11.- Logaritmos y Función Logarítmica

LOGARITMOS – FUNCIÓN LOGARÍTMICA
DEFINICIÓN
El logaritmo de un número real positivo b en base a , positiva y distinta de 1 , es el
número m a que se debe elevar la base para obtener dicho número.
loga b = m  am = b ,
OBSERVACIONES:
b0, 1  a  0
La expresión loga b = m se lee “el logaritmo de b en base a es m”.
logaritmo es la operación inversa de la exponenciación.
log10 a = log a.

El
CONSECUENCIAS DE LA DEFINICIÓN DE LOGARITMO

loga 1 = 0

loga a = 1
EJEMPLOS
1.
log 125 = 3 expresado en forma exponencial es
5
A) 35 = 125
B) 5
1
3
= 125
C) 53 = 125
D) 125
E) 125
2.
1
5
-3
=3
1
=
5
33 = 27 expresado en forma logarítmica es
A) log3 27 = 3
B) log27 3 = 3
C) log1 27 = 3
3
D) log1 3 = 27
3
1 
E) log3   = 27
3 

loga am = m
log (3 · 3-1) =
3.
A) -1
B) 0
C) 1
D) 9-1
E) -9
1 
log3   =
9 
4.
1
3
1
B) 3
C) 2
D) -2
A)
E)
5.
3
9
logm
A)
B)
C)
D)
E)
m2 + m
=
m+1
2m
m+1
m
1
0
2
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
b  0,
Sean

c  0,
1  a  0
LOGARITMO DE UN PRODUCTO
loga (b · c)

= loga b + loga c
LOGARITMO DE UN CUOCIENTE
loga
b
= loga b – loga c
c
EJEMPLOS
1.
log3 5 + log3 7 =
A) log3 5 · log3 7
B) (5 · 7)3
C) 335
D) log3 12
E)
2.
3.
log3 35
log2 128 – log2 16 =
A)
B)
C)
D)
-2
-1
1
log 9
3
E)
log 64
4
log 3 + log 4 – log 2 escrito como el logaritmo de un número es
A) log 5
B) log 6
C) log 10
3
D) log
2
3
E) log
8
3
4.
El desarrollo logarítmico de
A)
B)
C)
D)
E)
5.
3a
es equivalente a
2b
log 3 + log a - log 2 + log b
log 3 – log 2 + log a – log b
log 3 + log 2 – log a – log b
1,5 (log a – log b)
log 5 + log a – log b
Si log2m  log2n = 5, el cuociente
m
es igual a
n
A) 10
B) 25
C) 32
D) 64
E) 128
6.
7.
log
a+b
=
a  b
A)
B)
C)
D)
2 log b
log + log (-b)
log a (log b – log (-b))
log (a + b) – log (a – b)
E)
log a log b2  log a
log b
El valor de 2 – log 25 es
A)
B)
C)
D)
E)
log 2
log 3
log 4
log 5
2 + 5 log 2
4

LOGARITMO DE UNA POTENCIA

LOGARITMO DE UNA RAÍZ

CAMBIO DE BASE
OBSERVACIÓN:
loga bn = n loga b
loga
n
log b =
a
log
a
a
1
=
16
3
log2 25 =
A) 3 log2 25
B) 3 log2 5
2
log 5
2
3
3
log2 5
D)
2
1
log 5
E)
2
3
C)
3.
log 9
=
log 6
A) log 9 – log 6
B) 3(log 3 – log 2)
C) log9 6
D) log6 9
E)
log a
log x = log y  x = y
A) 1 – 4 log 2
B) -4 log 2
C) -8 log 2
D) 4 log 2
E) 0
2.
log c b
c
EJEMPLOS
1.
1
loga b, con n  0
n
b =
3
2
5
4.
-
1
log 3 2 =
5
A) log32-5
B) -5 log32-1
1
C) log 3 2 5
5
D) log3 2-1
E) log3 5 -2
5.
log (a3 ·
c3 ) =
A) 3 log (a +
c)
2
B) 3 log a +
log c
3
3
log c
C) 3 log a –
2
D) 3 log a + 1,5 log c
3
log c · 3 log a
E)
2
6.
El valor de x en la ecuación log(2x – 10) = log(x + 5) es
A) 15
B) 10
C) 5
D) 4
E) -4
7.
3
Si 27 log c – 8 = 0, entonces log c2 =
3
2
2
B)
3
4
C)
9
8
D)
81
16
E)
81
A)
6
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
f(x) = loga x,
Una función f definida por
con a  lR+, a  1
y x0
se denomina
función logarítmica.
y
GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
i)
a>1
f(x) = log2 x
2
f(x) = log2 x con a = 2
x
1
8
1
4
1
2
1
2
4
8
f(x)
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1
y
f(x) = log 1 x con a =
2
1
2
3
2
x
1
8
1
4
1
2
1
2
4
8
f(x)
3
2
1
0
-1
-2
-3
1 2 3 4
-2




El dominio es: Df = lR+
El recorrido es: Rf = lR
La gráfica intersecta al eje x en el punto (1, 0).
Si a  1, entonces f(x) = loga x es creciente.
Si 0  a  1, entonces f(x) = loga x es decreciente.
La curva no intersecta al eje y.
EJEMPLOS
1.
La gráfica de f(x) = log x – 1 pasa por el punto
A)
B)
C)
D)
E)
(1,
(1,
(1,
(2,
(0,
x
f(x) = log 1 x
2
OBSERVACIONES

x
-2
-3
ii) 0 < a < 1

1 2 3 4
0)
1)
-1)
0)
0)
7
2.
3

Dada la función f(x) = log2  x  2  , ¿cuál es la pre imagen de 4?
2


A) 12
34
B)
3
28
C)
3
20
D)
3
E)
2
3.
Dada la función g(x) = log 1 (4x + 1), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
5
verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
4.
g(6) = -2
pasa por el origen.
g es decreciente.
Sólo I
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
El gráfico que mejore representa a la función f(x) = log 1 (x + 1) es
3
A)
B)
y
C)
D)
y
y
E)
y
y
1
x
1 2
x
x
8
1
x
1 2
x
RESPUESTAS
Ejemplos
1
2
3 4 5 6 7
1y2
C
A
B D D
3y4
E
E
B B C D C
5y6
B
C
D D D A E
7y8
C A
Págs.
E C