Ingeniería Económica: Sexta Edición - Libro de Texto

Relaciones para los flujos de efectivo discretos con composición de final de periodo
Encontrar/ Notación del factor Programa de muestra Tipo Dado y la fórmula Relación del flujo de efectivo
FP
Cantidad
Cantidad sencilla
Series
uniformes
Gradiente aritmético
Gradiente geométrico
compuesta
PF
Valor
presente
PA
Valor
presente
AP
Recuperación de
capital
FA
Cantidad
compuesta
AF
Fondo
de hundimiento
PG G
Valor
presente
AG G
Series
uniformes
Pg A1 y g
Valor
presente
INGENIERÍA ECONÓMICA
INGENIERÍA
ECONÓMICA
Sexta edición
Leland Blank, P. E.
American University of Sharjah, Emiratos Árabes Unidos
y Texas A&M University
Anthony Tarquin, P. E.
University of Texas at El Paso
Traducción:
Javier Enríquez Brito
Mtro. en Investigación de Operaciones
Universidad Nacional Autónoma de México
Revisión técnica:
Filiberto González Hernández
Departamento de Ingeniería Industrial
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, CEM
Sexta edición
MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA MADRID • NUEVA YORK • SAN JUAN • SANTIAGO
AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO
Director Higher Education: Miguel Ángel Toledo Castellanos
Director editorial: Ricardo A. del Bosque Alayón
Editor sponsor: Pablo Eduardo Roig Vázquez
Editora de desarrollo: Diana Karen Montaño González
Supervisor de producción: Zeferino García García
Ingeniería económica
Sexta edición
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.
DERECHOS RESERVADOS © 2006 respecto a la sexta edición en español por
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S. A. DE C. V. A
Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc.
Edificio Punta Santa Fe
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Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe,
Delegación Álvaro Obregón
C.P. 01376, México, D. F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736
ISBN 970-10-5608-6
(ISBN 970-10-3948-3 edición anterior)
Traducido de la sexta edición de: ENGINEERING ECONOMY
Copyright © MMV by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights
reserved. Previous editions © 1976, 1983, 1989, 1998, and 2002.
ISBN: 0-07-320382-3
1234567890 09875432106
Impreso en México Printed in Mexico
Este libro está dedicado a nuestras madres por su constante
motivación para tener éxito en todos los aspectos de nuestra
vida.
CONTENIDO
Prefacio xvii
NIVEL UNO ASÍ COMIENZA TODO
Capítulo 1 Fundamentos de ingeniería económica 4 1.1 ¿Por qué es importante la ingeniería
económica para los ingenieros
(y otros profesionales)? 6
1.2 Papel de la ingeniería económica en la toma de decisiones 7 1.3 Realización de un estudio de ingeniería
económica 10 1.4 Tasa de interés y tasa de rendimiento 12 1.5 Equivalencia 16 1.6 Interés simple y compuesto 18
1.7 Terminología y símbolos 24 1.8 Introducción a las soluciones por computadora 27 1.9 Tasa mínima atractiva
de rendimiento 28 1.10 Flujos de efectivo: estimación y diagramación 32 1.11 Regla del 72: estimaciones del
tiempo y tasa de interés para duplicar una
cantidad de dinero 36
1.12 Aplicación de la hoja de cálculo: interés simple y compuesto y estimaciones
de flujos de efectivo variables 37
Ejemplos adicionales 41
Resumen del capítulo 43
Problemas 44
Problemas de repaso FI 47
Ejercicio ampliado Efectos del interés compuesto 47
Estudio de caso Descripción de las alternativas para la fabricación
de revestimientos para refrigerador 48
Capítulo 2 Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero 50 2.1 Factores de
pago único (F/P y P/F) 52 2.2 Factores de valor presente y de recuperación de capital en series uniformes
(P/A y A/P) 58
2.3 Derivación del factor de fondo de amortización y el factor de cantidad
compuesta serie uniforme (A/F y F/A) 62
2.4 Interpolación en tablas de interés 65 2.5 Factores de gradiente aritmético (P/G y A/G) 67 2.6 Factores para
series gradiente geométrico 73 2.7 Cálculo de tasas de interés desconocidas 77 2.8 Cálculo del número de años
desconocidos 80 2.9 Aplicación de las hojas de cálculo-análisis de sensibilidad básico 81 Ejemplo adicional 82
Resumen del capítulo 84
Problemas 84
x CONTENIDO
Problemas de repaso FI 90
Estudio de caso ¿Qué diferencia pueden hacer los años
y el interés compuesto? 93
Capítulo 3 Combinación de factores 94 3.1 Cálculos para series uniformes que son diferidas 96 3.2
Cálculos que involucran series uniformes y cantidades únicas colocadas
aleatoriamente 101
3.3 Cálculos para gradiente diferido 106 3.4 Gradientes aritméticos diferidos decrecientes 111
3.5 Aplicación de las hojas de cálculo: uso de funciones diferentes 114 Ejemplo adicional 117
Resumen del capítulo 118
Problemas 119
Problemas de repaso FI 125
Ejercicio ampliado Preservación de tierra para uso público 127
Capítulo 4 Tasas de interés nominales y efectivas 128 4.1 Fórmulas para las tasas de interés
nominal y efectiva 130 4.2 Tasas de interés efectivas anuales 134 4.3 Tasas de interés efectivas
para cualquier periodo 140 4.4 Relaciones de equivalencia: comparación entre la duración del
periodo
de pago y del periodo de capitalización (PP versus PC) 144
4.5 Relaciones de equivalencia: pagos únicos con PP ≥ PC 145 4.6 Relaciones de equivalencia:
series con PP ≥ PC 147 4.7 Relaciones de equivalencia: pagos únicos y series con PP < PC 153
4.8 Tasa de interés efectiva para capitalización continua 155 4.9 Tasas de interés que varían con
el tiempo 157 Resumen del capítulo 159
Problemas 160
Problemas de repaso FI 165
Estudio de caso Financiamiento de vivienda 168
NIVEL DOS HERRAMIENTAS PARA EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS Capítulo 5
Análisis del valor presente 174 5.1 Formulación de alternativas mutuamente excluyentes 176 5.2 Análisis de
valor presente de alternativas con vidas
iguales 178
5.3 Análisis de valor presente de alternativas con vida diferente 180 5.4 Análisis de valor futuro
183 5.5 Cálculo y análisis del costo capitalizado 185 5.6 Análisis del periodo de recuperación
192 5.7 Costo de ciclo de vida 196 5.8 Valor presente de bonos 201 5.9 Aplicaciones de la hoja
de cálculo: análisis de VP y periodo de recuperación 204
CONTENIDO xi
Resumen del capítulo 210 Problemas 210 Problemas de repaso FI 218 Ejercicio ampliado Evaluación de las
estimaciones de retiro del Seguro
Social 220
Estudio de caso Programa de evaluación de recuperación de un programa
de excusados (retretes) de muy baja descarga 221
Capítulo 6 Análisis del valor anual 224 6.1 Ventajas y aplicaciones del análisis del valor anual 226
6.2 Cálculo de la recuperación de capital y de valores del VA 228 6.3 Alternativas de evaluación mediante el
análisis del valor anual 231 6.4 VA (valor anual) de una inversión permanente 237
Resumen del capítulo 240 Problemas 240 Problemas de repaso FI 244 Estudio de caso Ambiente cambiante
de un análisis de valor anual 245
Capítulo 7 Análisis de tasa de rendimiento: alternativa única 248 7.1 Interpretación del
valor de una tasa de rendimiento 250 7.2 Cálculos de la tasa de rendimiento utilizando una ecuación de VP o VA
253 7.3 Precauciones cuando se usa el método TR 259 7.4 Valores múltiples de la tasa de rendimiento 260 7.5
Tasa de rendimiento compuesta: eliminación de valores i* múltiples 266 7.6 Tasa de rendimiento de una inversión
en bonos 273
Resumen del capítulo 275 Problemas 276 Problemas de repaso FI 282 Ejercicio ampliado 1: El costo de una
pobre clasificación crediticia 284 Ejercicio ampliado 2: ¿Cuándo es mejor vender un negocio? 284 Estudio de
caso Bob aprende acerca de tasas de rendimiento múltiples 285
Capítulo 8 Análisis de tasa de rendimiento: alternativas múltiples 288 8.1 ¿Por qué es
necesario el análisis incremental? 290 8.2 Cálculo del flujo de efectivo incremental para análisis con TR 291 8.3
Interpretación de la tasa de rendimiento
sobre la inversión adicional 294
8.4 Evaluación de la tasa de rendimiento utilizando VP: incremental y de punto
de equilibrio 295
8.5 Evaluación de la tasa de rendimiento utilizando VA 304 8.6 Análisis TR de múltiples alternativas mutuamente
excluyentes 305 8.7 Aplicación de hoja de cálculo: análisis VP, VA y TR, todos en uno 311
Resumen del capítulo 313 Problemas 314 Problemas de repaso FI 320
xii CONTENIDO
Ejercicio ampliado Análisis de TR incremental cuando son inciertas
las vidas estimadas de las alternativas 321
Estudio de caso 1 Tantas opciones. ¿Puede ayudar a su padre un recién
graduado en ingeniería? 322
Estudio de caso 2 Análisis de VP cuando están presentes múltiples
tasas de interés 324
Capítulo 9 Análisis beneficio/costo y economía del sector público 326 9.1 Proyectos del
sector público 328 9.2 Análisis beneficio/costo de un solo proyecto 334 9.3 Selección de alternativas mediante el
análisis B/C incremental 339 9.4 Análisis B/C incremental de alternativas múltiples mutuamente excluyentes 342
Resumen del capítulo 349
Problemas 349
Problemas de repaso FI 357
Ejercicio ampliado Costos para proporcionar un servicio de camión
de bomberos contra incendios 358
Estudio de caso Alumbrado de carreteras 360
Capítulo 10 Toma de decisiones: método, TMAR y atributos múltiples 362 10.1
Comparación de alternativas mutuamente excluyentes con diferentes métodos
de evaluación 364
10.2 TMAR en relación al costo del capital 367 10.3 Mezcla deuda-capital propio y costo
promedio ponderado del capital 371 10.4 Determinación del costo del capital de deuda 373 10.5
Determinación del costo del capital patrimonial (o social) y de la TMAR 376 10.6 Efecto de la
mezcla deuda-capital propio sobre el riesgo de inversión 379 10.7 Análisis de atributos
múltiples: identificación
e importancia de cada atributo 382
10.8 Medida de evaluación para atributos múltiples 387 Resumen del capítulo 390
Problemas 391
Ejercicio ampliado Énfasis en lo correcto 400
Estudio de caso ¿Qué elegir: financiamiento de deuda o patrimonial? 401
NIVEL TRES TOMA DE DECISIONES EN PROYECTOS REALES Capítulo 11
Decisiones de reemplazo y conservación 406 11.1 Fundamentos del análisis de reemplazo 408 11.2
Vida útil económica 411 11.3 Realización de un análisis de reemplazo 418 11.4 Consideraciones adicionales en un
análisis de reemplazo 424 11.5 Análisis de reemplazo durante un periodo de estudio específico 425 Resumen del
capítulo 432
Problemas 432
Problemas de repaso FI 440
CONTENIDO xiii
Ejercicio ampliado Vida útil económica bajo condiciones cambiantes 441
Estudio de caso Análisis de reemplazo para equipo minero 442
Capítulo 12 Selección de proyectos independientes con limitaciones
presupuestales 444 12.1 Panorama general del racionamiento de capital entre proyectos 446 12.2
Racionamiento del capital utilizando el análisis VP para proyectos
con vida igual 448
12.3 Racionamiento de capital utilizando el análisis VP para proyectos
de vida diferente 451
12.4 Formulación de problemas en la elaboración del presupuesto de gastos
de capital utilizando programación lineal 455
Resumen del capítulo 459
Problemas 460
Estudio de caso Educación en ingeniería para toda la vida
en un ambiente web 463
Capítulo 13 Análisis del punto de equilibrio 466 13.1 Análisis de punto de equilibrio para un
proyecto único 468 13.2 Análisis de punto de equilibrio entre dos alternativas 475 13.3 Aplicación en hoja de
cálculo: uso de SOLVER de Excel para el análisis
del punto de equilibrio 480
Resumen del capítulo 484
Problemas 484
Estudio de caso Costos del proceso de tratamiento de agua en una planta 490
NIVEL CUATRO REDONDEANDO EL ESTUDIO
Capítulo 14 Efectos de la inflación 496 14.1 Comprensión del impacto de la inflación 498 14.2
Cálculos de valor presente ajustado por inflación 501 14.3 Cálculos de valor futuro ajustados por la inflación 507
14.4 Cálculos de recuperación del capital ajustados por inflación 512 Resumen del capítulo 513
Problemas 514
Problemas de repaso FI 519
Ejercicio ampliado Inversiones de ingreso fijo contra las fuerzas
de la inflación 519
Capítulo 15 Estimación de costos y asignación de costos indirectos 522 15.1
Comprensión de cómo se logra la estimación de costos 524 15.2 Índices de costos 528 15.3 Relaciones de
estimación de costo: ecuaciones costo-capacidad 532 15.4 Relaciones de estimación de costos: método de factor
534 15.5 Tasa de costos indirectos tradicionales y asignación 536 15.6 Costeo basado en actividades (CBA) para
costos indirectos 540
xiv CONTENIDO
Resumen del capítulo 545
Problemas 546
Problemas de repaso FI 556
Estudio de caso Estimaciones de costo total para optimizar dosis
de coagulantes 556
Estudio de caso Comparación de costo indirecto de una unidad
de esterilización de equipo médico 559
Capítulo 16 Métodos de depreciación 562 16.1 Terminología de depreciación 564 16.2
Depreciación en línea recta (LR) 567 16.3 Depreciación de saldo decreciente (SD) y de saldo doble decreciente 569
16.4 Sistema modificado acelerado de recuperación de costos (SMARC) 574 16.5 Determinación del periodo de
recuperación del SMARC 578 16.6 Métodos de agotamiento 579 Resumen del capítulo 582
Problemas 584
Problemas de repaso FI 589
16A.1 Depreciación de la suma de dígitos anuales (SDA) 590 16A.2 Cambio entre métodos de
depreciación 591 16A.3 Determinación de tasas SMARC 597 Problemas del apéndice 600
Capítulo 17 Análisis económico después de impuestos 602 17.1 Terminología para el
impuesto sobre la renta y su relación con corporaciones
(e individuos) 604
17.2 Flujo de efectivo antes y después de impuestos 609 17.3 Efectos de los diferentes métodos
de depreciación y periodos de recuperación
sobre los impuestos 612
17.4 Recobro de depreciación y ganancias (pérdidas) de capital: para corporaciones 616 17.5
Evaluación después de impuestos de VP, VA y TR 622 17.6 Aplicaciones en hoja de cálculo:
análisis TR incremental después de impuestos 628 17.7 Análisis de reemplazo después de
impuestos 631 17.8 Análisis del valor agregado después de impuestos 636 17.9 Análisis de
proyectos internacionales después de impuestos 640 Resumen del capítulo 642
Problemas 643
Estudio de caso Evaluación después de impuestos del financiamiento
por deuda y capital propio 656
Capítulo 18 Análisis de sensibilidad formalizado y decisiones
de valor esperado 660 18.1 Determinación de la sensibilidad para variación de
parámetros 662 18.2 Análisis de sensibilidad formalizado utilizando tres estimaciones 670 18.3
Variabilidad económica y el valor esperado 672 18.4 Cálculos de valor esperado para
alternativas 673
CONTENIDO xv
18.5 Evaluación de alternativas por etapas utilizando un árbol de decisión 676 Resumen del capítulo 681
Problemas 681
Ejercicio ampliado Análisis de alternativas desde diferentes ángulos 690
Estudio de caso Análisis de sensibilidad en proyectos del sector público:
planes de suministro de agua 691
Capítulo 19 Más sobre variaciones y toma de decisiones bajo riesgo 696 19.1
Interpretación de certidumbre, riesgo e incertidumbre 698 19.2 Elementos importantes para la toma de decisiones
bajo riesgo 702 19.3 Muestras aleatorias 709 19.4 Valor esperado y desviación estándar 714 19.5 Muestreo de
Monte Carlo y análisis mediante simulación 720 Ejemplos adicionales 730
Resumen del capítulo 735
Problemas 735
Ejercicio ampliado Uso de simulación y el GNA de Excel para análisis
de sensibilidad 740
Apéndice A Uso de hoja de cálculo y del programa Excel© de Microsoft 742 A.1
Introducción al uso de Excel 742 A.2 Organización (distribución) de la hoja de cálculo 747 A.3 Funciones de
Excel importantes para la ingeniería económica 749 A.4 SOLVER: una herramienta de Excel para análisis de
equilibrio y del tipo
“¿qué si…?” 759
A.5 Lista de las funciones financieras de Excel 760 A.6 Mensajes de error 763
Apéndice B Elementos básicos de los informes de contabilidad y de las razones
financieras 764 B.1 El balance general 764 B.2 Estado de resultados y estado del costo de lo vendido 766
B.3 Razones financieras 767 Problemas 772
Materiales de referencia 773
Tablas de factores de
interés compuesto 775
Índice 805
PREFACIO
El propósito principal de este libro es presentar en forma clara los principios y apli caciones del
análisis económico, a través de una gran diversidad de ejemplos orienta dos a la ingeniería, con el
apoyo de ejercicios al final de cada capítulo y opciones de aprendizaje basadas en herramientas
electrónicas. A lo largo de todas las ediciones de este título, nuestro objetivo ha sido presentar el
material de la manera más clara y concisa, sin sacrificar el alcance o la comprensión del lector. En la
sección que sigue a este pre facio se describe la secuencia de los temas y la flexibilidad con que se
cuenta para seleccionar los capítulos, a fin de posibilitar el alcance de objetivos en otros cursos.
NIVEL ACADÉMICO Y USO DE TEXTO
El mejor uso que se le puede dar al texto es para enseñar o aprender en una carrera universitaria y
como libro de referencia para llevar a cabo los cálculos básicos del análisis de ingeniería económica.
El libro es adecuado para un curso de un semestre o un trimestre de análisis económico de ingeniería,
análisis de proyectos o análisis de costos en ingeniería. Además, en virtud de la estructura conductista
del libro, éste se adapta perfectamente a las necesidades de los lectores que pretendan conocer el
material por primera vez de forma independiente y para aquellos que sencillamente desean hacer un
repaso. Los estudiantes deberían contar con un nivel de conocimientos de por lo menos segundo o
tercer semestre de universidad con la finalidad de que aprecien mejor el contexto de ingeniería que
rodea a los problemas. No se requieren conocimientos previos de cálculo para comprender las
operaciones que se llevan a cabo, aunque el material será más significativo y, por lo tanto, el
aprendizaje resultará más fácil y ameno si se está familiarizado con la terminología de la ingeniería.
Sin embargo, el enfoque estructurado en el diseño del texto permite al practicante que no conoce los
fundamentos de la economía y la ingeniería utilizar el texto para aprender, comprender y aplicar
correctamente los principios y técnicas para una adecuada toma de decisiones.
LO NUEVO EN ESTA EDICIÓN
Para la sexta edición se han conservado el diseño y estructura básicos de las ediciones anteriores. Sin
embargo, hay cambios considerables. Entre los más significativos se encuentran los siguientes:
• Más de 80% de los problemas al final de cada capítulo se revisaron o son nuevos. • Se actualizaron
los materiales que se basan en el tiempo, como las tasas de impues tos y los índices de costo.
• Es más visible la dimensión internacional del libro.
• En esta edición, muchos de los Problemas de Repaso de Fundamentos de Ingeniería (FI) son nuevos.
ESTRUCTURA DE LA OBRA Y OPCIONES
DE ESTUDIO DE LOS CAPÍTULOS
El texto se redactó por módulos, lo cual permite organizar los temas de diversas formas, según los
diferentes objetivos, estructuras y límites de tiempo en los cursos. Hay un
xviii PREFACIO
total de 19 capítulos repartidos en cuatro niveles. Como lo indica el diagrama de flujo
de la página siguiente, algunos capítulos se estudian en orden secuencial; sin embargo,
el diseño por módulos permite una gran flexibilidad en la elección y orden de los
temas. La gráfica de estudio progresiva de los capítulos —después del diagrama de
flujo— muestra algunas de las opciones para abordar capítulos, antes de lo que indica
el orden numérico. Por ejemplo, si el curso incluye el análisis después de impuestos en
la primera parte del semestre o trimestre, el capítulo 16 y las primeras secciones del
capítulo 17 se pueden examinar en cualquier momento después del capítulo 6 sin el
peligro de omitir información fundamental. Hay entradas principales y alternativas
para la mayoría de las categorías de inflación, estimación, impuestos y riesgo. Las
entradas alternativas se indican por medio de una flecha punteada sobre la gráfica.
El material del nivel uno hace hincapié en las habilidades de cálculo básicas; así,
estos capítulos constituyen un requisito previo para los capítulos restantes de la obra.
