B) GRAFICAS LINEALES DE LA DEMANDA

B) GRAFICAS LINEALES DE LA DEMANDA.-
C) GRAFIACS LINEALES DE LA OFERTA
D) EQUILIBRIO DE MERCADO
E) ANALISIS DEL PUNTO DE EQUILIBRIO
C.F.= Representa el costo fijo
C.T.= Representa el costo total
I.T.= Representa los ingresos totales
E= Punto de equilibrio
1.11. FUNCION DE CONSUMO.c  f ( y d ), donde c= consumo, yd =ingreso disponible
 y d  represente en cierto incremento en el ingreso disponible
c 
c
yd
corresponde al cambio resultante en el consumo
es positivo, pero que uno es decir:
0
c
yd
1
c  a  by d donde
c= representa el consumo
a= representa el consumo básico fijo
b= propensión marginal a consumir
yd= ingreso disponible
1.12 PROBLEMAS.¿Cuáles de las siguientes ecuaciones representa graficas de demanda? ¿Cuáles son graficas de
oferta? ¿Cuáles no representan ninguna de ellas? (supóngase que y es precio y x la cantidad)
2. la curva de demanda que corresponde a un bien determinado es x  10 
y
4
(supóngase que
y representa el precio y x la cantidad demandada).
a) Evalué la demanda si el precio es:
i) 4
ii) 16
iii)25
b) Calcule el precio si la cantidad es:
i) 9
ii) 7
iii) 2
c) ¿Cuál es el precio máximo que es pagaría por este articulo?
d) ¿Qué cantidad se demandaría si dicho articulo fuera gratuito?
Desarrollo
a) i) Para el precio y  4 , x  10 
4
4
ii) para el precio y  16 , x  10 
 10  7  9 .
16
iii) para el precio y  25 , x  10 
 10  4  6
4
25
4
La demanda es x=9

15
4
. La demanda es x=6
. La demanda es x 
15
4
b) i) para la demanda x  9 ,9  10 
7
ii) para la demanda x  7 , 7  10 
7
4
iii) para la demanda x  2 , 2  10 
 y  4,
luego el precio es y=4
 y  12
, luego el precio es y=12
4
y
 y  32
4
, el precio es y=32
c) el precio máximo es cuando x=0. luego 0  10 
y
 y  40
4
precio máximo.
d) La cantidad de demanda cuando el articulo es gratuito ocurre cuando y=0 es decir
x  10 
0
 10  x  10
4
, cantidad demandada.
e)
La grafica de la oferta de un articulo determinado es x  1 . 1 y  0 . 1 (suponga que y
representa el precio y x la cantidad de oferta).
a) Determine el precio si la cantidad ofrecida es
b) Calcule la oferta si el precio es:
i) 1
i) 8
ii) 6
c) ¿Cuál es el precio mínimo al que se ofrecería dicho articulo?
d) Trace la curva.
Desarrollo
a) Para
x=1;
1  1 .1 y  0 .1  y  1
es el precio
x=8;
0 .8  1 .1 y  0 .1  y 
9
11
es el precio
ii) 0.8
iii) 0.5
iii) 4.1
x=0.5; 0 . 5  1 . 1 y  0 . 1  y 
b) Para
6
11
es el precio
y=8;
x  1 . 1( 8 )  0 . 1  8 . 7
y=6;
x  1 . 1( 6 )  0 . 1  6 . 5 oferta
oferta
y=4.1; x  1 . 1( 4 . 1)  0 . 1  4 . 41 oferta
c) Para
x=0;
0  1 . 1 y  0 . 1  y  0 . 091
(no se puede establecer)
La ecuación de la demanda de un articulo es x=A-By, donde A y B son constantes
positivas, “y” representa el precio y “x” la cantidad de demanda.
a) Calcule el precio si la demanda es
A
3
b) Evalué la cantidad demandada si el precio es
A
2B
c) Determine la demanda si el artículo fuera gratuito.
d) Trace la curva
Desarrollo
a) para x 
b) para y 
A

3
A
2B
A
 A  By
3
 x  A
A
2
de donde y 
de donde x 
c) para y  0  x  A  0 de donde x  A
2A
3B
A
2
5. la ecuación de la oferta para un cierto artículo es x=ay-b, donde a y b son constantes
positivas, “y” representa el precio, y “x” la cantidad en oferta.
ii) Trace las curvas y estime el precio y la cantidad para el caso de
equilibrio de
es:
a) Calcule el precio si
la cantidad ofrecida
i) 5a-b
ii) a+2b
b) Encuentre la oferta si el precio es:
i)
3b
ii)
a
5b
a
c) ¿Cuál es el precio mínimo al que puede ofrecerse este articulo?
Desarrollo
a) para x  5 a  b  5 a  b  ay  b de donde y=5 precio
x  a  2 b  a  2 b  ay  b de donde y 
a  3b
a
precio
 3b 
 x 
  b  2 b de donde x=2b oferta
a
 a 
b) para y 
3b
y 
5b
 5b 
 x  a
  b  4b
a
 a 
c) para x  0  y 
b
a
de donde x=4 oferta
(no se puede establecer)
6) Para cada una de las siguientes pares de rectas.
i) Determine cual es la curva de demanda y cual es la curva de oferta.
ii) Trace las curvas y estime el precio y la cantidad para el caso de equilibrio de mercado.
iii) Resuelva algebraicamente las ecuaciones y verifique la estimación realizar para el precio y
la cantidad para el equilibrio de mercado.
a) y  10  2 x y y 
3
x 1
2
c) x  15  3 y y x  2 y  3
b) y  6 , x  3 y  3
d) 2 y  3 x )10 y x  4 y  6
Desarrollo
a)
i) y  10  2 x como m=-2 las curvas de demanda
Y 
3
2
X 1,
como m 
3
2
la curva es de oferta
ii)
iii)
b)
i) y=3 es de oferta o de demanda
x=3y-3 como m 
ii)
1
3
es de oferta.
iii)
c)
i) x=15-3y, como m 
ii)
iii)
1
2
es de oferta
d)
i)
ii)
iii)
Un fabricante vende su producto a un precio de 5 unidades monetarias (u.m) por
artículo.
a) ¿Cuál es el ingreso total al vender 5,000 unidades del producto? ¿Cuál es la
ecuación para la función de ingreso? Grafique la función.
b) Los costos fijos son constantes en 3000 u.m. independientemente del número de
artículos producidos, suponga la gráfica de esta función a la grafica
correspondiente a la parte a)
c) El costo total es igual a la suma de los costos fijos y los costos variables. En esta
compañía, los costos variables se estiman en 40% del ingreso total, ¿Cuál es el
costo total cuando se venden 5000 unidades del producto? Grafique la función con
superposición a la gráfica de la parte a).
d) ¿Cuál es el punto de equilibrio? Indique tal punto en el diagrama y evalué 12
cantidad vendida correspondiente. Señale en el diagrama anterior la cantidad a 1,
que el fabricante alcanzara a cubrir sus costos fijos.
Desarrollo
a) Como
y=5 precio por unidad
x=1 una unidad del producto
el ingreso total de vender 5000 unidades es: I.T.= (5000)5=25,000=5x
b) como y=5x, luego para x=3000 de donde y=15000
c) CT=costo total
Cv=costo variable es el 40% del costo total
Como se vende 5000 artículos por 5 se tiene 25000 luego el 40% de 25000 es el 1000
Luego Cv =10000
CT= CF+ Cv=3,000+10,000=13,000
8. Al precio $ 5 (dólares) por unidad, una empresa pondrá a la venta 5000 linterna eléctricas
de plásticos cada mes, al precio de $ 3.50 cada una, ofrecerá 2000 unidad. Determine la
ecuación de la oferta para este producto y grafique la ecuación.
Desarrollo
Datos del problema
La ecuación de oferta es:
s : y  25 , 000 
25 , 000  7 , 000
5 , 000  2 , 000
( x  5 , 000 )
 s : y  6 x  5000
9. En la economía, el consumo se considera relacionado linealmente con el ingreso nacional
disponible por ejemplo, en cada nivel del ingreso disponible, el consumo puede ser igual a 3.5
(en millones de dólares) más 75% del ingreso disponible.
i)
¿Cual es la ecuación que expresa esta relación?
ii)
¿Cual es el consumo agregado cuando el ingreso de que se dispone vale 50 (en
miles de millones de dólares)?
Desarrollo
a) La ecuación que expresa esta relación es:
c  3.5  0.75y
d
,
yd=ingreso disponible
b) c  f ( y d )  f ( 50 )  3 .5  0 .75 ( 50 )  3 .5  37 .5  41 millones de dólares
10. Una empresa manufacturera ha analizado sus ventas y descubierto que sus clientes
compraran 20% más de unidades de sus productos con cada reducción de $ 2 (dólares) en el
precio unitario cuando el precio tiene un valor de $ 12 (dólares), la empresa vende 500
unidades ¿Cual es la ecuación de la función de demanda correspondiente a este producto?
Grafique la ecuación.
Desarrollo
La empresa vende x=500 unidades
El precio es: y=12; el 20% de 500 es 100
Al vender a $2 menos se vende 500+100=600
Luego
D : y  12 
12  10
500  600
D : y  12  
1
Por lo tanto la ecuación de la demanda es:
( x  500 )
( x  500 )
D:y  
50
11.
x
 22
50
a) Suponga que el agua se ofrece en forma, ilimitada en un municipio. El
consumidor paga 5.00 unidades monetarias (u.m.) al mes por el servicio de
agua independientemente de la cantidad que emplee o consuma. Grafique
la ecuación oferta y demanda.
b) Hay solo un cuadro original germano de Ramlvandt de su obra titulada
“El viga nocturna” asigne valores arbitrarios a este cuadro y grafique la
ecuación de la oferta y la demanda.
Desarrollo
y=5.000 precio; x=agua ofrecida ilimitada luego la ecuación de oferta y demanda es y=5
12.
Una compañía de autobuses saben que cuando el precio de un viaje de
excursión de $ 5.00 (dólares), 30 personas compraran boleros, cuando el
precio es de $ 8.00, solo se venderán 10 boletos, obtenga la forma de punto
y pendiente de la ecuación que corresponde a la función de demanda y
grafique dicha ecuación.
Desarrollo
Calcule la pendiente m 
85
10  30
 
