CIRCUITOS RLC EN SERIE Estado transitorio 1 Corriente total = corriente transitoria + corriente permanente 𝐼𝐼(𝑡𝑡) = 𝐼𝐼𝑇𝑇 (𝑡𝑡) + 𝐼𝐼𝑃𝑃 (𝑡𝑡) 𝑄𝑄(𝑡𝑡) = 𝑄𝑄𝑇𝑇 (𝑡𝑡) + 𝑄𝑄𝑃𝑃 (𝑡𝑡) 1 𝐸𝐸(𝑡𝑡) = 𝐿𝐿𝐼𝐼′ + 𝑅𝑅𝑅𝑅 + 𝑄𝑄 𝐶𝐶 1 𝐿𝐿𝑄𝑄′′ + 𝑅𝑅𝑄𝑄′ + 𝑄𝑄 = 0 𝐶𝐶 Carga total = carga transitoria + carga permanente ; ; Oscilación sub amortiguada Característica Primera raíz 𝑚𝑚1 Segunda raíz 𝑚𝑚2 Carga transitoria 𝑄𝑄𝑇𝑇 (𝑡𝑡) Corriente transitoria 𝐼𝐼𝑇𝑇 (𝑡𝑡) Parte real del número complejo 𝛼𝛼 𝐿𝐿 𝑅𝑅2 − 4 < 0 𝐶𝐶 ; 𝑚𝑚1 = 𝑚𝑚2 = −𝑅𝑅 − �𝑅𝑅2 − 4 2𝐿𝐿 −𝑅𝑅 + �𝑅𝑅2 − 4 2𝐿𝐿 𝐿𝐿 𝐶𝐶 𝐿𝐿 𝐶𝐶 𝑄𝑄𝑇𝑇 (𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 𝛼𝛼𝛼𝛼 [𝐶𝐶1 . 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛽𝛽𝛽𝛽) + 𝐶𝐶2 . 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛽𝛽𝛽𝛽)] 𝐼𝐼𝑇𝑇 (𝑡𝑡) = 𝛼𝛼. 𝑒𝑒 𝛼𝛼𝛼𝛼 [𝐶𝐶1 . 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛽𝛽𝛽𝛽) + 𝐶𝐶2 . 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛽𝛽𝛽𝛽)] + 𝑒𝑒 𝛼𝛼𝛼𝛼 [−𝐶𝐶1 . 𝛽𝛽. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛽𝛽𝛽𝛽) + 𝐶𝐶2 . 𝛽𝛽. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛽𝛽𝛽𝛽)] 𝛼𝛼 = − 𝑅𝑅 2𝐿𝐿 𝐿𝐿 +�4 − 𝑅𝑅2 𝐶𝐶 𝛽𝛽 = 2𝐿𝐿 Segundo coeficiente de integración 𝐶𝐶2 𝐶𝐶2 = 𝐶𝐶1 = 𝑄𝑄(0) 𝐼𝐼(0) − 𝛼𝛼. 𝑄𝑄(0) 𝛽𝛽 1 𝐿𝐿𝑚𝑚2 + 𝑅𝑅𝑅𝑅 + = 0 Raíces complejas conjugadas Coeficiente de la parte imaginaria 𝛽𝛽 Primer coeficiente de integración 𝐶𝐶1 1 𝐸𝐸(𝑡𝑡) = 𝐿𝐿𝑄𝑄′′ + 𝑅𝑅𝑄𝑄′ + 𝑄𝑄 𝐶𝐶 Ecuaciones generales 𝐶𝐶 Estado transitorio o de oscilaciones libres Oscilación sobre amortiguada 𝐿𝐿 ; 𝑅𝑅2 − 4 > 0 𝐶𝐶 𝑚𝑚1 = 𝑚𝑚2 = Raíces reales distintas −𝑅𝑅 − �𝑅𝑅2 − 4 2𝐿𝐿 −𝑅𝑅 + �𝑅𝑅2 − 4 2𝐿𝐿 𝐿𝐿 𝐶𝐶 𝐿𝐿 𝐶𝐶 𝐸𝐸(𝑡𝑡) = 0 Oscilación críticamente amortiguada 𝐿𝐿 𝑅𝑅2 − 4 = 0 𝐶𝐶 𝑚𝑚1 = 𝑚𝑚2 = ; Raíz real doble −𝑅𝑅 − �𝑅𝑅2 − 4 2𝐿𝐿 −𝑅𝑅 + �𝑅𝑅2 − 4 2𝐿𝐿 𝐿𝐿 𝐶𝐶 𝐿𝐿 𝐶𝐶 𝑄𝑄𝑇𝑇 (𝑡𝑡) = 𝐶𝐶1 . 𝑒𝑒 𝑚𝑚1.𝑡𝑡 + 𝐶𝐶2 . 𝑒𝑒 𝑚𝑚2 .𝑡𝑡 𝑄𝑄𝑇𝑇 (𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝐶𝐶1 + 𝐶𝐶2 . 𝑡𝑡) 𝐼𝐼𝑇𝑇 (𝑡𝑡) = 𝐶𝐶1 . 𝑚𝑚1 . 𝑒𝑒 𝑚𝑚1 .