Métodos Numéricos para Ingeniería Química PI - 524 A Ing. José Dávila Muchos problemas en Ciencias e Ingeniería requieren la solución de ecuaciones algebraicas no lineales. Métodos Numéricos para Ingeniería Química PI - 524 A Ing. José Dávila Para resolver estas ecuaciones se sugiere graficarlas para saber si tienen o no soluciones. Métodos Numéricos para Ingeniería Química PI - 524 A Ing. José Dávila Cuando no existe solución Resolver: 2 x - 3 ln ⎛⎝x 2 + 1⎞⎠ - 3 x 2 - 3 ＝ 0 f ⎛⎝x⎞⎠ ≔ 2 x - 3 ln ⎛⎝x 2 + 1⎞⎠ - 3 x 2 - 3 Figura N° 1 Cuando no corta al eje x en ningún punto Cuando existe una solución f ⎛⎝x⎞⎠ ≔ x 3 ⋅ e -x - 2 ⋅ ln ⎛⎝x + 3⎞⎠ + x + 3 Figura N° 2 Cuando corta al eje x un solo punto Cuando existen dos soluciones x f ⎛⎝x⎞⎠ ≔ 1 - x ⋅ e 2 x + ― ⋅ ln ⎛⎝x 2 + 1⎞⎠ - 3 x 2 - 2 x 2 Figura N° 3 Cuando corta al eje x en dos puntos Métodos Numéricos para Ingeniería Química PI - 524 A Ing. José Dávila M. de Bisección M. de Regula - Falsi M. de Punto Fijo M. de Newton- Raphson M. de la Secante Métodos Numéricos para Ingeniería Química PI - 524 A Ing. José Dávila Definición Los métodos cerrados son aquellos donde se requiere que la raíz buscada se encuentre en un interval o (a,b), para ello la gráfica nos sirve para seleccionar el intervalo adecuado. Correcto Incorrecto Nota: Evitar utilizar un intervalo demasiado grande Por ejemplo en la figura adjunta se podría tomar: (-2,4) pero mejor sería (-1,0) Nota: Evitar utilizar un intervalo donde exista una asíntota Métodos Numéricos para Ingeniería Química PI - 524 A Ing. José Dávila Definición El método de Bisección llamado también Método de Bolzano o método del medio intervalo está basado en la sucesiva selección del semi-intervalo donde se encuentra la raíz http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Teor_Bolzano.html x 2 ＝ e -x - ln ⎛⎝x⎞⎠ e -x - ln ⎛⎝x⎞⎠ - x 2 ＝ 0 Métodos Numéricos para Ingeniería Química PI - 524 A Ing. José Dávila x 2 ＝ e -x - ln ⎛⎝x⎞⎠ e -x - ln ⎛⎝x⎞⎠ - x 2 ＝ 0 f ⎛⎝x⎞⎠ ≔ e -x - ln ⎛⎝x⎞⎠ - x 2 f ⎛⎝x⎞⎠ 10 5 -1 0 0 1 2 3 4 -5 -10 -15 x a ≔ 0.7 b ≔ 0.9 Figura N° 4 Diagrama de Flujo 1 ⎛ c≔― ⋅ ⎝a + b⎞⎠ = 0.8 2 f ⎛⎝c⎞⎠ = 0.03247252 f ⎛⎝a⎞⎠ ⋅ f ⎛⎝c⎞⎠ = 0.01179597 Métodos Numéricos para Ingeniería Química PI - 524 A Ing. José Dávila xs ≔ 0.80984212 Métodos Numéricos para Ingeniería Química PI - 524 A Ing. José Dávila El etilbenceno es un líquido inflamable, incoloro, de olor similar a la gasolina. Se le encuentra en productos naturales tales como carbón y petróleo, como también en productos de manufactura como tinturas, insecticidas y pinturas. Fuente: Wikipedia Datos: A ≔ 58.1 B ≔ -6792.54 B A + ―+ C ⋅ ln ⎛⎝T⎞⎠ = 7.7602326 T C ≔ -5.802 D ≔ 5.75 T ≔ 460 B D⋅x f ⎛⎝x⎞⎠ ≔ A + ―+ C ⋅ ln ⎛⎝T⎞⎠ + ―― - ln ⎛⎝x⎞⎠ 2 T T B A + ―+ C ⋅ ln ⎛⎝T⎞⎠ = 7.7602326 T D = 2.7173913 ⋅ 10 -5 ― 2 T Primera raíz Métodos Numéricos para Ingeniería Química PI - 524 A Ing. José Dávila Primera raíz Figura N° 1 Se observa un corte al eje x f ⎛⎝x⎞⎠ Figura N° 2 Ampliando la zona donde esta la raíz f ⎛⎝x⎞⎠ 6 0.24 5.4 0.2 4.8 0.16 4.2 0.12 3.6 0.08 3 0.04 2.4 0 1.8 1.2 -0.6 2200 2400 2600 -0.08 0.6 0 2000 -0.04 -0.12 0 1000 2000 3000 4000 5000 -1.2 -0.16 -0.2 x x Cálculos: 1 Iteración a ≔ 2400 b ≔ 2600 1 ⎛ c≔― ⋅ ⎝a + b⎞⎠ = 2500 2 f ⎛⎝c⎞⎠ = 0.00412138 f ⎛⎝a⎞⎠ ⋅ f ⎛⎝c⎞⎠ = 0.00017403 xc ≔ c 0 2 Iteración a ≔ c = 2500 b ≔ 2600 1 ⎛ c≔― ⋅ ⎝a + b⎞⎠ = 2550 2 f ⎛⎝c⎞⎠ = -0.01432256 f ⎛⎝a⎞⎠ ⋅ f ⎛⎝c⎞⎠ = -0.00005903 3 Iteración a≔a b ≔ c = 2550 f ⎛⎝a⎞⎠ ⋅ f ⎛⎝c⎞⎠ = -0.00002122 Resultados de las tres primeras iteraciones Utilizando un programa: a ≔ 2400 xc ≔ c 1 1 ⎛ c≔― ⋅ ⎝a + b⎞⎠ = 2525 2 xc ≔ c 2 ⎡ 2500 ⎤ xc = ⎢ 2550 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 2525 ⎦ b ≔ 2600 Valores iniciales (asumidos) 2800 3000 Métodos Numéricos para Ingeniería Química PI - 524 A Ing. José Dávila Utilizando un programa: a ≔ 2400 k ≔ 1 ‥ 10 b ≔ 2600 Valores iniciales (asumidos) xs ≔ 2511.0806942 c ≔ B ⎛⎝f , a , b⎞⎠ ⟨⟨3⟩⟩ Métodos Numéricos para Ingeniería Química PI - 524 A Ing. José Dávila ⎡ 1⎤ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3⎥ ⎢ 4⎥ ⎢ 5⎥ k=⎢ ⎥ 6 ⎢ ⎥ ⎢ 7⎥ ⎢ 8⎥ ⎢ 9⎥ ⎢⎣ 10 ⎥⎦ ⎡ 2500 ⎤ ⎢ 2550 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2525 ⎥ ⎢ 2512.5 ⎥ ⎢ 2506.25 ⎥ c =⎢ ⎥ k 2509.375 ⎢ ⎥ ⎢ 2510.9375 ⎥ ⎢ 2511.71875 ⎥ ⎢ 2511.328125 ⎥ ⎢⎣ 2511.1328125 ⎥⎦ c k xs 2550 2545 2540 2535 2530 2525 2520 2515 2510 2505 2500 1 2 3 4 5 k 6 7 8 9 10 NOTA El método de Bisección requiere generalmente un gran número de iteraciones debido que no es "sensible" a la cercanía de la solución. Así mismo el número de decimales que se repiten no es muy grande para un número considerable de iteraciones. Métodos Numéricos para Ingeniería Química PI - 524 A Ing. José Dávila Segunda raíz f ⎛⎝x⎞⎠ f ⎛⎝x⎞⎠ 1.2 0.03 0.9 0.02 0.01 0.6 0 0.3 0 -0.01 20000 50000 80000 110000 140000 170000 200000 151000 152000 153000 154000 -0.02 -0.3 -0.03 -0.6 -0.04 -0.05 -0.9 -0.06 -1.2 -0.07 -1.5 -0.08 -1.8 -0.09 x Utilizando un programa: 150000 a ≔ 153000 x b ≔ 154000 Valores iniciales (asumidos) 155000 Métodos Numéricos para Ingeniería Química PI - 524 A Ing. José Dávila k ≔ 3 ‥ 12 xs ≔ 153985.13889313 c ≔ B ⎛⎝f , a , b⎞⎠ ⎡ 3⎤ ⎢ 4⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 5⎥ ⎢ 6⎥ ⎢ 7⎥ k=⎢ ⎥ 8 ⎢ ⎥ ⎢ 9⎥ ⎢ 10 ⎥ ⎢ 11 ⎥ ⎢⎣ 12 ⎥⎦ ⟨⟨3⟩⟩ ⎡ 153875 ⎤ ⎢ 153937.5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 153968.75 ⎥ ⎢ 153984.375 ⎥ ⎢ 153992.1875 ⎥ c =⎢ ⎥ k 153988.28125 ⎢ ⎥ ⎢ 153986.328125 ⎥ ⎢ 153985.3515625 ⎥ ⎢ 153984.86328125 ⎥ ⎢⎣ 153985.10742188 ⎥⎦ c k xs 153995 153985 153975 153965 153955 153945 153935 153925 153915 153905 153895 153885 153875 3 4 5 6 7 k 8 9 10 11 12 Métodos Numéricos para Ingeniería Química PI - 524 A Ing. José Dávila Datos: m ≔ 1.1 e ≔ 0.001 v≔5 Solución v ＝ c ⋅ ⎛⎝r ⋅ e⎞⎠ 1 ― 2 v c ＝ ――― ⎛⎝r ⋅ e⎞⎠ 87 c ＝ ―――― m 0.552 + ― r . . . . . . . . . ( 2) v 87 ＝ ―――― ――― 1 m ― 0.552 + ― ⎛⎝r ⋅ e⎞⎠ 2 1 ― 2 r 1 ⎛ ―⎞ ⎛ m⎞ 2 ⎜ v ⋅ ⎜0.552 + ―⎟ ＝ 87 ⋅ ⎝⎛⎝r ⋅ e⎞⎠ ⎟⎠ 1 ―⎟ ⎜ 2 r ⎠ ⎝ x＝r . . . . . . . . . ( 1) 1 ― 2 ( 1) en ( 2 ) Haciendo 1 ― 2 1 ⎛ ―⎞ ⎛ m⎞ 2 ⎜ v ⋅ ⎜0.552 + ―⎟ - 87 ⋅ ⎝⎛⎝r ⋅ e⎞⎠ ⎟⎠ ＝ 0 1 ―⎟ ⎜ 2 r ⎠ ⎝ 1 ⎛ ―⎞ ⎛ m⎞ 2 ⎜ v ⋅ ⎜0.552 + ―⎟ - 87 ⋅ ⎝⎛⎝x ⋅ e⎞⎠ ⎟⎠ ＝ 0 1 ―⎟ ⎜ 2 x ⎠ ⎝ 1 ― ⎛ m⎞ 2 f ⎛⎝x⎞⎠ ≔ v ⋅ ⎜0.552 + ―⎟ - 87 ⋅ ⎛⎝x ⋅ e⎞⎠ 1 ―⎟ ⎜ 2 x ⎠ ⎝ f ⎛⎝x⎞⎠ f ⎛⎝x⎞⎠ 18 1 15 0.8 Métodos Numéricos para Ingeniería Química PI - 524 A Ing. José Dávila f ⎛⎝x⎞⎠ f ⎛⎝x⎞⎠ 18 1 15 0.8 12 