MATEMATICA
Ingreso Universitario
GRUPO II
ÍNDICE
ÍNDICE ...................................................................................................................................................1
INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................................5
CONTENIDOS .......................................................................................................................................6
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS .................................................................................................................7
UNIDAD 1: Lógica ..................................................................................................................................8
1.2. La lógica: Introducción .................................................................................................................8
1.2.1. Lógica y Matemática 9
1.3. Lógica Proposicional ....................................................................................................................9
1.3.1. Proposición: Concepto9
1.3.2. Proposiciones Simples y Compuestas. Conectivos Lógicos.
11
1.3.3. Operaciones Lógicas 13
1.3.4. Reglas de prioridad
18
1.4. Ejercicios ................................................................................................................................... 20
UNIDAD 2: Elementos de la Teoría de Conjuntos. ............................................................................... 23
2.1. Introducción ............................................................................................................................... 23
2.2. Definición de un conjunto y notación. Pertenencia. Conjuntos especiales ................................. 25
2.3. Representación Gráfica y Cardinal de un Conjunto. .................................................................. 27
2.4. Relaciones y operaciones entre conjuntos ................................................................................. 28
2.4.1. Inclusión
28
2.4.2. Igualdad
28
2.4.3. Complemento 29
2.4.4. Unión
29
2.4.5. Intersección
29
2.4.6. Diferencia
30
2.5. Conjunto de Partes .................................................................................................................... 32
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2.6. Ejercicios ................................................................................................................................... 34
UNIDAD 3: Conjuntos Numéricos ........................................................................................................ 37
3.1. Introducción ............................................................................................................................... 37
3.2. Números naturales .................................................................................................................... 37
3.3. Números Enteros ....................................................................................................................... 39
3.4. Números Racionales ................................................................................................................. 40
3.4.1. Forma fraccionaria y decimal. Tipos de números decimales.
45
3.5. Números reales ......................................................................................................................... 47
3.5.1. Representación gráfica de los números reales.
3.5.2. Orden en ℝ
48
50
3.6. Operación con números reales. Propiedades ............................................................................ 51
3.6.1. Potenciación en ℝ
52
3.6.2. Radicación en ℝ
54
3.6.3. Operaciones con radicales
3.6.4. Racionalización
57
59
3.6.5. Logaritmo de un Número Real
60
3.6.6. Valor absoluto de un número real
61
3.6.7. Intervalos
62
3.7. Regla de tres simple .................................................................................................................. 65
3.7.1. Regla de tres simple directa 66
3.7.2. Caso especial. Porcentaje.
67
3.7.3. Regla de tres simple inversa. 69
3.8. Ejercicios ................................................................................................................................... 70
UNIDAD 4: Relaciones y Funciones ..................................................................................................... 75
4.2. Introducción ............................................................................................................................... 75
4.3. Preliminares: Pares Ordenados y Relaciones ............................................................................ 75
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4.4. Producto Cartesiano .................................................................................................................. 77
4.5. Relaciones. Dominio e Imagen de una Relación ........................................................................ 78
4.5.1. Dominio e imagen de una relación.
78
4.6. Relación Inversa ........................................................................................................................ 79
4.7. Funciones .................................................................................................................................. 80
4.7.1. Introducción: Situación Problemática 81
4.7.2. Función: Concepto
82
4.7.3. Función Afín. Ecuación Explícita de la Recta.
84
4.7.4. Representación gráfica de una Función Afín dada en forma explícita.
4.7.5. Ecuaciones. Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita.
4.7.6. Representación gráfica de una Función Afín: Análisis.
4.7.7. Rectas Paralelas
86
87
89
91
4.7.8. Rectas Perpendiculares
92
4.7.9. Ecuación de una Recta, dadas la Pendiente y un punto de la misma.
92
4.7.10. Ecuación de una Recta que pasa por dos puntos. 93
4.8. Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos Incógnitas ............................................................... 94
4.8.1. Clasificación de los Sistemas de Ecuaciones Lineales
95
4.9. Métodos de Resolución ............................................................................................................. 96
4.9.1. Método de Sustitución:
96
4.9.2. Método de Determinantes
97
4.10. Función Cuadrática o de Segundo Grado ................................................................................ 99
4.10.1. Ecuación Cuadrática o de Segundo Grado con una Incógnita
4.10.2. Posiciones Relativas respecto de Eje de las Abscisas
4.10.3. Elementos de la Parábola
99
101
102
4.10.4. Ecuación Polinómica, Canónica y Factorizada de la Función Cuadrática 104
4.11. Ejercicios ............................................................................................................................... 107
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UNIDAD 5: Expresiones algebraicas .................................................................................................. 113
5.1. Introducción ............................................................................................................................. 113
5.2. Expresiones Algebraicas ......................................................................................................... 113
5.3. Polinomios. .............................................................................................................................. 114
5.3.1. Definición. Grado. Tipos de polinomios.
115
5.3.2. Clasificación de Polinomios. Polinomio Completo y Ordenado.
5.3.3. Igualdad de polinomios
115
116
5.4. Operaciones con polinomios .................................................................................................... 117
5.4.1. Suma
117
5.4.2. Resta
117
5.4.3. Producto
118
5.4.4. División 119
5.4.5. Regla de Ruffini.
121
5.4.6. Ceros de un polinomio. Teorema del resto. 123
5.5. Factorización de polinomios .................................................................................................... 125
5.5.1. Factor común 125
5.5.2. Factor común por grupo
126
5.5.3. Diferencia de cuadrados
126
5.5.4. Trinomio cuadrado perfecto
126
5.5.5. Cuatrinomio cubo perfecto
128
5.6. Expresiones algebraicas racionales ......................................................................................... 129
5.7. Ejercicios ................................................................................................................................. 132
Bibliografía ......................................................................................................................................... 134
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INTRODUCCIÓN
Estimados estudiantes, comienzan un camino de aprendizajes y de experiencias compartidas, en una
etapa fundamental de sus vidas.
La presente cartilla de Matemática tiene, entre sus finalidades,
brindarles las herramientas necesarias para el cursado de su carrera, como así también un andamiaje
que les permita desarrollar capacidades, como ser, la resolución de problemas, estimular el pensamiento
abstracto, el pensamiento lógico y deductivo, el pensamiento crítico y capacidades de comunicación,
entre otras. También, brindarles una variedad de recursos para facilitarles y acompañarlos en este
proceso de aprendizaje que se realizará de forma semipresencial (cursado virtual y evaluaciones
presenciales). La cartilla de Matemática es un objeto material didáctico de lectura para el alumno, el cual
presenta los contenidos conceptuales (teóricos y prácticos) organizados en unidades y desarrollados a
través de explicaciones, ejemplos, ejercicios resueltos y ejercicios guiados; y al final de cada unidad una
guía de actividades. La guía de actividades pretende servir de complemento y refuerzo para los
aprendizajes de los alumnos.
El curso de Matemática requiere que los estudiantes realicen un trabajo personal de estudio (lectura
compresiva del material brindado y ejercitación) en conjunto con las clases dictadas por los docentes.
Esperamos que este material sea el apropiado para los objetivos planteados por todo el equipo a cargo
de este ingreso.
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CONTENIDOS
UNIDAD 1: Lógica
Variables proposicionales. Proposiciones Simples y Compuestas. Operadores Lógicos:
negación, disyunción, conjunción, condicional y bicondicional.
UNIDAD 2: Elementos de la Teoría de Conjuntos.
Noción intuitiva de conjunto, elemento y pertenencia. Representación de un conjunto por
extensión y por comprensión. Diagramas de Venn. Conjuntos especiales. Inclusión, igualdad.
Operaciones con conjuntos: unión, intersección, complemento. Partes de un conjunto.
UNIDAD 3: Conjuntos Numéricos
Ampliación sucesiva de los conjuntos numéricos: Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales
y Reales. Operaciones con números reales: Suma, resta, multiplicación, división, potenciación
y radicación. Propiedades. Radicales: operaciones de suma, resta, multiplicación y división.
Racionalización. Logaritmo de un número real. Valor Absoluto. Intervalos. Regla de tres
simple directa e inversa.
UNIDAD 4: Relaciones y Funciones
Noción de par ordenado. Producto cartesiano. Relaciones y Funciones. Función de primer
grado. Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Sistemas de dos ecuaciones de primer
grado con dos incógnitas. Función de segundo grado. Ecuaciones de segundo grado con una
incógnita.
UNIDAD 5: Expresiones algebraicas
Polinomios. Operaciones. Regla de Ruffini. Teorema del resto. Factorización de Polinomios.
Expresiones algebraicas fraccionarias.
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SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
La matemática tiene, como las otras ciencias, un lenguaje propio y específico que otorga una forma
exacta y sin ambigüedades a sus contenidos.
Cuando se habla de lenguaje matemático se hace referencia a dos cuestiones diferentes pero
estrechamente vinculadas: por un lado la simbología y por el otro la estructura en que se presentan los
contenidos.
La simbología matemática está repleta de caracteres gráficos ( , , , , , , , , %,
, …) los
cuales se deben conocer para interpretar lo que se quiere decir con ellos. Cada uno de estos símbolos
tiene un significado único no admitiendo sinónimos, de manera que si se sustituye alguno de ellos por
otro diferente, el significado de la expresión matemática se modifica totalmente.
Por otra parte, la presentación de los contenidos matemáticos se realiza mediante enunciados que
se los denomina: Definición, Teorema, Proposición, Demostración, Corolario, etc, cada uno de los cuales
responde a una estructura y características bien diferenciadas.
Es importante que los alumnos se vayan familiarizando con este lenguaje, ya que su desconocimiento
produce errores de construcción y de interpretación.
Algunos de los símbolos empleados con mayor frecuencia son:
“existe al menos uno”
“conjunto vacío”
“para todo”
“ es aproximadamente igual a”
“no”
<
“es menor que”
“y”
>
“es mayor que”
“o”
“es menor o igual que”
Þ
“si….entonces”
“es mayor o igual que”
Û
“si y solo si”
“sumatoria”, símbolo que se emplea para
sintetizar sumas
/
“tal que”
ℕ
Representa
naturales
“pertenece a”
ℤ
Representa al conjunto de los números enteros
“no pertenece a”
ℚ
Representa
racionales.
al
conjunto
de
los
números
“está incluido en”
𝕝
Representa al
irracionales.
conjunto
de
los
números
“no está incluido en”
ℝ
Representa al conjunto de los números reales.
al
conjunto
de
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los
números
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UNIDAD 1: Lógica
1.1. La lógica: Introducción
La lógica es la ciencia que estudia las estructuras del pensamiento.
“Los pájaros vuelan”, “cuarta dimensión”, “Marcianos”, “5 es un número impar”, “si 𝑥 2 = 𝑦 2 , entonces
𝑥 = 𝑦”, “Martín es un amante de la Música”, “1.753 no es divisible por 19”, “El cuadrado de todo
número par, es también un número par”.
Todas estas palabras o frases son expresiones de pensamientos.
Podemos observar, entre esas estructuras, algunas diferencias. Unas son más simples (“cuarta
dimensión”, “Marcianos”…); otras son complejas (“5 es un número impar”, “Martín es un amante de la
Música”, “1.753 no es divisible por 19”…); y otras son más complejas aún (“si 𝑥 2 = 𝑦 2 entonces 𝑥 = 𝑦”,
“El cuadrado de todo número par, es también un número par”…). Cuando analizamos estas diferencias,
ya no nos centramos en lo que se ha pensado en cada caso, sino en la forma que presentan dichos
pensamientos. Por ejemplo, “Martín es un amante de la Música”, “La Música es amada por Martín”. El
hecho de prescindir del contenido y observar solo la forma, esquema o estructura del pensamiento,
constituye el objeto de la lógica.
La lógica no estudia qué es el pensamiento, sino cómo es, qué formas o estructuras
tiene.
La lógica, como toda ciencia, está constituida por pensamientos. Más aún, la lógica es un sistema de
pensamientos acerca de los pensamientos.
Además, pensar, es establecer relaciones. Todas las ciencias se proponen establecer relaciones entre
los objetos que cada una de ellas estudia: por ejemplo, la historia, entre ciertos hechos, la química entre
elementos, la matemática, entre ciertos entes, etc. Las ciencias establecen relaciones, pero la lógica
estudia las relaciones mismas. Las formas del pensamiento matemático no son las mismas que las del
pensamiento histórico, ni las del pensamiento químico; pero igualmente existe muchísimas relaciones
entre estos.
Toda ciencia descansa en la lógica y necesita de ella cuando quiere justificar la legitimidad de las
relaciones que establece.
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1.1.1. Lógica y Matemática
La Matemática es un capítulo de la Lógica y la Lógica es un capítulo de la Matemática.
La lógica, hemos dicho, es la ciencia que estudia esas relaciones llamadas pensamientos. Pero la
matemática ha sido definida como la ciencia que estudia las relaciones formales. La matemática no se
refiere a ningún objeto cuando dice, por ejemplo, 𝑎 + 𝑏 = 𝑐; prescinde de toda referencia a las cosas, y
estudia solo relaciones. Las otras ciencias también estudian relaciones, pero sin prescindir de la
naturaleza de los términos relacionados: por ejemplo, la historia muestra relaciones entre hechos, sin
olvidar los hechos mismos; e igualmente la física y la química, la biología, etc.
La única diferencia entre lógica y matemática parece residir en que la lógica estudia los pensamientos,
investigando su estructura y considerándolos como objetos; la matemática, en cambio, estudiaría las
relaciones mismas, prescindiendo del pensamiento, y considerando que esas relaciones no se refieren
a nada.
La matemática, por otra parte, no trabaja exclusivamente solo con formas vacías. No es sólo eso, es
también ciencia de relaciones numéricas: se refiere a los números. Si prescinde hasta de esa referencia,
y de toda referencia a objetos, y estudia simplemente estructuras, entonces deja de ser matemática para
convertirse en lógica.
1.2. Lógica Proposicional
En la lógica proposicional consideraremos dos elementos básicos: Proposiciones y Conectivos lógicos.
1.2.1. Proposición: Concepto
Toda ciencia se estructura mediante proposiciones, que dan sentido al desarrollo de sus investigaciones,
teorías y conocimientos en el contexto de sus propios quehaceres científicos.
La pregunta que surge inmediatamente es: ¿A qué llamamos proposición? Para la lógica se llama
proposición a toda oración declarativa (en contraste con las oraciones interrogativas, exclamativas o
imperativas) respecto de la cual tiene sentido decidir si ésta es Verdadera (𝑽) o Falsa (𝑭). Por ejemplo,
son proposiciones:
1. 3 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 (𝑽)
2. 1,5 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 (𝑭)
3. 𝐽𝑜𝑟𝑔𝑒 𝐿𝑢𝑖𝑠 𝐵𝑜𝑟𝑔𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖ó 𝐸𝑙 𝐴𝑙𝑒𝑝ℎ (𝑽)
4. −1 + 4,5 = 3,5 (𝑽)
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Para Pensar
Toda proposición es una
oración, pero ¿toda oración
es una proposición? ¿Por
qué?
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________________
__________________________________________________
Las siguientes expresiones, ¿son proposiciones? Intenta justificar tu respuesta.
1. 𝑥 + 𝑦 > 5 __________________________________________________________________________________________________
2. ¿ 𝑇𝑒 𝑣𝑎𝑠? _____________________________________________________________________________________________________
3. 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑛𝑐𝑜 𝑎𝑧𝑢𝑙𝑒𝑠 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜 𝑟𝑜𝑗𝑎𝑠. ____________________________________________________________________
4. ¡ 𝑄𝑢é 𝑠𝑢𝑒𝑟𝑡𝑒! ¡ 𝐺𝑎𝑛é 𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑏𝑖𝑛𝑔𝑜! _______________________________________________________________________
Una oración debe ser expresada en cierto lenguaje, oral o escrito, y su forma dependerá de las leyes
gramaticales de ese lenguaje. En general, las leyes gramaticales que utilizamos corrientemente no son
suficientes para caracterizar completamente las proposiciones. Por ejemplo, “Ayer llovió” es una
proposición que depende del lugar y fecha en que fue enunciada. Así podría ser la proposición “el 7 de
Diciembre del año 2010 llovió en Santiago del Estero” o también la proposición “el 25 de Noviembre de
2005 llovió en Resistencia, Chaco”.
Otro ejemplo sería “esta mesa es marrón”, que supone que el que la enuncia está indicando algún
objeto no explicitado en el lenguaje. Al referirnos a Proposiciones supondremos que hemos eliminado
todas estas ambigüedades.
Definiremos entonces como proposición, a toda expresión lingüística que tiene una
función informativa: afirma o niega algo, y tiene sentido decir de ella que es verdadera
o falsa.
Simbolización:
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Las proposiciones están siempre expresadas en un lenguaje coloquial (como vimos en los ejemplos)
pero la lógica tiene su propio lenguaje: el lenguaje simbólico.
Las proposiciones se representan con las letras 𝒑, 𝒒, 𝒓...... que se denominan Variables
Proposicionales y los Conectivos Lógicos (los cuales detallaremos más adelante) con los signos: ~,
∨, ∧, ⇒, ⇔, u otros, según las convenciones adoptadas por cada autor.
Valor de Verdad:
Al valor de verdad de una proposición 𝒑 (cualquiera) la notaremos con 𝑽 o 𝑭, según esta sea
verdadera o falsa respectivamente. Por ejemplo:
𝒑: “𝑀𝑜𝑧𝑎𝑟𝑡 𝑓𝑢𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑠𝑖𝑐𝑎𝑙”. 𝑽 (Proposición verdadera)
𝒒: “9 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜”. 𝑭 (Proposición falsa)
1.2.2. Proposiciones Simples y Compuestas. Conectivos Lógicos.
Veamos en primer lugar qué es un conectivo lógico (o también llamado término de enlace).
Un conectivo lógico es una expresión lingüística que, aplicado a uno o dos enunciados, permite obtener
un enunciado más complejo. Estas expresiones gramaticales o conectivos lógicos son: “𝑦”, “𝑜”, “𝑛𝑜”,
“𝑠𝑖. . . , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠. .. ”, “ … 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 …”, entre otros.
El conectivo lógico “𝒏𝒐” se denomina monádico, pues afecta a una única proposición. Los restantes
conectivos se denominan diádicos o binarios pues permiten vincular dos o más proposiciones.
De este modo, a partir de ciertas proposiciones, se pueden formar otras proposiciones más complejas.
Veremos que, cada una de estas conectivas se representan mediante símbolos, al igual que utilizamos
letras para representar proposiciones.
Por otra parte, las proposiciones se dividen en dos grupos, las simples o atómicas, y las compuestas o
moleculares.
Proposiciones Simples o Atómicas: son aquellas que no contienen dentro de sí, ninguna otra
proposición (oraciones que no contienen términos de enlace). Por ejemplo:
𝒑: “𝐸𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑖𝑛𝑐𝑜 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜”.
𝒒: “𝐿𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑙𝑙𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑚𝑎𝑚í𝑓𝑒𝑟𝑜𝑠”.
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Proposiciones Compuestas o Moleculares: son aquellas que contienen dentro de sí una o más
otras proposiciones simples, unidas entre sí mediante términos de enlace, o también llamados
Conectivos Lógicos.
Veamos algunos ejemplos de proposiciones compuestas:
1. "𝐻𝑢𝑏𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑦 𝑒𝑙𝑖𝑔𝑖𝑒𝑟𝑜𝑛 𝑎 𝑅𝑜𝑑𝑟í𝑔𝑢𝑒𝑧”
Esta proposición (compuesta) contiene las siguientes proposiciones simples:
𝒑: “𝐻𝑢𝑏𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠”
𝒒: “𝑠𝑒 𝑒𝑙𝑖𝑔𝑒 𝑎 𝑅𝑜𝑑𝑟í𝑔𝑢𝑒𝑧”,
las cuales se encuentran unidas mediante el término de enlace “y”, que representa a una
Operación Lógica denominada Conjunción.
NOTA: MÁS ADELANTE, SE PRESENTARÁN CADA UNO DE LOS CONECTIVOS LÓGICOS QUE PERMITEN
CONSTRUIR PROPOSICIONES COMPUESTAS. LAS PROPOSICIONES SIMPLES, SE ESCRIBEN EN 1° PERSONA Y EN
PRESENTE.
2. “𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛”
Esta proposición contiene dentro de sí a la proposición
𝒑: “𝑙𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛”,
y el término de enlace “No es cierto que…” (se está negando una afirmación), que representa a
una Operación Lógica llamada Negación.
3. “𝑆𝑖 𝑚𝑒 𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑟𝑎𝑛𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑟é 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑟𝑎𝑛𝑜 𝑎𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜”
Las proposiciones simples o atómicas componentes son:
𝒑: “𝑚𝑒 𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑟𝑎𝑛𝑜”
𝒒: “𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑟é 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑟𝑎𝑛𝑜 𝑎𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜”,
y la expresión que conecta las mismas es: “Si… entonces…”. Esta expresión representa a otra
operación lógica llamada Condicional.
Vamos a presentar y a definir en la siguiente sección cada una de las operaciones lógicas asociadas a
las conectivas lógicas, que son las que permiten obtener enunciados compuestos (es decir,
proposiciones compuestas).
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1.2.3. Operaciones Lógicas
Analicemos ahora el siguiente cuadro, donde presentamos a cada una de las operaciones lógicas, los
diferentes términos de enlace que las caracterizan, los símbolos con que se representan, ejemplos y
sus formas simbólicas y coloquiales:
Operación
Lógica
Conectivos Lógicos
Negación
No…; No es cierto
que…; Nunca…; Jamás
ocurre que…; Es falso
que, …etc.
~
Conjunción
… y …; … pero ….; …
aunque …; etc.
∧
Disyunción
… o …. ; o ...,o …. ; O
bien ….., o bien …
… a menos que …..
∨
Si… entonces….;
Cuando …, …
……. Sólo si ………
⇒
Implicación o
Condicional
Doble
… si y solo sí … ; …
Implicación o cuando y sólo cuando
Bicondicional …
Símbolo
⇔
Ejemplos
El 9 no es un número
primo.
No es cierto que Juan sea
estudioso.
Juan es amable y cordial.
Mónica está triste aunque
emocionada.
Estudiaré música o canto
coral.
O me compro la remera o
me compro el jeans.
Si llueve entonces habrá
cosecha.
Si estudio, aprobaré.
Me compraré un auto si y
solo sí trabajo mucho.
Forma
Simbólica
~𝒑
𝒑 ∧ 𝒒
𝒑 ∨ 𝒒
𝒑 ⇒ 𝒒
𝒑 ⇔ 𝒒
Vamos a detenernos puntualmente en cada una de las operaciones lógicas, definiendo las mismas y
enunciando sus valores de verdad.
Negación: La negación es una Operación Monádica, ya que solo afecta a un enunciado o
proposición. Toma como argumento una proposición y arroja como valor lo contrario de la
proposición. La negación de una proposición, representada por la variable 𝒑, es la proposición
compuesta “𝒏𝒐 𝒑”, que se simboliza 𝒑.
Evidentemente, el signo "~" simboliza al “𝒏𝒐”, o a cualquier forma de negación del lenguaje natural.
Opera invirtiendo el valor del argumento: si 𝒑 es verdadera entonces, ~𝒑 es falsa y si 𝒑 es falso,
entonces ~𝒑 es verdadero. Su esquema de Valores de Verdad en forma de tabla (Tabla de Verdad
de la Negación) es:
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𝒑
~𝒑
𝑉
𝐹
𝐹
𝑉
Por ejemplo:
𝒑: 𝐻𝑜𝑦 𝑙𝑙𝑢𝑒𝑣𝑒.
~𝒑: 𝐻𝑜𝑦 𝑛𝑜 𝑙𝑙𝑢𝑒𝑣𝑒.
Conjunción: Sean 𝒑 y 𝒒 dos proposiciones cualesquiera. La conjunción de las proposiciones 𝒑 y 𝒒
(llamadas conjuntivos para este caso) es la proposición compuesta “𝒑 𝒚 𝒒”, que se simboliza
𝒑 ∧ 𝒒.
El signo " ∧ " simboliza al conectivo lógico “𝒚”, o a cualquier forma de conjunción del lenguaje natural.
Además, como la conjunción permite vincular dos proposiciones simples (o atómicas) se trata de una
operación binaria.
La conjunción de dos proposiciones atómicas es verdadera sólo cuando ambas proposiciones lo son.
Caso contrario, la conjunción será falsa. Luego, Tabla de Valores de Verdad para la Conjunción está
dada por:
𝒑
𝒒
𝒑∧𝒒
𝑉
𝑉
𝑉
𝑉
𝐹
𝐹
𝐹
𝑉
𝐹
𝒑: 𝐿𝑙𝑢𝑒𝑣𝑒.
𝐹
𝐹
𝐹
𝒒: 𝑀𝑒 𝑚𝑜𝑗𝑜
Por ejemplo, la proposición:
“𝐿𝑙𝑢𝑒𝑣𝑒 𝑦 𝑚𝑒 𝑚𝑜𝑗𝑜”
es verdadera cuando las proposiciones atómicas:
son (ambas) verdaderas.
Disyunción: Sean 𝒑 y 𝒒 dos proposiciones cualesquiera. La disyunción de las proposiciones 𝒑 y
𝒒 (llamadas disyuntivos para este caso) es la proposición compuesta “𝒑 𝒐 𝒒”, que se simboliza 𝒑 ∨ 𝒒.
El signo " ∨ " simboliza al conectivo lógico “𝒐”, o a cualquier forma de disyunción del lenguaje natural.
Además, como la disyunción permite vincular dos proposiciones simples (o atómicas) se trata de una
operación binaria.
Por ejemplo:
“𝐿𝑎 𝑐𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑒𝑠 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎 𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑟𝑒𝑐𝑖é𝑛 𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑑𝑎”
En este ejemplo, puede ocurrir que la proposición 𝒑: “𝐿𝑎 𝑐𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑒𝑠 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎” sea verdadera y
que la proposición 𝒒: “𝐿𝑎 𝑐𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡á 𝑟𝑒𝑐𝑖é𝑛 𝑝𝑖𝑛𝑡𝑎𝑑𝑎” también sea verdadera. En dicho caso,
la disyunción será verdadera. Pero también puede ocurrir que la proposición 𝒑 sea verdadera y 𝒒
falsa, o al revés, 𝒑 falsa y 𝒒 verdadera. En esos casos y para este ejemplo, la disyunción será
igualmente verdadera, pues basta con que se cumpla una de las proposiciones componentes para
que la disyunción se cumpla. Este tipo de disyunción se denomina Disyunción Inclusiva.
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La Tabla De Valores De Verdad de la Disyunción (Inclusiva) es:
𝒑
𝒒
𝒑∨𝒒
𝑉
𝑉
𝑉
las dos proposiciones que la conforman, también
𝑉
𝐹
𝑉
lo son. En todo otro caso, es verdadera.
𝐹
𝑉
𝑉
𝐹
𝐹
𝐹
Conclusión: La disyunción es falsa solo cuando
NOTA: EXISTE OTRO TIPO DE DISYUNCIÓN, DENOMINADA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA, QUE ES VERDADERA
CUANDO UNA Y SÓLO UNA DE LAS PROPOSICIONES SIMPLES QUE LA COMPONEN ES VERDADERA. POR
EJEMPLO: “HOY ES MIÉRCOLES O JUEVES” (PUES NO SE PUEDEN DAR AMBAS COSAS A LA VEZ). EN LA
PRÁCTICA, TRABAJAREMOS CON LA DISYUNCIÓN DE TIPO INCLUSIVA.
Condicional: Sean 𝒑 y 𝒒 dos proposiciones cualesquiera, llamamos condicional a la proposición
compuesta que se obtiene al enunciar:
𝑆𝑖 𝒑 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝒒
Es decir, el condicional es una operación diádica, pues permite vincular dos proposiciones simples
mediante el conectivo lógico “𝑆𝑖 … , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 …”. Se simboliza 𝒑 ⟹ 𝒒.
Por ejemplo, la proposición compuesta:
“𝑺𝒊 𝑚𝑒 𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑟𝑎𝑛𝑜, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑟é 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑜𝑐ℎ𝑜”
es una proposición condicional, donde la expresión “𝑆𝑖 … 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 …” es el conectivo lógico que
relaciona las proposiciones simples “𝑚𝑒 𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑟𝑎𝑛𝑜” y “𝑡𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑜𝑐ℎ𝑜”.
Dado el condicional 𝒑 ⇒ 𝒒, a la proposición que representa 𝒑 se llama antecedente del condicional y
la proposición que representa 𝒒 se llama consecuente del condicional.
En el ejemplo anterior, el antecedente es la proposición “me levanto temprano” y el consecuente es
la proposición “tomo el tren de las ocho”.
Vemos que, si es cierto (verdadero) que me levanto temprano pero no es cierto (falso) que tomo el
tren de las ocho, diremos que el condicional es falso. Es decir, si el antecedente es verdadero pero
el consecuente es falso, el condicional será falso. Analicemos la Tabla de Valores de Verdad para
el Condicional, con el ejemplo brindado:
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𝒑
𝒒
𝒑⟹𝒒
𝑉
𝑉
𝑉
𝑉
𝐹
𝐹
𝐹
𝑉
𝑉
𝐹
𝐹
𝑉
Siguiendo el ejemplo, un condicional 𝒑 ⇒ 𝒒 es verdadero cuando:
Las proposiciones “me levanto temprano” y “tomo el tren de las
ocho”, son verdaderos. Es decir, tanto antecedente como
consecuente son verdaderos.
La proposición “me levanto temprano” es falsa pero la
proposición “tomo el tren de las ocho” es verdadera. Es decir, el
antecedente es falso pero el consecuente es verdadero.
La proposición “me levanto temprano” es falsa y, al mismo
tiempo, la proposición “tomo el tren de las ocho” también es falsa.
Es decir, tanto antecedente como consecuente son falsos.
Otras formas de expresar proposiciones enunciadas mediante un condicional (siendo 𝒑 el
antecedente y 𝒒 el consecuente) son:
“𝑆𝑖 𝒑, 𝒒”
“𝒒, 𝑠𝑖 𝒑”
“𝒑 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝒒”
“𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝒑, 𝒒”
Bicondicional: Sean 𝒑 y 𝒒 dos proposiciones cualesquiera, llamamos bicondicional a la
proposición compuesta que se obtiene al enunciar:
𝒑 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝒒
Al igual que el condicional, el bicondicional es una operación diádica, pues permite vincular dos
proposiciones simples mediante el conectivo lógico “𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖”. Se simboliza 𝒑 ⟺ 𝒒.
El Bicondicional sólo es verdadero cuando las proposiciones 𝒑 y 𝒒 tienen el mismo valor de verdad
(o ambas son simultáneamente verdaderas o simultáneamente falsas). Así, la Tabla De Valores De
Verdad del Bicondicional es:
𝒑
𝒒
𝒑⟺𝒒
𝑉
𝑉
𝑉
𝑉
𝐹
𝐹
𝐹
𝑉
𝐹
𝐹
𝐹
𝑉
Ejemplos de proposiciones enunciadas mediante un
bicondicional:
𝑈𝑛𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑡𝑟𝑖á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑦 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠.
𝐴𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑟é 𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑡𝑎 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 6.
Además, 𝒑 ⟺ 𝒒 puede aparecer expresada en lenguaje coloquial como:
“𝒑 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝒒”
“𝒑 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑦 𝑠𝑢𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝒒”
“𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝒒 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝒑”
“𝒑 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝒒”
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Para Pensar
𝒑 ∧ 𝒒 ………………………………....
Teniendo en cuenta las
definiciones de operación
monádica y diádica, las
siguientes expresiones ¿son
correctas? ¿Por qué?
∧ 𝒑 ⟹ 𝒒 ……………………………..
~𝒑 ∨∼ 𝒒 ………………………….....
𝒑 ⟺∨ 𝒒 ……………………………..
𝒑 ∼ 𝒒 ………………………………...
EJERCICIO RESUELTO
Sea la proposición compuesta:
“𝑺𝒊 𝑒𝑙 𝑙𝑢𝑛𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑑𝑒𝑏𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑓𝑖𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎 𝒚 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑛𝑠𝑎𝑟
𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑐ℎ𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑣𝑖𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛”.
Si queremos expresarla en lenguaje simbólico debemos:
1. Identificar los conectivos lógicos que nos definirán las operaciones lógicas involucradas:
Conectivo Lógico: “𝑺𝒊 … . , 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔”; Símbolo: ⟹ ;
Conectivo Lógico: “𝒚”;
Símbolo: ∧ ;
Operación Lógica: Condicional
Operación Lógica: Conjunción
2. Determinar las proposiciones simples vinculadas: En este caso son tres
𝒑: 𝐸𝑙 𝑙𝑢𝑛𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙.
𝒒: 𝑬𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑙 𝑓𝑖𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎.
𝒓: 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑎𝑛𝑠𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑐ℎ𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑣𝑖𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛.
NOTA: RECUERDE QUE AL MOMENTO DE INDICAR LAS PROPOSICIONES SIMPLES, ÉSTAS DEBEN SER
EXPRESIONES DE LAS CUÁLES TENGA SENTIDO DECIR SI SON VERDADERAS O FALSAS Y NUNCA DEBEN
APARECER LOS TÉRMINOS DE ENLACE EN ELLAS. EN EL EJEMPLO, NO SERÍA CORRECTO ESCRIBIR
“𝒓: 𝑦 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑛𝑠𝑎𝑟 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑐ℎ𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑣𝑖𝑎 𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑐𝑖Ó𝑛”.
