Tema 04. Espacio Generado (1)

Vectores y Matrices
Espacio Generado
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Videos Explicativos: Espacio Generado
Video 1: https://youtu.be/PLaf6chledE
Este video contiene la definición 1 del tema y ejemplo básico.
Video 2: https://youtu.be/qLV4T3bvMHE
Este video contiene la definición 2 del tema y ejemplo básico.
Video 3: https://youtu.be/mQQJQ1peMW0
En este video contiene otro ejemplo del tema.
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Instrucciones especı́ficas con los videos de la clase
1
Copie y pegue en su navegador el enlace a cada video para poder tener
acceso y estudiar el contenido del mismo.
Observación: Si el enlace contiene un guión bajo, tenga en cuenta
que, al ejecutar ésta instrucción, este sı́mbolo no se copia, hay que
escribirlo manualmente antes de acceder al video.
2
Una vez que accedió al video: haga un resumen de cada video, anote los
aspectos que considere mas importantes y también anote todas sus dudas
con respecto al mismo, puede plantearlas en el foro de consultas técnicas y
académicas y/o discutirlas en la próxima videotutorı́a de la clase.
3
Buscar en la bibliografı́a sugerida del curso o en internet ejercicios del tema y
resolverlos para practicar lo aprendido.
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Definición: Conjunto Generador
Se dice que los vectores v~1 , v~2 , . . . , v~n de un espacio vectorial V generan a
V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de los
mismos.
Es decir, para todo ~v ∈ V
existen escalares k1 , k2 , · · · , kn
tales que:
~v = k1 v~1 + k2 v~2 + · · · + kn v~n
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Ejemplo 1: Conjunto de Vectores que generan R3
Todo vector ~v = (a, b, c) en R3 se puede expresar como una combinación
lineal de los vectores básicos estándar:
ı̂ = (1, 0, 0),
̂ = (0, 1, 0),
k̂ = (0, 0, 1)
ya que
~v = (a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1)
por lo tanto
el conjunto de los vectores {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} generan R3 .
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Ejemplo2: Conjunto de vectores que generan R2
El conjunto de vectores básicos estándar:
{(1, 0), (0, 1)}
generan R2 .
Ejemplo 3: Cuatro Vectores que generan M2×2
Como:
a
c
b
1
=a
d
0
0
0
+b
0
0
1
0
+c
0
1
0
0
+d
0
0
0
1
vemos que:
1
0
0
0
,
0
0
1
0
,
0
1
0
0
,
0
0
0
1
generan M2×2 .
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Ejemplo 4: Vectores que generan R3
Los vectores en el conjunto {(1, −2, 0), (0, 1, −3), (1, 0, −2)} generan R3 .
SOLUCIÓN:
Aplicar la definición de combinación lineal:
~ = (x, y , z) en R3
Cualquier vector w
se denomina combinación lineal de los vectores
v~1 = (1, −2, 0), v~2 = (0, 1, −3) y v~3 = (1, 0, −2)
si se puede expresar en la forma:
~ = k1 v~1 + k2 v~2 + k3 v~3
w
(x, y , z) = k1 (1, −2, 0) + k2 (0, 1, −3) + k3 (1, 0, −2)
donde k1 , k2
y
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k3
son escalares.
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SOLUCIÓN:
Plantear un sistema de ecuaciones:
~ = k1 (1, −2, 0) + k2 (0, 1, −3) + k3 (1, 0, −2)
w
~ = (k1 , −2k1 , 0) + (0, k2 , −3k2 ) + (k3 , 0, −2k3 )
w
~ = (k1 + k3 , −2k1 + k2 , −3k2 − 2k3 )
w
(x, y , z) = (k1 + k3 , −2k1 + k2 , −3k2 − 2k3 )
entonces el sistema de ecuaciones es:

+ k3 = x

 k1



1

−2k1 + k2
= y ⇒ −2


0


−3k2 − k3 = z

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0
1
−3
   
1
k1
x
0  k2  = y 
−2
k3
z
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
1
0
1
SOLUCIÓN: Resolviendo el sistema anterior: −2
0 −3


