Matemática 5to C2 - 2024

Matemática
5° AÑO “C” C2
2024
PROF. ALFONSINA
MEDINA ANTONINI
Matemática 5to Año - 2024
Comercio 2
Polinomios.
Operaciones y
Factorización
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Comercio 2
Polinomios. Características
Una expresión algebraica es una combinación cualquiera y finita de números, de letras, o de números
y letras, ligados entre sí con la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
3x + 24
___
1
4x5 + 6x3 – __
4
x6 – 10
_______
x2
x2 + 32x
Los números son los coeficientes, y las letras, las variables o indeterminadas.
Si la variable no está afectada por una raíz o como divisor, las expresiones algebraicas son enteras
y se denominan polinomios. De los ejemplos anteriores, los dos últimos no son polinomios.
Clasificación de los polinomios
Según la cantidad de términos, un polinomio se denomina:
ˆ monomio, si tiene un solo término
ˆ trinomio, si tiene tres términos
2 3
__
2x + 5 – x4;
5x ;
ˆ binomio, si tiene dos términos
5x2 – 4;
ˆ cuatrinomio, si tiene cuatro términos
6x4 + 8x3 – 5 + x8.
Los términos que tienen la misma variable y exponente son semejantes.
Los términos 10x3, 2x3 y –4x3 son semejantes.
Se denomina grado al mayor exponente que tiene la variable de los términos con coeficientes no nulos.
P(x) = 6x + x2 – 7x5; grado: 5
Q(x) = 10 – x3 + x; grado: 3
T(x) = 7; grado: 0
Se llama coeficiente principal al que multiplica a la variable de mayor exponente.
S(x) = –x + 2x4 – 5x3; coeficiente principal: 2
T(x) = –x6 – 8x + x4; coeficiente principal: –1
Al polinomio cuyo coeficiente principal es 1, se lo denomina normalizado.
Un polinomio está ordenado si sus términos están ordenados en forma creciente o decreciente respecto de los exponentes de la variable.
2 x2 – __
1x + 5
F(x) = 2x4 + x3 – __
3
5
3 x3
G(x) = 7 + x + 3x2 – __
2
H(x) = x5 + 2x2 – 7
Un polinomio está completo si tiene todas las potencias decrecientes del grado.
R(x) = 2x4– x3 + x2 – 8x + 7; está completo.
2 x2 +9; está incompleto.
Q(x) = x4 – __
5
Para completar un polinomio, se agregan los términos que faltan con coeficiente cero.
M(x) = 2x5 + x3 – 8 = 2x5 + 0x4 + x3 + 0x2 + 0x – 8
N(x) = 8x4 + 3x2 = 8x4 + 0x3 + 3x2 + 0x + 0
O(x) = x5 – 9 = x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x – 9
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1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. El grado del polinomio 3x4 – 5x3 + 8, ¿es 3?
b. El polinomio 4x2 + 3x2 – x + 9, ¿es un trinomio?
ACTIVIDADES
Polinomios. Características
1. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas es un polinomio?
8x2 – 3x–4
3
___
32x + x3
35 . x3 + 5–1
__
3x
+6
______
x2
6x2 – 4x3
8x4 – 9
b. ¿Cuál es el polinomio de mayor grado?
3x + 5x2
–5 – 2x5
c. ¿Cuál es el coeficiente principal de 4x5 – 3 – x6 + 8?
–1
1
4
6
–x + 3x2
3x2 + x3
d. ¿Cuál polinomio se encuentra normalizado?
x3 – x4
–x + 1
2. Completen.
Polinomio
Clasificación
Completo y ordenado
Grado
Coef.
Término
principal indep.
8x2 – 6x – 3x3
12x6 – 2 – 5x6
5x2 + x – 2x4 – 7
x2 + 3x3 – 5x2 – 3x3
2x – x4 + 5
__
x2 + 35 x – 3x3
–x2 + 3 + x2 + 2x5
3. Escriban un polinomio que cumpla con las condiciones dadas.
a. Un trinomio de grado 3, cuyo coeficiente principal sea 2 y el término independiente, –4.
b. Un binomio de grado 4, normalizado, cuyo término independiente sea 3.
c. Un polinomio completo de grado 2, con coeficiente principal –3 y término independiente, –8.
4. Normalicen los siguientes polinomios.
a. –3x2 + 5x3 – 10
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b. –x4 + 3x2 – 7x
c. __32 – __61 x2 + x
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Suma y resta de polinomios
La suma de varios monomios semejantes es otro monomio semejante al dado, cuyo coeficiente es
la suma de los coeficientes de los monomios dados.
6x3 + x3 + 5x3 = 12x3
15 x4
1 x4 = ___
5x4 + 2x4 + __
2
2
x + x + x + x = 4x
Para restar dos monomios, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.
P(x) = 4x6 ∧ Q(x) = –2x6 ⇒ P(x) – Q(x) = 4x6 – (–2x6) = 4x6 + 2x6 = 6x6
Reducir un polinomio es sumar o restar sus términos semejantes.
2x4 + 3x + x4 – x = 3x4 + 2x
2 x4 + 2x4 + 6x3 = x5 + __
4 x4 + 2x3
–4x3 + x5 – __
3
3
Para sumar varios polinomios entre sí, se completan y ordenan, luego se encolumnan sus términos
semejantes y se suman.
{
P(x) = –3 + 2x2 + 5x3 – x4
{
R(x) = 3x2 + 2x – 1
Dados: Q(x) = –9x3+ 2x2 – 4x + 5
Dados: T(x) = –x + 5 – 4x2
P(x) + Q(x)
R(x) + T(x)
– x4 + 5x3 + 2x2 + 0x – 3
+ + 0x4 – 9x3 + 2x2 – 4x + 5
—————————————
P(x) + Q(x) = – x4 – 4x3 + 4x2 – 4x + 2
3x2 + 2x – 1
+ –4x2 – x + 5
———————
R(x) + T(x) = – x2 + x + 4
Para restar dos polinomios, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.
{
M(x) = 2x2 – x + 2
{
1 x3 + 6
A(x) = 3x – 2x2 – __
Dados: N(x) = 3x2 – 1
Dados: B(x) = –3x2 + 5x +54x4 + 3
M(x) – N(x)
A(x) – B(x)
2
2x – x + 2
+ –3x2 + 0x + 1
———————
M(x) – N(x) = –x2 – x + 3
1 x3 – 2x2 + 3x + 6
0x4 – __
+ –4x4 + 50x3 + 3x2 – 5x – 3
—————————————
1 x3 + x2 – 2x + 3
A(x) – B(x) = –4x4 – __
5
Para resolver una suma algebraica de polinomios, se opera en el orden en que aparecen los términos.
Dados P(x) = 5x2 + 3x – 2; Q(x) = –6x2 – 4x + 5 y R(x) = 3x2 + x – 7
P(x) + Q(x) + R(x)
P(x) + Q(x) – R(x)
5x2 + 3x – 2
+ –6x2 – 4x + 5
3x2 + x – 7
———————
P(x) + Q(x) + R(x) = 2x2 + 0x – 4
5x2 + 3x – 2
+ –6x2 – 4x + 5
–3x2 – x + 7
————————
P(x) + Q(x) – R(x) = –4x4 – 2x + 10
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5. Resuelvan las siguientes sumas algebraicas reduciendo a la mínima expresión.
c. 0,6 x3 + __21 x3 – __37 x3 =
a. x4 – 3x4 – 2x4 + 8x4 =
___
___
___
d. – __21 x + __53 x – __31 x =
b. 348 x2 – 327 x2 – 312 x2 =
6. Tengan en cuenta los siguientes polinomios y resuelvan.
ˆ A(x) = –5x2 + x – 3
ˆ B(x) = x2 + 2x4 + 2
ˆ C(x) = 2x3 – x + 1
a. A(x) + B(x) =
d. A(x) – B(x) =
b. A(x) + C(x) =
e. B(x) – A(x) =
c. B(x) – C(x) =
f. C(x) – B(x) =
7. Resuelvan las siguientes sumas algebraicas de polinomios.
ˆ P(x) = –5x2 + 3x – 4x3 – 1
ˆ Q(x) = –x3 + 1
ˆ R(x) = 7x + 5 – 3x2
ˆ S(x) = 2 – 4x2 + 5x4 – x3
a. P(x) – Q(x) – S(x) =
d. [R(x) – Q(x)] + [P(x) – S(x)] =
b. P(x) – [Q(x) – S(x)] =
e. – [R(x) + S(x) – Q(x)] + P(x) =
c. Q(x) – [R(x) + P(x)] =
f. [P(x) + Q(x)] – [R(x) – S(x)] =
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Comercio 2
Multiplicación de polinomios
Para multiplicar dos monomios, se deben multiplicar los
coeficientes y las indeterminadas entre sí, aplicando la regla
de los signos y las propiedades de la potenciación.
5x . 3x = 15x2
7x4. (–5x4) = –35x8
xn . xm = xn+m
–6x3 . 3x = –18x4
–5x5 . (–8x7) = 40x12
Para multiplicar un polinomio por un monomio, se aplica la
propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma
y la resta.
a . (b ± c) = a . b ± a . c
10 x2 – 30x
2 x + 6 = –5x . (–x3) – 5x . 4x2 – 5x . –__
–5x . ( –x3 + 4x2 – __
( 23 x ) – 5x . 6 = 5x4 – 20x3 + ___
)
3
3
Para multiplicar dos polinomios, se aplica la propiedad
distributiva, efectuando luego la multiplicación de monomios.