3. Simbolizar: Teniendo en cuenta la denotación de las proposiciones simples y las operaciones
lógicas identificadas, se tiene:
𝒑⟹𝒒∧𝒓
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EJERCICIO GUIADO
Expresar la siguiente proposición en lenguaje simbólico:
𝐴𝑙𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑛𝑜 𝑖𝑟á ℎ𝑜𝑦 𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑒 𝑎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎ñ𝑎𝑟á 𝑚𝑎ñ𝑎𝑛𝑎 𝑎𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜
𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑚𝑎ñ𝑎𝑛𝑎 𝑒𝑠𝑡á 𝑓𝑟í𝑜 𝑜 𝑙𝑙𝑜𝑣𝑖𝑧𝑛𝑎.
Te ayudamos brindándote algo de información y teniendo en cuenta lo explicado en el ejercicio
resuelto:
1. Identificar los conectivos lógicos que nos definirán las operaciones lógicas involucradas:
Conectivo Lógico: “………………………”; Símbolo: …. ;
Operación Lógica: ………………...
Conectivo Lógico: “………………………”; Símbolo: …. ;
Operación Lógica: ………………...
Conectivo Lógico: “………………………”; Símbolo: …. ;
Operación Lógica: ………………...
Conectivo Lógico: “………………………”; Símbolo: …. ;
Operación Lógica: ………………...
2. Determinar las proposiciones simples vinculadas: En este caso son cuatro
𝒑:……………………………………………………………
𝒒:……………………………………………………………
𝒓: ……………………………………………………………
𝒔: ……………………………………………………………
3. Simbolizar: Tener en cuenta la denotación de las proposiciones simples y las operaciones lógicas
identificadas.
1.2.4. Reglas de prioridad
Existe un nivel jerárquico entre los conectivos lógicos (y por ende entre las operaciones lógicas), similar
al que estudiamos entre las operaciones aritméticas. Los operadores tienen unas prioridades
preestablecidas, es decir, que si en una expresión hay que resolver varias operaciones, cada parte se
evaluará y resolverá en un cierto orden. Si es necesario alterar ese orden, se puede recurrir a escribir
las distintas partes de la expresión entre paréntesis, lo que provoca que se ejecuten antes que las partes
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que no estén entre ellos. No obstante, las operaciones escritas dentro de los paréntesis continuarán
ejecutándose en el orden de prioridad de los distintos operadores.
Veamos los niveles desde el más bajo al más alto, de resolución de operaciones lógicas:
Nivel 1: ~
Nivel 2: ∧, ∨
Nivel 3: ⟹
Nivel 4: ⇔
Por ejemplo:
1. En la expresión 𝒑 ⟹ 𝒒 ∨ 𝒓 , como el condicional es la operación más fuerte, es lo último que
se resuelve. De este modo, la disyunción será la primera.
2. En la expresión 𝒑 ⟺ 𝒒 ⟹ 𝒓 , la operación más fuerte es el Bicondicional, con lo que será lo
último que se resuelva.
3. En la siguiente expresión (𝒑 ⟺ 𝒒 ) ⟹ 𝒓 , el paréntesis le da fuerza al condicional. Por lo
que será lo predominante, y lo último en resolverse.
EJERCICIO RESUELTO
Dada la expresión ∼ 𝒑 ⟹ 𝒒 ∧ ~𝒓 ∨ 𝒒 ⟺ 𝒔, si queremos hacer prevalecer una operación sobre otra/s,
debemos colocar paréntesis cuando se necesario. Coloquemos paréntesis (si es necesario) para que
la operación más fuerte sea:
Una negación: ∼ ( 𝒑 ⟹ 𝒒 ∧ ~𝒓 ∨ 𝒒 ⟺ 𝒔 )
Una conjunción: ( ∼ 𝒑 ⟹ 𝒒) ∧ (~𝒓 ∨ 𝒒 ⟺ 𝒔 )
Una disyunción: ( ∼ 𝒑 ⟹ 𝒒 ∧ ~𝒓) ∨ (𝒒 ⟺ 𝒔 )
Un condicional: ∼ 𝒑 ⟹ (𝒒 ∧ ~𝒓 ∨ 𝒒 ⟺ 𝒔 )
Un Bicondicional: ∼ 𝒑 ⟹ 𝒒 ∧ ~𝒓 ∨ 𝒒 ⟺ 𝒔
En este caso no es necesario utilizar
paréntesis, pues el bicondicional ya
es la operación más fuerte.
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1.3. Ejercicios
1.- Indicar cuales de las siguientes oraciones son proposiciones. En caso afirmativo, indicar su valor
de verdad.
a. 2, 3, 5 y 7 son números primos.
b. La suma de dos números pares siempre es par.
c. La suma de dos números impares es siempre impar.
d. ¿Existe la injusticia?
e. 12 + 3 = 5
f. x + 3 = 5
g. El sol es un planeta.
h. La Luna es el satélite natural de la Tierra.
i. ¡Ojalá llueva!
j. San Martín descubrió América.
k. El número 1 es irracional.
l. Por favor estudien.
m. ¿Puedo llegarme hasta tu casa?
n. Es necesario que resuelva bien más de la mitad de los ejercicios para que apruebe el trabajo
práctico.
o. La silla es de madera.
2.- Dadas las siguientes proposiciones compuestas (o moleculares), indicar las proposiciones simples
que la componen, el o los conectivos lógicos y simbolizar.
a. Comprendo tus puntos de vista, pero no los comparto.
b. O me ayudas con el trabajo, o tendré que llamar a otra persona.
c. Si Carlos logra convencer a Jorge, lo consideraré un gran orador.
d. No es cierto que Jorge es secretario y sobrino del juez.
e. No es cierto que el número 2 no es par.
f. Hay cosecha si y solo si llueve.
g. Mariano está triste o preocupado.
h. Si se compran las computadoras entonces podremos organizar el archivo.
i. Iré de vacaciones solo si tú me acompañas.
j. Si me voy de vacaciones, no podré realizar el trabajo.
k. No estudio.
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l. Cuando Pedro llegue al trabajo será notificado de las últimas novedades o, se encargará de las
tareas del día.
3.- Sean las proposiciones:
𝒑: “𝐸𝑙 𝑎𝑢𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝐵𝑠 𝐴𝑠”.
𝒒: “𝐸𝑙 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑢𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟”.
𝒓: “𝐸𝑙 𝑎𝑢𝑡𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜”.
Expresar en forma coloquial las siguientes proposiciones dadas en forma simbólica.
a. 𝒒 ⇒ 𝒑
b. ~𝒒 ⇒ 𝒓
c. 𝒓 ⇒ 𝒑 ∨ 𝒒
4.- Sean las proposiciones:
𝒑: 𝐻𝑎𝑐𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟
𝒒: 𝑉𝑜𝑦 𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑛𝑐𝑎
𝒓: 𝑇𝑒𝑛𝑔𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
Simbolizar, usando conectivos lógicos, las siguientes proposiciones:
a. Si no hace calor y tengo tiempo entonces iré a la finca.
b. Iré a la finca sólo si tengo tiempo.
c. No está haciendo calor.
d. Está haciendo calor, y no iré a la finca.
5.- Colocar paréntesis (si fuera necesario) para que la fórmula lógica corresponda a la proposición
que se indica en cada caso:
a. Condicional:
𝒑 ∨ 𝒒 ⇒ 𝒓 ∧ 𝒑
e. Bicondicional: ~𝒑 ⟺ 𝒒 ⟹ 𝒓
b. Conjunción:
𝒑 ∧ 𝒒 ⇒ 𝒓 ∨ 𝒔
f. Negación:
c. Negación:
d. Disyunción:
∼ 𝒑 ⇒ 𝒒 ∧ 𝒓
g. Disyunción:
∼ 𝒑 ∧ (𝒒 ⇒ 𝒓)
𝒑 ∧ 𝒒 ∨ 𝒓
𝒑 ⇒ 𝒒 ∨ 𝒓
6.- Si los valores de verdad de "𝒑", "𝒒" y "𝒓" son 𝑽, 𝑭 y 𝑽 respectivamente, hallar el valor de verdad de
las siguientes proposiciones:
a. 𝒑 ∧ 𝒓
c. 𝒒 ∧ (𝒓 ∨ 𝒑)
b. 𝒒 ∨ ∼ 𝒒
d. 𝒓 ∨ ∼ (𝒑 ∨ 𝒒)
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7.- Si los valores de verdad de "𝒎", "𝒕" y "𝒔", son 𝑭, 𝑽 y 𝑽 respectivamente, hallar el valor de verdad
de cada una de las siguientes proposiciones:
a. 𝒎 ⇒ 𝒕
b. (𝒕 ⇒ ~𝒔 ) ∧ 𝒎
c. 𝒎 ⇔ ∼ 𝒔
d. (𝒔 ⇔ 𝒎) ∨ ∼ (𝒕 ⇒ 𝒎)
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UNIDAD 2: Elementos de la Teoría de Conjuntos.
2.1. Introducción
La teoría de conjuntos es una parte de la matemática que tiene su propio objeto de estudio: los conjuntos
y las relaciones que se pueden obtener entre ellos, llamadas operaciones. Esta teoría se relaciona con
todas las otras teorías de la matemática tradicional, lo que la hace fundamental para el estudio de las
ciencias exactas.
Las definiciones de conjunto y elemento en matemática, suelen aceptarse como términos "indefinidos",
es decir, sus definiciones responden a la intuición. Podemos decir que un conjunto es una colección de
objetos, que se llaman elementos, pero esto no corresponde con una definición formal del concepto.
Pensemos el siguiente ejemplo: Vamos a ver algunos de los contenidos que se dictan en las materias
que cada carrera tiene en su primer año:
En el primer año de las carreras de ingeniería algunos de los contenidos que se estudian corresponden
a la rama del Álgebra, Geometría analítica, Análisis, Física y Química. El profesorado en matemática
desarrolla algunos contenidos de Lógica, Álgebra, Análisis, Geometría analítica y Geometría Euclidiana.
Las carreras de informática tienen, entre otros, contenidos de Lógica, Álgebra, Análisis y Fundamentos
de la programación. Aunque las materias y sus dictados varían de una carrera a otras, podemos hacer
un listado de los contenidos que se desarrollan en cada carrera a fin de poder establecer comparaciones
entre ellos.
Carreras de ingeniería
Prof. en matemática
Carreras de informática
Álgebra
Análisis
Geometría analítica
Física
Química
Álgebra
Análisis
Geometría analítica
Geometría euclidiana
Lógica
Álgebra
Análisis
Fundamentos de la
programación
Lógica
Basándonos en este listado podemos hacer varias observaciones, por ejemplo, que Química se estudia
solamente en las carreras de ingeniería, o que Física no se dicta en las carreras de informática. También
podemos decir que los contenidos de Álgebra son comunes en todas las carreras, Lógica está presente
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tanto en las carreras de informática como en el profesorado en matemática, pero Fundamentos de la
Programación es una materia exclusiva de las carreras de informática.
INGENIERÍA
MATEMÁTICA
INFORMÁTICA
S
◦ ÁLGEBRA
◦ ANÁLISIS
◦ GEOM. ANALÍTICA
◦ FÍSICA
◦ QUÍMICA
◦ ÁLGEBRA
◦ ANÁLISIS
◦ GEOM. ANALÍTICA
◦ GEOM. EUCLID.
◦ LÓGICA
◦ ÁLGEBRA
◦ ANÁLISIS
◦ FUND. DE LA PROG.
◦ LÓGICA
En el gráfico anterior, quedan representadas cada una de las carreras con sus contenidos. Sin embargo,
podemos expresar la misma situación con un diagrama que nos muestra de manera más evidente cuáles
son los contenidos que las carreras tienen en común y cuáles no.
INGENIERÍA
MATEMÁTICA
S
◦ FÍSICA
◦ QUÍMICA
◦ GEOM.
◦ GEOM.
ANALÍTICA
EUCLIDIANA
◦ ÁLGEBRA
◦ ANÁLISIS
◦ LÓGICA
◦ FUNDAM. DE LA
PROGRAMACIÓN
INFORMÁTICA
Observemos que, cada círculo representa una carrera y encierra en su interior los contenidos que se
dictan, sin necesidad de repetirlos, pues los que son comunes a más de una carrera, quedan encerrados
por más de un círculo.
Nuestro objetivo, es formalizar estas nociones de “estar o no” en un conjunto, “lo que tienen en común”,
los que “no están incluidos”, “lo que es exclusivo” de cada uno, etc., y además aprender a representarlas
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de manera gráfica y coloquial para poder hacer cálculos con ellos. Veamos las primeras definiciones y
seguiremos retomando el ejemplo a lo largo del desarrollo.
2.2. Definición de un conjunto y notación. Pertenencia. Conjuntos
especiales
Para representar a los conjuntos se suelen usar las letras mayúsculas 𝐴, 𝐵, 𝐶, … y para representar los
elementos las minúsculas 𝑎, 𝑏, 𝑐, ….
Una de las primeras relaciones que se pueden establecer es la de pertenencia, la cual siempre se evalúa
entre un elemento y un conjunto. Por ejemplo, decimos que 𝑎 pertenece al conjunto 𝐴 y simbolizamos
𝑎 ∈ 𝐴, o bien, decimos 𝑏 no pertenece al conjunto 𝐴 y en tal caso simbolizamos 𝑏 ∉ 𝐴.
NOTA: LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO SON ARBITRARIOS, POR LO CUAL PUEDE SUCEDER QUE DENTRO DE
UN CONJUNTO HAYA OTROS CONJUNTOS ACTUANDO COMO ELEMENTOS. POR EJEMPLO EN EL CONJUNTO 𝑃
=
{{1}, {1,2}, {1,2,3}} LOS CONJUNTOS {1}, {1,2}, {1,2,3} SON ELEMENTOS QUE PERTENECEN A 𝑃.
Cuando hablamos de ‘definir un conjunto’ hacemos referencia a establecer qué elementos están en el
mismo. Es muy importante remarcar que en la definición de cualquier conjunto, éstas no presenten
ambigüedades; es decir, la pertenencia (o la no pertenencia) de un elemento a dicho conjunto no debe
ofrecer dudas. Además, en un conjunto todos los elementos deben ser distintos y su orden no es
importante a menos que se especifique lo contrario.
Los conjuntos se escriben siempre entre llaves, y se pueden definir de dos maneras distintas, por extensión
y por comprensión.
Cuando definimos un conjunto por extensión lo describimos listando todos los elementos que lo
componen separados por comas. Por ejemplo:
𝐴 = {1,2,3,4,5}
Para definir un conjunto por comprensión, debemos describir la condición que debe cumplir un
elemento para estar en dicho conjunto, en este caso, se usa el símbolo “/” que se lee “tal que”. Por
ejemplo:
𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ / 𝑥 < 6}
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Si traducimos de forma literal el lenguaje simbólico, esto se lee “𝐴 es igual al conjunto de los 𝑥
pertenecientes al Conjunto de los Números Naturales tales que 𝑥 es menor que 6”. Aunque es común
reformular la expresión para que la lectura se asemeje al leguaje usual, podríamos decir, “𝐴 es el
conjunto de los naturales menores que 6”. Si expresamos a este conjunto por extensión coincide con
el definido anteriormente; es decir, es el mismo conjunto definido de las dos formas. En este caso
podemos decir, por ejemplo, que 2 ∈ 𝐴, pero 6 ∉ 𝐴.
Notemos, en el ejemplo anterior, que antes del símbolo “/” indicamos qué elementos debemos
considerar como candidatos a pertenecer al conjunto, y después se da la condición que estos deben
cumplir. Se puede omitir esto si definimos lo que se conoce como conjunto universal o universo del discurso.
Conjunto Universal: Se simboliza generalmente con la letra “𝑈” y representa el conjunto total sobre
el que se referencia. En el ejemplo anterior, podríamos haber escrito que 𝑈 = ℕ y, en ese caso
𝐴 = {𝑥 / 𝑥 < 6}
Puede suceder que un conjunto tenga infinitos elementos y en esos casos, para definirlo por extensión,
usamos puntos suspensivos para indicar que el conjunto continúa indefinidamente, por ejemplo, si
consideramos 𝑈 = ℕ entonces llamamos 𝐵 al conjunto de los números pares, esto es
𝐵 = {2,4,6,8, … }
Aunque no siempre será posible definir a los conjuntos infinitos por extensión, por ejemplo si 𝑈 = ℚ, el
conjunto
𝐶 = {𝑥 / 0 < 𝑥 < 1}
solamente se puede definir por comprensión, ya que no hay una forma de listar todos los racionales
entre 0 y 1.
Conjunto Vacío: Un conjunto importante de resaltar es el llamado conjunto vacío, que simbolizamos
con ∅ y representa al conjunto que no contiene ningún elemento.
NOTA: EL CONJUNTO VACÍO NO LLEVA LLAVES. POR LO TANTO, EL CONJUNTO {∅} ES UN CONJUNTO QUE
CONTIENE COMO ELEMENTO AL CONJUNTO VACÍO
Conjunto Unitario: Si un conjunto tiene un solo elemento, se llama conjunto unitario o singulete.
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2.3. Representación Gráfica y Cardinal de un Conjunto.
Para representar los conjuntos finitos gráficamente, usamos lo que se conoce como Diagrama de Venn.
Consiste en representar a cada conjunto como una curva cerrada (generalmente círculos o elipses) y a
cada elemento como un punto que puede estar dentro o fuera de la curva para indicar pertenencia, pero
nunca sobre ella. Como los elementos no deben repetirse, si hay un elemento que está en más de un
conjunto, entonces se deben superponer las curvas de manera que todos los conjuntos que
corresponden contengan a dicho elemento.
En nuestro ejemplo inicial, sin haber dado la definición, ya habíamos realizado un diagrama de Venn. Si
llamamos 𝐴 a los contenidos de ingeniería, 𝐵 a los del profesorado en matemática y 𝐶 a los de las
carreras de informática, podemos definir por extensión los conjuntos:
𝐴 = {Álgebra, Análisis, Geom. analítica, Física, Química}
𝐵 = {Álgebra, Análisis, Geom. analítica, Geom. euclideana, Lógica}
𝐶 = {Álgebra, Análisis, Fund. de la programación, Lógica}
Otro concepto importante es el de cardinal de un conjunto, pero debido a la complejidad de su
significado, sólo nos referiremos al cardinal de los conjuntos finitos.
Se denomina cardinal de un conjunto finito 𝑨, denotado por 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑨), al número de
elementos que tiene el conjunto 𝑨.
Además:
Si el conjunto 𝐴 es vacío decimos que 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴) = 0.
Otra forma de denotar el cardinal de un conjunto finito 𝐴 es #𝐴
NOTA: TAMBIÉN ES POSIBLE HABLAR DE CARDINAL EN LOS CONJUNTOS INFINITOS BAJOS CIERTAS
RESTRICCIONES, SIN EMBARGO ES UN CONTENIDO QUE ESCAPA A ESTE CURSO.
Siguiendo con nuestro ejemplo, podemos observar que:
𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴) = 5
𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐵) = 5
𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐶) = 4
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2.4. Relaciones y operaciones entre conjuntos
2.4.1. Inclusión
Así como vimos que se establece la relación de pertenencia entre los
elementos y los conjuntos,
cuando comparamos dos conjuntos se puede dar lo que se conoce como la relación de inclusión. Esta
relación aparece cuando dados dos conjuntos cualesquiera 𝐴 y 𝐵, todos los elementos de 𝐴 pertenecen
también a 𝐵. En tal caso, decimos que “𝐴 esta incluído en 𝐵”, o bien “que 𝐴 es subconjunto de 𝐵” y
simbolizamos:
𝐴 ⊂ 𝐵 ⇔ ∀𝑥: (𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵)
Gráficamente:
𝐵
𝐴
Es importante resaltar que la relación de pertenencia siempre se evalúa sobre elementos y conjuntos.
Además, un elemento puede pertenecer, o no, a un conjunto, no hay otra posibilidad. En cambio, la
relación de inclusión se aplica comparando dos conjuntos (nunca elementos) y dados dos conjuntos
puede suceder que 𝐴 ⊂ 𝐵, 𝐵 ⊂ 𝐴, o ninguna de las dos:
𝐵
𝐴
𝐴
𝐵
𝐴
𝐵
NOTA: EN LA DEFINICIÓN NO SE PIDE QUE 𝐴 Y 𝐵 SEAN NECESARIAMENTE DISTINTOS, POR ELLO ES QUE
PODEMOS DECIR QUE TODO CONJUNTO ESTÁ INCLUIDO EN SÍ MISMO, PUES CUMPLE LA DEFINICIÓN CUANDO
𝐵 = 𝐴.
2.4.2. Igualdad
Vamos a decir que dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 son iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos,
o bien, cuando se cumple simultáneamente que 𝐴 ⊂ 𝐵 y 𝐵 ⊂ 𝐴. En símbolos, escribimos
𝐴=𝐵 ⇔ 𝐴⊂𝐵 ∧ 𝐵⊂𝐴
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2.4.3. Complemento
La primera operación que definimos es la complementación: dado un conjunto 𝐴, el complemento de 𝐴,
denotado 𝐴𝑐 , está formado por todos los elementos del universo que no están en 𝐴. En símbolos:
𝐴𝑐 = {𝑥 ∈ 𝑈 / 𝑥 ∉ 𝐴}
Gráficamente:
𝑼
𝑨
𝑨𝒄
2.4.4. Unión
Cuando se tienen dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 cualesquiera, se puede obtener un nuevo conjunto llamado la
unión de 𝐴 y 𝐵, denotado por 𝐴 ∪ 𝐵 y formado por todos los elementos que pertenecen a 𝐴, a 𝐵, o a
ambos. En símbolos
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 / 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}
Gráficamente:
𝐴
𝐵
𝐴∪𝐵
2.4.5. Intersección
La intersección de dos conjuntos 𝐴 y 𝐵, que representamos 𝐴 ∩ 𝐵, nos da como resultado el conjunto de
elementos que tienen en común, es decir, los elementos que están simultáneamente en 𝐴 y 𝐵. En
símbolos:
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 / 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}
Gráficamente:
𝐴∩𝐵
𝐴
𝐵
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2.4.6. Diferencia
Otra operación que se puede realizar entre conjuntos es la diferencia o resta, la diferencia de 𝐴 y 𝐵, 𝐴 − 𝐵
(en ese orden) es el conjunto que tiene todos los elementos de 𝐴 que no están en 𝐵. También se puede
definir como la intersección de 𝐴 con el complemento de 𝐵. En símbolos
𝐴 − 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵 𝑐 = {𝑥 / 𝑥 ∈ 𝐴 ∧
𝑥 ∉ 𝐵}
Gráficamente:
𝐴−𝐵
𝐴
𝐵
EJERCICIO RESUELTO
Ahora que conocemos las operaciones entre conjuntos, retomemos nuestro ejemplo y analicemos el
diagrama nuevamente.
B
A
◦ FÍSICA
◦ GEOM.
◦ GEOM.
ANALÍTICA
◦ QUÍMICA
EUCLIDIANA
◦ ÁLGEBRA
◦ ANÁLISIS
◦ LÓGICA
◦ FUNDAM. DE LA
PROGRAMACIÓN
C
En la intersección de los tres conjuntos se encuentran los contenidos de álgebra y análisis pues son
los contenidos que las tres carreras tienen en común.
𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = {Álgebra, Análisis}
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Si calculamos el complemento del conjunto 𝐴, nos da como resultado el conjunto de todos los
contenidos que no se dictan en las carreras de ingeniería
𝐴𝑐 = {Geom. euclidiana, Lógica, Fund. de la programación}
Para conocer todos los contenidos que se dictan en ingeniería y en el profesorado en matemática, es
necesario efectuar la unión de los conjuntos 𝐴 y 𝐵.
𝐴 ∪ 𝐵 = {Álgebra, Análisis, Geom. analítica, Física, Química, Geom. euclidiana, Lógica}
Podemos también conocer los contenidos que son exclusivos de las carreras de informática, para ello
efectuamos la resta entre el conjunto 𝐶 y 𝐴 ∪ 𝐵, pues este cálculo nos devuelve los elementos que
están en C y no están en A o B.
𝐶 − (𝐴 ∪ 𝐵) = {Fund. de la programación}
Finalmente, si nos interesa conocer solamente los contenidos que tienen en común el profesorado en
matemática y las carreras de informática, basta con realizar la intersección de los conjuntos B y C.
𝐵 ∩ 𝐶 = {Álgebra, Análisis, Lógica}
EJERCICIO GUIADO
Dados los siguientes conjuntos:
𝐴 = {1,3,5,7,9} ;
𝐵 = {𝑥 ∈ ℕ / 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 ∧ 𝑥 < 10}
;
𝐶 = {1, 4, 9}
Completar los espacios en blanco en cada uno de los siguientes ítems. No olvidar que los elementos
de un conjunto siempre se indican entre llaves.
1. Escribir por comprensión los conjuntos 𝐴 y 𝐶 y por extensión el conjunto 𝐵.
𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ/ ___________________________ ∧ _____________________}
𝐵 = {____, 4 , _____, _____}
𝐶 = {____________ / 𝑥 ≤ 9 ∧ _________________________}
2. Indicar el cardinal de cada conjunto:
𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴) = _______ ; 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐵) = 4 ;
𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐶) = _______
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3. Completar el Diagrama de Venn. Para ello debes tener cuidado con los elementos que pertenezcan
a más de un conjunto, pues deben quedar ubicados dentro de todos ellos y no se pueden repetir.
𝐴
𝐵
𝐶
4. Calcular las siguientes operaciones:
Unión de 𝐴 y 𝐶: Recuerden que para unir dos conjuntos deben “juntar” los elementos de ambos
(sin repetir).
𝐴 ∪ 𝐶 = ________________________________________
Intersección de 𝐵 y 𝐶: Recuerden que en la intersección de dos conjuntos están los elementos
que dichos conjuntos tienen en común.
𝐵 ∩ 𝐶 = ________________________________________
Intersección de 𝐴 y 𝐵:
𝐴 ∩ 𝐵 = ________________________________________
Diferencia de 𝐴 y 𝐶: Recuerden que al conjunto 𝐴 le deben “quitar” los elementos que
pertenezcan al conjunto 𝐶.
𝐴 − 𝐶 = ________________________________________
2.5. Conjunto de Partes
Dado un conjunto 𝐴, podemos formar un nuevo conjunto constituido por todos los subconjuntos de 𝐴,
el cual recibe el nombre de conjunto de partes de 𝐴. Formalmente:
Se denomina Conjunto de Partes de A al conjunto cuyos elementos son todos los
subconjuntos de A.
𝒫(𝐴) = {𝑋 / 𝑋 ⊂ 𝐴}
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Como los elementos de este conjunto son a su vez conjuntos, 𝒫(𝐴) es un conjunto de conjuntos.
Además, cualquiera sea el conjunto 𝐴 se verifica que tanto 𝐴 como el conjunto vacío pertenecen a
𝒫(𝐴).
𝐴 ∈ 𝒫(𝐴)
∧ ∅ ∈ 𝒫(𝐴)
Si 𝐴 tiene 𝑛 elementos, entonces 𝒫(𝐴) tiene 2𝑛 elementos.
EJERCICIO RESUELTO
Determinaremos en conjunto de Partes de 𝐴 = {4, 5, 6}
Los elementos de 𝒫(𝐴) serán todos los subconjuntos que podamos formar con los elementos del
conjunto 𝐴. Como 𝐴 tiene 3 elementos, 𝒫(𝐴) tendrá 2𝟑 = 8 elementos. Vayamos indicando, en orden
creciente en cuanto a cantidad de elementos, los subconjuntos de 𝐴 que podemos formar:
∅
Conjunto vacío
{4} ; {5} ; {6}
Singuletes o subconjuntos unitarios de 𝑨
{4, 5} ; {4, 6} ; {5, 6}
Subconjuntos de 𝑨 de dos elementos
𝐴
El conjunto 𝐴
Luego, el conjunto de partes de 𝐴 es:
𝒫(𝐴) = {∅ , {4} , {5} , {6} , {4, 5} , {4, 6} , {5, 6} , 𝐴}
NOTA: LOS SUBCONJUNTOS DE 𝑨 SON ELEMENTOS EN 𝒫(𝑨).
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2.6. Ejercicios
1.- Completar los espacios en blanco en las siguientes expresiones usando ∈, ∉, ⊂ y ⊄ según
corresponda:
a. {2,4,6, … }___ ℕ
f. ∅ ___ {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}
b. −5 ___ ℕ
g. ∅ ___ {∅, 𝐴, 𝐵}
c. 2 ___ {{1}, {2}, {4}}
h. Enero ___ {𝑥 / 𝑥 es un día de la semana}
d. −1 ___ {2, −2,1, −1} − {2, −2}
i. 3 ___ {1,2,3} ∩ {4,5,6}
j. 3 ___ {1,2,3} ∪ {4,5,6}
2.- Simbolizar las siguientes expresiones:
a. El conjunto 𝐺 tiene como subconjunto al conjunto 𝐻.
b. El conjunto 𝑀 no contiene al conjunto 𝑁.
c. Entre los elementos del conjunto 𝐾 no se encuentra el número 5.
d. La intersección de 𝐴, 𝐵 y 𝐶 es vacía.
e. El elemento 𝑎 no está ni en el conjunto 𝐴 ni en el 𝐵.
f. El conjunto 𝑍 no está incluido en la intersección de 𝐶 y 𝐷.
g. 𝑚 pertenece al complemento de 𝑅 que a su vez está incluido en el conjunto 𝑃.
h. El conjunto 𝐿 no tiene elementos.
3.- Consideremos 𝑈 = ℤ (los números enteros)
a. Desarrollar por extensión los siguientes conjuntos:
i. {𝑥 / 0 < 𝑥 ≤ 10}
ii. {𝑥 / 𝑥 > 0 }
iii. {𝑥 / 𝑥 < 0 ∧ 𝑥 es múltiplo de 4}
iv. {𝑥 / 𝑥 es par }
v. {𝑥 / 𝑥 es impar y múltiplo de 6}
b. Definir por comprensión los conjuntos dados:
i. {1,3,5,7, … }
iv. {−2, −4, −6, −8, −10, … }
ii. {−3, −2, −1,0,1,2}
v. {0,1,4,9,16,25,36, . . }
iii. {5,10,15,20,25,30,35,40,45}
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4.- Analizar el siguiente diagrama
𝑨
𝒊
𝒃
𝒂
𝒅
𝒄
𝑼
𝑪
𝒌
𝒋
𝒇
𝒆
𝒎
𝒍
𝒈
𝒉
𝑩
a. Expresar por extensión los conjuntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶.
b. Calcular los siguientes conjuntos
i. 𝐴 ∪ 𝐵
ii. 𝐴 ∪ 𝐶
iii. 𝐴 ∩ 𝐵
iv. 𝐴 − 𝐵
v. 𝐵 − 𝐴
vi. 𝐴𝑐
vii. 𝐶 − 𝐴
viii. 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶
ix. (𝐴 ∪ 𝐶)𝑐
x. 𝐵 ∩ 𝐶
xi. [(𝐴 ∩ 𝐶) ∪ 𝐵]𝑐
5.- Considerar los siguientes conjuntos, realizar el diagrama de Venn correspondiente y luego marcar
con verdadero (V) o falso (F) las expresiones según corresponda. Justificar en caso de que sea falso.
𝑈 = ℕ; 𝐴 = {𝑥 / 𝑥 < 11 ∧ 𝑥 es par }; 𝐵 = {𝑥 / 𝑥 ≤ 5}; 𝐶 = {3,5,9,11}
a. 10 ∈ 𝐴
b. 5 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵
c. 𝐵 ∩ 𝐶 = {3,5,9}
d. 𝐶 ∩ 𝐴 = ∅
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e. 4 ∈ 𝐵 − 𝐶
f. 𝐴 − 𝐵 = {6,8,9,10}
g. 𝐴 − 𝐶 = 𝐴
h. 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = {𝑥 / 𝑥 ≤ 11}
6.- Plantear y resolver la siguiente situación utilizando las nociones de conjuntos aprendidas:
Al finalizar el cursado del primer año, se encuestó a 270 alumnos de las carreras de
ingeniería. En la encuesta, se consultó acerca de cuál o cuáles de las siguientes
asignaturas del segundo módulo les habían resultado dificultosas: Física II, Análisis
Matemático II y Álgebra Lineal.
-
50 alumnos contestaron Todas.
Ningún alumno contestó únicamente Análisis Matemático II.
105 alumnos contestaron Álgebra lineal y Física II.
90 alumnos contestaron Física II.
75 alumnos contestaron únicamente Álgebra lineal.
70 alumnos contestaron Física II y Análisis Matemático II
Con los datos brindados y sabiendo que a todos le resultó dificultosa al menos
una de las asignaturas:
a. Representar la situación en un Diagrama de Venn.
b. Responder:
i. ¿A cuántos alumnos les resulta dificultosa únicamente la asignatura
Física II?
ii. ¿A cuántos alumnos en total les resulta dificultosa la asignatura
Álgebra lineal?
iii. ¿A cuántos alumnos les resultan dificultosas únicamente las
asignaturas Física II y Análisis Matemático II?
iv. ¿A cuántos alumnos les resultan dificultosas únicamente las
asignaturas Álgebra lineal y Análisis Matemático II?
v. ¿A cuántos alumnos en total les resulta dificultosa la asignatura
Física II?
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UNIDAD 3: Conjuntos Numéricos
3.1. Introducción
Cuando hablamos de números, hacemos referencia a una infinidad de símbolos que representan una
noción abstracta asociada a una cantidad. En matemática, nos resulta conveniente agrupar a los
números en distintos conjuntos donde, junto con las operaciones elementales, serán dotados de una
estructura. Estas agrupaciones se conocen como los conjuntos numéricos, y nos permiten identificar
rápidamente las propiedades a utilizar según el contexto teórico en el que nos encontramos. La
clasificación de los números en estos conjuntos es universal, y es un concepto elemental para el estudio
de matemática.