1
0
1 |
x
1
2 | 2x + y  →
R2 → R2 + 2R1  0
−−−−−−−−−−→
0 −3 −2 |
z


1
0
1 |
x

1
2 |
2x + y
R3 → R3 + 3R2  0
−−−−−−−−−−→
0
0
4 | 3(2x + y ) + z


1
0
1 |
x

1
2 |
2x + y
R3 → 1 R 3  0
−−−−−4−→ 0
0
1 | 32 x + 34 y + 14 z


R2 →R2 −2R3
1
0
0 | − 21 x − 34 y − 14 z
−−−−−−−−→
1
0 | −x − 21 y − 12 z 
R1 → R 1 − R3  0
3
3
1
0
0
1 |
2x + 4y + 4z
k1 = − 12 x − 34 y − 41 z,
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k2 = −x − 21 y − 12 z,
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1
0
−2

| x
| y →
| z
k3 = 32 x + 34 y + 14 z
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SOLUCIÓN:
~ = (x, yz) ∈ R3
Escribiendo cada vector w
como combinación lineal:
Con la ecuación vectorial planteada inicialmente y con los valores obtenidos :
k2 = −x − 21 y − 12 z,
k3 = 32 x + 34 y + 14 z
k1 = − 12 x − 34 y − 41 z,
~ = k1 v~1 + k2 v~2 + k3 v~3
w
(x, y , z) = k1 (1, −2, 0) + k2 (0, 1, −3) + k3 (1, 0, −2)
~ = (4, 6, −2) entonces:
Por ejemplo, sea w
k1 = − 12 x − 34 y − 41 z
k2 = −x − 12 y − 12 z
k3 = 32 x + 34 y + 14 z
k1 = − 12 (4) − 34 (6) − 14 (−2)
k1 = −6
k2 = −(4) − 21 (6) − 12 (−2)
k3 = 23 (4)+ 43 (6)+ 14 (−2)
k2 = −6
k3 = 10
Finalmente:
(4, 6, −2) = −6(1, −2, 0) + (−6)(0, 1, −3) + 10(1, 0, −2)
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Definición: Espacio Generado por un conjunto de vectores
Sea v~1 , v~2 , · · · , v~n
n vectores de un espacio vectorial V .
El espacio generado por {v~1 , v~2 , · · · , v~n } es el conjunto de combinaciones
lineales v~1 , v~2 , · · · , v~n .
Es decir:
gen {v~1 , v~2 , · · · , v~n } = {~v : ~v = k1 v1 + k2 v2 + · · · + kn v~n }
donde k1 , k2 , · · · , kn
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son escalares arbitrarios.
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Ejemplo 5: Espacio Generado
Determine el espacio generado
por los vectores en el conjunto
H = (−1, 3), (4, −12), ( 13 , −1) .
SOLUCIÓN:
gen(H) = gen{(−1, 3), (4, −12), ( 13 , −1)} =?
Sea v~1 = (−1, 3), v~2 = (4, −12), v~3 = ( 13 , −1)
Por definición:
gen(H) = {~
v : ~v = k1 v1 + k2 v2 + k3 v~3 }
gen(H) = ~v : ~v = k1 (−1, 3) + k2 (4, −12) + k3 ( 31 , −1)
Si v = (x, y ) ∈ H
entonces:
(x, y ) = k1 (−1, 3) + k2 (4, −12) + k3 ( 13 , −1)
(x, y ) = (−k1 , 3k1 ) + (4k2 , −12k2 ) + ( 31 k3 , −k3 )
(x, y ) = (−k1 + 4k2 + 13 k3 , 3k1 − 12k2 − k3 )
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SOLUCIÓN:
Igualando las componentes en la ecuación anterior se obtiene:


