S3 complementario taha

2 .5
2 .5
A n á lis is
d e m o d e lo s
s e le c c io n a d o s
d e p r o g r a m a c ió n
A N Á L IS IS D E M O D E L O S S E L E C C IO N A D O S D E P R O G R A M A C iÓ N
lin e a l
WVUTSRQPONM
47
L IN E A L zyxwvutsrqponmlkjihgfe
En esta sección se presentan modelos de programas lineales más realistas, en los que la definición de las variables y la construcción de la función objetivo y las restricciones no son tan
directas como en el caso del modelo con dos variables (Sección 2.1). Además, los resultados
de TORA para cada modelo, parecidos a los que se presentaron en la sección 2.4.1, permitirán
interpretar detenidamente los resultados. Estas interpretaciones se basan en resultados parecidos a los que se obtienen en paquetes comerciales, como LINGO y AMPL.
E je m p lo 2 .5 -1
(P o lític a b a n c a r ia d e p r é s ta m o s )
Banco Gane está desarrollando una política de préstamos por un máximo de $12 millones. La
tabla siguiente muestra los datos pertinentes acerca de los distintos tipos de préstamo.
Tipo de préstamo
Tasa de interés
Personal
Automóvil
Casa
Agrícola
Comercial
0.140
0.10
0.130
0.07
0.120
0.03
0.125
0.05
0.100
0.02
%
de deuda impagable
Las deudas impagables no se recuperan y no producen ingresos por intereses.
Para competir con otras instituciones financieras se necesita que el banco asigne un mínimo de 40% de los fondos a préstamos agrícolas y comerciales. Para ayudar a la industria de la
construcción de su región, los préstamos familiares deben ser iguales, cuando menos, al 50%
de los préstamos personales, para automóvil y para casa. También el banco tiene una política
explícita que no permite que la relación general de préstamos impagables entre todos los préstamos sea mayor que 4 por ciento.ONMLKJIHGFEDCBA
R e p r e s e n ta c ió n
Se busca determinar la cantidad de préstamo en cada categose llega a las siguientes definiciones de las variables (en millones de
m a te m á tic a .
ría, y en consecuencia
dólares):
XI
= préstamos personalesihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
x 2 = préstamos para automóvil
x 3 = préstamos para casa
X4 = préstamos
Xs
= préstamos
agrícolas
comerciales
El objetivo de Banco Gane es maximizar su retorno neto, que es la diferencia entre el retorno
por intereses y los préstamos impagables. Con base en el hecho que las deudas impagables no
se pueden recuperar, tanto el principal como el interés, la función objetivo será la siguiente:
Maximizar
z
= 0 .1 4 {0 .9 xl) + 0 .1 3 (0 .9 3 x2 ) + 0 .1 2 (0 .9 7 x3 ) + 0 .1 2 5 (0 .9 5 x4 )
+ 0 .1 (0 .9 8 xs) -
O .lX l -
0 .0 7 X 2 -
0 .0 3 X 3 -
0 .0 5 X 4 -
0 .0 2 xs
Esta función se simplifica y resulta
Maximizar
z
=
0 .0 2 6 xl
+ 0 .0 5 0 9 x2 + 0 .0 8 6 4 x3 + 0 .0 6 8 7 5 x4 + 0 .0 7 8 xs
4 8 ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
C a p í t u lo 2
I n t r o d u c c ió n
a la p r o g r a m a c ió n
lin e a l
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQP
El problema tiene cinco restricciones:
1.ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
F o n d o s to ta le s
Xl
2. P ré sta m o s
+ Xz + X 3 + X 4 + X s ::; 12
a g ríc o la s y c o m e rc ia le s
X 4 + X s ;::::0.4
X
12
o sea
3. P ré sta m o s p a ra c a sa
o sea
0.5xI + 0.5xz - 0.5X 3 ::; O
4. L ím ite d e d e u d a s im p a g a b le s
0.1X 1 + 0.07xz + 0.03x3
----------'----------
+ 0.05X 4
+ 0.02xs
::; 0.04
X 1 + Xz + X 3 + X 4 + X s
o sea
0.06X 1
+ O.03xz -
0.01x3
+ 0.01x4
-
0.02xs
::; O
5. N o n e g a tiv id a d
Una hipótesis sutil en la formulación anterior es que todos los préstamos se otorgan aproximadamente al mismo tiempo. Esta hipótesis nos permite ignorar las diferencias en el tiempo del valor de los fondos asignados a los diversos préstamos.
En la figura 2.19 se ven los resultados del modelo de política bancaria.' Sólo recomienda
hacer préstamos comerciales y para casa. Los préstamos personales son los menos atractivos,
no sólo por tener el coeficiente objetivo mínimo ( = 0.026), sino también porque su costo reducido es el máximo entre todas las variables ( = 0.0604). Esto quiere decir (véase la sección
2.4.1) que se debe aumentar la rentabilidad (ingresos por intereses - préstamos impagables)
de los préstamos personales X l' en 0.0604 para que la transacción apenas sea rentable.
Al revisar los precios duales, la primera restricción muestra queWVUTSRQPONMLKJIHG
u n aumento de 1 (millón) de dólares en los fondos asignados aumenta el retorno neto de todos los préstamos en
0.0864 (millón) de dólares. Esto equivale a u n retorno anual de 8.64% sobre la inversión. Como el intervalo asociado de factibilidad es (4.8, 00), este retorno está garantizado para cualquier aumento respecto al nivel actual de financiamiento de $12 millones. Sin embargo, u n
retorno de 8.64% parece bastante bajo, en vista de que la tasa mínima de interés que cobra el
banco es 10%. La diferencia se atribuye a las deudas impagables, que no se pueden recuperar,
ni en su principal ni en intereses. En realidad, el coeficiente máximo objetivo en el modelo es
0.0864 (préstamos de casa). Es interesante que ese coeficiente sea igual al precio dual de la
3Todos los modelos con formato TORA en esta sección se pueden ver en el CD que acompaña a este libro,
en el directorio ToraFiles.
2 .5
A n á lis is
LINEAR
d e m o d e lo s
PROGRAMMING
s e le c c io n a d o s
OUTPUT
d e p r o g r a m a c ió n
lin e a l
WVUTSRQPONM
4 9 ZYXWVUTSR
SUMMARY
Title: Example 2.5-1, Bank Loan Model
Final Iteration No.:
7
Objective Value (Max)
0.9965
variable
Value
Obj Coeff
xl:
x2:
x3:
x4:
x5:
0.0000
0.0000
7.2000
0.0000
4.8000
0.0260
0.0509
0.0864
0.0687
0.0780
personal
car
home
farm
comm' 1
Constraint
RHS
***Sensitivity
1
«)
2
(»
3
«)
«)
4
Analysis***
CurrObjCoeff
MinObjCoeff
MaxObjCoeff
0.0260
0.0509
0.0864
0.0687
0.0780
-infinity
-infinity
0.0780
-infinity
0.0687
0.0864
0.0864
infinity
0.0780
0.0864
personal
car
home
farm
comm' 1
Constraint
0.0000
0.0000
0.6221
0.0000
0.3744
0.0000
0.0000
3.60000.1680-
«:
xl:
x2:
x3:
x4:
x5:
Contrib
Slack-/Surplus+
«)
1zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
12.0000
2 (»
4.8000
0.0000
3
4 «)
0.0000
variable
Obj Val
Curr
RHS
12.0000
4.8000
0.0000
0.0000
Min
RHS
4.8000
0.0000
-3.6000
-0.1680
Max
RHS
infinity
12.0000
infinity
infinity
Reduced
Dual
Cost
0.0604
0.0355
0.0000
0.0093
0.0000
Price
0.0864
-0.0084
0.0000
0.0000
F IG U R A 2 .1 9
Resultado del modelo del Banco Gane, obtenido con TORA
restricción 1 (fondos asignados), y lleva a la conclusión que la solución óptima asignará cualquier fondo adicional a préstamos de casa.
La restricción 2 establece el límite mínimo de la suma de préstamos agrícolas y comerciales. El precio dual negativo ( = -0.0084) muestra que un aumento en ese límite afectará en
forma adversa al retorno neto. En otras palabras, no hay ventaja económica por establecer un límite mínimo sobre la cantidad de préstamos agrícolas y comerciales. Esta observación coincide
con la interpretación de la primera restricción, que estipula que todos los fondos nuevos se deben asignar a préstamos de casa, y no a préstamos agrícolas y comerciales. De hecho, si quitamos el requisito del límite mínimo para préstamos agrícolas y comerciales, todos los fondos
se asignarían a préstamos para casa [compruebe esta conclusión con la opción MODIFY (modificar) de TORA].