3
 y  
20
3x
20

19
2
Identifique cual de las siguientes ecuaciones representa una curva de demanda, y cual una
curva de oferta, determine el punto de equilibrio y trace las curves.
a) x+y=5
b) 2x-y=5.5
Desarrollo
a) L: x+y=5 entonces m=-1<0 es de demanda
b) L: 2x-y=5.5 entonces m=2>0 es de oferta
Calculando el punto de
 P ( 3 . 5 ,1 . 5 ) Punto
equilibrio:
de equilibrio.
14. Cambie la ecuación b) del problema anterior a 2x - y = 6, grafique la ecuación e
identifíquela como de oferta o demanda ¿Aumento o disminuyo la cantidad de equilibrio con
respecto a la del problema 13)
Desarrollo
De la condición del problema se tiene: L: 2x - y = 6 entonces m = 2 es de oferta
Luego calculamos el punto de equilibrio:
Suponga que el costo fijo de producción de un articulo es de 45,000 dólares. Así mismo, el
costo variable es de 60% del precio de venta, que es de 15 dólares la unidad ¿Cuál es la
cantidad que corresponde al punto de equilibrio?
Desarrollo
Datos: y=CF=45,000
CV= es el 60% del precio de venta de $15
Cv 
60 x15
9
100
Luego es tiene. y=45000 costo total
El ingreso total es: y = mx, donde m = 9 entonces y = 9x ingreso total
Luego la cantidad que corresponde al punto de equilibrio es:
45000=9x de donde x 
45 . 000
 5 , 000
 x  5000
9
16. Si en un cierto caso la utilidad es de 100 dólares por unidad y el costo fijo de producción
es de 225,000 dólares ¿Cual es la cantidad de equilibrio?
Desarrollo
Datos: U=100 dólares por unidad
CF= 225,000=y
Luego y = 100x, por lo tanto la cantidad de equilibrio es:
225000 = 100x de donde x = 2250
17. Considere que el consumo nacional agregado en un cierto caso se da (en miles de millones
de dólares) por la ecuación e = 4.5+0.9Yd' donde Yd es el ingreso disponible. Si dicho ingreso
fuera de 15 (en miles de millones de dólares) ¿Cuál seria el consumo agregado? ¿Qué
proporción del consumo agregado es el monto del ingreso disponible que se dedica al
consumo?
Desarrollo
Como c=4.5+0.9yd
Para y d  15  c  4 .5  ( 0 .9 )15  18 mil millones
El ingreso disponible que se dedica el consumo es: 18 - 15 = 3
La proporción del consumo agregado del ingreso disponible es:
3
18

1
 0 . 15
6
18. Si el consumo nacional agregado es 4.8 más 80% del ingreso disponible (en miles de
millones de dólares).
a)
¿Cuál es la ecuación de la función de consumo?
b)
¿Qué proporción del ingreso disponibles se consume?
c)
Cuando el ingreso de que se dispone es 60 ¿qué proporción del consumo agregado
presenta el monto del ingreso disponible que se dedica al consumo?
Desarrollo
a) La ecuación de la función consumo es:
c  f ( y d )  a  by d  4 . 8  0 . 8 y d
c  4 .8  0 .8 y d
b) El ingreso disponible que se consume es: c  y d  4 .8  0 .2 y d  y d  4 .8  0 . 2 y d
c  y d  4 .8  0 .2 y d
c) c  4 . 8  ( 0 . 8 )( 60 )  4 . 8  48  52 . 8
c  52 . 8
1.13. METODOS GENERALES PARA TRAZAR GRAFICAS NO LINEALES.-
a) intersecciones con
los ejes
b) simetrías
1.14. PROBLEMAS
A) Para cada una de las siguientes ecuaciones, determine:
a) Las intersecciones de sus gráficas con los ejes.
b) Si la curva representada es simétricas respecto al eje X, eje Y, o al origen.
c) Si existe alguna limitación en la extensión.
1 x3  y 2  9  0
Desarrollo
a)
Intersecciones con los ejes.
Con el eje X, y  0  x  3 9 , ( 3 9 , 0 )
Con el eje Y, x  0  y 2   9 , 
b)
sea f ( x , y )  x 3  y 2  9
f ( x ,  y )  x  (  y )  9  x  y  9  f ( x , y ), es simétrica con respecto al eje X
3
2
3
2
f (  x , y )   x  y  9  f ( x , y ),  Simétrica en el eje Y
3
2
f (  x ,  y )   x  y  9  f ( x , y ),  Simétrica en el origen
3
2
c) y 2  x 3  9  y   x 3  9
Su extensión es y no esta limitada.
2. x 2  y 2  18  0
Desarrollo
a) Intersecciones con los ejes:
Con el eje X; y  0 , x   3 2 ; (  3 2 , 0 )
Con el eje Y; x  0 , y   3 2 ; ( 0 ,  3 2 )
b) f ( x , y )  x 2  y 2  18
f ( x ,  y )  x  y  18  f ( x , y ), es simétrica con respecto al eje X
2
2
f (  x , y )  x  y  18  f ( x , y ), es simétrica con respecto al eje Y
2
2
f (  x ,  y )  x  y  18  f ( x , y ), es simétrica con respecto al origen
2
2
c) x 2  y 2  18  0 de donde y   18  x 2
su extencion es: 18  x 2  0  x 2  18 en dirección de x esta limitada.
x   18  y
2
su extencion es 18  y 2  0
y  18 en la direccion de y esta limitada
2
y  2x  5  0
2
Desarrollo
x  y  4x  2 y  6  0
2
2
Desarrollo
Completando cuadrados se tiene:
x  4 x  y  2 y   6  ( x  4 x  4 )  ( y  2 y  1)   6  4  1
2
2
2
2
( x  2 )  ( y  1)   1 es una circunferencia imaginaria
2
2
y  4x  4 y  4  0
2
2
Desarrollo
Completando cuadrados se tiene:
y  4 y  4 x  4
2
2
y  4 y  4  4 x  4  4  ( y  2)  4 x  0
2
2
( y  2)
4
y
2
2

x
2
2
2
 0 Es una hipérbola degenerada que nos da un punto (0,2)
1
 12 y  46  0
Desarrollo
y  12 y  36   10  ( y  6 )   18 no tiene lugar geométrico
2
2
3 y   2 x es una parábola
2
xy  6 x  2  0
Desarrollo
Factorizando se tiene: x(y-6)=-2 es una hipérbola equilátera.
1.27. APLICACIONES DE LAS CURVAS CUADRATICAS EN PROBLEMAS EN
ADMINISTRACION-ECONOMICA. CURVAS DE OFERTA Y DEMANDA.-
1.28 EQUILIBRIO DE MERCADO.-
El precio del producto y la cantidad del producto que corresponden al equilibrio de
mercado es determinado por la intersección de las curvas de oferta y demanda.
1.29.GRAFICAS DE TRANSFORMACION DEL PRODUCTO.-
La gráfica de transformación de productos corresponde a una familia de curvas de esta
clase, en la que los elementos de la familia corresponden a diversas cantidades de
insumos.
1.30 PROBLEMAS
i)
Determine ¿Cuál ecuación representa una curva de demanda, y cual una
curva de oferta?
ii)
Evalué algebraicamente la cantidad y precio de equilibrio de mercado.
iii)
Compruebe geométricamente los puntos de equilibrio determinados en
forma algebraica.
b) 4x=4y+y2
a) x=16-2y
Desarrollo
4 x  y  4 y  4 ( x  1)  ( y  2 )
2
2
x=16-2y es de demanda; 4 x  4 y  y 2 es de oferta
Calculando el punto de
equilibrio:
De donde: y 2  12 y  64  0  ( y  16 )( y  4 )  0  y  4
Para y=4, x=16-8=8
Luego el punto de equilibrio del mercado es: (8,4)
b) y  10 
a) x=130-4y
x
5
Desarrollo
y  10 
x
5

