Control Digital IET801 Tarea 1 (Solución) Entrega (límite 18-01-24, 23:59hrs) Pregunta 1 (70%) Dibuje el diagrama de bloques de un sistema de control digital explicando la función de cada bloque. El diagrama de bloques de un sistema de control digital se dibuja como Planta o proceso: Una planta es cualquier objeto físico a ser controlado y un proceso se define como una operación progresiva o un desarrollo que sucede de manera consecutiva y conducen hacia un resultado o fin determinado. S/H (Sample and holder): “Muestreador y retenedor” describe a un circuito que recibe como entrada una señal analógica y mantiene dicha señal en un valor constante durante un tiempo específico. Convertidor analógico-digital (A/D): es un dispositivo que convierte una señal analógica en una señal digital, codificada numéricamente. Este proceso de aproximación se denomina codificación. Convertidor digital-analógico (D/A): es un dispositivo que convierte una señal digital (datos codificados numéricamente) en una señal analógica. Este proceso se denomina decodificación. Reloj: está en la computadora y en tiempo real sincroniza los eventos. Retenedor: es la operación inversa, que transforma datos en tiempo discreto en una señal en tiempo continuo a partir de la secuencia de datos en tiempo discreto. En la mayoría de los casos esto se realiza manteniendo constante la señal entre los instantes de muestreo sucesivos. Actuador: es una señal que alimenta la planta y controla la dinámica de la planta. Transductor: es un dispositivo que convierte una señal de entrada en una señal de salida de naturaleza diferente a la entrada. Puede ser de naturaleza analógica o digital. Filtro: Clasifica y discrimina las señales de acuerdo a determinadas reglas convenientes al sistema. Pregunta 2 (30%) Explique cómo se demuestra la linealidad de sistemas discretos (Describa el teorema con ecuaciones) Los sistemas, en general, se pueden subdividir en lineales y no lineales. Un sistema lineal es aquel que satisface el principio de superposición, el cual exige que la respuesta del sistema a una suma ponderada de señales sea igual a la correspondiente suma ponderada de las salidas a cada una de las señales de entrada. Teorema. Un sistema lineal es lineal si y solo si 𝜏[𝑎 𝑥 (𝑛) + 𝑎 𝑥 (𝑛)] = 𝑎 𝜏[𝑥 (𝑛)] + 𝑎 𝜏[𝑥 (𝑛)] Para cualesquiera secuencias arbitrarias de entrada 𝑥 (𝑛) y 𝑥 (𝑛), y cualesquiera constantes arbitrarias 𝑎 y 𝑎 . Un sistema lineal en reposo, con entrada cero produce salida cero. Ejercicio 1(60%): La figura muestra una señal discreta 𝑥(𝑛). Escriba cada una de las siguientes señales X(n) 1 1 𝑥(𝑛) = ⋯ ,0,1, ⏟ 1 , 1,1, , , 0, … 2 2 𝒏 𝟎 a) 𝑥(𝑛 − 2) 1 1 𝑥(𝑛 − 2) = ⋯ ,0, ⏟ 0 , 1,1,1,1, , , 0, … 2 2 𝒏 𝟎 b) 𝑥(4 − 𝑛) 𝑥(4 − 𝑛) = ⋯ ,0, c) 𝑥(𝑛 + 2) 1 1 , , 1,1,1,1,0, … ⏟ 2 2 𝒏 𝟎 1 1 𝑥(𝑛 + 2) = ⋯ ,0,1,1,1, ⏟ 1 , , , 0, … 2 2 𝒏 𝟎 d) 𝑥(𝑛)𝑢(𝑛) 1 x(n)u(n) 1 1 𝑥(𝑛)𝑢(𝑛) = ⋯ ,0,0, ⏟ 1 , 1,1, , , 0, … 2 2 𝒏 𝟎 e) 𝑥(𝑛 − 1)𝛿(𝑛 − 3) 𝑥(𝑛 − 1)𝛿(𝑛 − 3) 0 -4 -2 0 2 4 6 8 4 6 8 4 6 8 n 𝒏 𝟎 x(n-1) (n-3) 1 = ⋯ ,0,0, ⏟ 0 , 0,0,1,0,0, … f) 0.5 0.5 0 -4 𝑥(2𝑛) -2 0 2 n 𝑥(𝑛 ) = ⋯ ,0, 𝑥(−4), 𝑥(−2), 𝑥(0) , 𝑥(2), 𝑥(4), 0, … 𝒏 𝟎 x(2n) 1 0.5 0 -4 1 = ⋯ ,0,0,0, ⏟ 1 , 1, , 0, … 2 𝒏 𝟎 -2 0 2 n Ejercicio 2(40%): Una señal analógica 𝑥 (𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(480𝜋𝑡) + 3𝑠𝑒𝑛(720𝜋𝑡) Se muestrea a 600 veces por segundo a) Determine la tasa de Nyquist para 𝑥 (𝑡) La frecuencia máxima de la señal es 𝐹 = 360𝐻𝑧 Entonces por el teorema del muestreo 𝐹 = 2𝐹 = 720𝐻𝑧 b) Escriba la señal discreta 𝑥 (𝑛) 𝑛 𝑥 (𝑛) = 𝑥 (𝑛𝑇) = 𝑥 𝐹 480𝜋𝑛 720𝜋𝑛 = 𝑠𝑒𝑛 + 3𝑠𝑒𝑛 600 600 4𝜋𝑛 6𝜋𝑛 4𝜋𝑛 4𝜋𝑛 = 𝑠𝑒𝑛 + 3𝑠𝑒𝑛 = 𝑠𝑒𝑛 + 3𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑛 − 5 5 5 5 4𝜋𝑛 4𝜋𝑛 = 𝑠𝑒𝑛 + 3𝑠𝑒𝑛 − , 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑛(−𝛼) = −𝑠𝑒𝑛(𝛼) 5 5 4𝜋𝑛 4𝜋𝑛 = 𝑠𝑒𝑛 − 3𝑠𝑒𝑛 5 5 4𝜋𝑛 𝑥 (𝑛) = −2𝑠𝑒𝑛 5 c) ¿Cuáles son las frecuencias en radianes de la señal resultante 𝑥 (𝑛)? La frecuencia resultante entonces es 𝜔= 4𝜋 5