𝑡𝑡 + 𝐶𝐶2 . 𝑚𝑚2 . 𝑒𝑒 𝑚𝑚2.𝑡𝑡 𝐼𝐼𝑇𝑇 (𝑡𝑡) = 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝐶𝐶1 + 𝐶𝐶2 . 𝑡𝑡) + 𝐶𝐶2 . 𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐶𝐶1 = 𝑄𝑄(0) − 𝐶𝐶2 𝐶𝐶1 = 𝑄𝑄(0) 𝐶𝐶2 = 𝐼𝐼(0) − 𝑚𝑚1 . 𝑄𝑄(0) 𝑚𝑚2 − 𝑚𝑚1 𝐶𝐶2 = 𝐼𝐼(0) − 𝑚𝑚. 𝑄𝑄(0) CIRCUITOS RLC EN SERIE Estado permanente 2 Estado permanente o de oscilaciones forzadas con amortiguamiento 1 𝐸𝐸(𝑡𝑡) = 𝐿𝐿𝑄𝑄′′ + 𝑅𝑅𝑄𝑄′ + 𝑄𝑄 𝐶𝐶 Función de excitación 𝑬𝑬(𝒕𝒕) ; 𝐸𝐸(𝑡𝑡) = 𝐿𝐿𝑚𝑚2 + 𝑅𝑅𝑅𝑅 + 1 𝐶𝐶 Solución Cálculo de las constantes 𝐸𝐸(𝑡𝑡) = 𝑘𝑘 (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) 𝑄𝑄𝑃𝑃 = 𝑀𝑀(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) 𝑀𝑀 = 𝑘𝑘. 𝐶𝐶 𝐸𝐸(𝑡𝑡) = 𝑘𝑘. 𝑡𝑡 𝑄𝑄𝑃𝑃 = 𝑀𝑀. 𝑡𝑡 + 𝑁𝑁 𝑀𝑀 = 𝑘𝑘. 𝐶𝐶 𝑁𝑁 = −𝑘𝑘. 𝑅𝑅. 𝐶𝐶 2 𝐸𝐸(𝑡𝑡) = 𝑘𝑘. 𝑡𝑡 2 𝑄𝑄𝑃𝑃 = 𝑀𝑀. 𝑡𝑡 2 + 𝑁𝑁. 𝑡𝑡 + Ñ 𝑀𝑀 = 𝑘𝑘. 𝐶𝐶 𝑁𝑁 = −2. 𝑘𝑘. 𝑅𝑅. 𝐶𝐶 2 𝐸𝐸(𝑡𝑡) = 𝑘𝑘. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑤𝑤𝑤𝑤) 𝑄𝑄𝑃𝑃 = 𝑀𝑀. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑤𝑤𝑤𝑤) + 𝑁𝑁. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑤𝑤𝑤𝑤) 𝐸𝐸(𝑡𝑡) = 𝑘𝑘. 𝑒𝑒 −𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑄𝑄𝑃𝑃 = 𝑀𝑀. 𝑒𝑒 −𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑀𝑀 = 𝑘𝑘 1 − 𝐿𝐿. 𝑤𝑤 2 − 𝐶𝐶 𝑀𝑀 = 𝑘𝑘 𝑅𝑅2 𝑤𝑤 2 𝐿𝐿. 𝑤𝑤 2 − 𝐿𝐿. 𝛼𝛼 2 − 𝑅𝑅. 𝛼𝛼 + 1 𝐶𝐶 1 𝐶𝐶 𝑁𝑁 = 𝑅𝑅. 𝑤𝑤. 𝑀𝑀 1 𝐿𝐿. 𝑤𝑤 2 − 𝐶𝐶 Ñ = 2. 𝑘𝑘. 𝐶𝐶 3 𝑅𝑅2 − 2. 𝑘𝑘. 𝐿𝐿. 𝐶𝐶 2 CIRCUITOS RLC EN PARALELO (Tipo 1) Estado transitorio 3 Corriente total = corriente transitoria + corriente permanente 𝐼𝐼(𝑡𝑡) = 𝐼𝐼𝑇𝑇 (𝑡𝑡) + 𝐼𝐼𝑃𝑃 (𝑡𝑡) 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝐿𝐿. 𝐶𝐶 𝑑𝑑 2 𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑡𝑡 2 𝐿𝐿 + 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑅𝑅 𝑑𝑑𝑑𝑑 Ecuación general + 𝑖𝑖 𝐿𝐿. 𝐶𝐶. 