Derivadas

Reglas
1.
3.
5.
7.
𝑑
Constante: 𝑑𝑥 𝑐 = 0
𝑑
Suma: 𝑑𝑥 [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = 𝑓 ′ (𝑥) ± 𝑔′ (𝑥)
𝑑 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′ (𝑥)
Cociente: 𝑑𝑥 𝑔(𝑥) =
[𝑔(𝑥)]2
𝑑 𝑛
𝑛−1
Potencia: 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑛𝑥
𝑑
2.
Múltiplo de una constante: 𝑑𝑥 𝑐𝑓(𝑥) = 𝑐 𝑓 ′ (𝑥)
4.
Producto: 𝑑𝑥 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑔′ (𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓 ′ (𝑥)
6.
Cadena: 𝑑𝑥 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓 ′ (𝑔(𝑥)) 𝑔′ (𝑥)
8.
Potencia: [𝑔(𝑥)]𝑛 = 𝑛[𝑔(𝑥)]𝑛−1 𝑔′ (𝑥)
𝑑
𝑑
Funciones
Trigonométricas
𝑑
9.
sin 𝑥 = cos 𝑥
𝑑𝑥
𝑑
12.
cot 𝑥 = − csc 2 𝑥
𝑑𝑥
𝑑
1
sin−1 𝑥 =
𝑑𝑥
√1 − 𝑥 2
𝑑
1
18.
cot −1 𝑥 = −
𝑑𝑥
1 + 𝑥2
15.
𝑑
sinh 𝑥 = cosh 𝑥
𝑑𝑥
𝑑
24.
coth 𝑥 = − csch2 𝑥
𝑑𝑥
21.
27.
30.
𝑑
1
sinh−1 𝑥 =
𝑑𝑥
√𝑥 2 + 1
𝑑
1
coth−1 𝑥 =
𝑑𝑥
1 − 𝑥2
𝑑
10.
cos 𝑥 = − sin 𝑥
𝑑𝑥
𝑑
13.
sec 𝑥 = sec 𝑥 tan 𝑥
𝑑𝑥
Trigonométricas Inversas
𝑑
1
cos−1 𝑥 = −
𝑑𝑥
√1 − 𝑥 2
𝑑
1
sec −1 𝑥 =
19.
𝑑𝑥
|𝑥|√𝑥 2 − 1
16.
Hiperbólicas
𝑑
cosh 𝑥 = sinh 𝑥
𝑑𝑥
𝑑
25.
sech 𝑥 = − sech 𝑥 tanh 𝑥
𝑑𝑥
22.
Hiperbólicas Inversas
𝑑
1
cosh−1 𝑥 =
𝑑𝑥
√𝑥 2 + 1
𝑑
1
31.
sech−1 𝑥 = −
𝑑𝑥
𝑥√1 − 𝑥 2
28.
Exponencial
𝑑 𝑥
33.
𝑒 = 𝑒𝑥
𝑑𝑥
𝑑 𝑥
34.
𝑏 = 𝑏 𝑥 ln 𝑏
𝑑𝑥
𝑑
1
35.
ln|𝑥| =
𝑑𝑥
𝑥
𝑑
1
36.
log 𝑏 𝑥 =
𝑑𝑥
𝑥 ln 𝑏
𝑑
∫ 𝑔(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑔(𝑥)
𝑑𝑥 𝑎
𝑑
1
tan−1 𝑥 =
𝑑𝑥
1 + 𝑥2
𝑑
1
csc −1 𝑥 == −
20.
𝑑𝑥
|𝑥|√𝑥 2 − 1
17.
𝑑
tanh 𝑥 = sech2 𝑥
𝑑𝑥
𝑑
26.
csch 𝑥 = − csch 𝑥 coth 𝑥
𝑑𝑥
23.
𝑑
1
tanh−1 𝑥 =
𝑑𝑥
1 − 𝑥2
𝑑
1
csch−1 𝑥 = −
32.
𝑑𝑥
|𝑥|√1 − 𝑥 2
29.
