CIENCIAS BÁSICAS APLICADAS AL DISEÑO 2021 TRIGONOMETRÍA Se llama Trigonometría a la rama de la Matemática que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos y, además, las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulosque forman parte de la superficie de una esfera. En este curso trataremos los contenidos de la trigonometría plana. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química, geografía y en casi todas las ramas de la ingeniería y de la arquitectura. ¿Por qué triángulos? Porque son los bloques básicos de construcción para cualquier figura de lados rectos que se pueda construir. El cuadrado, el pentágono u otro polígono puede dividirse en triángulos por medio de líneas rectas radiando desde un vértice hacia los otros. Para topografiar un terreno los profesionales la dividen en triángulos y marcan cada ángulo con un "punto de referencia", que hoy en día es, a menudo, una placa de latón redonda fijada en el suelo con un agujero en el centro, sobre el que ponen sus varillas y teodolitos (George Washington hizo este trabajo cuando era un adolescente). Después de medir la base, el topógrafo medirá los ángulos que se forman con un punto y usará la trigonometría para calcular las demás distancias. Estas pueden servir como base de 2 nuevos triángulos, que a su vez suministrarán bases para dos más..., y de esta forma construirá más y más triángulos hasta que se cubra el terreno completo con una red que tiene distancias conocidas. Posteriormente se puede añadir una red secundaria, subdividiendo los triángulos grandes y marcando sus puntos con estacas de hierro, que proporcionarán distancias conocidas adicionales en las que se pueden basar los mapas o los planos. Aplicaremos conceptos de trigonometría siempre que tengamos que resolver situaciones que involucren triángulos rectángulos u oblicuángulos, con el objetivo de conocer datos, lados y ángulos que los describan. 1 Ciencias Básicas Aplicadas al Diseño – Material teórico: TRIGONOMETRÍA CIENCIAS BÁSICAS APLICADAS AL DISEÑO 2021 GENERACIÓN DE ÁNGULOS Los ángulos son generados por una semirrecta móvil al girar alrededor de su origen, el que es un punto fijo del plano. Figura 1: Generación de un ángulo Sean O (punto fijo) y OX semirrecta móvil, la que al pasar de su posición inicial a otra OX’, describe el ángulo XOX’ Signo de los ángulos Existen 2 sentidos de giro: uno positivo y el otro negativo. Es positivo el sentido de giro contrario al movimiento de las agujas del reloj. Sistemas de medición de ángulos Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma como unidad. Existen tres sistemas de medición: sexagesimal, circular y centesimal. Actualmente se usan el sistema sexagesimal y el sistema circular, son los que vamos a describir. Sistema sexagesimal Unidad de medida: grado sexagesimal, que es la noventava parte del ángulo recto. 2 Ciencias Básicas Aplicadas al Diseño – Material teórico: TRIGONOMETRÍA CIENCIAS BÁSICAS APLICADAS AL DISEÑO 2021 Submúltiplos: minuto sexagesimal y segundo sexagesimal. 1° = 1𝑅 90 1′ = 1° 60 1′′ = 1′ 60 1𝑅 = 90° 1° = 60′ 1′ = 60′′ 1 ángulo llano = 𝟏𝟖𝟎° 1 ángulo de un giro = 36𝟎° Sistema Circular Ángulo de un radián: es el ángulo central cuyo arco tiene una longitud igual al radio de la circunferencia en la que se encuentra. Para un ángulo de un giro completo 𝛼 = 360° y como la longitud de una circunferencia es 𝐶 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠 = 6,2832 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠 ⇒ 360° = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 90° = 180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 𝜋 2 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 En la calculadora Lo primero que debes hacer es seleccionar el sistema (MODE). Para ello presiona la tecla MODE de la calculadora (tal como te lo muestra la siguiente imagen) y sigue presionándola hasta que te aparezcan juntas las siguientes opciones que van acompañadas por un número que te sirve para seleccionarlo: Deg / 1 Rad / 2 Gra / 3 3 Ciencias Básicas Aplicadas al Diseño – Material teórico: TRIGONOMETRÍA CIENCIAS BÁSICAS APLICADAS AL DISEÑO 2021 Elige la tecla 1 para dejar seleccionado el modo DEG, sistema sexagesimal, en ese caso los ángulos se indicarán en grados. Si se elige modo RAD, sistema circular, en ese caso los ángulos estarán en medidos en radianes. TRIANGULO RECTÁNGULO Un triángulo rectángulo es aquél en el que uno de sus tres ángulos mide 90 grados, es decir, es un ángulo