Topologı́a Producto
David Alejandro Navarro Rios
26 de mayo del 2024
David Alejandro Navarro Rios
Tı́tulo
Fecha
Topologı́a producto
Definición
Sea X un conjunto, una topologı́a sobre X es una colección τ ⊆ 2x que satisface las siguientes
propiedades:
i) X ∈ τ , y ∅ ∈ τ .
ii) Sea {Uα }α∈J ⊂ τ para J un conjunto de ı́ndices, entonces
[
Uα ∈ τ
α∈J
. iii) Sea {Ui }n
i=1 ⊆ τ para algún n ∈ N , entonces
n
\
Ui ∈ τ
i=1
.
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Fecha
Topologı́a producto
Definición
• Un espacio topológico es un par (X, τ ) donde X es un conjunto y τ es una topologı́a sobre
X.
• Un conjunto U ⊆ X es abierto si U ∈ τ .
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Topologı́a producto
Definición
Sea J un conjunto de ı́ndices y X un conjunto. Una J-upla de elementos en X es una función
x:J →X
Si α ∈ J entonces x(α) = xα es la α-esima coordenada de x. Denotamos una J-upla como:
x = (xα )α∈J
El conjunto de todas las J-uplas de elementos de X los denotamos por :
XJ
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Topologı́a producto
Definición
Sea {Xα } una familia indexada de espacios topológicos. Una base para una topologı́a sobre el
Q
Q
espacio α∈J Xα es la colección de todos los conjuntos de la forma α∈J Uα donde Uα es
abierto en Xα para todo α ∈ J.
La topologı́a generada por esta base se le llama topologı́a por cajas.
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Topologı́a producto
Definición
Q
Sea πβ : α∈J Xα → Xβ definida como:
πβ (xα )α∈J = xβ
entonces decimos que πβ es la proyección asociada al ı́ndice β, o la β-esima proyección.
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Topologı́a producto
Definición
Sea Sβ := {πβ−1 (Uβ ) : Uβ es abierto en Xβ } La coleccion S :=
Q
para una topologı́a sobre α X Llamada topologı́a producto.
Q
Con esta topologı́a el espacio α Xα se llama espacio producto.
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S
β∈J Sβ es una subbase
Fecha
Topologı́a producto
Teorema 1
Q
Sea X = α Xα
(1) La colección:
Q
C = { α Uα |Uα es abierto en Xα }
Es base para la topologı́a de cajas sobre X.
(2) La colección:
Q
L = { α Uα |Uα es abierto en Xα y Uα = Xα para casi todo α}
es base para la topologı́a producto sobre X
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Fecha
Teorema 2
Q
Sea X = α Xα y para cada α sea Bα base para la topologı́a sobre Xα . Entonces
• La colección:
Q
B = { α Bα |Bα ∈ Bα }
Es una base para la topologı́a de cajas sobre X.
• La colección:
Q
′
B = { α Bα |Bα ∈ Bα para todo α y Bα = Xα para casi todo α}
es una base para la topologı́a producto sobre X.
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Teorema 3
Sea {Xα } una familia indexada de espacio y para cada α sea Aα ⊂ Xα .
Q
α Xα esta dotado
con la topologia de cajas o con la topologia producto, entonces
Y
α
Aα =
Y
Aα
α
.
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Teorema 4
Sea f : A →
Q
Consideremos
α Xα definida por f (a) = (fα (a))α , donde fα : A → Xα para cada α.
Q
α Xα con la topologı́a producto. Entonces f es continua, sı́, y solo sı́, fα es
continua para todo α.
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