Los capítulos del nivel dos están consagrados principalmente a las técnicas analíticas
más comunes para comparar alternativas. Aunque es recomendable cubrir todos los
capítulos de este nivel, sólo se hace referencia amplia a los dos primeros —capítulos 5
y 6— en el resto de la obra. Los tres capítulos del nivel tres muestran la forma de
aplicar las técnicas del nivel dos para evaluar activos actualmente en uso o alternativas
independientes; mientras que los capítulos del nivel cuatro resaltan las consecuencias
de los impuestos, de la toma de decisiones y de otros conceptos en la estimación de
costos, el costeo basado en actividades, el análisis de sensibilidad y el riesgo, de
acuerdo con el tratamiento que se les da utilizando la simulación Monte Carlo.
Organización de los capítulos y de los ejercicios de final de capítulo Cada capítulo
incluye un objetivo general y una serie gradual de objetivos de aprendizaje, seguida
por el material de estudio. Los encabezados de sección corresponden a cada objetivo
de aprendizaje; por ejemplo, la sección 5.1 contiene el material perteneciente al primer
objetivo del capítulo. Cada sección incluye uno o más ejemplos ilustrativos resueltos a
mano, o bien, por ambas técnicas, a mano y por computadora. Los ejemplos se separan
del material del texto e incluyen comentarios referentes a la solución, así como enlaces
pertinentes a otros temas del libro. Los resúmenes al final de cada capítulo fusionan de
manera nítida los conceptos y temas principales cubiertos con el propósito de reforzar
el aprendizaje del estudiante antes de abordar los ejercicios de fin de capítulo.
Los problemas no resueltos de fin de capítulo se agrupan y se clasifican según el
mismo orden general de las secciones del capítulo. Este enfoque brinda la oportunidad
de aplicar el material por sección o programar la resolución del problema cuando se
haya concluido el estudio del capítulo.
Los apéndices A y B tienen información complementaria: una introducción elemen
tal a las hojas de cálculo (Microsoft Excel) para lectores que no se encuentran familia
rizados con ellas; los conceptos básicos de la contabilidad y de los informes
corporativos, y las respuestas finales a los problemas selectos ordenados por capítulo.
Las tablas de factores de interés se localizan al final de la obra para que resulten de
fácil acceso. Por último, los forros internos permiten una consulta rápida de la
notación de factores, fórmulas y diagramas de flujo, además de una guía del formato
de las funciones de la hoja de cálculo más comúnmente utilizadas. En la contraportada
aparece un glosario de términos comunes y símbolos empleados en la ingeniería
económica.
NIVEL UNO
Estructura por niveles
Capítulo 1
Fundamentos
de ingeniería económica
Capítulo 2
Factores: cómo el tiempo
y el interés afectan al dinero
Capítulo 3
Combinación de factores
Capítulo 4
Tasas de interés
nominales y efectivas
Capítulo 7
Análisis de tasa
PREFACIO xix
NIVEL DOS
Capítulo 5
Análisis del valor presente
Capítulo 6
Análisis del valor anual
de rendimiento:
alternativa única
Capítulo 8
Análisis de tasa
de rendimiento:
alternativas múltiples
Capítulo 9
Análisis beneficio/ costo y economía del sector público
NIVEL TRES
Capítulo 11
Decisiones de reemplazo y conservación
Capítulo 10
Toma de decisiones:
método, TMAR
y atributos múltiples
Capítulo 12
Selección de proyectos independientes con
limitaciones presupuestales
Capítulo 13
Análisis del punto de equilibrio
Capítulo 14
Efectos
de la inflación
NIVEL
CUATRO
Capítulo 15
Estimación de costos y asignación
de costos indirectos
Capítulo 16
Métodos
de depreciación
Capítulo 17
Análisis económico después
de impuestos
Capítulo 18
Análisis de sensibilidad formalizado y decisiones de valor esperado
Capítulo 19
Más sobre variaciones y toma de decisiones bajo riesgo
xx PREFACIO
OPCIONES DE ESTUDIO DE LOS CAPÍTULOS
Los temas pueden estudiarse en el punto señalado o en cualquier punto de ahí en adelante
(las entradas alternativas se indican con el símbolo )
Impuestos
y depreciación 16.
Progresión numérica
a través de los capítulos
Inflación
Depreciación
1. Fundamentos
2. Factores
3. Más factores
4. i efectiva
5. Valor presente
6. Valor anual
7. Tasa de rendimiento
8. Más TR
9. Beneficio/costo
10. Elecciones
11. Remplazo
12. Presupuesto de
14. Inflación
capital
Estimación de costos
13. Punto de equilibrio
Análisis de sensibilidad
adicional y riesgo
15. Estimación
17. Después de impuestos
18. Análisis de sensibilidad
19. Riesgo y simulación
AGRADECIMIENTOS
Hay mucha gente que labora en universidades, en la industria y la práctica
independien te que colaboró en la elaboración de esta obra. Estamos agradecidos con
cada uno de ellos por sus contribuciones y el privilegio que nos brindaron de trabajar
con ellos. Algunas de estas personas son las siguientes:
Roza Abubaker, American University of Sharjah
Robyn Adams, 12th Man Foundation, Texas A&M University
Jeffrey Adler, Mindbox, Inc., y originalmente de Rensselaer
Polytechnic Institute
Richard H. Bernhard, North Carolina State University
Stanley F. Bullington, Mississippi State University
Peter Chan, CSA Engineering, Inc.
PREFACIO xxi
Ronald T. Cutwright, Florida A&M University
John F. Dacquisto, Gonzaga University
John Yancey Easley, Mississippi State University
Nader D. Ebrahimi, University of New Mexico
Charles Edmonson, University of Dayton, Ohio
Sebastian Fixson, University of Michigan
Louis Gennaro, Rochester Institute of Technology
Joseph Hartman, Lehigh University
John Hunsucker, University of Houston
Cengiz Kahraman, Istanbul Technical University, Turkey
Walter E. LeFevre, University of Arkansas
Kim LaScola Needy, University of Pittsburgh
Robert Lundquist, Ohio State University
Gerald T. Machulak, Arizona State University
Mike Momot, University of Wisconsin, Platteville
James S. Noble, University of Missouri-Columbia
Richard Patterson, University of Florida
Antonio Pertence, Jr., Faculdade de Sabara, Minas Gerais, Brazil
William R. Peterson, Old Dominion University
Stephen M. Robinson, University of Wisconsin-Madison
David Salladay, San Jose State University
Mathew Sanders, Kettering University
Tep Sastri, formerly of Texas A&M University
Michael J. Schwandt, Tennessee Technological University
Frank Sheppard, III, The Trust for Public Land
Sallie Sheppard, American University of Sharjah
Don Smith, Texas A&M University
Alan Stewart, Accenture LLP
Mathias Sutton, Purdue University
Ghassan Tarakji, San Francisco State University
Ciriaco Valdez-Flores, Sielken and Associates Consulting
Richard West, CPA, Sanders and West
También deseamos agradecerle a Jack Beltrán por su precisión al revisar ésta y las anteriores
ediciones. Su trabajo ayudará a que este libro sea un éxito.
Por último, serán bien recibidos los comentarios y las sugerencias del lector para
mejorar tanto el contenido del libro como el Centro de Aprendizaje en Línea. Contáctenos en las
direcciones [email protected], [email protected] y [email protected]. Estaremos atentos a sus
opiniones.
Lee Blank
Tony Tarquin
RECORRIDO GUIADO
EJEMPLOS Y EJERCICIOS DEL CAPÍTULO Los lectores de este libro cuentan con diversas maneras de
reforzar los conceptos que han aprendido. Los problemas del final del capítulo, los problemas que se
presentan a lo largo del capítulo, los problemas ampliados, los casos prácticos y los problemas de
repaso de FI (Fundamentos de Ingeniería) ofrecen al lector la oportunidad de aprender el análisis
económico en gran variedad de formas. Los diversos ejercicios implican formas sencillas de trabajo,
problemas de repaso de un solo paso y la necesidad de responder ampliamente a preguntas complejas
que aplican a la realidad mundial. Los ejemplos que aparecen en el capítulo también son una forma útil
para reforzar los conceptos aprendidos.
PROBLEMAS DE FIN DE CAPÍTULO
cuál(es) seleccionar
PROBLEMAS
Tipos de proyectos
5.1 ¿Qué quiere decir servicio alternativo?
5.2 Al evaluar proyectos con el método del valor presente, ¿cómo se sabe
cada capítulo contiene muchos
ejercicios para trabajo en casa que
5.3 Lea el enunciado de los problemas si guientes y determine si los flujos de son representativos de la realidad
efectivo definen un ingreso o proyecto de servicios:
Como en las ediciones anteriores, mundial. El 80% de los ejercicios
si son: a) independientes y b) mutuamente excluyentes?
que aparecen al final del capítulo han
sido revisados o son nuevos para esta
edición.
Alternativa Valor anual, $/año
A –25 000
B –12 000
C 10 000
D 15 000
a) Sólo A
b) Sólo D
c) Sólo A y B
d) Sólo C y D
6.25 El valor anual (en los años 1 al infinito) de $50 000 de hoy, $10 000 anuales en
los años
nida. El donador planea dar dinero ahora y para cada uno de los 2 años siguientes. Si
el monto de cada donación es exactamente la misma, la cantidad que debe donarse
cada año con i = 8% anual, es muy cercana a:
a) $190 820
b) $122 280
c) $127 460
d) $132 040
EJERCICIOS AMPLIADOS Los
ejercicios ampliados han sido
diseñados para requerir un análisis
de hoja de cálculo con énfasis
general en un análisis de
sensibilidad.
6.27 ¿Cuánto debe depositar cada año una per sona en su cuenta de ahorros para el
retiro, durante 10 años e iniciando ahora (es decir, años 0 a 9), si desea poder retirar
$50 000 anuales para siempre, y empieza a hacer esto dentro de 30 años? Suponga que
la cuenta gana un interés de 10% anual.
a) $4 239
b) $4 662
c) $4 974
d) $5 471
DE FUNDAMENTOS DE
INGENIERÍA (FI) Los problemas
de repaso de examen abarcan los
mismos temas que el examen FI y
están escritos en el mismo formato
de opción múltiple que se emplea en
el examen. Todos estos problemas
son nuevos para esta edición.
PROBLEMAS DE REPASO FI
PROBLEMAS DE REPASO DE
EXAMEN
Nota: La convención de signos que se emplea en el examen de FI puede ser contraria a
la que aquí se utiliza. Es decir, que en el examen de FI, los cos tos pueden ser positivos
y los ingresos negativos.
6.24 Para las alternativas mutuamente excluyen tes que se muestran a continuación,
deter mine cuál o cuáles deben seleccionarse.
168 CAPÍTULO 4 Tasas de interés nominales y efectivas
ESTUDIO DE CASO
FINANCIAMIENTO DE VIVIENDA
CASOS PRÁCTICOS
Todos los casos prácticos representan tratamientos y
ejercicios profundos del mundo real que cubren un
Introducción
Cuando un individuo o una pareja deciden comprar una vivienda, una de las cuestiones más importantes es el financiamiento. Existen diversos métodos de financia miento para la compra de una propiedad residencial, cada uno de los cuales tiene ciertas ventajas, las cuales permiten elegir uno de los métodos bajo cierto conjun to de
circunstancias. La elección de uno de los méto dos de acuerdo con determinado grupo de condiciones constituye el tema de este caso. Se describen tres mé todos de financiamiento con detalle. Se evalúan los pla nes A y B; se le pide al lector que evalúe el plan C y que lleve a cabo un análisis adicional.
El criterio aplicado en este caso es el siguiente: eli ja el plan de financiamiento que tenga un saldo mayor al final de un periodo de 10 años. Por lo tanto, calcule
• Nuevos gastos por el préstamo: cuota de origen de 1%, cuota de avalúo de $300, cuota de investiga ción de $200, honorarios del abogado de $200, cuo ta de procesamiento de $350, cuotas de depósito de $150 y $300 de otros gastos.
• Cualquier monto que no se gaste en el pago del en ganche o en los pagos mensuales ganará intereses libres de impuestos al 1/4% mensual.
Análisis de planes de financiamiento Plan A: Tasa fija a 30 años
El monto de dinero que se requiere por adelantado es de:
a) Pago del enganche (5% de $150 000) $7 500 b) Cuota de origen (1% de $142 500) 1 425 c) Avalúo 300
amplio espectro del análisis económico y de la profesión de la ingeniería.
SECCIÓN 2.2 Factores de valor presente y de recuperación de capital 61
Las funciones de hoja de cálculo son capaces de calcular los valores P y A en vez de
aplicar los factores P/A y A/P. La función VP que usamos en la sección anterior
también calcula el valor P para una A dada a lo largo de n años, y un valor F en el
el valor futuro de cada plan y elija el que tenga el ma yor valor futuro.
Plan Descripción
A Tasa de interés fija a 30 años de 10% anual y 5% de pago de enganche
B Tasa ajustable de hipoteca (TAH), 9% en los primeros 3 años, 91/2% en el
año 4, 101/4% en los años 5 a 10
(supuesto), 5% de enganche
C Tasa fija a 15 años al 91/2% de interés anual, 5% de enganche
Información adicional:
• El precio de la casa es de $150 000.
• La casa se venderá en 10 años en $170 000 (ingreso neto después de deducir los gastos de venta).
d) Investigación 200 e) Honorarios del abogado 200 f) Réditos 350 g) Depósito 150 h) Otros gastos (registro, informe de
crédito, etc.) 300 Total $10 425
La cantidad del préstamo es $142 500. El pago men sual equivalente (principal + intereses) se determina al 10%/12 mensual por 30(12) = 360 meses.
A = 142 500(A/P,10%/12 360)
= $1 250.56
Cuando los impuestos y el seguro se suman al pago de intereses y capital, el monto del pago mensual total PAGOA es
año n, si se da éste. El formato, que se presenta en la sección 1.8, es VP(i%,n,A,F)
De manera similar, el valor A se determina utilizando la función PAGO para un valor P dado en el año 0 y una F aparte, si está dada. El formato es
PAGO(i%,n,P,F)
La función PAGO se demostró en la sección 1.18 (figura 1.5b) y se usa en ejemplos posteriores. La tabla 2.2 incluye funciones VP y PAGO para P y A, respectivamen te. El ejemplo 2.4 demuestra la función VP.
EJEMPLO 2.4
¿Cuánto dinero debería destinarse para pagar ahora por $600 garantizados cada año du rante 9 años, comenzando el próximo año, a una tasa de rendimiento de 16% anual?
Sol-R
• Los impuestos y el seguro (I&S) ascienden a $300
PAGOA = 1 250.56 + 300
Solución
mensuales.
• Cantidad disponible: máximo de $40 000 para el enganche, $1 600 mensuales, incluyendo impues tos y seguro.
= $1 550.56
Ahora se determina el valor futuro del plan A sumando tres montos en valor futuro: los fondos que no se utili
El diagrama de flujo de efectivo (figura 2.6) se ajusta al factor P/A. El valor presente es: P = 600(P/A,16%,9) = 600(4.6065) = $2 763.90
La función VP(16%,9,600) ingresada en una celda de una hoja de cálculo desplegará la respuesta P = $2 763.93.
A = $600
Sol-R
EJEMPLOS A LO LARGO DEL CAPÍTULO
10
P=?
Figura 2.6
234 6 5 9 7 8 i = 16%
Los ejemplos que se encuentran a lo largo del capítulo son relevantes para todas las disciplinas de la
Ingeniería que utilicen este texto: Industrial, Civil, Ambiental, Petroquímica y Eléctrica; así como para los
programas de administración y
Diagrama para encontrar P usando el factor P/A, ejemplo 2.4.
Comentario
Otro método de solución consiste en utilizar los factores P/F para cada uno de los
nueve pagos y agregar los valores presentes resultantes, para obtener la respuesta
correcta. Otra forma es calcular el valor futuro F de los pagos de $600 y luego
encontrar el valor presen te del valor F. Existen diversas formas de resolver un
problema de ingeniería económica. Aquí sólo se presentan los métodos más
directos.
tecnología de la Ingeniería. USO DE HOJAS DE CÁLCULO El texto integra hojas de cálculo y le
muestra lo fáciles que
SECCIÓN 2.1 Factores de pago único (F/P y P/F) 55
Fórmula de factor: Aplique la ecuación [2.2] para calcular el valor futuro F:
son de usar al resolver virtualmente cualquier tipo de problema relacionado con el análisis de Ingeniería y lo
importantes que pueden ser para alterar estimados y así
F = P(1 + i)n = 12 000(1 + 0.08)24
= 12 000(6.341181)
= $76 094.17
La ligera diferencia en las respuestas se debe al error de redondeo introducido por los
valores de factor tabulados. Una interpretación equivalente de este resultado es que los
$12 000 actuales equivaldrán a $76 094 después de 24 años de crecer al 8% por año,
anualmente compuesto.
b) Solución por computadora
Para encontrar el valor futuro use la función VF que tiene el formato VF( i%,n,A,P). La
hoja de cálculo se desplegará como la que se muestra en la figura 1.5a, excepto que la
entrada de celda es VF(8%,24,,12 000). El valor F desplegado por Excel aparece como
($76,094.17) en rojo para indicar un flujo de efectivo de salida. La función VF realiza el
cálculo F = P(1 + i)n = 12,000(1 + 0.08)24 y presenta la respuesta en la pantalla.
EJEMPLO 2.2
Hewlett-Packard realizó un estudio que indica que $50 000 en la reducción de manteni
miento este año (es decir, año cero), en una línea de procesamiento, fue el resultado del
mejoramiento de la tecnología de fabricación de circuitos integrados (CI), con base en
diseños que cambian rápidamente.
346 CAPÍTULO 9 Análisis beneficio/costo y economía del sector público
a) Si Hewlett-Packard considera que este tipo de ahorro vale un 20% anual, encuentre
el valor equivalente de este resultado después de 5 años.
b) Si el ahorro de $50 000 en mantenimiento ocurre ahora, calcule su valor equivalente
La alternativa 2 evidentemente está justificada desde una perspectiva incremental. La
3 años antes con un interés de 20% anual.
alternativa 1 se elimina, y la alternativa 3 constituye el nuevo retador para el defen
lograr un mejor entendimiento de la sensibilidad y de las consecuencias económicas de las incertidumbres
inherentes en todos los pronósticos. Al comenzar el Capítulo 1, Blank y
Tarquin ilustran sus comentarios de las hojas de cálculo de Microsoft Excel™* .
Cuando una celda, construida en Excel puede emplearse para resolver un problema al margen de la página
aparece un
Sol-R
sor 2.
c) Desarrolle una hoja de cálculo para responder los dos incisos anteriores a tasas com puestas de 20 y 5% anuales. De manera adicional, elabore una gráfica de barras en
7. Este proceso se repite para el caso de la comparación entre 3 y 2, el cual posee una Excel que indique los valores equivalentes, en los tres diferentes momentos, para razón B/C incremental de 0.62, como consecuencia de que los beneficios incrementales ambos valores de la tasa de rendimiento.
son considerablemente menores que el incremento en costos. Por lo tanto, se elimina la propuesta 3, y la comparación entre 4 y 2 da como resultado:
Solución
a) El diagrama de flujo de efectivo aparece como en la figura 2.1a. Los símbolos y sus B/C = $220 000/$120 360 = 1.83
valores son
Como B/C > 1.0, se conserva la propuesta 4. Como la propuesta 4 es la única alterna
P = $50 000 F = ? i = 20% anual n = 5 años
tiva que se conserva, es la elegida.
Utilice el factor F/P para determinar F después de 5 años.
La recomendación para la propuesta 4 requiere un incentivo inicial de $800 000, que exce
ícono de un par de banderas a cuadros Sol-R
Sol-R (de solución rápida).
etiquetado
F = P(F/P,i,n) = $50,000(F/P,20%,5)
de el límite de $500 000 de los límites del incentivo aprobado. La CDE tendrá que solicitar
= 50,000(2.4883)
al Consejo de la Ciudad y al Consejo del Condado que haga una excepción en las directri
= $124,415.00
ces. Si la excepción no se aprueba, se acepta la propuesta 2.
La función VF(20%,5,,50000) proporciona la misma respuesta. Véase la figura 2.2 a,
Solución por computadora
celda C4.
La figura 9.2 presenta una hoja de cálculo que incluye los mismos cálculos que los de la
b) En este caso, el diagrama de flujo de efectivo aparece como en la figura 2.1b, con F
tabla 9.1. Las celdas de la fila 8 incluyen la función PAGO(7%, 8,–incentivo inicial) para
Sol-R
ubicado en el tiempo t = 0 y el valor P colocado 3 años antes en t = –3. Los símbolos
y sus valores son
P = ? F = $50,000 i = 20% anual n = 3 años
Tasa de descuento =
Alternativa
Incentivo inicial, $
El ícono de trueno , Sol-E, indica que se ha desa
rrollado una hoja de cálculo más compleja para así resolver el problema. Esta hoja de cálculo incluye
datos y diversas funciones y quizá un gráfico en Excel que ilustre la respuesta y el análisis de sensibilidad
de la solución para cambiar los datos.
Costo del incentivo tributario, $/año
Cuotas de entrada del residente, $/año
Impuestos por ventas adicionales, $/año
Vida
VA de costos totales
Alternativas comparadas
a
Costos incrementales (delta C)
Reducción en las cuotas de entrada, $/año
Impuestos por ventas adicionales, $/año
Beneficios incrementales (delta B)
Razón B/C incremental
aa
E$13/E$10
Para ambos ejemplos, el de Sol-R y el de Sol-E, los autores han incluido
celdas que indican con claridad el funcionamiento necesario para obtener el valor en la celda específica. El
ícono Sol-E
¿Se justifica el incremento?