recto. Está claro que, si uno de los ángulos es recto, ninguno de los otros dos puede serlo y son ángulos agudos, pues deben sumar entre los tres 180 grados Un triángulo rectángulo está formado por dos catetos, los lados del ángulo recto, y el lado de mayor longitud que se opone al ángulo recto, la hipotenusa. Los catetos se nombran según el ángulo considerado TEOREMA DE PITÁGORAS El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y queremos saber el valor del tercero. También nos sirve para comprobar, conocidos los tres lados de un triángulo, si un triángulo es rectángulo, ya que si lo es sus lados deben cumplirlo. En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de otros. Así, al lado mayor de los tres y opuesto al ángulo de 90 grados se le llama hipotenusa, y a los otros dos lados catetos. 4 Ciencias Básicas Aplicadas al Diseño – Material teórico: TRIGONOMETRÍA CIENCIAS BÁSICAS APLICADAS AL DISEÑO 2021 ENUNCIADO: “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. Si lo expresamos de forma geométrica, el Teorema de Pitágoras quiere decir que el área de un cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de otros dos cuadrados cuyos lados son cada uno de los catetosrespectivamente. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Sea el ángulo 𝛼, con vértice en O y sobre uno de sus lados (la semirrecta OX) tracemos las ̅̅̅̅̅; 𝑎′′𝑏′′ ̅̅̅̅̅̅̅ las que determinan triángulos semejantes (por tener dos ̅̅̅; 𝑎′𝑏′ perpendiculares 𝑎𝑏 ángulos iguales: 𝛼 y el recto); en los triángulos semejantes los lados homólogos son proporcionales y podemos entonces escribir las siguientes razones. 5 Ciencias Básicas Aplicadas al Diseño – Material teórico: TRIGONOMETRÍA CIENCIAS BÁSICAS APLICADAS AL DISEÑO 2021 Figura 3: Triángulos semejantes ̅̅̅̅ 𝑎𝑏 ̅̅̅̅̅̅ 𝑎′𝑏′ ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎′′𝑏′′ 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛼 𝑜𝑎 𝑜𝑎′ 𝑜𝑎′′ 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛼 = ̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ O bien ̅̅̅̅̅ 𝑎′′𝑏′′ ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅ 𝑎′𝑏′ 𝑎𝑏 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛼 = = = ̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑜𝑏 ̅̅̅̅ 𝑜𝑏′ 𝑜𝑏′′ Y también ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 𝑜𝑎 𝑜𝑎′ 𝑜𝑎′′ 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛼 = ̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅ 𝑜𝑏 𝑜𝑏′ 𝑜𝑏′′ ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 Estas razones son sólo algunas de las que podemos escribir, lo que importa destacar es que son números abstractos, independientes de las dimensiones de los lados del triángulo, sólo dependen del valor del ángulo 𝛼 . Las razones o relaciones trigonométricas se establecen entre dos lados de un triángulo rectángulo en relación con cada uno de sus ángulos agudos. • Las razones Trigonométricas no dependen de la medida de los lados, dependen del ángulo. Seis son las razones o funciones trigonométricas que se pueden establecer para cualquiera de los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo; de ellas, tres son fundamentales y tres son recíprocas, como lo vemos en el siguiente cuadro: 6 Ciencias Básicas Aplicadas al Diseño – Material teórico: TRIGONOMETRÍA CIENCIAS BÁSICAS APLICADAS AL DISEÑO 2021 Sólo hemos escrito las funciones trigonométricas del ángulo agudo 𝛼, también puedenescribirse las del ángulo agudo 𝒐𝒃𝒂 (β), ya que son complementarios. Al escribir las funciones trigonométricas de 𝛽̂ observamos que en ángulos complementarios las funciones de uno de ellos, son las co-funciones del otro 7 Ciencias Básicas Aplicadas al Diseño – Material teórico: TRIGONOMETRÍA CIENCIAS BÁSICAS APLICADAS AL DISEÑO 2021 TEOREMA DEL SENO Dada la figura: Figura 4: Triángulo ABC, obtusángulo. Altura hc. Se puede demostrar que: 𝑎̅ 𝑠𝑒𝑛𝐴̂ = 𝑏̅ 𝑠𝑒𝑛𝐵̂ = 𝑐̅ 𝑠𝑒𝑛𝐶̂ TEOREMA DEL COSENO El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido. 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒃𝒄 𝐜𝐨𝐬 𝑨 𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒂𝒄 𝐜𝐨𝐬 𝑩 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 𝐜𝐨𝐬 𝑪 Para los alumnos que deseen profundizar en el tema, incluimos un video donde se incluye la demostración del Teorema del Seno: https://www.youtube.com/watch?v=MBkRgFi69VE y otro donde se incluye la demostración del Teorema del Coseno: https://www.youtube.com/watch?v=nxawOX5bJFY 8 Ciencias Básicas Aplicadas al Diseño – Material teórico: TRIGONOMETRÍA