(a + b) . (c + d) = ac + ad + bc + bd
Calcular el producto entre P(x) = x2 – 4x + 3 y Q(x) = 5x2 – x.
P(x) . Q(x) = (x2 – 4x + 3) . (5x2 – x)
= x2 . 5x2 + x2 . (–x) – 4x . 5x2 – 4x . (–x) + 3 . 5x2 + 3 . (–x)
= 5x4 – x3 – 20x3 + 4x2 + 15x2 – 3x
P(x) . Q(x) = 5x4 – 21x3 + 19x2 – 3x
Potencia de un monomio
Para resolver la potencia de un monomio, se debe aplicar
la propiedad distributiva de la potenciación respecto de la
multiplicación y la potencia de otra potencia.
(4x)3 = 43 . x3 = 64x3
(–2x3)2 = (–2)2 . (x3)2 = 4x6
(a . b)n = an . bn ∧ (xn)m = xm . n
7 3
3
27 x
( –__35 x ) = ( –__35 ) . ( x ) = –____
125
7 3
21
Cuadrado de un binomio
Al resolver el cuadrado de un binomio, se obtiene un trinomio cuadrado perfecto.
(a + b)2 = (a + b) . (a + b) = aa + ab + ba + bb = a2 + 2ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Cuadrado de
un binomio
Trinomio
cuadrado perfecto
(x – 3)2 = x2 + 2 . x . (–3) + 32 = x2 – 6x + 9
Cubo de un binomio
Al resolver al cubo un binomio, se obtiene un cuatrinomio cubo perfecto.
(a + b)3 = (a + b) . (a + b) . (a + b) = (a + b)2 . (a + b) = (a2 + 2ab + b2) . (a + b)
(a + b)3 = a2 . a + a2 . b + 2aba + 2abb + b2 . a + b2 . b = a3 + a2 b + 2a2 b + 2ab2 + b2 a + b3
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
Cubo de
un binomio
Cuatrinomio
cubo perfecto
(5 + x)3 = 53 + 3 . 5 . x2 + 3 . 52 . x + x3 = 125 + 15x2 + 75x + x3
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Comercio 2
ACTIVIDADES
Multiplicación de polinomios
8. Resuelvan las siguientes multiplicaciones de monomios.
a. –3x3 . (–9x2) =
c. – __52 x2 . (–5x) . – __21 x3 =
b. __31 x5 . (–6x) =
2
d. 0,3 x . – __32 x2 =
(
(
)
)
9. Apliquen propiedades y resuelvan.
a. (–5x3) . – __51 x . x =
d. (x – 5) . (x – 5) . (x + 5) =
b. (2x2)4 . (2x2)3 . 2x2 =
e. (x – 2) . (x + 2) . x =
c. (3x5)2 . 3x5 + x15 =
f. (x – 1) . (x – 1) . x2 =
(
)
10. Resuelvan las siguientes multiplicaciones.
a. (5x2 + 3x – 4) . (–7x) =
1
c. –3x3 . –x + __91 x2 – ___
27 =
b. __21 x . x3 – __34 x + 8 =
15 3
2
d. __52 x2 . 25x – ___
2 x + 5x =
(
)
(
)
(
)
11. Resuelvan las siguientes multiplicaciones de binomios.
a. (4x3 – 2) . (4x3 + 2) =
c. __21 x – 3 . __21 x + 3 =
b. (2x2 + 5) . (2x2 + 5) =
d. __41 x2 – 2 . __41 x2 – 2 =
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(
(
)(
)(
)
)
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ACTIVIDADES
Multiplicación de polinomios
12. Tengan en cuenta los polinomios y resuelvan.
ˆ P(x) = 2x2 + x – 5
ˆ Q(x) = 4x2 + 3x – x4 + 4 + 2x3
ˆ R(x) = x3 – x
a. P(x) . R(x) =
d. R(x) . S(x) =
b. Q(x) . P(x) =
e. R(x) . Q(x) =
c. S(x) . P(x) =
f. S(x) . Q(x) =
ˆ S(x) = –x – 2x3 + 8 – x2
13. Resuelvan los siguientes cuadrados y cubos de binomios.
a. (a2 + 3)2 =
b. (–5 + b3)2 =
c. (–c – 2)2 =
d. (a + 3)3 =
e. (4 – b)3 =
f. (2c2 + 4)3 =
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La regla de Ruffini. Teorema del resto
La regla de Ruffini es un método práctico que se utiliza para dividir un polinomio P(x) por otro cuya
forma sea x + a.
Dados P(x) = 2x3 + 3x – 1 y Q(x) = x + 2 hallar P(x) : Q(x), aplicando la regla de Ruffini.
Dividendo
Divisor
El polinomio dividendo debe estar completo y ordenado.
2x3 + 0x2 + 3x – 1
x+2
Se escriben alineados los coeficientes del dividendo.
2
–2
0
–2
3
1
1
1
1
–1
1
3
Cociente
Resto
3x2 + 1x + 1
–1
–1
+
Cálculos auxiliares
(–2) . (–4) = 8
(–2) . 11 = –22
–2
2
El polinomio cociente es un grado menor que el polinomio dividendo.
3
3
(–2) . 2 = –4
El coeficiente principal se “baja” sin ser modificado;
luego se lo multiplica por el opuesto del término independiente del divisor y se suma con el segundo coeficiente; así
sucesivamente hasta llegar al resto.
Los números que se obtienen son los coeficientes del
cociente y el último valor es el resto.
(3x3 – 2x2 – 2) : (x – 1)
Dividendo
3x3 – 2x2 + 0x – 2
0
–4
8 –22
–4
11 –23
C(x) = 2x2 – 4x + 11
R(x) = –23
Cociente
Resto
(–x5 + 12x3 – 15x2 – 16) : (x + 4)
–x5 + 0x4 + 12x3 – 15x2 + 0x – 16
–1
–4
–1
Cociente
Resto
Dividendo
0
12
–15
0
–16
4
–16
16
–4
16
4
–4
1
–4
0
–x4 + 4x3 – 4x2 + x – 4
0
Teorema del resto
El resto de la división de un polinomio por otro de la forma x + a es el valor que resulta de reemplazar la variable del dividendo por el valor opuesto al término independiente del divisor.
Dados P(x) = 3x3 – 2x2 – 2 y Q(x) = x – 1
Dados P(x) = –x5 + 12x3 – 15x2 – 16 y Q(x) = x + 4
El resto de la división P(x) : Q(x) se obtiene:
P(1) = 3 . (1)3 – 2 . (1)2 – 2
P(1) = 3 – 2 – 2 = –1
El resto de la división P(x) : Q(x) se obtiene:
P(–4) = –(–4)5 + 12 . (–4)3 – 15 . (–4)2 – 16
P(–4) = 1024 – 768 – 240 – 16 = 0
El resto de la división es –1.
El resto de la división es 0.
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Comercio 2
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cómo debe ser el polinomio divisor para poder aplicar la regla de Ruffini?
b. Para aplicar la regla de Ruffini, ¿el dividendo debe estar ordenado, sin importar si está completo?
ACTIVIDADES
La regla de Ruffini. Teorema del resto
34. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuál es el resto de la división (–x3 – 4x + 5) : (x – 2)?
–9
–7
1
21
(x3 – 2) : (x + 2)
(x3 – 2) : (x – 2)
b. ¿Cuál de las siguientes divisiones es exacta?
(x3 – 1) : (x + 1)
(x3 – 1) : (x – 1)
35. Resuelvan usando la regla de Ruffini y verifiquen usando el teorema del resto.
a. (5x3 – 2x2 + x – 3) : (x + 1) =
d. (2x4 – 4x2 + x – 8) : (x – 2) =
b. (x5 – 3x3 + 4x2 – x + 2) : (x – 1) =
e. (x6 + 4x5 – 7x3 – 3) : (x + 1) =
c. (x3 – x2 – 12x + 12) : (x – 1) =
f. (–2x5 – 4x3 – x2 – 80) : (x + 2) =
36. Calculen el resto de las siguientes divisiones aplicando el teorema correspondiente.
a. (–x5 – 3x3 + 4x + 7) : (x – 3) =
c. 4x5 – 3x4 – 2x3 + __21 x – 1 : (x – 2) =
b. (2x6 – x3 + x2 – 3) : (x + 1) =
d. (–5x8 + 3x2 – x + 6) : (x – 1) =
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(
)
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Factor común y factor común por grupos
Factorizar un polinomio de n términos es expresarlo como un producto de polinomios primos.
Factor común
Para factorizar un polinomio a través del factor común, se debe recordar la propiedad distributiva
de la multiplicación respecto de la suma o de la resta.
a . (b ± c) = a . b ± a . c (el factor a se repite en ambos términos)
Para extraer el factor común, se debe proceder de manera inversa: a . b ± a . c = a . (b ± c)
Primero, se debe reconocer cuál es el factor que se encuentra repetido en cada término y luego,
para encontrar el factor que va entre paréntesis, se divide cada término por el factor común.
El factor común puede ser la variable del polinomio, elevada a la menor potencia, y/o el dcm de
todos los coeficientes del mismo.
Factoricen el polinomio P(x) = 6x2 – 3x, extrayendo el factor común.
3x es el factor común de los dos términos.
P(x) = 3x . 2x – 3x . 1
P(x) = 3x . (2x – 1)
Expresión factoreada de P(x) a través del factor común.
6x2 ___
3x
____
3x 3x
Dentro del paréntesis va lo que resulta de dividir cada término por 3x.
Factoricen el polinomio Q(x).