Los conjuntos numéricos son los naturales ℕ, los enteros ℤ, los racionales ℚ, los irracionales 𝕀, los reales ℝ
y los complejos ℂ.
Estos conjuntos han ido apareciendo a medida que la humanidad se ha visto ante la necesidad de
solucionar problemas y retos cada vez más complejos y profundos. Podemos asociar cada una de estas
situaciones a ecuaciones, en las cuales la solución requiere que el conjunto sobre el que se está
operando sea ampliado. Por ejemplo, vamos a ver que en los naturales podemos solucionar 𝟒 + 𝒙 = 𝟕
donde 𝒙 = 𝟑, pero no podemos resolver 𝟒 + 𝒙 = 𝟐 porque necesitamos el valor negativo −𝟐.
Cada vez que se presente un conjunto, nos interesa analizar ciertas características que se consideran
fundamentales:
Es ordenado: Si tomamos dos elementos cualesquiera 𝒂, 𝒃 ocurre solamente una de las tres
posibilidades: 𝒂 < 𝒃 (𝑎 menor que 𝑏), 𝒂 > 𝒃 (𝑎 mayor que 𝑏) o 𝒂 = 𝒃 (𝑎 igual a 𝑏).
Es discreto, si entre dos elementos distintos hay una cantidad finita de elementos, caso contrario el
conjunto se llama denso.
Cada elemento tiene un anterior o un siguiente.
Las operaciones que se pueden definir y cuáles son sus propiedades.
3.2. Números naturales
En épocas muy primitivas surgió la necesidad de ordenar y poder representar las cantidades de una
manera abstracta. Como consecuencia, aparecen los primeros símbolos llamados números naturales, los
cuales nos sirven para contar.
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El conjunto de los números naturales es infinito, se representa con el símbolo ℕ y está definido como:
ℕ = {1,2,3,4, … }
Una de las propiedades más importantes de los naturales es que es el único de los conjuntos numéricos
que tiene primer elemento, noción que es fundamental para muchas demostraciones en matemática.
Además, es un conjunto ordenado, discreto y todos los elementos tienen un siguiente. También
podemos decir que todos los elementos tienen un anterior salvo el 1.
Las operaciones que se pueden definir en el conjunto de los naturales son la suma y el producto.
La suma y el producto son operaciones cerradas, pues al sumar o multiplicar dos números naturales
siempre nos da como resultado otro número natural. Además, tienen las siguientes propiedades:
Sean los números naturales 𝒂, 𝒃, 𝒄 se cumple que
La suma y el producto son asociativas
(𝒂 + 𝒃) + 𝒄 = 𝒂 + (𝒃 + 𝒄)
(𝒂. 𝒃). 𝒄 = 𝒂. (𝒃. 𝒄)
;
La suma y el producto son conmutativas
𝒂+𝒃=𝒃+𝒂
;
𝒂. 𝒃 = 𝒃. 𝒂
Hay un elemento neutro para el producto
𝒂. 𝟏 = 𝟏. 𝒂 = 𝒂
En este conjunto también se pueden definir la resta y la división, pero esto nos lleva al primer
inconveniente pues solamente vamos a poder efectuar:
la resta 𝒂 − 𝒃 cuando 𝒂 sea mayor que 𝒃
la división 𝒂: 𝒃 cuando 𝒂 sea un múltiplo de 𝒃
Esto nos dice que ambas operaciones no son cerradas en los naturales.
Por ejemplo, la ecuación
𝟒+𝒙 = 𝟐⇒ 𝒙 = 𝟐−𝟒
no tiene solución en el conjunto de los números naturales. A partir de este “inconveniente” surge la
necesidad de ampliar el conjunto de los naturales agregándole el cero y los números negativos.
Utilizamos el símbolo ℕ0 para denotar el conjunto de los números naturales extendidos, que es el conjunto
formado por los naturales a los que les agregamos el cero:
ℕ0 = {0,1,2,3,4 … }
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Si a este conjunto le unimos los números negativos se forma el “conjunto de los números enteros (ℤ)”.
3.3. Números Enteros
El conjunto de los números enteros es el conjunto infinito
ℤ = {… , −3, −2, −1,0,1,2,3, … }
que está formado por el cero, los naturales y sus opuestos. Por ello decimos que los enteros son una
ampliación de los naturales.
ℕ0 ∪ ℤ− = ℤ
Al igual que los naturales, los enteros son un conjunto ordenado y discreto, pero se diferencian en que
no tiene primer ni último elemento y todos los elementos tienen anterior y siguiente.
En los enteros también se puede definir la suma y el producto que son dos operaciones cerradas en
dicho conjunto, y gozan de las siguientes propiedades:
Sean los números enteros 𝒂, 𝒃, 𝒄 se cumple que
La suma y el producto son asociativas
(𝒂 + 𝒃) + 𝒄 = 𝒂 + (𝒃 + 𝒄)
(𝒂. 𝒃). 𝒄 = 𝒂. (𝒃. 𝒄)
La suma y el producto son conmutativas
𝒂+𝒃=𝒃+𝒂
𝒂. 𝒃 = 𝒃. 𝒂
Hay un elemento neutro tanto para el producto como para la suma
𝒂+𝟎 = 𝟎+𝒂= 𝒂
𝒂. 𝟏 = 𝟏. 𝒂 = 𝒂
Cada elemento tiene su opuesto
𝒂 + (−𝒂) = (−𝒂) + 𝒂 = 𝟎
Esta última propiedad de la existencia del opuesto nos permite definir en los números enteros la resta
como una operación cerrada. Para efectuar la resta de dos enteros 𝒂, 𝒃 definimos
𝒂 − 𝒃 = 𝒂 + (−𝒃)
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Nuevamente, al igual que en los naturales, se puede definir la división en los números enteros 𝒂: 𝒃, pero
solamente cuando 𝒂 sea múltiplo de 𝒃, esto nos dice que la división no es cerrada en ℤ. Por ejemplo, la
ecuación
𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟒 ⇒ 𝟐𝒙 = 𝟕 ⟹ 𝒙 = 𝟕: 𝟐
no tiene solución en los enteros pues 7 no es múltiplo de 2. Éste es el puntapié a partir del cual se crean
los números fraccionarios 𝔽, que son aquellos que representan ciertas cantidades que se encuentran entre
dos números enteros. Esta nueva ampliación consiste en unir los números fraccionarios al conjunto ℤ y
se conoce como el conjunto de los números racionales ℚ = ℤ ∪ 𝔽.
3.4. Números Racionales
El conjunto de los números racionales está formado por todos los números que se pueden expresar
como fracción, esto es
𝑎
ℚ = ൜ / 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕൠ
𝑏
Las fracciones representan un cociente donde el número entero 𝒂 se conoce como el numerador y el
número natural 𝒃 como el denominador.
Es posible representar gráficamente un número racional. Para ello usamos una figura geométrica que
representará una unidad entera. Luego, se divide la misma en tantas partes iguales como indique el
denominador y la cantidad de partes a considerar (lo que está sombreado) estará determinada por el
numerador. Por ejemplo:
𝟐
→
𝟑
𝟓
→
𝟒
El conjunto ℚ es también infinito y ordenado, pero a diferencia de los enteros, no es discreto porque
entre dos números racionales se pueden encontrar infinitos números racionales; por ello decimos que
es un conjunto denso.
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NOTA: DEBIDO A QUE LOS RACIONALES SON UN CONJUNTO DENSO, SI TENEMOS UN NÚMERO RACIONAL
CUALQUIERA, TAMPOCO PODEMOS DETERMINAR CUÁL ES SU SIGUIENTE O SU ANTERIOR, ESTO HACE
IMPOSIBLE DEFINIR A LOS RACIONALES COMO UN CONJUNTO POR EXTENSIÓN.
Observemos que si en la definición de ℚ dada anteriormente hacemos 𝒃 = 𝟏, entonces
𝑎
ℚ⊃൜ /𝑎 ∈ℤ ൠ=ℤ
1
Esto nos confirma que ℚ es una ampliación de ℤ, pues lo contiene como subconjunto.
En cuanto a las operaciones en ℚ, podemos definir la suma y el producto que conservan todas las
propiedades heredadas de los números enteros y se agrega la existencia del inverso multiplicativo.
Recordemos que la suma y el producto de fracciones se definen como
𝒂 𝒄 𝒂. 𝒅 + 𝒃. 𝒄
+ =
𝒃 𝒅
𝒃. 𝒅
;
𝒂 𝒄 𝒂. 𝒄
∙ =
𝒃 𝒅 𝒃. 𝒅
NOTA: A LA HORA DE SUMAR FRACCIONES EN LA PRÁCTICA, ES USUAL BUSCAR UN DENOMINADOR COMÚN
ENTRE LOS SUMANDOS PARA EVITAR TRABAJAR CON NÚMEROS GRANDES. PARA DETERMINAR ESTE VALOR
CALCULAMOS EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.) ENTRE LOS DENOMINADORES. SIN EMBARGO, EL
PROCEDIMIENTO PARA OPERAR DE ESTA MANERA ES DISTINTO AL QUE SE DESCRIBIÓ PREVIAMENTE.
𝒂 𝒄 𝒆
Sean los números racionales 𝒃 , 𝒅 , 𝒇 se cumple que:
La suma y el producto son asociativas
𝒂 𝒄
𝒆 𝒂
𝒄 𝒆
൬ + ൰+ = +ቆ + ቇ
𝒃 𝒅
𝒇 𝒃
𝒅 𝒇
𝒂 𝒄 𝒆 𝒂 𝒄 𝒆
൬ ∙ ൰∙ = ∙ቆ ∙ ቇ
𝒃 𝒅 𝒇 𝒃 𝒅 𝒇
La suma y el producto son conmutativas
𝒂 𝒄 𝒄 𝒂
+ = +
𝒃 𝒅 𝒅 𝒃
𝒂 𝒄 𝒄 𝒂
∙ = ∙
𝒃 𝒅 𝒅 𝒃
;
Hay un elemento neutro tanto para el producto como para la suma
𝒂
𝒂 𝒂
+𝟎=𝟎+ =
𝒃
𝒃 𝒃
;
𝒂
𝒂 𝒂
∙𝟏=𝟏∙ =
𝒃
𝒃 𝒃
Cada elemento tiene su opuesto respecto de la suma y su inverso multiplicativo (exceptuando el 0).
𝒂
𝒂
𝒂
𝒂
+ ൬− ൰ = ൬− ൰ + = 𝟎
𝒃
𝒃
𝒃
𝒃
;
𝒂 𝒂 −𝟏
𝒂 −𝟏 𝒂
∙൬ ൰ =൬ ൰ ∙ =𝟏
𝒃 𝒃
𝒃
𝒃
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La existencia del opuesto nos permite definir la resta como una operación cerrada al igual que en los
enteros, pero los racionales son el primer conjunto numérico en el podemos definir también la división
como una operación cerrada:
𝒂 𝒄 𝒂 𝒄 −𝟏 𝒂 𝒅
: = ∙൬ ൰ = ∙
𝒃 𝒅 𝒃 𝒅
𝒃 𝒄
siempre que 𝒄 ≠ 𝟎.
A diferencia de los conjuntos anteriores, en ℚ tenemos una gran cantidad de números que representan
la misma cantidad, por ejemplo, las fracciones
𝟔
𝟏𝟎
𝟏𝟐
𝟐𝟎
𝟑
𝟓
Estas fracciones se conocen como equivalentes, y como representan la misma cantidad, podemos
considerar que son iguales.
Se pueden obtener fracciones equivalentes mediante amplificación o simplificación.
La amplificación consiste en multiplicar tanto el numerador como el denominador por el mismo número:
𝟑 𝟑. 𝟒 𝟏𝟐
=
=
𝟓 𝟓. 𝟒 𝟐𝟎
La simplificación es cuando dividimos el numerador y el denominador por un mismo divisor en común:
𝟔
𝟔: 𝟐
𝟑
=
=
𝟏𝟎 𝟏𝟎: 𝟐 𝟓
Por ello es que las tres fracciones anteriores son equivalentes.
Siempre se puede amplificar una fracción, pero no siempre se puede simplificar, pues para simplificar
una fracción, el numerador y el denominador deben tener al menos un divisor en común distinto del 1.
En este caso, cuando no se puede simplificar, la fracción se conoce como fracción irreducible.
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EJERCICIO RESUELTO
Veamos cómo resolver la siguiente operación combinada con números racionales:
𝟑
𝟑 𝟐 𝟏
𝟏 − [ ∙ 𝟓 − ൬ + ൰] =
𝟐
𝟐 𝟑 𝟗
Siempre resolvemos primero las operaciones que se encuentran entre los paréntesis, luego entre los
corchetes, y finalmente entre las llaves, si las hubiere, separando términos dentro de cada uno, teniendo
en cuenta los signos + y −.
𝟑
𝟑 𝟐 𝟏
𝟏 − [ ∙ 𝟓 − ൬ + ൰] =
𝟐
𝟐 𝟑 𝟗
Encontramos el denominador común 9 en la suma
𝟑
𝟑 𝟔+𝟏
𝟏−[ ∙𝟓− ൬
൰] =
𝟐
𝟐
𝟗
𝟑
𝟑 𝟕
= 𝟏 − [ ∙ 𝟓 − ൬ ൰] =
𝟐
𝟐 𝟗
Separamos términos adentro del corchete
𝟑
𝟑 𝟕
=𝟏−[ ∙𝟓− ∙ ]=
𝟐
𝟐 𝟗
Resolvemos los productos
= 𝟏−[
𝟑 .𝟓 𝟑 .𝟕
−
]=
𝟐
𝟐 .𝟗
=𝟏−[
𝟏𝟓 𝟐𝟏
− ]=
𝟐 𝟏𝟖
21
Antes de resolver la resta, vemos que en la fracción 18 se puede simplificar entre 3. Es importante
simplificar cada vez que se pueda, pues nos facilita los cálculos.
=𝟏−[
𝟏𝟓 𝟕
− ]=
𝟐 𝟔
=𝟏−[
𝟒𝟓 − 𝟕
]=
𝟔
El denominador común en este caso es 6
=𝟏−
𝟑𝟖
=
𝟔
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Nuevamente podemos simplificar
=𝟏−
𝟏𝟗
=
𝟑
Y finalmente efectuando la resta se obtiene
=
𝟑 − 𝟏𝟗
𝟏𝟔
=−
𝟑
𝟑
Por lo tanto
𝟑
𝟑 𝟐 𝟏
𝟏𝟔
𝟏 − [ ∙ 𝟓 − ൬ + ൰] = −
𝟐
𝟐 𝟑 𝟗
𝟑
NOTA: EN LAS OPERACIONES COMBINADAS, RESOLVEMOS PRIMERO LAS
MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES; SEGUIDAMENTE, LAS SUMAS Y RESTAS.
EJERCICIO GUIADO
En el siguiente ejercicio, completar los espacios en blanco con los datos faltantes
𝟑 𝟏 𝟏
𝟑 𝟔
൬ − + ൰∙𝟓− ∙ =
𝟐 𝟓 𝟏𝟎
𝟒 𝟓
Encontramos el denominador común en el paréntesis y resolvemos la suma
𝟑 𝟏 𝟏
𝟑 𝟔
൬ − + ൰∙𝟓− ∙ =
𝟐 𝟓 𝟏𝟎
𝟒 𝟓
=ቆ
−
+
=
∙𝟓−
=
−
ቇ∙𝟓−
𝟑 𝟔
∙ =
𝟒 𝟓
𝟑 𝟔
∙ =
𝟒 𝟓
Separamos términos y resolvemos:
=
Luego
𝟑 𝟏 𝟏
𝟑 𝟔
൬ − + ൰∙𝟓− ∙ =
𝟐 𝟓 𝟏𝟎
𝟒 𝟓
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3.4.1. Forma fraccionaria y decimal. Tipos de números decimales.
Una particularidad de los números racionales es que tienen dos formas de representarse, la ya
mencionada forma fraccionaria y la forma decimal. Por ejemplo, pueden verificar con la calculadora que:
𝟑
= 𝟎, 𝟔
𝟓
𝟒
= 𝟏, 𝟑𝟑𝟑 …
𝟑
−
𝟕𝟏
= −𝟐, 𝟏𝟓𝟏𝟓𝟏𝟓 …
𝟑𝟑
Es importante remarcar que todo racional se puede escribir como decimal, pero no todo número decimal
es racional. Para que un número decimal pueda expresarse como racional debe tener una cantidad finita
de dígitos decimales, caso contrario, si los dígitos son infinitos estos se deben repetir de manera
periódica. Por ejemplo, son racionales los números:
𝟓, 𝟑𝟐𝟏
;
̂
−𝟕, 𝟐𝟐𝟐 … = −𝟕, 𝟐
;
𝟔, 𝟎𝟒
;
̂
𝟑, 𝟏𝟒𝟔𝟏𝟒𝟔𝟏𝟒𝟔 … = 𝟑, 𝟏𝟒𝟔
pero los números
𝟑, 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓 …
;
𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐𝟏𝟑𝟓𝟔 …
;
𝟐, 𝟔𝟒𝟓𝟕𝟓𝟏𝟑𝟏𝟏 …
son números decimales no periódicos porque sus cifras decimales continúan indefinidamente sin
repetirse y no se pueden representar como fracción. En el anexo de este capítulo, pueden encontrar los
métodos para el pasaje tanto de decimal a fracción, como de fracción a decimal y una clasificación más
completa de estos números.
NOTA: A PESAR DE QUE SE PUEDE TRABAJAR INDISTINTAMENTE CON CUALQUIERA DE LAS DOS NOTACIONES,
EN MATEMÁTICA ES USUAL TRABAJAR CON LAS EXPRESIONES EN FORMA FRACCIONARIA, PUES ES MÁS
PRECISA Y MÁS CÓMODA PARA HACER CÁLCULOS.
Como dijimos anteriormente, hay números decimales que no se pueden expresar como fracciones, pero
¿qué representan esos números?, ¿dónde los encontramos? Vamos a responder estas preguntas
conociendo un poco sobre la historia de cómo surgieron.
La Escuela fundada por Pitágoras, era una sociedad que se dedicaba a desentrañar los secretos de las
matemáticas. En esta escuela, los pitagóricos asociaban a los números con propiedades del mundo, a
medida que las iban descubriendo. Así, encontraron números triangulares, números perfectos, números
amigos, etc. Uno de los descubrimientos más relevantes de la escuela de Pitágoras es el teorema que
lleva su nombre y relaciona los lados de un triángulo rectángulo (triángulo que tiene un ángulo recto).
Como podemos observar en el siguiente ejemplo, existen ciertas ternas de números que se
corresponden con los lados de un triángulo rectángulo
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𝟓
𝟑
𝟒
Si elevamos al cuadrado el valor más grande 𝟓𝟐 = 𝟐𝟓, coincide con la suma de los cuadrados de los
otros dos: 𝟑𝟐 + 𝟒𝟐 = 𝟗 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟓.
Pitágoras generalizó este resultado para todos los triángulos rectángulos, esto llevó a calcular una
gran cantidad de resultados posibles, entre ellos los números racionales. El problema surgió cuando
descubrieron otro conjunto de números que no se podían expresar como enteros o fracciones. En el
siguiente triángulo, los lados que forman el ángulo recto miden 𝟏
𝟏
𝒂
𝟏
Según el teorema el valor de 𝒂𝟐 , debería coincidir con 𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝟐, es decir
𝒂𝟐 = 𝟐
⟹ 𝒂 = √𝟐
Este número √𝟐 no es entero y tampoco puede ser expresado como una fracción, para los pitagóricos
estos números eran considerados un error divino, y su divulgación era causal de caos o incluso la
muerte. Hoy en día, con el uso de cualquier calculadora podemos verificar de manera directa que
ඥ2 ≈ 1,414213562373095 …
Vemos que sus cifras decimales siguen indefinidamente y nunca se repiten de manera periódica. Este
tipo de números forman el conjunto de los números irracionales y los simbolizamos con la letra 𝕀 . Otro
ejemplo muy conocido de un número irracional, es la proporción entre el diámetro de cualquier
circunferencia y su perímetro, el famoso número 𝝅 (pi):
𝜋 ≈ 3,141592653589 …
Hay infinitos ejemplos de números irracionales, como la raíz cuadrada de cualquier número primo
√𝟑, √𝟓, √𝟏𝟏, …, o la suma o producto de cualquiera de ellos. La estructura del conjunto de los números
irracionales es bastante compleja y escapa del alcance de este curso, pero nos permite presentar al
tema central en esta unidad que es el conjunto de los números reales.
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3.5. Números reales
El conjunto de números reales es el conjunto numérico que agrupa a los números racionales e
irracionales. Lo denotamos con la letra ℝ.
ℝ=ℚ∪ 𝕀
Este conjunto es infinito, no posee primer ni último elemento, es ordenado y denso. Además, es
continuo, es decir, que a cada punto de la recta numérica le corresponde un número real.
Para Pensar
____________________________________
____________________________________
Si 𝑎 ∈ ℕ y 𝑏 ∈ ℤ, entonces ¿Cuál es
el conjunto más pequeño al que
____________________________________
_____________________________________
𝑎
pertenece ?
𝑏
____________________________________________
____________________________________________
Si la pregunta anterior les resulta difícil de responder, intentemos con las siguientes preguntas
𝒂
¿A qué conjunto pertenece 𝒃 si 𝒂 ∈ ℕ, 𝑎 no es divisible por 𝒃 y 𝒃 ∈ ℤ?.........................................
𝒂
𝟐
AYUDA: POR EJEMPLO, 𝒂 = 𝟐 ∈ ℕ Y 𝒃 = −𝟑 ∈ ℤ DONDE 𝟐 NO ES DIVISIBLE POR 𝟑, ENTONCES 𝒃 = − 𝟑 ∈ ℚ
𝒂
¿A qué conjunto pertenece 𝒃 si 𝒂 ∈ ℕ, 𝑎 es divisible por 𝒃 y 𝒃 ∈ ℤ− ?............................................
AYUDA: RECORDEMOS QUE 𝒂 ES DIVISIBLE ENTRE 𝒃 SI SU DIVISIÓN ES EXACTA, POR EJEMPLO 𝟒 ES DIVISIBLE
ENTRE −𝟐.
𝒂
¿A qué conjunto pertenece 𝒃 si 𝒂 ∈ ℕ, 𝑎 es divisible por 𝒃 y 𝒃 ∈ ℕ ⊂ ℤ?......................................
Para resumir lo anterior, realizamos el siguiente esquema.
Conjuntos numéricos
ℕ
0
ℤ−
ℤ
ℚ
𝔽
ℝ
𝕀
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3.5.1. Representación gráfica de los números reales.
Durante su desarrollo, la humanidad,
debió recopilar y organizar un sin
número hechos históricos que tuvieron
lugar en diferentes continentes. Una
forma de presentar este conocimiento
fue a través de las conocidas líneas de
tiempo que son una representación gráfica de un periodo, que puede ser corto o largo. Actualmente,
en gran parte del mundo, el tiempo histórico se divide en dos grandes periodos tomando como punto
de referencia el nacimiento de Cristo, es decir, la historia se divide en el periodo “antes de Cristo” (a.C)
y “después de Cristo” (d.C).
¿Cómo se vería una línea de tiempo donde se encuentren representado el origen del imperio romano
(29 a.C) y su caída (476 d.C)?
NOTA: † REPRESENTA EL NACIMIENTO DE CRISTO
Así cómo es posible situar hechos históricos en la línea de tiempo también podemos representar a los
números reales sobre la recta numérica.
La recta numérica es una recta con la cual establecemos una relación biunívoca entre los puntos de la
misma y los números reales, es decir:
“A cada punto de la recta le corresponde uno y sólo un número real”
La recta real se utiliza para representar los números reales gráficamente como puntos especialmente
marcados.
¿Cómo representar los números reales en la recta real?
Primero, trazamos una línea horizontal y escogemos un origen al cual se le asignara el valor 𝟎. Luego
marcamos los números enteros, estos se distribuirán de forma simétrica respecto al origen y estarán
separados entre sí por la misma distancia, conocida como la unidad de medida. Gráficamente
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Luego para situar sobre la recta algún número racional o irracional arbitrario consideraremos su
expresión decimal y los números enteros antes marcados.
NOTA: NO SIEMPRE SEREMOS CAPACES DE REPRESENTAR EXACTAMENTE UN NÚMERO REAL SOBRE LA RECTA
NUMÉRICA, SIN EMBARGO, SIEMPRE ES POSIBLE OBTENER UNA REPRESENTACIÓN APROXIMADA DE ÉL A
PARTIR DE SU EXPRESIÓN DECIMAL.
EJERCICIO RESUELTO
Hagamos una representación aproximada en la recta numérica de los siguientes números reales: −𝟐,
𝟏
− , √𝟑
𝟑
Primero obtenemos su expresión decimal
−
𝟏
̂
= −𝟎, 𝟑
𝟑
;
√𝟑 = 𝟏, 𝟕𝟑𝟐𝟎𝟓 ….
Teniendo en cuenta dichas expresiones decimales y los números enteros antes marcados, situamos
los números reales sobre la recta numérica.
Otra forma de representar fracciones sobre la recta numérica.
Para representar una fracción en la recta numérica, el procedimiento es similar a la manera gráfica
dividimos la unidad (entero) en segmentos iguales, como indica el denominador, y se ubica la fracción
según indica el numerador.
𝟐 𝟓
Representemos en la recta las siguientes fracciones: 𝟑, 𝟒
Iniciamos la división desde el 𝟎 al 𝟏 en el caso de que la fracción sea positiva, o del 𝟎 al −𝟏 si la
𝟐
fracción es negativa; en el caso de 𝟑, dividimos de 𝟎 al 𝟏 en tres partes iguales.
Y tomamos las dos primeras partes, resulta
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𝟓
Para el caso de 𝟒 no basta con dividir una unidad, entonces dividimos la unidad siguiente en 𝟒
partes iguales, es decir, del 𝟏 al 𝟐, de la siguiente manera.
Tomando las primeras 𝟓 partes, tenemos
3.5.2. Orden en ℝ
Como mencionamos anteriormente el conjunto de los números reales es un conjunto ordenado, esto
queda expuesto al representarlos gráficamente en la recta numérica. Un número es mayor que otro si
está situado a su derecha en la recta numérica y es menor si está situado a su izquierda
Gracias a la relación de orden ya definida al comienzo de la unidad, se verifican las siguientes
propiedades:
Consideremos 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℝ
Si 𝒂 < 𝒃 entonces 𝒂 + 𝒄 < 𝒃 + 𝒄
Si 𝒂 < 𝒃 y 𝒄 > 𝟎 entonces 𝒂. 𝒄 < 𝒃. 𝒄
Si 𝒂 < 𝒃 y 𝒄 < 𝟎 entonces 𝒂. 𝒄 > 𝒃. 𝒄
Hasta el momento hemos estudiado como se encuentra conformado el conjunto de los números
reales, sus propiedades y como representarlos gráficamente. Ahora, estudiaremos como operar con
ellos.
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3.6. Operación con números reales. Propiedades
Durante el estudio de la ampliación sucesiva de los conjuntos numéricos, enunciamos las propiedades
que estos verifican y cómo en cada ampliación los conjuntos adquieren otras nuevas. Por ejemplo, el
conjunto de los números naturales es cerrado para la suma y el producto, pero no posee neutro ni
opuesto aditivo, problema que se resuelve agregando el cero y los enteros negativos. A continuación,
enunciaremos de manera formal, las propiedades que se verifican en los números reales con la suma y
el producto.
Propiedades de la suma
Ley de cierre: ∀𝒂, 𝒃 ∈ ℝ: 𝒂 + 𝒃 ∈ ℝ
Asociativa: ∀𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℝ: (𝒂 + 𝒃) + 𝒄 = 𝒂 + (𝒃 + 𝒄)
Conmutativa: ∀𝒂, 𝒃 ∈ ℝ: 𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂
Existencia del elemento neutro: ∃𝟎 ∈ ℝ/∀𝒂 ∈ ℝ: 𝒂 + 𝟎 = 𝟎 + 𝒂 = 𝒂
Existencia del elemento opuesto: ∀𝒂 ∈ ℝ: ∃(−𝒂) ∈ ℝ/𝒂 + (−𝒂) = (−𝒂) + 𝒂 = 𝟎
NOTA: LOS REALES CON LA SUMA, CONFORMAN UN GRUPO ABELIANO. UN GRUPO ES UN CONJUNTO QUE
VERIFICA LA LEY DE CIERRE, ASOCIATIVIDAD, EXISTENCIA DE NEUTRO Y OPUESTO. ADEMÁS, SE DICE QUE UN
GRUPO ES ABELIANO SI VERIFICA LA PROPIEDAD CONMUTATIVA.
Propiedades del producto
Ley de cierre: ∀𝒂, 𝒃 ∈ ℝ: 𝒂. 𝒃 ∈ ℝ
Asociativa: ∀𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℝ: (𝒂. 𝒃). 𝒄 = 𝒂. (𝒃. 𝒄)
Conmutativa: ∀𝒂, 𝒃 ∈ ℝ: 𝒂. 𝒃 = 𝒃. 𝒂
Existencia del elemento neutro: ∃𝟏 ∈ ℝ/∀𝒂 ∈ ℝ: 𝒂. 𝟏 = 𝟏. 𝒂 = 𝒂
Existencia del elemento inverso: ∀𝒂 ∈ ℝ − {𝟎}: ∃𝒂−𝟏 ∈ ℝ/𝒂. 𝒂−𝟏 = 𝒂−𝟏 . 𝒂 = 𝟏
NOTA: “ℝ − {0}” DENOTA A TODOS LOS NÚMEROS REALES MENOS EL 0, ES DECIR, EL 0 NO POSEE OPUESTO
MULTIPLICATIVO. ESTO SE DEBE A QUE LA DIVISIÓN SOBRE CERO NO ESTÁ DEFINIDA. ℝ − {0} CON EL
PRODUCTO TAMBIÉN TIENE ESTRUCTURA DE GRUPO ABELIANO.
Propiedades distributivas del producto respecto a la suma
∀𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℝ: ( (𝒂 + 𝒃). 𝒄 = 𝒂. 𝒄 + 𝒃𝒄 ∧ 𝒄. (𝒂 + 𝒃) = 𝒄. 𝒂 + 𝒄. 𝒃 )
Dicha propiedad indica que dos o más términos de una suma (o resta) multiplicada por otra cantidad (a
izquierda o a derecha), resulta igual a la suma (o resta) de la multiplicación de cada uno de los términos
de la suma (o resta) por dicho número. Por ejemplo, si aplicamos la propiedad distributiva tenemos:
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𝟏
𝟏
𝟏
∙ (𝟐 − 𝟔) = ∙ 𝟐 −
∙ 𝟔 = 𝟏 − 𝟑 = −𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
Y resolviendo de manera directa
𝟏
𝟏
∙ (𝟐 − 𝟔) = ∙ (−𝟒)
𝟐
𝟐
= −𝟐
se obtiene el mismo resultado.
La suma y el producto no son las únicas operaciones que podemos definir sobre los números reales,
sino que estas nos permiten definir otras operaciones como las que estudiaremos a continuación.
3.6.1. Potenciación en ℝ
La potenciación es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales.
Formalmente la definimos como:
Sean 𝒂 ∈ ℝ y 𝒏 ∈ ℕ
𝒂𝒏 = ᇣᇧ
𝒂. 𝒂.
𝒂 …ᇧᇥ
.𝒂
ᇧᇤᇧ
𝒄𝒐𝒏 𝒏 ≥ 𝟐
𝒏 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔
Es decir, la potencia 𝒏-ésima de un número real 𝒂, es igual al producto de sí mismo 𝒏 veces.
Exponente
𝒂𝒏 = 𝒃
Potencia
Base
De la misma definición, se deduce que sí 𝒏 = 𝟏 entonces
𝒂𝟏 = 𝒂 .
Esta definición también puede extenderse para 𝒏 = 𝟎 y para potencias enteras negativas, siempre
que se tomen las consideraciones necesarias.
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Si 𝒏 = 𝟎, entonces ∀𝒂 ∈ ℝ − {𝟎}: 𝒂𝟎 = 𝟏.
𝟏
Si 𝒏 ∈ ℕ, 𝐞𝐧𝐭𝐨𝐧𝐜𝐞𝐬 ∀𝒂 ∈ ℝ − {𝟎}: 𝒂−𝒏 = 𝒂𝒏
𝟏
𝟏
Por ejemplo, 𝟐−𝟑 = 𝟐𝟑 = 𝟖 y (𝟕 −
𝟎
√𝟐
)
𝟐
=𝟏
NOTA: EN AMBOS CASOS ES IMPORTANTE PEDIR QUE 𝒂 SEA DISTINTO DE 𝟎, PUES LA EXPRESIÓN 𝟎𝟎 Y LA DIVISIÓN ENTRE
𝟎 NO ESTÁN DEFINIDAS. ADEMÁS, LAS POTENCIAS DE EXPONENTE PAR SON SIEMPRE POSITIVAS Y LAS DE EXPONENTE
IMPAR LLEVAN EL SIGNO DE LA BASE.
