PROBABILIDAD

Problemas resueltos
FA CTO RIA L
2.1.
Calcular
4!, 5!, 6!, 7! Y 8!
4!
l'
2' 3' 4
5!
1·2'3'4·5
6!
2.2.
n
11
2.3.
..
(1 1 )
11!'
1
720
Iü l '
11
13' 12 • 11 • 10 • 9 • 8 • 7 • 6' 5 • 4 • 3 ·2·
13!
m-
7!
lO !
=
7!
10' 9 • 8 • 71
(i)
=
n!
=
13 '12'11!
11!
13!
or
n (n
-
+ 2)!
_
n!
-
(n
+
PERM U TA CIO N ES,
-
2 )(n
+
_
-
=
n (n -1 )!
n!
o, sim plem ente,
n
=
=
(n
+
2 )(n
+ 1)
=
(n + 2 }(n + 1 )
=
(n -1 )!
(n -1 )!
=
n2
+
3n
n
+ 2
n2+3n+2
O RD EN A D A S
repeticiones,
(i) ¿cuántos
dígitos 2, 3, 5, 6, 7 Y 9? (ii) ¿cuántos
son im pares?
156
. ONMLKJIHGFEDCBA
l) ( n
~ 2) .. '3'
2 •1
2)"'3'2'~
-
=
13 '12
156
( n + 2 ) ( n + 1 ) 'n !
n!
PRU EBA S
Si no se perm iten
2) !
2)· .. 3' 2 • 1
2) ... 3' 2 • 1
l) n ( n
=
1
720
n!
n (n -1 )(n
(n + 2 )!
n!
=
+
(n
11
l) ( n
.
.
(")
l) ( n
(n
=
13 '12
1
10' 9 • 8
=
n!
(n -1 )!'
(n-1)1
¿cuántos
1
11'10'9'8'7'6'5'4'3'2'1
o, sim plem ente,
2.4.
=
6' 120
8' 7!
C) 13! FEDCBA
C ) 7!
m=
(n
=
5!
= 5040
8 • 5040 = 40.320
7' 720
7' 6!
8!
120
5·24
5'4!
l'
Sim plificar:
(i)
=
=
7!
24
= QPONMLKJIHGFEDCBA
2 • 3·4· 5 • 6 = 6'
Calcular:
(i)
=
(v) ¿cuántos
En cada caso dibuje tres cajas
núm eros
de 3 dígitos
de éstos son m enores
son m últiplos
D D D
se pueden
form ar
con los seis
que 400? (iii) ¿cuántos
son pares? (iv)
y
luego escriba en ea-
de 5?
para representar un núm ero arbitrario,
da caja el núm ero de dígitos que se pueden colocar allí.
(i)
La caja de la izquierda se puede llenar de 6 m aneras; luego, la caja del m edio puede llenarse de 5 m aneras; y, finalm ente, la caja de la derecha puede llenarse de 4 m aneras:
m eros.
(ii)
0 0 0·
A sí hay 6' 5' 4
=
120 nü-
A sí hay
2' 5' 4
=
40 núm eros.
La caja de la derecha puede llenarse de dos m aneras solam ente, por 2 y 6, puesto que los núm eros deben ser pares;
la caja de la izquierda puede llenarse de 5 m aneras; y, finalm ente, la caja de la m itad puede llenarse de 4 m aneras:
o0
(iv)
0 0;
La caja de la izquierda puece llenarse de dos m aneras solam ente, por 2 ó 3, puesto que cada núm ero debe ser m enor
que 400; la caja de la m itad puede llenarse de 5 m aneras; y, finalm ente, la caja de la derecha puede llenarse de 4 rnaneras:
(iii)
0
0·
Por consiguiente hay b' 4' 2
=
40 núm eros.
La caja de la derecha puede llenarse de sólo 4 m aneras, por 3, 5, 7 ó 9, puesto que los núm eros deben ser im pares;
la caja de la izquierda puede llenarse por lo tanto de 5 m aneras; y, finalm ente, la caja de la m itad puede llenarse de
4 m aneras:
0 0 0·
A sí hay .5' 4' 4
=
80 núm eros.