50
C a p í t u lo
2
E je m p lo
I n t r o d u c c ió n
2 .5 - 2
a la p r o g r a m a c ió n
( U s o y d e s a r r o llo
lin e a l
d e b ie n e s
r a íc e s )
Desarrollos Alfa posee 800 acres* de terreno en un lago escénico en el corazón de una sierra. Antes se aplicaban pocos o ningún reglamento a los nuevos desarrollos en tomo al lago. Las orillas
del mismo están hoy pobladas con casas de campo, y debido a la carencia de servicios de alcantarillado, hay muchas fosas sépticas, en su mayor parte mal instaladas. A través de los años, las filtraciones de las fosas sépticas ha ocasionado un grave problema de contaminación de agua.
Para mitigar el degradamiento de la calidad del agua, las autoridades municipales aprobaron reglamentos estrictos para todos los d~sarrollos en el futuro.
1. Sólo se pueden construir casas para una, dos y tres familias, y las casas unifamiliares
deben ser al menos el 50% del total.
2. Para limitar la cantidad de fosas sépticas, se requieren tamaños mínimos de lote de 2, 3
y 4 acres para las casas con una, dos y tres familias, respectivamente.
3. Se deben establecer áreas de recreo de 1 acre cada una, en una proporción de una por
200 familias.
4. Para preservar la ecología del lago, no se debe bombear agua subterránea para uso doméstico ni de riego.
El presidente de Desarrollos Alfa estudia la posibilidad de desarrollar los 800 acres de la
empresa. El nuevo desarrollo incluirá casas para una, dos y tres familias. Se estima que el
15% de los acres se debe asignar a calles y servicios comunitarios. Alfa estima que los ingresos por las diversas unidades de habitación serán
Unidades de habitación
Una
Dos
TresZYXWVUTSRQPONMLK
Rendimiento neto
por unidad ($)
10,000
12,000
15,000
El costo de conectar el servicio del agua al área es proporcional a la cantidad de unidades
construidas. Sin embargo, el municipio cobra un mínimo de $100,000 por el proyecto. Además,
el aumento de la capacidad actual del sistema de abastecimiento de agua se limita a 200,000 galones por día, durante las temporadas pico. Los datos siguientes resumen el costo de conectar el .
servicio del agua, y también el consumo de agua, suponiendo familias de tamaño promedio:
Unidades de habitación
Una
Dos
Tres
Parques y jardines
Costo del servicio del agua por unidad ($)
Consumo de agua por unidad (gal/día)
1000
400
1200
600
1400
840
800
450
Representación
matemática.
La empresa debe decidir la cantidad de unidades de cada tipo
de vivienda que va a construir, y también la cantidad de áreas de recreo que satisfaga el reglamento municipal. Se definen
= cantidad de casas unifamiliaresihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE
x 2 = cantidad de casas para dos familias
XI
*N. del R.T.: 1 acre = 0.4046 hectárea o 1 acre= 4046 m 2.
A n á lis is
X3 =
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
cantidad de casas para tres familias
X4
=
d e m o d e lo s
s e le c c io n a d o s
d e p r o g r a m a c ió n
lin e a l
WVUTSRQPONM
51
2 .5
cantidad de áreas de recreo
El objetivo de la empresa es maximizar el rendimiento total, esto es
z = 10,000XI + 1 2 ,0 0 0 x2 + 1 5 ,0 0 0 x3
MaximizarihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Las restricciones del problema son:ONMLKJIHGFEDCBA
1.
Límite de uso de terreno.
2.
Límite de cantidad de casas unifamiliares en relación con los demás tipos.
3.
Límite de las áreas de recreo.
4.
Costo del capital para el servicio de agua.
5.
Límite del consumo diario de agua en temporadas pico.
Estas restricciones se expresan matemáticamente
como sigue:
1. U so d e l te rre n o
2 x¡ + 3 X 2 + 4 X 3 + lx4 :::; 680 ( = 0.85 X 800)
2. C a sa s u n ifa m ilia re s
o sea
0 .5 x¡
-
0 .5 x2 -
0 .5 x3 ;::: O
3. Á re a s d e re c re o
o sea
2 0 0 X 4 - Xl - 2 X 2 -
3 X 3 ;::: O
4. C o sto d e l c a p ita l p a ra e l se rv ic io d e a g u a
1 0 0 0 x¡
+ 1 2 0 0 x2
+ 1 4 0 0 x3
+ 8 0 0 x 4 ;::: 100,000
5. C o n su m o d e a g u a
400Xl + 6 0 0 X 2 + 8 4 0 X 3 + 4 5 0 x4 :::; 200,000
6. N o n e g a tiv id a d
Xl ;::: O, X 2 ;::: O, X 3 ;::: O, X 4 ;::: O
En formulación de modelos se aconseja poner atención al impacto del error de redondeo.
En este modelo, los coeficientes de las restricciones 4 y 5 (costo del capital y consumo de
agua) son comparativamente mucho mayores que la mayor parte de los coeficientes de las
restricciones restantes. Esta situación puede conducir a un error de redondeo inconveniente,
por parte de la máquina, causado por manipular coeficientes relativamente grandes y relativa-
5 2 ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
C a p í t u lo 2
I n t r o d u c c ió n
a la p r o g r a m a c ió n
lin e a l
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQP
mente pequeños. En este ejemplo se puede rectificar este problema potencial reduciendo proporcionalmente, en 1000, todos los coeficientes de las restricciones 4 y 5; entonces queda
+ ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
1 .2 x 2 +
1 .4 x 3 + 0 .8 x 4
~
100
XI
O.4xl + 0 .6 x 2 + 0 .8 4 x 3 + 0 .5 4 x 4
S 200
En cómputo tampoco se desea manejar coeficientes de restricción muy pequeños. En esos casos se aconseja aumentar proporcionalmente todos los coeficientes pequeños, para tener cierta consistencia en la formulación del modelo.
En la figura 2.20 se muestra la solución óptima del modelo. Observe que la programación lineal no produce soluciones enteras, en general. En esta solución resultan X I (unifamiliar) = 339.15 Y x 4 (recreo) = 1.70, Y x 2 (dos) = O Y x 3 (tres) = O. Esta solución se puede
redondear a X I = 339 Y x 4 = 2 (que por cierto también es la solución entera óptima).
La solución óptima no recomienda construir casas para dos y tres familias, a pesar de que
su rendimiento por unidad ($12,000 y $15,000) es mayor, en términos absolutos, que para una
casa unifamiliar ($10,000). Este resultado indica que el rendimiento por unidad que se da en
la función objetivo no es una medida directa de la rentabilidad de una actividad. Además se
debe tener en cuenta el costo de los recursos que usa la actividad. En realidad, es lo que logró
el c o sto re d u c id o (véase la sección 2.4.1). Los costos reducidos actuales de $30] 2.47 Y
$5024.94 dan el exceso de costo de los recursos consumidos por unidad, respecto al retorno
por unidad, en casas para dos y tres familias, respectivamente. Para que esas actividades a p e n a s sean rentables, se debe reducir el costo por unidad de los recursos, o aumentar el retorno
por unidad, en una cantidad igual al costo reducido.
Las restricciones 2, 4 Y 5 tienen valores positivos de holgura o excedente, yeso indica
que sus recursos son "abundantes". En consecuencia, sus p re c io s d u a le s (valor por unidad)
son cero. La restricción 1 representa el terreno disponible, y tiene un valor dual de $4987.53;
eso indica que un aumento de l acre vale $4987.53 en rendimiento neto. Esta información podría ser valiosa para decidir la compra de más terreno, ya que cualquier precio mayor que
$4987.53 por acre sería una proposición desfavorable.
La restricción 3 tiene un precio dual de -$24.94 (en realidad - $24.9377), y como es negativa, todo aumento de su "recurso" afectará negativamente el ingreso total. Pero ¿por qué?