Alternativa elegida
C$8 B$8
Si Si
Sí Sí
también se usa a lo largo de los capítulos para resaltar algunas
PAGO($B$1,C$7, C3) C4 SI(E14 1,“Sí”,“No”)
B$5 C$5
C$6 B$6
C$11 C$12
Figura 9.2
Solución en hoja de cálculo para un análisis B/C incremental de cuatro alternativas mutuamente excluyentes.
descripciones acerca del mejor uso de la computadora en cuanto al tema de Ingeniería Económica que se
está tratando.
La colocación de ∆ (delta) antes de i*
la distingue de los valores de TR para i* e i* .
REFERENCIAS CRUZADAS Blank y Tarquin
Puesto que la TR incremental requiere comparación entre servicios iguales, en
la formulación de la ecuación VP debe utilizarse el MCM de las vidas. A causa del requisito de
refuerzan los conceptos de ingeniería que se
reinversión para el análisis VP relacionado con activos de vida diferen te, la serie incremental del
de efectivo puede implicar diversos cambios de signo, indicando valores múltiples de ∆i*.
presentan a lo largo del libro al hacerlos accesibles flujo
Aunque es incorrecto, tal indicación pue de ignorarse en la practica real. El enfoque correcto es
establecer la tasa de reinversión c y seguir el enfoque de la sección 7.5, lo cual significa que se
desde otras secciones del mismo. Los íconos de
determina la tasa de rendimiento compuesta única ∆i′) para la serie incremental del flujo de
efectivo. Estos tres elementos requeridos (serie incremental del flujo de efectivo, MCM y raíces
referencia cruzada que aparecen en los márgenes
múltiples) son las principales razones para que con frecuencia el método de TR se aplique
incorrectamente en los análisis de ingeniería económica de alternati vas múltiples. Como se
refieren al lector a distintos números de sección,
expresó antes, siempre es posible y, por lo general, aconse jable, cuando se indican múltiples
tasas, utilizar un análisis VP o VA para una TMAR establecida, en lugar del método TR.
ejemplos en particular, o capítulos enteros que
El procedimiento completo (manual o en hoja de cálculo) para análisis de TR
contienen información más fundamental (se presenta incremental de dos alternativas es el siguiente:
antes) o avanzada (se presenta después) que resulta 1. Ordene las alternativas por monto de la inversión o costo inicial, empezando con la más baja,
B–A
llamada A. La alternativa con la inversión inicial más alta está
en la columna rotulada B en la tabla 8.1.
296 CAPÍTULO 8 Análisis de tasa de rendimiento: alternativas múltiples
Utilice recursos manuales o por computadora para encontrar ∆i*B – A , la TR interna para las series.
relevante para el párrafo que está
junto al ícono.
Las dimensiones internacionales
Secc. 7.4
Pruebas de raíces múltiples
ATRACTIVO INTERNACIONAL
2. Desarrolle las series de el flujo de efectivo y las de flujo de
efectivo incrementales utilizando el MCM de los años,
suponiendo la reinversión en las alternativas. 3. Dibuje un
diagrama de flujo de efectivo incremental, si es necesario. 4.
Cuente el número de cambios de signo en la serie del flujo de
efectivo incre mental para determinar si hay presentes tasas de
rendimiento múltiples. De ser necesario, utilice el criterio de
Norstrom sobre series de flujo de efectivo acu mulativas
incrementales para determinar si existe una sola raíz positiva. 5.
Formule la ecuación de VP para los flujos de efectivo
incrementales en la for ma de la ecuación [7.1] y determine ∆i*B
– A utilizando ensayo y error, manual o mediante funciones de
hoja de cálculo.
6 lij l j l i d d l d i ó i d l d i
A
B
17.9 ANÁLISIS DE PROYECTOS INTERNACIONALES
DESPUÉS DE IMPUESTOS
Algunas preguntas fundamentales que deben responderse antes de realizar un análisis después de
impuestos con base corporativa para especificaciones internacionales, son acerca de las tolerancias
para deducir impuestos —depreciación, gastos de negocios, evaluación de activos de capital— y la tasa
efectiva del impuesto necesaria para la ecuación [17-6], impuestos = IG(Te). Como se dijo en el
capítulo 16, la mayoría de los gobiernos reconocen que utilizan los métodos de línea recta (LR) y del
saldo decreciente (SD) para hacer la depreciación, con algunas variantes para determinar la tolerancia
para la deducción anual de impuestos. Los gastos deducibles varían mucho de un país a otro. Como
ejemplo, a continuación se resumen algunos.
Canadá
es deducible y normalmente se basa en cálculos del SD, aunque puede usarse el de LR.
de este libro son más aparentes a lo largo de la sexta Depreciación:
Se aplica una convención equivalente a la del medio año en el primer año de la posesión. La tolerancia
deducible anual de impuestos se denomina tolerancia de costo del capital (TCC). Al igual que en
edición. Se incluyen nuevos ejemplos y secciones de del
el sistema estadounidense, las tasas de recuperación están estandarizadas, de modo que la cantidad por
depreciación corporativa y fiscalización, así como de depreciar no refleja necesariamente la vida útil del activo.
formas internacionales de contratos, tales como el
método BOT de la
subcontratación. El impacto de la hiperinflación y de
los ciclos deflacionarios se comentan desde una
perspectiva internacional.
MATERIALES DE APOYO
Esta obra cuenta con interesantes complementos que fortalecen los procesos de enseñanza-aprendizaje, así como la
evaluación de éstos. Mismos que se otorgan a profesores que adoptan este texto para sus cursos. Para obtener más
información y conocer la política de entrega de estos materiales, contacte a su representante McGraw-Hill o envíe
un correo electrónico a [email protected]
Quinta
edición
Quinta edición
INGENIERÍA ECONÓMICA
NIVEL
UNO ASÍ
COMIENZA TODO
para evaluación
de alternativas
NIVEL UNO
Así comienza
todo
Capítulo 1
Fundamentos
de ingeniería
económica
Capítulo 2
Factores:
cómo el tiempo
y el interés
afectan al
dinero
Capítulo 3
Combinación
de factores
Capítulo 4
Tasas de
interés
nominales
y efectivas
NIVEL DOS
Herramientas
atributos
múltiples
NIVEL TRES
la inflación
Capítulo 15
Toma de
decisiones en
proyectos reales
Estimación de
costos y
asignación de
costos indirectos
Capítulo 6
Capítulo 11
Análisis del valor
anual
Decisiones
de reemplazo
y conservación
Capítulo 16
Capítulo 5
Análisis del valor
presente
Capítulo 7
Análisis de tasa
de rendimiento:
alternativa única
Capítulo 8
Análisis de tasa
de rendimiento:
alternativas
múltiples
Capítulo 9
Análisis
beneficio/costo
y economía del
sector público
Capítulo 10
Capítulo 12
Selección de
proyectos
independientes
con limitaciones
presupuestales
Capítulo 13
Análisis del
punto de
equilibrio
NIVEL
CUATRO
Redondeo
del estudio
Métodos de
depreciación
Capítulo 17
Análisis
económico
después de
impuestos
Capítulo 18
Análisis de
sensibilidad
formalizado y
decisiones con
valor esperado
Capítulo 19
Más sobre
variaciones y toma
de decisiones
bajo riesgo
Toma de
Capítulo 14
decisiones:
método, TMAR y
Efectos de
En estos cuatro capítulos se presentan los fundamentos de la ingeniería eco nómica. Al
concluir el primer nivel, el lector comprenderá y abordará proble mas que incluyen los
conceptos de valor del dinero en el tiempo, flujos de efectivo en diferentes momentos con
diferentes cantidades y equivalencia a diferentes tasas de interés. Las técnicas que se
dominen en esta sección cons tituyen la base para que un ingeniero en cualquier disciplina
tome en cuenta el valor económico en casi cualquier entorno de proyectos.
En este nivel se exponen y aplican los ocho factores comúnmente utiliza dos en todos los
cálculos de la ingeniería económica. Las combinaciones de estos factores permiten
desplazar los valores monetarios hacia delante y hacia atrás en el tiempo y a diferentes
tasas de interés. Asimismo, después de estos cuatro capítulos, el lector se sentirá cómodo
trabajando con muchas de las funciones de la hoja de cálculo de Excel para resolver
problemas.
4 CAPÍTULO 1 Fundamentos de ingeniería económica
1
OL
U
TÍ
C
PA
Fundamentos
de ingeniería
económica
La necesidad de la ingeniería económica se
encuentra motivada principalmen te por el
trabajo que llevan a cabo los ingenieros al
analizar, sintetizar y obte ner conclusiones en
proyectos de cualquier envergadura. En otras
palabras, la ingeniería económica es un punto
medular en la toma de decisiones. Tales
decisiones implican los elementos básicos de
flujos de efectivo, tiempo y tasas de interés. Este
capítulo explica los conceptos fundamentales y
la terminolo gía necesarios para que un
ingeniero combine esos tres elementos
esenciales y formule técnicas matemáticamente
correctas para resolver problemas que lo
llevarán a tomar mejores decisiones. En el
presente capítulo se incluyen mu chos de los
términos comunes que se utilizan en la toma de
decisiones econó micas, los cuales se emplearán
en capítulos subsecuentes de la obra. Los iconos
al margen sirven para remitir al lector a
información más elemental y adicional que
aparece antes o después en el libro.
Los estudios de caso incluidos después de los
problemas de final de capí tulo se concentran en
el desarrollo de alternativas en la ingeniería
económica.
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
Objetivo general: comprender los conceptos fundamentales de la ingeniería económica.Este capítulo
ayudará al lector a:
Preguntas
Toma de decisiones
Enfoque del estudio
Tasa de interés
Equivalencia
Interés simple y compuesto Símbolos
Funciones de la hoja de cálculo
Tasa mínima atractiva
de rendimiento
Flujos de efectivo
Tiempo de duplicación
Hojas de cálculo
1. Conocer el tipo de preguntas que la ingeniería económica puede responder.
2. Determinar el papel que desempeña la ingeniería económica en el proceso de toma de decisiones.
3. Identificar los elementos necesarios para llevar a cabo con éxito un estudio de ingeniería
económica.
4. Realizar cálculos sobre tasas de interés y tasas de retorno.
5. Entender el significado de la equivalencia en términos económicos.
6. Calcular el interés simple y el interés compuesto para uno o más periodos de interés.
7. Identificar y aplicar la terminología y simbología en la ingeniería económica.
8. Identificar las funciones de la hoja de cálculo de Excel© que se emplean comúnmente para resolver
problemas de ingeniería económica.
9. Comprender el significado y aplicar el concepto de tasa mínima atractiva de rendimiento (TMAR).
10. Entender el concepto de flujos de efectivo, su estimación y representación gráfica.
11. Aplicar la regla del 72 para estimar una tasa de interés compuesto o el número de años para que
se duplique una cantidad en valor presente.
12. Crear una hoja de cálculo que incluya el interés simple y el interés compuesto, incorporando el
análisis de sensibilidad.
6 CAPÍTULO 1 Fundamentos de ingeniería económica
1.1 ¿POR QUÉ ES IMPORTANTE LA INGENIERÍA ECONÓMICA
PARA LOS INGENIEROS (y otros profesionales)?
Las decisiones que toman ingenieros, gerentes, presidentes de corporaciones e indi
viduos, por lo general son el resultado de elegir una alternativa sobre otra. A
menudo las decisiones reflejan la elección fundamentada de una persona sobre
cómo invertir mejor fondos, también llamados capital. Con frecuencia el monto
del capital está restringido, así como el efectivo disponible de una persona a
menudo se encuentra limitado. La decisión sobre cómo invertir capital
indudablemente cambiará el futu ro, con esperanza de mejorar; es decir, que se le
agregará valor. Los ingenieros desempeñan un papel esencial en las decisiones
que tienen que ver con la inversión de capital, basadas en sus esfuerzos de análisis,
síntesis y diseño. Los factores que se toman en cuenta en la toma de decisiones
constituyen una combinación tanto de factores económicos como no económicos.
Otros factores pueden ser de naturaleza intangible, como la conveniencia, la buena
voluntad, la amistad y otros.
Fundamentalmente la ingeniería económica implica formular, estimar y
evaluar los resultados económicos cuando existan alternativas disponibles
para llevar a cabo un propósito definido. Otra forma de definir la ingenie
ría económica consiste en describirla como un conjunto de técnicas mate
máticas que simplifican las comparaciones económicas.
Para numerosas corporaciones, en especial las más grandes, muchos de sus
proyectos y servicios tienen alcance internacional: pueden desarrollarse en un país
para aplicarse en otro, el personal y las plantas ubicadas en diversos sitios de todo
el mundo separan en forma rutinaria el diseño del producto de su manufactura, así
como de los consumi dores que lo adquieren. Los enfoques que se presentan aquí
se implantan sin dificultad tanto en empresas multinacionales como dentro de un
país o localidad únicos. El uso correcto de las técnicas de ingeniería económica
tiene una importancia especial porque virtualmente cualquier proyecto —local,
nacional o internacional— afectará los costos y/o los ingresos.
Algunas de las preguntas típicas que puede suscitar el material de este libro se
plantean a continuación.
Actividades de la ingeniería
• ¿Debería incorporarse una nueva técnica de financiamiento en la fabricación de
cojinetes para frenos de automóvil?
• Si un sistema de visión computarizada sustituye al inspector en lo que se refiere
a llevar a cabo pruebas de calidad en una línea de ensamble de automóviles,
¿disminuirán los costos de operación en un periodo de cinco años?
• ¿Puede una decisión económicamente adecuada mejorar el centro de produc ción
de material estructural con agentes reforzadores de una fábrica de aviones
con el objetivo de reducir costos 20%?
• ¿Debería construirse un paso a desnivel debajo de una vía rápida en una ciudad
de 25 000 habitantes, o debería ampliarse la vía rápida a lo largo de la ciudad?
• ¿Se conseguirá la tasa de retorno requerida si instalamos la nueva tecnología del
mercado en nuestra línea de fabricación del láser médico?
Proyectos del sector público y agencias gubernamentales
• ¿Cuánto dinero debe recaudarse con el nuevo impuesto en la ciudad para mejo
rar el sistema de distribución de electricidad?
SECCIÓN 1.2 Papel de la ingeniería económica en la toma de decisiones 7
• ¿En este punto los beneficios superan a los costos en la construcción de un puente sobre un
canal intracostero?
• ¿Es efectivo para el Estado compartir el costo de la construcción de una nueva ruta de peaje con
un contratista?
• ¿Debería la universidad estatal contratar a una institución privada para que ésta imparta cursos
universitarios propedéuticos o debería impartirlos el personal
docente de la propia universidad?
Individuos
• ¿Debo pagar el saldo de mi tarjeta de crédito con dinero prestado?
• ¿Qué representan mis estudios universitarios en mi carrera profesional en tér minos financieros?
• ¿Constituyen un buen negocio las deducciones federales del impuesto sobre la renta para la
hipoteca de mi casa o debería agilizar los pagos de la hipoteca?
• ¿Qué tasa de retorno obtuvimos en nuestra inversión en acciones?
• ¿Debería comprar o financiar mi próximo automóvil, o conservar el que tengo ahora y continuar
pagando el crédito?
EJEMPLO 1.1
Dos ingenieros directivos de una compañía de diseño mecánico y una empresa de análisis
estructural a menudo laboran conjuntamente. Han decidido que, en virtud de que con
frecuencia realizan viajes comerciales juntos por la región, deberían considerar la posibi
lidad de comprar un avión del cual sean copropietarias las dos compañías. ¿Cuáles son
algunas de las preguntas de naturaleza económica que los ingenieros deberían responder
al evaluar las alternativas de 1. poseer un avión en común o 2. continuar realizando viajes
en aviones comerciales?
Solución
Algunas preguntas (y lo que se requiere para responderlas) para cada alternativa son las
siguientes:
• ¿Cuánto costará el avión cada año? (Se necesitan estimaciones de costos.)
• ¿Cuánto costará el avión? (Se requiere un plan de financiamiento.)
• ¿Reportan ventajas los impuestos? (Se necesita información sobre la ley fiscal y las
tasas de impuestos.)
• ¿En qué se basa la elección de una alternativa? (Se requiere un criterio de selección.)
• ¿Qué se espera de la tasa de retorno? (Se necesitan ecuaciones.)
• ¿Qué sucederá si llegamos a volar más o menos de lo que calculamos hoy? (Se re
quiere un análisis de sensibilidad.)
1.2 PAPEL DE LA INGENIERÍA ECONÓMICA
EN LA TOMA DE DECISIONES
La gente toma decisiones; ni las computadoras, las matemáticas u otras herramientas lo hacen.
Las técnicas y modelos de la ingeniería económica ayudan a la gente a tomar decisiones. Como
las decisiones influyen en lo que se hará, el marco de refe rencia temporal de la ingeniería
económica es básicamente el futuro. Por lo tanto, en un análisis de ingeniería económica los
números constituyen las mejores estimaciones de lo que se espera que ocurrirá. Dichas
estimaciones a menudo implican los tres
8 CAPÍTULO 1 Fundamentos de ingeniería económica
elementos esenciales ya mencionados: flujos de efectivo, su tiempo de ocurrencia
y las tasas de interés, los cuales se estiman a futuro y serán de alguna manera
diferentes de lo que realmente ocurra, principalmente como consecuencia de las
circunstancias cambiantes y no planeadas de los eventos. En otras palabras, la
naturaleza estocástica de las estimaciones probablemente hará que el valor
observado para el futuro difiera de la estimación actual.
Por lo general, el análisis de sensibilidad se lleva a cabo durante el estudio de
ingeniería económica, para determinar cómo podría cambiar la decisión de
acuerdo con estimaciones variables, en especial aquellas que podrían variar de
manera sig
Análisis
de llevar a cabo utilizando hojas de cálculo
de sensibilidad Ejemplo 1.18
electrónicas. Las presentaciones tabulares y gráficas
hacen posible el análisis sencillamente cam biando
los valores estimados. A lo largo de la obra y en los
Cap.
sitios web de apoyo aprovechamos las ventajas que
18
proporciona el poder de las hojas de cálculo.)
nificativa. Por ejemplo, un ingeniero que espera que
La ingeniería económica se aplica, asimismo, para
los costos iniciales de desarro llo de algún
analizar los resultados del pasado. Los datos
programa computacional varíen ±20%, de un costo observados se evalúan para determinar si los
estimado de $250 000 (dólares), podría llevar a
resultados satisfi cieron el criterio especificado,
cabo el análisis económico para estimaciones
como, por ejemplo, la tasa de retorno requerida. Por
iniciales de costos de $200 000, $250 000 y $300 ejemplo, supongamos que hace cinco años una
000. Otras estimaciones inciertas referentes al
compañía de ingeniería estadouni dense dedicada al
proyecto pueden “sondearse” aplicando un análisis diseño inició un servicio de diseño detallado de
de sensibilidad. (El análisis de sensibilidad es fácil
chasis para auto móvil en Asia. Ahora el presidente análisis de sensibilidad para reforzar la
de la compañía desea saber si el rendimiento real evaluación.
sobre la inversión ha superado el 15% anual.
6. Elección de la mejor alternativa.
Existe un procedimiento importante para abordar la 7. Implantar la solución.
cuestión del desarrollo y elección de alternativas. 8. Vigilar los resultados.
Los pasos de este enfoque, comúnmente
La ingeniería económica desempeña el papel
denominado enfo que de solución de problemas o principal en todos los pasos y es fun damental en
proceso de toma de decisiones, son los siguientes. los pasos 2 a 6. Los pasos 2 y 3 establecen las
1. Comprensión del problema y definición del
alternativas y permiten hacer las estimaciones para
objetivo.
cada una de ellas. El paso 4 requiere que el analista
2. Recopilación de información relevante.
identifique los atributos para la elección alternativa.
3. Definición de posibles soluciones alternativas yEste paso determina la etapa para la aplicación de la
realización de estima ciones realistas.
técnica. El paso 5 utiliza modelos de ingeniería
económica para completar la evaluación y realizar
4. Identificación de criterios para la toma de
decisiones empleando uno o más atributos.
cualquier análisis de sensibilidad sobre el cual se
5. Evaluación de cada alternativa aplicando un base una decisión (paso 6).
SECCIÓN 1.2 Papel de la ingeniería económica en la toma de decisiones 9
EJEMPLO 1.2
Reconsidere las preguntas planteadas a los ingenieros en el ejemplo anterior, relativas a la
copropiedad del avión. Indique algunas formas en las que la ingeniería económica contri
buye a la toma de decisiones entre dos alternativas.
Solución
Supongamos que el objetivo es el mismo en el caso de cada ingeniero (transportación
disponible y confiable que minimice el costo total). Aplique los pasos anteriores. Pasos 2 y 3:
El esquema de un estudio de ingeniería económica permite identificar lo que debería
estimarse o recopilarse. Para la alternativa 1 (la compra del avión), se estima el costo de
compra, el método de financiamiento y la tasa de interés, los costos anuales de operación, el
posible incremento en los ingresos por ventas anuales y las deducciones del impuesto sobre
la renta. Para la alternativa 2 (el vuelo comercial) se estiman los costos de transportación
comercial, la cantidad de viajes, los ingresos anuales por ventas y otros datos relevantes.
