37.- Circunferencia, Circulo y Cuadriláteros

Circunferencia y Círculo
1. Elementos de la circunferencia y del círculo:
O: centro de la circunferencia.
E
OC : radio
B
A
L
F
AB : cuerda
O
α
EC : diámetro
D
L : secante
L1: tangente (OC
L1
CG )
G
C
EF : sagita F punto medio de AB , EO AB y si AB es un lado de un polígono regular
inscrito a la circunferencia
FO apotema.
CD : arco de la circunferencia (siempre se leen en sentido contrario a los punteros del
reloj).Como es una parte de la circunferencia, se puede determinar su perímetro o su
medida en grados, ya que la circunferencia completa mide 360°
COD : sector circular
2. Áreas y perímetros: (considerando el dibujo anterior)
Sea r : radio, d : diámetro
2.1. Perímetro de la circunferencia: P = 2π r = π ⋅ d
2.2. Área del círculo: A = π ⋅ r2
π ⋅ r2 ⋅ α
2.3. Área sector circular: A =
, α ángulo del centro
360º
3. Teoremas:
B
A
C
3.1. Secantes: sean AC y EC secantes
D
AC ⋅ BC = EC ⋅ DC
E
3.2 . Secante y tangente: sean AB tangente y CB secante
A
B
2
AB = BC ⋅ BD
D
C
3.3. Cuerdas:
P
B
AP ⋅ PB = CP ⋅ PD
A
D
C
Actividades
a)
Sea O centro de la circunferencia, determine x.
x
0
135º
b)
75º
O : centro de cirunferencia
α=
O
A
c)
α
B
Determinar β si Arco BA = 70° y α = 95°.
C
A
α
D
β
B
d)
Sea secante AC = 18 cm, tangente DC = 12 cm, determinar BC .
A
B
D
C
e)
Determine α.
A
E
50º
40º
α
D
30º
B
20º
C
Ejercicios PSU
1.
2.
Determinar el perímetro del arco AB, si α = 50°, OA = 4 cm, O: centro de la
circunferencia.
A)
2π
cm
9
B)
10π
cm
9
C)
20π
cm
9
D)
40π
cm
9
E)
Ninguno de ellos.
α
O
A
B
En la figura, el arco BC es el 30% del perímetro de la circunferencia. Determine α.
A)
B)
C)
D)
E)
27°
54°
108°
216°
Ninguno de ellos.
B
α
C
3.
Sea la circunferencia de centro O, ABCO cuadrilátero, determine x.
A)
B)
C)
D)
E)
70°
80°
140°
160°
Ninguno de ellos.
O
x
•
A
110º
30º C
80º
B
4.
Sea arco AB = 96°, BC diámetro, DC tangente. Entonces, ¿cuánto mide α?
A)
B)
C)
D)
E)
24º
42º
48º
66º
Otro valor.
C
α
D
β
0
B
A
5.
Determinar arco CD, si arco AB = 80° y δ = 50°
A)
B)
C)
D)
E)
20º
50º
65º
100º
Otro valor.
C
D
δ
B
A
6.
Sea O centro de la circunferencia, de radio 13 cm; OD = 5 cm; AB ⊥ OC . Determinar
AB.
A)
B)
C)
D)
E)
7.
A
C
D
O
B
Sea arco BA semicircunferencia de centro O, tangente al rectángulo ABCD, AB = 8 cm.
Determine el área achurada.
A)
B)
C)
D)
E)
8.
2√10 cm
12 cm
24 cm
4√10 cm
Otro valor.
(32 - 4π) cm2
(32 - 8π) cm2
(32 - 16π) cm2
(64 - 16π) cm2
No se puede determinar.
D
C
O
A
B
Sea la circunferencia de centro O y radio 6 cm, α = 60°. Determine el área achurada.
A)
B)
C)
D)
E)
6π cm2
10π cm2
26π cm2
30π cm2
36π cm2
O
α
9.
Sea α + β = 110°, O centro de la circunferencia. Determine arco AB.
A)
B)
C)
D)
E)
10.
55°
110°
250°
305°
Otro valor.
A
O
α
B
β
En la circunferencia de centro O, ∠ CBO = 70°, ∠ AOB = 80°. Determine x.
A)
B)
C)
D)
E)
40°
70°
80°
110°
150°
B
A
x
C
O
11. Sea ABCDE pentágono regular, ¿cuánto mide x?
A)
B)
C)
D)
E)
54°
90°
108°
150°
216°
E
D
C
x
A
B
12.
1
1
Sea arco CD = de la circunferencia, arco AB =
de la circunferencia, ¿cuánto mide
8
10
α?
