
i
A
X
Fig. 5.34
E l sector circu la r puede ser descrito del siguiente m odo:
0 < x < r c o s 02 y f i ( x ) < y < f 2{x)
) sect:or e n tre Qt y
r eos 0 2 < x < r eos 0, .y f t (x) < y < fl( x ) )
02
donde
f x( x) = x ta n 0 r , /2 ( x ) = x ta n 0 2, g { x ) = J r 2 - x 2
A l aplicar el m étodo del disco, obtenem os
/•r eos
¡•r
cos 02
0,
V = .jr
fr rr Ccos0i
OS0!
| -rc o s 0 !
[ f 2( x ) ] 2d x + n \
[ g ( x ) l 2d x — n I
l A ( x ) ] 2d r
J q-
*^r eos 02
r . r eos 0 2
f r cosOj
r rco s0 !
x 2 t a n 26 2 d x + u
= tt
( r 2 - x 2) d x - n \
- ¡r eos 02
Jn
x 2 t a n 20 1 d x
0
H a c ie n d o lo s c á lc u lo s respectivos, se tiene
2 n r3
1/ = — — (e o s 0 ! - e o s 0 2)
(21 )
A h o ra , nuestro p ro p ó sito es ca lcula r el v o lu m e n V del s ó lid o ob ten id o p or la
rotación en to rn o al eje p o la r de la re gió n plana
F = ( ( r ; 0 ) / 0 < r < f ( f l ) , a < 8 < (3}
d ond e r = / ( 0 )
co n tinu a en
es la e cu a ció n de u n a c u rv a en co o rd e n a d a s p olare s ( / es
[a ; /?]) y F es la re g ió n lim itada p o r las grá fica s de la cu rv a
/ ( 0 ) y lo s ejes 0 = a y 0 = /? (F ig. 5.36).
268
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r =
CO O RD EN A D A S P O LA R ES
Sean 9 0 y 80 + A 8 d os puntos de [a;/?], con A 8 > 0. y
m = 90<8<60T&e
«,
M = 80<8<60-rAe
m áx
f{S)
A
I- I vo lu m e n obtenido p o r rotación del sector F co m p re n d id o entre 80 y 8 n + A 8
(Fig. 5 .37 ) es. se gún la fó rm u la (21).
¿ 7n n 3
2 tzM 3
- J ~ [eos 0O- eos (0O+ A0] < V(6„ + A0) - V(80) < — -
[eos 0O- eos (0O-i- A0)j
D iv id ie n d o entre A 0 > 0 se tiene
¿ 711W? rc o s 0 n - e o s (6>0 + A 0 ) 1
3
‘
AS
f 3
Com o
V(60 + A 0) - V(80)
2ttA/3 r c o s 0 c - e o s ( 6 \ + A fl) i
re ----------- £ —
j-
[----------------------------- J
[80; 8 0 + &8], por el teorem a de los valores
es continua en
interm edios, existe Qx e [0 O; 80 + A 0 ] tal que
2n f \ 8 J
e os 8 0 - e o s (8 0 + A 0 ) i
3
A8
A8
I ornando lim ite cuando A 8 -> 0 + , debido a la continuidad de f en 8 n, se tiene
1/
27r / 3 ( 0 o)
j = ------- --------- sen ^
n
Del m ism o m o d o se hace para A 8 < 0. P or tanto.
f 3(8 0)
V '(ßo) =
- s e n 0,
malmente, el vo lu m e n del s ó lid o es V = V ( ß) - V( a) . esto es
2rr f ß ,
i/ = r l
f í n ), s e n 8 d B
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269
TÓ PIC O S D E C Á L C U LO - V O LU M EN II
E je m p lo 26. C a lc u le el vo lu m e n del só lid o obtenido al hacer gira r el ca rd io id e
r = a ( 1 + c o s 0 ) , a > 0, alrededor del eje polar.
S o lu c ió n
E n la fig u ra 5.38 se o b se rva que para obtener el referido v o lu m e n es suficiente
g ira r en torno al eje p olar la parte del cardioide que está en el se m ip la n o superior.
E n to n ce s se tiene:
o
(1 + c o : É»)4] 71
r = a (l+ eos 0 )
Fig. 5.38
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CO O RD EN A D A S P O LA R ES
E JE R C IC IO S
E n c a d a u n o d e los s i g u i e n t e s e j e r c i c i o s , c a l c u l e el á r e a d e la r e g i ó n l i m i t a d a
p o r las c u r v a s ( d a d a s e n c o o r d e n a d a s p o l a r e s ) q u e se i n d i c a n y b o s q u e j e la
g r á f i c a d e la r e g i ó n .
1.
r = a e os 6 , 0 < 0 < n /3
R. (0 ,3 7 a z ) u 2
2.
r = a ( l — eos 9)
r , ^ l a 2^u 2
3.
r = 4 e o s 20
R. 4-nu2
4.
r = a se n 26
r ,na
2
5.
r, — u 2
r = eos 3 0
12
ira '
,
6.
r = a e os 5 0
fl.
7.
r 2 = a 2 se n 4 0
fi. a 2u 2
8.
r = a ( 1 + 2 se n 8 ), 8 = - ~ v 0 =
6 '
9.
r = |4 se n 2 0 ¡
~
U
(n
—
6
/?. (
H
3V3\
J u
fl. Q nu2
10. r = b + a e o s 0 (0 < b < a )
R. . - ( 2 ¿ 2 + a 2)w :
11. r = a e o s 4 0
R.
12. r z = a 2 e os 8 0
na2
~~TU
R. a 2u 2
13. L a re gió n es interior a las cu rva s r = 3 + e o s 4 8 y r = 2 - e os 48.
R. 3 7 tt/6 u 2
y exterior a r = 2 - e o s 40.
14.
L a re gió n es interior a r = 3 + e o s 4 8
15.
L a re gió n es interior a r = 2 - e os 40 y exterior a r =
3 + e o s 40.
16.
L a re gió n es interior a r = 2 + e o s 20 y exterior a r =
2 + s e n 0.
R. 5 1 V 3 / 1 6 u 2
17. L a re gió n es interior a las cu rva s r = 2 + e o s 20 y r = 2 + s e n 0.
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TÓ PICO S DE C Á LC U LO - V O LU M EN II
i n t e r i o r aa V 2 r = 3 yj *e x t e r i o r a ' r 2 = - 9 e o s 2 0 g
^
18. La región es interior
R. ( 3 7 t - 9 + - V 3 j u 2
2
19. L a re gió n es interior a
las curvas r = 3a eos 20 y r = a ( l + eos 20),
a > 0.
20. L a re gió n está co m p re n d id a entre la parte ex.erna e intetna de
3 e
r = a s e n '5-
K-
\ “ 2 ----------5 5 --------- J “ 2
21. L a re gió n está co m p re n d id a entre las curvas:
9
a ) r — i — e os 2 0 , r — 2 ( 1
e os 2 0 ) ,
0 < 0 ^
b ) r = 2 a eos 0 , r = 2 a sen 0
n
R- ~
,
^
)
,
»•
( F 1)
2
c) r = a s e n 0 , r = a ( l i- e os 0 )
d ) r = 2 se n 2 0 , r = 2 eos 20
curva.
1
r = s e n 9 , 0 S [0; 2rr]
2
2. r =
20 , e e lo ; 2 « )
3. r =
o(l + e o s 0 ) , a >
^ n
4. e = i ( r + i)
5. E l a l
«■I W T +
4F + ' " t 2 " +
R- 8 a u
0
d esd e r = 1 ha sta r
= 3
R . Í( 4 + ln 3 )U
d e t a e spiral lo ga rítm ica
r =
m > 0, , u e se encuentra
dentro del círcu lo
r - a.
1 + mz
R. a -------- - u
N
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m
,
RECTAS Y PLANOS
L=
EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
(-.1 V E C T O R E S E N E L E S P A C I O T R I D I M E N S I O N A L
I I o b j e t i v o d e e s t a s e c c i ó n , e s r e c o r d a r las o p e r a c i o n e s c o n v e c t o r e s y s u s
p r o p i e d a d e s c o n la f i n a l i d a d d e h a c e r u s o d e e ll a s e n la s i g u i e n t e s e c c i ó n , r a z ó n
po r la c u a l n o se d e m o s t r a r á n las p r o p i e d a d e s .
(».6.1 E l E S P A C I O E 3
1.1 e s p a c i o d e d i m e n s i ó n t r e s e s el c o n j u n t o d e t o d a s las t e r n a s o r d e n a d a s de
n ú m e r o s r e a l e s y se d e n o t a c o n
R 3 = { (x ;y ;z )
/ x,y ,z
6 IR}
Así, u n v e c t o r e n el e s p a c i o IR3 es u n a t e r n a o r d e n a d a d e n ú m e r o s r e a l e s y se
denota con á = ( a ^ a ^ a - ^ )
Igualdad de Vectores
D os v e c t o r e s a = ( a 1 ; a 2 ; a 3) y b = ( b 1 l' b 2 , b 3 )
e n el e s p a c i o K 3 s o n i g u a l e s si
solo sí s u s c o m p o n e n t e s c o r r e s p o n d i e n t e s so n i g u a l e s , e s d e c i r
d = b <=> a t = b lt
a 2 = b2
y
a3 = b3
Vector nulo
I s el v e c t o r q u e t i e n e t o d a s s u s c o m p o n e n t e s i g u a l e s a c e r o y se d e n o t a c o n
0 -- ( 0 ; 0; 0 ) . E s t e v e c t o r e s el ú n i c o v e c t o r q u e n o t i e n e d i r e c c i ó n e s p e c i f i c a
Suma de Vectores
Sean
á = ( a 1; a 2; a 3)
y
b = ( b 1; b 2 ; b 3)
d o s v e c t o r e s e n el e s p a c i o IR3 ,
e n l o n c e s el v e c t o r á + b e s t á d e f i n i d o c o m o
á + b = ( a 1 + b 1 - , a2 + b 2 \ a 3 + b 3 )
Multiplicación de un escalar por un vector
Sea r un e s c a l a r ( r 6 R ) y a = ( a : ; a 2 ; a :l) un v e c t o r e n el e s p a c i o IR3 , e n t o n c e s
1.1 m u lt i p l i c a c i ó n d e l e s c a l a r r p o r el v e c t o r ü e s t á d e f i n i d o c o m o
rá
= (raí,- r a 2; r a 3)
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TO PIC O S DE C A LC U LO - V O LU M EN II
6.1.1.1 PR O PIE D A D E S
Si d , b , c
son vectores en el espacio IR3 y r , s G E
se ve rifica n las sig u ie n te s
propiedades:
1.
a + b es un vector en el e spacio E 3.
2.
á + b = b + á
3.
a + (b + c ) = ( a + b j + c
4.
E x iste un ú n ico vector
5.
P ara cada vector
(P ro pie dad C onm u tativa)
(P ropiedad A so c ia tiv a )
cero 0 = (0; 0; 0 ) tal
a = ( a 1; a 2; a 3),
que á + 0 =
existe un ú n ic o
a , V a en
ve ctor (opuesto de
l 3
a),
- a = ( ~ a 1; - a 2; - a 3) tal que a + ( - a ) = 0
6.
r a es un vector en E 3
7.
r ( a + b) = r a + r b
8.
(r + s ) a = r d + s a
9.
r (s a) = (r s) a
10. 1 a = a , V a en M3
C u a lq u ie r sistem a m atem ático en el que estas prop ie dade s so n válid as, recibe el
nom bre' de e sp a cio vectorial real. D e este m o d o
E 3 es u n e spa cio vectorial real
de d im e n sió n tres.
S u s t r a c c ió n d e v e c to re s
Sean a = ( a x; a 2; a 3) y
b = (i?x; b 2; b 3) d o s vectores del e sp a cio E 3, entonces
la diferencia de estos vectores se define co m o
a - b = a + ( — ib), es decir, a - b = (a x - bx\ a 2 - b z \ a 3 — b3)
6.1.2 R E P R E S E N T A C I Ó N G E O M É T R I C A D E U N V E C T O R E N
E 3
D a d o que un ve ctor es u n ente m atem ático que tiene dirección , sentido y longitud;
es representado p o r un se gm e nto orientado en el que se d istin g u e un o rig e n y un
extremo.
E l vector que tiene c o m o o rig e n el o rige n de co o rd e n a d a s y extrem o cu a lq uier
punto P ( x - ,y ; z )
del e sp a cio E 3 (F ig. 6.1) se llam a v e c t o r d e p o s ic ió n y se
denota con
a = OP = ( x ; y ; z )
donde O es el o rige n de coordenadas.
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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
l'n vector que tiene como origen un punto inicial P0 y extremo el punto A
(l i;;. 6.2) se denomina vector libre y se denota con
a = P0P:
l'n la figura 6.3 se representa geométricamente las operaciones entre dos vectores
tí y b .
d - P,P2 - OPz - OPx = ( x2; y 2; z 2) - (x1; y 1; z 1) = ( x2 - Xl; y 2 - y i -.z2 - z j
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275
TO PIC O S DE C A LC U LO - V O LU M EN II
6.1.3 V E C T O R E S PA R A L E L O S EN E 3
Se dice que d o s vectores a y b en el espacio R 3 so n paralelos, si u n o de e llo s es
m últip lo e scalar del otro, es decir,
a II í « a
= r í
V
5 =
r ,s G R
D o s vectores parale los á y b tienen el m ism o sentido si
á = rb ,
r > 0
D o s vectores p aralelos a y
a = rb ,
b tienen sentidos opuestos si
r < 0
E je m p lo I
¡a) S i a = (1; 3; - 4 ) y b = ( 2 ; - 1 ; 2 ), encuentre los vectores a + b, d + b y
3 a - 2b
b) D e te rm in e
s;
cada
par
de
los
vectores
b = (5; - 1 0 ; 1 5 ) , c = ( - 2 ; 4; - 6 ) y
dados
S o lu c ió n
a) A l ap licar las d e fin ic io n e s d adas se tiene
a + b = (1; 3; - 4 ) 4- (2; - 1 ; 2 ) = (3; 2; - 2 )
a — b = (1 ; 3; - 4 ) - (2; - 1 ; 2 ) = ( - 1 ; 4; - 6 )
3 a - 2 b = 3(1; 3 ; - 4 ) - 2 ( 2 ; - 1 ; 2 ) = (—1; 11; —16).
b) T e n e m o s
b = — 5 a = > a II b y tienen se ntido s opuestos
c = 2 a => a \\ c y tienen el m ism o sentido
L o s vectores a y
a — ( —1; 2; — 3 )
d = (0; 1; 3 ) so n paralelos.
d no so n paralelos
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y
6.1.4 M Ó D U L O O LO N G IT U D D E UN V E C T O R EN M3
I.» longitud o n orm a o m ódulo de un vector a — ( a ^ a 2 ; a 3) en el e sp a cio M 3
se denota y se define c o m o
Hall = V a i + a2 + CL32
2
2
l’or ejem plo, si a = (1 ; 2; - 2 ) => ||a|| = j l 2 + 2 2 + ( - 2 ) 2 = 3
O bservación 2
ti) La norm a de un vector es la longitud
d el segm ento orientado que lo
representa (Fig. 6.5)
■h) Todo vector de longitud igual a 1 se
llam a vector unitario, es decir u es
unitario si ||u|| = 1
¡'i El vector unitario en la dirección del
vector no nulo a es el vector
_
3.
6.1.4.1 P R O P I E D A D E S
Si a y b so n vectores en el e spa cio R 3 y r es un escalar, entonces
1. ||a|| > 0
y
||a|| = 0 <=> a = 0
2. ||r a|| = |r|||a||
3. ||a + b || < ||a|| + ||¿|| (D e sig u a ld a d triangular)
4. ||a|| = ||—a||
6.1.5
P R O D U C T O IN T E R N O O E S C A L A R D E V E C T O R E S E N
S i a = ( a t ; a 2; a 3) y
E 3
b = (b t ; b 2; b 3) son vectores en el espacio IR3 , entonces
el p rod u cto interno o p ro d u cto e sca la r de
denotado p or
a y b es el núm e ro real d e fin id o y
a • b = a xb1 + a 2b 2 + a 3b3 (se lee " a punto ¿ ”)
l’or ejem plo, si a = (5 ; 4; - 1 ) y b = (2; - 1 ; 3 ), entonces
d - b = 5 (2 ) + 4 ( — 1) + ( - 1 ) 3 = 3
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277
TO PIC O S DE C A LCU LO - V O LU M EN II
6.1.5.1
P R O P IE D A D E S
Sean á ,b y c vectores en el e spacio R 3 y sea r un escalar. E n to n c e s se tiene
1. á - b = b ■a
(P ro p ie d a d C onm u tativa)
2. ( r a ) ■( b ) = r ( a - b )
3. á - ( b ± c ) = d - b ± á - c
4.
(P ro pie dad D istrib u tiva )
a •a = ||al|2 ; a ■a = 0 <=> á =
5. ||a+ ¿||2 =
Hall2 + ||£||Z + 2a-b
6. ||a— b \\2 =
Hall2 + ||fe||2 - 2 a • 5
7.
0
||a + b||2 + ||a - fc||2 = 2[|a[|2 + 2||fo||2 (L e y del p arale lo g ra m o )
6.1.6 Á N G U L O S E N T R E D O S V E C T O R E S
Sean
a y
vi setores no n u lo s en el
b
espacio R 3 . E l ár igu lo entre los vectores
b
es el ]m enor á n gu lo p o sitivo
lerm inado p or a m b os al
(0 < Q < n ) del
partir de un m ism o o rige n co m ú n (F ig. 6.6)
a y
0
T eore m a 1
Si
~b \
6 es el á n g u lo entre dos
vectores n o n u lo s á y b del e spa cio R 3,
entonces
eos 6 = —
á
ye
/a
O(origen)
Fig. 6.6
Ha
D e m o s t r a c ió n E je rc ic io para el lector
O bservación 2 D el teorem a 1 se deduce que una fo rm a altern ativa p a ra calcular
e l produ cto escalar de los vectores á y b es
a - b = l|a||||£|| e o s 9
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278
i i L A I N U O LI N
l l
W IVU.1U
1 KlUllVItINjIUWAL
(>■1.7 V E C T O R E S O R T O G O N A L E S O P E R P E N D I C U L A R E S
D o s vectores n o n u lo s a y b en el e spacio R 3 son orto go n ale s o perpendiculares
si el á n g u lo determ inado p or a m b os es de 9 0 c
T e o r e m a 2 D o s vectores no n u lo s á y b en ei e spa cio R 3 son p erpend iculares si
y solam ente si á - b = 0
O bservación 3 Sean a. y b vectores no
nulos en el espacio R 3. D e la figura 6.7
se tiene:
Á
a + b /r
b
b
u a 1 ¡b <=> ¡|a + ¿||" = j|a||2 + ||¿||“
{Teorema de Pitágoras)
ií)
á Ib
a
«=> ||a — b ' f = ||a||2 + ||fc||‘
Fig. 6.7
E je m p lo
2
H a lle
el
á n g u lo
que
form an
los
vectores
d = (1 2 ;0 ;-6 )
y
/>' = ( — 6; 0; 3 )
S o lu c ió n
a ■b
- 7 2 + 0 - 18
-9 0
-9 0
e os 9 = --------— = — ---------------- = ----------------= --------= — i = > q — n
||a||¡¡¿>|¡
v l8 0 v 4 5
2V45V45
90
E je m p lo 3 C a lcu le el p roducto escalar de los vectores a y b si se sabe que
form an un á n gu lo de 30°, ||a|| = 4 y ||fe|| = 6 V 3
S o lu c ió n
a - b = l|a||p|| e o s 30° = 4 ( ó V 3 )
E je m p lo 4
Sean a y
b
= 36
d o s vectores que form an entre sí un á n gu lo de 45° y
¡|a|¡ = 3. C a lcu le |¡¿|¡ si se sabe que el vector a - b e s perpendicular al vector a.
S o lu c ió n
l’uesto que el vector a — ¿ es perpendicular al vector a. se tiene
( a - b) ■á = 0 <=* á • a = b ■a <=> ||a||2 = ||¿>||||a|| e o s 45°
»
9 = ||¿ ||( 3 ) ( - ^ j ~
¡|¿|| = 3V2
279
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T O PIC O S DE C A LCU LO - V O LU M EN II
E je m p lo 5
Se a n
p || = 2 V 3
y
a ,b y c
vectores en el espacio IR3 tales que ||a[| = 6.
||c|| = 2. Sa b ie n d o que los vectores a y b
30°, los vectores b y c
un á n gu lo de 6QC y los vectores
form an un á n g u lo de
a y c
un á n g u lo de
90°, calcule
a) a - ( b + c)
b) ||a - c||
S o lu c ió n T e n e m o s
a ) á - ( b + c) = á - b + d - c = H a l l p H e os 30° + ||a||||c]| e o s 90°
= 6 ( 2 V 3 ) ^ ~ j + 6 ( 2 ) ( 0 ) = 18
b) ||a - c||2 = ||a||2 - 2 a • c + |lc|l2 = 3 6 - 2||a||l|c|| e o s 9 0 ° + 4 = 4 0
D e don d e se obtiene
||a - c|| = V 4 Ó
6.1.8
C O M P O N E N T E Y P R O Y E C C IÓ N O R T O G O N A L D E U N V E C T O R
EN L A D IR E C C IÓ N D E O T R O V E C T O R
Sean a y b vectores no n u lo s en el e spacio K 3
A l vector OM (F ig. 6.8) se llam a v e c to r p ro y e c c ió n o r t o g o n a l de a
s o b re b y
se denota c o m o
OM = P r o y ^ a
E n el sigu ien te teorem a ve re m o s el proced im ie nto para determ inar este vector
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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
T e o r e m a 3 Se a n a y b vectores n o n u lo s en el e sp a cio K 3, entonces
¡i) E l ve ctor p ro y e c c ió n orto go nal de a sobre b es el vector d ad o p or
d r o y- r a =
P
b =ú
e s c a la r
m u lt ip lic a
I)) A l
que
p ii ; pii
al v e c to r
u n it a r io
ur = - J - se d e n o m in a
IMI
c o m p o n e n t e del v e c to r a en la d ir e c c ió n b (se denota C o m p g a ), es decir,
~
.
a-b
Com pga =
E je m p lo 6 H a lle el vector p ro y e cc ió n ortogonal de a sobre b y la com p one n te
del vector á en la d ire c ció n b de lo s vectores a = (5; 0 : 4 ) y b = (2 ; - 1 ; 2 )
S o lu c ió n
El vector p ro y e c c ió n orto go n al de a sobre b es el vector
-—
( á - b \r
. „
na =
/10 + 0 + 8 \
F F
v—
9—
J (2: ~ 1; 2 ) = 2 (2 ; _ 1 ; 2 ) = ( 4; _ 2 ;
.a com p one n te del vector a en la d irección de b es el escalar
a-b
Com pga =
18
= — = 6
6.1.8.1 P R O P I E D A D E S
Sean a , b y c vectores no n u lo s en el e spacio
distinto de cero. E n to n ce s
K 3 y k un escalar cualq uiera
I . P r o y ¿ ( a ± b ) = P r o y f a ± Proy,? b
2. P r o y ¿ (k a ) = k P r o y ¿a
3. P r o y (fcf)a = P r o y c-a
4. C o m p ¿ ( a ± b ) = C o m p r a ± C o m p r ó
5. C o m p ^ f c a ) = kC om p¿a
,
' C
f C o m p r a , si k > 0
„
-
W
Í -
c
ün, p , i , s i K
,
281
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TOPICOS DE CALCULO - VO LUM EN II
E j e m p lo 7 Se a n a y b vectores en el e spacio E 3 que ve rific a n a + 3 b = 0 y
c o m p g a = - 6 . C a lc u le el v a lo r de A = 5 ( 3 a + 2 b ) • ( 3 a - 2 b )
S o lu c ió n
a = - 3 b , entonces los vectores a y b tienen se n tid o s opuestos. L u e g o ,
Com o
el á n gu lo que fo rm an estos vectores es 9 = rr. A d e m á s,
||a|l = 1I-35H = 3||b||
(1 )
P o r otra parte, •
Com pga =
'
á-b
W
Ha || b I eos ti
= ---------¡r ^ --------= -||a|| - - 6 = * ||a|| - 6
MI
(2 )
R e e m p la za n d o (2 ) en (1 ) obtenem os ||5|| = 2
A h o r a bien, u sa n d o las prop ie dade s del producto escalar resulta
A = 5 ( 3 a + 2 b ) • ( 3 a - 2 b ) = 5 (9||a|i2 - 4||b||2) = 5 [ 9 ( 3 6 ) - 4 ( 4 ) ]
= 1540
E j e m p lo 8 D a d o el trián g u lo de vértices ¿4(5; 2; 3), B ( 8 ; 2 ; - 1 ) y C ( 3 ; 3 ; 5 )
a) H alle las co m p on e ntes del vector P ro y-^ M N
si se sabe que el vector M N es
paralelo al ve ctor AC , donde M está sobre el lado A B , N sob re el lado BC y
\\MN\\ = 1 8
b ) C a lc u le A = 5 ( AC ■ü jg + - C o m p ^ ^ f l j
S o lu c ió n
Sean lo s vectores AB = (3; 0; - 4 ) y AC = ( - 2 ; 1; 2 )
a) C o m o M N || ~AC, entonces P r o y ^ M N = M N. A d e m á s,
W Ñ = kAC = fc( — 2; 1; 2 ) (fc > 0 )
P o r otra parte, |¡MW|| = V 9 k 2 = 3fc = 1 8 = > k = 6
P o r con siguie n te , P ro y jg M N = 6 ( — 2; 1; 2 ) = ( — 12; 6; 1 2 )
b) A q u í tenem os
AB
^
" p
1
N
f ¡ “ 5 C 3 :0 ;_ 4 )"
__ ,
¿f l-Z C
C om P rcA B =
3
^
4^
(5 ; ;
5
- 6 - 8
= — 3—
-
14
- y
\\AC\\
L u e g o resulta
/__ ,
3
___a
( 14
14\
A = 5 yAC • Ujg + - C o m p ^ y l ñ J = 5 ( - y - y ) = - 2 8
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282
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Eje m p lo 9
a) L n el trián gu lo ABC que se m uestra en la
figura
adjunta
se
tiene
^r° y j c ^ = (2; — 1; 5).
,4(3; 1; 1 )
y
D eterm ine
las
B
co orde n a da s del punto M , que es el pie de
la p erpe nd icula r trazada del vértice B al
lado AC.
Ii) Si
se
u y
sabe
que
los
vectores
unitarios
form an un á n g u lo de 120°
v
Rectores
w y v
un
á n g u lo
y los
de
90°,
calcule el v a lo r de ||Proyij(4u + vv) j|
S o lu c ió n
,i) U tiliza n d o la d e fin ic ió n de la p ro ye cc ió n de un ve ctor sobre otro, tenem os
AM = P r o y ^ A B = (2; - 1 ; 5)
<=> O m - 3;y M - l ; z M - 1) = (2; —1; 5)
xM = 5 ,y M = 0 A z M = 6
P or lo tanto, las co orde n a da s del pie de la perpe nd icu lar trazada del vértice B
al lado A C es A í ( 5; 0; 6 )
I)) T e n e m o s ||u|| = ||i?|| = i,
ü - v = ||u||||v|| eos 120° = - ^
ñ— • f * - —n /( 4 u + vv) ■
Proyp(4 u + w) - I ----- ----------- I v = (4u - v + w - v ) v = 4
Por lo tanto, el m ódulo buscado es
J|Proy^j ( 4 u + ív)|| = ||-2v|| = 2||í5|¡ = 2
(.1.9 P R O D U C T O V E C T O R I A L
Sean a = ( a 1; a z ; a 3) y
vectores en el espacio E 3
b = (b 1; b 2; b 3)
dos
Se d e n o m in a p ro d u c t o v e c to ria l de los vectores
d y
b al vector que es p erpend icular al plano que
contiene a los vectores
á y b
y se denota con
ti x b. A n te s de dar su d e fin ic ió n precisa, es
^ inve nie n te
observación.
tener
en
cuenta
la
siguiente
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283
y w - v = 0. A s í,
/ u
-J = -2v
TOPICOS DE CALCU LO - VOLUM EN II
O bservación 4 Los vectores unitarios que siguen e l sentido p o sitivo de los ejes
coordenados son
i = (1; 0; 0), / = (0 ; 1; 0 ) y
k = (0; 0; 1)
A estos vectores también se ¡es llanta vectores
de la base canónica en M 3
Los vectores unitarios T , j y k se utilizan
p a ra representar cualquier vector del espacio
R3
en su fo rm a algebraica. En efecto, si
a = (a-L; a 2; a 3) , entonces se tiene
a = ( a i, a 2; a 3) = ( a x; 0; 0 ) + (0; a 2; 0 ) + (0; 0; a 3)
= a x (1; 0; 0 ) + a 2( 0; 1; 0 ) + a 3 ( 0; 0; 1 ) = a xí + a 2j + a 3k
Luego, todo vector a = (a 1(- a 2; a 3) se pu ede escribir en su fo rm a algebraica
cí = a-t i + a 2J + a 3k
A h o r a podernos expresar el ve ctor á x b
en térm inos de lo s vectores
í, / y k
m ediante el siguiente determ inante de orden 3 x 3
a x b =
T
j
k
a l
a 2
a 3
b,
b2
a 31
\a 2
|a l
a 3
¿1
b3 \J +
al
a 2|
b:
= ( a 2b3 - a 3b 2) i — ( a xb3 - a ^ ) / + ( « 1^2 ~ a 2bx)k
= ( a 2b3 - a 3b 2; a 3 foj Se ve rifica fácilm ente que
a x¿ 3; a xb2 - a 2b t )
a • ( a x b ) — b • { a x b ) = 0, es decir, elvector
a x b es p erpe n d icu la r a los vectores a y b.
