Guía Docente Matemáticas 7° Básico: Planificación y Recursos

Daniela Bravo Valdivia
Gabriel Torres Mayorga
David Romero Durán
Daniela de la Luz Bravo Valdivia
Licenciada en Educación Matemática y Computación
Profesora de Estado en Matemática y Computación
Magíster en Didáctica de las Matemáticas
David Armando Romero Durán
Licenciado en Educación
Profesor General Básico con mención en Educación Matemática
Magister en gestión y liderazgo para la gestión educacional
Gabriel Fernando Torres Mayorga
Licenciado en Educación Matemática
Profesor de Educación Matemática
Magister en Didáctica de la Matemática
Índice
TOMO 1
Fundamento teórico.................................................................. 4
Estructura Guía
Digital del Docente.................................................................... 8
Estructura Texto
del Estudiante............................................................................ 10
Planificación anual....................................................................12
Planificación Semestre 1......................................................... 14
Planificación Unidad 1............................................................. 16
Planificación Unidad 2............................................................ 18
Objetivos de Aprendizaje Priorizados................................20
Unidad 1: Números................................................................. 23
Introducción............................................................................... 23
Orientaciones al Docente...................................................... 24
Índice de recursos BDA .........................................................68
Material imprimible..................................................................70
Solucionario de evaluaciones complementarias............88
Unidad 2: Álgebra y funciones........................................... 93
Introducción............................................................................... 93
Orientaciones al Docente......................................................94
Índice de recursos BDA......................................................... 118
Material imprimible................................................................120
Solucionario de evaluaciones complementarias.......... 135
Anexos.......................................................................................138
Bibliografía................................................................................142
Webgrafía.................................................................................143
Bibliotecas digitales y bases de datos.............................143
2
índice
TOMO 2
Fundamento teórico.................................................................. 4
Estructura Guía
Digital del Docente.................................................................... 8
Estructura Texto
del Estudiante............................................................................ 10
Planificación anual....................................................................12
Planificación semestre 2......................................................... 14
Planificación Unidad 3............................................................ 16
Planificación Unidad 4............................................................ 18
Objetivos de Aprendizaje Priorizados................................20
Unidad 3: Geometría.............................................................. 23
Introducción............................................................................... 23
Orientaciones al Docente...................................................... 24
Índice de recursos BDA........................................................... 66
Material imprimible..................................................................68
Solucionario de evaluaciones complementarias............86
Unidad 4: Probabilidad y estadística................................ 91
Introducción............................................................................... 91
Orientaciones al Docente...................................................... 92
Índice de recursos BDA..........................................................116
Material imprimible................................................................ 118
Solucionario de evaluaciones complementarias.......... 134
Anexos.......................................................................................138
Bibliografía................................................................................142
Webgrafía.................................................................................143
Bibliotecas digitales y bases de datos.............................143
índice
3
Fundamento Teórico
Fundamentación de la propuesta
El marco general para la elaboración de esta
propuesta está constituido por las Bases
Curriculares vigentes para la Educación Media
y, en específico, la Priorización Curricular
de diciembre de 2022. Las Bases proponen
“formar un o una estudiante que perciba la
matemática en su entorno y que se valga de
los conocimientos adquiridos para describir y
analizar el mundo con el fin de desenvolverse
efectivamente en él” (Mineduc, 2015). Para
lograr esto, es importante que el estudiantado
desarrolle el pensamiento matemático
mediante la resolución de problemas en
conjunto con el desarrollo de las otras tres
habilidades matemáticas: argumentar y
comunicar, representar y modelar.
A lo largo de las unidades del Texto del
Estudiante (TE) y del Banco Digital de
Ac t ivi da des (BDA), s e van trabajan do
constantemente las habilidades matemáticas
ligadas al hilo conductor de cada unidad, que
está dado por un Eje temático.
En cuanto al objetivo que cumple cada uno
de los componentes de esta propuesta, el
TE contempla la explicación del paso a paso
de diferentes métodos de resolución para
la mayoría de los temas, ejercicios resueltos,
contextos desafiantes y modelamiento de
4
Fundamento Teórico
estrategias, por lo tanto, es un recurso que
sirve para comprender conceptos, definiciones
y procedimientos. El BDA contiene las
actividades de ejercitación y recursos para que
sus estudiantes practiquen lo comprendido
en el TE. El BDA permite cierta flexibilidad
en su uso, dado que no es necesariamente
obligatorio que todo el alumnado realice
todas las actividades propuestas, sino que el
o la docente puede elegir lo que desea aplicar,
dependiendo del tiempo del que disponga en
la sala de clase y del ritmo de aprendizaje de
sus estudiantes. Por último, la Guía Didáctica
del Docente pretende orientar el trabajo
propuesto en el TE y en los recursos del BDA,
aportando con otros recursos tecnológicos y
manipulativos que pudieran complementar
el trabajo a realizar en la sala de clase y
que buscan una mejor comprensión de los
contenidos expuestos en el TE.
Para el trabajo y desarrollo de la habilidad de
resolución de problemas, el proyecto presenta
diferentes situaciones, de contexto real y
cercano a sus estudiantes, que deben resolver,
tal como se muestra en las actividades de la
mayoría de las guías del BDA. Un ejemplo
de esto es la siguiente actividad de la guía
“Aplicaciones de proporcionalidad” de la
Lección 5 de la Unidad 2:
También, el TE trabaja paso a paso la resolución de problemas, proponiendo una secuencia de
etapas a seguir, tal como en el siguiente ejemplo extraído de la página 46 del TE:
A su vez, se les entregan diferentes datos para
que el estudiantado cree sus propios problemas
(p. 5 de la guía “División de fracciones usando
algoritmo” del BDA). De esta forma, también
se da paso a la creatividad y al planteamiento
de diversas estrategias de resolución (Mineduc,
2015). La importancia dada a la resolución
de problemas está en que es un excelente
potenciador del pensamiento crítico, creativo y
metacognitivo en los estudiantes.
Con respecto a la habilidad de representar y
modelar, las actividades planteadas en el BDA
y las explicaciones del TE permiten transitar
entre los distintos niveles de representación
y usar diferentes modelos, como: el modelo
continuo o discreto para representar fracciones,
decimales y razones; el modelo lineal de la
recta numérica para representar distintas
operaciones; y el uso de gráficos de funciones
que modelan situaciones de la vida cotidiana.
Por ejemplo, en el TE se inician los temas de
adición y sustracción de números enteros con la
resolución concreta (p. 16 y 21 del TE) o gráfica
(p. 17 y 22 del TE, y p. 1 y 2 de la guía “División
de fracciones por estrategia gráfica” del BDA) de
situaciones problemáticas, para luego llegar a la
resolución simbólica de las mismas (uso de los
algoritmos) (p. 18, 21 y 24 del TE, y p. 1 y 2 de la
guía “División de fracciones usando algoritmo”
del BDA), dando más sentido al estudio de estos
objetos matemáticos.
Desde el punto de vista de la Didáctica de
las Matemáticas, se consideraron diferentes
referentes en la elaboración del proyecto. Uno
de ellos es Raymond Duval (Oviedo, 2012) quien
establece que el trabajo con distintos registros
semióticos (algebraico, gráfico, lenguaje natural)
y diferentes representaciones son indispensables
para el aprendizaje de la matemática; y el
tránsito entre estas representaciones ayuda a
remontar los obstáculos o errores que pueden
presentar los y las estudiantes al momento
de estudiar un objeto matemático. El trabajo
con representaciones gráficas (modelo de
área y modelo lineal (recta numérica)) y con
algoritmos simbólicos para el tratamiento
de la multiplicación y división de fracciones
permite visualizar este cambio (conversión) de
registros, haciendo que los y las estudiantes no
solo se queden con la representación gráfica
de un producto o cociente, sino que además
hagan la conexión de dicho quehacer con el
procedimiento simbólico (lenguaje aritmético)
que implican esas operaciones. De este modo,
el aprendizaje de dichos objetos matemáticos es
mucho más amplio y la tasa de error disminuye.
Ejemplos de estas transformaciones son las
actividades de las p. 31, 32, 33, 34 y 35 del TE.
Fundamento Teórico
5
Las preguntas “¿por qué es importante
aprender estrategias gráficas para la resolución
de operaciones matemáticas?, ¿cuál de las
estrategias mostradas te resultó más fácil de
aprender?”, de la p. 35 del TE; “¿en qué te
ayuda reflexionar en torno a las preguntas
asociadas a esta estrategia?”, de la p. 47 del TE;
“¿qué dudas tienes hasta el momento? Planifica
una forma de aclararlas antes de seguir”,
de la p. 55 del TE; “¿por qué creen que sus
respuestas no son las mismas?”, de la p. 3 de la
guía “Representación en Z” del BDA permiten
desarrollar las habilidades comunicativas y
argumentativas, pues se dan las instancias para
que los y las estudiantes puedan exponer y
defender sus ideas, corregir sus errores, realizar
análisis y establecer conjeturas.
Respecto a la metacognición, tanto el TE
como el BDA y la GDD presentan preguntas en
todas las lecciones, dado que es importante
para el aprendizaje significativo que la
orientación metacognitiva se vaya realizando
en cada momento de la enseñanza y no solo
dejarla para el final de la unidad o lección.
En particular, se presentan preguntas de
comprensión, de conexión, de estrategia y de
reflexión:
Esta serie de preguntas guía al estudiante
a activar procesos metacognitivos antes,
durante y después de la solución del problema.
Aplicarla podría convertirse en una costumbre
mental, y ello permitiría al estudiante utilizarla
no únicamente en matemáticas, sino también
en situaciones relacionadas con la resolución
de problemas en su aprendizaje de toda la
vida. (Zemira, M. y Bracha, K., 2017).
Por otro lado, el uso de las Tecnologías de
la Información y la Comunicación (TIC) se ve
reflejado en la aplicación de diferentes recursos
audiovisuales y herramientas digitales,
vinculados mediantes links o disponibles en
el BDA. Un ejemplo es la calculadora, como
medio para obtener resultados de operaciones
combinadas complejas o con grandes números
6
Fundamento Teórico
y también para verificar resultados. Esto se
evidencia en la p. 4 de la guía “Operaciones
combinadas” del BDA.
Es importante considerar que los errores
en matemática “son fuente inagotable de
conocimientos que podemos explotar para
profundizar en el pensamiento matemático.
Para lograr esto debemos atender su
problemática y no rechazarla e intentar que
los mismos se constituyan en un elemento
motivador importante.” (Engler y otros, 2004).
Es por esto que se solicita al estudiantado que
detecte errores en diferentes situaciones, los
corrijan y fundamenten sus procedimientos, tal
como aparece en la p. 5 de la guía “Sustracción
con distintas estrategias” del BDA. Así, hay una
comprensión más profunda y completa del
contenido matemático en estudio (Pochulu,
2009).
Cada tema de la lección del proyecto
comienza con situaciones de contextos reales
que se deben resolver utilizando diferentes
estrategias de resolución basadas en los tres
niveles de representación (concreto, gráfico y
simbólico). Posterior a eso, se institucionaliza
el saber, mostrando en un recuadro las
definiciones o procedimientos o algoritmos
de resolución, dependiendo del tema que
se está trabajando. Es decir, se pretende que
el alumnado se enfrente a la resolución de
situaciones problemáticas empleando solo sus
conocimientos adquiridos anteriormente para
encontrar la solución por sus propios medios,
a través de una pregunta que provoca un
quiebre cognitivo y, por lo tanto, un aprendizaje
nuevo. Todo esto con el fin de cumplir con uno
de los objetivos principales de la educación
matemática, que es que lo que se enseña
esté cargado de significado y tenga sentido
para el estudiante (Brousseau, 1997). Ejemplo
de esto es como se inicia el tratamiento de la
división de fracciones en el TE, específicamente
en las p. 33, 34 y 35. Apoyando esta idea es
que en el BDA (p. 1 de la guía “Adición en Z
de forma concreta”, y p. 1 de la guía “Ejercicios
combinados de adición y sustracción en Z”) se
plantean trabajos colaborativos, en los que los
y las estudiantes deben exponer y defender sus
ideas con sus demás compañeros.
Por último, el proyecto considera la progresión
de los Objetivos de Aprendizaje Basales
propuestos por el Ministerio en la Priorización
Curricular, agregando algunos Objetivos
de Aprendizaje Complementarios, con sus
respectivos indicadores de logro, al mostrar
los diferentes temas para cada lección con un
conjunto importante de actividades con distinto
nivel de dificultad, ordenadas lógicamente, que
permiten el cumplimiento de tales objetivos.
Además, cada unidad intenciona el abordaje
de los objetivos relativos a las actitudes a
desarrollar en las clases de matemática y los
Objetivos Transversales, que se trabajan tanto
en el TE como en el BDA.
A s u ve z , e l B DA y l a G D D p ro p o n e n
una gran diversidad de evaluaciones:
diagnósticas, formativas, intermedias de
cada lección y finales o sumativas de la
unidad. También, al término de cada unidad,
se sugieren proyectos intradisciplinares e
interdisciplinares a desarrollar en conjunto
con los y las estudiantes, relacionados con el
medioambiente y la urgencia climática.
A lo largo de todo el proyecto, se incorporan
actividades y contextos relacionados con
la cultura y cosmovisión de los pueblos
originarios reconocidos por el Estado de Chile,
invitando al estudiantado a realizar actividades
relacionadas con dicho contexto y a seguir
averiguando sobre su cultura. Un ejemplo de
esto es el uso de expresiones algebraicas en
una situación particular del pueblo colla, que
aparece en la p. 57 del TE:
Fundamento Teórico
7
Estructura Guía Digital del Docente
La Guía Digital del Docente de Matemática 7° básico es un material de apoyo a la labor docente.
Como tal, contiene múltiples recursos destinados tanto a la planificación y organización de los
tiempos como al trabajo con cada una de las unidades temáticas y con los recursos del Banco
Digital de Actividades. A continuación, se detallan los principales apartados que incluye esta Guía.
Fundamentación de la propuesta
Se entrega una síntesis de los principales lineamientos y ejes
de la propuesta pedagógica a los que responde el material
para las y los estudiantes, es decir, el Texto del Estudiante (TE)
y el Banco Digital de Actividades (BDA).
Planificaciones
Se incluyen tres tipos de planificaciones:
anual, semestral y por unidad, que
consideran, entre otros aspectos,
los OA abordados, las páginas
correspondientes del TE, las actividades
del BDA, las evaluaciones disponibles
en esta guía y el tiempo estimado.
Orientaciones y estrategias
Presentación de la Unidad
Introducción a cada unidad temática en la cual se explicita
su propósito, así como su eje organizador y su fundamento
teórico. Se indica, además, cómo se integran conocimientos,
habilidades y actitudes en la Unidad.
8
Estructura Guía Digital del Docente
Orientaciones de trabajo por unidad
Sugerencias y orientaciones relativas al trabajo con los
materiales del estudiante (TE y BDA), en las cuales se van
aplicando los ejes didácticos y metodológicos del proyecto.
Se guía la articulación de las páginas del Texto (que van
minimizadas) con las actividades del BDA asociadas a ellas,
y se sugiere cómo abordarlos en conjunto para potenciar los
aprendizajes.
Se incluyen las respuestas a preguntas cerradas y las posibles
respuestas a preguntas abiertas presentes en secciones
específicas destinadas a la detección de conocimientos
previos, al monitoreo de los avances de las y los estudiantes
y a la metacognición.
Organización del BDA
En estas páginas se incluye una tabla que da
cuenta de los recursos disponibles en el BDA
para cada unidad numerados y ordenados de
acuerdo con la progresión de los contenidos.
Para cada recurso se indica la página de la
Unidad con la que se vincula.
Evaluaciones imprimibles y solucionario
Para cada Unidad se proponen dos evaluaciones
diagnósticas, tickets de salida y dos sumativas, que
complementan aquellas incluidas en el BDA. De
esta forma, dispone de diferentes opciones que
puede utilizar de acuerdo con las características
de su curso y sus necesidades. Además, se incluye
un solucionario con las respuestas a las preguntas
de cada evaluación.
Estructura Guía Digital del Docente
9
Estructura Texto del Estudiante
Este es tu texto de Matemática. Se compone del Texto del estudiante (TE) y el Banco digital de
actividades (BDA).
Los contenidos que aprenderás te ayudarán a practicar la lógica, a razonar y a disponer tu mente
para el pensamiento, la crítica y la abstracción. Además, desarrollarás actitudes y valores que
garantizarán una solidez en tus fundamentos, seguridad en los procedimientos que escojas para
resolver problemas y confianza en los resultados obtenidos.
Inicio de unidad
Cada Unidad se desarrolla en torno
a un eje de la asignatura. Estas se
dividen en lecciones asociadas a uno
o más objetivos de aprendizaje.
Desarrollo del texto
En el desarrollo del TE encontrarás explicaciones, ejemplos y actividades
resueltas que acompañarán las definiciones del contenido que debes aprender.
Desarrollo del pensamiento
Los ejemplos y actividades apuntan al desarrollo del pensamiento crítico,
metacognitivo y creativo por medio de la resolución de problemas. Además,
impulsan el trabajo colaborativo y las habilidades comunicativas.
¿Sabías que en muchos elementos de la naturaleza está
presente lo que se conoce como “proporción áurea”?
¿Sabes de qué se trata? Investíguenlo en grupos.
La sección metacognitiva te ayudará desarrollar autonomía en tu aprendizaje
y a mantener una actitud crítica sobre la información, el conocimiento y tus
propias estrategias de aprendizaje.
CÁPSULAS E ÍCONOS
A lo largo de los temas, encontrarás cápsulas complementarias e íconos descriptivos.
Debes saber...
10
Estructura Texto del Estudiante
Simbología
www
Trabajo en grupo Trabajo lúdico
Síntesis
Cada Unidad del TE finaliza con una
síntesis de contenidos, habilidades y
actitudes. En la app sugerida, puedes
construir mapas mentales que te
ayuden a resumir y reforzar los
contenidos aprendidos.
Banco digital de actividades
Las actividades, juegos, evaluaciones, proyectos, audiovisuales,
etc. que complementan al TE, se alojan en el Banco Digital de
Actividades (BDA), que es administrado por tu docente.
BDA
U1_GUI_1
BDA
Actividades, evaluaciones
y proyectos
BDA
U1_APP_1
U1_VID_1
BDA
TXT
Pág. 1
U1_AUD_1
Audiovisuales
Simuladores
Estructura Texto del Estudiante
11
Planificación anual
PRIMER SEMESTRE
Unidades
Lecciones
OA
aprendizaje
OA
complementario
OA
habilidades
OA
actitudes
Mes 1
Mes 2
S1 S2 S3 S4 S1 S2 S3 S4
1
2
3
4
12
OA: d, f,
a, g, m, b,
h, j
OA: A,
C, D
OA: a, c,
k, j, m, d
OA: A,
C, D
OA: k, j, c,
e, g
OA: A,
C, D
OA: e, a,
b, h, k, d
OA: C,
E, F
OA: 8
OA: c, f, i,
a, k, l, b, j
OA: C,
E, F
L6:
Posición y
desplazamiento
OA: 14
OA: d, e, j
OA: C,
B, D
L7:
Círculo y
circunferencia
OA: 11
OA: l, m,
b, c, f
OA: C,
B, D
L8:
construcciones
geométricas
OA: 12
OA: c, l, b,
e, g
OA: C,
B, D
L9:
Organización y
representación
de dato
OA: 16
OA: 15
OA: k, l, d,
c, e, f, j, a
OA: D,
E, F
L10:
Probabilidad
OA: 18
OA: 19
OA: e, h, k
OA: D,
E, F
L1:
Números enteros
OA: 1
L2:
Fracciones y
números decimales
OA: 3
L3:
Porcentaje
OA: 4
L4:
Lenguaje
Algebraico
OA: 6
L5:
Relaciones
proporcionales
Planificación anual
OA: 2
OA: 7
OA: 5
SEGUNDO SEMESTRE
Mes 3
Mes 4
Mes 5
Mes 6
Mes 7
Mes 8
Mes 9
S1 S2 S3 S4 S1 S2 S3 S4 S1 S2 S3 S4 S1 S2 S3 S4 S1 S2 S3 S4 S1 S2 S3 S4 S1 S2 S3 S4
Planificación anual
13
Planificación Semestre 1
Lección
OA aprendizaje
OAT
OA habilidades
OA actitud
Contenidos
Inicio de unidad (OAT 18)
OA 1
OAT 1 OA d
OAT 6 OA f
OAT 7 OA a
OA g
OA m
OA b
OA h
OA j
OA A
OA C
OA D
OA 3
OA 2
OAT 6 OA a
OAT 7 OA c
OAT12 OA k
OAT20 OA j
OA m
OA d
OA A
OA C
OA D
OAT 6 OA k
OAT 7 OA j
L3: porcentajes
OAT14 OA c
OA e
OA g
Coevaluación: Matemática y medioambiente
Proyecto Matemático
Proyecto Interdisciplinario
Síntesis de unidad
OA A
OA C
OA D
Unidad1: Números
L1: Números
enteros
L2: Fracciones
y números
decimales
OA 4
Lección
OA aprendizaje
OAT
OA 6
OA 7
OAT 2
OAT 3
OAT 5
OAT 8
OAT15
OAT17
OAT25
OA habilidades
OA actitud
· Números positivos y negativos
· Representación de números enteros
· Valor absoluto
· Orden y comparación en ℤ
· Adición en ℤ Propiedades de la adición
· Resolución de problemas de adición en ℤ
· Sustracción en ℤ
· Resolución de problemas de sustracción en ℤ
· Ejercicios combinados y aplicaciones en ℤ
· Multiplicación de decimales
· División de decimales
· Multiplicación concreta de fracciones positivas
· Multiplicación gráfica de fracciones positivas
· Multiplicación simbólica de fracciones (algoritmo)
· Concepto de inverso multiplicativo
· División concreta de fracciones positivas
· División gráfica de fracciones positivas
· División simbólica de fracciones positivas (algoritmo)
· COPISI relacionado con porcentajes
· Cálculo de porcentajes
· Cálculo del tanto por ciento
· Cálculo del 100%
· Problemas que impliquen los cálculos del tema anterior
Contenidos
Unidad 2: Álgebra y funciones
Inicio de unidad
L4: Lenguaje
Algebraico
OA 8
L5: Relaciones
proporcionales
OA d
OA e
OA a
OA b
OA h
OA k
OAT 9 OA c
OAT10 OA f
OAT21
OAT23 OA i
OAT24 OA a
OA k
Coevaluación: Matemática y medioambiente (OAT 11)
Proyecto Matemático
Proyecto Interdisciplinario
Síntesis de unidad
14
Planificación semestre 1
OA l
OA b
OA c
OA g
OA j
OA C
OA E
OA F
· Lenguaje algebraico y lenguaje natural
· Expresiones algebraicas
· Factor literal, coeficiente numérico, etc.
· Valorización de expresiones algebraicas
· Construcción de fórmulas (área y perímetro)
· Reducción de expresiones algebraicas
OA C
OA E
OA F
· Razones
· Proporciones
· Proporcionalidad directa
· Gráficas y tablas
· Proporcionalidad inversa
· Gráficas y tablas
· Proporcionalidad directa
· Proporcionalidad inversa
· Ejercicios de aplicación
Horas pedagógicas
Página TE
N° actividad BDA
Evaluaciones
3h
6-7
27 h
8-24
Guía 1 a 13
Evaluación de Lección 1
24 h
25-39
Guía 14 a 23
Evaluación de Lección 2
13 h
40-47
Guía 24 a 29
Evaluación de Lección 3
3h
48-49
Horas pedagógicas
Página TE
3h
50-51
10 h
52-57
Guía 1 a 4
Evaluación de Lección 4
23 h
58-71
Guía 5 a 9
Evaluación de Lección 5
3h
72-73
Evaluación diagnóstica unidad 1
Evaluación final U1
Guias BDA
Evaluaciones BDA
Evaluación diagnóstica unidad 2
Evaluación final U2
Planificación semestre 1
15
Planificación unidad 1
Unidad 1: Números
Tiempo estimado: 70 horas
OA de
aprendizaje
OAT
OA
actitudes
OA
habilidades
OA A
OA C
OA D
OA d
OA f
· Números enteros (Z)
OA a
OA g
OA f
OA m
· Orden y comparación en Z
OA a
OA b
OA m
· Adición en Z
OA a
OA h
OA j
· Sustracción en Z
OA j
OA m
· Ejercicios combinados y aplicaciones en Z
OA a
OA c
OA k
· Multiplicación y división de decimales
OA a
OA c
OA k
· Multiplicación de fracciones
OA a
OA c
OA j
OA m
· División de fracciones
OA c
OA d
OA j
· Operaciones combinadas y problemas de números
decimales y fracciones
OA k
· Representación de porcentajes
OA j
OA c
OA e
OA g
· Cálculo de porcentajes
Tema
Inicio de unidad
OAT 1
OAT 6
OAT 7
Lección 1: Números enteros
OA 1
Lección 3:
Porcentajes
Lección 2: Fracciones y
números decimales
OA 3
OA 2
OA 4
OAT 6
OAT 7
OAT 12
OAT 20
OAT 6
OAT 7
OAT 14
Coevaluación: Matemática y medioambiente 1
Proyecto Matemático 1
Proyecto Interdisciplinario 1
Síntesis de unidad
16
Planificación unidad 1
OA A
OA C
OA D
OA A
OA C
OA D
Pág. TE
Guias BDA
6-7
8-12
Guía 1, 2 3
13-15
Guía 4, 5
16-19
Guía 6, 7, 8
20-22
Guía 9, 10, 11
23-24
Guía 12, 13
25-27
Guía 14, 15, 16
28-31
Guía 17, 18
32-35
Guía 19, 20
36-39
Guía 21, 22, 23
40-41
Guía 24
42-47
Guía 25, 26, 27, 28, 29
48 - 49
Evaluaciones BDA
Tiempo
estimado
Evaluación Diagnóstica
3h
Evaluación de Lección 1
27 h
Evaluación de Lección 2
24 h
Evaluación de Lección 3
13 h
Evaluación final U1
3h
Planificación unidad 1
17
Planificación unidad 2
Unidad 2: Álgebra y funciones
Tiempo estimado: 39 horas
OA de
aprendizaje
OA
actitudes
OA
habilidades
OAT 2
OAT 3
OAT 5
OAT 8
OAT15
OAT17
OAT25
OA C
OA E
OA F
OA d
OAT 9
OAT10
OAT21
OAT23
OAT24
OA C
OA E
OA F
OAT
Tema
Lección 5: Relaciones proporcionales
Lección 4: Lenguaje
Algebraico
Inicio de unidad
OA 6
OA 7
OA 8
Coevaluación: Matemática y medioambiente U2
Proyecto Matemático 2
Proyecto Interdisciplinario 2
Síntesis de unidad
18
Planificación unidad 2
OA e
OA a
OA b
OA h
OA k
· Lenguaje algebraico
· Reducción y valorización de expresiones algebraicas
OA c
OA f
OA i
· Razones y proporciones
OA a
OA f
OA k
· Proporcionalidad directa
OA a
OA k
OA l
· Proporcionalidad inversa
OA b
OA c
OA g
OA j
· Aplicaciones de proporcionalidad
Pág. TE
Guias BDA
50-51
52-53
Tiempo
estimado
Evaluación Diagnóstica
3h
Evaluación de Lección 4
10 h
Evaluación de Lección 5
23 h
Evaluación final U2
3h
Guía 1
54-57
Guía 2, 3, 4
58-61
Guía 5, 6
62-65
Guía 7
66-69
Guía 8
70-71
Guía 9
48 - 49
Evaluaciones BDA
Planificación unidad 2
19
Objetivos de Aprendizaje Priorizados
Actualización de la Priorización Curricular 2023-2025
Aprendizajes Basales
OA1. Mostrar que comprenden la adición y la sustracción
de números enteros:
OA 12. Construir objetos geométricos de manera manual
y/o con software educativo:
• representando los números enteros en la recta
numérica.
• representándolas de manera concreta, pictórica
y simbólica.
• dándole significado a los símbolos + y – según
el contexto (por ejemplo: un movimiento en una
dirección seguido de un movimiento equivalente
en la posición opuesta no representa ningún
cambio de posición).
• resolviendo problemas en contextos cotidianos.
• líneas, como las perpendiculares, las paralelas, las
bisectrices y alturas en triángulos y cuadriláteros.
OA3. Resolver problemas que involucren la multiplicación
y la división de fracciones y de decimales positivos
de manera concreta, pictórica y simbólica (de forma
manual y/o con software educativo).
OA4. Mostrar que comprenden el concepto de porcentaje:
• representándolo de manera pictórica.
• calculando de varias maneras.
• aplicándolo a situaciones sencillas.
OA6. Utilizar el lenguaje algebraico para generalizar
relaciones entre números, para establecer y formular
reglas y propiedades y construir ecuaciones.
OA8. Mostrar que comprenden las proporciones directas
e inversas:
• realizando tablas de valores para relaciones
proporcionales.
• graficando los valores de la tabla.
• explicando las características de la gráfica.
• resolviendo problemas de la vida diaria y de
otras asignaturas.
OA11. Mostrar que comprenden el círculo:
• describiendo las relaciones entre el radio, el
diámetro y el perímetro del círculo.
• estimando de manera intuitiva el perímetro y el
área de un círculo.
• aplicando las aproximaciones del perímetro y del
área en la resolución de problemas geométricos
de otras asignaturas y de la vida diaria.
• identificándolo como lugar geométrico.
20
Objetivos de Aprendizaje Priorizados
• puntos, como el punto medio, el centro de
gravedad, el centro del círculo inscrito y del
circunscrito de un triángulo.
• triángulos y cuadriláteros congruentes.
OA14. Identificar puntos en el plano cartesiano, usando
pares ordenados y vectores de forma concreta
(juegos) y pictórica.
OA16. Representar datos obtenidos en una muestra
mediante tablas de frecuencias absolutas y relativas,
utilizando gráficos apropiados, de manera manual
y/o con software educativo.
OA18. Explicar las probabilidades de eventos obtenidos por
medio de experimentos de manera manual y/o con
software educativo:
• estimándolas de manera intuitiva.
• utilizando frecuencias relativas.
• relacionándolas con razones, fracciones o
porcentaje.
Actitudes
A. Abordar de manera flexible y creativa la búsqueda de
soluciones a problemas de la vida diaria, de la sociedad
en general, o propios de otras asignaturas.
B. Demostrar curiosidad e interés por resolver desafíos
matemáticos, con confianza en las propias capacidades,
incluso cuando no se consigue un resultado inmediato.
C. Demostrar interés, esfuerzo, perseverancia y rigor en
la resolución de problemas y la búsqueda de nuevas
soluciones para problemas reales.
D. Trabajar en equipo en forma responsable y proactiva,
ayudando a los otros, considerando y respetando los
aportes de todos, y manifestando disposición a entender
sus argumentos en las soluciones de los problemas.
E. Mostrar una actitud crítica al evaluar las evidencias e
informaciones matemáticas y valorar el aporte de los datos
cuantitativos en la comprensión de la realidad social.
F. Usar de manera responsable y efectiva las tecnologías de
la comunicación en la obtención de información, dando
crédito al trabajo de otros y respetando la propiedad y la
privacidad de las personas.
OAk. Elegir y utilizar representaciones concretas, pictóricas
y simbólicas para enunciados y situaciones en
contextos diversos (tablas, gráficos, recta numérica,
entre otros).
OAl.
Relacionar y contrastar información entre distintos
niveles de representación.
Habilidades Matemáticas
OAm. Representar y ejemplificar utilizando analogías,
metáforas y situaciones familiares para resolver
problemas.
OAa. Resolver problemas utilizando estrategias tales
como:
Objetivos transversales
• Destacar la información dada.
• Usar un proceso de ensayo y error sistemático.
• Aplicar procesos reversibles.
• Descartar información irrelevante.
• Usar problemas similares.
OAb. Evaluar procedimientos y comprobar resultados
propios y de otros de un problema matemático.
OAc. Utilizar sus propias palabras, gráficos y símbolos
matemáticos para presentar sus ideas o soluciones.
OAd. Describir relaciones y situaciones matemáticas de
manera verbal y usando símbolos.
OAe. Explicar y fundamentar:
• Soluciones propias y los procedimientos utilizados.