Paso 4: El criterio de selección es un atributo evaluado numéricamente denominado medida
de valor. Algunas medidas de valor son:
Valor presente (VP) Valor futuro (VF) Periodo de recuperación Valor anual (VA) Tasa de
retorno (TR) Valor económico agregado Razón beneficio/costo (B/C) Costo capitalizado
(CC)
Al determinar una medida de valor, se considera el hecho de que el dinero de hoy tendrá un
valor diferente en el futuro; es decir, que se toma en cuenta el valor del dinero en el tiempo.
Existen muchos atributos no económicos (sociales, ambientales, legales, políticos,
personales, por nombrar sólo unos cuantos). Este ambiente de múltiples atributos puede dar
como resultado el hecho de que se tenga menos confianza en los resultados económi cos del
paso 6. Sin embargo, ésta es exactamente la razón por la cual quien toma las decisiones debe
tener información adecuada para todos los factores —económicos y no económicos— para
hacer una elección informada. En el caso que nos ocupa, el análisis económico puede
favorecer la alternativa de la copropiedad del avión (alternativa 1); pero como consecuencia
de factores no económicos, uno o ambos ingenieros quizás elijan la alternativa 2.
Pasos 5 y 6: Los cálculos reales, el análisis de sensibilidad y la elección de alternati vas se
llevan a cabo en este punto.
El concepto de valor del dinero en el tiempo se mencionó anteriormente. A menudo se dice que
dinero llama dinero. De hecho, la afirmación es cierta, porque si hoy decidimos invertir dinero,
intrínsecamente esperamos tener más dinero en el futuro. Si una persona o empresa solicita un
crédito hoy, mañana deberá más que el capital del préstamo original. Este hecho también se
explica por medio del valor del dinero en el tiempo.
La variación de la cantidad del dinero en un periodo de tiempo dado reci be el nombre de
valor de dinero en el tiempo; éste es el concepto más impor tante de la ingeniería económica.
Atributos múltiples
Seccs.
10.7 y 10.8
10 CAPÍTULO 1 Fundamentos de ingeniería económica
1.3 REALIZACIÓN DE UN ESTUDIO DE INGENIERÍA
ECONÓMICA
A lo largo de este libro, los términos ingeniería económica, análisis de ingeniería
económica, toma de decisiones económicas, estudio de asignación de capital, aná
lisis económico y otros semejantes se consideran sinónimos. Existe un enfoque ge
neral, denominado enfoque de estudio de ingeniería económica, que ofrece una
perspectiva general del estudio de ingeniería económica. Dicho enfoque se
esquematiza en la figura 1.1 para dos alternativas. En la figura 1.1 se describen los
pasos del proceso de toma de decisiones.
Pasos del proceso
de toma de decisiones
Paso 1
Problema identificado; objetivo definido
Alternativa 1 Alternativa 2
• Tasa de interés
• Medida de valor
Paso 2 Paso 3
Atributos no económicos por
considerar
Mejoramiento
del equipo antiguo
Paso 4 Paso 5
Equipo
nuevo
Descripción
e información
Descripción
e información
Flujos de efectivo durante
algún
periodo de tiempo
Análisis mediante un
modelo de
ingeniería económica
Alternativa 1
evaluada
• Estimaciones de egresos e • Cálculo de la medida
ingresos • Estrategias de
de valor
financiamiento • Leyes
tributarias
• Valor del dinero en el
tiempo
Flujos de efectivo durante
algún
periodo de tiempo
Análisis mediante un
modelo de
ingeniería económica
evaluada
Alternativa 2
Figura 1.1
Elijo la alternativa 1
Implementación
de la alternativa 1
Paso 6
Enfoque de estudio de
ingeniería económica.
SECCIÓN 1.3 Realización de un estudio de ingeniería económica 11
Descripción de las alternativas El resultado del paso 1 del proceso de toma de decisiones
consiste en un entendimiento básico de lo que requiere el problema para darle solución. Al
principio llegan a presentarse diversas alternativas; pero sólo unas cuantas serán viables y
evaluadas realmente. Si se han identificado las alternativas A, B y C para el análisis, cuando el
método D, aunque no se le reconoce como una alternativa, es el más atractivo, seguramente se
tomará la decisión equivocada.
Las alternativas son opciones independientes que implican una descripción
verbal y las mejores estimaciones de parámetros, tales como el costo inicial (in cluyendo precio
de compra, desarrollo, instalación), vida útil, ingresos y egresos anuales estimados, valor de
salvamento (valor de reventa o canje), una tasa de interés (tasa de rendimiento) y posiblemente
inflación y efectos del impuesto sobre la renta. Por lo general, las estimaciones de los gastos
anuales se agrupan y reciben el nombre de costos anuales de operación (CAO) o costos de
mantenimiento y ope ración (CMO).
Flujos de efectivo Las entradas (ingresos) y salidas (costos) estimadas de dinero reciben el
nombre de flujos de efectivo. Dichas estimaciones se realizan para cada alternativa (paso 3). Sin
estimaciones del flujo de efectivo durante un periodo esta blecido resulta imposible llevar a cabo
un estudio de ingeniería económica. La va riación esperada de los flujos de efectivo indica una
necesidad real de un análisis de sensibilidad en el paso 5.
Análisis mediante un modelo de ingeniería económica Los cálculos que consi deran el valor del
dinero en el tiempo se realizan sobre los flujos de efectivo de cada alternativa para obtener la
medida de valor.
Elección de alternativa Se comparan los valores de la medida de valor y se elige una alternativa.
Esto es el resultado del análisis de ingeniería económica. Por ejem plo, el resultado de un análisis
de tasa de rendimiento puede ser el siguiente: se elige la alternativa 1, donde se estima una tasa
de rendimiento de 18.4% anual, sobre la alternativa 2, cuya tasa de rendimiento anual esperada es
de 10%. Se puede aplicar una combinación de criterios económicos utilizando la medida de valor,
así como los factores no económicos e intangibles, para facilitar la elección de una alternativa.
Si sólo se define una alternativa viable, hay una segunda alternativa presente en
la forma de alternativa de no hacer algo. Es una alternativa llamada también dejar como está o
statu quo. Se puede elegir no hacer algo si ninguna alternativa posee una medida de valor
favorable.
Estemos o no conscientes, a diario empleamos criterios para elegir entre diver sas alternativas.
Por ejemplo, cuando nos dirigimos a la universidad en automóvil, decidimos tomar la mejor ruta.
Pero, ¿cómo definimos lo mejor? ¿La mejor ruta es la más segura, la más corta, la más rápida, la
más barata, la que tiene mejor paisaje, o cuál? Es obvio que, dependiendo del criterio o
combinación de criterios que se aplique para identificar la mejor, cada vez podría elegirse una
ruta diferente. En el análisis económico, las unidades financieras (dólares u otra moneda)
generalmente sirven de base tangible para realizar la evaluación. Por consiguiente, cuando exis
No hacer algo
Cap.
5
12 CAPÍTULO 1 Fundamentos de ingeniería económica
Análisis después de impuestos
Cap.
17
renta que se consideren. Los impuestos
establecidos por los gobiernos locales, estatales,
federales e internacionales normalmente adquieren
la forma de un impuesto sobre la renta por
ingresos, un impuesto al valor agregado (IVA),
impuestos de importación, impuestos sobre la
venta, impuestos prediales y otros. Los impuestos
influyen sobre las estimaciones de los flujos de
efectivo de las alternativas; tienden a mejorar las
estimaciones del flujo de efectivo en cuanto a
costos, ahorros en gastos y depreciación de activos,
y al mismo tiempo reducen las estimaciones del
flujo de efectivo del ingreso y de la utilidad neta
después de im puestos. Pospondremos los detalles
del análisis después de impuestos hasta que se
hayan estudiado las herramientas y técnicas
fundamentales de la ingeniería econó mica. Hasta
entonces, consideraremos que todas las alternativas
tienen el mismo impuesto gravado por las leyes
tributarias en vigor. (Si es necesario estudiar antes
los efectos de los impuestos, se recomienda revisar
los capítulos 16 y 17 después de los capítulos 6, 8
u 11.)
Ahora volvamos a algunos fundamentos de la
ingeniería económica que se apli can en la práctica
diaria de la ingeniería, así como en la toma
individual de deci siones.
1.4 TASA DE INTERÉS Y TASA DE
RENDIMIENTO
El interés es la manifestación del valor del dinero
en el tiempo. Desde una perspec tiva de cálculo, el
Tasa de interés de un préstamo
interés es la diferencia entre una cantidad final de
ten diversas formas de conseguir un objetivo
establecido, se elegirá la alternativa con el costo dinero y la cantidad original. Si la diferencia es
nula o negativa, no hay interés. Existen dos
global menor o la utilidad neta global mayor.
Un análisis después de impuestos se lleva a cabo variantes del interés: el interés pagado y el interés
durante el proyecto de evalua ción, por lo general ganado. El interés se paga cuan do una persona u
organización pide dinero prestado (obtiene un
con efectos significativos sólo sobre la
depreciación de activos y los impuestos sobre la préstamo) y paga una cantidad mayor. El interés se
gana cuando una persona u organización ahorra,
invierte o presta dinero y recibe una cantidad
mayor. En seguida se muestra que los cálculos y
los valores numéricos para ambas variantes son, en
esencia, los mismos, aunque las interpretaciones
difieren.
El interés que se paga por fondos que se piden
Cuando el interés pagado con respecto a una
prestados (préstamo) se determi na mediante la
unidad de tiempo específica se expresa como
relación
porcentaje de la suma original (principal), el
resultado recibe el nombre de
Interés = cantidad que se debe ahora – cantidad
Prestatario Banco
original [1.1]
tasa de interés.
interés acumulado por unidad de tiempo
de interés (%) =
⋅ 100% [1.2]
Tasa
suma original
La unidad de tiempo de la tasa recibe el nombre de
periodo de interés. Por ahora, el periodo de interés
más comúnmente utilizado para fijar una tasa de
interés es de
SECCIÓN 1.4 Tasa de interés y tasa de rendimiento 13
un año. Es posible considerar periodos de tiempo más cortos, como 1% mensual. Por lo tanto,
siempre debería incluirse el periodo de interés de la tasa de interés. Si tan sólo se fija la tasa, por
ejemplo, 8.5%, se dará por supuesto un periodo de interés de un año.
EJEMPLO 1.3
Un empleado de LaserKinetics.com solicita un préstamo de $10 000 el 1 de mayo y debe
pagar un total de $10 700 exactamente un año después. Determine el interés y la tasa de
interés pagada.
Solución
Aquí el problema se analiza desde la perspectiva del prestatario en virtud de que los $10 700
pagan un préstamo. Aplique la ecuación [1.1] para calcular el interés pagado.
Interés = $10 700 – $10 000 = $700
La ecuación [1.2] nos permite establecer la tasa de interés pagada durante un año.
$700
Tasa porcentual de interés = ⋅ 100% = 7% anual
$10 000
EJEMPLO 1.4
Stereophonics, Inc., tiene planes de solicitar un préstamo bancario de $20 000 durante un
año al 9% de interés para adquirir un equipo nuevo de grabación. a) Calcule el interés y la
cantidad total debida después de un año. b) Construya una gráfica de barras que muestre
las cantidades original y total debida después de un año, utilizadas para calcular la tasa de
interés del préstamo del 9% anual.
Solución
a) Calcule el interés total causado resolviendo la ecuación [1.2] para el interés causado.
Interés = $20 000(0.09) = $1 800
La cantidad total a pagar es la suma del principal y el interés.
Total a pagar = $20 000 + $1 800 = $21 800
b) La figura 1.2 muestra los valores utilizados en la ecuación [1.2]: interés de $1 800,
principal original del préstamo de $20 000, y periodo de interés de un año.
Comentario
Observe que en el inciso a), la cantidad total a pagar también se calcula de la siguiente
manera:
Adeudo total = principal(1 + tasa de interés) = $20 000(1.09) = $21 800
14 CAPÍTULO 1 Fundamentos de ingeniería
económica
Cantidad
original del
préstamo
Interés = $1 800
$
Tasa de interés $1 800
$21 800
$20 000 100% = 9% anual
$20 000
Ahora
1 año
después
Figura
1.2
E
l
p
e
r
i
o
d
o
d
e
i
n
t
e
r
é
s
e
s
u
n
a
ñ
o
El interés generado durante un periodo específico
de tiempo se expresa como por
Tasa de rendimiento de la inversión
Valores utilizados para calcular la tasa de interés del 9% anual
(ejemplo 1.4).
Este método se usará posteriormente para determinar las
cantidades futuras para periodos de tiempo mayores dentro
de un periodo de interés.
centaje de la cantidad original y se denomina tasa
Desde la perspectiva de un ahorrador, un
de rendimiento (TR).
prestamista, o un inversionista, el interés ganado es
Ahorrador
la cantidad final menos la cantidad inicial, o
interés acumulado
principal.
Banco
Interés generado = cantidad total actual – cantidad por unidad de tiempo Tasa de rendimiento (%)
original [1.3]
⋅ 100% [1.4]
=
cantidad original
La unidad de tiempo para la tasa de retorno recibe
el nombre de periodo de interés, el mismo nombre
que cuando se ve desde la perspectiva del
prestatario. De nueva cuenta, el periodo más
común es de un año.
Tasa de rendimiento
Caps.
7y8
En diversas industrias y escenarios, el término
rendimiento sobre la inversión (RSI) se emplea
como sinónimo de TR, en particular cuando se
asignan grandes fondos de capital a programas
orientados a la ingeniería.
Aunque los valores numéricos de las ecuaciones
[1.2] y [1.4] son los mismos, el término tasa de
interés pagada es más adecuado para la
perspectiva del prestata rio, y tasa de retorno
ganada es mejor desde la perspectiva del
inversionista.
SECCIÓN 1.4 Tasa de interés y tasa de rendimiento 15
EJEMPLO 1.5
a) Calcule la cantidad depositada hace un año si ahora se tienen $1 000 a una tasa de
interés del 5% anual.
b) Determine la cantidad por intereses ganados durante este periodo.
Solución
a) La cantidad total acumulada es la suma del depósito original y del interés ganado. Si
X es el depósito original,
Total acumulado = original + original (tasa de interés)
$1 000 = X + X(0.05) = X(1 + 0.05) = 1.05X
El depósito original es
1 000
X = = $952.38
1.05
b) Aplique la ecuación [1.3] para determinar el interés ganado.
Interés = $1 000 – 952.38 = $47.62
En los ejemplos 1.3 a 1.5 el periodo de interés era de un año, y los intereses se calcularon al final
de un periodo. Cuando se considera más de un periodo de interés (por ejemplo, si quisiéramos
calcular los intereses que se pagarán después de 3 años en el ejemplo 1.4), es necesario definir si
la naturaleza de la acumulación de los intereses de un periodo al siguiente es simple o compuesta.
Una consideración económica adicional para cualquier estudio de ingeniería económica es la
inflación. Hay varios comentarios imprescindibles en esta etapa inicial sobre los fundamentos de
la inflación: en primer lugar, ésta representa una disminución del valor de una moneda
determinada. Es decir, $1 de hoy no comprará el mismo número de manzanas (o de otras cosas)
que $1 de hace 20 años. El cambio en el valor de la moneda afecta las tasas de interés del
mercado. En palabras sencillas, las tasas de interés bancario reflejan dos cosas: la llamada tasa
real de rendimiento más la tasa de inflación esperada. La tasa real de rendimiento posibilita que el
inversionista compre más de lo que hubiera podido comprar antes de invertir. Es común que las
inversiones más seguras (tales como los bonos del gobierno de los Estados Unidos) tengan un 3 o
un 4% de tasa real de rendimiento incluida en sus tasas conjuntas de interés. Entonces, una tasa
de interés de, digamos, 9% anual de un bono del gobierno de los Estados Unidos significa que los
inversionistas esperan que la tasa de inflación esté dentro de un rango de entre 5 y 6% anual. Así,
queda claro que la inflación ocasiona que las tasas de interés se eleven.
Desde el punto de vista de quien recibe un préstamo, la tasa de inflación tan sólo es otra tasa
implícita en la tasa real de interés. Por otra parte, desde el punto de vista del ahorrador o
inversionista en una cuenta de interés fijo, la inflación reduce la tasa real de rendimiento sobre la
inversión. La inflación significa que el costo y la ganancia estimados de un flujo de efectivo
aumentan con el tiempo. Este incremento se debe al valor cambiante del dinero que la inflación
fuerza en la moneda de un país, lo que hace que el poder adquisitivo de una unidad monetaria (un
dólar, por ejemplo) sea menor respecto a su valor en una época anterior. El efecto de la
Tasas de interés
Secc. 1.6
Cap.
4
Inflación
Cap.
14
16 CAPÍTULO 1 Fundamentos de ingeniería económica
inflación se observa en que la moneda compra menos hoy que antes. La inflación
contribuye a que ocurra lo siguiente:
• La reducción del poder de compra.
• El incremento en el IPC (índice de precios al consumidor).
• El incremento en el costo del equipo y su mantenimiento.
• El incremento en el costo de los profesionales asalariados y empleados contra
tados por horas.
• La reducción en la tasa de retorno real sobre los ahorros personales y las inver
siones corporativas.
En otras palabras, la inflación puede contribuir materialmente a modificar el análi
sis económico individual y empresarial.
Por lo general, los estudios de ingeniería económica suponen que la inflación
afecta por igual a todos los valores estimados. De acuerdo con esta postura, una
tasa de interés o una tasa de retorno del 8% anual se aplicaría a lo largo del
análisis sin tomar en cuenta una tasa de inflación adicional. No obstante, si la
inflación se tomara en cuenta de manera explícita, y si ésta estuviera reduciendo el
valor del dinero en un promedio de, por ejemplo, 4% anual, sería necesario llevar
a cabo el análisis económico aplicando una tasa de interés total del 12.32% anual.
(Las relacio nes importantes se deducen en el capítulo 14.) Por otra parte, si la TR
establecida sobre una inversión es 8% con la inflación incluida, la misma tasa de
inflación de 4% anual daría como resultado una tasa de retorno real de sólo el
3.85% anual.
1.5 EQUIVALENCIA
Los términos equivalentes se utilizan muy a menudo para pasar de una escala a
otra. Algunas equivalencias comunes o conversiones son las siguientes:
Longitud: 100 centímetros = 1 metro 1 000 metros = 1 kilómetro
12 pulgadas = 1 pie 3 pies = 1 yarda 39.370 pulgadas = 1 metro
Presión: 1 atmósfera = 1 newton/metro2
1 atmósfera = 103 pascales = 1 kilopascal
Muchas medidas equivalentes son una combinación de dos o más escalas. Por
ejemplo, 110 kilómetros por hora (kph) equivalen a 68 millas por hora (mph), o a
1.133 millas por minuto, con base en que 1 milla = 1.6093 kilómetros y en que 1
hora = 60 minutos. Puede concluirse, además, que conducir a 68 mph durante dos
horas equivale a viajar aproximadamente un total de 220 kilómetros o 136 millas.
Se combinaron tres escalas —el tiempo expresado en horas, la distancia en millas
y también en kilómetros— para elaborar enunciados equivalentes. Un uso
adicional de estas equivalencias consiste en calcular el tiempo en horas de manejo
entre dos ciudades por medio del empleo de dos mapas, uno que indique la
distancia en millas y otro que la exprese en kilómetros. Obsérvese que durante
estos análisis se usó la relación fundamental de que 1 milla = 1.6093 kilómetros.
Si esta relación cambiara, entonces las demás equivalencias serían erróneas.
Cuando se consideran juntos, el valor del dinero en el tiempo y la tasa de inte
rés permiten formular el concepto de equivalencia económica, que implica que dos
SECCIÓN 1.5 Equivalencia 17
Tasa de interés de 6% anual $94.34 $5.66 $6.00
$100.00 $6.00
$106.00
Figura 1.3
Equivalencia de tres cantidades a una tasa de interés de 6% anual.
Hace un año
Ahora
Un año después
sumas diferentes de dinero en diferentes tiempos tienen el mismo valor económico. Por ejemplo,
si la tasa de interés es de 6% anual, $100 hoy (tiempo presente) equi valen a $106 un año
después.
Cantidad acumulada = 100 + 100(0.06) = 100(1 + 0.06) = $106
Así, si un amigo nos ofreciera un regalo con un valor de $100 el día de hoy o uno de $106 un año
después, no habría diferencia entre una oferta y otra. En cualquier caso tendríamos $106 después
de un año. Sin embargo, las dos sumas de dinero son equivalentes entre sí cuando la tasa de
interés es de 6% anual. Si la tasa de interés fuera superior o inferior, $100 el día de hoy no
equivaldrían a $106 un año después.
Además de la equivalencia futura, se puede aplicar la misma lógica para calcu lar la equivalencia
para años anteriores. Un total de $100 ahora equivale a $100/ 1.06 = $94.34 hace un año a una
tasa de interés de 6% anual. De estos ejemplos se afirma lo siguiente: $94.34 el año pasado, $100
ahora y $106 un año después son equivalentes a una tasa de interés de 6% anual. La equivalencia
de estas cantidades se verifica calculando las dos tasas de interés para periodos de interés de un
año.