(v)
La caja de la derecha
puede llenarse
la caja de la izquierda
m aneras:
2.5.
m aneras
Las siete
(ii)
U na persona
personas
pueden
=
6!
5·
=
4 ~1
una reunión
2) ...
3'
2,
de
=
1
en una
en cualquier
m aneras
Este es un ejem plo
2.6.
distribuirse
puede sentarse
6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1
-
hay
se puede acom odar
por 5, puesto
de 5 m aneras;
fila de
puesto
alrededor
20
de 5;
puede llenarse
de 4
núm eros.
de 7 personas,
7,
6'
(i) en una fila de 7 sillas? (ii)
ONMLKJIHGFEDCBA
p e r m u ta c io n
c ir c u la r .
En general,
(n
Las otras
objetos
n
3 niños y 2 niñas pueden sentarse
m aneras
si los niños se sientan juntos
las
y
las niñas se sientan juntas?
(i)
Las cinco
personas
en una lila de
(ii)
H ay 2 m aneras
3! • 2!
sentarse
para distribuirlos
2·
=
H ay
4 m aneras
cada
m anera
6 • 2 =
para
niñas
según
4 • 3 • 2 • 1
pueden
5!
=
o MMHHH.
sentarse
de
distribuirse
en un círculo
de
(iii) ¿D e cuántas
de
1)
(n -
120
=
m aneras
m aneras
1 =
2!
pue-
m aneras
En cada caso los niños pueden
2·
el sexo:
MMHHH,
HMMHH,
O, 1, 2 ó 3, de niños que se sientan
al núm ero
sentarse
acom odarse
2
=
m aneras.
A sí,
sentarse
en
de
total
hay
O bsérvese
que
m aneras.
distribuirlos
corresponde
los niños pueden
y las
24
5,
según el sexo: H H H M M
6 m aneras,
=
pueden
en una fila? (ii) ¿pe cuántas
en fila si justam ente
3!
m aneras.
seis personas
pueden
tam bién?
n iñ a s
den sentarse
3 •2 • 1 =
7!
I)! m aneras.
-
pueden
=
5 • 4 • 3 • 2 • 1
en la m esa redonda.
pueden sentarse
(iii)
deben ser m últiplos
la caja del m edio
de la m esa.
(i) ¿D e cuántas
2,
que los núm eros
y, finalm ente,
de una m esa redonda?
(i)
(n
solam ente,
por lo tanto
0 0 [ 2 J .O sea que
QPONMLKJIHGFEDCBA
¿D e cuántas
alrededor
de I m anera
puede llenarse
de 3! m aneras,
y las niñas de 2! m aneras.
HHMMH,
HHHMM.
a la izquierda
A sí en total,
hay
de las niñas.
4'
3! • 2!
=
En cada caso
4'
6 • 2
=
48
m aneras.
2.7.
¿Cuántas
señales
diferentes,
m arse con 4 banderas
Este problem a
cada una de 6 banderas
corresponde
colgadas
a perm utaciones
con repetición.
H ay
ras de las cuales 4 son rojas y 2 azules.
2.8.
¿Cuántas
perm utaciones
2.9.
(i)
4!
=
(ii)
~;
=
(iii)
_. _1.2! __ .,
24, puesto
(i) ¿D e cuántas
pueden form arse
(i)
que hay 7 letras de las cuales
puesto
que hay
m aneras
nacionalidades
de 3! m aneras;
A sí que, en total,
(ii)
12 letras
señales
puesto
que hay 6 bande-
con todas las letras de cada una de las palabras:
3 son a .
de las cuales
3 am ericanos,
3 son s , 2 son
4 franceses,
nacionalidad
pueden
ordenarse
los 4 franceses,
hay 4!3'4!4!2'
Las 4 nacionalidades
culares).
15
t,
4 daneses
2 son
i
y 2 son a .