Q(x) = –15x6 – 12x5 + 6x3 = –5 . 3x3 . x3 – 4 . 3x3 . x2 + 2 . 3x3 = 3x3 . (–5x3 – 4x2 + 2)
Para normalizar un polinomio, se debe sacar como factor común el coeficiente principal.
2
R(x) = 3x
(
)
1
__
2
3
x
1
1
__
____
__
.
–2=3 3 – 2
= 3 . x2 – __
6
3
(
) Polinomio normalizado
Factor común por grupos
En algunos casos el factor común por grupos se puede aplicar a polinomios que no tienen un factor
común en todos sus términos.
Factoricen el polinomio S(x) = 4x3 – 2x2 + 6x – 3, mediante el factor común por grupos.
Se forman grupos de términos, de forma tal que en cada
S(x) = (4x3 – 2x2) + (6x – 3)
uno de ellos haya un factor común.
2x2
3
S(x) = 2x2 . (2x – 1) + 3 . (2x – 1)
S(x) = (2x2 + 3) (2x – 1)
En cada término debe aparecer el mismo factor para poder
extraerlo nuevamente como factor común.
Al sacar nuevamente factor común, la expresión queda
factorizada a través del factor común por grupos.
Factoricen el polinomio Q(x).
Q(x) = x6 + 2x5 + x4 + 2x3 + 2x + 4 = (x6 + 2x5) + (x4 + 2x3) + (2x + 4)
= x5 . (x + 2) + x3 . (x + 2) + 2 . (x + 2)
Q(x) = (x5 + x3 + 2) . (x + 2)
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Comercio 2
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En P(x) = 6x3 – 15x2 + 3x = 3x . (2x2 – 5x), ¿se extrajo correctamente el factor común?
b. En todo polinomio, ¿se puede aplicar factor común por grupos?
ACTIVIDADES
Factor común y factor común por grupos
1. Marquen las opciones correctas.
En cada caso, ¿cuáles expresiones son equivalentes a las dadas?
a. x8 – x2 =
b. x5 – 2x2 + x =
c. x4 . (x2 – 3x + 1) =
d. x3 . (x2 – 3x + 2) =
x 2 . (x 4 – x )
x . (x4 – 2x + 1)
2x6 – 4x5 + 2x4
3x5 – 9x4 + 6x3
x2 . (x6 – 1)
x5 . (–2x3 + x4)
x6 – 3x5 + x4
x6 – 3x3 + 2x3
x8 . (1 – x6)
x5 . (x – 2x–3 + x)
x8 – 3x4 + x4
x5 – 3x4 + x3
2. Extraigan factor común.
a. 6x5 – 6x4 + 2x3 =
7 4 __
1 3
d. – __92 x7 – ___
15 x + 3 x
15 5
b. __49 x9 + 3x8 – ___
2 x
e. 3x5 – __53 x + 6
1
_2_
c. – __92 x2 – ___
15 x – 3
35
21 6 ___
f. – ___
10 x – 6
3. Extraigan factor común por grupos en los siguientes polinomios.
a. x4 – x3 + 2x – 2 =
b. x5 – 3x3 – 2x2 + 6 =
c. x3 – 2x2 – x + 2 =
4. Marquen las respuestas correctas.
a. ¿Cuáles de las siguientes expresiones corresponden al área del rectángulo?
b. ¿Cuáles de las siguientes expresiones corresponden al volumen del prisma?
x–2
3 . (x – 3)
6x
x+4
3x – 5
(3x – 9) . (x + 4)
x . (5x + 11)
3 . (x – 3) . (x + 4)
x . (2x – 4) . (3x + 15)
4x – 5
6x . (x – 2) . (3x – 5)
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Comercio 2
Trinomio cuadrado perfecto y cuatrinomio cubo perfecto
a
x ± 2ax + a = (x ± a)
2
2
2
Cuadrado de un binomio:
expresión factorizada del
trinomio cuadrado perfecto.
Trinomio cuadrado perfecto:
Es el desarrollo del cuadrado del binomio.
a
x2
ax
ax
a2
x
x
x ± 2ax + a = (x ± a) . (x ± a) = (x ± a)
2
2
2
(x + a) = x + ax + ax + a2
= x2 + 2ax + a2
2
2
x–a
a
(x – a)2
a . (x – a)
P(x) = x2 + 10x + 25 = x2 + 2 . x . 5 + 52 = (x + 5)2
x–a
x
5
Q(x) = x2 – 6x + 9 = x2 – 2 . x . 3 + 32 = (x – 3)2
x
a2
a .(x – a)
x
3
2
R(x) = x + 12x + 16 = x2 + 2 . x . 6 + 42
6≠4
x
4
No es trinomio cuadrado perfecto.
x
2
2
(x – a) = x – a . (x – a) – a . (x – a) – a2
= x2 – ax + a2 – ax + a2 – a2
= x2 – 2ax + a2
Cuatrinomio cubo perfecto
x3 + 3ax2 + 3a2 x + a3 = (x + a)3
Cubo de un binomio: expresión
factorizada del cuatrinomio cubo perfecto.
Cuatrinomio cubo perfecto: es el desarrollo del cubo del binomio.
x3 ± 3ax2 + 3a2 x ± a3 = (x ± a) . (x ± a) . (x ± a) = (x ± a)3
(x + a)3 = (x + a) . (x + a) . (x + a)
= (x2 + 2ax + a2) . (x + a)
= x3 + 3ax2 + 3a2 x + a3
Expresión factorizada
(x – a)3 = (x – a) . (x – a) . (x – a)
= (x2 – 2ax + a2) . (x – a)
= x3 – 3ax2 + 3a2 x – a3
T(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 3 . x2 . 1 + 3 . x . 12 + 13 = (x + 1)3
x
1
K(x) = x3 – 6x2 + 12x – 8 = x3 – 3 . x2 . 2 + 3 . x . 22 – 23 = (x – 2)3
x
2
3
2
M(x) = x + 4x + 8x + 8 = x3 + 3 . x2 . 2 + 3 . x . 22 + 23
6≠4
12 ≠ 8
x
2
No es cuatrinomio cubo perfecto.
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Comercio 2
5. Completen con el valor que corresponde para que resulte un trinomio cuadrado perfecto.
a. x2 +
b.
x+9
x2 – 20x + 25
c. 9x2 – 12x +
d. 4x2 +
x+9
6. Desarrollen las siguientes expresiones.
a. (2x – 4)2 =
2
b. __21 x – 5 =
(
)
c. (x3 – 2)2 =
d. (x + 6)3 =
3
e. __23 x – 2 =
(
)
f. (x5 – 2x)3 =
7. Expresen cada trinomio cuadrado perfecto como el cuadrado de un binomio.
a. x2 – 10x + 25
c. __91 x10 + __31 x5 + __41
b. 9x2 – 12x + 4
d. x6 + 4x4 + 4x2
8. Expresen cada cuatrinomio cuadrado perfecto como el cubo de un binomio.
a. x3 – 9x2 + 27x – 27
c. __81 x6 + __43 x4 + __23 x2 + 1
b. 8x3 + 36x2 + 54x + 27
d. 27x6 – 81x5 + 81x4 – 27x3
9. Escriban la expresión más sencilla que permita calcular el área de la figura.
1
x+1
x
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Comercio 2
Suma y resta de potencias de igual exponente.
INFOACTIVA
Para un polinomio de la forma P(x) = xn ± an existen cuatro posibilidades.
P(x) = xn ± an ∧ n es par
P(x) = xn ± an ∧ n es impar
Factoricen el polinomio P(x) = x4 – 81 = x4 – 34.
___
Se buscan las raíces de P(x): x4 – 81 = 0 ⇒ |x| = 381 ⇒ |x| = 3 ⇒ x1 = 3 ∧ x2 = –3
Por el teorema del resto: P(3) = 0 ⇒ (x – 3) es divisor de P(x).
P(–3) = 0 ⇒ (x + 3) es divisor de P(x).
4
Se aplica la regla de Ruffini con las raíces halladas, las veces que sea posible.
(x4 – 81) : (x – 3) = x3 + 3x2 + 9x + 27
1
3
1
0
3
3
0
9
9
(x3 + 3x2 + 9x + 27) : (x + 3) = x2 + 9
0 –81
27 81
27
0
1
–3
1
3
–3
0
9 27
0 –27
9
0
P(x) = x4 – 81
= (x3 + 3x2 + 9x + 27) . (x – 3)
= (x2 + 9) . (x + 3) . (x – 3)
Q(x) = x4 + 81 no tiene raíces reales.
R(x) = x5 – 32 = x5 – 25
Se buscan las raíces de P(x):
x5 – 32 = 0 ⇒ x = 2
S(x) = x3 + 64 = x3 + 43
Se buscan las raíces de S(x):
x3 + 64 = 0 ⇒ x = –4
Por el teorema del resto:
R(2) = 0 ⇒ (x – 2) es divisor de R(x).
Por el teorema del resto:
S(–4) = 0 ⇒ (x + 4) es divisor de S(x).
Se resuelve por la regla de Ruffini R(x) : (x – 2)
R(x) = (x – 2) . (x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16)
Se resuelve por la regla de Ruffini S(x) : (x + 4)
S(x) = x3 + 64 = (x + 4) . (x2 – 4x + 16)
Resumiendo:
P(x) = xn ± an
n impar
n par
Divisor/es
n
n
(x + a)
n
n
(x – a)
n
n
(x + a) ∧ (x – a)
n
n
No tiene divisores de la forma (x ± a).
x +a
x –a
x –a
x +a
Diferencia de cuadrados
P(x) = x2 – 4 = x2 – 22 = (x – 2) . (x + 2)
R(x) = x4 – 64 = (x2)2 – 82 = (x2 – 8) . (x2 + 8)
R(x) = x6 – 16 = (x3)2 – 42 = (x3 – 4) . (x3 + 4)
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P(x) = x2 – a2 = (x – a) . (x + a)
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Comercio 2
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Las expresiones (x – y)2 y (x2 – y2) ¿son equivalentes?
b. Uno de los posibles divisores del polinomio x4 + 16 ¿es (x – 2)?