E j e m p lo 10
C o n sid e ra n d o lo s vectores
a = ( ( 1 ; — 1;1 )
un vector que sea perpe nd icu lar tanto a a
y
b = ( 2 ; 0 ; 1 ), halle
com© a b
S o lu c ió n
E l vector que es perpe n d icular a a m b o s vectores, es el vector á x b . A s í tenem os
áxb =
l
J
k
1
-1
1
2
0
1
-1
11
0
II
|1
lf -
12 i r
|1
I2
284
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\ k = - 1 + j + 2k
R E C T A S Y PLAN OS EN EL ESPA C IO T R ID IM E N SIO N A L
6.1.9.1 P R O P I E D A D E S
Sean á, b y c vectores en el espacio R 3 y k cua lq u ier escalar. E n to n c e s
I
á x b = —b x a (P ro p ie d a d A n tico n m u ta tiva )
á x (b ± c ) = (á x b ) ± (á x c ) )
,„
> L e y e s d is t r ib u t iv a s
<.
{a + b ) x c = a x c + b x c
l
k d x b = a ( k b ) = k á x ~b
V
a x á = 0
><.
axb=Q <=>á\\b
/.
á ■( a x b) = 0
S..
b ■( a x b) — 0
').
||a
x ¿|| = ||a||||¿|| s e n
10.
||a
x ¿||2 = ||a||2 ||5||2 - (a • b ) 2
11.
Si a l i y a l c
J
6, donde Q es el á n gu lo entre a y b
=> a | | ¿ x c
12 . X x J = k , j x k = l , k x~í = J
6.1.10
A P L IC A C IO N E S D E L P R O D U C T O V E C T O R IA L
6.1.10.1 Á R E A D E U N P A R A L E L O G R A M O
Sean á y b vectores no n u lo s y no paralelos en el e sp a cio K 3 . A h o ra ,
co n sid e re m o s que estos vectores so n los lados de un paralelogram o, tal c o m o se
m uestra en la fig u ra 6.10. E l área A ^
A
del p arale logram o es
= (b a s e ) • (a lt u ra ) = (||a||)(||6||sen 9) = ||<T x 1>|| u 2
Fig. 6.10
285
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Fig. 6.11
TOPICOS DE CALCU LO - VOLUM EN II
6.1.10.2 Á R EA DE UN TR IÁ N G U L O
Sean
a y b d o s vectores no n u lo s y no paralelos en el e spa cio
trián gulo determ inado p or ló s vectores a y b
,
6.1*11
E l área del
(F ig. 6 .1 1 ) es
_ 11“ X ^11 -.2
E L T R IP L E P R O D U C T O E S C A L A R O P R O D U C T O M IX T O
DE
VECTORES
Se a n
á = ( a 1; a 2; a 3), b = (£>!,-
¿?3) y c = ( c i ; c 2; c 3) ve ctore s en el e spa cio
R 3 . E l triple producto escalar de los vectores a, b y c está d e fin id o y denotado
p or
a l
a2
a3
¿1
¿2
^3
c\
c2
c3
a. ( b x c ) =
E j e m p lo 11
D a d o s lo s vectores a = (1; - 1 ; 1), b = (0 ; 2; - 1 ) y c = (1 ; 0; 2),
halle á ' ( i x c )
S o lu c ió n
P o r la defin ició n, se tiene
a • (b x c) =
1
- i
1
0
2
-1
1
0
2
= 4 + 1 — 2 = 3
6.1.11.1 P R O P I E D A D E S
Sean a, b y c vectores en el e sp a cio M 3
1. E l triple p rod u cto e scalar de lo s vectores
a,b y c
es independiente del
orden circ u la r de la operación, es decir,
a • ( b x c ) = b • (c x a ) = c • ( a x b )
2. L o s ve ctore s
a, b y c
so n coplanares (están en el m is m o p la n o ) si y
solam ente si á ■( b X c ) = 0
3.
S i a ■( b x c) = 0, entonces u n o de lo s vectores es el ve ctor n u lo o d o s d e 'lo s
vectores so n p arale los o lo s tres vectores so n coplanares.
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RECTAS y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
6.1.12 A P L I C A C I Ó N D E L T R I P L E P R O D U C T O E S C A L A R
6.1.12.1 V O L U M E N D E U N P A R A L E L E P Í P E D O
■'<-an á — AB, b
AD y c = AE vectores determinados
adyacentes de un páralelepípedo ABCDEFGH (Fig. 6.12).
S d o ° ^ rn
por
las
a rism
Vp del para,elepíped0 determinado por los vectores á, b y c está
VP = \ d - ( b x C)| = \ A B - ( A D x A E )| u 3
D
Q
A
/ j ^
A
A
n
-a
v= la.( ?Xc)|
^
D
v = ^ |2 .(* x c)|
Hg. 6.12
--------------------- ---------------Fig. 6.13
—
6.1.12.2 V O L U M E N D E U N T E T R A E D R O
Sean
a
AB, b - AC y c = AD vectores determinados por las aristas
adyacentes de un tetraedro D- ABC (Fig. 6.13).
IA volumen VT del tetraedro determinado por los vectores a , b y c está dado
1.
i1 ___ >
por
VT = - \ a - ( b x c ) \ = - \ A B - ( A C x A D ) \ u 3
6
E je m p lo 12 E l vector de p o sic ió n
*
a se encuentra en el p lan o y z y elve ctor de
sob re el^ eje y negativo, de m anera que el á n gu lo entre e llo s
II&II = v 2 7 y ||¿|| = 8, halle el vector a x b
S o lu c ió n
D a d o que d
')
||6|| =
= (0; a 2; a 3) y b = (0; b 2; 0 ) ( b2 < 0 ), se tiene
= 8 = > b2 = - 8 = > b = (0 ; - 8 ; 0 )
í¡) l|5 x ¿|| = ||a ||p ||s e n 120° = V27 (8)
= 36
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287
es 120°.
TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN 1!
l
iii) á x b
0
J
a2
k
a 3 = ( - 8 a 3 ; 0; 0 )
0-8
0
D e ii) y iii) se ob tie ne ||a x b|| = j 6 4 a 3 - 3 6 = » a 3 = ± P o r lo tanto, el vector es a x b — ( + 3 6 ; 0; 0 )
E j e m p lo 13
E n el paralelepípedo que se m uestra en la fig u ra adjunta se tiene
A ( 1; 1; 1), B ( 3; 1; 1 ), C (3 ; 4; 1 ) y E ( 3; 1; 5 )
C alcule:
^
a) E l área del p arale logra m o CDHE
b) E l vo lu m e n del tetraedro de vértices A,
B, C y H.
S o lu c ió n
a)
D e la fig u ra se obtiene
CD = BA — ( — 2; 0; 0), CE = (0; — 3; 4 ). Entonces
CD x C S =
L u e go , el áreft
?
7
-2
0
k
0
0 , -3
4
( 0 ; 8; 6 )
p arale logram o CDHE es
A ^ = ||CD X C£|| = V 8 2 + 6 2 = 1 0 u 2
b)' D e la fig u ra resulta / / (l; 1; 5), entonces
B C = (0 ; 3; 0),
BC x BA
BA = ( - 2 ; 0; 0 ) y
i
J
k
0
3
0
-2
0
0
&H = ( - 2 ; 0; 4 ). Lu e go ,
= ( 0; 0 ; 6 )
P o r tanto, el V o lu m e n del tetraedro H-BCA es
VT — \ \BH ■(BC x WÁ)\ — \ |24| = 4 u 3
6
6
E je m p lo 14 D a d o s los puntos >1(1; 0; 0), B ( 0; 3; 0), C (0 ; 0; 2 ) y D(x-, 0; 0 )
a) D e te rm in e el ve ctor á , si se sabe que es p erpendicular al p la n o que contiene
al trián g u lo A B C y que ||a|| = 1 4 u
b) S i el v o lu m e n del tetraedro C-ABD es 3 u 3, determ ine las co ord e n a d a s del
punto D .
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288
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Solución
a)
L o s vectores AB = ( — 1; 3 ;G ) y AC == ( — 1; 0; 2 ) se encuentran en el m ism o
p lano del trián g u lo A B C , entonces
j
k
- 1 3
- 1 0
i
0
2
(6; 2; 3)
C o m o á \ \ A B x A C * = * a = kAB x AC = ( 6 k\ 2k; 3 k ).
Puesto que ||a|| = 14, entonces
||a|| = V 3 6 f c 2 + 4/c2 + 9 k 2 = 1 4 <=> 7|fc| = 1 4 <=> k = ± 2
P o r tanto, a = (1 2 ; 4; 6 ) V
b)
a = (-1 2 ; -4 ; - 6 )
L o s vectores aristas adyacentes del tetraedro C - A B D son
AB = ( - 1 ; 3; 0),
A D = (x — 1; 0; 0 )
y
AC = ( - 1 ; 0; 2 )
E l triple prod ucto escalar de estos vectores es
- 1 3
___
AB ■(AD x A C ) =
x - 1
0
0
- 1 0
0
= - 6 ( x - 1)
2
D a d o que el vo lu m e n del tetraedro es 3 u 3 , entonces se tiene
1 ,—
_
—
.
1
Vt = - \ A B • ( A D x A C ) l = — \—6(x — 1)| = \x - 1| = 3
o
6
P o r consiguiente, D ( — 2; 0; 0 )
V
-2
V
x = 4
D (4 ;0 ;0 )
E j e m p lo 15 C o n lo s p u ntos ^4(8; 0; 0 ), C (4; — 1; 1 ), D ( 6; 0; 5 ) y B (punto del
p rim er octante)
se fo rm a un paralelepípedo cu ya s aristas son los vectores
AS,
AC y AD
a) C a lc u le el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los p untos ¿4, C y
D.
b) S a b ie n d o que el vector AB
es paralelo al vector n = (1; 1; 1 ) y el vo lu m e n
del paralelepípedo es de 4 4 u 3, determine las co orde n a da s del punto B.
Solución
a)
D a d o que lo s vectores adyacentes que fo rm an la cara A C H D (p ara le log ra m o )
del paralelepípedo so n AC = ( - 4 ; - 1 ; 1 ) y AD = ( - 2 ; 0; 5 ), entonces
ACxAD =
i
J
k
-4
-1
1
-2
0
5
= (-5 ; 1 8 ;-2 )
L u e g o , el área de la cara del paralelepípedo es
A ^ = \\AC x AD\\ = V 2 5 + 3 2 4 + 4 = V 3 5 3 u 2
289
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
b) C o m o AB II ñ — (1 ; 1; 1 ) = * AB = k n = (fc; k ; fc) (fc > 0 ). L u e g o ,
AB ■(AC x AD =
k
k
k
-4
-1
1
-2
0
5
= 11*
Puesto que el v o lu m e n del paralelepípedo es 4 4 u 3 , entonces se tiene
VP = \ A B - ( A C x AD )| = |llfc| = 4 4 <=> k = 4
P o r tanto, de AB = (4 ; 4; 4 ) resulta B = (1 2 ; 4; 4 )
E je m p lo 16
a) S i lo s vectores á , b
y e
son unitarios y satisfacen la co n d ició n :
a + b + c = 0, calcule el v a lo r de M = a - b + b ■c + a ■c
b) L o s vectores a
y b
||a|| = 4 , ||ft|| = 6,
son trid im e n sion a le s y form an un á n g u lo de 30°. S i
utilizan d o
el
álgebra
vectorial,
trián g u lo c u y o s lados adyacentes son los vectores a
calcule
el área
del
y b .
S o lu c ió n
- » 2
a) D a d o que a + b + c = 0 = > ||a + b + c|| = 0 <=> ||a + b + c||
<=> ||a||2 + ||¿||
+ ||c||2 + 2 a ■b + 2 a ■c + 2b • c = 0
C o m o los vectores a , b
ye
= 0
(*)
so n unitarios, entonces ||a|| = ||fo|| = ||c|| = 1
R e e m p la za n d o estos va lore s en ( * ) se obtiene
-
-
l + l + l + 2 a - b + 2a'C + 2 b - c = 0 = * M = a- b + a- c + b- c = —
b) E l área del triá n g u lo c u y o s la d os adyacentes so n lo s vectores a
3
2
y b es
¿a = j \ \ a x ¿|| = ^ ||o ||p ||s e n (3 0 ° ) = ^ ( 4 ) ( 6 ) ^ j = 6 u 2
E j e m p lo 17
L o s puntos
.4(4; 2; 0 ), 5 ( 4 ; 8; 0 ), D ( —2; 2; 0 ) y W ( - 2 ; 4 ; 8 ) son
lo s vértices del p aralelepíped o ABCDEFGH
a) C a lc u le su v o lu m e n
b) D e te rm in e la altura del paralelepípedo
S o lu c ió n
a) L o s vectores de las aristas adyacentes del p aralelepíped o son
AB = (0; 6; 0), A D = ( - 6 ; 0; 0 ) y AE = DH = (0 ; 2; 8 )
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290
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
L u e g o , el v o lu m e n del paralelepípedo es
y = |i4B • G 4 D X j4 £ )| =
0
6
0
-6
0
0
0
2
8
= |288| = 2 8 8 u 3
b) T e n e m o s
AB x A D =
í
f
k
0
-6
6
0
0 = (0 ; 0; 3 6 )
0
A s í, el área del p arale log ra m o ABCD es A ¿? = ||AB x AD|| = 3 6 u 2
P u esto que el v o lu m e n del paralelepípedo ABCDEFGH es
Vp = (á re a d e la b a s e ) ( a lt u r a ) = ( 3 6 )(7 i) = 2 8 8 = > h = 8 u
O bservación 5 Sean P ^ x^ , y t ; z x) y P 2 ( x 2; y 2; z 2) los extrem os d e un segm ento
P i P 2. Entonces las coordenadas del punto P ( x ; y ; z ) que d ivide a l segm ento en
PtP
la ra zó n d a d a r = —- = ( r í - 1) son
P °2
X1 + r x 2
1 + r
y=
y 1+ r y 2
1 + r
Zj + r z 2
z =
1 + r
O bservación 6 Si M (x ; y ; z ) es el punto m edio d el segm ento cuyos extrem os
son los pu ntos P i f e ; y x; z x) y P 2 ( x 2; y 2; z 2) , entonces
X, + x .
Zi + z 2
yi+ y2
x =
z =
E j e m p lo 1 8
D a d o s lo s p u n to s P i( 5 ; 7; 9 ) y P 2 (3; - 5 ; - 7 ) , halle lo s p u ntos de
trisección del se gm e n to P XP 2
S o lu c ió n
Se a n A 1(x 1; y 1; z 1') y ¿42 ( x 2; y 2; z 2) lo s puntos de trise cció n del se gm e nto P i P 2
P ara e n c o n tra r las c o o rd e n a d a s del p u n to Av la ra zó n es r =
P A
1
AP-,
L u e g o , p o r la o b se rva c ió n 5 se tiene
5
x1 =
+ ^ ( ) 13
3
1+\
3 '
7 + 7 Í- 5 )
y\
9 + ¿ C -7 )
=3,
Zi =
1 4- •
1 +;
Pt A2
2
= - = 2
A2P2
1
A n a lo ga m ente , p a ra el p u n to A2 la ra zó n es r = — —
P o r co nsiguiente, las co o rd e n a d a s del punto A 2 son
*2
5 + 2 (3 )
11
1 + 2
3 '
9 + 2 (-7 )
7 + 2 ( — 5)
yz
1 +2
= -1,
z2 =
291
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1+ 2
11
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
E JE R C IC IO S
1. E xp re se el vector
a
b
co m o la su m a de un vector paralelo
y un vector
ortogon al a b , si á = (2; 1; - 1 ) y b = (1; 4; - 2 )
2.
3.
H a lle el á n g u lo entre los vectores a = (3; 1; 2 ) y
S i el á n g u lo que form an los vectores a y b
b = (1; 1; 2 )
es de 45° y
||a|| = 3, halle el
m ó d u lo de b para que a + b form e con a un á n gu lo de 30°.
R. 3 ( V 2 + V 6 ) / 2
4.
Sean
a y b
d o s vectores unitarios en
R 3. D e m u e stre que
á + b es un
vector unitario <=> el á n gu lo fo rm ado p or e llos es de 120°.
5.
D a d o el p arale logra m o ABCD, E está a
2/3
de la
d istancia de B a C y F es el punto m edio de
CD.
D
F
C
H a lle r y s de m o d o que YF = r ~AB + s ~AC
R. r = - 1 / 2 , 5 = 1 / 3
6.
Se a n a ,b y c tres vectores de m ó d u lo s r, s y t
respectivam ente. S e a a el
á n gu lo entre b y c, B el á n g u lo entre
y el á n g u lo entre
a y c y
a y
b
Pruebe que el m ó d u lo S de la su m a de tres vectores está d ad o p o r la fó rm u la
S 2 = r 2 + s 2 + t 2 + 2s t e os a + 2 r t e os/? + 2 r s c o s y
7. S i a = (1; 3; 2 ) , b = ( 1 ; - 1 ; 3 ) y c = (2 ; 3; — 4 }
S.
i)
H á lle el área del parale logram o determ inado p o r a
ii)
H a lle el área del trián gu lo determ inado p or a y c
iij)
H a lle el v o lu m e n del paralelepípedo determ inado
Los
vértices de
un
trián g u lo
so n
lo s
p u ntos
y
b
p or a ,b y c
4 ( 1 ; 2; 3 ),
6 ( 0 ; 2; 1 )
y
C ( — 1; - 2 ; - 4 ) . HaJle el área y el perím etro del triángulo.
9.
Los
vértices de
un
tetraedro
C (3 ; 4; 2 ) y D ( 0; 0; - 1 )
so n
. C a lc u le el
los
p untos ,4(2; 1 ; 0 ) , 5 ( 1 ; - 1 ; 1 ) ,
v o lu m e n del tetraedro.
10. E n el triá n g u lo de vértices i4(3; 0; 0 ) , 5 ( 0 ; 4; 0 ) y
i)
C { 0; 0; 5 ) , halle
L a s lo n gitu d e s de cada m ediana
i i) L a s lo n gitu d e s de cada altura
iii) E l centro de grave d a d del trián gu lo
11. Sean
P { 3; 1; — 1 ) y Q ( 4; — 1; 2 ) . H a lle las co o rd e n a d a s del punto R que se
encuentra en la p ro lo n g a c ió n de ~PQ y extendiendo 3 veces su longitud.
292
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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
13. U n auto recorre 2 0 k m h acia el norte y d esp u és 4 0 V 2 en u n a d ire c c ió n 60° al
oeste del norte. H a lle el vector d esplazam iento resultante del auto y su
longitud.
R . f = ( - 2 0 ; 4 0 ) y ||r+J = 2 0 V 5 k m .
14. Se a n a y
b so n vectores en el espacio R 3 que verifican: a + 2 b = 0 y
c o m p r a = — 8. D e te rm in e el va lo r d e A Í = 2 ( a + 3 f o ) - ( a — 3 b ) .
R .M = -1 6 0 .
15. D a d o el trián gulo de vértices A ( 2 ; — 2 ; 4 ) , ñ ( 4; 2; 6 ) y C ( 4; 8; 1 0 ).
a)
H a lle el ve ctor unitario de MN, si MN es paralelo al lado AB, M sobre el
lado AC y N sobre el lado BC.
b) D e te rm in e las co m p on e n tes del vector MN, si se sabe que MN ■AC = 56.
R. W Ñ = ( 2 ; 4; 2 ) .
16. E n la fig u ra adjunta, M y N son lo s centros de las caras GDEF y OAFE
respectivam ente.
S i ||p|| = 1 0 y ||q|| = 4 V l 3 , determine las co m p on e n tes del vector 2 p - 3 q.
R. 2 p - 3 q
= (3 4 ; 16; 4 8 )
17. Sean a , b , c y d vectores unitarios en el espacio R 3. S i se sabe que los vectores
a y b fo rm a n un á n g u lo de 60° y los vectores c y d un á n g u lo de 120°, halle:
a) C o m p g ( 4 a )
c) ( P r o y 2 ¿ ( 2 c + 3 d ) ) ■ d
b)Proy4¿(4a)
R. a) 2
b) 2 b
c )2 .
18. E l vector p o sic ió n a se encuentra en el plano y z y el vector p o sic ió n b sobre el
eje y negativo, de m anera que el á n gu lo entre e llo s es 120". S i ||a|| = V 2 7
y
\\b\\ - 8, halle las co m p on e n tes del vector a x /;.
R. ( ± 3 6 ; 0 ; 0 ) .
1 9 .Se a n
a +
a,byc
vectores no nu lo s tales que
||tí|| = 3, ||¿|| = 1, ||c|
b + c = 0. C a lc u le el v a lo r de A = d - b + b- c + d - c.
R . —13
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4 y
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN [[
20. D a d o s los puntos: /1(8; 0; 0), C (4 ; — 1; 1), D (6 ; 0; 5 ) y 5 un punto del prim er
ociante.
a)
E n el e spa cio R 3 , grafique el paralelepípedo cu ya s aristas son los vectores
AB, AC y AD.
b) C a lc u le el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los p u ntos A, C
y
d .
c) S i se sabe que el vector AB es paralelo al vector n = (1; 1; 1) y el vo lu m e n
del paralelepípedo es de 4 4 i í 3, determine las co orde na da s del punto B .
R. b ) V 3 5 3 u 2
c ).B (1 2 :4 ;4 ).
, 19. a) D a d o el triángu lo de vértices 4 ( 3 ; 1; 1), 6 ( 2 ; 1; 4 ) y C (5 ; 4; 6 ). H a lle las
com p onentes del vector P r o y ^ MN, si se sabe que el vector M Ñ es
paralela al lado AC del triángulo, M está sobre el lado AB, N sobre el lado
BC y ||M77|¡ = V 3 8 / 3 .
b) D a d o s
lo s
vectores
a = (2 ;-l;l) ,
b = (-2;l;2)
y
c=(4;3;-3).
C a lc u le 6 ( a • üj¡ ) + V S í C o m p , ? b.
R. a) ( 2 / 3 ; 1; 5 / 3 )
b) - 1 7 .
21. D a d o s los p untos A ( 2 ; 4; 3 ), 6 ( 4 ; 5; 5 ) y C ( - 1; 4; 0).
a) H a lle
dos
vectores
unitarios
perpendiculares
sim ultáneam ente
a
los
vectores AB y AC.
b) Se a M un punto interior del segm ento AC tal que d ( A ; M ) = \ d(A-,C).
S i Q ( —1; 4; 2), determ ine si el á n g u lo fo rm a d o p o r lo s vectores QC y QM
es a g u d o o no.
R. a) i¡ = ( + 1 /\H l ; 0; ± 1 / V 2 ) b) E s agu d o
22. Sean a, b y c tres vectores en el espacio E 3 ales que a = 2 r. |[c|| = 2
y
b ■ c = 4. S i se sabe que lo s vectores b y c form an un á n g u lo de 60°. halle
la lo ngitu d del ve ctor V 3 a
x
b ^ 5 a x c.
23. Sean a, b y c vectores no n u lo s en el espacio E 3 tales que ||c|| = 4. P r o y c- b =
b y P r o y g +(? a = 0. S i se sabe que los vectores a y b so n Ui’itarios, halle el
m ó d u lo del ve ctor a x b i- a X c .
P..2S
25. D a d o s los p u ntos ¿4(— 1; 5; 3 ) y 6 ( 0 ; 3; 1).
a)
H a lle d o s vectores unitarios parale los al vector AB .
b) D e te rm ine d o s vectores un ita rio s p erpendiculares al ve ctor AB
y paralelo
al vector b = (1; 1; - 1 / 2 ) .
R. a) w = ( ± 1 / 3 ; + 2 / 3 ; + 2 / 3 )
b) ü = ( ± 2 / 3 ; ± 2 / 3 ; + 1 / 3 )
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294
R E C T A S Y PLA N O S EN E L ESPA C IO T R ID IM E N SIO N A L
(>.2 R E C T A E N E L E S P A C I O
6.2.1
ÁN G U LO S,
CO SEN O S
Y
NÚM EROS
D IR E C T O R E S
DE
UNA
RECTA
S e a L una recta en el
Definición 1
llam a conjunto de
ángulos d irecto res de la recta L al
espacio
M 3. Se
conjunto ord e n a d o {a , p , y }, dond e a,
¡i, y son *o s á n g u lo s que fo rm a la recta
L con los ra y o s p o sitiv o s de lo s ejes de
co orde n a da s x , y A z respectivam ente
(Fig. 6.14)
L o s á n g u lo s directores tom an va lore s
entre 0 o y
180°, es decir,
0 C < a , p , y , < 180°
O bservación 7 El ángulo entre dos rectas que no se intersecan, se define com o
el ángulo form ado p o r rectas que se intersecan y que, al mismo tiem po son
p aralelas a las rectas dadas.
Si una recta no está orientada (con respecto al sentido que debe tomar) tiene dos
conjuntos de ángulos directores que son:
{ a , p, y ) y
{1 8 0 ° - a ,
1 8 0 ° -/ ?, 180p - y }
En lo que sigue, las rectas serán consideradas sin orientación.
Definición 2
L o s c o se n o s de los á n g u lo s directores de u n a recta se llam an
cosenos d irecto res de la recta.
U n a recta tiene d o s co njun to s de co se n o s directores.
(e o s a, e o s /? , e o s y }
O b s e r v a c ió n 8
y
{-e o s a , -e o s/ ?, -e o s y}
D o s rectas so n paralelas si y s o lo sí tienen los m is m o s co se n o s
directores.
D e f in ic ió n 3
U n conjunto [ a ; b; c] es llam ado números directores si existe una
constante fe ^ 0 tal que
a = k eos a,
b = kcosp,
c = kcosy
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295
TOPICOS DE CALCU LO - VO LUM EN II
6.2.1.1
Se a
E X P R E S IÓ N D E L O S C O S EN O S D IR E C T O R E S D E U N A R E C T A
Q U E P A S A P O R DOS PU N T O S
L una recta que pasa p or los
puntos P1(x 1-,y1-,z1) y P2(.x2: y 2, z 2)
y sean d = ||PXP 2 1| y
a > P,
\ ------
Y l° s
á n g u lo s directores de L.
L o s co se n o s directores de la recta L
y P2 son
que pasa p o r los puntos
Fig. 6.15
cos a =
-,
e o s /? =
yz-yi
z2 - z x
co sy =
S i la recta L está orientada en el sentido de P2 a P x , entonces lo s co se n o s
directores de la recta so n
*2- *1
„
yi-y-L
-
22 Zl
c o s a = ------- — , cos/? = ------- — , c o s y = ------ —
donde d es la d istan cia entre Pr y P2
6 4 .1 .2
R E L A C IO N
RECTA
E N T R E L O S C O S E N O S D I R E C T O R E S D E UN A
S i e le va m o s al cu ad rado cada un a de las e xp re sio nes de los c o se n o s directores de
la recta L que pasa p o r los p untos Px y P2 y su m a m o s, se obtiene
cos*a + eos ¡s + cos¿y = --------------2
,
2n i
2
(*2 - * ) 2 + (y 2 - y i ) 2 + 0 2 - Z l ) 2
d2
„
d2
P o r lo tanto, u na relación fundam ental entre los co se n o s directores de una recta es
c o s 2a + c o s 2p + c o s 2y = 1
Ejem plo 19
a) H a lle
los
c o se n o s
directores
de
u n a recta d eterm inada
por
los
puntos
P ! ( l ; 0 ; 2 ) y P2( 3; 2; 3 ) y d ir ig id o de Px a P2
b) S i {45°, 60°, y } es un con ju nto de á n g u lo s directores de u n a recta, calcule
los p o sib le s va lo re s del á n g u lo y
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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL.
S o lu c ió n
Px y P2 es d = V 4 + 4 + 1 = 3. Lu e go , lo s co se n o s
a) L a d istan cia entre
directores de la recta que pasa por Pt y P2 son
3 - 2 1
e os
b) D e la
2
1
a = — - — = - ,e os B = - , e os y = 3 3
F
3
3
relación entre los co se n o s directores de una recta, se tiene
1
1
c o s 24 5 ° 4- c o s 26 0 ° + c o s 2y = 1 = > e os 2 y = - = > e os y = ± D e d on d e resulta e o s y = 6 0°
6.2.2
V
y = 1 20 °
E C U A C IO N E S D E U N A R E C T A E N E L E S P A C IO K 3
U n a recta es un conjunto de puntos que se d esp lazan en el e spa cio R 3 en una
d ire cción constante (F ig. 6.16)
6.2.2.1 E C U A C I Ó N V E C T O R I A L D E U N A R E C T A E N E L E S P A C I O K 3
Se a L u n a recta que p asa
p or el punto Pn( x n-,y 0 ; z 0)
y sig u e la d ire c ció n dei
vector á = - ( a 1; a 2',a3) (F ig . 6.17;. E l vector a se llam a v e c to r d ire c c ió n .d e la
recta L.
Se a
P(x;y\z)
un punto cualq uiera de la recta L. E n to n ce s
vector a, luego existe t e M
P o r lo tanto, la e c u a c ió n v e c to ria l de la recta L es
i
|
PaP es paralelo al
tal que P0 P = t a <=> P = P 0 + í a , t £ E
:
L : ( x ; y ; z ) = ( x 0; y 0; z 0) + t á ,
te R
i
j
297
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TOPICOS DE CALCU LO - VO LUM EN II
E je m p lo
20
/»,(3 ; 2 ; - l )
Encu en tre
la e cuación
de
la recta que
p asa
por
lo s
p u ntos
y P2( 5 ; - 2 ; 4 )
S o lu c ió n
E l vector d ire c ció n de la recta que p asa p or P1 y P2 es a = P1P2 = (2 ; — 4; 5 )
T o m a n d o el punto P i ( 3 ; 2 ; - l )
c o m o P 0, Ia e cuación de la recta es
L-. ( * ; y ; z ) = ( 3 ; 2 ; - l ) + t ( 2 ; - 4 ; 5 )
6.2.2.2 E C U A C I Ó N P A R A M É T R I C A D E U N A R E C T A E N E L E S P A C I O
D e la e cuación ve cto rial de la recta L: 0 t ; y ; z ) = ( x 0; y 0; z o ) +
se tiene que
cu alq u ier punto P ( x ; y ; z ) E L ve rifica la igualdad
O ; y ; z ) = ( x 0; y 0; z 0) + ¿ 0 % ; a 2; a 3)
L u e go , de la igua ld ad de vectores resulta
x = x Q+ ta t
I
y - y0 + ta2
z = z0 + ta 3
Esta s e cu a cion e s se d e n o m in a n e c u a c io n e s p a r a m é t r ic a s de la recta L que pasa
p or el punto P0(x 0 ; y 0; z 0) y es paralela al vector a , y t se lla m a p a r á m e t r o de
la ecuación.
