Conservación de energía- Séptimo Una cascada en el Parque Yellowstone proporciona un ejemplo de energía en la naturaleza. La energía potencial del agua en la cima se convierte en energía cinética en el fondo. Energía potencial La energía potencial es la habilidad para realizar trabajo en virtud de la posición o condición. m h mg Tierra Ejemplo: Una masa que se mantiene a una distancia h sobre la Tierra. Si se libera, la Tierra puede realizar trabajo sobre la masa: Trabajo = mgh ¡Positivo! ¿Este trabajo es + o - ? Energía potencial gravitacional La energía potencial gravitacional U es igual al trabajo que se puede realizar POR la gravedad debido a la altura sobre un punto específico. U = mgh E.P. gravitacional Ejemplo: ¿Cuál es la energía potencial cuando un bloque de 10 kg se sostiene a 20 m sobre la calle? U = mgh = (10 kg)(9.8 m/s2)(20 m) U = 1960 J El origen de la energía potencial La energía potencial es una propiedad del sistema Tierra-cuerpo. Ninguno tiene energía potencial sin el otro. F mg h . Sólo fuerzas externas pueden agregar o quitar energía. Energía potencial Energía potencial: Habilidad para efectuar trabajo en virtud de la posición o condición. Un peso suspendido Un arco estirado Problema ejemplo: ¿Cuál es la energía potencial de una persona de 50 kg en un rascacielos si está a 480 m sobre la calle? Energía potencial gravitacional ¿Cuál es la E.P. de una persona de 50 kg a una altura de 480 m? E.P. = mgh = (50 kg)(9.8 m/s2)(480 m) E.P. = 235 kJ El Ninja, una montaña rusa en Six Flags de Georgia, tiene una altura de 122 ft y una rapidez de 52 mi/h. La energía potencial debida a su altura cambia a energía cinética de movimiento. Energía Energía es cualquier cosa que se puede convertir en trabajo; es decir: cualquier cosa que puede ejercer fuerza a través de una distancia. Energía es la capacidad para realizar trabajo. Energía cinética Energía cinética: Habilidad para realizar trabajo en virtud del movimiento. (Masa con velocidad) Un auto que acelera o un cohete espacial Ejemplos de energía cinética ¿Cuál es la energía cinética de una bala de 5 g que viaja a 200 m/s? 5g K mv (0.005 kg)(200 m/s) 1 2 2 1 2 200 m/s ¿Cuál K = 100 J es la energía cinética de un auto de 1000 EC g que viaja a 14.1 m/s? 2 2 K 12 mv 12 (1000 kg)(14.1 m/s) K = 99.4 J 2 Fuerzas conservativas Una fuerza conservativa es aquella que hace trabajo cero durante un viaje redondo. El peso es conservativo. F mg h El trabajo realizado por la Tierra en el viaje hacia arriba es negativo, - mgh El trabajo de regreso es positivo, +mgh Trabajo neto = - mgh + mgh = 0 La fuerza de resorte La fuerza ejercida por un resorte también es conservativa. F x m Cuando se estira, el resorte realiza trabajo negativo, - ½kx2. Al liberarse, el resorte realiza trabajo positivo, + ½kx2 Trabajo neto = 0 (conservativa) x m F Fuerzas no conservativas El trabajo realizado por fuerzas no conservativas no se puede restaurar. La energía se pierde y no se puede recuperar. ¡Es dependiente de la trayectoria! B A f A B m f Las fuerzas de fricción son fuerzas no conservativas. Energía potencial almacenada El trabajo realizado por una fuerza conservativa se almacena en el sistema como energía potencial. m x xo La energía potencial es igual al trabajo