Logarítmica
Integral definida
𝑥
37.
𝑑
tan 𝑥 = sec 2 𝑥
𝑑𝑥
𝑑
14.
csc 𝑥 = − csc 𝑥 cot 𝑥
𝑑𝑥
11.
38.
𝑏
𝑑 𝑏
𝜕
∫ 𝑔(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑡 = ∫
𝑔(𝑥, 𝑡) 𝑑𝑡
𝑑𝑥 𝑎
𝑎 𝜕𝑥
Zill, D. G. (2018). Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores de frontera (Novena ed.). México: Cengage Learning.
1. ∫ 𝑢𝑛 𝑑𝑢 =
𝑢𝑛+1
+ 𝐶, 𝑛 ≠ −1
𝑛+1
1
𝑢
2. ∫ 𝑑𝑢 = ln|𝑢| + 𝐶
1 𝑢
𝑎 +𝐶
ln 𝑎
3. ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 + 𝐶
4. ∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢 =
5. ∫ sin 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶
6. ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = sin 𝑢 + 𝐶
7. ∫ sec 2 𝑢 𝑑𝑢 = tan 𝑢 + 𝐶
8. ∫ csc 2 𝑢 𝑑𝑢 = − cot 𝑢 + 𝐶
9. ∫ sec 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 = sec 𝑢 + 𝐶
10. ∫ csc 𝑢 cot 𝑢 𝑑𝑢 = − csc 𝑢 + 𝐶
11. ∫ tan 𝑢 𝑑𝑢 = − ln|cos 𝑢| + 𝐶
12. ∫ cot 𝑢 𝑑𝑢 = ln|sin 𝑢| + 𝐶
13. ∫ sec 𝑢 𝑑𝑢 = ln|sec 𝑢 + tan 𝑢| + 𝐶
14. ∫ csc 𝑢 𝑑𝑢 = ln|csc 𝑢 − cot 𝑢| + 𝐶
15. ∫ 𝑢 sin 𝑢 𝑑𝑢 = sin 𝑢 − 𝑢 cos 𝑢 + 𝐶
16. ∫ 𝑢 cos 𝑢 𝑑𝑢 = cos 𝑢 + 𝑢 sin 𝑢 + 𝐶
17. ∫ sin2 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢 − sin 2𝑢 + 𝐶
1
2
18. ∫ cos2 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢 + sin 2𝑢 + 𝐶
19. ∫ tan2 𝑢 𝑑𝑢 = tan 𝑢 − 𝑢 + 𝐶
20. ∫ cot2 𝑢 𝑑𝑢 = − cot 𝑢 − 𝑢 + 𝐶
1
4
1
2
1
4
1
3
22. ∫ cos3 𝑢 𝑑𝑢 = (2 + cos2 𝑢) sin 𝑢 + 𝐶
23. ∫ tan3 𝑢 𝑑𝑢 = tan2 𝑢 + ln|cos 𝑢| + 𝐶
24. ∫ cot3 𝑢 𝑑𝑢 = − cot2 𝑢 − ln|sin 𝑢| + 𝐶
25.
26.
21. ∫ sin3 𝑢 𝑑𝑢 = − (2 + sin2 𝑢) cos 𝑢 + 𝐶
27.
29.
1
2
1
1
3
∫ sec 𝑢 𝑑𝑢 = sec 𝑢 tan 𝑢 + ln | sec 𝑢 + tan 𝑢 | + 𝐶
2
2
sin(𝑎 − 𝑏)𝑢 sin(𝑎 + 𝑏)𝑢
∫ sin 𝑎𝑢 cos 𝑏𝑢 𝑑𝑢 =
−
+𝐶
2(𝑎 − 𝑏)
2(𝑎 + 𝑏)
𝑎𝑢
𝑒
(𝑎 sin 𝑏𝑢 − 𝑏 cos 𝑏𝑢) + 𝐶
∫ 𝑒 𝑎𝑢 sin 𝑏𝑢 𝑑𝑢 = 2
𝑎 + 𝑏2
1
3
28.