• Resultados mediante definiciones, axiomas,
propiedades y teoremas.
OAf.
Fundamentar conjeturas dando ejemplos y contra
ejemplos.
OAg. Evaluar la argumentación de otros dando razones.
OAh. Usar modelos, realizando cálculos, estimaciones y
simulaciones, tanto manualmente como con ayuda
de instrumentos para resolver problemas de otras
asignaturas y de la vida diaria.
OAi.
OAj.
Seleccionar y ajustar modelos, para resolver
problemas asociados a ecuaciones e inecuaciones
de la forma ax + b >, <, = c, con a, b, c ∈ N,
comparando dependencias lineales.
Evaluar la pertinencia de modelos:
• En relación con el problema presentado.
• Considerando sus limitaciones.
OAT 1. Favorecer el desarrollo físico personal y el
autocuidado, en el contexto de la valoración de
la vida y el propio cuerpo, mediante hábitos de
higiene, prevención de riesgos y hábitos de vida
saludable.
OAT 2. Desarrollar hábitos de vida activa llevando a cabo
actividad física adecuada a sus intereses y aptitudes.
OAT 3. Construir un sentido positivo ante la vida, así como
una autoestima y confianza en sí mismo(a) que
favorezcan la autoafirmación personal, basándose
en el conocimiento de sí y reconociendo tanto
potencialidades como ámbitos de superación.
OAT 4. Comprender y apreciar la importancia que tienen
las dimensiones afectiva, espiritual, ética y social
para un sano desarrollo sexual.
OAT 5. Adaptarse a los cambios en el conocimiento y
manejar la incertidumbre.
OAT 6. E x p o n e r i d e a s , o p i n i o n e s , co nv i cc i o n e s ,
sentimientos y experiencias de manera coherente y
fundamentada, haciendo uso de diversas y variadas
formas de expresión.
OAT 7. Resolver problemas de manera reflexiva en el
ámbito escolar, familiar y social, tanto utilizando
modelos y rutinas como aplicando de manera
creativa conceptos, criterios, principios y leyes
generales.
OAT 8. Pensar en forma libre, reflexiva y metódica para
evaluar críticamente situaciones en los ámbitos
escolar, familiar, social, laboral y en su vida
cotidiana, así como para evaluar su propia actividad,
favoreciendo el conocimiento, comprensión y
organización de la propia experiencia.
Objetivos de Aprendizaje Priorizados
21
OAT 9. Valorar la vida en sociedad como una dimensión
esencial del crecimiento de la persona, así como
la participación ciudadana democrática, activa,
solidaria, responsable, con conciencia de los
respectivos deberes y derechos; desenvolverse
en su entorno de acuerdo a estos principios y
proyectar su participación plena en la sociedad de
carácter democrático.
OAT 10. Valorar el compromiso en las relaciones entre las
personas y al acordar contratos: en la amistad,
en el amor, en el matrimonio, en el trabajo y al
emprender proyectos.
OAT 19. Practicar la iniciativa personal, la creatividad y el
espíritu emprendedor en los ámbitos personal,
escolar y comunitario, aportando con esto al
desarrollo de la sociedad.
OAT 11. Participar solidaria y responsablemente en
las actividades y proyectos de la familia, del
establecimiento y de la comunidad.
OAT 20. Trabajar en equipo de manera responsable, construyendo relaciones de cooperación basadas en la
confianza mutua, y resolviendo adecuadamente los
conflictos.
OAT 12. Conocer y valorar la historia y sus actores, las
tradiciones, los símbolos y el patrimonio territorial y
cultural de la nación, en el contexto de un mundo
crecientemente globalizado e interdependiente,
comprendiendo la tensión y la complementariedad
que existe entre ambos planos.
OAT 21. Comprender y valorar la perseverancia, el rigor y
el cumplimiento, por un lado, y la flexibilidad, la
originalidad, la aceptación de consejos y críticas
y el asumir riesgos, por el otro, como aspectos
fundamentales en el desarrollo y la consumación
exitosa de tareas y trabajos.
OAT 13. Reconocer y respetar la igualdad de derechos
entre hombres y mujeres y apreciar la importancia
de desarrollar relaciones que potencien su
participación equitativa en la vida económica
familiar, social y cultural.
OAT 22. Reconocer la importancia del trabajo —manual e
intelectual— como forma de desarrollo personal,
familiar, social y de contribución al bien común,
valorando sus procesos y resultados según criterios
de satisfacción personal, sentido de vida, calidad,
productividad, innovación, responsabilidad social
e impacto sobre el medioambiente, y apreciando
la dignidad esencial de todo trabajo y el valor
eminente de la persona que lo realiza.
OAT 14. Conocer el problema ambiental global, y proteger
y conservar el entorno natural y sus recursos como
contexto de desarrollo humano.
OAT 15. Ejercer de modo responsable grados crecientes de
libertad y autonomía personal, de acuerdo a los
valores de justicia, solidaridad, honestidad, respeto,
bien común y generosidad.
OAT 16. Conocer, respetar y defender la igualdad de
derechos esenciales de todas las personas, sin
distinción de sexo, edad, condición física, etnia,
religión o situación económica, y actuar en
concordancia con el principio ético que reconoce
que todos los “seres humanos nacen libres e iguales
en dignidad y derechos y, dotados de razón y
conciencia, deben comportarse fraternalmente
los unos con los otros” (Declaración Universal de
Derechos Humanos, Artículo 1°).
OAT 17. Valorar el carácter único de cada ser humano y, por
lo tanto, la diversidad que se manifiesta entre las
personas, y desarrollar la capacidad de empatía con
los otros.
22
OAT 18. Reconocer y respetar la diversidad cultural, religiosa
y étnica y las ideas y creencias distintas de las
propias en los espacios escolares, familiares y
comunitarios, interactuando de manera constructiva
mediante la cooperación y reconociendo el diálogo
como fuente de crecimiento y de superación de las
diferencias.
Objetivos de Aprendizaje Priorizados
OAT 23. Gestionar de manera activa el propio aprendizaje,
utilizando sus capacidades de análisis, interpretación
y síntesis para monitorear y evaluar su logro.
OAT 24. Desarrollar planes de vida y proyectos personales,
con discernimiento sobre los propios derechos,
necesidades e intereses, así como sobre las
responsabilidades con los demás, en especial, en
el ámbito de la familia.
OAT 25. Utilizar TIC que resuelvan las necesidades de
información, comunicación, expresión y creación
dentro del entorno educativo y social inmediato.
Unidad
1
Números
Introducción
E
sta unidad tiene como hilo conductor el eje Números.
Las secciones y lecciones están organizadas de acuerdo
a la ampliación de los conjuntos numéricos hacia los números enteros, ya que, hasta sexto básico, los estudiantes han trabajado solo con números naturales, fracciones
positivas y decimales positivos. Por lo tanto, el estudiantado toma un primer contacto con los números negativos, reconociendo que son necesarios para expresar,
por ejemplo, temperaturas bajo los cero grados, deudas,
profundidades bajo el nivel del mar, años antes del nacimiento de Cristo, etc. Esto se traduce en que los estudiantes ampliarán el ámbito numérico conocido hasta
sexto básico y, con ello, extenderán las operaciones de
adición y sustracción, haciendo que esta última cumpla la
propiedad de clausura en este nuevo conjunto numérico.
Además, en esta unidad se profundizará en la operatoria
con fracciones y decimales, haciendo el nexo entre las
fracciones decimales y su representación decimal. Luego,
se trabajará la división y multiplicación con estos números, para finalizar con su uso y aplicación en diferentes
contextos.
Por último, también se ampliará el concepto de porcentaje "como referente universal para expresar y comparar partes de un todo y como operador para determinar
partes de un todo" (Programa de estudio, 2016, p.62) en
problemas y contextos de la vida cotidiana.
Los Aprendizajes Basales que se trabajarán en la unidad
son: OA 01, OA 03 y OA 04.
Con respecto a los Objetivos Actitudinales, la unidad 1
hace hincapié en el trabajo del OA A, OA C y OA D a lo
largo de todas las secciones y lecciones que la componen.
Las habilidades a trabajar fuertemente en la unidad 1 son:
Argumentar y comunicar: OA d, OA f, OA g, OA e; resolver
problemas: OA a, OA b, OA c; representar: OA m, OA k;
modelar: OA h, OA j.
En cuanto a los Objetivos Transversales, estos serán trabajados a lo largo de la revisión de todos los contenidos
que implica la unidad, promoviendo su desarrollo en las
diferentes actividades propuestas que aparecen en el
Texto del Estudiante y en el Banco Digital de Actividades.
La Guía Didáctica del Docente y el Banco Digital de Actividades presentan evaluaciones diagnósticas que podrá
utilizar al inicio de esta unidad, donde se evaluarán los
siguientes conocimientos previos: concepto de número
natural, orden y comparación de números naturales, adición y sustracción de números naturales, propiedades de
la adición de números naturales, adición y sustracciones
de fracciones positivas, con igual y distinto denominador,
adición y sustracción de números decimales positivos y
concepto de razón.
La Guía Didáctica del Docente y el Banco de Actividades
también cuentan con evaluaciones formativas, en formato Ticket de salida, que podrá aplicar a sus estudiantes al
término de cada lección, y evaluaciones sumativas, que
podrá utilizar al término de la unidad. Lo que pretenden
estos instrumentos es evaluar los nuevos conocimientos
que adquirirán los y las estudiantes a lo largo de esta unidad, a saber: concepto de número negativo, elemento
inverso aditivo, construcción del conjunto de los números
enteros, concepto de valor absoluto, adición y sustracción
de números enteros, multiplicación y división de fracciones
positivas, multiplicación y división de números decimales
positivos, concepto de porcentaje, cálculo de porcentajes.
Introducción
23
Orientaciones al Docente
UNIDAD 1
NÚMEROS
Propósito: ampliar el ámbito numérico
conocido hacia el conjunto de los
números enteros; multiplicar y dividir
números fraccionarios y decimales
positivos; ampliar el concepto de
porcentaje.
Palabras claves: Números naturales,
números enteros, creciente, decreciente,
valor absoluto, operaciones, fracciones,
decimales, porcentajes.
Tiempo estimado: 70 horas
Orientaciones Texto del
Estudiante
Pida la descripción de las imágenes que
aparecen en estas páginas iniciales de la
unidad, haciendo hincapié en los elementos matemáticos que allí se muestran.
Preguntas motivadoras
Indague sobre lo que saben sus estudiantes respecto al nombre de la unidad y sobre sus propias expectativas, preguntando:
- ¿Qué saben del tema?
- ¿Qué esperan aprender en esta unidad?
Activación de conocimientos y
experiencias previas
Comience la primera unidad del año con
preguntas que insten al estudiantado a
recordar los conocimientos adquiridos en
años anteriores, por ejemplo:
• ¿Qué tipo de números ven en las imágenes? ¿Recuerdan haberlos utilizado antes?
¿En qué contextos?
24
Errores frecuentes
Los y las estudiantes confunden los conceptos de área y perímetro. Al
respecto, Corberán (1996, citado en Muñoz y Rojas, 2019) señala:
"Esta falsa relación entre el área y el perímetro, que se ha constatado está muy arraigada en los alumnos, pone de manifiesto que estos
piensan en el área y en el perímetro como en dos propiedades de la
superficie íntimamente ligadas, concepción errónea que les impide ver
el área como una propiedad de la superficie independiente del perímetro, que les dificulta e incluso imposibilita realizar transformaciones de
superficies bajo determinadas condiciones" (p. 24).
• ¿Han usado estos números en otras
asignaturas? ¿Con cuáles pueden realizar
operaciones?
Fuente: Muñoz, C. y Rojas, N. (2019). Evaluación de una Unidad Didáctica
sobre la enseñanza y aprendizaje de los conceptos de perímetro y área.
Estudios pedagógicos. 45(1), pp. 23 - 39.
• ¿Conocen las propiedades de las
operaciones con números naturales?
Nombren algunas.
Para acceder a más información, ingrese el código GA23M7BP024A a
www.auladigital.cl.
Unidad 1 • Números
Ambientes de aprendizaje
El TE sugiere indagar más sobre la cultura yámana ingresando un código a
www.auladigital.cl. Junto con el o la docente de Historia, Geografía y Ciencias
Sociales, piensen una actividad interdisciplinaria para ejemplificar y profundizar en
los OA de la unidad 1 de ambas disciplinas, para enriquecer el aprendizaje de los
estudiantes.
Manejo de recursos
Para una mejor comprensión de los elementos de la cultura yámana que aparecen en las preguntas de la p. 7 del TE,
proponga una revisión en parejas de la
información del código sugerido.
Para evaluar los conocimientos previos necesarios para esta unidad, cuenta con dos
opciones de evaluaciones diagnósticas que
están desde las páginas 70 a la 73 de esta
GDD y en el Banco Digital de Actividades.
Terminadas las evaluaciones, indique a
sus estudiantes formar grupos de trabajo
e invítelos a discutir sobre sus fortalezas
y debilidades referentes a los contenidos
previos. Guíelos a construir un plan de mejora para reforzar los contenidos que fueron clasificados como debilidades.
Formas de aprendizaje
Respecto a las preguntas sugeridas en la p. 7, es importante generar
un ambiente de confianza con sus estudiantes, para que libremente,
puedan expresar sus ideas. Más allá de resolver, se insta a explicar los
procedimientos y justificarlos desde la matemática. En el caso de que
surja más de un método de resolución, se sugiere registrarlos en la
pizarra, para analizarlos y corregir, en caso de ser necesario. Si aparece
alguna confusión entre el cálculo del área y el cálculo del perímetro,
mostrar con algún ejemplo concreto la diferencia, por ejemplo, una
imagen cuadriculada, en la que se calcule el perímetro sumando los
lados de cada cuadrado y el área, como la suma de los cuadrados que
cubren completamente la imagen.
Respuestas esperadas
Página 7
• Restar las medidas de las superficies
de ambas viviendas.
• Restando las medidas de las
longitudes de las embarcaciones,
expresando antes el número mixto
como fracción impropia.
• Su relación íntima con la naturaleza,
su lengua única, su cosmovisión
espiritual y sus expresiones artísticas.
• Planteando como consecuente el
total de personas pertenecientes
a los pueblos originarios y como
antecedente, las yaganes.
Orientaciones al docente
25
LECCIÓN 1
Números enteros
Propósito: reconocer, en contextos
cercanos, el conjunto de los números
enteros y su relación con los números
naturales.
Tiempo estimado: 27 horas
Activación de conocimientos y
experiencias previas
Es importante que sus estudiantes trabajen
de forma contextualizada los números enteros, en particular los negativos, también
lo es saber que su existencia es producto
de la necesidad de la misma disciplina de
resolver ecuaciones.
Una manera de introducir lo anterior y el
conjunto de números enteros consiste en
preguntar a los estudiantes: ¿tiene solución en los números naturales la ecuación
x + 1 = 0? Se espera que los estudiantes resuelvan la ecuación y obtengan el
número -1 como solución.
Fuente: Cid, E. (2003). La investigación didáctica
sobre los números negativos: estado de la
cuestión (Pre-publicaciones del Seminario
Matemático "García de Galdeano").
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
Como una forma de motivar a los estudiantes en el aprendizaje de los números
enteros, la guía número 1 del BDA presenta
una actividad de descubrimiento, sin embargo, puede ser utilizada de acuerdo a la
disposición que elija, es decir, puede ser
desarrollada por los y las estudiantes antes
de la actividad de inicio de la lección 1, indicada en el TE, o posterior a esta.
La guía trabaja sobre un video de un salto en acantilado de Lázaro Schaller, por
medio del cual los estudiantes pueden
26
Unidad 1 • Números
visualizar, gracias a la tecnología, su experiencia, tanto en tercera como
en primera persona, dimensionando la altura de la que se lanza y también la profundidad que alcanza. Esto permite a los estudiantes que
relacionen estos conceptos con los vistos sobre números enteros.
También, durante el salto de Lázaro se puede apreciar la importancia
del trabajo colaborativo, puesto que es posible observar al equipo que
lo prepara para poder realizar en forma segura este salto. Se sugiere
reforzar en este punto que los participantes del video son profesionales
y están entrenados para realizar este tipo de actividad.
Además, dichas actividades ayudarán al estudiantado a identificar el 0
como referente cuando se determinan alturas o profundidades respecto
al nivel del mar. Es importante destacar que las mediciones bajo el nivel
del mar son positivas y que el signo solo está refiriendo a una localización respecto al horizonte, que indica una posición bajo el nivel del mar.
A modo de profundización, ingrese
GA23M7BP027A en www.auladigital.cl
y encontrará un video que podrá utilizar
para visualizar el tránsito de los números
naturales a los números enteros y cómo se
va construyendo la recta numérica entera.
Preguntas motivadoras
Luego de realizar en forma conjunta la
actividad introductoria del TE, pregunte a
sus estudiantes: ¿qué representa una temperatura de 0 °C? Se esperan respuestas
como, que no hace frío ni calor o que no
hay registro de la temperatura, por lo que
se sugiere resignificar el 0 como un referente, es decir, que comprendan que este
número no siempre representa la ausencia de algo, sino que también puede ser
una referencia.
Esta resignificación permitirá comprender
de mejor manera la ubicación de los números en la recta numérica.
Por otro lado, a modo de reforzar la identificación de los números enteros dentro
de cualquier tipo de números, proponga
el juego que aparece al ingresar el código
GA23M7BP027B en www.auladigital.cl.
Orientaciones Texto del Estudiante
La representación en la recta numérica del número entero es un cambio
importante en lo que conocen los y las estudiantes hasta este nivel. Por
ello se sugiere comenzar desde lo conocido, indicando que los números
naturales corresponden a los enteros positivos y se ubican a la derecha
del 0 en la recta numérica, para luego abordar los enteros negativos
como puntos que se ubican a la izquierda del 0 en la recta numérica,
enfatizando en que el 0 no es positivo ni negativo, sino un referente
para esa ubicación en la recta numérica.
Es importante destacar que, al escribir los números enteros, se utiliza
un signo para indicar si el número es positivo o negativo: El signo "+"
se omite al escribir un número positivo (5 equivale a +5), mientras que
el signo "-" se pone siempre antes del número, para indicar que es negativo (-7).
Orientaciones Texto del
Estudiante
Sugiera la construcción de una recta numérica del –20 al 20 en una hoja tamaño
oficio. Luego, solicite plastificar con cinta
adhesiva o termolaminadora. Usando un
marcador para pizarra, los estudiantes
podrán contar con este instrumento para
la comprensión de los números enteros
y para las operaciones que verán en esta
unidad.
Respuestas esperadas
Página 8
• 1 ºC, 0 ºC o -1 ºC.
• Números naturales, números
fraccionarios y números decimales.
Orientaciones al docente
27
Orientaciones Texto del
Estudiante
A partir de la resolución de las ecuaciones
del tipo x + 2 = 0; x + 3 = 0, etc., defina el
inverso aditivo de la siguiente manera: si
n es cualquier número, –n es el número
que sumado a n da 0, y para cada n es
único. Al nuevo número –n se le llama inverso aditivo de n. En general: n + –n = 0
y –n + n = 0.
Orientaciones Texto del
Estudiante
Es importante que sus estudiantes comprendan los números enteros (positivos y
negativos) por medio de metáforas o haciendo alusión a situaciones de la vida. La
utilidad del huso horario es una de ellas.
También se puede explicar la existencia de
estas dualidades como lo hicieron los chinos, utilizando el ying y el yang, lo que les
permitía entender los números positivos y
negativos como opuestos, esto facilitaría
posteriormente su cálculo. Así lo hacían
notar cuando jugaban con fichas de color
rojo (ying negativo) y negro (yang positivo),
donde se evidenciaba que al haber más
fichas ying que yang ganaban las positivas.
Errores frecuentes
Es usual que los y las estudiantes construyan la recta numérica de los números enteros escribiendo los números de izquierda a
derecha, tal como se construye la recta de
los naturales, es decir:
Así, si n es un número entero a la derecha del 0, entonces –n será el
número a la izquierda del 0, tal que el largo del segmento entre el
número y 0 sea n. (–n es un punto simétrico de n con respecto al 0).
a
–a
–1 –2 –3 –4
...
0 1 2 3 4
...
Esto se puede subsanar construyendo la
recta con la definición de inverso aditivo
y mostrando la representación correcta
en recursos web como los que encontrará
ingresando el código GA23M7BP028A en
www.auladigital.cl.
28
Unidad 1 • Números
a
0
a
Obteniendo, así, la recta numérica completa.
Fuente: Lewin, R., López, A., Martínez, S. y Rojas, D. (2013). Números para futuros
profesores de Educación Básica. Ediciones SM Chile.
Fuente: Segovia, I. y Rico, L. (2011). Matemáticas para maestros de Educación
Primaria. Editorial Pirámide.
Preguntas motivadoras
Una vez entregada la definición de inverso aditivo, pregunte a sus estudiantes: ¿es
posible que –x sea un número positivo?
Compartan sus respuestas fundamentando
paso a paso su proceder.
Al momento de revisar, ejemplifique todos
los casos posibles: cuando la x toma valores negativos, cuando la x toma valores
positivos y cuando x toma el valor 0.
Respuestas esperadas
Página 10
• No, nunca he estado en esa situación.
/ Sí, cuando calculé la temperatura
mínima que hubo en la cordillera
un día de invierno. Para ello, resté
la temperatura máxima menos la
oscilación térmica.
• En el ascensor, cuando se enumeran
los estacionamientos que están en el
subterráneo.
• Ubico el 0 y luego gradúo en forma
uniforme la recta hacia la derecha,
según el número que voy a ubicar.
Página 11
Orientaciones Texto del Estudiante
Ingrese el código GA23M7BP029B en www.auladigital.cl. Encontrará un video para apoyar la definición de valor absoluto. Además, para
complementar la formalización del contenido, informe a los estudiantes
que a los números que se encuentran a la misma distancia del cero en
la recta, pero en sentidos contrarios, se les llama números opuestos.
Orientaciones Banco Digital de Actividades (BDA)
La actividad 8 de la guía 2 del BDA (p. 5) puede ser una actividad a
revisar tanto en Matemáticas como en Historia, Geografía y Ciencias
Sociales, puesto que trabaja con las distintas alturas de algunas montañas y fosas del mundo.
• No, no existen mediciones negativas,
porque la distancia corresponde a
la longitud total de un determinado
trayecto.
• El valor absoluto es un número
positivo que indica una distancia. / Es
un número que no se puede cambiar,
por eso es el nombre de absoluto.
• Sí, porque uno está a la derecha del 0
y el otro a la izquierda de él, pero a la
misma distancia.
Podría complementar esa actividad solicitando a las y los estudiantes
que averigüen sobre las montañas y fosas que tenga nuestro país y
hacer un registro de ellas en una recta numérica, por ejemplo.
Orientaciones al docente
29
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
La actividad 5 de la guía 3 del BDA invita a
hacer un resumen de lo expuesto hasta ese
momento en la lección. Es importante que
consulte con la o el docente de Lengua y
Literatura para hacer un trabajo conjunto,
en el que se puedan dar mejores orientaciones para realizar dicho resumen, pero
que, a la vez, tenga toda la información
relevante de los temas hasta aquí tratados.
Para realizar la designación de parejas de
la actividad 5 de la guía 3 del BDA: cuando
los y las estudiantes ya se hayan sentado,
antes del inicio de la clase, decirles que
cada uno tiene que sentarse al lado de una
nueva persona que tiene que ser diferente a la que en aquel momento tiene a su
derecha o izquierda. Esto también permite que los y las estudiantes se relacionen
con sus demás compañeros y compañeras
y puedan compartir sus ideas con todos
y todas.
Orientaciones Texto del
Estudiante
Al terminar el análisis de la actividad de los
esgrimistas, haga notar a sus estudiantes
que el valor absoluto de un número y su
opuesto siempre es el mismo.
Preguntas motivadoras
Realice actividades como las siguientes:
Indica si las siguientes afirmaciones son
verdaderas o falsas. Justifica.
Como una instancia para propiciar la argumentación y comunicación
en la sala de clases, realice la siguiente pregunta a sus estudiantes: si
a es un número negativo, ¿es cierto que |a| = –a? Explica y ejemplifica.
a) El valor absoluto de –4 es mayor que el
valor absoluto de –2.
Luego, a modo de reforzar los conceptos de inverso aditivo y valor absoluto, preguntar al estudiantado:
b) El valor absoluto de 19 es menor que el
valor absoluto de –19.
a) Si a = –6, ¿cuál es el valor de a + |a|−|−a|?
c) No es cierto que no existe el valor absoluto de un número negativo.
d) Mientras más a la izquierda se encuentre un número del 0, menor será su
valor absoluto.
30
Puede sugerir el uso de una recta numérica para analizar gráficamente
cada afirmación y permitir la justificación de las respuestas. Acompañe
esto con un discurso con un buen uso del lenguaje técnico.
Unidad 1 • Números
b) ¿Qué valor debe tener x en la expresión |x – 1| = 6, para que dicha
igualdad se cumpla? Explica tus procedimientos.
Orientaciones Texto del Estudiante
Una vez terminadas las actividades de la p. 12, aplique el Ticket de salida
de Números Enteros de la p. 74 de esta Guía Didáctica.
Activación de conocimientos y
experiencias previas
Antes de iniciar el estudio de la p. 13, pregunte a sus estudiantes:
- ¿Cuándo un número es mayor que otro?
- ¿Qué significa ordenar de forma ascendente?, ¿y de forma descendente?
- ¿Qué criterios aplicamos al ordenar números naturales?
Respuestas esperadas
Página 12
• Distancia total recorrida por un
clavadista.
• Sí, porque responde también a la
prioridad de las operaciones.
Página 13
• Si el número es de 3 cifras, por
ejemplo, comparo primero las
centenas. Si son iguales, continúo
con las decenas y así sucesivamente.
Cuando los dígitos de la misma
posición son distintos, entonces es
mayor el número cuyo dígito en esa
posición es mayor.
• Lago Todos los Santos: –337
Lago Villarrica: –165.
Orientaciones Texto del Estudiante
Uno de los errores frecuentes que comete el estudiantado a la hora de
comparar números negativos es que homologan el procedimiento que
realizan con los números naturales o con los números enteros positivos. La recta numérica es uno de los recursos que pueden utilizar para
evidenciar que un número es mayor o menor que otro, pero también
puede hacer uso de situaciones, por ejemplo, deudas y haberes, si alguien debe una cantidad, aunque esta tenga un valor absoluto mayor,
no deja de ser deuda. Otros ejemplos para abordar serían las temperaturas: cuando bajan, hace frío; mientras que cuando suben, hace calor,
entre otras.
Orientaciones al docente
31
Orientaciones Texto del
Estudiante
Las definiciones dadas en la p. 14 del Texto del Estudiante se pueden complementar
con la siguiente definición de orden dada
para los números reales, pero que también
es válida para los números enteros.
Un número real a es positivo si a > 0, es
decir, si está a la derecha del 0. De manera análoga, decimos que un número real
a es negativo si a < 0, es decir, si está a la
izquierda de 0.
Fuente: Lewin, R., López, A., Martínez,
S., Rojas, D. y Zanocco, P. (2013).
Números para futuros profesores de Educación
Básica. Ediciones SM Chile.
De lo anterior, podemos concluir que un
número entero a es mayor mientras más
a la derecha esté en la recta numérica. En
cambio, un número entero b será menor
mientras más a la izquierda esté en la recta.
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
Como una forma de apoyar y motivar a
los estudiantes al aprendizaje de la comparación de los números enteros, la actividad 4 de la guía número 4 del BDA,
que se sugiere en la p. 14 del Texto del
Estudiante, presenta una actividad contextualizada para comparar distancias.
Ingrese el código GA23M7BP032A en
www.auladigital.cl para conocer más sobre
los submarinos con los que cuenta la Armada de Chile.
Para que la información entregada no quede en algo visual, es importante que las y
los estudiantes verbalicen y escriban lo que
observan o realizan. Es por eso que se recomienda, para el procedimiento realizado
en la actividad 2 de la guía 5 del BDA, lo
siguiente.
Redacta el paso a paso del procedimiento y explica el porqué de la conclusión
obtenida.
32
Unidad 1 • Números
Manejo de recursos
Para profundizar en la comparación de números enteros, ingrese el
código GA23M7BP032B en www.auladigital.cl y encontrará un juego
online, en el que los y las estudiantes deben comparar números enteros en el menor tiempo posible. Puede disponer a sus estudiantes en
parejas para una sana competición.
Para los estudiantes más hábiles, proponga la siguiente actividad:
a, b, c y d son números enteros ubicados en una recta numérica:
- a se encuentra dos unidades a la derecha de b;
- d está ubicado una unidad al lado izquierdo de b;
- c se ubica una unidad al lado derecho de a;
- b se encuentra una unidad a la izquierda del 0.
¿Cuál es la ubicación de cada número en la recta numérica? ¿Cuál es
su orden desde el mayor al menor?
Orientaciones Texto del
Estudiante
El uso de la recta numérica como la conocemos hoy no siempre fue así. En un inicio,
al momento de querer ubicar los números
negativos, como carecían de significado y
se les consideraban números absurdos, no
se colocaban en la misma recta numérica
que los números naturales, sino que en
una semirrecta en sentido opuesto y paralela a la que incluía los números naturales,
ya que se pensaba que eran números de
distinta naturaleza.
Fuente: Cid, E. (s/f). Obstáculos epistemológicos
en la enseñanza de los números negativos.
Universidad de Zaragoza. www.ugr.es/~jgodino/
siidm/cangas/Negativos.pdf
Respuestas esperadas
Página 14
• La primera, porque me es más fácil
determinar visualmente con la recta
numérica el número mayor. / La
segunda, porque comprendo mejor
cuando debo analizar reglas.
Página 15
Orientaciones Texto del Estudiante
Es fundamental para el aprendizaje de los nuevos contenidos matemáticos que los y las estudiantes realicen las actividades relativas a
un mismo tema, empleando distintos registros de representación. Es
por ello que puede invitarles a ordenar números enteros sin utilizar
la recta numérica como recurso visual, ingresando el siguiente código
GA23M7BP033A en www.auladigital.cl.
Orientaciones Texto del Estudiante
• Creciente significa que va
aumentando y decreciente significa
que va disminuyendo.
• Sí, ocupando el tablero posicional. /
No, no recuerdo cómo se hace.
• Sí, es fácil. / No, porque me enredo
con el valor absoluto. / Otra
estrategia es ubicar los números en
la recta numérica, así se visualiza de
inmediato el orden creciente de los
números de izquierda a derecha,
o el orden decreciente de derecha
a izquierda.
Una vez terminadas las actividades de la p. 15, aplique el Ticket de salida
de Orden y Comparación en ℤ, de la p. 74 de esta Guía Didáctica.
Orientaciones al docente
33
Activación de conocimientos y
experiencias previas
Antes de iniciar la revisión de la adición
en Z, indague sobre los conocimientos y
creencias de los estudiantes preguntando:
- ¿Qué significa sumar números naturales?
- ¿Qué acciones relacionamos con sumar?
- ¿Creen que lo que es válido para la suma
de números naturales es también válido
para la suma de enteros? ¿Por qué?
Deje registradas las respuestas a esta última pregunta en algún espacio físico de
la sala de clases o del cuaderno de los y
las estudiantes para una revisión posterior a la lección y compare las respuestas
obtenidas en esta instancia y las que se
obtendrán luego.
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
Para la conformación de las parejas de la
actividad 2 de la guía 6 del BDA, proponga
la siguiente actividad:
Busca tu otra mitad: para esta actividad,
prepare tarjetas con conceptos y definiciones, sumas y sus resultados, expresiones matemáticas equivalentes, etc.
Cada estudiante deberá juntarse con su
pareja correspondiente.
Actividad extraída de http://blog.tiching.com/7dinamicas-para-formar-grupos/
En el ejercicio b de la actividad 1 de la guía
6 del BDA, propicie la reflexión con la siguiente pregunta:
- Al cancelar los cubos asociando uno negativo con uno positivo, ¿qué número estás representando? ¿Por qué?
- ¿Se puede representar de otra forma?,
¿cuál? Da 3 ejemplos distintos.