E je m p lo 21 H a lle las e cuaciones param étricas de la recta que pasa p or lo s puntos
P i( 2 ; 3 ; 4 ) y P2( — 1 ; — 3 ;2 )
S o lu c ió n
E l vector d ire c ció n de la recta es a = P XP 2 = ( - 3 ; — 6; - 2 ) . A s í, las ecuaciones
param étricas de la recta so n
L:
(x = 2 - 3 1
y = 3 - 6t,
z = 4 - 2t
te
6.2.2.3 E C U A C I O N S I M E T R I C A D E U N A R E C T A E N E L E S P A C I O
Se a L una recta c u y a s ecuacion e s param étricas son
L:
x = x0 + tat
y = y 0 + ta2 , t e
z = z0 + ta3
r
S i n in g u n o de los n ú m e ro s a t , a 2 y a 3 es cero, entonces d espejando t de cada
una de las e cu a cio n e s param étricas e igu a la n d o lo s resultad os se obtiene
x - x 0
L\
y - yo
z - z Q
-----------= ------------ = -----------al
a2
(*)
a3
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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
E sta s e cu a cio n e s se llam an e c u a c io n e s s im é tr ic a s de la recta L que p a sa p o r el
punto
P o ( x 0; y 0; z 0)
y es paralela al vector á = ( a x; a 2; a 3). L a s co m p on e n tes
del vector a 1 , a 2 y a 3 son los núm e ros directores de la recta L.
v
O bservación 9
a) Si uno de los números directores a i , a 2 ó a 3 es igual a cero, no p odem os
usar la ecuación (*). En este caso se em plean otras relaciones
P or ejemplo, si a x = 0, la ecuación de L se escribe com o
,
A y - y 0
¿-¿o
L: x = x 0 A --------- = ---------a2
a3
Si a 2 = 0, la ecuación de la recta L se escribe como
x - x 0
z - z0
L: —
= —
A
=
S i a 3 = 0. La ecuación de L se escribe como
x - x 0 y — yo
L: -------------= -------- A z = zn
a,
a2
b) Si dos de los números directores a, , a 2 ó a 3 son iguales a cero, tam poco se
p u ede usar (*). P or ejemplo, si a , = a 3 = 0, la ecuación de la recta L se
escribe com o L: x = x 0 A z = z 0
E je m p lo 2 2
D e te rm in e ¡as e cuaciones vectorial, param étricas y sim é tricas de la
recta que pasa p or el punto -4(1; 2; 2 ) y es p erpendicular a las rectas
Lx\ ( x ;y ;z ) = ( 3 ; 2 ; - l ) + t ( 2 ; - l ; 0 ) y
L2: ( x : y ; z ) = ( 0 ; - 3 , 0 ) - r s ( — 12; 3; 1 3 )
S o lu c ió n
A q u i el ve ctor d ire cción a. de la recta L que pasa p or el punto A es perpe nd icu lar
a los vectores
(vector dirección de Lx) y
¿ = (2;-l;0)
c = ( - 1 2 ; 3; 1 3 )
(vector d ire c ción de L2 )• E n to n ce s a \ \ b x c , donde
i J
b x c
2
-13
k
-
1
3
= (-1 3 ;-2 6 ;-6 )
0
13
A h o ra , to m and o el vector á = (1 3 ; 26; 6 ), las ecuaciones de la recta L son:
F o rm a vectorial
L: ( x : y , z ) = (1: 2; 2 ) + £ (1 3 ; 26; 6), t £ IR
IX =
1 4- 1 3 t
F o rm a param étrica L: | y = 2 + 2 6 t
l z = 2 + 6t
x —1
y — 2
z — 2
F o r m a sim é tr ic a L: -------- = --------- = --------13
26
6
299
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TOPICOS DE CALCU LO - VOLUMEN II
6.2.3 P O SIC IO N E S R E LA TIV A S DE DOS R EC TA S EN E L E SPA C IO
E n el espacio R 3 las rectas
Lx: ( x ; y ; z ) = P0 + t a y L2 : ( x ; y ; z ) = Q0 + t b
pueden tener las siguientes p o sicio n e s relativas
6.2.3.1 R E C T A S P A R A L E L A S
L a s rectas
y L2 so n paralelas si su s vectores d irección d
C o m o co n se cue n cia de este resultado tenem os
y b so n paralelos.
O bservación 10
i)
P ara todo punto Px de R 3 y toda recta Lt : (x\ y: z ) — P0 + t á , t E R , existe
una única recta L que p a sa p o r el punto P x y es p a ra lela a la recta Ll
ii) S i Li y ¿ 2 son dos rectas paralelas, entonces
= l 2 ó L1 n L2 — 0
6 .2 .3 .2 R E C T A S S E C A N T E S
Lr y ¿ 2
L a s rectas
so n secantes si se intersecan en un ú n ic o punto, esto es,
¿ i n L2 — {P o }
6 .2 .3 .3 R E C T A S Q U E S E C R U Z A N
L a s rectas Lx y i 2 se cruzan si n o se cortan y no son paralelas. D o s rectas que se
cruzan están en p la n o s paralelos, esto es, no se encuentran en u n m is m o plano.
6.2.4
ANG ULO ENTRE DOS RECTAS
E l á n g u lo entre las rectas L t \ ( x \y - ,z ) = P0 + t á
y
L2: ( x ; y ; z ) = Q0 + s b
(F ig. 6 .18 ) es el á n g u lo 0 co m p re n d id o entre los vectores d ire cción a
£)<¿ la d e fin ic ió n del á n gu lo entre d o s
Véctores, u na relación para ca lcu la r el
y l 2 es
á n gu lo entre las rectas
a ■0
eos 0
¡|a|| b
S i el á n g u lo entre las rectas L, y Lz es
recto.
9C
dice
que
las
rectas
son
o r to g o n a le s o p e rp e n d ic u la re s, esto es.
L i ± L 2 s=>ü±b<^>á-b = Q
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300
y b
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL '
6.2.5 D I S T A N C I A D E U N P U N T O A U N A R E C T A
Se a n
un
L: ( x - ,y ; z ) = P0 + t á
una
punto
recta
y
en
el
espacio IR3 .
A h o ra , si d es la d istan cia del punto P,
a la
recta L (F ig . 6.19), entonces
d = ||v|| s e n 9
8
don d e
es el á n gu lo
que
form an
los
vectores a y v = P0P1
Fig. 6.19
P o r una p rop ie dad del producto vectorial se
sabe que
Ha x y|| = H a llllvll s e n 9 = ||a||(d)
D e d ond e resulta
a
E je m p lo 2 3
X
a x P0Pt
17 j
C a lc u le la d istan c ia del punto 4 ( 3 ; 2 ; - 1 )
a la recta
L: P — (1 ; 3; 2 ) + í ( — 1; 2; 3), t € K
S o lu c ió n
E n este ca so d = ( - 1 ; 2; 3 ) y v = 1 \A - (2 ; - 1 ; - 3 ) . entonces
á x v = ( - 3 ; 3; - 3 ) . L u e go ,
E je m p lo 2 4
V9 + 9 + 9 _
27
V9 + 4 + 1
^ 14
Se a n las rectas;
L^. P = ( - 2 ; 1; 0 ) + £ ( - 2 ; 1; - 1 ) , t 6 R
L2:Q = (3 ; 7; 1 ) + <>(— 1; 2; 3 ) , s 6 R
¿ 3: x = 2 + 4 t , y = - 1 - 2t , z = 2 + 2t
x - 9
z - 3
LS:R = (3 ;4 ; 0) + r ( 4 ; - 2 ; 2 ) , r e IR
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30!
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
Determ ine si son o no paralelas cada uno de los siguientes pares de rectas, en caso
que sean secantes determ ine su intersección.
y Lz
a)
d) l 2 y L 4
b) ¿ i y l 3
c) Lx y Ls
e) L2 y L3
f) ¿ 4 y Ls
S o lu c ió n
a)
Com o
lo s
vectores
d irección á = ( - 2; 1; — 1 )
y6 =
(— 1 ;2 ;3 )
no
son
paralelas, entonces las rectas Lt y L2no son paralelas.
S u p o n g a m o s que A ( x ; y ; z ) £
n L2, entonces existen va lo re s ú n ic o s para t
y s para lo s cuales
A = ( - 2 ; 1; 0 ) + t ( — 2; 1; - 1 ) = (3; 7; 1 ) + s ( - 1; 2; 3 )
P or la igu a ld ad de vectores, se obtiene
— 2 — 2t = 3 — s
(1 )
1+ t = 7 + 2 s
(2 )
- t = 1 + 3s
(3 )
7
26
R e so lv ie n d o (2 ) y (3 ) se ob tie n e s = - y t = — , p e ro e stos v a lo re s no
5
5
satisfacen (1). L u e g o , n o existe punto de intersección entre las rectas L 1 y Lz , es
decir, Lx y L2 se cruzan.
E n fo rm a a n á lo g a se prueba los siguientes resultados.
|| ¿ 3 A
b) Lx
c)
|| ¿ 5 A
■= ¿ 3
n ¿5 =
0
d)
L 2 t t L 4 AL x n L s = >1(5; 3; - 5 )
e)
L2 l/¡ L3 A
E j e m p lo 2 5
Lz A ¿ 3 se cruzan
H a lle la ecu ación de la recta que pasa p or el punto P 0 ( 3 ; l ; 5 )
paralelo a la recta L t : 2 x — 2 = 1 — y A z = 4
S o lu c ió n
E n p rim e r lu g a r re orde n and o la ecuación de la recta Lx tenem os
2 x - 2 = l - y A z
= 4
Lu e go , la e cu a ció n vectorial de L1 es L^.P =
C o m o L ||
y —1
<=> x - 1 = —
—
—2
Az = 4
(l;l;4 ) + t ( l ; - 2 ; 0 ) , t E R
=> L || a , don d e a = (1; - 2 ; 0 ) es el vector d ire c ció n de Lx
P o r tanto, la e cu a ció n de la recta b u sc a d a es
L: Q = (3 ; 1; 5 ) + A ( l ; - 2 ; 0 ), A £ R
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302
yes
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL.
E je iilp fo 2 6 H a lle la e cuación de la recta que pasa p o r P 0 (3; 1; — 2 )
y es p erpe n d icu la r a la recta Lx: x -r 1 = y + 2 = z + í
e interseca
S o lu c ió n
L a fo rm a vectorial de !a e cuación de la
recta
es
Ly. Q = ( —1; —2; —1) + A ( l ; 1; 1) ,
AgR
Se a A el punto de intersección de las rectas
Lx y L
(F ig.
entonces
6.20). C o m o
3 k G K tai
que
A G Lv
A ( —l +
k : ~ 2 -'r k ' , — 1 -r k ) .
Por
la
c o n d ic ió n
de
perpendicularidad
resulta
P0A = {k - 4; k - 3; k + 1) 1 a = (1; 1; 1 )
<=> PfíA. a. — k — 4 i- k — 3 + fc -i- 1 = 0
«=> k = 2
A s í, / 4 ( 1 ;0 ;1 )
L u e go , la e cu a ción de la recta que pasa por los puntos P 0 ( 3; 1; - 2 ) y ¿4(1; 0; 1 ) es
L: P = (3; 1; - 2 ) + t ( 2; 1; - 3 ) ,
t £ R
E j e m p lo 2 7
D e te rm in e la e cuación de la recta que pasa p or
perpe n d icu lar a las rectas
L^.x = 3 + t , y = 4 + t , z = - 1 + t
A
x + 4
2y - \
¿ 2 : -------- = -----------
S o lu c ió n
Se a
a
el vector d ire cción de la recta
L buscada.
Un
vector
d ire cción
de
L2 es
v = (4 ; 1; 0 ) y el vector d ire cción de
es b = (1; 1; 1). C o m o
L i ¿ i
L 1 L2 y
^ a l í y a i i
=> a || v X b = (1; - 4 ; 3 )
L u e go , la ecua ción de la recta b uscada
es
P0( l ; 4 ; 0 )
Fig. 6.21
L: P = (1; 4; 0) + t ( l ; —4; 3), t 6
303
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yes
1
A
z ——
IOl’ lCOS DE CALCULO - VOLUMEN II
K jc in p ln 28 D eterm ine la e cuación de la recta que pasa p o r el punto m ed io de
AH
y corta bajo un á n gu lo de
recta que pasa p or lo s puntos
donde 4 ( 2 ; 4; O V
2?(0; 0; — 2),
60c
a la
R y S.
R ( 3; 3; 3 )
y S (-l;3 ;3 ).
S o lu c ió n
Este p rob le m a tiene d os so lu c io n e s
( Fig.
6 .2 2 ).
El
punto
'm e d io
M ( 1; 2; — 1 )
del
segm ento
AB
es
y la e cuación de la recta L-¡_
que pasa p or R y S es
p = ( _ i ; 3; 3) + t ( l ; 0; 0), t 6 R
Se a / el punto de intersección de L con Lr
=> I £
=> 3 t £ E / / ( - 1 + t; 3; 3)
D e la co n d ic ió n de que la recta L interseca a la recta L x bajo^un á n g u lo de 60°
resulta
a ■t>
eos 6 0 “ = ■
, d o n d e d = (1; 0; 0 ) , b = MI = (t - 2; 1; 4)
Ma ll|!u li
D e donde so o b tie n e
t-2
1
t = 2 ± ^ 1 7 / 3 => / ( I ± ^ 1 7 / 3 ; 3 ; 3 )
_ ¿ ( t ~ 2 )2 + 1 + 16
2
Lu e go , tas e cu a cio n e s de las rectas bu scad as son
L: Q = (1; 2; - 1 ) 4- r ( V l 7 / 3
; 1 ; 4), r £ U
L':Q' = ( 1 ; 2 ; - 1 ) + A ( - V l 7 / 3 ; 1 ; 4 ) , A E R
E je m p lo 2 9
H a lle el punto en la recta
L: F = (2; 11; 1 4 ) 4- í (2;. 4; 5), t £
que e quidista de las rectas
L¡: E je x
A
/,2 :<2 = (1 ; 7; 0 ) -r s ( 0 ; 0; 1), s £ l
S o lu c ió n
Un
bosqu e jo de este p rob le m a se m uestra en
la l'ig. 0.23.
L a e cuación del eje x e s
Lx\ R = (0 ; 0; 0 ) + í ( l ; 0 ; 0 ) ,
t £ E
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304
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
S e a A 6 L el punto que e q u id ista d e Jas rectas L , y ¿ 2 , entonces
A (2 + 2 t; 11 + 4 t; 1 4 + S í )
Lu e go ,
d (> l- L ) =
X
-
í,(2 + 2 í ’ 11 + 4 t ' 1 4 + 5 í ) X (1: ° ; 0)11
Ü( l ; 0; 0)|!
= V (1 4 + 5 t)2 + ( l l + 4 t ) 2
d ( A . L -) _ 110^4 x 6j|
1 2
||( 1 + 2 t , 4 + 4 t , 1 4 + 5 t ) x (0 ; 0; 1 ) ||
p||
11(0; 0; 1)||
- V (4 + 4 t ) 2 + ( l + 2 f)2
R e s o lv ie n d o la e cu a ción que resulta de d(A; Lx) = d ( A \ L 2) se obtiene
í = - 2 V t
= -5 0 / 7
Lu e go , lo s p untos de la recta L que equidistan de las rectas
i4v( - 2 ; 3 ; 4 )
y
A z( — 66/ 7 ;- 1 2 3 / 7
y L¿ son
152/7)
E J E R C IC IO S
1. En cu en tre la d istan c ia del punto Á( Z\ 2- , Y)
P0 ( l ; 2; 9 ) y P i ( - 3 ; - 6 ; - 3 )
a la recta que pasa p o r los puntos
2. S i L,: P = ( 1 ; 0 ; - 1 ) + t ( l ; l ; 0 ) , t € K y L2: Q = (0; 0; 1 ) + s ( l ; 0; 0 ) , s e US.,
halle la e cuación de la recta L que es perpendicular a Lt y l 2 y las interseca.
3.
D e te rm in e la e cu a ción de la recta que interseca a las rectas
¿j: P = (1; — 1; 1 ) + t ( l ; 0 ; - l ) , t £ M y L2: Q = (1; 0; 0 ) . + s ( - l ; 1; 1), s £ K
en lo s p untos A y B
respectivam ente, de tal m anera que la longitud del
se gm e nto AS sea m inim a.
4.
H a lle la e cu a ción de la recta que pasa por el punto / 4 ( 1 9 ; 0 ; 0 ) y corta a las
rectas L x : P = (5; 0; - 1 ) -f t ( l ; 1; 1), t c K
L2: Q = ( - l ; 2 ; 2 ) + s ( — 2 ; 1 ; 0 ) ,
5.
s E R
U n a recta pasa p o r el punto A{1\ 1; 1 ) y form a á n g u lo s de 60° y 30° co n los
ejes x e y respectivam ente. H a lle la ecuación vectorial de d ic h a recta.
R. L: P — (1; 1; 1 ) -f- t ( l ; ± V 3 ; 0 j , t E K
6. U n a recta que pasa p or el punto A ( - 2 ; 1; 3 ) es perpendicular e interseca a la
recta Lx: P = (2; 2; 1 ) 4- t ( 1; 0; — 1), t E R . H a lle la ecua ción vectorial de
d ic h a recta.
R. Q = ( - 2 ; 1; 3 ) -i- 5 (1 ; 1; 1), s e l .
305
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
6.3 PLA N O EN EL ESPA C IO
U n plano en el espacio es un conjunto de puntos que se d esp la za n de tal manera,
que el vector que fo rm a estos puntos con un punto fijo es p erpe nd icula r al vector
d irección del p lan o (F ig. 6.24). E l vector d irección se llam a v e c t o r n o r m a l del
plano y se denota con N.
O bservación 11 La ecuación de un plan o queda com pletam ente determ inado
cuando se conoce:
i)
Un punto de p a so y su vector normal ó
ii)
Un punto de p a so y dos vectores paralelos al plano ó
iii) Tres pu ntos no colineales d el plan o
6.3.1 E C U A C I O N E S D E U N P L A N O E N E L E S P A C I O
6.3.1.1 E C U A C I Ó N V E C T O R I A L D E U N P L A N O E N E L E S P A C I O
Se a Q un p la n o que pasa p or el punto PQ(x 0-,y 0; z 0) y es parale lo a los vectores
a. = ( a 1(- a 2; a 3) y b = ( b1; b 2; b3), donde el vector a no es paralelo al vector
b (F ig. 6 .25 )
Sea P ( x \ y , z )
un punto cualq uiera del p la n o Q, entonces e xisten
que P0P = r á + s b
D e donde, P - P0 = r á + s b
ó
P = P0 + r a + s b
P or consiguiente, la e c u a c ió n v e c to ria l del p la n o Q es
l------------------------------------------ —-- ---------------1
Q: (x; y , y.) = P0 + r d + sb, r, s 6 E ¡
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r, s
£ 1
tai
R E C I A S Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
6.3.1.2 E C U A C I Ó N P A R A M É T R I C A D E U N P L A N O E N E L E S P A C I O
D e la e cu a ción vectorial del p lano
Q: P = P0 + r á + s b , se tiene que cu a lq uier
punto P (x \ y ; z ) £ Q ve rifica la igualdad, es decir
(x; y ; z ) = ( x 0; y 0 ; z 0) + r ( a j ; a 2; a 3) + sC£>i.; b 2; b 3)
L u e go , p o r la igu ald ad de vectores resulta
x = x 0 + r a x + sb x
y = y 0 + ra 2 + sb 2 , r,s 6 R
Í
z = z0 + ra 3 +
E stas e cu a cion e s se llam an e c u a c io n e s p a r a m é t r ic a s del p lano Q que pasa p or el
punto
P0( x 0; y Q-,z0)
y es paralelo a los vectores
a y b, r y s se llam an
p a r á m e t r o s de la ecuación.
E je m p lo 3 0
H a lle las ecuacion e s vectorial y param étrica del p la n o que pasa por
los p untos P 0 ( 3 ; l ; 2 ) , P ^ l - , - 1 ; 2 ) y P 2 ( 2 ; 0 ; 3 )
S o lu c ió n
L o s vectores p aralelos al plano Q que pasa por
P0 ,P i
5
y
P2
so n
á = P ¿ P ¡ = ( - 2; — 2; 0 )
y
= P„P2 = ( - l ; - l ; l )
L u e go , la e cu a ción vectorial del p la n o Q es
Q: P = ( 3 ; l ; 2 ) + r ( - 2 ; - 2 ; 0 ) + s ( - l ; - l ; l ) ,
r,s 6 R
y su e cu a ción param étrica es:
íx = 3 — 2r —s
Q: \ y = \ - 2 r - s ,
Iz = 2 + s
r ,s 6 R
O b s e r v a c ió n 12
i)
D e la ecuación vectorial del plan o se obtiene que N = a X b es un vector
perpen dicu lar al plano. En general, todo vector no nulo perpen dicu lar al
plan o es llam ado n orm al del plano.
ii) Si N es una norm al d el plan o Q: P = P0 + r a + s b , r , s E 1 y Px y P2
son dos puntos d el plano, entonces N 1 P\P2.
iii) S i N es la norm al d el plan o Q: P — P0 + r á + s b , r , s 6 R y P0P1 1 N
entonces Px 6 Q
iv) Si
N
es la norm al d el plan o
Q = {P (x ;y ;z ) /
Q: P = P0 + r á + s b , r , s G R , entonces
Ñ .P^P = 0 } y es el único plan o que p a sa p o r
norm al N
307
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P0
con
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
6.3.1.3 ECU A CIO N G EN E R A L DE UN PLANO
Q un plano que pasa por el punto
Po(x o’>yo'' z o) Y cu yo vector norm al es
Ñ = ( A-.B-.C).
Se a
Se a
P (x ;y ;z )
un punto cualquiera del
plano Q , entonces
P ¡ P 1 Ñ «=* Ñ.P^P = 0
<=* ( A; B; C) . ( x - x Q; y - y 0; z - z Q) =
0
<?=> A (x - x 0) + B ( y - y 0) + C ( z - z 0) =
0
P o r lo tanto, la ecuación general del plano Q es de la form a
j
'
i
Q; A x + B y + Cz + D = 0
"
I
¡
Esta ecu ación tam bién es llam ada e cuación cartesian a del plano.
E n lo que sigue, p o r e cuación del plano se entenderá a la ecu a ción cartesiana.
Ejem plo 31
a)
H a lle la e cu a ción del plano que pasa por el punto P 0 ( 2 ; 3 ; - 5 ) y es ortogonal
al segm ento PQ t , donde P ( 3; - 2 ; 1 ) y ( ^ ( l ; 3; 0 )
b)
H a lle la eEttación del plano que contiene a los puntos P 0, P y Qt dados
S o lu c ió n
a) Se a
Ñ =
= (2 ; — 5; 1 ) y
P 0( 2 ; 3 ; - 5 ) .
entonces la ecu ación general del plano es
Q: 2 { x - 2 ) - 5 ( y - 3 ) + 1 ( z + 5 ) = 0
ó
Q: 2x - 5 y + x + 16 = 0
b) D e la Fig. 6 .2 6 se tiene
& = PaQi = ( - 1 ; 0; 5 ) y
b = P ¿P = (1; — 5; 6)
E n io n c e s
Ñ II á x b = (2 5 ; 11; 5 )
T o m a n d o Ñ - (2 5 ; 11; 5 ), la e cuación del p la n o es:
Q: 2 5 ( x - 2 ) + U ( y - 3 ) + 5 ( z + 5 ) - 0
ó
Q: 2 5 x + l l y + 5 z - 5 8 = 0
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308
en (a).
K tU IA S Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
O bservación 13 Sea Q un p la n o cuya norm al es N y L una recta cuyo vector
dirección es á , entonces se tiene
i)
L\\Q <=$N ±a<=*N'á = 0
(Fig. 6.27)
ii)
L ± Q «
(Fig. 6.28)
N II a
L
Ñi k
l
]
/
Fig. 6.27
Fig. 6.28
iii) S i L \\ Q => L n Q = <Ji ó
L c Q
iv)
L c Q =$ N 1 a y
P0 e L => P0 6 Q
v)
S i L # Q => L fl Q = / es un punto.
(Fig. 6.29)
(Fig. 6.30)
Ni k
/
h
J
Fig. 6 .2 9
E j e m p lo 3 2
Fig 6 .3 0
H a lle la e cu a ción del plano que contiene a la recta
L: P — (1; 2; 2 ) + t(0 ; 3; 1), t 6 M y el punto Q0( 2; - 3 ; 8 )
S o lu c ió n
Se a
N
el vector n orm a l del p la n o Q
que
contiene a la recta L y al punto Q0 , entonces
N 1 á = (0; 3; 1 ) A N I P0Q0 = (1 ; - 5 ; 6 ),
dondeP0(l;2 ;2 )
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,
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II 1
L ueg o. Ñ || & x P ¡ Í Q ¡ = (2 3 ; 1; 3 )
;
P o r lo tanto, al tom ar N = (2 3 ; 1; 3 )
p or el punto Q0, su e cuación es
co m o vector n orm al del p la n o Q que pasa
Q: 2 3 ( x - 2 ) + ( y + 3 ) + 3 ( z - 8 ) = 0
ó
Q\ 2 3 x + y + 3 z — 9 7 = 0
6.3.2
P O S IC IO N E S R E L A T IV A S D E D O S P L A N O S E N E L E S P A C IO
E n el e spa cio lo s p la n os
Q[: A 1x + B1y + Ct z + Dx = 0 y Q2\ A 2x + B2y + 2 z + D2 = 0
pueden tener las siguien te s p o sicio n e s relativas
6.3.2.1 P L A N O S P A R A L E L O S
L o s p la n os
y Qz son paralelos <=> ÑQl II ÑQi »
ÑQi = A - Ñ q
O bservación 14 S i Qy y Q2 son dos plan os paralelos, entonces
0
Q1 - Q 2 ( p la n o s c o in c id e n te s )
ii)
Qt fl Q2 = 0 (planos paralelos no coinCidenles)
6.3.2.2 P L A N O S S E C A N T E S
L o s p ia n o s Qr
y Q2 son secantes «=» ÑQl # ÑQi <=>
recta de intersección de los planos.
n Q 2 = L, don d e L es la
1
L a ecu a ción de la recta de intersección d^ los p la nos
y Q2 se e scribe co m o
(A-^x + Bxy + C jZ + D j = 0
\ a 2x + B2y + C2z + D2 = 0
ó L: A xx + Bt y + Cxz + Oj = 0
A A2x + B2y + C2z + D2 - 0
O bservación 15
i)
Los plan os secantes Qx y Q2 son perpendiculares si y solam ente s í sus
vectores norm ales son perpendiculares, esto es.
Plano Qx 1 p la n o Q2 <=> N qi 1
^
' Ñ qz
ii) Si
Qx: AjX +
Bry + C1z +
D j=
0 y Q2:A2x + B2y + C2z +
planos secantes, entonces Ia ecuación de la fa m ilia de plan os que pasan
intersección de estos planos es
QF\ A-^x + Bxy + C ,z + D j + k ( A 2x + B2y + C2z + D2) = 0
donde k es e l param étro de la fam ilia.
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310
D2—
0
p o r la
K t C l A Í > Y r L A N U S t N t L t S P A U Ü 1K l U l M b N S l O N A L
O bservación 16 Las ecuaciones de los plan os coordenados y d e los plan os
p a ra lelo s a estos son
i)
Ecuación d el plan o coordenado x y : z
ii)
Ecuación del plano coordenado
=
0
x z: y =
0
iii)
Ecuación d el plan o coordenado y z : x =
0
iv)
Ecuación d el plan o p a ra lelo al plan o x y
z = k
que p a sa p o r el punto (0 ; 0; k ) es
v)
Ecuación d el plan o p ara lelo a l plan o x z que p a sa p o r el punto (0 ; k; 0 ) es
y = k
vi)
Ecuación del plan o p ara lelo al plan o y z que p a sa p o r el pu nto ( k ; 0; 0 ) es
x = k
E j e m p lo 3 3
a) H a lle la ecu ación del p la n o que contiene al punto
al p la n o Q\ 4 x — 2 y + z - 1 = 0
P 0 (2; 6; - 1 )
y es paralelo
que pasa p or el punto
P 0 , entonces
b) H a lle la distancia del punto @0 ( 2 ; — 1 ; 3 ) a la recta
L: 2 x - y + z - 3 = 0
A
x + 2 y-z + l = 0
S o lu c ió n
a) Se a
el ve ctor no rm a l al plano
Ñx II ÑQ = (4; - 2 ; 1). A s í, al tom ar
Nt - (4 ; - 2 ; 1 ), la e cu a ción del p la no
Qi es
Qi.
4( x - 2) - 2 ( y - 6 ) + l ( z + 1) = 0
ó
4x - 2y + z + 5 = 0
b) P a ra hallar la d istan cia del punto Q0 a la recta L, es necesario tener la ecua ción
de la recta en su fo rm a vectorial. A s í, al re solve r sim ultáneam ente las
e cu a cione s de lo s d o s p la n o s que da orige n a la recta L , se tiene:
( 2 x —y + z — 3 = 0
\ x + 2 y —z + l = 0
(1 )
(2 )
S u m a n d o (1 ) y (2 ) resulta 3 x + y - 2 = 0 => y = 2 R e e m p la za n d o (3 ) en (1 ) se obtiene z = 5 - 5 x
3x
(3 )
(4 )
H a c ie n d o x = t, se tiene la ecu a ción param étrica de la recta L, esto es,
L:
x —t
y = 2 - 3 t , t e R
z = 5 - 5t
L u e g o , la e cu a ció n ve cto rial de la recta L es
L: P = (0 ; 2; 5 ) + t ( l ; - 3 ; - 5 ) , t € R
311
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TOPICOS DI- CALCULO - VOLUMEN II
v = P0Q0 = (2; — 3; — 2 ) y á = ( 1 ; — 3 ; — 5 ),
Sean
don d e
P0 (0 ;2 ;5 ).