2 italianos
y
se sienten juntos?
pueden sentarse
en una
(ii) Resolver el m ism o problem a
en una m esa redonda.
Las cuatro
tarse
=
~
distintas.
fila de m odo que los de la m ism a
si se sientan
for-
(iii) estadísticas?
que hay 4 letras
840, puesto
pueden
4. 2.
distintas
(i) tem a, (ii) cam pana,
en una línea vertical,
y 2 azules idénticas?
rojas idénticas
pueden
=
y los 2 italianos
los 4 daneses,
En cada caso los 3 am ericanos
de 4' m aneras;
y los 2 italianos,
pueden
sen-
de 2' m aneras.
165.8880rdenaciones.
distribuirse
En cada caso los 3 am ericanos
de 4' m aneras;
en una lila de 4! m aneras.
de 4! m aneras;
en un círculo
pueden
de 2! m aneras.
sentarse
de 3' m aneras
de 3! m aneras;
O sea que, en total,
(ver problem a
14.4 sobre
los 4 franceses,
hay 3'3'4!4'2'
=
perm utaciones
de 4! m aneras;
41.472
cir-
los 4 daneses,
ordenaciones.
FEDCBA
26 "
TECN ICA S
D E CO N TA R
2.10. Su póngase que una urna contiene
8 bolas.
(ii) sin sustitución.
(i) con sustitución,
(i)
Cada bola de la prueba
con sustitución.
(ii)
La prim era
m aneras.
ordenada
bola de la prueba
Por lo tanto
ordenada
=
2)
P (n .
n (n
Puesto
(ii)
=
P (n ,4 )
n (n
n (n
Puesto
(iii)
2 (n
2
n (n
-
que
(ii)
6
C 42 )
-
=
=
1)
n2 -
4n
_
-
6
n (n
P (n ,2 )
42
que 8 -
o
A hora 9 -
(iii)
A hora
10 - 6
2.14. D esarrollar
(2 x
7
+
=
=
o
2n
=
=
8-8 -8
hay
la siguiente
=
de tam año
83
de 7 m aneras
=
-
n
-
1).
n
es
n
y la últim a
1)
+ 50
es
n
=
72
n -
-
+ 50 =
2)
O
P (2 n .
o
(n -
-
2 )(n
2 ).
+ 8) = O.
9 )(n
O sea
O, ~
=
1,
O
(n
o
(n
-
9 )(n
-
=
3)
=
+ 4)
42
O
9.
=
-
!
~
36
-
2 n (2 n
2n
n
9.
o. si
5n
respuesta
o
=
2 P (n ,
=
=
4n2
4n2
-
-
Entonces
2n.
o
2n
=
50
2n2
o
n2
=
QPONMLKJIHGFEDCBA
5.
=
y TEOREM A
(iii) (~5).
en el num erador
560
=
com o
e
(iii)
5
)
5
en el denom inador.
=
=
15-14-13-12-11
1-2-3-4-5
3003
495
CO)
C1 1' 1)
5
6'
3; o sea que podríam os
=
7
( 9)
+ y 2 )5 .
5
+ 1
(2 X )4 (y 2 )
80X 4y2
=
(9)
2
(2 x
32 xs +
G)
=
(~O)=
luego
(2 X )5
=
+
calcular
e40)
5-4
1-2.
+ -
80x3y4
=
19-8
_2
=
8-7-6
1- 2 - 3
40x2y6
com o
=
sigue:
56
36.
10 - 9 - 8 - 7
1-2-3-4
(2 x )3 (y 2 )2
+
tam bién (:)
+
+
=
5-4
1-2
10xy8
210.
