Inflación caótica

Inflación caótica
Construir un modelo de inflación es
relativamente sencillo. Sólo es necesario
elegir un potencial para el campo escalar que tenga un mínimo global
correspondiente a un estado de vacío. Un modelo simple que puede servir como
ejemplo podría ser el campo escalar de masa m (típicamente del orden de la
escala de Gran Unificación ~ 1016 GeV) , homogéneo y con mínimo de
acoplamiento (es decir, sin terminos de interacción con las fuentes del tipo · )
representado por la función potencial
V() = 1/2 m2 2
que tiene un mínimo obvio en = 0 (ver figura).
El campo escalar  está sometido a la ecuación dinámica
d2/dt2 + 3 H d/dt + dV/d = 0 [I]
Con H la constante de Hubble. Esta ecuación puede ser generada de
diversas formas*. Teniendo en cuenta que la densidad de energía del
campo  se puede poner como
 = término cinético + término potencial = 1/2 [d/dt]2 + V()
La ecuación [I] resulta de considerar la conservación de la energía en la
expansión del universo
Potencia generada por el campo escalar al aumentar el volumen del universo =
Potencia consumida por el trabajo realizado en la expansión.
dW/dt = -p dV/dt  d/dt (a3) = - p d/dt (a3) d/dt = -3 H ( + p)
siendo a el parámetro de expansión y pla presión efectiva del campo
escalar que toma el valor
p= 1/2 [d/dt]2 - V(()
La otra ecuación fundamental que debe cumplirse es la ecuación de
Friedmann.
H2 = [1/a da/dt]2 = 8/3 G - K c2/a2 
H2 + K c2/a2 = 8/(3 Mp2)1/2 [d/dt]2 + V()} [II]
Donde Mp = G-1/2 es la masa de Planck en el sistema natural de unidades ( h = c =
1)
Si sustituimos el valor del potencial en la ecuación [I] obtenemos
d2/dt2 + 3 H d/dt = -m2
Esta ecuación es análoga a la de un oscilador armónico con fricción que se
escribe habitualmente de la forma (ver por ejempo Feynman Vol I. §23-2)
d2x/dt2 +  dx/dt + 02 x = 0
Si el campo fue en algún momento muy intenso, la ecuación de
Friedman [II] implica que H tenía un elevado valor y por tanto el término
de fricción sería importante y el campo se comportaría como una bola
que rueda por una pendiente en el interior de un líquido viscoso
(condición de rodadura lenta).
A diferencia de la materia ordinaria, la densidad de energía del campo
escalar permanecería muy aproximadamente constante, comportandose
dinámicamente como una constante cosmológica que llevaría a una
tremenda tasa de expansión exponencial (ver universo de de Sitter).
Todo esto haría que muy pronto se cumpliera que
 ~ -p ~ V(
)
d2/dt2 << 3 H d/dt ; d/dt << m2; H2 >> K c2/a2
ó expresado en lenguaje llano, el término de fricción es
dominante (el universo se expande muy rápido), la
energía cinética del campo es mucho menor que la
energía potencial (rodadura lenta) y el término de
curvatura es despreciable debido al gran tamaño que
adquiere una pequeña región del universo después de
poco tiempo (ver más abajo).
Con estas condiciones las ecuaciones [I] y [II] se
simplifican en gran medida quedando como
d/dt = -m Mp/ 2 (3 )1/2
H = 1/a da/dt = (/3)1/2 2 (m/Mp)
La primera tiene la solución sencilla  =  - m Mp/ 2
(3 )1/2 t siendo  el valor inicial del campo.
La segunda muestra como el factor de escala del
universo a(t) crece exponencialmente como eHt. Esta
expansión exponencial es lo que se denomina periodo
inflacionario y dura hasta que el energía del campo es
mucho menor que la masa de Planck (unos 10-35 s). En
dicho periodo la escala de distancia tiene que haber
aumentado de tamaño en un factor eN con a menos N
~ 60 para resolver el problema del horizonte. El
número N puede ser relacionado con el valor inicial del
inflatón de la siguiente manera trivial
N=

=
=0
H dt = 2 Mp-2 2
Y aunque el campo escalar pueda empezar con un
valor mucho mayor que la masa de Planck