M m onccs la d istancia del punto Q0 a la recta L es
||i; x ¿t|| _ V 8 1 + 6 4 + 9 _
d =
l|a||
E je m p lo 3 4
22
V H
H a lle la e cuación del plano que pasa por la
los p la n os x — y 4 - 2 z 4 - 4 = 0
,2x4-y4-3z — 9 = 0
recta de intersección de
y es paralelo ala recta
c u y o s n ú m e ros directores son [ 1; 3; — 1 ]
S o lu c ió n
L a e cuación de la fam ilia de p la n os que pasan por la intersección de los p ia n o s
d ad os es
x — y 4- 2 z 4- 4 + k ( 2 x + y + 3 z — 9 ) = 0
(1 + 2 k ) x + ( k - 1 ) y + (2 4- 3 k ) z + 4 - 9k
«
= 0
N = (1 4- 2 k; k — 1; 2 4- 3 k) es el vector norm al de la fam ilia. C o m o el
Luego
plano es paralelo al vector a = (1; 3; — 1), entonces IV l a «
Ñ ■d = Q <=> 1 4- 2/c 4- 3/c — 3 — 2 — 3/c = 0 => k = 2
P or tanto, la ecu a ción del plano descrito es
5 x + y 4- 8 z — 1 4 = 0
D a d a s las rectas Lr \ P — (1; 2; — 1) 4- t ( l ; 3; 1), t €
E je m p lo 3 5
1
y
L2: Q = (5; — 1; — 2 ) + s ( 2 ; — 1; 2 ) , 5 6 K
H alle
las
e cu a cion e s
de
dos
p lan os
paralelos
Q\ }' Qz de m o d o que
¿i c Q y
¿2 c Qz
S o lu c ió n
Sea N el vector n orm a l co m ú n de los planos
<2i Y
Qz => Ñ ± a = (1; 3; 1 ) y
J V 1 ¿ = (2 ;-1 ;2 )
Luego,
yv II
Fig. 6.31
a x b = (7; 0; — 7)
S i u tilizam os, el ve cto r n orm al N — (1; 0; — 1 )
y el punto
Px( 1; 2; — 1) E Lr
co m o punto de p aso del plano, entonces la ecu a ción del p la no que contiene a la
recta
L x es
Qt : 1 0 - 1) 4- 0(y - 2) - í ( z + 1) = 0 <=> Qr : x - z - 2 = 0
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312
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Aná lo ga m e n te ,
si
u sam os
el
vector
n orm a l
A? = (1 ; 0; — 1 )
y
el
punto
P2( 5 ; - l ; — 2 ) £ L2
c o m o punto de p aso del plano, entonces la e cu a ció n del
plano que contiene a la recta l 2 es
Q2: l ( x - 5 ) + 0 ( y + 1 ) - l ( z + 2 ) = 0 <f=> Q2: x - z - 7 = 0
E j e m p lo 3 6 E n cada u n o de lo s siguientes ejercicios, L es u n a recta y
plano. D e te rm in e si L es paralela o no al p la n o Q y halle L n Q
Q es un
a)
L:
P =
(1 ; - 1 ; 2 ) + t ( 2; - 1 ; 3),
t £ R y Q:
x + 5y + z + 1 = 0
b)
L:
P =
(2 ; 0; 1 ) + t ( 1; 2; - 1 ) , t
é R y Q: x
+ 2y + 5z - 7 = 0
c)
L:
P =
(3 ; - 1 ; 0 ) + t ( 2; 1; - 1 ) ,
t e 1 y Q:
4 x + 2 y - 2 z + 2= 0!
d)
L:
P =
( 1 ; - 1 ; 1 )+ t ( l ; 2 ; - 1 ) ,
t e R y Q :
3 x - y - z
+ 5 =
0
S o lu c ió n
Si
a es el ve ctor d ire c ció n de la recta L y Ñ es la n orm a l del
a)
a = (2 ; - 1 ; 3 ) y Ñ = (1; 5; 1 ) =* á ■Ñ = 0 =* L || Q
P a rá ve rifica r si
c o m p ro b a m o s si
p la n o Q , se tiene
L n Q = 0 ó L c ( J , co n sid e ra m o s un punto P0 £ L y
ó P0 £ Q . S i P0 £ Q =* L c Q ; si P 0 g (? =>
P0 £ Q
L n Q = 0 . P ara determ inar si un punto pertenece a un p la n o es suficiente
ve rifica r si su s co ord e n a d a s satisfacen o no la e cu a ción del plano.
Com o
P0(l-, — 1; 2 ) £ L , entonces reem p lazand o en la ecu a ción del p la n o
tiene 1 +
5 ( — 1 ) + 2 + 1 0 (P 0
n o satisface la
se
e cu a ció n del plano). L u e g o
Po $ Q •
P o r tanto L n Q = 0
b)
L c Q
ó
c)
LLQ
y
LC\ Q = L
Ln Q
d) a = (1; 2; — 1) y
= / ( l; — 2; 1 )
W = ( 3 ; - 1 ; - 1 ) => a • Ñ = 3 - 2 + 1 *
=> L n Q = / (un p unto) =* / £ L A l e Q
¡ E L => / ( I + t; — 1 + 2 1; 1 - t)
/ £ Q => 3 ( 1 + t ) - ( - 1 + 2 t ) - (1 - t) + 5 = 0 => t = - 4
P o r consiguiente, / ( - 3 ; — 9; 5 )
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313
0
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
E je m p lo
37
Por
el punto 4 ( 1 ; 0; 1 )
se traza una
p erpe n d icu la r
al
p la n o
Q: 2x 4- y - z - 7 = 0. S i 6 es el pie de d ich a p erpendicular, determ ine un
punto C en la recta L: P = ( — 1; 1; 0 ) + t(0 ; 1; 5), t e E
de m o d o que el
v o lu m e n del tetraedro de vértices 4 , 6 , C y D es igu a l a 4 u 3, don d e D es el
punto de intersección de la recta L co n el plano Q .
S o lu c ió n
E n p rim er lugar, determ inarem os el punto B.
Se a
LN: P = A + s N , s G R
la recta que
pasa p or el punto A y es perpendicular al
plano Q. A s i,
B e L NnQ<=>BeLN A B e Q
<=* 5 ( 1 + 2 s ; s ; l - a) 6 Q
«=> 2 ( 1 + 2 s ) + s — ( 1 - s ) — 7 = 0
<=>
s
=
1
F ig. 6 .3 2
D e don d e resulta B ( 3 ; 1; 0 )
C o m o D = L n Q s = $ D E L A D 6 ( ? < = > D ( — 1; 1 + t; 5 1) 6 Q
<*=> 2 ( — 1 ) + (1 + t ) - 5 t - 7 = 0 <=* t = - 2
A s í, £ )(— 1; — 1; — 1 0 )
P o r otro lado, d ad o que C 6 L = > C ( — 1; 1 + t; 5 t). A h o ra , sean
a = BC = ( - 4 ; t; 5 t), b = BD = ( - 4 ; - 2 ; - 1 0 ) y c = S 4 = ( - 2 ; - 1 ; 1)
E n to n ce s ¿ x c
= (-1 2 ;2 4 ;0 ) y
1
_
i
y T = - | a - ( b x c ) ! = 4 < = > 7 |48 + 24t| = 4 < = * |2 + t| = 1 <=» t = - 1
6
6
P o r lo tanto, el p unto es C ( — 1; 0; — 5 ) V
E je m p lo 3 8
í = -3
C (-l;-2 ;-1 5 )
S e a n 4 ( 3 ; 2; 1 ) y B ( - 5 ; 1; 2 )
punto C en el p la n o
V
d o s p u ntos del espacio. H a lle un
Q: x - y + 2 z - 4 = 0
de m o d o que
AC + CB
sea
m ínim o.
Solución
Para que AC + CB sea m ín im o, necesariam ente 4 , B y C deben estar en un plano
p erpend icular al p la no Q . E n la F ig. 6.33 se m uestra al p la n o Q de canto. S i B'
es el punto sim é trico de B respecto al p la n o
Q (*), entonces CB + CB' = d 2 .
L u e g o d t + d 2 es m ín im o si C es la intersección de 4 6 ' c o n el p la n o Q .
314
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K t c I AS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
(*)
D o s p u n to s
B y B ' __ so n sim étricos respecto al plano Q, si
(J es
p erpendicular al segm ento BB' en el punto m ed io M de ~BBi
E n p rim e r lu ga r d eterm inarem os M. Sea
Ln \ P = B + t ( l ; — 1; 2), t E IR
la recta que pasa p or B y es p erpendicular al
plano Q, entonces M £ LN y M 6 Q
= > M ( - 5 + t ; l - t ; 2 + 2 t) y
( - 5 + t) - (1 - t) 4- 2 ( 2 + 2 t) - 4 = 0
<=» t = 1 => M ( —4; 0; 4 )
C o m o M es el punto m ed io entre
B y B'.
p o r la fó rm u la de punto m ed io se obtiene
B ' ( — 3, — 1,6)
A s f, la e cu a ción vectorial de la recta que pasa por A y B' es
L: Q = (3; 2; 1 ) + r ( — 6; — 3; 5), r E R
D a d o que C = L n Q
»
=* C 6 L y C & Q
C ( 3 - 6 r , 2 - 3 r , 1 + 5 r > A (3 - 6 r ) - ( 2 - 3 r ) 4- 2 ( 1 + 5 r ) - 4
= 0
r = 1/7
P o r co nsiguiente, se tiene C ( 1 5 / 7 ; 1 1 / 7 ; 1 2 / 7 ).
6.3.4 D I S T A N C I A D E U N P U N T O A U N P L A N O
Sea
Q
un p la no c u y a e cu a ción general es
P iO iíy i^ i)
Q: A x + B y + C z + D = 0
(la longitud del se gm e n to p erpend icular trazado de Px a Q (F ig. 6.34)), entonces
^ = ll^ ^ U lc o s e l
D o n d e P0( x 0; y 0; z 0)
p lano
y
un punto del espacio. S i d es la d istancia del punto Pr al p la n o Q
.... ( a )
es un punto del
Q y 9 es el á n g u lo entre el vector
P0Pt y el vector n orm a l N.
Fig. 6.34
315
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TOPICOS DE CALCULO - VO LUM EN II
C o m o P0 e Q => A x 0 + B y 0 + C z0 + D = 0
D e don d e
D = - A x 0 - B y 0 - C zQ
(/?)
P o r otro lado,
( K pI ) - ñ
eos 9 -
ItolllM I
(y)
------ ,
R e e m p la za n d o ( y) en ( a) se obtiene
\A (x x - X0 ) + B ( y t - y 0) + C (zt - z 0)|
d = -------------------- ----- ---------------- _
(X)
V ¿ 2 + B 2 + C2
R e e m p la za n d o (/?) en ( A ) , la fó rm u la para la d istancia del p u nto
escribe co m o
a =
al p la n o Q se
\Axj_ + B y 1 + Cz x + D\
tJA2 + B 2 + C 2
O bservación 1 7 La distancia d entre los plan os p ara lelo s
Qt : A x + B y + Cz + D-l = 0 y
Qz : A x + B y + C z + D2 = 0
está dada p o r la fórm u la
d=
'¡A r + W T c 2
E je m p lo 3 9 C a lc u le la distancia del punto P1( 1 ; 2 ; 3 ) a l v i n o
Q :P = (2 ; 1; — 1 ) + r ( l ; 1; 1 ) + s ( — 1; 1; 0 ), , r , s 6 E
S o lu c ió n
E l vector n orm a l del p la no Q es Ñ = á x b = ( - 1 ; 1; 0 ) X (1 ; 1; 1 ) = (1 ; 1; - 2 )
A s í, la e cu a ción del plano Q es l ( x — 2 ) + l ( y - 1 ) — 2 ( z + 1 ) = 0 ó
(?: x + y - 2 z - 5
= 0
P o r tanto, la d istan c ia entre / ^ ( l ; 2; 3 ) y el p lan o Q es
|1 + 2 — 2 ( 3 ) — 5|
4V6
Vi + 1 + 4
3
d =
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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIM ENSIO NAL
Ejem p lo 4 0
Encuentre la distancia entre los planos paralelos
Qi". x — 2 y + 2 z — 5 = 0 y Q2: 3 x — 6 y + 6 z — 7 = 0
Solución
Para aplicar la fórmula de distancia entre planos paralelos, es necesario que los
dos planos tengan el mismo vector normal; con este propósito dividimos la
ecuación del plano Q2 entre 3 y obtenemos las ecuaciones
Qt : x — 2 y + 2 z — 5 = 0 y Q2: x - 2 y + 2 z - 7 / 3 = 0
En consecuencia, la distancia entre los planos Q^ y Q2 es
L a distan cia del punto P ( l ; 0; 2 ) al p la n o Q es 1. S i el p lan o Q pasa
E j e m p lo 41
p or la intersección de lo s p la n o s
halle la e cu a ció n del plano.
4 x - 2 y - z + 3 = 0
A 2 x - y + z — 2 = 0,
S o lu c ió n
L a e cu a ción de la fa m ilia de p la n o s que pasan p o r la intersección de los p la n os
d a d o s es
.
Q f :
4 x
- 2 y - z + 3 + k(2x - y + z - 2) = 0
ó
Qf : ( 4 + 2 k ) x - (2 + k ) y + ( k - 1 ) z + 3 - 2 k = 0
P e r ia co n d ic ió n descrita, la d istancia del punto P al p la n o QF resulta
|(4 + 2 k ) — 2 { k — 1 ) + 3 — 2k\
1
_
\ 2k + 5|
” V ( 4 + 2 k Y + ( 2 + k Y + (fe - l ) 2 ~ V6/c2 + 18A: + 2 1
«
6 k 2 + 1 8 k + 21 = 4 k 2 + 2 0 k + 2 5
<=> 2fcz - 2 k - 4
= 0 =>k = - l
V
k = 2
Lu e go , las ecuacion e s del p la n o Q (h a y d o s so lu c io n e s) son
(?!: 2 x - y - 2 z + 5
-
= 0
Q2: 8 x - 4 y + z — 1 = 0
E j e m p lo 4 2
Se tiene el p u nto
las ecuacion e s de d o s p la n o s
/ \ ( - 3; 2; — 1)
y la recta
L: x = 2 y = z. H a lle
parale los si se sabe que u n o de e llo s contiene a Pt y
el otro contiene a L, adem ás, la distan cia entre d ic h o s p la n o s
es
V2.
S o lu c ió n
L a ecu a ción vectorial de la recta L es L\ P = (0; 0; 0 ) + t ( 2; 1; 2 ),
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317
t £ IR
TOPICOS DE CALCU LO - VOLUM EN II
Sea Ñ — (A-, B; C ) el vector n orm al co m ú n de lo s p la n o s paralelos. En ton ce s, la
e cuación general del plano que contiene al punto P 1 ( - 3 ; 2 ; - l )
y
la del p lano
que contiene a la recta L son respectivam ente
Qx: A ( x + 3 ) + B ( y - 2 ) + C ( z +
1) = 0 y
Qz : A x + B y + Cz - 0
C o m o el p la n o Q2 contiene a la recta L, entonces N = 04; B-, C) 1 a = (2; 1; 2 )
* =>Ñ. a = 2A + B + 2C = 0*=> B = - 2 A - 2 C
(a )
A h o ra , u tiliza n d o la fó rm u la de la d istancia entre d o s p la n o s resulta
\ 3 A - 2 B + C\
V2 =
___
.
:
y¡Az + B 2 + C2
<=> 2 ( A2 + B 2 + C2) = (3A - 2 B + C )2
(/?)
R e e m p la za n d o ( a ) en (/?) se obtiene
1 0 A 2 + 1 0 C 2 + 16AC = 4 9 A2 + 2 5 C2 + 70AC
<=> 1 3A 2 + 18AC + SC2 = 0
<=> (1 3 i4 + 5 C) ( A + C) = 0 <=> A = - C
Si A = - C
=> B = 0 =>
ó
A = -5 C / 1 3
= ( — C; 0; C ) = - C ( 1; 0; - 1 )
C o n sid e ra n d o Ñx = (1; 0; - 1 )
se obtiene las so lu c io n e s
x - z + 2 = 0
Q2: x Si
Para
z =
0
A = - 5 C / 1 3 => B = - 1 6 C / 1 3
C = -1 3
se obtiene Ñ2 = (5 ;
Qx: Sx +
1 6 y - 13z - 30 = 0
=> Ñ¡ = ( - 5 C / 1 3 ;- 1 6 / 1 3 ; C )
16; - 1 3 ) . E n este ca so las s o lu c io n e s son
Q2\ Sx + 1 6 y - 1 3 z = 0
E je m p lo 4 3
U n p la n o se encuentra a un a d istan cia de 2 / 7
de coordenadas. H a lle la e cu a ción del p la n o
u n id a d e s del orige n
si se sabe que contiene
a la
recta
L: x = 2 y = 3 z - 1.
S o lu c ió n
L a recta
L puede ser co n sid e ra d a c o m o la intersección de lo s p la n o s x — 2y
A x = 3 z - 1.
L a fa m ilia de lo s p la n o s que pasan p o r la intersección de estos
p la n os es
Qf : x - 2 y + k ( x - 3z + 1) = 0 <=* (1 + k ) x - 2 y - 3 k z + k = 0
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R E C T A S Y PLAN OS EN E L ESPA C IO T R ID IM E N SIO N A L
A s í, de la d istan cia del o rige n de coordenadas al p lan o QF resulta
2
\k\
7
<=> 4 0 k 2 + 8 k + 2 0 = 4 9 k 2
y/(l + k)2 + 4 + 9 k 2
«=> k = 2
ó
k = -1 0 / 9
P o r tanto, existen d o s so lu c io n e s al problem a y estas son
Q^. 3 x — 2 y — 6 z + 2 = 0
(para k — 2 )
Qz ’ x + l Q y - 3 0 z + 1 0 = 0 (para k = - 1 0 / 9 )
6.3.5 Á N G U L O E N T R E D O S P L A N O S
D o s p la n o s n o parale los
y Q2 form an d o s á n g u lo s (d ie d ro s)
9 y 180° - 9
(F ig. 6.35), luego es suficiente co n oce r u no de los á n gu lo s. U n o de estos á n g u lo s
es igua l al á n g u lo que fo rm a n su s norm ales. S i 9 es este ángulo, entonces
eos 9 =
Wi-iV2
w m m .
y N2
donde
so n respectivam ente, los vectores n orm a le s de los p la n os
<?i Y <?2-
Fig. 6.3 5
E je m p lo 4 4
H a lle el á n g u lo ob tuso que form an los p la n o s
Q t : 2 x —y + z — 4 = 0
y
Q2: x + y + 2 z - 5 = 0
S o lu c ió n
L o s vectores norm a le s de lo s p la n o s Qa y Q2 son respectivam ente
Ñ, = (2; — 1; 1 ) y
Ñ2 = (1; 1; 2 )
En ton ce s
jV iv 2
eos 9 =
\N,
3
1
— — - = - <=> 9 = 60°
VóVó
2
L u e go , el á n g u lo ob tuso entre lo s p la n os es a = 1 8 0 ° — 6 0° = 1 2 0 °
319
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II
E je m p lo 4 5
H a lle la e cuación del plano perpendicular al p la n o y z , que fo rm a un
á n gu lo 6 = a r c c o s ( 2 / 3 ) radianes co n el p la no Q2 : 2 x — y + 2 z - 3 = 0 y pasa
p or el punto
S o lu c ió n
Se a n Ñ = (¿4; B ; C ) el vector n orm a l del plano buscado,
= (1 ; 0; 0 ) el ve ctor
ftormal del p la n o y z ( x = 0 ) y Ñ2 — (2; — 1; 2 ) el ve ctor n o rm a l del p lan o Qz
C o m o el p la n o b u sc a d o es p erpend icular al p la n o y z (N 1 Nt ) y fo rm a un á n g u lo
9 co n el p la n o Q2 , entonces se tiene
N . Ñt = 0 =*> A = 0
(1 )
Ñ ■Ñ2
eos 0 =
2 A - B + 2C
„ =
\\N\\\\N2\\
.......... —
V í4 2 + B 2 + C 2. V 9
(2 )
R e e m p la za n d o (1 ) en (2 ) se obtiene
2 _
2C - B
3 _ 3 V S 2 + C2
D e d on d e
4 ( B 2 + C 2) = 4 C2 - A B C + B 2 «=> 3 B 2 + ABC = B ( 3 B + 4 C ) = 0
<=> B = 0
Si B = 0
ó
entonces
B = -4 C / 3
Ñ - (0 ; 0; C ) = C (0 ; 0; 1). L u e g o , la e cu a ción b u sc a d a del
plano que p asa p o r el punto P 1( 0 ; 1 ; 1 ) es
Qi. 0 ( x - 0 ) + 0 ( y - 1 ) + l ( z - 1 ) = 0
Si B —
4C/3,
entonces
ó
Qi- z =
Ñ = (0; — 4 C / 3 ; C ) = — (C / 3 ) ( 0 ; 4;
1
— 3). Luego,
la
ecuación b u sc a d a del p la n o q,ue p asa p o r le punto ?*((); 1 ; 1 ) es
Q3: 0 ( x - 0 ) + 4 ( y - 1 ) - 3 ( z - 1 ) = 0
ó
Qz : 4 y - 3 z - 1 = 0
6.3.6 P R O Y E C C I Ó N O R T O G O N A L D E U N A R E C T A S O B R E U N P L A N O
Sea P un punto del e spa cio y
Q un plano. S e l i c e que el punto P' e Q es la
p ro ye cc ió n (o rto g o n a l) del p unto P so b re el p la n o Q si PP' 1 Q (F ig. 6.36).
Sea L una recta y
Q
un plano. A la recta contenida en
Q , que se obtiene
proye ctan do lo s puntos de la recta L se d e n o m in a re cta d e p r o y e c c ió n de L s o b re
el p la n o
Q . A esta recta se denota co n LQ (F ig. 6.37). S i L es p erp e n d icu la r al
plano Q , la p ro y e cc ió n de L sobre Q se reduce a un punto.
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320
RECTAS Y PLANOS ÉN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
E j e m p lo 4 6
E n lo s sigu ien te s ejercicios, L es una recta y
D eterm ine la p ro y e c c ió n de L sob re Q .
Q
es un p la n o
a)
L:P = (2 ; - 1 ; 4 ) + t { 2; 1; 1), t 6 R , Q: 2 x + y + z - 2 5 = 0
b)
L:P =
c)
L: P = (2 ; 1; - 1 ) + t ( 2 ; - 1 ; 1), t 6 R ,
(1 ; 2; 1 ) + t ( l ; - l ¡ 2 ) , t 6 R ,
Q: x - y - z - 4 = 0
Q: x + 3 y - z + 1 6 = 0
S o lu c ió n
a)
L o s vectores d ire c ció n de la recta L y el p lan o Q so n respectivam ente
a = ( 2 ; l ; l ) y Ñ = (2 ; 1; 1 ) entonces L 1 Q. L u e g o , ia p ro y e c c ió n de L
s c j r e Q se reduce al punto / = L n Q (F ig. 6.38a). A l h allar la intersección de
la recta L co n el p la n o Q, obtenem os /(8; 2; 7 )
b) A n á lo g a m e n te tenem os
^ = (1* — 1; 2 ) y W — (1 ; — 1; — 1) => a ■Ñ — 0
L \\ Q. P o r ser L || Q
será suficiente proyectar un punto de L y co n sid e ra r al ve ctor á c o m o el
vector d ire c ció n de l Q (F ig. 6.38 b).
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321
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
Sean
P0 ( l ; 2 ; 1 ) E L
y
LN
la r e c t a q u e p a s a p o r
P0
e n la d i r e c c i ó n d e
Ñ.
A s í, la e cu a ción vectorial de la recta l N es
Ln : P = (1; 2; 1 ) + s ( l ; - 1 ; - 1 ) , s 6 R
A h o ra , si P ¿ es la p roye cció n de P0 sobre el plano Q, entonces Pg = LN n Q.
A l re so lve r la intersección de LN con Q se obtiene P q (3 ; 0; — 1 )
P o r lo tanto, L q \ R = (3; 0; — 1 ) + A ( l ; — 1; 2), X 6 E
c)
E n este caso, tenem os
d = (2 ; - 1 ; 1 ) y Ñ = (1; 3; - 1 ) , entonces L no es paralela ni perpe nd icu lar
al p la n o
Q (F ig. 6.38 c). Para hallar la recta l Q será suficiente h allar
I — L n Q y proyectar el punto Po(2; 1 ; — 1 ) sobre el p la n o
Q. A l hallar
/ = L n Q, se obtiene / (2 4 ; - 1 0 ; 1 0 ). A l proyectar el punto
P 0 (2 ; 1; - 1 )
sobre el p la n o Q se obtiene P ¿ ( 0 ; — 5; 1).
L u e g o L q es la recta que pasa p or lo s puntos / y Pq. P o r tanto,
Lq \ R = (2 4 ; - 1 0 ; 1 0 ) + A ( 2 4 ; - 5 ; 9 )
6.3.8 Á N G U L O E N T R E R E C T A Y P L A N O
Se a L u n a recta c o n vector dirección
a y Q un p la n o c u y o vector n o rm a l es
Ñ .
E l á n gu lo entre la recta L y el p la n o
Q
se define c o m o el á n g u lo que fo rm a L
con Lq , d on d e LQ es la p ro y e c c ió n de
L sobre Q (F ig . 6.39).
S i a es u n o de lo s á n g u lo s que fo rm a L
co n
Q ( E l otro á n gu lo es 1 8 0 ° — a ),
6 + a = 90°, don d e 6 es el
entonces
án gu lo que fo rm a n el vector
TV
y el
Fig. 6.39
vector á. L u e g o ,
Ñ ■â
se n a = eos Q =
P or lo tanto, la fó rm u la para h allar el á n g u lo entre las rectas L y el p la n o Q es
Ñ •a
se n a =
Ñ IIa||
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322
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
E je m p lo 4 7 H a lle el á n g u lo a gu d o que fo rm an el p la n o Q: 2 x + y + z — 5 = 0
con la recta L: P - (2 ; 3; 5 ) + t ( 1; - 1 ; 2), t 6 R
S o lu c ió n
En
este
ca so
lo s
vectores
dirección
de
la
recta
L y
respectivam ente d = (1; - 1 ; 2 ) y Ñ = (2; 1; 1). L u e g o ,
form a la recta L co n el p la no Q, tenem os
sen a —
\á.Ñ\
1
= - =» a - aresen
P o r tanto, el á n g u lo a g u d o que fo rm an L y
del
si a
Q: x - z = 0
Q son
n
G
K
Q es de 30°
S e a n L \ P — (1; 0; 0 ) + t ( 0; 1; 1), í 6 IR una
E je m p lo 4 8
p la n o
es el á n g u lo que
recta y
L'Q es la p ro ye cc ió n de V
sob re Q,halle
la
e cuación de la recta que pasa p o r L' n Q, fo rm a un á n g u lo de 45° co n UQ y está
contenida en el p la n o Q .
un plano. S i
S o lu c ió n
Sea L la recta b u sc ad a (F ig. 6.40). C o m o
I —L n Q —L'ñQ,
entonces
se
obtiene
/ (1 ;1 ;1 ).
Al
hacer
las
op eraciones
co rrespondientes para p royectar V
plano Q, obtenem os
L'q : P = (1; 1; 1 )
Sea
a — ( a i ; a 2 ; a 3)
sobre el
s ( l ; 2; 1), s 6 R
el vector d ire cción de L.
C o m o la recta L está con te nida en el p la no Q y
form a un á n g u lo de 45° c o n la recta L'q , tenem os
(1)
a - Ñ q - 0 => a t ~ a 3
e o s 45°
Fig. 6.40
a • (1 ; 2; 1 )
ax + 2a2 + a3
V e llall
V 6 ||a||
(2 )
R e e m p la za n d o (1 ) en (2 ) s ; obtiene
1
2 ( ü i + a 2)
+8a^
- 2a‘ = » = *
=
A sí, el vector d ire c ció n de la recta L es
a = ( a j ; ( - 4 ± 3 ^ / 2 ) % ; a j = a ^ l ; - 4 ± 3 V 2 ; 1)
Por tanto, la ecu a ción b u sc a d a de la recta es
L: R = (1; 1; 1) + A (l; —4 ± 3V2; l),A 6 E (Dos soluciones)
323
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T O P IC O S D E C A L C U L O - V O L U M E N II
Ejem plo 4 9 Sea Q: x - y — 1 = 0 un plano. Halle la ecuación de la recta L que
pasa por i4(0; —1; 0) de modo que LQ\ P = (0 ; - 1 ; 0) + t ( 0 ; 0; 1), t e IR
sea la proyección de L sobre Q. Se sabe que
el ángulo entre L y Q es de 45°.
Solución
Se observa que el punto A pertenece a la recta
L(¡ (Fig. 6 .4 1 ).
Sea a = ( a ; b; c ) el vector dirección de L.
Como la recta L forma un ángulo de 4 5 ° tanto
con la recta LQ com o con el plano Q,
entonces tenemos
eos 4 5 ° =
óí *(0; 0; 1) _
Hall
sen 4 5 ° =
c
»
a 2 + b 2 = c2
(1 )
~ V a 2 + 62 + c2
a . ( 1 ; —1 ; 0 ) )
a -b
V2||a||
V 2V a2 + b 2 + c 2
a 2 + b2 + c 2 = a 2 -
o
lab + b2 (2 )
De (1 ) y (2 ) obtenemos
a2 + b2 = —2ab «=> a + ¿ = 0 «=> a - -b
Reemplazando
b = -a
en (1 ) obtenemos c 2 = 2 a 2 =* c = ± V 2 a
Así, el vector dirección de la recta L es a
= ( a ; -a; ±V2a) = a ( l ; - 1 ; ±V2)
Por consiguiente, las ecuaciones buscadas de ia recta L son
L: R = ( 0 ; - 1 ; 0 ) ) + A ( l; - 1 ; ± V 2 ) , A € E
6 .3 .9 D IS T A N C IA M IN IM A E N T R E R E C T A S
Sean ¿ 1: P = P0 + í a , t e l
espacio.
y
Lz: Q = Q0 + s b , s e
Las dos posiciones relativas de estas rectas son
i)
II L2 «
a II b
ii) ln tt /,2 <=> a Jt b
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324
dos rectas en ei
RECTAS Y
P L A N O S E N E L E S P A C IO T R ID IM E N S IO N A L
Si L1 || L2, la distancia entre estas rectas está dada por d = d ((?0; ¿ i ) . distancia
de Q0 a la recta Lí ó d = d ( P 0; L2), distancia de P0 a la recta Lz (Fig. 6 .4 2 ).