5
(2 X )2 (y 2 )3
+
ylO
+ _
1
(2 X )(y 2 )4
+
2
3,
512 pruebas
56
y sim plificar:
y 2 )5
-
ordenadas
_
2; entonces
4;
=
2n2
(:)
(ii)
n2
P (2 n ,2 )
(ii) (~),
8-7-6-5-4
1-2-3-4-5'-
1)
-
la única respuesta
factores
=
72
=
y
4 2 n (n
y
-
=
n
es
(ii) (~2),
),
12 - 11 - 10 - 9
1-2-3-4
O bservam os
=
-
entonces
de 8 m aneras,
2), (iii)
4 2 P (n .
n'
ONMLKJIHGFEDCBA
n debe ser positivo,
la única
(i) (~),
(8)
5
sea
de pruebas
sin sustitución.
la única respuesta
=
n
2
4) =
3)
-
3)
-
+ 6
5n
16 - 15 - 14
1-2-3
=
2.13. Calcular:
(í)
2 )(n
2 )(n
que hay tantos
=
)
o
n;
debe ser positivo,
C3
(i)
Recordem os
C3
-
DEL BINOM IO
2.12. Calcular:
(i)
2
n
-
-
-
+ 50
n)
Puesto
COEFICIENTE
n
que
=
P (n ,2 )
l) ( n
l) ( n
o
n'
debe ser positivo,
n
-
-
=
1)
-
que
ser escogida
336 pruebas
P (n .
el núm ero
de 8 m aneras;
escogerse
puede
=
8-7-6
hay
2.11. H allar FEDCBA
n si (i) P ( n , 2) = 72, (ii)
(i)
puede
H allar
[CA P.
(y 2 )5
25
de 6
TECN ICA S
CAP. 2)
DE
CO N TA R
27
2
2.15. D esarrollar y sim plificar: FEDCBA
( x ONMLKJIHGFEDCBA
2 y )8 .
(x 2
-
=
2 y )8
=
D esarrollam os
24
6·6
+ __
1·2
(x 2 )~ (-2 y )
(1
=
xI2 -
+ 1)4 Y em pleam os
=
(1+1)4
el teorem a
n)
( r-1
A hora
G )14
(n ;
(n )
r
+
rm.na d or en am b as fracci
racciones,
1)
=
+
. l'icarnos
m u Iup
(:}311
+
+
=
(r ~
laa nri
pnm era
+
G)
G )1212
1)
+
(;)
-
y
+
es cierto
~ (1)
r=O
Suponem os
para
a
l
-
r
n
=
1, puesto
+
r
que el teorem a
se cum ple
(a + b )n + l
para
(o
_
el térm ino
del producto
+
b )n
=
(a + b )(a + b )"
=
(a + b )[a n
b [(.,.:l)a ,,-r+ lb r-l]
que contiene
+
r
+ 1) " ( n
-
(n
-
=
r! (n -
+ 1)!
r)!
a
n
r
-
b
+ 1)!
_
r!(n -r+ 1 )!
í( ;)
r
+ 1)
(n
-
+
G) a O
y probam os
b"
r
r
•
a [(;)a n -rb r ]
a
l
que es cierto
(~ )a n -lb
se obtiene
b
+ ...
para
=
b
+
(o
+
b)
(a +
b)1
n+ l.
+ (r:1)an-r+lbr-l
+ .. , +
(~ )a b n -l
+
bn]
de
=
(" .:1 )a n -r+ 1 b r
=
[ (". :
1)
+
+
(:)]
(:)a n - r + 1 b r
an-r+l
br
deno-
+
+ 1l' E ntonces
[r+ (n -r+ 1 )]"n !
-
_
+ (;)a n -rb r
A hora
n - r
n - .r
por
.
m ism o
que
( !) al b O
br
el
(n -r+ 1 )"n !
+ 1)!
r
l)n !
+ b )"
(a
obtener
r!(n -r+ 1 )!
r!(n -r+ 1 )!
2.18. Probar el teorem a del binom io 2.5:
(:)14
+
(n -r+ 1 )"n !
r! " (n -
r"n !+ (n -r+ 1 )"n !
+
Para
Ia segun d a f raccion
"
+ 1) !
r
(:)1113
.
+
1)! " ( n
r! (n -
+
n!
r!"(n -r)!'
frr accié
r
accion por -'.
r
r!(n -r+ 1 )!