A)
B)
C)
D)
E)
13.
4,5°
9°
40,5°
81°
Ninguno de ellos
D
A
α
B
C
En la figura, OB= 6 cm, OA = 2 cm, O centro de la circunferencia. Determine el valor de
CD
A)
B)
C)
D)
E)
4√2 cm
8√2 cm
2√10 cm
4√10 cm
Ninguno de ellos
B
O
C
A
D
14.
Sea ∆ ABC equilátero cuya altura mide 9√3 cm. Determine el área achurada. O centro
de la circunferencia.
C
A)
B)
C)
D)
E)
15.
O
B
A
En la circunferencia de centro O, BE = 6, CD = 24. Si AB diámetro, determine el radio
B
de la circunferencia.
A)
B)
C)
D)
E)
16.
(9√3 + 9π) cm
(27√3 + 9π) cm2
(27√3 + 18π ) cm2
(27√3 + 36π ) cm2
(54√3 + 36π ) cm2
2
E
C
9
15
18
24
30
D
O
A
Sea CA = 7 cm ( tangente a la circunferencia en A), AB diámetro de la circunferencia
de centro O y radio 7 cm, D punto medio de BC . ¿Cuánto mide AD ?
A)
B)
C)
17.
7
cm
7
cm
2
7
√2 cm
2
D)
7
√3 cm
2
E)
7
√5 cm
2
C
D
B
O
A
En la circunferencia de centro O y radio 10 cm, los ∆s AOC y ABC isósceles congruentes.
¿Cuánto mide AC ?
A)
5√2
B)
10√2 cm
C)
10√3 cm
D)
20√2 cm
E)
20√3 cm
B
cm
C
A
O
18.
19.
Desde un punto situado a 128 cm del centro de una circunferencia de radio 47 cm, se
traza una tangente a la circunferencia. ¿Cuál es su magnitud ?
A)
5√7
cm
B)
9√7
cm
C)
24√7
cm
D)
40√7
cm
E)
45√7
cm
Sea AB = 8 cm (tangente a la circunferencia en A), BC = 32 cm, AF = 25 cm, EF = 5 cm.
Si FD > FC, ¿cuánto mide FD ?
A
A)
B)
C)
D)
E)
20.
4 cm
5 cm
10 cm
25 cm
Ninguno de ellos
B
F
D
C
E
Sean la circunferencias de centro O y radio 6 cm, centro O’ y radio 12 cm, OO’ = 24 cm.
¿Cuánto mide AB ?
A
A)
6√15 cm
B)
18 √15 cm
C)
36 √15 cm
D)
540
E)
Ninguno de ellos
cm
B
O
O’
21.
Sea ∆ ABC inscrito en una semicircunferencia, donde AB diámetro, AC es el triple de
BC. Si BC = x, determine la distancia desde donde cae hc en la hipotenusa hasta B.
A)
B)
C)
D)
E)
22.
x √10
Dos cuerdas se cortan al interior de una circunferencia, cuyo radio es 11 cm. El producto
de los 2 segmentos de una de ellas es 40 cm2. ¿Cuál es la distancia entre el punto de
intersección de las cuerdas y el centro de la circunferencia? (Una de las cuerdas es el
diámetro)
A)
B)
C)
D)
E)
23.
x
√5
10
x
√5
2
x
√10
10
x
√10
2
2 cm
9 cm
15 cm
19 cm
20 cm
En el cuadrado ABCD se han inscrito 4 cuartos de circunferencia, de los cuales el lado
del cuadrado coincide con su radio. Si el lado del cuadrado es x, ¿ cuánto mide el área
achurada?
A)
x (1 - π)
B)
x2 (12π - 8)
C)
x2 (6π - 12 √3 )
D)
E)
D
C
A
B
2
2π
)
3
Faltan datos para determinarla.
x2 (4 - √3 -
24.
25.
En la figura, DA = AB = BC = CE = 6, además DE es colineal con el diámetro de las
3 circunferencias. ¿Cuánto mide el área achurada?
A)
36π - 36 √3
B)
36 √3 - 12π
C)
44π - 36 √3
D)
Otro valor
E)
Faltan datos para determinarla.
D
A
B
C
O’
D
En la figura, ABCD rombo, B y D centros de las circunferencias tangentes entre sí.
Si CE = 1, AC = 2, CE tangente a la circunferencia en E, A, B, E colineales. ¿Cuánto
mide el área achurada?
A)
B)
C)
D)
E)
C
2
2
√3 π
3
9
π
√3
9
3
√3 2π
9
3
2√3 - 8π
9
3
Faltan datos para determinarla.