30.
1
2
1
1
3
∫ csc 𝑢 𝑑𝑢 = − csc 𝑢 cot 𝑢 + ln|csc 𝑢 − cot 𝑢| + 𝐶
2
2
sin(𝑎 − 𝑏)𝑢 sin(𝑎 + 𝑏)𝑢
∫ cos 𝑎𝑢 cos 𝑏𝑢 𝑑𝑢 =
+
+𝐶
2(𝑎 − 𝑏)
2(𝑎 + 𝑏)
𝑎𝑢
𝑒
(acos 𝑏𝑢 + 𝑏𝑠𝑖𝑛 𝑏𝑢) + 𝐶
∫ 𝑒 𝑎𝑢 cos 𝑏𝑢 𝑑𝑢 = 2
𝑎 + 𝑏2
31. ∫ sinh 𝑢 𝑑𝑢 = cosh 𝑢 + 𝐶
32. ∫ cosh 𝑢 𝑑𝑢 = sinh 𝑢 + 𝐶
33. ∫ sech2 𝑢 𝑑𝑢 = tanh 𝑢 + 𝐶
34. ∫ csch2 𝑢 𝑑𝑢 = − coth 𝑢 + 𝐶
35. ∫ tanh 𝑢 𝑑𝑢 = ln(cosh 𝑢) + 𝐶
36. ∫ coth 𝑢 𝑑𝑢 = ln|sinh 𝑢| + 𝐶
37. ∫ ln 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢 ln 𝑢 − 𝑢 + 𝐶
38. ∫ 𝑢 ln 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢2 ln 𝑢 − 𝑢2 + 𝐶
39. ∫
1
√𝑎2 − 𝑢2
𝑑𝑢 = sin−1
𝑢
2
𝑢
+𝐶
𝑎
41. ∫ √𝑎2 − 𝑢2 𝑑𝑢 = √𝑎2 − 𝑢2 +
1
1
𝑢
𝑑𝑢 = tan−1 + 𝐶
𝑎 + 𝑢2
𝑎
𝑎
43. ∫ 2
40. ∫
𝑎2 −1 𝑢
sin
+𝐶
2
𝑎
42.
1
√𝑎2 + 𝑢2
1
2
1
4
𝑑𝑢 = ln |𝑢 + √𝑎2 + 𝑢2 | + 𝐶
∫ √𝑎2 + 𝑢2 𝑑𝑢 =
𝑢
𝑎2
√𝑎2 + 𝑢2 + ln |𝑢 + √𝑎2 + 𝑢2 | + 𝐶
2
2
1
1
𝑎+𝑢
𝑑𝑢 =
ln |
|+𝐶
𝑎 − 𝑢2
2𝑎
𝑎−𝑢
44. ∫ 2
Zill, D. G. (2018). Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores de frontera (Novena ed.). México: Cengage Learning.
𝑓(𝑡)
1.
1
2.
𝑡
3.
𝑡𝑛
4.
𝑡 −1/2
5.
𝑡 1/2
6.
𝑡𝛼
7.
sin 𝑘𝑡
8.
cos 𝑘𝑡
9.
sin2 𝑘𝑡
10.
cos2 𝑘𝑡
11.
𝑒 𝑎𝑡
ℒ{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠)
1
𝑠
1
𝑠2
𝑛!
𝑠 𝑛+1
32.
33.
, 𝑛 un entero positivo
𝜋
√
𝑠
√𝜋
2𝑠 3/2
Γ(𝛼 + 1)
, 𝛼 > −1
𝑠 𝛼+1
𝑘
𝑠2 + 𝑘2
𝑠
𝑠2 + 𝑘2
2𝑘 2
𝑠(𝑠 2 + 4𝑘 2 )
𝑠 2 + 2𝑘 2
𝑠(𝑠 2 + 4𝑘 2 )
1
𝑠−𝑎
𝑘
𝑠2 − 𝑘2
𝑠
𝑠2 − 𝑘2
2𝑘 2
𝑠(𝑠 2 − 4𝑘 2 )
𝑠 2 − 2𝑘 2
𝑠(𝑠 2 − 4𝑘 2 )
1
(𝑠 − 𝑎)2
12.
sinh 𝑘𝑡
13.
cosh 𝑘𝑡
14.
sinh2 𝑘𝑡
15.
cosh2 𝑘𝑡
16.