(n
64y8
+
+
ron!
=
+
192x2y~
G) G)
+
ron!
r : (r -
(-2 y )8
(~ ) + (:) + (!).
n!
(r-1 )!"(n -r+ 1 )!
(.,.:1)+(;)
El teorem a
(x 2 )3 (-2 y )3
del binom io:
G) G)
2"17. Probar el teorem a 2.6:
6·6·4
+ --1"2·3
(x 2 )4 (-2 y )2
+ -6·6 ( X 2 ) 2 ( - 2 y ) 4
+ -6 ( x 2 ) ( - 2 y ) ~
+
1"2
1
12xlO y+ 6 0 x 8 y 2 - 1 6 0 x 8 y 3 + 240x4y4 -
16QPONMLKJIHGFEDCBA
(~ )+ (~ ) +
24
2.16. Probar:
+ -6
1
(X 2 )8
28
TECN ICA S
O bservam os
que
( nr) _
2.6,
Pero, por el teorem a
+
(a
b )(a
1
+
D E CO N TA R
(11)
QPONMLKJIHGFEDCBA
+
r
= (n + r1 ) . O sea
es un polinom io
b )n
=
(a + b )n + l
de grado
[CA P.
el térm ino
+ l en
n
2.19. Calcular
m ultinom iales
6!
3! 2! 1!
=
(3,:,1)
(ií)
8)
( 4 , 2, 2, O
(iii)
La expresión
,,(
(4, 2~2, o),
(ii)
1>'5·4'3'2'1
3'2'1,2'1'1
8!
4! 2! 2! O ! =
=
siguientes:
(3,~, 1)'
(i)
(i)
a n -r+ 1b r
dem ostrar.
los coeficientes
10
5,3,2,2
=
(5, 3~02,2)
(iii)
60
8'7'6'5'4'3'2'1
4' 3 • 2 • 1 • 2 • 1 • 2 • 1 • 1 =
420
). no tiene senu ' d o puesto que 5 + 3 + 2 + 2 ~ 10.
CO M BIN A CIO N ES
2.20. ¿D e cuántas
m aneras
grupo de 7 hom bres
se pueden
el com ité
2.21. U na delegación
escogerse
un com ité,
escoger
puede
3 de (;)
escogerse
de 4 estudiantes
blea anual de la A sociación
de
m aneras,
(ii)
Sean
y
A
M étodo
'"
B
elegibles?
pueden
=
2·
juntos
ru a
A
A
o
B.
B.
=
escoger
2 de
de un
=
(:)
m aneras.
350 m aneras.
puede escogerse
la delega-
si dos de los estudiantes
si dos de los estudiantes
12)
( 4
12' 11 • 10 • 9
l' 2' 3, 4
=
elegibles
elegibles
son ca-
495 m aneras.
a la asam blea.
..
entonces
se pueden
m aneras
m aneras
m aneras
de los 12 de
que no asisten
Si uno de los dos
1 0 '9 '8 .
l ' 2' 3
y 2 m ujeres,
todos los años para asistir a la asam -
(i) ¿D e cuántas
1.
a
7'6'5
1
• 2 • 3 • 5·4
1•2
(ii) ¿D e cuántas
ser escogidos
los estudiantes
SI no se Incluye
m aneras.
de 3 hom bres
y de las 5 m ujeres
de un colegio se selecciona
no asisten al m ism o tiem po? (iii) ¿D e cuántas
sados y sólo asistirán si van am bos?
Los 4 estudiantes
=
7)(5) 2
( 3
de Estudiantes.
ción si hay 12 estudiantes
(i)
com puesto
y 5 m ujeres?
D e los 7 hom bres
Por consiguiente
puede
la delegación
pero no juntos,
es incluido,
(
puede
escogerse
entonces
de
la delegación
10
4
)
10' 9 • 8' 7
l' 2 • 3 • 4
=
puede escogerse
de
=
210
0
(13 \
2'
)
=
240
m aneras.