Sólo se puede contestar a eso si se conoce cuáles son las unidades del "recurso" de esa restricción. Examinemos de nuevo la restricción:
200 X Recreo - Unif. - 2 X Doble - 3 X Triple ~ O
Esta restricción especifica la cantidad mínima de áreas de recreo en relación con la cantidad
de casas. Tal como está la restricción, las unidades de su lado izquierdo están mezcladas. Sin
embargo, si se divide entre 200 toda la restricción se obtiene
Recreo - (0.005
X
Unif. + 0.01 X Doble + 0.015
X
Triple) ~ O
Como la variable Recreo representa la cantidad de áreas de recreo, y cada área de recreo ocupa 1 acre, las unidades de Recreo y las de la expresión entre paréntesis deben ser acres. Así,
un aumento de 1 unidad en el lado derecho, es decir, un aumento de O al) se puede interpretar
como un aumento de 1 acre para recreo. Con la restricción modificada se puede decir que el
precio dual representa el valor por aumento de un acre en área para recreo. Sin embargo, con
la nueva restricción, el precio dual debe ser 200 X (-$24.9377) = -$4987.54, porque se determinó dividiendo la restricción original entre 200. (En realidad, si se modifica la restricción
como se indica, y se vuelve a ejecutar el modelo, TORA mostrará en forma directa el nuevo
valor dual; ¡haga la prueba!)
2 .5
A n á lis is
LINEAR
d e m o d e lo s
PROGRAMMING
s e le c c io n a d o s
OUTPUT
d e p r o g r a m a c ió n
lin e a l
WVUTSRQPONM
5 3 ZYXWVUTS
SUMMARY
Title: Example 2.5-2, Land Use Model
Final Iteration No.:
8
Objective Value (Max)
3391521.1970
variable
xl: single
x2: double
x3: triple
x4: recreation
Value
Contrib
RHSSlack-/Surplus+
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
«)
680.0000
2
(»
3
4
(»
5
Obj Val
3391521.1970
339.1521
10000.0000
0.0000
0.0000
12000.0000
0.0000
0.0000
15000.0000
1.6958
0.0000
0.0000
Constraint
1
Obj Coeff
(»
«:
0.0000
169.5761+
0.0000
240.5087+
63.5761-
0.0000
0.0000
100.0000
200.0000
***Sensitivity
variable
xl:
x2:
x3:
x4:
single
double
triple
recreation
Constraint
1
«)
2
(»
3
(»
4
(»
5
«)
CurrObjCoeff
Analysis***
MinObjCoeff
10000.0000
12000.0000
15000.0000
0.0000
7993.3555
-infinity
-infinity
-2000000.0000
Curr
Min
RHS
680.0000
0.0000
0.0000
100.0000
200.0000
RHS
MaxObjCoeff
infinity
15012.4688
20024.9377
5000.0000
Max
199.7012
-infinity
-340.0000
-infinity
136.4239
Reduced
RHS
996.8925
169.5761
50988.0000
340.5087
infinity
Dual
Cost
0.0000
3012.4688
5024.9377
0.0000
Price
4987.5312
0.0000
-24.9377
0.0000
0.0000
F IG U R A 2 .2 0
Resultado del modelo de uso de terreno, obtenido con TORA
Ahora, el nuevo precio dual indica que un aumento de un acre en área de recreo reducirá
la utilidad en $4987.54, lo cual, si se omite la diferencia de $0.01 por error de redondeo, es
exactamente igual al precio dual del recurso uso de suelo (restricción 1), pero con signo contrario. Este resultado tiene sentido desde el punto de vista económico, porque un acre que se
asigna al recreo es un acre que se retira de la construcción de casas. Así, no es coincidencia la
igualdad de los dos precios duales.
E je m p lo 2 .5 -3
P r o b le m a
d e p r o g r a m a c ió n
(h o r a r io s
d e a u to b u s e s )
La ciudad de Progreso estudia la factibilidad de un sistema de autobuses para transportación
masiva que reduzca el transporte urbano en coche y en consecuencia alivie el problema del
I n t r o d u c c ió n
a la p r o g r a m a c ió n
5 4 ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
C a p í t u lo 2
lin e a l
'"
12
'"'";::l zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
12
o
.D
E
'"
8
'"
:9
4
-o
'"
-o
e
4
4
U'"
12:00
4:00
8:00
AM
Xl
•
12:00
4:00
8:00
12:00
Media noche
Medio día
ONMLKJIHGFEDCBA
')
Xz
•
')
ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG
x3
•
')
X4
•
F IG U R A
Xs
2 .2 1
Cantidad de autobuses en
función de la hora del día
')
•
-)
X6
------~ .)
~ --------------------------------------------
•
i
I
esmog. El estudio busca determinar la cantidad mínima de autobuses que satisfaga las necesidades de transporte. Después de reunir la información necesaria, el ingeniero de tránsito
observa que la cantidad mínima de autobuses varía con la hora del día, y que la cantidad necesaria de vehículos se puede aproximar con valores constantes durante intervalos consecutivos
de 4 horas. La figura 2.21 resume las determinaciones del ingeniero. Para hacer el mantenimiento diario a cada autobús, éste puede trabajar 8 horas sucesivas diariamente.
R e p r e s e n ta c ió n
m a te m á tic a .
Determinar la cantidad de autobuses en funcionamiento durante cada turno (variables) que satisfaga la demanda mínima (restricciones) y minimice al
mismo tiempo la cantidad de autobuses en operación (objetivo).
El lector habrá notado ya que la definición de las variables es ambigua. Sabemos que cada autobús debe trabajar durante 8 horas, pero no sabemos cuándo debe comenzar un turno.
Si seguimos un horario normal de tres turnos (8:01 A.M. a 4:00 P.M., 4:01 P.M. a 12:00 media
noche, y 12:01 A.M. a 8:00 A.M.) y suponemos que XI' x 2 Y x 3 sean las cantidades de autobuses que inician en el primero, segundo y tercer turno, podremos ver, en la parte superior de la
figura 2.21, que XI 2 :: 10, x 2 2 :: 12 Y x 3 2 :: 8. La cantidad mínima correspondiente de autobuses
diarios es XI + Xz + x3 = 10 + 12 + 8 = 30.
Esta solución sólo es aceptable si los turnos d e b e n coincidir con el horario normal de tres
turnos. Sin embargo, sería mejor dejar que el proceso de optimización elija la "mejor" hora de
inicio de un turno. Una forma razonable de hacerlo es dejar que un turno pueda comenzar cada 4 horas. La parte inferior de la figura 2.21 ilustra este concepto, y se ven turnos traslapados
A n á lis is
2 .5
d e m o d e lo s
s e le c c io n a d o s
d e p r o g r a m a c ió n
lin e a l
ONMLKJIHGFE
5 5 zyxwvutsrqpo
que pueden comenzar a las 12:01 A.M., 4:01 A.M., 8:01 A.M., 12:01 P.M., 4:01 P.M. y 8:01
P.M.; cada turno abarca 8 horas consecutivas. Entonces se pueden definir las variables como
sigue:
Xl
=
cantidad de autobuses que comienzan a las 12:01 A.M.ihgfedcbaZYXWVUTSRQP
x2
=
cantidad de autobuses que comienzan a las 4:01 A.M.
x 3 = cantidad de autobuses que comienzan a las 8:01 A.M.
x 4 = cantidad de autobuses que comienzan
a las 12:01 P.M.
=
cantidad de autobuses que comienzan a las 4:01 P.M.
Xó =
cantidad de autobuses que comienzan a las 8:01 P.M.
x5
El modelo matemático se escribe en la siguiente forma:
sujeta a
Xl
+ X ó ;::: 4 (12:01 A.M. - 4:00 A.M.)
Xl
+ X2 ;::: 8 (4:01 A.M. - 8:00 A.M.)
X2
+ X3 ;::: 10 (8:01 A.M. - 12:00 medio día)
X3
+ X4 ;::: 7 (12:01 P.M. - 4:00 P.M.)
X4
+ X5
;:::
12 (4:01 P.M. - 8:00 P.M.)
Xs
+ Xó
;:::
4 (8:01 P.M. -
Xj
;:::
12:00 P.M.)
O, j = 1, 2, ... , 6
El resultado que muestra la figura 2.22 indica que se necesitan 26 autobuses para satisfacer la demanda. El horario óptimo indica Xl = 4 autobuses que comienzan a las 12:01 A.M.,
x 2 = 10 a las 4:01 A.M., x 4 = 8 a las 12:01 P.M. y x 5 a las 4:01 P.M. Todos los costos reducidos
son cero, lo cual indica que el problema tiene soluciones óptimas alternativas.
Los precios duales proporcionan información interesante. Un precio dual igual a cero
quiere decir que un aumento en el requisito mínimo del periodo correspondiente no afectará
la cantidad total de autobuses en operación. Si el precio dual esWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
1 , un aumento de una unidad
en la cantidad mínima de autobuses en determinado periodo hará aumentar la cantidad total
de autobuses en operación en l. Sin embargo, esos cambios se limitan por los intervalos especificados en la figura 2.22. Por ejemplo, el requisito mínimo para el periodo 2 (restricción 2)
puede aumentar de 8 a 14, sin requerir un aumento en la cantidad total de autobuses en operación. Pero un aumento en la cantidad de autobuses para el periodo 3 dará como resultado un
aumento igual en la cantidad en operación.