2
 x

 y9
 1
100
 10

x
2

x
2
100
x=130-4y es de demanda; y  10 
x
x

5
2
es de oferta
100
ahora calculemos el punto de equilibrio de mercado
De donde x=30, y=-75
Luego el punto de equilibrio del mercado es (30,-75)
a) y  2 
x
x

5
2
b) y 
20
Desarrollo
y  10 
x
5

x
2
100
 ( x  2 )  20 ( y 
2
9
5
)
30  x
4
y 
30  x
11
y  2
es de demanda
x
5

x
2
es de oferta
20
b) y  4  x
a) y  16  x 2
Desarrollo
y=4+x es de oferta; y=16-x2 es de demanda
ahora calculamos el punto de equilibrio de mercado
x  x  12  0  ( x  4 )( x  3 )  0  x  3
2
Para x=3, y=7 el punto de equilibrio es (3,7)
b) y 
a) x  32  4 y  y 2
Desarrollo
x  32  4 y  y  x  36   ( y  2 )
2
2
x
20
1
y 
x
20
 1 es
de oferta; x  32  4 y  y 2 es de demanda
ahora calculamos el punto de equilibrio de mercado
y  24 y  52  0  ( y  26 )( y  2 )  0 de donde:
2
El punto de equilibrio es: (20,2)
b) y=39-3x2
a) y=9x+12
Desarrollo
y  39  3 x  y  39   3 x
2
2
Calculando el punto de equilibrio:
2
3
9

2
2
3 x  9 x  27  0  x  3 x  9  0 de donde  x    9 
2
4

x  
3
45

2
y 
27
2
 
2

3

3 5
2

5  1  12 
2
27
5 
2
3
2
y 6
x
3
2
El punto de equilibrio es 
a)
por lo tanto x  

entonces y 
 3 9
5 1,
2
3

3 5
2
3
2

2
9
5 1
3
( 5  1)
2



5 1 

2
b) x= 36  y
2
Desarrollo
y 6
x
2
2
 y6
x
2
2
Ahora calculamos el punto de
equilibrio
4 y  24  36  y  3 y  60  y  20
Para y=20, x=4. el punto de equilibrio es: (4,20)
a) y=(x+2)2
b) y=39-3x2
Desarrollo
Ahora calculamos el punto de
equilibrio:
4 x  4 x  35  0  ( 2 x  5 )( x  7 )  0 de donde: x 
2
5
2
,y 
81
4
 5 81 

2 4 
Luego el punto de equilibrio es:  ,
a) y=48-3x2
b) y=x2+4x+16
Desarrollo
b) x=y+4y2
a) x=84-y2
Desarrollo
x  84  y es de demanda;
2
x  y  4 y es de oferta
2
Calculamos el punto de equilibrio de mercado
5 y  y  84  0  5 y  21  y  4   0 de donde y=4, luego x=68
2
Por lo tanto el punto de equilibrio es (68,4)
a) x  10 y  5 y 2
b) x  64  8 y  2 y 2
Desarrollo
x  64  8 y  2 y es de demanda; x  10  5 y es de oferta
2
2
Ahora calculamos el punto de equilibrio de mercado
7 y  18 y  64  0  ( 7 y  32 )( y  2 )  0 de don de y=2 luego x=40
2
Por lo tanto el punto de equilibrio de mercado es: (40,2)
a) x  10 y  4 y 2
b) x  96 - 8y - 2y 2
Desarrollo
x  10 y  4 y es de oferta; x  96  8 y  2 y es de demanda
2
2
a)  x  16  y  12   480
b) y=2x+4
Desarrollo
 x  16  y  12  
480
es una hiperbola equilateral
 x  16  y  12  
480
es de demanda;
y=2x+4 es de oferta
Ahora calculamos el punto de equilibrio, se tiene:
 x  16  x  8   240
 x  24 x  128  240
2
x  24 x  112  0   x  28  x  4   0 de donde x=4 luego y=12
2
Por lo tanto el punto de equilibrio se tiene (4,12)
a) x  2 y 2  2 y  6
b) x   y 2  y  18
Desarrollo
x  2 y  2 y  6 es de oferta;
2
x   y  y  18 es de demanda
2
Ahora calculemos el punto de equilibrio de mercado
3 y  y  24  0  3 y  8  y  3   0 de donde y=3 luego x=6
2
Por lo tanto el punto de equilibrio es (6,3)
a) y  10  3 x 2
b) y  4  x 2  2 x
Desarrollo
Ahora calculamos el punto de
equilibrio
2 x  x  3  0  2 x  3  x  1  0 de donde x=1, y=7
2
Por lo tanto el punto de equilibrio es (1,7)
a) xy=30
b) 3y-x=9
Desarrollo
3 y  9 y  30  0  y  3 y  10  0   y  5  y  12   0 de donde
2
2
y=5, x=6 luego el punto de equilibrio es (6,5)
a) xy=15
b) y=x+2
Desarrollo
x  2 x  15  0   x  5  x  3   0 de donde x=3 luego y=5
2
Por lo tanto el punto de equilibrio es: (3,5)
a) (x+10)(y+20)=300
b) x=2y-8
Desarrollo
Calculando el punto de equilibrio de mercado
 y  1 y  20   150
 y  21 y  20  150
2
y  21 y  130  0   y  26  y  5   0 de donde y=5 luego x=2
2
Por lo tanto el equilibrio es (2.5)
a)  x  16  y  12   144
b) y  2 
x
2
Desarrollo
Ahora calculamos el punto de equilibrio
x  34 x  168  288  x  34 x  120  0
2
x 
2
34  4 120
 34 
2
2
x 
 34 
1636
2

 x 
 34 
1156  480
2
 3 . 22 como x=3.22, y=3.61
Luego el punto de equilibrio es (3.22, 3.61)
a)(x+12y)(y+6)=169
b) x-y+6=0
Desarrollo
Calculando el punto de equilibrio x- y + 6 = O ~ Y = x + 6 corno (x + 12)(y + 6) = 169
 x  12  x  12   169
  x  12   169  x   13  12
2
de donde x=1, y=7
Luego el punto de equilibrio de mercado es (1,7)
b) y 
a) (x+5)(y+6)=80
Desarrollo
Encontrando el punto de equilibrio se tiene:
 x  5  x  27   240
 x  32 x  135  240
2
x  32 x  105  0   x  35  x  3   0 de donde x=3, y=4
2
x
3
3
b) y 
a) (x+1)y=5
x
4
Desarrollo
x  x  20  0   x  5  x  4   0 de donde x=4, y=1
2
Luego el punto de equilibrio es: (4,1)
a) x(y+6)=24
b) y-2x+4=0
Desarrollo
x  x  12  0   x  4  x  3   0 de donde x=3, y=2
2
Luego el punto de equilibrio del mercado es: (3.2)
a) y(x+3)=18
b) y-3x+6=0
Desarrollo
b) y  1 
a) (x+4)(y+2)=24
Desarrollo
Calculando el punto de
 x  12  x  2  
0
equilibrio:
de donde x=2, y=2 luego el punto de equilibrio es (2,2)
a) y  x 2  5 x  1
b) y  2 x 2  9  0
Desarrollo
x
2
Calculando el punto de
equilibrio:
3 x  5 x  8  0  ( 3 x  8 )( x  1)  0 de donde x=1, y=7
2
Luego el punto de equilibrio es: (1,7)
b) x  10  y 2  y
a) x  3 y 2  3 y  2
Desarrollo
Calculando el punto de equilibrio de mercado
4 y  2 y  12  0  2 y  y  6  0  ( 2 y  3 )( y  2 )  0 de donde y=2, x=4
2
2
Luego el punto de equilibrio de mercado es: (4,2)
a) (x+10)(y+5)=225
b) x-y+5=0
Desarrollo
Calculando el punto de equilibrio de mercado:
 x  10 2
 225  x  10   15
de donde x=5, y=10
Luego el punto de equilibrio es (5,10)
Cada una de las ecuaciones siguientes representa una curva de transformación de producto
para las cantidades x, y respectivamente, de dos artículos relacionados; calcule las máximas
cantidades de x, y que puede producirse.
x  36  6 y
2
Desarrollo
La cantidad x toma su valor máximo cuando y = O de donde x = 36 es el valor máximo.
La cantidad y toma su valor máximo cuando x = O de donde y =.J6 es el valor máximo.
y  65  12 x  5 x
2
Desarrollo
y  65  12 x  5 x , completando cuadrados: y 
2
761
5
6

