universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Escuela Profesional de Matemática
Integrantes: Manayay Manayay Alquis
Curso:
Variedad Diferencial
Tema:
Grupos de Lie
Docente:
Msc. José Antonio chiroque Baldera.
Lambayeque - 2022
1. Introducción
Situación Problemática
En el presente trabajo se refiere a las soluciones de ecuaciones polinómicas “TEORIA DE
GALOIS”, a consecuencia de este estudio, surge una nueva teoría para el estudio de las
soluciones de ecuaciones diferenciales.
En otras palabras, podemos imaginar a sus grupos como una especie de “grupos de
permutaciones” (o simetrías) de las soluciones de las ecuaciones diferenciales.
¿El conocimiento de las simetrías de una ecuación diferencial nos permitirá reducir el orden de
la ecuación para que nos facilite a integrar?
Esta nueva teoría hizo uso de los grupos de transformaciones en un esfuerzo por trasladar a las
ecuaciones diferenciales, los resultados encontrados por Evarist Galois en la solución de
ecuaciones polinomiales. Entre muchos otros resultados que merecen destacarse, la nueva
teoría descubrió que las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden invariantes bajo
cierto grupo de transformaciones podían ser llevadas a variables separables mediante cambios
de coordenadas o a exactas mediante el uso de un factor integrante, determinando así un
camino único de solución para ecuaciones diferenciales lineales, homogéneas, exactas y de
Bernoulli, entre otras. En este trabajo se expondrá el método del factor integrante y el de las
coordenadas canónicas, aplicándolo a la solución de varias ecuaciones diferenciales lineales y
no lineales de primer orden. Este trabajo, de carácter divulgativo y de reflexión, pretende
llamar la atención sobre la extensa teoría de los Grupos, la nueva teoría en relación con las
ecuaciones diferenciales, que hoy en día se constituye en una de las ramas de la matemática
con gran proyección desde el punto de vista investigativo.
A muy grandes rasgos, podemos entonces decir que De esta nueva teoría proponer lo
siguiente:
La ecuación polinomial se relaciona directamente con la Ecuación diferencial, grupos de Galois
con grupos de simetría de ecuación diferencial y también solubles por radical con solubles por
cuadraturas.
Bajo de estos resultados podemos preguntarnos
¿con la ayuda de la teoría de Galois podemos encontrar la solución de esta ecuación
diferencial?
Formulación del problema
¿Existe relaciones entre el conjunto de soluciones de ecuaciones polinómicas y el conjunto de
soluciones de una ecuación diferencial, a través de grupos?
Hipótesis
Si existe relación entre el conjunto de soluciones de ecuaciones polinomiales y el conjunto de
soluciones de una ecuación diferencial entonces surge la teoría de Lie.
Objetivos.
•
•
•
•
Definir los grupos de Lie.
Relacionar las soluciones de ecuaciones polinomiales con las soluciones de las
ecuaciones diferenciales.
Discutir los teoremas de Lie.
Discutir algunas Aplicaciones de los grupos de Lie.
Justificación e importancia
Estos resultados nos permiten ayudar a hallar las soluciones de manera rápida de ecuación
diferencial, y de mucha importancia en cuando a aplicaciones en diferentes ramas de la
matemática.
En esta sección para poder definir la teoría de los grupos de lie.