En este ejemplo podrá ser que no tenga sentido un análisis de sensibilidad de la función
objetivo, porque la naturaleza del modelo requiere que esos coeficientes siempre sean iguales
a 1. Si se reestructura la función objetivo para que refleje otras medidas (por ejemplo, minimizar el costo de operación de los autobuses), la situación será diferente, y tendría sentido hacer el análisis de sensibilidad para esos coeficientes.
56
C a p ítu lo
In tr o d u c c ió n
2
a la p r o g r a m a c ió n
LINEAR
PROGRAMMING
Title: Example 2.5-3, Bus Scheduling
Final Iteration No.:
10
Objective
Value (Min)
26.
variable
OUTPUT
Obj Coeff
4.
10.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
O.
8.
4.
O.
RHS
Constraint
SUMMARY
Model
value
12:01AM
4:00AM
8:00AM
12:01PM
4:00PM
8:00PM
xl:
x2:
x3:
x4:
x5:
x6:
lin e a l
Obj Val
Contrib
4.
10.
O.
8.
4.
O.
Slack-/Surplus+
(> )
4.
O.
1ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
6.+
8.
2 (»
10.
O.
3 (»
1.+
7 .
4 ( » zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
12.
O.
5 (»
4.
O.WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
6 (»
***Sensitivity
Variable
xl:
x2:
x3:
x4:
x5:
x6:
CurrObjCoeff
Constraint
1
(»
2
(»
3
4
5
(»
6
(»
1.
1.
1.
1.
1.
Curr
RHS
4.
8.
10.
7.
12.
4.
(»
(»
F IG U R A 2 .2 2
R e s u lta d o
MinObjCoeff
1.
12:01AM
4:00AM
8:00AM
12:01PM
4:00PM
8:00PM
Analysis***
Min
MaxObjCoeff
O.
O.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
infinity
1.
1.
RHS
O.
Max
RHS
O.
o b te n id o
con T O R A
Dual
Cost
O.
O.
O.
O.
O.
O.
infinity
infinity
14.
infinity
8.
infinity
5.
-infinity
4.
-infinity
11.
Reduced
Price
1.
O.
1.
O.
1.
O.
ONMLKJIHGFEDCBA
d e l m o d e lo
E je m p lo 2 .5 -4
d e p r o g r a m a c ió n
d e a u to b u se s,
(C o r te d e r o llo s d e p a p e l-d e s p e r d ic io
p o r c o r te )
L a P a p e le r a M o d e r n a p r o d u c e r o llo s d e p a p e l (r o llo s d e a n c h o e s tá n d a r ; s o n ta l c o m o s a le n d e la
m á q u in a d e p a p e l) d e 2 0 p ie s d e a n c h o n o r m a l ú til, c a d a u n o . S e a tie n d e n lo s p e d id o s d e lo s
c lie n te s , c o n a n c h o s d is tin to s , c o r ta n d o lo s r o llo s d e a n c h o e s tá n d a r . L o s p e d id o s n o r m a le s , q u e
p u e d e n v a r ia r d e u n d ía a l s ig u ie n te , s e r e s u m e n e n la ta b la s ig u ie n te :
2 .5
A n á lis is
d e m o d e lo s
s e le c c io n a d o s
d e p r o g r a m a c ió n
Pedido
Ancho deseado (pies)
Cantidad deseada de rollos
150
200
300
1
5
2
7
3
9
lin e a l
WVUTSRQPONM
5 7 zyxwvutsrqp
En la práctica se surte un pedido ajustando las cuchillas a los anchos deseados. En general hay varias maneras de cortar un rollo de ancho estándar para surtir determinado pedido. La
figura 2.23 muestra tres posiciones factibles de cuchillas para el rollo de 20 pies. Aunque hay
otras posiciones factibles, limitaremos por el momento la descripción a considerar las posiciones 1,2 Y 3 de la figura 2.23. Se pueden combinar las posiciones dadas en varias formas,
para surtir los pedidos con 5, 7 Y 9 pies de ancho. A continuación vemos algunos ejemplos de
combinaciones factibles:
1. Cortar 300 (rollos de ancho estándar) con la posición I y 75 rollos con la posición 2.ONMLKJIHGF
2.
Cortar 200 rollos con la posición I y 100 rollos con la posición 3.
¿Cuál combinación es la mejor? Esta pregunta se puede contestar teniendo en cuenta la
"merma" (el desperdicio) que produce cada combinación. En la figura 2.23, la parte sombreada representa el sobrante del rollo, sin ancho suficiente para surtir los pedidos requeridos. Esos
sobrantes se llamanihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
p é rd id a d e re c o rte . Se puede evaluar la "bondad" de cada combinación
calculando sus pérdidas de recorte. Sin embargo, como los sobrantes pueden tener anchos distintos, la evaluación se debe basar en el á re a de pérdida por recorte, más que en la c a n tid a d
de sobrantes. Suponiendo que cada rollo de ancho estándar tiene L pies de longitud, se puede
calcular como sigue el área de pérdida por recorte:
Combinación
1: 300 (4 X L ) + 75 (3 X L )
Combinación
2: 200 (4 X L ) + 100 (1 X L )
=
=
1425L
pies?
9 0 U L pies?
Esas áreas sólo corresponden a las partes sombreadas en la figura 2.23. Toda producción
sobrante de los rollos de 5, 7 Y 9 pies también se debe tener en cuenta en el cálculo del área de
pérdida por recorte. En la combinación 1 , la posición I produce un sobrante de 300 - 200 =
100 sobrantes de 7 pies, y la combinación 2 produce 75 rollos sobrantes de 7 pies. Así, el área
de "merma" adicional es 175(7 X L ) = 1 2 2 5 L pies". La combinación 2 no produce sobrantes
20 pies
1>
pies _1_
9 pies
1"
(
F IG U R A
I
/
I
~
\.
\
2 .2 3
Pérdida por recortes (sombreada)
para las posiciones de cuchillas
1, Z y 3
Posición 1
Posición 2
Posición 3
5 8 ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
C a p í t u lo 2
I n t r o d u c c ió n
a la p r o g r a m a c ió n
lin e a l
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO
de 7 Y 9 pies, pero la posición 3 sí produce 200 - 150 = 50 sobrantes de 5 pies, con un área de
L ) = 250L pies". En consecuencia, se tiene que:
recorte agregada de 50(5 X ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
1 = l425L
Área total de pérdida de recorte para la combinación
+ 1225L
Área total de pérdida de recorte para la combinación 2 = 900L + 250L
=
= 2650L
pies"
1150L pies?
La combinación 2 es mejor, porque produce menos área de pérdida de recorte.
Para llegar a la solución óptima es necesario determinar todos las posiciones de cuchilla
posibles, para entonces generar to d a s las combinaciones factibles. Aunque puede no ser muy
difícil la determinación de todos las posiciones, también podría suceder que no sea tan fácil
generar todas las combinaciones factibles. Es evidente entonces la necesidad de un método
sistemático. Es lo que se logra con el modelo de programación lineal.
Determinar las p o sic io n e s d e c u c h illa s (variables) que su rta n
con el á re a m ín im a d e p é rd id a d e re c o rte (objetivo).
La definición de las variables tal como se presentan se debe traducir en forma que las pueda usar el operador de una fábrica. En forma específica, las variables se definen como c a n tid a d
d e ro llo s d e a n c h o e stá n d a r a c o rta r c o n d e te rm in a d a s p o sic io n e s d e c u c h illa s. Para esta definición se requiere identificar todos las posiciones de cuchillas posibles, como se ven en la siguiente tabla. Las posiciones 1,2 Y 3 se ven en la figura 2.23. El lector se debe convencer que
las posiciones 4, 5 y 6 son válidas y que no se ha omitido alguna posición "prometedora". Recuerde que una posición prometedora no puede producir un rollo de desperdicio por recorte
de 5 pies de ancho o mayor.
R e p r e s e n ta c ió n
m a te m á tic a .
re q u e rid o s (restricciones)
lo s p e d id o s
Posiciones
C a n tid a d
de cuchillas
m ín im a
A ncho
Pérdida
re q u e rid o
(p ie s)
3
4
2
O
5
O
2
7
1
1
4
1
9
de recorte
por pie de long.