ACTIVIDADES
Suma y resta de potencias de igual exponente
10. Factoricen las siguientes sumas y restas de potencias de igual exponente.
a. x5 – 32 =
e. x9 + 1 =
b. x12 + 1 =
f. x6 + 729 =
c. x4 – 81 =
g. x3 – 64 =
d. x7 + 2 187 =
h. x8 – 256 =
11. Escriban cada expresión como diferencia de cuadrados, siempre que sea posible.
a. x2 – 9 =
d. 4x2 – 25 =
b. 100x4 – 256 =
1
e. x6 – ___
36 =
c. 9x2 – 5 =
f. x2 + 25 =
12. Calculen la medida de cada una de las aristas del prisma.
Volumen = 3x2 – 12
3 cm
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Comercio 2
Teorema de Gauss
INFOACTIVA
Si el polinomio P(x), de grado n, con coeficientes enteros y término independiente no nulo, admite
p
una raíz racional __
q (fracción irreducible), entonces p es divisor del término independiente y q lo es del
coeficiente principal.
Para hallar las raíces racionales de P(x) = axn + bxn – 1 + cxn – 2 + ... + d:
ˆ se buscan los divisores del término independiente y del coeficiente principal;
p ___
→ Divisores del término independiente.
ˆ se buscan las posibles raíces: __
q →
Divisores del coeficiente principal.
Todo polinomio P(x), de grado n, de n raíces reales, puede factorizarse como:
P(x) = a.(x – x1).(x – x2).(x – x3).....(x – xn)
Siendo a el coeficiente principal de P(x) y x1; x2; ... ; xn
sus raíces reales.
Hallen las raíces del polinomio P(x) = 2x3 – 7x2 + 2x + 3.
Divisores del término independiente, (–3): ±1, ±3
Divisores del coeficiente principal, (2): ±1, ±2
p
Posibles raíces __q :
3
1 ; x = ±3; x = ±__
x1 = ±1; x2 = ±__
3
4
2
2
Se especializa el polinomio P(x) por las posibles raíces (xn es raíz si P(xn) = 0).
P(1) = 0 ⇒ x1 = 1 es raíz.
1 ) = 0 ⇒ x = – __
1 es raíz.
P(– __
2
2
2
P(–3) = 0 ⇒ x3 = –3 es raíz.
1 . (x + 3)
P(x) = 2x3 – 7x2 + 2x + 3 ⇒ P(x) = 2 . (x – 1) . x + __
2
(
)
Un polinomio P(x) tiene una raíz múltiple si al descomponerlo en función de sus raíces hay factores
iguales; el orden de multiplicidad de la misma está dado por el exponente del factor.
Polinomio factorizado
Raíces
Multiplicidad
P(x) = 2 . (x – 1) . x + __21 . (x + 3)
x1 = 1 ∧ x2 = – __21 ∧ x3 = –3
Tres raíces simples.
P(x) = (x – 1)2 = (x – 1) . (x – 1)
x1 = x2 = 1
Una raíz doble.
x1 = x2 = x3 = –2
Una raíz triple.
(
)
P(x) = (x + 2)3 = (x + 2) . (x + 2) . (x + 2)
P(x) = (x – 2)2 . (x + 1)3
P(x) = x3 . (x + 3) = x . x . x . (x + 3)
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x1 = x2 = 2 ∧ x3 = x4 = x5 = –1 2, raíz doble y –1, raíz triple.
x1 = x2 = x3 = 0 ∧ x4 = –3
0, raíz triple y –3, raíz simple.
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Comercio 2
13. Escriban las posibles raíces de los polinomios.
a. x3 + 3x2 – 10x – 24 =
b. –3x3 + 9x2 + 99x – 105 =
c. –4x4 + 2x3 – 2x + 1 =
d. 5x4 – 20x3 – 90x2 – 100x – 35 =
14. Calculen las posibles raíces de los polinomios. Luego, especialícenlos para hallar las raíces.
a. x3 + 2x2 – x – 2
c. 3x3 – 12x2 + 15x – 6
b. x3 – 7x + 6
d. 2x3 + 14x2 + 30x + 18
15. Hallen las raíces de los siguientes polinomios y factorícenlos.
a. x3 + 2x2 – 5x – 6 =
d. 3x3 – 9x2 – 30x + 72 =
b. x3 – 4x2 – 3x + 18 =
e. 5x3 + 25x2 – 125x – 625 =
c. 2x4 + 10x3 + 12x2 – 8x – 16 =
f. –2x4 – 10x3 – 18x2 – 14x – 4 =
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Comercio 2
Casos combinados de factoreo
En algunos polinomios se deben aplicar varias veces los distintos casos de factorización.
ˆ Siempre que sea posible se debe extraer factor común, y luego, se estudia si algunos de los factores
se pueden seguir descomponiendo en nuevos factores.
Factor común x2
P(x) = 2x4 + 2x3 + x2 = x2 . (x2 + 2x + 1) = x2 . (x + 1)2
Trinomio cuadrado perfecto
Factor común 27
1 = 27 . x – __
1 . x2 + __
1 x + __
1
Q(x) = 27x3 – 1 = 27 . x3 – ___
3
3
9
27
(
)
(
)(
)
Resta de potencias de igual exponente
ˆ Se analiza si es posible extraer factor común por grupos, y luego, se estudia si algunos de los
factores se pueden seguir descomponiendo en nuevos factores.
Factor común por grupos
R(x) = x3 + 3x2 – 4x – 12 = x2.(x + 3) – 4.(x + 3) = (x + 3).(x2 – 4) = (x + 3).(x – 2).(x + 2)
Diferencia de cuadrados
ˆ Se puede también aplicar el teorema de Gauss.
Factor común –3
Trinomio cuadrado perfecto
S(x) = –3x3 + 15x2 – 24x + 12 = –3.(x3 – 5x2 + 8x – 4) = –3.(x – 1).(x2 – 4x + 4) = –3.(x – 1).(x – 2)2
Teorema de Gauss
Se encuentra una raíz de x3 + 5x2 – 8x + 4.
S(1) = 0 y se aplica la regla de Ruffini con el divisor (x – 1).
1
1
1
–5
1
–4
8
–4
4
–4
4
0
x3 – 5x2 + 8x – 4 = (x – 1) . (x2 – 4x + 4)
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Comercio 2
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Cuando hay que factorear un polinomio, ¿siempre se puede aplicar más de un caso?
b. Cuando se factoriza un polinomio, ¿se debe respetar un orden al aplicar los distintos casos?
ACTIVIDADES
Casos combinados de factoreo
31. Indiquen el caso de factoreo aplicado en cada paso.
a. 3x3 – 12x2 + 12x
c. 2x4 – 6x3 – 5x – 15
3x . (x2 – 4x + 4)
2x3 . (x – 3) – 5 . (x – 3)
3x . (x – 2)2
(x – 3) . (2x3 – 5)
b. x3 – 5x2 – 9x + 45
d. 2x3 – 18x2 + 54x – 54
x2 . (x – 5) – 9 . (x – 5)
2 . (x3 – 9x2 + 27x – 27)
(x – 5) . (x2 – 9)
2 . (x – 3)3
(x – 5) . (x – 3) . (x + 3)
32. Observen el procedimiento realizado para hallar la factorización de cada polinomio e indiquen si
está resuelto correctamente. En caso contrario, escriban la factorización correspondiente.
a. x3 – x2 – 4x +4
d. x4 – x3 – x – 1
2
x . (x – 1) – 4 . (x – 1)
x3 . (x – 1) – (x – 1)
(x2 – 4) . (x – 1)
(x – 1) . (x3 – 1)
(x – 2) . (x + 2) . (x – 1)
b. 2x2 + 18
2 . (x2 + 9)
2 . (x – 3) . (x + 3)
e. x6 – x5 + x4 – x3
x3 . (x3 – x2 + x – 1)
x3 . (x + 1)3
c. x3 – 4x2 + 4x
x . (x2 – 4x + 4)
x . (x – 2)2
f. 2x5 + 4x4 + 2x3
2x3 . (x2 + 2x + 1)
2x3 . (x + 1)2
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Comercio 2
33. Escriban los siguientes polinomios en forma factorizada.
a. A(x) = x3 – x2 + __23 x – _23_
f. F(x) = x4 – 3x3 – 2x2 + 7x – 3
b. B(x) = 2x3 – 50x
g. G(x) = 2x6 – 16x3
2 2
c. C(x) = 2x5 – ___
27 x
25 2
10 3 ___
h. H(x) = __35 x4 + ___
3 x – 3 x – 10x
d. D(x) = 3x3 – 12x2 + 15x – 6
i. I(x) = x3 + 3x2 + 4x + 12
e. E(x) = 3x3 + 12x2 – 9x – 54
j. J(x) = x5 + 4x4 + 4x3 – x2 – 4x – 4
3
A(x) = (x – 1) . x2 + __
2
(
)
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Comercio 2
34. Resuelvan teniendo en cuenta el polinomio P(x) = x4 – 5x3 + 7x2 – 3x.
a) Factoricen el polinomio P(x).
b. Indiquen las raíces y el grado de multiplicidad de cada una.