Si las rectas se cruzan
(Z^
L2) , la distancia mínima d es la longitud del
segmento perpendicular común comprendida entre ambas rectas (Fig. 6 .4 3 ).
Si las rectas L1 y L2 se cruzan existen dos planos paralelos Qx y Q2 , tales que
¿■i c Q\ Y ^2 c Qi ■Luego d es la distancia entre los planos Qx y Q2.
Sea N = a x b
y 0 el ángulo entre N y C = P0Q0 , entonces
d = ¡C|||cos0|
Dado que eos 0 =
C -Ñ
, la fórmula de distancia entre rectas que se cruzan
se escribe como
donde Uf¡ es el vector unitario en la dirección del vector Ñ
Observación 18 Si Lx y
ellas, entonces
L2 son dos rectas y d es la distancia mínima entre
i)
Si ¿ i II L2 , d ( ¿ 1; ¿ 2) = 0 <=> Lx = L2
ii)Si
Lj
¿ 2 , d^Li,
L2) = 0 <=> Lj fl ¿2 ^ 0 (la intersección es un punto)
325
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
E je m p lo 5 0
Halle la distancia mínima entre las rectas
L1: P = (1; 1 ; 4 ) 4- £(0; 1; -3), t £ R
L2: x = 4 + t l
y — 5,
y
-3 + 2 t
z =
S o lu c ió n
P0(l;l;4)
y a =
El punto de paso y el vector dirección de L2 son <?0 (4; 5; —3)
y b =
El punto de paso y el vector dirección de Lx son
(0; 1; —3).
(0; 1; —3)
Así, tenemos a x b — (2 ; —3; — 1 ) y C = PqQq — (3; 4; — 7 )
Por lo tanto, la distancia mínima entre las rectas Lt y L2 es
|c • ( a x g)|
||a X b||
| 6 - 1 2 + 7|
_
1
V 4 + 9 + 1 ~ V Í4
E j e m p lo 51 Una esfera metálica
es soltada en elpunto A(l-, 2;
1 0 ) y cae
■(verticalmente) hasta el plano Q: 2 x + y + z — 12 = 0; luego resbala
por él
hasta chocar con el plano x y . Halle la distancia total recorrida por la esfera.
S o lu c ió n
La distancia total recorrida por la esfera
es
d = \AB\ + d(B-,Li)
donde B es la intersección de la recta
L: P = (1; 2; 1 0 ) + í( 0 ; 0; 1), t G R
con el plano Q y
es la recta de
intersección de los planos Q y x y (Fig.
6.44).
Como B = L n Q, entonces B ( 1 ; 2 ; 8 )
y \Jb\ = V 0 + 0 + 4 = 2
Por otro lado, la ecuación de la recta L¿ es
(2 x + y + z —12 = 0 ^
(z - 0
||axPñfi||
p
=
(0;i2;0) + A(1;-2;0),A £ E
||(1; — 2; 0 ) x (1; — 10; 8)||
n ^
Lu CRo. rf(B; ¿,) = — ¡¡Jj— = --------------- ------------------- = 8^675
Por tanto, la distancia total recorrida por la esfera es
d = \AB\ + d ( B ; L¡) = 2 + 8 ^ 6 / 5
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R E C T A S Y P L A N O S E N E L E S P A C IO T R ID IM E N S IO N A L
E je m p lo 5 2
P o r la recta
L: P = (4; 2; — 3 ) + t ( l ; 0; 1 )
p asa un p la n o cu ya s
intersecciones co n lo s p la n o s co orde n ado s x y e y z fo rm a n un á n g u lo de 60°.
H a lle la e cu a ción del plano.
S o lu c ió n
Se a N = ( A ; B ; C ) el vector n orm al del plano b u sc a d o
contiene a la recta L, entonces
Q. C o m o el p lan o Q
P 0(4 ; 2; - 3 ) £ Q y Ñ. d = (A ; B; C ). (1; 0; 1 ) = A + C = 0 <=> C = - A
(a )
Q: A x + B y + Cz + D = 0 con
P o r otro lado, las rectas intersección del p la n o
los p la n o s x y e y z so n respectivam ente
L
B y + Cz + D = 0
A h o ra , si á y b so n lo s
respectivam ente, entonces
B y + Cz + D — Q
vectores
dirección
de
las
rectas
y
L2
d = Ñ x k = ( A ; B ; C ) x (0; 0; 1) = (B; - A ; 0 ) y
b = Ñ x T = ( A ; B ; C ) x (1; 0; 0 ) = (0; C; - B )
D a d o que las rectas Lx y l 2 fo rm a n un á n gu lo de 60°, entonces tenem os
á ■b
1
-A C
e o s 60° =
llá llllS H ^ Z
V B 2 + A 2J C 2 + B2
R e e m p la za n d o ( a ) en (/?) se obtiene
A s í, el p rob le m a tiene d o s so lu c io n e s
S\ B = A => Ñx = (A; A ; - A ) = i 4 ( l ; l ; - l
S i B .= - A
=» Ñ2 = 04; —A ; - A ) = A ( l ; - 1 ; - 1 )
L u e g o , las e cu a cione s de lo s p la n o s que satisfacen las c o n d ic io n e s del p rob le m a
son
l ( x - 4) + l ( y - 2) - l(z + 3) = 0 ó x + y - z - 9 = 0
Q2: 1 ( x - 4 ) - l ( y - 2 ) - l ( z + 3 ) = 0
ó
x - y - z - 5 = 0
E j e m p lo 5 3
Se a n P, Q, R y S
los vértices co n se c u tivo s de un cu ad rado
co ntenido en el p la n o Qx\ 2 x + 2 y - z - 1 0 = 0. S i P ( 2; 9; 1 2 ) y R ( - 2; 1 1; 8 )
son lo s e xtrem os de u na de las d ia go n a le s del cuadrado, halle las co o rd e n a d a s de
los vértices Q y S.
S o lu c ió n
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327
T O P IC O S D E C A L C U L O - V O L U M E N II
En la figura 6.45, el punto m edio del cuadrado es M (0; 10; 1 0 ),
PR = ( - 4 ; 2; - 4 ) y \\PR\\ = 6
A h o ra , si
entonces
a
es el vector dirección de la recta L que contiene a la d ia g o n a l
a lP R
Q 5,
A a 1 ÑQl = > a || PR X ÑQl = 6 (1 ; - 2 ; - 2 )
A s í, la ecua ción vectorial de la recta L es
L: (x ; y ; z ) = (0; 10; 1 0 ) + t ( l ; - 2 ; - 2 ) , t £ R
C o m o Q € L, entonces Q (t ; 1 0 — 2t; 1 0 - 2 t). D a d o que,
¡|QM¡¡ = ^|jPR|| = 3 <=» V t 2 + 4 t 2 + 4 t 2 = 3 «=* t = ± 1
P o r tanto, las co ord e n a d a s bu scad as de lo s puntos son Q ( l ; 8; 8 ) y 5 ( - l ; 12; 1 2 )
E je m p lo 5 4
U n a recta L , interseca a los p la n os co o rd e n a d o s x y e y z , de tal
m anera que el se gm e n to co m p re n d id o entre los p untos de intersección está en el
prim er octante. S i desde d ic h a s intersecciones se trazan perpe n d icu lare s a lo s ejes
coordenados, q ued an d eterm inados lo s cu ad rados
Cx y C2 respectivam ente. E l
área de Cx es el cuád ruple del área de Cz . H a lle la e cu a ció n ve cto rial de la recta
L si su d istan cia al o rig e n es 18.
Solución
Sean <4(0; b; b)
el punto de intersección de L co n el p la n o y z y
B ( a ; a; 0 )
el
punto de intersección de L co n el p la n o x y ( a > 0 , b > 0 ). C o m o el área de Cx
es cuatro veces el área de C2 (F ig. 6.46), entonces tenem os
A(Cr) = a 2 = 4/1 (C2) = 4 b 2 =¡> a = 2b
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328
R E C T A S Y P L A N O S E N E L E S P A C IO T R ID IM E N S IO N A L
A s í, el ve cto r d ire c ció n de L es
vectorial de esta recta es L: P
AB = ( 2 b; b ; —tí) = b (2 ; 1; - 1 ) y la e cu a ción
= (0; b; b) + A(2; l ; - l ) , Í e l
U tiliza n d o la fó rm u la de d istan cia del punto
I N
18 = d ( 0 ; ¿ ) =
x (2; l ; - l) | |
(0(0; 0; 0)) a la recta L, te ne m os
<=> b = 9 V 2
V6
P o r lo tanto, la ecu a ción vectorial buscad a de la recta es
L: P = ( 0 ; 9 V 2 ; 9 V 2 ) + A (2 ; 1 ; - 1 ) ,
E je m p lo 5 5
A eR
U n a recta L que pasa p or el punto A (2; 2; 2 ), es paralela al plano
c u ya e cu a ción es
Q: x + 2 y + 4 z — 4 = 0.
H a lle la ecu a ción ve cto rial de la
recta L si el área del trián g u lo AOB es igual a V l 4 u 2, don d e O es el o rig e n de
co ord e n a d a s y B es la intersección de L co n el plano co ord e n a d o y z .
S o lu c ió n
Se a n 6 ( 0 ; a; b ) el punto de intersección de
L
co n
el
p la n o
yz
(F ig.
a = BA = (2 ; 2 - a; 2 — b)
6 .47 )
el
y
vector
d ire c ción de L.
Com o
L II Q, entonces a 1 NQ. D e donde
tenem os
a - ÑQ = a - ( 1 ; 2 ; 4 )
= 2 + 2 (2 - a) + 4 (2 - b) = 0
= > a = 7 — 2b
(a )
P o r otro lado, u tiliza n d o la fó rm u la del área de un trián g u lo tenem os
i||ó lx ó s ||= i|
A& = \ \ \ O A * O B \ \ = i | | ( 2 ; 2 ; 2 ) x ( 0 ; a ; 6 ) | |
= - > / 8 a 2 + 8 b 2 — 8 a b = V l 4 <=* a 2 + b 2 - a b = 7
(0)
R e e m p la za n d o ( a ) en (/?) se obtiene
¿)2 - 5 b + 6 = 0 <=> (b - 2 ) ( b - 3 ) = 0 < = > b - = 2
V
b = 3
P o r co nsiguiente, tenem os
S i b = 2 => 5 ( 0 ; 3; 2 ) y
S i b = 3 =* B '( 0 ; 1; 3 )
P = (2 ; 2; 2 ) + t(2 ; - 1 ; 0), t £ R
y L 2: P = (2; 2; 2 ) + s ( 2 ; 1; - 1 ) , s e l
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p»!
TOPICOS DE CALCULO - VOLUM EN II
K jc m p lo 56
U n p la n o pasa p or el punto E ( 2; 0; 0 ) y es parale lo a la recta
L: P = (5; 6; 1 ) + t(0; 1; —1 ), t £ l
S i el plano interseca a los ejes z e y en los puntos F y G respectivam ente, halle la
ecuación del p la n o si se sabe que el área del trián gu lo EFG es igu a l a ( 3 / 2 ) u 2
(d o s soluciones).
S o lu c ió n
Sea Q el p la n o que interseca al eje z en G ( 0 ; 0 ; c ) y al eje y en
(Fig. 6.48). Entonces, tenem os
a = EF = ( - 2 ; b; 0 ),
b = E G = ( - 2 ; 0; c ) y
F ( 0 ; b ;Q )
ÑQ = a x b = (be; 2c; 2 b )
D a d o qué
Q II L = > ÑQ 1 d = > ÑQ ■d = (be; 2c; 2b ) ■(0; 1; - 1 ) = 2c - 2b = 0
=> b = c
(a)
P o r otro lado, utilizan d o la fó rm u la del área de un trián g u lo obtenem os
A a = i | | E F x E G || = ^ b 2c 2 + 4 c 2 + 4 b 2 = \
¿é
¿
= > b 2c 2 + 4 c 2 + 4 b 2 ~ 9
(/?)
R e e m p la za n d o (a ) en (ft) resulta
c 4 + 8 c 2 - 9 = 0 <=> ( c 2 - l ) ( c 2 + 9 ) = 0 <=> c = ± 1
P o r lo tanto, las e cuaciones de los p la n os que satisfacen las co n d ic io n e s del
problem a son
Si c = 1 = >
b = 1
=>
Si c = - 1 = > b = - 1
ÑQ = (1; 2; 2 )
y
= > Nq = (1; - 2 ; - 2 )
Qt : x + 2 y + 2 z - 2 = 0
y (?2 : at - 2 y - 2 z - 2 = 0
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330
R E C T A S Y P L A N O S E N E L E S P A C IO T R ID IM E N S IO N A L
K je m p lo 5 7
Se a n las rectas
Lt : Eje z , L2: x = 3 ; z = 4 . H a lle la longitud
del m en o r segm ento que es paralelo al plano Q: x - 2 y + z — 2 = 0 y une a las
y L2
rectas
S o lu c ió n
U n b osque jo del p rob le m a se m uestra en la F ig. 6.49. L a s e cu a cione s vectoriales
de las rectas Lx y Lz son
L j: P = ( 0 ; 0 ; t ) , t E K
Sean
A E Lx
L2. Q = (3; 0; 4 ) + s ( 0 ; 1; 0 ) , s 6 E
y
B E L2, entonces i 4 ( 0 ; 0 ; t ) para algú n v a lo r de t E l y
y
B ( 3; s; 4 ) para algú n v a lo r de s E M.
C o m o AB = (3; s; 4 — t ) es paralelo al plano Q, entonces tenem os
AB 1 Nn
(1; - 2 ; 1) = > AB ■N0 = 3 - 2 s + 4 - t = 0 = » t = 7 - 2 s
A s í, la lo n gitu d del m e n o r segm ento es
p B | | = V 9 + s 2 + ( 2 s - 3 ) 2 = V l 8 - 2 sv + 5 s 2 = f ( s )
Para encontrar el v a lo r de s que hace m ín im o a f(s), d e riv a m o s con respecto a s
y tenem os
5s - 6
f ’í s ) =
...
:------
V18 -
6
= 0
- .....
=» S = -
125 + 5 s 2
5
E l criterio de la p rim era d erivada co n firm a que / ( s ) es m ín im o cua n d o s = 6 / 5 y
los puntos son i4 (0 ; 0 ; 2 3 / 5 )
y B { 3 ; 6 / 5 ; 4 ).
P o r lo tanto, la longitud del m enor segmentó es ||i4B|j = 3 ^ 6 / 5 = 3,286...
E j e m p lo 58
H a lle la e cu a ción de la recta L que pasa p or el punto
corta a la recta Lx: Q = (1 ; 3 ; - 2 ) + t (4 ; 3; 2),
x — 4
y + 2
recta L2 : —— = —~
■2“ 5
S o lu c ió n
Se a B 6 Llt
entonces ñ ( 1 + 4 í ; 3 + 3 í; 2 t - 2 )
para
t 6 l.
algú n
Como el vector dirección
a = A B = ( 4 t - 2; 3 t - l ; 2 t + 3 )
p erpend icular al vector dirección
de
de
¿
A(3; 4; - 5 ) ,
I E E y es p erpend icular a la
es
b = (2;3;0)
L2, entonces
a -b = 2 (4 í-2 ) + 2 ( 3 t - l)
= 1 7 t - 7 = 0 «=» t «= 7 / 1 7
P o r tanto, la ecuación de la recta L es
L: P = ( 3 ; 4 ; - 5 ) + A ( - 6 ; 4 ; 6 5 ) , l € #
331
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T O P IC O S D E C A L C U L O - V O L U M E N II
E je m p lo 5 9 H a lle la e cuación del p la n o que pasa p or P 0 ( 5 ; 0 ; - 2 )
án gu lo de 30° con el eje z. (d o s soluciones).
y fo rm a un
S o lu c ió n
Se a N = ( A ; B ; Q el vector norm al del plano
Enton ce s su e cu a ció n es
Q: A ( x - 5 ) + B y + C ( z + 2 ) = 0
Q que pasa p o r P 0 ( 5 ; 0 ; - 2 ) .
(*)
C o m o el á n g u lo que fo rm a el plano Q con eleje z es 30° (F ig. 6.51),
s e n 30° =
1
entonces
|C4; 6; C) ■ (0 ; 0; 1)1
— —-
2
;
'J ± <=» 3 C 2 = A 2 + B 2
V ¿ 2 + B 2 + C2
(a )
^
K ( 0 ; 0 ; z 0) es el punto de intersección del p la n o Q co n el eje z,
P or otro lado, si
entonces P0V = ( - 5 ; 0; z 0 + 2 ) y el eje z form an un á n g u lo de 30°. Lu e go ,
V3
P o ? • (0; 0; 1 )
^
— = e o s 30° — - W | |
« z . ^ 2 ± 5 V 3
(«
D a d o que V (0; 0; z 0) e Q , entonces satisface la e cuación ( * ) , esto es
— 5i4 + C ( z 0 +
2) =
0 <=> — SA + C ( — 2 ±
R e e m p la za n d o ( y ) en ( a ) se deduce que B
5 V 3 ) = 0 <=> ¿4 = + V 3 ^ C ( y )
= 0. D e este m od o, el vector norm al
del plano Q es Ñ = ( ± V 3 C; 0; C) = C ( ± V 3 ; 0; 1)
P o r consiguiente, la e cuación b uscad a del plano Q resulta
(?:
± V 3 x + z + 2 + 5V3 = 0
E j e m p lo 6 0
U n ra yo lu m in o so ¿ £: P = (1; 4; 3 ) + t ( l ; 2 ; - l ) , t 6 R
el espejo p la n o
reflejado.
incide en
Q; 3 x — y + 4 z — 2 = 0 y se refleja; hálle la ecu ación del ra yo
S o lu c ió n
332
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RECTAS Y PLANOS EN E L ESPACIO TRID IM EN SIO N A L
Sea I =
n Q (en la Fig. 6.52, el plano Q se m uestra de canto).
Luego,
/ ( I + t; 4 + 2t; 3 - t) e Q e* 3 (1 + t) - (4 + 2 t ) + 4 (3 - t) = 2 <=> t = 3
= » /(4; 1 0 ; 0 )
A h o ra , la e cu a ción vectorial de la recta que pasa p or el punto
P0
y sig u e la
dirección del vector norm al es LN: P = (1; 4; 3 ) + A (3 ; — 1; 4 ) , X £ IR
S i M = Ln fl Q, entonces al hacer las op eraciones respectivas ob tene m os
/
1
113
42\
2 6 '" 2 6 " '2 6 /
D a d o que A i es el punto m ed io del segm ento
/
14
61
V
1 3 '1 3 '1 3 /
P0Qo , entonces el p u nto Q0 es
3 \
P or tanto, la e cuación vectorial del rayo reflejado que pasa p or el punto I y sigu e
la d ire c ció n del ve cto r b = Q0I — — (6 6; 69; — 3 ) es
Lr : R = (4; 10; 0 ) + r ( 6 6 ; 6 9; - 3 ) , r £ IR
EJERCICIOS
1.
H a lle la ecu ación de la recta que pasa p or
(1; 3; 2 ), es paralelo al plano
Q: P = (1; 4; 0 ) + r ( 1; 1; 1 ) + s ( 0; 1; 2), r, s £ E y fo rm a un á n g u lo de
60° c o n la recta Lx\ R = (1 ; — 2; 3 ) + t (0 ; 1; 0 ), t £ E
R . L : = (1; 3; - 2 ) + t ( 3 ± 2 V 2 ; 2 ± V 2 ; l ) , t 6 E
2.
H a lle la e cuación del p la n o que pasa p or (3; 1; — 2 )
co n las rectas Lx:P = (1 ; 4; 2 ) + t ( l ; 1; 1),
{x - 3 ) + (y - 1 )
R.
y fo rm a á n g u lo s iguales
t £ E , ¿ 2 ; eíe x
+ (V 3 - 2 )(z + 2)
y L3:
e]ey
=
0
3. Se a n las rectas:
Li'. P
= ( 3 ; 0 ; 0 ) + t ( l ; — 1; 1), t £ E
L2- Q
— (2; 9; 1 ) + s ( l ; 3; — í ) , s £ E
H a lle la e cuación del p lan o que es paralelo a Lr y
Lz , y d iv id e en 2 partes
igu a le s al se gm e n to de m e n o r longitud que une a d ic h a s rectas.
4.
Se a el p la no con ecu ación
2x + 3y + z + 4 = 0 , encontrar n y m no n u lo s de
m anera que los d o s vectores
A = i+ j + k
y
B = nj + m k
p la n o p erpend icular al dado.
R .m = 1/2,
n = -1 / 2
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están en un
T O P IC O S D E C A L C U L O - V O L U M E N II
5.
ln : P = (1 ; 2; — 3 ) + t ( l ; — 1 ;5 ),
tGR
L2: Q = (0; 1 ; 4 ) + s ( l ; 0 ; - 1 ) , s e l
son
d o s rectas, ¿s e
intersecan?. E n
caso afirm ativo, halle
el punto
de
intersección y la ecu a ción del plano que los contiene. E n ca so contrario, halle
la d istancia m ín im a entre Lx y ¿ 2
6. H a lle la ecua ción del plano paralelo al plano 2x - y + 2 z + 4 = 0 si se sabe
que el punto P 0 ( 3 ; 2 ; — 1 ) equidista de a m b os planos.
R. 2 x — y + 2 z - 8 = 0
7. D a d a s las rectas
P = (1 ; - 1 ; 1 ) + t ( 0; 1; 1),
t e l
¿ 2: Q = (0; 1 ;0 ) + 5(1;0; — 1),
s£ R
H a lle las ecuacion e s de d o s p la n os paralelos Qx y Q2 de m o d o que Lx c Qx
y. L2 c Q2 . ¿ C u á l es la d istancia entre Qt y Q21
8.
H a lle la ecua ción del plano perpendicular alplano
z =
punto P 0 ( 2 ; 2 ; 2 ) y que fo rm a un á n gu lo de 60° con el
2, que pasa p or el
plano
y[3x + 2 y — 3z + 2 = Q
R. 4 V 3 x + y - 2 (1 + 4 V 3 ) = 0
9.
D a d a s las rectas:
L x : P = (1 ; 2; - 1 ) + t ( 2; - 2 ; - 3 ) , t G R
L2. Q = (2; 3; 1 ) + s ( l ; 2; - 1 ) , 5 G R
L3: R = (3; 1; - 1 ) + r ( 1; 1; 1), r G R
Halle, si existe, la e cuación del plano
Q que contiene a L3 y a su ve z el
plano sea paralelo a las rectas Lx y L2.
R. no existe
10. H a lle la ecu a ción cartesiana del p lan o que pasa p or ( 2 ; 6 ; 1 ) y contiene a la
X
z
recta - = - , y = - 5
R. 8 8 x — 1 3 y — 3 3 z — 6 5 = 0
11. L a recta L que pasa p or
( - 1 ; 1; 6 ) es paralela a los p la n o s x + y = 0 A
2x — z — 6 . L a recta LQ es la p roye cció n de L sobre el p la n o x y . H a lle las
ecuacion e s de las rectas L y LQ.
12. H alle la e cu a ción de la recta que contiene al m e n o r se gm e nto h orizontal
(paralelo al p la n o x y ) que une las rectas
P = ( 0 ; 0 ; 0 ) + t1( l ; 2 ; 8 ) , t E R
l‘¿: Q = (1; 3; 0 ) + t2 (0; 1; 4 ), t 6 R
R. L: P = (1 ; 2; 8 ) + t3 ( 0; 3; 0), t3 G R
13. H a lle la c c un c ió n cartesiana del p la n o que pasa p or P 0 ( l ; 0; 0 ), sa b ie n d o que
la recta L: P — (5; 1 ; — 5 ) + t ( l ; 0 ; — 1), í G R
unidad de d ic h o plano (Z, II Q).
está a una d istancia de 1
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R E C T A S Y P L A N O S E N E L E S P A C IO T R ID IM E N S IO N A L
I I. H a lle la ecu ación cartesiana del plano, sabie n do que es paralelo al plano
2 x + 2 y - z + 7 = 0 y que el punto (5; 2; - 3 )
equid ista de a m b o s p lanos.
R. 2x + 2 y - z - 41 = 0
1 5.Se a n L\ P = (1; 1; 3 ) + t ( 2 ; 0 ; l ) , t G E
y Q: 2 y - y + z - 1 5 = 0 una
recta y un p la n o respectivam ente. S i A — L n Q, halle la ecu a ción de la recta
L1 que p asa p or el punto A y es perpendicular a la recta Lq . L a recta Lx está
contenida en el p la no Q.
= (3; 4; 5 ) + tx (0; 1 ; - 2 ) , t x G E
16. D a d a s las rectas
L2:
P2 = (4; - 2 ; 1 ) + t2 ( 1; 2; 3), t2 G E
L3: P 3 = (0; 0; 0 ) + t3 ( 2; 1; 0), t 3 G E
H a lle la e cu a ción cartesiana de un p la no que corta a estas rectas en lo s p u n to s
A, B y C respectivam ente, de m o d o que AB = BC, E l p la no so licita d o es
paralelo a
la recta x = y = z y los p u ntos A, B y C están alineados.
R . 1 9x - 2 0 y + z - 8 1 = 0
y b = ( - 3 ; V T T ; 4 ) son los vectores d ire c ció n de las rectas
1 7 .a = (4 ; 0; 3 )
y l 2 respectivam ente. L a s rectas se intersecan en (3 ; 2; 1). H a lle
de la recta
¿3
la e cu a ción
que pasa p or el punto P 0 ( 3 1 / 5 ; 2 ; 1 7 / 5 ) y d eterm ina
con
Lx y L2 u n t r iá n g u lo de área 6 u 2 .
18. H a lle la ecu a ción de una recta que pasa por el punto (3; 4; — 6 ) y es paralela a
los p la n o s
x + 2 y - z = 4
A
3 x - y + 2z = -6 .
R. L: P = (3; 4; - 1 ) + t ( - 3 ; 5; 7), t G E
19. H a lle la ecuación del p la n o que dista del o rige n V 2 3 4 u n id a d e s y pasa p or la
intersección
de
las
rectas
P = (9 ; 5; 4 ) + t ( l ; 1; 2), t e E
y
L 2 : Q = (1 ; 2; 3 ) + s ( 2 ; 1; 1), 5 G E
R . 11 (x - 1 1 ) + 7 ( x - 7 ) + 8 ( z - 8 ) = 0
20. H a lle
la ecuación
cartesiana
del
p la n o
que
pasa
p or
(3 ; 4; 1 )
y
es
p erpe nd icu lar a los p la n os x - y - 4 A x + z = 6.
R. x + y - z - 6 = 0
21. S i
-
L1: P = (2 ; 1 ; 0 ) + t ( l ; — 1; 1), t G E , halle la ecua ción de la recta L que
sea sim étrica a la recta L x co n respecto al plano 2 x - y - z - 5 - 0 .
25. D a d o el p la n o
x + 4
5 - y.
x - 2 y + 3 z = 8 y la recta L: —— = —— <y = _ 1
H a lle la e cu a ción de la recta que pasa por (0; 2; — 1), es paralela al p la n o dado
y corta a la recta L.
R. L1\ P = (0; 2; - 1 ) + t(4 ; - 1 ; - 2 ) , t £ E
22. D a d a s las rectas
Ly. P i = (1 ; 1; 2 ) + t ^ l ; 2; 0), t x G M
L2- P 2 = ( 2 ; 2 ; 0 ) + t 2( l ; — 1; 1). t2 G E
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V
T O P IC O S D E C A L C U L O - V O L U M E N II
^ 3 * ^3 = (0 ; 3; — 2) + t 3 (S; 0; 2), ¿ 3 6 ®
H a lle la e cu a ció n de u n a recta que corte a estas tres rectas Lu Lz
los p untos M, N y P respectivam ente, de tal m anera que
y
L 3 en
M N = NP
R. L: P = (0; - 1 ; 2 ) + t ( 2; 2; - 1 ) , t £
23. Se a n las rectas ¿ j
=
/ r e E} y
{(1 ; 0; 0 ) + r ( 1; 1; 1 )
¿2 =
E
{(7 ;4 ;3 ) + s (3;4;2)
/ s &E}
H a lle lo s vértices de un trián g u lo equilátero de lado 2 V 2 u , tal que un vértice
pertenece a ¿ 2 y el lado opuesto en L1.
R. ( 4 ; 0 ; 1 ) , ( 2 ± V 2 7 3 ;
24. D a d a s las rectas no coplanares concurrentes en P 0 ( l ; - 2 ; 3 )
x - 1
1
.:—
y + 2
-—
z - 3
x — 1
= —
3 - z
. W -—
=—
A y = -2 y
x — 1
y + 2
z - 3
L o : -------- = -- ------ = ---------
3
2
1
2
H a lle la e cu a ción de un p la n o que pasa p or el punto
A { —4; 2; 6 ) y fo rm a
á n g u lo s igu a le s co n estas rectas.
R. 3x — y - z + 2 0 = 0
26. D a d a s las rectas:
¿
.
x —í
—
2
1
y+ 2
= — -—
3
5 - z
= — -— ■
4
y
*
y - 1
L2. x = - 2 ,— -—
z
1
z + 2
= — -—
2
que se cruzan. H a lle la e cu a ción de la recta que pasa p or
i 4 ( - l ; - 2 ; 0 ) , es
perpe n d icular a Lí (en el e spacio) e interseca a ¿ 2 .