$6
⋅ 100% = 6% anual
$100
y
$5.66
⋅ 100% = 6% anual
$94.34
La figura 1.3 indica la cantidad de intereses necesaria cada año para que estas tres diferentes
sumas sean equivalentes al 6% anual.
EJEMPLO 1.6
AC-Delco fabrica baterías automotrices para los concesionarios de General Motors a tra vés de distribuidores
particulares. En general, las baterías se almacenan un año, y se agre ga un 5% anual al costo para cubrir el cargo
del manejo de inventario para el dueño del contrato de distribución. Supongamos que usted es dueño de las
instalaciones de Delco ubicadas en el centro de la ciudad. Realice los cálculos necesarios con una tasa de interés
de 5% anual para demostrar cuáles de las siguientes declaraciones, referentes a los costos de las baterías, son
verdaderas o falsas.
18 CAPÍTULO 1 Fundamentos de ingeniería económica
a) La cantidad de $98 hoy equivale a un costo de $105.60 un año después.
b) El costo de $200 de una batería para camión hace un año equivale a $205 ahora.
c) Un costo de $38 ahora equivale a $39.90 un año después.
d) Un costo de $3 000 ahora es equivalente a $2 887.14 hace un año.
e) El cargo por manejo de inventario acumulado en un año sobre una inversión en bate
rías con un valor de $2 000 es de $100.
Solución
a) Suma total acumulada = 98(1.05) = $102.90 ≠ $105.60; por lo tanto, la declaración
es falsa. Otra forma de resolver este problema es la siguiente: el costo original es de
105.60/1.05 = $100.57 ≠ $98.
b) El costo anterior es de 205.00/1.05 = $195.24 ≠ $200; por lo tanto, es falsa.
c) El costo dentro de 1 año será de $38(1.05) = $39.90; verdadera.
d) El costo actual es de 2 887.14(1.05) = $3 031.50 ≠ $3 000; falsa.
e) El cargo es de 5% de interés anual, o 2 000(0.05) = $100; verdadera.
1.6 INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO
Secc. 1.4
Interés
Ejemplo 1.18
Los términos interés, periodo de interés y tasa de interés (sección 1.4) son útiles
en el cálculo de sumas de dinero equivalentes para un periodo de interés en el
pasado
y un periodo de interés en el futuro. Sin embargo,
para más de un periodo de interés, los términos
interés simple e interés compuesto se tornan
importantes. El interés simple se calcula
utilizando exclusivamente el principal e ignorando
cualquier interés generado en los periodos de
interés precedentes. El interés simple total durante
varios periodos se calcula de la siguiente manera:
adquiriera un avión a escala dirigido por un radio
Interés = (principal)(número de periodos)(tasa controlador. El préstamo asciende a $1 000 por tres años
de interés) [1.5] donde la tasa de interés se
expresa en forma decimal.
con un interés simple de 5% anual. ¿Cuánto debe pagar el
ingeniero al final de los tres años? Tabule los resultados.
Solución
El interés para cada uno de los tres años es:
Interés anual = 1 000(0.05) = $50
El interés total de los tres años de acuerdo con la ecuación
[1.5] es:
Interés total = 1 000(3)(0.05) = $150
El monto adeudado después de tres años es:
Adeudo total = $1 000 + 150 = $1 150
EJEMPLO 1.7
Pacific Telephone Credit Union otorgó un préstamo a un
miembro del personal de inge niería para que éste
SECCIÓN 1.6 Interés simple y compuesto 19
El interés acumulado de $50 en el primer año y el interés acumulado de $50 en el
segundo año no generan intereses. El interés que se adeuda cada año se calcula
exclusiva
mente sobre el principal de $1 000.
Los detalles de los pagos del préstamo se tabulan en la tabla 1.1 desde el punto de
vista del prestatario. El tiempo cero representa el presente, es decir, cuando se otorga el
préstamo. No se hacen pagos sino hasta que concluya el tercer año. El monto que se
adeuda cada año se incrementa uniformemente $50, en virtud de que el interés simple
se calcula sólo sobre el principal del préstamo.
TABLA 1.1 Cálculos de interés simple
(1) (2) (3) (4) (5)
Cantidad
Final obtenida Suma
del año en préstamo Interés Adeudo pagada
0 $1 000
1 — $50 $1 050 $ 0
2 — 50 1 100 0
3 — 50 1 150 1 150
En el caso del interés compuesto, el interés generado durante cada periodo de inte rés se calcula
sobre el principal más el monto total del interés acumulado en todos los periodos anteriores. Así,
el interés compuesto es un interés sobre el interés. También refleja el efecto del valor del dinero
en el tiempo sobre el interés. El inte rés para un periodo ahora se calcula de la siguiente manera:
Interés = (principal + todos los intereses acumulados)(tasa de interés) [1.6]
EJEMPLO 1.8
Un ingeniero solicita a la cooperativa de crédito de la empresa un préstamo de $1 000 con
un interés anual compuesto de 5%. Calcule el adeudo total después de tres años. Elabore
una gráfica y compare los resultados de este ejemplo y del anterior.
Solución
El interés y el adeudo total de cada año se calcula por separado mediante la ecuación [1.6].
Interés del primer año: $1 000(0.05) = $50.00
Adeudo total después del primer año: $1 000 + 50.00 = $1 050.00
Interés del segundo año: $1 050(0.05) = $52.50
Adeudo total después del segundo año: $1 050 + 52.50 = $1 102.50
Interés del tercer año: $1 102.50(0.05) = $55.13
Adeudo total después del tercer año: $1 102.50 + 55.13 = $1 157.63
20 CAPÍTULO 1 Fundamentos de ingeniería económica
TABLA 1.2 Cálculos del interés compuesto (ejemplo 1.8)
(1) (2) (3) (4) (5)
Cantidad
Final obtenida Suma
del año en préstamo Interés Adeudo pagada
0 $1 000
1 — $50.00 $1 050.00 $ 0
2 — 52.50 1 102.50 0
3 — 55.13 1 157.63 1 157.63
Los detalles aparecen en la tabla 1.2. El plan de pagos es el mismo que el del ejemplo del
interés simple: el pago único es el principal más los intereses acumulados al final de los
tres años.
La figura 1.4 muestra el adeudo al final de cada uno de los tres años. En el caso del
interés compuesto, se reconoce la diferencia debida al valor del dinero en el tiempo. Aquí
se paga un interés adicional de $1 157.63 – $1 150 = $7.63 en comparación con el interés
simple durante el periodo de 3 años.
3
6
.
7
5
1
1
$
0
0
5
5
1
.
2
1
0
l
1
a
$
t
0
o
5
t
simple
C – Interés
compuesto
0
o
0
1
5
$
0
1$
0
0
1
1$
$
$
S – Interés
1
,
d
SC
u
e
d
3
A
1
Figura 1.4
$
SC
.
5
0
5
.
,
2
o
5
5
$
0
0
ñ
$
a
5
$
5
$
r
S C3
o
p
0
0
s
5
5
SC
é
r
$
$
e
t
n
I
SC1
2
Final del año
SC
Comparación de los cálculos del interés simple y el interés compuesto (ejemplos 1.7 y 1.8).
SECCIÓN 1.6 Interés simple y compuesto 21
Comentario
La diferencia entre el interés simple y el compuesto se incrementa cada año. Si se conti núan
haciendo cálculos para más años, 10, por ejemplo, la diferencia es de $128.90; des pués de
20 años el interés compuesto es de $653.30 más que el interés simple.
Si $7.63 no parece una diferencia significativa en sólo 3 años, recordemos que la cantidad
inicial es $1 000. Si estos mismos cálculos se hacen para una cantidad inicial de $100 000 o
$1 000 000, hay que multiplicar la diferencia por 100 o por 1 000, y se tendrá dinero real.
Esto indica que el poder del cálculo del interés compuesto es de vital impor tancia en todos
los análisis de tipo económico.
Otra forma más breve de calcular el adeudo total después de 3 años en el ejem plo 1.8 consiste en
combinar los cálculos en lugar de llevarlos a cabo año por año. El adeudo total por año es el
siguiente:
Año 1: $1 000(1.05)1 = $1 050.00
Año 2: $1 000(1.05)2 = $1 102.50
Año 3: $1 000(1.05)3 = $1 157.63
El total del año 3 se calcula directamente; no se requiere del total del año 2. Expre sado de una
manera general, el cálculo tendría la siguiente forma:
Adeudo total después de cierta cantidad de años =
principal(1 + tasa de interés)número de años
Esta relación fundamental se utilizará repetidas veces en los capítulos posteriores. Para demostrar
que los diferentes planes de pago de préstamos pueden ser equi valentes, aunque difieran
sustancialmente en cuanto a monto de un año a otro, se combinan los conceptos de tasa de
interés, interés simple, interés compuesto y equi valencia. Esto también muestra que existen
varias formas de tomar en cuenta el valor del dinero en el tiempo. El siguiente ejemplo ilustra la
idea de equivalencia en sí con diferentes planes de pago del préstamo.
EJEMPLO 1.9
a) Demuestre el concepto de equivalencia con los diferentes planes de pago de présta mos descritos en seguida.
En cada plan se reembolsa un préstamo de $5 000 en 5 años al 8% de interés anual.
• Plan 1: Interés simple; pago del total al final. No hay pago de intereses ni del principal hasta el final del año
5. Los intereses se generan cada año exclusiva mente sobre el principal.
• Plan 2: Interés compuesto; pago del total al final. No hay pago de intereses ni del principal hasta el final del
año 5. Los intereses se generan cada año sobre el total del principal y todos los intereses acumulados.
22 CAPÍTULO 1 Fundamentos de ingeniería económica
• Plan 3: Pago anual del interés simple; reembolso del principal al final. Los
intereses acumulados se pagan cada año y todo el principal se reembolsa al final
del año 5.
• Plan 4: Pago anual del interés compuesto y de parte del principal. Los intere
ses generados y una quinta parte del principal ($1 000) se reembolsa cada año. El
saldo vigente del préstamo se reduce cada año, de manera que el interés de cada
año disminuye.
• Plan 5: Pagos anuales iguales del interés compuesto y del principal. Se hacen
pagos iguales cada año; una parte se destina al reembolso del principal y el resto
cubre los intereses generados. Como el saldo del préstamo disminuye a un ritmo
menor que en el plan 4, como consecuencia de los pagos iguales de fin de año, el
interés disminuye, aunque a un ritmo más lento.
b) Hacer algún comentario sobre la equivalencia de cada plan al 8% de interés simple o
compuesto, según convenga.
Solución
a) La tabla 1.3 muestra el interés, la cantidad del pago, el adeudo total al final de cada
año y el monto total pagado durante el periodo de cinco años (totales de la columna 4).
TABLA 1.3 Diferentes planes de pago de $5 000 durante 5 años
con un interés anual del 8%
(1) (2) (3) (4) (5)
Interés Adeudo Adeudo
Final a pagar total al Pago de total después
del año por el año final del año fin de año del pago
Plan 1: Interés simple; pago total al final
0 $5 000.00
1 $400.00 $5 400.00 — 5 400.00
2 400.00 5 800.00 — 5 800.00
3 400.00 6 200.00 — 6 200.00
4 400.00 6 600.00 — 6 600.00
5 400.00 7 000.00 $7 000.00
Totales $7 000.00
Plan 2: Interés compuesto; pago del total al final
0 $5 000.00
1 $400.00 $5 400.00 — 5 400.00
2 432.00 5 832.00 — 5 832.00
3 466.56 6 298.56 — 6 298.56
4 503.88 6 802.44 — 6 802.44
5 544.20 7 346.64 $7 346.64
Totales $7 346.64
SECCIÓN 1.6 Interés simple y compuesto 23
TABLA 1.3 (Continuación)
(1) (2) (3) (4) (5) Interés Adeudo Adeudo
Final a pagar total al Pago de total después del año por el año
final del año fin de año del pago
Plan 3: Pago anual del interés simple; reembolso del principal al final 0
$5 000.00 1 $400.00 $5 400.00 $400.00 5 000.00 2 400.00 5 400.00
400.00 5 000.00 3 400.00 5 400.00 400.00 5 000.00 4 400.00 5 400.00
400.00 5 000.00 5 400.00 5 400.00 5 400.00
Totales $7 000.00
Plan 4: Pago anual del interés compuesto y de parte del principal
0 $5 000.00 1 $400.00 $5 400.00 $1 400.00 4 000.00 2 320.00 4 320.00 1
320.00 3 000.00 3 240.00 3 240.00 1 240.00 2 000.00 4 160.00 2 160.00 1
160.00 1 000.00 5 80.00 1 080.00 1 080.00
Totales $6 200.00
Plan 5: Pagos anuales iguales del interés compuesto y del principal 0 $5
000.00 1 $400.00 $5 400.00 $1 252.28 4 147.72 2 331.82 4 479.54 1 252.28 3 227.25 3 258.18 3 485.43 1 252.28
2 233.15 4 178.65 2 411.80 1 252.28 1 159.52 5 92.76 1 252.28 1 252.28
Totales $6 261.41
Los intereses (columna 2) se determinan de la siguiente manera:
Plan 1 Interés simple = (principal original)(0.08)
Plan 2 Interés compuesto = (adeudo total del año anterior)(0.08) Plan 3 Interés simple = (principal
original)(0.08)
Plan 4 Interés compuesto = (adeudo total del año anterior)(0.08) Plan 5 Interés compuesto = (adeudo total del
año anterior)(0.08)
Observe que los montos de los pagos anuales son diferentes en cada esquema de reembol so y que los pagos
totales en la mayoría de los planes son diferentes; aunque cada plan de reembolso requiere exactamente 5 años.
La diferencia en los pagos totales puede explicar se 1. por el valor del dinero en el tiempo, 2. por el interés simple
o compuesto, y 3. por el reembolso parcial del principal antes del año 5.
Pagos iguales Secc. 2.2
24 CAPÍTULO 1 Fundamentos de ingeniería económica
b) La tabla 1.3 muestra que los $5 000 en el tiempo cero equivalen a cada una de las
siguientes cantidades:
Plan 1 $7 000 al final del año 5 al 8% de interés simple.
Plan 2 $7 346.64 al final del año 5 al 8% de interés compuesto.
Plan 3 $4 000 anuales durante 4 años y $5 400 al final del año 5 al 8% de interés
simple.
Plan 4 Pagos decrecientes del interés y parciales del principal en los años 1 ($1 400)
a 5 ($1 080) al 8% de interés compuesto.
Plan 5 $1 252.28 anuales por 5 años al 8% de interés compuesto.
Un estudio de ingeniería económica emplea el plan 5, el interés es compuesto y la canti
dad que se paga es constante en cada periodo. Esta cantidad cubre el interés generado y un
monto parcial del reembolso del principal.
1.7 TERMINOLOGÍA Y SÍMBOLOS
Las ecuaciones y procedimientos de la ingeniería económica emplean los siguien
tes términos y símbolos. Incluyen unidades de muestra.
P = valor o cantidad de dinero en un momento denotado como presente o tiem
po 0. También P recibe el nombre de valor presente (VP), valor presente
neto (VPN), flujo de efectivo descontado (FED) y costo capitalizado (CC);
unidades monetarias
F = valor o cantidad de dinero en un tiempo futuro. F también recibe el nombre
de valor futuro (VF); unidades monetarias
A = serie de cantidades de dinero consecutivas, iguales y del final del periodo.
A también se denomina valor anual (VA) y valor anual uniforme equivalen
te (VAUE); unidades monetarias por año, unidades monetarias por mes
n = número de periodos de interés; años, meses, días
i = tasa de interés o tasa de retorno por periodo; porcentaje anual, porcentaje
mensual; por ciento diario
t = tiempo expresado en periodos; años, meses, días
Los símbolos P y F indican valores que se presentan una sola vez en el tiempo: A
tiene el mismo valor una vez en cada periodo de interés durante un número especí
fico de periodos. Debe quedar claro que el valor presente P representa una sola
suma de dinero en algún momento anterior a un valor futuro F, o antes de que se
presente por primera vez un monto equivalente de la serie A.
Es importante notar que el símbolo A siempre representa una cantidad unifor
me (es decir, la misma cantidad cada periodo), la cual se extiende a través de perio
dos de interés consecutivos. Ambas condiciones deben darse antes de que la serie
pueda quedar representada por A.
Se da por supuesto que la tasa de interés i corresponde a una tasa de interés
compuesto, a menos que específicamente se indique que se trata de una tasa de
interés simple. La tasa i se expresa como porcentaje por periodo de interés; por
SECCIÓN 1.7 Terminología y símbolos 25
ejemplo, 12% anual. A menos que se indique lo contrario, se supondrá que la tasa se aplica
durante los n años o periodos de interés. En los cálculos que se realizan en ingeniería económica
siempre se utiliza el equivalente decimal de i.
Todos los problemas de la ingeniería económica incluyen el elemento de tiempo t.
De los cinco restantes (P, F, A, n, i), cada problema incluirá por lo menos cuatro símbolos, P, F,
A, n e i, cuando menos tres de los cuales están estimados o se conocen.
EJEMPLO
1.10
Una recién graduada de la universidad trabaja en Boeing Aerospace. Tiene planes de soli
citar un préstamo de $10 000 ahora para adquirir un automóvil. Decide que reembolsará
todo el principal más 8% de intereses anuales después de 5 años. Identifique los símbolos
de ingeniería económica necesarios para resolver el problema, así como los valores que
tienen para el adeudo total después de 5 años.
Solución
En este caso, están involucradas P y F, ya que todas las cantidades son pagos únicos, así
como i y n. El tiempo está expresado en años.
P = $10 000 i = 8% anual n = 5 años F = ?
Se desconoce la cantidad futura F.
EJEMPLO
1.11
Suponga que obtiene un préstamo de $2 000 ahora al 7% anual durante 10 años, y debe
reembolsarlo en pagos anuales iguales. Determine los símbolos que se requieren para
resolver el problema y sus valores.
Solución
El tiempo se expresa en años.
P = $2 000
A = ? anuales durante 5 años
i = 7% anual
n = 10 años
En los ejemplos 1.10 y 1.11, el valor P es una entrada para el prestatario, y F o
A representan un desembolso para él. También es correcto invertir la función de estos símbolos.
EJEMPLO
1.12
El 1 de julio de 2002, su nuevo empleador, Ford Motor Company, deposita $5 000 en su
cuenta bancaria como parte de su bono de empleo. La cuenta paga un interés del 5%
26 CAPÍTULO 1 Fundamentos de ingeniería económica
anual. Usted espera retirar una cantidad anual igual durante los siguientes 10 años. Iden
tifique los símbolos y sus valores.
Solución
El tiempo se expresa en años.
P = $5 000
A = ? anuales
i = 5% anual
n = 10 años
EJEMPLO 1.13
Usted planea hacer un depósito único de $5 000 ahora en una cuenta de inversión que
paga el 6% anual, y desea retirar una cantidad igual de $1 000 a fin de año durante 5
años, comenzando el siguiente año. Al final del sexto año, usted piensa cerrar la cuenta
retiran
do el saldo. Defina los símbolos de ingeniería económica que implica el problema.
Solución
El tiempo se expresa en años.
P = $5 000
A = $1 000 anuales durante 5 años
F = ? al final del año 6
i = 6% anual
n = 5 años para la serie A y 6 para el valor F
EJEMPLO 1.14
El año pasado la abuela de Jane ofreció depositar suficiente dinero en una cuenta de aho
rros que generará $1 000 este año para ayudar a Jane con los gastos de la universidad. a)
Identifique los símbolos, y b) calcule la cantidad que se depositó hace exactamente un
año para ganar $1 000 de intereses ahora, si la tasa de retorno es de 6% anual.
Solución
a) El tiempo se expresa en años.
P=?
i = 6% anual
n = 1 año
F = P + interés
= ? + $1 000
b) Remitiéndose a las ecuaciones [1.3] y [1.4], sea F = monto total hoy y P = cantidad
original. Sabemos que F – P = $1 000 es el interés acumulado. Ahora se determina P
para Jane y su abuela.
F = P + P(tasa de interés)
SECCIÓN 1.8 Introducción a las soluciones por computadora 27
Los $1 000 de interés pueden expresarse de la siguiente manera:
Interés = F – P = [P + P(tasa de interés)] – P
= P(tasa de interés)
$1 000 = P(0.06)
1 000
P = = $16 666.67
0.06
1.8 INTRODUCCIÓN A LAS SOLUCIONES
POR COMPUTADORA
Las funciones en una hoja de cálculo de computadora llegan a reducir considerable mente el
trabajo a mano o por calculadora de los cálculos equivalentes del interés compuesto y los
términos P, F, A, i y n. El poder de la hoja de cálculo electrónica a menudo permite introducir
una función predefinida de la hoja de cálculo en una celda y obtener de inmediato la respuesta
final. Se puede utilizar cualquier sistema de hoja de cálculo: uno disponible, como Microsoft
Excel©, o cualquier sistema diseñado especialmente con funciones y operadores financieros
incorporados. A lo largo de esta obra utilizaremos Excel por su disponibilidad y facilidad de uso.
El apéndice A constituye un sencillo manual sobre el empleo de hojas de cálcu
lo y Excel, donde las funciones que se utilizan en la ingeniería económica se descri ben
detalladamente, con explicaciones de todos los parámetros (denominados argu mentos) ubicados
entre paréntesis después del identificador de función. La función de ayuda en línea de Excel
proporciona información similar. El apéndice A también incluye una sección sobre composición
de hojas de cálculo, que resulta útil cuando se presenta un informe de análisis económico a
alguien: un compañero de trabajo, un jefe o un profesor.