𝑡𝑒 𝑎𝑡
17.
𝑡 𝑛 𝑒 𝑎𝑡
18.
𝑒 𝑎𝑡 sin 𝑘𝑡
19.
𝑒 𝑎𝑡 cos 𝑘𝑡
20.
𝑒 𝑎𝑡 sinh 𝑘𝑡
𝑘
(𝑠 − 𝑎)2 − 𝑘 2
𝑒 𝑎𝑡 cosh 𝑘𝑡
𝑠−𝑎
(𝑠 − 𝑎)2 − 𝑘 2
21.
22.
𝑡 sin 𝑘𝑡
23.
𝑡 cos 𝑘𝑡
24.
sin 𝑘𝑡 + 𝑘𝑡 cos 𝑘𝑡
25.
sin 𝑘𝑡 − 𝑘𝑡 cos 𝑘𝑡
26.
𝑡 sinh 𝑘𝑡
27.
𝑡 cosh 𝑘𝑡
28.
29.
𝑒 𝑎𝑡 − 𝑒 𝑏𝑡
𝑎−𝑏
𝑎𝑒 𝑎𝑡 − 𝑏𝑒 𝑏𝑡
𝑎−𝑏
30. 1 − cos 𝑘𝑡
31. 𝑘𝑡 − sin 𝑘𝑡
𝑓(𝑡)
𝑛!
, 𝑛 es entero positivo
(𝑠−𝑎)𝑛+1
𝑘
(𝑠 − 𝑎)2 + 𝑘 2
𝑠−𝑎
(𝑠 − 𝑎)2 + 𝑘 2
2𝑘𝑠
(𝑠 2 + 𝑘 2 )2
𝑠2 − 𝑘2
(𝑠 2 + 𝑘 2 )2
2𝑘𝑠 2
(𝑠 2 + 𝑘 2 )2
2𝑘 3
(𝑠 2 + 𝑘 2 )2
2𝑘𝑠
(𝑠 2 − 𝑘 2 )2
𝑠2 + 𝑘2
(𝑠 2 − 𝑘 2 )2
1
(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)
𝑠
(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)
𝑘2
2
𝑠(𝑠 + 𝑘 2 )
𝑘3
2
2
𝑠 (𝑠 + 𝑘 2 )
ℒ{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠)
34.
sin 𝑘𝑡 sinh 𝑘𝑡
35.
sin 𝑘𝑡 cosh 𝑘𝑡
36.
cos 𝑘𝑡 sinh 𝑘𝑡
37.
cos 𝑘𝑡 cosh 𝑘𝑡
38.
sin 𝑘𝑡 cosh 𝑘𝑡 + cos 𝑘𝑡 sinh 𝑘𝑡
39.
sin 𝑘𝑡 cosh 𝑘𝑡 − cos 𝑘𝑡 sinh 𝑘𝑡
40.
sinh 𝑘𝑡 − sin 𝑘𝑡
41.
cosh 𝑘𝑡 − cos 𝑘𝑡
42.
