Machine Translated by Google Tercera edicion CONFERENCIA VIGAS: ESTÁTICAMENTE INDETERMINADO • Escuela de Ingeniería AJ Clark • Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 18 por Dr. Ibrahim A. Assakkaf PRIMAVERA 2003 Capítulo 9.5 ENES 220 – Mecánica de Materiales Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental Universidad de Maryland, College Park TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) Diapositiva No. 1 ENES 220 ©Assakkaf Vigas estáticamente indeterminadas Introducción – Nuestro análisis anterior se limitaba a vigas estáticamente determinadas. – Una viga, sometida únicamente a cargas transversales, con más de dos componentes de reacción, es estáticamente indeterminada porque las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para determinar todas las reacciones. Machine Translated by Google Diapositiva No. 2 TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) ENES 220 ©Assakkaf Vigas estáticamente indeterminadas Introducción – En todos los problemas discutidos hasta ahora, fue posible determinar las fuerzas y tensiones en vigas utilizando las ecuaciones de equilibrio, es decir ÿ F =0 ÿ F =0 X y ÿ METRO =0 A (29) Diapositiva No. 3 TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) ENES 220 ©Assakkaf Vigas estáticamente indeterminadas Introducción y X Sistema de fuerzas coplanares ÿ F =0 ÿ F =0 X y ÿ METRO A =0 Machine Translated by Google Machine Translated by Google Machine Translated by Google Diapositiva No. 8 TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) ENES 220 ©Assakkaf Vigas estáticamente indeterminadas Ejemplo 11 (continuación) yo tercero II Diapositiva No. 9 TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) ENES 220 ©Assakkaf Vigas estáticamente indeterminadas Ejemplo 11 (continuación) Para la parte I: r1 Aplicando la Ec.30, r = =3, norte 1, por lo tanto, r2 r3 3 = ÿ ,= rn 3 [3(1) 3]= estáticamente ÿ determinado Machine Translated by Google Diapositiva No. 10 TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) ENES 220 ©Assakkaf Vigas estáticamente indeterminadas Ejemplo 11 (continuación) Para la parte II: r1 Aplicando la Ec.30, r = =5, r2 r3 r4 norte rn3 > ÿ ,> r5 1, por lo tanto, 5 [3(1) 3] > ÿ estáticamente indeterminado a segundo grado Diapositiva No. 11 TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) ENES 220 ©Assakkaf Vigas estáticamente indeterminadas Ejemplo 11 (continuación) Nota: r3 = r6 y Para la parte III: r4 = r5 r2 r4 Aplicando la Ec.30, norte r5 r5 r1 r = =6, r3 r6 2, por lo tanto, 3 = ÿ ,= rn 6 [3(2) 6] =ÿ estáticamente determinado r7 Machine Translated by Google Machine Translated by Google Machine Translated by Google TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) Diapositiva No. 16 ENES 220 ©Assakkaf estáticamente indeterminado Vigas cargadas transversalmente Reglas generales – Cada haz estáticamente indeterminado problema tiene sus propias peculiaridades en cuanto a su método de solución. – Pero hay algunas reglas e ideas generales que son comunes para la solución de la mayoría de los tipos de problemas de vigas. TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) Diapositiva No. 17 ENES 220 ©Assakkaf estáticamente indeterminado Vigas cargadas transversalmente Reglas generales (continuación) – Estas normas y directrices generales se resumen a continuación: 1. Escriba las ecuaciones de equilibrio apropiadas y examínelas cuidadosamente para asegurarse de que el problema de la viga sea estáticamente determinado o indeterminado. ecuación 30 puede ayudar en el caso de problemas coplanares. 