R . P = ( - 1 ; - 2 ; 0 ) + t ( — 1; 6 ; 4 ), t 6 E
27. D a d o s lo s p la n o s
Qt : 2 x + 2 y - 2 z + 2 = 0. y
<32; x - 2 y — z = 1
y el
punto >4(2; 1; 4 ). H a lle la e cu a ción de u n a recta que p asa p o r A , es paralela a
Q2 y fo rm a un á n g u lo de 30° con
R. ¿ = { ( 2 ; l; 4 ) + t ( l l ± 6 V 2 ; 2 ± 3 V 2 ; 7) / t 6 i }
28. H a lle la e cu a ción de una recta que pasa p o r (3; 1; 2 ) y corta a la rectas
Lt : P = { (2 ; 4; - 1 ) + t ( 0; 1; 2 ) / t e E }
f x - y + z = 4
l
2 jc + z = 6
R. Q = ( 3 ; l; 2 ) + s ( - l ; 1 0 ; l l ) ,
s é
E
29. Encu entre la e cu a ción del p la n o que pasa p o r el p u n t ó ' < 2 (3 ;— 5; 2 ) ' y es
p erpend icular a lo s p la n o s 2 x + 3 y - z - 5
= 0 A
x - 2 y + 2 z - 3 = 0.
R. 4x - 5 y - 7 z — 23 = 0
30. En cuentre
la e cu a ción del p la n o que p asa p o r lo s p u ntos
(4; 8 ; - 8 ), y es p erpend icular al p la n o x z.
R. l l x + 6 z + 4 = 0
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( - 2 ; 5; 3 )
y
R E C T A S Y P LA N O S EN EL E SP A C IO T R ID IM E N SIO N A L
31. Encu entre la e cu a ción del p la n o que pasa p or origen, es p erpe n d icu la r a&pJano
2 x + 3 y - S z = 0 y es paralelo a la recta que pasa p o r los p u ntos (1 ; - 1 ; 3 )
y (2; 1; - 2 ) .
R . Sx — 5 y — z = 0
32. En cuentre la e cu a ción del p la n o que es paralelo al p lan o 1 2 x — y — Y l z = 4 y
p asa p or la intersección de lo s p la n o s 2 x - y - S z = 4
A
3 x + y - z = 0.
R. Y 2 x - y ~ \ 7 z = 1 2
33. U n p lan o pasa p o r los p u ntos P 1( l ; 0; - 1 ) y P 2 ( - 1; 2; 1 ), y es parale lo a la
recta de intersección de lo s p la n os 3 x + y - 2 z = 6.
H a lle su ecuación.
A
4 x - y + 3 z = 0.
R. 5 x - 3 y + 8 z + 3 = 0
34. Encu entre
la ecuación
de un
p la n o
que pasa
p or
¿4 (1 ;-2 ; 1)
y
es
P !(l;2 ;3 )
y
p erpe nd icula r al ve ctor OA, donde O es el o rige n de coordenadas.
R. x - 2 y + z = 6
3 5 . Encu entre la ecu a ción de un p lano que pasa p o r lo s p u ntos
P 2 ( 3; 2; 1), y es perpe n d icular al plano 4 x - y + 2 z = 7.
R. x + 6 y + z = 1 6
36.
Encu en tre la d istan cia del o rige n de coordenadas
x —2
3
2 — z
y — 1
~
4
~
5
R. 3 u
„ — 2z — 3 — 0
y _ 2Z = o
Í
interseca
al
p la n o
x + 3 y — z + 4 = 0.
Encuen tre el punto de intersección P y halle la e cu a ción de la recta co nte nida
en este plano, que p asa p o r P y es perpendicular a L.
R. P ( 1; - 2 ; - 1 ) ,
—5
= L t l = £ ± 1
3
4
3 8 . C a lc u le la d istancia m ín im a entre la rectas Lx y L2, d on d e l x p asa p o r el
o rige n y el p u nto
(1 ; 1; 1), y ¿ 2 pasa p or
(1; 2; - 2 )
y es paralelo al vector
2 í - j + 2k.
R. 3V2/2
39.
H a lle
la e cu a ció n del p la n o que fo rm a un á n g u lo de 60° co n el plano»
2 x - y + z = 7 y contiene a la recta L: P = (1 ; 8; 1) + t ( l ; — 3; 1), t 6 M.
R . x + y + 2 z = 11, l l x + 2 y — 5 z — 2 2 = 0 (d o s soluciones)^
40. H a lle la e cuación cartesiana del p la n o que pasa p or (3 ; 4; 1 ) y es orto go n al a
lo s p la n o s P: x - y — 4
A
Q: x + z = 6
R. x + y - z - 6 = 0
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TO PIC O S D E C A L C U LO - V O LU M EN II
41. H a lle
las
ecu acion e s
de
tres
planos
equidistantes, que pasan p or los puntos
(1 ; 4; 0 ), (2 ; — 5; 1 ) y (3 ; 0; - 2 )
respectivam ente, de tal m anera que sean a su
ve z paralelas a la recta
L = { (1 ; 4; 0 ) + t ( l ; 1; 1 ) / t G M }.
S u g e r e n c ia : C o n sid e re P1P2 = P2P3
R.
9x - 2y - 7z - 1 = 0
9x — 2 y - 7z - 21 = 0
9 x - 2 y - 7z - 41 = 0
42. H a lle la lo n gitu d del m e n o r segm ento paralelo al p la n o x y , que une las rectas
Lx = {(1 ; 2; 0 ) + ^ ( 1 ; 2; 1 ) / ^ G R } y
= {(0 ; 0; 0 ) + t 2 ( 1; 1; l ) / t 2 G ®¡}
R. l u
43. Encuentre la ecu a ción de la recta que pasa por (3 ; - 1 ; 6 )
p la n os x — 2 y + z = 2
A
2 x + y - 3 z = 5.
R.
x — 3 = y + l = z - 6
y es paralela a los
44. H a lle la e cu a ción del p lan o que es paralelo al p la n o 1 2 x — y - 1 7 z = 1 4 y
pasa p o r la intersección de lo s p la n os 2 x - y - 5 z = 4
3 x + y — z - 0.
A
R. 1 2 x - y - 1 7 z = 6
4 5 . Encuen tre la e cu a ción de lo s p la n os que bisecan el á n g u lo entre lo s p la n o s
2x + y + z
= 4 A7 x - y — 2 z = 2.
R. x — 4 y — 5 z + 10 = 0
4 6 .C on
lo s p u ntos
j4 ( 1 ; 2 ; 3 ) ,
B (0 ;-l;4 )
y
C (— 1 ;2 ;6 )
se
fo rm a el
p arale log ra m o ABCD. H a lle la e cuación de la recta que p asa p o r los p u ntos C
y d.
R . L = { ( 0 ; 5 ; 5 ) + t ( — 1; — 3; 1 )
47.
/
t G K}
H a lle la e cu a ción del p la no que pasa p or el o rige n de co o rd e n a d a s y p o r la
intersección de lo s p la n o s x — y + z — 4 = 0
A
2 x + y - 2 z — 6 = 0.
R. x + 5 y - 7 z = 0
48. H a lle la e cu a ció n cartesiana de u n p la no que pasa p o r
(1 ; 2; — 3 )
y p o r la
intersección del p la n o x — y + 2 z = 4 co n el p la n o x y .
R. 3 x - 3 y - 5 z - 1 2 = 0
49. Encuentre la lo n gitud m ín im a del cordel que se necesita para llegar desde el
punto
Pq (8 ; 6; - 5 )
hasta un a va ra recta de m adera que pasa p o r los puntos
Qx( 3; 5; 3 ) y <?2 ( 8 ; 3 ; 1 )
R . d = 5 ,6 5 u
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338
R E C T A S Y P LA N O S EN E L ESPA C IO T R ID IM E N SIO N A L
Lx = {(5 ; 11; — 2 ) + ^ ( 0 : 8 ; —1),
5 0 . L a s rectas
6 R}
L2 = {(8 ; - 2 3 ; 3 ) + t 2 ( 3; - 1 0 ; - 4 ) , t 2 6 R }
¿ 3 = { (8 ; 1; -6 ) + t3 (3; - 2 ; - 5 ) ,
contienen a lo s la d os del triángu lo
t3 6 R }
ABC. H a lle la d istan cia del centro de
grave d a d de d ic h o trián g u lo al plano 5 x + 1 2 z + 1 4 = 0.
R. 5 u
51.
Dados
lo s
p u ntos
no
colineales
.4(0; 0 ; 0 ) ,
D ( 3; 7 ; - 7 ) , determ ine la
f í( 0 ; l; 5 ) , C ( 5 ; 2 ; — 1) y
ecua ción de lo s p la n o s parale los que pasan p o r d ic h o s
puntos, de tal m anera que las d istancias que lo s separan
sean iguales.
R . Qt : 9 x + y - 1 2 z + 5 9 = 0,
Q2: 9 x + y - 1 2 z = 0
Q3: 9 x + y - 1 2 z - 5 9 = 0,
<?4 : 9 x + y — 1 2 z — 1 1 8 = 0.
S u g e r e n c ia :
las
E n el g rá fico adjunto, para determ inar
co ord e n a d a s del punto P ( x 0; y Q; z 0)
DP
2
r = = = — y la n o rm a l del p la n o
BP 1
F
la ra z ó n o s
_
es N — á
x b
52. U n h om b re que se encuentra en
0 (0 ; 0; 0 )
lanza un a flecha desde
¿4 (0 ;0 ;1 6 )
Z Ák
h acia un b la n co en
fí(5 0 ;1 2 ;1 6 )
que se encuentra
a
A(0;0;16)
...
sobre el plano
2 5*- 6 y -
1178 = 0 ,
h acie n do im pacto a 0,1 unidades
Sugerencia:
0,1 = \IB\
del blanco. S i la flecha fue lanzada
con
u na
trayectoria
paralela
al
p la n o x y ,
halle el á n g u lo
que
d eb ió
el
no
g ira r
B (50;12;16)
h om b re
para
y, = 1 5 ,9 6
/
O (0;0;0)
^
y
* *
eos a = 0,988 => a (i,62°)
fallar.
R. 3,62°
53. Se tienen d o s túneles que parten de la superficie (su p o n e r que la su pe rficie es
lisa y es el plano x y ) desde los puntos P1A( 0 ; 5 / 2 ; 0 )
respectivam ente a lo s p u ntos
P2/»(— 7; — 1; — 7 )
y
y P 1B( 5 ; 2 ; 0 ) y llegan
P2B( - 5 ; 3 ; - 5 ) .
H a lle la
m ín im a d istancia que debe tener un túnel para quedar a n ive l (paralelo al plano
x y ) y sirva para interconectar a los túneles A y B.
R . d = 2 ,4 5 7
S u g e r e n c ia : E l túnel que debe intersecar a los d o s túneles debe ser paralelo al
plano x y para que quede a nivel, luego igualar las co orde n adas z de lo s puntos
que se tom a sob re ca d a túnel.
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339
TO PIC O S DE C A LC U LO - V O LU M EN II
54. U n n iñ o patea una pelota desde el punto P 0 (8; - 1 0 ; 1 2 ) y ésta se m ue ve en
línea recta en la d irección del vector v = (2; 2; 2 ), con ve lo c id a d constante. S i
la pelota se d irig e hacia una ventana de vid rio, ¿q u é tie m po tardará en
im pactar co n el v id rio si la ventana está en el p la n o 2x + 8 z = — 4 ?
R. V 2 u
55. H a lle la ecu ación cartesiana de un plano que contenga a la recta
L = { (1 ; 2; - 3 ) + t ( l ; - 4 ; 2 )
/ t 6 R}
y se encuentra a una d istancia 8 / V 4 1 unidades del punto (2 ; — 4; — 5).
R. 6x + 2 y + z — 7 = 0
A
3 0 * + 2 y - l l z - 67 =
56. U n ra yo de luz parte del punto
0
(1; 4; 2), se refleja en el espejo plano y z . E l
rayo reflejado, se refleja nuevam ente en el espejo p la n o x z y este últim o rayo
reflejado pasa p or ( 5 ; 1; 4 ) . H a lle la e cuación de este ú ltim o ra yo reflejado.
R. L = { ( 1 9 / 5 ; 0 ; 1 8 / 5 ) + t(6 ; 5; 2 ) / t E l )
57. U n ra yo de luz parte del punto (2; 1; 6 ) , se refleja en el espejo p la n o xz; este
rayo reflejado se refleja nuevam ente en el espejo p la no y z , y este ú ltim o ra yo
reflejado p asa p or (3; 8; 2). H a lle la e cuación de este ú ltim o ra yo reflejado.
R. L = { ( 0 ; 1 3 / 5 ; 2 2 / 5 ) + t ( 5; 9; - 4 ) / t e R}
58. E n los p la n o s parale los Pj: 4x — 8 y — z + 9 = 0 y P2\ 4x — 8 y — z — 18 = 0,
se tienen lo s p u ntos Qt
y
Q2 respectivam ente. H a lle el v o lu m e n del cilin d ro
c u y a d ia g o n a l QÍ Q2 m ide 9 unidades.
R . V = 5 4 7r u 3
59. U n a puerta rotatoria de un centro com ercial consta de d o s p la n os
P1: 5 x + 3 y - z ~ 9 - 0 y
P2: 3x - 2 y + 5 z - 6 = 0
Se quiere aum entar un plano m ás a la puerta, de tal m anera que pase p or la
recta de intersección de a m b o s p la n o s y que sea paralelo a la c o lu m n a que
d escribe la ecuación de la recta Lx = {(3 ; 1; 6 ) + t ( l ; 1; 0 , ) / t 6 R } . H a lle
la ecu ación de d ic h o plano.
R. 1 9 * - 1 9 y + 4 1 z - 3 9 = 0
60. U n barco se encuentra en el punto
rectilíneo co n u na ve lo cid ad constante
P (2 ;3 ;0 )
y tiene un m o vim ie n to
— (1; 5; 0 ). E n ese m ism o instante
un a v ió n co m e rc ia l e m pieza a caer desde el punto (5; 4; 6 ) con una ve locid ad
constante
v 2 = (2; 11; - 6 )
en línea recta. C o n estos elem entos de ju ic io se
pregunta
a) ¿ K l a vió n cae sobre el b a rc o ?
b) S i no es así, ¿c u á l será la m e n o r d istancia entre e llo s?.
R. a) N o
b) 2,5 u
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340
SUPERFICIES
U n a supe rficie es un conjunto de puntos P ( x ; y ; z ) e R 3 c u ya s co orde n adas
satisfacen u n a ecu a ción dada en las variab le s x, y y z, esto es,
S — { (x ; y ; z ) 6 E 3 / £ ( x ; x; z ) = 0 } es generalm ente una superficie.
U n ejem plo de supe rficie es el p lano (su e cuación es A x + B y + Cz + D = 0 )
Observación 1 Existen ecuaciones tales como
a) x 2 + ( y - 2 ) 2 + z 2 + 8 = 0
b) ( x + l ) 2 + 4 ( y - 2 ) 2 + 3 ( z - 5 ) 2 = 0
que no representan a una superficie. Para la ecuación (a), no existen números
reales x, y, z que satisfagan la ecuación dada, en este caso se dice que (a)
representa a l conjunto vacío (0)
Para la ecuación (b), los únicos números reales que satisfacen la ecuación son
x = —1, y = 2, z = 5. Luego, la ecuación (b) representa solamente al punto
P C-l; 2; 5).
Observación 2 (Traslación de ejes) D e modo similar a la traslación de ejes en el
plano cartesiano, se efectúa la traslación de ejes en el espacio tridimensional R 3.
Si el sistema de coordenadas o x y z se traslada a un nuevo origen 0 ' ( h ; k; l ), de
modo que las coordenadas de cualquier
punto P E I 3 antes y después de la
traslación son ( x \ y \ z ) y
( x 1; y ' ; z ' )
respectivamente (Fig. 7.1), entonces las
relaciones de tranformación del sistema
original ( o x y z ) a l nuevo sistema de
coordenadas (o’x 'y 'z ') son
7
11
z
‘1
f|P
]
"z^ Y
x = h + x'
y = k + y'
■ z = l + z'
Fig. 7.1
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SIJI'IÍKI'ICIES
7.1 E S F E R A
Definición: U n a esfera es el conjunto de
todos los p u ntos del espacio IR3 que
equidistan de un punto fijo llam ado centro.
L a distancia constante de cu alq u ier punto al
centro se
lla m a
radio y se denota con
r > 0 .
Se a P ( x ; y ; z ) cu a lq u ier punto de la esfera
de
centro
C (h ',k ;l )
y
radio
r > 0.
Entonces, p or d e fin ic ió n tenem os
d ( C ; P) = V ( * - h ) 2 + ( y - k ) 2 + ( z - l ) 2 = r
D e donde,
(x - h ) 2 + ( y - k ) 2 + ( z - l ) z = r 2
(*)
Esta ecua ción se llam a form a o rd in aria de la ecuación de la esfera.
L a esfera con centro en el o rige n de coorde n adas y ra d io r > 0
ecuación
tiene por
x 2 + y 2 + z 2 —r 2
y esta e cuación se d e n o m in a form a canónica de la ecuación de la esfera.
S i d e sa rro lla m o s la fo rm a ord in a ria de la e cuación de la esfera, ob tenem os una
e cuación de la fo rm a
x 2 + y 2 + z 2 + Dx + E y + Fz + G = 0
(a )
que es la e cu a ción de la esfera en su form a general.
C u a lq u ie r
ecu a ción
de
la form a
(a ),
em p leando
el
m étod o
de
cuadrados, se puede expresar en la form a
( x - h Y + ( y - k ) 2 + ( z - i) 2 = t
(P)
C o m p a ra n d o las ecuacion e s ( * ) y (¡3), se tienen tres p osib ilid a d e s:
S i t > 0, (/?) representa a una esfera de centro C ( h ; k ; l ) y ra d io V t
S i t = 0, (/?) representa al punto C ( h \ k \ l )
S i í < 0, (/?) representa al conjunto va c ío
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com pletar
SUPERFICIES
E j e m p lo 1
a) H a lle la ecua ción de la esfera de centro C(2; — 1; 0 ) y r a d io r = 3
b) H a lle la ecuación de la esfera si u n o de su s d iá m etro s es el se gm e n to de
extre m os „4(3; 1; 4 ) y B ( 5; — 1; 2 )
c)
D e te rm in e si u n a de las sigu iente s e cu a cion e s representa a una esfera, a un
punto o al conjunto vacío.
i)
x 2+ y 2 + z 2 - 2 x + 4 y - 6 z + 1 =
0
ii)
x 2+ y 2+ z 2 - 4 x + 2 y - 2 z f 6 =
0
iii)
x 2+ y 2+ z 2 + 2 x + 6 y ~ 8 z + 3 5 = 0
Solución
a) U tiliz a n d o la fo rm a o rd in a ria de la e cuación de una esfera, tenem os,
(x - 2 )2 + ( y + l ) 2 + z 2 - 9
ó x 2 + y 2 + z2 - 4x + 2y - 4 = 0
b) C o m o el centro de la esfera es el punto m edio de AB, es decir, C ( 4 ; 0 ; 3 ) y el
ra d io r = d i C ; A ) — V 3 ; entonces la e cuación de la esfera es de la fo rm a
(x - 4 )2 + y 2 + (z - 3 ) 2 = 3
ó x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 z + 22 = 0
c) A l com pletar lo s cu a d ra d o s en cada una de las ecuaciones, obtenem os
( x — l ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z — 3 ) 2 = 13. E sfe ra de centro C ( l ; - 2 ; 3 )
i)
y
ra d io r = V l 3
ii)
( x — 2 ) 2 + ( y + l ) 2 + ( z - l ) 2 = 0. L u e g o , la e cuación representa el
punto C ( 2 ; - l ; l )
iii)
{x + l ) 2 + ( y + 3 ) 2 + ( z — 4 ) 2 = - 9 . L a ecuación dada representa al
conjunto vacío.
E je m p lo 2
H a lle la e cu a ción de la esfera q u e es tangente a los p la n o s
<21: x + 2 y + z - 4 = 0
y
Q2'- x - y + 2 z - 5 = 0,
y tiene su centro en el eje z. ( D o s so lu c io n e s)
S o lu c ió n
S e a C (0 ; 0; l ) el centro de la esfera buscada.
Enton ce s, u tiliza nd o la fó rm u la de distancia
de punto a plano, tenem os
d ( C , Q i ) = d (C , Q2) «
= £ L l5 !
<=> i =
1 V 1= 3
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F ig . 7.3
SUPRRriClLS
S i / = 1 , la e cuación b u scad a de la esfera es
3
ó
x 2 + y 2 + ( z - l ) 2= -
2 x 2 + 2 y z + Z z2 —4z -
1 =
O
S i / = 3 , la ecu ación b u scad a de la esfera es
1
x 2 + y 2 + ( z — 3 ) 2= 6
E je m p lo 3
6 x 2 + 6y 2 + 6 z 2 —3 6 z + 5 3 = 0
ó
E l p la n o Q pasa p or el punto
L : x - 1 —-
y contiene a la recta
y + 1
~=
z + 4
'H a lle la ecu a ción de la esfera, co n centro
C (0 ;-2 ;l)
y
Q.
tangente al p lan o
¿ C u á l es el punto de contacto?
S o lu c ió n
D a d o que el punto de p aso de la recta L es
(1; — 1; — 4 ), entonces lo s vectores que
están co n te n id o s en el p la n o Q son
3 = PoPi — (0 ; 0; — 4 ) y b = (1 ; 4; 1 )
L u e g o , el vector n o rm a l Ñ del p la n o es
N = a X b = (1 6 ;-4 ; 0)
A s í, la e cu a ción del p la n o Q es
Q: 1 6 ( x - 1 ) - 4 ( y + 1 ) = 0
ó < ? : 4 x - y - 5
= 0
U tiliz a n d o la fó rm u la de d istan cia de punto a plano, el ra d io de la esfera es
.
|2 — 5|
3
r = d ( C ; Q) =
= —=
VT7
V I7
A s í, la e cu a ción de la esfera de centro C (0 ; — 2; 1 ) y ra d io r = 3 / V l 7 es
x 2 + (y + 2 ) 2 + (z - l ) 2 =
9
17
«=> 1 7 x 2 + 1 7 y 2 + 1 7 z 2 + 6 8 y - 3 4 z + 7 6 = 0
E l punto de contacto entre el p la n o Q y la esfera es I = Q ñ LN, don d e LN es la
recta que pasa p o r el centro de la esfera y sig u e la d ire c ció n del vector
N\ su
e cuación vectorial es L N : P = (0 ; - 2 ; 1 ) + t ( 4; - 1 ; 0), t £ E .
H a lla n d o la intersección de LN co n el p lano Q, se obtiene el punto de tangencia
/( 1 2 / 1 7 ; — 3 7 / 1 7 ; 1 )
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344
SU P E R F IC IE S
E je m p lo 4
Encu en tre la e cu a ción de la esfera que tiene su centro en el p la n o x z
y es tangente al p la n o Q: 2x - y + z - 4 = 0, en el punto P1( 1; 5; 7).
S o lu c ió n
L a ecu a ción vectorial de la recta LN que pasa
por el punto
P i ( l ; 5; 7 ) y sig u e la dirección
del vector n orm a l
es
Ñ = (2; - 1 ; 1 ) (Fig. 7.5)
Ln : ( x ; y ; z ) = (1 ; 5; 7 ) + t ( 2 ; - l ; l ) , t 6 E
S i C es el centro de la esfera, entonces
C £ Ln D P la n o x z
<=> C £ Ln A C £ P la n o x z
«=> C ( 1 + 2t; 5 - t; 7 + t) £ P la n o x z ( y = 0 )
L u e go , el centro de la esfera es C ( l l ; 0; 1 2 ) y su ra d io r = d ( C ; P J = V i 5 0
P o r con siguie n te , la e cu a ción b u sc ad a de la esfera es
(x - l l ) 2 + ( y - O )2 + ( z - 1 2 ) 2 = 1 5 0 ó
x 2 + y 2 + z 2 - 22x - 2 4 z + 115 = 0
E JE R C IC IO S
1.
H a lle la e cu a ció n de la esfera de centro C( 4; 3; - 1 )
y rad io r = V 7 .
R. x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y + 2 z + 19 = 0
2)
H a lle
la ecuación de la esfera si u n o de su s diám etros es el se gm e n to de
extrem os i 4 ( 1 0 ; - 5 ; 8 ) y
B (2 ;5 ;-1 4 )
R. x 2 + y 2 + z 2 — 1 2 x + 6 z — 1 1 7 = 0
3) D e te rm in e si u na de las sigu ien te s e cuaciones representa a una esfera, a un
p unto o al conjunto vacío. S i representa a una esfera determ ine su centro y su
radio.
a) x 2 + y 2 + z 2 - Í 6 x + 8 y + 4 z + 7 5 = 0
b) x 2 + y 2
+ z 2 + 8 x - 6 y - 4z + 29 = 0
c) x 2 + y 2
+ z 2 - 2 x - 4 y - 6 z + 15 = 0
R.
3.
H a lle
a) Esfera, C (8 ; - 4 ; - 2 ) y r = 3
b ) P u n to
c) 0
la e cu a ción de la esfera que es tangente al p la n o x - 8 y + 4 z + 7 = 0
y es co ncé n trica a la esfera x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 x - 4 y r 6 z + 3 3 =
R . X2 + y 2 + z 2 - 1 2 x - 4 y - 6 z + 4 8 = 0
345
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0.
SU P E R FIC IE S
4.
H a lle la e cu a ción de la esfera que tiene su centro en el eje x y p a sa p o r lo s
p untos P 1( 0 ; 5 ; 0 ) y P 2( - 2 ; 1 ; Ó ) .
R. x 2 + y z + z 2 — 1 0 * - 2 5 = 0
5. En cuentre la e cu a ció n de la esfera que tiene su centro en el p la n o co o rd e n a d o
y z y es tangente al p la n o x + 3 y — 2 z + 1, = 0 en el p u n to P ( 5; 0; 3).
R . x 2 + y 2 + z 2 .+ 3 0 y - 2 6 z — 1 0 6 = 0
6. D e te rm in e la ecu a ción de la esfera que pasa por, el p unto P 0 ( — 2 ; 4 ; 0 )
y p or la intersección de las esferas x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 2 y — 4 z + 2 = 0
x 2 .+ y 2 + z 2 - 4 x — 2 y — 6 z + 1 0 = 0
R. x 2 + y 2 + z 2 - I 9 x — 3 2 y - 2 1 z + 7 0 = 0
S u g e r e n c ia . S i
= 0 y Sz — 0 so n las e cuaciones de d o s esferas, entonces
+ k S z = 0, para k =é — 1, representa la fa m ilia de esferas que pasan p o r la
intersección de la s esferas dadas, co n la e xce p ción de la esfera S 2 = 0
7. D e te rm in e
la e cu a ción
de
la esfera que pasa p o r
la circ u n fe re n cia de
intersección de las esferas:
x 2 + y 2 + z z - 4 x - 8 y + 6 z + 12 - 0
x 2 + y 2 + z 2 - 4x + 4 y - 6z - 12 = 0
y es tangente al p la n o x + 2 y - 2 z — 3 = 0
,, R .
5t: x 2 + y 2+ z 2 - 4x - 6y + 4z + 8 = 0
S 2. x 2 + y 2 + z 2 — 4 x - 2 4 y + 2 2 z + 4 4 = 0
8. U n a recta L p asa p o r fil p u nto A(3; - 4 ; 6 ) , interseca a la recta
l x: P = (6 ; - 1 0 ; 1 2 ) + t ( l ; 0; 0 ) y a la e sfe ra
3
29
( * + 2 )Z + ( y “ 1)2 +
2 )2 = T
en una cuerda d e lo n gitu d 3 unidades. H a lle la e cu a ció n vectorial de L (d o s
so lucio n e s).
9.
H a lle la e cu a ció n del p la n o
Q que contiene a la recta
L: P = (1 ; 2 : 3 ) 4 - t < l ; - l ; 0 ) ,
t é E
de m o d o q u é dicho, plano sea tangente a la supe rficie
x2 + y 2 + zz — 1 = 0
(d o s so lu c io n e s)
Suge rencia. U s a r la c o n d ic ió n d ( C ; Q ) = 1 d on d e C (0 ; 0 ; 0 )
R. Qt i 2 x . + 2 y - z - 3 = 0,
Qz \ 4 x + 4 y - 7 z + 9 = 0
p la no contiene a la recta L: 6 x = 2 y = - 3 z e interseca a la esfera
x 2 + y 2 + z 2 + 2x — 4y — 10z + 5 =
0 en
una circ u n fe re n cia de radio 3.
10. U n
H a lle la e cu a ció n del p la n o (d o s solu c io n e s).
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346
S U P E R F IC IE S
7.2 D IS C U S IÓ N Y G R Á F IC A D E L A E C U A C IÓ N D E U N A S U P E R F IC IE
D e m an e ra s im ila r a la d is c u s ió n que se efectúa en la e cu a ción de u na c u rv a plana,
en el ca so de las su pe rficies es tam bién ventajoso d iscu tir pre viam e nte su
e cu ación antes de co n stru ir su gráfica. Para d iscutir la e cu a ción E ( x ; y ; z ) = 0 de
una supe rficie se sig u e n los siguien te s pasos:
I)
In t e rs e c c ió n c o n lo s ejes c o o rd e n a d o s.
Son
supe rficie co n cada uno de los ejes coordenados.
i)
las in tersecciones de la
C on el eje x. Se reem plaza y = z = 0 en la ecu a ción de la su p e rficie y
se an aliza la ecu a ción resultante.
ii) C on el eje y . Se re e m p laza x - z = 0 en la e cu a ción de la su p e rficie y
se a na liza la ecu a ción resultante.
iii) C on el eje z. Se reem plaza x = y = 0 en la e cu a ción de la su p e rficie y
se a na liza la ecu a ción resultante.
II)
T ra z a s sobre los planos coord en ados.
L a traza de un a su p e rficie es una
cu rva fo rm a d a p o r la intersección de la supe rficie co n el p la n o coordenado.
A s í, las trazas sob re lo s p la n o s co ord e n a d o s se obtienen de la siguiente
m anera
i)
C on el plano x y . Se reem plaza z = 0 en la ecuación de la su p e rficie se
a n a liza la e cu a ción resultante.
ii) C on el plano y z . Se reem plaza x = 0 en la e cuación de la su p e rficie y
se analiza la e cu a ción resultante.
iii) C on el plano x z . S e reem plaza y = 0 en la ecuación de la su p e rficie y
se a n a liza la e cu a ción resultante.