𝑚𝑚2 + 𝑚𝑚 + 1 = 0 Estado transitorio o de oscilaciones libres 𝐸𝐸(𝑡𝑡) = 0 𝑅𝑅 Oscilación sub amortiguada Característica 𝐿𝐿2 𝑅𝑅 2 − 4𝐿𝐿𝐿𝐿 < 0 Primera raíz 𝑚𝑚1 𝑚𝑚1 = Segunda raíz 𝑚𝑚2 Corriente transitoria 𝐼𝐼𝑇𝑇 (𝑡𝑡) Parte real del número complejo 𝛼𝛼 𝑚𝑚2 = Segundo coeficiente de integración 𝐶𝐶2 Raíces complejas conjugadas − − 𝐿𝐿 � 𝐿𝐿2 − − 4𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑅𝑅 𝑅𝑅2 2𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐿𝐿 � 𝐿𝐿2 + − 4𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑅𝑅 𝑅𝑅2 2𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐼𝐼𝑇𝑇 (𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 𝛼𝛼𝛼𝛼 [𝐶𝐶1 . 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛽𝛽𝛽𝛽) + 𝐶𝐶2 . 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛽𝛽𝛽𝛽)] 𝛼𝛼 = − Coeficiente de la parte imaginaria 𝛽𝛽 Primer coeficiente de integración 𝐶𝐶1 ; 𝐿𝐿2 𝑅𝑅 2 ; − 4𝐿𝐿𝐿𝐿 > 0 𝑚𝑚1 = 𝑚𝑚2 = − − Raíces reales distintas 𝐿𝐿 � 𝐿𝐿2 − − 4𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑅𝑅 𝑅𝑅2 2𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐿𝐿 � 𝐿𝐿2 + − 4𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑅𝑅 𝑅𝑅2 2𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐶𝐶1 = 𝐼𝐼0 1 𝐼𝐼(𝑛𝑛) � 𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐼𝐼0 . 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑛𝑛𝑛𝑛)� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑛𝑛𝑛𝑛) 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0 Oscilación críticamente amortiguada 𝐿𝐿2 𝑅𝑅 2 − 4𝐿𝐿𝐿𝐿 = 0 𝑚𝑚1 = 𝑚𝑚2 = − − ; Raíz real doble 𝐿𝐿 � 𝐿𝐿2 − − 4𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑅𝑅 𝑅𝑅2 2𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐿𝐿 � 𝐿𝐿2 + − 4𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑅𝑅 𝑅𝑅2 2𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐼𝐼𝑇𝑇 (𝑡𝑡) = 𝐶𝐶1 . 𝑒𝑒 𝑚𝑚1 .𝑡𝑡 + 𝐶𝐶2 . 𝑒𝑒 𝑚𝑚2.𝑡𝑡 𝐼𝐼𝑇𝑇 (𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝐶𝐶1 + 𝐶𝐶2 . 