2. Cuerpo
MARCO TEÓRICO
Las nociones fundamentales de los grupos de Lie fue introducido por el matemático noruego
Sophus Lie (1842 – 1899) en un sinnúmero de trabajos en el año 1872. Para explicar la idea
básica de los grupos de Lie, nos remontamos a principios del siglo 𝑋𝐼𝑋. En principio
consideremos las ideas del francés Evariste Galois (1811 – 1832) uno de los problemas del que
se trataba hacia 1800 era buscar una fórmula que expresará las raíces de un polinomio. El
señaló que las raíces de un polinomio deben efectuarse a través de las permutaciones del
conjunto de raíces que sean de origen “algebraico”. El conjunto de tales permutaciones es un
grupo, conocido como “Grupo de Galois”. Otra idea de gran importancia en este contexto fue
realizada alrededor de 1830, por Bolyai, Lobachevsky y Gauss, fue la existencia de geometrías
no euclidianas, el descubrimiento de tales geometrías generó una intensa actividad: se
sucedieron los ejemplos de geometrías no euclídeas y las investigaciones sobre estos nuevos
objetos, es oportuno mencionar los célebres trabajos del francés Joseph Fourier (1768-1830)
en una memoria presentada en 1807; pero publicada en 1822. Fourier presenta su método
para resolver ecuaciones diferenciales, además se presentan profundas generalizaciones de la
teoría de Fourier, que están inmersas en la teoría de representaciones de grupos de Lie. Otro
resultado de gran importancia de Elie Cartan es que los espacios simétricos son
𝐺
necesariamente cocientes de la forma 𝑘 , donde G es un grupo de lie y K es un subgrupo bien
determinado. Sophus Lie tuvo como motivación considerar que los llamados grupos de Lie fue
imaginar que estos grupos jugarían un rol análogo al de los grupos de Galois, pero para
solucionar ecuaciones diferenciales.
Los grupos de lie son objetos matemáticos que están provistos hasta de tres estructuras
(algebraicas, topológica y diferencial). Más específicamente un grupo de lie denotado por 𝐺 es
una variedad diferenciable lo cual es también grupo, y donde las operaciones son
diferenciables.
Modelos clásicos de tal objeto son: el grupo general lineal, el grupo unitario, el grupo
ortogonal y el grupo especial lineal. De importancia central para la teoría de Lie es la relación
existente entre un grupo de lie y su algebra de lie de campos vectoriales invariantes a
izquierda, la cual es isomorficamente lineal al espacio tangente E, en el elemento unitario “e”;
de este modo E se convierte en un algebra de Lie, que no es otra cosa que el algebra de lie de
G.
El material estándar del marco teórico para el desarrollo de nuestro trabajo está compuesto
por: la aplicación exponencial, representaciones generales, representación adjunta,
clasificación. Complementariamente para mostrar una aplicación se presenta la integral de una
función diferenciable sobre un grupo de lie compacto definido desde un punto de vista de
formas diferenciales. Son muchos las teorías que afirman la existencia de subgrupos únicos
satisfaciendo ciertas condiciones en este sentido consideremos dos subgrupos
(𝐻1 , 𝜑1 ) 𝑦 (𝐻2 , 𝜑2 ) de un grupo G equivalentemente si existe un isomorfismo de grupo de lie
𝛼: 𝐻1 → 𝐻2 tal que𝜑2 ∘ 𝛼 = 𝜑1 . Esto es una relación de equivalencia de subgrupos de lie de G
y únicos para subgrupos de lie, es decir únicos bajo esta equivalencia, esto es: cada clase de
subgrupos de lie de G tiene una única representatividad de la forma (𝐴, 𝑖) donde A es un
subconjunto de G la cual es un subgrupo abstracto de G y a su vez tiene estructura de variedad
tal que la inclusión 𝑖: 𝐴 → 𝐺 produce una subvariedad y así un subgrupo de lie de G.
2.1 DEFINICIÓN DE TÉRMINOS y CONCEPTOS
Definición de Grupo
Es un conjunto denotado comúnmente por “G” provisto de una operación binaria "∗"
satisfaciendo las condiciones siguientes:
a. Asociativa ∀ (𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈ 𝐺 se cumple
𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐
b. Existencia de elemento neutro
Para todo a ∈ G , existe e ∈ G tal que a ∗ e = a ∗ e = a
c. Existencia de elemento inverso
Para todo a ∈ G , existe b ∈ G tal que a ∗ b = e = b ∗ a
ECUACIONES DIFERENCIALES
¿Qué es una ecuación diferencial?
Una ecuación diferenciable es una ecuación que involucra las derivadas de una función con la
propia función y las variables de las que dependen
Definición. Una ecuación diferencial es la que contiene derivadas de una o más variables
dependientes respecto a una o más variables independientes.
Se clasifican en dos tipos:
a) Ecuación diferencial ordinaria (EDO. Con una sola variable)
Ejemplo: 𝑦 ′ − 2𝑥 = 0
•
𝑑𝑦
𝑑𝑦2
𝑑𝑦𝑛
2
𝑛
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑑𝑥 , 𝑑𝑥 , … … … , 𝑑𝑥 ) = 0
b) Ecuación diferencial parcial (EDP. consta de varias variables)
Ejemplo:
𝜕2𝑢 𝜕 2𝑢 𝜕2𝑢
+
+
=0
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2
¿Qué significa resolver una ecuación diferencial?