34
Unidad 1 • Números
Orientaciones Texto del Estudiante
Comience planteando una situación en la que deban realizar una suma
de números naturales, por ejemplo: Juan compró 4 sacos de sal y Rocío,
7 sacos. ¿Cuántos sacos de sal compraron en total entre los dos? Solicite
a sus estudiantes que representen la situación en la recta numérica,
que la verbalicen y que escriban el procedimiento efectuado. Luego,
continúe con la actividad 1 de la p. 16 y pídales que la resuelvan en la
recta numérica también antes de mirar el paso a paso descrito en el
Texto del Estudiante. Pregunte si hubo algún cambio respecto del procedimiento inicial y a qué se debe. La idea es enfrentarlos a la situación
nueva y permitirles la reflexión y análisis antes de conocer otro método
de resolución (fichas de colores).
Errores frecuentes
Habitualmente, los estudiantes confunden las generalidades para sumar
enteros con las generalidades de la multiplicación de enteros cuando abordan
este procedimiento.
De ahí la importancia del recurso de la recta numérica para evitar estos errores.
Fuente: Cid, E. (2001). Los modelos concretos en la
enseñanza de los números negativos.
Preguntas motivadoras
Responde las siguientes preguntas relacionadas con el procedimiento de la p. 16.
a. ¿Qué representa el –3 en la información
entregada?, ¿y el 9? ¿Por qué están ubicados en distinta posición?
b. ¿Qué concepto matemático permite realizar lo descrito en el paso 3? Explica.
c. ¿Qué sucede al sumar un número p o s i t i vo y u n o n e g at i vo? ¿Q u é
operación realizas?
Respuestas esperadas
Página 17
Manejo de recursos
Puede trabajar el tema de la adición de enteros en grupos de estudiantes, pues es sabido que el trabajo en equipos aporta numerosos
beneficios y ventajas para ellos, toda vez que esta interacción activa los
procesos mentales (comprensión, pensamiento crítico, razonamiento,
etc.), genera relaciones positivas y mejora las relaciones sociales e interpersonales, entre otros aspectos.
• Usualmente, utilizo el algoritmo
tradicional, porque es más rápido que
otras estrategias. / Generalmente, uso
la estrategia de completar a la decena,
descomponiendo los sumandos.
• Me ubico en el primer sumando en
la recta numérica y luego avanzo a la
derecha tantos espacios como indique
el segundo sumando. El resultado es
el número al que llego.
• Otra situación que se puede resolver
sumando en la recta numérica es el
desplazamiento en un edificio que
cuenta con subterráneos.
Orientaciones al docente
35
Activación de conocimientos y
experiencias previas
Antes de iniciar la revisión de la p. 18 del
TE, pregunte a sus estudiantes:
¿Qué propiedades recuerdan de la adición? Den ejemplos.
A partir de dichas respuestas, revise las
propiedades que se cumplen en la adición
de los números enteros, haciendo hincapié
en la propiedad de elemento inverso aditivo, que no se cumple en N. Luego, profundice en que el conocimiento de estas
propiedades permite resolver ejercicios de
manera más rápida y fácil, por ejemplo:
5 + (–13) + 2 + (–5)
(5 + (–5)) + (–13) + 2 / asoc. y conm.
0 + ((–13) + 2) / e. inverso y asociatividad
(–13) + 2 / elemento neutro
((–11) + (–2)) + 2 / suma de negativos
(–11) + (–2 + 2) / asociatividad
–11 + 0 / elemento inverso
–11 / elemento neutro
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
Antes de iniciar la actividad 5 de la guía 8
del BDA, formule las siguientes preguntas
que permiten el análisis y discusión en la
sala de clases:
- ¿Cuál es el signo del resultado que se
obtiene al sumar un número negativo con
otro positivo?, ¿y tres números?
- ¿Sucederá lo mismo si sumo cuatro o más
números positivos y negativos? Comprueba tu respuesta con las fichas.
Una vez encontrado el cuadrado mágico
en la actividad 8 de la guía 8 del BDA, proponga las siguientes preguntas, sobre todo
a los y las estudiantes que han avanzado
más rápido:
36
Unidad 1 • Números
En relación al cuadrado mágico que encontraste:
a. ¿Cuánto suma cada fila y cada columna?
b. Si sumas 9 a cada número, ¿qué cuadrado obtienes? Dibújalo.
c. ¿Cuánto suma cada fila y cada columna de este nuevo cuadrado?
d. A partir del inicial, encuentra otro cuadrado en que cada fila y columna sumen –12.
Orientaciones Texto del Estudiante
Una vez terminadas las actividades de la p. 19, aplique el Ticket de salida
de Adición en ℤ, de la p. 75 de esta Guía Didáctica.
Conceptos esenciales
El uso de vectores no es arbitrario a la hora
de representar adiciones y sustracciones
de enteros en la recta numérica. Con ellos,
la idea de desplazamiento se hace más
evidente y, de esta forma, los y las estudiantes entienden o, al menos, logran recordar o dar sentido a las adiciones de dos
enteros de igual o distinto signo.
El uso de la recta numérica para operar
sirve como un modelo gráfico, permitiendo que el alumno o la alumna pueda reconstruir las “reglas o regularidades” de
la adición de enteros dejando de lado la
memorización.
Una vez familiarizados con el procedimiento, puede reemplazar la ubicación
del primer sumando por un punto, en lugar de una flecha, y desde ahí realizar el
desplazamiento que indique el segundo
sumando.
Respuestas esperadas
Página 19
Orientaciones Texto del Estudiante
Es usual que los y las estudiantes se equivoquen en el signo del
resultado cuando suman números de distinto signo. Una estrategia
que puede sugerir para evitar este error es utilizar una tabla. En el
lado izquierdo de la tabla, coloque solo los negativos y en el derecho,
solo los positivos. Luego, sume ambas columnas y reste los resultados
obtenidos. El signo de este corresponderá al del número con mayor
valor absoluto. Así, con –15 + (–3) + 6 + (–1), tenemos:
– +
15 6
3
+ 1
19 16
• La recta numérica, porque puedo
visualizar y comprender mejor. / El
algortimo, porque es más rápido.
• Porque así me aseguro de que el
resultado es correcto.
• Deuda, con signo negativo; y
depósito, con signo positivo.
19 – 6 = 13
Pero como 19 > 6, entonces el resultado es –13, porque 19 está en la
columna de los negativos.
Orientaciones al docente
37
Activación de conocimientos y
experiencias previas
Antes de iniciar la revisión de la sustracción
en ℤ, indague sobre los conocimientos y
creencias de los estudiantes, preguntando:
- ¿Qué significa restar números naturales?
- ¿Qué acciones relacionamos con restar?
- ¿Creen que lo que es válido para la resta de números naturales es también válido para la resta de números enteros?
¿Por qué?
Deje registradas las respuestas a esta última pregunta en algún espacio físico de
la sala de clases o del cuaderno de los y
las estudiantes para una revisión posterior a la lección y compare las respuestas
obtenidas en esta instancia y las que se
obtendrán luego.
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
Para formar los grupos de estudiantes que
se solicita en la guía 9 del BDA, realice la
siguiente actividad. En una bolsa o caja
oscura coloque papeles. Cada estudiante
sacará un papel y, sin mostrarlo, buscará
a sus compañeros y compañeras que tengan la expresión equivalente a la suya. Por
ejemplo: si quiere armar grupos de 4 personas, tendrá 4 papeles que expresen la
misma idea, pero escrita de diferente forma, es decir, un papel con 9 – (–2); otro
papel con 9 + 2; otro papel con –(–11); y
otro papel con 6 + 2 + 3. De esta manera, el estudiantado sigue practicando los
contenidos revisados anteriormente en
esta unidad y, probablemente, se formen
grupos no habituales de trabajo, lo que
propicia la comunicación entre todo el
grupo curso.
Errores frecuentes
Por lo general, los y las estudiantes suelen aplicar las reglas de la adición
a la sustracción sin expresar el sustraendo como el opuesto aditivo del
número correspondiente, por ejemplo: (–5) – (–6) = (–11).
El uso de la recta numérica, en este caso, puede ayudar a evitar este
error. En este modelo, para restar dos números enteros, se parte de
la situación del minuendo en la recta numérica y se desplaza hacia la
izquierda si resta un número positivo; y se desplaza hacia la derecha si
resta un número negativo.
Fuente: Segovia, I. y Rico, L. (coords.), (2011). Matemáticas para maestros de
Educación Primaria. Ediciones Pirámide.
38
Unidad 1 • Números
En otras palabras, cuando a un entero x se
le resta otro entero negativo –n, entonces
colocamos n fichas en el lado derecho.
Fuente: Rivero, F. (2004). Una representación
semiótica para construir los Números Enteros.
Universidad de Los Andes.
Respuestas esperadas
Página 20
• Utilizo el algoritmo tradicional.
• No hay diferencias, es lo mismo. /
Es distinto cuando resto números
negativos.
Página 21
• Sí, es correcto, porque da el mismo
resultado, por ejemplo 3 + (–5) que
3 – 5.
• El resultado es positivo.
Sí, siempre es posible determinar el
signo del resultado, porque la resta
se convierte en la suma del inverso
aditivo del sustraendo y se aplican las
reglas de los signos de la suma.
Orientaciones Texto del Estudiante
Para una mejor comprensión del algoritmo explicado con las fichas y
tablero en la p. 21, es recomendable demostrarle al estudiantado la consistencia de este método con la idea intuitiva de restar quitando cosas.
Para ello, realicen unas cuantas restas, en donde el resultado sea positivo. Por ejemplo, hacer las diferencias en el tablero 7 – 4, 10 – 8,..., etc.
y luego, resolver las sumas 7 + (–4), 10 + (–8), etc., y que comparen los
resultados obtenidos en la resta 7 – 4 y en la suma 7 + (–4), por ejemplo.
De esta manera, cada estudiante puede darse cuenta inmediatamente
de la siguiente propiedad de los números enteros: x – n = x + (–n).
Es decir, la operación de restarle n a x es equivalente a la suma de x y
–n. También se puede deducir fácilmente que el negativo de –n es n.
Con esto podemos ahora restar un número negativo a un entero cualquiera usando la relación x – (–n) = x + n.
Orientaciones al docente
39
Activación de conocimientos y
experiencias previas
Antes de comenzar la revisión de la p. 23
del TE, pregunte a sus estudiantes:
- ¿Cuándo hablamos de un ejercicio
combinado?
- ¿Recuerdan el procedimiento que debemos realizar al resolver ejercicios de este
tipo? Ejemplifiquen.
- ¿Qué importancia tiene el uso de paréntesis en los ejercicios combinados?
- ¿Cómo afecta un signo negativo antes de
un paréntesis?
- ¿Son equivalentes las siguientes expresiones: –2 – 3 + 5 + (–6) – (–4) y –2 – (3 +
5 + (–6)) – (–4)? Fundamenta tu respuesta.
Las ideas que surjan a esta última pregunta
déjelas registradas y vuelva a considerarlas
una vez finalizada la revisión de este tema.
De esta manera, se pueden corroborar aciertos y errores y la revisión de
estos últimos.
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
La guía 10 del BDA propone diferentes
actividades y modelos para resolver sustracciones de números enteros. En particular, la actividad 5 puede convertirse en
un momento de la clase para fomentar
la argumentación y comunicación. Como
complemento a dicha actividad, sugiera
la siguiente pregunta, para trabajar más el
análisis, la discusión y el planteamiento de
ideas o conjeturas. ¿El 0 cumple con ser el
elemento neutro de la sustracción de números enteros? Ejemplifica.
Para el ejercicio 6 de la misma guía proponga la siguiente pregunta: ¿es posible
justificar los procedimientos de Sandra y
Rodrigo con la propiedad asociativa? Explica tu decisión apoyándote de las fichas
o de la recta numérica.
40
Unidad 1 • Números
Como una forma de apoyar y motivar a los estudiantes para el aprendizaje de la operatoria combinada en los números enteros, la guía número 12 del BDA presenta actividades en diferentes contextos de la
vida cotidiana.
En particular, la primera actividad hace referencia al cambio climático
y al efecto invernadero que se ha tenido como consecuencia. Es recomendable que profundice en el tema planteado, promoviendo una
instancia de reflexión y análisis de causas y efectos de la condición, del
comportamiento de la localidad en donde viven y de posibles soluciones que se pueden implementar en casa y en el colegio o escuela.
Evaluaciones
Una vez terminadas las actividades de la p. 22, aplique el Ticket de salida de Sustracción en ℤ, de la p. 75 de esta Guía Didáctica.
Preguntas motivadoras
Para la resolución de los problemas de la
p. 22 del Texto del Estudiante:
- ¿Siempre habrá variaciones positivas de
temperatura?
- ¿Qué significa una variación negativa?,
¿qué significa una variación positiva?
- ¿Es posible obtener 0 como variación?,
¿cuándo ocurre esto último?
Respuestas esperadas
Página 23
• Sí, recuerdo como se suma y se resta
en ℤ. Para la suma, debo seguir la
regla de los signos y para la resta,
debo cambiarla por la suma del
inverso aditivo del sustraendo. / No,
no recuerdo, porque me confunden
los signos.
• La resta la aplicaría para saber
variaciones de temperatura de un
material y la suma, para saber la
temperatura final en un tramo
de horas.
Página 24
Orientaciones Texto del Estudiante
• Podría aplicarlos por ejemplo,
en experimentos que impliquen
temperaturas de químicos sobre o
bajo cero.
Es importante que los y las estudiantes puedan evidenciar el uso en
la vida cotidiana de adiciones y sustracciones de números enteros. A
propósito del uso de estas en un laboratorio de ciencias, indague sobre
otros contextos en los que se puedan emplear dichas operaciones.
Manejo de recursos
El uso del juego en la clase de Matemática potencia el desarrollo del
cuerpo y los sentidos, además de estimular las capacidades del pensamiento, desarrollar la creatividad y favorecer la comunicación y la socialización entre las personas. Para profundizar al respecto y conocer
otros juegos, ingrese el código GA23M7BP041A en www.auladigital.cl.
Fuente: Nerea, E. (2013). El juego y la matemática. Juegos de matemáticas para el
alumnado del primer ciclo de E. Primaria. Universidad de Valladolid.
Orientaciones al docente
41
Errores frecuentes
Es típico que los estudiantes cometan errores como el siguiente:
3 – –5 + –8
=3–5+8
= –2 + 8
=6
El estudiante conserva el signo de la operación pero no considera el signo del
número. Por eso, es importante hacer hincapié en escribir todas las sustracciones
como adiciones y en el correcto uso de las
propiedades de la adición, incorporando el
uso de paréntesis.
Respuestas esperadas
Página 24
• Debo considerar los paréntesis. Si los
hay, se resuelven primero, luego las
demás operaciones en este orden:
multiplicación, división, suma y resta.
• Una a una siguiendo un orden
determinado, de izquierda a derecha,
por ejemplo.
• La estrategia 2, porque es más
ordenada. / La estrategia 1, porque no
debo mover los números y resuelvo
de inmediato.
• Utilizo la estrategia 2, pero la
agrupación de positivos y negativos la
hago en una tabla.
Página 25
• Sí, lo he visto, entrega números con
comas. / No, no lo he visto.
• En la estatura de una persona medida
en metros, en medidas de longitud de
habitaciones en centímetros.
Orientaciones Banco Digital de Actividades (BDA)
Trabajar un mismo concepto utilizando distintos registros de representación promueve el aprendizaje significativo y duradero, más si se realiza
la conversión de registros. La actividad 1 de la guía 13 del BDA potencia
esta creencia y trabaja el pensamiento reversible, porque, a partir de
la representación gráfica en la recta numérica, se desprende su equivalente representación simbólica, situación distinta a la trabajada en el
Texto del Estudiante.E
Orientaciones Texto del Estudiante
Una vez terminadas las actividades de la p. 24, aplique el Ticket de
salida de Ejercicios combinados y aplicaciones en ℤ, de la p. 76 de esta
Guía Didáctica. Para evaluar todos los contenidos de la lección 1, aplicar
la Evaluación intermedia de la lección 1 del BDA.
42
Unidad 1 • Números
LECCIÓN 2
Fracciones y números decimales
Propósito: multiplicar y dividir números
fraccionarios y decimales en el contexto
de la resolución de problemas.
Tiempo estimado: 24 horas
comprendan el valor de 0,314 y recuérdeles
el proceso de trasformación de decimal a
fracción a partir de representaciones pictóricas de decimales en cuadrículas de 100 y
en ellas identificar la fracción representada.
Activación de conocimientos y
experiencias previas
Orientaciones Texto del Estudiante
La multiplicación de un número decimal por un número natural puede
resultar un poco más sencilla de comprender para los y las estudiantes,
si se entiende que la multiplicación es una suma reiterada del factor
decimal, tantas veces como indique el factor natural. Luego, se debe
analizar qué sucede con la expresión decimal del producto en relación
a la cantidad de decimales que tienen el factor y el producto.
La movilización de conocimientos previos hace que la adquisición de
este nuevo conocimiento sea mucho más sencilla y significativa para el
alumnado.
Los números decimales tienen una gran
cantidad de aplicaciones prácticas tanto
en la vida cotidiana como en otras áreas
del conocimiento humano; son útiles en
contextos de proporcionalidad como los
porcentajes, conversiones de monedas,
cálculo de costos, para expresar medidas,
en la interpretación de información en
tablas o gráficas, en la resolución de problemas químicos o físicos, etcétera. Los decimales nos permiten expresar medidas de
cantidades menores que la unidad que se
ha tomado como referencia. Por ejemplo,
cuando decimos que el pizarrón mide 3.24
m de largo, como el metro es la unidad,
entonces el pizarrón tiene como longitud 3
veces el metro y casi una cuarta parte más
del metro (.24), que no puede expresarse
con números naturales
“Los decimales más que una escritura”
Alicia Avila - Silvia García.
Es importante que los estudiantes comprendan que una cantidad decimal tiene siempre una expresión fraccionaria equivalente. Pregúnteles:
- ¿Se puede escribir siempre una fracción como número decimal?
- En el caso del peso de la naranja 0,314 ¿Cómo podría representar este
número decimal en fracción? Haga hincapié en que los estudiantes
Orientaciones al docente
43
Activación de conocimientos y
experiencias previas
Antes de iniciar el contenido de la p.
27 del Texto del Estudiante, pregunte a
sus estudiantes:
- ¿Qué recuerdan de la división entre dos
números naturales?
- ¿Con qué acciones relacionamos la división entre dos números naturales?
- ¿Cómo se llaman los términos de
una división?
- ¿Siempre tendremos divisiones exactas?
¿Por qué? ¿Qué sucede cuando tengo un
resto distinto de 0?
A modo de anticiparse al tema de la lección y tener información respecto a lo que
creen y esperan aprender, pregunte a
sus estudiantes:
- ¿Sucederá lo mismo que mencionaron
anteriormente si se divide ahora un número decimal por un número natural?
¿Por qué?
- ¿Qué conocimiento nuevo esperas
aprender de este apartado?
Manejo de recursos
El uso de otros recursos de enseñanza distintos al texto escolar y el cuaderno motiva
al estudiantado a aprender con mayor entusiasmo y hace que el aprendizaje tenga
más sentido y sea duradero en el tiempo.
Ingrese el código GA23M7BP044A en
www.auladigital.cl y encontrará distintas
plantillas que podrá seleccionar y ocupar
para crear sus propios recursos de enseñanza que, posteriormente, podrá trabajar con sus estudiantes, ya sea de manera
online (utilizando computador, celular o
tablet) o imprimiendo el material para el
trabajo exclusivo con papel y lápiz.
Ingrese el código GA23M7BP044B en
www.auladigital.cl y encontrará un juego
para repasar conceptos y procedimientos
de la multiplicación de un número decimal
44
Unidad 1 • Números
por un número natural. Puede ser un juego para realizar en parejas
dentro de la sala de clases o en grupos más grandes.
Ingrese el código GA23M7BP044C en www.auladigital.cl y encontrará
un juego de multiplicaciones de un número decimal por un número
natural y divisiones entre los mismos números. Puede utilizarlo para
reforzar los contenidos tratados en estas páginas del Texto del Estudiante y lo puede aplicar en forma individual (cada estudiante con su
computador, tablet o celular) o con todo el grupo curso, acompañando
esto último con un cronómetro y pizarras individuales que se levantarán
mostrando el resultado de la operación indicada.
Ambientes de aprendizaje
Haciendo el vículo con el eje de Patrones
y Álgebra, específicamente con el uso de
fórmulas y ecuaciones y, además, para que
sus estudiantes comprendan mejor el cálculo del peso y la masa de un objeto, haga
la conexión entre las fórmulas que aparecen en ambas páginas del Texto del Estudiante, explicando que de una expresión
se puede determinar la otra, utilizando la
operación inversa. Haga el ejercicio también determinando la gravedad a partir de
la masa y el peso de un objeto específico.
Respuestas esperadas
Página 26
Errores frecuentes
Los estudiantes suelen hacer extensibles las propiedades de los números naturales a otros conjuntos numéricos. Por ejemplo, suelen pensar
que la multiplicación de dos números implica siempre la obtención de
uno mayor. Para la multiplicación de números decimales, dé el siguiente
ejemplo: dibuja un rectángulo de base 5 cm y altura 1 cm y otro de base
5 cm y altura 0,8 cm. Luego, recuérdeles que el área de un rectángulo se obtiene multiplicando la base por la altura. Esta representación
gráfica hará evidente que al multiplicar por un número menor que 1
el producto (en este caso el área de los rectángulos) deja de ser mayor
que los factores.
• Sí, porque se multiplica como si fueran
naturales y, luego, el producto tendrá
la misma cantidad de cifras decimales
que el factor decimal. /No, primero
aplico la propiedad conmutativa
y luego multiplico utilizando el
procedimiento descrito.
• Se consideró la fórmula del peso de
un objeto para reemplazar los valores
de masa y gravedad. Luego, se
multiplicaron ambas cantidades y se
respondió la pregunta.
• Para saber la masa total en
kilogramos, por ejemplo, de una
caja que contiene una determinada
cantidad de productos envasados en
paquetes medidos en gramos.
Fuente: La Rata Matemática. (2018). Dificultades en el aprendizaje de los números
decimales. https://laratamatematica.wordpress.com/2018/03/29/tema-2-dificultadesen-el-aprendizaje-de-los-numeros-decimales/
Orientaciones al docente
45
Orientaciones Texto del
Estudiante
El porqué del procedimiento descrito en la
p. 28 del Texto del Estudiante se puede explicar mediante el uso de fracciones decimales. Por ejemplo, al desarrollar 2,4 · 3,87,
se procede de la siguiente manera: primero, se escribe cada decimal como fracción;
luego, se multiplican las fracciones; por último, el resultado se escribe como decimal,
tal como se muestra a continuación:
2,4 ∙ 3,87
387  ​​ = 24 ∙ ____
​​  387 ​​ ∙ 100
= ___
​​  24 ​​ ∙ ​​ ____
10 100
10
9 288  ​​ = 9,288
= ​​ _____
1 000
El porqué del procedimiento descrito en
la p. 29 del Texto del Estudiante se puede explicar mediante fracciones decimales y amplificación. Así, al desarrollar
4,212 : 2,34, se procede de la siguiente
manera: primero, se escribe cada decimal
como fracción; luego, se amplifica cada
fracción por 1 000 (pues se considera aquel
número que tenga más cifras decimales),
por último, se dividen ambos naturales, tal
como se muestra a continuación:
4,212 : 2,34
​​  234 ​​
= _____
​​  4 212  ​​ : ____
1 000 100
= 4 212 : 2 340
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
La pregunta 4 de la guía 14 del BDA invita
a los y las estudiantes a analizar y justificar los procedimientos que se realizan al
multiplicar y dividir por una potencia de 10.
Esta instancia puede ser muy enriquecedora para fomentar la argumentación y comunicación en la sala de clases, así como
también, el levantamiento de conjeturas a
partir de lo observado.
La última pregunta de la guía 14 del BDA trabaja con el error típico de
la multiplicación de decimales, que consiste en ubicar en forma incorrecta la coma decimal del producto. Dedique un tiempo extra a esta
pregunta, para que sus estudiantes expresen sus ideas y complemente
cuando sea necesario.
En la pregunta 3 de la guía 15 del BDA, se invita al estudiantado a
analizar la representación gráfica de la multiplicación de dos números
decimales, identificando las limitaciones que esta presenta. Pregúnteles:
¿qué debemos observar en la cuadrícula para determinar la cantidad
de cifras decimales del producto?, ¿ocurrirá siempre lo mismo para ese
tipo de números decimales?
Orientaciones Texto del Estudiante
Al término de la revisión de la p. 29 del Texto del Estudiante, proponga
el Ticket de salida Multiplicación y división de decimales de la p. 77 de
esta Guía Didáctica.
46
Unidad 1 • Números
Formas de aprendizaje
A quienes tengan un ritmo rápido de
aprendizaje, sugiérales el siguiente problema, que les servirá para resolver otro tipo
de problemas aplicando lo que ya saben y
siendo creativos en sus estrategias.
Encuentra un número que multiplicado
por 7,605 dé como resultado un número
6 unidades mayor que 63,12. Explica qué
estrategia empleaste para resolver.
Respuestas esperadas
Página 28
• Sí, porque solo se debe correr la coma
decimal hacia la derecha y no hay
necesidad de realizar otros cálculos.
Página 29
• Son fáciles de aprender, porque se
trabaja igual que con los números
naturales, solo debemos prestar
atención a las comas que aparezcan
en los términos de la multiplicación
o división. / Son difíciles, porque
son muchos casos distintos los de la
división, entonces es fácil confundirse
y equivocarse.
Preguntas motivadoras
Para profundizar los conceptos de multiplicación y división de decimales, puede sugerir las siguientes preguntas a sus estudiantes, las cuales,
además, servirán para que expongan y defiendan sus ideas ante el
curso. Las puede proponer al término de la revisión de la p. 29.
a. Solicite a sus estudiantes que comenten lo siguiente: ¿es posible que
al multiplicar un número por sí mismo el resultado sea menor que el
número? Fundamenta tu respuesta.
b. Si se multiplica un número decimal mayor que 1 por otro que esté
comprendido entre 0 y 1, ¿el resultado es mayor, menor o igual que el
número decimal inicial? Ejemplifica.
Orientaciones al docente
47
Activación de conocimientos y
experiencias previas
Para activar los conocimientos previos de
los estudiantes, trabaje la multiplicación
como una suma reiterada, por medio de
la siguiente situación: “La profesora del 7º
A llevó 6 pliegos de cartulina de diferentes
colores para la clase de Artes Visuales, los
que dividió en 10 partes iguales. Luego, los
recortó y los entregó a sus estudiantes. Al
término de la clase, observó que le quedaron 3 pedazos de cada pliego. ¿Cuánta
cartulina le quedó en total a la profesora?”.
Solicite a sus estudiantes que representen
la situación en forma gráfica, utilizando
modelo de área o diagrama de barras e
indiquen la operación que resuelve la situación (que se desprende de la representación). Luego, pregunte cómo abreviar esa
operación empleando otra operación. Posteriormente, revise la situación de la p. 30.
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
La actividad 1 de la guía 17 del BDA muestra la representación de la multiplicación
explicada en las p. 30 y 31 del Texto del
Estudiante, utilizando pliegues en un papel
lustre. La manipulación de las fracciones en
el papel puede implicar una mejor comprensión del procedimiento explicado en el
Texto del Estudiante. Puede utilizar ambos
métodos como complementarios.
La actividad 2 de la misma guía del BDA
trabaja el pensamiento reversible, es decir, a partir de la representación gráfica
del producto de dos fracciones, se debe
determinar la operación simbólica equivalente. Proponer este tipo de actividades
nos capacita para resolver problemas más
complejos y analizar todos los factores que
intervienen en ellos.
48
Unidad 1 • Números
Proponga el uso de las fracciones mágicas para trabajar la actividad 5
de la misma guía del BDA, como complemento de las acciones allí realizadas o también, como otra forma de resolver, sobre todo para los y
las estudiantes que no comprendan el uso de ese método en particular.
Manejo de recursos
Para complementar el cálculo de la multiplicación de fracciones con
representaciones gráficas, ingrese el código GA23M7BP046A en
www.auladigital.cl y encontrará una breve descripción del material didáctico "Fracciones mágicas", donde también podrá imprimir las plantillas en micas transparentes. El uso de este material para multiplicar
fracciones lo puede ver en un video explicativo ingresando el código
GA23M7BP046B en www.auladigital.cl.
Preguntas motivadoras
1. Al multiplicar un natural por una fracción
se comprende la multiplicación como una
suma reiterada, pero cuando multiplicamos fracciones, ¿podemos entender dicha
multiplicación como una suma reiterada?
¿Por qué? Ejemplifica y defiende tus ideas.
2. ¿Es posible que el resultado de la multiplicación de dos fracciones sea igual a uno
de los factores? Da dos ejemplos.
Respuestas esperadas
Página 30
• Es la suma reiterada del segundo
factor las veces que indica el
primer factor.
• Para determinar el área de una
superficie rectangular o cuadrada.
• Sí, la resolví con una representación
gráfica (dibujo). / Sí, pero no supe
cómo resolverla. / No, nunca me he
enfrentado a una situación similar.
Página 31
Orientaciones Texto del Estudiante
• Es fácil, porque puede visualizar la
multiplicación de fracciones y es más
simple de comprender. /
Es díficil, porque no entiendo muy
bien el paso 4, me confunde.
Dé a conocer el objetivo de la clase y para qué sirve lo que se aprenderá. Es importante lograr que los estudiantes aprendan y aprehendan
el conocimiento. Para ello, debemos motivarlos explicándoles la importancia teórica y práctica de los contenidos, de modo que estos no sean
una carga, sino un medio de crecimiento personal. Con respecto a la
multiplicación de fracciones, su importancia práctica se da en distintos
contextos; por ejemplo, en la gastronomía es común modificar las recetas. Así, las cantidades de ingredientes, expresadas en fracciones, se
multiplican o dividen a fin de llegar al volumen necesario dependiendo
de cuántas porciones se quiera obtener.
Orientaciones al docente
49
Activación de conocimientos y
experiencias previas
A partir de lo realizado en forma gráfica
en la p. 33 del Texto del Estudiante, es importante hacer notar a los y las estudiantes
la correspondencia entre las actividades
realizadas en el nivel gráfico con lo que se
propone hacer en el nivel simbólico en la
p. 35, ¿cómo obtenemos, a partir de la representación gráfica, el inverso multiplicativo que se nos indica en el procedimiento
simbólico? De esta forma, no quedan dos
representaciones aisladas de un mismo
concepto, sino que se puede visualizar
que, independiente de cómo se realice la
división de fracciones, se está haciendo
lo mismo.
Errores frecuentes
Para multiplicar entre sí dos fracciones, los
estudiantes las reducen a un común denominador, después multiplican los numeradores olvidando multiplicar entre sí los
denominadores. Se trata de una confusión
entre las reglas de la adición de fracciones
y las de la multiplicación. Para ello, se puede hacer la distinción gráfica y simbólica de
la suma y la multiplicación de dos fraccio2 ​​ · ​​ __1  ​​.
2 ​​ + ​​ __1  ​​ y ​​ __
nes, por ejemplo, ​​ __
3 5 3 5
Fuente: Batanero, C., Cid, E. y Godino, J. (2003).
Sistemas numéricos y su didáctica para maestros.
Universidad de Granada. http://www.ugr.es/local/
jgodino/edumat-maestros/
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
Como una manera de aplicar y motivar el
aprendizaje, la actividad 1 de la guía 18 del
BDA propone el uso de la multiplicación
de fracciones en una receta de origen aymara. De esta forma, además de aprender
matemática en un contexto real, aprenden
sobre los pueblos originarios de Chile.
50
Unidad 1 • Números
Orientaciones Texto del Estudiante
El procedimiento descrito por Francisca en la p. 32 del TE nos invita
a utilizar la fracción como operador. Pregunte a sus estudiantes: ¿de
qué otra manera pudo haber resuelto el problema Francisca? De esta
forma, surge este significado de la fracción, a lo que Segovia y Rico
(2011) dicen:
"El número racional como operador expresa una operación multiplicativa sobre una cantidad (todo), indicando una división en tantas partes
iguales como dice el denominador y una multiplicación por el número
de partes que dice el numerador".