O
1
1
3
Para expresar matemáticamente
Xi
2
de
ZYXWVUTS
5
6
ro llo s
4
1
O
O
O
2
O
O
O
150
200
300
2
2
1
el modelo, se definirán las variables como sigue:
= cantidad de rollos de ancho estándar que se van a cortar de acuerdo con
la posición j, j = 1, 2, .. 6.
Las restricciones del modelo tienen que ver en forma directa con surtir la demanda de los rollos.
Cantidad
2X 2 + 2X 3 + 4X 4 +
producida
de rollos de 5 pies
Cantidad
producida
de rollos de 7 pies
=
Cantidad
producida
de rollos de 9 pies
= Xl +
=
Xl
+
Xs
+ 2xs
X2
2:
150
2:
200
+ 2X 6 2: 300
X3
Para formar la función objetivo se observa que el área total de pérdida por recorte es la
diferencia entre el área total de los rollos de ancho estándar que se usan, y el área total que representan todos los pedidos. Entonces
Área total de los rollos de ancho estándar
Área total de los pedidos
=
L (150
X
= 20L (x}
5 + 200
+ X 2 + X 3 + X 4 + X s + X 6)
X
7 + 300
X
9) = 4850L
Entonces, la función objetivo es
Minimizar
z
=
20L (X I
+ X 2 + X 3 + X 4 + X s + X 6) -
4850L
A n á lis is
2 .5
d e m o d e lo s
s e le c c io n a d o s
d e p r o g r a m a c ió n
lin e a l
ONMLKJIHGFE
5 9 zyxwvutsrqp
Como la longitud L del rollo de ancho estándar es constante, la función objetivo se reduce, de
hecho, a minimizar la cantidad total de rollos de ancho estándar que se usan para surtir los pedidos; esto es
Minimizar
Z = Xl
+ X2 + X3 + X4 + Xs + X6
Entonces, el modelo general se puede plantear como sigue:
Minimizar
Z = Xl
+ X2 + X3 + X4 + Xs + X6
sujeta a
2X2
Xl
Xl
+
+
2X3
+
4X4
X2
+
+
Xs
2':
150 (rollos de 5 pies)
+
2xs
2':
200 (rollos de 7 pies)
2':
300 (rollos de 9 pies)ihgfedcbaZYXWVUTSRQPO
+ 2X6
X3
x j 2': O, j
=
1, 2, ... , 6
La solución óptima (el problema tiene óptimos alternativos) del modelo, que muestra la
figura 2.24, especifica cortar 12.5 rollos de ancho estándar según la posición 4, 100 con la posición 5 y 150 según la posición 6. La solución no se puede implementar, porque X4 no es entero. Para resolver el problema se puede usar un algoritmo entero (véase el capítulo 9) o bien
redondear X del lado del la seguridad, a 13 rollos.
En vista del requisito que las variables sean enteras, la solución se interpreta en una forma algo distinta. Por ejemplo, el precio dual de 0.25 correspondiente a la restricción 1 significa que un aumento de 1 rollo en la demanda de rollos de 5 pies requerirá cortar una cuarta
parte adicional de un rollo de ancho estándar de 20 pies. Esta recomendación no es práctica.
En lugar de ello se puede recomendar cortar un rollo más de 20 pies por cada cuatro rollos
adicionales de 5 pies. Esta recomendación es válida mientras se esté dentro del intervalo
[100, 00] especificado por la exploración del lado derecho. A los restantes precios duales se
aplica un análisis parecido.WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
4
CO NJUNTO
D E P R O B L E M A S 2 .S A
1. Acerca del modelo del Banco Gane del ejemplo 2.5-1, y su solución en la figura 2.19.
a) En los resultados de análisis de sensibilidad explique por qué el valor mínimo permitido para
el lado derecho de la primera restricción es igual a $4.8 millones. Por lo mismo, explique por
qué el valor máximo del lado derecho de la segunda restricción es igual a 12.
b) Suponga que el banco asigne todos los $12 millones a préstamos agrícolas
Calcule el rendimiento neto para el banco.
y comerciales.
e) En los resultados se ve que el ingreso neto (óptimo) por intereses de todos los préstamos es de
0.9965 millón de dólares, lo que se traduce en un interés promedio de O .~ ~ 6 S = 0.083. Esta
cantidad es menor que el precio dual (valor por unidad) de la primera restricción ( = 0.0864).
Reconcilie la diferencia entre los dos valores.
2. En el ejemplo 2.5-2, de uso de terreno, suponga que Alfa puede comprar otros 100 acres de terreno virgen, en $450,000. Use los resultados del modelo, en la figura 2.20, para evaluar la decisión de esta compañía.
3. Acerca del modelo de programación (horarios de autobús), en el ejemplo 2.5-3, use los resultados de la figura 2.22 para determinar la cantidad óptima de autobuses, suponiendo que la cantidad mínima de autobuses durante los 6 periodos sucesivos es i) (4,12,10,7,
12,4) Y ii) (4, 8, 7,
7, 12,4).
I n t r o d u c c ió n
a la p r o g r a m a c ió n
6 0 ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
C a p í t u lo 2
LINEAR
PROGRAMMING
Title: Example 2.5-4, Trim Loss
Final Iteration No.:
7
Objective
Value (Min)
262.500
Variable
xl: settingl
x2: setting2
x3: setting3
x4: setting4
x5 : setting5
x6: setting6
lin e a l
OUTPUT
Obj Coeff
0.000
0.000
0.000
12.500
100.000
150.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
RHS
SUMMARY
Model
Value
Constraint
ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Obj Val
Contrib
0.000
0.000
0.000
12.500
100.000
150.000
Slack-/Surplus+
(»
150.000
1zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
0.000
200.000
0.000
2 (»
3 (»
300.000
0.000
***Sensitivity
Variable
xl:
x2:
x3:
x4:
x5:
x6:
setting1
setting2
setting3
setting4
setting5
setting6
Constraint
1
(»
2
(»
3
(»
CurrObjCoeff
RHS
150.000
200.000
300.000
F IG U R A
MinObjCoeff
MaxObjCoeff
0.875
0.875
1.000
0.000
0.250
0.000
infinity
infinity
infinity
1.000
1.250
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
1.000
Curr
Analysis***
Min
RHS
100.000
0.000
0.000
Max
RHS
infinity
300.000
infinity
Dual
Reduced
Cost
-0.125
-0.125
0.000
0.000
0.000
0.000
Price
0.250
0.375
0.500
2 .2 4
Resultado del modelo de pérdida por recortes obtenido con TORA ONMLKJIHGFEDCBA
4.
Para el modelo por pérdida de recortes en el ejemplo 2.5-4, y su solución en la figura 2.24.
a) Si se cortan 200 rollos con la posición 1, y 100 rollos con la posición 3, calcule el área correspondiente de pérdida por recorte.
b) Suponga que el único rollo de ancho estándar posible tiene 1 5 pies de ancho. Genere todos
las posiciones posibles de cuchilla para producir rollos de 5, 7 Y 9 pies, y calcule la pérdida
asociada, en "merma" (desperdicio) por pie de longitud.
e) En el modelo original, si la demanda de rollos de 7 pies baja en 80, ¿cuál es la cantidad total
de rollos de ancho estándar de 20 pies que se necesitarán para surtir la demanda de los tres
tipos de rollo?
d) En el modelo original, si la demanda de rollos de 9 pies cambia a 400, ¿cuántos rollos de ancho estándar de más de 20 pies se necesitarán para satisfacer la nueva demanda?
2 .5
A n á lis is
d e m o d e lo s
s e le c c io n a d o s
d e p r o g r a m a c ió n
lin e a l
WVUTSRQPONM
6 1 zyxwvutsrqpo
5. Shale Oil, en la isla de Aruba, tiene una capacidad de 600,000 barriles diarios de crudo. Entre sus
productos hay dos clases de gasolina sin plomo: regular y premium. El proceso de refinación abarca tres fases: 1) una torre de destilación que produce gasolina cruda y pesados, entre otros productos; 2) una unidad de desintegración que produce gasolina a partir de una parte de los pesados de
la torre de destilación, y 3) una unidad mezcladora que mezcla la gasolina cruda y la desintegrada.
La gasolina regular y la premium se pueden mezclar a partir de la gasolina cruda o la des integrada,
a distintos costos de producción. La compañía estima que la utilidad neta por barril de gasolina regular es de $7.70, Y de $5.20, dependiendo de si se produce a partir de la gasolina cruda o de la desintegrada. Los valores correspondientes para la calidad premium son $10.40 y $12.30.