Significa encontrar una función o funciones que satisfacen la igualdad
Si y=F(x) es una función y f es la derivada de F, es decir
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=F’(x)=f(x); de donde 𝑑𝑥 =f(x)
Definición de Homomorfismos
Sean 𝑉, 𝑊 dos 𝑉 – espacios vectoriales una aplicación 𝑇: 𝑉 → 𝑊 es un homomorfismo
(transformación lineal) sí.
𝑇(𝑥 + 𝑦) = 𝑇(𝑥) + 𝑇(𝑦) para todo 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉
𝑇(𝜆𝑥) = 𝜆𝑇(𝑋) para todo 𝜆 ∈ 𝐾
Definición de Difeomorfismo
Sean 𝐸, 𝐹 dos espacios vectoriales y sean 𝑈 ⊂ 𝐸, 𝑉 ⊂ 𝐹 ; subconjuntos abiertos. Una
aplicación biyectiva diferenciable 𝑓: 𝑈 → 𝑉 se denomina Difeomorfismo si esta tiene inversa
diferenciable.
Definición de una variedad diferencial. es una variedad de clase 𝑐 𝑘 y de dimensión m, es una
estructura de variedad topológica m dimensional sobre la cual existe una estructura
diferenciable de clase 𝑐 𝑘 .
Equivalentemente:
1. Definir sobre 𝑀 alguna topología 𝜏
2. Mostrar que M espacio de Hausdorff segundo contable, respecto a la topología 𝜏
3. Teniendo en cuenta 𝜏, construir sobre M una colección 𝒜 de funciones que cumple
con los requerimientos 1,2 y 3 de la definición 2,10.
3.1 la colección {𝑈: (𝑈, 𝜑) ∈ 𝒜} es un cubrimiento abierto de M
3.2 cada (𝑈, 𝜑) ∈ 𝒜 es un homeomorfismo entre su dominio 𝑈 ⊂ 𝑀 y abierto 𝜑(𝑈)
del espacio 𝑅𝑚 .
3.3 para cada (𝑈𝑖 , 𝜑𝑖 )(𝑈𝑗 , 𝜑𝑗 ) ∈ 𝒜 tal que𝑈𝑖 ∩ 𝑈𝑗 ≠ 0. La función
𝜑𝑗 ° 𝜑 −1 : 𝜑𝑖 (𝑈𝑖 ∩ 𝑈𝑗 ) → 𝜑𝑗 (𝑈𝑖 ∩ 𝑈𝑗 ) es un difeomorfismo de clase 𝑐 𝑘
Grupo de Lie
1. Solución de algunas Ecuaciones Diferenciales Ordinarias mediante sus grupos de
simetría.
Si una ecuación diferencial ordinaria admite algún grupo de simetría uniparamétrico, éste
tiene un generador infinitesimal de la forma
𝑣 = 𝜉 (𝑥, 𝑢)
𝜕
𝜕
+ ∅(𝑥, 𝑢) ⋯ (6)
𝜕𝑥
𝜕𝑢
el cual se prolonga mediante la expresión
𝐏𝑟 (𝑛) 𝑣 = 𝜉
𝜕
𝜕
𝜕
+∅
+ ∑ ∅𝐽 (𝑥, 𝑢 (𝑛) )
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑢𝐽
𝐽
Para el caso de las ecuaciones diferenciales ordinarias, las tres primeras prolongaciones
son:
𝑷𝒓(𝟏) 𝑽 = 𝜉
𝜕
𝜕
𝜕
+∅
+ (∅𝑥 + (∅𝑢 − 𝜉𝑥 )𝑢𝑥 − 𝑢𝑥2 𝜉𝑢 )
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑢𝑥
𝜕
𝜕
𝜕
𝑷𝒓(𝟐) 𝑽 = 𝜉 𝜕𝑥 + ∅ 𝜕𝑢 + (∅𝑥 + (∅𝑢 − 𝜉𝑥 )𝑢𝑥 − 𝑢𝑥2 𝜉𝑢 ) 𝜕𝑢 + (∅𝑥𝑥 + (2∅𝑥𝑢 − 𝜉𝑥𝑥 )𝑢𝑥 +
𝑥
𝜕
(∅𝑢 − 2𝜉𝑥 )𝑢𝑥𝑥 − 3𝜉𝑢 𝑢𝑥𝑥 𝑢𝑥 + (∅𝑢𝑢 − 2𝜉𝑥𝑢 )𝑢𝑥2 ) − 𝜉𝑢𝑢 𝑢𝑥3 )
.