0.6 9 0.4 6 0.2 3 0 0 -0.2 0 1 2 3 4 5 -3 6 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 -0.4 x a ≔ 3.9 ⎡ “N°” ⎢ 1 ⎢ ⎢ 2 ⎢ 3 ⎢ 4 ⎢ ⎢ 5 ⎢ 6 ⎢ 7 ⎢ 8 ⎢ ⎢ 9 ⎢ 10 ⎛ ⎞ B ⎝f , a , b⎠ = ⎢ 11 ⎢ 12 ⎢ ⎢ 13 ⎢ 14 ⎢ 15 ⎢ 16 ⎢ ⎢ 17 ⎢ 18 ⎢ 19 ⎢ 20 ⎢ ⎢ 21 ⎢⎣ 22 x b ≔ 4.1 “a” “b” “c” 3.9 4 4 4 4 4.00625 4.00625 4.00625 4.00703125 4.00703125 4.00722656 4.00732422 4.00737305 4.00739746 4.00739746 4.00740356 4.00740662 4.00740814 4.00740891 4.00740891 4.00740891 4.007409 4.1 4.1 4.05 4.025 4.0125 4.0125 4.009375 4.0078125 4.0078125 4.00742188 4.00742188 4.00742188 4.00742188 4.00742188 4.00740967 4.00740967 4.00740967 4.00740967 4.00740967 4.00740929 4.0074091 4.0074091 4 4.05 4.025 4.0125 4.00625 4.009375 4.0078125 4.00703125 4.00742188 4.00722656 4.00732422 4.00737305 4.00739746 4.00740967 4.00740356 4.00740662 4.00740814 4.00740891 4.00740929 4.0074091 4.007409 4.00740905 “f(c)” ⎤ 0.00763687 ⎥ ⎥ -0.04367412 ⎥ -0.01808491 ⎥ -0.0052407 ⎥ ⎥ 0.0011939 ⎥ -0.00202444 ⎥ -0.00041553 ⎥ 0.00038912 ⎥ ⎥ -0.00001322 ⎥ 0.00018795 ⎥ 0.00008736 ⎥ 0.00003707 ⎥ ⎥ 0.00001193 ⎥ -0.00000065 ⎥ 0.00000564 ⎥ 0.0000025 ⎥ ⎥ 0.00000093 ⎥ 0.00000014 ⎥ -0.00000025 ⎥ -0.00000006 ⎥ ⎥ 0.00000004 ⎥ -0.00000001 ⎥⎦ k ≔ 1 ‥ 12 c ≔ B ⎛⎝f , a , b⎞⎠ ⟨⟨3⟩⟩ xs ≔ 4.00740905 4 4.1 4.2 Métodos Numéricos para Ingeniería Química PI - 524 A Ing. José Dávila c ≔ B ⎛⎝f , a , b⎞⎠ xs ≔ 4.00740905 ⟨⟨3⟩⟩ ⎡ 1⎤ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3⎥ ⎢ 4⎥ ⎢ 5⎥ ⎢ 6⎥ k=⎢ ⎥ ⎢ 7⎥ ⎢ 8⎥ ⎢ 9⎥ ⎢ 10 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 11 ⎥ ⎣ 12 ⎦ ⎡4 ⎤ ⎢ 4.05 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 4.025 ⎥ ⎢ 4.0125 ⎥ ⎢ 4.00625 ⎥ ⎢ 4.009375 ⎥ c =⎢ ⎥ k ⎢ 4.0078125 ⎥ ⎢ 4.00703125 ⎥ ⎢ 4.00742188 ⎥ ⎢ 4.00722656 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 4.00732422 ⎥ ⎣ 4.00737305 ⎦ r ＝ 4.00740905 ⋅ ft c k xs 4.055 4.05 4.045 4.04 4.035 4.03 4.025 4.02 4.015 4.01 4.005 4 1 2 3 4 5 6 k 7 8 9 10 11 12 f ⎛⎝x⎞⎠ No existe otra raíz 7 0 0 100 200 300 -7 -14 -21 -28 -35 -42 -49 -56 -63 -70 x 400 500 600 -42 Métodos Numéricos para Ingeniería Química PI - 524 A Ing. José Dávila -49 -56 -63 -70 x