  5 x  
5

2
La cantidad x toma su valor máximo cuando y=0 de donde 65 - 12x - 5x 2  0
5 x  12 x  65  0  ( 5 x  13 )( x  5 )  0 de donde x 
2
13
es el valor máximo.
5
La cantidad y toma su valor máximo cuando x=0 de donde y=65 es su valor máximo.
y  45  9 x
2
Desarrollo
La cantidad x toma su valor máximo cuando y=0 de donde x 2 
45
5 x 
5
9
Luego x  5 es su valor máximo.
La cantidad y toma su valor máximo cuando x=0 de donde y=45 es su valor máximo.
x  16  4 y  2 y
2
Desarrollo
x  16  4 y  2 y completando cuadrado x  18   2 ( y  1)
2
2
La cantidad x toma su valor máximo cuando y = O de donde x = 16 es su valor máximo.
La cantidad y toma su valor máximo cuando x = O de donde:
16  4 y  2 y
2
2
 0  y  2 y  8  0  ( y  4 )( y  2 )  0 de donde y=2 es el valor maximo.
2
El gerente de producción de una empresa cree que el departamento de ventas y mercadotecnia
puede vender diariamente 126 unidades de un producto, y quiere producir esa cantidad, si
supone este funcionario que todos los factores que no sean el numero de trabajadores y la
producción resultante, se mantendrán constantes dentro de los limites de esta producción total,
la función de producción puede expresarse por la ecuación:
2 x  4 x  y  0 en la que x representa el numero de trabajadores, y las unidades producidas.
2
Dicho gerente asegura que necesitara 7 hombres para producir las 126 unidades.
a) Suponiendo que la ecuación es adecuada 7 hombres para producir las 126 unidades.
b) ¿Qué tipo de curva representa la ecuación? Trace la curva.
c) Construya una tabla que muestre las unidades producidas por trabajador - empleado,
en el intervalo de 1 a 7 obreros. Indique el cambio en el número de unidades
producidas en este intervalo a medida que se va agregando cada trabajador.
Desarrollo
2 x  4 x  y  0 , completando cuadrados: y+2=2(2x+1)2
2
Para x=7, y  28  28  56  y  56
Luego el gerente esta en lo correcto, con respecto al numero de empleados.
El tipo de curva es una parábola de vértice (-1,-2)
El director de Investigación de Operaciones de una Compañía cree que el costo medio de
producción a corto plazo puede expresarse mediante la ecuación x 2  16 x  y  68  0 en la
que x representa el numero de unidades producidas, y "y", el costo medio (promedio) por
unidad, afirma que dicho costo será mínimo cuando se produzcan 8 unidades:
a) ¿Es correcta su observación?
b) ¿Qué tipo de curva esta representada? Trace dicha curvá.
c) Construya una tabla de valores de y para el intervalo de x=4 a x=12, indique la
magnitud de cambio de y para cada cambio de x.
Desarrollo
a) El costo medio por unidad es: y = 1- 16 + 18 = 153
Para x=8 unidades, y=64-108+68=24
Por lo tanto es verdadera dicha aseveración.
b) y  x 2  16 x  68  y  4  ( x  8 ) 2 es una parábola de vértice (8,4)
c)
En el análisis del ingreso nacional, la demanda respectivo al dinero a conservar o (preferencia
de liquidez", como la llama Keynes. a menudo es considerada como dependiente de tres
causas: el motivo de transacciones, el de precaución y el especulativo. Suponga que aun nivel
dado del ingreso nacional, los efectos de los motivos de transacciones y de precaución son
constantes el motivo especulativo se considera que es función de la tasa de interés expresada
por la ecuación (x - I)y = 4, en la que x es el tipo de interés (%) y "y" es la demanda de dinero
a conservar, expresada en miles de millones de dólares.
a) ¿Qué tipo de curva expresa la ecuación trace dicha curva.
b) Elabore una tabla de valores para "y", la cantidad de dinero a conservar ¿en miles de
millones de dólares? Para valores de x desde el 2% hasta el 7% ¿Cuál es el valor de y
cuando x = 100 (en miles de millones de dólares?
c) Ubique y describa el segmento de la curva que representa la "trampa de liquidez",
ósea, el segmento en el que la tasa de interés parece perder su fuerza como factor
eficaz en la influencia de la demanda del dinero a conservar.
Desarrollo
a)
(x - l)y = 4 es una hipérbola de centro el punto (1,0) y su eje transverso es paralelo al
eje Y.
b)
c) Es el segmento para el cual x > 2.
Por convención, en el análisis económico tratado en el problema 35 anterior, la variar
dependiente (demanda de dinero a conservar) suele asignarse al eje x en vez de el eje una
ecuación empleada para expresar las ideas Keynesianas con respecto a la relación entre la tasa
de interés y la demanda en cuestión, es x(y - 1) = 4.
a) ¿Qué tipo de curva representa ahora la ecuación? Trace la curva.
b) Elabore una tabla de valores para la tasa de interés y en función de valores x de l a (en
miles de millones de dólares) ¿cuál es el valor de y cuando x = 100 (en miles millones
de dólares)? Realice y describa el segmento de la curva que representa "trampa de
liquidez".
Desarrollo
El tipo de curva es una hipérbola de centro (0,1).
b)
Es el segmento para el cual x>1.
Considere la parábola y 
x
2
 x  4 y la parábola  x  2  y  2   4
4
a) Demuestre que para x = O Y x = 2 ambas ecuaciones tienen el mismo valor de
y, pero cuando x = 4 Y x = -2 las ecuaciones dan valores diferentes de y.
b) Compruebe que las dos ecuaciones tienen el mismo valor de y solo para x = O,
x = 2.
c) Trace las dos curvas en el mismo sistema de coordenadas.
Desarrollo
a)
b) es la misma a) su valor es y=4
c)
Una planta siderurgica produce x, y cantidad de acero de dos tipos diferentes, con los mismos
recursos. La curva de transformación es: y  20 
300
30  x
,  x  30 
a) Trace la curva
b) Determine la cantidad máximo de x y de y que puede producirse.
c) Si la demanda del tipo de acero x es el doble que la del tipo y, determine la cantidades
que la planta debe producir.
Desarrollo
a)
c) La cantidad de x es máxima cuando y = O.
0  20 
300
30  x
 x  15
que es el valor máximo
La cantidad de y es máxima cuando x  0  y  20 
d) como y 
x
se tiene y  20 
2
300
30  x

x
2
300
30  0
 20 
 10
300
30  x
x ( 30  x )  40 ( 30  x )  600  30 x  x  1200  30 x  600
2
x  70 x  600  0  ( x  60 )( x  10 )  0 
2
Para x=10, y=5 es lo que debe de producirse, puesto que x<30
Una fabrica que produce dos clases de dulces a partir de los mismos ingredientes, si x, y
representan las cantidades producidas, la curva de transformación es:
( x  24 )( y  36 )  240 , ( x  24 )
a) Trace la curva.
b) Determine las cantidades máximas de x y de y que pueden ser producidas.
c) Si la demanda del dulce de clase x es dos tercios de la del tipo y, determine las
cantidades a producirse.
Desarrollo
a)
b)
la cantidad de x es máxima cuando y=0
52
( x  24 )( 0  36 )  240  x 
 17 . 33
3
La cantidad de y es máxima cuando x=0
( 0  24 )( y  36 )  240  y  36   10  y  26
c) como x 
2
3
y
2

y  24   y  36   240
3

entonces: 
( y  36 )( y  36 )  360  ( y  36 )  360  y  36  18 . 9
2
y  17 . 1
x  11 . 4
Una empresa fabrica dos tipos de papel con los mismos recursos; si x, y representan las
cantidades producidas, la curva de transformación es: (x – 30) (y - 15) = 150, (x < 30).
a) Trace la curva.
b) b) Si la demanda de papel de tipo x es tres veces la del tipo y, determine las cantidades
de papel que la compañía tiene que producir.
c) Si la demanda del tipo y excede a la del tipo x en cuatro unidades, indique las
cantidades respectivas que la empresa tendrá que fabricar.
Desarrollo
a)
b) Cuando x = 3y entonces:
( 3 x  30 )( y  15 )  150  ( y  10 )( y  15 )  50  y  25 y  150  50  0
2
y  25 y  100  0  ( y  5 )( y  20 )  0  y  5, y  20
2
Si y=5, x=15; y=20, x=60
Luego lñas cantidades que deben producirse son. X=5, y=9
1.31. LEU DE PARETO DE LA DISTRIBUCION DEL INGRESO.-
1.32. PROBLEMAS.La ley de Pareto para la distribución del ingreso (en unidades monetarias específicas) en un
grupo particular es:
N 
8 x10
3
x2
8
a) ¿Cuántas personas tienen ingresos que exceden a 1600?
b) ¿Cuántas personas tienen ingresos entre 1600 y 3600?
c) ¿Cuál es el ingreso mínimo de los 800 individuos que tienen los ingresos más altos?
Desarrollo
a) N 
8 x10
8
3
1600  2
8 x10