En las especificaciones de diseño se requieren 5 barriles de crudo para producir 1 barril de
gasolina cruda. La capacidad de la unidad de desintegración es 40,000 barriles de pesados por
día. Todo el pesado que resta se usa en forma directa en la unidad de mezcla para producir gasolina final al consumidor. Los límites de demanda de gasolina regular y premium son 80,000 y
50,000 barriles diarios, respectivamente.
a) Desarrolle un modelo para determinar el programa óptimo de producción en la refinería.
b) Suponga que se puede aumentar la capacidad de la torre de destilación a 650,000 barriles
de crudo por día, con un costo inicial de $3,500,000 y un costo diario de mantenimiento de
$15,000. ¿Recomendaría usted la ampliación? Defina las hipótesis que se puedan necesitar
para llegar a esa decisión.
6. El Ingenio Dulce produce azúcar morena, azúcar blanca, azúcar glas y melaza, a partir de guarapo
concentrado. La empresa compra 4000 toneladas semanales de ese guarapo, y se le contrata para
entregar al menos 25 toneladas semanales de cada clase de azúcar. El proceso de producción comienza fabricando azúcar morena y melaza, a partir del guarapo. Una tonelada de guarapo concentrado produce 0.3 tonelada de azúcar morena y 0.1 tonelada de melaza. A continuación se produce
el azúcar blanca procesando el azúcar morena. Se necesita I tonelada de azúcar morena para producir 0.8 tonelada de azúcar blanca. Por último, el azúcar glas se produce a partir de azúcar blanca
mediante un proceso especial de molienda que tiene una eficiencia de producción de 95% (1 tonelada de azúcar blanca produce 0.95 tonelada de azúcar glas). Las utilidades son $150, $200, $230 y
$35 por tonelada de azúcar morena, azúcar blanca, azúcar glas y melaza, respectivamente.
a) Formule el problema en forma de programa lineal, y determine el programa semanal de producción.
b) Investigue la factibilidad económica de aumentar la capacidad de procesamiento
presa a más de 4000 toneladas semanales de guarapo.
de la em-
7. Empresas Fox planea seis proyectos de construcción posibles durante los 4 años siguientes. En la
tabla siguiente se muestran los ingresos esperados (a valor presente) y los desembolsos en efectivo
para esos proyectos. A Fox se le autoriza emprender cualesquiera de los proyectos, en forma parcial o total. Una terminación parcial de un proyecto tendrá ingresos y desembolsos proporcionales.
Inversión de capital ($ miles)ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG
P ro y e c to
1
2
3
4
5
6
Fondos disponibles ($ miles)
Año 1
Año2
Año3
Año4
In g re so s ($ m ile s)
10.5
8.3
10.2
7.2
12.3
9.2
60.0
14.4
12.6
14.2
10.5
10.1
7.8
70.0
2.2
9.5
2.4
32.40
35.80
17.75
14.80
18.20
12.35
5.6
7.5
8.3
6.9
35.0
3.1
4.2
5.0
6.3
5.1
20.0
I n t r o d u c c ió n
a la p r o g r a m a c ió n
C a p í t u lo 2
6 2 ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
lin e a l
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ
a) Formule el problema como programa lineal y determine la (mezcla) proporción óptima de
proyectos que maximicen los ingresos totales. No tenga en cuenta el valor del dinero a través
del tiempo.
b) Suponga que no se puede acometer parte alguna del proyecto 2, a menos que se haya terminado una parte al menos del proyecto 6. Modifique la formulación del modelo, y determine
la nueva solución óptima.
e) En cuanto al modelo original, ¿vale la pena pedir dinero prestado en el año 4?
d) En el modelo original, suponga que todo fondo que quede al final de un año se usa en el año
siguiente. Determine la nueva solución óptima, y la cantidad que cada año "pide prestada" al
año anterior. Para simplificar, no tenga en cuenta el valor del dinero a través del tiempo.
e) Suponga, en el modelo original, que los fondos anuales disponibles para cualquier año se
pueden exceder, si es necesario, pidiendo prestado a otras actividades financieras dentro de la
empresa. Sin tener en cuenta el valor actual del dinero, reformule el modelo de programación
lineal, y determine la solución óptima. ¿Requeriría la nueva solución préstamo en alguno de
los años? En caso afirmativo, ¿cuál es la tasa de retorno del dinero prestado?
8. Manufacturera Acme recibió un contrato para entregar ventanas de vivienda durante los 6 meses
siguientes. Las demandas sucesivas para los seis periodos son 100,250,190,140,220
Y llO,
respectivamente. El costo de producción por ventana varía de un mes a otro, dependiendo de los
costos de mano de obra, materiales y servicios. Acme estima que el costo de producción por ventana, durante los 6 meses siguientes, será $50, $45, $55, $48, $52 y $50, respectivamente. Para
aprovechar las fluctuaciones en el costo de manufactura, Acme podría optar por producir más de
lo necesario en determinado mes, y guardar las unidades excedentes para entregar en meses posteriores. Sin embargo, eso le ocasionará un costo de almacenamiento de $8 por ventana y por
mes, evaluado con el inventario levantado en el fin de mes.
a) Desarrolle una programación
Acme, usando TORA.
lineal para determinar un programa óptimo de producción para
b) Resuelva el problema suponiendo que Acme tiene un inventario inicial de 25 ventanas al
principio del primer mes.
e) De acuerdo con la solución con TORA, los precios duales en los periodos 1,2,4 Y 5 son
exactamente iguales a los costos unitarios de manufactura durante los mismos periodos,
mientras que el del periodo 3 es distinto. Explique por qué.
d) Si el costo de almacenamiento
óptima del punto a)?
por ventana y por mes aumenta a $9, ¿cambiará la solución
9. Juan tiene $100,000 para invertir en cuatro proyectos. La tabla siguiente muestra el flujo de
efectivo para las cuatro inversiones.
Flujo de efectivo ($ miles) al iniciar elihgfedcbaZYXWVUTSRQ
P ro y e c to
Añol
Año2
Año3
Año4
Año5
1
2
3
4
-1.00
-1.00
0.00
-1.00
0.50
0.60
-1.00
0.40
0.30
0.20
0.80
0.60
1.80
1.50
1.90
1.80
1.20
1.30
0.80
0.95
La información de esta tabla se puede interpretar como sigue: para el proyecto 1, $1.00 invertido
al iniciar el año 1, rendirá $0.50 al iniciar el año 2, $0.30 al iniciar el año 3, $1.80 al iniciar el
año 4 y $1.20 al iniciar el año 5. Los elementos restantes se pueden interpretar en forma análoga.
2 .5
A n á lis is
d e m o d e lo s
s e le c c io n a d o s
d e p r o g r a m a c ió n
lin e a l
ONMLKJIHGFE
6 3 zyxwvutsrqp
Un caso sin transacciones se indica con un elemento 0.00. Juan también tiene la opción de invertir en una cuenta bancaria que produce el 6.5% anual. Los fondos acumulados en un año se pueden reinvertir en los años siguientes.
a) Formule el problema como programa lineal, para determinar la asignación óptima de fondos
a oportunidades de inversión.
b) Use precios duales para determinar el retorno general sobre la inversión.
c) Si Juan desea gastar $1000 en diversiones al final del año 1, ¿cómo afectaría eso a la cantidad acumulada al iniciar el año 5?
10. Surtidora contrató a El Martillo como proveedor de llaves y cinceles en sus tiendas de artículos automotrices. La demanda semanal de Surtidora consiste en al menos 1500 llaves y 1200 cinceles. La
capacidad actual de Martillo, en un turno, no basta para producir las unidades que se le piden, y
debe recunir a tiempo extra y, quizá, a subcontratar en otros proveedores de herramientas. El resultado es un aumento en el costo de producción por unidad, como se ve en la siguiente tabla. La demanda del mercado limita la proporción de cinceles a llaves a un mínimo de 2: l.
Herramienta
Tipo de producción
Llaves
Producción semanal (unidades)
Costo unitario ($)
0-550
2.00
2.80
Normal
Tiempo extra
Subcontratadas
Normal
Tiempo extra
Subcontratados
Cinceles
551-800
801- ()()
0--620
3.00
2.10
621-900
901- ()()
3.20
4.20
a) Formule el problema como programa lineal y determine el programa óptimo de producción
para cada herramienta.
b) Relacione el hecho que la función de costo de producción tiene costos unitarios que aumentan, con la validez del modelo.
e) Relacione los precios duales del modelo con los costos unitarios de producción que aparecen
en la tabla.