Por lo tanto,
en total,
los otros
2 m iem bros
la delegación
puede
de 210
ser escogida
+ 240
=
450
=
45
m aneras.
M étodo 2.
Si A y
m aneras.
(10)
B
son incluidos,
O sea que hay 495 -
entonces
45
=
450 m aneras
de la delegación
para que la delegación
pueden
pueda
escogerse
escogerse
si
A
de
y
B
2
no se incluyen
al tiem po.
(iii)
Llam em os
m aneras.
ey
D
los estudiantes
Si am bos
la delegación
e
y
D
casados.
van, entonces
puede escogerse
Si
ey
D
no van, entonces
la delegación
de 210 + 45
=
la delegación
puede escogerse
255 m aneras.
de
puede escogerse
(10)
2
=
0
de (14 )
45 m aneras.
ONMLKJIHGFEDCBA
FEDCBA
1 b r•
a n -r+
r
r=O
lo cual se quería
(n + r1 )
b " es
En consecuencia,
b.
n~+ l(n + 1 )
=
(a + b )(a + b )n
que contiene
2
=
210
En resum en,
TECN ICA S
~P. 2]
22. U n estudiante
tiene que contestar
ger tiene? (ii) ¿Cuántas
tiene que contestar
(i)
Las 8 preguntas
(ii)
Si contesta
(7)
(iii)
21
1· 2
todas
Por
otra
(~) =
5
m aneras,
m aneras
de esco-
(iii) ¿Cuántas,
si
(10)QPONMLKJIHGFEDCBA
(10) 10' 9
8
2
=
entonces
puede
=
escoger
~
45 m aneras.
=
las otras
5 de las 7 últim as
preguntas
=
de (~)
m aneras.
parte,
puede
(i) ¿Cuántas
son obligatorias?
preguntas?
de
preguntas,
las 5 prim eras
m aneras.
consiguiente
preguntas
seleccionarse
las J prim eras
Si contesta
en un exam en.
si las 3 prim eras
.
pueden
29
CO N TA R
8 de 10 preguntas
4 de las 5 prim eras
7' 6 =
--
=
2
m aneras,
DE
preguntas,
si contesta
y puede
escoger
entonces
4 de
escoger
las
las
puede
5 prim eras
otras
=
J de las 5 últim as
las otras
preguntas,
enton~es
4 de las 5 últim as
de 6 • 5
las 8 preguntas
escoger
25 m aneras.
de
puede
(4)
de
escogerlas
= (~) =
O sea que tiene
35 m aneras
(!)
de
6
10
=
(:)
=
m aneras;
diferentes
por
para
escoger.
.23. H allar el núm ero
M étodo l.
El núm ero
de subconjuntos
de
FEDCBA
X con r ~
(~ )
subconjuntos
M étodo
de
X.
de un conjunto ONMLKJIHGFEDCBA
X que contiene n elem entos.
de subconjuntos
La sum a
+
anterior
(;)
(
n elem entos
+
(problem a
(;)
+
está dado
...
+
)
por
;
• Por tanto,
(n ~
1)
+
en resum en,
hay
(:)
2.51) es igual a 2", o sea que hay 2" subconjuntos
de
de X : o pertenece
por consiguiente
X.
2.
H ay dos posibilidades
para
cada
elem ento
al subconjunto
o no pertenece;
hay
. n veces
~
2' 2·····
m aneras
de form ar
:.24. ¿D e cuántas
M étodo
un subconjunto
m aneras
m aneras de escoger
2"
o sea, hay 2" subconjuntos
escoger
diferentes
de
X.
uno o m ás estudiantes
de seis elegibles?
hay 2 6
anterior,
puesto
=
64 subconjuntos
que se escogen
uno
o m ás
del conjunto
estudiantes.
de seis estudiantes.
En consecuencia
hay
Sin em bargo,
28 -
I
el conjunto
64 -
=
I
=
63
los estudiantes.
2.