8
8 x10

64000
5

64
5
10
 12500  N  12500
8
c) El numero de personas con ingresos que exceden de 1600 son:
N 
8 x10
8
 12500
3
1600  2
El numero de personas con ingresos que exceden de 3600 son:
N 
8 x10
8
3
( 3600 )

8 x10
5
216
2

10
5
 3704
27
de manera que el numero de individuos con ingresos entre 1600 y 3600 son:
12500-3704=8796
c) 800 
8 x10
3
x
3
8
 x
2
3
 10
6
 x  (10 ) 2  10
6
4
 10000
2
Es decir 10000 es el ingreso mas bajo de las 800 personas con los ingresos más altos.
La Ley de Pareto en un caos particular es: N 
1 . 9 x10
x
12
1 . 70
a) ¿Cuántas personas tienen ingresos superiores a 5OOOO?
b) ¿Cuántas tienen ingresos entre 25000 y 5OOOO?
c) ¿Cuál es el ingreso mas bajo del millón de personas que obtiene los ingresos mas
elevados?
Desarrollo
1 . 9 x10
a) N 
12
( 50000 )
23
1 . 9 x10

1 . 70
11

17
(5)
17
1 . 70
4
(10 ) 10
11
1 . 9 x10
17

34
5 10 . 10
21
23
17
5
10
x10 10
1 . 9 x10
17
5

1 . 9 x10
5 10
17
5 10
23
 1 . 9 x10 10 x 2 10  304 x 5 10  304 x 25  7600
c)
N 
el numero de personas con ingresos que exceden de 25000 son:
1 . 9 x10
12
( 25000 )
N 
1 . 9 x10
17
51
5
(10 ) 10
(5)
25
34
10
10
x10
34
5
1 . 9 x10

1 . 70
11
 N 
5
 1 . 9 x10 x 2
2
1 . 9 x10
17
5
59
59
10
10

1 . 9 x10
34
5
5 10
34
10
10
17
5
N  1 . 9 x10 2 x 2
 1 . 9 x 300 x 8  N  45600
5
El número de personas con ingresos que exceden de 50000 son:
N 
1 . 9 x10
12
( 50000 )
1 . 70
 7600
De manera que el número de personas con ingresos entre 25000 y 50000 es:
456000-7600=38000
c) 10 6 
1 . 9 x10
x
1 . 70
17
12
 x
1 . 70
 1 . 9 x10
5
 x 10  1 . 9 x10
5
x  1 .9
10
50
17
17
x5
 1 . 9 x10
3
 19000  x  19000
La ley de Pareto para una población particular es:
N 
100000
x
2
a) ¿Cuántas personas tienen ingresos superiores a 15?
b) ¿Cuántas tienen ingresos entre 50 y 75?
c) ¿Cuál es el ingreso mas bajo de las 5 personas que obtienen los ingresos mas altos?
Desarrollo
a) N 
100000
15
2

100000
 444
225
El numero de personas con ingresos que pasan de 15 es: 444
b) El numero de personas con ingresos que pasan de 50 es: N 
100000
50
El numero de personas con ingresos que pasan de 75 es: N 
2
100000
75
2
 40

100000
 18
5525
De manera que el numero de personas con ingresos en 15 y 75 es: 40-18=22
c) 5 
100000
x
2
 x
2

100000
 x
2
 20000  x  141
5
es decir que 141 es el ingreso mas bajo de 5 personas con los ingresos mas altos.
La ley de Pareto para un grupo particular es: N 
32 x10
10
4
x3
a) ¿Cuántos individuos tienen ingresos entre 12500 y 1000000?
b) ¿Cuál es el ingreso mas bajo de las 200 personas que obtienen los ingresos mas
elevados?
Desarrollo
a) el numero de personas con ingresos que exceden de 12500 son:
22
N 
32 x10
10

4
32 x10
5 10 
3
(12500 ) 3
10
2
4

3
32 x10
10
8
4
5 x10
 N 
32 x10
5
3
3
4
 512000
El número de personas con ingresos que exceden a 1000000 son:
N 
32 x10
10
4
6
(10 ) 3

32 x10
10
8
10
 3200
De tal manera que el numero de personas con ingresos entre 125000 y 1000000 es:
512000-3200=508800
La ley de Pareto en un caos particular: N 
625 x10
9
3
x2
a) ¿Cuántos individuos tienen entre 2500 y 10000?
b) ¿Cuál es el ingreso mas reducido de las 5000 unidades que tiene los ingresos mas
altos?
Desarrollo
a) el numero de personas con ingresos que excede a 2500 es:
N 
9
625 x10

3
9
625 x10
3
5 x10
( 2500 ) 2
 5 x10
3
 N  500000
6
El numero de personas con ingresos que exceden a 10000 es:
N 
625 x10
10 
4
9

3
625 x10
10
2
9
 625000
6
De tal manera que el numero de personas con ingresos entre 2500 y 10000 es:
5000000-625000=4375000
b) 5000 
625 x10
3
9
625 x10
 x2 
3
5
x2
3
x
2
6
1
 125 x10
 x 2  5 x10
6
2
 x  250000
La ley de Pareto para una cierta población es: N 
6 x10
9
3
x2
a) ¿Cuántos individuos tienen ingresos superiores a 2500?
b) ¿Cuántos tienen ingresos entre 2500 y 10000?
c) ¿Cuál es el ingreso mas bajo de las 6 personas que obtienen los ingresos mas
elevados?
Desarrollo
a) N 
6 x10
9
3
( 2500 ) 2

6 x10
9
( 50 )
3

6 x10
9
125 x10
3
 N 
6 x10
125
6

60000000
 48000
125
b) el número de personas con ingresos que exceden de 2500 es: N 
6 x10
9
3
( 25000 ) 2
 48000
El numero de personas con ingresos que exceden de 10000 es:
N 
6 x10
3
9
1
 x 2  10
3
9
 x 2  10
3
 x  1000
x2
La ley de Pareto es un caso determinado es: N 
a
x
b
a) ¿Cuántos individuos tienen ingresos superiores a k?
b) ¿Cuántos tienen ingresos que pasan los 100000?
c) ¿Cuál es el ingreso mas bajo de las 10 personas que obtienen los ingresos mas altos?
d) ¿Cuántas personas tienen ingresos entre S y T?
e) ¿Cuántos tienen ingresos entre 50000 y 15000?
Desarrollo
a) N 
a
x
b
a

k
individuos con ingresos superiores a k
b
a
b) N 
(100000 )
b
a

(10 )
5b
1
c) 10 
a
x
b
 x
b
1
 a 
 a b
 a b

 Inx  in 
  Inx  On 
  x 

10
b  10 
 10 
 10 
a
1
a
d) el numero de personas que tienen ingresos entre S y T es:
s
b

a
t
b
e) de acuerdo a la parte d) se tiene:
a
5 xx10 
5 b

a
15 x10 
5 b

a
10
5b
1 
a
 1



b
5b
 5 b 15  10



b
 3b  1 
a 3 1



 15 b 
5 b
15 x10



1.33. CURVAS EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS.-


a t s
b
b
s t
b
b

A) FUNCIONES EXPONENCIALES.-
B) PROPIEDADES.-
1) a .a  a
x
y
x y
2)
a
x
a
y
3) ( a x ) y  a xy
a
x
5)   
b
a
x
b
x
 a
x y
4) ( ab ) x  a x b x
1
6) a  x 
a
x
x
7) a  1, a  0
0
C) FUNCION LOGARITMICA.-
log
b
x  y “logaritmo en base b del numero x e y”
Nota.-
8) a y 
y
a ,x  0
x
1) Si y  log e x  Inx
y  log
10
2) si
x  log x