𝑡𝑡) 𝐶𝐶1 = 𝐼𝐼0 − 𝐶𝐶2 𝐶𝐶1 = 𝐼𝐼0 1 2𝑅𝑅𝑅𝑅 𝐿𝐿2 +� 2 − 4𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑅𝑅 𝛽𝛽 = 2𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐶𝐶2 = Oscilación sobre amortiguada ; 𝐶𝐶2 = 𝐼𝐼(𝑛𝑛) − 𝐼𝐼0 . 𝑒𝑒 𝑚𝑚1.𝑛𝑛 𝑒𝑒 𝑚𝑚2 .𝑛𝑛 − 𝑒𝑒 𝑚𝑚1 .𝑛𝑛 𝐶𝐶2 = 1 𝐼𝐼(𝑛𝑛) � − 𝐼𝐼0 � 𝑛𝑛 𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 CIRCUITOS RLC EN PARALELO (Tipo 1) Estado permanente 4 Estado permanente o de oscilaciones forzadas con amortiguamiento 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝐶𝐶 𝐿𝐿 𝐼𝐼 ′′ + 𝐿𝐿 𝑅𝑅 𝐼𝐼 ′ + 𝐼𝐼 Función de excitación 𝒊𝒊𝒊𝒊 ; 𝐿𝐿 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝐶𝐶 𝐿𝐿 𝑚𝑚2 + 𝑚𝑚 + 𝐼𝐼 𝑅𝑅 Solución Cálculo de las constantes 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑘𝑘(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) 𝐼𝐼𝑃𝑃 = 𝑀𝑀 (𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) 𝑀𝑀 = 𝑘𝑘 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑘𝑘. 𝑡𝑡 𝐼𝐼𝑃𝑃 = 𝑀𝑀. 𝑡𝑡 + 𝑁𝑁 𝑀𝑀 = 𝑘𝑘 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑘𝑘. 𝑡𝑡 2 𝐼𝐼𝑃𝑃 = 𝑀𝑀. 𝑡𝑡 2 + 𝑁𝑁. 𝑡𝑡 + Ñ 𝑀𝑀 = 𝑘𝑘 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑘𝑘. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑤𝑤𝑤𝑤) 𝐼𝐼𝑃𝑃 = 𝑀𝑀. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑤𝑤𝑤𝑤) + 𝑁𝑁. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑤𝑤𝑤𝑤) 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑘𝑘. 𝑒𝑒 −𝛼𝛼𝛼𝛼 𝐼𝐼𝑃𝑃 = 𝑀𝑀. 𝑒𝑒 −𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑁𝑁 = − 𝑁𝑁 = − 𝑀𝑀 = �(𝐿𝐿. 𝐶𝐶. 𝑤𝑤 2 − 1) 𝑀𝑀 = 𝑘𝑘 𝐿𝐿. 𝐶𝐶. 𝛼𝛼 2 − 𝑅𝑅 � . 𝑁𝑁 𝐿𝐿. 𝑤𝑤 𝐿𝐿. 𝛼𝛼 +1 𝑅𝑅 𝑁𝑁 = 𝑘𝑘 𝑅𝑅 2. 𝑘𝑘. 𝐿𝐿 𝑅𝑅 𝑘𝑘 (−𝐿𝐿2 𝐶𝐶 + 1)(𝐿𝐿. 𝐶𝐶. 𝑤𝑤 2 − 1) Ñ= 𝑅𝑅 𝐿𝐿. 𝑤𝑤 − 𝐿𝐿. 𝑤𝑤 𝑅𝑅 2. 𝑘𝑘. 𝐿𝐿2 − 2. 𝑘𝑘. 𝐿𝐿. 𝐶𝐶 𝑅𝑅2 CIRCUITOS RLC EN PARALELO (Tipo 2) Estado transitorio 𝐼𝐼(𝑡𝑡) = 𝐼𝐼𝑇𝑇 (𝑡𝑡) + 𝐼𝐼𝑃𝑃 (𝑡𝑡) 𝐸𝐸(𝑡𝑡) 𝑅𝑅1 = 𝐿𝐿. 𝐶𝐶 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑚𝑚2 + � 𝑑𝑑 2 𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑡𝑡 2 𝐿𝐿 𝑅𝑅1 +� 𝐿𝐿 𝑅𝑅1 5 Corriente total = corriente transitoria + corriente permanente + 𝐶𝐶. 