realizado para comprimir el resorte: F(x) = kx para comprimir Energía potencial de resorte comprimido: El desplazamiento es x U Trabajo 1 2 kx2 Conservación de energía (Fuerzas conservativas) En ausencia de fricción, la suma de las energías potencial y cinética es una constante, siempre que no se agregue energía al sistema. h y v=0 v mg En lo alto: Ep = mgh; EC = 0 En y: Ep = mgy; EC = ½mv2 En y=0: Ep = 0; EC = ½mvf 2 0 vf E = U + K = Constante Energía total constante para un cuerpo que cae h ARRIBA: E = U + K = mgh En cualquier y: E = mgh + ½mv2 K=0 y v Fondo: E = ½mv2 mgh = mgy + ½mv2 = ½mvf2 La E total es la misma en cualquier punto. (Desprecie la fricción del aire) 0 U=0 vf Ejemplo 1: Una bola de 2 kg se libera desde una altura de 20 m. ¿Cuál es su velocidad cuando su altura disminuye a 5 m? 20m Earriba total = E total a 5 m v=0 mgh = mgy + ½mv2 2gh = 2gy + v2 5m v2 = 2g(h - y) = 2(9.8)(20 - 5) v= (2)(9.8)(15) 0 v v = 17.1 m/s Ejemplo 2: Una montaña rusa cae de una altura máxima de 100 ft. ¿Cuál es la rapidez cuando llega a su punto más bajo? Suponga fricción cero: Arriba: U + K = mgh + 0 Abajo: U + K = 0 + ½mv2 La energía total se conserva mgh = ½mv2 v= (2)(32 ft/s2)(100 ft) v = 2gh v = 80 ft/s Conservación de energía en ausencia de fuerzas de fricción La energía total es constante para un sistema conservativo, como la gravedad o un resorte. Comienzo: (U + K)o = Fin: (U + K)f ¿Altura? mgho ¿Resorte? ½kxo2 ¿Velocidad? ½mvo2 = mghf ¿Altura? ½kxf2 ¿Resorte? ½mvf2 ¿Velocidad? Ejemplo 3. El agua en el fondo de una cascada tien una velocidad de 30 m/s después de caer 35 ft. ¿Cuál es la rapidez del agua en lo alto de la cascada? ho = 35 m; vf = 30 m/s2 Primero observe el punto de inicio: lo alto de la cascada. Suponga y = 0 en el fondo para punto de referencia. ¿Altura? ¿Resorte? ¿Velocidad? Sí (35 m) mgho No ½kxo2 Sí (vo) ½mvo2 Ejemplo 3 (Cont.) El agua en el fondo de la cascad tiene una velocidad de 30 m/s después de caer 35 ¿Cuál es la rapidez del agua en lo alto de la cascada? ho = 35 m; vf = 30 m/s2 Luego elija el punto FINAL en el fondo de la cascada: ¿Altura? ¿Resorte? ¿Velocidad? No (0 m) mghf No ½kxf2 Sí (vf) ½mvf2 Ejemplo 3 (Cont.) El agua en el fondo de la cascad tiene una velocidad de 30 m/s después de caer 35 ho = 35 m; vf = 30 m/s2 ¿Cuál es la rapidez del agua en lo alto de la cascada? Energía total arriba = Energía total abajo mgh mv 0 mv 1 2 2 0 1 2 2 f 2 gh v v 2 0 2 f v02 v2f 2 gh (25.8 m/s)2 2(9.8 m/s2 )(33.2 m) v0 14.9 m /s 2 2 vo = 3.86 m/s Ejemplo 4. Una bicicleta con velocidad inicial 10 m/s sube hasta una altura neta de 4 m. ¿Cuál es la velocidad en lo alto, si desprecia la fricción? E(arriba) = E(abajo) vf = ? 4m 1 2 vo = 10 m/s Earriba = mgh + ½mv2 Eabajo = 0 + ½mvo2 mv mgh mv 2 f 1 2 2 0 1 2 v v gh 2 f 1 2 2 0 v v 2gh (10 m/s) 2(9.8 m/s )(4 m) 2 f 2 0 v f 21.6 m2 /s2 2 2 vf = 4.65 m/s Ejemplo 5: ¿Cuánto subirá, sobre el plano inclinado de 30o, el bloque de 2 kg después de liberarse? La constante de resorte es 2000 N/m y se comprime 8 cm. mgho ½kxo 2 ½mvo2 = mghf Fin Inicio ½kxf2 s 30o h ½mvf2 Conservación de energía: ½kxo2 = mghf kx02 (2000 N/m)(0.08m)2 h 2 2mg 2(2 kg)(9.8 m/s ) h = 0.327 m Ejemplo (Cont.): ¿Cuánto subirá, sobre el plan inclinado de 30o, el bloque