III)
T ra z a s en los planos p aralelos a los planos coord en ad os. S o n
intersecciones
coordenados.
i)
de
la
supe rficie
con
p la n os
p aralelos
a
lo s
las
p la n o s
C on planos p aralelos al plano xy. Se reem plaza z = k en la e cu a ción
de la su pe rficie y se a n a liza la e cuación resultante.
ii)
C on planos p aralelos al plano xz. Se reem plaza y de la su pe rficie y se a n a liza la e cuación resultante.
k en la e cu a ción
iii) C on planos p aralelos al plano yz. S e reem plaza x — k en la e cu a ción
de la su pe rficie y se a na liza la e cuación resultante.
IV )
E xten sión de una superfìcie
Se entiende p or e xtensión de la su p e rficie a
lo s intervalos de variació n, en los cuales las va ria b le s
va lo re s reales.
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347
x, y A z tienen
SUPERFICIES
V)
S im e t r ía s c o n re sp e cto a lo s p la n o s c o o rd e n a d o s, a lo s ejes c o o r d e n a d o s
y a l o rig e n . Se dice que d o s puntos P y Q son sim é tric o s co n respecto a un
plano, si el p la n o es perpendicular al segm ento que lo s une en su punto
m edio.
P o r otro lado, se dice que una superficie es sim é trica c o n respecto a un
plano, cu a nd o el p lan o es perpendicular al segm ento que une d o s p u ntos de
la su pe rficie en su punto m edio.
Observación 3
Si P(x; y ; z ) es un punto del espacio, entonces tenemos
a)
■
El simétrico de
b) El simétrico de
P con respecto a l plano x y es Q (x\ y ; —z )
P con respecto a l plano x z es Q (x\ — y ; z )
c) El simétrico de P con respecto a l plano y z es Q ( —x \ y , z )
d)
El simétrico de
P con respecto al eje x es Q ( x ; —y ; —z )
e)
El simétrico de
Pcon respecto al eje y es Q ( —x; y; — z )
f)
El simétrico de
Pcon respecto a l eje z es Q ( —x ; —y ; z )
g) El simétrico de P con respecto al origen es Q { ~ x \ — y ; — z )
Una superficie es simétrica con respecto a una recta L si el simétrico de
cada punto de la superficie, respecto a la recta L, es también un punto de Ia
superficie.
Una superficie es simétrica con respecto a un punto C si el simétrico de
cada punto de la superficie, respecto al punto C, es también un punto de la
superficie.
D e acuerdo con estas consideraciones, se obtiene los resultados dados en la
siguiente tabla:
Si la ecuación de la superficie no se
La superficie es simétrica
altera cuando se reemplaza
con respecto al
x p o r —x
Plano y z
y por - y
Plano x z
z p o r —z
Plano x y
z p o r - z A y p o r —y
E jex
x p o r —X A z p o r —z
Eje y
x p o r —X A y p o r - y
Eje z
x por - x
A y por - y
A z por - z
origen
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348
S U P E R F IC IE S
V I ) C on stru cción
de la superficie (g ráfica). C o n
la a yu d a de
lo s p aso s
anteriores se co n struye la grá fica de la e cuación de una superficie.
E je m p lo 5
D is c u t ir y g ra fica r la e cuación 9 x 2 + 4 y 2 - 1 2 z = 0
Solución
I.
Interseccion es con los ejes
i)
C o n el eje x : h acie n do y = z = 0 en la ecua ción se obtiene 9 x 2 = 0,
entonces x = 0. L a
coordenadas.
superficie
interseca al eje x
en el o rig e n
de
A l estudiar las otras intersecciones se co m p ru e b a que el o rige n es el ún ico
punto de intersección.
II.
T ra z a s sobre los planos coordenados
i)
S o b re el p la n o x y . H a c ie n d o z = 0 se obtiene 9 x 2 + 4 y 2 = 0.
ecuación, en el p la n o x y , representa al o rig e n de coordenadas.
ii) S o b re el p la n o x z .
Se hace y = 0
y se obtiene
E sta
9 x 2 - 1 2 z = 0.
E sta
ecuación, en el p la n o x z , representa a una parábola.
iii) S o b re el p la n o y z . H a c ie n d o x = 0 se tiene la p aráb ola 4 y 2 III.
12z = 0
T ra z a s en los planos paralelos a los planos coordenados
i)
C o n p la n o s p arale los al p la n o x y . H a c ie n d o z = k
en la e cu a ción de la
su pe rficie se obtiene 9 x 2 + 4 y 2 = 12fc. Se o b se rva que h a y intersección
solam ente cua n d o
elipse).
k > 0
(si k = 0
es un punto, si
k > 0
es una
ii) C o n p la n o s p arale los al plano x z. Reemplazando y = k
en la ecu ación
de la supe rficie se obtiene
9 x 2 - 1 2 z + 4 k 2 = 0.
representa a una p aráb ola V k G R .
Esta e cu a ción
iii) C o n p la n o s parale los al plano y z . R e e m p la za n d o x = k
en la e cu a ció n
se tiene 4 y 2 -
1 2 z + 9 k 2 = 0. Esta e cuación representa a una p arábola
Vf e EM.
IV. Extensión
L a e cu a ción 9 x 2 + 4 y 2 - 1 2 z = 0 está d efinid a
Vx G R (de I I I - iii), V y G ñ (de I I I - ii) y V z G [0; + o o ) (de I I I - i).
V.
Sim etrías
A l reem plazar x p o r —x en la e cuación de la superficie se o b se rv a que esta
n o varía, es decir, la superficie es sim étrica c o n respecto al p lan o y z . D e
m anera sim ilar, la supe rficie es sim étrica c o n respecto al p la n o x z y al eje z.
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349
r r -
SUPERFICIES
VI.
Gráfica
1.a gráfica de esta e cuación se m uestra en la Fig. 7.6 y se llam a paraboloide
elíptico.
Ejem plo 6
D isc u tir y g rafica r la superficie cu ya ecu a ción es y 2 - 4 y 4- 2 z = 0
Solución
I.
Intersección con los ejes
i)
C o n el eje
x. H a cie n d o
todo punto
y = z = 0 se o b tie n e 0 = 0, esto sig n ific a que
del eje x satisface la e cuación de lasuperficie, es decir
intersección de la superficie con el eje x es el eje x.
ii)
Con
el
Luego,
eje y.
las
Si
x = z = 0 => y 2 - 4 y = 0 => y = 0 V
intersecciones
con
el
eje
y
son los
y
= 4.
puntos
P 1( 0 ; 0 ; 0 ) y P 2 ( 0 ; 4 ; 0 )
iü) C o n el eje
z. S í
x = y = 0 => 2 z = 0 <=> z = 0. A s í, la intersección
con ele eje z es el o rige n de coordenadas.
II.
T ra z a s sob re los planos coord en ados
i)
S o b re el plano x y .
L a s trazas so n las rectas
y = 0
(eje x )
(recta paralela al eje x).
ii)
S o b re el p la n o x z . L a traza es la recta z = 0 (e je x ).
iíi) S o b re el plan o y z . L a traza es la p aráb ola y 2 — 4 y + 2 z =
350
0
e y = 4
T O P IC O S D E C A LC U LO - V O LU M EN II
lli.
Trazas e n lo s p l a n o s p a r a le lo s a lo s p l a n o s c o o r d e n a d o s
i)
C o n p la n o s parale los al plano xy.
z = k => y 2 — 4 y + 2 k = 0 ==> y
E x iste intersección para k < 2
so n d o s rectas paralelas)
(P ara k = 2
= 2 ± V 4 — 2k
es una recta, para k < 2
ii) C o n p la n o s parale los al plano x z. y = k => 2 z - 4 k - k 2, es u n a recta
Vk e M
iii) C o n p la n o s p aralelos al plano y z .
x = A: => y 2 - 4 y + 2 z = 0 , es una
parábola, V fc 6 IR
IV .
E x t e n s ió n
L a ecua ción y 2 - 4 y + 2 z = 0
está d efinid a V x 6 l (de I I I - iii), V y £ E
(de 111- ii) y V z 6 ( — oo; 2] (de 111- ii).
V.
S im e t r ía s
E x iste sim etría co n respecto al plano y z .
V I.
G r á f ic a
E n la Fig. 7.7
se m uestra la parte de la superficie que se encuentra en el
p rim e r octante. L a supe rficie se d e n o m in a c ilin d r o p a ra b ó lic o .
E J E R C IC IO S
E n cada u n o de lo s sigu ien te s ejercicios efectúe la d isc u sió n y trace la g rá fica de
la su pe rficie representada p o r las ecuaciones dadas.
1.
4x2 + y 2 + z 2 = 4
(e lip so id e )
2
.
x2+ y 2- z2 - 0
(co n o circular)
*»
4.
X 2 + z2 - 4y = 0
(P a ra b o lo id e de re v o lu c ió n o circu lar)
4,
y2- x 3= 0
(C ilin d ro )
5.
9 x 2 - 4y 2 - 4 z 2 = 3 6
(H ip e rb o lo id e circu la r de d o s hojas)
6.
9 x 2 - 4y 2 + 4 z 2 = 36
(H ip e rb o lo id e elíptico de una hoja)
7.
y 2 - x 2 = 2z
(P a ra b o loid e h ipe rb ólico)
8.
x2 + y 2 + z2 = 4
(esfera)
9.
y 2 - x 2y = 0
10.
z = |y|
351
SU P E R FIC IE S
7.3 C IL IN D R O S
U n cilindro es una superficie generada p or una recta que se m ue ve a lo largo de
una cu rva plana dada, perm aneciendo siem pre paralela a u na recta fija que no está
en el plano de d ic h a curva. L a recta que se m ueve se llam a g e n e ra triz del cilin d ro
y la cu rva plana se llam a d irectriz del cilindro.
S i la generatriz de un cilin d ro es perpendicular al p la n o de la directriz, el cilin d ro
es llam ado cilindro recto y en caso contrario, cilindro oblicuo.
S i la directriz es una recta, el cilin d ro se reduce a un plano.
E n lo que sigue, se co n sid e ra que la directriz es una cu rva contenida en u n o de los
p la n os coordenados.
S u p o n g a m o s que la directriz está en el plano x y (F ig. 7.8). L u e g o , su ecu ación es
de la fo rm a E ( x ; y ) = 0
A
z — 0. S i P ( x ; y ; z ) es un p unto del cilin d ro cu ya
generatriz tiene p or vector d irección al vector a — ( a x; a 2; a 3) y si P 0 ( x '; y '; 0 )
es el punto de intersección de la directriz con la generatriz que pasa p or P ,
entonces
E (x ',y') = 0 ,
z'= 0
(a )
L a e cu a ción de la recta que pasa p or P y P0 es:
x - x'
y —y '
z — z'
--------- = ------ i - = -------«,
az
a3
(£ )
D e ( a ) y (/í), e lim in a n d o las va ria b le s x ' , y '
cilindro.
352
y
z ' se obtiene la ecu a ción del
T O PIC O S DE C A L C U L O - V O LU M EN II
H a lle la ecua ción del cilin d ro cu y a d irectriz es la cu rv a y 2 = 4 x
E je m p lo ?
z = 0
A
y a = (1 ; — 1; 1 ) es el vector dirección de la generatriz.
S o lu c ió n
Se a
P ( x - , y ; z ) un punto del cilin d ro y
P0( x ' ; y ' ; z ' ) la intersección de la directriz
con la ge neratriz que pasa p or P, entonces
la e cuación de d ic h a generatriz es
Com o
x - x'
y — y'
1
-1
z -
z'
(a)
1
PQ es un punto de la directriz,
entonces se tiene
y ' 2 = 4x' A z' = 0
(/?)
R e e m p la za n d o z ’ — 0 en (a) se obtiene:
x — x ' = z A y — y ' = —z
D e d ond e
x ' = x — z A y ' 2 = {y + z ) 2 . R e e m p la za n d o
y ' 2 = 4 x ' se obtiene ( y + z ) 2 - 4{x - z).
festos
va lo re s
de la superficie cilin d rica es ( y + z ) 2= 4 { x -
P o r tanto, la e cuación
en
z)
Este c ilin d ro se lla m a c ilin d r o p a r a b ó lic o o b lic u o . E n la Fig. 7.9 se m uestra su
gráfica (para
z > 0).
E je m p lo 8
H a lle la ecuación del cilin d ro recto cu ya directriz es la curva
z =
2\x\
A y = 0
1 + X2
S o lu c ió n
S u p o n g a m o s que la generatriz que pasa por
el
punto
P (x ;y ;z )
(F ig.
7.10)
de
la
superficie corta a la directriz en el punto
P o(x':y'',z'),
entonces la e cuación de la
generatriz (eje y ) es
x = x' A z = z'
(a)
C o m o P0 pertenece a la curva, entonces
2|x'|
= lT T 2 A y
^
R e e m p la za n d o ( a ) en ( 0 ) se obtiene
2 jx l
Z
l + x2
Se o b se rva que esta e cu a ción es sim ila r a la e cuación de la directriz.
353
S U P E R F IC IE S
Observación 3 En el espacio tridimensional , la gráfica de una ecuación en dos
de las tres variables x, y, z es un cilindro cuya directriz es una curva que se
encuentra en el plan o asociado con las dos variables que aparecen en la ecuación
y cuyas generatrices son paralelas al eje coordenado asociado con la variable
(altante, es decir.
1) E ( x ; y ) = O representa ( e n el espacio) a un cilindro con:
Directriz:
E(x-,y) = O A z = O
Generatriz: eje z (variable que ja ita en la ecuación)
2) E ( x ; z ) = O representa a un cilindro con
Directriz: E(x-,z) — O A y = O
Generatriz: eje y
3)
E ( y \ z ) — O representa a un cilindro con
Directriz: E ( y ; z ) = OA x
=
O
Generatriz: eje x
E je m p lo 9
T ra ce la gráfica de la superficie representada p or cada una de las
e cuaciones
a) x 2 + y 2 - 4 y = 0
b) z - e x = 0
c)
z2- y3 = 0
d)
x 2 = (y + l ) y 2
S o lu c ió n
L a s gráfica s se m uestran en las fig u ra s 7.11, 7.12, 7.13 y 7.14
f ¡9
7 11
.354
Topiros nr r \ i m n - voi i ' m f n u
E JE R C IC IO S
I.
E n cada u no de lo s sig u iente s ejercicios halle la ecua ción del c ilin d ro u san d o
las e cu a cione s de la directriz y el vector d ire cción de la generatriz.
1. x 2 + 4 y =
z = 0 , a = (1; 1; 3 )
1 A
R. 9 x 2 + z 2 - ó x z - 3 6 y 4- 1 2 z = 0
2. y 2 ~ z 2 = 1 A x = 0 , d = ( - 1 ; 1; 2)
3. x 2 + y =
1 A z = 0 , a = (2; 1 ;0 )
II. E s b o c e la gráfica de la supe rficie representada p o r cada una de las sig u iente s
e cuaciones
1. y 2 — 2 y + 4 = z
2. y = c o s x , x e [0; An]
3. y 3 = x 2
4. x 2 - y 2 = 1.
5. 4 x 2 + y 2 — 4
6. y = l n x
8. y 2 = 4 z
9. z = x e x
n n
1 0 .y = t a n z ,
z e < ~ 2 : 2^
355
SU P E R FIC IE S
7.4 S U P E R F IC IE S D E R E V O L U C IÓ N
L a superficie generad a p or la rotación de
una cu rv a plana alrededor de una recta
fija que está en el p la n o de la curva, se
llam a superficie de revolución. L a recta
fija se llam a eje de revolución y la curva
plana se llam a cu rv a g en erad o ra.
S i por un punto cualq uiera
P ( x ; y ; z ) se
traza un p la n o p erpend icular al eje de
re volución, la intersección de la superficie
con d ic h o p la no
es un a circunferencia
Fig. 7.15
(Fig. 7.15).
S i C es el punto de intersección del plano con el eje de re v o lu c ió n L y Q es el
punto de intersección con la cu rva generadora, entonces se ve rifica
d{P-,C ) = d ( Q , C )
A la ecua ción generada p or esta igu ald ad se d en o m in a ecuación de la superficie
de revolución.
E n lo que sigue, se co n sid e ra que la cu rva generadora está contenida en un plano
co orde n ado o en un p la n o paralelo a un p la n o coordenado.
Observación 4 En la siguiente tabla, se muestra la fo rm a de la ecuación de una
superficie de revolución generada p o r una curva que se encuentra en un plano
coordenado y gira sobre uno de los ejes coordenados.
Ecuación de la superficie de
generadora
revolución
revolución
eje y
x 2 + z 2 = [/ (y )]2
o
eje y
x 2 + z 2 = [f(y)]2
y = 0
eje x
y 2 + z 2 — [f{x)Y
y = f(x ), z = 0
eje x
y 2 + z 2 — [/ (x )]2
y = / (z ), x = 0
ejez
x 2 + y 2 = [/ (z )]2
x = A *). y = 0
ejez
x 2 + V2 = íf(z )]2
o
II
x
Eje de
II
N
Ecuación de la curva
* = / (y ), z =
y- = / ( * ) ,
T O PIC O S D E C A LC U LO - V O LU M EN II
D e m o stre m o s la p rim e ra fó rm u la de la
tabla, d o n d e
la
e cu a ció n
ge n e rad ora es C: z = / ( y ) ,
eje de ro tació n es el eje y.
Se a P ( x ; y ; z )
de
la curva
x - 0 y el
un punto cualq uiera de la
su pe rficie de revolu ció n . S i Q es el punto
de intersección del p la n o p erpendicular al
eje y
que
pasa
por
P co n
la
curva
ge nerad ora y C es el punto de intersección
de d ic h o p la n o con el eje y , entonces
< 2 (0 ; y;/(y))
Fia. 7.16
y c (0;y ;0)
L u e go , de la d e fin ic ió n de la superficie de re v o lu c ió n resulta
d (P ; C ) = D(Q; C) <=> J x 2 + z 2 = |/(y)| <=> x 2 + y 2 = [ f ( y ) ] 2
E n lo s otros casos, la d em ostra ción es sim ilar.
Observación 5 Si el origen de coordenadas se traslada al punto O '( x 0 ; y 0 ; z 0),
las ecuaciones de las superficies de revolución de la tabla anterior tienen las
siguientes formas:
i)
( x - x 0) 2 + ( z - z 0) 2 = [ / ( y - y 0) ] 2
¡O (y " yo)2 + (z - z0)2 = [ / ( * - *0)]2
iii) ( x - x 0) 2 + ( y - y 0) 2 = [ / ( z - z 0) ] 2
E j e m p lo 10
E n ca d a un o de los siguientes ejercicios se da la ecuación de la
cu rva ge n e rad ora y el eje de re v o lu c ió n L, determ ine la ecu ación de la supe rficie
de re v o lu c ió n y esboce su gráfica.
a)
C:z = e y , x = 0 ; L: e j e y
b)
C:z = e v , x = 0
; L: e j e z
c) C: z 2 - 4 y 2 = 1, x = 0 ; L: e j e y
2\x\
d ) C : z = Y + x 2 ' y = 0 ' L: eJe x
e)
C:y = x 2, z = 0 ; L: e j e x
f)
C:y - x 2, z = 0 ; L: e j e y
S o lu c ió n
357
SU P E R FIC IE S
a)
C: z = e y , x = O ; L: e j e y
L a ecua ción de la superficie de re vo lu c ió n es
x 2 + z 2 = e 2y.
L a gráfica se m uestra en la F ig . 7.17
b) C: y = l n z , x = 0 ; L\ e j e z
L a ecu ación de la superficie de re volu ció n es x 2 + y 2 = ln 2z.
L a grá fica se m uestra en la Fig. 7.18
c) E n este caso,
C: z = J 1 + 4 y 2, x = 0 ; L: e j e y
L a ecu a ción de la superficie de re volu ció n es
x2 + z 2-
1 +
Ay2
L a grá fica se m uestra en la Fig. 7.19 (esta superficie se lla m a h ip e r b o lo id e de
r e v o lu c ió n o h ip e rb o lo id e c ir c u la r de u n a h o ja )
d) c
z = i + ^ z » y = 0 ; L: ei e x .
La e cu a ción de la su p e rficie es y 2 + z 2 =
Ax2
-------- — .
( 1 + x 2) 2
L a gráfica se muestra en la Fig. 7.20
e)
C: y = x 2, z = 0 ; L : e j e x
L a e cu a ción de la superficie de re v o lu c ió n es
y 2 + z2=
x 4.
x 2 + z 2=
y.
L a gráfica se m uestra en la F ig. 7.21
f)
C: y = x 2, z = 0 ; L: e j e y
L a e cu a ción de la supe rficie de re v o lu c ió n es
L a g rá fic a se m uestra en la Fig. 7.22
S U P E R F IC IE S
Fig. 7.17
359
S U P E R F IC IE S
E je m p lo 11 E n cada un o de lo s siguientes ejercicios se da la ecu ación de la c u rv a
generadora C y el eje de g iro
halle la ecuación de la su p e rficie de re volu ció n .
z = b , x - a
a) C:
z = / ( y ) , x = a ; L\
b) C:
z = 2 y - 3, x = 5 ; L: z = - 1 , x = 5
c)
C: 4 ( x + 2 ) 2 — ( y - l ) 2 = 1, z - 3 ; L: eleje im a g in a rio de
d)
C: 4 ( x + 2 ) 2 — ( y — l ) 2 = 1, z = 3 ; L: el eje transverso de la hip é rb o la
la h ip é rb o la
S o lu c ió n
a) E n la Fig. 7.23 se m uestra la cu rva C y
la recta L en el p la n o x = a . Lu e go ,
C(a; y: b ), Q ( a ; y ; / ( y ) )
D e la d e fin ic ió n de
re volu ció n, tenem os
y P (x ;y ;z)
la superficie de
d (P ; C) = d(Q-,C)
P o r tanto, la e cuación de la superficie de
re v o lu c ió n es
(x - a ) 2 + (z - b Y = [/ (y ) - b ]2
Esta e cu a ción tam bién puede obtenerse
trasladando
previam ente
el
orige n
al
punto 0 '( a ; 0 ; ¿ ) .
b) ( x — 5 ) 2 + ( z + l ) 2 = ( 2 y — 2 ) 2 (co n o de re v o lu c ió n o c o n o circular)
(y + 1 )2
c) ( x + 2 ) 2 + ( z — 3 ) 2 -------- ------ = 1 (h ip e rb o lo id e circ u la r de u n a hoja)
4
d) ( y + l ) 2 + (z - 3 ) 2 = 4 ( x + 2 ) 2 - 1 ó
4 ( x + 2 ) 2 — ( y + l ) 2 — (z — 3 ) 2 = 1 (hip e rb o loid e circ u la r de d o s hojas)
E je m p lo 12
E n cada un o de los siguientes ejercicios, identifique si es una
superficie de revolució n . L u e g o , determ ine el eje de re v o lu c ió n y la e cu a ción de la
cu rva generadora.
a) x 2 = 5 + z 2 — y 2
b) 2 x 2 + 4 z 2 + y 2 = 1
c) x 2 + 2 y 2 4- 2 z 2 — 4 x 4- 8 y — 4 z — 4 = 0
d) 2 x 2 4 2 z 2 4 4 x 4 y - 4 z 4 - 4 - 0
S o lu c ió n
3 60
lU l 'I L U ^ U t L A IX U L U - V O L U M b N H
a)
x 2 + y 2 = 5 + z 2 (h ip e rb o lo id e circular de u n a Jioja)
i)
L: x - 0, y — 0 (e je z )
Eje de re v o lu c ió n
C: x = 0, y = v 5 -f z 2
ii) C u r v a ge n e rad ora
(h ip é rb o la )
ó
y = 0 , x = V5 + z2
b) N o es una supe rficie de re v o lu c ió n (n in g u n a de las trazas en lo s p lan os
p arale los a los p la n o s co ord e na d o s es una circunferencia).
(x — 2 ) 2
c) ( x + 2 ) 2 + ( z - l ) 2 = 9 --------------- (e lip s o id e d e r e v o lu c ió n o e s fe ro id e )
i) Eje de re v o lu c ió n L: x = —2 , z = 1
18 - ( x - 2 ) 2
ii) C u rva g e n e ra d o ra C: x = —2, z - 1 +
(e lip se )
N
d) (x + l ) 2 + (z -
l)2 = - 1
(p a r a b o lo id e c ir c u la r )
L: x - — 1, z = 1
i) Eje de re v o lu c ió n
ii) C u rva ge n e ra d o ra C:x = —1, z = l +
y¡~2
(p a rá b o la )
7.5 S U P E R F I C I E S C U A D R A T I C A S
U n a su p e rfic ie c u a d r á t ic a o sim plem ente c u á d r ic a es la gráfica de u na e cuación
de se g u n d o grad o en las va ria b le s x , y , z .
A lg u n a s su pe rficies c ilin d ric a s o su pe rficies de re v o lu c ió n so n ejem p los de
cuádricas. E n ésta se cció n se presentará a lgu n a s fo rm as usuales de las su pe rficies
cuadráticas cu y a s e cu a cion e s están en su fo rm a m ás sim p le (f o r m a c a n ó n ic a ).
C o n sid e ra n d o que el lector está en co n d icio n e s de d iscu tir la e cu a ción de una
superficie, n o s lim ita re m o s a d e scrib ir a lgun a s prop ie dade s de estas superficies.
7.5.1 E L I P S O I D E
L a fo rm a ca n ó n ic a de la e cu a ción del elipso id e co n centro en el o rige n es
x2
y2
z2
a2 ^ b 2 + ^2 = 1
don d e a, b y c son n ú m e ro s reales positivos. A d e m á s, los intervalos de v a ria ció n
de las va ria b le s x , y
a
z
x £ [ - a ; a], y 6 [ - b ; b]
so n
A
z
e
[ - c ; c]
361
SU P E R FIC IE S
Si a ¿ = b 2 = c 2, la superficie es una esfera.
S i a 2 = b 2 (ó b 2 = c 2, ó a 2 = c 2) la superficie es un e lip s o id e d e r e v o lu c ió n
o esferoide. U n esferoide cu y o tercer núm ero es m a y o r que lo s d o s n ú m e ro s
iguales, se llam a e sfe ro id e a la rg a d o . ( L a elipse que la genera g ira alrededor de su
eje m ayor). S i el tercer núm e ro es m enor que los dos n ú m e ro s iguales, se llam a
e sfe ro id e a c h a ta d o (la elipse que la genera g ira alrededor de su eje m enor).
L a s trazas en los p la n o s p aralelos a los p lan os C oordenados so n e lip se s o
circunferencias. ( E n
punto).
lo s p la n o s
x ~ ¿ a , y = + b , z — + c se reduce a un
Esta superficie es sim étrica con respecto a
co ord e na d o s y al o rige n de coordenadas.
lo s p la n o s co orde nado s, a los ejes
L a gráfica del e lip so id e se m uestra en fá F ig. 7.24
L a form a o rd in a ria de la e cuación del elipso id e con centro C ( h ; k ; l ) es
(1, _ lr\2
fr* I\2
■ *)
, ( y - * ) 2- . 0 - - 0 2
ñ-------i------- --------- 1--------:—
7.5.2 H I P E R B O L O I D E E L Í P T I C O ( C I R C U L A R ) D E U N A H O J A
L a form a ca n ó nic a de la ecu ación del h ip e rb oloid e de una hoja con centro en el
origen es
x
y “-
ñ2 + b 2
x2
= 1
V
y2
x2
z2
~a ¿ü ~ ~b 2 + c
= 1
donde a, b y c so n n ú m e ros reales positivos.
E n la Fig. 7.25 se m uestra la gráfica de
ó --T +
y
b2
z
+ -r =
1
T O PIC O S DE C A L C U LO - V O LU M EN II
A continuación se describe algunas propiedades de esta superficie
Los intervalos de variación de las variables x, y A z son
x 6 ( - 00; - a ] U [a; + 00), y e (— 00; - b ] U [fe; + 00) y z £ < - 00; + 00)
Si a 2 = b 2, es una superficie de revolución (hiperboloide c ircu la r de una h oja)
Si a 2 & b 2, la superficie es el hiperboloide elíptico de una h oja, las trazas en
los planos paralelos al plano x y son elipses o circunferencias según sea el caso en
que
a2
b2
ó
a2 = b2
Las trazas en los planos paralelos a los planos x z e y z son hipérbolas, (en los
planos y - b , x - a son dos rectas que se cortan).
Esta superficie es simétrica con respecto a los ejes coordenados, a los planos
coordenados y al origen de coordenadas.
La forma ordinaria de la ecuación del hiperboloide de una hoja con centro en el
punto C(h) k; l) es
(x - h ) 2
(y - k)2
(z - O 2
a2
b2
c2
1
7.5.3 H I P E R B O L O I D E E L Í P T I C O ( C I R C U L A R ) D E D O S H O J A S
La forma canónica de la ecuación del hiperboloide de dos hojas con centro en el
origen es
x2
y2
z2
(
~ a 2 + b2 ~ 7 2 = 1 \ °
x2
y2
^2 ~ b 2 ~ c 2 = 1 °
donde a, b y c son números reales positivos.
En la Fig. 7.26 se muestra la gráfica de
x2
y2
z2
z2
~~¿2 + ¥ ~ c 2 = 1
Los intervalos de variación de las
variables x , y A z
para esta
superficie son
x £ ( - 00; + 00),
y £ (— 00; -b] U [b; +co) y
Z £ ( - 00 ; + « > )
363
,
x2
y2
z2
~ á 2 ~ b 2 + c2
SUPERFICIES
S i a 2 = c 2 , es una superficie de re volu ció n (h ip e rb o lo id e c i r c u la r de d o s h o ja s )
Si a 2
c 2, la superficie es el h ip e rb o lo id e elíptico de d o s h oja s.
L a s trazas en lo s p la n os paralelos al plano x z son circun fe re ncia s o e lip se s se gú n
sea el caso en que a 2 = c 2 ó
a2
c 2 . ( E n el plano y = b es un punto).
Esta superficie es sim étrica con respecto a los ejes co orde n ado s, a los p la n o s
co orde n ado s y al o rige n de coordenadas.