Fuente: Segovia, I. y Rico, L. (2011).
Matemáticas para maestros de Educación Primaria. Editorial Pirámide.
Preguntas motivadoras
Al finalizar la revisión de la p. 33 del TE,
proponga el análisis de alguna situación
donde el contexto pueda ser representado con conjuntos o colección de elementos. Esto permitirá la discusión en la sala
de clases de qué modelo de representación es el más adecuado para trabajar
la división.
Respuestas esperadas
Página 32
• A multiplicar fracciones utilizando
diferentes estrategias.
• El algoritmo de la multiplicación y las
tablas de multiplicar.
• Con la representación gráfica: en un
rectángulo, representa la fracción
del primer factor de forma vertical
y la fracción del segundo factor
de manera horizontal. El producto
es la fracción que se obtiene de la
intersección de los colores. / Con el
algoritmo: multiplica numeradores
y denominadores para obtener el
numerador y el denominador del
producto, respectivamente.
Página 33
Hágales ver que muchas de las características que tienen los números
naturales no son extensibles a la multiplicación y división de fracciones. Pregúnteles ¿siempre al multiplicar dos fracciones el producto será
mayor que los factores? ¿Siempre al dividir fracciones el cociente es
menor? En el caso de esta última, es muy importante hacer la diferencia
entre dividir por 2 y dividir por un medio.
Una vez finalizada la revisión de la p. 32 del Texto del Estudiante, aplique el Ticket de salida de Multiplicación de fracciones, que se encuentra
en la p. 77 de esta Guía Didáctica.
• La división de dos números enteros se
puede representar como una fracción
de dichos números, es decir, son
expresiones equivalentes.
• Represento en un cuadrado la fracción
un medio y, luego, la reparto (corto
con una tijera) en dos partes iguales.
Ahora, cada parte corresponde a un
cuarto del total.
Orientaciones al docente
51
Orientaciones Texto del
Estudiante
El procedimiento (Lewin, 2013) que se
muestra a continuación es otra manera de
obtener el cociente entre dos fracciones.
Es importante hacerles notar a los y las estudiantes que no existe una única manera
de realizar la división, sino que también
hay otras, lo que nos sirve para promover
el análisis y discusión de estos algoritmos
en la sala de clases.
a. Explica el siguiente procedimiento para
dividir dos fracciones. ¿Es un procedimiento correcto? ¿Por qué?
5 ​​ = ____
6 ​​ = ​​ ___
18  ​​
__
​​  5 · 8 ​​ = ____
​​  3 · 6 ​​ = __
​​  3 ​​ · ​​ __
​​  3 · 6 ​​ : ____
​​  3 ​​ : ​​ __
8 6
8·6 6·8
8·5
8 5
40
b. Resuelve las siguientes divisiones aplicando el procedimiento anterior.
​​  6 ​​
• __
​​  3 ​​ : __
7 9
3 ​​
4 ​​ : ​​ __
• ​​ __
5 6
• __
​​  2 ​​ : 5
9
La actividad anterior se puede aplicar antes
de resolver la actividad 2 de la guía 7 del
BDA, invitando a los estudiantes a que resuelvan con el procedimiento que más les
acomode y comprendan.
Fuente: Lewin, R., López, A., Martínez, S. y Rojas,
D. (2013). Números para futuros profesores de
Educación Básica. Ediciones SM Chile.
Manejo de recursos
Para los estudiantes que aún les cueste resolver las divisiones de manera simbólica,
continuar con ellos a nivel gráfico, tratando de que puedan visualizar el algoritmo
simbólico en la representación gráfica.
Para ello, pueden resolver más actividades
como las siguientes:
Resuelve las siguientes divisiones utilizando diagramas de barras.
• 3 : __
​​  1  ​​
5
52
2 ​​
• 5 : ​​ __
3
Unidad 1 • Números
1  ​​
• __
​​  2 ​​ : ​​ __
7 4
Para los estudiantes que sean más hábiles en la resolución de divisiones
de fracciones, proponer problemas como el siguiente, donde deben
indagar más, dar ideas y defender sus conjeturas:
• Encuentra dos fracciones cuya suma sea 2 y cuyo cociente sea __
​​ 4  ​​.
15
Orientaciones Texto del Estudiante
Una vez finalizada la revisión de la p. 35 del Texto del Estudiante, aplique el Ticket de salida de División de fracciones, que se encuentra en
la p. 78 de esta Guía Didáctica.
Preguntas motivadoras
0 ​​?
1. ¿Cuál es el inverso multiplicativo de ​​ __
7
Esto sirve para que los estudiantes refuercen las condiciones que debe cumplir una
fracción para que exista (denominador
distinto de 0) y la propiedad del 0 como
elemento absorbente de la multiplicación.
Para propiciar el análisis y levantamiento
de conjeturas, pida a sus estudiantes:
2. Da dos ejemplos en que el resultado de
la división de dos fracciones sea igual al
dividendo, y dos ejemplos en que el resultado sea menor que el dividendo.
Respuestas esperadas
Página 34
• En ambas representaciones el entero
representa una cantidad continua
(ya sea una barra o un segmento de
recta) y se debe buscar el tercio de
cada entero.
Página 35
Errores frecuentes
Para dividir fracciones usando el algoritmo simbólico que utiliza el inverso multiplicativo (el que se describe en la p. 35 del Texto del Estudiante) los y las estudiantes suelen calcular el inverso multiplicativo del
dividendo, en vez del divisor, o lo calculan a ambos términos (dividendo
y divisor) Esto se puede subsanar con actividades como la siguiente:
7 ​​? Andrés respon4 ​​ : ​​ __
Frente a la pregunta: ¿cuál es el resultado de ​​ __
3 5
dió ___
​​  21  ​​. ¿Es correcta su respuesta? Justifica tu decisión.
10
Fuente: Agencia de Calidad de la Educación. (2018). Aprendiendo de los errores.
Un análisis de los errores frecuentes de los estudiantes de
II medio en las pruebas Simce y sus implicancias pedagógicas.
http://archivos.agenciaeducacion.cl/Aprendiendo_de_los_errores_Web_24may.pdf.
• No todas, depende de las fracciones
involucradas si es pertinente y
eficiente el uso de algún recurso
gráfico como la recta numérica.
• Aprender estrategias gráficas
es importante porque facilita
la comprensión, promueve el
razonamiento lógico, ayuda a resolver
problemas complejos, fomenta la
autonomía y prepara para conceptos
matemáticos más avanzados. Estas
habilidades son valiosas tanto en el
ámbito académico como en la vida
cotidiana.
• La representación gráfica, porque me
permite visualizar y comprender las
acciones que realizo. / El algoritmo
simbólico, porque es solo aplicar la
regla y nada más, es más corto..
Orientaciones al docente
53
Orientaciones Texto del
Estudiante
Otras estrategias que puede presentar a
sus estudiantes en esta parte de la lección
pueden ser:
• Para escribir una fracción en su expresión decimal, se debe realizar la división
entre el numerador y el denominador de la
fracción. Si se desea, antes se puede simplificar dicho número. Por ejemplo, para
9  ​​ como decimal, el o la estuexpresar ​​  ___
24
diante debe simplificar dicha fracción has3  ​​ y luego dividir estos valores
ta obtener ​​ __
8
(3 : 8) para obtener 0,375.
• Para expresar un decimal finito como
fracción decimal, basta que el estudiante lea el número. Por ejemplo, el número 0,003 se lee “tres milésimos” que,
escrito como fracción decimal, corres3  ​​. Puede recomendar la
ponde a ​​  _____
1 000
simplificación de la fracción siempre que
sea posible.
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
En la actividad 4 de la guía 21 del BDA,
proponga el uso de alguna representación
gráfica pertinente para apoyar la resolución de cada ejercicio, o bien, que sirva
como fundamentación de la respuesta. De
acuerdo al contexto de cada situación, es
conveniente utilizar la recta numérica, por
ejemplo, en la situación 4.a. y en la situación 4.d.; mientras que en las otras, es más
pertinente el uso de cuadrículas.
Manejo de recursos
Ingrese el código GA23M7BP054A a
www.auladigital.cl y encontrará un juego
que consiste en encontrar el decimal equivalente a la fracción dada.
54
Unidad 1 • Números
Proponemos el juego “La casita de las equivalentes" para que sus estudiantes tengan la posibilidad de acercarse de manera más ingeniosa y
lúdica a la comprensión de la equivalencia entre decimales y fracciones.
Para ello, necesita 40 cartas: 20 cartas con fracciones y 20 cartas con
los decimales equivalentes y agrupar al estudiantado en grupos de 4
personas. Para comenzar a jugar, se colocan, en el centro de la mesa,
cuatro cartas separadas y el resto como una pila. Todas las cartas deben
tener la representación numérica hacia arriba. En su turno, cada jugador
o jugadora saca la primera carta de la pila y puede tomar cartas que
estén sobre la mesa con la condición de que sean expresiones equivalentes. Si no tiene ninguna carta para tomar, deberá dejar su carta sobre
la mesa. Las cartas tomadas se dejan apiladas en la casita, al lado del
jugador que las ha tomado, con la numeración hacia arriba, de modo
que los contrincantes puedan verlas y eventualmente tomar la casita.
La casita se toma cuando se tenga una carta con una expresión equivalente. Cuando se acaban las cartas de la pila, gana la persona que
tiene la casita más grande.
Preguntas motivadoras
1. Para fomentar la reflexión entre sus estudiantes, proponga la siguiente pregunta:
¿solo son fracciones decimales las que tienen como denominador una potencia de
10?, ¿es posible obtener una fracción con
denominador 7 o 9? Ejemplifica.
2. Como complemento de lo expuesto en
la p. 37, formule la siguiente pregunta:
2  ​​= 2,5, ¿está en lo coCarmen dice que ​​ __
5
rrecto? ¿Por qué?
Ambientes de aprendizaje
Se recomienda la siguiente actividad que
tiene relación con álgebra.
Para la siguiente secuencia numérica:
264 ​​ → …
257 ​​ → 25,9 → ​​ ____
25 → 25,2 → ​​ ___
10
10
a. Determina la regla de formación. Explica
cómo la obtuviste.
b. Escribe los siguientes tres términos de
la secuencia.
c. ¿Cambia la regla de formación si escribes todos los términos como fracción o
como decimal? Explica.
Respuestas esperadas
Orientaciones Texto del Estudiante
En el procedimiento explicado en la p. 36 del Texto del Estudiante, se
debe insistir en que las representaciones que realicen de la fracción y
del decimal deben ser del mismo entero, para que sea posible compararlas. Para ello, puede entregarles rectángulos o cuadrados en los que
sus estudiantes puedan dibujar.
Página 36
• Toda fracción se puede expresar como
decimal, pero aquellos decimales
infinitos que no tienen periodo, no se
pueden escribir como fracción, por
ejemplo, el número pi.
Orientaciones al docente
55
Errores frecuentes
Es común observar que los y las estudiantes cometen errores en sus procedimientos
que alteran la respuesta, ya sea por realizar
cálculos en forma incorrecta, por omitir o
hacer cambios de signos, infringir las reglas de estructura numérica del ejercicio o
el uso inadecuado de las propiedades de
las operaciones.
Fuente: Carrión, V. (2007).
Análisis de errores de estudiantes y profesores en
expresiones combinadas con números naturales.
Revista Iberoamericana de
Educación Matemática, 11, (pp. 19- 57).
Es por ello que es fundamental trabajar el
paso a paso de los ejercicios combinados,
trabajando a partir de sus propios errores
y corregirlos, justificándolos desde la matemática, por ejemplo, dado el ejercicio:
3 ​​
​  1  ​+ 0,3)​​ · 5,6 : __
​​  2 ​​ + ​​ __
​​(__
2
3 7
Resolverlo de dos maneras distintas, en
que una sea la manera correcta y otra, la
errónea, de modo que sean los mismos
estudiantes quienes establezcan el procedimiento adecuado para su resolución.
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
El desafío planteado en la actividad 6 de la
guía 22 del BDA muestra la aplicación de
los números naturales y fracciones al momento de resolver ecuaciones utilizando la
balanza como recurso gráfico.
Es importante analizar con detalle los argumentos, pues darán cuenta de sus conocimientos sobre la resolución de ecuaciones,
lo que podrá profundizar más adelante,
cuando se estudie el tema.
La actividad 3 de la guía 23 del BDA trabaja
con el error. Es importante dedicar tiempo
a este tipo de situaciones, porque muestra
errores comunes en la resolución de este
tipo de problemas.
56
Unidad 1 • Números
Además, es sabido que ocupar el error como fuente de aprendizaje
hace que la comprensión de los contenidos sea más significativa y con
sentido para el y la aprendiz.
Orientaciones Banco Digital de Actividades (BDA)
Aplique la evaluación intermedia que aparece en el BDA. Puede solicitar que, inicialmente, resuelvan las actividades de forma individual,
procurando dar un tiempo razonable para cada ritmo de aprendizaje.
Luego, que se junten en grupos de 4 personas para que comparen sus
respuestas y compartan sus estrategias de resolución. De esta forma,
ellos mismos son los que validarán sus respuestas y las argumentarán.
Manejo de recursos
Para que el trabajo sea más rápido y los
estudiantes no se detengan en realizar o
corregir errores de cálculo, permítales trabajar con calculadora, siempre indicando
en su cuaderno las operaciones, procedimientos o estrategias que han diseñado para resolver las actividades. Permita,
también, que los estudiantes presenten
las estrategias que más les acomodan a su
estilo de aprendizaje, ya sean más visuales (apoyarse de diagramas o esquemas) o
más simbólicas (uso de algoritmos).
Preguntas motivadoras
Siguiendo el procedimiento explicado en la
p. 38 del Texto del Estudiante y cuando los
estudiantes escriban las fracciones como
decimales, pregúnteles:
¿Es posible obtener como denominador
una potencia de 10 si el denominador es
3, 6 u 11? ¿Por qué?
Respuestas esperadas
Página 38
Orientaciones Texto del Estudiante
Puede justificar el paso 2 del procedimiento mostrado en la p. 38 del
Texto del Estudiante con la descomposición aditiva del número decimal;
luego, escriba la parte decimal como fracción y, por último, realice la
suma de fracciones y simplifique, tal como se muestra a continuación:
24 = ____
1  ​​
​​  300 +  ​​
​​  324 ​​ = 8​​ ___
3,24 = 3 + 0,24 = 3 + ____
​​  24  ​​ = ________
100
100
100
25
Puede reforzar esta manera de escribir un decimal como fracción con
otras fracciones hasta que sus estudiantes relacionen la cantidad de
números en la expresión decimal del número con la cantidad de ceros
que tendrá el denominador de la fracción.el Estudiante
Una vez finalizada la revisión de la p. 39 del Texto del Estudiante, aplique el Ticket de salida de Operaciones combinadas y problemas de
números decimales y fracciones, que se encuentra en la p. 78 de esta
Guía Didáctica.
• Sí, es equivalente, porque 3,24 se
24  ​​ =
puede escribir como 3 + ​​ ____
100
3 + ___
​​  6  ​​, lo que origina al número mixto
25
81 ​​.
obtenido de la fracción impropia ​​ ___
25
Página 39
• No existen diferencias en el resultado,
porque siempre se trabaja con
expresiones equivalentes empleando
estrategias distintas.
• La existencia de paréntesis y las
operaciones involucradas, pues
se debe respetar el orden de su
ejecución.
• Buscar las expresiones equivalentes.
Trabajando con concentración.
• Sí, porque según la operación que
haya en el ejercicio, es por donde se
debe comenzar a resolver.
Orientaciones al docente
57
LECCIÓN 3
Porcentajes
Propósito: representar y calcular
porcentajes en la resolución de
problemas de diferentes contextos.
Tiempo estimado: 13 horas
Activación de conocimientos y
experiencias previas
Para iniciar el tema de porcentajes, trabaje
con tiras fraccionarias. Puede agrupar a sus
estudiantes y pedir a algunos grupos que
las completen con la fracción del total que
representa cada trozo; a otros puede solicitarles que las completen con el decimal
del total que representa cada trozo. Luego, pueden exponer sus ideas y, en conjunto, escribir el porcentaje equivalente.
Así, construye un nuevo material que sirve
para trabajar en las siguientes actividades
y los conceptos que están más adelante en
la lección.
Errores frecuentes
Los y las estudiantes suelen tener dificultades al expresar como porcentajes los
números decimales con una cifra decimal;
por ejemplo, 0,6 lo interpretan como 6%
en lugar de hacerlo como 60%. Recomiéndeles completar con ceros los números
decimales hasta obtener dos cifras en la
parte decimal, para así poder interpretar correctamente el porcentaje. Por otra
parte, suelen confundirse cuando los porcentajes están en decimales, por ejemplo,
2,5%, y no logran representarlos como
25  ​​, ya
fracción. Por ejemplo, lo escriben ​​ ____
100
2,5
que la expresión ____
​​   ​​no les resulta natural.
100
Lamentablemente, esto los lleva al error de
expresar el porcentaje en decimal como
0,25 en vez de 0,025.
Sugiérales que el porcentaje lo transformen a decimal dividiendo por 100 y
que, para ello, deben desplazar la coma
dos lugares a la izquierda completando
con ceros.
58
Unidad 1 • Números
Orientaciones Banco digital de Actividades (BDA)
Para la actividad 1 de la guía 24 del BDA, pregunte: ¿cómo puedes obtener el 75% representado con los trozos de papel lustre?, ¿y el 60%?,
¿existe una única manera? Explica.
En la actividad 3 de la guía 24 del BDA, trabaje la representación simbólica y el significado del porcentaje, agregando la pregunta: ¿qué significa el porcentaje representado?
En la actividad 7 de la guía 24 del BDA, solicite a sus estudiantes que
representen en una misma región circular determinados porcentajes,
por ejemplo, 50%, 25%, 75%, 20%, 30%, etc. También, que determinen,
solo observando, a qué porcentajes corresponden las regiones por sí
solas, no en conjunto como se está preguntando en la actividad.
Preguntas motivadoras
Para la actividad sugerida en las ideas previas, ¿cambiarán las fracciones, decimales
y porcentajes si ahora tomamos como referente la pieza más pequeña de las tiras
fraccionarias? Fundamenta.
En la actividad 1 de la p. 40 del Texto del
Estudiante, con el propósito de guiar la
observación, formule preguntas como las
siguientes: ¿qué ven?, ¿han visto la información organizada así en otro lugar?, ¿por
qué se utiliza el recuadro con colores para
representar la información de la tabla y no
otro instrumento?, ¿qué te llama la atención de lo que observas?, ¿por qué?
Respuestas esperadas
Página 40
• El 52%.
• Que sirven para calcular descuentos
e impuestos, que son equivalentes
a una fracción de denominador 100
y que se pueden representar en
gráficos circulares.
Página 41
Orientaciones Texto del Estudiante
Es importante que sus estudiantes establezcan la relación entre porcen3 ​​ y ​​ __1  ​​.
1  ​​, ​​ __
taje y fracción irreductible, sobre todo con ​​ __1  ​​, ​​ __
2 4 4 5
Complemente la representación de un porcentaje con las siguientes
estrategias:
• El 50% de un número corresponde a la mitad.
• Ver a la fracción que equivalen y luego
escribirlo como porcentaje.
• Sí, es simple porque es solo 1 de
100. / No, no es simple, porque es
un porcentaje bajo,que lleva una
parte decimal.
• Como es 1 de cada 10, se representa
1  ​​. Al amplificar por 10,
con la fracción ​​ ___
10
queda ____
​​  10  ​​, equivalente al 10%.
100
• El 25% de un número corresponde a la cuarta parte.
• El 75% de un número corresponde a las tres cuartas partes.
• El 10% de un número corresponde a la décima parte del número.
Evaluaciones
Una vez finalizada la revisión de la p. 41 del Texto del Estudiante, aplique el Ticket de salida de Representación de porcentajes, que se encuentra en la p. 79 de esta Guía Didáctica.
Orientaciones al docente
59
Activación de conocimientos y
experiencias previas
Puede solicitar la asociación libre a través
de una lluvia de ideas dirigida. Para ello,
pida a sus estudiantes que, de forma individual, escriban en un papel durante 3 a 5
minutos lo que saben o han visto relacionado con porcentajes en la publicidad o
en los noticiarios (puede ser su representación, en descuentos, en impuestos, etc.).
De esta forma, se garantiza que todo el
estudiantado haga el esfuerzo de activar
sus propios conocimientos y experiencias.
Luego, haga una puesta en común.
Manejo de recursos
Para reforzar los contenidos a aquellos
estudiantes que aún les cueste comprender el cálculo del porcentaje, presente el
siguiente problema, en el que deben calcular porcentajes y responder preguntas
directas, sin mayores complicaciones.
José quiere comprar un auto. En la automotora “A” el costo del auto que quiere es
de $5 900 000 y le hacen 2% de descuento, mientras que en la automotora “B” el
mismo auto tiene un valor de $6 400 000
y le hacen un descuento de 7%. ¿Dónde le
conviene comprar el auto?, ¿de cuánto es
la diferencia?
Ingrese el código GA23M7BP060A en
www.auladigital.cl y encontrará una breve explicación del uso de diagramas de
barra para la representación y cálculo de
porcentajes.
Errores frecuentes
Generalmente, las dificultades se producen
cuando el estudiante no tiene claro cuál es
el 100% en una situación problema. Pregunte, en cada situación problema que
proponga, cuál es el 100%. Las representaciones gráficas suelen servir en este tipo
de dificultades.
60
Unidad 1 • Números
Orientaciones Banco Digital de Actividades (BDA)
Para calcular mentalmente porcentajes (actividad 6 de la guía 2 del
BDA), también puede aplicar la siguiente estrategia: descomponer el
número en porcentajes de 10% y luego sumar los resultados.
Por ejemplo, para calcular el 35% de 400, se calcula el 10% de 400,
que es 40; como hay tres 10%, entonces multiplicamos 40 ∙ 3 = 120 y a
eso le sumamos el 5%, que es la mitad de 40, o sea 20, y el resultado
queda en 140.
Ambientes de aprendizaje
Relación con Historia, Geografía y Ciencias Sociales.
Solicite a sus estudiantes que identifiquen, describan y representen
porcentajes observados en informaciones económicas que aparezcan
en noticiarios de la televisión, en publicidades en diarios y revistas, en
informaciones de clima, etc.
Preguntas motivadoras
En las estrategias 1 y 2 descritas en la p.
43 del Texto del Estudiante, pregunte:
¿por qué se debe dividir por 100 y no por
otro número?
Respuestas esperadas
Página 42
• En descuentos en tiendas, en tasas de
interés en los bancos, en resultados
de encuestas.
• Calculando la parte del total al que
corresponde el porcentaje.
• 24,5 %. Es un porcentaje bajo de
personas, debería aumentar.
• 4 personas.
Orientaciones Texto del Estudiante
Revise con detención las estrategias de cálculo de porcentajes explicadas en la p. 43 y pida a sus estudiantes que describan con sus propias
palabras lo que observan en cada una de ellas. Si es necesario, proponga otros números para el reforzamiento inmediato. De esta forma,
está trabajando la comprensión de los porcedimientos descritos, tanto
de una manera visual, como también de una manera verbal, usando
lenguaje natural y el vocabulario técnico adecuado.
Orientaciones al docente
61
Activación de conocimientos y
experiencias previas
En la resolución de problemas que involucran el cálculo de porcentajes, puede
ser conveniente el uso de la calculadora.
Aun así, hay ocasiones en las que se debe
redondear el resultado, porque puede no
tener sentido para la unidad de medida
que se está trabajando. Por ejemplo, en
nuestro sistema monetario solo utilizamos
cantidades enteras, por lo tanto, no tiene
lógica emplear la parte decimal del descuento del precio de una polera. Al plantear situaciones a los y las estudiantes, y
para no complicar el razonamiento con
consideraciones externas a la aritmética,
puede establecer de antemano el número de cifras decimales que se emplearán,
siempre considerando el contexto en el
que está trabajando.
Fuente: Lewin, R., López, A., Martínez, S. y Rojas,
D. (2013). Números para futuros profesores de
Educación Básica. Ediciones SM Chile.
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
Como una forma de apoyar y motivar a los
estudiantes al aprendizaje del cálculo de
porcentajes, la actividad 1 de la guía 26 del
BDA propone el contexto del impuesto del
IVA. Invite a sus estudiantes a averiguar un
poco más sobre dicho impuesto, sobre qué
productos y servicios se aplica y qué otros
impuestos existen en Chile.
Para la actividad 2 de la guía 26 del BDA,
proponga a sus estudiantes que realicen
tres preguntas más que se puedan desprender de la información entregada en el
gráfico y en la pregunta 2a. Luego, que la
intercambien con la persona que tienen al
lado derecho y que la resuelvan. Por último, haga un plenario con esas preguntas y
respuestas, analizando los posibles errores
que pudieron cometer en los cálculos y la
diversidad de preguntas que se pueden
realizar con la misma información.
62
Unidad 1 • Números
Manejo de recursos
Si tiene un grupo de estudiantes que aprenden con más rapidez, propóngales la siguiente actividad:
Ximena es la profesora de Inglés del 7° A, donde hay 40 estudiantes. En
la prueba coeficiente dos de su asignatura, se produjeron los siguientes
resultados:
De 2 a 3 → 15%; de 3,1 a 4 → 10%; de 4,1 a 5 → 25%; de 5,1 a 6 → 20%
y de 6,1 a 7 → 30%.
• ¿Cuántos alumnos obtuvieron menos de un 4,0?
• ¿Cuántos alumnos obtuvieron entre 4,0 y 6,0?
Ingrese el código GA23M7BP062A en www.auladigital.cl y encontrará
una breve explicación del uso de diagrama de barras como recurso
gráfico para la resolución de problemas de porcentajes.
Preguntas motivadoras
Para captar la comprensión de los procedimientos descritos en la p. 45, pregunte
a sus estudiantes: ¿cómo explicarías esas
estrategias a algún miembro de tu familia?
Escribe el paso a paso de tu explicación
con un ejemplo distinto al empleado en
los procedimientos.
Respuestas esperadas
Página 44
• Calcular el porcentaje al que
corresponde una determinada
cantidad de un total dado.
• Antes se solicitaba calcular el
equivalente al porcentaje dado y
ahora es al revés.
Página 45
• Es lo mismo, solo cambia la posición
de la x.
• Cuando no se conoce la cantidad
total, por ejemplo, en una granja, el
25% de las especies voladoras son
loros. Si en total hay 8 loros, ¿cuántas
especies voladoras tiene la granja?
Orientaciones Texto del Estudiante
Si bien lo siguiente corresponde a un objetivo de 8° básico, comente
con sus estudiantes que algunas veces podrán enfrentarse al cálculo
de una disminución porcentual (por ejemplo, un descuento del valor
de una prenda de vestir) y, en otros casos, al cálculo un aumento porcentual (por ejemplo, aumento del tanto porciento del salario de una
persona). Revise junto al curso que existen dos procedimientos para
realizar una disminución porcentual:
• Calcular el porcentaje antes de restar.
• Restar la cantidad luego de calcular el porcentaje.
Para el aumento porcentual, se procederá de igual manera, solo que en
vez de restar se deberá sumar.
Orientaciones al docente
63
Manejo de recursos
Durante la resolución de los problemas
propuestos en las guías del BDA, pregunte a cada estudiante cómo va y si necesita ayuda. Si alguien no está trabajando,
puede ser porque no sabe cómo abordar
la tarea. En este caso, puede modelar la
actividad con preguntas que lo ayuden a
resolver el ítem, por ejemplo:
- ¿Cuáles son los datos del problema?
- ¿Cuál es el 100%?
- ¿Cuál es la pregunta del problema?,
¿Cómo podrías resolverla?
- ¿Te sirve alguna estrategia vista en clases
o se te ocurre otra?
Si alguien ya terminó, revise sus respuestas,
indíquele sus posibles errores y la forma de
corregirlos de manera personalizada. Esta
manera de trabajo personalizado promueve que los y las estudiantes pregunten sus
dudas y pidan ayuda a sus profesores de
manera espontánea en otras instancias,
pues ven concretamente la disponibilidad
del docente a responder sus preguntas.
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
Proponer actividades con información actual de nuestro país y del mundo permite al estudiantado identificar el uso de la
matemática en contextos reales y conocer
e investigar temas de otras áreas del saber. Con ese propósito, la actividad 7 de la
guía 4 del BDA habla sobre el VIH, materia
que también se aborda en la asignatura de
Ciencias Naturales y, por lo tanto, puede
planificar otra actividad interdisciplinaria.
Como una manera de concientizar a los
y las estudiantes sobre el cuidado del
medioambiente y que se genere reflexión
respecto al tema, la actividad 4 de la guía
5 del BDA habla sobre el aumento que ha
tenido la venta de vehículos motorizados.
64
Unidad 1 • Números
Dedique tiempo para la reflexión en parejas que allí se propone y,
luego, realice un plenario con todo el grupo curso, de manera que se
obtengan reflexiones comunes e, incluso, propuestas de mejora.
Orientaciones Texto del Estudiante
Otra sugerencia al momento de identificar el porcentaje que representa
un valor de otro, consiste en plantear la razón entre los valores, realizar
la división de dicha razón y multiplicar el valor por 100. Por ejemplo:
¿qué porcentaje es 24 de 40? Al establecer la razón, simplificar y luego
dividir, se obtiene 0,6, que puede multiplicarse por 100 o interpretarse
a simple vista como 60%.
Haga hincapié en que, al calcular un porcentaje inferior al 100%, el
resultado debe ser menor que la cantidad en juego, puesto que corresponde a una porción de ella. Cuando el porcentaje sea mayor que
el 100%, sucederá lo contrario.
Respuestas esperadas
Página 46
• Leo el problema, destaco los datos,
registro la operación que debo
realizar, la ejecuto, compruebo la
solución y respondo la pregunta.
Página 47
• Porque son grupo de riesgo y,
por lo tanto, son más propensos a
contagiarse de enfermedades.
• Para realizar un trabajo más
ordenado y sirve de guía para saber
qué debo hacer.
Orientaciones Texto del Estudiante
Una vez finalizada la revisión de la p. 47 del Texto del Estudiante, aplique el Ticket de salida de Cálculo de porcentajes, que se encuentra en
la p. 79 de esta Guía Didáctica.
Orientaciones Banco Digital de Actividades (BDA)
Aplique la Evaluación intermedia de la lección 3 del BDA. Una vez terminada esta última evaluación, pida a sus estudiantes que muestren
libremente las tarjetas de monitoreo. Registre en la pizarra los contenidos o procedimientos que están muy débiles y requieren de ayuda para
avanzar, aquellos donde existe algo de duda y aquellos superados. De
esta forma, tendrá una visión más global del nivel de conocimiento que
poseen sus estudiantes para implementar alguna estrategia de mejora
continua y sostenida en el tiempo.
Orientaciones al docente
65
SINTESIS
Propósito: sintetizar el trabajo realizado
y los aprendizajes adquiridos durante la
unidad y reflejarlo en la construcción de
un mapa mental.
Activación de conocimientos y
experiencias previas
Realice una lluvia de ideas con respecto a los contenidos vistos a lo largo de la
Unidad y sus usos en la vida cotidiana.
Esto les permitirá recordar los temas trabajados para revisar la síntesis expuesta en
estas páginas.
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
Invite a sus estudiantes a construir su
propio mapa mental con los contenidos
aprendidos en la Unidad. Encontrará una
aplicación para la creación de mapas mentales digitales en el BDA. El uso de esta
aplicación permitirá el desarrollo de los
siguientes Objetivos Transversales:
• Gestionar de manera activa el propio
aprendizaje, utilizando sus capacidades
de análisis, interpretación y síntesis para
monitorear y evaluar su logro.
• Utilizar TIC que resuelvan las necesidades
de información, comunicación, expresión
y creación dentro del entorno educativo y
social inmediato.
Orientaciones Texto del
Estudiante
Estas páginas tienen como propósito la
organización y presentación de la información que cada estudiante considere
relevante de la Unidad. Es un espacio importante para desarrollar la creatividad y
la habilidad de síntesis en sus estudiantes.
Monitoree su trabajo y guíe a sus estudiantes sugiriendo ideas y corrigiendo errores.