Un total de seis funciones de Excel pueden llevar a cabo la mayoría de los
cálculos básicos de la ingeniería económica. Sin embargo, tales funciones no elimi nan la
necesidad de conocer las funciones del valor del dinero en el tiempo y del interés compuesto. Las
funciones constituyen herramientas complementarias im portantes; aunque no sustituyen el
conocimiento de las relaciones, supuestos y téc nicas de la ingeniería económica.
En conformidad con los símbolos P, F, A, i y n según se definieron en la sección
anterior, las funciones de Excel más utilizadas en un análisis de ingeniería econó mica se
formulan de la siguiente manera:
Para calcular el valor presente P: VP(i%,n,A,F)
Para calcular el valor futuro F: VF(i%,n,A,P)
Para calcular el valor periódico igual A: PMT(i%n,P,F)
Para calcular el número de periodos n: NPER(i%,A,P,F)
Para calcular la tasa de interés compuesto i: TASA(n,A,P,F)
Para calcular la tasa de interés compuesto i: TIR(primera_celda:última_celda)
Para calcular el valor presente P de cualquier serie: VPN(i%,
segunda_celda:última_celda) + primera_celda
28 CAPÍTULO 1 Fundamentos de ingeniería económica
Si alguno de los parámetros no se relaciona con un problema específico, se le
puede omitir y se le supondrá un valor de cero. Si el parámetro omitido es uno
anterior, se debe introducir una coma. Las últimas dos funciones requieren que se
introduzca una serie de números en celdas contiguas de la hoja de cálculo; no
obstante, las primeras 5 se pueden emplear sin datos de apoyo. En todos los casos,
la función debe ir precedida por un signo de igual (=) en la celda donde aparecerá
la respuesta. Cada una de estas funciones se explicará y ejemplificará en la parte
del texto
donde resulte más útil. Sin embargo, para obtener una idea de la manera en que
funcionan, el lector puede remitirse a los ejemplos 1.10 y 1.11. En el ejemplo
1.10, se desconoce el valor futuro F, como lo indica F = ? que aparece en la
solución. En el siguiente capítulo aprenderemos a utilizar el valor del dinero en el
tiempo para calcular F, dados P, i y n. Para determinar F en este ejemplo
utilizando una hoja de cálculo, tan sólo se introduce en cualquier celda la función
VF precedida por un signo de igual. El formato es el siguiente: VF(Tasa, nper,,va)
o VF(8%,5,,10000). La coma se introduce en virtud de que no hay valor para A.
La figura 1.5a es una imagen de pantalla de la hoja de cálculo de Excel en la
función VF que se incorpora a la celda B2. La respuesta de $–14,693.28 aparece
en la pantalla. La respuesta está en color rojo en la pantalla real de Excel para
indicar una cantidad negativa desde la perspectiva del prestatario, con la cual se
reembolsará el préstamo después de 5 años. La función VF aparece en la barra de
fórmulas en la parte superior de la hoja de cálculo. Además, hemos añadido una
etiqueta de celda para mostrar el formato de la función VF.
En el ejemplo 1.11 se busca el valor del monto anual uniforme A y se conocen los
valores de P, i y n. Determine A utilizando la función PAGO(i%,n,P); en este caso,
PAGO(7%,10,2000). La figura 1.5b muestra el resultado en la celda C4. El
formato de la función VF aparece en la barra de fórmulas junto con la etiqueta de
la celda. Como estas funciones son rápidas y fáciles de usar, las veremos con
detalle en
diversos ejemplos a lo largo del texto. Cuando sólo una función proporciona la
sensibilidad. La solución por computadora para
Sol-R
un ejemplo siempre aparece después de la
respuesta, aparece un icono especial con dos
solución a mano. Como se mencio nó antes, la
banderas: Sol-R (solución rápida). En los
función de la hoja de cálculo no representa un
capítulos iniciales del nivel 1 se muestran las
funciones generales y específicas de la hoja de sustituto de la compren sión y aplicación
adecuadas de las relaciones de la ingeniería
cálculo. En los capítulos siguientes, el icono
Sol-R aparece al margen y se indica la función económica. Por lo tanto, las soluciones a mano y
de la hoja de cálculo en la solución del ejemplo. por computadora se complementan entre sí.
Cuando se utiliza el poder de la computadora
para resolver problemas más complejos que
1.9 TASA MÍNIMA ATRACTIVA DE
incluyen varias funciones y quizá un diagrama RENDIMIENTO
(gráfica) de Excel, al margen aparece un icono
con un relámpago con la leyenda Sol-E. Estas Para que una inversión sea rentable, el
hojas de cálculo son mucho más complejas y
inversionista (una corporación o individuo)
contienen más información y cálculos, en par
espera recibir una cantidad de dinero mayor de
ticular cuando se realiza un análisis de
la que originalmente invirtió. En
SECCIÓN 1.9 Tasa mínima atractiva de rendimiento 29
Figura 1.5
Funciones de la hoja de
cálculo de Excel para a)
el ejemplo 1.10 y b) el
ejemplo 1.11.
VF(8%,5,,10000)
a)
PAGO(7%,10,2000)
PAGO(7%,10,2000)
b)
otras palabras, debe ser posible obtener una tasa de retorno o rendimiento sobre la
inversión atractivos. En esta explicación se utilizará la definición de TR de la ecua ción [2.4], es
decir, la cantidad obtenida como ganancia dividida entre la cantidad original.
En ingeniería, las alternativas se evalúan con base en un pronóstico de una TR razonable. Por
consiguiente, se debe establecer una tasa razonable para la fase de elección de criterios en un
estudio de ingeniería económica (figura 1.1). La tasa razonable recibe el nombre de tasa mínima
atractiva de retorno (TMAR) y es supe rior a la tasa que ofrece un banco o alguna inversión
segura que implique un riesgo mínimo. La figura 1.6 muestra las relaciones entre diferentes
valores de la tasa de retorno. En Estados Unidos, la tasa actual de los bonos del tesoro a veces se
utiliza como tasa segura de referencia.
Seccs.
1.1 y 1.4
TMAR
Caps.
5a8
Cap.
10
30 CAPÍTULO 1 Fundamentos de ingeniería económica
porcentaje
Figura 1.6
Tasa de rendimiento esperada
de una nueva propuesta
Magnitud de la TMAR
con respecto a otros
valores de tasas de
rendimiento.
Rango para la tasa de rendimiento
en propuestas aceptadas, en
caso de que otras propuestas
fueran rechazadas por alguna
razón
Todas las propuestas
Tasa de rendimiento,
deben ofrecer al menos
la TMAR a fin de que
sean consideradas
TMAR
Tasa de rendimiento en una
“inversión segura”
La TMAR también recibe el nombre de tasa base para proyectos; es decir,
que para que se considere viable desde el punto de vista financiero, la TR esperada
debe ser igual o superior a la TMAR o tasa base. Observe que la TMAR no es una
tasa que se calcule como una TR. La TMAR es establecida por dirección
(financiera) y se utiliza como criterio para valorar la TR de una alternativa, en el
momento de tomar decisiones de aceptación o rechazo.
Para comprender fundamentalmente cómo se fija y aplica un valor para la
TMAR, debemos volver al término capital que se presentó en la sección 1.1. La
palabra capital también recibe el nombre de fondos de capital y de inversión de
capital. En general el obtener capital siempre cuesta dinero en la forma de interés.
El interés, establecido en la forma de tasa de porcentaje, recibe el nombre de costo
del capital. Por ejemplo, si usted desea comprar un nuevo equipo de sonido, pero
no cuenta con suficiente dinero (capital), podría obtener un préstamo de una socie
dad de crédito con alguna tasa de interés, digamos, del 9% anual, y pagar en efecti
vo ahora al comerciante. O quizás utilice su recién adquirida tarjeta de crédito y
pagar el saldo mensualmente. Esta elección probablemente le costará por lo menos
18% anual. O bien, podría utilizar los fondos de su cuenta de ahorros, que obtiene
un rendimiento de 5% anual, y pagar en efectivo. Las tasas de 9, 18 y 5%
constituyen sus estimaciones del costo del capital para incrementar el capital y
adquirir el sistema por diferentes métodos de financiamiento. Asimismo, las
corporaciones calculan el
SECCIÓN 1.9 Tasa mínima atractiva de rendimiento 31
costo del capital proveniente de diferentes fuentes para obtener los fondos y llevar a cabo
proyectos de ingeniería y de otros tipos.
En general, el capital se obtiene de dos formas: por financiamiento de patrimo
nio y por financiamiento de deuda. Para la mayoría de los proyectos, se acostumbra hacer una
combinación de ambos. El capítulo 10 analiza este tema con detalle, aunque aquí haremos una
breve descripción de él.
Financiamiento de patrimonio. La corporación utiliza sus propios fondos de
efectivo a mano, ventas de existencias o utilidades acumuladas. Un indivi
duo puede utilizar su propio efectivo, ahorros o inversiones. En el ejemplo
anterior, la utilización del dinero de la cuenta de ahorros con el 5% consti
tuye un financiamiento de patrimonio.
Financiamiento de deuda. La corporación obtiene préstamos de fuentes ex
ternas y reembolsa el principal y los intereses de acuerdo con un programa
semejante al de los planes de la tabla 1.3. Las fuentes del capital que se
adeuda pueden ser bonos, préstamos, hipotecas, fondos comunes de capital
riesgoso y muchos más. Asimismo, los individuos pueden utilizar fuentes
de préstamos, tal como la tarjeta de crédito y las sociedades de crédito
descritas en el ejemplo del equipo de sonido.
De la combinación del financiamiento de deuda y el financiamiento de patrimonio
resulta un costo promedio ponderado del capital (CPPC). Si el equipo de sonido se compra con
40% del dinero de la tarjeta de crédito al 18% anual, y el 60% de los fondos de la cuenta de
ahorros, que obtienen un crecimiento de 5% anual, el costo promedio ponderado del capital es
0.4(18) + 0.6(5) = 10.2% anual.
Para una corporación, la TMAR establecida utilizada como criterio para acep tar o rechazar una
alternativa siempre será superior al costo promedio ponderado del capital con el que la
corporación debe cargar para obtener los fondos de capital necesarios. Por lo tanto, la
desigualdad
TIR ≥ TMAR > costo del capital [1.7]
debe satisfacerse para un proyecto aceptado. Algunas excepciones serían los reque rimientos por
la regulación gubernamental (seguridad, protección ambiental, legis lación, etc.), empresas de
alto riesgo y muy lucrativas, etc. Los proyectos de inge niería de valor agregado por lo común
cumplen la ecuación [1.7].
Es frecuente que haya muchas alternativas de las que se espera tengan una TIR que exceda la
TMAR, como se aprecia en la figura 1.6, pero podría no haber capital suficiente para emprender
todas, o quizá se estime que el riesgo del proyecto es demasiado alto para efectuar la inversión.
Por tanto, los proyectos nuevos que se emprenden generalmente son aquellos que tienen al menos
una tasa de rendimiento esperada tan alta como la de otra alternativa a la que aún no se destinan
fondos. Un proyecto nuevo de este tipo sería como la propuesta con TIR representada por la
flecha superior. Por ejemplo, suponga que la TMAR = 12% y que no pueden asignarse fondos
para la propuesta 1 con TIR = 13% debido a la carencia de capital. Al mismo tiempo, la
propuesta 2 tiene una TIR = 14.5% y cuenta con fondos procedentes del capital disponible. Como
la propuesta 1 no se acepta debido a la falta de capital, su
CPPC
Cap.
10
32 CAPÍTULO 1 Fundamentos de ingeniería económica
TIR estimada de 13% se conoce como el costo de oportunidad; es decir, se deja
pasar la oportunidad de obtener un rendimiento adicional de 13%.
1.10 FLUJOS DE EFECTIVO: ESTIMACIÓN Y DIAGRAMACIÓN
En la sección 1.3 se describieron los flujos de efectivo como las entradas y salidas de
efectivo. Los flujos de efectivo ocurren durante
periodos específicos, tales como un mes o un año.
De todos los elementos del enfoque de estudio de
Cap.
ingeniería económica (figura 1.1), la estimación de
15
flujos de efectivo es probablemente la más difícil e
dinero. Estos flujos pueden ser estimaciones o
inexacta. Las estimaciones de flujos de efectivo son
valores observados. Cada individuo o empresa
sólo eso: estimaciones relativas a un futuro incierto.
cuenta con entradas de efectivo —rendimientos e Una vez estimadas, las técnicas de este libro
ingresos (entradas)—; y desembolsos de efectivo orientan en el proceso de toma de decisiones. Sin
—gastos y costos (salidas)—. Estas entradas y
embargo, la exactitud probada con el tiempo de la
desembol sos constituyen los flujos de efectivo; con esti mación de entradas y salidas de efectivo de una
un signo más representa las entradas de efectivo y alternativa claramente determina la calidad del
con un signo menos representa las salidas de
Estimación de costos
análisis económico y su conclusión.
corporativo.
Las entradas de efectivo, o ingresos, pueden constar
Las salidas de efectivo, o desembolsos, pueden
de los siguientes elemen tos, dependiendo de la
naturaleza de la actividad propuesta y de la clase de estar constituidas por los siguientes elementos,
dependiendo, de nueva cuenta, de la naturaleza de
negocio que se emprenda.
la actividad y del tipo de negocio.
Ejemplos de entradas de efectivo (estimación)
Ingresos (por lo general incrementales provenientes Ejemplos de salidas de efectivo (estimación)
de una alternativa). Reducciones en los costos de Costo de adquisición de activos.
operación (atribuibles a una alternativa). Valor de Costos de diseño de ingeniería.
Costos de operación (anual e incremental).
salvamento de activos.
Costos de mantenimiento periódico y de
Recepción del principal de un préstamo.
remodelación.
Ahorros en impuesto sobre la renta.
Pagos del interés y del principal de un préstamo.
Ingresos provenientes de la venta de acciones y
Costo de actualización (esperados o no esperados).
bonos.
Ahorros en costos de construcción e instalaciones. Impuestos sobre la renta.
Gasto de fondos de capital corporativos.
Ahorros o rendimiento de los fondos de capital
SECCIÓN 1.10 Flujos de efectivo: estimación y diagramación 33
La información necesaria para llevar a cabo las estimaciones puede estar disponible en
departamentos tales como contabilidad, finanzas, mercadotecnia, ventas, inge niería, diseño,
manufactura, producción, servicios de campo y servicios compu tacionales. La exactitud de las
estimaciones depende en gran medida de la experien cia de la persona que realiza la estimación
con situaciones similares. Generalmente se efectúan estimaciones puntuales; es decir, que se
obtiene la estimación de un va lor único para cada elemento económico de una alternativa. Si se
adopta un enfoque estadístico para el estudio de la ingeniería económica, puede realizarse una
estima
ción de rango o estimación de distribución. Aunque sus cálculos son más complica dos, un
estudio estadístico ofrece resultados más completos cuando se espera que las estimaciones clave
varíen ampliamente. En gran parte de este libro utilizaremos es timaciones puntuales. En los
últimos capítulos estudiaremos la toma de decisiones bajo riesgo.
Una vez que se llevan a cabo las estimaciones de entradas y salidas de efectivo, es posible
determinar el flujo de efectivo neto.
Flujo de efectivo neto = ingresos – desembolsos
= entradas de efectivo – salidas de efectivo [1.8]
Puesto que los flujos de efectivo normalmente tienen lugar en puntos variables del tiempo dentro
de un periodo de interés, se adopta un supuesto que simplifica el análisis.
La convención de final de periodo implica la suposición de que todos los flujos de efectivo
ocurren al final de un periodo de interés. Si varios ingre sos y desembolsos se llevan a cabo
dentro de un periodo de interés determi nado, se da por supuesto que el flujo de efectivo
neto ocurre al final del periodo de interés.
Sin embargo, debe quedar claro que aunque las cantidades F o A por convención se localizan al
final del periodo de interés, el final del periodo no necesariamente es el 31 de diciembre. En el
ejemplo 1.12, el depósito se hizo el 1 de julio de 2002, y los retiros se harían el 1 de julio de cada
uno de los siguientes 10 años. Así, fin de perio do significa fin del periodo de interés, no fin del
año calendario.
El diagrama de flujo de efectivo constituye una herramienta muy importante en un análisis
económico, en particular cuando la serie del flujo de efectivo es comple ja. Se trata de una
representación gráfica de los flujos de efectivo trazados sobre una escala de tiempo. El diagrama
incluye los datos conocidos, los datos estimados y la información que se necesita. Es decir, que
una vez que el diagrama de flujo de efectivo se encuentra completo, otra persona debería ser
capaz de abordar el pro blema a partir del mismo.
El tiempo del diagrama de flujo t = 0 es el presente, y t = 1 es el final del periodo 1. Por ahora,
supondremos que los periodos se expresan en años. La escala de tiempo de la figura 1.7 abarca 5
años. Ya que la convención de final de año ubica los flujos de efectivo al final de cada año, el “1”
indica el final del año 1.
Variación y riesgo
Caps.
18 y 19
34 CAPÍTULO 1 Fundamentos de ingeniería económica
Escala típica de tiempo de flujo Año 5
de efectivo
Año 1
Figura 1.7
2
durante 5 años. 0 1
Tiempo
34
5
comprar en efectivo una Harley-Davidson usa da de
$2 000 y utiliza el resto para pagar un trabajo de
pintura, pueden adoptarse diferentes perspectivas.
Las perspectivas, los signos del flujo de efectivo y
las can tidades son las siguientes.
Perspectiva Flujo de efectivo, $
Sociedad de crédito –2 500
La persona como
prestatario +2 500
La persona como
Figura 1.8
Ejemplo de flujos de efectivo positivo y negativo.
Aunque no es necesario trazar una escala exacta en
el diagrama de flujo de efectivo, probablemente se
evitarán muchos errores si se elabora un diagrama
claro para aproximar la escala del tiempo y de las
magnitudes relativas de los flujos de efectivo.
La dirección de las flechas del diagrama de flujo de
efectivo resulta importante. Una flecha vertical que
apunta hacia arriba indica un flujo de efectivo
positivo. Por el contrario, una flecha que apunta
hacia abajo indica un flujo de efectivo negativo. La
figura 1.8 ilustra un ingreso (entrada de efectivo) al
final del año 1 y desembol sos iguales (salidas de
efectivo) al final de los años 2 y 3.
Antes de dibujar un diagrama de flujo de efectivo y
colocar un signo en él, es necesario determinar la
perspectiva o punto de vista. Como ejemplo, si una
persona obtiene un préstamo de $2 500 para
comprador de la
motocicleta, –2 000
y como
cliente del servicio
de pintura –500
Distribuidor de
motocicletas usadas +2 000
Propietario del taller
+
$
,
o
v
i
t
c
e
f
de pintura +500
e
e
lF
1
2 3 Tiempo
d
o
j
u
–
SECCIÓN 1.10 Flujos de efectivo: estimación y diagramación 35
EJEMPLO 1.15
Reconsidere el ejemplo 1.10, donde se solicita un préstamo P = $10 000 al 8% anual y se pretende determinar F
después de 5 años. Construya el diagrama de flujo de efectivo.
Solución
La figura 1.9 muestra el diagrama de flujo de efectivo desde el punto de vista del presta tario. La suma actual P
constituye una entrada de efectivo del principal del préstamo en el año 0, y la cantidad futura F es la salida de
efectivo correspondiente al pago de la deuda al final del año 5. La tasa de interés debe indicarse en el diagrama.
+
$
,
o
v
i
t
c
e
f
e
e
d
o
j
u
l
F
P = $10 000
0
–
i = 8%
1 Año 2 3 4 5
F=?
Figura 1.9
Diagrama de flujo de efectivo (ejemplo 1.15).
EJEMPLO
1.16
Cada año Exxon-Mobil gasta cantidades de dinero importantes en sistemas mecánicos de seguridad en sus
operaciones alrededor del mundo. Carla Ramos, ingeniera industrial para las operaciones que se llevan a cabo en
México y América Central, programa gastos de un millón de dólares ahora y en cada uno de los siguientes cuatro
años, exclusivamente para el mejoramiento de válvulas de alivio de presión industriales. Construya el diagrama de
flujo de efectivo para determinar el valor equivalente de dichos gastos al final del año 4, utilizando un costo del
capital estimado para fondos seguros al 12% anual.
Solución
La figura 1.10 muestra la serie de flujos de efectivo negativos y uniformes (gastos) duran te 5 periodos, así como
el valor desconocido de F (flujo de efectivo positivo equivalente) exactamente en el mismo momento que el
quinto gasto. Como los gastos comienzan a
i = 12% F = ?
4
Año 1
012
3
A = $1 000 000
Figura 1.10
Diagrama de flujo de efectivo (ejemplo 1.16).
36 CAPÍTULO 1 Fundamentos de ingeniería económica
hacerse de inmediato, el primer millón de dólares aparece en el tiempo cero, no en el
tiempo 1. Por lo tanto, el último flujo de efectivo negativo aparece al final del cuarto año,
cuando también se presenta F. Para que este diagrama se asemeje al de la figura 1.9, con
cinco años completos en la escala del tiempo, se agrega el año –1 antes del año 0 para
completar el diagrama con 5 años completos. Esta adición demuestra que el año 0 es el
punto que representa el final del periodo del año –1.