Propiedades de la potenciación:
Propiedad distributiva respecto al producto: (𝒂. 𝒃)𝒏 = 𝒂𝒏 . 𝒃𝒏
Propiedad distributiva respecto a la cociente: (𝒂: 𝒃)𝒏 = 𝒂𝒏 : 𝒃𝒏
Producto de potencia de igual base: 𝒂𝒎 . 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏
Cociente de potencia de igual base: 𝒂𝒎 : 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎−𝒏
Potencia de potencia: (𝒂𝒎 )𝒏 = 𝒂𝒎.𝒏
NOTA: NOTEMOS QUE SI
𝒂
𝒃
𝒂 𝒏
𝒂𝒏
𝒃
𝒃𝒏
∈ ℚ LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA RESPECTO AL COCIENTE, RESULTA: ( ) =
EJERCICIO GUIADO
Completemos los espacios en blanco, aplicando las propiedades de potencia, según corresponda.
𝒂 𝟐 𝒂
𝒂 𝟐
( ) ∙( )=( )
𝒃
𝒃
𝒃
𝒂𝟑 . 𝒂𝟏 : 𝒂𝟐 = 𝒂
𝒃𝟐 . 𝒃𝟑 𝒃𝟐
=
𝒃
𝒃
+
𝟏
𝒂 𝟑
=( )
𝒃
−
= 𝒂𝟐
𝟑
=𝒃
−
= 𝒃𝟒
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3.6.2. Radicación en ℝ
Así como la resta es la operación inversa de la suma y la división de
la multiplicación, también podemos definir una operación inversa
para la potenciación. Esta operación lleva el nombre de radicación y
se define a partir de la potencia. Formalmente:
Sean 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ y 𝒏 ∈ ℕ
𝒏
ඥ𝒂 = 𝒃 ⟺ 𝒃𝒏 = 𝒂
Es decir, la raíz 𝒏-ésima del número real 𝑎 es 𝑏 si y solo si la potencia 𝑛-ésima de 𝑏 es 𝑎.
Índice
𝒏
√𝒂 = 𝒃
Raíz
Radicando
Por ejemplo:
√𝟖𝟏 = ±𝟗 pues (±𝟗)𝟐 = 𝟖𝟏
𝟑
√−𝟑𝟒𝟑 = −𝟕 pues (−𝟕)𝟑 = −𝟑𝟒𝟑
√−𝟏𝟔 no tiene solución en ℝ, pues no existe un número real que elevado al cuadrado nos
dé como resultado −𝟏𝟔.
De los ejemplos anteriores podemos remarcar lo siguiente
La raíz de INDICE PAR de un número positivo admite dos valores reales opuestos.
La raíz de INDICE IMPAR preserva el signo del radicando.
La raíz de INDICE PAR de un número negativo no tiene solución en ℝ, pues ningún número real
elevado a una potencia par nos da un número negativo.
Propiedades de la radicación:
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
Distributiva respecto al producto: √𝒂. 𝒃 = 𝒏√𝒂. √𝒃
Distributiva respecto al cociente: √𝒂: 𝒃 = 𝒏√𝒂: √𝒃
𝒎
Raíz de raíz: √( 𝒏√𝒂) =
𝒎.𝒏
√𝒂
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𝒑
𝒑
𝒒
Potencia de exponente fraccionario: ∀𝒂 ∈ ℝ ; 𝒒 ∈ ℚ ∶ 𝒂𝒒 = √𝒂𝒑
𝒂
𝒃
NOTA: NOTEMOS QUE SI
𝒏
𝒂
∈ ℚ LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA RESPECTO AL COCIENTE, RESULTA: √𝒃 =
𝒏
√𝒂
√𝒃
𝒏
Otra propiedad es la que nos permite el intercambio de las operaciones raíz y potencia
𝒏
𝒎
𝒏
√𝒂𝒎 = ( √𝒂)
pero debemos tener cuidado, pues se puede aplicar siempre que no obtengamos un radicando
negativo y un índice par. Por ejemplo
𝟐
√(−𝟐)𝟐 = √𝟒 = ±𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
pero (√−𝟐) no tiene solución pues √−𝟐 no tiene solución en ℝ.
EJERCICIO GUIADO
1. Aplicar las propiedades estudiadas para completar los espacios en blanco en los siguientes
ejercicios:
𝟑
√𝒂. √𝒂 = 𝒂
ඥ√𝒃
𝟒
√𝒃
𝟐
=
.𝒂
𝟐
√𝒃𝟐
𝟒
√𝒃
=
=𝒂
√𝒃𝟐
𝟒
√𝒃
+
= √
=𝒂
= √𝒂
= √
2. Completar con = o ≠ según corresponda. En caso de ser distinto justificar.
2 3
23
൬ ൰ _____ 3
3
3
(2 − 5)2 _____ 22 − 52
√27: 8 ____ √27: √8
(−2)4 _____ − 24
√64. 4 ____ √64. √4
5 2
25
൬− ൰ ____
3
3
𝑎 −1
𝑏
( ) ____
𝑏
𝑎
20 ____ 1
√𝑎 + 𝑏 _____ √𝑎 + √𝑏
3
3
3
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Justificación:
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………..
EJERCICIO RESUELTO
Ahora veamos el siguiente ejercicio resuelto para integrar las propiedades estudiadas hasta el
momento. Resolvamos aplicando propiedades, cuando sea posible.
𝟏
𝟑 𝟑 −𝟏
𝟏𝟒𝟒 𝟏
√𝟓 − { . ൬ ൰ . [−𝟐 (√
+ ) + 𝟐𝟎 ] + √𝟓} =
⏞
𝟓 𝟓
𝟏𝟎𝟎 𝟐
𝟑
𝟐
𝟑 𝟑 −𝟏
𝟔 𝟏
𝟑 𝟑 −𝟏 −𝟏𝟐
√𝟓 − { . ൬ ൰ . [−𝟐 ൬ + ൰ + 𝟐𝟎 ] + √𝟓} =
⏞ √𝟓 − { . ൬ ൰ . [
− 𝟏 + 𝟐𝟎 ] + √𝟓} =
⏞
𝟓 𝟓
𝟓 𝟐
𝟓 𝟓
𝟓
𝟓
𝟒
𝟑 𝟑 −𝟏 −𝟏𝟐
𝟑 𝟑 −𝟏 −𝟏𝟐
√𝟓 − { . ൬ ൰ . [
− 𝟏 + 𝟏] + √𝟓} =
⏞ √𝟓 − { . ൬ ൰ . ൬
൰ + √𝟓} =
⏞
𝟓 𝟓
𝟓
𝟓 𝟓
𝟓
𝟔
𝟖 𝟏𝟐
𝟕
𝟑 𝟓 −𝟏𝟐
−𝟏𝟐
𝟏𝟐
√𝟓 − ൜ . . ൬
൰ + √𝟓ൠ =
⏞ √𝟓 − ൜𝟏. ൬
൰ + √𝟓ൠ =
⏞ √𝟓 +
− √𝟓 =
⏞
𝟓 𝟑
𝟓
𝟓
𝟓
𝟓
Referencias
1.
Propiedad distributiva de la raíz respecto al cociente
𝟏𝟒𝟒
C. Ax. √𝟏𝟎𝟎 =
2.
√𝟏𝟒𝟒
√𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟐
𝟔
= 𝟏𝟎 = 𝟓
Propiedad distributiva del producto respecto a la suma.
𝟔
𝟓
𝟏
𝟐
𝟔
𝟓
𝟏
𝟐
C. Ax. −𝟐 ( + ) = −𝟐. − 𝟐. = −
3.
Definición de potencia con exponente nulo.
4.
Propiedad de Existencia del elemento opuesto.
5.
Definición de potencia de exponente negativo.
6.
Propiedad de Existencia del elemento inverso multiplicativo.
7.
Propiedad distributiva del producto respecto a la suma.
C. Ax. − {
8.
−𝟏𝟐
+ √𝟓}
𝟓
=
𝟏𝟐
−
𝟓
𝟏𝟐
−
𝟓
𝟏
√𝟓
Propiedad de existencia del elemento opuesto.
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3.6.3. Operaciones con radicales
Hemos estudiado a los radicales y sus propiedades, ahora estudiemos como operar con ellos. Para
definir suma y resta de radicales es necesaria la siguiente definición de radicales semejantes.
Dos radicales son semejantes cuando tienen igual índice y el mismo radicando.
Por ejemplo, son semejantes a √𝟐, los números 𝟐√𝟐, −√𝟐, −𝟒√𝟐.
1. Suma o resta
Solo es posible sumar o restar radicales, si éstos son semejantes. El procedimiento para realizar estas
operaciones será explicado mediante un ejemplo.
𝟑
𝟑
−√𝟐 + 𝟑√𝟓 − √𝟓 + 𝟒√𝟐 =
Para resolver este tipo de expresión, analizamos primero si hay radicales que sean semejantes, y si
los hay, cuáles son. En este ejemplo marcamos con rojo y azul para diferenciar cuales términos son
semejantes entre sí. Como siguiente paso, asociamos según la semejanza
𝟑
𝟑
−√𝟐 + 𝟒√𝟐 + 𝟑√𝟓 − √𝟓 =
𝟑
Luego, sacamos factor común √𝟐 y √𝟓 respectivamente y operamos con los coeficientes
𝟑
𝟑
(−𝟏 + 𝟒)√𝟐 + (𝟑 − 𝟏)√𝟓 = 𝟑√𝟐 + 𝟐√𝟓
Finalmente, tenemos
𝟑
𝟑
𝟑
−√𝟐 + 𝟑√𝟓 − √𝟓 + 𝟒√𝟐 = 𝟑√𝟐 + 𝟐√𝟓
EJERCICIO GUIADO
Sea 𝒂 ∈ ℝ+ , resolvemos el siguiente ejercicio
𝟒
𝟒
√𝒂 + 𝟑√𝒂 − 𝟒 √𝒂 − √𝒂 =
𝟒
𝟒
√𝒂 + 𝟑√𝒂 − 𝟒 √𝒂 − √𝒂 =
(
−
) √𝒂 + (
−
𝟒
) √𝒂 =
√𝒂 −
𝟒
√𝒂
Por lo tanto,
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𝟒
𝟒
√ 𝒂 + 𝟑√ 𝒂 − 𝟐 √ 𝒂 − √ 𝒂 =
𝟒
√𝒂 −
√𝒂
2. Producto o cociente
Para realizar productos y cocientes de radicales no es necesario que éstos sean semejantes.
Explicaremos los distintos casos mediante ejemplos.
Distintos índices y radicando de potencias de igual base:
𝟑
√𝟐 . ඥ𝟐𝟐 =
Como primer paso, expresamos a los radicales como potencia de índice fraccionario
𝟏
𝟑
𝟐
√𝟐 . ඥ𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 . 𝟐𝟑
Como resultan ser potencia de igual base, por propiedad, súmanos los exponentes.
𝟏
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
𝟕
+
√𝟐 . ඥ𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 . 𝟐𝟑 = 𝟐𝟐 𝟑 = 𝟐𝟔
Luego aplicamos la propiedad de potencia de índice fraccionario. Resulta
𝟕
𝟑
𝟔
√𝟐 . ඥ𝟐𝟐 = 𝟐𝟔 = ඥ𝟐𝟕
NOTA: EL PROCEDIMIENTO ES ANÁLOGO PARA LA DIVISIÓN, PUES LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA SE CUMPLE TANTO PARA
EL PRODUCTO COMO PARA LA DIVISIÓN.
Distintos índices y distintos radicandos:
𝟑
√𝟐 ∶ ඥ𝟑𝟐
Primero escribimos los radicales como potencia de índice fraccionario
𝟏
𝟑
𝟐
√𝟐 ∶ ඥ𝟑𝟐 = 𝟐𝟐 ∶ 𝟑𝟑
Luego, encontramos un denominador común entre los exponentes, que equivale a buscar el mínimo
común múltiplo (𝑴. 𝑪. 𝑴. ) entre sus denominadores. En este caso 𝑴. 𝑪. 𝑴(𝟐, 𝟑) = 𝟔. Para
escribirlas en el mismo radical debemos amplificar los exponentes para que sus denominadores
coincidan
𝟑
𝟏
𝟐
𝟏 𝟑
𝟐 𝟐
𝟑
𝟒
∙
∙
√𝟐 ∶ ඥ𝟑𝟐 = 𝟐𝟐 ∶ 𝟑𝟑 = 𝟐𝟐 𝟑 ∶ 𝟑𝟑 𝟐 = 𝟐𝟔 ∶ 𝟑𝟔
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Escribimos en notacion de radicales y aplicamos la propiedad distributiva de la raiz respecto al
cociente.
𝟑
𝟑
𝟒
𝟔
𝟔
𝟔
√𝟐 ∶ ඥ𝟑𝟐 = 𝟐𝟔 ∶ 𝟑𝟔 = ඥ𝟐𝟑 ∶ ඥ𝟑𝟒 = ඥ𝟐𝟑 ∶ 𝟑𝟒
NOTA: EL PROCEDIMIENTO ES ANÁLOGO PARA LA MULTIPLICACIÓN, PUES LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA SE CUMPLE TANTO
PARA LA DIVISIÓN COMO PARA EL PRODUCTO.
EJERCICIO GUIADO
Aplicar las propiedades estudiadas para completar los espacios en blanco en el siguiente ejercicio:
𝟔
𝟔
𝟔
𝟔
𝟑
ඥ𝟓𝟑 ∶ ඥ𝟓𝟐 . ඥ𝟐𝟓 = 𝟓 ∶ 𝟓 . 𝟐 = 𝟓 𝟔 ∶ 𝟓 𝟔 . 𝟐 𝟔 = 𝟓 𝟔 . 𝟐 𝟔 = ඥ𝟓 . ඥ𝟐 = ඥ𝟓 . 𝟐
3.6.4. Racionalización
La racionalización de radicales es un proceso mediante el cual transformamos una expresión racional que
tiene una raíz en el denominador, a otra equivalente sin raíz en el denominador, es decir, tiene como
objetivo eliminar el radical en el denominador.
Cabe resaltar que la expresión a racionalizar puede tener la raíz con índice mayor que dos, por
ejemplo, raíz cubica, y dichas expresiones pueden ser un monomio, binomio, etc, y que la expresión
obtenida equivalente puede o no presentar raíces en el numerador.
En este curso solo estudiaremos los siguientes casos:
Monomio con radical de índice 2:
En este caso, la estrategia a seguir, es multiplicar y dividir la expresión por el monomio del
denominador. Por ejemplo:
𝟑
.
√𝟐
√𝟐 √𝟐
=
𝟑. √𝟐
𝟐
𝟐
(√𝟐)
=
𝟑√𝟐
𝟐
Binomio con radicales de índice 2:
En este caso, debemos multiplicar y dividir la expresión por el conjugado del denominador (el
conjugado del binomio 𝒂 + 𝒃 es el binomio 𝒂 − 𝒃).
𝟏
.
√𝟐 − √𝟑
√𝟐 + √𝟑 √𝟐 − √𝟑
=
√𝟐 − √𝟑
𝟐
(√𝟐) − √𝟐. √𝟑 + √𝟐. √𝟑 − (√𝟑)
𝟐
=
√𝟐 − √𝟑 √𝟐 − √𝟑
=
= −√𝟐 + √𝟑
𝟐−𝟑
−𝟏
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3.6.5. Logaritmo de un Número Real
Se llama logaritmo del número 𝒂 en la base 𝒃 al exponente al que hay que elevar la base 𝒃 para obtener
el número 𝒂. En símbolos
𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒂 = 𝒏 ⟺ 𝒃𝒏 = 𝒂 𝒄𝒐𝒏 𝒂, 𝒃 > 𝟎 𝒚 𝒃 ≠ 𝟏
Argumento
𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒂 = 𝒏
Valor del logaritmo
Base
Casos especiales
El logaritmo de un número es su misma base es igual a 1, en símbolos
𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒃 = 𝟏 pues 𝒃𝟏 = 𝒃
El logaritmo de 1 en cualquier base es siempre igual a 0, simbólicamente
𝒍𝒐𝒈𝒃 𝟏 = 𝟎 pues 𝒃𝟎 = 𝟏
Si la base es el número neperiano “𝒆”, entonces:
𝒍𝒐𝒈𝒆 𝒙 = 𝐥 𝐧 𝒙
se conoce como logaritmo natural o neperiano.
NOTA: 𝒆 ES UNO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES MÁS IMPORTANTES. EL VALOR DE 𝒆 TRUNCADO A SUS
PRIMERAS CIFRAS DECIMALES ES EL SIGUIENTE:
𝒆 = 𝟐, 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖𝟏𝟖𝟐𝟖𝟒𝟓𝟗𝟎𝟒𝟓𝟐𝟑 …
Veamos los siguientes ejemplos:
𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟒 = 𝟐 𝑝𝑢𝑒𝑠 𝟐𝟐 = 𝟒
𝒍𝒐𝒈𝟑 𝟗 = 𝟐 𝑝𝑢𝑒𝑠 𝟑𝟐 = 𝟗
𝐥𝐧 𝒆 = 𝒍𝒐𝒈𝒆 𝒆 = 𝟏 𝑝𝑢𝑒𝑠 𝒆𝟏 = 𝒆
Propiedades de los logaritmos
Logaritmo de un producto: 𝒍𝒐𝒈𝒃 (𝒎. 𝒏) = 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒎 + 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒏
Logaritmo de un cociente: 𝒍𝒐𝒈𝒃 (𝒎: 𝒏) = 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒎 − 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒏
Logaritmo de una potencia: 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒎𝒓 = 𝒓𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒎
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60
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Logaritmo de una raíz: 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒓√𝒎 =
𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒎
𝒓
EJERCICIO GUIADO
Completemos los espacios en blanco según corresponda, aplicando propiedades de logaritmos.
(𝟏)
(𝟐)
𝟏
𝒍𝒐𝒈𝒃 (𝒙. ඥ𝒚) =
⏞ 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒙 + 𝒍𝒐𝒈𝒃 ඥ𝒚 =
⏞ 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒙 + 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒚
𝟐
(1) Logaritmo de ………………………………….
(2) Logaritmo de ………………………………….
(𝟏)
(𝟐)
𝒍𝒐𝒈𝟐 (𝟑𝟐. 𝟒𝟐 ) =
⏞ 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟑𝟐 ____ 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟒𝟐 =
⏞ _____ + 𝟐. _____ = ____ + ______ = 𝟗
(1) Logaritmo de ……………………………….
(2) Logaritmo de ………………………………….
3.6.6. Valor absoluto de un número real
Gráficamente el valor absoluto de un número real, representa su distancia desde el origen de la recta
real, es decir, el 0.
ȁ−𝟐ȁ = ȁ𝟐ȁ
Formalmente se define como:
Para cualquier número real 𝑎, el valor absoluto de 𝒂, denotado por ȁ𝒂ȁ, se define:
𝒂, 𝒔𝒊 𝒂 ≥ 𝟎
ȁ𝒂ȁ = ൝
−𝒂 ,
𝒔𝒊 𝒂 < 𝟎
1
Por ejemplo, para determinar el valor absoluto de los siguientes números reales, −2, 3 , 1 − 𝜋
procedemos de la siguiente manera:
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ȁ−𝟐ȁ = −(−𝟐) = 𝟐
𝟏
𝟏
|𝟑| = 𝟑
ȁ𝟏 − 𝝅ȁ
=
⏟
− (𝟏 − 𝝅) = −𝟏 + 𝝅 = 𝝅 − 𝟏
(𝟏−𝝅)<𝟎
3.6.7. Intervalos
Hasta ahora estudiamos el conjunto de los números reales, sus propiedades y como operar con ellos,
pero a veces es necesario trabajar no solo con números reales aislados sino con un conjunto de ellos.
Por ello, a continuación, presentaremos la noción de intervalo.
Un intervalo es un conjunto de números reales que se encuentra comprendido entre dos números
reales, 𝒂 y 𝒃 o extremos. También puede llamarse subconjunto de la recta real.
Estos pueden representarse de diferentes maneras: a través del lenguaje coloquial, lenguaje simbólico
o desigualdad, notación de intervalo o gráficamente en la recta numérica. Por ejemplo,
Lenguaje coloquial
Simbólico
Intervalos
Todos los números reales
mayores que 𝟏 y menores o
iguales que 𝟐.
𝟏<𝒙≤𝟐
(𝟏, 𝟐]
Recta numérica
l
(
]
0
1
2
En notación de intervalo, el corchete (o punto lleno) indica que el número pertenece al intervalo (lo que en
lenguaje simbólico se traduce en un mayor o igual), y el paréntesis (o punto vacío) indica que no pertenece
(en lenguaje simbólico solo aparece como menor o mayor estricto) al mismo.
Tipos de intervalos
Cerrado
[
[𝒂, 𝒃] = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃}
−∞
𝒂
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]
𝒃
∞
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Abierto
Semicerrado a derecha o
semiabierto a izquierda
Semicerrado a izquierda o
semiabierto a derecha
(
(𝒂, 𝒃) = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒂 < 𝒙 < 𝒃}
−∞
)
𝒂
(
(𝒂, 𝒃] = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒂 < 𝒙 ≤ 𝒃}
−∞
−∞
∞
𝒃
∞
𝒃
∞
]
𝒂
[
[𝒂, 𝒃) = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒂 ≤ 𝒙 < 𝒃}
𝒃
)
𝒂
También existen intervalos que son especiales, ya que en sus extremos aparece el símbolo infinito.
[
Semirecta cerrada a
izquierda
[𝒂, ∞) = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒙 ≥ 𝒂}
Semirecta abierta a
izquierda
(𝒂, ∞) = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒙 > 𝒂}
Semirecta cerrada a
derecha
(−∞, 𝒃] = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒙 ≤ 𝒃}
Semirecta abierta a
derecha
(−∞, 𝒃) = {𝒙 ∈ ℝ: 𝒙 < 𝒃}
Recta Real
ℝ = (−∞, ∞)
−∞
𝑎
∞
(
−∞
𝑎
∞
]
−∞
𝑏
∞
)
−∞
𝑏
−∞
∞
∞
EJERCICIO GUIADO
Expresar el siguiente intervalo en lenguaje simbólico, notación de intervalo y representar en la recta
numérica:
𝑇𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 − 1 𝑦 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 2.
¿Cuáles son los extremos del intervalo?...................................................................................
¿El o los extremos pertenecen al intervalo?....... ¿Qué extremo pertenece al intervalo? ¿Cuál
no?...................................................................................................................................
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−𝟏 ⬚ 𝒙 ⬚ 𝟐
Lenguaje Simbólico
⬚ − 𝟏, 𝟐 ⬚
Notación de Intervalo
Recta Numérica
Ahora, expresar el siguiente intervalo en lenguaje coloquial, lenguaje simbólico y representar en la
recta numérica
[−𝟐, 𝟏]
Lenguaje Coloquial
𝑇𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 ______________________________________ 𝑞𝑢𝑒 − 𝟐 𝑦 _______________________________ 𝑞𝑢𝑒 1.
Lenguaje simbólico
−𝟐
𝒙
𝟏
Recta numérica
Dado que los intervalos son conjuntos, podemos definir entre ellos las operaciones presentadas en la
Unidad N°2, correspondiente a Teoría de Conjuntos. Para una mayor comprensión, presentamos el
siguiente ejercicio resuelto.
EJERCICIO RESUELTO
Sean los siguientes intervalos 𝐀 = [−𝟑, 𝟏) y 𝐁 = [−𝟏, 𝟐].
a. Representar gráficamente 𝐀 y 𝐁 sobre la misma recta real.
b. Determinar 𝐀 ∪ 𝐁 ,𝐀 ∩ 𝐁, 𝐀 − 𝐁. Graficar en diferentes rectas.
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𝐀 ∪ 𝐁 = [−𝟑, 𝟏) ∪ [−𝟏, 𝟐] = [−𝟑, 𝟐]
𝐀 ∩ 𝐁 = [−𝟑, 𝟏) ∩ [−𝟏, 𝟐] = [−𝟏, 𝟏)
𝐀 − 𝐁 = 𝐀 ∩ 𝐁𝐜 = [−𝟑, 𝟏) ∩ {(−∞, −𝟏) ∪ (𝟐, ∞)} = {[−𝟑, 𝟏) ∩ (−∞, −𝟏)} ∪ {[−𝟑, 𝟏) ∩ (𝟐, ∞)} =
[−𝟑, −𝟏) ∪ ∅ = [−𝟑, −𝟏)
EJERCICIO GUIADO
Sean los siguientes intervalos 𝑨 = [−𝟑, 𝟏) y 𝑩 = [−𝟏, 𝟐]. Determinar 𝑩 − 𝑨.
𝑩−𝑨=
∩
𝒄
= [−𝟏, 𝟐] ∩ {(−∞,
= {[−𝟏, 𝟐]
(−∞, −𝟑)}
)∪[
, ∞)}
{[−𝟏, 𝟐]
[𝟏, ∞)} = ∅ ∪ [𝟏, 𝟐] = [
,
]
3.7. Regla de tres simple
Dados dos números en cierto orden, distintos de cero, se llama razón al cociente entre ellos.
Dados cuatro números distintos de cero, en cierto orden, constituyen una proporción si la razón entre
los dos primeros es igual a la razón del segundo par. Simbólicamente:
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65
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Dados 𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅 con 𝒂 ≠ 𝟎, 𝒃 ≠ 𝟎, 𝒄 ≠ 𝟎 𝒚 𝒅 ≠ 0
𝒂
= 𝒎ۗ
𝒃
ۖ
𝒂 𝒄
𝑦
entonces = es una proporción.
𝒃 𝒅
ۘ
𝒄
=𝒎 ۖ
ۙ
𝒅
Si
Una de las aplicaciones más importantes de las proporciones se encuentra en la resolución de los
problemas de regla de tres simple.
En la regla de tres simple, se establece la relación de proporcionalidad entre dos valores conocidos 𝒂
y 𝒃 y, conociendo un tercer valor 𝒄, calculamos un cuarto valor 𝒙.
𝒂 ⟶𝒃
𝒄⟶𝒙
La relación de proporcionalidad puede ser directa o inversa.
3.7.1. Regla de tres simple directa
Decimos que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumento o
disminución de una de ellas le corresponde, respectivamente, un aumento o
disminución proporcional de la otra.
En la relación de tres simple directa se cumple:
𝒂 𝒄
= =𝒎
𝒃 𝒅
Donde 𝒎 es la constante de proporcionalidad. Para que esta proporcionalidad se cumpla se tiene que a
un aumento de 𝒂 le corresponde un aumento de 𝒃 en la misma proporción. Se puede representar de la
forma:
𝒂 ⟶𝒃
}⟹𝒙=
𝒄 ⟶𝒙
𝒄. 𝒃
𝒂
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EJERCICIO GUIADO
Al llegar al hotel nos han dado un mapa con los lugares de interés de la ciudad, y nos han dicho que 5
centímetros del mapa representan 350 metros de la realidad. Hoy queremos ir a un parque que se
encuentra a 9 centímetros del hotel en el mapa. ¿A qué distancia del hotel se encuentra este parque?
¿Cuándo una magnitud aumenta, la otra aumenta o disminuye?.............................................. Entonces
es un caso de proporcionalidad…………………………. y se resuelve usando regla de tres simple
………………………………..
Podemos representar nuestro problema de la siguiente manera:
Centímetros
Metros en
en el mapa
la realidad
𝟓𝒄𝒎 →
𝟑𝟓𝟎m
9cm →
𝒙
𝒙=
⬚. ⬚
= 𝟔𝟑𝟎𝒎
𝟓
Es decir, el parque queda a 630 metros del hotel.
3.7.2. Caso especial. Porcentaje.
Hasta el momento hemos desarrollado el 97% del contenido de esta unidad… ¿Pero a que nos
referimos cuando hablamos de porcentajes?
El 𝐴% de una cantidad 𝐵, es tomar 𝐴 de las 100 partes en que se divide 𝐵. Se puede
representar de la siguiente manera:
100 ⟶ 𝐵
}⟹𝑥=
𝐴 ⟶𝑥
𝐴. 𝐵
100
NOTA: SABEMOS QUE EL PORCENTAJE SE DENOTA CON “%” Y QUE INDICA QUE UN NÚMERO SE DIVIDE EN 100 PARTES
IGUALES. PERO TAMBIÉN EXISTEN LOS SIGUIENTES SÍMBOLOS COMO: ‰ (POR MIL) Y ‱ (POR DIEZ MIL), QUE INDICAN QUE
UN NÚMERO SE DIVIDE POR MIL O DIEZ MIL, RESPECTIVAMENTE.
Cuando trabajamos con porcentajes pueden presentarse diferentes situaciones, veamos esto con los
siguientes ejemplos.
Regla de tres para calcular el porcentaje de un número:
Por ejemplo, calculemos el 30% de 650
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Porcentaje
Cantidad
𝟏𝟎𝟎 →
𝟔𝟓𝟎
𝟑𝟎 →
𝒙
𝒙=
𝟑𝟎. 𝟔𝟓𝟎
= 𝟏𝟗𝟓
𝟏𝟎𝟎
Así, resulta que el 30% de 650 es 195.
Regla de tres para calcular una cantidad conociendo un porcentaje de ella:
Por ejemplo, sabemos que el 25% de una cantidad es 49. ¿Cuál es esa cantidad?
Porcentaje
Cantidad
𝟐𝟓 →
49
𝟏𝟎𝟎 →
𝒙
𝒙=
𝟏𝟎𝟎. 𝟒𝟗
= 𝟏𝟗𝟔
𝟐𝟓
La cantidad total resulta 196.
Regla de tres para calcular el porcentaje que representa una cantidad sobre otra.
Ahora, por ejemplo, queremos saber ¿qué porcentaje de 250 representa 50?
Cantidad
Porcentaje
𝟐𝟓𝟎 →
𝟓𝟎
𝟏𝟎𝟎
→
𝒙=
𝒙
𝟏𝟎𝟎. 𝟓𝟎
= 𝟐𝟎
𝟐𝟓𝟎
Entonces 50 representa un 20% de 250.
Regla de tres para calcular el porcentaje de una cantidad desconocida sabiendo otro porcentaje de esa
cantidad.
En este caso sabemos que 40% de una cantidad es 78, ¿cuánto será el 60% de esa misma cantidad?
Porcentaje
Cantidad
𝟒𝟎 →
𝟕𝟖
𝟔𝟎 →
𝒙
𝒙=
𝟔𝟎. 𝟕𝟖
= 𝟏𝟏𝟕
𝟒𝟎
El 60% de esa cantidad es 117.
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NOTA: HEMOS COLOCADO LA INCÓGNITA EN EL MISMO LUGAR EN LOS DIFERENTES CASOS, ESTO NOS PERMITE
ENCONTRAR EL RESULTADO SIN HACER VARIACIONES EN LA FÓRMULA DE TRES SIMPLE DIRECTA DADA ORIGINALMENTE.
TAMBIÉN HEMOS HECHO USO DE COLUMNAS, TENEMOS PORCENTAJE POR UN LADO Y CANTIDADES POR EL OTRO, ESTO
ES MUY IMPORTANTE A LA HORA DE PLANTEAR EL PROBLEMA Y RESOLVER EL EJERCICIO.
3.7.3. Regla de tres simple inversa.
Diremos que dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumento de una le
corresponde una disminución proporcional de la otra y a la disminución de la primera,
un aumento proporcional de la segunda.
En la relación de tres simple inversa se cumple:
𝒂. 𝒃 = 𝒄. 𝒅 = 𝒎
donde 𝒎 es un producto constante. Para que esta constante se conserve, un aumento de 𝒂 necesitará
una disminución de 𝒃. Esta relación puede representarse de la forma:
𝒂 ⟶𝒃
}⟹𝒙=
𝒄 ⟶𝒙
𝒂.𝒃
𝒄
EJERCICIO GUIADO
Ayer 2 camiones transportaron una mercancía desde el puerto hasta el
almacén. Hoy 3 camiones, iguales a los de ayer, tendrán que hacer 6
viajes para transportar la misma cantidad de mercancía del almacén al
centro comercial. ¿Cuántos viajes tuvieron que hacer ayer los
camiones?
¿Cuándo una magnitud aumenta, la otra aumenta o disminuye?..............................................
Entonces es un caso de proporcionalidad…………………………. y se resuelve usando regla de tres
simple …………..
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Podemos representar nuestro problema de la siguiente manera:
Cantidad de
camiones
𝟑 →
𝟐
→
Cantidad de
viajes
𝟔
𝒙=
⬚ . ⬚
=𝟗
𝟐
𝒙
Tuvieron que hacer un total de 9 viajes.
3.8. Ejercicios
1.- Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). En caso de ser falsas
justificar o dar un contraejemplo.
a. La diferencia entre dos números naturales es siempre otro número natural.
b. Existen infinitos racionales entre 0 y 1.
c. Hay números enteros que no son racionales.
d. Hay números decimales que no son racionales.
e. Algunos números racionales tienen infinitas cifras que se repiten.
f. Todos los números irracionales son reales.
g. La raíz cuadrada de un número negativo es un número real.
h. Para sumar o restar radicales estos deben ser semejantes.
i. El logaritmo de un número real negativo es un número real.
j. El logaritmo de base 1 de un número real es otro número real.
k. El valor absoluto de un número siempre es positivo.
2.- Resolver las siguientes operaciones con números racionales.
a.
𝟓
𝟒 𝟐
− 𝟑 : (𝟑 +
𝟔
𝟔
𝟏) =
𝟗
𝟕
d.
𝟕
b. [ : − (𝟐 − )] + =
𝟓 𝟏𝟎
𝟏𝟐
𝟐𝟒
c.
𝟓
𝟕
𝟏 𝟑
− (𝟏𝟔 + 𝟒 : 𝟓)
𝟑
e.
