Trigonometría: Fundamentos y Aplicaciones en el Diseño

CIENCIAS BÁSICAS APLICADAS AL DISEÑO
2021
TRIGONOMETRÍA
Se llama Trigonometría a la rama de la Matemática que estudia las relaciones entre los lados
y los ángulos de triángulos y, además, las propiedades y aplicaciones de las funciones
trigonométricas de ángulos.
Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa de
figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulosque
forman parte de la superficie de una esfera.
En este curso trataremos los contenidos de la trigonometría plana.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la
geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia
inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida
de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física,
química, geografía y en casi todas las ramas de la ingeniería y de la arquitectura.
¿Por qué triángulos? Porque son los bloques básicos de
construcción para cualquier figura de lados rectos que se
pueda construir. El cuadrado, el pentágono u otro
polígono puede dividirse en triángulos por medio de
líneas rectas radiando desde un vértice hacia los otros.
Para topografiar un terreno los profesionales la dividen
en triángulos y marcan cada ángulo con un "punto de referencia", que hoy en día es, a
menudo, una placa de latón redonda fijada en el suelo con un agujero en el centro, sobre el
que ponen sus varillas y teodolitos (George Washington hizo este trabajo cuando era un
adolescente). Después de medir la base, el topógrafo medirá los ángulos que se forman con
un punto y usará la trigonometría para calcular las demás distancias. Estas pueden servir como
base de 2 nuevos triángulos, que a su vez suministrarán bases para dos más..., y de esta forma
construirá más y más triángulos hasta que se cubra el terreno completo con una red que tiene
distancias conocidas. Posteriormente se puede añadir una red secundaria, subdividiendo los
triángulos grandes y marcando sus puntos con estacas de hierro, que proporcionarán
distancias conocidas adicionales en las que se pueden basar los mapas o los planos.
Aplicaremos conceptos de trigonometría siempre que tengamos que resolver situaciones que
involucren triángulos rectángulos u oblicuángulos, con el objetivo de conocer datos, lados y
ángulos que los describan.
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GENERACIÓN DE ÁNGULOS
Los ángulos son generados por
una semirrecta móvil al girar
alrededor de su origen, el que es
un punto fijo del plano.
Figura 1: Generación de un ángulo
Sean O (punto fijo) y OX semirrecta móvil, la que al pasar de su posición inicial a otra OX’,
describe el ángulo XOX’
Signo de los ángulos
Existen 2 sentidos de giro: uno positivo y el otro negativo. Es positivo el sentido de giro
contrario al movimiento de las agujas del reloj.
Sistemas de medición de ángulos
Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma como unidad. Existen tres sistemas de
medición: sexagesimal, circular y centesimal. Actualmente se usan el sistema sexagesimal y
el sistema circular, son los que vamos a describir.
Sistema sexagesimal
Unidad de medida: grado sexagesimal, que es la noventava parte del
ángulo recto.
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Submúltiplos: minuto sexagesimal y segundo sexagesimal.
1° =
1𝑅
90
1′ =
1°
60
1′′ =
1′
60
1𝑅 = 90°
1° = 60′
1′ = 60′′
1 ángulo llano = 𝟏𝟖𝟎°
1 ángulo de un giro = 36𝟎°
Sistema Circular
Ángulo de un radián: es el ángulo central cuyo arco tiene una
longitud igual al radio de la circunferencia en la que se encuentra.
Para un ángulo de un giro completo 𝛼 = 360° y como la longitud de
una circunferencia es 𝐶 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠 = 6,2832 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜𝑠 ⇒
360° = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
90° =
180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
𝜋
2
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
En la calculadora
Lo primero que debes hacer es seleccionar el sistema (MODE). Para ello presiona la tecla
MODE de la calculadora (tal como te lo muestra la siguiente imagen) y sigue presionándola
hasta que te aparezcan juntas las siguientes opciones que van acompañadas por un número
que te sirve para seleccionarlo:
Deg / 1
Rad / 2
Gra / 3
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Elige la tecla 1 para dejar seleccionado el modo DEG, sistema sexagesimal, en ese caso los
ángulos se indicarán en grados.
Si se elige modo RAD, sistema circular, en ese caso los ángulos estarán en medidos en
radianes.