2. Si el problema es estáticamente indeterminado, examinar las restricciones cinemáticas para determinar Machine Translated by Google Diapositiva No. 18 TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) ENES 220 ©Assakkaf estáticamente indeterminado Vigas cargadas transversalmente Reglas generales (continuación) las condiciones necesarias que debe cumplir la deformación de la viga. 3. Expresar las deformaciones requeridas en términos de cargas o fuerzas. Cuando se han obtenido suficientes de estas relaciones adicionales, se pueden adjuntar a las ecuaciones de equilibrio y luego se puede resolver el problema de la viga. Diapositiva No. 19 TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) ENES 220 ©Assakkaf estáticamente indeterminado Vigas cargadas transversalmente El método de integración – Considere la viga en voladizo simplemente apoyada que está sujeta a una carga uniformemente distribuida w w B A L Figura 35 Machine Translated by Google Diapositiva No. 20 TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) ENES 220 ©Assakkaf estáticamente indeterminado Vigas cargadas transversalmente El método de integración – Dibujando el diagrama de cuerpo libre de la viga (ver Fig. 36), notamos que las reacciones involucran cuatro incógnitas, mientras que solo están disponibles tres ecuaciones de equilibrio, a saber ÿ F =0 ÿ F =0 X y ÿ METRO A (31) =0 Diapositiva No. 21 TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) ENES 220 ©Assakkaf estáticamente indeterminado Vigas cargadas transversalmente El método de integración w B A L Figura 36 wL L/2 w MAMÁ A B rax Rayo L RB Machine Translated by Google Diapositiva No. 22 TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) Vigas estáticamente indeterminadas ENES 220 ©Assakkaf • Considere una viga con soporte fijo en A y soporte de rodillos en B. • A partir del diagrama de cuerpo libre, tenga en cuenta que hay cuatro componentes de reacción desconocidos. • Condiciones para el rendimiento de equilibrio estático A =0 ÿ Fx = 0 ÿ Fy = 0 ÿ M El haz es estáticamente indeterminado. • También tenga la ecuación de deflexión del haz, XX ÿÿ = M x dx C (x C ) EI y dx 00 ++1 2 que introduce dos incógnitas pero proporciona tres ecuaciones adicionales a partir de las condiciones de contorno: En x = 0, ÿ = 0 y = 0 En x = L, y = 0 TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) Diapositiva No. 23 ENES 220 ©Assakkaf estáticamente indeterminado Vigas cargadas transversalmente El método de integración – El problema es obviamente indeterminado en primer grado porque tenemos tres reacciones desconocidas y solo tres ecuaciones de equilibrio. – Sabemos que en estáticamente indeterminado problema, las reacciones pueden obtenerse considerando la deformación de la estructura involucrada. Machine Translated by Google TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) Diapositiva No. 24 ENES 220 ©Assakkaf estáticamente indeterminado Vigas cargadas transversalmente El método de integración – Deberíamos, por lo tanto, proceder con la cálculo de la pendiente y deformación a lo largo de la viga. – Primero, el momento flector M (x) en cualquier punto dado de la viga AB se expresa en términos de la distancia x desde A, la carga dada y las reacciones desconocidas. TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) Diapositiva No. 25 ENES 220 ©Assakkaf estáticamente indeterminado Vigas cargadas transversalmente El método de integración – Integrando en x, expresiones para la pendiente y la ÿ deflexión y, que contienen dos incógnitas adicionales, a saber, las constantes de integración C1 y C2. – Pero en total se dispone de seis ecuaciones para determinar las reacciones y las constantes C1 y C2. Machine Translated by Google Diapositiva No. 26 TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) ENES 220 ©Assakkaf estáticamente indeterminado Vigas cargadas transversalmente El método de integración – Estas seis ecuaciones son: • Las tres ecuaciones de equilibrio (Ec. 31) • Las tres ecuaciones que expresan que el se satisfacen las condiciones de contorno, es decir, que la pendiente y la deflexión en A son cero, y que la deflexión en B es cero (Fig. 37). – Así se pueden determinar las reacciones en los apoyos y se pueden obtener las ecuaciones para la curva elástica. Diapositiva No. 27 TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) ENES 220 ©Assakkaf estáticamente indeterminado Vigas cargadas transversalmente El método de integración y w