= (N/2)1/2Mp > (60/2)1/2Mp ~ 3 Mp
La densidad de energía puede ser bien baja
comparada con la escala de Planck
 ~ V() = 1/2 m2 2 > (60/4) m2 Mp2 ~ 3 10-6 Mp4 para
una masa m típicamente del orden de la escala de Gran
Unificación ~ 1016 GeV
Posteriormente, al final de periodo inflacionario, el
campo empieza a oscilar alrededor del mínimo de
energía potencial y pierde energía creando pares de
partículas elementales, que interaccionan entre sí
hasta crear un estado de equilibrio térmico que
corresponde al punto de comienzo del Big Bang
estándar.
El escenario de inflación caótica tiene el atractivo de
eliminar la dependencia de las condiciones iniciales.
Así, las características principales de modelo son
practicamente independientes del potencial que uno
ponga para el campo escalar. Así uno puede imaginar
diferentes regiones de universo del orden de la
longitud de Planck con campos escalares con energía
muy baja que apenas se inflan y otras con densidades
de energía elevadas que llevan a crear burbujas en
expansión homogéneas de hasta (en algunos
modelos) ¡101000000000000 cm! (Linde 2001). La forma de la
energía potencial del campo puede ser cualquiera,
diferente en diferentes regiones separadas por una
distancia mayor que c/H (el radio de Hubble), por lo
que estas regiones evolucionan independientemente
unas de otras y pueden ser consideradas como miniuniversos.
Pero la situación es incluso más flexible que todo
eso. Se puede demostrar** que fácilmente es posible
que cada región se divida en varias (~20) después de
un tiempo de Hubble 1/H con una densidad de energía
del campo escalar mayor que la de la región incial en
unas pocas (~3), repitiéndose el proceso
indefinidamente, dando lugar a un escenario conocio
como inflación eterna donde se crean una cantidad
inmensa de regiones o universos bebé en expansión
(Linde 2001, Guth 2000). En cada uno de estos
universos bebés, el campo escalar podría tener
diferentes mínimos que implican diferentes estados de
vacío que podrían dar lugar a leyes físicas diferentes a
baja energía. Si este escenario correspondiera con la
realidad, constituiría una base física sencilla de la
aparente efectividad del principio antrópico (Pedro J.
Hernández 2000).
(*) Por supuesto esta es una manera algo artificial de derivar la ecuación [1] para
mantenernos en física elemental. Definiendo la densidad de Lagrangiano del
campo
L = 1/2 [d/dt]2 - V() la ecuación [1] surge directamente de las ecuaciones de
Lagrange
dL/d - d/dt dL/(df/dt) aplicadas al Langragiano total L = L a3. (Ver por ejemplo
Gordon Kane 1987 Modern Elementary Particle Physics. Addison-Wesley §2-4)
(**) El inflatón es tratado como un campo clásico. Pero por supuesto a las
escalas consideradas tienen que existir efectos cuánticos, por lo que en un
tratamiento semi-clásico podemos considerar fluctuaciones cuánticas dadas por el
principio de incertidumbre de tal forma que
t E ~ H-1 cuant ~ 1/2(con h = 1 en unidades naturales)
puesto que el tiempo característico de cambio del campo escalar es el tiempo de
Hubble.
Los efectos cuánticos serán apreciables en la dinámica del campo escalar cuando
la variación clásica del campo sea del mismo orden de magnitud que la
fluctuaciones cuánticas. Es decir, cuando
clas ~ m Mp/ 2 (3 )1/2 H-1 ~ Mp2/(4 ) ~ cuant ~ H/2
de donde obtenemos que la condición se cumple para un valor del
campo  ~ Mp3/2/ m1/2
Es interesante notar que aunque el valor del campo sea mucho mayor
que la masa de Planck, la densidad de energía correspondiente es
considerablemente menor que ésta
 ~ V() = 1/2 m2 2 ~ 1/2 (m/Mp) Mp4 ~ 10-4 Mp4
para una masa m típicamente del orden de la escala de Gran Unificación ~ 1016
GeV
Considérese ahora lo que ocurre dentro de una región del universo
con un valor incial del campo (i) de este orden. En un tiempo de hubble
el volumen de la región se incrementará en un factor a3~ e3 ~ 20. Dicha
región por tanto puede dividirse en unas 20 del mismo volumen que la
región original, y en cada una de ellas el valor medio del campo será
= i + clas+ 
donde representa un salto cuántico aleatorio correspondiente a una
distribución de probabilidad gaussiana con una desviación estándar clas ~
cuant
La estadística gaussiana implica que existe un 15.9% de probabilidad que una
variable gaussiana aleatoria exceda su valor medio en más de una desviación
estándar y por tanto esta es la probabilidad de que el cambio neto en el campo
escalar sea postitivo, lo que implica que de las 20 regiones, hay unas 3 regiones
(~ 0.159 · 20) que excederán el valor original del campo escalar. Puesto que el
argumento puede ser repetido para cada una de estas regiones, uno espera que el
volumen donde > i aumente exponencialmente con el tiempo. Una vez se
pruduzca una región con un elevado valor del campo escalar (tipicamente algo
menor de 3 Mp) la reproducción de nuevos universos se empieza a producir de
forma exponencial y sin límites.(