=
𝟐 𝟏
+
𝟑 𝟔
𝟕 𝟏𝟖
∙
𝟗 𝟑
=
𝟏
𝟒
𝟓 𝟑
−
𝟖 𝟒
𝟏
𝟐
(𝟏− ):(𝟏+ )
=
3.- Dadas las siguientes proposiciones, decidir V o F según corresponda.
a. −7 ∈ ℕ
b. √2 ∈ ℚ
c. 4 ∈ ℤ
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d. 3𝜋 ∈ ℚ
f.
e. −6 ∈ ℚ
1
2
h. √−3 ∈ ℝ
∈ℤ
i.
g. 1 ∈ ℝ
𝜋2 ∈ ℝ
4.- Indicar a que conjuntos pertenece cada uno de los siguientes números.
Número
𝟏
−
𝟑
𝟐 −𝟏
൬ ൰
𝟒
̂
𝟎, 𝟑
𝝅𝟐
𝟒
ඥ𝟑
𝟎, 𝟓
ℕ
ℤ
ℚ
𝕀
ℝ
5.- Ubicar los siguientes números reales en la recta numérica.
−𝟐,
𝟐
,
𝟑
√𝟓,
𝝅,
𝟑
6.- Completar el siguiente cuadro según corresponda.
Número
Opuesto
Inverso multiplicativo
𝟏/𝟑
−𝟐
−𝟏
𝟓/𝟐
7.- Resolver las siguientes operaciones con utilizando la definición y propiedades de potenciación y
radicación.
a.
𝒂𝟑 .𝒂𝟓
𝒂𝟔 :𝒂𝟒
𝟏
=
𝟖𝟏 𝟗 𝟐
d. √√𝟏𝟔 : (𝟒) =
𝟏
𝟑
b. √(𝟖𝟓 . 𝟖𝟒 : 𝟖𝟖 )−𝟏 . 𝟖 =
c.
𝟗 𝟐𝟓
√ ∙
𝟒 𝟖𝟏
e. √𝟐ඥ𝟐√𝟐 =
=
f.
𝟏 −𝟑
𝟐
𝟐𝟒
𝟐𝟐 .( )
=
8.- Resolver las siguientes operaciones con números reales. Utilizando las propiedades siempre que
sea posible.
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𝟒 −𝟐
𝟔
a. (𝟓 − 𝟓)
b.
𝟏𝟔
√𝟏 +
𝟗
c.
𝟏 −𝟐
(𝟐−𝟏 . 𝟐)
−𝟐
−𝟑
−
+ (𝟏 −
𝟏
√ +
𝟔𝟒
𝟑 𝟐
):
𝟒 𝟑
𝟐
√𝟐: √𝟐𝟓
𝟑 −𝟏
𝟏
𝟐𝟓
d. (− 𝟐 + 𝟒)
+ √𝟏𝟔 − 𝟐−𝟏 =
𝟑
𝟑
− √−𝟖. (− 𝟐) + (−𝟐)−𝟐 =
𝟓 𝟑
𝟑
=
=
e. √𝟑: √𝟏𝟔 + 𝟐𝟎 − 𝟐. (𝟐) =
𝟑
f. √𝟕 −
𝟏 −𝟏
൝𝟑 ൬𝟐. (𝟐)
𝟐 𝟐
−𝟏
−𝟏
− (𝟑 ) . 𝟗
൰+
𝟏
ቆ√𝟕ቇ
𝟑
}=
9.- Efectuar las siguientes sumas y restas de radicales semejantes.
a. 𝟑√𝟐 + 𝟓√𝟐 − √𝟐 =
c. 𝟑√𝟐 − 𝟓√𝟑𝟐 + 𝟕√𝟖 =
b. 𝟓√𝟑 − 𝟐√𝟓 + √𝟑 + 𝟕√𝟓 =
d. 𝟒√𝟑 − 𝟔√𝟐𝟓 − 𝟖√𝟐𝟕 + √𝟐𝟎 =
𝟒
10.- Resolver las siguientes multiplicaciones y divisiones de radicales.
𝟗
𝟑
𝟑
a. √𝟐𝟑 . √𝟐 =
c. √𝒂𝟐 . 𝟔√𝒂: √𝒂𝟓 =
𝟑
𝟑
b. √𝒂𝟐 : √𝒃𝟓 =
𝟗
d. √𝒂𝟐 : √𝒃𝟒 =
11.- Racionalizar las siguientes expresiones.
a.
b.
𝟐
√𝟑
𝟏
√𝒂
=
c.
=
d.
𝟏
√𝒂−√𝒃
𝟐
√𝟑+√𝟓
=
=
12.- Desarrollar aplicando propiedades de logaritmo.
a. 𝒍𝒐𝒈𝒃 (𝒙. 𝒚𝟐 ) =
d. 𝒍𝒐𝒈𝒃 ൬
ඥ𝒚
b. 𝒍𝒐𝒈𝒃 ൬ ൰ =
𝟑
√𝒙.𝒚𝟐
൰
𝒛
=
𝒙 𝟐
𝒛
e. 𝒍𝒐𝒈𝒃 (𝒚) =
c. 𝒍𝒐𝒈𝒃 (𝒙𝟑 . 𝟒ඥ𝒚) =
13.- Calcular el valor del logaritmo, haciendo uso de las propiedades previamente.
a. 𝒍𝒐𝒈𝟐 (𝟑𝟐. 𝟐𝟓 . 𝟒) =
f.
b. 𝒍𝒐𝒈𝟑 (𝟗𝟐 . √𝟖𝟏) =
g. 𝒍𝒐𝒈𝟔 (𝟐𝟏𝟔: √𝟑𝟔) =
𝒍𝒐𝒈𝟒 (𝟐𝟓𝟔. 𝟒) =
c. 𝟖. 𝒍𝒐𝒈𝟓 √𝟓 =
d. 𝟐𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟔 − 𝟐. 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟑 =
𝟏
𝟏
e. 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟒 − 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝟏𝟔
14.- Escribir como un solo logaritmo.
a. 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒙 + 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒚 =
c. 𝟐(𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒙 − 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒚) =
b. 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒙 − 𝟐𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒚 =
d. 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒙 − 𝟑 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒚 + 𝟐𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒛 =
𝟏
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15.- Completar el siguiente cuadro.
Número
𝟏
𝟒
−2
−
−ඥ𝟐
𝟓
𝟑
Valor absoluto
16.- Completar el siguiente cuadro.
Coloquial
Simbólico
Intervalo
Recta Real
Todos los números
reales mayores que 𝟏 y
menores que 𝟑.
−𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏
[1,3)
( l
-1 0
)
1
Todos los números
reales mayores que 2.
𝒙 ≤ −𝟏
17.- Dados los siguientes conjuntos:
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≥ −1} ; 𝐵 = (−3, 5] ; 𝐶 = {𝑥 ∈ ℝ / 1 ≤ 𝑥 < 6} ;
𝐷 = (3, +∞)
Resolver las siguientes operaciones:
a. 𝐴 ∪ 𝐵 =
d. 𝐴𝑐 ∩ 𝐵 =
b. 𝐵 ∩ 𝐶 =
e. 𝐴 − 𝐵 =
c. 𝐶 − 𝐷 =
f. 𝐴 ∩ 𝐷 =
18.- Resolver las siguientes situaciones problemáticas.
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73
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a. Se necesita colocar un techo para cubrir una cancha de básquet con una superficie de 420
metros cuadrados. Si el metro cuadrado de material tiene un costo de 250 pesos ¿Cuánto se
gastará para cubrir la cancha?
b. Si 3 pintores tardan 10 días en pintar una casa. ¿Cuántos días tardarán 6 pintores en realizar el
mismo trabajo?
c. Una empresa constructora pavimenta 85 metros por día, ¿cuantos kilómetros serán
pavimentados en 5 días?
d. Si 36 obreros cavan un total de 120 metros diario ¿Cuál será el avance diario si se ausentan 6
obreros?
e. El curso de ingreso 2021 de la Facultad de Ciencias Exactas y Tecnologías cuenta con un total
de 650 aspirantes, de los cuales 320 tienen residencia en el interior de la provincia ¿Qué
porcentaje de aspirantes tiene residencia en el interior de la provincia?
f.
El precio de un ordenador es de 35.000 pesos sin IVA ¿Cuál será el costo total sabiendo que el
IVA en Argentina es del 21%?
g. Una bomba que mana 1200 litros por hora tarda 40 horas en llenar una piscina de 48.000 litros
de capacidad. ¿Cuánto tardara si el caudal es de 3600 litros por hora?
h. Deseamos hacer un viaje de Santiago del Estero a Córdoba. Si se viaja a una velocidad
constante de 90 kilómetros por hora se llega a destino en un total 6 horas ¿Cuánto tardaremos
si viajamos a 120 kilómetros por hora?
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74
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UNIDAD 4: Relaciones y Funciones
4.2. Introducción
Con frecuencia en nuestra vida cotidiana, nos encontramos con problemas donde existe una relación
entre variables. Por ejemplo, el salario de una persona puede depender del número de horas que
trabaje; la producción total de una fábrica puede depender del número de máquinas que se utilicen,
etc. Es decir, en muchos ámbitos de la vida hay (por lo menos) dos variables relacionadas entre sí.
Comprender de qué manera se vinculan estas variables, exige que el estudiante se interiorice en
unos conceptos previos como el de Variable, Relación, Gráfico, Ecuación, Función, entre otros.
El propósito de esta unidad es introducirlos en el concepto de función, su representación gráfica y su
clasificación, entre otros contenidos conceptuales como el de Ecuaciones. Para esto, vamos a
comenzar primero por el concepto de Relación Matemática.
4.3. Preliminares: Pares Ordenados y Relaciones
Entre los elementos de un conjunto o de dos conjuntos se pueden establecer ciertas relaciones.
Estamos muy habituados a expresar relaciones de forma coloquial. Por ejemplo, cuando decimos:
𝐽𝑢𝑎𝑛 𝑒𝑠 ℎ𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑃𝑒𝑑𝑟𝑜
3
𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒
5
(𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠)
(𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠)
estamos relacionando dos elementos de un mismo conjunto.
En cambio, en estas expresiones:
𝐿𝑖𝑚𝑎 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑃𝑒𝑟ú
𝑆𝑎𝑛 𝑀𝑎𝑟𝑡í𝑛 𝑛𝑎𝑐𝑖ó 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑌𝑎𝑝𝑒𝑦ú
(𝐶𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 − 𝑃𝑎í𝑠𝑒𝑠)
(𝑃𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠 − 𝐶𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠)
se vinculan elementos de dos conjuntos.
Generalizando, podemos expresar que dos elementos 𝒙 e 𝒚 están vinculados por la relación 𝑹,
escribiendo:
𝒙 𝑹 𝐲
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Por ejemplo, establezcamos la relación:
𝑹: 𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦
Entre el conjunto de personas y el conjunto de inventos.
𝐴 = {𝑥/𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎}
𝐵 = {𝑦/𝑦 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜}
Si 𝐹𝑟𝑎𝑛𝑘𝑙𝑖𝑛 ∈ 𝐴 y 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑟𝑟𝑎𝑦𝑜𝑠, 𝑐𝑖𝑛𝑒 ∈ 𝐵, dada la relación 𝑹 podemos decir que:
𝐹𝑟𝑎𝑛𝑘𝑙𝑖𝑛 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑟𝑟𝑎𝑦𝑜𝑠.
𝐹𝑟𝑎𝑛𝑘𝑙𝑖𝑛 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑛𝑒.
(𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜)
(𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜)
Si el par (𝑥, 𝑦) hace verdadera la proposición, se dice que (𝑥, 𝑦) satisface a la
relación o que pertenece a ella, y se escribe:
𝑥𝑹𝑦
ó
(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑹
Siguiendo el ejemplo podemos decir que (𝐹𝑟𝑎𝑛𝑘𝑙𝑖𝑛, 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑟𝑟𝑎𝑦𝑜𝑠) ∈ 𝑹 pero (𝐹𝑟𝑎𝑛𝑘𝑙𝑖𝑛, 𝑐𝑖𝑛𝑒) ∉ 𝑹.
Observemos las siguientes proposiciones:
𝐹𝑟𝑎𝑛𝑘𝑙𝑖𝑛 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑟𝑟𝑎𝑦𝑜𝑠.
(𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜)
𝑃𝑎𝑟𝑎𝑟𝑟𝑎𝑦𝑜𝑠 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝐹𝑟𝑎𝑛𝑘𝑙𝑖𝑛.
(𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜)
Esto significa que los elementos del par ordenado deben considerarse en un orden determinado. Esto
es:
(𝐹𝑟𝑎𝑛𝑘𝑙𝑖𝑛, 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑟𝑟𝑎𝑦𝑜𝑠) ≠ (𝑝𝑎𝑟𝑎𝑟𝑟𝑎𝑦𝑜𝑠, 𝐹𝑟𝑎𝑛𝑘𝑙𝑖𝑛)
En general decimos que un par (𝑎, 𝑏) es ordenado cuando (𝑎, 𝑏) ≠ (𝑏, 𝑎). Formalmente:
Se denomina par ordenado a un conjunto formado por 2 (dos) elementos, no
necesariamente distintos, dados en un cierto orden. Simbólicamente lo expresamos
como (𝒂, 𝒃), donde 𝒂 es el primer elemento o primera componente, y 𝒃 es el
segundo elemento o segunda componente.
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4.4. Producto Cartesiano
Se llama producto cartesiano de un conjunto 𝑨 por otro conjunto 𝑩 (simbolizado 𝑨 × 𝑩), al conjunto
de todos los pares ordenados cuyo primer elemento pertenece a 𝑨 y cuyo segundo elemento
pertenece a 𝑩. Simbólicamente:
𝑨 × 𝑩 = {(𝒂, 𝒃)/𝒂 ∈ 𝑨 ∧ 𝒃 ∈ 𝑩}
Por ejemplo, consideremos los siguientes conjuntos:
𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟑}
𝒚
𝑩 = {𝒙, 𝒚}
Calculemos el producto cartesiano de 𝑨 × 𝑩
𝑨 × 𝑩 = {(𝟏, 𝒙), (𝟐, 𝒙), (𝟑, 𝒙), (𝟏, 𝒚), (𝟐, 𝒚), (𝟑, 𝒚)}
𝟔 𝒑𝒂𝒓𝒆𝒔
NOTA: SI UN CONJUNTO 𝑨 TIENE 𝒎 ELEMENTOS, Y UN CONJUNTO 𝑩 TIENE 𝒏 ELEMENTOS, ENTONCES EL
PRODUCTO CARTESIANO 𝐀 × 𝐁 TIENE 𝒎. 𝒏 ELEMENTOS.
Ahora bien, si consideramos el producto 𝑩 × 𝑨, el primero elemento de cada par pertenece a 𝑩 y el
segundo elemento pertenece a 𝑨.
𝑩 × 𝑨 = {(𝒙, 𝟏), (𝒙, 𝟐), (𝒙, 𝟑), (𝒚, 𝟏), (𝒚, 𝟐), (𝒚, 𝟑)}
𝟔 𝒑𝒂𝒓𝒆𝒔
NOTA: (𝟏, 𝒙) ≠ (𝒙, 𝟏), PUES SON PARES ORDENADOS. CON LO CUAL: 𝑨 × 𝑩 ≠ 𝑩 × 𝑨. ES DECIR, EL
PRODUCTO CARTESIANO NO ES CONMUTATIVO.
𝑨
El producto cartesiano se puede representar mediante diagramas
𝑩
𝟏
de Venn, sistemas de ejes cartesianos (que se detalla en el Anexo
𝒙
𝟐
de esta unidad) y tablas. Si 𝑨 y 𝑩 son los conjuntos del ejemplo
𝒚
𝟑
anterior, el diagrama de Venn del producto cartesiano de 𝑨 × 𝑩
será el que se muestra en la imagen.
𝑨×𝑩
En particular podemos considerar el producto cartesiano de un conjunto 𝐀 por sí mismo. En este
caso, ambas componentes de cada par ordenado son elementos de 𝑨.
Por ejemplo: Sea 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}
y
𝐵 = {1,2}.
𝐴 × 𝐴 = 𝐴2 = {(𝑎, 𝑎), (𝑎, 𝑏), (𝑎, 𝑐), (𝑏, 𝑎), (𝑏, 𝑏), (𝑏, 𝑐), (𝑐, 𝑎), (𝑐, 𝑏), (𝑐, 𝑐)}
𝐵 × 𝐵 = 𝐵2 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}
9 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
4 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
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4.5. Relaciones. Dominio e Imagen de una Relación
Dados dos conjuntos 𝑨 y 𝑩, definir una relación entre los elementos de ambos conjuntos, es fijar
una regla de correspondencia entre ellos. Supondremos que la misma se establece desde 𝑨
hacia 𝑩 y la representaremos como 𝑹: 𝑨 𝑩. Formalmente:
Se llama relación entre un conjunto 𝑨 y otro 𝑩 a todo subconjunto del producto
cartesiano 𝑨 por 𝑩 (𝑨 × 𝑩). En símbolos: 𝑹 ⊆ 𝑨 × 𝑩.
El conjunto 𝑨 recibe el nombre de conjunto de partida de la relación y el conjunto 𝑩 conjunto de llegada
de la relación. Por ejemplo
Si 𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟑}, 𝑩 = {𝒙, 𝒚} y 𝑨 × 𝑩 = {(𝟏, 𝒙), (𝟐, 𝒙), (𝟑, 𝒙), (𝟏, 𝒚), (𝟐, 𝒚), (𝟑, 𝒚)}, podemos definir
algunas relaciones entre 𝐴 y 𝐵, como las que siguen:
𝑹𝟏 = {(𝟐, 𝒙), (𝟑, 𝒚)}
𝑹𝟐 = {(𝟏, 𝒙), (𝟐, 𝒙), (𝟑, 𝒙)}
𝑹𝟑 = {(𝟐, 𝒚)}
𝑹𝟑 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎.
NOTA: EN ALGUNOS CASOS PARTICULARES 𝑹 PUEDE SER VACÍA CUANDO NINGÚN PAR LA SATISFACE, O
PUEDE COINCIDIR CON EL PRODUCTO CARTESIANO CUANDO LA SATISFACEN TODOS LOS PARES. EN TALES
CASOS ESCRIBIREMOS
𝑹 = ∅ Y 𝑹 = 𝑨 × 𝑩 RESPECTIVAMENTE.
Una relación es, entonces, un conjunto de pares ordenados que podemos definir por extensión o por
comprensión. Por ejemplo:
𝑹 = {(𝟏, 𝟏), (𝟐, 𝟒), (𝟑, 𝟗), (𝟒, 𝟏𝟔)}
Por Extensión
𝑹 = {(𝒙, 𝒚)/ 𝒚 = 𝒙𝟐 ∧ 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒 ∧ 𝒙 ∈ ℕ}
Por Comprensión
4.5.1. Dominio e imagen de una relación.
El conjunto de las primeras componentes de cada par ordenado de una relación 𝑹 de 𝑨 en 𝑩 se
llama Dominio de 𝑹 y se lo simboliza con 𝒅(𝑹) o 𝒅𝒐𝒎(𝑹). Este es un subconjunto del conjunto de
partida. Es decir: 𝒅𝒐𝒎(𝑹) ⊆ 𝑨.
𝒅𝒐𝒎(𝑹) = {𝒙 ∈ 𝑨/(𝒙, 𝒚) ∈ 𝑹}
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De igual forma, el conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de una relación 𝑹
de 𝑨 en 𝑩 se llama Imagen o Recorrido de 𝑹 y lo simbolizamos con 𝑰𝒎(𝑹). La imagen es un
subconjunto del conjunto de llegada de 𝑹: 𝑰𝒎(𝑹) ⊆ 𝑩.
𝑰𝒎(𝑹) = {𝒚 ∈ 𝑩/(𝒙, 𝒚) ∈ 𝑹}
EJERCICIO RESUELTO
Sean los conjuntos 𝑨 = {2, 3, 4, 5} y 𝑩 = {4, 6, 8} y la relación:
𝑹 ∶ "𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒"
Si calculamos el producto cartesiano, tenemos:
𝑨 × 𝑩 = {(2,4), (2,6), (2,8), (3,4), (3,6), (3,8), (4,4), (4,6), (4,8), (5,4), (5,6), (5,8)}
Luego, la relación 𝑹 definida por extensión es:
𝑹 ∶ {(2,4), (2,6), (2,8), (3,6), (4,4), (4,8)} ⊂ 𝑨 × 𝑩
Siendo:
𝒅𝒐𝒎(𝑹) = {2,3,4} 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛.
𝑰𝒎(𝑹) = {4,6,8} 𝑙𝑎 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛.
4.6. Relación Inversa
Dada una relación 𝑹 de 𝑨 en 𝑩, podemos definir una nueva relación denominada relación Inversa y
denotada por 𝑹−𝟏 . Se define como el conjunto formado por todos los pares (𝒚, 𝒙) ∈ 𝑩 × 𝑨 tal que
(𝒙, 𝒚) ∈ 𝑹. Formalmente, definimos
Sea 𝑹 ⊆ 𝑨 × 𝑩. La relación Inversa 𝑹−𝟏 es la relación de 𝑩 en 𝑨 dada por:
𝑹−𝟏 = {(𝒃, 𝒂) ∈ 𝑩 × 𝑨/(𝒂, 𝒃) ∈ 𝑹}
Es decir 𝑹−𝟏 ⊆ 𝑩 × 𝑨, en donde:
𝒅𝒐𝒎(𝑹−𝟏 ) = 𝑰𝒎(𝑹)
𝒚
𝑰𝒎(𝑹−𝟏 ) = 𝒅𝒐𝒎(𝑹)
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EJERCICIO RESUELTO
Consideremos la relación del ejemplo anterior, donde:
𝑨 = {2, 3, 4, 5} y 𝑩 = {4, 6, 8} y la relación es 𝑹: "𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒", estaba dada por
𝑹 = {(2,4), (2,6), (2,8), (3,6), (4,4), (4,8)} ⊂ 𝑨 × 𝑩
Definamos, ahora, el producto cartesiano 𝑩 × 𝐀, por extensión:
𝑩 × 𝑨 = {(4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (8,2), (8,3), (8,4), (8,5)}
Luego, para obtener 𝑹−𝟏 debemos invertir el orden de los pares ordenados de 𝑹. Resulta entonces
𝑹−𝟏 = {(𝟒, 𝟐), (𝟔, 𝟐), (𝟖, 𝟐), (𝟔, 𝟑), (𝟒, 𝟒), (𝟖, 𝟒)} ⊂ 𝑩 × 𝑨
En este caso, podemos observar que la relación inversa de 𝑹 podría expresarse coloquialmente
como:
𝑹−𝟏 : "𝑒𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒".
Siendo:
𝒅(𝑹−𝟏 ) = {𝟒, 𝟔, 𝟖} = 𝑰𝒎(𝑹)
𝑰𝒎(𝑹−𝟏 ) = {𝟐, 𝟑, 𝟒} = 𝒅(𝑹)
4.7. Funciones
La Matemática nos brinda las herramientas para comprender otras ramas de la Ciencia. Nos permite
analizar variables biológicas, químicas, físicas, económicas, y muchas más.
En este caso, las funciones facilitan el análisis de las relaciones entre variables y la interpretación de
situaciones.
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4.7.1. Introducción: Situación Problemática
Cada uno de los siguientes diagramas representa la relación 𝑹: “ … 𝑙𝑒𝑦ó 𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑜. . . ”, entre el
conjunto de alumnos de un equipo y el conjunto de libros más recomendados por el profesor.
Observemos y analicemos los siguientes diagramas de Venn:
Sean los conjuntos:
𝑨 = {𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑝𝑜 𝑛º1} = {𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆},
𝑩 = {𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑝𝑜 𝑛º 2} = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓},
𝑪 = {𝑎𝑙𝑢𝑚𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑝𝑜 𝑛º3} = {𝒇, 𝒈, 𝒉, 𝒊, 𝒋} y
𝑳 = {𝑙𝑖𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑚𝑒𝑛𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑜𝑟} = {𝒎, 𝒏, 𝒔, 𝒕}.
NOTA: LA RELACIÓN ENTRE AMBOS CONJUNTOS VIENE DADA POR LAS FLECHAS.
R1
R2
R3
Si analizamos el primer diagrama de la relación 𝑹𝟏 , de cada uno de los alumnos del equipo
número 1 (conjunto 𝑨) sale por lo menos una flecha; esto significa que todos los alumnos leyeron al
menos un libro. Además, también vemos que del alumno 𝒂, salen dos flechas; esto significa que este
alumno ha leído dos libros.
Analicemos ahora cómo se da la relación 𝑹𝟐 , en los alumnos del equipo número 2 (conjunto 𝑩):
de cada alumno, excepto del alumno 4, sale una flecha. Esto significa que el alumno 4 no ha leído
ningún libro de los recomendados por el profesor y que los otros alumnos del equipo 𝑩 han leído solo
un libro.
Por último, observamos (en la relación 𝑹𝟑 ) que de todos los alumnos del equipo número 3
(conjunto 𝑪) sale solo una flecha; esto significa que todos los alumnos ha leído un solo libro.
De estos tres casos, el tercero representa a una función. Puesto que una función es una
relación entre dos conjuntos, donde a todos y cada uno de los elementos del conjunto de
partida le corresponde uno y solo un elemento en el conjunto de llegada.
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NOTA: NO IMPORTA QUE EN ALGÚN ELEMENTO DEL CONJUNTO DE LLEGADA NO LLEGUEN FLECHAS, O BIEN
LLEGUEN MÁS DE UNA. PERO DE CADA ELEMENTO DEL CONJUNTO DE PARTIDA DEBE SALIR SOLO UNA
FLECHA.
4.7.2. Función: Concepto
Sea 𝒇 una relación de 𝑨 en 𝑩. Diremos que 𝒇 ∶ 𝑨 ⟶ 𝑩 es una función
si y sólo sí:
𝒊) 𝒅𝒐𝒎(𝒇 ) = 𝑨
𝒊𝒊) ∀ 𝒙 ∈ 𝑨, ∀ 𝒚, 𝒛 ∈ 𝑩: [((𝒙, 𝒚) ∈ 𝒇 ∧ (𝒙, 𝒛) ∈ 𝒇) ⇒ 𝒚 = 𝒛]
La primera condición se llama Condición de Existencia. La misma garantiza la existencia de una
imagen para todos y cada uno de los elementos del conjunto de partida; es decir, todos los
elementos del conjunto de partida estarán relacionados, y por lo tanto, todo el conjunto de partida
será el dominio de la función.
La segunda condición, llamada Condición de Unicidad, garantiza una única imagen para cada elemento
del conjunto de partida. Es decir, exige que para cada elemento 𝒙 del conjunto 𝑨 sólo se le asigne un
único elemento del conjunto 𝑩.
NOTA:
LA EXPRESIÓN 𝒇 ∶ 𝑨 ⟶ 𝐁 SE LEE “𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖Ó𝑛 𝒇 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑨 𝑒𝑛 𝑩”.
LA EXPRESIÓN “𝒇 (𝒙) = 𝒚” SE LEE “𝒇 𝒅𝒆 𝒙 𝒆𝒔 𝒚”. DECIMOS QUE “𝒚 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝒙”, O QUE
“𝒙 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑒𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝒚 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖Ó𝑛 𝒇”.
A la variable asociada a los elementos 𝒙 del conjunto 𝑨 la denominamos variable independiente, y a la
variable asociada a los elementos 𝒚 del conjunto 𝑩, la denominamos variable dependiente.
Una función puede representarse mediante un diagrama, una tabla, un gráfico, y en muchos casos,
mediante una fórmula.
Para representar gráficamente una función en un Plano Cartesiano, se deben ubicar los valores de la
variable independiente en el Eje de las Abscisas (Eje 𝑥) y los valores de la variable dependiente,
sobre el Eje de las Ordenadas (Eje 𝑦).
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EJERCICIO RESUELTO
Determinar si las siguientes relaciones son funciones
𝒙
𝒚
1
2
2
-1
3
-4
4
0
Es función
𝒙
𝒚
1
-2
2
1
1
-3
3
0
Esta relación es función dado que a cada elemento 𝑥 se le asigna un
único elemento 𝑦.
Llamemos 𝑓 a la relación. Podemos observar que:
-
𝑓 (1)
𝑓 (2)
𝑓 (3)
𝑓 (4)
=
=
=
=
2; 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, (1,2) ∈ 𝑓 .
−1; 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, (2, −1) ∈ 𝑓 .
−4; 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, (3, −4) ∈ 𝑓 .
0; 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, (4,0) ∈ 𝑓 .
El dominio será 𝑑(𝑓) = {1,2,3,4} y 𝑟(𝑓) = {2, −1, −4,0}.
¿Por qué no es función?
En efecto, al elemento 𝑥 = 1 del dominio de la relación se le asignan dos
elementos del recorrido o conjunto imagen. Luego, no está cumpliendo
con la Condición de Unicidad para ser una Función.
No es función
Es función, pues:
A cada elemento del dominio le corresponde una sola imagen.
Es función
¿Por qué no es función?
Si consideramos, por ejemplo, al elemento 𝑥 = 5,9 del dominio de la
relación (dada por la curva), observamos que se le asignan más de un
elemento
de
la
variable
y:
aproximadamente
(5,9; 1,9),
(5,9; 3,7), (5,9; 6,9) pertenecen a la relación. Luego, no se está
cumpliendo con la Condición de Unicidad para ser una Función.
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4.7.3. Función Afín. Ecuación Explícita de la Recta.
A la función polinómica de primer grado dada por la ecuación 𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙 + 𝒃, siendo
𝒎 y 𝒃 números reales, se la denomina función afín.
Los coeficientes principal (𝒎) e independiente (𝒃) de la función reciben el nombre de Pendiente y
Ordenada al Origen, respectivamente.
La representación gráfica de una función afín es una recta, y su ecuación tiene la forma:
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 𝑐𝑜𝑛 𝒎 ≠ 𝟎.
Que se conoce como Ecuación Explícita de la Recta.
El término “𝒃” de la ecuación, se denomina ordenada al
origen, y es el valor donde la recta corta al Eje y. Se lo
determina haciendo 𝒇(𝟎) = 𝒃.
El término “𝒎𝒙”, se denomina término lineal.
El coeficiente “𝒎” se denomina la pendiente de la recta,
que se interpreta geométricamente como la inclinación o
dirección de la misma. Se puede determinar analíticamente
como el cociente entre la variación de la variable
dependiente (𝜟𝒚: se lee “𝒅𝒆𝒍𝒕𝒂 𝒚”) sobre la variación de la variable independiente (𝜟𝒙: se lee
“𝒅𝒆𝒍𝒕𝒂 𝒙”) de cualquier punto de la misma. Por lo tanto y en otras palabras, la pendiente es una
razón de cambio. Simbólicamente:
𝒎=
∆𝒚
∆𝒙
¿Cómo calculamos la pendiente?
Si consideramos una recta que pasa por los puntos 𝑷 = (𝒙𝟏 ; 𝒚𝟏 ) y 𝑸 = (𝒙𝟐 ; 𝒚𝟐 ). El cociente entre la
diferencia de ordenadas y la diferencia de abscisas de dichos puntos es la pendiente de la recta, y es
un valor que permanece constante. Luego, simbólicamente, la pendiente se calcula con la siguiente
fórmula:
𝒎=
∆𝒚 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
=
∆𝒙 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
El valor de la Pendiente determina que una función afín sea creciente, constante o decreciente.
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4.7.4. Función Creciente, Decreciente o Constante.
Sea la función 𝑓: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) → 𝐼𝑚(𝑓)⁄𝐷𝑜𝑚(𝑓) ⊆ ℝ ∧ 𝐼𝑚(𝑓) ⊆ ℝ y sea 𝐴 ⊆ 𝐷𝑜𝑚(𝑓). Diremos que:
𝑓 𝑒𝑠 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖,
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑥1 𝑦 𝑥2 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒𝑛 𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴,
𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑥1 < 𝑥2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥1 ) ≤ 𝑓(𝑥2 ).
𝑓 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖,
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑥1 𝑦 𝑥2 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒𝑛 𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴,
𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑥1 < 𝑥2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥1 ) ≥ 𝑓(𝑥2 ).
𝑓 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝐴 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖,
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑥1 𝑦 𝑥2 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒𝑛 𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴,
𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑥1 < 𝑥2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 ).
EJERCICIO GUIADO
1. Identificar 𝒎 y 𝒃 de las siguientes rectas y escribir su ecuación explícita. Decir, además, si son
crecientes, decrecientes o constantes (justificar), y si se trata de una función lineal o afín.
𝒎=
∆𝒚
𝟏−𝟎
=
=𝟐⇒𝒎=𝟐
∆𝒙 𝟎 − (− 𝟏)
𝟐
𝒃 = 𝟏. 𝑳𝒖𝒆𝒈𝒐: 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏
_______Función Afín creciente_____
_______________________________ _______________________________
_______________________________ _______________________________
_______________________________
_____________________________
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4.7.5. Representación gráfica de una Función Afín dada en forma explícita.
Existen dos métodos para trazar la recta correspondiente a una función Afín dada en su forma explícita.
1° Método: Representamos los parámetros de Pendiente y Ordenada.
Consideramos la Ecuación Explícita de la Recta:
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃.
Luego, identificamos el valor de la pendiente y de la ordenada al origen. A partir de estos datos
podremos realizar el gráfico de la función de forma rápida.
𝟏
Explicaremos el procedimiento mediante un ejemplo. Da la recta de ecuación 𝒚 = − 𝒙 + 𝟑.
𝟐
1
Identificamos: {
𝒎 = −2
(𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒)
𝒃 = 3 (𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑜𝑟í𝑔𝑒𝑛)
Dibujamos un Plano Cartesiano y ubicamos en él la ordenada al
origen (𝒃) en el 𝐸𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 o 𝐸𝑗𝑒 𝒚 (marcamos tal punto,
por él pasará la recta).