𝑅𝑅� 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝐶𝐶𝐶𝐶� 𝑚𝑚 + 1 = 0 Ecuación general + 𝑖𝑖 Estado estacionario / transitorio o de oscilaciones libres Oscilación sub amortiguada Característica Primera raíz 𝑚𝑚1 Segunda raíz 𝑚𝑚2 Corriente transitoria 𝐼𝐼𝑇𝑇 (𝑡𝑡) Parte real del número complejo 𝛼𝛼 Coeficiente de la parte imaginaria 𝛽𝛽 Primer coeficiente de integración 𝐶𝐶1 Segundo coeficiente de integración 𝐶𝐶2 � 𝐿𝐿 𝑅𝑅1 2 + 𝐶𝐶𝐶𝐶� − 4𝐿𝐿𝐿𝐿 < 0 ; Raíces complejas conjugadas 𝑚𝑚1 = 𝑚𝑚2 = −� 2 𝐿𝐿 𝐿𝐿 + 𝐶𝐶𝐶𝐶� − �� + 𝐶𝐶𝐶𝐶� − 4𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑅𝑅1 𝑅𝑅1 −� 2𝐿𝐿𝐿𝐿 2 𝐿𝐿 𝐿𝐿 + 𝐶𝐶𝐶𝐶� + �� + 𝐶𝐶𝐶𝐶� − 4𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑅𝑅1 𝑅𝑅1 2𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐼𝐼𝑇𝑇 (𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 𝛼𝛼𝛼𝛼 [𝐶𝐶1 . 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝛽𝛽𝛽𝛽) + 𝐶𝐶2 . 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝛽𝛽𝛽𝛽)] 𝐿𝐿 + 𝐶𝐶𝐶𝐶� 𝑅𝑅1 𝛼𝛼 = − 2𝐿𝐿𝐿𝐿 Oscilación sobre amortiguada � 𝐿𝐿 𝑅𝑅1 2 + 𝐶𝐶𝐶𝐶� − 4𝐿𝐿𝐿𝐿 > 0 ; Raíces reales distintas 𝑚𝑚1 = 𝑚𝑚2 = −� 2 𝐿𝐿 𝐿𝐿 + 𝐶𝐶𝐶𝐶� − �� + 𝐶𝐶𝐶𝐶� − 4𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑅𝑅1 𝑅𝑅1 −� 2𝐿𝐿𝐿𝐿 2 𝐿𝐿 𝐿𝐿 + 𝐶𝐶𝐶𝐶� + �� + 𝐶𝐶𝐶𝐶� − 4𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑅𝑅1 𝑅𝑅1 2𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐼𝐼𝑇𝑇 (𝑡𝑡) = 𝐶𝐶1 . 𝑒𝑒 𝑚𝑚1 .𝑡𝑡 + 𝐶𝐶2 . 𝑒𝑒 𝑚𝑚2.𝑡𝑡 𝐸𝐸(𝑡𝑡) = 0 Oscilación críticamente amortiguada � 𝐿𝐿 𝑅𝑅1 2 + 𝐶𝐶𝐶𝐶� − 4𝐿𝐿𝐿𝐿 = 0 ; 𝑚𝑚1 = 𝑚𝑚2 = Raíz real doble −� 2 𝐿𝐿 𝐿𝐿 + 𝐶𝐶𝐶𝐶� − �� + 𝐶𝐶𝐶𝐶� − 4𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑅𝑅1 𝑅𝑅1 −� 2 𝐿𝐿 𝐿𝐿 + 𝐶𝐶𝐶𝐶� + �� + 𝐶𝐶𝐶𝐶� − 4𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑅𝑅1 𝑅𝑅1 2𝐿𝐿𝐿𝐿 2𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐼𝐼𝑇𝑇 (𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 (𝐶𝐶1 + 𝐶𝐶2 . 