Licenciatura en Enseñanza de las Matemáticas Cálculo integral ACTIVIDAD: ÁREA BAJO LA CURVA Samuel Aramis Garza Sánchez Beatriz Jacqueline Lavadores García Georgina Pérez Hernández Facultad de Matemáticas, UADY Profesor: Dr. Ángel G. Estrella González Fecha de entrega: 15 de abril del 2024 Pasos de la deducción del método para resolver el problema Primer problema 1. Problema: Área bajo la curva Forma verbal o descriptiva: a. Enunciado claro y completo del problema: Encuentra el área de la región 𝑆 que está debajo de la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) , desde 𝑎 hasta 𝑏. b. Información requerida: Función 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑓(𝑥) continua en [𝑎, 𝑏] y 𝑓(𝑥) ≤ 0 Forma gráfica o geométrica. a. Gráfica del problema. b. Información requerida: (gráficamente) 1. Enunciado que ayude a dar sentido qué se desea calcular dada la gráfica: “Encuentra la medida del área de la región S” 2. Aproximación a la solución. Aproximación gráfica. ⚫︎ Aproximación analítica. (Suma de Riemann) Para calcular la medida del área bajo la curva de 𝑓(𝑥) , haremos uso de 𝑛 rectángulos con base ∆𝑥 = altura𝑓(𝑥𝑖∗ ). 𝑏−𝑎 𝑛 y Sea la medida del área de un rectángulo 𝐴𝑖 = ∆𝑥(𝑓(𝑥𝑖∗ )) Se determina que la medida del área de la región S, que va de 𝑎 hasta 𝑏 es aproximadamente igual a sumar la medida del área de los 𝑛 rectángulos: 𝑺𝒂𝒑𝒓𝒐𝒙 ≈ ∆𝒙 ∙ 𝒇(𝒙∗𝟏 ) + ∆𝒙 ∙ 𝒇(𝒙∗𝟐 ) + ⋯ + ∆𝒙 ∙ 𝒇(𝒙∗𝒏 ) Es decir que: Á𝑟𝑒𝑎 𝑆 = ∑𝑛𝑖=1 ∆𝑥(𝑓(𝑥𝑖∗ )) 3. Límite. Cuando el número de rectángulos se acerca al infinito n → ∞ (es decir, el ancho de cada rectángulo se acerca a cero ∆𝑥 → 0) y se toma la suma de todas las áreas, obtienes una aproximación cada vez mejor de la medida real del área bajo la curva: 𝑛 Á𝑟𝑒𝑎 𝑆 = lim ∑ ∆𝑥(𝑓(𝑥𝑖∗ )) n→∞ 𝑖=1 4. Integral. Formalmente, la definición de la integral definida está basada en límites de sumas de Riemann. Se define como el límite de la suma de los productos de los valores de la función en cada subintervalo y el ancho de esos subintervalos, a medida que el número de subintervalos tiende a infinito. Por lo tanto, cuando se toma el límite de las sumas de Riemann a medida que el número de rectángulos tiende a infinito, se obtiene la integral definida: 𝑛 𝑏 Á𝑟𝑒𝑎 𝑆 = lim ∑ ∆𝑥(𝑓(𝑥𝑖∗ )) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 n→∞ 𝑖=1 𝑎 5. Conclusión: Enunciado del problema y la solución. Enunciado: Encuentre el área de la región 𝑆 que está debajo de la curva y 𝑓 (𝑥), desde 𝑎 hasta 𝑏. Esto significa que 𝑆 está limitada por la gráfica de una función continua 𝑓 [𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓 (𝑥) ≤ 0], las rectas verticales 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏 y el eje x. Solución: 𝑛 𝑏 𝑆 = lim ∑ ∆𝑥(𝑓(𝑥𝑖∗ )) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 n→∞ 𝑖=1 𝑎 Segundo problema 1. Problema: Área bajo la curva Forma verbal o descriptiva: a. Enunciado claro y completo del problema: Considere la región 𝑆 que se ubica entre dos curvas 𝑦 = 𝑓(𝑥) y 𝑦 = 𝑔(𝑥) y entre las rectas verticales 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏, donde 𝑓 y 𝑔 son funciones continuas y 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) para toda 𝑥 en [𝑎, 𝑏]. Calcula el área de la región que queda entre las gráficas de las funciones 𝑓 y 𝑔 delimitada por 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏. b. Información requerida: Dos funciones, un intervalo y que una de las funciones sea mayor a la otra en ese intervalo. Forma gráfica o geométrica: Gráfica del problema. Información requerida: (gráficamente) 1. Enunciado que ayude a dar sentido qué se desea calcular dada la gráfica: “Encuentra la medida del área de la región S” 2. Aproximación a la solución Aproximación gráfica Aproximación analítica: Dividimos la región 𝑆 en 𝑛 rectángulos de igual ancho ∆𝑥, tomando como puntos muestra cualquier número 𝑥𝑖∗ en el i-ésimo subintervalo [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ] , sumamos y acumulamos la medida de las áreas de los rectángulos desde del rectángulo con altura 𝑓(𝑥1∗ ) − 𝑔(𝑥1∗ ) hasta el rectángulo de altura 𝑓(𝑥𝑛∗ ) − 𝑔(𝑥𝑛∗ ). Obteniendo la expresión: 𝑆𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 = (𝑓(𝑥1∗ ) − 𝑔(𝑥1∗ ))∆𝑥 + (𝑓(𝑥2∗ ) − 𝑔(𝑥2∗ ))∆𝑥 + ⋯ + (𝑓(𝑥𝑛∗ ) − 𝑔(𝑥𝑛∗ ))∆𝑥 Lo cual se reduce a 𝑛 𝑆𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 = ∑[𝑓(𝑥𝑖∗ ) − 𝑔(𝑥𝑖∗ )]∆𝑥 𝑖=1 donde 𝐴𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 es una aproximación de la medida de la región 𝑆 tomando como puntos muestra cualquier número 𝑥𝑖∗ en el i-ésimo subintervalo [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ]. 3. Límite Mientras más rectángulos de aproximación utilicemos más nos acercamos a la medida exacta de la región 𝑆, es decir, podemos hallar la medida exacta del área de la región 𝑆 haciendo que 𝑛 incremente indefinidamente. Por tanto, tomamos el límite de la suma cuando 𝑛 tiende a al infinito 𝑛 Á𝑟𝑒𝑎 𝑆 = lim ∑[𝑓(𝑥𝑖∗ ) − 𝑔(𝑥𝑖∗ )]∆𝑥 𝑛→∞ 𝑖=1 4. Integral Análogamente al primer problema, podemos expresar el límite de la suma presentada anteriormente como la integral definida 𝑏 Á𝑟𝑒𝑎 𝑆 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝑎 donde 𝑎 y 𝑏 son las rectas verticales 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏 que delimitan la región 𝑆. 5. Conclusión Problema: Considere la región 𝑆 que se ubica entre dos curvas 𝑦 = 𝑓(𝑥) y 𝑦 = 𝑔(𝑥) y entre las rectas verticales 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏, donde 𝑓 y 𝑔 son funciones continuas y 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) para toda 𝑥 en [𝑎, 𝑏]. Calcula el área de la región que queda entre las gráficas de las funciones 𝑓 y 𝑔 delimitada por 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏. Solución: 𝑛 𝑏 ∗ ∗ Á𝑟𝑒𝑎 𝑆 = lim ∑[𝑓(𝑥𝑖 ) − 𝑔(𝑥𝑖 )]∆𝑥 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 𝑛→∞ 𝑎 𝑖=1