11. En dos máquinas se procesan cuatro productos en forma secuencia!. La siguiente tabla muestra
los datos pertinentes del problema.
Tiempo de manufactura (hr) por unidadihgfedcbaZYXWVUTSRQPONML
M á q u in a
C o sto p o r h r ($)
P ro d u c to 1
1
10
2
5
Precio unitario de venta ($)
P ro d u c to 2
P ro d u c to 3
P ro d u c to 4
C a p a c id a d (h r)
2
3
4
2
500
3
75
2
1
2
380
70
55
45
a) Formule el problema como modelo de programa lineal y determine la solución óptima.
b) Suponga que cualquier capacidad adicional de las máquinas 1 y 2 sólo se puede tener usando
tiempo extra. ¿Cuál es el costo máximo, por hora, que la empresa podría considerar para
cualquiera de las máquinas?
e) ¿Cuánto se debe reducir el costo de maquinado por unidad del producto 3, para que apenas
fuera rentable?
12. Un fabricante produce tres modelos, 1, II Y III, de cierto producto, usando las materias primas A
y B. La tabla siguiente muestra los datos para el problema.
64
C a p í t u lo
2
I n t r o d u c c ió n
a la p r o g r a m a c ió n
M a te ria p rim a
A
B
Demanda
mínima
Utilidad por unidad
($)
lin e a l
Requerida
por unidadihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH
1
11
III
D isp o n ib ilid a d
2
4
3
2
5
7
4000
200
200
20
150
30
6000
50
El tiempo de mano de obra para el modelo 1 es el doble que para el II y el triple del IlI. Todo el
personal de la fábrica puede producir el equivalente de 1500 unidades del modelo 1. Las necesidades del mercado especifican las relaciones 3:2:5 de las producciones de los tres modelos respectivos.
a) Formule el problema como un programa lineal y determine la solución óptima.
b) Suponga que el fabricante puede comprar más unidades de la materia prima A a $12 por
unidad. ¿Sería adecuado hacerla?
e) ¿Recomendaría usted que el fabricante comprara más unidades de la materia prima B
a $5 por unidad?
13. Construcciones Alfa puede competir en dos proyectos de 1 año cada uno. La siguiente tabla
muestra el flujo trimestral de efectivo (en millones de dólares) en los dos proyectos.
Flujo de efectivo
P ro y e c to
I
II
1 /1 /0 8
4 /1 /0 8
(en millones
7 /1 /0 8
de $) al
1 0 1 1 /0 8
1 2 /3 1 /0 8
-1.5
1.8
-1.0ZYXWVUTSRQPONMLKJIHG
-3.1
5.0
1.5
1.8
-3.0
-2.5
2.8WVUTSRQPONML
Alfa tiene fondos de $1 millón al inicio de cada trimestre, y puede pedir prestado cuando mucho
$1 millón a una tasa de interés anual nominal de 10%. Todo el dinero que le presten debe pagarlo al final del trimestre. El dinero sobrante puede ganar trimestralmente un interés anual nominal
de 8%. La acumulación neta al final de un trimestre se invierte en el trimestre siguiente.
a) Suponga que a Alfa se le permite una participación parcial o total en los dos proyectos.
Determine el grado ( % ) de participación que maximice el efectivo neto acumulado el
31/12/2008.
b) ¿Es posible en algún trimestre pedir prestado y al mismo tiempo terminar con fondos sobrantes? Explique por qué o cómo.
e) Describa una interpretación
económica de los precios duales que resultan en el modelo.
d) Demuestre que el precio dual asociado a la cota superior del dinero pedido prestado al principio del tercer trimestre se puede deducir con los precios duales asociados con las ecuaciones
de balance que representan el flujo de entrara y salida de efectivo en las cinco fechas indicadas del año.ONMLKJIHGFEDCBA
14.
En previsión de los inmensos gastos escolares, una pareja ha iniciado un programa anual de inversión cuando su hijo cumple 8 años, que durará cuando menos hasta que cumpla 18. La pareja
estima que podrán invertir las siguientes cantidades al iniciar cada año:
2 .5
Año
Cantidad ($)
2000
A n á lis is
d e m o d e lo s
s e le c c io n a d o s
d e p r o g r a m a c ió n
lin e a l
ONMLKJIHG
6 5 zyxwvutsrq
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2000
2500
2500
3000
3500
3500
4000
4000
5000
Para evitar sorpresas desagradables, la pareja opta por invertir con seguridad en las siguientes
opciones: 1) ahorros asegurados con rendimiento anual de 7.5%; 2) bonos del gobierno a 6 años,
que producen 7.9% y tienen un precio actual en el mercado igual al 98% del valor nominal, y 3)
bonos municipales a 9 años, que producen el 8.5% con un precio actual de mercado de 1.02 veces el valor nominal.
a) ¿Cómo debe invertir la pareja?
b) Determine la tasa de retorno asociada a cada año.
15.
Un empresario tiene la opción de invertir en dos planes: el plan A garantiza que cada dólar invertido ganará $0.70 un año después, y el plan B garantiza que cada dólar invertido ganará $2 a los
2 años. En el plan A se pueden hacer inversiones anuales, y en el plan B sólo se permiten inversiones por periodos múltiplos de 2 años.
a) ¿Cómo debe invertir $100,000 el empresario para maximizar las ganancias al final de 3
años?
b) ¿Vale la pena que el ejecutivo invierta más en los planes?
16.
Hay un problema de asignación de aviones a cuatro rutas, que se muestra en los siguientes datos:
Cantidad de viajes diarios en la rutaihgfedcbaZ
T ip o d e a v ió n
C a p a c id a d (p a sa je ro s)
C a n tid a d d e a v io n e s
l
50
2
30
3
20
Cantidad diaria de clientes
5
8
10
Los costos asociados, incluyendo las penalizaciones
3
4
5
1000
2
3
4
2
3
5
2000
2
3
4
900
2
2
1200
1
por perder clientes por falta de espacio
son:
Costo de operación ($) por viaje en ruta
T ip o d e a v ió n
l
2
3
Penalizo ($) por cliente perdido
1000
800
600
40
2
3
4
1100
900
800
50
1200
1000
800
45
1500
1000
900
70
a) Determine la asignación óptima de aviones a rutas, y determine la cantidad asociada de
viajes.
b)
¿Hay alguna ventaja en aumentar la cantidad de cualquiera de los tres tipos de aviones?
e) Interprete los precios duales asociados con las restricciones
cantidad de clientes atendidos en cada ruta.
que representan los límites de
66ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
C a p í t u lo 2
I n t r o d u c c ió n
a la p r o g r a m a c ió n
17.
lin e a l
ONMLKJIHGFEDCBA
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Se fabrican dos aleaciones, A y B, a partir de cuatro metales, 1, II, III Y IV, de acuerdo con las siguientes especificaciones:
Aleación
A
B
Precio de venta ($)ihgfedcbaZYXWVU
Especificaciones
Cuando másZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
80% de I
200
Cuando más 30% de II
Cuando menos 50% de IV
De 40 a 60% de II
300
Cuando menos 30% deWVUTSRQPONMLKJIHGF
III
Cuando más 70% de IV
A su vez, los cuatro metales son obtenidos a partir de tres minerales, de acuerdo con los siguientes datos:
Componentes (%)
M in e ra l
C a n tid a d m á x im a (to n )
1
lJ
1 I1
IV
O tro s
P re c io ( $ y /to n
1
2
3
1000
2000
3000
20
10
5
10
20
5
30
30
70
30
30
20
10
10
O
30
40
50
a) ¿Cuánta aleación de cada tipo se debe producir? (S u g e re n c ia : sean X ik las toneladas del mineral i asignadas a la aleación k, y defina wk como las toneladas producidas de la aleación k.)
b) ¿Cuánto de cada mineral se debe asignar a la producción de cada aleación?
e) ¿Cuáles de las restricciones
óptima?
de la especificación
influye en forma negativa sobre la solución
d) ¿Cuál es el precio máximo que puede pagar la empresa por tonelada de mineral 1? ¿De mineral 2? ¿De mineral 3?
18.
Un jugador participa en un juego que requiere dividir el dinero de la apuesta en cuatro opciones.
El juego tiene tres resultados. La tabla siguiente muestra la ganancia o pérdida correspondiente,
por cada dólar, para las di versas opciones del juego.