Seguidamente, marcamos la dirección de la recta haciendo uso de la
pendiente 𝑚 (inclinación); nos desplazaremos hacia la derecha tantas
unidades como indique el denominador de la misma. En nuestro caso,
1
como pendiente 𝒎 = − 2 , nos desplazaremos 2 unidades hacia la derecha
(variación de 𝑥: ∆𝑥).
Consecutivamente, nos desplazamos hacia arriba si 𝑚 > 0, o hacia
abajo si 𝑚 < 0, tantas unidades como indique el numerador de la
pendiente de la recta (variación del 𝑒𝑗𝑒 𝑦: ∆𝑦). En
nuestro caso debemos desplazarnos una unidad
hacia abajo (dado que la pendiente es negativa).
Luego, marcamos el segundo punto por el cual,
pasará la recta.
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Finalmente, trazamos la línea uniendo estos dos puntos y obteniendo así la gráfica de la recta
1
de ecuación: 𝑦 = − 2 . 𝑥 + 3.
NOTA: EN EL CASO DE QUE LA PENDIENTE SEA UN NÚMERO ENTERO, RECUERDE QUE EL DENOMINADOR ES 1 (UNO).
Antes de desarrollar el 2° Método para realizar el gráfico de una función Afín, es conveniente que el
estudiante pueda comprender un concepto fundamental que se vincula fuertemente con el concepto
de Función Afín, que es el de Ecuación Polinómica de Primer grado.
Nos centraremos puntualmente en este subtema, pero le sugerimos a los lectores que profundicen
estos conocimientos con los que figuran en el Anexo.
4.7.6. Ecuaciones. Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita.
Una ecuación es una igualdad en donde aparece un valor (o más) desconocido(s)
denominado incógnita(s) o variable(s). Generalmente a las incógnitas las denotamos
con las letras 𝒙, 𝒚, 𝒛...
Resolver una ecuación significa encontrar los valores de la variable que hacen cierta dicha igualdad.
Por lo tanto, una ecuación es una igualdad algebraica, que es cierta para algunos valores de las
incógnitas y falsa para otros. Por ejemplo
𝟑𝒙 − 𝟓 = 𝒙 + 𝟖
ó
𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏 = 𝟎
En una ecuación distinguiremos dos miembros separados por el signo igual (=). El miembro del lado
izquierdo de la igualdad se llama primer miembro, y el miembro del lado derecho se llama segundo
miembro.
Al conjunto formado por los valores de la variable que satisfacen la ecuación, se lo
denomina Conjunto Solución de la ecuación; y se lo designa con la letra 𝑺.
NOTA: EN EL ANEXO, EL ESTUDIANTE SE ENCONTRARÁ CON UNA CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES, QUE
LES PERMITIRÁ TENER NOCIONES GENERALES SOBRE LOS DIFERENTES TIPOS DE ELLAS.
Se denominan Ecuaciones Polinómicas de Primer Grado a las expresiones algebraicas con una incógnita
de la siguiente forma:
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𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎
𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0
Siendo 𝒂, 𝒃 números reales.
Además, el término 𝒂𝒙 se denomina término lineal, y el término 𝒃 se denomina término independiente.
Una ecuación, en una variable, es de Primer Grado cuando la variable está elevada a la primera
potencia; como consecuencia de ello, este tipo de ecuaciones admiten solo una raíz o solución. Es
decir, el conjunto solución está formado por un único elemento.
Veamos algunos ejemplos de expresiones que son y no son Ecuaciones de Primer Grado:
𝟓𝒙 + 𝟏 = 𝟎
𝑺í, 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜.
𝟒𝒙 + 𝟓 = 𝟑
𝑺í, 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜.
𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏 = 𝟎
𝟐
𝒙+𝟏
= 𝟏𝟔
𝑵𝒐, 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜. (Que veremos más adelante)
𝑵𝒐, 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 (𝑉𝑒𝑟 𝑎𝑛𝑒𝑥𝑜: 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑠. )
𝟑𝒙 − 𝟓 = 𝒙 + 𝟖
𝑺í, 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜.
NOTA: OBSERVAR LA SIMILITUD DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON LA ECUACIÓN GENERAL DE LA
FUNCIÓN AFÍN.
¿Cómo resolvemos este tipo de Ecuaciones?
Para resolver las ecuaciones de este tipo es conveniente reunir en el 1º miembro de la igualdad a los
términos que contienen a la variable 𝒙, y en el 2º miembro a los términos independientes. Veremos
el procedimiento mediante un ejercicio resuelto.
EJERCICIO RESUELTO
Resolver la siguiente ecuación de primer grado con una incógnita:
𝟑𝒙 − 𝟐 = 𝒙 + 𝟔
Como dijimos, resolver esta ecuación es hallar el valor de 𝒙 que satisface la igualdad. Reuniremos
todos los términos que contienen a 𝒙 en el primer miembro, y los términos independientes en el
segundo como sigue:
Restamos 𝒙 en ambos miembros de la igualdad y aplicamos las propiedades asociativa y del inverso
de la suma:
(𝟑𝒙 − 𝒙) − 𝟐 = (𝒙 − 𝒙) + 𝟔 ⟹ 𝟐𝒙 − 𝟐 = 𝟎 + 𝟔
Sumando en ambos miembros 2, por ser 0 (cero) el elemento neutro de la suma y por asociatividad:
𝟐𝒙 + (−𝟐 + 𝟐) = 𝟔 + 𝟐
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Efectuando las operaciones en cada miembro y teniendo en cuenta las propiedades ya mencionadas:
𝟐𝒙 = 𝟖
Multiplicando ambos miembros por
1
2
(inverso multiplicativo de 2):
𝟏
𝟏
∙ 𝟐𝒙 = ∙ 𝟖
𝟐
𝟐
Por propiedad del inverso y del neutro para el producto se tiene:
𝒙=𝟒
Luego, 4 la solución o raíz de la ecuación. Como las ecuaciones lineales con una incógnita tienen
una sola raíz, el conjunto solución está formado por un solo número: 𝐒 = {𝟒}.
NOTA: EN LA PRÁCTICA SE SINTETIZA ESTE PROCEDIMIENTO EFECTUANDO EL CONOCIDO “PASAJE DE
TÉRMINOS”.
El procedimiento efectuado para resolver la ecuación se corresponde con el siguiente concepto:
Ecuaciones equivalentes
Dos o más ecuaciones son equivalentes cuando admiten el mismo conjunto
solución.
Esta definición es importante en la práctica ya que una ecuación complicada de resolver se puede
llevar a otra equivalente de resolución más sencilla, empleando las siguientes propiedades de las
ecuaciones equivalentes:
Si se suma en ambos miembros de una ecuación un mismo polinomio, se obtiene otra
ecuación equivalente a la dada.
Si se multiplica ambos miembros de una ecuación por un mismo número distinto de cero, se
obtiene otra ecuación equivalente a la dada.
4.7.7. Representación gráfica de una Función Afín: Análisis.
Como hemos mencionado anteriormente, desarrollaremos el 2° método para graficar la recta asociada
a una función afín, teniendo en cuenta el análisis correspondiente de dicha función.
2° Método: Análisis de la Función
Consideremos la función afín trabajada anteriormente en la explicación del primer método:
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𝟏
𝒇(𝒙) = − 𝟐 𝒙 + 𝟑.
Para realizar su representación gráfica es necesario identificar y analizar algunos elementos
importantes.
Dominio e Imagen de la función afín (Función Polinómica de Primer grado):
Una característica de toda función de primer grado es que su dominio e imagen es
todo el conjunto de los números reales.
𝟏
Particularmente, para la función 𝒇(𝒙) = − 𝒙 + 𝟑 se tiene que 𝑑(𝑓) = ℝ y 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ.
𝟐
NOTA: EL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN SE DEBE VISUALIZAR EN EL EJE DE LAS ABSCISAS O 𝒆𝒋𝒆 𝒙 Y EL
RECORRIDO EN EL EJE DE LAS ORDENADAS O 𝒆𝒋𝒆 𝒚.
Intersecciones con los Ejes Coordenados:
Recordemos las ecuaciones de los ejes coordenados para poder realizar las intersecciones:
Ecuación del Eje 𝒙: 𝒚 = 𝟎
Ecuación del Eje 𝒚: 𝒙 = 𝟎
⃗⃗⃗⃗⃗ Y A INTERSECCIÓN CON EL 𝑬𝒋𝒆 𝒙
NOTA: SIMBOLIZAREMOS LA INTERSECCIÓN CON EL 𝑬𝒋𝒆 𝒚 COMO ∩ 𝒐𝒚
COMO
⃗⃗⃗⃗⃗ .
∩ 𝒐𝒙
⃗⃗⃗⃗⃗ hacemos 𝒙 = 𝟎 en la ecuación de la función y obtenemos
Para determinar la ∩ 𝒐𝒚
⃗⃗⃗⃗⃗ hacemos 𝒚 = 𝟎 (𝒇(𝒙) = 𝟎) en la ecuación de la
su imagen. Para determinar la ∩ 𝒐𝒙
función dada y obtenemos el valor de 𝒙 correspondiente.
En nuestro caso la intersección con 𝑬𝒋𝒆 𝒚:
𝒇(𝟎) = −
𝟏
.𝟎 + 𝟑 = 𝟑
𝟐
⃗⃗⃗⃗⃗ : (𝟎, 𝟑)
Es decir, 𝒇(𝟎) = 𝟑, o lo que es lo mismo, el par (𝟎, 𝟑) ∈ 𝒇. Luego: ∩ 𝒐𝒚
Y la intersección con 𝑬𝒋𝒆 𝒙:
𝟏
− 𝟐 𝒙 + 𝟑 = 𝟎.
Obtenemos de este modo, el valor de la variable 𝒙 donde la gráfica de la función corta el 𝑬𝒋𝒆 𝒙.
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𝟏
𝟏
− 𝒙 + 𝟑 = 𝟎 ⇒ − 𝒙 = −𝟑 ⇒ 𝒙 = −𝟑 . (−𝟐) = 𝟔 ⇒ 𝒙 = 𝟔
𝟐
𝟐
⃗⃗⃗⃗⃗ : (𝟔, 𝟎)
Luego, el punto de intersección de 𝒇 con el 𝑬𝒋𝒆 𝒙 es el par ordenado (𝟔, 𝟎). Es decir: ∩ 𝒐𝒙
NOTA: ES IMPORTANTE OBSERVAR QUE, PARA OBTENER LA INTERSECCIÓN DE LA FUNCIÓN DON EL 𝐸𝑗𝑒 𝑥, LO
QUE HACEMOS ES RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UN INCÓGNITA.
Graficar:
En este momento del método, debemos volcar
todos los elementos del análisis de la función
en un Plano Cartesiano. En nuestro caso,
representamos los dos puntos de intersección
con ambos ejes, obtenidos, y trazaremos la
recta que pasa por dichos puntos:
⃗⃗⃗⃗⃗ : (𝟔, 𝟎)
∩ 𝒐𝒙
∩ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝒐𝒚: (𝟎, 𝟑)
4.7.8. Rectas Paralelas
Dos rectas son paralelas si tienen la misma inclinación o dirección,
es decir, si tienen la misma pendiente. Formalmente:
Las rectas 𝑹𝟏 de ecuación 𝒚 = 𝒎𝟏 𝒙 + 𝒃𝟏 y 𝑹𝟐 de ecuación 𝒚 =
𝒎𝟐 𝒙 + 𝒃𝟐 son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales. En
símbolos:
𝑹𝟏 //𝑹𝟐 ⇔ 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 .
Por ejemplo, las siguientes rectas tienen la misma pendiente y sus gráficas son paralelas:
𝑹𝟏 : 𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟏
y
𝟏
𝑹𝟐 : 𝒚 = 𝟑𝒙 + 𝟐
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4.7.9. Rectas Perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si se cortan en un punto formando 4 ángulos rectos. Esto ocurre si
una de las pendientes es la recíproca negativa de la otra. Formalmente:
Las rectas 𝑹𝟏 de ecuación 𝒚 = 𝒎𝟏 𝒙 + 𝒃𝟏 y 𝑹𝟐 de
EJERCICIO RESUELTO
ecuación 𝒚 = 𝒎𝟐 𝒙 + 𝒃𝟐 son perpendiculares si y sólo si
la pendiente de una es la recíproca negativa de la otra. En
símbolos:
𝟏
𝑹𝟏 ⊥ 𝑹𝟐 ⇔ 𝒎𝟏 = − 𝒎
𝟐
Por ejemplo, las siguientes rectas son perpendiculares:
𝑹𝟏 : 𝒚 = −𝟑𝒙
y
𝟏
𝟏
𝑹𝟐 : 𝒚 = 𝟑 𝒙 + 𝟐
4.7.10. Ecuación de una Recta, dadas la Pendiente y un punto de la misma.
Sea 𝑷 = (𝒙𝟎 ; 𝒚𝟎 ), y sea una recta de pendiente 𝒎 que contiene a dicho punto. Su ecuación es:
𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒎 . (𝒙 − 𝒙𝟎 )
𝟏
Realizar el gráfico de la recta que pasa por el punto 𝑷 = (−𝟐, −𝟑) y su pendiente es 𝒎 = − 𝟐 .
Buscamos una ecuación del tipo 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃, y luego su gráfica. Tenemos de datos la pendiente
y un punto que pertenece a la recta. Reemplazamos los datos en la Ecuación de la Recta que pasa
por un punto dada su pendiente:
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𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒎 . (𝒙 − 𝒙𝟎 )
𝒚 − (−𝟑) = −
𝒚+𝟑=−
𝟏
[𝒙 − (−𝟐)]
𝟐
𝟏
(𝒙 + 𝟐)
𝟐
𝟏
𝟏
𝒚+𝟑=− 𝒙− ∙𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝒚+𝟑 =− 𝒙−𝟏
𝟏
𝒚= − 𝒙−𝟏−𝟑 ⟹
𝟐
𝟏
𝒚=− 𝒙−𝟒
𝟐
4.7.11. Ecuación de una Recta que pasa por dos puntos.
Sean los puntos de coordenadas 𝑷 = (𝒙𝟏 ; 𝒚𝟏 ) y 𝑸 = (𝒙𝟐 ; 𝒚𝟐 ). La recta que pasa por dichos puntos
tiene por ecuación:
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒚 − 𝒚𝟏 = ቆ
ቇ . (𝒙 − 𝒙𝟏 )
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
Dados los puntos 𝑷 = (−𝟏; 𝟐) y 𝑸 = (𝟑; 𝟒), determinar la ecuación de la recta que pasa por ambos
puntos.
Teniendo en cuenta los datos, debemos utilizar la ecuación anterior y reemplazar :
𝑷 = (−𝟏; 𝟐) 𝑸 = (𝟑; 𝟒)
𝑥1
𝑦1
𝑥2
𝑦2
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𝑦−2=
4−2
. (𝑥 − (−1))
3 − (−1)
𝑦 −2=
1
(𝑥 + 1)
2
𝑦−2=
1
1
𝑥+
2
2
𝑦=
1
1
𝑥+ +2
2
2
𝒚=
𝟏
𝟓
𝒙+
𝟐
𝟐
4.8. Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos Incógnitas
Al iniciar el estudio de las ecuaciones, consideramos las de primer grado con una incógnita. Como
hemos visto, la solución éstas ecuaciones (cuando existe), es única.
Si consideramos ahora una ecuación de primer grado pero con dos incógnitas, veremos que la
misma puede tener infinitas soluciones en los reales.
Por ejemplo, dada la ecuación
𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟕
Despejamos la variable “𝒚”:
𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟕
En esta expresión, si hacemos 𝒙 = 𝟏, entonces 𝒚 = 𝟓, es decir, que el par (𝟏, 𝟓) es una solución de
la ecuación.
𝟓 = −𝟐(𝟏) + 𝟕
De esta manera, podemos asignar valores a 𝒙 y determinar pares ordenados que la verifican. En
realidad, todos los pares ordenados que pertenecen a la recta 𝑦 = −2𝑥 + 7, son soluciones de la
ecuación. Formalmente:
Una ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación de la forma 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎
con 𝒂 ≠ 𝟎 y 𝒃 ≠ 𝟎
Resolver una ecuación de lineal (de primer grado con dos incógnitas), significa hallar los pares
ordenados (𝒙, 𝒚) que la satisfacen.
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Como la ecuación 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎 representa gráficamente una recta, entonces cada punto de la
recta es una solución de la ecuación dada y por lo tanto ésta tiene infinitas soluciones en los reales.
Además :
Si se consideran simultáneamente dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se tiene
lo que se denomina un sistema y se denota:
{
𝒂𝟏 𝒙 + 𝒃𝟏 𝒚 + 𝒄𝟏 = 𝟎
𝒂𝟐 𝒙 + 𝒃𝟐 𝒚 + 𝒄𝟐 = 𝟎
Resolver el sistema significa hallar los pares ordenados (𝑥, 𝑦) (es decir, los puntos del plano) que
satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente.
Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas:
൜
𝒙+𝒚=𝟖
𝒙−𝒚=𝟐
Este sistema tiene como solución al punto de coordenadas (𝟓, 𝟑); en efecto, se ve inmediatamente
que para 𝒙 = 𝟓 e 𝒚 = 𝟑 se satisfacen las dos ecuaciones, pues la suma de estos números es 𝟖 y
su diferencia es 𝟐. Más adelante, se darán algunas técnicas para resolver estos sistemas y
retomaremos el ejemplo.
4.8.1. Clasificación de los Sistemas de Ecuaciones Lineales
Los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas pueden clasificarse según la cantidad de
soluciones que admita. Se presentan tres casos: que el sistema no tenga solución, que tenga
solución única, o que tenga infinitas soluciones. Definimos cada caso:
Sistema incompatible: En este caso, el sistema no admite
ninguna solución y, por lo tanto, el conjunto 𝑺 es vacío (𝑺 =
∅). En este caso, ecuaciones del sistema corresponden a
rectas paralelas, pues no se cortan en ningún punto.
Por ejemplo, sea el sistema
൜
𝒚 = 𝟐𝒙
𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟓
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Al graficar ambas rectas, podemos ver que no tienen ningún punto en común. Luego, 𝑺 = 𝝓.
Sistema compatible determinado: En este caso el sistema admite una única solución.
Geométricamente, las rectas se cortan en un punto. Es decir, el
conjunto solución es un conjunto unitario.
Tomemos el ejemplo del sistema presentado al inicio de la
sección
𝒙+𝒚=𝟖
൜
𝒙−𝒚=𝟐
Al realizar el gráfico de cada recta, podemos observar que
éstas se cortan en un punto, el cual es la solución del
mismo, el punto de coordenadas (𝟓, 𝟑).
Luego, 𝐒 = {(𝟓, 𝟑)}.
Sistema compatible indeterminado: En este caso el sistema admite infinitas soluciones.
Geométricamente, este caso se interpreta como rectas coincidentes y el conjunto solución es un
conjunto con infinitos elementos.
Por ejemplo, dado el sistema
𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟎
൜
𝟒𝒙 = 𝟖𝒚
Al representar ambas rectas observamos que
son coincidentes y las soluciones son todos los
puntos que pertenecen a ellas.
Luego, 𝑺 = {(𝒙, 𝒚)⁄𝟒𝒙 = 𝟖𝒚}.
4.9. Métodos de Resolución
Existen varios métodos para encontrar la solución de los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas, pero vamos a desarrollar solamente algunos de ellos utilizando ejemplos. Para ver otros
métodos distintos pueden recurrir al anexo de la sección.
4.9.1. Método de Sustitución:
Dado el siguiente sistema:
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𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟐
൜
𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟏𝟏
(𝟏)
(𝟐)
Para resolver por el método de sustitución, debemos seguir los siguientes pasos:
1. Despejamos una de las variables de una de las ecuaciones del sistema. En nuestro ejemplo
elegimos despejar la variable “𝒚” de la ecuación (𝟏):
𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟐 ⇒ 𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟐
2. Sustituimos la expresión encontrada para “𝒚” en la ecuación (𝟐):
𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟏𝟏 ⇒ 𝟑𝒙 − 𝟐(−𝟐𝒙 + 𝟐) = −𝟏𝟏
3. Obtenemos, en la última igualdad, una ecuación con una sola incógnita. Procedemos a resolverla
y hallaremos de esta manera, uno de los valores de una de las incógnitas.
𝟑𝒙 − 𝟐(−𝟐𝒙 + 𝟐) = −𝟏𝟏 ⇒ 𝟑𝒙 + 𝟒𝒙 − 𝟒 = −𝟏𝟏 ⇒ 𝟕𝒙 = −𝟕 ⇒ 𝒙 = −𝟏
4. Por último, como ya hemos encontrado cuál es el valor de una de las variables, sustituiremos este
resultado en la ecuación (𝟏).
𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟐 ⇒ 𝟐(−𝟏) + 𝒚 = 𝟐 ⇒ 𝒚 = 𝟐 + 𝟐 ⇒ 𝒚 = 𝟒
Hemos determinado los valores de la solución del sistema: el punto (−𝟏, 𝟒). El conjunto solución es
𝑺 = { (−𝟏, 𝟒) }, y el sistema es entonces compatible determinado.
Podemos verificar la solución sustituyendo los valores en las ecuaciones originales:
𝟐 . (−𝟏) + 𝟒 = −𝟐 + 𝟒 = 𝟐
൜
𝟑 . (−𝟏) − 𝟐 . 𝟒 = −𝟑 − 𝟖 = −𝟏𝟏
4.9.2. Método de Determinantes
Para estudiar este método es necesario definir previamente qué se entiende por determinante de
segundo orden. Dados 4 números reales: 𝒂𝟏 , 𝒂𝟐 , 𝒃𝟏 , 𝒃𝟐 , la notación simbólica:
𝒂
| 𝟏
𝒂𝟐
𝒃𝟏
|
𝒃𝟐
se llama Determinante de Segundo Orden, y se define como la diferencia entre el producto 𝒂𝟏 . 𝒃𝟐 y el
producto 𝒂𝟐 . 𝒃𝟏 :
ቤ
𝒂𝟏
𝒂𝟐
𝒃𝟏
ቤ = 𝒂𝟏 . 𝒃𝟐 − 𝒂𝟐 . 𝒃𝟏
𝒃𝟐
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Entonces, dado un sistema:
൜
𝒂𝟏 𝒙 + 𝒃𝟏 𝒚 = 𝒄𝟏
𝒂𝟐 𝒙 + 𝒃𝟐 𝒚 = 𝒄𝟐
Consideremos los siguientes determinantes:
∆ = |
∆𝒙 = |
𝒄𝟏
𝒄𝟐
𝒂𝟏
𝒂𝟐
𝒃𝟏
| = 𝒂𝟏 . 𝒃𝟐 − 𝒂𝟐 . 𝒃𝟏
𝒃𝟐
𝒃𝟏
| = 𝒄𝟏 . 𝒃𝟐 − 𝒄𝟐 . 𝒃𝟏
𝒃𝟐
𝒂𝟏
∆𝒚 = |𝒂
𝟐
;
𝒄𝟏
𝒄𝟐 | = 𝒂𝟏 . 𝒄𝟐 − 𝒂𝟐 . 𝒄𝟏
Utilizando estos determinantes, se puede establecer qué tipo de solución tiene el sistema, y su
conjunto solución en cada caso. En efecto, pueden distinguirse los 3 casos:
Si ∆ ≠ 0, se dice que el sistema es compatible determinado y la única solución está dada por
el punto de componentes (𝒙, 𝒚) con 𝒙 =
∆𝒙
∆
e 𝒚=
∆𝒚
∆
.
Si ∆ = 0 ∧ (∆𝑥 = 0 ∧ ∆𝑦 = 0) , se dice que el sistema es compatible indeterminado.
Si ∆ = 0 ∧ (∆𝑥 ≠ 0 ∨ ∆𝑦 ≠ 0) , en este caso se dice que el sistema es incompatible.
EJERCICIO RESUELTO
Encontrar la solución, si existe, del siguiente sistema de ecuaciones y clasificarlo.
𝟑𝒙 − 𝟓𝒚 = 𝟏𝟗
൜
𝟐𝒙 + 𝒚 = 𝟒
Procedemos a obtener los determinantes:
∆ = |
𝒂𝟏
𝒂𝟐
𝒃𝟏
𝟑 −𝟓
|= |
| = 𝟑 . 𝟏 − 𝟐 . (−𝟓) = 𝟑 + 𝟏𝟎 = 𝟏𝟑
𝒃𝟐
𝟐 𝟏
Es decir, ∆ = 13 ≠ 0. Luego, ya podemos concluir que el sistema es compatible determinado. Vamos
ahora a obtener la solución del sistema. Calculamos:
∆𝒙 = |
𝒄𝟏
𝒄𝟐
𝒂𝟏
∆𝒚 = |𝒂
𝟐
𝒃𝟏
𝟏𝟗 −𝟓
|=|
| = 𝟏𝟗. 𝟏 − 𝟒. (−𝟓) = 𝟏𝟗 + 𝟐𝟎 = 𝟑𝟗
𝒃𝟐
𝟒
𝟏
𝒄𝟏
𝟑 𝟏𝟗
𝒄𝟐 | = |𝟐 𝟒 | = 𝟑. 𝟒 − 𝟐. 𝟏𝟗 = 𝟏𝟐 − 𝟑𝟖 = −𝟐𝟔
⟹ ∆𝒙 = 𝟑𝟗
⟹ ∆𝒚 = −𝟐𝟔
Por lo tanto:
𝒙=
∆𝒙
𝟑𝟗
=
=𝟑 ∧
∆
𝟏𝟑
𝒚=
∆𝒚
𝟐𝟔
= −
= −𝟐.
∆
𝟏𝟑
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La solución es (𝟑, −𝟐). Como el sistema es Compatible Determinado, las rectas se cortan en un
punto y el conjunto solución es 𝑺 = {(𝟑, −𝟐)}.
NOTA: LAS ECUACIONES LINEALES SE PUEDEN UTILIZAR PARA MODELIZAR Y SOLUCIONAR SITUACIONES
PROBLEMÁTICAS DE DISTINTAS ÁREAS. PARA PROFUNDIZAR EN ESTE TEMA SE SUGIERE LA LECTURA DE LA
SECCIÓN “APLICACIONES” QUE FIGURA EN EL ANEXO DE ESTA UNIDAD.
4.10. Función Cuadrática o de Segundo Grado
Las funciones cuadráticas permiten construir modelos de situaciones referidas a distintas áreas como
la Física, la Biología, la Economía, la Astronomía, la Comunicación y la Geometría, entre otras. En la
antigüedad, los griegos, desde antes de Euclides (330-275 a.C.), resolvían ecuaciones cuadráticas
basándose en un método geométrico donde hacían intervenir cuadrados y rectángulos. En el siglo
XVII, luego de Johannes Kepler (1571-1630) expusiera las leyes que rigen los movimientos de los
planetas, los astrónomos descubrieron que las órbitas de los planetas y cometas respondían a
modelos cuadráticos.
A la función polinómica de segundo grado en la variable 𝒙 de la forma
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
siendo 𝒂, 𝒃 y 𝒄 números reales y 𝒂 ≠ 𝟎, se la denomina función cuadrática.
La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola, y su ecuación general es de la
forma: 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄.
Los términos se denominan a partir del grado de la variable: el término 𝒂𝒙𝟐 se denomina término
cuadrático, 𝒃𝒙 se denomina término lineal y 𝒄 es el término independiente. A su vez, los números 𝒂 y 𝒃 se
denominan coeficiente cuadrático y coeficiente lineal respectivamente.
El dominio de una función cuadrática es todo el conjunto de los números reales, (salvo se indique lo
contrario), pero la imagen es un subconjunto de los números reales, y depende de los valores 𝒂 y 𝒃.
4.10.1. Ecuación Cuadrática o de Segundo Grado con una Incógnita
Sea la función de segundo grado en la variable “𝒙” definida por: 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 con 𝒂 ≠ 𝟎.
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Se denomina ecuación cuadrática o de segundo grado con una incógnita
asociada a esta función a la expresión 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
𝒄𝒐𝒏
𝒂≠𝟎
Resolver una de ecuación segundo grado significa encontrar aquellos valores de la variable 𝒙 (si lo
hay) que la verifican o satisfacen. Estos valores se denominan raíces o ceros de la ecuación. Además,
como la ecuación es de segundo grado, las posibles raíces serán dos.
Si denotamos con 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 a las raíces, éstas se calculan mediante la fórmula resolvente:
𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 =
−𝒃 ± ඥ𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
Para aplicar dicha fórmula, previamente se deben identificar los valores de los coeficientes 𝒂, 𝒃 y 𝒄, y
reemplazarlos respectivamente en la fórmula dada.
Por ejemplo, sea la ecuación de segundo grado 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎. Primero identificamos los
coeficiente: 𝒂 = 𝟏, 𝒃 = 𝟐 y 𝒄 = −𝟑. Reemplazamos los valores de los coeficientes en la fórmula
obtenemos las raíces:
𝒙𝟏 ; 𝒙𝟐 =
−𝟐 ±
ඥ𝟐𝟐
− 𝟒. 𝟏. (−𝟑) −𝟐 ± √𝟒 + 𝟏𝟐 −𝟐 ± √𝟏𝟔 −𝟐 ± 𝟒
=
=
=
=
𝟐. 𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝒙𝟏 =
−𝟐 + 𝟒
=𝟏
𝟐
𝒙𝟐 =
−𝟐 − 𝟒
= −𝟑
𝟐
Luego, las raíces de la ecuación cuadrática son 𝒙𝟏 = 𝟏 y 𝒙𝟐 = −𝟑 y el conjunto solución de la
ecuación dada es 𝑺 = {𝟏 ; −𝟑}.
A pesar de que la fórmula resolvente se puede utilizar en cualquier ecuación cuadrática, en algunos
casos, cuando se anulan ciertos coeficientes en la expresión, es más sencillo operar de otra manera.
Veamos los casos con los siguientes ejemplos:
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Caso 1:
𝒃=𝟎
𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝟎 = 𝟎
𝑫𝒆𝒔𝒑𝒆𝒋𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒙:
𝟐𝒙𝟐 = 𝟓𝟎
𝒙𝟐 = 𝟐𝟓
𝒙 = ±√𝟐𝟓
𝒙 = ±𝟓
∴ 𝑺 = {𝟓, −𝟓}
Caso 2:
𝒄=𝟎
Caso 3:
𝟏 𝟐
𝒙 =𝟎
𝟐
𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 = 𝟎
𝑺𝒂𝒄𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒄𝒐𝒎ú𝒏 𝒙:
𝑫𝒆𝒔𝒑𝒆𝒋𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒙:
𝒙. (𝟐𝒙 − 𝟏) = 𝟎
𝑫𝒆 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂:
𝒙𝟏 = 𝟎 ∨
𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝟎
𝑪𝒐𝒏 𝒍𝒐 𝒒𝒖𝒆: 𝒙𝟐 =
𝒃=𝒄=𝟎
𝟏
𝟐
𝟏
∴ 𝑺 = ൜𝟎, ൠ
𝟐
𝒙𝟐 = 𝟎 ∶
𝟏
𝟐
𝒙𝟐 = 𝟎
𝒙 = ±√𝟎
𝒙=𝟎
∴ 𝑺 = {𝟎}
4.10.2. Posiciones Relativas respecto de Eje de las Abscisas
Las abscisas de intersección entre el gráfico de la parábola y el eje 𝒙 son las raíces determinadas a
partir de resolver la ecuación cuadrática asociada a la función.
En la fórmula resolvente, al radicando 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 se lo denomina discriminante, ya que su valor sirve
para discriminar la naturaleza de las raíces y se lo simboliza con la letra griega ∆ (delta).
Una vez determinados los coeficientes reales 𝒂, 𝒃 y 𝒄, las raíces de una ecuación de segundo grado
pueden ser:
Reales y distintas: cuando ∆ = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 > 𝟎. En dicho caso, habrá dos puntos de intersección
entre la parábola y el eje 𝒙.
Reales e iguales: cuando ∆ = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 = 𝟎. En este caso, las dos raíces coinciden con la
abscisa 𝒙𝑽 del vértice. Habrá solo un punto de intersección con el eje 𝒙.
Complejas conjugadas: cuando ∆ = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 < 𝟎. En este caso, decimos que las raíces no son
reales y esto significa que la parábola no corta al eje 𝒙.
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Observemos en los siguientes gráficos los tres casos:
∆> 𝟎
∆= 𝟎
∆< 𝟎
La gráfica tiene 2 puntos
de intersección con el
𝒆𝒋𝒆 𝒙.
La gráfica tiene 1 punto de
intersección con el 𝒆𝒋𝒆 𝒙.
La gráfica no tiene puntos
de intersección con el
𝒆𝒋𝒆 𝒙.
4.10.3. Elementos de la Parábola
Como dijimos, la parábola es una curva que resulta al
graficar la función cuadrática y presenta los siguientes
elementos y características generales:
Concavidad: Es la dirección en la que se abren las
ramas de la parábola.
Si 𝒂 > 𝟎 es cóncava hacia arriba.
Si 𝒂 < 𝟎 es cóncava hacia abajo.
Vértice: es el punto 𝑽 de la curva a partir del cual se
abren simétricamente las ramas de la parábola. Vamos
a indicar a las coordenadas de este punto con 𝑽 = (𝜶, 𝜷), donde:
𝛂=−
𝒃
𝟐𝒂
;
𝛃 = 𝒇(𝛂) o 𝛃 = 𝒄 −
𝒃𝟐
𝟒𝒂
Eje de Simetría: es una recta vertical que pasa por la abscisa "𝜶" del vértice y tiene como ecuación:
𝒙 = 𝛂.