66
Unidad 1 • Números
Orientaciones Texto del Estudiante
El desarrollo del sentido numérico se expresa en la habilidad para
descomponer números de forma natural, comprender y utilizar la estructura del sistema de numeración decimal, usar las propiedades de las
operaciones y las relaciones entre ellas, para realizar cálculos mentales
en diferentes contextos, empleando el método más adecuado para
cada caso.
Algunas componentes que caracterizan al sentido numérico son:
1. Comprender el significado de los números.
2. Reconocer el tamaño relativo y absoluto de las magnitudes de
los números.
Manejo de recursos
El uso de mapas mentales da la oportunidad de expresar los aprendizajes adquiridos de la forma que más acomode a
quien aprende, usando texto, símbolos y
dibujos. Es importante que sus estudiantes compartan su mapa mental para que
evalúen sus propias creaciones y las de
sus pares. Invite a completar los mapas si
es necesario y a juntar las síntesis de cada
lección realizar un mapa mental completa
de la Unidad.
Revise las páginas de síntesis detenidamente, tratando de ejemplificar cada acción realizada por sus estudiantes. Pídales
que aporten los ejemplos. Si no surgen
ejemplos, sugiéralos usted. Dé la instancia para que sus estudiantes expongan
también las dudas que aún persisten y los
errores cometidos en algún tópico.
Respecto a las actitudes desarrolladas en la
Unidad, profundice en ellas, preguntando
a sus estudiantes:
1. ¿En qué situaciones abordaron las respuestas de manera flexible y creativa?
¿Pueden dar un ejemplo concreto?
2. ¿Cómo pueden evidenciar que resolvieron las actividades propuestas con interés,
esfuerzo, perseverancia y rigor?
3. Usar puntos de referencia.
4. Utilizar la composición y descomposición de números.
5. Usa múltiples representaciones de los números y las operaciones.
3. Cuando trabajaron en equipo, ¿qué acciones del equipo dan cuenta de la responsabilidad y la proactividad?
6. Comprender el efecto relativo de las operaciones.
Preguntas motivadoras
7. Desarrollar estrategias apropiadas y evaluar lo razonable de
una respuesta.
Una vez que sus estudiantes hayan realizado cada mapa mental, realice las siguientes preguntas:
Fuente: Almeida, R., Bruno Castañeda, A. y Perdomo Díaz, J. (2014). Estrategias de sentido numérico en estudiantes del Grado en Matemáticas.
Enseñanza de las ciencias, 2(32), 9-34.
• ¿Por qué creen que es importante realizar esta actividad?
• ¿Qué estrategia usaron para seleccionar
los conceptos?
• ¿Les gustó realizar esta actividad?
¿Por qué?
Orientaciones al docente
67
Índice de Recursos BDA
A continuación, se presentan todos los recursos disponibles en el Banco digital de actividades
(BDA) de la Unidad 1. Para facilitar su búsqueda se entregan agrupados por tipo de recurso:
guías, proyectos y cuidado del medio ambiente, evaluaciones, audiovisuales o solucionario.
Tipo de recurso
Guía
68
índice recursos bda
Nombre del recurso
Vínculo con TE o GDD
01_Descubriendo_numeros_enteros
p.8
02_Representacion_en_Z
p.10
03_Valor_absoluto
p.12
04_Comparacion_numeros_enteros
p.14
05_Orden_numeros_enteros
p.15
06_AdicionZ_concreta
p.16
07_AdicionZ_Recta_numerica
p.17
08_AdicionZ_Algoritmo
p.19
09_SustraccionZ_Trabajo_grupal
p.21
10_SustraccionZ_Varias_estrategias
p.22
11_SustraccionZ_juego
p.22
12_Problemas_en_Z
p.23
13_Ejercicios_combinados_Z
p.24
14_Decimal_por_natural
p.28
15_Multiplicacion_entre_decimales
p.29
16_Division_entre_decimales
p.29
17_Multiplicacion_fracciones_grafica
p.31
18_Multiplicacion_fracciones
p.32
19_Division_fracciones_grafica
p.35
20_Division_fracciones_algoritmo
p.35
21_Decimal_a_fraccion
p.37
22_Fraccion_a_decimal
p.38
23_Operaciones_combinadas
p.39
24_Representacion_de_porcentajes
p.41
25_Porcentaje_de_numero
p.44
26_Tanto_por_ciento
p.45
27_Calculo_del_100
p.46
28_Resolucion_de_problemas
p.47
29_PPOO
p.47
Tipo de recurso
Proyecto y
medioambiente*
Nombre del recurso
Vínculo con TE o GDD
01_Proyecto_interdisciplinario_U1
02_Proyecto_matematico_U1
03_Matematica_medioambiente_U1
*Pueden ser trabajados en
cualquier parte de la unidad.
Ver orientaciones en el anexo
del TOMO I de la GDD.
Evaluación
Audiovisual
01_Evaluacion_diagnostica_U1
p.7
02_Evaluacion_formativa_L1
p.24
03_Evaluacion_formativa_L2
p.39
04_Evaluacion_formativa_L3
p.47
05_Evaluacion_sumativa_U1
p.49
App01_Mapas_Mentales
p.49
App02_Multiplicador_fracciones
BDA L2 Guía 4
App03_Calculadora_cientifica
BDA L2 Guía 10
U1_Audio01
BDA Proyecto 1
U1_Infografia01
BDA Proyecto 1
U1_Video1_Censo
p.40
U1_Video2_Mascotas
Solucionario**
BDA L3 Guía 4
U1_Video3_RopaReciclada
BDA Medioambiente
U1_Video4_Ciclorecreovia
BDA Proyecto 2
U1_Video5_ElSaltoMasGrandeDelMundo
BDA L1 Guía 1
**Se encuentran en la carpeta respectiva archivos
con el nombre del recurso finalizados con "_sol".
Índice recursos bda
69
Evaluación Diagnóstica 1
Unidad 1
Nombre:
Material imprimible
Tiempo estimado: 30’
Nota:
Puntaje:
Fecha:
/
/
Responde cada pregunta marcando la alternativa correcta.
Números naturales.
1. Lidia tiene un año menos que el triple de la edad de su hermana María. ¿Cuántos
años tiene Lidia si María tiene 4 años?
A. 11 años.
C. 7 años.
B. 10 años.
D. 3 años.
2. Javiera comienza a juntar dinero para comprarse un notebook gamer. Si tiene
ahorrados $400 000 y cada mes se propone reunir $25 000 más, ¿cuántos meses
le tomará ahorrar para comprar un notebook de $700 000?
A. 28 meses.
C. 11 meses.
B. 12 meses.
D. 10 meses.
3. ¿Cuál de los siguientes números es un múltiplo de 3 menor que 13?
A. 15
C. 6
B. 11
D. 1
Números decimales.
4. ¿Cuál de las siguientes relaciones es correcta?
A. 4,03 > 4,1
C. 7,335 > 7,353
B. 3,121 > 3,13
D. 10,911 > 10,902
5. La tabla muestra las temperaturas máximas y mínimas para los días de una
semana. ¿Qué día hubo un aumento mayor de temperatura? (considera que el
miércoles hubo un aumento de temperatura de 16,5 °C).
Día
Máxima
Mínima
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
10,4 °C
11,2 °C
11,5 °C
10,8 °C
10,6 °C
27,3 °C
28,4 °C
28 °C
27,6 °C
27,9 °C
A. Lunes.
B. Martes.
C. Jueves.
D. Viernes.
70
Unidad 1 • Números
Material imprimible
6. La temperatura de una sopa ha variado desde que alcanzó su punto de ebullición
(100 °C): en los primeros 10 minutos disminuyó 12,5 °C; 5 minutos después bajó
5,75 °C y 15 minutos más tarde bajó 21,05 °C. Posteriormente, la calentaron en el
microondas y subió 30,65 °C. ¿A qué temperatura quedó la sopa?
A. 87,5 °C
B. 81,75 °C
C. 60,7 °C
D. 91,35 °C
Adición y sustracción de fracciones.
7.
¿Cuál es el resultado de la operación __
​​  1 ​​+ __
​​  1 ​​– __
​​  1 ​​?
3 4 5
C. ___
​​  23 ​​
A. ___
​​  1  ​​
60
60
7  ​​
B. ​​ ___
60
29
D. ​​ ___
60
8.  ​Se​quiere pintar el interior de una casa, para esto dos amigos deciden pintar la
mitad de la casa el primer día y la mitad de lo que queda el segundo. ¿Cuánto
queda por pintar para el tercer día?
1 ​​
A. ​​ __
C. __
​​  1 ​​
2
8
1 ​​
B. ​​ __
4
1  ​​
D. ​​ ___
16
9. De un estanque de 1 200 litros de agua se consume la tercera parte el primer
día, al día siguiente se consume la mitad de lo que queda y en el último día los
dos quintos de lo que quedaba. ¿Cuánta agua queda en el estanque?
A. 240 litros.
B. 120 litros.
C. 80 litros.
D. 60 litros.
1  ​​, ​​ _____
1  ​​. ¿Es posible obtener la suma
10. Considera la siguiente secuencia: 1, ___
​​  1  ​​, ​​ ____
10 100 1 000
1,1111 mediante la suma de una cierta cantidad de números de la secuencia?
A. Sí, al sumar los primeros cuatro números.
B. Sí, al sumar los primeros cinco números.
C. Sí, al sumar los primeros seis números.
D. No es posible obtener dicho número.
Material imprimible
Unidad 1 • Números
71
Evaluación Diagnóstica 2
Unidad 1
Nombre:
Tiempo estimado: 30’
Nota:
Puntaje:
Fecha:
/
/
Responde cada pregunta marcando la alternativa correcta.
Uso de la calculadora.
1. En una ciudad de 280 000 habitantes se estima que cada persona produce 8 kg
de basura mensuales. Si la mitad de esta basura termina en el basural, ¿cuántos
kilogramos de basura terminan en el basural en el año?
A. 1 120 000 kg
B. 2 240 000 kg
C. 12 800 000 kg
D. 13 440 000 kg
2. Una herencia de $30 000 000 se reparte entre Manuel y sus tres hermanos
en partes iguales. Si Manuel paga una deuda de $1 650 000, ¿cuánto dinero
le quedó?
A. $5 750 000
B. $5 850 000
C. $5 950 000
D. $8 350 000
3. Se entrega un bono de $125 000 por persona para hogares de pocos recursos.
Si en uno de estos hogares hay 6 personas y de este dinero $300 000 son
para comprar comida, y la tercera parte de lo que queda es para comprar
medicamentos, ¿cuánto dinero se destina a este último insumo?
A. $150 000
B. $200 000
C. $450 000
D. $750 000
Razones.
4. En un acuario se tiene que por cada 2 peces disco hay 3 peces guppy. Si hay
16 peces disco, ¿cuántos peces guppy hay?
A. 18 peces guppy.
B. 21 peces guppy.
C. 24 peces guppy.
D. 40 peces guppy.
5. Se dice que por cada 6 personas, 2 prefieren el verano. ¿Cuál de las siguientes
afirmaciones es falsa?
A. Para un grupo de 15 personas, se espera que haya 5 que prefieren el verano.
B. Para un grupo de 18 personas, se espera que haya 7 que prefieren el verano.
C. Para un grupo de 12 personas, se espera que haya 8 que prefieren
otra estación.
D. Si en un grupo hay 10 personas que prefieren el verano, entonces el grupo
está formado por 30 personas.
72
Unidad 1 • Números
Material imprimible
Resolver los siguientes problemas relativos a fracciones y decimales.
3 ​​de 3 tortas. ¿Cuál de las siguientes fracciones es
6. En una mesa se entrega 1 ​​ __
7
equivalente a lo entregado en la mesa?
A. ___
​​  13 ​​
7
10 ​​​
C. ​​ ___
7
11 ​​
B. ​​ ___
7
9 ​​
D. ​​​ __
7
19 ​​kilómetros diariamente para mantenerse en forma. ¿Cuál de los
7. José camina ​​ ___
6
siguientes números mixtos representa los kilómetros que camina José al día?
9 ​​
A. 1​​ __
6
1 ​​
C. 2​​ __
6
3 ​​
B. 1​​ __
6
1 ​​
D. 3​​ __
6
1 ​​ de una, __
​​  1 ​​de la segunda y __
​​ 2 ​​ de la última.
8. Se compran 3 pizzas y Paulina come ​​ __
2
3
6
¿Cuánta pizza comió Paulina en total?
1 ​​
A. 1​​ __
3
1 ​​
C. 1​​ __
6
2 ​​
B. 1​​ __
3
5 ​​
D. 1​​ __
6
9. Esteban y Simón recorren una pista atlética trotando. Esteban logró dar
​​ 1 ​​menos que Esteban. ¿Cuántas vueltas dio Simón a
3 vueltas y media, y Simón __
4
la pista?
A. __
​​  3 ​​
4
1 ​​
C. 2​​ __
4
3 ​​
B. 3​​ __
4
1 ​​
D. 3​​ __
4
10. Una persona compra 0,641 kg de nueces, 0,451 kg de almendras y 0,376 kg de
pasas. ¿Cuántos kilogramos de frutos secos compró?
A. 0,1468 kg
B. 1,368 kg
C. 1,468 kg
D. 1,568 kg
Material imprimible
Unidad 1 • Números
73
Evaluación Formativa
/
Ticket de salida
Unidad 1
Números enteros
1. Completa la siguiente tabla indicando si la situación se puede representar con un
número entero positivo, un número entero negativo o ambos.
Situación
Tipo de número entero
Fecha:
/
Deber $10 000 a un familiar.
Número que se puede obtener al lanzar
un dado común.
Niveles de un edificio de oficinas.
Tres grados bajo cero.
Cantidad de personas por hogar.
Curso:
Nombre:
2. Da un ejemplo de una situación que pueda ser representada con un número
entero negativo.
Orden y comparación en ℤ
a. –4
3
d. 0
–7
/
1. Compara los siguientes números enteros colocando mayor que (>) o menor que
(<), según corresponda.
b. –6
–3
e. 3
0
Fecha:
/
Ticket de salida
c. –1
–2
f. 5
3
g. –100
–40
2. ¿Cuál es el criterio que nos permite decir que un número entero a es mayor a otro
número entero b? Puedes utilizar la recta numérica para argumentar tu respuesta.
74
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Curso:
Curso
Nombre:
–9
Unidad 1 • Números
Material imprimible
Evaluación Formativa
Adición en ℤ
1. Considera los siguientes números enteros: –5, –3, –1, 2, 4 y 7. Completa la tabla
teniendo en cuenta que en la primera columna se muestra un número que se
obtiene por la adición entre tres de los números dados. Guíate por el ejemplo.
Suma
/
/
Ticket de salida
Unidad 1
Adición
Fecha:
8
2 + 7 + (–1)
10
6
4
1
–1
Curso:
Nombre:
–9
2. Considera que a y b son dos números enteros negativos y c es un número entero
positivo. ¿Qué relación se debe cumplir para que a + c sea mayor que b + c?
Sustracción en ℤ
1. Realiza las siguientes sustracciones y encierra en un círculo las que dan
resultado positivo.
a. 2 – (–4) =
d. –3 – (–2) =
g. –1 – 7 =
b. 12 – 16 =
e. –5 – (–11) =
h. 0 – (–10) =
c. 6 – 1 =
f. –14 – (–8) =
i. 20 – (–5) =
Fecha:
/
/
Ticket de salida
Curso:
Nombre:
2. ¿Qué condiciones aseguran que el resultado de una sustracción sea positivo?
Material imprimible
Unidad 1 • Números
75
Evaluación Formativa
Ticket de salida
Unidad 1
Ejercicios combinados y aplicaciones en ℤ
Curso:
Nombre:
Fecha:
/
/
1. ¿Cuál es el resultado de –1 + 7 – 2 – (3 – (–4) – 8)?
A. –3
C. 5
B. 3
D. 11
2. En la primera parada de un bus suben 15 personas, en la segunda suben 7 y
bajan 4, en la tercera suben 11 y bajan 9, en la cuarta parada baja la mitad de los
pasajeros que quedan. ¿Cuántos pasajeros permanecen en el bus? Expresa dicha
situación como una operatoria combinada y resuelve.
3. Cuando resuelves operatoria combinada, ¿en qué debes fijarte antes de iniciar
tus cálculos?
Ticket de salida
Multiplicación y división de decimales
1. Realiza las multiplicaciones y divisiones y luego responde las preguntas.
76
Curso:
Curso
Nombre:
Fecha:
/
/
Multiplicaciones
Divisiones
18 · 1,5 =
2 : 0,1 =
80 · 1,5 =
152 : 0,1 =
30 · 1,5 =
12 000 · 1,5 =
¿Qué regularidad observas en los
resultados de las multiplicaciones?
40 : 0,1 =
2 000 : 0,1 =
¿Qué regularidad observas en los
resultados de las divisiones?
2. ¿Qué te resulta más complejo de resolver, una multiplicación o una división con
decimales? ¿Por qué?
Unidad 1 • Números
Material imprimible
Evaluación Formativa
Multiplicación de fracciones
1. Mario saca la cuarta parte de los dulces de una bolsa para esconderlos en su
pieza. Patricio saca la tercera parte de los dulces de Mario, para esconderlos en su
mochila. Matilda, al encontrar los dulces de Patricio, saca la mitad para comerlos
viendo una serie. Si Matilda se comió 5 dulces, entonces:
a. ¿Cuántos dulces había en la bolsa?
Fecha:
/
/
Ticket de salida
Unidad 1
c. ¿Qué estrategia sigues para resolver este tipo de problema? Explica.
Curso:
Nombre:
b. Con cuántos dulces se quedó Mario?
Ticket de salida
División de fracciones
Fecha:
/
/
1. Resuelve las siguientes divisiones de fracciones.
3 ​​ =
a. __
​​  1 ​​ : ​​ __
2 4
7 ​​ : ___
b. ​​ __
​​  21 ​​ =
3 39
9 ​​ =
2 ​​ : ​​ __
c. ​​ __
5 4
5  ​​ : ​​ __
5 ​​ =
d. ​​ ___
12 4
e. ___
​​  20 ​​ : __
​​  1 ​​ =
9 6
6  ​​ : ___
f. ​​ ___
​​  18 ​​ =
35 5
2. ¿Qué tipo de fracción se obtiene al dividir una fracción impropia por una fracción
propia? Explica tu deducción.
Curso:
Nombre:
3. ¿Qué haces para enfrentar las dificultades en los cálculos?
Material imprimible
Unidad 1 • Números
77
Evaluación Formativa
1.
Operaciones combinadas y problemas de números
decimales y fracciones
4 ​
__
​  2 ​ + ​ __
5
9
3
__
_____
 ​ ​​. Marca la alternativa correcta.
¿Cuál es el resultado de (
​​ ​   ​– 0,1)​​​​( ​ 
2
1,2 )
133 ​​
A. ​​ ___
135
7 ​​
B. ​​ __
5
75 ​​
C. ​​ ___
77
5 ​​
D. ​​ __
7
2. Comenta cómo resolviste el ejercicio y por qué fue una estrategia exitosa.
Curso:
Nombre:
Fecha:
/
/
Ticket de salida
Unidad 1
Ticket de salida
Representación de porcentajes
/
?
b. ¿Qué porcentaje del total de cuadrados son
?
c. ¿Qué porcentaje del total de cuadrados son
?
d. ¿Qué porcentaje del total de cuadrados son
?
e. ¿Qué porcentaje del total de cuadrados son
?
Fecha:
a. ¿Qué porcentaje del total de cuadrados son
/
1. En la imagen, el rectángulo está compuesto por cuadrados iguales entre sí.
78
Curso:
Curso
Nombre:
2. ¿Cuál fue tu estrategia para encontrar los porcentajes?
Unidad 1 • Números
Material imprimible
Evaluación Formativa
Ticket de salida
Unidad 1
Cálculo de porcentajes
Fecha:
/
/
Responde las preguntas a partir del problema planteado.
Un coleccionista de un juego de cartas dice que tiene 300 de las cartas más raras, las
que equivalen al 15 % de su colección. Además, declara que si vendiera el 70 % de
todas sus cartas, no volvería a trabajar nunca más.
1. ¿Cuántas cartas componen la colección completa?
Curso:
Nombre:
2. ¿Cuántas cartas equivalen a ese 70 %?
3. ¿Qué utilidad en la vida real tiene saber porcentajes?
Ticket de salida
Cálculo de porcentajes
Fecha:
/
/
Responde las preguntas a partir del problema planteado.
Un coleccionista de un juego de cartas dice que tiene 300 de las cartas más raras,
las que equivalen al 15 % de su colección. Además, declara que si vendiera el 70 %
de todas sus cartas, no volvería a trabajar nunca más.
1. ¿Cuántas cartas componen la colección completa?
Curso:
Nombre:
2. ¿Cuántas cartas equivalen a ese 70 %?
3. ¿Qué utilidad en la vida real tiene saber porcentajes?
Material imprimible
Unidad 1 • Números
79
Evaluación Sumativa 1
Unidad 1
Tiempo estimado: 60’
Nota:
Nombre:
Puntaje:
Fecha:
/
/
Lección 1 Números enteros
Responde cada pregunta marcando la alternativa correcta.
1. ¿Cuál de los siguientes números está más alejado del cero?
A. 2
C. –1
B. 4
D. –5
2. Observa la recta numérica. ¿Cuál de las siguientes relaciones es verdadera?
a
b
0
A. b > 0
c
C. a < d
B. c < b
d
D. c < 0
3. ¿Qué se debe hacer para representar en la recta numérica la operación
2 – (–3) – 5?
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
A. Posicionarse en –2, retroceder 3 espacios y avanzar 5 espacios.
B. Posicionarse en 2, avanzar 3 espacios y retroceder 5 espacios.
C. Posicionarse en –3, retroceder 2 espacios y retroceder 5 espacios más.
D. Posicionarse en 2, retroceder 3 espacios y retroceder 5 espacios más.
4. ¿Cuál es el resultado de 5 – 3 – (–6) + (–12)?
A. –16
B. –4
C. –3
D. 20
5. Al número 4 se le adiciona el sucesor de –2. Luego, al resultado se le resta el
antecesor de –6. ¿Cuál es el número que se obtiene?
A. 9
B. 5
C. 10
D. 11
80
Unidad 1 • Números
Material imprimible
6. Patricia tiene $5 000 en su cuenta bancaria, pero hace un giro de $8 200 y queda
con saldo negativo. Si luego deposita $4 500, ¿cuánto dinero tiene Patricia en
su cuenta?
A. $1 300
C. $9 500
B. $3 200
D. $12 700
7. ¿Cuál de las siguientes alternativas es siempre falsa?
A. Si a un número positivo le resto uno negativo, entonces el resultado
es positivo.
B. Si a un número negativo le resto uno positivo, entonces el resultado
es positivo.
C. Para todo número entero existe otro número distinto tal que sumados da cero.
D. El antecesor de un número negativo es siempre negativo.
Resuelve.
8. Completa los cuadrados mágicos. Este juego consiste en un cuadrado, donde
hay que colocar nueve números que, sumados en vertical, en horizontal y en
diagonal, siempre den el mismo resultado.
2
–3
13
–1
4
–4
–5
8
9. ¿Qué ocurre si a cada número del cuadrado mágico se le suma el mismo
número entero?
Lección 2 Fracciones y números decimales
Responde cada pregunta marcando la alternativa correcta.
10. Un camión transporta 56 sacos de 2,7 kg y 62 sacos de 1,6 kg. ¿Cuánta masa
lleva el camión con estos sacos?
A. 260,4 kg
B. 255,8 kg
Material imprimible
C. 250,4 kg
D. 240,4 kg
Unidad 1 • Números
81
Evaluación Sumativa 1
11. En un curso de 45 estudiantes, __
​​ 3 ​​ se declaran gamers y, dentro de los gamers, __
​​  1 ​​
5
3
solo juega Juego A. ¿Cuántos estudiantes gamers no solo juegan Juego A?
A. 9
B. 18
C. 21
D. 27
12. Se define la operación a ⊘ b = (a – b) · b. ¿Cuál es el resultado de __
​​ 3 ​​ ⊘ __
​​  1 ​​?
2
6
2
2
__
__
C. ​​   ​​
A. ​​   ​​
9
6
48 ​​
1 ​​
B. ​​ __
D. ​​ ___
4
6
13. En la feria, María Paz compró ___
​​ 10 ​​kg de papas y 4,2 kg de tomates. ¿Cuánto
3
dinero gastó en total si el kilogramo de papas cuesta $750 y el de
tomates, $550?
A. $4 810
B. $4 510
C. $2 500
D. $2 310
Resuelve.
14. ¿Cuál es el resultado de 2,3 · 1,6?
Lección 3 Porcentajes
Responde cada pregunta marcando la alternativa correcta.
15. Se sabe que, en Santiago, 3 de cada 5 personas utilizan regularmente
el transporte público. ¿Cuál es el porcentaje de personas que NO usan
regularmente ese servicio?
A. 30 %
B. 40 %
82
Unidad 1 • Números
C. 50 %
D. 60%
Material imprimible
16. El IVA es un impuesto que se paga por cada transacción en Chile y equivale al
19 % del valor de la venta. Si un libro tiene un valor de $25 000 sin impuesto,
¿cuánto de IVA se deberá pagar por el libro?
A. $5 550
B. $4 750
C. $4 650
D. $3 850
17. Si el 5 % del sueldo de una persona es $22 500, ¿cuál de las siguientes
afirmaciones es correcta?
A. El 10 % del sueldo es $46 000.
B. El 25 % del sueldo es $125 000.
C. El 75 % del sueldo es $373 500.
D. El 100 % del sueldo es $450 000.
18. Renata gana $2 200 000 y destina 10 % de su sueldo a caridad. De este aporte, el
20 % está dirigido a una fundación animalista. ¿Cuánto dinero aporta Renata a
esta fundación?
A. $44 000
B. $48 000
C. $54 000
D. $66 000
Resuelve.
19. El 50% de un grupo de deportistas es equivalente a 20 personas. Si el grupo está
conformado por hombres y mujeres, y el 10 % del grupo son hombres, ¿cuántas
mujeres hay en el grupo?
Material imprimible
Unidad 1 • Números
83
Evaluación Sumativa 2
Unidad 1
Nombre:
Nota:
Puntaje:
Tiempo estimado: 60’
Fecha:
/
/
Lección 1 Números enteros
Responde cada pregunta marcando la alternativa correcta.
1. ¿Cuál de los siguientes números es negativo?
A. El antecesor de 1.
B. El sucesor de –1.
C. El inverso aditivo de –3.
D. El antecesor de –2.
2. A las 23:00, la temperatura marca –1 °C y en una hora baja dos grados.
¿Cuál de las siguientes operaciones representa la situación?
A. –1 + (–2)
B. –1 – (–2)
C. –(–1 – 2)
D. –(–1 – (–2))
3. ¿Cuál es el resultado de –1 – 3 – (–5) – (–4 – 2)?
A. 7
B. 6
C. 3
D. –15
4. Sean a y b dos números enteros. Si a es negativo y a + b es positivo, entonces,
¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A. b es un número negativo.
B. b es igual a cero.
C. b < a
D. |b| > |a|
5. Se ubica un número a en la recta numérica, luego un número b a la derecha de
a, un número c a la derecha de b y, por último, un número d a la izquierda de a.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A. a > c
B. d < b
C. b > c
D. c < d
84
Unidad 1 • Números
Material imprimible
6. Un submarino se encuentra a 2 654 metros de profundidad y sobre él, en línea
recta, se encuentra un helicóptero a 788 metros de altura. ¿Cuál es la distancia
que separa al submarino del helicóptero?
A. 1 866 metros.
B. 3 442 metros.
C. 3 452 metros.
D. 3 454 metros.
Resuelve a partir del problema.
7. Se crea una secuencia de números según las siguientes reglas: si el término
es un número negativo, se le adicionan 2 y el resultado se suma tres veces. En
cambio, si el término es un número positivo, este se convierte en su inverso
aditivo y se le suma 1. Si resulta el número cero, la secuencia termina. Por
ejemplo, si la secuencia empieza con el 1, entonces, los números de la secuencia
son: 1, 0.
a. Determina la secuencia que inicia con el número –1.
b. Determina la secuencia que inicia con el número 4.
8. Según las reglas anteriores, ¿qué tipo de secuencia se tiene para números
mayores o iguales a 5?
Lección 2 Fracciones y números decimales
Responde cada pregunta marcando la alternativa correcta.
9. Sea n un número entero, considera la multiplicación n · 0,25. ¿Cuál de las
siguientes afirmaciones es siempre verdadera?
A. Si n es par, el producto es un número entero par.
B. Si n es impar, el producto siempre es un número entero.
C. Si n es múltiplo de 3, la décima del producto tiene valor 2.
D. Si n es múltiplo de 4, el producto es un número entero.
Material imprimible
Unidad 1 • Números
85
Evaluación Sumativa 2
10. Gonzalo compra una botella de bebida de 1 litro y quiere repartir la mitad del
líquido en botellas de __
​​ 1 ​​de litro. ¿Cuántas botellas necesita y cuántos litros de
8
bebida tendrá cada una?
A. Necesita 8 botellas y cada una tendrá 0,25 L de bebida.
B. Necesita 4 botellas y cada una tendrá 0,25 L de bebida.
C. Necesita 4 botellas y cada una tendrá 0,125 L de bebida.
D. Necesita 16 botellas y cada una tendrá 0,125 L de bebida.
11. El rectángulo de la imagen está formado por cuadrados, donde primero se
marcan
y, luego, una parte de estos se pinta . ¿Cuál de las siguientes
afirmaciones es verdadera?
A. En la primera parte, los
mitad del total.
B. Los cuadrados
de los .
son la
2 ​​
equivalen a ​​ __
3
10 ​​?
12. ¿Cuál es el resultado de __
​​ 3 ​​ · ___
​​  20 ​​: ​​ ___
4 27 21
7 ​​
A. ​​ __
6
7 ​​
B. ​​ __
3
4 ​​
C. Los cuadrados en blanco son ​​ __
9
del total.
D. Los cuadrados
son ___
​​  5  ​​del total.
24
7 ​​
C. ​​ __
2
14 ​​
D. ​​ ___
3
Resuelve.
5 ​ ​​ + 1,3 : __
13. (
​​ __
​  1 ​ – 0,1 · ​ __
​​  9 ​​
3
3)
2
86
Unidad 1 • Números
Material imprimible
Lección 3 Porcentajes
Responde cada pregunta marcando la alternativa correcta.
14. Para optar a un crédito hipotecario se debe pagar un pie que equivale al
20 % del valor de la vivienda. Si una casa cuesta 4 500 UF, ¿cuánto dinero se
necesita para el pie? (Considera que el valor de una UF es $35 200).
A. $15 840 000
B. $23 760 000
C. $29 250 000
D. $31 680 000
15. ¿Qué porcentaje es 45 de 150?
A. 25 %
B. 30 %
C. 35 %
D. 45 %
16. El precio de un par de zapatillas, después de un descuento del 35 %, es $23 660.
¿Cuál era el precio antes del descuento?
A. $31 941
B. $35 000
C. $36 350
D. $36 400
17. Si Pablo saca el 30% de un helado y Camila saca el 5% de lo de Pablo para
probarlo, ¿qué parte del total del helado ha sacado Camila para degustar?
A. 1,5 %
B. 3 %
C. 4,5 %
D. 5 %
Resuelve.
18. En la imagen, el área coloreada representa el 10 % del círculo. Dibuja un área de
color azul que represente el 15 % y explica cómo obtuviste esa área.
Material imprimible
Unidad 1 • Números
87
Solucionario de evaluaciones complementarias
Evaluación diagnóstica 1
1. A
2. B
Ticket de salida:
Orden y comparación en ℤ
1.
a. <
3. C
b. <
4. D
5. D
c. >
6. D
d. >
7. C
e. >
8. B
f. >
9. A
g. <
10. B
Evaluación diagnóstica 2
2. Respuesta variada, por ejemplo: un número entero a es mayor que otro número entero b, mientras más a la derecha
esté en la recta numérica.