𝑡𝑡) � 2 𝛽𝛽 = 𝐿𝐿 +�� + 𝐶𝐶𝐶𝐶� − 4𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑅𝑅1 2𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐶𝐶1 = 𝐼𝐼0 𝐶𝐶2 = 1 𝐼𝐼(𝑛𝑛) � 𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝐼𝐼0 . 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑛𝑛𝑛𝑛)� 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑛𝑛𝑛𝑛) 𝑒𝑒 𝐶𝐶1 = 𝐼𝐼0 − 𝐶𝐶2 𝐶𝐶2 = 𝐼𝐼(𝑛𝑛) − 𝐼𝐼0 . 𝑒𝑒 𝑚𝑚1.𝑛𝑛 𝑒𝑒 𝑚𝑚2 .𝑛𝑛 − 𝑒𝑒 𝑚𝑚1 .𝑛𝑛 𝐶𝐶1 = 𝐼𝐼0 𝐶𝐶2 = 1 𝐼𝐼(𝑛𝑛) � − 𝐼𝐼0 � 𝑛𝑛 𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚 CIRCUITOS RLC EN PARALELO (Tipo 2) Estado permanente 6 Estado permanente o de oscilaciones forzadas con amortiguamiento 𝐸𝐸(𝑡𝑡) = 𝑅𝑅1 . 𝐿𝐿. 𝐶𝐶. 𝐼𝐼 ′′ + � Función de excitación 𝑬𝑬(𝒕𝒕) 𝐿𝐿 𝑅𝑅1 + 𝐶𝐶. 𝑅𝑅� 𝑅𝑅1 . 𝐼𝐼 ′ + 𝑅𝑅1 . 𝐼𝐼 ; 𝐸𝐸(𝑡𝑡) = 𝑅𝑅1 . 𝐿𝐿. 𝐶𝐶. 𝐼𝐼 ′′ + (𝐿𝐿 + 𝐶𝐶. 𝑅𝑅. 𝑅𝑅1 )𝐼𝐼 ′ + 𝑅𝑅1 . 𝐼𝐼 Solución ; 𝐸𝐸(𝑡𝑡) = (𝑅𝑅1 . 𝐿𝐿. 𝐶𝐶) 𝑚𝑚2 + (𝐿𝐿 + 𝐶𝐶. 𝑅𝑅. 𝑅𝑅1 ) 𝑚𝑚 + 𝑅𝑅1 Cálculo de las constantes 𝐸𝐸(𝑡𝑡) = 𝑘𝑘 𝐼𝐼𝑃𝑃 = 𝑀𝑀(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐) 𝑀𝑀 = 𝑘𝑘 𝑅𝑅1 𝐸𝐸(𝑡𝑡) = 𝑘𝑘. 𝑡𝑡 𝐼𝐼𝑃𝑃 = 𝑀𝑀. 𝑡𝑡 + 𝑁𝑁 𝑀𝑀 = 𝑘𝑘 𝑅𝑅1 𝑁𝑁 = 𝐸𝐸(𝑡𝑡) = 𝑘𝑘. 𝑡𝑡 2 𝐼𝐼𝑃𝑃 = 𝑀𝑀. 𝑡𝑡 2 + 𝑁𝑁. 𝑡𝑡 + Ñ 𝑀𝑀 = 𝑘𝑘 𝑅𝑅1 𝑁𝑁 = 𝐸𝐸(𝑡𝑡) = 𝑘𝑘. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑤𝑤𝑤𝑤) 𝐼𝐼𝑃𝑃 = 𝑀𝑀. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑤𝑤𝑤𝑤) + 𝑁𝑁. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑤𝑤𝑤𝑤) 𝑁𝑁. 𝑅𝑅1 (𝐿𝐿. 𝐶𝐶. 𝑤𝑤 2 − 1) 𝑀𝑀 = 𝑤𝑤 (𝐿𝐿 + 𝐶𝐶. 𝑅𝑅. 𝑅𝑅1 ) 𝐸𝐸(𝑡𝑡) = 𝑘𝑘. 𝑒𝑒 −𝛼𝛼𝛼𝛼 𝐼𝐼𝑃𝑃 = 𝑀𝑀. 𝑒𝑒 −𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑀𝑀 = 𝑘𝑘 𝑅𝑅1 𝐿𝐿. 𝐶𝐶. 𝛼𝛼 2 − 𝛼𝛼(𝐿𝐿 + 𝐶𝐶. 𝑅𝑅. 𝑅𝑅1 ) + 𝑅𝑅1 𝑁𝑁 = −(𝐿𝐿 + 𝐶𝐶. 𝑅𝑅. 𝑅𝑅1 ) 𝑘𝑘 𝑅𝑅12 −(𝐿𝐿 + 𝐶𝐶. 𝑅𝑅. 𝑅𝑅1 ) 2. 𝑘𝑘 𝑅𝑅12 −(𝐿𝐿 + 𝐶𝐶. 𝑅𝑅. 𝑅𝑅1 ) 2. 𝑘𝑘 𝑅𝑅 (𝐿𝐿. 𝐶𝐶. 𝑤𝑤 2 − 1) (−𝑅𝑅1 . 𝐿𝐿. 𝐶𝐶. 𝑤𝑤 2 + 𝑅𝑅1 ) 1 − 𝑤𝑤(𝐿𝐿 + 𝐶𝐶. 𝑅𝑅. 𝑅𝑅1 ) 𝑤𝑤(𝐿𝐿 + 𝐶𝐶. 𝑅𝑅. 𝑅𝑅1 ) Ñ=− 2. 𝑘𝑘. 𝐿𝐿. 𝐶𝐶 (𝐿𝐿 + 𝐶𝐶. 𝑅𝑅. 𝑅𝑅1 )2 + 𝑅𝑅13 𝑅𝑅1