de 2 kg después de liberarse? La constante de resorte es 2000 N/m y se comprime 8 cm. Continúa: h = 0.327 m = 32.7 cm s= h Inicio s 30o h sen 30o = Fin s = sen 30o 32.7 cm sen 30o s = 65.3 cm h Conservación de energía y fuerzas no conservativas. f Se deben explicar las fuerzas de fricción. La energía todavía se conserva, pero no es reversible. Conservación de energía mecánica (U + K)o = (U + K)f + Pérdidas Estrategias para resolución de problemas 1. Lea el problema; dibuje y etiquete el bosquejo. 2. Determine los puntos de referencia para energía potencial gravitacional y/o resorte. 3. Seleccione un punto de inicio y un punto final y plantee tres preguntas en cada punto: a. ¿Hay altura? U = mgh b. ¿Hay velocidad? K = ½mv2 c. ¿Hay un resorte? U = ½kx2 Resolución de problemas (continuación 4. Aplique la regla para conservación de energía. mgho ½kxo2 ½mvo2 = mghf ½kxf2 ½mvf2 + Trabajo contra fricción: fk x 5. Recuerde usar el valor absoluto (+) del trabajo de fricción. (Pérdida de energía) Ejemplo 6: Una masa m se conecta a una cuerda d longitud L y se mantiene horizontalmente como se muestra. ¿Cuál será la velocidad en el punto B? (d 12 m, L = 20 m) 1. Dibuje y etiquete. 2. Comience en A y termine en B. 3. Referencia U = 0. A L vc B r d 0 (U + K)o =(U + K)f + pérdida mgL + 0 = mg(2r) + ½mvc2 U=0 (Multiplique por 2, simplifique) 2gL - 4gr = vc2 Luego encuentre r de la figura. Ejemplo (Cont.): Una masa m se conecta a una cuerd de longitud L y se mantiene horizontalmente como se muestra. ¿Cuál será la velocidad en el punto B? (d = m, L = 20 m) 2gL - 4gr = vc2 A L vc r=L-d r = 20 m - 12 m = 8 m vc2 =2gL - 4gr = 2g(L - 2r) B r d U=0 vc2 = 2(9.8 m/s2)[20 m - (2)(8 m)] vc = 2(9.8 m/s2)(4 m) vc = 8.85 m/s Ejemplo 7: Una masa m de 2 kg ubicada 10 m sobre el suelo comprime un resorte 6 cm. La constante de resorte es 40,000 N/m y mk = 0.4. ¿Cuál es la rapidez cuando llega al fondo? 2 kg h s 30o n f Inicio mg cos Fin 30o mg sen 30o 30o mg Conservación: mgh + ½kx2 = ½mv2 + fkx (trabajo)f = (mkn) x = mk(mg cos 30o) x continúa . . . Ejemplo (Cont.): Una masa m de 2 kg ubicada 10 m sobre el suelo comprime un resorte 6 cm La constante del resorte es 40,000 N/m y mk = 0.4. ¿Cuál es la rapidez cuando llega al fondo? mgh + ½kx2 = ½mv2 + fkx 2 kg h 10 m x 30o x= 10 m = 20 m sin 30o fkx = mk(mg cos 30o) x fkx = (0.4)(2 kg)(9.8 m/s2)(0.866)(20 m) = 136 J mgh = (2 kg)(9.8 m/s2)(10 m) = 196 J ½kx2 = ½(40,000 N/m)(0.06 m)2 = 72.0 J Ejemplo (Cont.): Una masa m de 2 kg ubicada 10 m sobre el suelo comprime un resorte 6 cm La constante de resorte es 40,000 N/m y mk = 0.4. ¿Cuál es la rapidez cuando llega al fondo? mgh + ½kx2 = ½mv2 + fkx 2 kg h 10 m x mgh = 196 J 30o ½kx2 = 72.0 J fkx = 136 J ½mv2 = mgh + ½kx2 - fkx ½(2 kg) v2 = 196 J + 72 J - 136 J = 132 J v =11.4 m/s Resumen: Ganancias o pérdidas de energía Energía potencial gravitacional U = mgh Energía potencial de resorte U kx Energía cinética K mv Fricción contra trabajo 1 2 1 2 2 2 Trabajo = fx Resumen: Conservación de energía Regla básica para conservación de energía: mgho ½kxo2 ½mvo2 = mghf ½kxf2 ½mvf2 + Trabajo contra fricción: fk x Recuerde usar el valor absoluto (+) del trabajo de fricción. (Pérdida de energía) CONCLUSIÓN: Capítulo 8C Conservación de energía