E
D
B
O’
A
Cuadriláteros y circunferencia
Paralelógramos:
Área = base ⋅ altura
Trapecios:
 base 1 + base 2 
 ⋅ altura
2
Área = 

4.2.1 Trapecio isósceles
D
A
E
C
F
B
AD = BC ; AE = FB
Ejercicios PSU
1.
Si en una circunferencia el radio disminuye a la mitad, entonces, ¿cuál(es) de las guientes
aseveraciones es(son) verdadera(s)?
I)
El perímetro disminuye a la mitad.
II)
El área se reduce a la cuarta parte.
III)
La razón entre las áreas es 2 : 1
A)
Sólo I
B)
Sólo II
C)
Sólo III
D)
Sólo I y II
E)
Sólo I y III
2.
3.
4.
Determine x:
A)
45°
B)
50°
C)
55°
D)
60°
E)
65°
D
45º 45º
A
E 100º
C
x
B
Sea ABCD cuadrado inscrito en la circunferencia, determine α:
A)
45°
B)
60°
C)
90°
D)
120°
E)
No se puede determinar
D
A
α
C
B
Sea arco BA semicircunferencia , AC = 6, BC = 8. Determine el área achurada:
A)
12,5 π − 24
B)
12,5 π − 48
C)
25 π − 24
D)
50 π − 24
E)
50 π − 48
C
A
B
5.
6.
7.
Determine el área achurada, O centro de la circunferencia, radio 7 cm.
A)
49  π − 3  cm 2
2  3
2 
B)
1  50 π − 49 3  cm 2

4  3
C)
49 π − 3 cm 2
6
D)
7π 7
−
3 cm 2
6 4
E)
49  π − 3  cm 2
2 
2 
(
30º
)
O
Se tiene una semicircunferencia de centro O y ∠ CBA = 80°, el valor del ángulo x es:
A)
15°
B)
30°
C)
40°
D)
55°
E)
70°
C
D
x
A
O
B
Sea AB diámetro, α = 160°, el valor del ángulo x es:
A)
70º
B)
80°
C)
100°
D)
120°
E)
140°
α
A
x
B
8.
Determinar el área del trapecio.
5
9.
10.
A)
48√3
B)
24√3
C)
12√3
D)
8
E)
No se puede determinar
6
6
60º
Un terreno rectangular de lados 40 metros y 50 metros se divide en 2, de manera
que uno de los terrenos sea cuadrado y el otro rectangular. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I)
El terreno menor tiene área 400 m2.
II)
El área del terreno cuadrado corresponde al 75% del área del terreno total.
III)
El perímetro del terreno total es 180 m.
A)
Sólo I
B)
Sólo I y II
C)
Sólo I y III
D)
Sólo II y III
E)
I, II y III
Si un cuadrado aumenta su lado en un 20%,¿en qué porcentaje aumenta su área?
A)
10%
B)
C)
20%
40%
D)
44%
E)
Otro valor
11.
12.
Para el rectángulo de la figura, ¿a qué porcentaje corresponde el área achurada?
A)
10%
B)
12,5%
C)
25%
D)
30%
E)
40%
b
b
a
La circunferencia de perímetro 16 π está inscrita en el cuadrado ABCD y
AE = AB ; DF = DC . ¿Cuánto mide el área del rectángulo AEFD?
2
2
E
A
B
A)
256
B)
128
C)
82
D)
8
E)
13.
a
(E y F puntos de tangencia)
D
F
Ninguno de los valores anteriores
C
Determine la razón entre el área del trapecio ABDE y el área del rectángulo ABCD,
DB = 10.
A)
3 :5
B)
4 :5
C)
5 :4
D)
5 :3
E)
No se puede determinar
E
8
A
9
D
C
10
B
14.
15.
Sea O centro de la circunferencia de radio 4 cm, ABCD cuadrado, E, F, G, H puntos
medios. Determine el área achurada:
A)
(16 - 4 π ) cm
B)
(16 - 16 π ) cm2
C)
(54 - 16 π ) cm2
D)
(64 - 4 π ) cm2
E)
(64 - 16 π ) cm2
D
H
E
O
C
2
A
F
G
B
Determine el área achurada, si ABCD cuadrado de lado 6 cm. CA y AC arcos de
circunferencia.
A)
(18π - 36 ) cm2
B)
(36 - 18π ) cm2
C)
(72 - 18π ) cm2
D)
(18π - 72 ) cm2
E)
Ninguno de ellos
D
C
A
B