35. Completen para que se cumpla la igualdad e indiquen el caso de factoreo usado.
(
= x .(
)
).(
a. x5 – 4x3 = x3 .
3
b. 2x3 + 2x2 – 16x – 24 = 2 .
)
(
)
(
= 2 . (x – 3) . (
)
= 2 . (x – 3) .
2
)
(
= (x – 2) . (
)
c. x4 + 10x3 + 24x2 – 32x – 128 = (x – 2) .
d. 3x5 – 9x4 – 147x3 + 441x2 = 3x2 .
3
)
(
)
(
)
= 3x . (x – 3) . (
).(
e. x + 5x + 5x + 3x + 18 = (x + 3) . (
)
= (x + 3) . (
).(
=(
) .(
= 3x2 . (x – 3) .
)
2
4
3
2
2
)
)
36. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es la factorización de cada uno de los siguientes polinomios?
a. x4 – 9x2 =
x2 . (x – 3) . (x + 3)
x4 . (1 – 9x)
x2 . (x2 – 81)
b. x5 + 6x4 + 9x3 =
x . (x + 3)2
x3 . (x + 3)2
x3 . (x2 + 9)
c. 2x3 + 4x2 – 6x =
(x2 – 2) . (x + 3)
2x . (x2 + 2x + 6)
2x . (x – 1) . (x + 3)
d. x3 – 7x – 6 =
x . (x2 – 7)
(x – 3) . (x + 2) . (x + 1)
(x + 3) . (x – 2) . (x + 1)
e. x5 + 3x4 – 4x2 =
x2 . (x + 2)2 . (x – 1)
x2 . (x + 2)2 . (x + 1)
x2 . (x – 2)2 . (x – 1)
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Comercio 2
Ecuaciones de grado mayor a dos
Para encontrar el o los valores de x para los cuales P(x) = –9, siendo P(x) = x3 – x2 – 9x, se debe
plantear la ecuación: x3 – x2 – 9x = –9.
Para resolver este tipo de ecuaciones, se pueden seguir estos pasos.
x3 – x2 – 9x + 9 = 0
(x3 – x2) – (9x – 9) = 0
x2 . (x – 1) – 9 . (x – 1) = 0
(x2 – 9) . (x – 1) = 0
(x – 3) . (x + 3) . (x – 1) = 0
∨
∨
x–3=0
x=3
1. Se iguala a cero el polinomio.
2. Se factoriza el polinomio resultante.
3. Se aplica la ley de nulidad del producto.
a.b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0
x+3=0
x = –3
∨
∨
x–1=0
x=1
Las raíces de P(x) = x3 – x2 – 9x + 9 son x1 = 3, x2 = –3 y x3 = 1.
Para verificar las soluciones, se reemplazan los valores de x en P(x):
Se debe verificar que P( xn ) = x3 – x2 – 9x = –9
P(3) = 33 – 32 – 9 . 3
P(3) = 27 – 9 – 27
P(3) = –9
P(–3) = (–3)3 – (–3)2 – 9 . (–3)
P(–3) = –27 – 9 + 27
P(–3) = –9
P(1) = 13 – 12 – 9 . 1
P(1) = 1 – 1 – 9
P(1) = –9
Por lo tanto: S = {–3;3;1}
Hallen x, tal que P(x) = 1.
Hallen x, tal que Q(x) = –1.
P(x) = x3 – x2 + x
Q(x) = x3 – x – 1
x3 – x2 + x = 1
x3 – x2 + x – 1 = 0
(x3 – x2)+ (x – 1) = 0
x2 . (x – 1) + (x – 1) = 0
(x2 + 1) . (x – 1) = 0
x3 – x – 1 = –1
x3 – x – 1 + 1 = 0
x . (x2 – 1) = 0
x . (x – 1) . (x + 1) = 0
x2 + 1 = 0
∅
∨
x–1=0
x=1
Verificación:
P(1) = 13 – 12 + 1
P(1) = 1 – 1 + 1 ⇒ P(1) = 1
La solución es S = {1}
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x=0
x=0
∨
∨
x–1=0
x=1
∨
∨
x+1=0
x=–1
Verificación:
Q(0) = 03 – 0 – 1
Q(1) = 13 – 1 – 1 = –1
Q(–1) = (–1)3 – (–1) – 1 = –1
La solución es S = {–1;0;1}
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Comercio 2
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Para resolver la ecuación (x – 1) + (x – 2) = 0, ¿se debe igualar cada paréntesis a 0?
b. Si al resolver una ecuación se obtiene que x = a, para verificarlo, ¿se debe calcular P(a) o P(x) = a?
ACTIVIDADES
Ecuaciones de grado mayor a dos
37. Indiquen cuáles son las raíces de los polinomios dados.
a. P(x) = 2 . (x – 4) . (x + 1)
d. S(x) = x . (x – 3)
b. Q(x) = –5 . (x – 5) . (x + 3) . (x – 2)
e. T(x) = (x – 3)2 . (x + 1)
c. R(x) = x – __41 . (x – 2)
f. U(x) = (x – 2)3 . (x + 3)3
(
)
38. Resuelvan las siguientes ecuaciones.
a) x3 + 4x2 – 3x = 18
d. 5x2 + 6x + 2= – x3 – 2x – 2
15 2
15
___
3
b. 5x3 – ___
2 x + 10x = 4x – x – 2
e. 5x4 – 2x3 – 3x2 = 5x4 – 3x3 + 4x2 – 15x + 9
c. 13x2 – 50x = x3 – 3x – 35
1
f. x3 – __32 x2 = ___
12 . (x – 1)
39. Resuelvan teniendo en cuenta los datos.
Hallen el valor de x, tal que P(x) = 2 y P(x) = x3 – 3x.
b. Si Q(x) = x3 – x2 – 9x + 15, ¿cuál es el valor de x tal que Q(x) = 6?
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Comercio 2
Estudio de funciones polinómicas
Para realizar el gráfico aproximado de una función polinómica se debe:
ˆ Hallar la ordenada al origen, la que está determinada por el término independiente y es el punto (0;a0 ).
ˆ Factorizar el polinomio.
ˆ Las raíces indican las intersecciones con el eje x.
ˆ El orden de multiplicidad de las raíces indica que la gráfica
- rebota, si es par o
- atraviesa el eje x, si es impar.
ˆ Hallar los conjuntos de positividad y negatividad, para lo cual se buscan valores del dominio entre
dos raíces consecutivas para determinar si la función es positiva o negativa en ese intervalo.
3
1 x4 – 2x3 + x2 + 2x – __
Realicen el gráfico aproximado de la función f(x) = __
2
2
y
ˆ Ordenada al origen:
3)
(0;– __
2
3
3
1 4
__
3
2
y = __
2 x – 2x + x + 2x – 2
2
ˆ Factorización del polinomio:
1 . (x + 1) . (x – 1)2 . (x – 3)
f(x) = __
2
ˆ Intersecciones con el eje x :
1
Raíz
x1 = –1
–3
–2
x1 = –1 ∧ x2 = 1 ∧ x3 = 3
–1
0
Raíz
x2 = 1
1
2
Raíz
x3 = 3
3
4
x
–1
–2
ˆ Orden de multiplicidad:
x1 = –1; raíz impar ⇒ La gráfica atraviesa el eje x.
x2 = 1; raíz par ⇒ La gráfica rebota en el eje x.
x3 = 3; raíz impar ⇒ La gráfica atraviesa el eje x.
Ordenada al origen
( 0;– __23 )
ˆ Conjunto de positividad y negatividad:
45
3 = ___
1 . (–2)4 – 2 . (–2)3 + (–2)2 + 2 . (–2) – __
f(–2) = __
2
2
2
∀x : x ∈ (–∞;–1) ⇒ f(x) > 0
3
f(0) = – __
2
∀x : x ∈ (–1;1) ⇒ f(x) < 0
3 = – __
3
1 . 24 – 2 . 23 + 22 + 2 . 2 – __
f(2) = __
2
2
2
∀x : x ∈ (1;3) ⇒ f(x) < 0
C+ = (–∞;–1) ∪ (3;+∞)
C– = (–1;1) ∪ (1;3)
45
3 = ___
1 . 44 – 2 . 43 + 42 + 2 . 4 – __
f(4) = __
2
2
2
∀x : x ∈ (3;+∞) ⇒ f(x) > 0
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Comercio 2
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cuál es el valor de la imagen en P(a) si a es raíz del polinomio?
b. ¿El conjunto de negatividad está formado por los valores de y negativos?
ACTIVIDADES
Estudio de funciones polinómicas
40. Escriban la letra del gráfico que corresponde a cada función.
a. 3 . (x – 2) . (x + 1) . (x – 1)
c. (x + 2) . (x – 1) . (x + 3)
b. –3 . (x – 2) . (x + 1) . (x – 1)
d. (x – 2) . (x + 1) . (x – 1)
GRÁFICO A
GRÁFICO C
–3
–2
–1
y
y
7
6
5
4
3
2
1
2
1
–1
–2
–3
0
1
2
3
–2
–1
x
GRÁFICO B
–3
–2
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
0
1
2
3
x
0
1
2
3
x
GRÁFICO D
–1
y
y
7
6
5
4
3
2
1
2
1
–1
–2
–3
0
1
2
3
x
–2
–1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
41. Realicen el gráfico aproximado de las siguientes funciones polinómicas.
a. P(x) = x3 + x2 – x – 1
b. Q(x) = x3 – 2x2 – x + 2
y
y
2
2
1
1
–4 –3 –2 –1 0
–1
1
–2
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2
3
4
x
–4 –3 –2 –1 0
–1
1
2
3
4
x
–2
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42. Realicen un gráfico aproximado de las siguientes funciones polinómicas a partir de sus elementos.