L a form a o rd in a ria de la e cuación del hiperb oloid e de d o s hojas co n centro en el
punto C(ft; k\ í) es
(x - h ) 2 | ( y - fe)2
(z - Q 2 _ ^
Observación 6
Las tres cuádricas (elipsoide, hiperboloide de una hoja e
hiperboloide de dos hojas) también se denominan cuádricas centrales.
En general cualquier ecuación de ¡a forma:
(x - h ) 2
± - -----r
a2 ^ ±
( y - k ) 2( z - l ) 2
b7-2
2"
c±22
= 1
donde a, b y c son números reales positivos, representa a una cuádrica central
con centro en C ( h ; k ; l) .
Sí los tres signos son positivos: elipsoide
Si dos signos son positivos y uno es negativo: hiperboloide de una hoja
Si dos signos son negativos y uno es positivo: hiperboloide de dos hojas.
Si los tres signos son negativos: el conjunto es vacío.
7.5.4 P A R A B O L O I D E E L Í P T I C O ( O C I R C U L A R )
L a fo rm a ca n ó n ic a de la ecu a ción del parab oloid e con vértice en el o rige n es
x2
?
donde a
y2
+ ^
=
/
x2
I,6
^
z2
y2
+ ^ = by
6
y b so n n ú m e ro s p o sitiv o s y c =/= 0
E n la l'ig. 7.27 se m uestra la grá fica de
x2
y2
— + —
= cz, con c > 0
364
¥
z2
+ ^
= ax
T O P IC O S D E C A L C U L O - V O L U M E N II
Si
c < 0
el p arab o loid e se abre h acia la
parte n e ga tiva del eje z.
L o s intervalos de v a ria ció n de las variables
x, y A z
para
supe rficie son:
la
e cuación
de
esta
x £ ( — c°; + c o ) , y 6 ( — 00; + 0 0 ) y
z £ [ 0; + 0 0 ) ( s i c < 0, z £ ( - 0 0 ; 0 ])
Si
a 2 = b 2 , la supe rficie es una superficie
de re v o lu c ió n ( p a r a b o lo id e c ir c u la r )
S i a 2 & b 2, la su pe rficie es el p a r a b o lo id e
elíptico.
L a s trazas en los p la n o s p aralelos al plano x y son circu n fe re n cia s o e lip se s se gú n
sea el caso en que
punto).
a 2 = b 2 ó a 2 * b 2. ( E n el p la n o
z = 0. la traza es un
Esta su p e rficie es sim étrica con respecto al eje z, al plano ‘x z y al p la n o y z .
L a fo rm a o rd in a ria de la e cuación del p arab o loid e co n vértice en el punto
V ( h , k ; l ) es
(x - h.)2
(y - k ) 2
a2
b2
= c ( z - i)
E n los otros casos, la ecuación es de la form a
{x -
h)2
(z -
l) 2
■H-----------
b ( y - k)
ó
(y - k ) 2
(z -0
+ ■
= a ( x - h)
7.5.5 P A R A B O L O I D E H I P E R B Ó L I C O ( S I L L A D E M O N T A R )
L a fo rm a ca n ó nica de la e cu a ción del p araboloide h ip e rb ó lic o con punto de silla
en el o rige n de co ord e n a d a s es
y-
b2
xc
a2
cz
í
z2
ó
V,
x1
— - —
cL
a2
= by , ó
z2
y2
\
c‘
b2
)
d ond e a y b son n ú m e ro s p o sitiv o s y c i d ,
E n la Fig. 7.28 se m uestra la grá fica de
y2
x2
- r r ------ - -
o2
a2
CZ
, con C > 0
L o s intervalos de v a ria ció n para las variables x , y A /
X £ ( - 0 0 , + 0 0 ), y
6 (-0 0 , +00)
V Z £ (-0 0 , +0 0 )
365
de esta su pe rficie son
S U P E R F IC IE S
l.iis secciones transversales al plano x y
son h ipérbolas ( E n el p la n o z = 0
son
ilos rectas que se cortan). La$ trazas en
los planos p aralelos a los p lan os
xz
e
yy. son parábolas.
lista su pe rficie es sim étrica con respecto
al eje z, al p la n o x z y al plano y z .
E l origen de coorde n adas es el punto de
silla de esta superficie.
L a form a o rd in a ria de la e cuación del
p araboloide h ip e rb ó lic o con punto de
silla en S { h ; k\ l) es
(y ~ k ) 2
(x - h y
b2
a2
= c ( z - l)
E n los otros casos, la e cuación es de la form a
(z-/)2
(x -h )2
„ ;
— 3 -------------- - 5 —
= b (y-k ) o
(z—
O2 { y - k f
= a(x - h)
7.5.6 C O N O E L Í P T I C O ( O C I R C U L A R )
La
form a
ca n ó n ic a
de
la e cuación del co n o
coordenadas es
donde a, b y c so n n ú m e ro s reales p ositivos.
E n la Fig. 7.29, se m uestra la gráfica de la
superficie
x2
y2
z2
a2 + b2
c2
L o s intervalos de va ria ció n de las variab le s
x, y A z son
x e 1 ,y e 1
a z e E
S i a ¿ — b'¿, la su pe rficie es de re v o lu c ió n
(c o n o c irc u la r).
S i a 2 * b 2, la supe rficie es el c o n o e líptico.
3 66
con
vértice
en el o rige n
de
r o n c o s D E C A L C U L O - V O L U M E N 11
L a s trazas en los p la n os parale los al plano x y son circu n fe re n cia s o e lip se s se gú n
sea el caso en que a 2 = b 2 ó
a 2 * h 2. (E n el plano z = 0 la traza es el orige n
de coordenadas). L a s trazas en los planos paralelos al p la n o x z y al p la n o y z son
hipé rb ola s ( E n los p la n os y = 0
A
x = 0 son d o s rectas que se cortan).
Esta supe rficie es sim étrica con respecto a ios ejes coordenados, a los planos
co o rd e n a d o s y al orige n de coordenadas.
L a fo rm a o rd in a ria de la e cuación del co no con vértice el punto V(Iv, k\ l) es
(x - h ) 2
( y - fe)2 _ ( z - l ) 2
a-
c*-
o*-
E n los otros casos, la ecua ción es de la form a
(x - h ) 2
a2
E je m p lo 13
(z - Q 2__ ( y - fe)2.
+
c2
(z - Q 2
b2
°c 2
+
( y - k ) 2 _ (x -
b2
~
h)2
a2
D isc u tir y g rafica r la ecuación 9 x 2 + 4 z 2 + 9 y = O
S o lu c ió n
I)
Intersección con los ejes coordenados: el orige n de coordenadas.
II)
T ra za s sobre los p la n o s co orde n ado s
i)
S o b re el plano x y :
la p arábola x 2 + y = O
ii) S o b re el plano y z :
la p arábola 4 z 2 4- 9 y = O
iii) S o b re el plano x z:
el orige n de co orde n a da s
III )
T ra za s en p la n os p aralelos a los
p la n os co ord e na d o s
A I p la n o x y : p arábolas
Fig. 7.30
A l p la n o y z : p aráb olas
A l p la n o x z : elipses, (para y < 0)
IV )
E xte n sió n : x E l ,
y £ ( —oo; Oj, z £ K
V)
L a grá fica de la supe rficie se m uestra en la l-ig. 7.30 (p araboloid e elíptico).
367
¡f”
SUPERFICIES
F.Jcinplo 14
Ivsboce la gráfica de las siguientes ecuaciones
a) iíjf l /. + y 2z - 9 z 2 = 0
x¿
b ) T
y2
zlzl
+ T6 —
= 1
S o lu c ió n
a) 3 x 2z + y 2z - 9 z 2 = 0 <=> ( 3 x 2 + y 2 - 9z ) z = 0
<=> 3 x 2 + y 2 — 9 z = 0
ó
z = 0
L a ecu ación 3 x 2 + y 2 — 9 z = 0 representa a un p arab o loid e elíptico.
L a ecu ación z = 0 representa al plano x y .
L a gráfica de la e cuación ( 3 x 2 + y 2 — 9 z ) z =
0 se m uestra en la F ig. 7.31
b) U tiliz a n d o la d e fin ic ió n del v a lo r absoluto en
x2
y2
z \z \
~9+ 16~~9~ ~ 1
se tiene
x2
y2
z2
S iz < 0
=> '^■ + 7 7 + 7 r : = l
9
16
S iz > 0
x2
y1
z2
=> — + — — — = 1 (h ip e rb o lo id e de u n a hoja)
9
16
9
x2
(e lip so id e )
y2
La gráfica de la e cu a ción — + —
9
z\z\
— = 1 se m u e stra e n la Fig. 7.32
368
T O P IC O S D E C A L C U L O - V O L U M E N II
7.6 C O O R D E N A D A S C IL IN D R IC A S Y C O O R D E N A D A S E S F É R IC A S
L a s co o rd e n a d a s de u so frecuente en el espacio trid im e n sion a l, aparíe de las
rectangulares so n las co orde n a da s cilin d rica s y las co ord e n a d a s esféricas.
7.6.1 C O O R D E N A D A S C IL IN D R IC A S
Si
P
es
un
punto
trid im e n sio n a l y
del
(x ;y ;z )
e spacio
so n sus
co ord e n a d a s rectangulares, se define
las
co ord en ad as
cilindricas
c o m o la terna ( r ; 8 ; z ) ,
son
las
co orde n a da s
donde
p olares
de
P
(r;8)
de
la
p ro ye cc ió n orto go n al de P sobre el
plano x y
y
z es la d istan cia d irig id a
de (r; 0 ) a P (F ig. 7.33).
7.6.1.1
Si
R E L A C IÓ N E N T R E L A S C O O R D E N A D A S C A R T E S IA N A S Y
C IL IN D R IC A S
(x ; y ; z )
y
(r;0 ;z)
so n respectivam ente las co orde n a da s cartesianas y las
co orde n a da s c ilin d ric a s de un punto P € 1R3, entonces se tiene
C artesian as en térm in os de las cilindricas
x - r eo s 9,
y = r s e n 8, z = z
C ilin d ricas en térm in os de las cartesian as
y
ta n 9 = - ,
x
r 2 = x 2 + y 2,
z = z
Observación 7
a) Las coordenadas cilindricas principales son: r > 0 , 0 < 0 < 2 n A z E l
b) Las coordenadas cilindricas d el origen son ( 0 ; 9 ; z ) p a ra cualquier 8
c) La ecuación de un cilindro circular recto de radio a en coordenadas
cartesianas es x 2 + y 2 = a 2, transformando a coordenadas cilindricas su
ecuación es r = a.
369
su p e r f ic ie s
r j c m p io 15
i)
Encuentre las coordenadas cartesianas del punto que tiene las co orde n a da s
cilin d rica s dadas
3)
(3;f;5j
b) ( 7 ; y : - £ )
ii) Encuentre un conjunto de
coorde n adas cartesianas son
a)
(4; 4 ; - 2 )
c) (1; 0; 1)
coordenadas
cilin d rica s
punto
cu y a s
P son (3; n / 2 ; 5 ) , entonces
r = 3.
b) ( - 3 V 3 ; 3; 6 )
del
c) (1; 1; 1)
S o lu c ió n
i)
a) S i las co orde n a da s cilin d rica s de
0 - n /2
y z = 5. Lu e go , aplicando las fó rm ulas que re la cio n as estas
co orde n a da s con las cartesianas se tiene
x = 3 c o s(7 r/ 2 ) = 0, y = 3 s e n ( n / 2 ) = 3
y
z = 5
P or tanto, las coordenadas cartesianas de P son (0 ; 3 ; 5)
Procediendo de manera sim ilar se obtiene
u-
í
7
—
;-4
V^
\
c)
(1; 0; 1)
*-¡
ii) a) Si las co orde n a da s cartesianas de
y - 4 y z = 5
P son
(4; 4 ; - 2 ) . entcnces x = 4,
Lu e go , a p lican d o las fó rm u la s que relacionas estas co ord e n a d a s con las
c ilin d rica s tiene
y
4
tan 0 = - = - = 1 => 6
X
i
n
= - , r ‘ = x 2 + y 2 = 3 2 => r = 4 V 2 , z = 5
4
P o r tanto, las coorde nadas cilin d rica s de P son ( 4 V 2 ; 7r/4 ; 5 )
b ) (6 ; 5n/6 ; 6 )
c) ( V 2 ; n /4 ] l )
E je m p lo 16
H a lle una e cuación en co orde nadas c ilin d ric a s para la superficie
representada p or la ecu a ción cartesiana
a) 2x -f y — z = 0
c) x z - y 2 - 4 z z - 4
b) x 2 + y 2 = 4 z
= 0
•
S o lu c ió n
R e e m p la za n d o x = r eo s 0,
y = r s e n G y z = z, se obtiene
a) 2 r e os 6 + r s e n 9 - z = 0
b)
r2 - 4z
c)
r 2 e os 2 0 -
4z2 - 4
= 0
370
T O PIC O S D E C A L C U LO - V O LU M EN II
7 .6 .2 C O O R D E N A D A S E S F E R IC A S
L a s co ord e n a d a s e sféricas de un punto
P 6 R 3,
se
define
com o
la
terna
(p; 8; 0 ) , d on d e p representa la distancia
del punto P al origen, 0
es la m e d id a del
á n g u lo que fo rm a el se gm e n to OP con el
ra yo p o sitiv o del eje z (el á n gu lo
0
se
llam a co-Iatitu d de P, el á n g u lo n / 2 — 0
se llam a latitud de P) y
0 es la m edida
del á n g u lo que fo rm a el ra y o p o sitiv o del
eje x y el se gm e n to
OQ, d ond e Q es la
de P sobre el
p ro y e cc ió n (o rto go n a l)
p lano x y (F ig . 7.34)
7 .6 .2 .1
Si
Fig. 7.34
R E L A C IÓ N E N T R E
E S F É R IC A S
(x ; y ; z )
y
L A S C O O R D E N A D A S C A R T E S IA N A S Y
(p ; 9; (p) so n respectivam ente las co orde na da s cartesianas y las
co o rd e n a d a s e sféricas de un punto P E R 3, entonces se tiene
C artesian as en térm in os de las esféricas
Z =
p COS 0
x = p se n 0 eos 8
y = p se n 0 se n 8
E sféricas en térm in os de las cartesian as
x 2 + y 2 + z 2 = p 2,
x 2 + y 2 = p 2 s e n 20
A
y
- = ta n fl
Observación 8
a) Si se incluye los puntos d el eje z, las restricciones
p>0,
0 < 8 < 2n, O <0<7r
determinan una correspondencia biunivoca entre los puntos d e l espacio y las
coordenadas esféricas (p ; 8; 0 )
b) Las coordenadas esféricas d e l origen son
arbitrarios.
(0; 9; 0 ) ,
donde
8 ,0
c) La ecuación cartesiana de la esfera con centro en el origen y radio a es
x2 + y 2 + z2 = a2
A l transformar a coordenadas esféricas se reduce a p = a
371
son
SU P E R FIC IE S
E j e m p lo 17
i)
Encuentre
las
coorde n adas
esféricas
de
lo s
p u ntos
cuyas
co ord e n a d a s
rectangulares so n
a) (2; 2; 2 )
b) (0 ; 0; — 3 )
ii) Encuentre las co orde n adas rectangulares de los p untos c u y a s co orde n a da s
esféricas so n
*
a ) (3; 7t /2; 7t / 4 )
b) ( 2 ; -7 r/ 3 ;7 r/ 6 )
S o lu c ió n
i)
U tiliza n d o las fó rm u la s de transform ación de co ord e n a d a s cartesianas a
esféricas, tenem os
a) ( 2 V 3 ; 7r/4; a r c c o s ( l / V 3 ) )
b) (3; 0; zr)
ii) U sa n d o las fó rm u la s de transform ación de co orde n adas esfé ricas a cartesianas,
se tiene
a) (0 ; 3 V 2 / 2 ; 3 V 2 / 2 )
b) ( l / 2 ; - V 3 / 2 ; V 5 )
E J E R C IC IO S
1. Encuentre co orde n a da s esféricas para los siguientes p u ntos e sp e cifica d os por
su s co orde n a da s rectangulares
a) (4; 2 ; - 4 )
b)
(1 ;-V 3 ;4 )
c) (1; 1; 1 )
d)
(2; 0; 2 )
2. H a lle las co ord e n a d a s cilin d rica s para lo s puntos del ejercicio 1.
3. H a lle las co ord e n a d a s rectangulares del punto en co ord e n a d a s cilin d rica s
a ) ^2; a r c c o s - ; o j
b)
d ) ( - í . - í . i )
o
(
^
2)
4. H a lle las co ord e n a d a s rectangulares del punto en co ord e n a d a s esféricas
/
n
n\
/
n
n\
b> ( 3 : r - 6 )
/
TI
T l\
r
C> (,: 6 ' i)
d)
372
TI
(6:
7T\
«)
T O P IC O S D E C A L C U LO - V O LU M EN II
5.
H a lle u n a ecu ación en co orde nadas cilin d rica s de la supe rficie c u y a e cu a ción
en co o rd e n a d a s cartesianas es
a) (x + y ) 2 = z —5
b ) x 2z 2 = 2 5 — y 2z 2
d ) ax + b y + c z = x 2 + y 2 + z 2
6.
L a s sig u ie n te s su p e rficie s están descritas en co ord e n a d a s esféricas. En cuentre
su s e cu a cion e s rectangulares.
a) c o t 0 = s e n 8 + e o s 6
c) p = a s e n 0 s e n 8
7.
b) p 2 e o s 2 0 = a 2
p 2 s e n 20 s e n 2 8 = a 2
d)
H a lle u na e cu a ción en co orde n adas esféricas, para la esfera de ra d io 3 con
centro en (0; 1; 0 )
8.
9.
H a lle un a ecu ación en co orde n a da s cilin d rica s para la esfera del ejercicio 7.
En
lo s
sigu iente s
ejercicios,
encuentre
las
e cua cion e s
en
co o rd e n a d a
c ilin d ric a s y en co orde n a da s esféricas para la supe rficie dada.
a) E l p arab o loid e x 2 + y 2 = 4 z
10. D e s c rib ir la supe rficie
z = 2r
b) E l h ip e rb o lo id e x y = z
(coordenadas cilin d rica s), y obtener
una
e cu a ción de la m is m a en co ord e n a d a s cartesianas.
11. H a lle u na ecu ación en co orde n a da s rectangulares(cartesianas) de la supe rficie
z 2 = i _ (r _ 2 ) 2
7.7 A P L I C A C I O N E S
E j e m p lo 17 C a lc u le el v o lu m e n del só lid o lim itado p o r la su pe rficie z = x 2 + y 2
y el p la no z = 4
_________________________________
S o lu c ió n
L a ecua ción
z = x 2 + y 2 representa un
p arab o loid e
circular.
Las
secciones
transve rsales p erpend iculares al eje z son
c írc u lo s de ra d io r = V i (F ig . 7.35).
E l área de cada se cció n tra n sve rsal es
A (z) = n z ,
z G [0; 4]
Y
P o r co nsiguiente, el v o lu m e n del só lid o es
x
=
8nu3
Fig. 7.35
373
SU P E R FIC IE S
E je m p lo 19 ¿ L a e cuación x 2 + y 2 - e 2z = 0 representa una su p e rficie de
re v o lu c ió n ? L n ca so afirm ativo, halle el área de la superficie c o m p re n d id a entre
los p la nos z — 0
y
z = 1 y calcule la longitud de arco de la c u rv a generadora.
S o lu c ió n
x 2 + y 2 = e 2z representa una superficie de revolución. E l eje de re v o lu c ió n es el
eje z, ( x - 0 , y = 0 ) y una cu rva generadora es C: y = e z, x = 0
Para determ inar el área de la superficie de re v o lu c ió n co m p re n d id a entre los
planos z — 0 y z = 1 (F ig. 7.36), basta considerar el arco de la cu rv a y — e z .
z e [0; 1] en el p lan o x = 0 y hacerla girar alrededor del eje z. (F ig. 7 .37 )
II
i
Fig. 7.36
N
0
1
” z
Fig. 7.37
L u e go , el área de esta superficie de re v o lu c ió n es
^~lyJ1+[§]iz*ievl+e”‘¡z
= -
/ T ~,;— 7
2
i /e + Vi + e2
-V 2
V 1+ V2
e V 1 + e 2 + ln | ------------— —
L a lon gitu d de arco de la cu rva ge nerad ora resulta
H a cie n d o la su stitu ció n trigon o m é trica e z = ta n 0 <=* z = ln ( t a n 0 ) , ob tenem os
-arctan e
4
ln
^
¿ar ctanee
/•arctan
------ r -----s e n 0 e o s 2#
Vi +
1
-
I
( ese 9 + ta n 9 se c 9 ) d 9
4
- ln(V2 - l ) + V i + e2 - V 2
374
TOPICO S DE CALCULO - VOLUM EN II
E j e m p lo 2 0
C a lc u le el vo lu m e n del só lid o lim itado p o r las su p e rficies
9 x 2 — 9 y 2 + 4 z 2 — 3 6 x — 8 z 4- 4 = 0. y = — 1
A
y = 4
S o lu c ió n
A l com p letar cu a d ra d o s en la e cuación de la
superficie se obtiene
2 )2 + ( z - l ) 2
(*
4
9
A s i. la supe rficie es un h ip e rb oloid e elíptico
de una hoja c u y o centro es C ( 2 ; 0 ; l ) .
L a gráfica del só lid o se m uestra en la Fig.
7.38. L a s se ccio n e s tra nsve rsales del só lid o
p erpend iculares al eje y
(.x - 2 ) z
■■
so n las elipses
(z - l ) 2
- t - —— —
—
—
9
4
(x - 2 ) 2
(z - l ) 2
41
91
■4- ■
= 1 +:
4 4- y 2
1, d o n d e t =
L u e g o , el área de la elipse (se cció n transversal) es
A (y) = ír ( 2 V t ) ( 3 V t ) =
/ 4 4- y 2
6 n :(— - —
y 6 [-1 :4 ]
U sa n d o el m étodo de se ccio n e s transversales, el v o lu m e n del só lid o es
3
r4
j A (y)dy = - n J
-4
E je m p lo 21
( 4 + y 2) d y =
C a lc u le el v o lu m e n del só lid o lim itado p or la superficie
y 2 4- z 2 - 2 s e n 2* - 2 s e n * - c o s 2x = 0 y lo s p la n o s x = 0
y
x = n /2 .
S o lu c ió n
L a ecu ación se puede e scrib ir c o m o
y 2 + z 2 = (se n x
4- l ) 2. E sta ecu ación
representa una supe rficie de re v o lu c ió n cu yo eje de g iro es el eje x.
L a se cció n tran sve rsal del s ó lid o perpendicular al eje x es el circulo
y 2 4- z 2 = (sen x + l ) 2, x £ jo;- ]
A s í, el área de la se cció n transversal es
A ( x ) = 7r(señx 4 -1)2. x e [0 ; -|
P o r co nsiguiente, el v o lu m e n del s ó lid o resulta
f n/ z
f1
,
ít(37t 4- 8)
u
A{x)dx ~ n
(sen x 4 -1)2 d x = ------ jo
'o
V(S) = I
375
SU P E R FIC IE S
E jem p lo 22 C a l c u l e e l v o l u m e n d e l s ó l i d o l i m i ta d o p o r la s s u p e r f i c i e s
o
- x
y
2Z —
—— ,b ——
4
9
y
*
= z2
—
4
S o lu c ió n
x
y
2z = — + —
La ecuación
re p re sen ta
representa a un p arab o loid e con vértice
en el orige n y la ecuación
„2 . y,,2
x
T + T = z
2
re p re se n ta a u n cono con
representa a un c o n o con vértice en el
origen.
E sta s su p e rficie s se intersecan cuando
La
se cción
p erpendicular
transversal
del
al
es
eje
z,
sólido,
el
a n illo
elíptico cu y a área es
A ( z ) = 7 r ( V 8 z ) ( V l 8 z ) - n ( J a z 2) ( V 9 ? ) = I 2 n z - 6 n z 2, z 6 [0; 2]
P o r lo tanto, el vo lu m e n del s ó lid o es
y(S) =
E j e m p lo 2 3
í (127TZ — 6 n z 2) d z = 8 n u 3
■>o
U n s ó lid o está lim itado p or las supe rficies
1
S i : p = - cot <p ese (p (e n c o o rd e n a d a s e sfé ricas)
S2: z = 3
(e n c o o rd e n a d a s c ilin d ric a s)
B o sq u e je la g rá fica y calcule el vo lu m e n
del sólido.
S o lu c ió n
U tiliza n d o
las
relaciones
entre
las
co orde n a da s e sféricas y las coorde nadas
cartesianas: z — p eos (p,
y = p s e n (p s e n 0. x = p s e n (p co s:0 se
tiene x z + y 2 = p 2 s e n 2(p.
376
T O P IC O S D E C A L C U L O - V O L U M E N II
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D e la ecu ación de
resulta
cosrf)
-,
-,
,
,,
3 p = ----- r—- <=> 3 p 2 s e n 2<p = p e os cp => 3 0 " + y ) = z
se n ¿q)
E sta e cu a ción representa a un parab oloid e circular.
P o r otro lado, la ecu ación cartesiana de S2 es z = 3.
L a grá fica del s ó lid o se m uestra en la Fig. 7.40. L a s se ccio n e s tra n sve rsale s del
sólido, perpe n d iculare s al eje z, son círc u lo s de ra d io r = *Jz~/3. A s í, el área de
la se cción plana es
A (z) = y ,
z 6 [0; 3]
U s a n d o el m étodo de se ccione s planas, el vo lu m e n del s ó lid o resulta
f 3 nz
n s ) = Jj T
E j e m p lo 2 4
3n
*
= y
,
U
H a lle la e cuación de la recta que pasa p or el punto
P t ( 0; - 2 ; 4 )
y
es tangente al c ilin d ro 5: 2 y = x 2 . E l án gu lo que fo rm a d ic h a recta c o n el plano
x y es de 30° (4 solu cio n e s).
S o lu c ió n
Se a P 0 (a ; b; c ) el punto de tangencia (F ig. 7.41 izquierda). E n la vista h orizon tal
(visto desde arriba h a cia abajo - F ig. 7.41 derecha), se tiene
y + 2
P e n d ie n te de la tangente: m =
(a )
dy
y + 2
dx
x
T a m b ié n m = — = x. Luego,
--------= x
377
(p )
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SUPERFICIES
P o r otro lado, A ( x ; y ; z ) pertenece al cilindro, entonces
2y = x 2
( y)
D e ( y ) y (/?) se obtiene y = 2, x — ± 2
Si
m = ±2
Qx: y + 2 = 2 x
se reem p laza
tangentes
en
( a ) se obtiene las
y
Q2:y + 2 = —2 x
ecu acione s de lo s p la n o s
1. C o n sid e ra n d o el p la n o tangente Qt : 2 x — y — 2 = 0, se tiene:
P0 E Qi =>2a — b — 2 = 0
P0 £ S => 2b = a 2
D e estas d o s e cu acion e s se obtiene a = 2 y
b = 2
D a d o que el á n g u lo que fo rm a la recta con el plano x y es 30°, entonces
l , __________ i;. - 1 1
llv íll
2
__ _______
+ (6 + 2 )! + (c - 4 ) 2
R e e m p la za n d o el v a lo r de a - 2 y b = 2, se obtiene
1
4
=
|c-4|
2 V l5
=> C = 4 ± — - —
V 2 0 + (c - 4 ) 2
3
L u e g o , las e cu a cio n e s de las rectas tangentes son
L x: P = ( 0 ; — 2 ; 4 ) + t ^ l ; 2 ; ^ j ,
t£ R
¿ 2: Q = ( 0 ; - 2 ; 4 ) + A ^ l ; 2 ; - ^ p ^ i
2. C o n sid e ra n d o
el
plano
tangente
A £ R
Q2: 2 x + y + 2 = 0,
se
obtienen
solu cio n e s:
¿ 3: P = ( 0 ; - 2 ; 4 ) + t ^ - l ; 2 ; ^ p j ,
L 4 : (2 = ( 0 ; - 2 ; 4 )
+
tE R
A^—1 ; 2 ; - ^ )
2 V Í5
L o s p u n t o s de ta n g e n c ia s o n ( — 2; 2; 4 ± — - — )
378
,
A 6 R
las
T O P IC O S D E C A L C U L O - V O L U M E N II
E J E R C IC IO S
I. E n cada u no de los siguien te s ejercicios, d iscu tir y g rafica r la supe rficie
representada p o r cada e cuación
a) x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 3 6
b) x 2 + 4 y 2 + 4 z = 0
c) x 2 — y 2 + 4 z 2 = 4
d) x 2 — y 2 — 4 z z = 4
e) 4 x 2 + 8 y + z 2 = 0
í) x 2 + 9 y 2 = z 2
g) 2 5 y 2 - x 2 - 9 z 2 = 0
h) x 2 + 4 y 2 = 4 z 2 - 4 z + 1
i) x 2 — y 2 — 4 z 2 = 4
j) x 2 + y 2 = 1 + z
k) 1 6 x 2 - 9 y 2 - z 2 - 1 4 4 = 0
I) y 2 + 1 6 x 2 = 6 4 - 4 z 2
II. E n cada u n o de los ejercicios, calcule el v o lu m e n del só lid o lim ita d o p o r las
su pe rficies
2) 8 z = x 2 + 4 y 2 , z = 1
R. ( V 2 7 i ) u 3
R. ( 3 6 n ) u 3
4) z — x 2 + 2 y 2 , x 2 + 2 y 2 + z 2 = 6
x2
y2
7) T + V 4
9
(d o s so lu c io n e s)
z|z|
III. H a lle la ecu a ción de la recta L que pasa p o r P ^ O ; - 7 ; 3 )
supe rficie c ilin d ric a y = 5 - ( x -
W- P -
(1; 1; 1) + t(0; 2; - 3 ) ,
y es tangente a la
4 ) 2. L a recta L corta a la recta
t 6 M (d o s so lu c io n e s)
R. V\ Q = (0; -7 ; 3) + t(l; 12; - 8 ),
L": R = (0; - 7 ; 3 ) + A ( l ; 4; 4 ),
379
t e R
X 6
R