Puesto
+
que se escogen
(:)
fJ A R T IC IO N E S
+
G)
los otros
o uno, o dos, etc., o seis estudiantes;
+
O R D EN AD AS
U S. ¿D e cuántas m aneras
recibe
Buscam os
teorem a
=
1.
vacío debe ser excluido
G)
X.
puede un profesor
Según el problem a
M étodo
de
2
2.9, hay
(!)
Y
+
G) G)
+
=
entonces,
6 +
el núm ero
15 +
20
de m aneras
+
15 +
de escoger
6 +
1
es
=
63
D ESO R D EN AD AS
se pueden repartir
7 juguetes
entre 3 niños si el m enor recibe 3 y cada uno de
2?
el núm ero
__ 7_1_
~I 2! 21
de particiones
=
ordenadas
210 de dichas
de 7 objetos
particiones
.
en células
de 3, 2 y 2 objetos
respectivam ente.
Por el
TECN ICA S
D E CO N TA R
30·vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2.26. En una clase hay 12 estudiantes.
bas diferentes
¿D e cuántas
si a cada prueba
m aneras
le corresponden
[CA P.
los 12 estudiantes
pueden
presentar
3 pru
4 estudiantes?
M étodo l.
Buscam os
el núm ero
Por el teorem a
M étodo 2.
H ay
2
(~2)
m aneras
todas,
2.27. ¿D e cuántas
m aneras
de 12 estudiantes
de tales
que
la segunda
prueba.
=
495·70
12 estudiantes
en células
que constan
de 4 estudiantes
cada u
particiones.
4 estudiantes
que tom en
(!) =
2
(14 ) •
ordenadas
34.650
de escoger
4 estudiantes
hay
=
4/4 /4'
2.9, hay
ras de escoger
por
de particiones
tom en
la prim era
El resto
34.650 m aneras
pueden
de estudiantes
para
repartirse
prueba;
que
a continuación
tom a
la tercera
los estudiantes
presenten
hay
QPONMLKJIHGFEDCBA
( ! ) ma
prueba.
las
O sea q
pruebas.
A l'ONMLKJIHGFEDCBA
A 2 Y A 3 ' de suerte q
en 3 equipos,
cada equipo conste de 4 estudiantes.
M étodo l.
O bservam os
que cada
una partición
ordenada.
hay 34.650/6
=
partición
Puesto
I A l,
A 31 de estudiantes
A2,
que (ver problem a
5775 particiones
anterior)
por
estén en el m ism o
hay
tes
(~)
que
equipo
m aneras
quedan
repartir
uno
A
de
A hora
A.
dé escoger,
constituyen
entre
el tercer
Entonces
denotem os
por
los restantes,
equipo.
(11)
3
hay
3 estudiantes
A sí,
.
en
total
(11).
hay
2.28. Probar
el teorem a
2.9: Sea
+ n
com puesto
A
=
r
de
n . Entonces
de escoger
=
(7)
lo m ism o
ordenad
los otros
3 estudiantes
equipo
equipo
165·35
de
de
B.
=
5775
A;
q
enton
Los 4 estudi:
m aneras
3
y sean
elem entos
n
6 m aneras
34.650 de tales particiones
en el m ism o
3
con n 1 + n 2 + . . .
=
que no sea del m ism o
que estén
los estudiantes.
de 3!
.
m aneras
a un estudiante
B
=
4,14 "4'
hay
.
de los estudiantes.
distribuirse
2
(no ordenadas).
M étodo 2.
D enotem os
puede
n 1 , n s , ....
n;
enteros
positiv
existen
n!
n 2 ! n 3 ! ...
nd
particiones
tos,
ordenadas
contiene
A2
Em pezam os
~ n -
A2.
n1
elem entos
ns
diferentes
elem entos,
con los
elem entos
n
que sobran,
Sim ilarm ente,
para
i =
particiones
A
,y
3, ... ,
ordenadas
r,
de
A .
A hora
n'
tor del denom inador
...
-
n
...