𝜕𝑢
𝑥𝑥
Teniendo las prolongaciones del campo vectorial 𝑣 se pueden encontrar los grupos de simetría
de las ecuaciones diferenciales ordinarias, pero para esto se deben tener en cuenta los
siguientes teoremas
Teorema 1. Teorema de invariación local. Supóngase que
𝛥𝑘 (𝑥, 𝑢(𝑛) ) = 0
𝑷𝒓(𝒏) 𝑽[𝚫𝐤 (𝐱, 𝐮(𝐧) )] = 0
△𝐤 (𝐱, 𝐮(𝐧) ) = 0
𝑘 = 1,2, … , 𝑙, es un sistema de ecuaciones diferenciales de rango máximo definido sobre 𝑀 ⊂
𝑋𝑥𝑈 si G es un grupo local de transformaciones actuando en M, y
𝑷𝒓(𝒏) 𝑽[𝚫𝐤 (𝐱, 𝐮(𝐧) )] = 0
𝑘 = 1,2, … , 𝑙, cuando
△k (x, u(n) ) = 0
para todo generador infinitesimal 𝑽 de G, entonces G es un grupo de simetría del sistema (6).
Es decir, dadas algunas ecuaciones diferenciales ordinarias que admiten un grupo de simetría,
este es generado por el campo vectorial
𝑣 = 𝜉 (𝑥, 𝑢)
𝜕
𝜕
+ ∅(𝑥, 𝑢)
𝜕𝑥
𝜕𝑢
Si y solo si el prolongamiento correspondiente del campo vectorial satisface el sistema
diferencial que se deriva de dichas ecuaciones. Los métodos para solucionar los sistemas de
ecuaciones que resultan del prolongamiento están fuera del alcance de este trabajo, luego se
optará por tomar casos particulares con algunas restricciones, en especial para el
prolongamiento del campo vectorial de las ecuaciones de primer orden.
Para encontrar el grupo de Lie uniparamétrico admitido por una ecuación diferencial ordinaria
hay que determinar el par de funciones 𝜉 (𝑥, 𝑢)𝑦 ∅(𝑥, 𝑢) conocidas como los coeficientes
del generador infinitesimal.
Ecuaciones de Primer Orden
Para empezar el estudio de las simetrías de ecuaciones diferenciales ordinarias es
conveniente analizar las de primer orden, teniendo en cuenta que las fórmulas de las
prolongaciones dadas por (6) son más simples. Además, se consideran aquellas que
son presentadas en un curso tradicional de ecuaciones diferenciales, para ver acá un
enfoque diferente de ellas.
Ejemplo 3. Una ecuación diferencial homogénea tiene la forma
𝑢
𝑢𝑥 = 𝐹( )
𝑥
𝑢
△= 𝑢𝑥 − 𝐹( )
𝑥
al evaluar Δ en la primera prolongación
y aplicando el teorema 1 (de invariación local) resulta:
Como y no dependen de una función entonces resulta el siguiente sistema de
ecuaciones:
∅𝑥 = 0 … … . . (1)
𝜉
𝑢
1
− 𝜙 = 0 … … (2)
2
𝑥
𝑥
𝜙𝑢 − 𝜉𝑥 = 0 … … . . (3)
𝜉𝑢 = 0 … … . (4)
De (4) se tiene que 𝜉 no depende u y de (1) se tiene que ∅ no depende x, luego
resulta
𝑢
(2) 𝑥 𝜉 − 𝜙 = 0
(3) 𝜙𝑢 − 𝜉𝑥 = 0
ahora derivando a (3) respecto de u se obtiene:
𝜙𝑢𝑢 − 𝜉𝑥𝑢 = 0 → 𝜙𝑢𝑢 = 𝜉𝑥𝑢 = 0,
Luego
∫ 𝜙𝑢 = ∫ 𝑎 𝑦 𝜙 = 𝑎𝑢 + 𝑏
Por tanto
(6) 𝜙 = 𝑎𝑢 + 𝑏 y reemplazando (6) en (2) se tiene
𝜉 = −𝑎𝑥 −
𝑏𝑥
.