Intersecciones con los Ejes Coordenados:
Intersección con el eje 𝒚: La parábola intersecta al eje 𝒚, en el punto de coordenadas (𝟎, 𝒄).
Se lo determina haciendo 𝒇(𝟎) y se lo denomina ordenada al origen. A partir de él es posible
marcar el punto simétrico que es útil a la hora de graficar.
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GRUPO II
Intersecciones con el eje 𝒙: Son los puntos 𝑷𝟏 = (𝒙𝟏 , 𝟎) y 𝑷𝟐 = (𝒙𝟐 , 𝟎) de intersección de la
gráfica con el eje de las abscisas, es decir, 𝒇(𝒙) = 𝟎. Tales raíces son las abscisas 𝒙𝟏 y 𝒙𝟐 que
resultan de la fórmula resolvente vista previamente.
Una vez obtenidos todos los elementos de la parábola, se dibuja un plano cartesiano, y se plasman
allí todos ellos. Luego, se unen todos los puntos notables y se obtiene la parábola de la función
cuadrática dada.
EJERCICIO RESUELTO
Realizar el gráfico de la siguiente función cuadrática, indicando previamente: intersecciones con los
ejes coordenados, vértice, eje de simetría y concavidad. Determinar el dominio y la imagen de la
función.
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑
1. Identificamos los coeficientes:
𝒂 = 𝟏 ; 𝒃 = 𝟐 ; 𝒄 = −𝟑
2. Determinamos los elementos de la parábola
(gráfica de la función cuadrática) y graficamos
Concavidad: Dado que 𝒂 = 𝟏 > 𝟎, la
parábola es cóncava hacia arriba.
Vértice: 𝑽 = (𝜶, 𝜷), donde
𝛂=−
𝒃
𝟐
𝟐
=−
= − = −𝟏
𝟐𝒂
𝟐. 𝟏
𝟐
𝛃 = 𝒇(−𝟏) = (−𝟏)𝟐 + 𝟐 . (−𝟏) − 𝟑 = −𝟒
Por lo tanto, el vértice es 𝑽 = (−𝟏, −𝟒).
Eje de Simetría: Es la recta de ecuación 𝒙 = −𝟏
Intersecciones con los ejes coordenados:
Intersección con el eje 𝒚: Hacemos 𝒇(𝟎) = 𝟎𝟐 + 𝟐 . 𝟎 − 𝟑 = −𝟑. Luego, el punto de
intersección en el 𝒆𝒋𝒆 𝒚 será (𝟎, −𝟑).
Intersecciones con el eje 𝒙: Hacemos 𝒇(𝒙) = 𝟎 es decir:
𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎
Ecuación de segundo grado
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Las raíces de esta ecuación fueron calculadas en un ejemplo previo. Por lo tanto puntos de
intersección con el 𝒆𝒋𝒆 𝒙 son (𝟏; 𝟎) y (−𝟑; 𝟎).
Todos estos elementos se utilizan para realizar la gráfica en el plano cartesiano.
3. Determinamos el dominio y la imagen de la función: Recordemos que, en el caso de la función
cuadrática, el dominio es siempre el conjunto de los números reales y la imagen un subconjunto de
los reales que podemos determinar observando la gráfica, más precisamente, al eje y.
Dominio: 𝒅(𝒇) = ℝ
Imagen: 𝑰𝒎(𝒇) = [−4; +∞)
4.10.4. Ecuación Polinómica, Canónica y Factorizada de la Función Cuadrática
La función cuadrática puede ser expresada de distintas maneras. Es decir, a partir de la ecuación
polinómica de la parábola 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 pueden escribirse, empleando técnicas algebraicas, las
siguientes formas:
Forma Canónica: En términos de las componentes del vértice 𝑽 = (𝜶, 𝜷):
𝒚 = 𝒂 . (𝒙 − 𝜶)𝟐 + 𝜷
Forma Factorizada: En término de las raíces de la ecuación 𝒙𝟏 y 𝒙𝟐 :
𝒚 = 𝒂 . (𝒙 − 𝒙𝟏 ) . (𝒙 − 𝒙𝟐 )
En el ejercicio resuelto previamente, a partir de la función cuadrática 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑, cuya gráfica
se correspondía a una parábola de ecuación polinómica 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑 podemos obtener la forma
canónica y la forma factoriza a partir de los elementos ya encontrados:
A partir del vértice 𝑽 = (−𝟏, −𝟒) obtenemos la forma canónica:
𝒚 = 𝒂 . (𝒙 − 𝜶)𝟐 + 𝜷
𝟐
⟹ 𝒚 = 𝟏 . (𝒙 − (−𝟏)) + (−𝟒) ⟹ 𝒚 = (𝒙 + 1)𝟐 − 4
A partir de las raíces 𝒙𝟏 = 𝟏 y 𝒙𝟐 = −𝟑 obtenemos la forma factorizada:
𝒚 = 𝒂 . (𝒙 − 𝒙𝟏 ) . (𝒙 − 𝒙𝟐 ) ⟹ 𝒚 = 𝟏 . (𝒙 − 𝟏) . (𝒙 − (−𝟑)) ⟹ 𝒚 = (𝒙 − 𝟏) . (𝒙 + 3)
El siguiente cuadro sintetiza esta idea:
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Se desarrolla el
Polinómica
Cuadrado de un
Binomio.
Se aplica la
Propiedad
𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
Canónica
Distributiva.
Se busca
Se buscan
el vértice.
las raíces.
Factorizada
𝒚 = 𝒂. (𝒙 − 𝒙𝟏 ). (𝒙 − 𝒙𝟐 )
𝒚 = 𝒂. (𝒙 − 𝜶)𝟐 + 𝜷
Con:
Donde 𝑽 = (𝜶, 𝜷)
El vértice y el Eje de
Simetría se
𝒂: coeficiente principal.
𝒙𝟏 y 𝒙𝟐 : Raíces de la Parábola.
reconocen con
Las raíces se identifican
facilidad.
inmediatamente.
EJERCICIO GUIADO
Dada la siguiente función cuadrática: 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟖
Determinar: intersecciones con los ejes coordenados, vértice, eje de simetría, concavidad, dominio y
la imagen. (Completar los espacios en blanco)
1. Identificamos los coeficientes:
𝒂=
; 𝒃=
;𝒄 =
2. Determinamos los elementos de la parábola (gráfica de la función cuadrática) y graficamos
Concavidad: Dado que 𝒂 =
𝟎, la parábola es cóncava hacia ________________.
Vértice: 𝑽 = (𝜶, 𝜷), donde
𝛂=−
𝒃
=−
𝟐𝒂
𝟐.
𝛃 = 𝒇(
=−
=
) = __________________________ =
Por lo tanto, el vértice es 𝑽 = (
,
).
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Eje de Simetría: Es la recta de ecuación 𝒙 =
Intersecciones con los ejes coordenados:
Intersección con el eje 𝒚: Hacemos 𝒇(𝟎) = ______________________ =
intersección en el 𝒆𝒋𝒆 𝒚 será (𝟎,
. Luego, el punto de
).
Intersecciones con el eje 𝒙: Hacemos 𝒇(𝒙) = 𝟎 es decir:
_________________________ = 𝟎
Ecuación de segundo grado
Las raíces de esta ecuación fueron calculadas son:
𝟐
𝒙𝟏 ; 𝒙𝟐 =
− ⬚ ± √ ⬚ − 𝟒. ⬚ . ⬚
𝟐. ⬚
−⬚ ±√⬚ ⬚ ⬚
=
=
⬚
𝒙𝟏 =
−⬚ ±√⬚
⬚
=
−⬚ ± ⬚
⬚
=
Por lo tanto puntos de intersección con el 𝒆𝒋𝒆 𝒙 son (
𝒙𝟐 =
−⬚ + ⬚
−⬚ − ⬚
; 𝟎) y (
= ⬚
⬚
⬚
= ⬚
; 𝟎).
Todos estos elementos se utilizan para realizar la gráfica en el plano cartesiano.
3. Determinamos el dominio y la imagen de la función:
Dominio: 𝒅(𝒇) =
Imagen: 𝑰𝒎(𝒇) = __________
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4.11. Ejercicios
1.- Dados los siguientes conjuntos, definir los productos cartesianos que se indican
𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒}
𝑩 = {𝒂, 𝒃, 𝒄}
𝑪 = {𝒎}.
a. 𝑨 × 𝑩
c. 𝑪 × 𝑩
e. 𝑩𝟐
b. 𝑩 × 𝑨
d. 𝑨𝟐
f. 𝑪𝟐
2.- Para cada uno de los productos cartesianos de la consigna anterior:
a. Realizar diferentes formas de representación.
b. Hallar el número de elementos.
c. Dos relaciones 𝑹𝟏 y 𝑹𝟐 incluidas en el producto cartesiano 𝑨 × 𝑩. Indicar dominio e imagen.
d. Dos relaciones 𝑹𝟑 y 𝑹𝟒 incluidas en el producto cartesiano 𝑩𝟐 . Indicar dominio e imagen.
3.- Sean 𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓}, 𝑩 = {𝟏, 𝟒, 𝟔, 𝟏𝟔} y 𝑪 = {𝟐, 𝟑, 𝟖, 𝟏𝟎}. Determinar por extensión las
relaciones 𝑹 ⊂ 𝑨 × 𝑩 y 𝑺 ⊂ 𝑩 × 𝑪 e indicar sus dominios e imágenes:
a. (𝒙, 𝒚) ∈ 𝑹 ⇔ 𝒚 = 𝒙𝟐
𝒚
b. (𝒚, 𝒛) ∈ 𝑺 ⇔ 𝒛 = 𝟐
4.- Escribir las relaciones inversas de:
a. Las relaciones definidas en el producto cartesiano 𝑨 × 𝑩. Indicar dominio e imagen.
b. Las relaciones definidas en el producto cartesiano 𝑩𝟐 . Indicar dominio e imagen.
5.- Sea el conjunto 𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, … , 𝟏𝟑, 𝟏𝟒, 𝟏𝟓, 𝟏𝟔}. Definir por extensión las siguientes
relaciones incluidas en el producto 𝑨𝟐 ; indicar domino e imagen y determinar la relación inversa:
a. 𝑅1 : " … 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑 𝑑𝑒 … "
b. 𝑅2 : " … 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 … "
c. 𝑅3 : " … 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 … "
d. 𝑅4 : " … 𝑒𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 … "
e. 𝑅5 : " … 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 … "
6.- Sean los conjuntos 𝑨 = {𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅} y 𝑩 = {𝒙, 𝒚, 𝒛}. Indicar cuáles de las siguientes relaciones
definidas de 𝑨 en 𝑩, dadas por pares ordenados son funciones. Justificar.
a. 𝑹𝟏 = {(𝒂, 𝒙), (𝒃, 𝒙), (𝒄, 𝒚), (𝒅, 𝒚)}
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b. 𝑹𝟐 = {(𝒂, 𝒙), (𝒂, 𝒚), (𝒃, 𝒙), (𝒃, 𝒚)}
c. 𝑹𝟑 = {(𝒂, 𝒙), (𝒃, 𝒚), (𝒄, 𝒛)}
7.- Indicar si las relaciones 𝑹𝟏 y 𝑹𝟐 del ejercicio 2(c) son funciones; justificar.
8.- Responder: ¿Cuáles de las siguientes relaciones dadas en diagramas son funciones?
9.- De las siguientes relaciones, indicar cuáles de ellas son funciones. Justificar.
a. 𝑨 = {𝟐, 𝟑, 𝟓, 𝟕}, 𝑩 = {𝟒, 𝟔, 𝟖, 𝟗, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏} y 𝑹 = {(𝒙, 𝒚) ∈ 𝑨 × 𝑩 ∕ 𝒙 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒚 }
b. 𝑨 = ℕ. 𝑹 = {(𝒙, 𝒚) ∈ 𝑨𝟐 /𝒚 = 𝟑𝒙}
10.- Dadas las siguientes gráficas, indicar cuáles de ellas corresponden a funciones. Justificar.
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11.- Dada la siguiente función 𝒇: 𝑹 → 𝑹 tal que 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟏.
a. Determinar las imágenes pedidas, y luego identificar las coordenadas del punto que
determina dicha imagen:
i.𝒇(𝟕)
iv.𝒇(𝟎)
vi.𝒇(−𝟑)
ii.𝒇(𝟏)
v.𝒇 (− 𝟐)
𝟏
iii.𝒇(𝟐)
b. Obtener el valor de 𝑥 conociendo el valor de la imagen:
i.𝒇(𝒙) = 𝟏𝟏
ii.𝒇(𝒙) = 𝟑
iii.𝒇(𝒙) = 𝟔𝟗
c. Representar los pares ordenados obtenidos en un plano cartesiano y trazar la gráfica de la
función uniendo dichos puntos.
12.- Dada la función mediante la siguiente ecuación 𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟓.
a. Obtener.
i.La imagen de 𝟐.
iv.La preimagen −𝟓 mediante 𝒇.
ii.La imagen de −𝟏.
v.La preimagen 𝟑 mediante 𝒇.
𝟐
iii.La imagen de 𝟎.
vi.El valor de 𝒙 tal que 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟏.
b. Expresar los ítems anteriores como pares ordenados que pertenecen a la función 𝑓.
c. Determinar el dominio y la imagen de la función.
d. Responder: ¿Cómo se llama esta función?
e. Realizar el gráfico de la misma en un plano cartesiano utilizando los puntos obtenidos.
13.- Considerar la siguiente función afín de ecuación 𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙 + 𝟖:
a. ¿Cuál es el Dominio de la función? ¿Y la Imagen?
b. Calcular pendiente, ordenada al origen, ceros de la función.
c. ¿Es creciente, decreciente o constante?
d. Representar gráficamente la función afín utilizando la pendiente y la ordenada.
3
14.- Considerar la siguiente función afín de ecuación 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 − 1.
a. Responder:¿Cuál es el Dominio de la función? ¿Y la Imagen?
b. Calcular pendiente, ordenada al origen, ceros de la función.
c. Responder:¿Es creciente, decreciente o constante?
d. Representar gráficamente la función afín utilizando las intersecciones con los ejes
coordenados.
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15.- Completar el siguiente cuadro y luego representar cada recta en un plano cartesiano, alternando
los métodos aprendidos.
Ecuación explicita
Ecuación implícita
Pendiente
Ordenada al
de la recta
de la recta
(𝒎)
origen (𝒃)
𝟏
𝟑
𝟐
𝟎
𝟓
⃗⃗⃗⃗⃗
∩ 𝒐𝒙
⃗⃗⃗⃗⃗
∩ 𝒐𝒚
𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟐
−𝒙 + 𝒚 + 𝟑 = 𝟎
𝒙+𝒚−𝟓= 𝟎
−
𝟑
𝟐
𝟎
16.- Determinar si los puntos 𝑨 = (𝟑, 𝟏), 𝑩 = (𝟓, 𝟎) y 𝑪 = (−𝟏, −𝟑) pertenecen a la recta de ecuación
𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟎.
17.- Hallar la ecuación explícita de las siguientes rectas y representarlas gráficamente utilizando el
método de la pendiente y ordenada al origen:
a. Pasa por el origen de coordenadas y tiene pendiente −𝟑.
b. Pasa por el punto (−𝟐, 𝟎) y tiene pendiente 𝟏.
c. Pasa por el punto (𝟏, −𝟑) y tiene pendiente 𝟎.
18.- Dada la recta de ecuación 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟏, encontrar:
a. Una recta paralela a la dada y que pase por (– 𝟑, 𝟐). Graficar ambas rectas en un mismo
Plano cartesiano, utilizando intersecciones con los ejes.
b. Una recta perpendicular a la dada y que pase por (– 𝟑, 𝟐). Graficar ambas rectas en un
mismo Plano cartesiano, utilizando intersecciones con los ejes coordenados.
𝟑
19.- Dada la recta de ecuación 𝒚 = 𝟒 𝒙 – 𝟑, encontrar una recta perpendicular a la dada y que pase
por el punto (𝟏, – 𝟏). Graficar ambas rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos.
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20.- Resolver las siguientes ecuaciones de 1º grado. Verificarlas y escribir el conjunto solución.
a. 𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝟑𝒙 − 𝟐
d.
b. 𝟐(𝟑𝒙 − 𝟐) − (𝒙 + 𝟑) = 𝟖
e.
𝟑𝒙+𝟏
𝟏𝟐
𝟏
𝟒
=
𝟓(𝒙−𝟏)
𝟔
−𝟐
(𝟐 − 𝒙) = (𝒙 + 𝟓).
𝟏
𝟑
c. 𝟓𝒙 − 𝟏 = 𝟖 (𝒙 – ½ )
f. – (𝒙 + 𝟑) – (𝒙 – 𝟔) = 𝟑𝒙 – 𝟒
21.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas utilizando el método
que crean conveniente. Luego, representar gráficamente y comparar con los resultados obtenidos
analíticamente.
𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟏𝟐
a. ൜
𝟓𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟐
𝒙=𝒚
d. {𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟎
𝟐𝒙 − 𝟓𝒚 = −𝟗
b. ൜
𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟖, 𝟓
−𝒙 + 𝒚 = −𝟏
e. ൜
𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 = −𝟔
𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏
c. ൜
𝟔𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟐
𝒙 − 𝟑 = −𝒚
f. ൜
𝟐𝒙 − 𝟐 = −𝟐𝒚
22.- Determinar las raíces (en caso de existir) de las siguientes ecuaciones de 2º grado:
a. 𝟗𝒙𝟐 − 𝟒 = 𝟎
d. 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 = 𝟎
g. 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎
b. 𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 = 𝟎
e. 𝟐𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 = 𝟎
h. 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟓 = 𝟎
c. 𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 = 𝟎
f. −𝒙𝟐 + 𝟗 = 𝟎
23.- Determinar “𝒌” de modo que la ecuación 𝒙𝟐 + 𝒌𝒙 + 𝟏𝟔 = 𝟎 tenga Raíces Reales e iguales.
24.- Dadas las siguientes funciones cuadráticas, determinar: Dominio, Imagen, Intersecciones con
los Ejes coordenados, Vértice, Concavidad y Eje de Simetría. Estudiar la naturaleza de sus raíces.
Graficar las parábolas correspondientes:
a. 𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙
d. 𝒇(𝒙) = −𝟑𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟐
b. 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟏
e. 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟐
c. 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟏𝟎
𝟓
f. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏
g. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐
h. 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙
i. 𝒇(𝒙) = −𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙
25.- Obtener las ecuaciones de parábolas que se piden a continuación:
a. Dadas las ecuaciones polinómicas, obtener las ecuaciones canónicas y factorizada.
i.𝒚 = −𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟐
ii.𝒚 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟗
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iii.𝒚 = −𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟐
iv.𝒚 = −𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟒
b. Dadas las ecuaciones factorizadas, obtener las ecuaciones polinómicas.
𝟏
i.𝒚 = 𝟐 . (𝒙 − 𝟗) . (𝒙 − 𝟐)
ii.𝒚 = −𝟏 . (𝒙 + 𝟏). (𝒙 − 𝟔)
𝟏
iii.𝒚 = 𝟐 . (𝒙 + 𝟐) . (𝒙 + 𝟑)
𝟏
iv.𝒚 = −𝟒 . (𝒙 − 𝟒) . (𝒙 − 𝟑)
c. Para Practicar: Obtener todos los elementos faltantes para graficar las parábolas
correspondientes. Indicar domino e imagen.
26.- Sea la función de segundo grado 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + (𝒌 − 𝟏)𝒙 + 𝟏. Hallar el valor de “𝒌” para que la
parábola tenga una sola raíz real.
27.- Sea la función de segundo grado 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝒌𝒙 + 𝒌 + 𝟏. Hallar el valor de “𝒌” para que la
parábola tenga como vértice el punto (𝟏; 𝟑).
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UNIDAD 5: Expresiones algebraicas
5.1. Introducción
Cuando queremos expresar en leguaje matemático o simbólico los enunciados del lenguaje cotidiano
usamos lo que se conoce como expresión algebraica. A lo largo de este curso, y en cualquier curso de
matemática, trabajaremos constantemente con expresiones algebraicas, en forma de definiciones,
polinomios, ecuaciones, inecuaciones, identidades, etc.
5.2. Expresiones Algebraicas
Veamos una definición formal de lo que es una expresión algebraica:
Se denomina expresión algebraica a toda combinación de números y letras,
vinculados por las operaciones de adición, sustracción, producto, división, potencia y
radicación.
A los números se los denomina constantes, y a las letras, variables, ya que representan valores que
no se han fijado.
Por ejemplo, podemos decir en lenguaje coloquial
“La suma de un número elevado al cuadrado con el doble de otro”.
“El producto de un número con su doble, sumado a tres es igual a 8”.
“El triple de la suma de dos números es igual a la suma de sus cuadrados”.
“El cociente entre el cuádruple de la raíz cuadrada de un número sobre su siguiente”.
y tratar de representarlos en forma simbólica. Para el primer ejemplo podemos escribir
𝒙𝟐 + 𝟐𝒚
En este caso, 𝒙 e 𝒚 son letras que representan magnitudes variables; el número 𝟐 es un valor constante,
y las variables y constantes están vinculadas con las operaciones suma y potencia.
Les proponemos representar las otras expresiones en forma simbólica, e identificar sus elementos.
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Las expresiones algebraicas se clasifican según los exponentes de sus variables.
Entera
Todas las variables tienen
exponentes mayores o iguales a
cero.
Racional
Todas las variables tienen
exponente entero.
Expresiones
Algebraicas
Fraccionaria
Alguna variable está afectada por un
exponente negativo.
Irracional
Alguna variable está afectada
por un exponente
fraccionario.
En esta Unidad estudiaremos las expresiones algebraicas racionales, tanto las enteras (llamadas
polinomios) como las fraccionarias.
5.3. Polinomios.
Los polinomios son expresiones algebraicas que combinan constantes (en ℝ o ℂ) y variables (𝒙, 𝒚, 𝒛, …)
mediante las operaciones suma, resta, multiplicación y potencias enteras no negativas.
Son ejemplos de polinomios las siguientes expresiones:
𝟐𝒙 − 𝟒𝒙𝟑 + 𝟓 (Polinomio en la variable 𝒙)
𝟕
𝒚𝒙𝟐
𝟓
√𝟐𝒙𝒚𝟓 − 𝒙𝒚𝟑 + 𝟖𝒙𝟑 (Polinomio en las variables 𝒙, 𝒚)
𝟏𝟎 (Polinomio constante)
− 𝒙𝒚𝒛 + 𝟐𝒙 (Polinomio en las variables 𝒙, 𝒚, 𝒛)
No son ejemplos de polinomios:
𝟑√𝒙 + 𝟓𝒙 − 𝟐
;
𝟑
𝒙−𝟑 + 𝟐𝒚𝒙𝟒
;
𝟏
(𝒚 − 𝒙)𝟐
Observemos que en todos los casos aparecen variables elevadas a potencias que no son números
enteros.
NOTA: SI BIEN SE PUEDEN CONSIDERAR VARIAS VARIABLES, EN ESTE CURSO VAMOS A TRABAJAR CON
POLINOMIOS DE UNA SOLA VARIABLE Y CON COEFICIENTES REALES.
Solemos simbolizar a los polinomios con las últimas letras mayúsculas del alfabeto, e indicando entre
paréntesis la variable sobre la que está definida. Por ejemplo: 𝑷(𝒚), 𝑸(𝒙), 𝑹(𝒕), etc.
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5.3.1. Definición. Grado. Tipos de polinomios.
Formalmente definimos un polinomio 𝑷 en la variable 𝒙, como una expresión que tiene la siguiente
estructura
𝑷(𝒙) = 𝒂𝒏 𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 𝒙𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐 𝒙𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐 𝒙𝟐 + 𝒂𝟏 𝒙 + 𝒂𝟎
Donde 𝒏 ∈ ℕ𝟎 y 𝒂𝒏 ≠ 𝟎.
Los números 𝒂𝒏 , 𝒂𝒏−𝟏 , 𝒂𝒏−𝟐 , … , 𝒂𝟎 son números reales y se llaman coeficientes del polinomio. En
particular, 𝒂𝒏 se llama coeficiente principal y 𝒂𝟎 es el término independiente.
Definimos el grado de un polinomio como el número 𝒏; es decir, es el mayor
exponente al que está elevado la variable cuyo coeficiente es no nulo
NOTA: CUALQUIERA DE LOS COEFICIENTES QUE ACOMPAÑAN A LAS DISTINTAS POTENCIAS DE 𝒙 PUEDEN SER
CERO, SALVO EL COEFICIENTE PRINCIPAL, QUE ES EL QUE DEFINE SU GRADO.
Por ejemplo, el polinomio 𝑷(𝒕) = 𝟐𝒕 − 𝟒𝒕𝟑 + 𝟓 es de grado 𝟑, su coeficiente principal es – 𝟒, y su término
independiente es 𝟓.
Los polinomios de la forma 𝑸(𝒙) = 𝟐, o 𝑹(𝒙) = −𝟑, donde no aparece la variable, se llaman polinomios
constantes. En este caso, es evidente que el polinomio es de la forma 𝑷(𝒙) = 𝒂𝟎 𝒙𝟎 = 𝒂𝟎 ; 𝑐𝑜𝑛 𝒂𝟎 ≠ 𝟎 y,
por lo tanto su grado es 𝟎.
En particular, el polinomio 𝑃(𝑥) = 0 se llama polinomio nulo y no se le asigna grado.
5.3.2. Clasificación de Polinomios. Polinomio Completo y Ordenado.
Podemos clasificar a los polinomios según su cantidad de términos en monomios (un solo termino),
binomios (dos términos), trinomios (tres términos), cuatrinomios (cuatro términos), etc.
Por otro lado:
Decimos que un polinomio está ordenado cuando sus términos están en orden
creciente o decreciente, según las potencias de su variable, y decimos que está
completo cuando figuran todas las potencias de 𝒙 menores al grado del polinomio.
NOTA: DURANTE EL DESARROLLO DEL CURSO, LOS POLINOMIOS SERÁN ORDENADOS DE FORMA
DECRECIENTE.
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El polinomio 𝑷(𝒕) = 𝟐𝒕 − 𝟒𝒕𝟑 + 𝟓, no está ordenado ni completo; para que cumpla ambas propiedades
podemos reescribirlo de la siguiente manera:
𝑷(𝒕) = −𝟒𝒕𝟑 + 𝟎𝒕𝟐 + 𝟐𝒕 + 𝟓
Cuando asignamos un valor fijo a la variable y calculamos su resultado en el polinomio,
estamos evaluando el polinomio y determinando su valor numérico.
En el ejemplo anterior, si queremos calcular el valor −𝟐, del polinomio 𝑷(𝒕) = 𝟐𝒕 − 𝟒𝒕𝟑 + 𝟓, escribimos
𝑷(−𝟐) = 𝟐. (−𝟐) − 𝟒. (−𝟐)𝟑 + 𝟓 = −𝟒 + 𝟑𝟐 + 𝟓 = 𝟑𝟑 ⇒ 𝑷(−𝟐) = 𝟑𝟑
En este caso decimos que “el polinomio 𝑷(𝒕) evaluado en −𝟐 tiene un valor numérico 𝟑𝟑”.
5.3.3. Igualdad de polinomios
Cada vez que definimos un conjunto de elementos nuevos, nos interesa definir cuándo vamos a
considerar que dos elementos de dicho conjunto son iguales.
Vamos a decir que dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y si los
coeficientes del mismo grado coinciden.
Por ejemplo, los polinomios 𝑷(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟐 y 𝑸(𝒙) = 𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 +𝟎𝒙 − 𝒙𝟐 , son iguales.
EJERCICIO GUIADO
Determinar los valores de 𝒂, 𝒃 y 𝒄 para que 𝑷(𝒙) = 𝑸(𝒙).
𝑷(𝒙) = 𝟐 + 𝟓𝒙𝟑 ; 𝑸(𝒙) = 𝒂 + (𝒂 + 𝒃)𝒙𝟑
Para este caso tenemos que
𝑷(𝒙) = 𝑸(𝒙) ⇔ 𝟐 + 𝟓𝒙𝟑 = 𝒂 + (𝒂 + 𝒃)𝒙𝟑 ⇔
=𝒂 ∧
=𝒂+𝒃
Luego
𝒂=
∧ 𝒃=
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5.4. Operaciones con polinomios
5.4.1. Suma
Si queremos sumar dos polinomios, debemos sumar término a término los coeficientes del mismo grado.
Suele ser más sencillo, completar los polinomios, y colocarlos ordenadamente uno abajo del otro de
manera que, los términos del mismo grado queden en columnas y se puedan sumar.
Veamos un ejemplo. Sean los polinomios 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟓𝒙 − 𝟐 y 𝑸(𝒙) = 𝟖𝒙𝟓 + 𝟑𝒙 + 𝟐 − 𝒙𝟐 . Para
efectuar la suma primero ordenamos ambos polinomios:
𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟓𝒙 − 𝟐 ;
𝑸(𝒙) = 𝟖𝒙𝟓 − 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐
Ahora colocamos uno abajo del otro de manera que los términos semejantes (del mismo grado) estén
en columnas, completamos los términos que faltan con coeficientes cero, y efectuamos la suma de los
coeficientes.
𝒙𝟑 + 𝟎𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟐
+
𝟖𝒙𝟓 + 𝟎𝒙𝟒 + 𝟎𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐
=
𝟖𝒙𝟓 + 𝟎𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟎
Por lo tanto, 𝑷(𝒙) + 𝑸(𝒙) = 𝟖𝒙𝟓 + 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙
Otra manera de calcular la suma de polinomios es usando la propiedad asociativa para agrupar términos
semejantes y luego operar:
𝑷(𝒙) + 𝑸(𝒙) = (𝒙𝟑 − 𝟓𝒙 − 𝟐) + (𝟖𝒙𝟓 + 𝟑𝒙 + 𝟐 − 𝒙𝟐 ) = 𝟖𝒙𝟓 + 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + (−𝟓𝒙 + 𝟑𝒙) + (−𝟐 + 𝟐)
𝑷(𝒙) + 𝑸(𝒙) = 𝟖𝒙𝟓 + 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙
5.4.2. Resta
Para efectuar la resta de dos polinomios 𝑷(𝒙) − 𝑸(𝒙) debemos sumar a 𝑷(𝒙) el opuesto de 𝑸(𝒙),
simbolizado −𝑸(𝒙).
𝑷(𝒙) − 𝑸(𝒙) = 𝑷(𝒙) + [−𝑸(𝒙)]
NOTA: EL OPUESTO DE 𝑸(𝒙) CONSISTE EN EL MISMO POLINOMIO 𝑸(𝒙) DONDE CADA COEFICIENTE SE
REEMPLAZA POR SU OPUESTO.
Si consideramos los mismos polinomios en el ejemplo anterior, entonces
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𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟓𝒙 − 𝟐 ;
𝑸(𝒙) = 𝟖𝒙𝟓 − 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐
Luego escribimos el opuesto de 𝑸(𝒙)
𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟓𝒙 − 𝟐 ;
−𝑸(𝒙) = −𝟖𝒙𝟓 + 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟐
Y efectuamos la suma
𝒙𝟑 + 𝟎𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟐
+
−𝟖𝒙𝟓 + 𝟎𝒙𝟒 + 𝟎𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟐
−𝑸(𝒙)
−𝟖𝒙𝟓 + 𝟎𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟒
=
Por lo tanto, 𝑷(𝒙) − 𝑸(𝒙) = −𝟖𝒙𝟓 + 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟒
Al igual que en la suma, a la resta podemos calcularla agrupando términos semejantes con el opuesto
del segundo polinomio
𝑷(𝒙) + [−𝑸(𝒙)] = (𝒙𝟑 − 𝟓𝒙 − 𝟐) + (−𝟖𝒙𝟓 − 𝟑𝒙 − 𝟐 + 𝒙𝟐 ) = −𝟖𝒙𝟓 + 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + (−𝟓𝒙 − 𝟑𝒙) + (−𝟐 − 𝟐)
𝑷(𝒙) − 𝑸(𝒙) = −𝟖𝒙𝟓 + 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟒
5.4.3. Producto
Cuando queremos calcular el producto de polinomios, debemos completarlos y colocarlos uno arriba del
otro; luego efectuar el producto de cada término del primer polinomio por el primer término (de derecha
a izquierda) del segundo y ubicarlos en una fila. Luego, repetir el procedimiento multiplicando el primer
polinomio por el siguiente término del segundo y ubicarlos en otra fila por debajo, donde los términos
semejantes deben quedar en la misma columna. Repetir este procedimiento hasta haber multiplicado el
primer polinomio por cada término del segundo, y finalmente sumar todas las filas.
Veamos esta explicación de manera mucho más sencilla con un ejemplo. Sean 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟓𝒙 − 𝟐 y
𝑹(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟑. Colocamos primero uno abajo del otro (no hace falta ordenar ni completar para efectuar
el producto, pero cuando están ordenados se facilitan los cálculos) y luego efectuamos el producto
primero por 𝟑 y después por 𝟐𝒙, ubicando cada resultado en una fila.