3) lim  1 
n

1

n
n
D) PROPIEDADES.-
x
2) log b    log b x  log
y
1) log b ( xy )  log b x  log b y


b
y
3) log b x r  r log b x
4) log a x  log a b (log
x  xy  y
2
2
b
 1
x )  
 log b a

 log


x
b
1
Desarrollo
2x  y  x
dy
dx
 2y
dy
dx
 0  x  2 y 
dy
dx
  y  2 x 
de donde
dy
dx
 
y  2x
2y  x
2.21 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
A) MAXIMO Y MINIMO RELAYIVO (Criterio de la primera derivada).-
Si f ( x ) es una función definida en ( a , b )
Si f ´( c )  0 donde c  ( a , b ) punto critico
Si f ´( x )  0  x  ( a , b )  f ( x ) es creciente sobre ( a , b )
Si f ´( x )  0  x  ( a , b )  f ( x ) es decreciente sobre ( a , b )
B) PROBLEMAS.-
Para cada una de las siguientes funciones, determine los valores máximo y mínimos relativos;
trace la curva que representa cada función.
y  12  12 x  x
3
Desarrollo
dy
  12  3 x
2
0
para los puntos críticos
dx
 12  3 x
2
0 x
2
 4  x  2
puntos críticos
dy
 3 ( x  2 )( x  2 )
dx
Para x=-2
x   2,
dy
0

 máximo relativo en x=-2
dx

 2  x  2,
dy
dx
Para x=2
 0

y  12  12 (  2 )  8  28 .
luego el máximo (-2,2)
 2  x  2,
dy
0

 mínimo relativo ex x=2
dx

dy
x  2,
0

y=12-12(2)+8=-4 Luego mínimo (2, -4)
dx
y 
x
x 1
Desarrollo
dy
1

( x  1)
dx
2
0
para los puntos critico
Pero  x  R tal que
1
( x  1)
2
0
Por lo tanto no tiene puntos críticos luego no hay punto máximo ni mínimo.
y 
x
3
3

x
2
 6x
2
Desarrollo
dy
 x x60
2
para los puntos críticos
dx
( x  3 )( x  2 )  0  x  2 , x  3
son puntos críticos
dy
 ( x  3 )( x  2 )
dx
Para x=-2
Si x   2 ,
dy
0

 máximo en x=-2 y 
dx
22
3

 2  x  3,
dy
0

0


luego máximo   2 ,

dx
22 

3 
Para x=3
 2  x  3,
dy
 máximo en x=3 y  
dx

x  3,
dy
dx
0


luego máximo  3 , 

27 

2 
27
2
y  x  32 x  48
4
Desarrollo
dy
 4 x  32  0
3
para obtener los puntos críticos
dx


4 x  32  0  x  8  0   x  2  x  4 x  4  0 de donde x=2 punto critico
3
3
dy
2
 4 ( x  2 )( x  4 x  4 )
2
dx
x  2,
dy
0

 minimo en x=2, y=0
dx

x  2,
dy
0

luego (2, 0)
dx
x
y 
x 7
2
Desarrollo
dy
dx

7
( x  7)
2
3
0
para obtener los puntos críticos pero  x  R tal que
7
( x  7)
2
3
0
Por lo tanto no se tiene puntos críticos lo cual implica que no hay máximo ni mínimo.
y 
2x
x 1
2
Desarrollo
dy
2
 
dx
3
2
 0 para los puntos críticos pero  x  R tal que
( x  1) 2
3
( x  1) 2
2
2
Luego no tiene puntos críticos por lo tanto no hay máximo ni mínimo.
y  x  4x  3
2
Desarrollo
dy
 2x  4  0
dx
2x  4  0  x  2
para los puntos críticos
punto critico
0
x  2,
dy
0

 mínimo en x=2 de donde y=-1
dx

x  2,
dy
0

luego mínimo es (2, 1)
dx
y  x 1 x
2
Desarrollo
dy

1 x
2
dx
dy

1  2x
2
1 x
2
dx

dy
dx

x
2
1 x
2
 0 para los puntos críticos
0 x  
2
puntos críticos también son puntos críticos
2
es decir: 1  x 2  0  x   1 son puntos críticos porque la función definida en esos
puntos.
dy
dx
1  x  
2 dy

,
0
2 dx
ç 
1 

2x 1 
1 x
2x

2
 mínimo en x  
2
2
,y  
1
2
2

 x
2
2

 x
2
2
luego el mínimo en  
2 dy

,
0
2 dx
 mínimo en x 
dy
 x  1,
2

2 dy

,
0
2 dx
0

2
2
2
,y 
2

y  x  3x  2
2
Desarrollo
dy
 3x  6x  0
2
dx
para obtener los puntos críticos
dy
 3 x( x  2)
dx
x ,
dy
 0

 mínimo en x=0 de donde y=2
dx
0  x  2,
dy
 0

 0

dx
0  x  2,
dy
dx
x  2,
dy
dx
0

1
2
2 1
, 

 2 2
luego el máximo es 

dx
3
,
luego el máximo es (0, 2)
 mínimo en x=2 de donde y=-2
luego el mínimo es (2, -2)
1

2 
y 
1
x 4
2
Desarrollo
dy
 
dx

x
2x
2
2x
( x  4)
2
2
4
2

0
para obtener los puntos críticos
0 x 0
punto critico
dy
dx
x  0,
dy
0

dx
x  0,
dy
dx
0


 2x
x
2
4

2
 mínimo en x=0 de donde y 

1

4
luego el máximo es  0 , 
1
4
x
y 
2
x 8
2
Desarrollo
dy
2x

x

x 8
x
2
dx


2x x  8  x
2
3
3
8
2

 0 para obtener los puntos críticos
3
2
x  16 x
3

3
x 2  82
x
2
8

3
 0  x  16 x  0
3
2
x ( x  16 )  0  x  0 , x   4 los puntos críticos
2
Para x=-4
dy
X<4,
 0

 mínimo en x=-4 y   4 2
dx
 4  x  2 2 ,
dy
0
dx

luego el mínimo es ( 4 , 4 2 )
Para x=4
2 2  x  4,
dy
0

 mínimo en x=4, y  4 2
dx
x  4
,
dy
dx
 0

luego el mínimo es ( 4 , 4 2 )
y  x  4 x  12
4
3
Desarrollo
dy
 4 x  12 x
3
2
0
dx
para los puntos críticos
4 x ( x  3 )  0  x  0 , x  3 los puntos críticos
3
dy
 4 x ( x  3)
2
dx
Para x=0
x  0,
dy
0

dx

0  x  3,
dy
0

 0

 máximo ni mínimo
dx
Para x=3
0  x  3,
dy
dx
x  3,
dy
dx
0

 mínimo en x=3, y=-15
luego el mínimo es (3, -15)
3x
y 
2
x 3
2
Desarrollo
dy
6x

x 3
2
dx
3 x  18 x

3x
x
2
3
3

3
 0 para los puntos críticos
2
3
x
2
3

3
 0  3 x  18 x  0  x  0 puntos críticos
3
2
dy
dx
x  0,
dy
0

0

dx
x  0,
dy
dx


3x x  6
x
2
2
3


3
2
 mínimo en x=0, y=0
luego el mínimo es (0, 0)
3x
y 
2
x 3
2
Desarrollo
dy
6x

x 3
2
dx
3 x  18 x

3x
x
2
3
3

3
 0 para los puntos críticos
2
3
x
2
3

 0  3 x  18 x  0  x  0 puntos críticos
3
3
2
dy
dx
x  0,
dy
0

0

dx
x  0,
dy
dx
y 
3 x( x  6)
2

3
( x  3) 2
2
 mínimo en x=0, y=0
luego el mínimo es (0, 0)
1
16  x
2
Desarrollo
dy

dx
2x
16  x 
2
2x
16  x 
2
2
2
 0 para obtenerlos puntos críticos
 0  x  0 punto critico
dy
dx
 4  x  0,
dy
0


2x
16  x 
2
2
dx
0  x  4,
dy
0
16


Luego el mínimo es  0 ,

dx
y 
2
x  4x  6x  2
3
2
3
Desarrollo
dy
 2x  8x  6  0
2
dx

para obtener los puntos críticos

2x  8x  6  0  2 x  4x  3  0
2
1
 mínimo en x=0, y 
2
2  x  1  x  3   0  x  1, x  3
puntos críticos
dy
dx
 2  x  1  x  3 
1 