𝑢
Finalmente derivando respecto a u;
𝜉𝑢 =
𝑏𝑥
=0
𝑢2
como 𝑥 ≠ 0 y 𝑢 ≠ 0 entonces 𝑏 = 0 resulta:
𝜉 = −𝑎𝑥
𝜙 = 𝑎𝑢 + 𝑏
Donde a y b, son parámetros. Se puede considerar una base para el espacio tangente a
la variedad solución, al tomar los valores particulares de a y de b según la siguiente
tabla:
a
b
1
0
0
1
de la cual resultan los generadores,
𝜕𝜂
𝜕𝜂
+𝑢
=0
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝜁
𝜕𝜁
𝑣1 (𝜁 ) = −𝑥
+𝑢
=1
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝑣1 (𝑛) = −𝑥
Se desarrolla el sistema característico asociado a cada campo vectorial
𝑑𝑥
−𝑥
𝑑𝑢
= 𝑢 al integrar
−∫
𝑑𝑥
𝑑𝑢
=∫
+𝑐
𝑥
𝑢
𝑙𝑛𝑥 = 𝑙𝑛𝑢 + 𝑐
𝑢
𝑐 = 𝑙𝑛 𝑥 , luego
𝑒𝑐 =
𝑢
𝑥
Procedimiento de la misma manera se encuentra que
𝜂=
𝑢
𝑥
𝜁 = 𝑙𝑛|𝑥|
De manera que la función 𝜂 y 𝜁 dejan invariante la ecuación diferencial.
A consecuencia de esta teoría, podemos ver como es el comportamiento de los grupos. Y esto
podemos definir la teoría de grupo de Lie.
La estructura de grupo. Esto da origen a los llamados grupos de Lie y son los que trataremos en
esta sección. En estas variedades, la estructura de grupo no puede estar desligada de la
estructura diferenciable, estas deben estar relacionadas de alguna manera que será precisada
en la definición que sigue.
DEFINICIÓN 1
Una variedad diferenciable G de clase 𝐶 ∞ y dimensión n es llamada Grupo de Lie si posee una
estructura de grupo de tal manera que las
aplicaciones 𝑢: 𝐺 × 𝐺 → 𝐺 Y 𝜌: 𝐺 → 𝐺 definida respectivamente por:
𝑢(𝑔, ℎ ) = 𝑔. ℎ
𝑦 𝜌(𝑔) = 𝑔−1 son diferenciales de clase 𝐶 ∞
Esta definición deja en claro entonces que las estructuras de variedad y de grupo, si bien son
distintas, no están desligadas.
EJEMPLO 1.
Considere la variedad diferenciable G = R con su estructura diferenciable usual. En G considere
la estructura de grupo aditivo (suma usual de números reales), entonces las aplicaciones
𝑢: 𝐺 × 𝐺 → 𝐺 Y 𝜌: 𝐺 → 𝐺 de la definición quedan definidas por
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 y 𝜌(𝑥) = −𝑥
las cuales evidentemente son diferenciables de clase 𝐶 ∞
Definición 2. Sea 𝐺 un grupo de Lie. Un grupo de Lie 𝐻 es llamado sub-grupo de Lie de G si H
es a la vez un subgrupo y una subvariedad de G.