𝒙𝟑 + 𝟎𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟐
𝟐𝒙 + 𝟑
𝟑
𝟐
𝟑𝒙 + 𝟎𝒙 − 𝟏𝟓𝒙 − 𝟔
𝟒
𝟐𝒙 + 𝟎𝒙𝟑 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟎
= 𝟐𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟑 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟏𝟗𝒙 − 𝟔
×
+
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Por lo tanto, sumando ambas filas obtenemos que
𝑷(𝒙). 𝑹(𝒙) = 𝟐𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟑 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟏𝟗𝒙 − 𝟔
Otra forma de efectuar el producto de manera más sencilla es escribir
𝑷(𝒙). 𝑹(𝒙) = (𝒙𝟑 − 𝟓𝒙 − 𝟐). ( 𝟐𝒙 + 𝟑)
Luego aplicamos la propiedad distributiva
𝑷(𝒙). 𝑹(𝒙) = (𝒙𝟑 − 𝟓𝒙 − 𝟐). ( 𝟐𝒙 + 𝟑) = 𝟐𝒙𝟒 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑𝒙𝟑 − 𝟏𝟓𝒙 − 𝟔
Y finalmente sumamos términos semejantes
𝑷(𝒙). 𝑹(𝒙) = 𝟐𝒙𝟒 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑𝒙𝟑 − 𝟏𝟓𝒙 − 𝟔 = 𝟐𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟑 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟏𝟗𝒙 − 𝟔
Obteniendo el mismo resultado.
5.4.4. División
En cuanto a la división de polinomios, vamos a explicarlo mediante un ejemplo práctico, pero al igual que
en los números enteros, vamos a obtener un polinomio cociente y un polinomio resto que tiene menor
grado que el divisor.
Sean 𝑷(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 + 𝒙𝟓 − 𝟖 − 𝒙 y 𝑸(𝒙) = −𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝒙𝟐 y queremos obtener 𝑷(𝒙): 𝑸(𝒙).
Antes de efectuar la división, debemos asegurarnos que el dividendo esté ordenado y completo
(podemos completar con ceros), y que el divisor esté ordenado. Luego los ubicamos de la siguiente
forma
𝒙𝟓 + 𝟎𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 + 𝟎𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟖
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏
=
Tomamos el primer término del dividendo, lo dividimos entre el primer término del divisor y lo
𝒙𝟓
colocamos en el cociente: 𝒙𝟐 = 𝒙𝟑 . Multiplicamos este monomio obtenido por todo el divisor y se lo
restamos al dividendo, (para simplificar los cálculos lo escribimos en columna respetando los grados y
con el signo opuesto)
𝒙𝟓 + 𝟎𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 + 𝟎𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟖
−𝒙𝟓 + 𝟐𝒙𝟒 − 𝒙𝟑
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏
= 𝒙𝟑
𝟐𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 + 𝟎𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟖
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Repetimos el procedimiento dividiendo el primer término del polinomio obtenido en el dividendo entre el
primer término del divisor, y lo escribimos en el cociente:
𝟐𝒙𝟒
𝒙𝟐
= 𝟐𝒙𝟐 . Luego multiplicamos el monomio
obtenido y se lo restamos al dividendo
𝒙𝟓 + 𝟎𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 + 𝟎𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟖
−𝒙𝟓 + 𝟐𝒙𝟒 − 𝒙𝟑
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏
= 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐
𝟐𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 + 𝟎𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟖
−𝟐𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐
𝟓𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟖
Repetimos este procedimiento hasta que el grado del polinomio que se obtiene en el dividendo es de
𝒙𝟓 + 𝟎𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 + 𝟎𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟖
−𝒙𝟓 + 𝟐𝒙𝟒 − 𝒙𝟑
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏
= 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙
𝟐𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 + 𝟎𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟖
−𝟐𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐
𝟓𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟖
−𝟓𝒙𝟑 + 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟓𝒙
𝟖𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟖
grado menor que el divisor:
𝟓𝒙𝟑
𝒙𝟐
= 𝟓𝒙
Todavía debemos realizar una repetición más pues el dividendo es de grado 2 al igual que el divisor
𝑷(𝒙)
𝒙𝟓 + 𝟎𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 + 𝟎𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟖
−𝒙𝟓 + 𝟐𝒙𝟒 − 𝒙𝟑
𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏
𝑸(𝒙)
= 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟖
𝑪(𝒙)
𝟐𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 + 𝟎𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟖
−𝟐𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐
𝟓𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟖
−𝟓𝒙𝟑 + 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟓𝒙
𝟖𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟖
−𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 − 𝟖
𝟏𝟎𝒙 − 𝟏𝟔
𝑹(𝒙)
Como el polinomio en el dividendo tiene grado menor que el divisor, hemos finalizado la división. El
cociente 𝑷(𝒙): 𝑸(𝒙) es 𝑪(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟖 y tiene resto 𝑹(𝒙) = 𝟏𝟎𝒙 − 𝟏𝟔.
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Al igual que con los números enteros, cuando la división 𝑷(𝒙): 𝑸(𝒙) tiene resto 𝑹(𝒙) = 𝟎, decimos que
la división es exacta y que 𝑸(𝒙) es divisor de 𝑷(𝒙) o bien que 𝑷(𝒙) es divisible entre 𝑸(𝒙).
EJERCICIO GUIADO
Resolver la siguiente división de polinomios dado el cociente y el resto de la misma.
𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 − 𝟏𝟏𝒙𝟐 + 𝟑𝟎𝒙 − 𝟐𝟎
𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐
= 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔
2𝑥 − 8
5.4.5. Regla de Ruffini.
Un caso particular de la división de polinomios es cuando el divisor tiene la forma 𝒙 − 𝒂, 𝒂 ∈ ℝ. En esos
casos tenemos una técnica sencilla para efectuar la división conocida como algoritmo o regla de Ruffini.
Nuevamente vamos a explicar los pasos utilizando un ejemplo guiado. Consideremos la siguiente
división
(−𝟐 + 𝒙𝟑 − 𝒙): (𝒙 + 𝟐)
En este caso, en el binomio divisor tenemos 𝒙 + 𝟐 = 𝒙 − (−𝟐), por lo que 𝒂 = −𝟐. El primer paso
fundamental para el algoritmo es que el dividendo esté completo y ordenado.
(𝒙𝟑 + 𝟎𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐): (𝒙 + 𝟐)
Luego identificamos los coeficientes en el dividendo y los escribimos en una fila (en caso de ser nulo
alguno colocamos el 𝟎).
(+𝟏𝒙𝟑 + 𝟎𝒙𝟐 − 𝟏𝒙 − 𝟐): (𝒙 + 𝟐)
𝟏
𝟎
−𝟏
−𝟐
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Ahora trazamos dos líneas y colocamos el valor de 𝒂 = −𝟐 de la siguiente manera.
𝟏
𝟎
−𝟏
−𝟐
−𝟐
Empezando por la primera columna bajamos el primer número y lo colocamos debajo de la línea.
𝟏
𝟎
−𝟏
−𝟐
−𝟐
𝟏
Luego lo multiplicamos por – 𝟐 (que es el valor de 𝒂) y colocamos el resultado en la columna siguiente
por encima de la línea. En este caso 𝟏. (−𝟐) = −𝟐
𝟏
−𝟐
𝟎
−𝟏
−𝟐
−𝟐
𝟏
Ahora debemos sumar los números de la segunda columna 𝟎 + (−𝟐) = −𝟐 y colocar el resultado debajo
de la línea. Nuevamente multiplicamos ese número por −𝟐 y lo colocamos en la siguiente columna por
encima de la línea (−𝟐)(−𝟐) = 𝟒
𝟏
−𝟐
𝟏
𝟎
−𝟏
−𝟐
𝟒
−𝟐
−𝟐
Repetimos el procedimiento en la siguiente columna: sumamos los dos números, colocamos el resultado
bajo la línea, lo multiplicamos por −𝟐 y lo escribimos en la columna siguiente
Finalmente en la última columna efectuamos la suma y termina el procedimiento
𝟏
𝟎
−𝟏
−𝟐
𝟏
𝟏
−𝟐
𝟎
−𝟐
−𝟐
𝟒
−𝟏
𝟑
𝟒
−𝟔
−𝟐
−𝟐
𝟑
−𝟖
−𝟐
−𝟐
𝟏
−𝟔
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Los números en azul por debajo de la línea son los coeficientes del polinomio cociente 𝑪(𝒙) , que
siempre es un grado menor que el dividendo, y el número en rojo indica el polinomio resto 𝑹(𝒙), que
siempre es un polinomio constante. En este caso
𝑪(𝒙) = 𝟏𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑
𝐲
𝑹(𝒙) = −𝟖
De esta manera hemos efectuado la división (−𝟐 + 𝒙𝟑 − 𝒙): (𝒙 + 𝟐), obteniendo cociente y resto
usando la regla de Ruffini.
NOTA: EL ALGORITMO DE RUFFINI SIRVE SOLAMENTE PARA EFECTUAR DIVISIONES CUANDO EL POLINOMIO
DIVISOR TIENE LA FORMA (𝒙 − 𝒂), EN CUALQUIER OTRO CASO SE DEBE REALIZAR LA DIVISIÓN CON EL MÉTODO
USUAL.
5.4.6. Ceros de un polinomio. Teorema del resto.
Como ya definimos anteriormente, evaluar un polinomio significa asignarle un valor a la variable y
obtener un resultado. Supongamos que tenemos el siguiente polinomio
𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟏𝟒𝒙 − 𝟐𝟒
Evaluemos el polinomio en 𝒂 =– 𝟐
𝑷(𝒂) = 𝑷(−𝟐) = (−𝟐)𝟑 + (−𝟐)𝟐 − 𝟏𝟒(−𝟐) − 𝟐𝟒 = −𝟖 + 𝟒 + 𝟐𝟖 − 𝟐𝟒 = 𝟎
Por lo tanto 𝑷(−𝟐) = 𝟎 , y en este caso decimos que −𝟐 es un cero del polinomio. Formalmente
definimos:
Un número 𝒂 es cero o raíz de un polinomio 𝑷(𝒙) si verifica que 𝑷(𝒂) = 𝟎.
Observemos qué sucede si efectuamos la siguiente división mediante el algoritmo de Ruffini
𝑷(𝒙): (𝒙 − 𝒂) = 𝑷(𝒙): (𝒙 − (−𝟐)) = (𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟏𝟒𝒙 − 𝟐𝟒): (𝒙 + 𝟐)
𝟏
−𝟐
𝟏
𝟏
− 𝟏𝟒
− 𝟐𝟒
−𝟐
𝟐
𝟐𝟒
−𝟏
−𝟏𝟐
𝟎
Es decir, que el resto de la división de 𝑷(𝒙): (𝒙 − (−𝟐)) es 𝑹(𝒙) = 𝟎 y coincide con el valor de 𝑷(−𝟐) =
𝟎. Consideremos ahora otro valor 𝒃 = 𝟑 y calculemos
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𝑷(𝒃) = 𝑷(𝟑) = 𝟑𝟑 + 𝟑𝟐 − 𝟏𝟒. 𝟑 − 𝟐𝟒 = 𝟐𝟕 + 𝟗 − 𝟒𝟐 − 𝟐𝟒 = −𝟑𝟎
Y si hacemos el cociente 𝑷(𝒙): (𝒙 − 𝟑) obtenemos
𝟏
𝟑
𝟏
𝟏
− 𝟏𝟒
− 𝟐𝟒
𝟑
𝟏𝟐
−𝟔
𝟒
−𝟐
−𝟑𝟎
Nuevamente coinciden los valores de 𝑷(𝒃) = −𝟑𝟎 con el resto del cociente de la división
𝑷(𝒙): (𝒙 −
𝒃)
Esta propiedad se cumple siempre, por lo que se generaliza para todos los polinomios y se conoce como
Teorema del Resto. El enunciado formal del teorema nos dice:
Dado un polinomio 𝑷(𝒙) y un número real α, entonces el valor del polinomio al
particularizar en 𝜶 coincide con el resto de la división 𝑷(𝒙): (𝒙 − 𝜶).
En símbolos, podemos escribir que 𝑷(𝜶) = 𝑹(𝒙) dónde 𝑹(𝒙) es el resto de la división 𝑷(𝒙): (𝒙 − 𝜶).
Debido a este teorema, cuando queremos saber si un número 𝜶 es raíz de un polinomio 𝑷(𝒙),
entonces tenemos dos opciones:
Calcular el 𝑷(𝜶) y averiguar si es igual a 𝟎.
O bien efectuar la división 𝑷(𝒙): (𝒙 − 𝜶) (usando Ruffini) y verificar que tenga resto 𝟎.
Todas las siguientes expresiones son equivalentes
𝜶 es una raíz o un cero de 𝑷(𝒙).
𝑷(𝜶) = 𝟎
El resto de la división 𝑷(𝒙): (𝒙 − 𝜶) es cero.
𝑷(𝒙) es divisible entre (𝒙 − 𝜶).
(𝒙 − 𝜶) es un divisor de 𝑷(𝒙).
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EJERCICIO GUIADO
Calcular la división (𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟑 − 𝟔𝒙 − 𝟒): (𝒙 + 𝟐) usando la Regla de Ruffini e identificar cociente y
resto. Luego verificar el valor obtenido para el resto usando el Teorema del Resto.
𝟏
⬚
⬚
⬚
⬚
−𝟔
⬚
⬚
⬚
⬚
⬚
⬚
⬚
⬚
−𝟖
𝑪(𝒙) = ___________________________________
𝑷(𝒙) = 𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟑 − 𝟔𝒙 − 𝟒 ⇒ 𝑷(
𝑹(𝒙) = ________
) =…………………………………=
5.5. Factorización de polinomios
Factorizar es el proceso mediante el cual escribimos un número o una expresión como una multiplicación.
En el caso de un polinomio consiste en escribirlo como producto de polinomios más sencillos. Para ello
tenemos algunos de los casos que aparecen más a menudo en los cálculos con expresiones
polinómicas, estos son los casos de factoreo.
5.5.1. Factor común
Cuando en todos los términos de un polinomio aparece el mismo factor, podemos expresarlo como el
producto de dicho factor y del resultado de dividir cada término del polinomio por ese factor.
Por ejemplo
1.
𝟐 𝟑
𝒙
𝟑
𝟖
−𝟑+
𝟏𝟒
𝒙
𝟑
−
𝟏𝟎 𝟐
𝒙
𝟑
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
= 𝟑 𝒙𝟑 − 𝟑 . 𝟒 + 𝟑 . 𝟕𝒙 − 𝟑 . 𝟓𝒙𝟐 =
𝟐
(𝒙𝟑
𝟑
− 𝟒 + 𝟕𝒙 − 𝟓𝒙𝟐 )
2. 𝟐𝟖𝒙𝟑 + 𝟏𝟒𝒙𝟐 − 𝟑𝟓𝒙𝟓 = 𝟕𝒙𝟐 (𝟒𝒙 + 𝟐 − 𝟓𝒙𝟓 )
3. 𝒙𝟔 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟗𝒙𝟒 = 𝒙𝟐 (𝒙𝟒 + 𝟑 + 𝟗𝒙𝟐 )
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5.5.2. Factor común por grupo
Puede suceder que en un polinomio no haya un factor que sea común en todos los términos, pero lo
podemos separar en dos grupos con la misma cantidad de términos de manera que en cada uno de
ellos haya un factor común. Una vez hecho esto aparece un nuevo factor común.
Por ejemplo
𝟐𝟏 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟖𝒙𝟑 − 𝟏𝟒𝒙𝟐 = 𝟕(𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 ) + 𝟒𝒙(𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 ) = (𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 )(𝟕 + 𝟒𝒙)
𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖 = 𝒙𝟐 (𝒙 + 𝟒) − 𝟐(𝒙 + 𝟒) = (𝒙 + 𝟒)(𝒙𝟐 − 𝟐)
5.5.3. Diferencia de cuadrados
Cuando hablamos de “diferencia” hacemos referencia a una resta, en este caso, una resta de dos
elementos que están elevados al cuadrado. Se extrae la base de cada cuadrado, y se escribe como el
producto de la suma y la resta de dichas bases. En algunos casos el procedimiento se puede repetir
más de una vez.
Por ejemplo
1. 𝟗𝒙𝟐 − 𝟑𝟔 = (𝟑𝒙)𝟐 − 𝟔𝟐 = (𝟑𝒙 + 𝟔)(𝟑𝒙 − 𝟔)
2. 𝟏 − 𝟏𝟔𝒙𝟒 = (𝟏 − 𝟒𝒙𝟐 )(𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 ) = (𝟏 − 𝟐𝒙)(𝟏 + 𝟐𝒙)(𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 )
3. 𝟒𝒙𝟒 − 𝟖𝟏𝒙𝟐 = (𝟐𝒙𝟐 − 𝟗𝒙)(𝟐𝒙𝟐 + 𝟗𝒙)
5.5.4. Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es el resultado de elevar al cuadrado un binomio.
(𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐
Aprendamos este caso de factoreo mediante el siguiente ejemplo:
𝟐𝟓 + 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙
Para reconocer si estamos ante un trinomio cuadrado perfecto, primero debemos observar que dos de
los términos deben ser elementos al cuadrado y calcular las bases (siempre positivas):
𝟐𝟓 + 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 = 𝟓𝟐 + 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙
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En este caso tenemos 𝟓 y 𝒙 al cuadrado. Luego tenemos que verificar que el término restante debe ser
el doble del producto de las bases de los cuadrados (o su opuesto):
𝟏𝟎𝒙 = 𝟐(𝟓. 𝒙)
En caso que se cumpla, tenemos un trinomio cuadrado perfecto, y lo podemos factorizar escribiendo el
binomio elevado al cuadrado formado por las dos bases de los cuadrados y unidas por el signo del
término restante.
𝟐𝟓 + 𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙
Trinomio Cuadrado
Perfecto
=
(𝟓 − 𝒙)𝟐
Cuadrado de un
Binomio
Veamos otro ejemplo:
𝟗𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟏
En este caso, los elementos al cuadrado son 𝟑𝒙 y 𝟏, y el término restante es 𝟔𝒙 = 𝟐. 𝟑𝒙. 𝟏. Por lo
tanto, es un trinomio cuadrado perfecto y lo podemos expresar como el cuadrado de un binomio.
𝟗𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟏 = (𝟑𝒙 + 𝟏)𝟐
Supongamos ahora que tenemos el siguiente trinomio:
𝟏𝟔 − 𝟑𝟔𝒙 + 𝟗𝒙𝟐
En este caso 𝟏𝟔 y 𝟗𝒙𝟐 son los elementos al cuadrado, y sus bases son 𝟒 y 𝟑𝒙, pero si hacemos el
doble de su producto obtenemos
𝟐. 𝟒. 𝟑𝒙 = 𝟐𝟒𝒙
Y esta expresión no coincide con el término restante 𝟑𝟔𝒙. Por lo tanto, podemos decir que este
polinomio es un no es un Trinomio Cuadrado Perfecto..
NOTA: SI TENEMOS UN POLINOMIO DE GRADO 2 Y NO PODEMOS APLICAR EL CASO DE TRINOMIO CUADRADO
PERFECTO, ENTONCES PODEMOS USAR LA FÓRMULA RESOLVENTE, VISTA EN ECUACIONES DE 2DO GRADO,
PARA FACTORIZARLO. A CONTINUACIÓN EXPLICAMOS BREVEMENTE EL MÉTODO.
Recordemos que cuando estudiamos las ecuaciones de segundo grado y la función cuadrática,
aprendimos la fórmula resolvente. Si 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, entonces:
𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
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Podemos utilizar esta misma fórmula para encontrar los ceros del polinomio
𝑷(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
Sabemos que los tres resultados posibles dependen del discriminante ∆= 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄.
Cuando ∆> 𝟎, las raíces del polinomio son dos valores reales distintos 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 ; en ese caso se
puede factorizar escribiendo
𝑷(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂 . (𝒙 − 𝒙𝟏 )(𝒙 − 𝒙𝟐 )
Cuando ∆= 𝟎, el polinomio tiene sus dos raíces reales e iguales 𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 = 𝜶. Este caso se da
cuando el polinomio dado es un trinomio cuadrado perfecto, es decir, que el caso de factoreo
es un caso particular que se obtiene a partir de la fórmula resolvente:
𝑷(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒂 . (𝒙 − 𝜶)𝟐
Cuando ∆< 𝟎, las raíces no son números reales.
Por ejemplo, tenemos el polinomio
𝑷(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝟕𝒙 + 𝟏𝟖𝟎
No podemos aplicar trinomio cuadrado perfecto porque no tenemos dos términos que sean elementos
al cuadrado. Calculamos entonces la fórmula resolvente, en este caso 𝒂 = 𝟏, 𝒃 = −𝟐𝟕 y 𝒄 = 𝟏𝟖𝟎.
𝒙𝟏,𝟐 =
−(−𝟐𝟕) ± ඥ(−𝟐𝟕)𝟐 − 𝟒. 𝟏. 𝟏𝟖𝟎 𝟐𝟕 ± √𝟕𝟐𝟗 − 𝟕𝟐𝟎 𝟐𝟕 ± 𝟑
=
=
𝟐. 𝟏
𝟐
𝟐
Luego los resultados para las raíces son 𝒙𝟏 = 𝟏𝟓 y 𝟐 = 𝟏𝟐. Por lo tanto podemos factorizar al
polinomio de la siguiente forma
𝑷(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝟕𝒙 + 𝟏𝟖𝟎 = (𝒙 − 𝟏𝟓)(𝒙 − 𝟏𝟐)
5.5.5. Cuatrinomio cubo perfecto
Un cuatrinomio cubo perfecto es el resultado de elevar un binomio al cubo.
(𝒂 + 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑
Para aprender a reconocer este caso de factoreo, lo explicamos con el siguiente ejemplo:
𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝟖𝒙 − 𝟔𝟒
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Primero debemos identificar dos términos que sean elementos al cubo y calcular sus bases. En este
caso, tenemos 𝒙𝟑 y −𝟔𝟒 cuyas bases son 𝒙 y – 𝟒.
𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝟖𝒙 − 𝟔𝟒 = 𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝟖𝒙 + (−𝟒)𝟑
Luego, los dos términos restantes deben ser el triple de una de las base al cuadrado por la otra; en
este caso
𝟑. 𝒙𝟐 . (−𝟒) = −𝟏𝟐𝒙𝟐
𝟑. 𝒙. (−𝟒)𝟐 = 𝟒𝟖𝒙
Como los dos resultados coinciden con los términos −𝟏𝟐𝒙𝟐 y 𝟒𝟖𝒙, entonces estamos ante un
cuatrinomio cubo perfecto. Por lo tanto, podemos escribir el polinomio como el cubo del binomio
formado por la suma de las bases.
𝟑
𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝟖𝒙 − 𝟔𝟒 = (𝒙 + (−𝟒)) = (𝒙 − 𝟒)𝟑
Luego
𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝟖𝒙 − 𝟔𝟒 = (𝒙 − 𝟒)𝟑
Cuatrinomio Cubo
Perfecto
Cubo de un
Binomio
5.6. Expresiones algebraicas racionales
Otros tipos de expresiones que surgen constantemente en los cálculos algebraicos son las
expresiones racionales, que son cocientes de polinomios expresados como fracciones. No siempre es
conveniente resolver la división de polinomios, en algunas ocasiones usamos los casos de factoreo
para simplificarlas y facilitar los cálculos. Formalmente:
Las expresiones algebraicas racionales son expresiones de la forma
𝑷(𝒙)
𝑸(𝒙)
Donde el grado de 𝑸(𝒙) es mayor o igual a 𝟏.
Observemos que el requerimiento de que el grado de 𝑸(𝒙) sea mayor o igual que 𝟏 excluye la posibilidad
de que el polinomio denominador sea nulo (pues en ese caso no está definido el cociente) o que sea
constante (la expresión algebraica es polinómica).
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Las operaciones con las expresiones algebraicas racionales se realizan del mismo modo que se suman,
restan, multiplican y dividen fracciones numéricas.
El objetivo en esta sección es poder factorizar los polinomios tanto en el numerador como en el
denominador de manera que se puedan simplificar los factores y reducir las expresiones fraccionarias
lo máximo posible.
EJERCICIO RESUELTO
Simplifiquemos la siguiente expresión algebraica fraccionaria:
𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔 𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐
: 𝟐
=
𝒙𝟐 − 𝟏
𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟏
Antes de resolver, primero debemos identificar en cada polinomio si podemos aplicar algún caso de
factoreo
𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔 𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐
: 𝟐
=
𝒙𝟐 − 𝟏
𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟏
En la primera fracción tenemos en el numerador (rojo) un polinomio de segundo grado. Observemos
que no posee dos términos que sean elementos al cuadrado, entonces no podemos aplicar trinomio
cuadrado perfecto. Aplicamos entonces la fórmula resolvente (𝒂 = 𝟏,𝒃 = 𝟏 y 𝒄 = −𝟔) y obtenemos que
𝒙𝟏 = 𝟐 y 𝒙𝟐 = −𝟑. Entonces factorizamos:
(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟑) 𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐
: 𝟐
=
𝒙𝟐 − 𝟏
𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟏
Ahora, en el denominador de la primera fracción (rojo) identificamos dos elementos al cuadrado unidos
por una resta: 𝐱 𝟐 − 𝟏𝟐 , es decir, podemos aplicar la diferencia de cuadrados:
(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟑) 𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐
:
=
(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏
En la segunda fracción tenemos en el numerador (rojo) nuevamente un polinomio de grado 2 donde no
hay dos elementos al cuadrado, entonces aplicamos la fórmula resolvente (𝒂 = 𝟏,𝒃 = 𝟕 y 𝒄 = 𝟏𝟐) y
obtenemos 𝒙𝟏 = −𝟑 y 𝒙𝟐 = −𝟒. Luego
(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟑) (𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟒)
:
=
(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏
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GRUPO II
Finalmente en el denominador de la segunda fracción tenemos un polinomio de segundo grado donde
aparecen dos términos al cuadrado (𝒙)𝟐 y 𝟏𝟐 , y el término restante coincide con el opuesto doble del
producto de ambos, 𝟐𝒙 = 𝟐. 𝒙. 𝟏. Entonces estamos ante un trinomio cuadrado perfecto y factorizamos:
(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟑) (𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟒)
:
=
(𝒙 − 𝟏)𝟐
(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)
Una vez factorizados todos los polinomios, realizamos el cálculo de la división, para ello invertimos la
segunda fracción y la transformamos en un producto
(𝐱 − 𝟏)𝟐
(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟑)
∙
=
(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) (𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟒)
Luego simplificamos todas los factores que se repitan en el numerador y denominador
(𝐱 − 𝟏)𝟐
(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟑)
𝒙−𝟐 𝒙−𝟏
∙
=
∙
=
(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) (𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟒) 𝒙 + 𝟏 𝒙 + 𝟒
Resolvemos, por último el producto de fracciones
𝒙 − 𝟐 𝒙 − 𝟏 (𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟏) 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐
∙
=
=
𝒙 + 𝟏 𝒙 + 𝟒 (𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟒) 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟒
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5.7. Ejercicios
1.- Dado el polinomio 𝑷(𝒙) = 𝟑𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟏𝟗, particularizar para obtener los siguientes
resultados
a. 𝑷(−𝟏)
c. 𝑷(𝟎)
b. 𝑷(𝟐)
d. 𝑷(𝟏/𝟐)
2.- Determinar los valores de 𝒂, 𝒃 y 𝒄 para que los polinomios sean iguales
a. 𝑷(𝒙) = −𝟓 + (√𝟐 + 𝟏)𝒙 + 𝟓√𝟐𝒙𝟐
b. 𝑷(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙𝟑
;
;
𝑸(𝒙) = 𝒂 + (𝒃 + 𝟏)𝒙 + (𝒄 + 𝟐𝒃)𝒙𝟐
𝑸(𝒙) = 𝒄𝒙𝟑 + (𝒃 + 𝒄)𝒙 + (𝒂 + 𝟐𝒄)𝒙𝟐
3.- Encontrar el valor de “𝒂” y “ 𝒃” de modo que el grado del polinomio 𝑷(𝒙) sea 𝟑, siendo
𝑷(𝒙) = (𝒂 − 𝟐)𝒙𝟓 + (𝒂 − 𝒃 + 𝟏)𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 − 𝟓𝒙 + 𝟏
4.- Dados los siguientes polinomios:
𝑷(𝒙) = 𝟑𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏
𝑻(𝒙) = 𝒙𝟓 − 𝟐 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙
𝑸(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟏
𝑼(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙
𝑹(𝒙) = 𝟑𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏
𝑽(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 + 𝟖𝒙 − 𝟖 + 𝟏𝟎𝒙𝟐
𝑺(𝒙) = 𝒙 + 𝟏
Efectuar las siguientes operaciones:
a. 𝑷(𝒙) + 𝑹(𝒙) − 𝑺(𝒙)
b. 𝟐𝑺(𝒙) − 𝟑𝑻(𝒙)
c. 𝑹(𝒙)𝑼(𝒙)
d.
e.
f.
[𝑷(𝒙) + 𝑻(𝒙)]. 𝑺(𝒙)
[𝑺(𝒙)]𝟐 . 𝑼(𝒙) − 𝑸(𝒙)
[𝑽(𝒙): 𝑺(𝒙)] + 𝑹(𝒙)
5.- Calcular las siguientes divisiones identificando cociente y resto:
a. (𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 − 𝟐 + 𝒙 − 𝒙𝟐 ): (𝒙𝟐 + 𝟏)
b. (𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝟓): (𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟐𝟓)
6.- Resolver los cocientes usando el algoritmo de Ruffini. Verificar el valor del resto utilizando el
Teorema del resto.
a. (−𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 + 𝒙 − 𝟑): (𝒙 + 𝟏)
𝟏
b. (𝟑 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑) : (𝒙 − 𝟏)
c. (𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟒 − 𝟑𝒙 − 𝟐): (𝒙 + 𝟑)
d. (𝒙𝟓 + 𝟑𝟐): (𝒙 − 𝟐)
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7.- Factorizar los siguientes polinomios utilizando los casos aprendidos
𝟏
𝟑
𝟑
a. −𝟑𝒙 + 𝟔 + 𝒙𝟓 − 𝟐𝒙𝟒
f. 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏
𝟖
𝟒
𝟐
b. −𝒙𝟒 + 𝟔𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟓 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟒
g. 𝟔𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟑 − 𝟐𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙
c. 𝒙𝟒 −
𝟏
𝟖𝟏
d. 𝒙𝟐 −
𝟐𝟓
𝟓𝒙 + 𝟒
𝟒 𝟐
𝟒
𝒙 +𝟗
𝟑
e. 𝒙𝟒 −
h.
𝟑 𝟔
𝒙
𝟒
− 𝟏𝟐𝒙𝟐
i. 𝟏 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟖𝒙𝟑
j. 𝟐𝟎𝒙𝟐 − 𝟔𝟎𝒙 + 𝟒𝟓
8.- Simplificar las siguientes expresiones algebraicas fraccionarias y luego resolver:
a.
b.
c.
d.
e.
𝟔𝒙𝟓 −𝒙^𝟒
𝟏𝟐𝒙𝟐 −𝟐𝒙
𝟔𝒙𝟒 −𝟒𝟖𝟔
𝟒𝒙𝟐 −𝟑𝟔
𝒙𝟑 −𝟗𝒙𝟐 +𝟐𝟕𝒙−𝟐𝟕
𝟓𝒙𝟑 −𝟒𝟓𝒙
𝟒𝒙
𝒙
+
𝒙𝟐 −𝟐𝟓
𝒙+𝟓
𝒙𝟐 +𝟐𝒙
𝒙𝟒 −𝟏𝟔
𝟔𝒙
∙
∙
𝟑𝒙𝟒 +𝟏𝟐𝒙𝟐 𝒙𝟒 +𝟒𝒙+𝟒 𝟒𝒙+𝟖
f.
g.
h.
i.
𝟐
𝟐
+
𝒙+𝟏
𝒙−𝟏
𝒙𝟐 +𝟕𝒙+𝟏𝟎 𝒙𝟐 +𝟏𝟎𝒙+𝟐𝟓
∙ 𝒙𝟐−𝟒
𝒙𝟐 +𝟒𝒙+𝟒
𝟐
𝟑
𝟏
( 𝟐
+
):
𝟗𝒙 −𝟏𝟔
𝟑𝒙+𝟒 𝟑𝒙−𝟒
𝒙−𝟏
𝟒−𝒙𝟐
∙
(𝒙
+
)
𝟐
𝒙 −𝟒
𝒙−𝟏
9.- El perímetro del triángulo de la figura es de 𝟐𝒙 + 𝟓, determinar la expresión algebraica de la
longitud del lado que falta.
𝑥 2 − 5𝑥 − 9
𝑥−6
𝑥2 − 6
𝑥−6
10.- Determinar área y el perímetro del siguiente rectángulo
2
𝑥−5
3
𝑥+4
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Bibliografía
Aritmética y Álgebra 3, Matemática Moderna – Repetto Linskens Fesquet. Ed. Kapelusz – Bs.As,
Argentina, 1968.
Matemática 2, Tapia – Nelly Vázquez de Tapia, Alicia Tapia de Bibiloni, Carlos Alberto Tapia. Ed.
Estrada – Bs.As, Argentina, 1980.
Matemática 1, Activa – Pablo Effenberger. Ed. Puerto de Palos – Bs.As, Argentina, 2001.
Algebra I – Armando Rojo. Ed. Magister Eos - Bs.As, Argentina, 2006
Cartilla Curso de Ingreso - Lic. Lilia Susana Cañete, FCEyT – UNSE, 2019.
Cartilla Curso de Ingreso - Lic. María Inés Morales de Barrionuevo, FCEyT – UNSE, 2014.
Lógica e Introducción a la Filosofía – Vicente Fatone. Ed. Kapelusz – Bs.As, Argentina, 1969.
Introducción a la Lógica – Irving M. Copi. EUDEBA – Bs. As, Argentina, 1962.
Lógica Simbólica y Elementos de Metodología de la Ciencia – Salama Alicia. Ed. El Ateneo – Bs.As,
Argentina, 1992.
Lógica Proposiciones, ¿Cómo pensar II?, Filosofía – Fichas y textos, Gerardo Suárez Silva.
Autores: Cristina Basualdo - Ariana Origuela - Mauricio Santillán - Carina Sonzogni
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