43. y = x3 + 6x2 – x – 30
Ordenada al origen:
Raíces y orden de multiplicidad:
Conjunto de positividad:
Conjunto de negatividad:
b. y = x3 – x2 – 8x + 12
Ordenada al origen:
Raíces y orden de multiplicidad:
Conjunto de positividad:
Conjunto de negatividad:
c. y = x4 + 5x3
Ordenada al origen:
Raíces y orden de multiplicidad:
Conjunto de positividad:
Conjunto de negatividad:
d. y = x3 + x2 – 16x – 16
Ordenada al origen:
Raíces y orden de multiplicidad:
Conjunto de positividad:
Conjunto de negatividad:
Solución a cargo del alumno.
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Comercio 2
43. Escriban la función polinómica de grado tres que corresponde a cada gráfico.
a.
c.
y
y
8
6
4
–2
–3
–1
0
1
2
3
4
–2
–1
1
2
3
x
0
1
2
3
x
–6
x
–4
–12
–8
–18
b.
0
d.
–3
–2
–1
y
y
24
18
12
6
6
–6
–12
–18
–24
–3
0
1
2
3
–2
–1
–6
x
–12
–18
44. Completen la tabla.
Polinomio
Raíces
Conjunto de
positividad
Conjunto de
negatividad
x3 – 3x2 – 10x
x3 + x2 – 8x – 12
–x3 – 3x2 + 6x + 8
x4 – 2x3 – 3x2
x4 – 8x2 + 16
mente ACTIVA
Escriban la fórmula de una función polinómica de grado cuatro, en la cual el conjunto de
positividad sea vacío y represéntenla en un sistema de ejes cartesianos.
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Función
Cuadrática
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Función cuadrática
A la función polinómica de segundo grado f(x) = ax2 + bx + c, siendo a, b, c números reales y a ≠ 0,
se la denomina función cuadrática.
Los términos de la función reciben los siguientes nombres: y = ax2 + bx + c.
Término
cuadrático
Término
lineal
Término
independiente
La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola.
ˆ Funciones de la forma y = ax2.
ˆ Funciones de la forma: y = x2 + c.
y
y
y = x2
1 x2
y = __
3
4
y = x2 + 3
7
y = x2
5
2
3
–4
–2
0
2
y = x2 – 3
4
x
1
–2
–4
–2 –1 0
2
4
x
–4
–3
y = –x2
a > 0 → La parábola “va” hacia arriba.
a < 0 → La parábola “va” hacia abajo.
0 < |a| < 1 → La parábola se abre.
|a| > 1 → La parábola se cierra.
c > 0 → La gráfica se desplaza hacia arriba.
c > 0 → La gráfica se desplaza hacia abajo.
ˆ Funciones de la forma y = ax2 + bx.
1 x2 + 2x
y = __
2
y
y
6
6
1 x2 – 2x
y = __
2
y = x2
4
4
y = x2
2
–6
–4
–2
0
2
2
4
6
x
–6
–4
–2
0
–2
–2
1 x2 – –4
y = – __
2x
2
–6
–4
Si a y b tienen el mismo signo, la gráfica
se desplaza hacia la izquierda.
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2
4
6
x
1 x2 + 2x
y = – __
2
–6
Si a y b tienen distinto signo, la gráfica
se desplaza hacia la derecha.
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Comercio 2
Test de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En la gráfica de la función y = –2x2, ¿el vértice representa un máximo o un mínimo?
b. Las gráficas de las funciones y = 2x2 – x e y = –2x2 + x, ¿se desplazan ambas hacia la derecha?
1. Escriban <, > o = según corresponda, sabiendo que los gráficos corresponden a funciones cuadráticas.
a. De la forma y = ax2
–3
–2
–1
d. De la forma y = ax2 + c
y
y
1
3
0
1
2
3
2
x
1
–1
–2
–3
–2
–1
a
0
b
0
c
0
a
b. De la forma y = ax2
–3
–2
–1
0
b
0
y
3
3
2
2
1
1
0
1
2
3
–3
x
a
0
–2
0
–1
b
3
x
c
0
–2
–1
0
1
2
3
x
–1
c
0
a
c. De la forma y = ax2 + c
–3
2
e. De la forma y = ax2 + bx
y
b
1
0
–1
a
0
–1
–3
0
b
0
y
y
1
1
2
3
–3
x
–2
–1
0
–2
–1
–4
–2
–6
–3
0
0
f. De la forma y = ax2 + bx
2
0
c
c
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0
a
0
b
1
0
2
c
3
x
0
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24
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Comercio 2
Raíces de una función cuadrática. Discriminante
Las raíces de una parábola, y = ax2 + bx + c, se calculan mediante la fórmula:
________
–b ± 3b2 – 4ac
x1,2 = ______________
2a
Calculen en forma analítica las raíces de la función y = x2 – x – 6.
_______________
{
___
–(–1) ± (–1)2 – 4 . 1 . (–6)
1+5 ⇒ x
_____
± 325 = _____
3
1±5 = 2
x1,2 = _______________________
= 1_______
1–5
_____
2
2.1
2
a = 1; b = –1; c = –6
1
=3
⇒ x2 = –2
2
Al radicando b2 – 4ac se lo llama discriminante, ya que el valor del mismo sirve para discriminar la
naturaleza de las raíces (se lo simboliza con la letra griega Δ, delta).
Δ = b2 – 4ac
Si Δ > 0 ⇒ Raíces reales distintas.
Si Δ = 0 ⇒ Raíces reales iguales.
Si Δ < 0 ⇒ Raíces no reales.
Δ>0
Δ=0
Δ<0
y
y
y
x1
x2
x1 = x2
x
x
x
La gráfica tiene dos puntos
La gráfica tiene un punto de
La gráfica no tiene puntos de
de intersección con el eje x.
intersección con el eje x.
intersección con el eje x.
y = –x2 – x + 2
Δ = (–1)2 – 4 . (–1) . 2 = 9
y = x2 + 4x + 4
Δ = 42 – 4 . 1 . 4 = 0
y
y
y
3
5
5
2
4
4
3
3
2
2
1
1
1
–3
x1
–2
–1
y = x2 + 2x + 3
Δ = 22 – 4 . 1 . 3 = –8
0
x2
1
2
x
–1
x1 = x2
–2
–3
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–4
–3
–2
–1
0
–1
1 x
–4
–3
–2
–1
0
–1
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1 x
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Comercio 2
2. Marquen una X donde corresponda.
Discriminante
Ecuación
>0
=0
<0
Tipo de raíces
Reales distintas
Reales iguales
No reales
x2 +5x – 14 = 0
x2 + 10x + 29 = 0
x2 – 6x + 4 = 0
x2 + 2x + 1 = 0
1 2
__
3 x – 2x + 3 = 0
3. Calculen en forma analítica las raíces de las siguientes funciones.
a. y = 4x2 – 4x + 1
__
d. y = x2 – 6x + 9
b. y = x2 + 2 . 35 x – 1
e. y = __21 x2 – x + 2
c. y = x2 – 2x + 17
f. y = x2 + 2x – 2
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Comercio 2
Distintas expresiones de la función cuadrática
La función cuadrática puede ser expresada de distintas maneras.
POLINÓMICA
f(x) = ax2 + bx + c
Se desarrolla el cuadrado
de un binomio.
Se aplica la propiedad
distributiva.
Se busca el vértice.
Se buscan las raíces.
CANÓNICA
FACTORIZADA
2
f(x) = a . (x – xv ) + yv
f(x) = a . (x – x1 ) . (x – x2 )
El vértice y el eje de simetría se reconocen con
Las raíces se identifican en forma inmediata.
facilidad.
y
eje de simetría
y
x=2
8
6
v = (–2;5)
8
6
y = (x – 2)2 + 3
4
–4
–2
0
x1 = –3
2
–2
1 . (x + 2)2 + 5
y = – __
2
x = –2
4
6
–6
x
eje de simetría
–2
x2 = 5
0
2
4
6
x
x1 = 0
7x–5
1 . (x + 2) . (x + 5) = – __
1 x2 – __
y1 = – __
2
2
2
Factorizada
Polinómica
Polinómica
2
2
y2 = 2 . (x – 1) . (x – 3) = 2x – 8x + 6
y2 = (x – 2) + 3 = x – 4x + 7
Canónica
2
–4
1 . (x + 2)2 + 5 = – __
1 x2 – 2x + 3
y1 = – __
2
2
2
–4
x2 = –1
–2
–4
Canónica
1 x . (x – 5)
y = – __
2
4
2
–6
y = 2 . (x + 1) . (x + 3)
Factorizada
Polinómica
Polinómica
Las raíces x1 y x2 de una ecuación de segundo grado (ax2 + bx + c) y los coeficientes a, b y c de su
forma polinómica se relacionan de la siguiente manera:
x1 + x2 = – _ba_
x1 . x2 = _ac_
2
ax
bx __
bx __
c
c
___
___
2
ax2 + bx + c = 0 ⇒ ___
a + a + a = 0 ⇒ x + a + a = 0
3 y x = __
1.
