Vectores en R3 Tema: gráfica, módulo y dirección de un vector en tres dimensiones. Ejercicio Objetivo: dados dos puntos, graficar el vector definido por los puntos y calcular su magnitud y dirección tipo Conocimientos previos: vectores en plano Calcule la magnitud y dirección del vector ⃑V = ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ P1 P2 , siendo: ⃑ (0,0,0) 𝑃1 𝑦 𝑃2 (2,3,4). Grafique V Fórmula Sean 𝑃1 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) y 𝑃2 (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) ⃑ un dos puntos en el espacio y V vector desde P1 hasta P2 Se define el vector ⃑V como: ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑃1 𝑃2 = ⃑⃑𝑉 = 𝛥𝑥𝑖 + 𝛥𝑦𝑗 + 𝛥𝑧𝑘 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑃1 𝑃2 = ⃑⃑𝑉 = V𝒙 𝑖 + V𝒚 𝑗 + V𝒙 𝑘 Entonces, la magnitud ‖⃑⃑𝑉‖ del vector ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑃1 𝑃2 es: Donde i, j y k son los vectores unitarios en los ejes coordenados Y las direcciones θ𝑥 , θ𝑦 𝑦 θ𝑧 son: 2 ⃑ ‖ = (𝑉𝒙 )2 + (𝑉𝒚 )2 + (𝑉𝒛 )2 ‖𝑉 ⃑ ‖ = √(𝑉𝒙 )2 + (𝑉𝒚 )2 + (𝑉𝒛 )2 ‖𝑉 Z P2 v𝑧 ⃑ V መ 𝐤 𝐣Ƹ P1 v𝑥 v𝑦 Se definen los ángulos θ𝑥 : ángulo del vector V con respecto al eje x θ𝑦 : ángulo del vector V con respecto al eje y θ𝑧 : ángulo del vector V con respecto al eje z Proceso Y 𝐢Ƹ X 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑥 = 𝑉𝒙 𝑉𝒙 ⟹ 𝜃𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 −1 ( ) ⃑‖ ⃑‖ ‖𝑉 ‖𝑉 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑦 = 𝑉𝒚 𝑉𝒚 ⟹ 𝜃𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 −1 ( ) ⃑ ⃑‖ ‖𝑉 ‖ ‖𝑉 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑧 = 𝑉𝒛 𝑉𝒛 ⟹ 𝜃𝑧 = 𝑐𝑜𝑠 −1 ( ) ⃑‖ ⃑‖ ‖𝑉 ‖𝑉 1. Se calcula la magnitud del vector 2 2 2 ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ‖P 1 P2 ‖ = √(𝑥2 − 𝑥1 ) + (𝑦2 − 𝑦1 ) + (𝑦2 − 𝑦1 ) = √(2 − 0)2 + (3 − 0)2 + (4 − 0)2 = √4 + 9 + 16 = √29 2. Se calcula los ángulos respectivos del vector 𝜃𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 −1 ( 2 √29 𝜃𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 −1 ( ) = 68.2° , 3 √29 ⃑ ‖ = √𝟐𝟗 , 𝛉𝒙 = 𝟔𝟖. 𝟐° , ‖V Solución 𝜃𝑧 = 𝑐𝑜𝑠 −1 ( ) = 56.1° , 𝛉𝒚 = 𝟓𝟔. 𝟏° y 4 √29 ) = 42° 𝛉𝒛 = 𝟒𝟐° 3. Se grafica el vector a) Avanzar 2 unidades en X a) c) Avanzar 4 unidades en Z b) Avanzar 3 unidades en Y b) Z 4 c) Z 4 d) Z 4 d) Unir con flecha P1 con P2 Z 4 P2 P2 2 P1 X 2 2 3 2 P1 Y P1 Y 3 X 2 2 Y P1 3 X 2 Walter Cortez Blanco ⃑V Y 3 X 2 Desafío de hoy Dados los puntos P1 , P2 , … . , P5, se pide: a) módulo del vector indicado b) gráfica (papel milimétrico) 𝑃1 (0,0,0), 1. ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑃1 𝑃2 2. ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑃1 𝑃3 𝑃2 (4,4,4), 𝑃3 (2,8,0), 𝑃4 (−6, −2,7), 3. ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑃3 𝑃2 Walter Cortez Blanco ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 4. −𝑃 2 𝑃3 𝑃5 (2, −4,1) 5. ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 𝑃5 𝑃3
