Solucionario Rectas, ngulos y triángulos

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1. Se pide MC = X
Por dato: AC + BC = 28 mts. Haciendo la gráfica correspondiente:
A
M
m
B
C
D
m
x
Observando la figura podemos escribir: AC + BC = 28 ........... ( I )
Pero AC = x + m ; BC = x – m
→
Y sustituyendo en ( I ) : (x + m) + (x – m) = 28
→
2x = 28
x = 14
Respuesta “A”
2. Graficando la recta a partir de los datos:
X
CB / 2
O
A
Planteamos las ecuaciones:
CB
OC = 6 +
……… (1)
2
OC = 15 – CB ….…….(2)
C
B
X’
Resolviendo (1) y (2) obtenemos OC = 9 cm
D
……………… Respuesta B
A
bisectriz
O
3. Graficando según los datos:
El ∠ AOB = 180°
de la figura: ∠ _AOC = 180°- 155°= 25°
luego: ∠ AOC =
2
2 x 25° = 50°
155º
B
4. De acuerdo con el gráfico: X + 87º 15’ = 180º
C
De donde x = 92º 45’
5. Como ∆ ABC es equilátero, entonces ∠A = 60°
Si BD // AC , entonces ∠EBD = ∠A = 60° ………………………… Respuesta C
6. Si observamos las agujas, y recordamos que el espacio entre cada hora del reloj es igual a
Entonces, la hora marcada será 50º x 5 = 150º
Convirtiendo a radianes:
150 x 2π
C
R
150 R
5
=
→
→ R=
→ R= π
=
6
360 2π
360 2π
360
7. Si AE ⊥ EB entonces ∠AEC + ∠X = 90 → 25º + X = 90º
360
= 50º
12
………………. Respuesta C
de donde x = 65º ……………….. Respuesta D
8. Si AB // CD, entonces AGE = CKG ( ángulos correspondientes )
Y si les llamamos b x ; entonces x + b = 180º ; de donde: x = 180º − b ………. Respuesta B
9. Como la medida de los ángulos opuestos por el vértice son iguales,
entonces 3x + 10 = 5 (x – 2 ) ⇒ 3 x + 10 = 5 x – 10
de donde x = 10 .........respuesta B
10. Sean α y β los ángulos. El ángulo que se forma de la unión de las bisectrices de α y β será: θ
α β α +β
+ =
2 2
2
En nuestro caso tendríamos
132
= 66 …………….. Respuesta B
θ=
2
β
Donde θ =
α
β
α
θ
11. Por definición AFE es un ángulo llano. Luego:
AFB + BFC + CFD + DFE = AFE
x + 60 + y + DFE =180 → DFE = 80 – 60–x–y → DFE = 120–x–y ……........Respuesta D
12. Las cuatro rectas forman un cuadrilátero donde la suma de sus ángulos externos es : a + b + c + d = 360º = 2π
Pero por ángulo exterior en cada triángulo se tiene: 1 + 2 = a; 3 + 4 = b; 5 + 6 = c; 7 + 8 = d
Sumando se tiene: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = a + b + c + d = 2π .......... Rta “D”
1
2
3
a
4
b
d
8
7
c
5
6
13. Haciendo un esquema de lo que ocurre en el punto “A”:
4a
2a
a
a
En el triángulo más largo,
sabemos que â = 90º − x .......... ( 1 )
Y en el triángulo más alto: 8â + θ = 90º ............ ( 2 )
Reemplazando ( 2 ) en ( 1 ) :
8 (90º −x ) + θ = 90º
De donde x =
630º −θ
…………… Respuesta D
8
14.- Renombrando ángulos, por propiedad de ángulos
opuestos por el vértice
a
Usando la propiedad de ángulos en cada punto del triángulo:
a
a
180−a
a
b
b
c
b
c
180 − b 180 – c
b
c
c
Sumando internamente
( 180 – a ) + ( 180 – b ) + ( 180 – c ) = 360º
a + b + c = 180º
Pero debemos hallar el valor de:
a + a + b + b + c + c = 2a + 2b + 2c = 2 ( a + b + c )
2 . 180º = 360º
15. La suma de los ángulos interiores de todo cuadrilátero que no posee ángulos obtusos es igual a 360° …………..Respuesta C
16. Construyendo el cuadrilátero y determinando TODOS los ángulos interiores tenemos:
B
75°
Siendo un ∆ isósceles aquel que tiene dos ángulos (y dos lados) iguales,
A
30°
75° C
concluimos que hay dos triángulos isósceles en la figura
110°
35°
35°
D
17. Utilizando el método de INFERENCIA GRÁFICA, observamos que dos rectas se intersecan –como máximo- en 2 puntos.
Asimismo, que tres rectas se intersecarán –como máximo- en 3 puntos y que cuatro rectas lo hacen en 6 puntos.
Podríamos observar también que 5 rectas lo hacen en 10 puntos…. Y así sucesivamente.
n (n − 1)
Y luego, organizando una tabla y ANALIZANDO, concluimos que para “n” rectas secantes entre sí, obtendríamos
puntos
2
Nº de Rectas
Secantes
2
3
4
5
Puntos
de corte
1
3
6
10
18. Para resolver este tipo de problemas se utiliza el método de INFERENCIA GRÁFICA. Así:
Efectuando una muestra gráfica, intersecando dos circunferencias, observamos que pueden conseguirse –máximo– 2 puntos de
corte. De la misma forma, cuando intersecamos tres circunferencias logramos 6 puntos de corte. Y cuando intersectamos cuatro
conseguiremos 12 puntos de corte
Luego, organizamos una tabla, y ANALIZAMOS en base a qué operación con el número de circunferencias obtendremos el número
de puntos de corte.
Nº de
Circunferencias
2
3
4
Puntos
de corte
2
6
12
Y concluimos que a partir de “n” circunferencias obtenemos n (n –1 ) puntos de corte. …………… Respuesta E