Reconstruyan la ecuación de segundo grado cuyas raíces son x1 = – __
2
4
2
3 + __
5
5
b
b
b __
1 = – __
__
__
__
x1 + x2 = – __ab ⇒ – __
a⇒–4=–a⇒a=4
2 4
c ⇒ __
c
3 . __
3
1 = __
__
x1 . x2 = __ac ⇒ – __
a=–8
2 4 a
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}
5 x – __
3
⇒ x2 + __
4
8
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Comercio 2
ACTIVIDADES
Distintas expresiones de la función cuadrática
4. Escriban en forma canónica la función cuadrática que corresponde en cada caso.
a. El vértice se encuentra en el punto (3;–2) y el coeficiente principal es –1.
b. El vértice de la función es el punto (–3;–1) y pasa por el punto (1;1).
5. Escriban en forma factorizada la función cuadrática que corresponde en cada caso.
a. Las raíces de la función son x1 = –3 y x2 = 1, y el coeficiente principal es –2.
b. Pasa por los puntos (2;0), (3;0) y (–1;2).
6. Completen la siguiente tabla.
Forma factorizada
Forma polinómica
Forma canónica
y = –(x – 2) . (x + 2)
y = 2x2 + 4x – 6
y = (x + 3)2
y = __21 . (x – 4)2 – 8
7. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuál es el vértice de la función y = 2 . (x + 3)2 – 4?
(3;–4)
(2;–4)
(–3;–4)
(–2;–4)
x1 = –2 y x2 = 3
x1 = –2 y x2 = –3
b. ¿Cuales son las raíces de la función y = x2 + x – 6?
x 1 = 2 y x2 = 3
x1 = 2 y x2 = –3
c. ¿Cuáles son las raíces de la función y = __31 . (x – 6)2 ?
1
x1 = 6 y x2 = __
x1 = –6 y x2 = __31
x1 = 6 y x2 = –6
3
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Comercio 2
ACTIVIDADES
Distintas expresiones de la función cuadrática
8. Completen con la letra que identifica al gráfico que corresponde a cada función.
ˆ Gráfico A
ˆ Gráfico B
y
y
6
1
2
4
–1
2
–1
ˆ Gráfico C
y
0
0
1
2
3
4
1
x
–1
1
2
3
4
x
–2
–2
–1
0
–2
–1
–3
–2
a. y = – (x – 1) . (x – 3)
c. y = (x – 2)2 + 1
e. y = – (x – 2)2 + 1
b. y = (x + 2) . (x – 1)
d. y = x2 – 4x + 5
f. y = x2 + x – 2
1
2
x
9. Escriban V (Verdadero) o F (Falso), según corresponda. Expliquen las respuestas.
El vértice de f(x) = a . (x – h)2 + k coincide con una de las raíces de g(x) = a . (x – x1 ) . (x – x2 ), entonces...
a. ... la función f(x) tiene dos raíces iguales.
b. ... la función f(x) es positiva en todo su dominio, menos en x = h.
c. ... el vértice de f(x) es (h;0).
d. ... si x1 < 0 y x2 < 0, entonces h > 0.
10. Escriban en forma polinómica cada una de las siguientes funciones cuadráticas.
a. Tiene por raíces a x1 = –2 y a x2 = –3, y pasa por el punto (0;6).
b. Pasa por los puntos (0;0), (4;0) y (2;–4).
c. El vértice es el punto (0;–2) y una de las raíces es x1 = –1.
d. La ordenada al origen es 5 y sus raíces son x1 = –1 y x2 = 1.
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Comercio 2
11. Reconstruyan la ecuación de segundo grado que corresponde en cada caso.
a. x1 = 2 y x2 = –3
c. x1 = –1 y x2 = 0
b. x1 = 2 y x2 = –1
d. x1 = 2 y x2 = 5
12. Escriban las funciones cuadráticas en la forma indicada.
a.
c.
y
y
2
2
1
–5
–4
–3
–2
–1
0
–5
1
–4
–3
–1
–4
–2
–6
ˆ Forma polinómica:
ˆ Forma polinómica:
d.
y
–3
–2
–1
0
1
x
5
x
y
2
–4
0
–2
ˆ Forma factorizada:
–5
–1
x
ˆ Forma canónica:
b.
–2
1
1
x
–1
0
–2
–1
–4
–2
–6
–3
1
ˆ Forma factorizada:
ˆ Forma canónica:
ˆ Forma polinómica:
ˆ Forma polinómica:
2
3
4
Una compañía de telefonía celular, de acuerdo con un estudio de mercado, sabe que
el ingreso mensual de la empresa cuando la tarifa es de x pesos mensuales está
dado por la función f(x) = –600x . (x – 300), donde 0 < x < 300.
a. ¿Cuál debe ser la tarifa mensual para que el ingreso sea máximo? ¿Cuál es ese
ingreso?
b. ¿A partir de qué tarifa mensual la empresa comienza a tener pérdidas?
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Comercio 2
INFOACTIVA
Gráfico
de una función cuadrática
Para realizar el gráfico de una parábola, f(x) = ax2 + bx + c, se deben calcular los elementos de la
misma y luego, representarla.
ˆ Raíces de la parábola.
Son los puntos de intersección de la gráfica y el eje x, vale decir que f(x) = 0.
________
–b ± b2 – 4ac
3
x1,2 = ______________
2a
y
Vértice
ˆ Vértice de la parábola.
o
b
xv = – ___
2a
yv = f(xv)
Las coordenadas del vértice son: V = (xv;f(xv )).
Ordenada
al origen
Punto
simétrico
Eje de simetría
x +x
1
2
xv = _______
2
Raíz
x1
ˆ Eje de simetría.
Es la recta que tiene por ecuación x = xv.
Raíz
x2
x
ˆ Ordenada al origen.
Es el punto de intersección de la gráfica con el eje y, vale decir que f(0) = c.
ˆ Punto simétrico a la ordenada al origen con respecto al eje de simetría.
Representen la función f(x) teniendo en cuenta los elementos de la parábola.
f(x) = x2 – 2x – 3 ⇒ a = 1 ∧ b = –2 ∧ c = –3
Raíces:
_______________
3
x1; x2 = _______________________
2.1
–(–2) ± (–2)2 – 4 . 1 . (–3)
______
2 ± 34 + 12
= ___________
2
y
6
2±4
= _____
2
2+4 =3
x1 = _____
2
y = x2 – 2x – 3
2
Raíz
x2 = –1
2 – 4 = –1
x2 = _____
2
–6
Vértice:
4
–4
–2
0
–2
Ordenada al origen
(0;–3)
–4
–(–2)
xv = _____
x =1
2.1 v
yv = 12 – 2 . 1 – 3 yv = –4
–6
x=1
Eje de simetría
___
± 316
= 2_______
2
Raíz
x1 = 3
2
4
6
x
Punto simétrico
(2;–3)
Vértice
(1;–4)
V = (1;–4)
Eje de simetría: x = 1
Ordenada al origen: (0;–3)
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Punto simétrico: (2;–3)
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13. Observen los gráficos y completen.
a.
y
Raíces:
4
Vértice:
3
–2
–1
2
Eje de simetría:
1
Ordenada al origen:
–
0
1
2
3
x
Intervalo de crecimiento:
Intervalo de decrecimiento:
–1
b.
y
Raíces:
4
–1
3
Vértice:
2
Eje de simetría:
1
Ordenada al origen:
–
0
1
2
3
4
x
–1
Intervalo de crecimiento:
Intervalo de decrecimiento:
c.
y
Raíces:
1
Vértice:
–1
0
1
2
3
4
x
–1
Eje de simetría:
–2
Ordenada al origen:
–3
Intervalo de crecimiento:
–4
Intervalo de decrecimiento:
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Comercio 2
14. Realicen el gráfico aproximado de cada una de las siguientes funciones y escriban los datos indicados en cada caso.
a. y = x2 + 2x – 3
Raíces:
y
Vértice:
1
Eje de simetría:
Ordenada al origen:
–4
–3
–2
–1
0
1
x
–1
Punto simétrico:
–2
Intervalo de crecimiento:
–3
Intervalo de decrecimiento:
–4
b. y = (x – 3)2 – 1
Raíces:
y
Vértice:
4
Eje de simetría:
3
Ordenada al origen:
2
1
Punto simétrico:
Intervalo de crecimiento:
–1
–
0
1
2
3
4
x
0
1
2
3
x
–1
Intervalo de decrecimiento:
c. y = (x – 3) . (x + 2)
Raíces:
y
Vértice:
Eje de simetría:
Ordenada al origen:
Punto simétrico:
Intervalo de crecimiento:
2
–2
–1
–2
–4
–6
–8
Intervalo de decrecimiento:
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ACTIVIDADES
Gráfico de una función cuadrática
15. Completen con la letra que identifica al gráfico correspondiente, sabiendo que las gráficas representan funciones de la forma y = ax2 + bx + c.
ˆ Gráfico A
ˆ Gráfico B
y
y
4
2
3
1
2
–2
1
–1
0
1
2
3
4
x
–1
–2
–1
0
1
2
3
4
x
–2
–1
a. El discriminante negativo.
c. a > 0 y b > 0
b. El vértice es un máximo.
d. Tiene raíces reales.
16. Marquen las opciones correctas.
a. En la función y = 2 . (x – 2)2 + 1...
c. En la función y = x2 – 3x...
... el vértice es el punto (2;–1).
... la ordenada al origen coincide con una raíz.
... las raíces no son reales.
... el eje de simetría es x = __21 .
... la ordenada al origen es el punto (0;1).
... la imagen es (0;+∞).
... el intervalo de crecimiento es (2;+∞)
... una raíz es x = 3.
b. En la función y = __12 . (x – 3) . (x + 4)...
d. En la función y = __21 x2 + 2x + 2...
... el eje de simetría es x = – __21 .
... las raíces son reales e iguales.