Ingreso por dólar depositado en la alternativa
R e su lta d o
]
2
3
4
1
2
3
~3
5
3
4
~3
~9
~7
9
10
15
4
~8
El apostador tiene $500 en total, que sólo puede jugar una vez. El resultado exacto del juego no se conoce a p rio ri. Por esa incertidumbre, la estrategia del jugador es maximizar la ganancia m ín im a producida por los tres resultados.
a) ¿Cómo debe asignar el apostador los $500 entre las cuatro opciones? (S u g e re n c ia :
cia neta del jugador puede ser positiva, cero o negativa.)
b) ¿Aconsejaría
R E F E R E N C IA S
la ganan-
usted al apostador que arriesgue más dinero?
S E L E C C IO N A D A S
Bazaraa, M., J. Jarvis y M. Sherali, L in e a r P ro g ra m m in g
1990.
William, H., M o d e l B u ild in g in M a th e m a tic a l
a n d N e tw o rk
P ro g ra m m in g ,
F lo w s, 2a ed., Wiley, Nueva York,
3a ed., Wiley, Nueva York, 1990.
P r o b le m a s
in te g r a le s
WVUTSRQPON
67
PROBLEM AS
IN T E G R A L E S zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2.1 *
La empresa Empacadora fabrica y enlata tres extractos de naranja: jugo concentrado, jugo normal
y mermelada. Estos productos, para uso comercial, se fabrican en latas de 5 galones. En la mermelada se usan naranjas clase 1, y los dos productos restantes se usan de clase Il. La siguiente tabla muestra los usos de las naranjas, y la demanda en el año próximo:
Producto
Mermelada
Concentrado
Jugo normal
Clase
Libras de naranjas por lata de 5 gal
Demanda máxima (latas)
1
5
30
15
10,000
12,000
40,000
11
1I
Una encuesta de mercado indica que la demanda de jugo normal es cuando menos el doble que la
del concentrado.
En el pasado, Empacadora compraba por separado las naranjas de clase 1 y Il, a los precios
respectivos de 25 y 20 centavos por libra. Este año hubo una helada inesperada, y los cultivadores
tuvieron que cosechar y vender su cosecha por anticipado, sin clasificarla como clase Ion. Se estima que el 30% de la cosecha de 3,000,000 es de clase 1, y que sólo el 60% es de clase n. Por esta
razón la cosecha se ofrece al precio de descuento uniforme de 19 centavos por libra. La empacadora estima que le costará clasificar las naranjas en clase 1 y Il, más o menos 2.15 centavos por libra. Las naranjas defectuosas (10% de la cosecha) serán desechadas.
Para fines de asignación de costos, el departamento de contabilidad usa el siguiente argumento para estimar el costo de las naranjas de clase 1 y n. Como el 10% de la cosecha comprada será de calidad menor a la clase Il, el costo promedio efectivo, por libra, se puede calcular como (19 ~.92.15) = 23.5 centavos. Dada la relación de clase 1 a clase n en el lote comprado, que es 1
a 2, el costo promedio correspondiente,
por libra, con base en los precios anteriores, es
x 2 ; 25 x 1 ) = 21.67 centavos. En consecuencia,
el aumento en el precio promedio ( = 23.5
(20
centavos - 21.67 centavos = 1.83 centavos) se debe reasignar a las dos clases, en una relación de
1:2, obteniendo
un costo por libra de clase 1 igual a 20 + 1.83(~) = 21.22 centavos, y un costo
por libra de clase n de 25 + 1.83G)
de contabilidad
=
25.61 centavos. Con esta información,
el departamento
compila la siguiente hoja de rentabilidad de los tres productos.
Producto (lata de 5 gal)ihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM
Jugo
Precio de venta
Costos variables
Indirectos fijos asignados
Costo total
Utilidad neta
M e rm e la d a
C o n c e n tra d o
N o rm a l
$15.50
9.85
1.05
$10.90
4.60
$30.25
21.05
2.15
$23.20
7.05
$20.75
13.28
1.96
$15.24
5.51
Determine un plan de producción para Empacadora.
2.2* Una acería posee una fundidora y dos larninadoras. En la fundidora se cuelan tres tipos de rollos de
acero, que se maquinan en su taller antes de embarcarse a las larninadoras; éstas usan los rollos laminados para fabricar varios productos.
*Motivado por "Red Brand Canners" Stanford Business Cases 1965, Escuela de Graduados de Comercio,
Universidad Stanford.
*Basado en S.Jain, K. Scott y E. Vasold, "Orderbook Balancind Using a Combination of Linear Programming
and Heuristic T e c h n iq u e s" ,In te rfa c e s, vol. 9, núm. 1, noviembre de 1978, págs. 55 a 67.
C a p í t u lo 2
I n t r o d u c c ió n
a la p r o g r a m a c ió n
6 8 ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
lin e a l
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQP
Al iniciar cada trimestre, las laminadoras preparan sus consumos mensuales de rollos y los
presentan a la fundidora. Entonces, el gerente de la fundidora establece un plan de producción
que en esencia está restringido por la capacidad de maquinado en el taller. Los déficit son cubiertos con compras directas a precios mayores, en fuentes externas. En la tabla siguiente se muestra
una comparación entre el costo por tejo adquirido en la fundidora, y su precio de compra externa.
Sin embargo, la gerencia hace notar que esos déficit no son frecuentes, y que se estima suceden
más o menos en el 5% del tiempo.
Tipo de
rollo
Peso
(lb)
Costo interno
($ por rollo)
Precio de compra en
exterior ($ por. rollo)
1ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
800
90
2
1200
130
3
1650
180
Los tiempos de procesamiento
108
145
194
en las cuatro máquinas distintas del taller son:
Tiempo de procesamiento por rollo
T ip o d e m á q u in a
1
2
3
4
R o llo 1
R o llo 2
R o llo 3
1
5
4
3
6
7
O
6
3
Cantidad de
máquinas
10
8
9
5
6
O
9
La demanda de rollos en las tres laminadoras
Tiempo disponible, hrihgfed
por máquina por mes
320
310
300
310
durante los 3 meses siguientes es:
Demanda de rollos
L a m in a d o ra 1
L a m in a d o ra 2
M es
R o llo 1
R o llo 2
R o llo 3
R o llo 1
R o llo 2
R o llo 3
1
2
3
500
O
200
300
200
300
100
O
400
500
300
100
200
400
200
200
O
O
Establezca un programa de producción para el taller.
2.3
ArkTec arma computadoras PC para clientes privados. Los pedidos para los cuatro trimestres siguientes son 400, 700, 500 y 200, respectivamente. ArkTec tiene la opción de producir más que
su demanda en el trimestre, en cuyo caso incurre en un costo de tenencia de $100 por computadora por trimestre. La mayor producción de un trimestre al siguiente requiere contratar más empleados, lo cual aumenta $60 el costo de producción por computadora en ese trimestre. También, si
disminuye la producción de un trimestre al siguiente, requiere despedir empleados, lo cual aumenta el en $50 el costo de producción por computadora.
¿Cómo debe programar ArkTec el ensamble de las computadoras para satisfacer la demanda
en los cuatro trimestres?ONMLKJIHGFEDCBA
2 .4
Muebles Pino fabrica y arma sillas, mesas y libreros. Su fábrica elabora productos semiterminados que se arman en la ensambladora de la empresa.
P r o b le m a s
in te g r a le s
ONMLKJIHGFE
6 9 zyxwvutsrqp
La capacidad mensual de producción (no ensamblada) de la fábrica es 3000 sillas, 1000 mesas y 580 libreros. La ensambladora emplea 150 trabajadores en dos turnos diarios, de 8 horas
cada uno y 5 días por semana. Los tiempos promedio de ensamble por silla, mesa y librero son,
respectivamente, 20,40 Y 15 minutos.
El tamaño de la planta laboral en la ensambladora fluctúa, debido a las vacaciones anuales
que se toman los empleados. Hay solicitudes pendientes de vacaciones por parte de 20 trabajadores para mayo, 25 para junio y 40 para julio.
El departamento de mercadotecnia pronostica que las ventas de los tres productos durante
los meses mayo, junio y julio serán:
Pronóstico de ventas, unidadesihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
P ro d u c to
M ayo
J u lio
J u n io
In v e n ta rio a l fin a l d e a b ril
SillaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2800
2300
3350
1400
Mesa
500
800
Librero
320
300
600
30
100
50
El costo de producción y el precio de venta de los tres productos son:
Producto
Silla
Mesa
Librero
Costo unitario ($) Precio unitario ($)
150
400
60
250
750
120
Si una unidad no se vende en el mes en el que se produce, se conserva para su posible venta
en un mes posterior. El costo de almacenamiento es aproximadamente el 2% del costo unitario de
producción.
¿Debe Pino aprobar las vacaciones anuales solicitadas?