1. A
2. B
3. A
4. C
5. B
Ticket de salida:
Adición en ℤ
1. Respuestas columna derecha, en orden respectivo de
las filas:
6. C
• 7 + 4 + (–1)
7. D
• –3 + 2 + 7
8. A
• –5 + 2 + 7
9. D
• 2 + 4 + (–5)
10. C
• –5 + (–3) + 7
Evaluaciones formativas
• –5 + (–3) + (–1)
Ticket de salida:
Números enteros
1. Respuestas columna derecha, en orden respectivo de
las filas:
• –10 000
2. La condición que se debe cumplir es que a > b.
Ticket de salida:
Sustracción en ℤ
1.
• 1, 2, 3, 4, 5 o 6
a. 2 – (–4) = 6, encerrar.
• Subterráneos: –1, –2, –3, etc.
Pisos con oficinas: 1, 2, 3, etc.
b. 12 – 16 = –4
• –3
d. –3 – (–2) = –1
• 1, 2, 3, 4,…
e. –5 – (–11) = 6, encerrar.
2. Respuesta variada, por ejemplo: metros bajo el nivel
del mar.
c. 6 – 1 = 5, encerrar.
f. –14 – (–8) = –6
g. –1 – 7 = –8
h. 0 – (–10) = 10, encerrar.
i. 20 – (–5) = 25, encerrar.
88
Unidad 1 • Números
2.
• Al restar dos números enteros positivos, el minuendo
debe ser mayor que el sustraendo.
Ticket de salida:
Multiplicación de fracciones
1.
• Al restar dos números negativos, el sustraendo debe ser
menor que el minuendo.
a. Había 120 dulces en la bolsa.
• Al restar un número positivo y uno negativo, el sustraendo debe ser negativo y el minuendo positivo.
c. Respuesta variada, por ejemplo: primero subrayo
b. Mario se quedó con 20 dulces.
los datos, los vuelvo a escribir para determinar la
operación que debo realizar. Luego, resuelvo con
un diagrama o dibujo y respondo la pregunta.
Ticket de salida:
Ejercicios combinados y aplicaciones en ℤ
1. C
15 + 7 – 4 ​
+ 11 – 9 ​​
2. 15 + 7 – 4 + 11 – 9 –​​( ​ _______________
  
)
2
Quedan 10 pasajeros en el bus.
3. Respuesta variada, por ejemplo: si existen paréntesis, los
resuelvo primero. Luego continúo con multiplicaciones
y divisiones de izquierda a derecha. Por último, resuelvo
adiciones y sustracciones, de izquierda a derecha.
Ticket de salida:
Multiplicación y división de decimales
1. Respuestas columna izquierda, en orden respectivo de
las filas:
• 27
• 45
• 120
• 18 000
• El producto es mayor que cada uno de los factores y
corresponde al primer factor aumentado en su mitad.
Respuestas columna derecha, en orden respectivo de
las filas:
• 20
• 400
Ticket de salida:
División de fracciones
1.
2 ​​
• ​​ __
3
13 ​​
• ​​ __
3
8  ​​
• ​​ ___
45
• __
​​  1 ​​
3
40 ​​
• ​​ ___
3
1  ​​
• ​​ __
21
2. Se obtiene una fracción impropia, porque al escribir la división como la multiplicación de la primera fracción por el
inverso multiplicativo de la segunda, se están multiplicando
dos fracciones impropias. Por ejemplo, __
​​ 4 ​​ : __
​​  5 ​​ = __
​​  4 ​​ · __
​​  6 ​​ = __
​​  8 ​​. Lo
3 6 3 5 5
mismo sucede en los ejercicios 3 y 4 del ítem anterior.
3. Respuesta variada, por ejemplo: leo el ejercicio más de una
vez para recordar cómo proceder. Si no recuerdo, recurro a
los apuntes del cuaderno.
• 1 520
• 20 000
• El cociente es mayor que el dividendo y el divisor, y corresponde al dividendo multiplicado por 10. Son todas
divisiones exactas.
2. Respuesta variada, por ejemplo: me es más difícil dividir,
porque me confunde la coma en el divisor.
Ticket de salida:
Operaciones combinadas y problemas de números
decimales y fracciones
1. A
2. Respuesta variada, por ejemplo: escribí todos los números
como fracciones y luego resolví cada paréntesis por separado. Por último, multipliqué los resultados de ambos paréntesis y simplifiqué. Fue una estrategia exitosa porque fui
ordenado para resolver.
Unidad 1 • Números
89
Solucionario de evaluaciones complementarias
Ticket de salida:
Representación de porcentajes
1.
9. Al sumar un mismo número a cada número del cuadrado
mágico, se obtiene otro cuadrado mágico. Sea a el número
a sumar en cada término, entonces:
• Si a < 0, la suma del cuadrado mágico disminuye en
3a.
a. 30 %
b. 20 %
• Si a = 0, la suma del cuadrado mágico se mantiene.
c. 20 %
• Si a > 0, la suma del cuadrado mágico aumenta en 3a.
d. 20 %
e. 10 %
Lección 2: Fracciones y números decimales
2. Respuesta variada, por ejemplo: como son 40 cuadrados
en total, el 10% es 4, por lo tanto, si tengo 8 cuadrados,
corresponde al 20% del total de cuadrados, y si tengo 12
cuadrados, corresponde al 30% del total de cuadrados.
10. C
Ticket de salida:
Cálculo de porcentajes
13. A
1.
11. B
12. A
92 ​​ = 3,68
14. ​​ ___
25
a. La colección completa es de 2 000 cartas.
b. El 70% de la colección completa equivale a 1 400 cartas.
c. Respuesta variada, por ejemplo: es muy útil porque hay
mucha información en porcentajes que se da en distintos medios de comunicación.
15. B
16. B
17. D
Evaluación sumativa 1
18. A
Lección 1: Números enteros
19. Hay 36 mujeres en el grupo.
1. D
Evaluación sumativa 2
2. C
Lección 1: Números enteros
3. B
1. D
4. B
2. A
5. C
3. A
6. A
4. D
7. B
5. B
8.
90
Lección 3: Porcentajes
2
–5
0
–3
–1
1
–2
3
–4
0
–1
13
17
4
–9
–5
9
8
Unidad 1 • Números
6. B
7.
a. –1, 3, –2, 0.
b. 4, –3, –3, –3, …
8. Son secuencias de infinitos términos que van decreciendo.
Lección 2: Fracciones y números decimales
9. D
10. C
11. D
12. A
41  ​​
13. ​​ ___
90
Lección 3: Fracciones y números decimales
14. D
15. B
16. D
17. A
18. Trazar la mitad de la circunferencia (trazo rojo) y luego dividir la mitad por la mitad (trazo morado).
Unidad 1 • Números
91
Unidad
2
Álgebra y
funciones
Introducción
E
sta unidad tiene como hilo conductor el eje Álgebra
y Funciones comenzando con lecciones enfocadas a generalizar y expresar situaciones y regularidades numéricas
y geométricas a través de letras, operaciones aritméticas
y símbolos. El propósito de la primera lección es que los
y las estudiantes comprendan que las letras representan
algún objeto o elemento que se necesita expresar, mientras que las operaciones dan paso al comportamiento
que se requiere establecer con la expresión algebraica.
Por otra parte, a través del lenguaje algebraico se introduce la noción de relación entre variables, la que permite
dar solución a situaciones problemáticas tanto de la vida
cotidiana como del ámbito matemático.
En la segunda lección, relaciones proporcionales, se
busca que el estudiantado aplique relaciones de proporcionalidad directa e inversa en la vida cotidiana y en
contextos matemáticos, utilizando diferentes registros de
representación, identificando semejanzas y diferencias en
dichos contextos, considerando situaciones en que hay
una relación y cuando la situación cumple con las condiciones de proporcionalidad.
Se trabajarán los Aprendizajes Basales OA 06 y OA 08 y
el Aprendizaje Complementario OA 07.
Con respecto a los Objetivos Actitudinales, la unidad 2
hace hincapié en el trabajo del OA C, OA E y OA F a lo largo de todas las secciones y lecciones que la componen.
En cuanto a los Objetivos Transversales, estos serán trabajados a lo largo de la revisión de todos los contenidos
que implica la unidad, promoviendo su desarrollo en las
diferentes actividades propuestas que aparecen en el
Texto del Estudiante y en el Banco Digital de Actividades.
La Guía Didáctica del Docente y el Banco Digital de
Actividades presentan evaluaciones diagnósticas que
podrá utilizar al inicio de esta unidad, donde se evaluarán los siguientes conocimientos previos: secuencias
numéricas y geométricas, patrones repetitivos y por recurrencia, expresión de situaciones escritas en lenguaje natural en ecuaciones o inecuaciones y viceversa
y resolución de ecuaciones e inecuaciones de primer
grado con una incógnita.
A su vez, la Guía Didáctica del Docente y el Banco de
Actividades también cuentan con evaluaciones formativas, en formato Ticket de salida, que podrá aplicar a sus
estudiantes al término de cada lección; y evaluaciones
sumativas, que podrá aplicar al término de la unidad.
Lo que pretenden estos instrumentos es evaluar los nuevos conocimientos que adquirirán los y las estudiantes
a lo largo de esta unidad, a saber: lenguaje algebraico,
expresiones algebraicas, valorización de expresiones
algebraicas, reducción de expresiones algebraicas,
concepto de proporción, proporcionalidad directa,
proporcionalidad inversa.
Las habilidades a trabajar fuertemente en la unidad 1 son:
argumentar y comunicar: OA d, OA f, OA g, OA e; resolver
problemas: OA a, OA b, OA c; representar: OA k, OA l y
modelar: OA h, OA j, OA i.
Introducción
93
Orientaciones al Docente
UNIDAD 2
ÁLGEBRA Y FUNCIONES
Propósito: resolver problemas que
implican el uso de lenguaje algebraico,
valorización y reducción de expresiones
algebraicas, y proporcionalidad directa
e inversa.
Palabras clave: lenguaje
algebraico, expresión algebraica,
términos semejantes, ecuaciones,
proporcionalidad directa,
proporcionalidad inversa.
Tiempo estimado: 39 horas
Preguntas motivadoras
1. Para llamar la atención de sus estudiantes, realice una lluvia de ideas respecto a la
pregunta: ¿qué contextos, fórmulas y operaciones aritméticas podemos encontrar en
el ámbito de los bosques de Chile?
2. Al finalizar la resolución de las preguntas
2, 3 y 4, complemente con las siguientes:
• ¿Qué conocimientos debiste poner en
práctica para resolver las preguntas?
• ¿Crees que existe otra forma de resolver
las preguntas propuestas? Describe.
Manejo de recursos
Como una manera de motivar a los y
las estudiantes a la concientización del
medioambiente y del cuidado de los bosques, ingrese el código GA23M7BP096A
a www.auladigital.cl y encontrará toda la
información que nos da CONAF sobre el
Programa de Arborización en zonas
urbanas y periurbanas.
Al iniciar las evaluaciones iniciales propuestas, invite a sus estudiantes a resolver las
actividades demostrando interés, esfuerzo, perseverancia y rigor frente a la resolución de los problemas y las actividades
propuestas. Entregue el tiempo necesario
para una resolución tranquila e invíteles a
reconocer sus debilidades y fortalezas.
94
Unidad 2 • Álgebra y funciones
Orientaciones Texto del Estudiante
Las preguntas sugeridas en este inicio de unidad están relacionadas con
los bosques de Chile. Antes de resolverlas, pida a sus estudiantes que
describan la imagen presentada, lean en voz alta la información que
está en los círculos e invíteles a reflexionar acerca de la importancia de
cuidar los bosques de Chile. Aproveche la ocasión para hablar sobre
los incendios forestales, de cómo podemos evitarlos y qué acciones
podríamos emprender en caso de enfrentarnos a alguno.
Orientaciones Banco Digital de Actividades (BDA)
Para evaluar los conocimientos previos necesarios para comenzar esta
unidad, utilice las evaluaciones diagnósticas que están de las p. 122 a la
125 de esta Guía Didáctica y la evaluación diagnóstica del BDA.
dadas; como un número generalizado,
es decir, un número indeterminado comprendido dentro de un método general; o
también puede ser utilizado para representar una relación funcional entre dos cantidades cuyos valores cambian. Más aún,
una variable puede utilizarse de diferentes
formas en momentos distintos dentro de
un mismo problema, es decir, puede tener distintas caracterizaciones. En esta lección trabajaremos con el uso de la variable
como número generalizado, ya que en
una expresión algebraica usamos las letras
como un número desconocido, pero que
está considerado dentro de una operación.
Fuente: Enfedaque, J. (1990).
De los números a las letras. Suma, 5.
Respuestas esperadas
Página 51
Orientaciones Texto del Estudiante
Según Küchemann (1980), el concepto de variable tiene las siguientes
interpretaciones entre los estudiantes: Letra evaluada, a la letra se le
asigna un valor numérico. Letra no utilizada, la letra es ignorada o su
existencia es reconocida, pero no se le atribuye ningún significado. Letra
como objeto, se considera la letra como una abreviación del nombre
de un objeto o como a un objeto en sí. Letra como incógnita específica,
la letra representa un número en particular, pero desconocido, y los
estudiantes son capaces de operar directamente sobre ella. Letra como
número generalizado, se considera que la letra representa o es capaz
de asumir distintos valores. Letra como variable, se considera que la
letra representa un rango de valores no especificado y que existe una
relación sistemática entre dos conjuntos de valores de este tipo. Al respecto, Usiskin (1988) postuló los siguientes usos: una variable puede
representar una incógnita específica, esto es, un número desconocido,
pero específico que puede ser calculado considerando las restricciones
• Un bosque con forma de pulmón.
Representa que los bosques son los
pulmones del mundo. Permiten la vida
de todo el planeta.
• Con porcentajes, razones y
proporciones.
• 4060/x donde x es la cantidad de
personas a nivel mundial.
• 23 : 100
• Se pueden cuidar los bosques de
varias formas: Informando a la
comunidad sobre la importancia
de los bosques y sus impactos
positivos; organizando campañas de
reforestación con especies nativas,
denunciando tala ilegal y actividades
sospechosas; promoviendo el uso
responsable de recursos naturales;
promoviendo la prevención de
incendios forestales; promoviendo
la gestión adecuada y la reducción,
reutilización y reciclaje de desechos;
protege la vida silvestre y apoya la
creación de áreas protegidas; entre
muchas otras.
Orientaciones al docente
95
LECCIÓN 4
Álgebra
Propósito: representar números
usando lenguaje algebraico, reconocer
las características de las expresiones
algebraicas, valorizarlas y reducirlas en el
contexto de la resolución de problemas.
Tiempo estimado: 10 horas
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
Con el propósito de desarrollar en sus
estudiantes la comprensión de la idea
de conjunto en el juego planteado en la
actividad 8 de la guía 1 del BDA, formule
preguntas como: ¿Cuál es la relación entre
lo que acaban de construir y la actividad?
¿Cuál crees que es el objetivo de la actividad? ¿Por qué es importante?
Se recomienda que antes de comenzar el
juego, analice un par de variables del mismo, como: intercambio de naipes, unión
de dos o más juegos de cartas para hacer
el juego más largo, etc.
Ofrezca un espacio para que sus estudiantes respondan las siguientes preguntas de
reflexión respecto a la resolución de la actividad 7 de la guía 1 del BDA:
1. ¿Qué dificultades tuvieron como pareja
para enfrentar el desafío?
2. ¿Quién asumió el liderazgo?
3. ¿Cómo se distribuyeron las tareas?
Errores frecuentes
Es usual que los estudiantes no logren
establecer una concordancia entre aquello que se enuncia en lenguaje cotidiano
y aquello que se expresa en lenguaje algebraico, debido a las ambigüedades del
lenguaje natural.
96
Unidad 2 • Álgebra y funciones
Por ejemplo, “el doble de un número aumentado en tres” se puede
interpretar como 2(x + 3) o 2x + 3. Esto dependerá del énfasis que el
docente le dé a la entonación del lenguaje natural al dictar los ejercicios.
Si la expresión se indica por escrito, el uso de la coma soluciona esta
dificultad, ya que “el doble de un número aumentado en tres” se anota
2(x + 3) y “el doble de un número, aumentado en tres” se anota 2x + 3.
Otro error frecuente es la interpretación de la expresión 2n o cualquiera
que represente una multiplicación entre dos expresiones. Al pedirles
que evalúen n = 4, algunos pueden interpretar que el 4 corresponde a
la unidad de la expresión en lugar de otro factor, es decir, 24 en lugar
de 2 ∙ 4. Por ello, en un principio, abuse de la notación y escriba el signo
de multiplicación por un tiempo para posteriormente prescindir de este.
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
Terminadas las actividades de la p. 53 y la
guía 1 del BDA, proponga el Ticket de salida Lenguaje Algebraico que se encuentra
en la p. 126 de esta Guía Didáctica.
Respuestas esperadas
Página 52
• La relación que existe entre el juego
del mago y el lenguaje algebraico es
que para resolver lo planteado por el
mago, puedes plantear un ejercicio
matemático. La respuesta siempre
será 5 ya que sin importar el número
con el que empieces las operaciones,
al final le quitas el número que
pensaste.
Página 53
• Porque representan objetos distintos.
• Porque a diferencia de los otros
productos, las agendas se
están devolviendo.
• Sí, la conozco, significa que es mucho
el tiempo que no nos vemos y no
se sabe la cantidad exacta. Ahora
le doy el significado de un tiempo
desconocido, variable.
Orientaciones Texto del Estudiante
Para Duval (2006), el cambio de registros es fundamental para que exista aprendizaje, de modo que los y las estudiantes no se queden solo
con un representante del objeto matemático, sino que puedan visualizarlo escrito de diferentes formas. Es importante que exista coherencia
y consistencia entre el lenguaje natural y la expresión algebraica que
determinan sus estudiantes. Por ello, es indispensable revisar las estrategias descritas en las p. 52 y 53 del TE con mucha paciencia, pidiendo
la verbalización del paso a paso detallado.
Fuente: Duval. R. (2006). Un tema crucial en la educación matemática: La habilidad
para cambiar el registro de representación. La Gaceta de la RSME, 9(1), pp. 143-168.
Orientaciones al docente
97
Activación de conocimientos y
experiencias previas
Pida a sus estudiantes que elaboren distintas frases. Escríbalas en la pizarra y determinen la cantidad de elementos distintos
(palabras) que tiene cada una. Luego, plantee expresiones matemáticas y cuenten los
términos distintos de ellas. Puede agregar
expresiones con términos repetidos para
que sean contados solo una vez.
Ambientes de aprendizaje
En la p. 54 del TE se hace referencia a los
beneficios que tiene el uso de la bicicleta
como medio de trasporte, principalmente
para la salud. Además, se explica el procedimiento que se realiza para el cálculo del
tiempo que demora una persona en trasladarse una cierta cantidad de kilómetros
a una rapidez constante. Puede emplear
esta situación o contexto para realizar una
actividad conjunta con el o la docente de
Ciencias Naturales, específicamente el OAh
de esta última asignatura. De esta forma,
los y las estudiantes ven que el álgebra
está presente en otras áreas del saber y
que la valorización, sobre todo en fórmulas, se usa habitualmente en algunos ejes
de las Ciencias Naturales.
Manejo de recursos
En la lectura, la comprensión no es un proceso puramente verbal. En efecto, para
que los símbolos escritos tengan un sentido, deben estar asociados con los objetos,
acciones y cualidades que representan.
Por ello, poder decodificar una palabra
a partir de su forma escrita no garantiza
la comprensión.
En ese contexto, proponer actividades a
los alumnos para que generen imágenes
mentales a medida que leen puede mejorar sustancialmente la comprensión de
lectura de símbolos algebraicos.
98
Unidad 2 • Álgebra y funciones
Se sugiere trabajar con figuras geométricas de distintos colores y tamaños, como cuadrados, triángulos, círculos y hexágonos de colores
rojo, amarillo, verde y azul. Pida a sus estudiantes que construyan expresiones con esas figuras, por ejemplo, que armen trinomios según las
figuras, polinomios según colores o binomios según tamaños, etc. Motívelos a construir distintas expresiones y que las intercambien con sus
compañeros para que adivinen el criterio de formación de dichas expresiones y las clasifiquen según la cantidad de términos que contengan.
Preguntas motivadoras
Para fomentar el razonamiento, formule
preguntas como las siguientes:
• ¿Puede un término algebraico tener un
grado negativo?, ¿por qué?
• ¿Es una expresión algebraica la expre3​x​​  3y​
sión ____
​​  5 3 ​​?, ¿por qué?, ¿qué grado tiene la
y​ ​​  z​​ ​​  ​
expresión anterior?
• ¿Cuántos términos crees que puede tener una expresión algebraica?
Respuestas esperadas
Página 54
• Para comprender información
matemática, como fórmulas,
identidades y expresiones en general.
• Utilizar bicicleta para el traslado de
un lugar a otro; en lo posible, utilizar
transporte eléctrico, como scooter o
autos eléctricos.
Página 55
Orientaciones Texto del Estudiante
Para una total comprensión de los conceptos involucrados en este
tema, explique detalladamente qué es un término algebraico con sus
respectivos elementos. Emplee expresiones sencillas, por ejemplo, tres
manzanas.
• No tengo dudas. /
Aún no comprendo cómo escribir
en lenguaje algebraico algunas
expresiones del lenguaje natural.
• Dar un valor. La letra toma diferentes
valores bajo ciertas restricciones.
• No, ya he utilizado la valorización
de expresiones algebraicas cuando
empleamos fórmulas de perímetro
y área de figuras planas entre otras
situaciones.
Solicite que las escriban en lenguaje algebraico (3m) y luego determinen
factor literal, grado y coeficiente numérico.
3m → Coeficiente numérico: 3 - Factor literal: m - Grado: 1
Siga con ejemplos en que aparezcan términos algebraicos con factores
literales más complejos. Luego, continúe con ejemplos sencillos para
hablar de las expresiones algebraicas, por ejemplo, tres manzanas y
dos peras (3m + 2p). Solicite que las escriban en lenguaje algebraico y
determinen la cantidad de términos que tiene y su grado.
3m + 2p → 2 términos - grado 1
Orientaciones al docente
99
Activación de conocimientos y
experiencias previas
Recuerde con sus estudiantes, a través de
una lluvia de ideas, las expresiones algebraicas y su clasificación.
2xyz
→ Monomio (1 término)
5p + q
→ Binomio (2 términos)
1,5m + n - ñ → Trinomio (3 términos)
Pida a uno de ellos que registre las ideas
en la pizarra. Luego, sintetice la información y proponga una expresión algebraica
que contenga términos semejantes. A continuación, pregunte a sus estudiantes: ¿se
podrá reducir la expresión anterior a una
más pequeña?, ¿cómo lo harían?
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
El contexto de la actividad 8 de la guía 4
del BDA está referido a geometría, donde
los y las estudiantes deben recordar algunos conceptos de la medición de ángulos
y la operatoria que se puede realizar entre
dichas medidas.
Es una actividad que conecta dos ejes de
la misma disciplina y sirve al estudiantado
para evidenciar que incluso otros contenidos de la misma matemática se pueden
expresar con términos algebraicos.
Una vez revisados los contenidos de la p.
57 y terminada la guía 4 del BDA, proponga el Ticket de salida Reducción y valorización de expre siones algebraicas que
se encuentra en la p. 126 de esta Guía Didáctica. Además, en el BDA aparece una
evaluación intermedia de los contenidos
trabajados en la lección 4.
Manejo de recursos
Puede comenzar la reducción de términos semejantes empleando
fichas como las siguientes:
1
1
1
X
X
1
X
​​ ​​ 2​​
X
X
Con este material puede: representar distintas expresiones algebraicas;
dadas ciertas expresiones con el material, escribir en lenguaje algebraico la expresión que representan; representar dos expresiones algebraicas a la vez, reducirlas (dejarlas en una sola) y escribir el resultado en
lenguaje algebraico; utilizar un tablero, como una T, donde se coloquen
fichas, a la izquierda sus valores serán negativos y a la derecha, positivos; pedir a los estudiantes que las reduzcan y realizar ejercicios con
más de dos expresiones algebraicas representadas con el material.
100
Unidad 2 • Álgebra y funciones
Errores frecuentes
Los términos semejantes son aquellos que
tienen idéntico factor literal. Esto quiere
decir que si hay alguna variable combinada
con otra, este término será semejante solo
con aquellos que contengan exactamente
la misma combinación de factores literales
(incluyendo los exponentes). Realice prácticas o elabore situaciones que involucren
operaciones con fracciones o números decimales para aclarar cualquier duda. Otro
error común es el que se produce con la
operatoria, sobre todo con los signos de
adición y sustracción.
Haga notar qué operación corresponde a
cada término de la expresión.
Preguntas motivadoras
Para potenciar el razonamiento en sus estudiantes, plantee preguntas como las siguientes: ¿qué propiedades de la adición
de números permiten realizar las operaciones con expresiones algebraicas?; al reunir
los términos semejantes, ¿cambian los factores literales de ellos?, ¿y los coeficientes
numéricos? Explica.
Respuestas esperadas
Página 56
De esa forma, los estudiantes verán que se deben juntar las que sean
iguales y que, por tanto, no cambia el factor literal de ellas, solo el
coeficiente numérico.
Orientaciones Texto del Estudiante
En la p. 57 del Texto del Estudiante se explica el uso de expresiones
algebraicas y la reducción de términos semejantes, en el contexto de la
vida cotidiana, específicamente en la actividad agrícola del pueblo colla.
Invite a sus estudiantes a comentar sobre este pueblo y a investigar a
qué otros tipos de cultivos se dedican. Proponga preguntas como: ¿han
oído hablar de los colla?, ¿han tenido algún tipo de contacto con esta
cultura?, ¿conocen algunas de sus costumbres?, ¿cuáles?
• Sí, por ejemplo, en un campeonato
de fútbol, para determinar los lugares
de los equipos dentro de la tabla
de posiciones.
Página 57
• Sí. Valorar es asignarle valores
numéricos a las letras de una
expresión algebraica y, luego, resolver
según esos números y operatoria
involucrada. Reducir términos
semejantes es sumar o restar los
mismos términos para obtener una
expresión equivalente.
Orientaciones al docente
101
LECCIÓN 5
Relaciones proporcionales
Propósito: identificar y relacionar razones
y proporciones y resolver problemas
relativos a proporcionalidad directa e
inversa.
Tiempo estimado: 23 horas
Activación de conocimientos y
experiencias previas
Active los conocimientos sobre razón adquiridos el año pasado con el siguiente
problema: Martín invitó a 12 niños y 9 niñas a su cumpleaños. Su mamá compró 24
globos azules y 9 globos verdes para decorar. De las sorpresas que puso en la piñata,
las destinadas a las niñas son el triple de
las destinadas a los niños.
a. ¿Cuál es la razón entre el número de niñas y de niños?
b. ¿Cuál es la razón entre los globos azules
y verdes? ¿Cómo interpretas esta razón?
c. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de
sorpresas que se incluyeron para los niños en la piñata con respecto a las de
las niñas?
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
Para fomentar el razonamiento en la actividad 5 de la guía 5 del BDA, plantee preguntas como las siguientes: ¿cómo lees las
razones que están en el recuadro?, ¿qué
significa que la medida del delfín esté representada por la razón 1 : 50?, ¿podrías
decir, mirando las razones del recuadro,
qué animal es más grande sin la necesidad
de realizar otros cálculos?, ¿por qué?, ¿en
qué razón están las alturas del cocodrilo y
del delfín?
102
Unidad 2 • Álgebra y funciones
Como una manera de apoyar a sus estudiantes en la resolución gráfica
de los problemas de la actividad 7 de la guía 5 del BDA, sugiera el uso
de diagramas de barras. De esta forma, logrará un entendimiento visual
y con sentido de parte del estudiantado.
Manejo de recursos
Ingrese el código GA23M7BP100A a www.auladigital.cl y encontrará
una página web en la que se explica cómo trabajar las razones con diagramas de barras. En ella se muestran dos problemas y sus respectivas
resoluciones empleando estos diagramas.
Para trabajar los distintos estilos de aprendizaje (visual, auditivo y cinestésico), muestre la resolución de situaciones empleando distintos
registros, ya sea con diagramas, tablas, rectas numéricas, escritos en
lenguaje natural y en lenguaje matemático, completación de frases
orales, etc. A su vez, permita que sus estudiantes puedan responder
utilizando la estrategia que más les acomode.
Respuestas esperadas
Página 58
• Es la relación por cociente que
existe entre cada pareja de números
consecutivos de la serie de Fibonacci
y su valor se va aproximando cada vez
más al número áureo (1,618034…).
Esta proporción se relaciona con la
belleza visual y la naturaleza.
• Es una comparación de dos
magnitudes a través de un cociente.
Sus elementos se llaman antecedente
y consecuente.
• Dos cantidades proporcionales
cuando existe una relación entre
ellas dada por una constante de
proporcionalidad.
Página 59
• Hay 12 globos azules.
• Establecer antecedente y
consecuente. Revisando más ejemplos
de la vida cotidiana.
Orientaciones Texto del Estudiante
Para resolver las situaciones que impliquen razones, puede emplear
diagramas de barras o tablas como estrategias gráficas para visualizar
las partes, el todo y establecer las razones que se están solicitando en
las distintas actividades.
Para que sus estudiantes comprendan de mejor forma las relaciones
entre las variables, puede señalar ejemplos más cotidianos, como, el
precio que se paga por el kilogramo de pan (el valor está en función
de la masa del pan), el puntaje de una prueba y las notas, etc. Complemente con la siguiente actividad: plantea situaciones de dependencia
a partir de las siguientes variables:
• Y: dinero. X: personas en el bus.
• Y: distancia. X: diámetro de una rueda.
• Y: cantidad de pizzas. X: cantidad de personas.
Orientaciones al docente
103
Errores frecuentes
Las relaciones de proporcionalidad son
un tipo particular de relación entre dos
variables y, al momento de ser estudiadas, muchas veces no se ejemplifica otro
tipo de relación que no sea proporcional.
Esto puede causar que, cada vez que se
encuentren con variables relacionadas, el
estudiantado piense que corresponde a un
tipo o al otro. Por ejemplo, en el problema:
“Cuando un niño tiene 12 años, su padre
tiene 32. ¿Qué edad tendrá el padre cuando el hijo tenga 24 años?”.
En esta situación, hay una diferencia constante de 20 años y aunque ambas edades aumenten a la vez, no significa que
formen una proporcionalidad directa,
puesto que no se cumple la constante de
proporcionalidad.
Fuente: Lewin, R., López, A., Martínez, S. y Rojas,
D. (2013). Números para futuros profesores de
Educación Básica. Ediciones SM Chile.
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
La actividad 4 de la guía 6 del BDA hace
referencia a una preparación típica del
pueblo diaguita. Invite a sus estudiantes a
averiguar sobre los ingredientes del patay,
como una forma de conocer más de esta
cultura y la importancia de una alimentación saludable y nutritiva.
La actividad 5c de la guía 6 del BDA hace
conexión con geometría, específicamente
con la longitud de los lados y la medida
del perímetro de un triángulo isósceles.
Apoye a sus estudiantes con conceptos de
lado, base, triángulo isósceles y el dibujo
pertinente a la situación, de modo que no
recordar dichos conceptos o representación gráfica no sea un impedimento para
resolver la actividad.
104
Unidad 2 • Álgebra y funciones
Manejo de recursos
Para los y las estudiantes que presenten dificultades en encontrar el
término que falta en una proporción, ingrese el código GA23M7BP106A
a www.auladigital.cl y encontrará una página web en la que se pide
resolver proporciones, es decir, dada la proporción, se pregunta por el
dato que falta. Para cada situación, hay una opción de comprobar el
resultado y la opción de pista o de un video explicativo en el caso de
estar complicado.
Para apoyar la explicación de proporción del recuadro de la p. 60
del Texto del Estudiante, ingrese el código GA23M7BP106B en
www.auladigital.cl y encontrará un breve video explicativo del concepto
de proporción con algunos ejemplos.
Orientaciones Texto del
Estudiante
Pitágoras, uno de los más importantes
matemáticos de la Antigua Grecia, logró
hallar la relación proporcional entre razones numéricas y las frecuencias del sonido
utilizando cuerdas tensadas y flautas de
distintos tamaños. Lo anterior también se
puede obtener golpeando suavemente,
con algún objeto de metal, diferentes vasos con distintos niveles de agua, de modo
que el sonido varíe conforme lo haga el
nivel del agua.