16 
x  1,
dy
0

 mínimo en x=1, y 
dx
3
a  x  3,
dy
 14 

 3 
 0

luego el mínimo es  1,
 0

 mínimo en x=3, y=2
dx
a  x  3,
dy
dx
x  3,
dy
0

luego el mínimo (3, 2)
dx
8x
y 
x 4
2
Desarrollo
dy

dx
8
x 4
8
x 4
2
2

32  8 x
2
x
2
2
4

16 x

x
16 x
x
2
2
2
4

2
 0,
2
4

2
 0
 0  32  8 x
2

para obtener los puntos críticos

8 x  4  16 x
2
x
2
4
 0 x
2

dx
 0

 0
 4  x  2
dx
dy
2
2
dy
x  2,
14

8 ( 2  x )( 2  x )
( x  4)
2
2
 mínimo en x=-2, y=-2
 2  x  2,
dy
 0

 0

luego el mínimo es (-2, 2)
dx
 2  x  2,
dy
 mínimo en x=2, y=2
dx
x  2,
dy
0

luego el máximo es (2, 2)
dx
x3
y 
x
2
Desarrollo
dy
x ( x  3) 2 x
2

dx
x
4
x  2x  6x
2
 0 para obtener los puntos críticos
2
x
4
 ( x  6)
x
4
 x  6x
2
0
x
 0  x  6
4
0
puntos críticos
dy
dx
x  6,
dy
 0

dy
dx
 ( x  6)
x
3
 mínimo en x=6, y  
dx
 6  x  0,

0


luego el mínimo es   6 ,

1
12
1 

12 
y  x 6
5
Desarrollo
dy
 5x
4
para obtener los puntos críticos 5 x 4  0  x  0 es punto critico
0
dx
dy
x  0,
0

0

 máximo ni mínimo
dx
x  0,
dy
dx
1
2
y  ( x  1) ( x  1) 3
3
Desarrollo
dy
dx

1
3
2
2
( x  1) ( x  1)
3
3

2
3
1
1
( x  1) ( x  1) 3  0
3
para obtener los puntos críticos
2
1
 x 13
 x 13

  2
  0
 x 1
 x 1
 x  1  2 ( x  1)
2
0
1
( x  1) 3 ( x  1) 3
3x  1
2
1
 0  3x  1  0  x 
dy
punto critico
3
( x  1) 3 ( x  1) 3
También cuando 
1
se obtiene los puntos críticos siempre que en dichos puntos función esta
dx
definida.
3x  1
1
2
  x  1, x   1
( x  1) 3 ( x  1) 3
dy
dx

3x  1
1
2
( x  1) 3 ( x  1) 3
Para x=-1
x   1,
dy
 0

 máximo en x=-1, y=0
dx
1 x 
1 dy

,
0
3 dx
Para x 
luego el máximo es (-1, 0)
1
3
5
1 dy

1  x  ,
 0
3 dx
1
 x  1,
3
1
3
dy
 0

 0

dx
 x  1,
dy
dx
 mínimo en x 
1
3
luego el mínimo es
,y  
23
3
5


1
23 
 ,

3 
3


 máximo, mínimo en el punto x=1
x  1,
dy
0

dx
1
y 
( x  6 x  9 x  6)
3
2
6
Desarrollo
dy

dx
1
2
x
1
6
2
3 x
2

 12 x  9  0 para obtener los puntos críticos

 4 x  3  0  ( x  1)( x  3 )  0 , de donde x=1,
dy
dx

1
x=3 son los puntos críticos
( x  1)( x  3 )
2
Para x=1
x  1,
dy
0

 máximo en x=1, y 
dx
1  x  3,
dy
0

0

dx
dy
dx
3

5

3
luego el máximo es  1, 
Para x=3
1  x  3,
5
 mínimo en x=3, y=1
x  3,
dy
0

luego el mínimo es (3, 1)
dx
C) CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA.
Si Y = f(x) es una función los puntos en donde la segunda derivada se anulan se denomina
puntos de inflexión, es decir en Xo se tiene punto de inflexión si
f (x0  0
n
Si x1 es punto critico es decir f 1 ( x 1 )  0 o  f ´( x 1 )
Si f ´´( x 1 )  0 entonces  mínimo en x  x 1
Si f ´´( x 1 )  0 entonces  máximo en x  x 1
Si f ´´( x 1 )  0 ,  x  a , b  f ( x ) es cóncava hacia arriba
Si f ´´( x 1 )  0 ,  x  a , b  f ( x ) es cóncava hacia arriba
PROBLEMAS .-
Determine para cada una de las siguientes funciones, los puntos máximos y mínimos
relativos, y los puntos de inflexión (si los hay). Trace la curva que representa a cada función.
Y  12  12 X  X
3
Desarrolla
dy
  12  3 x
 0 para obtener los puntos críticos.
2
dx
x
2
 4  x  2
2
d y
dx
2
son los puntos críticos.
2
 6x 
d y
dx
2
 12  0  
x2
mínimo relativo en x=2 y el punto es
y  12  24  8   4
es decir (2, 4)
2
d y
dx
  12  0  
2
máximo relativo en x=-2 y su punto máximo es:
x  2
y  12  24  8  28
es decir (-2, 28).
2
d y
dx
 6 x  0 para obtener los puntos de inflexión
2
Como 6 x  0  x  0 , y  12  0  0  12 . luego el punto de inflexión es (0, 12)
x
y 
x 1
Desarrollo
x
y 
dy
x 1

dx

x 1
x 1
1
( x  1)
2

1
x 1
1
1
x 1
como  x tal que
dy
 0
dx
Entonces no se tiene puntos críticos y por lo tanto no hay máximo ni mínimo.
2
d y
dx
2
 
2
2
( x  1)
3
como  x tal que
d y
dx
2
Pero x=-1 es un punto de discontinuidad
 0 , entonces no hay puntos de inflexión
2
d y
Para x<-1,
dx
2
 0  f ( x ) es cóncava hacia arriba
2
d y
Para x>-1,
dx
x
y 
3

3
x
2
 0  f ( x ) es cóncava hacia abajo
2
 6x
2
Desarrollo
dy
 x x60
2
para los puntos críticos
dx
x  x  6  ( x  3 )( x  2 )  0  x   2 , x  3
2
2
2
d y
dx
2
 2 x  1 entonces:
De donde y  
8
d y
dx
 5  0  
2
 2  12 
3
máximo en x=-2
x  2
22 

   2,

3
3 

22
2
d y
dx
5 0 
2
mínimo en x=3
x3
De donde y  9 
9
 18  
2
27 

  3, 

2
3 

27
2
d y
dx
2
y 
 2 x  1  0 para los puntos de inflexión 2 x  1  0  x 
1
24

1
8
3 
37 
1
  ,
 punto
12
 2 12 
37
de inflexión
1
2
de donde
2
d y
dx
2
 2x 1
2
1 d y
,
 0  es cóncava hacia abajo
2
2 dx
Para x 
2
x
1 d y
,
 0  es cóncava hacia arriba
2
2 dx
y  x  32 x  48
4
Desarrollo
dy
 4 x  32  0
3
dx
para los puntos críticos
4 x  32  0  x  8  x  2
3
3
2
d y
2
dx
punto critico
2
 12 x 
2
d y
dx
 48  0  
2
mínimo en x=2
x2
De donde y  16 - 64  48  0  (2,0 )
d
dx
2
2
 12 x
2
 0 para obtener los puntos de inflexión
Como 12 x 2  0  x  0 de donde y=48
Luego (0, 48) es un punto de inflexión.
2
Para x  0 ,
d y
 0  es cóncava hacia arriba
2
dx
2
x  0,
d y
dx
2
 0  es cóncava hacia abajo
x
y 
x 7
2
Desarrollo
dy
1

x 7
x

3
2
dx
7
3
(7  x ) 2
2

7
3
 0 para los puntos críticos como  x tal que
(7  x ) 2
2
 0  no hay puntos de inflexión por lo tanto no hay máximo ni mínimo.
(7  x ) 2
2
2
d y
dx
2

Como
 3x
5
(7  x )
2
 0
para obtener los puntos de inflexión
2
 3x
5
 0  x  0 de donde y=0 entonces (0, 0) es el punto de inflexión
(7  x ) 2
2
2
Para x  0 ,
d y
dx
2
 0  es cóncava hacia arriba
2
Para x  0 ,
d y
dx
2
 0  es cóncava hacia abajo
2x
y 
x 1
2
Desarrollo
dy
2

dx
 0 para obtener los puntos de inflexión
3
( x  1) 2
2
2
Luego  x tal que
3
( x  1)
2
 0 entonces no hay puntos críticos y por lo tanto no se tiene
2
máximo ni mínimo.
2
d y
dx
2
2