EJEMPLO 1.17
Un padre desea depositar una cantidad única desconocida en una oportunidad de inver
sión 2 años después de hoy, suficiente como para retirar $4 000 anuales que destinará para
pagar la universidad durante 5 años comenzando dentro de 3 años. Si se estima que la
tasa de rendimiento es de 15.5% anual, construya el diagrama de flujo de efectivo.
Solución
La figura 1.11 muestra los flujos de efectivo desde la perspectiva del padre. El valor
presente P es una salida de efectivo dentro de 2 años por determinar (P = ?). Note que
este valor presente no ocurre en el tiempo t = 0, sino en un periodo anterior al primer
valor A de $4 000, que constituye la entrada de efectivo del padre.
Figura 1.11
1
i = 15 % 2
012
A = $4 000
4 Año 3 765
P=?
Diagrama de flujo de efectivo (ejemplo 1.17).
Ejemplos adicionales 1.19 y 1.20.
1.11 REGLA DEL 72: ESTIMACIONES DEL TIEMPO Y TASA DE
INTERÉS PARA DUPLICAR UNA CANTIDAD DE DINERO
A veces resulta útil calcular el número de años n o la tasa de retorno i que se
requie re para duplicar una cantidad de flujo de efectivo única. Para calcular i o n,
dado uno de los valores, se puede aplicar la regla del 72 para tasas de interés
compuesto. Los cálculos son sencillos. El tiempo que se requiere para que una
única cantidad inicial se duplique con un interés compuesto es aproximadamente
igual a 72 dividi do entre la tasa de retorno expresada como porcentaje.
72
n estimado = [1.9]
i
SECCIÓN 1.12 Aplicación de la hoja de cálculo: interés simple y compuesto 37
TABLA 1.4 Estimaciones de tiempos para duplicación aplicando la regla
del 72 y el tiempo real con cálculos de interés compuesto
Tiempo para duplicación (años)
Tasa de retorno, Estimación por la Años
% anual regla del 72 reales
1 72 70
2 36 35.3
5 14.4 14.3
10 7.2 7.5
20 3.6 3.9
40 1.8 2.0
Por ejemplo, una cantidad actual tardaría en duplicarse aproximadamente 72/5 = 14.4 años a una
tasa de interés del 5% anual. (El tiempo real que se requiere es de 14.3 años, como se demostrará
en el capítulo 2.) En la tabla 1.4 se comparan los tiempos estimados a partir de la regla del 72 con
los tiempos reales que se requieren para llevar a cabo la duplicación a diferentes tasas
compuestas. Como puede verse, se obtienen buenas estimaciones.
Por otra parte, la tasa compuesta i, expresada en porcentaje, necesaria para que
el dinero se duplique en un periodo específico n se calcula dividiendo 72 entre el valor conocido
de n.
72
i estimada = [1.10]
n
Por ejemplo, para duplicar cierta cantidad de dinero en un periodo de 12 años, se requeriría una
tasa de retorno compuesta de aproximadamente 72/12 = 6% anual. La respuesta exacta es 5.946%
anual.
Si la tasa de interés es simple, se puede utilizar de forma análoga una regla del
100. En tal caso, las respuestas que se obtienen siempre serán exactas. Como ejem plo, el dinero
se duplica exactamente en 12 años al 100/12 = 8.33% de interés simple; o bien, se duplica
exactamente en 100/5 = 20 años al 5% de interés simple.
1.12 APLICACIÓN DE LA HOJA DE CÁLCULO:
INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO Y ESTIMACIONES
DE FLUJOS DE EFECTIVO VARIABLES
El ejemplo siguiente demuestra la forma en que se aplica la hoja de cálculo de Excel para obtener
valores futuros equivalentes. Un elemento clave consiste en el empleo de relaciones matemáticas
desarrolladas en las celdas para llevar a cabo un análisis de sensibilidad con estimaciones
variables de flujo de efectivo y de tasas de interés. Responder estas preguntas básicas con
cálculos hechos a mano consumen demasiado tiempo; la hoja de cálculo facilita el trabajo.
38 CAPÍTULO 1 Fundamentos de ingeniería económica
EJEMPLO 1.18
Una empresa de arquitectura ubicada en Japón pidió a un grupo de ingeniería de progra
mas de computadora en Estados Unidos, que infunda la capacidad sensora del SIG (sis
tema de información geográfica) vía satélite a los programas de vigilancia de estructu
ras altas, con el fin de detectar movimientos horizontales con una intensidad superior a la
esperada. Este programa de cómputo podría resultar muy beneficioso para advertir contra
movimientos telúricos serios en las áreas propensas a temblores en Japón y Esta
dos Unidos. Se estima que la inclusión de datos exactos del SIG incrementa los ingresos
anuales sobre los ingresos actuales del sistema en $200 000 por cada uno de los siguientes
2 años, y $300 000 por cada uno de los años 3 y 4. Las perspectivas del proyecto abar
can apenas 4 años debido a los rápidos avances mundiales en los programas de software
para vigilancia de edificios. Elabore las hojas de cálculo para responder las siguientes
preguntas.
a) Determine el valor futuro equivalente en el año 4 de los flujos de efectivo incre
mentados con una tasa de retorno de 8% anual. Proporcione respuestas tanto para el
interés simple como para el interés compuesto.
b) Repita las instrucciones del inciso a) si las estimaciones del flujo de efectivo en los
años 3 y 4 se incrementan de $300 000 a $600 000.
c) El gerente de finanzas de la compañía estadounidense desea contemplar los efectos de
una inflación de 4% anual en el análisis del inciso a). Como se señaló en la sección
1.4, la inflación reduce la tasa de rendimiento real. Para una tasa de rendimiento del
8%, una tasa de inflación compuesta de 4% anual reduce el rendimiento a 3.85% anual.
Solución por computadora
Las figuras 1.12a-c muestran las soluciones. Las tres hojas de cálculo contienen la misma
información; pero los valores de las celdas se han alterado según lo requiera la pregunta.
(En realidad, todas las preguntas planteadas aquí se pueden contestar en una sola hoja de
cálculo simplemente cambiando cantidades. Las tres hojas de cálculo se muestran exclu
sivamente con fines explicativos.)
Las funciones de Excel se construyen tomando como referencia las celdas, no los
valores mismos, de tal manera que el análisis de sensibilidad se lleve a cabo sin necesidad
de modificar la función. Este enfoque considera el valor en una celda como una variable
global para la hoja de cálculo. Por ejemplo, en todas las funciones, la tasa del 8% (de
interés simple o compuesto) en la celda B4 se designará con B4, no con 8%. Por consi
guiente, un cambio en la tasa sólo requiere una modificación en la entrada de la celda B4,
no en cada relación y función de la hoja de cálculo donde se utilice el 8%. Las relaciones
clave de Excel se especifican en las etiquetas de las celdas.
a) 8% de interés simple. Las respuestas aparecen en las columnas C y D de la figura
1.12a. El interés simple ganado cada año (columna C) incorpora la ecuación [1.15]
un año a la vez, en la relación de interés, utilizando exclusivamente las cantidades de
flujo de efectivo al fin de año (FA) ($200,000 o $300,000) para determinar el interés
para el próximo año. Dicho interés se suma al interés de todos los años anteriores. En
unidades de $1,000,
Año 2: C13 = B12*B4 = $200(0.08) = $16 (véase la etiqueta de la celda)
Año 3: C14 = C13 + B13*B4 = $16 + 200(0.08) = $32
SECCIÓN 1.12 Aplicación de la hoja de cálculo: interés simple y compuesto 39
Ejemplo 1.18 (contiene tres hojas de cálculo)
Parte a) – Determine F en el año 4
Tasa de rendimiento
Interés simple Interés compuesto
Final del año
(FA) Flujo de efectivo
Interés ganado durante el año
Flujo de efectivo FA equivalente acumulado
Interés ganado durante el año
Flujo de efectivo FA equivalente acumulado
B15 E15 F14 F14*B4
SUM(B15:C15) D14 B12*B4
C14 B14*B4
b) Determine F con las columnas de flujo de efectivo incrementadas
Tasa de rendimiento
Interés simple Interés compuesto
Final del año
(FA) Flujo de efectivo
Interés ganado durante el año
Flujo de efectivo FA equivalente acumulado
Interés ganado durante el año
Flujo de efectivo FA equivalente acumulado
40 CAPÍTULO 1 Fundamentos de ingeniería económica
c) Determine F con una inflación del 4% anual
Tasa de rendimiento
Final del año
(FA)
Flujo de efectivo
Interés
ganado
durante el
año
Flujo de
efectivo FA
equivalente
acumulado
Figura 1.12
Interés simple Interés compuesto
ganado
durante el
año
Flujo de
efectivo FA
equivalente
acumulado
Interés
Solución en hoja de cálculo incluyendo un análisis de sensibilidad (ejemplo 1.18a-c).
Año 4: C15 = C14 + B14*B4 = $32 + 300(0.08) = $56 (véase la etiqueta de la
celda)
Recordemos que un signo = debe preceder a cada relación o función de la hoja de
cálculo. La celda C16 contiene la función SUM(C12:C15), la cual presenta el
interés simple total de $104,000 durante los cuatro años. El valor futuro se encuentra
en D15, y es de F = $1,104,000, el cual incluye la cantidad acumulada de todos los
flujos de efectivo y todos los intereses simples. En unidades de $1,000, las funciones
del ejemplo son:
Año 2: D13 = SUM(B13:C13) + D12 = ($200 + 16) + 200 = $416
Año 4: D15 = SUM(B15:C15) + D14 = ($300 + 56) + 748 = $1 104
8% de interés compuesto. Consulte las columnas E y F de la figura 1.12a. La estruc
tura de la hoja de cálculo es la misma, salvo por el hecho de que la ecuación [1.6] se
encuentra incorporada en los valores del interés compuesto de la columna E; de esta
manera, el interés se añade al interés ganado. El interés de 8% se basa en un flujo de
efectivo acumulado al final del año anterior. En unidades de $1,000,
EJEMPLOS ADICIONALES 41
Interés del año 2: E13 = F12*B4 = $200(0.08) = $16
Flujo de efectivo acumulado: F13 = B13 + E13 + F12 = $200 + 16 + 200 = $416
Interés del año 4: E15 = F14*B4 = $749.28(0.08) = $59.942
(véase la etiqueta de la celda)
Flujo de efectivo acumulado: F15 = B15 + E15 + F14
= $300 + 59.942 + 749.280 = $1,109.222
El valor futuro equivalente se encuentra en la celda F15, donde F = $1,109,222 apa
rece en la pantalla.
Los flujos de efectivo equivalen a $1,104,000 a una tasa de interés simple de
8%, y a $1,109,222 a una tasa de interés compuesto de 8%. Si se utiliza una tasa de
interés compuesto, el valor de F se incrementa por $5,222.
Observe que no es posible utilizar la función VF en este caso, en virtud de que
los valores de A no son los mismos durante los 4 años. En los siguientes capítulos
aprenderemos cómo utilizar todas las funciones básicas de forma más versátil.
b) Consulte la figura 1.12b. Con el objetivo de inicializar la hoja de cálculo con las dos
estimaciones de flujo de efectivo incrementadas, se reemplazan los valores de
$300,000 en B14 y B15 con $600,000. Todas las relaciones con la hoja de cálculo
son idénticas; los nuevos valores del flujo de efectivo acumulado y de interés apare
cen inmediatamente. Los valores equivalentes de F para el cuarto año se han incre
mentado para las tasas de interés simple y compuesto al 8% (D15 y F15, respectiva
mente).
c) La figura 1.12c es idéntica a la hoja de cálculo de la figura 1.12a, salvo por el hecho
de que la celda B4 ahora contiene una tasa de 3.85%. El valor correspondiente de F
para el interés compuesto en F15 ha disminuido a $1,051,247 de $1,109,222 al 8%.
Esto representa un efecto de la inflación de $57,975 en sólo 4 años. No sorprende
que los gobiernos, empresas, ingenieros e individuos se preocupen cuando la infla
ción se eleva y la moneda vale menos con el paso del tiempo.
Comentario
Cuando se trabaja con una hoja de cálculo de Excel, es posible desplegar en pantalla todas
las entradas y funciones oprimiendo simultáneamente <Control> y <`>, que puede locali
zarse en la parte superior izquierda del teclado en la tecla <~>. Además, quizá resulte
necesario ampliar algunas columnas para que aparezca todo el contenido de las funciones.
EJEMPLOS ADICIONALES
EJEMPLO
1.19 DIAGRAMAS DE FLUJO DE EFECTIVO
Una empresa dedicada al alquiler de equipo gastó $2 500 en una nueva compresora de
aire hace 7 años. El ingreso anual por concepto del alquiler de la compresora fue de $750.
Además, los $100 gastados en mantenimiento durante el primer año aumentaron $25 cada
42 CAPÍTULO 1 Fundamentos de ingeniería económica
año. La empresa tiene planes de vender la compresora al final del año siguiente en $150.
Construya el diagrama de flujo desde la perspectiva de la empresa.
Solución
Denote ahora como el tiempo t = 0. Los ingresos y costos para los años –7 a 1 (próximo
año) aparecen en la siguiente tabla con los cálculos de flujo de efectivo neto efectuados
mediante la ecuación [1.8]. Los flujos de efectivo neto (1 negativo y 8 positivos) aparecen
en el diagrama de la figura 1.13.
Final Flujo de
del año Ingresos Costos efectivo neto
–7 $ 0 $2 500 $–2 500
–6 750 100 650
–5 750 125 625
–4 750 150 600
–3 750 175 575
–2 750 200 550
–1 750 225 525
0 750 250 500
1 750 + 150 275 625
$650
$625
$575
$600
$550
$500 $525
$625
Año
– 7 –6 –4 –2 –5 –3 0– 1 1
P = $2 500
Figura 1.13
Diagrama de flujo de efectivo (ejemplo 1.19).
EJEMPLO 1.20
DIAGRAMAS DE FLUJO DE EFECTIVO
Claudia desea depositar una cantidad P de dinero ahora, de tal manera que pueda retirar
una cantidad anual igual a A1 = $2 000 anuales durante los primeros 5 años, empezando
un año después del depósito, y desea retirar una cantidad anual diferente de A2 = $3 000
los siguientes 3 años. ¿Cómo se vería el diagrama de flujo de efectivo si i = 8.5% anual?
RESUMEN DEL CAPÍTULO 43
Solución
La figura 1.14 muestra los diagramas de flujo de efectivo. El flujo de efectivo negativo de salida P se presenta
ahora. El primer retiro (flujo de efectivo positivo de entrada) para la serie A1 ocurre al final del año 1, y A2 ocurre
en los años 6 a 8.
A2 = $3 000
A1 = $2 000
Año
135 4
26
078i=
8.5%
P=?
Figura 1.14
Diagrama de flujo de efectivo con dos diferentes series A (ejemplo 1.20).
RESUMEN DEL CAPÍTULO
La ingeniería económica es la aplicación de factores económicos y criterios para la
evaluación de alternativas, tomando en cuenta el valor del dinero en el tiempo. El
estudio de ingeniería económica implica el cálculo de una medida específica de
valor económico de flujos de efectivo estimados durante un periodo determinado.
El concepto de equivalencia permite entender en términos económicos la igual
dad de diferentes sumas de dinero en tiempos distintos. La diferencia entre inte
rés simple (basado exclusivamente en el principal) e interés compuesto (basado en
el principal y en el interés sobre el interés) se describió por medio de fórmulas,
tablas y gráficas. Este poder de cálculo compuesto se nota particularmente a lo
largo de periodos prolongados, como en el caso del efecto de la inflación aquí ex
puesto.
La TMAR constituye una tasa de rendimiento razonable establecida como tasa
base para determinar si una alternativa es económicamente viable. La TMAR siem
pre es superior al rendimiento de una inversión segura.
Asimismo, también aprendimos lo siguiente respecto de los flujos de efectivo:
Las dificultades relativas a su estimación.
La diferencia entre el valor estimado y el valor real.
La convención de final de año para la ubicación de flujos de efectivo.
El cálculo del flujo de efectivo neto.
Las diferentes perspectivas para determinar el signo del flujo de efectivo.
La construcción de un diagrama de flujo efectivo.
44 CAPÍTULO 1 Fundamentos de ingeniería económica
PROBLEMAS
Conceptos básicos
en el tiempo?
1.2 Mencione tres factores intangibles.
1.1 ¿Qué significa el término valor del dinero
1.3 a) ¿Qué quiere decir criterio de evaluación?
b) ¿Cuál es el criterio de evaluación princi pal
que se usa en el análisis económico?
1.4 Liste tres criterios de evaluación, además
del económico, para seleccionar el mejor
restau rante.
1.5 Analice la importancia de identificar las
alternativas en el proceso de la ingeniería
económica.
1.6 ¿Cuál es la diferencia entre el interés simple
y el compuesto?
1.7 ¿Qué significa tasa mínima aceptable de
rendimiento?
1.8 ¿Cuál es la diferencia entre financiamiento
con deuda y con capital propio? Dé un
ejem plo de cada uno.
Tasa de interés y tasa de rendimiento
1.9 La compañía Trucking Giant Yellow Corp.
acordó comprar a la empresa rival
Roadway en $966 millones a fin de reducir
los costos denominados indirectos de
oficina, por ejemplo los costos por nómina
y seguros que tienen un monto de $45
millones al año. Si los ahorros fueran los
que se planearon, ¿cuál sería la tasa de
rendimiento de la inversión?
1.10 Si las utilidades por cada acción de Ford
Motor Company se incrementaron de 22 a
29 centavos en el trimestre entre abril y
junio en comparación con el trimestre
anterior, ¿cuál fue la tasa de incremento en
las utili dades de dicho trimestre?
1.11 Una compañía que ofrece una gran variedad
de servicios recibió un préstamo de $2
millones para adquirir equipo nuevo y
pagó el monto principal del crédito más
$275 000 de intereses después de un año.
¿Cuál fue la tasa de interés del préstamo?
1.12 Cierta empresa de ingeniería que diseña
cons trucciones terminó el proyecto de un
ducto por el que obtuvo una utilidad de
$2.3 millones en un año. Si la cantidad de
dinero que invirtió la compañía fue de $6
millones, ¿cuál fue la tasa de rendimiento
de la inversión?
1.13 La compañía US Filter celebró un contrato,
para una planta pequeña que desala agua,
con el que espera obtener una tasa de
rendimiento de 28% sobre su inversión. Si
la empresa invirtió $8 millones en equipo
durante el primer año, ¿cuál fue el monto
de la utilidad en dicho año?
1.14 Una compañía constructora que cotiza al
público reportó que acababa de pagar un
préstamo recibido un año antes. Si la canti
dad total de dinero que pagó la empresa
fue de $1.6 millones y la tasa de interés
sobre el prés tamo fue de 10% anual,
¿cuánto dinero recibió en préstamo la
compañía un año antes?
1.15 Una compañía química que comienza a
operar se fijó la meta de obtener una tasa
de rendimiento de al menos 35% anual
sobre su inversión. Si la empresa adquirió
$50 millones como capital de riesgo,
¿cuánto debe percibir en el primer año?
Equivalencia
1.16 Con una tasa de interés de 8% por año, ¿a
cuánto equivalen $10 000 de hoy, a)
dentro de un año, y b) hace un año?
1.17 Una empresa mediana de consultoría en
ingeniería trata de decidir si debe
reemplazar su mobiliario de oficina ahora
o esperar un
año para hacerlo. Si espera un año, se piensa que el costo será de $16 000. Con una tasa de
interés de 10% por año, ¿cuál sería el costo equivalente hoy?
1.18 ¿Con qué tasa de interés son equivalentes una inversión de $40 000 hace un año y otra de
$50 000 hoy?
1.19 ¿Con qué tasa de interés equivalen $100 000 de ahora a $80 000 de hace un año?
Interés simple e interés compuesto
1.20 Ciertos certificados de depósito acumulan un interés simple de 10% anual. Si una compañía
invierte ahora $240 000 en dichos certificados para la adquisición dentro de tres años de una
máquina nueva, ¿cuánto tendrá la empresa al final de ese periodo de tiempo?
1.21 Un banco local ofrece pagar un interés compuesto de 7% anual sobre las cuentas de ahorro
nuevas. Un banco electrónico ofrece 7.5% de interés simple anual por un certificado de depósito a
cinco años. ¿Cuál oferta resulta más atractiva para una em presa que desea invertir ahora $1 000
000 para la expansión dentro de cinco años de una planta?
1.22 Badger Pump Company invirtió $500 000 hace cinco años en una nueva línea de pro ductos
que ahora reditúa $1 000 000. ¿Qué tasa de rendimiento percibió la empresa so bre la base de a)
interés simple, y b) interés compuesto?
1.23 ¿Cuánto tiempo tomará para que una inver sión se duplique con 5% por año, con a) in terés
simple, y b) interés compuesto.
1.24 Una empresa que manufactura oxidantes termales regenerativos hizo una inversión hace diez
años que ahora reditúa $1 300 000. ¿De cuánto fue la inversión inicial con una tasa de 15% anual
de a) interés simple, y b) interés compuesto?