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
Una vez revisados los contenidos de la
p. 61 y terminada la guía 6 del BDA, proponga el Ticket de salida Razones y proporciones que se encuentra en la p. 128 de
esta Guía Didáctica.
Respuestas esperadas
Página 61
• No, porque cuando Alejandra tenga
10 años, su mamá tendrá 37 y la razón
entre sus edades cambia de valor.
Orientaciones Texto del Estudiante
Para motivar a sus estudiantes en la comprensión de la relación entre
variables, proponga la siguiente actividad:
Miguel quiere comprar por internet una cámara que cuesta 250 dólares.
Como no tiene dólares, debe comprarlos en una casa de cambio. El 6
de agosto el dólar costaba $590, pero el vendedor le avisa que dentro
de pocos días estará a $588.
• ¿Qué debiera hacer Miguel: comprar enseguida o esperar?
• ¿De qué depende el costo de la cámara finalmente?
• ¿Cuáles son las variables dependientes e independientes de esta situación? ¿Cómo podemos modelarla?
Orientaciones al docente
105
Activación de conocimientos y
experiencias previas
Trabaje las siguientes preguntas con una
lluvia de ideas. Pregunte al azar a sus estudiantes y escriba las respuestas en la
pizarra. Luego, extraigan conclusiones en
conjunto con sus estudiantes.
• ¿Cómo averiguar el precio que se paga a
medida que el número de artículos iguales
que se compran aumenta?
• ¿Cómo podrías conocer el peso en la
Tierra de un objeto a medida que su
masa disminuye?
Errores frecuentes
Los y las estudiantes suelen aplicar técnicas aditivas en lugar de multiplicativas
a la hora de resolver proporciones. Por
ejemplo, en la imagen se ha aplicado una
ampliación del rectángulo y se pide a los
estudiantes determinar el valor del largo
del rectángulo resultante. Los estudiantes
señalan, la mayoría de las veces, que este
valor es 10 en lugar de 16, pues tienden a
sumar una cantidad en lugar de multiplicar
por un factor de escala.
2 cm
8 cm
X
4 cm
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
Oriente el razonamiento en la actividad 2
de la guía 7 del BDA con las siguientes preguntas: ¿cómo se calcula la constante de
proporcionalidad?, ¿da lo mismo en qué
orden se haga la división?, ¿por qué?, ¿por
qué se llama constante de proporcionalidad?, ¿cómo explicarías esa constante de
proporcionalidad?, ¿qué significa?
Explique el porqué del procedimiento
mostrado en la actividad 3 de la guía 7 del
BDA. Hágalo empleando la constante de
proporcionalidad para cada razón, incluso
106
Unidad 2 • Álgebra y funciones
con el uso de una tabla. Luego, forme la ecuación que da origen a la
regla de tres explicada en el procedimiento descrito. Es importante que
sus estudiantes no resuelvan de forma mecánica aplicando dicha regla,
sino que puedan resolver como estimen pertinente. De ese modo, no
se asume esa técnica como definición de proporcionalidad directa, sino
que le asignan significado a lo que están aprendiendo.
Para fomentar el razonamiento en la actividad 5 de la guía 7 del
BDA, que tiene relación con geometría, formule preguntas como
las siguientes:
• ¿Cómo se relaciona la medida del lado con el perímetro del cuadrado?, ¿y con el área?
• ¿Cómo sabes si la medida del lado es directamente proporcional al
perímetro?, ¿y al área?
• ¿Puedes graficar ambas situaciones?, ¿qué curva obtienes al unir los
puntos en cada caso?
Preguntas motivadoras
Complemente las actividades de esta página con la siguiente actividad:
Considerando la información, explica
cómo se relacionan las variables a partir de
su modelamiento.
• La relación existente entre la presión (P)
y el volumen (V) de un gas que sigue la ley
de Mariotte es P.
• V = k, donde k es una constante.
• La duración (t) del trayecto de longitud
fija recorrida por un móvil (e) a velocidad
uniforme (v): v · t = e.
Respuestas esperadas
Página 62
• Dos magnitudes son proporcionales
cuando existe una relación particular
entre ellas.
• Los kilogramoss de pan que compro y
el precio que pago por ellos.
Página 63
• No. / Sí, provoca mayor emoción
al escuchar música en vivo que en
un dispositivo.
Orientaciones Texto del Estudiante
Haga hincapié en que el cálculo de la constante de proporcionalidad
se hace dividiendo la variable dependiente por la independiente y no
al revés, ya que la división no es conmutativa y, por lo tanto, no se
origina el mismo resultado. No se ha incorporado el uso del teorema
fundamental de las proporciones como procedimiento alternativo para
que los estudiantes puedan calcular términos desconocidos entre proporciones directas, ya que es un método mecánico de manipulación
de símbolos, como lo es la regla de tres. Estos no son apropiados para
desarrollar el razonamiento proporcional y no se deberían introducir
hasta que tengan cierto dominio de otros métodos intuitivos y con un
fundamento matemático consistente.
Orientaciones al docente
107
Errores frecuentes
Lewin y otros (2013) nos dicen:
Los problemas con razones, proporciones y
porcentajes son siempre con contexto. Esto
hace que la comprensión del enunciado
sea, tal vez, la dificultad mayor en estos
temas. Más aún, en la enseñanza muchas
veces se plantean problemas que aparentan ser, o el enunciado induce a pensarlo, de proporcionalidad directa o inversa,
pero que frente a un análisis del contexto
se descubre que no pueden serlo.
Por ejemplo, el problema:
“Una gallina pone 2 huevos es una hora,
¿cuántos pondrá en 10 horas?”.
Está planteado como si fuera una proporcionalidad directa. Sin embargo, que la gallina haya puesto 2 huevos en una hora no
significa que en 10 horas ponga 20 huevos
(p. 414).
Fuente: Lewin, R., López, A., Martínez, S. y Rojas,
D. (2013). Números para futuros profesores de
Educación Básica. Ediciones SM Chile.
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
Para fomentar el razonamiento en la actividad 7 de la guía 7 del BDA, formule las
siguientes preguntas:
Manejo de recursos
para efectuar un trabajo puede proporcionarle información acerca de
su manera de enfocar dicho trabajo. Si ha utilizado poco el color en su
enseñanza, hágase con una caja de lápices de colores y compruebe
qué posibilidades le ofrece. Pida a sus estudiantes que traigan a clase
lápices o rotuladores de color y que experimenten con sus posibilidades
de utilización. Al principio puede parecer artificial y enojoso efectuar
un uso consciente del color, pues esto seguramente cambiará su sistema básico en la representación de información. Sin embargo, tal como
ocurre con todo instrumento nuevo, si efectúa usted el esfuerzo final,
con el tiempo, le resultará más fácil y descubrirá que ofrece nuevas
posibilidades. De esta forma, favorecerá el desarrollo del pensamiento
visual en sus estudiantes.
El arte puede ser un componente efectivo de cualquier asignatura y en cualquier
edad. Lograr que los y las estudiantes utilicen lápices de cuatro colores diferentes
Ingrese el código GA23M7BP110A en www.auladigital.cl y encontrará
una página que muestra una breve explicación cuando dos variables
son directamente proporcionales a través de lenguaje natural, tablas de
ejemplos y constante de proporcionalidad.
• ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en cada estacionamiento?
• ¿Cómo ves reflejada la constante en los
gráficos?, ¿podrías dibujarla?
• ¿Cuánto se tendrá que pagar en cada estacionamiento por 10 horas?
• ¿Es posible pagar $9 960 por 12 horas en
el estacionamiento B?, ¿por qué?
108
Unidad 2 • Álgebra y funciones
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
Una vez revisados los contenidos de la p.
65 y terminada la guía 7 del BDA, proponga el Ticket de salida Proporcionalidad directa que se encuentra en la p. 128 de esta
Guía Didáctica.
Preguntas motivadoras
Para fomentar el razonamiento de lo expuesto en la p. 64 del Texto del Estudiante,
formule preguntas como las siguientes:
• ¿Es posible que el auto recorra 90 kilómetros con 8 litros de bencina?, ¿por qué?
• ¿Podrías determinar la cantidad de kilómetros que avanza cada vehículo en función de los litros de bencina?
• ¿En qué factor se relacionan las variables
de cada vehículo?
• ¿Cómo empleas el 12 o el 30 en la relación de los kilómetros recorridos con
los litros de bencina empleados por cada
vehículo?
Respuestas esperadas
Página 65
Orientaciones Texto del Estudiante
Recuerde a sus estudiantes que en el plano cartesiano se representan
pares ordenados de la forma (x, y), donde x representa la variable independiente e y corresponde a la variable dependiente. De esta forma, no
es al azar la ubicación de las variables y, conociendo la ubicación de un
punto, es posible modelar la proporcionalidad directa representada en
el plano cartesiano. Haga hincapié en que la representación gráfica de
las proporciones directas siempre debe pasar por el origen y debe ser
una línea recta, en el caso de que sean variables continuas. Si se trata
de una variable discreta, la gráfica estará compuesta por los puntos que
correspondan, es decir, no se debe trazar la recta.
• Cuando se compra más de un mismo
artículo a un precio determinado
o cuando se quiere modificar los
ingredientes de una receta para más
o menos personas de las que
indica la receta.
Es importante aprenderla, porque
se utiliza en la vida cotidiana con
frecuencia y permite modelar
situaciones.
Orientaciones al docente
109
Activación de conocimientos y
experiencias previas
Elabore un cuadro resumen de la proporcionalidad directa. Indique en él su definición, la constante de proporcionalidad y
la gráfica. Luego, mencione que en otros
contextos ocurre lo contrario a una proporción directa, entonces: ¿cómo sería la definición, la constante de proporcionalidad
y la gráfica de estas nuevas proporciones?
Deje escritas en la pizarra las ideas de los
y las estudiantes para que, una vez avanzado este tema, puedan ver si estuvieron o
no en lo correcto. Indíqueles que esta nueva proporción se llama inversa y no indirecta, como suelen llamarla algunas personas.
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
Es importante destacar, en el procedimiento descrito en la actividad 1 de la guía 8
del BDA, el significado de la constante de
proporcionalidad. Además, para que las
variables estén relacionadas en forma inversa, una debe aumentar y la otra debe
disminuir en la misma constante.
Para fomentar el análisis y razonamiento en la actividad 3 de la guía 8 del BDA,
formule preguntas como las siguientes:
¿es posible obtener otros rectángulos de
200 m2 de terreno?, ¿cuáles?, ¿sucederá lo
mismo con los perímetros de los terrenos?,
¿por qué?
Errores frecuentes
Con frecuencia, el estudiantado tiene dificultades a la hora de resolver problemas
con proporcionalidad inversa, ya que, a
menos que se señale expresamente que
lo es, no reflexionan sobre la relación entre las variables propuestas y, al momento
de realizar el ejercicio, lo desarrollan igual
que si se tratara de una proporción directa.
Para ello, y como paso en la resolución de
problemas con proporcionalidad, instaure
en sus estudiantes la necesidad de enten-
110
Unidad 2 • Álgebra y funciones
der, en primer lugar, la relación que se da entre las variables estudiadas,
para luego proceder a resolver. Cuando los y las estudiantes aplican la
famosa regla de tres, tienen dificultades en este sentido, a menos que,
al plantear las razones entre las que se quiere aplicar este procedimiento, una de ellas se invierta o se aplique de otra forma.
Manejo de recursos
Ingrese el código GA23M7BP112A en www.auladigital.cl y encontrará un
video en el que se muestra, con un lenguaje cercano a los estudiantes,
en qué consiste la proporcionalidad inversa utilizando ejemplos sencillos, tablas y gráfica.
Preguntas motivadoras
Para fomentar el razonamiento, formule
preguntas como las siguientes:
• ¿Cómo determinan la constante de proporcionalidad en una proporción directa?
• ¿Cómo sería en la proporcionalidad inversa?, ¿podrías corroborar lo que dices
con la tabla corregida del problema?
• ¿Podrías indicar cuánto tiempo demorarían 15 máquinas?, ¿y 25?
Respuestas esperadas
Página 66
• Caminar más rápido implica demorar
menos tiempo en recorrer una misma
distancia. No es una situación de
proporcionalidad directa.
• Un error sirve para aprender porque
se detecta inmediatamente dónde
está la falla o qué concepto se tiene
mal aprendido o se está aplicando
en forma equivocada. Así, se evita
cometer el mismo error en otras
situaciones similares.
Página 67
Orientaciones Texto del Estudiante
Procure que los y las estudiantes puedan diferenciar entre una proporción directa, una inversa y situaciones que no son proporcionales. Es
imprescindible que entiendan que no basta con que una variable aumente y otra disminuya para afirmar que estas forman una proporción
inversa, sino que el aumento y la disminución deben producirse en la
misma razón. Por ejemplo, si una variable aumenta en tres unidades y
otra disminuye en tres unidades, no significa necesariamente que estas
serán proporcionalmente inversas.
• No, porque a medida que se aumenta
la cantidad de máquinas, el tiempo
de trabajo disminuye y la constante
de proporcionalidad de la proporción
directa no se cumple.
• Una es el inverso multiplicativo
de la otra.
• Porque una variable de la
proporcionalidad inversa nunca será
igual a 0, pero sí puede tomar valores
cercanos a él.
Muéstreles con una tabla como la siguiente:
x
6
4
2
y
3
5
7
Las variables anteriores no son inversamente proporcionales, ya que su
producto no es constante.
Orientaciones al docente
111
Errores frecuentes
Se suele identificar que un gráfico con una
curva descendente siempre representa una
proporcionalidad inversa.
Enfatice en la necesidad de corroborar dicha apreciación tomando dos puntos del
gráfico y comprobando que, al menos, estos tengan el mismo producto entre sí.
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
Para guiar la construcción del gráfico en la
actividad 4 de la guía 8 del BDA, formule
las siguientes preguntas: ¿qué datos colocas en el eje x?, ¿qué datos colocas en el
eje y?, ¿son suficientes para obtener la gráfica de la proporcionalidad inversa?, ¿cuál
es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿cuál crees tú que es la expresión
matemática que permite relacionar las variables del problema?
Invite a sus estudiantes a formularse las siguientes preguntas antes de comenzar la
actividad 6 de la guía 8 del BDA:
1. ¿Qué se espera que haga?
2. ¿Cuál es el resultado final que debo lograr en esta actividad?
3. ¿Qué estrategia puedo formular para obtener buenos resultados en esta actividad?
Manejo de recursos
Un aspecto adicional del aprendizaje cinestésico, digno de mención, es el papel que
el movimiento desempeña en el pensamiento de ciertas personas. Para algunas,
es muy difícil pensar mientras están quietas: necesitan caminar o moverse como
sea. Las personas adultas tenemos generalmente esta libertad, pero rara vez se da
esta posibilidad a los y las estudiantes.
Desde luego, no es posible tener un aula
llena de estudiantes que caminen de un
lado a otro; sin embargo, así como es importante facilitar un rincón tranquilo para
112
Unidad 2 • Álgebra y funciones
quienes se distraen fácilmente con los estímulos visuales o auditivos,
también lo es preparar algo para quienes trabajan mejor si se les permite moverse. Masticar chicle y golpear la mesa con el lápiz son a veces señales de que tratan de encontrar un canal de salida para sus
necesidades de movimiento. Si bien estas situaciones pueden resultar
extremadamente molestas para el profesorado, en ciertos estudiantes
representan un esfuerzo para enfrentarse a unas demandas que difieren de las necesidades de sus cuerpos. Con un o una estudiante
cuyo nivel de energía le impida sentarse quieto o quieta durante cierto
tiempo, es poco realista esperar de él o ella una inmovilidad total. Por el
contrario, docente y estudiante debieran tratar de encontrar una forma
y un nivel de movimiento apto para la comodidad de uno y de otro.
Ambientes de aprendizaje
Complemente el aprendizaje de los estudiantes con la siguiente actividad de conexión con Física. En termodinámica, la ley de
Boyle señala que para un gas a temperatura constante se verifica la siguiente relación
entre la presión (P) y el volumen (V): “al disminuir el volumen de un cuerpo, aumenta
la presión; y al aumentar el volumen de un
cuerpo, disminuye la presión”.
• Modela la expresión.
• ¿Cómo se calcula la constante?
Respuestas esperadas
Página 69
• Ensayo y error, buscar semejanzas
con otros problemas, considerar
casos particulares, hacer un dibujo o
esquema. Prefiero usar ensayo y error,
porque voy probando con ejemplos
cercanos a lo que yo conozco.
Orientaciones Texto del Estudiante
Muestre a sus estudiantes, con variados ejemplos, que la representación
gráfica de la proporcionalidad inversa es una hipérbola y no una línea
recta descendente, como suelen pensar. Por otro lado, hágales ver que,
para graficar una proporcionalidad directa, basta con dos puntos para
trazar la recta; en cambio, para graficar una proporcionalidad inversa,
son necesarios más de dos puntos para darle forma a la hipérbola.
Utilice el recurso digital complementario para construir gráficos de
proporcionalidad directa e inversa interpretando la información que
ellos entregan.
Orientaciones Banco Digital de Actividades (BDA)
Una vez revisados los contenidos de la p. 69 y terminada la guía 8 del
BDA, proponga el Ticket de salida Proporcionalidad inversa que se encuentra en la p. 129 de esta Guía Didáctica.
Orientaciones al docente
113
Manejo de recursos
Conexión con arte. En el arte, la arquitectura y la música el uso de las proporciones
es sumamente importante para mantener la armonía. La sección áurea, por
ejemplo, es utilizada en todas estas áreas
para dar equilibrio a lo que vemos y escuchamos. Leonardo da Vinci es un buen
ejemplo para mostrar a los estudiantes
que las proporciones no solo son utilizadas en el mundo de las ciencias exactas,
como la física, sino también en esta área.
Ingrese el código GA23M7BP116A a
www.auladigital.cl y encontrará un documento acerca de las proporciones del
cuerpo humano de acuerdo con lo descubierto en el Hombre de Vitrubio.
Puede usar esta información para alguna
actividad complementaria.
Ingrese el código GA23M7BP116B en
www.auladigital.cl y encontrará una página en la que se explica la relación, con
semejanzas y diferencias, entre la proporcionalidad directa y la proporcionalidad
inversa. Luego, aparece una cantidad de
ejercicios para resolver. Por último, aparecen otros links relacionados con el estudio
de estas dos proporcionalidades.
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
Forme parejas para la actividad 2 de la
guía 9 del BDA. Es importante que los y las
estudiantes se coloquen cara a cara, pues
encuentran facilidades para interactuar de
forma verbal. Por ello, se trata de una disposición adecuada para dialogar, debatir,
realizar entrevistas, preguntar, entre otras
interacciones. Por su parte, los y las estudiantes que se colocan hombro con hombro encuentran facilidades para compartir
recursos y trabajar sobre los mismos materiales, por lo que se trata de una disposición adecuada para la tutoría entre iguales,
la realización conjunta de actividades y la
corrección de ejercicios.
114
Unidad 2 • Álgebra y funciones
Guíe el trabajo de la actividades propuestas en la guía 9 del BDA con
las siguientes preguntas: ¿qué datos te entregan?, ¿qué tipo de proporcionalidad hay entre las variables?, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?, ¿cómo determinas el dato que falta?, ¿qué estrategia estás
empleando?, ¿la puedes describir?, ¿por qué empleas esa estrategia
y no otra?
Orientaciones Banco Digital de Actividades (BDA)
Una vez revisados los contenidos de la p. 71 y terminada la guía 9 del
BDA, proponga el Ticket de salida Aplicaciones de proporcionalidad que
se encuentra en la p. 129 de esta Guía Didáctica. Además, en el BDA
aparece una evaluación intermedia de los contenidos trabajados en la
lección 4. Para evaluar los contenidos tratados en la unidad 2, aplique
las evaluaciones sumativas que están en las p. 130 a 137 de esta Guía
Didáctica y la evaluación sumativa del BDA.
Preguntas motivadoras
Para fomentar el razonamiento en la actividad 2 de la guía 9 del BDA, formule preguntas como las siguientes:
• ¿Qué significa la escala 1 : 70?
• ¿Cuáles son las variables involucradas?
• ¿Qué tipo de proporcionalidad hay entre
las variables?, ¿por qué?
Respuestas esperadas
Página 70
• La constante de proporcionalidad y
el comportamiento de las variables:
en la proporcionalidad directa, ambas
variables aumentan o disminuyen a la
vez en la misma proporción, mientras
que en la proporcionalidad inversa,
cuando una variable aumenta, la otra
disminuye en la misma proporción.
• Es más común la proporcionalidad
directa. / Es más común la
proporcionalidad inversa.
Orientaciones Texto del Estudiante
Las escalas son una de las aplicaciones de la proporcionalidad directa
con las que se puede evidenciar la importancia de dominar este conocimiento. Muestre a sus estudiantes algún mapa o plano de la ciudad y
solicite que uno de ellos mida con la regla la distancia entre dos lugares,
para luego calcular la distancia real a partir de la escala.
Si no cuenta con un mapa, puede utilizar algún atlas o pedirlo con
anticipación a sus estudiantes.
Orientaciones al docente
115
SÍNTESIS
Propósito: sintetizar el trabajo realizado
y los aprendizajes adquiridos durante la
unidad y reflejarlo en la construcción de
un mapa mental.
Activación de conocimientos y
experiencias previas
Realice una lluvia de ideas con respecto a
los contenidos vistos dentro de la Unidad y
sus usos en la vida cotidiana. Esto les permitirá recordar los temas trabajados para
realizar las actividades de estas páginas.
Manejo de recursos
Para potenciar al estudiantado que aprende mejor escuchando o viendo, sugiera
que formen parejas para revisar la síntesis
de la página 72 y 73 del Texto del Estudiante. En cada pareja formada, una persona debe leer lo aprendido y realizado en
la lección 4 a la otra; luego, esta segunda
persona explique con sus palabras lo leído
sin mirar el texto. En la síntesis de la lección
5, deben invertir los papeles.
Es importante que sus estudiantes
aprendan a planificar su tiempo para realizar sus tareas de manera efectiva. Para
ello, pídales que confeccionen una lista de
los pasos que deben realizar y que asignen
un tiempo para cada uno, de manera que
logren terminarlos. Pregúntenles:
• ¿A qué creen que deberían asignar más
tiempo?, ¿por qué?
• ¿En qué creen que se demorarán menos?
Orientaciones Banco Digital de
Actividades (BDA)
Invite a sus estudiantes a construir su
propio mapa mental con los contenidos
aprendidos en la Unidad. Encontrará una
aplicación para la creación de mapas mentales digitales en el BDA. El uso de esta
aplicación permitirá el desarrollo de los
siguientes Objetivos Transversales:
116
Unidad 2 • Álgebra y funciones
• Gestionar de manera activa el propio aprendizaje, utilizando sus capacidades de análisis, interpretación y síntesis para monitorear y evaluar
su logro.
• Utilizar TIC que resuelvan las necesidades de información, comunicación, expresión y creación dentro del entorno educativo y
social inmediato.
Preguntas motivadoras
Al finalizar la actividad de revisión propuesta, invite a sus estudiantes a preguntarse:
• ¿Qué actitud tuvieron mientras desarrollaban la actividad? ¿Cómo la mejorarían?
• ¿Mantuvieron su concentración durante
toda la actividad? Si la respuesta es no,
¿qué deberían haber hecho?
• ¿Qué podrían haber hecho para obtener
mejores resultados en las actividades que
resolvieron durante toda la Unidad?
Luego de la revisión de las páginas de
síntesis del Texto del estudiante, invite a sus estudiantes a formar un círculo
amplio en la sala de manera que todos
y todas puedan verse entre sí. Una vez
que hayan hecho silencio, formule las
siguientes preguntas:
• ¿Qué contenidos nuevos aprendieron
durante la Unidad?
• ¿Qué actividades les costó resolver más?
• ¿Qué actitudes deben mejorar para la
próxima Unidad?
• ¿Qué contenido les resultó más sencillo
de aprender?, ¿por qué?
Orientaciones Texto del Estudiante
• ¿Cómo explicarían el uso de la balanza y
el diagrama en la resolución de ecuaciones
lineales a sus padres?
Se recomienda realizar un resumen de la sección para que sus estudiantes puedan recurrir sin problemas a las estrategias aprendidas a lo
largo de las lecciones.
Un esquema o cuadro de síntesis de los conceptos y procedimientos
más importantes ayudaría a sus estudiantes en su estudio. El uso de
una tabla como estrategia de resolución de problemas permite identificar de mejor manera las variables que aparecen en el problema y
establecer las relaciones entre ellas. De esta forma, sus estudiantes no
solo consideran los datos necesarios para resolver el enunciado, sino
también entienden la dependencia entre los valores y pueden plantear
o proponer el desarrollo que los lleve al resultado correcto.
Orientaciones al docente
117
Índice de Recursos BDA
A continuación, se presentan todos los recursos disponibles en el Banco digital de actividades
(BDA) de la Unidad 2. Para facilitar su búsqueda se entregan agrupados por tipo de recurso:
guías, proyectos y cuidado del medio ambiente, evaluaciones, audiovisuales o solucionario.
Tipo de recurso
Guía
118
índice recursos bda
Nombre del recurso
Vínculo con TE o GDD
01_Lenguaje_algebraico
02_Expresiones_algebraicas
03_Valorizacion_expresiones_algebraicas
04_Reduccion_expresiones_algebraicas
p.53
p.55
p.56
p.57
05_Razones
p.59
06_Proporciones
p.61
07_Variables_directamente_proporcionales
p.65
08_Variables_inversamente_proporcional
p.69
09_Aplicaciones_de_proporcionalidad
p.71
Tipo de recurso
Proyecto y
medioambiente*
Nombre del recurso
Vínculo con TE o GDD
01_Proyecto_interdisciplinar_U2
02_Proyecto_matematico_U2
03_Matematica_medioambiente_U2
*Pueden ser trabajados en
cualquier parte de la unidad.
Ver orientaciones en el anexo
del TOMO I de la GDD.
Evaluación
Audiovisual
01_Evaluacion_diagnostica_U2
p.51
02_Evaluacion_formativa_L4
p.57
03_Evaluacion_formativa_L5
p.71
04_Evaluacion_sumativa_U2
p.73
App01_Mapas_Mentales
p.72
U2_Video01_Bosques
p.51
U2_Video02_Apollo
Solucionario**
BDA Proyecto 1
**Se encuentran en la carpeta respectiva archivos
con el nombre del recurso finalizados con "_sol".
Índice recursos bda
119
Evaluación Diagnóstica 1
Unidad 2
Material imprimible
Nombre:
Tiempo estimado: 30’
Nota:
Puntaje:
Fecha:
/
/
Responde cada pregunta marcando la alternativa correcta.
Secuencias.
1. Dada la secuencia numérica 2, 7, 12, 17, 22, ... ¿Cuál es el valor
del octavo término?
A. 27
B. 32
C. 37
D. 42
2. Dada la secuencia numérica 62, 50, 38, 26, 14, ... ¿Cuál es el valor del
siguiente término?
A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
3. Observa la siguiente secuencia de figuras:
Si la secuencia continúa con el mismo patrón de formación, ¿cuál de las
siguientes afirmaciones es FALSA?
A. En la posición 11 hay un rombo.
B. Hasta la posición 21 hay 10 flechas en total.
C. En la posición 63 hay una estrella.
D. La secuencia numérica que se forma considerando las posiciones del rombo
es 3, 7, 11, 15,…
Ecuaciones e inecuaciones.
4. ¿Cuál es el valor de en la ecuación x + 3 = 12?
A. 3
B. 6
C. 9
D. 10
5. Diego tiene $15 500 ahorrados para comprar un artículo que cuesta $45 990.
¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa el dinero que le falta a Diego?
A. x – 15 500 = 45 990
B. x – 45 500 = 15 500
120
Unidad 2 • Álgebra y funciones
C. x + 45 990 = 15 500
D. x + 15 500 = 45 990
Material imprimible
6. Un creador de contenido tiene 18 500 suscriptores en una Red Social.
Si desea obtener la placa de plata, la cual se gana con 100 000 o más
suscriptores, ¿cuál de las siguientes inecuaciones indica los suscriptores (x)
que le faltan para lograrlo?
A. x ≥ 100 000
B. x + 18 500 ≥ 100 000
C. x + 81 500 ≥ 100 000
D. x + 100 000 ≥ 100 000
7. ¿Cuáles son los valores de x que satisfacen la inecuación x + 2 < 7?
A. Los números mayores o iguales que 5.
B. Los números menores o iguales que 5.
C. Los números mayores que 5.
D. Los números menores que 5.
8. María es repostera y trabaja en casa. Esta semana tiene 36 pedidos entre
tortas y kuchenes. Si ya ha entregado 17 pedidos, ¿cuántos le faltan por hacer
y entregar?
A. 19
B. 21
C. 43
D. 53
9. ¿Cuál es la solución de la ecuación 2x + 6 = 20?
A. 13
B. 7
C. 5
D. 13
10. ¿Cuál es la solución de la ecuación 3x – 2 = 14 – x?
A. –4
B. –3
C. 3
D. 4
Material imprimible
Unidad 2 • Álgebra y funciones
121
Evaluación Diagnóstica 2
Unidad 2
Tiempo estimado: 30’
Nota:
Nombre:
Puntaje:
Fecha:
/
/
Responde cada pregunta marcando la alternativa correcta.
Secuencias.
1. Dada la secuencia numérica 1, 2, 4, 8, 16, ... ¿Cuál es el valor del
séptimo término?
A. 32
C. 128
B. 64
D. 256
2. Dada la secuencia numérica 729, 243, 81, 27, ... ¿Cuál es el valor del
siguiente término?
A. 1
C. 9
B. 3
D. 12
3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta si se continúa con el patrón de
formación de la secuencia?
1
3
2
3
1
8
5
5
2
A. a es mayor que b.
B. a es menor que d.
13
8
a
3
c
b
d
C. El valor de c es igual a 18.
D. El valor de b es igual a 12.
Ecuaciones e inecuaciones.
4. La balanza de la imagen está en equilibrio. ¿Cuál de las siguientes relaciones
es correcta?
A. Un triángulo equivale a dos cuadrados.
B. Un círculo equivale a medio triángulo.
C. Un cuadrado equivale a dos círculos.
D. Un círculo equivale a dos cuadrados.
122
Unidad 2 • Álgebra y funciones
Material imprimible
5. Sofía quiere comprar un juego para su consola. Ha ahorrado $17 000. ¿Cuánto
más tendrá que ahorrar si el juego que desea cuesta $35 000?
¿Qué ecuación representa esta situación?
A. 17 000 + x = 35 000
B. 35 000 + x = 17 000
C. 17 000 + 35 000 = x
D. 17 000 – 35 000 = x
6. Para un partido de fútbol, se recomienda un máximo de 30 000 espectadores.
Si hay 1 000 personas que asistirán por estar ligadas a los clubs, ¿cuál de las
siguientes inecuaciones permite determinar la cantidad de entradas que se
pueden vender?
A. x ≤ 30 000
B. x – 1 000 ≤ 30 000
C. 1 000 + x ≤ 30 000
D. 30 000 – x ≤ 0
7. ¿Cuáles son los valores de x que satisfacen la inecuación x – 3 > –5?
A. Los números mayores o iguales a –8.
B. Los números mayores o iguales a –2.
C. Los números mayores a –8.
D. Los números mayores a –2.
8. ¿Cuáles son los valores de x que satisfacen la inecuación x – 12 ≤ 3?
A. Los números mayores o iguales a –15.
B. Los números menores o iguales a 15.
C. Los números mayores a –15.
D. Los números menores a 15.
9. Benjamín está armando una figura de 254 piezas. Si aún le quedan 48 piezas por
colocar, ¿cuántas ya ha utilizado en el armado?
A. 48
B. 206
C. 214
D. 302
10. ¿Cuál es la solución de la ecuación 3x + 7 = x – 9?
A. –8
B. –1
Material imprimible
C. 1
D. 8
Unidad 2 • Álgebra y funciones
123
Evaluación Formativa
Lenguaje algebraico
1. Sea n un número entero cualquiera, indica si cada una de las siguientes
expresiones representa un número par o impar. En caso de que pueda ser ambos,
asigna la palabra “indefinido”.