-
n
)
...
donde A l contiene
ni
elem
e,
la célula
hay
A l,
1
n )
En seguida
de esto,
h
m aneras
de seleccion
)
m aneras
1 -1
2
A r)
de seleccionar
n
n i
-
,
Y por consiguiente
A l,
-
•••
elem entos.
n;
m aneras
A"
-:~
(n -
n1 -
de seleccionar
~ :.
-
A j.
A sí hay
(t,
n r-1 )
(*) es igual a
(n -
puesto
(:)
1
n 2 ! (n -
n!
n 1 !~ !
n
(
:2 n 1 )(n
n 1 ! (n -n 1 )!
Pero esto es igual a
hay
A;
hay
contiene
Ar
o sea, la diferencia
(~ )(n
diferentes
de la form a FEDCBA
( A l, A 2,
de
..
de
n r!
n 1 )!
n1 -
que cada
(n -n 1 n 2 )!
.,.
-n r-1 )!
n r ! ( n - n 1 - '"
num erador
después
-n )!
T
del prim ero
se sim plifica
con el segundo
faci
nr!
que le precede
y com o
(n -
n1 -
...
-
n r)!
= O ! = 1.
Entonces
el teorem a
queda
probad
TECN ICA S
p.2J
IAGRAM AS
DE ARBOL
19. Construir
el diagram a
DE
CO N TA R
de árbol para el núm ero
31
de QPONMLKJIHGFEDCBA
I ONMLKJIHGFEDCBA
a , FEDCBA
b , e l.
de perm utaciones
~ .< :
e
abc
b
e
acb
bac
a
b
bca
cab
a
cba
b<a
e
c<:::::::
A la derecha
.30. U n hom bre
a lo sum o.
del diagram a
se ordenan
tiene tiem po
las seis perm utaciones
para jugar
En cada juego
gana
ruleta
o pierde
con un dólar y dejará
hom bre em pieza
.
El
de jugar si antes
de la quinta vez pierde todo su dinero o si gana tres dólares, esto es, si tiene cuatro.
en que la apuesta
El diagram a
la apuesta
suspenderá
de árbol de la derecha,
puede suceder.
puede suceder
la apuesta
do en solam ente
el núm ero
de casos
puede ocurrir.
Cada
describe
núm ero
m ero de dólares' que el hom bre
la apuesta
H allar
tiene
antes
el cam ino
del diagram a
en ese punto.
de ll m aneras
LO
cinco veces
un dólar.
se hayan
\
el nú-
O bsérvese
de que los cinco juegos
/:/1 .< .< :
en que
denota
O bservam os
diferentes.
1<°
que
que él
,< :
'" , , '( . < 2
realiza-
tres de los casos.
4
Problem as
4
propuestos
FA CTO RIA L
2.31.
Calcular:
(i) 9!,
2.31
Calcular:
16!
(1') 14!'
2.33.
Si m pli ficar:
(ii) lO !,
n!
(iii)
"
'
11!
8!
(ii) 14!
11 11!'
(n + 1 )!
(í)
(iii)
lO !
(iv) 13! .
lO !'
(n -1 )!
n!
(11)
(iii)
(n -2 )!'
(iv)
+ 2)! '
(n
(n -
r
+ 1)!
(n -r-1 )!
.
PERM U T A CIO N ES
2.34.
I
(i) i,Cuántas
placas
para autom óvil
rentes? (ii) Resolver
2.35.
De
A
a
B
hay
el problem a
6 cam inos
y de
pueden
hacerse
si el prim er
B
a
e
dígito
si cada
placa consta
de dos letras
diferentes
seguidas
de 3 dígitos
no puede ser cero.
4.
(i)
¿D e cuántas
m aneras
se puede ir de A a
(ii)
¿D e cuántas
m aneras
se puede hacer
( iii)
i,D e cuántas
m aneras
se puede
hacer
e pasando
por B ?
el viaje redondo
el viaje redondo
de A a
de
A
e pasando por
e sin usar el
a
B?
m ism o
cam ino
m ás de una vez?
dife-