 −k1 + 4k2 + 1 k3 = x
3

 3k1 − 12k2 − k3 = y
Resolviendo por el método eliminación de Gauss - Jordan:
1
−1
4
−1 4 13 |
x
3 |x
R2 → R2 + 3R1
3 −12 −1 | y −−−−−−−−−−→
0 0 0 | y + 3x
El sistema es consistente solo si y + 3x = 0.
Ası́, gen(H) es una recta que pasa por el origen.
gen(H) = ~v : ~v = k1 (−1, 3) + k2 (4, −12) + k3 ( 31 , −1)
gen(H)Lic.=Sheila~vMembreño
= (x, y ) ∈ R2 : y + 3x Espacio
= 0Generado
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Ejemplo 6: Espacio generado por Matrices
1 0
0
Determine si el conjunto T =
,
−1
2
0
conjunto de matrices de orden 2: M2×2 .
SOLUCIÓN:
−1
7
genera el
gen(T ) =?
Sea A =
1
2
,
−1
0
1
−1
0
0
, B=
2
0
1
2
, C=
−1
0
−1
7
Por definición:
gen(T ) = {M : M = k1 A + k2 B + k3 C }
gen(T ) =
M : M = k1
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1
−1
0
0
+ k2
2
0
1
2
+ k3
−1
0
Espacio Generado
−1
7
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Espacio Generado
SOLUCIÓN:
x y
Si M =
∈ T entonces:
z w
x y
1 0
0
1
2 −1
= k1
+ k2
+ k3
z w
−1
2
0 −1
0
7
x y
k1
0
0
k2
2k3 −k3
=
+
+
z w
−k1
2k1
0 −k2
0 7k3
x y
k1 + 2k3
k2 − k3
=
z w
−k1
2k1 − k2 + 7k3
Igualando
las componentes se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:



 
k
+ 2k3 = x

1
1
0
2  
x


k

k2 − k3 = y
 0
 1
y 
1
−1
 k  =  
⇒ 
−k1
=z
−1
z 
0
0 2


k3

 2k1 − k2 + 7k3 = w
2 −1
7
w
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SOLUCIÓN:
Resolviendo por el método eliminación de Gauss - Jordan:



1 0 0|
−z
1
0
2| x



1
1
 0
0 1 0|
1 −1 | y 
2x + y + 2z



−→



1
1
−1
0 0 1|
0
0| z
2x + 2z



2
−1
7|
w
0
0
0|
− 23 x + 12 y − 21 z + 12 w







El sistema es consistente solo si − 32 x + 12 y − 12 z + 12 w = 0.
−3x + y − z + w = 0.
Ası́, gen(T ) es un plano que pasa por el origen.
1 0
0
1
2 −1
gen(T ) = M : M = k1
+ k2
+ k3
−1
2
0 −1
0
7
x y
gen(T ) = M =
∈ M2×2 : −3x + y − z + w = 0
z w
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Teorema
Si v~1 , v~2 , · · · , v~n
son vectores en un espacio vectorial V entonces
gen {v~1 , v~2 , · · · , v~n }
es un subespacio vectorial de V.
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Teorema
~ , n + 1 vectores que están en un espacio vectorial V.
Sean v~1 , v~2 , · · · , v~n , vn+1
Si v~1 , v~2 , · · · , v~n
genera a V entonces
~
v~1 , v~2 , · · · , v~n , vn+1
también genera a V .
Es decir, si se agregan uno o mas vectores a un conjunto generador se obtiene
otro conjunto generador.
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Espacio Generado
Para practicar lo aprendido:
* En los ejericcios del 1) al 4), determine si el conjunto de vectores dados genera
el espacio vectorial indicado:
1) En R2 ;
{(1, 2), (3, −1)}
2) En R2 ;
{(2, 1, 3), (4, 1, 2), (8, −1, 8)}
0 1
4 −2
1 2
3) En M2×2 ;
T =
,
,
2 4
0 −2
−1 3
4 −1
1 2
1 0
−2 5
4) En M2×2 ;
T =
,
,
,
3
0
0 0
1 0
0 0
5) Muestre que el plano
~v = (0, 1, 1)
yz
es generado por los vectores
u~ = (0, 2, −1)
y
~ = (4, −5, 3)
6) Determinar la ecuación del subespacio generado por w
7) Demostrar que gen {(1, 0, 1), (0, 1, 1)} es un subespacio de R3 .
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Bibliografı́a
Grossman, Stanley; Flores, José (2012). Álgebra Lineal, séptima edición.
McGraw Hill.
Howard, Anton; Rorres, Chris (2013). Introducción al Álgebra Lineal, quinta
edición. Limusa Wiley.
Carrasco, Eduardo. (1996). Guı́a Metodológica, MM211 Vectores y Matrices.
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