𝐽0 (𝑘𝑡)
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
1
(𝑠 2 + 𝑎2 )(𝑠 2 + 𝑏2 )
𝑠
(𝑠 2 + 𝑎2 )(𝑠 2 + 𝑏2 )
2𝑘 2 𝑠
𝑠 4 + 4𝑘 4
𝑘(𝑠 2 + 2𝑘 2 )
𝑠 4 + 4𝑘 4
𝑘(𝑠 2 − 2𝑘 2 )
𝑠 4 + 4𝑘 4
𝑠3
4
𝑠 + 4𝑘 4
2𝑘𝑠 2
4
𝑠 + 4𝑘 4
4𝑘 3
4
𝑠 + 4𝑘 4
2𝑘 3
4
𝑠 − 𝑘4
2𝑘 2 𝑠
4
𝑠 − 𝑘4
1
𝑎 sin 𝑏𝑡 − 𝑏 sin 𝑎𝑡
𝑎𝑏(𝑎2 + 𝑏2 )
cos 𝑏𝑡 − cos 𝑎𝑡
𝑎2 − 𝑏2
√𝑠 2 + 𝑘 2
𝑠−𝑎
ln
𝑠−𝑏
𝑠2 + 𝑘2
ln
𝑠2
𝑠2 − 𝑘2
ln
𝑠2
𝑎
arctan ( )
𝑠
𝑒 𝑏𝑡 − 𝑒 𝑎𝑡
𝑡
2(1 − cos 𝑘𝑡)
𝑡
2(1 − cosh 𝑘𝑡)
𝑡
sin 𝑎𝑡
𝑡
sin 𝑎𝑡 cos 𝑏𝑡
𝑡
1 −𝑎2 /4𝑡
𝑒
√𝜋𝑡
1
2
𝑒 −𝑎 /4𝑡
√𝜋𝑡 3
𝑎
𝑒𝑟𝑓𝑐 (
)
2√𝑡
1
𝑎+𝑏 1
𝑎−𝑏
arctan
+ arctan
2
𝑠
2
𝑠
𝑒 −𝑎√𝑠
√𝑠
𝑒 −𝑎√𝑠
𝑒 −𝑎√𝑠
𝑠
𝑒 −𝑎√𝑠
𝑡
𝑎
2
2√ 𝑒 −𝑎 /4𝑡 − 𝑎 𝑒𝑟𝑓𝑐 (
)
𝜋
2√𝑡
𝑎
2
𝑒 𝑎𝑏 𝑒 𝑏 𝑡 𝑒𝑟𝑓𝑐 (𝑏√𝑡 +
𝑎𝑏 𝑏 2 𝑡
2√𝑡
𝑎
𝑠√𝑠
𝑒 −𝑎√𝑠
)
𝑎
√𝑠(√𝑠 + 𝑏)
𝑏𝑒 −𝑎√𝑠
53.
−𝑒 𝑒
54.
𝑒
𝑎𝑡
55.
𝒰(𝑡 − 𝑎)
𝑒 −𝑎𝑠
𝑠
56.
𝑓(𝑡 − 𝑎) 𝒰(𝑡 − 𝑎)
𝑒 −𝑎𝑠 𝐹(𝑠)
57.
𝑔(𝑡) 𝒰(𝑡 − 𝑎)
𝑒 −𝑎𝑠 ℒ{𝑔(𝑡 + 𝑎)}
58.
𝑓 (𝑛) (𝑡)
𝑠 𝑛 𝐹(𝑠) − 𝑠 (𝑛−1) 𝑓(0) − ⋯ − 𝑓 (𝑛−1) (0)
59.
𝑡 𝑛 𝑓(𝑡)
(−1)𝑛
60.
∫ 𝑓(𝜏) 𝑔(𝑡 − 𝜏) 𝑑𝜏
61.
𝛿(𝑡)
1
62.
𝛿(𝑡 − 𝑡0 )
𝑒 −𝑠𝑡0
𝑒𝑟𝑓𝑐 (𝑏√𝑡 +
2√𝑡
𝑓(𝑡)
) + 𝑒𝑟𝑓𝑐 (
2√𝑡
)
𝑠(√𝑠 + 𝑏)
𝐹(𝑠 − 𝑎)
𝑑𝑛
𝐹(𝑠)
𝑑𝑠 𝑛
𝑡
𝐹(𝑠) 𝐺(𝑠)
0
Zill, D. G. (2018). Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores de frontera (Novena ed.). México: Cengage Learning.