3
( x  1)
2
 0
para obtener los puntos de inflexión
2
2
Luego  x tal que
3
( x  1)
2
 0 entonces no hay puntos de inflexión.
2
2
Para x   1,
d y
dx
2
 0  es cóncava hacia arriba
2
Para x  1,
d y
dx
2
 0  es cóncava hacia abajo
y  x  4x  3
2
Desarrollo
dy
 2x  4  0
dx
para los puntos críticos 2 x  4  0  x  2 punto critico
2
d y
dx
2
 2  0   mínimo en x=2
y  4  8  3   1  ( 2 ,  1)
punto mínimo
2
d y
dx
2
 2  0 ,  por lo tanto no hay puntos de inflexión
2
Como
d y
dx
2
y  x 1 x
 0 ,  z  R entonces y es cóncava hacia arriba
2
Desarrollo
dy

1 x
2
x

1 x
dx
1 x  x
2
1 x
dy

 0 para los puntos críticos
2
2
 0  1  2 x  0  x   1 punto critico
2
2
1  2x
2
1 x
2
dx
2
2x  3x
2
d y

dx

2
3

1  x 
2
3
 0 para los puntos de inflexión
2

2 x  3 x  0  x 2 x  3  0  x  0, x 
3
2
3
2
Para x=0, y=0, (0, 0) es punto de inflexión x  
2
2
d y
dx

2
x
1 1
2
2
1
2
dx

2
x
2
2
1 2

1  
2

d y
2
2

3
2
2
3
d y
dx
2
d y
dx
2

2
3
 0   mínimo en x  
 1 2
 
2
 0  es cóncava hacia arriba
 0  es cóncava hacia abajo
y  x  3x  2
3
2
,y 
2
 1 2
 
2
2
0<x<1,
2
 0   máximo en x 
2
Para -1<x<0,
no pertenece al dominio
1  2 1
,
, 
2  2 2 
3

 1 2
 
2
2
2
3

3
2
3
2
2
,y  
1 
2
1
, 
, 
2 
2
2 
Desarrollo
dy
 3 x  6 x  0,
2
para obtener los puntos críticos.
dx
3 x  6 x  0  3 x ( x  2 )  0  x  0 , x  2 puntos críticos
2
2
d y
dx
2
2
 6x  6 
d y
dx
 6  0  
2
máximo
x0
Punto de inflexión en x=0 de donde y=2  (0,2) punto máximo.
2
d y
dx
 12  6  6  0  
2
mínimo en x=2
x2
De donde y  8 - 12  2  -2  (2,-2) punto mínimo
2
d y
dx
2
 6 x  6  0 para obtener los puntos de inflexión
6 x  6  0  x  1, y  (1,1)
punto de inflexión
2
x  1,
d y
dx
2
 0  entonces es cóncava hacia abajo
2
x  1,
d y
dx
y 
2
 0  entonces es cóncava hacia arriba
1
x 4
2
Desarrollo
1
y 
x 4
 
dx
2x
Como 
x
2

4
2
6x  8
2
2x
x
2
4

2
 0 para obtener los puntos críticos
 0  x  0 puntos críticos
2
d y
dx
dy

2

2
x

4
2
 0
2
6x  8
para poder los puntos de inflexión
2
Como
x
2
4
1
y 
4
 0  6x  8  0  x  
2

3
3
 2 3
 
,
16
 3 16
3

4
2
2 3 
 
,
,  
 puntos de inflexión
3 16 
 
3
2
d y
dx
,
d y
dx
 0
es cóncava hacia arriba
2
,
d y
3
dx
2
 0
es cóncava hacia abaja
2
2
,
d y
dx
3
y 
2
2
 x 
3
x 
máximo en x=0, y=0 luego (0,0) es el punto máximo
2
2
3
2
 0 
64
x0
x  

8
 
2
x
2
 0
es cóncava hacia arriba
2
x 8
2
Desarrollo
x  16 x
2
dy


dx
x 8
2
 0 para obtener los puntos críticos

3
x  16 x
3
Como

2
d y
dx
2
2
3 x  8 x  128
2
x
2
8
3 x  8 x  128
4
3

x 8
4

 0  x  16 x  0  x  0 , x   4 son los puntos críticos
3

5
 0 para obtener los puntos de inflexión como  x tal que
2
2
x
2
8

 0 entonces no hay puntos de inflexión, se tiene puntos de discontinuidad
5
2
en x   2 2
2
Para x   2 2 ,
d y
dx
 0 , es cóncava hacia arriba
2
2
x  2 2,
d y
dx
2
y  x  4 x  12 x
4
3
 0 , es cóncava hacia abajo
2
Desarrollo
dy
 4 x  12 x
3
2
dx
4x
2
x  3  0 
0
para obtener los puntos críticos
x  0 , x  3 puntos críticos
2
d y
dx
2
2
 12 x  24 x 
2
d y
dx
  mínimo
 108  72  36  0
2
x3
en x  3, y   15 ; ( 3,  15 )
2
d y
dx
 (12 x  24 x )
2
2
x0
 0
no hay información
x0
2
d y
dx
2
 12 x  24 x  0 para obtener los puntos de inflexión
2
12 x  24 x  0  x  0 , x  2
2
Luego
x=0, y=12; (0,12)
X=2, y=-4; (2,-4)
2
d y
Para x<0,
dx
2
 0  es cóncava hacia arriba
2
0  x  2,
d y
dx
2
 0  es cóncava hacia abajo
2
x  2,
y 
d y
dx
2
3x
2
 0  es cóncava hacia arriba
x 3
2
Desarrollo
 3
 x  6x
 3
3
dx
 2
 x 3 2


  0 para obtener los puntos críticos


dy


 3
 x  6x
Como 3
3
 2
2
x

3


2
d y
dx
2


2
 6x
 9
 2
 x 5


2
d y
dx
54

2
2







 0   mínimo en x=0
5
x0
3


3
2
  0  x  6 x  0  x x  6  0  x  0 punto critico


52
Como x=0, y=0 entonces (0, 0) punto mínimo.
2
d y
dx
2

2
 6x
 9
5
 2
 x 5 2



2
 6x
Como 9 

 2
 x 5
x
2

5
2


  0 para los puntos de inflexión.




2
0 6x 0


 6  x   6, y  6
luego  6 , 6 ,  6 , 6  son los puntos de inflexión.
2
x   6,
d y
dx
2
 0 , es cóncava hacia abajo
2

6  x
6,
d y
dx
2
 0 , es cóncava hacia arriba
2
x
6,
d y
dx
2
 0 , es cóncava hacia abajo
1
y 
16  x
2
Desarrollo
dy

dx
2x
16  x 
2
Como
 0 para obtener los puntos críticos
2
2x
16  x 
2
32  6 x
2
d y
dx
2


2
dx
2

d y
dx

2
x0
1
 0   mínimo en x=0, y 
128
2
 0 entonces no hay punto de inflexión.
En x   4 se tiene puntos de discontinuidad
2
Para x<-4,
16
 0 para obtener los puntos de inflexión pero como  x tal que
2
16  x 
1
2
16  x 
2

1 
 es el punto mínimo
16 
32  6 x
32  6 x
2
3
2

0 x0
2
16  x 
Luego  0 ,
d y
2
d y
dx
2
 0 es cóncava hacia abajo
2
 4  x  4,
d y
dx
2
 0 es cóncava hacia arriba
2
x   4,
d y
dx
2
y 
3
2
 0 es cóncavo hacia abajo
x  4x  6x  2 y
3
2
Desarrollo
dy
 2x  8x  6  0
2
dx
para obtener los puntos críticos como 2 x 2  8 x  6  0
x  4 x  3  0   x  1 x  3   0  x  1, x  3 son los puntos críticos
2
2
d y
dx
2
 4 x  8  ( x  1)( x  3 )  0  x  1, x  3 son los puntos críticos.
2
d y
dx
2
2
 4x  8 
d y
dx
 14 

 3 
Luego  1,
 4  8  4  0  
2
máximo en x=1, y 
x 1
14
3
es punto máximo
2
d y
dx
 12  8  4  0  
2
mínimo en x=3 de donde y=2
x3
Luego (3,2) es el punto mínimo
2
d y
dx
2
 4 x  8  0 para los puntos de inflexión.
Como 4 x  8  0  x  2 , y 
10
3

luego el punto  2 ,

10 
 es el punto de inflexión
3 
2
Para x  2 ,
d y
dx
2
 0 es cóncavo hacia abajo
2
x  2,
d y
dx
2
 0 es cóncavo hacia arriba.