Expresión algebraica
/
/
Ticket de salida
Unidad 2
Fecha:
2n
Clasificación
2n + 1
n·n
n·n+n
5n
Curso:
Nombre:
(2n + 1) (2n – 1)
2. ¿Siempre es posible traducir al lenguaje algebraico cualquier expresión en lenguaje
natural? Explica.
Fecha:
/
/
Ticket de salida
Reducción y valorización de expresiones algebraicas
1. En la imagen se muestra un rectángulo con las
respectivas medidas de sus lados.
3x + 2 cm
x + 1 cm
a. ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro del rectángulo?
b. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo si x toma el valor 2?
124
2. ¿En qué otro contexto podemos encontrar expresiones algebraicas que podamos
reducir y valorizar?
Curso:
Curso
Nombre:
c. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo si x toma el valor 5?
Unidad 2 • Álgebra y funciones
Material imprimible
Evaluación Formativa
Ticket de salida
Unidad 2
Razones y proporciones
2. En un salón hay 20 personas adultas y 16 adolescentes. ¿Qué tendría que ocurrir
para que la razón entre adolescentes y personas adultas sea de 2 : 3?
Fecha:
/
/
1. ¿Cuál es la diferencia entre razón y proporción?
3. Determina el valor de x en las siguientes proporciones
​​  10 ​​
a. __
​​  3x ​​ = ___
20
4 ​​ = ​​ ___
x  ​​
b. ​​ __
5 35
Curso:
Nombre:
4. Inventa alguna frase de publicidad de un producto en la que se utilice una razón.
Ticket de salida
Proporcionalidad directa
1.
Un programa computacional puede escribir 140 palabras en 2 minutos. ¿Cuántas
palabras puede escribir en 4,5 minutos?
2. En una fábrica, por cada 350 pernos fabricados hay 3 defectuosos. ¿Cuántos pernos
saldrán defectuosos de 2 100 fabricados?
3. ¿Cómo explicas tu estrategia de solución?
Curso:
Nombre:
Fecha:
/
/
Resuelve los siguientes problemas.
Material imprimible
Unidad 2 • Álgebra y funciones
125
Evaluación Formativa
Ticket de salida
Unidad 2
Proporcionalidad inversa
1. Hay 8 fotocopiadoras que tardan 5 horas en imprimir una documentación. Si
2 fotocopiadoras dejan de funcionar, ¿cuánto se demoran las que quedan en
imprimir la documentación?
Fecha:
/
/
Resuelve los siguientes problemas.
3. ¿Cómo explicas tu estrategia de solución?
Curso:
Nombre:
2. Para preparar un banquete, 6 personas se demoran 3 horas. ¿Cuánto tardarán con
3 personas más trabajando con la misma eficiencia?
Ticket de salida
Aplicaciones de proporcionalidad
1. Hay 4 obreros que trabajando 6 horas diarias se demorarían 15 días en hacer un
trabajo. ¿Cuántos obreros, con la misma eficiencia, se deberían contratar para
realizar este trabajo en 5 días y no superando las 8 horas diarias de trabajo?
Fecha:
/
/
Resuelve la siguiente situación.
126
Curso:
Curso
Nombre:
2. ¿Se te presenta alguna dificultad al resolver este tipo de situaciones? ¿Qué haces
para superarla?
Unidad 2 • Álgebra y funciones
Material imprimible
Evaluación Sumativa 1
Unidad 2
Nombre:
Nota:
Puntaje:
Tiempo estimado: 60’
Fecha:
/
/
Lección 4 Lenguaje algebraico
Responde cada pregunta marcando la alternativa correcta.
1. Al cuádruple del sucesor de n se le resta el antecesor del mismo. ¿Cuál de las
siguientes expresiones representa el resultado de la operación?
A. 4n + 5
B. 3n + 5
C. 3n + 4
D. 3n + 3
2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la adición entre tres números pares
consecutivos es falsa?
A. La suma es múltiplo de 2.
B. La suma es múltiplo de 3.
C. La suma es múltiplo de 6.
D. La suma es múltiplo de 12.
3. ¿Cuál de las siguientes expresiones es el resultado de reducir 3x – 2(5 – 2x) + 6?
A. 7x + 4
B. 7x – 4
C. –x + 4
D. –x – 4
4. Para un triángulo equilátero de lado 2x – 3 cm, ¿cuál de los siguientes valores de
x no puede ser considerado para el contexto?
A. x = 1
B. x = 2
C. x = 3
D. x = 4
5. ¿Cuál es el valor de xy(x + y)(x – y) con x = 3 e y = 2?
A. 36
B. 32
C. 30
D. –30
6. La suma de tres números impares consecutivos es igual a 93. ¿Cuál es el valor
del número impar mayor?
A. 25
B. 29
Material imprimible
C. 33
D. 37
Unidad 2 • Álgebra y funciones
127
Evaluación Sumativa x
7. El lado de un cuadrado mide x + 2 cm y su perímetro mide 56 cm.
¿Cuál es el valor de x?
A. 16
B. 14
C. 13
D. 12
8. El doble de la edad que tendrá Lucía en seis años más es igual a 36 años.
¿Qué edad tuvo Lucía hace 2 años atrás?
A. 14 años.
B. 12 años.
C. 10 años.
D. 8 años.
9. Si a = b + c y b = 2a, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A. b = 2c
B. a = –c
C. a – c = 0
D. 2a + c = 0
Lee con atención y luego responde las preguntas asociadas.
El juego consiste en llegar a la meta. Se inicia
en la partida y solo se realizan movimientos
horizontales o verticales, sin pasar dos veces por
una misma casilla. Los valores de las casillas
por las cuales vas pasando se deben ir sumando,
incluidos los de la partida y la meta.
Partida
2x + 1
1–x
3–x
x–4
x+2
2x + 5
x–1
x–6
Meta
x+3
10. ¿Cuál es la suma de los valores de las casillas para los movimientos: →, ↓, ↓ y →?
11. ¿Cuál es la suma de los valores de las casillas para los movimientos:
↓, →, ↑, →, ↓ y ↓?
128
Unidad 2 • Álgebra y funciones
Material imprimible
Lección 5 Relaciones proporcionales
Responde cada pregunta marcando la alternativa correcta.
12. ¿En cuál de los siguientes esquemas la cantidad de círculos blancos y de círculos
negros está en la razón 2 : 3?
Esquema 1
A. Esquema 1.
B. Esquema 2.
Esquema 2
Esquema 3
Esquema 4
C. Esquema 3.
D. Esquema 4.
13. Si a 8 de cada 10 perros les gusta comer zanahoria, ¿a cuántos perros les gusta
comer zanahoria dentro de un grupo de 35 perros?
A. 24 perros.
B. 25 perros.
C. 26 perros.
D. 28 perros.
14. ¿Cuál de las siguientes razones está en proporción con ___
​​ 36 ​​?
15
18
72
___
___
C. ​​   ​​
A. ​​   ​​
45
7
21 ​​
B. ​​ ___
D. ___
​​  12 ​​
5
12
15. Carla lee 2 páginas de un libro por cada 6 minutos. Si mantiene ese ritmo de
lectura, ¿cuántos minutos le tomará leer 36 páginas?
A. 108 minutos.
B. 96 minutos.
C. 40 minutos.
D. 12 minutos.
Material imprimible
Unidad 2 • Álgebra y funciones
129
Evaluación Sumativa 1
16. Los valores x e y son directamente proporcionales. ¿Cuál es el valor de a + b?
x
y
2
8
a
20
7
b
C. 28
A. 35
B. 33
D. 25
17. Dos personas pueden construir una cabaña en 90 días. ¿Cuántos días se
demorarán en construir la misma cabaña cinco personas trabajando en las
mismas condiciones?
A. 225 días.
C. 36 días.
B. 38 días.
D. 32 días.
18. Los valores x e y son inversamente proporcionales. ¿Cuál es el valor de a · b?
x
y
12
30
24
A. 240
B. 360
a
b
10
C. 540
D. 960
Resuelve.
En una panadería el kilo de pan cuesta $1 100.
19. ¿Cuánto cuestan 3,5 kilos de pan? Explica tu procedimiento.
20. Realiza una tabla de doble entrada en la que se relacione la cantidad de kilos de
pan con su respectivo valor. Luego, confecciona la gráfica asociada.
130
Unidad 2 • Álgebra y funciones
Material imprimible
Evaluación Sumativa 2
Unidad 2
Nombre:
Tiempo estimado: 60’
Nota:
Puntaje:
Fecha:
/
/
Lección 4 Lenguaje algebraico
Responde cada pregunta marcando la alternativa correcta.
1. ¿Cuál de las siguientes expresiones es el resultado de reducir
​​4x​​  2​​ – x(3x + 2) – (6x + 2)?
A. 7​​x​​  2​​ – 8x + 2
B. ​​x​​  2​​ – 4x – 2
C. ​​x​​  2​​ – 8x + 2
D. ​​x​​  2​​ – 8x – 2
2. ¿Cuál es el valor de ​​m​​  2​​n – ​​n​​  2​​m – 2m + 4n con m = –1 y n = 4?
A. 38
B. 36
C. 22
D. 20
3. Si n globos cuestan x pesos, ¿cuánto cuesta un globo?
A. x : n
B. n : x
C. n – x
D. x – n
4. Mi edad es el doble de la edad de mi hermana más 2 años. Si representamos con
x mi edad y con y la edad de mi hermana, ¿qué expresión resulta?
A. x = 2(x + 2)
B. x = 2y + 2
C. x = 2(y + 2)
D. y = 2x + 2
5. Los ángulos α y β son complementarios (suman 90º). Si α = 5x – 20 y
β = 2x – 30, ¿cuál es el valor de α – β?
A. 70
B. 50
C. 30
D. 20
6. Las medidas del largo y ancho de un rectángulo son (2x + 3) cm y (x – 1) cm,
respectivamente. Si su perímetro mide 58 cm, ¿cuál es el valor de x?
A. 12
B. 10
C. 9
D. 8
7. Tamara decide ahorrar $5 000 por semana para comprar una consola. Si ya
tiene ahorrados $350 000, ¿cuántas semanas le tomarán ahorrar hasta tener
$590 000?
A. 52 semanas.
B. 48 semanas.
Material imprimible
C. 46 semanas.
D. 44 semanas.
Unidad 2 • Álgebra y funciones
131
Evaluación Sumativa x
8. Se analizan las estadísticas de dos canales de una Red Social musical. El canal A
cuenta con 50 000 suscriptores y 1 000 más diariamente. El canal B cuenta con
20 000 suscriptores y consigue 1 500 más diariamente. ¿En qué momento los dos
canales tendrán la misma cantidad de suscriptores?
A. En el día 80.
B. En el día 70.
C. En el día 60.
D. No existe un día en que las cantidades sean iguales.
9. El trayecto total de un viaje es (16x + 20) km. Si ya se han recorrido (7x + 5) km y
faltan 60 km por recorrer, ¿cuántos km tiene el trayecto completo?
A. 120 km.
B. 100 km.
C. 90 km.
D. 80 km.
Lee con atención y luego responde.
El Profesor Chiflado inventó una máquina que transforma cada expresión que
ingresa, a través de diferentes pasos, en una expresión de salida. El proceso de
transformación es el siguiente: la expresión de entrada se duplica, luego se le
suma 8 – x y, por último, se le resta una cantidad y. Luego de varios intentos, el
profesor configuró la máquina para que la expresión de salida siempre sea 2x – 1.
Considerando esta última modificación, ¿qué valor, en función de x, debe tener y
para las siguientes expresiones de entrada?
10. Expresión de entrada: 3x – 1.
11. Expresión de entrada: 2x – 5.
132
Unidad 2 • Álgebra y funciones
Material imprimible
Lección 5 Relaciones proporcionales
Responde cada pregunta marcando la alternativa correcta.
x  ​​?
​​ 16 ​​ = ​​ ___
12. ¿Cuál es el valor de x en la proporción ___
12 18
A. 32
C. 24
B. 28
D. 20
13. Entre tres hermanos, Javiera, Patricio y Sergio, se repartirán $300 000 según la
razón 2 : 3 : 5, respectivamente. ¿Cuánto dinero recibe Patricio?
A. $150 000
B. $120 000
C. $100 000
D. $90 000
14. Se quiere preparar un jugo de manzana-naranja y las razones de las frutas están
dadas por la siguiente representación:
¿Cuántas naranjas se necesitan si en total se usan 45 frutas?
A. 11
B. 24
C. 30
D. 36
15. Javier hace clases de guitarra y cobra $39 000 por 6 horas mensuales. Josefa
quiere tomar clases con él, pero necesita 8 horas mensuales, por lo tanto,
acordaron que el pago sería proporcional a lo que cobra Javier. ¿Cuánto deberá
pagar Josefa mensualmente por las 8 horas de clases?
A. $29 250
B. $41 000
C. $49 000
D. $52 000
16. Las variables x e y son inversamente proporcionales. ¿Cuál de las siguientes
afirmaciones es correcta?
A. Si x se duplica, y también lo hace.
B. Si x se triplica, y se reduce a la tercera parte.
C. Si x se cuadruplica, y se duplica.
D. Si x se quintuplica, y toma un valor 10 veces mayor.
Material imprimible
Unidad 2 • Álgebra y funciones
133
Evaluación Sumativa 2
17. Tres mangueras demoran 8 horas en llenar una piscina. ¿Cuánto tiempo
demorarán en llenar la misma piscina 4 mangueras iguales a las anteriores?
A. 7 horas.
C. 6 horas.
B. 6,5 horas.
D. 5,5 horas.
18. Los valores de x e y son inversamente proporcionales, ¿cuál de las siguientes
afirmaciones es correcta respecto a la información entregada en la tabla?
x
y
A. ac = 210
B. ab = 210
10
21
a
b
c
d
C. bd = 210
D. ad = bc
Lee con atención y luego responde las preguntas asociadas.
El área de un rectángulo de lados x e y es 240 ​cm​​  2​​.
19. Si x toma el valor 10 cm, ¿cuál es el valor de y?
20. Confecciona el gráfico que asocia la medida del lado x con la medida del lado y,
de manera que siempre se mantenga la misma área del rectángulo.
134
Unidad 2 • Álgebra y funciones
Material imprimible
Solucionario de evaluaciones complementarias
Evaluación diagnóstica 1
Evaluaciones formativas
1. C
Ticket de salida:
Lenguaje algebraico
2. B
3. C
1. Respuestas columna derecha, en orden respectivo
de las filas:
4. C
• Par
5. D
• Impar
6. B
• Indefinido
7. D
• Par
• Indefinido
8. A
9. B
10. D
Evaluación diagnóstica 2
1. B
2. C
3. C
• Impar
2. Respuesta variada, por ejemplo: no siempre se
puede traducir al lenguaje algebraico cualquier
expresión en lenguaje natural tal cual se dice o escucha, a veces, es necesario modificar la expresión
en lenguaje natural para expresarla con símbolos
matemáticos.
Ticket de salida:
Reducción y valorización de expresiones
algebraicas
4. D
5. A
1.
6. C
a. 8x + 6 cm
7. D
b. 22 cm
8. B
9. B
c. 46 cm
2. Respuesta variada, por ejemplo: en las ciencias
naturales, en física y química.
10. A
Unidad 2 • Álgebra y funciones
135
Ticket de salida:
Razones y proporciones
Ticket de salida:
Aplicaciones de proporcionalidad
1. Razón es la comparación por cociente de dos magnitudes
distintas y una proporción es la igualdad entre dos o más
razones.
1. Se necesita contratar 9 obreros.
2. Respuesta variada, por ejemplo: que salgan del salón 6
adolescentes y 5 personas adultas.
2. Respuesta variada, por ejemplo: sí, se presenta la dificultad
de que son más de dos magnitudes las que se comparan,
por lo tanto, debo ser más ordenado/a para escribir los datos y realizar más ejercicios de este tipo.
3.
a. x = 6
b. x = 28
4. Respuesta variada, por ejemplo: “8 de cada 10 gatos prefieren leche”.
Evaluación sumativa 1
Lección 4: Lenguaje algebraico
1. B
Ticket de salida:
Proporcionalidad directa
2. D
3. B
4. A
1. El programa puede escribir 315 palabras en 4,5 minutos.
5. C
2. Saldrán 18 pernos defectuosos.
6. C
3. Respuesta variada, por ejemplo: la división entre los datos
dados debe ser la misma que la división entre el dato de la
pregunta y lo que necesito encontrar.
7. D
Ticket de salida:
Proporcionalidad inversa
1. Las fotocopiadoras que quedan demoran 6,7 horas, aproximadamente, en imprimir la misma documentación.
2. Con 3 personas más demorarán 2 horas en preparar el
banquete.
3. Respuesta variada, por ejemplo: el producto entre los datos
dados debe ser el mismo que el producto entre el dato de
la pregunta y lo que necesito encontrar.
8. C
9. B
10. 4x + 1
11. 5x + 11
Lección 5:
Relaciones proporcionales
12. B
13. D
14. D
15. A
16. B
17. C
136
Unidad 2 • Álgebra y funciones
18. B
19. Los 3,5 kg de pan cuestan $3 850.
20.
Lección 5:
Relaciones proporcionales
12. C
13. D
14. D
15. D
16. B
17. C
18. A
19. El valor y toma el valor 24 cm.
20.
Evaluación sumativa 2
Lección 4:
Lenguaje algebraico
1. D
2. A
3. B
4. B
5. A
6. C
7. B
8. C
9. B
10. y = 3x + 7
11. y = x – 1
Unidad 2 • Álgebra y funciones
137
Anexos
Matemática y medioambiente U1
El tema a desarrollar en Matemática y medioambiente de la Unidad 1 “Impacto ambiental de la
industria de la moda Fast Fashion” es el efecto invernadero y se trabaja el OA 4 del Eje Números
de 7.° básico, en el que sus estudiantes deben:
Mostrar que comprenden el concepto de porcentaje:
• Representándolo de manera pictórica.
• Calculando de varias maneras.
• Aplicándolo a situaciones sencillas.
Recuerde a sus estudiantes que un slogan es una frase corta y fácil de recordar, que resalta lo
que hace una empresa o negocio, hace énfasis en un valor o característica, o aclara la misión
de una marca. Para crear un buen slogan, tenga presente las siguientes características: que sea
breve, llamativo, claro, positivo, persuasivo, contextual, emocional, inspirador, original y creativo.
Para más detalle de estas características, ingrese el código GA23M7BP146A en www.auladigital.cl.
Proyecto matemático U1
El proyecto matemático de la Unidad 1 “Cerramos las calles para hacer deporte” trabaja los
siguientes Objetivos de Aprendizaje del Eje Números de 6.° básico:
OA 3. Demostrar que comprenden el concepto de razón de manera concreta, pictórica y simbólica,
en forma manual y/o usando software educativo.
OA 8. Resolver problemas rutinarios y no rutinarios que involucren adiciones y sustracciones de
fracciones propias, impropias, números mixtos o decimales hasta la milésima.
Además, trabaja el OA 24 del Eje Datos y probabilidades de 6° básico, en el que sus estudiantes deben:
Leer e interpretar gráficos de barra doble y circulares y comunicar sus conclusiones.
Por último, en el Eje Números de 7.° básico, se trabaja el OA 4, que manifiesta que sus estudiantes
deben:
Mostrar que comprenden el concepto de porcentaje:
• Representándolo de manera pictórica.
• Calculando de varias maneras.
• Aplicándolo a situaciones sencillas.
También, se intenciona el trabajo de las siguientes habilidades del S. XXI:
• Creatividad.
• Colaboración.
• Responsabilidad personal y social.
Converse con sus estudiantes que existen algunos aspectos que suelen garantizar el éxito en
su campaña de difusión. Estos son: planificación de contenidos y fases que tendrá la campaña;
comunicación de las distintas fases, hacer recordatorios y dinamizar la comunicación en diferentes
canales; personalizar la promoción ofreciendo contenido la que diferencie de las otras campañas
y dar visibilidad a la campaña.
138
Anexos
Proyecto interdisciplinario U1
El Proyecto interdisciplinario de la Unidad 1 “Desastres naturales en Chile” trabaja los siguientes
Objetivos de Aprendizaje del Eje Números de 7.° básico:
OA 1. Mostrar que comprenden la adición y la sustracción de números enteros:
• Representando los números enteros en la recta numérica.
• Representándolas de manera concreta, pictórica y simbólica.
• Dándole significado a los símbolos + y – según el contexto (por ejemplo: un movimiento en
una dirección seguido de un movimiento equivalente en la posición opuesta no representa
ningún cambio de posición).
• Resolviendo problemas en contextos cotidianos.
OA 3. Resolver problemas que involucren la multiplicación y la división de fracciones y de
decimales positivos de manera concreta, pictórica y simbólica (de forma manual y/o con software
educativo).
Por otro lado, el proyecto se relaciona con los siguientes Objetivos de Aprendizaje de Historia,
Geografía y Ciencias Sociales de 6.° básico:
OA 10. Identificar elementos constitutivos del territorio nacional considerando la localización de
Chile en el mundo y su carácter tricontinental.
OA 14. Explicar cómo han influido los desastres naturales en el desarrollo de Chile durante
su historia reciente, dando ejemplos de nivel nacional y regional (sismos, volcanismo, sequía,
inundaciones y derrumbes, entre otros).
A su vez, se trabaja el OA8 del Eje Números y operaciones de 6.° básico:
Resolver problemas rutinarios y no rutinarios que involucren adiciones y sustracciones de
fracciones propias, impropias, números mixtos o decimales hasta la milésima.
Por último, se intenciona el trabajo de las siguientes habilidades del S. XXI:
• Creatividad.
• Colaboración.
• Comunicación.
• Uso de la información.
• Responsabilidad personal y social.
Converse con sus estudiantes de la importancia que tiene hacer un buen folleto informativo y
educativo. Para esto, considere lo siguiente: colocar un título general que sea lo más llamativo
posible; incorporar subtítulos internos que estén ad hoc con el tema; incorporar alguna
imagen ara reforzar el mensaje; el texto que se incluya debe ser de calidad, resumido y legible,
presentando la información en secciones para facilitar la lectura y hacerla más entendible, con un
lenguaje adecuado al público al que va dirigido; y utilizar un slogan o frase final que cierra toda
la información.
Anexos
139
Matemática y medioambiente U1
El tema a desarrollar en Matemática y medioambiente de la Unidad 2 “Contaminación ganadera”
es el efecto invernadero y se trabaja el OA 8 del Eje Álgebra y funciones de 7.° básico, en el que
el estudiantado debe:
Mostrar que comprenden las proporciones directas e inversas:
• Realizando tablas de valores para relaciones proporcionales.
• Graficando los valores de la tabla.
• Explicando las características de la gráfica.
• Resolviendo problemas de la vida diaria y de otras asignaturas.
Converse con sus estudiantes lo que debe contener un menú saludable y equilibrado. Para ello,
considere lo siguiente:
• En las comidas diarias debe haber presencia de lácteos, aceite de oliva o de maravillas,
frutas, agua, vegetales, cereales.
• Tres o cuatro veces a la semana se debe incorporar pescado, carnes magras, huevos y
legumbres.
• Incorporar de tres a siete raciones de frutos secos a la semana.
• Consumir ocasionalmente carnes rojas, patés, embutidos, bollería, helados, gaseosas,
alcohol, entre otros.
Proyecto matemático U2
El proyecto matemático de la Unidad 2 “Diseño mi avatar” trabaja el OA 3 del Eje Números de
7.° básico, en el que el estudiantado debe:
Resolver problemas que involucren la multiplicación y la división de fracciones y de decimales
positivos de manera concreta, pictórica y simbólica (de forma manual y/o con software educativo).
Además, trabaja con los siguientes Objetivos de Aprendizaje del Eje Álgebra y funciones de 7.°
básico:
OA 6. Utilizar el lenguaje algebraico para generalizar relaciones entre números, para establecer y
formular reglas y propiedades y construir ecuaciones.
OA 8. Mostrar que comprenden las proporciones directas e inversas:
• Realizando tablas de valores para relaciones proporcionales.
• Graficando los valores de la tabla.
• Explicando las características de la gráfica.
• Resolviendo problemas de la vida diaria y de otras asignaturas.
Por otro lado, se intenciona el trabajo de las siguientes habilidades del S. XXI: Creatividad,
Colaboración, Comunicación, Responsabilidad personal y social.
¿Cómo formar grupos de trabajo?
Invite a sus estudiantes a agruparse en equipos de cuatro personas. Para ello, solicite cambiar
la distribución de la sala formando círculos con los pupitres. Pida que lo hagan en silencio y que
consideren que en el resto de las salas también están haciendo clases y trabajando. Una vez
alcanzada la nueva distribución, dé las instrucciones para trabajar en el proyecto.
140
Anexos
El cambio de distribución en la sala tiene por objetivo favorecer el trabajo grupal de sus
estudiantes. De esta manera, los grupos de trabajo serán unidades independientes, equipos que
se autogestionarán y avanzarán a su ritmo.
Explique la necesidad de que sus alumnos se comprometan a enfocarse en su grupo, de manera
que puedan aportar y, a la vez, recibir el aporte de sus pares. Evite que sus estudiantes acudan a
otros grupos, ya que esto los distrae de su trabajo en equipo y distrae a los demás.
Proyecto interdisciplinario U2
El Proyecto interdisciplinario de la Unidad 2 “Peso y masa” trabaja el OA 7 de Física de 7.° básico,
en el que el estudiantado debe:
Planificar y conducir una investigación experimental para proveer evidencias que expliquen los
efectos de las fuerzas gravitacional, de roce y elástica, entre otras, en situaciones cotidianas.
Por otro lado, el proyecto se relaciona con los siguientes Objetivos de Aprendizaje del Eje Álgebra
y funciones de 7.° básico:
OA 6. Utilizar el lenguaje algebraico para generalizar relaciones entre números, para establecer y
formular reglas y propiedades y construir ecuaciones.
OA8. Mostrar que comprenden las proporciones directas e inversas:
• Realizando tablas de valores para relaciones proporcionales.
• Graficando los valores de la tabla.
• Explicando las características de la gráfica.
• Resolviendo problemas de la vida diaria y de otras asignaturas.
Además, se intenciona el trabajo de las siguientes habilidades del S. XXI:
• Creatividad.
• Colaboración.
• Comunicación.
Converse con sus estudiantes sobre las consideraciones que deben tener al momento de escribir
el relato:
• Escribir pensando en el éxito.
• Establecer un orden de prioridades.
• Darle forma al contenido.
• Pueden incluir personajes.
• El lenguaje empleado debe ser comprensible por el público al que va dirigido.
• Elaborar una redacción clara y comprensible, sin faltas ortográficas.
Anexos
141
Bibliografía
• Alex, I. S. y Romero, L. R. (2016). Matemáticas para
maestros de Educación Primaria. Ediciones Pirámide.
• Almeida, R., Bruno Castañeda, A. y Perdomo Díaz, J.
(2014). Estrategias de sentido numérico en estudiantes
del Grado en Matemáticas. Enseñanza de las ciencias,
2(32), 9-34.
• Aponte Bello, P. A. y Rivera Martínez, M. Á. (2017).
Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje del
número entero presentadas en un objeto virtual de
aprendizaje.
• Arteaga, P., Batanero, C., Cañadas, G. y Contreras,
M. (2011). Las tablas y los gráficos estadísticos como
objetos culturales. Números. Revista de didáctica de
las matemáticas, 76, 55-67.
• Caldelas, F. R. R., Flores, M. D. S. S., Galindo, S. E. T.,
Rocha, O. E. D. y Álvarez, M. A. M. (2017). La pervivencia
del círculo. Estudios sobre Arte Actual, (5), 4.
• Castro, E. C. (2001). Los modelos concretos
en la enseñanza de los números negativos.
Pre-publicaciones del Seminario Matemático García
de Galdeano, (21).
• Cid, E. (2003). La investigación didáctica sobre los
números enteros: estado de la cuestión.
• Cid, E., Godino, J. D. y Bernabeu, C. B. (2003). Sistemas
numéricos y su didáctica para maestros. Universidad
de Granada.
• Díaz-Levicoy, D., Morales, R., López-Martín, M. D. M.
y Roa-Muñoz, C. G. (2015). Tipos y niveles de lectura
de tablas estadísticas en libros de texto de primeros
cursos: un estudio en el contexto chileno.
• Díaz-Levicoy, D., Batanero, C., Arteaga, P. y
López-Martín, M. D. M. (2015). Análisis de los gráficos
estadísticos presentados en libros de texto de
Educación Primaria chilena. Educação Matemática
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• CNTV Educa: www.cntv.cl
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• Educación Vial: https://www.educacionvial.cl/
• Educar Chile: www.educarchile.cl
• MINEDUC: www.mineduc.cl
• MINEDUC Educación Rural: rural.mineduc.cl/
Bibliotecas digitales y bases de datos
• Biblioteca Nacional Digital www.bibliotecanacionaldigital.gob.cl
• Biblioteca Digital Escolar https://bdescolar.mineduc.cl/
• Biblioteca Escolar UCE https://www.curriculumnacional.cl/portal/Secciones/
Biblioteca-Escolar-UCE/
• Biblioteca Virtual del Instituto Cervantes https://www.cervantesvirtual.com/
• CommonLIT https://www.commonlit.org/
• Dialnet https://dialnet.unirioja.es/
• Red de Revistas Científicas de América Latina, el Caribe, España y Portugal
https://www.redalyc.org/
• Scientific Electronic Library Online https://www.scielo.org/
• World Digital Library https://www.loc.gov/collections/world-digital-library/
Como complemento a los recursos presentes en la Guía Digital Docente,
puede utilizar los recursos existentes en su biblioteca escolar (CRA y digital).
Para esto, se le sugiere pedir asesoría al encargado CRA de su colegio.
Webgrafía
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En el desarrollo de la Guía Digital del Docente de Matemática 7º básico tomo 1 SM, participó
el siguiente equipo:
Dirección editorial
Arlette Soledad Sandoval Espinoza
Dirección de arte
Carmen Gloria Robles Sepúlveda
Coordinación área Matemática
Lucia Raquel Donoso Suárez
Diseño y diagramación
Claudia Andrea Barraza Martínez
Yanira Verónica Fuentes Pérez
Edición
Daniela de la Luz Bravo Valdivia
Autoría
Daniela de la Luz Bravo Valdivia
David Armando Romero Durán
Gabriel Fernando Torres Mayorga
Corrección de estilo y prueba
María Paz Contreras Aguirre
Fotografía
Shutterstock.com
Wikimedia Commons
Gestión de derechos
María Loreto Ríos Melo
Jefatura de planificación
Andrea del Carmen Carrasco Zavala
En este libro se ha implementado conscientemente
un uso no sexista del lenguaje sin desentendernos
de las normas ortográficas dictadas por la Real
Academia Española de la Lengua ni las reglas de
la morfosintaxis de la lengua española. Para ello,
hemos utilizado recursos como la nominalización y la
impersonalización, entre muchos otros, reservando
la duplicación de elementos (como en “los niños y las
niñas”) solo para cuando, desde el punto de vista del
estilo, no quedara otra opción.
En relación con el tratamiento de las denominaciones
y términos de los pueblos originarios, tanto de Chile
como de América Latina, hemos decidido utilizar
Esta Guía Digital del Docente corresponde al Séptimo año de
Educación Básica y ha sido elaborado conforme al Decreto
uso del término corresponda claramente a un adjetivo.
Supremo N° 614/2013, del Ministerio de Educación de Chile.
Hemos tratado también de respetar las normas
Se autoriza el uso de 6.843 Guía Digital del Docente.
a sí mismos. Así, por ejemplo, se ha utilizado, con la
Código de registro: 2024-A-464
ortográficas que los pueblos originarios se han dado
mayor consistencia posible, el grafemario azumchefe
©2024 – Ediciones SM Chile S.A. – Coyancura 2283, oficina 203 –
para los términos provenientes del mapuzugun, la
Providencia.
lengua del pueblo Mapuche.
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita
Finalmente, para las palabras de la lengua española
de los titulares del “Copyright”, bajo las sanciones establecidas
en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por
cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y
el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella
mediante alquiler o préstamo público.
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mayúscula inicial. No es el caso, claro está, cuando el
Créditos
que tienen doble acentuación (vídeo, video;
atmosfera, atmósfera; futbol, fútbol), hemos decido
incorporar sistemáticamente los usos más frecuentes
en Chile.