PROBLEMAS 45
1.25 Es frecuente que las empresas reciban préstamos de dinero con acuerdos que requieren
pagos periódicos exclusivamente por concepto de interés, para después pa gar el monto principal
del préstamo en una sola exhibición. Con un arreglo como éste, una compañía que manufactura
produc tos químicos para control de olores obtuvo $400 000 a pagar durante tres años al 10% de
interés compuesto anual. ¿Cuál es la di ferencia en la cantidad total pagada entre dicho acuerdo
(identificado como plan 1) y el plan 2, con el cual la compañía no paga intereses mientras adeude
el préstamo y lo paga después en una sola exhibición?
1.26 Cierta empresa que manufactura a granel mezcladores en línea planea solicitar un préstamo
de $1.75 millones para actualizar una línea de producción. Si obtiene el dinero ahora, puede
hacerlo con una tasa de 7.5% de interés simple anual por cinco años. Si lo obtiene el año
próximo, la tasa de interés será de 8% de interés compuesto anual, pero sólo será por cuatro años.
a) ¿Cuánto interés (total) pagará en cada escenario, y b) ¿la empresa debe tomar el préstamo
ahora o dentro de un año? Suponga que la cantidad total que se adeude se pagará cuando el
préstamo venza, en cualquier caso.
Símbolos y hojas de cálculo
1.27 Defina los símbolos que se involucran si una compañía de construcción quiere saber cuánto
dinero puede gastar dentro de tres años en lugar de gastar $50 000 para adquirir un camión nuevo
hoy, cuando la tasa es de 15% de interés compuesto anual.
1.28 Diga la finalidad de cada una de las siguien tes funciones disponibles en Excel.
a) FV(i%,n,A,P)
b) IRR(first_cell:last_cell)
c) PMT(i%,n,P,F)
d) PV(i%,n,A,F)
46 CAPÍTULO 1 Fundamentos de ingeniería económica
1.29 ¿Cuáles son los valores de los símbolos de
ingeniería económica P, F, A, i y n, en las
funciones de Excel siguientes? Use a?
para el símbolo por determinar.
a) FV(7%,10, 2 000, 9 000)
b) PMT(11%,20, 14 000)
c) PV(8%,15, 1 000, 800)
1.30 Escriba el símbolo de ingeniería económica
correspondiente a cada una de las
funciones de Excel siguientes.
a) PV
b) PMT
c) NPER
d) IRR
e) FV
1.31 ¿En qué circunstancias puede quedar en
blanco cierto parámetro que no se aplica
en una función disponible en Excel?
¿Cuándo debe colocarse una coma en su
lugar?
interés que siguen: costo de capital, tasa
de rendimiento aceptable sobre una
inversión riesgosa, tasa mínima aceptable
de rendi miento, tasa de rendimiento sobre
una inver sión segura, interés sobre una
cuenta de cheques, interés sobre una
cuenta de ahorros.
1.36 Cinco proyectos diferentes tienen tasas de
rendimiento calculadas de 8, 11, 12.4, 14 y
19% por año. Una ingeniera quiere saber
cuáles proyectos aceptar sobre la base de
la tasa de rendimiento. Ella sabe gracias al
departamento de finanzas que por lo
general se usan fondos de la compañía, lo
cual tiene un costo de capital de 18% por
año, para financiar el 25% del capital de
todos los proyectos. Después se le
comunicó que el dinero obtenido por
préstamos cuesta actual mente 10% por
año. Si la TMAR se esta blece
exactamente con el costo promedio
ponderado del capital, ¿cuáles proyectos
de bieran aceptarse?
TMAR y costo de capital
Flujos de efectivo
1.32 Clasifique como segura o riesgosa cada una
de las inversiones siguientes.
a) Negocio de restaurante nuevo
b) Cuenta de ahorros en un banco
c) Certificado de depósito
d) Bono del gobierno
e) Idea de un pariente para hacerse rico
rápido.
1.37 ¿Qué significa la convención del final del
periodo?
1.33 Clasifique cada uno de los financiamientos
que siguen como capital propio o con
deuda. a) Dinero de ahorros
b) Dinero de un certificado de depósito c)
Dinero de un familiar que es socio del
negocio
d) Préstamo bancario
e) Tarjeta de crédito
1.34 Ordene de mayor a menor las siguientes
tasas de rendimiento o interés: bono del go
bierno, bono corporativo, tarjeta de
crédito, préstamo bancario para negocio
nuevo, interés sobre cuenta de cheques.
1.35 Califique de mayor a menor las tasas de
1.38 Identifique los siguientes flujos de entrada o
salida de efectivo para Daimler-Chrysler:
impuesto sobre la renta, interés sobre un
préstamo, valor de rescate, reembolsos a
los distribuidores, ingresos por ventas,
servicios de contabilidad, reducciones de
costo.
1.39 Construya un diagrama de flujo para los
siguientes flujos de efectivo: flujo de salida
de $10 000 en el tiempo cero, flujo de
salida de $3 000 anual entre los años 1 y 3,
y flujo de entrada de $9 000 entre los años
4 y 8 con una tasa de interés de 10% anual
y un monto futuro desconocido en el año
8.
1.40 Construya un diagrama de flujo para encon
trar el valor presente de un flujo de salida
futuro de $40 000 en el año 5, con una tasa
de interés de 15% anual.
Duplicación del valor
1.41 Use la regla del 72 para calcular el tiempo que tomaría para que una inversión inicial de $10
000 creciera a $20 000, con una tasa de interés compuesto de 8% anual.
1.42 Calcule el tiempo que se requiere (de acuerdo con la regla del 72) para que el dinero se
cuadruplique con una tasa de interés compuesto de 9% anual.
PROBLEMAS DE REPASO FI
1.45 Un ejemplo de factor intangible es a) Impuestos
b) Costo de materiales
c) Moral
d) Renta
1.46 El tiempo que tomaría que el dinero se duplicara con una tasa de interés simple de 5% anual
es muy cercano a
a) 10 años
b) 12 años
c) 15 años
d) 20 años
1.47 Con una tasa de interés compuesto de 10% anual, $10 000 de hace un año ahora equivalen a
a) $8 264
b) $9 091
c) $11 000
d) $12 100
1.48 Una inversión de $10 000 de hace nueve años acumuló $20 000 de ahora. La tasa de
EJERCICIO AMPLIADO
EFECTOS DEL INTERÉS COMPUESTO
EJERCICIO AMPLIADO 47
1.43 Utilice la regla del 72 para estimar la tasa de interés que se necesitaría para que $5 000 se
convirtieran en $10 000 en cuatro años.
1.44 Si usted tiene ahora $62 500 en su cuenta de ahorros para el retiro y quiere jubilarse cuando
en ésta haya $2 000 000, calcule la tasa de rendimiento que debe ganar la cuenta para retirarse
dentro de 20 años sin agregar más dinero a la cuenta.
interés compuesto ganada sobre la inversión está muy próxima a
a) 6%
b) 8%
c) 10%
d) 12%
1.49 En la mayor parte de los estudios de inge niería económica, la mejor alternativa es aquella
que
a) Durará el mayor tiempo
b) Es más fácil de implantar
c) Cuesta menos
d) Es más correcta políticamente
1.50 El costo de la colegiatura en cierta universidad pública fue de $160 por hora-crédito hace
cinco años. El costo actual (cinco años exactos después) es de $235. La tasa anual de incre mento
se encuentra muy próxima a
a) 4%
b) 6%
c) 8%
d) 10%
En un esfuerzo por mantenerse dentro de las normas de emisión de ruidos en el área de procesos,
National Semiconductors necesita utilizar instrumentos de medi ción de ruidos. La compañía
tiene planes de comprar nuevos sistemas portátiles al
48 CAPÍTULO 1 Fundamentos de ingeniería económica
final del próximo año a un costo de $9 000 cada uno. National estima que el costo
de mantenimiento será de $500 anuales durante 3 años, después de los cuales los
sistemas se desecharán a un costo de $2 000.
Preguntas
1. Construya el diagrama de flujo de efectivo. Calcule el valor equivalente F des
pués de 4 años, mediante cálculos a mano, para una tasa de interés compuesto
de 8% anual.
2. Determine el valor de F en la pregunta 1 utilizando una hoja de cálculo.
3. Determine el valor de F si los costos de mantenimiento son de $300, $500 y $1
000, en cada uno de los 3 años. ¿Cuánto ha cambiado el valor de F?
4. Calcule el valor de F en la pregunta 1 en términos de los dólares que se necesi
tarán en el futuro con un ajuste de inflación del 4% anual. Esto incrementa la
tasa de interés del 8% a 12.32% anual.
ESTUDIO DE CASO
DESCRIPCIÓN DE LAS ALTERNATIVAS PARA LA
FABRICACIÓN DE REVESTIMIENTOS PARA REFRIGERADOR
Planteamiento del problema
Las
fábricas
grandes
de
refrigeradores
como
Whirlpool, General Electric, Frigidaire y otras pueden
subcontratar el moldeo de sus revestimientos de
plástico y tableros de puerta. Una de las principales
empresas subcon tratistas nacionales es Innovations
Plastics. Se espera que aproximadamente en 2 años el
mejoramiento de las propiedades mecánicas permita
que el plástico mol deado soporte cargas verticales y
horizontales cada vez mayores, lo cual reduciría
significativamente la nece sidad de las bisagras
metálicas en alguna estantería. Sin embargo, para
ingresar al mercado se requerirá equipo de moldeo de
mejor calidad. El presidente de la com pañía desea una
recomendación sobre si Innovations debería pensar en
ofrecer la nueva tecnología a los prin cipales
fabricantes, así como una estimación de la in versión
de capital necesaria para entrar al mercado tem
pranamente.
Usted trabaja como ingeniero para Innovations. En
esta etapa, no se espera que usted lleve a cabo un aná
lisis económico de ingeniería completo, en virtud de
que no hay suficiente información disponible. Se le
pide que formule alternativas razonables, que
determine los datos y estimaciones necesarios para
cada alternativa y establezca los criterios (económicos
y no económicos) que deben aplicarse para tomar la
decisión final.
Información
Alguna información útil en este momento es la si
guiente:
• Se espera que la tecnología y el equipo continúen
vigentes aproximadamente 10 años antes de que se
desarrollen nuevos métodos.
• La inflación y los impuestos sobre la renta no se
tomarán en cuenta en el análisis.
• Los rendimientos esperados sobre el capital de in
versión utilizados para los últimos tres proyectos
tecnológicos fueron las tasas de interés compuesto
del 15, 5 y 18%. La tasa de 5% fue el criterio para
mejorar un sistema de seguridad para empleados
en un proceso existente de preparación de
químicos.
• Un financiamiento de capital de patrimonio supe rior a los $5 millones resulta imposible. La canti dad del
financiamiento de deuda y su costo se des conocen.
• Los costos anuales de operación han promediado un 8% del costo inicial del equipo principal. • El incremento
de los costos anuales de capacitación y los requerimientos de salario para el manejo de los nuevos plásticos y del
nuevo equipo de opera ción pueden variar de $800 000 a $1.2 millones de dólares.
Hay dos fábricas trabajando en la nueva generación de equipos. Estas dos opciones se designan como las al
ternativas A y B.
Ejercicios del estudio de caso
1. Aplique los primeros cuatro pasos del proceso de toma de decisiones para describir en líneas genera les las
alternativas e identifique los cálculos de na
ESTUDIO DE CASO 49
turaleza económica que se requerirán para elaborar un análisis de ingeniería económica para el presi dente.
2. Identifique los factores y criterios no económicos que deben considerarse en el momento de elegir al ternativa.
3. Durante la investigación que lleva a cabo con res pecto a la alternativa B con el fabricante, usted se entera de
que esta compañía ya ha diseñado el pro totipo de una máquina de moldeo que ha vendido a una compañía en
Alemania por $3 millones (de dó lares). En su investigación, usted descubre, además, que la empresa alemana no
aprovecha toda la capa cidad del equipo para fabricar revestimientos plás ticos. La compañía quiere vender
tiempo de uso del equipo a Innovations, para que ésta fabrique sus pro pios revestimientos y los distribuya en
Estados Uni dos. Esto podría facilitar una entrada temprana en el mercado de Estados Unidos. Considere ésta
como la alternativa C y formule las estimaciones necesa rias para evaluar C al mismo tiempo que las alter nativas
A y B.
2
Factores: cómo
el tiempo y el interés
afectan al dinero
En el capítulo anterior aprendimos los conceptos básicos de la ingeniería
OL
U
TÍ
PA
económica y su papel en la toma de decisiones.
El flujo de efectivo resulta fundamental en todo
estudio económico. Los flujos de efectivo
ocurren en muchas configuraciones y
cantidades: valores únicos aislados, series que
son uniformes y series que aumentan o
disminuyen en cantidades o porcen tajes
constantes. El presente capítulo realiza
deducciones para todos los fac tores utilizados
comúnmente en la ingeniería económica, que
toman en cuen ta el valor del dinero en el
tiempo.
La aplicación de los factores se ilustra mediante
el empleo de sus formas matemáticas y de un
formato de notación estándar. Se incluyen las
funcio nes de las hojas de cálculo, para trabajar
de manera rápida con las series de flujo de
efectivo y para desarrollar análisis de
sensibilidad.
El estudio de caso se enfoca en los impactos
significativos que el interés compuesto y el
tiempo tienen sobre el valor y la cantidad del
dinero.
C
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
Objetivo general: deducir y usar los factores de ingeniería económica para explicar el valor del dinero
en el tiempo.
Este capítulo ayudará al lector a:
Factores F/P y P/F
Factores P/A y A/P
Factores F/A y A/F
Interpole valores de factores
Factores P/G y A/G
Gradiente geométrico Calcule i
Calcule n
Hojas de cálculo
1. Deducir y utilizar los factores de cantidad compuesta y de valor presente para pago único.
2. Deducir y aplicar los factores de valor presente y recuperación de capital de serie uniforme.
3. Deducir y emplear los factores de cantidad compuesta y fondo de amortización de serie uniforme.
4. Interpolación lineal para calcular el valor de un factor.
5. Deducir y usar los factores del valor presente de gradiente aritmético y de serie uniforme.
6. Deducir y aplicar las fórmulas de gradiente geométrico.
7. Determinar la tasa de interés (tasa de retorno) de una secuencia de flujos de efectivo.
8. Determinar el número de años requeridos para lograr la equivalencia en una secuencia de flujos de
efectivo.
9. Desarrollar una hoja de cálculo para realizar análisis de sensibilidad básico mediante las funciones
de la hoja de cálculo.
52 CAPÍTULO 2 Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero
2.1 FACTORES DE PAGO ÚNICO (F/P Y P/F)
El factor fundamental en la ingeniería económica es el que determina la cantidad
de dinero F que se acumula después de n años (o periodos), a partir de un valor
único presente P con interés compuesto una vez por año (o por periodo). Recuerde
que el interés compuesto se refiere al interés pagado sobre el interés. Por
consiguiente, si una cantidad P se invierte en algún momento t = 0, la cantidad de
dinero F1 que se habrá acumulado en un año a partir del momento de la inversión a
una tasa de interés de i por ciento anual será:
F1 = P + Pi
= P(1 + i)
donde la tasa de interés se expresa en forma decimal. Al final del segundo año, la
cantidad de dinero acumulada F2 es la cantidad acumulada después del año 1, más
el interés desde el final del año 1, hasta el final del año 2 sobre la cantidad total F1.
F2 = F1 + F1i
= P(1 + i) + P(1 + i)i [2.1]
Ésta es la lógica que se utiliza en el capítulo 1 para el interés compuesto, de
manera específica en los ejemplos 1.8 y 1.18. La cantidad F2 se expresa como:
F2 = P(1 + i + i + i2)
= P(1 + 2i + i2)
= P(1 + i)2
En forma similar, la cantidad de dinero acumulada al final del año 3, si se utiliza la
ecuación [2.1], será:
F3 = F2 + F2i
2
Al sustituir P(1 + i) por F2 y simplificar, se obtiene
F3 = P(1 + i)3
De acuerdo con los valores anteriores, por inducción matemática es evidente que
la fórmula puede generalizarse para n años de la siguiente manera:
F = P(1 + i)n [2.2]
El factor (1 + i)n se denomina factor de cantidad compuesta de pago único
(FCCPU); pero en general se hace referencia a éste como el factor F/P. Éste es el
factor de conversión que, cuando se multiplica por P, produce la cantidad futura F
de una inversión inicial P después de n años, a la tasa de interés i. El diagrama de
flujo de efectivo se muestra en la figura 2.1a.
Invierta la situación para calcular el valor P para una cantidad dada F que ocu
rre n periodos en el futuro. Tan sólo resuelva la ecuación [2.2] para P.
[2.3]
P = dado
i = dado
SECCIÓN 2.1 Factores de pago único (F/P y P/F) 53
P=?
i = dado
012n–2n–1n
F=?
a)
Figura 2.1
012n–2n–1n
F = dado
b)
Diagrama de flujo de efectivo para factores de pago único: a) determine F y b) determine P.
La expresión entre corchetes se conoce como el factor de valor presente de pago único (FVPPU),
o el factor P/F. Tal expresión determina el valor presente P de una cantidad futura dada F,
después de n años a una tasa de interés i. El diagrama de flujo de efectivo se muestra en la figura
2.1b.
Observe que los dos factores derivados aquí son para pago único; es decir, se utilizan para
encontrar la cantidad presente o futura cuando se tiene sólo un pago o recibo.
Se ha adoptado una notación estándar para todos los factores. La notación in cluye dos símbolos
de flujo de efectivo, la tasa de interés y el número de periodos. Siempre está en la forma general
(X/Y,i,n). La literal X representa lo que se busca; mientras que la literal Y representa lo que está
dado. Por ejemplo, F/P significa en cuentre F cuando P está dado. La i es la tasa de interés en
porcentaje, y n representa el número de periodos implicados. En consecuencia, (F/P,6%,20)
representa el fac tor que encuentra la cantidad futura F acumulada en 20 periodos si la tasa de
interés es de 6% por periodo. La P está dada. La notación estándar, más simple de usar que las
fórmulas y los nombres de los factores, se utilizará de aquí en adelante.
La tabla 2.1 resume la notación estándar y las ecuaciones para los factores F/P y P/F. Esta
información también está incluida dentro de los forros.
Para simplificar los cálculos rutinarios de la ingeniería económica se han elabo rado las tablas de
valores del factor para tasas de interés desde 0.25 hasta 50%, y periodos del tiempo van desde 1
hasta grandes valores de n, dependiendo del valor i.
TABLA 2.1 Factores F/P y P/F: notación y ecuaciones
Ecuación Ecuación
Factor
Encontrar en notación con fórmula Funciones Notación Nombre /dado estándar de factor de
Excel
(F/P,i,n) Cantidad compuesta F/P F = P(F/P,i,n) F = P(1 + i)n FV(i%,n,,P) pago único
(P/F,i,n) Valor presente P/F P = F(P/F,i,n) P = F[1/(1 + i)n] PV(i%,n,,F) pago único
54 CAPÍTULO 2 Factores: cómo el tiempo y el interés afectan al dinero Estas tablas, que se encuentran al final del
libro, están ordenadas de acuerdo con fac
Valores del factor
determina aplicando la ecuación [2.3].
Tablas
1 a 29
tores a lo largo de la parte superior y con el número
de periodos n de manera descen dente a la
izquierda. La palabra discreto en el encabezado de
cada tabla enfatiza el que dichas tablas utilizan la
convención de final de periodo y que el interés es P Fi n
5 10 1
com puesto una vez cada periodo de interés. Para un
( / , %, )
()
factor, tasa de interés y tiempo dados, el valor
correcto del factor se encuentra en la intersección =
del nombre del factor y n. Por ejemplo, el valor del +
factor (P/F,5%,10) se encuentra en la columna P/F 1
de la tabla 10 en el periodo 10: 0.6139. Este valor se
1
(. )
=
10
1
05
1
Sol-R
==
1 62890 6139
..
Para la solución por computadora, el valor F se calcula con la función VF usando el formato
VF(i%,n,,P)
Un signo = debe preceder a la función cuando se ingrese. La cantidad P se determi na utilizando
la función VP con el formato
VP(i%,n,,F)
Estas funciones se incluyen en la tabla 2.1. Consulte el apéndice A o la ayuda en línea de Excel
para mayor información acerca de las funciones VF y VP. Los ejem plos 2.1 y 2.2 ilustran
soluciones con computadora para ambas funciones.
EJEMPLO 2.1
Un ingeniero industrial recibió un bono de $12 000 que desea invertir ahora. Quiere calcular el valor equivalente
después de 24 años, cuando planea usar todo el dinero resultante como enganche o pago inicial de una casa de
vacaciones en una isla. Suponga una tasa de retorno de 8% anual para cada uno de los 24 años. a) Determine la
cantidad que puede pagar inicialmente, usando tanto la notación estándar como la fórmula de factor. b) Use una
computadora para encontrar la cantidad antes mencionada.
a) Solución a mano
Los símbolos y sus valores son
P = $12 000 F = ? i = 8% anual n = 24 años
El diagrama de flujo de efectivo es el mismo que el de la figura 2.1a.
Notación estándar: Determine F usando el factor F/P para 8% y 24 años. La tabla 13 proporciona el valor del
factor.
F = P(F/P,i,n) = 12 000(F/P,8%,24)
= 12 000(6.3412)
= $76 094.40