... el intervalo de crecimiento es (–∞;– __21 ).
... el vértice es (–2;0).
... las raíces son x1 = 3 y x2 = –4.
... el intervalo de crecimiento es (–2;∞).
... la imagen de 2 es 3.
... la ordenada al origen es 2.
Martín juega al básquet. En un entrenamiento, lanza la pelota de modo tal que sigue
la trayectoria descripta por la función f(x) = –x2 + 5x + 6, donde x representa el tiempo en segundos y f(x) la altura a la que se encuentra la pelota en m.
a. Realicen el gráfico correspondiente.
b. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?
c. ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en tocar nuevamente el piso?
d. ¿Desde qué altura lanza Martín la pelota?
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Comercio 2
INTEGRACIÓN
17. Respondan.
22. Escriban la fórmula de una función cuadráti-
a. Si la gráfica de una parábola crece en el
intervalo (–∞;3), ¿cuál es el eje de simetría?
b. Si el eje de simetría de una parábola es
x = 2, ¿cuál punto es el simétrico de (1;3)?
c. Si las raíces de una función cuadrática son
x1 = –1 y x2 = 4, ¿cuál es la abscisa del vértice?
d. Si una función cuadrática decrece en el intervalo (–∞;3), ¿cuál es el intervalo de crecimiento?
e. Las parábolas, ¿siempre cortan al eje y?
ca que cumpla con las condiciones indicadas en
cada caso.
a. Las raíces son reales y distintas.
b. El eje de simetría sea x = 2.
c. Las raíces coinciden con el vértice.
d. El discriminante es negativo.
e. Una raíz es cero.
f. Una raíz coincide con la ordenada al origen.
23. Escriban la función correspondiente a cada
18. Marquen las opciones correctas. Luego,
escriban en forma factorizada cada una de las
funciones marcadas.
¿Cuáles de las siguientes funciones tienen raíces
reales distintas?
gráfico en forma polinómica.
a.
y
2
1
a. y = 2x2 – 3x + 1
d. y = 2x2 + 7x + 3
b. y = x2 – 8x + 2
e. y = 4x2 + 3x – 1
c. y = –x2 + x – 3
f. y = x2 + 6x + 9
–3
–2
–1
0
1
2
3
x
1
2
3
x
1
2
3
x
–1
–2
19. Calculen el valor de t para que cada una de las
siguientes funciones tenga sus raíces iguales.
a. y = x2 + 4x + t
c. y = x2 – tx + 16
2
b. y = 9x – tx + 1x
d. y = tx2 + 6x + 9
b.
y
2
1
20. Calculen el valor de k, teniendo en cuenta
las condiciones indicadas en cada caso.
a. Una raíz de la función y = 3x2 – 10x + k es 3.
b. Las raíces de la función y = –3x2 – 2x + k
no son reales.
c. Las raíces de la función y = –x2 + 2x – k son
iguales.
d. Las raíces de la función y = 2x2 – kx + 2 son
reales.
–3
–2
–1
–1
–2
c.
y
4
3
21. Escriban las funciones en forma canónica e
indiquen las coordenadas del vértice.
a. y = x . (x + 3)
d y = –3 . (x – 1) . (x + 1)
b. y = 2 . (x – 1) . (x + 2) e. y = –(x – 3) . (x + 1)
c. y = (x + 3) . (x – 3) f. y = __21 . (x – 2) . (x + 4)
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0
2
1
–3
–2
–1
0
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24. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es la función que corresponde a cada gráfico?
a.
y
6
4
2
–3
–2
–1
0
1
2
3
x
–1
y = (x – 2) . (x + 3)
y = x . (x + 3)
25. Grafiquen las siguientes funciones e indiquen en cada caso las raíces, el vértice, el eje de
simetría, la ordenada al origen, la imagen y los
intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
d. y = – (x + 3)2 + 2
a. y = –x2 + 9
2
b. y = (x + 2)
e. y = x2 + 2x
c. y = x2 – 4x
f. y = __21 . (x – 2) . (x + 1)
26. Resuelvan.
a. Realicen el gráfico aproximado de una función
cuadrática, sabiendo que sus raíces son x1 = (1;0)
y x2 = (3;0) y la ordenada al origen es positiva.
b. ¿Cuántas funciones cumplen con lo pedido?
c. ¿La función graficada tiene un máximo o un
mínimo?
y = – (x – 2) . (x + 3)
b.
y
2
1
–3
–2
–1
0
1
2
3
x
–1
–2
y = 2x2 + x – 1
28. Resuelvan.
y = 2x2 – x – 1
Escriban la forma polinómica y la forma factorizada de una función cuadrática sabiendo que
tiene una raíz en x = 8 y alcanza un mínimo en el
punto (6;–12).
y = –2x2 – x – 1
c.
y
2
–5
–4
–3
27. Reconstruyan las ecuaciones cuadráticas a
partir de sus raíces.
a. x1 = –2 y x2 = 4
__
__
b. x1 = 32 y __x2 = – 32
__
c. x1 = 1 + 33 y x2 = 1 – 33
d. x1 = 0 y x2 = – __21
e. x1 = 6 y x2 = 4
f. x1 = __23 y x2 =__ 3
__
g. x1 = –2 + 33 y x2 = –2 – 33
h. x1 = – __43 y x2 = 0
–2
–1
0
–2
1
x
29. Marquen con las opciones correctas.
Dada la función y = (x – 3)2 + 2.
a. ¿Cuál es el eje de simetría?
–4
x=3
x=2
x = –3
–6
b. ¿En qué intervalo crece?
y = (x + 3)2
y = – (x + 3)2
y = – (x – 3)2
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(3;+∞)
(–3;+∞)
(–∞;3)
c. ¿Cuál es la ordenada al origen?
(0;3)
(0;2)
(0;11)
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Función Cuadrática: Problemas de aplicación.
1- La función A( x)  3x 2  36 x , describe el salto de un grillo de manera que A indica la
altura en centímetros que alcanza el grillo a los x segundos.
¿Qué altura alcanza el grillo a los 7 segundos?
¿Cuánto tiempo demora el grillo en tocar el suelo nuevamente?
¿Cuál es la altura máxima ala que llega y en qué momento?
2- El contador de una empresa determina la ganancia cuando se producen x artículos, por
medio de la fórmula G( x)  5x 2  1000 x  5000 .
¿Qué ganancia obtiene al vender 50 unidades?
¿Cuántos artículos se deben vender para que la ganancia sea la máxima posible?
¿Cuál es esa ganancia?
3-a) Encuentra los posibles valores de m para que la función no tenga raíces reales
f ( x)  2 x 2  x  m . Verifica.
b) Calcula el valor de m para que la ecuación
1 2
x  2 x  m  0 tenga una sola solución.
2
4- En una isla se introduce una cierta cantidad de abejas el 1° de Marzo. La siguiente
función permite calcular la cantidad de abejas que hay en la isla “x” días después del 1° de
Marzo: (x) = −5(x + 20). (x − 80)
a) ¿Qué día la población de abejas es mayor?
b) ¿Cuál es la mayor cantidad de abejas que hay en la isla?
c) ¿Cuántas abejas habrá en la isla el 25 de Abril?
d) ¿En qué fecha se extinguen las abejas?
5- Una empresa determina que sus ingresos en pesos están dados por la función
3
I ( x)   x 2  585 x , cuando se venden x artículos.
4
Determina el ingreso cuando se venden 300 artículos.
¿Para qué valor de x el ingreso es máximo?
¿Cuál es ese ingreso?
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6- Vero devuelve una pelota desde la terraza de su edificio hacia un patio. La altura de la
pelota (en metros) en función del tiempo (segundos) está dada por: y  
1 2
x  3x  8 .
2
Averigua:
¿Cuánto tiempo demora en llegar al suelo del patio? ¿En qué momento alcanza la máxima
altura y cuál es?
7- En una isla se introdujeron 112 iguanas. Al principio se reprodujeron rápidamente, pero
los recursos de la isla comenzaron a escasear y la población decreció. El número de
iguanas a los t años de haberlos dejado en la isla está dado por:
I (t )  t 2  22t  112
(t  0) . Calculen:
a) La cantidad de años en los cuales la población de iguanas aumentó.
b) ¿En qué momento la población de iguanas se extingue?
c) ¿Cuál fue la mayor población de iguanas?
8- Martín juega al básquet. En un entrenamiento, lanza la pelota de modo tal que sigue la
trayectoria de la función f ( x)   x 2  5x  6 , donde x representa el tiempo en segundos y
f(x) la altura en metros.
¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?
¿Cuánto tiempo tarda en tocar nuevamente el piso?
¿Desde qué altura lanza la pelota?
9- Un proyectil es lanzado hacia arriba desde el suelo. La trayectoria del proyectil está
dada por la función
s(t )  4,5t 2  24t , donde “s” es la altura en metros y “t” es el tiempo en segundos.
a) Calcule la altura del proyectil a los 3 segundos de lanzado.
b) ¿Cuánto tiempo tarda el proyectil en caer al suelo?
c) ¿Cuánto tiempo tarda el proyectil en alcanzar su altura máxima? ¿Cuál es la altura
máxima?
10- El rendimiento de nafta R (en km/litro) de un automóvil está relacionado con la
1
velocidad (en km/hora) por la función (v)   v 2  60v , 0 < v < 180 .
3
a) Hallar la velocidad para la cual el rendimiento es máximo;
b) Calcular el rendimiento máximo;
c) Realiza el gráfico correspondiente indicando dominio e imagen de la situación.
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Función
Racional
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Función
Exponencial y
Logarítmica.
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