B A X L [x = 0, =ÿ0] [x = L, y = 0] [x = 0, y = 0] Figura 37. Forma desviada de la viga y las condiciones de contorno Machine Translated by Google Diapositiva No. 28 TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) ENES 220 ©Assakkaf estáticamente indeterminado Vigas cargadas transversalmente Ejemplo ilustrativo utilizando el método de integración – Determine las reacciones en los apoyos de la viga en voladizo simplemente apoyada de la Figura 35 en términos de w y L. w B A L Diapositiva No. 29 TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) ENES 220 ©Assakkaf estáticamente indeterminado Vigas cargadas transversalmente Ejemplo ilustrativo utilizando el método de integración – Ecuaciones de Equilibrio: • A partir del diagrama de cuerpo libre de la Fig. 38, escribimos +ÿ= ÿF +ÿÿ + ÿ X X F = 0; y METRO A (32a) 0; RA = 0 = 0; 0 +ÿ= RR wL B Ay (32b) _ ÿ ÿLMR + wL AB 1 2 2 =0 (32c) Machine Translated by Google Diapositiva No. 30 TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) ENES 220 ©Assakkaf estáticamente indeterminado Vigas cargadas transversalmente Ejemplo ilustrativo usando el Método de integración (continuación) L/2 wL w MAMÁ rax A B L Rayo RB Figura 38. Diagrama de cuerpo libre para la viga Diapositiva No. 31 TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) ENES 220 ©Assakkaf estáticamente indeterminado Vigas cargadas transversalmente Ejemplo ilustrativo utilizando el método de integración (continuación) – Ecuación de la Curva Elástica: • Dibujando el diagrama de cuerpo libre de una porción de la viga (AC) como se muestra en la Fig. 39, escribimos 1 x MR 0; () x + ÿ = ÿ MMC x ancho 2 2 ÿ ÿ A + Ay =0 o M x( ) =ÿ 2 + xRxMA 1 ancho 2 ÿ Ay _ (33) Machine Translated by Google Diapositiva No. 32 TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) ENES 220 ©Assakkaf estáticamente indeterminado Vigas cargadas transversalmente Ejemplo ilustrativo usando el Método de integración (continuación) w B A L wx MAMÁ x/ 2 w M(x) A rax Figura 38. Diagrama de cuerpo libre para la porción AC de la viga C V X Rayo Diapositiva No. 33 TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) ENES 220 ©Assakkaf estáticamente indeterminado Vigas cargadas transversalmente Ejemplo ilustrativo utilizando el método de integración (continuación) • Igualando la expresión para M(x) de la Ec.33, a la curvatura por EI e integrando , dos veces, da EIy " 1 2 + x der x m ancho =ÿ (34a) ÿ Ay 2 ÿ = EI EIy A _ 1 ÿ =ÿ 1 3 + x R x M 2x C ancho 2 6 ÿ Ay 1 EIy =ÿ 1 1 wx 4R+x M x C x3 C 1 24 2 6 2 ÿ Ay _ A _ A + ++ (34b) 1 2 (34c) Machine Translated by Google Diapositiva No. 34 TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) ENES 220 ©Assakkaf estáticamente indeterminado Vigas cargadas transversalmente Ejemplo ilustrativo usando el Método de integración (continuación) • Con referencia a las condiciones de contorno que se muestran en la Fig. 37, hacemos x =ÿ0,==00en enlalaecuación. ecuación.34c, 34b,yx = 0, y concluya que C1 = C2 = 0. • Por lo tanto, la ecuación. 34c se puede reescribir como sigue expresión de la curva elástica: Rx 3 4 EIy anchos =ÿ 24 + Sí ÿ M xA 2 (35) 2 6 Diapositiva No. 35 TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) ENES 220 ©Assakkaf estáticamente indeterminado Vigas cargadas transversalmente Ejemplo ilustrativo usando el Método de integración (continuación) • Pero la tercera condición de frontera requiere que y = 0 para x = L. Por lo tanto, sustituyendo estos valores en la ecuación. 35, da 4 wL RLML Ay = = ÿ + 24 EIy (0) 0 6 3 2 ÿ A 2 o ÿ+= 3SRES A A wL 2 y 4 0 (36) Machine Translated by Google Diapositiva No. 36 TEMA 18. VIGAS: ESTATICAMENTE INDETERMINADAS (9.5) ENES 220 ©Assakkaf estáticamente indeterminado Vigas cargadas transversalmente Ejemplo ilustrativo utilizando el método de integración (continuación) • Resolviendo esta ecuación simultáneamente con las tres ecuaciones de equilibrio (Ec. 32), las reacciones en los apoyos se determinan de la siguiente manera: =0 R RSí = 5 wL Hacha 1 =8 M wL A 8 2 = RBwL 3 8