Definición 3. Sean 𝐺, 𝐻 grupos de Lie. Se llama homomorfismo de Grupos de Lie a una
aplicación 𝑓: 𝐺 → 𝐻 que es a la vez diferenciable y homomorfismo de grupos
Cuando f es un difeomorfismo y un homomorfismo de grupos, entonces se dice que es un
isomorfismo de grupos de Lie.
proposición: Se G un grupo de Lie. Para cada 𝑔 ∈ 𝐺, las aplicaciones 𝐿𝑔 : 𝐺 → 𝐺 𝑦 𝑅𝑔 : 𝐺 → 𝐺
definida respectivamente por
𝐿𝑔 (ℎ ) = 𝜇(𝑔, ℎ ) = 𝑔. ℎ
𝑦 𝑅𝑔 (ℎ ) = 𝜇(ℎ, 𝑔) = ℎ. 𝑔 son difeomorfos de clase 𝑐 𝑘
Demostración
Afirmaciones
1.- se 𝑔 ∈ 𝐺. considere la aplicación inclusión
𝑖𝑔 , 𝑗𝑔 = 𝐺 → 𝐺 × 𝐺 definida por 𝑖𝑔 (ℎ) = (𝑔, ℎ ) , 𝑗𝑔 (ℎ ) = (ℎ, 𝑔)
Justificaciones
Definiendo la función
inclusión y por
construcción
2.- 𝐿𝑔 = 𝜇 °𝑖𝑔 𝑦 𝑅𝑔 = 𝜇 °𝑗𝑔 como 𝑖𝑔 , 𝑗𝑔 , 𝜇 son de clase 𝑐 ∞ ,
entonces
Resulta 𝐿𝑔 𝑦 𝑅𝑔 son de clase 𝑐 𝑘 .
3.- 𝐿𝑔 °𝐿𝑔−1 (ℎ ) = 𝑔. (𝑔−1 . ℎ ) = ℎ y 𝐿𝑔−1 °𝐿𝑔 (ℎ ) = 𝑔−1 . (𝑔. ℎ ) = ℎ
Esto por la definición
𝜇
De 2
−1
Por lo tanto (𝐿𝑔 ) = 𝐿𝑔−1 en particular 𝐿𝑔 es biyectiva
4.- entonces𝐿𝑔 es de clase 𝑐 ∞ para todo 𝑔 ∈ 𝐺 entonces 𝐿𝑔−1
es de clase 𝑐 ∞
5.- por lo tanto 𝐿𝑔 es un difeomorfismo, análogamente se
demuestra para 𝑅𝑔
De 3
De 4
Ejemplo 2. Sean 𝐺 𝑦 𝐻 dos grupos de Lie. Entonces el producto cartesiano 𝐺 × 𝐻 es un grupo
de Lie.
Demostración
Afirmaciones
1.- Sean 𝐺 𝑦 𝐻 dos grupos de Lie
2.- sabemos que tanto 𝐺 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐻son en particular variedades
diferenciales
3.- entonces 𝐺 × 𝐻 es una variedad diferenciable
4.- por otro lado, este producto cartesiano posee también la
estructura de grupo.
5.- por notación (𝐺,∗) 𝑦 (𝐻, ⋕) son las operaciones de grupo
en G y H
6.- 𝜇: (𝐺 × 𝐻) × (𝐺, 𝐻) → 𝐺 × 𝐻
7.- 𝜇: ((𝑔1 , ℎ1 ), (𝑔2 , ℎ2 )) = (𝑔1 ∗ 𝑔2 , ℎ1 ⋕ ℎ2 )
Justificaciones
Por hipótesis
Por definición de grupos de
Lie
Por ejemplo 2.23
De 3
Definición en grupos
Definiendo la función 𝜇
De 6
8.-𝜌: (𝐺 × 𝐻) → (𝐺 × 𝐻),dada por 𝜌(𝑔, ℎ ) = (𝑔−1 , ℎ −1 ) son
diferenciables
Conclusiones
En el presente trabajo consideramos aplicaciones de grupo de lie, como un método
complementario para encontrar soluciones a las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
orden. Además, se puede reducir el orden de algunas ecuaciones. Existen ecuaciones de
segundo orden que no se pueden reducir ni solucionar, como lo son las ecuaciones
trascendentes de painlevé, puesto que solo admiten el grupo de simetría trivial.
Bibliografía
[1] Santamaria, O.S, Variedades diferencial. Universidad nacional Pedro Ruiz Gallo.
Lambayeque 2018.
[2] Ruiz. G. (2020). Geometría de grupos de Lie.
[3] Fausto. O. (2014) Variaciones sobre un tema de Lie.
