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Universidad Digital del Estado de México
“2024. Año del Bicentenario de la Erección del Estado Libre y Soberano de México”
UNIVERSIDAD DIGITAL DEL ESTADO DE MÉXICO
LICENCIATURA EN INFORMÁTICA ADMINISTRATIVA
NOMBRE COMPLETO DEL ESTUDIANTE: KARINA IGNACIO GREGORIO
MATRÍCULA: udx042330057
NOMBRE COMPLETO DEL ASESOR (A): JUAN CARLOS FLORES PAULIN
NOMBRE DE LA ASIGNATURA: CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
NÚMERO Y NOMBRE DE LA ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE: 1.1 RESUMEN
CONCEPTOS BÁSICOS LIMITES Y CONTINUIDAD
FECHA DE ENTREGA: 06/03/2024
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Contenido
Introducción ............................................................................................................................................................ 3
Límites y continuidad ............................................................................................................................................ 4
Limites ................................................................................................................................................................. 4
Continuidad......................................................................................................................................................... 5
Funciones continuas y funciones discontinuas ................................................................................................ 5
Funciones continuas .......................................................................................................................................... 5
Funciones discontinuas..................................................................................................................................... 6
Conclusiones ........................................................................................................................................................... 8
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Fuentes consultadas ............................................................................................................................................... 9
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Introducción
En el estudio del cálculo, los conceptos de límites y continuidad son fundamentales para entender el
comportamiento de las funciones.
Un límite es un valor al que una función se acerca a medida que la variable independiente se acerca a
un cierto punto. Los límites nos ayudan a entender el comportamiento de una función en puntos donde
no está definida o donde tiene un comportamiento indeterminado.
La continuidad de una función, por otro lado, se refiere a si una función es ininterrumpida. Si puedes
trazar una función sin levantar el lápiz del papel, entonces esa función es continua. Si tienes que
levantar el lápiz (por ejemplo, para saltar sobre un agujero o una asíntota), entonces la función es
discontinua en ese punto.
Las funciones continuas y discontinuas tienen comportamientos muy diferentes y son útiles en
diferentes contextos en las matemáticas y las ciencias. Al entender estos conceptos, podemos obtener
una comprensión más profunda de cómo funcionan las funciones y cómo podemos utilizarlas en
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diversas aplicaciones.
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Límites y continuidad
Limites
Un límite es un concepto fundamental en cálculo que describe el comportamiento de una función
cuando la variable independiente se acerca a un valor específico. Supongamos que tienes una función
muy simple como:
𝑓(𝑥) =
1
+3
𝑥
Si deseamos acercarnos desde 0.5 hacia 1 usando pequeños saltos de 0.1, se obtendría lo siguiente:
Podemos ver que, conforme nos acercamos a 1, los valores se acercan cada vez más hacia 4. Esta
tendencia continua se llama el límite de una función. La imagen muestra la probable visualización de
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la función
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Continuidad
Una función es continua en un punto si un pequeño cambio en el valor de entrada (x) produce un
pequeño cambio en el valor de salida (f(x)). En otras palabras, no hay saltos, interrupciones o agujeros
en el punto dado1.
Esto significa que, si puedes dibujar la gráfica de la función sin levantar el lápiz, entonces la función es
continua. Por ejemplo:
𝑓(𝑥) = 𝑥 2
Funciones continuas y funciones discontinuas
Funciones continuas
Las funciones continuas son fundamentales en el cálculo y en muchas otras ramas de las matemáticas
huecos o asíntotas en ese intervalo.
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una función es continua en un intervalo, entonces podemos estar seguros de que no habrá saltos,
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debido a que permiten tratar a los objetos matemáticos de manera suave y predecible. Por ejemplo, si
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Si una función es continua en todos los puntos de su dominio, entonces decimos que la función es
continua en todo su dominio.
Ejemplo de una función continua es la función cuadrática, que se define como:
f(x)=ax2+bx+c
Donde a, b y c son constantes. Esta función es continua en todos los números reales porque puedes
dibujar su gráfica sin levantar el lápiz del papel.
La imagen muestra el ejemplo de una función continua ;
Funciones discontinuas
Una función discontinua es una función que no es continua, es decir, presenta algún punto en el que
existe un salto y la gráfica se rompe1. En términos más simples, una función discontinua es una
función que no es una curva continua, lo que significa que tiene puntos que están aislados entre sí en
un gráfico.
Esta función se define como:
f(x)=⌊x⌋
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Ejemplo de una función discontinua es la función parte entera, también conocida como función piso.
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Donde ⌊x⌋ es el mayor número entero menor o igual a x. Por ejemplo, ⌊3.7⌋=3 y ⌊−2.3⌋=−3.
La función parte entera es discontinua en todos los números enteros porque hay un salto en el valor
de la función en cada número entero. En otras palabras, no puedes dibujar la gráfica de esta función
sin levantar tu lápiz del papel en cada número entero.
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La imagen muestra una representación de una función discontinua;
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Conclusiones
Los conceptos de límites y continuidad son esenciales en el estudio del cálculo, ya que nos permiten
entender y predecir el comportamiento de las funciones. Los límites nos proporcionan una forma de
analizar el comportamiento de una función en puntos donde puede no estar definida o tener un
comportamiento indeterminado. Por otro lado, la continuidad nos permite determinar si una función
es ininterrumpida o no. Ambos conceptos, aunque diferentes, son fundamentales para el análisis de
funciones y tienen aplicaciones útiles en diversos campos de las matemáticas y las ciencias. Al
comprender estos conceptos, podemos utilizar las funciones de manera más efectiva y precisa en
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diversas aplicaciones.
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Galicia. (n.d.). Funciones, Límites y Continuidad. Recuperado de URL limco.pdf (xunta.es)
Herman, E., & Strang, G. (2016). Cálculo. OpenStax.
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Fuentes consultadas
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