TRIANGULO RECTÁNGULO
Un triángulo rectángulo es aquél en el que uno de sus tres
ángulos mide 90 grados, es decir, es un ángulo recto. Está
claro que, si uno de los ángulos es recto, ninguno de los
otros dos puede serlo y son ángulos agudos, pues deben
sumar entre los tres 180 grados
Un triángulo rectángulo está formado por dos catetos, los
lados del ángulo recto, y el lado de mayor longitud que se
opone al ángulo recto, la hipotenusa.
Los catetos se nombran según el ángulo considerado
TEOREMA DE PITÁGORAS
El Teorema de Pitágoras es un teorema que nos permite relacionar los tres lados de un
triángulo rectángulo, por lo que es de enorme utilidad cuando conocemos dos de ellos y
queremos saber el valor del tercero.
También nos sirve para comprobar, conocidos los tres lados de un triángulo, si un triángulo
es rectángulo, ya que si lo es sus lados deben cumplirlo.
En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de otros. Así, al lado mayor de los tres
y opuesto al ángulo de 90 grados se le llama hipotenusa, y a los otros dos lados catetos.
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ENUNCIADO:
“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa
es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.
Si lo expresamos de forma geométrica, el Teorema
de Pitágoras quiere decir que el área de un
cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma
de las áreas de otros dos cuadrados cuyos lados
son cada uno de los catetosrespectivamente.
RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Sea el ángulo 𝛼, con vértice en O y sobre uno de sus lados (la semirrecta OX) tracemos las
̅̅̅̅̅; 𝑎′′𝑏′′
̅̅̅̅̅̅̅ las que determinan triángulos semejantes (por tener dos
̅̅̅; 𝑎′𝑏′
perpendiculares 𝑎𝑏
ángulos iguales: 𝛼 y el recto); en los triángulos semejantes los lados homólogos son
proporcionales y podemos entonces escribir las siguientes razones.
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Figura 3: Triángulos semejantes
̅̅̅̅
𝑎𝑏
̅̅̅̅̅̅
𝑎′𝑏′
̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑎′′𝑏′′
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛼
𝑜𝑎
𝑜𝑎′
𝑜𝑎′′
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛼
= ̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅̅ =
̅̅̅̅
O bien
̅̅̅̅̅ 𝑎′′𝑏′′
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅ 𝑎′𝑏′
𝑎𝑏
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛼
=
=
=
̅̅̅
̅̅̅̅̅
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑜𝑏 ̅̅̅̅
𝑜𝑏′
𝑜𝑏′′
Y también
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
𝑜𝑎
𝑜𝑎′
𝑜𝑎′′
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛼
= ̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅̅ =
̅̅̅̅
𝑜𝑏
𝑜𝑏′
𝑜𝑏′′
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
Estas razones son sólo algunas de las que podemos escribir, lo que importa destacar es que son
números abstractos, independientes de las dimensiones de los lados del triángulo, sólo dependen
del valor del ángulo 𝛼 .
Las razones o relaciones trigonométricas se establecen entre dos lados de un triángulo rectángulo
en relación con cada uno de sus ángulos agudos.
• Las razones Trigonométricas no dependen de la medida de los lados, dependen del ángulo.
Seis son las razones o funciones trigonométricas que se pueden
establecer para cualquiera de los dos ángulos agudos en un
triángulo rectángulo; de ellas, tres son fundamentales y tres son
recíprocas, como lo vemos en el siguiente cuadro:
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Sólo hemos escrito las funciones trigonométricas del ángulo agudo 𝛼, también puedenescribirse
las del ángulo agudo 𝒐𝒃𝒂 (β), ya que son complementarios.
Al escribir las funciones trigonométricas de 𝛽̂ observamos que en ángulos complementarios las
funciones de uno de ellos, son las co-funciones del otro
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TEOREMA DEL SENO
Dada la figura:
Figura 4: Triángulo ABC, obtusángulo. Altura hc.
Se puede demostrar que:
𝑎̅
𝑠𝑒𝑛𝐴̂
=
𝑏̅
𝑠𝑒𝑛𝐵̂
=
𝑐̅
𝑠𝑒𝑛𝐶̂
TEOREMA DEL COSENO
El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble
del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido.
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒃𝒄 𝐜𝐨𝐬 𝑨
𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒂𝒄 𝐜𝐨𝐬 𝑩
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 𝐜𝐨𝐬 𝑪
Para los alumnos que deseen profundizar en el tema, incluimos un video donde se incluye la
demostración del Teorema del Seno: https://www.youtube.com/watch?v=MBkRgFi69VE
y otro donde se incluye la demostración del Teorema del Coseno:
https://www.youtube.com/watch?v=nxawOX5bJFY
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