Guía de Física Electivo (caída libre y lanzamiento de proyectil

Guía de Física Electivo (caída libre y lanzamiento de proyectil)
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Caída Libre y Lanzamiento Vertical
Gran parte de lo que conocemos sobre caída libre se debe al científico italiano
Galileo Galilei. El fue el primero en deducir que en ausencia de fricción, todos los cuerpos
(grandes, pequeños, pesados o ligeros) caen cerca de la superficie de la tierra con la misma
aceleración (en el vacio una pluma y una esfera de acero caerán al mismo tiempo). La creencia
antigua era de suponer que los objetos pesados caen proporcionalmente más rápido que los ligeros.
Para analizar la caída libre hemos despreciado totalmente la resistencia del aire, por
lo cual este movimiento corresponde a un movimiento uniforme acelerado. Se ha determinado el
valor de la aceleración en caída libre y su valor es constante durante todo su movimiento, lo
designaremos por:
𝑚
𝑓𝑡
𝑔⃗ = −9,8 2 = −32 2
𝑠
𝑠
Debemos tener presente que la aceleración es un vector (posee modulo, dirección y
sentido), para este caso la dirección es siempre hacia abajo (por lo cual tiene signo negativo), si
nuestro sistema de referencia elegido indica que hacia arriba es positivo y hacia abajo negativo
(valido para cualquier vector presente en el problema). La única fuerza presente sobre el objeto es el
peso (es la que produce esta aceleración, recordar que de no existir una fuerza neta distinta de cero,
su movimiento seria a velocidad constante), además tener presente los siguientes puntos de los
vectores:
 Desplazamiento es positivo o negativo, dependiendo de la ubicación o posición del objeto
en relación con su posición cero.
 Velocidad es positivo o negativo dependiendo de si la dirección del movimiento está a
favor o en contra de la dirección elegida como positiva.
 Aceleración es positiva o negativa, dependiendo de si la fuerza resultante (neta) está a favor
o en contra de la dirección elegida como positiva.
Caída Libre
Llamaremos caída libre al fenómeno en el cual el objeto es dejado caer desde cierta
altura, es decir, su velocidad inicial es cero, además conocemos su aceleración que es 𝑔⃗, teniendo
presente lo dicho anteriormente tenemos las condiciones iniciales:
 Su velocidad inicial es cero (𝑣𝑖 = 0).
𝑚
𝑓𝑡
 Su aceleración es siempre conocida y su dirección es hacia abajo (𝑔⃗ = −9,8 𝑠2 = −32 𝑠2 ).
 Por sistema de referencia su desplazamiento deberá ser negativo y su velocidad va
aumentando a medida que cae.
Profesor: Pedro Rojas Calderón
Colegio San José (La Serena)
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Lanzamiento Vertical (arriba o abajo)
Llamaremos lanzamiento vertical al fenómeno en el cual el objeto es lanzado con
una velocidad inicial distinta de cero (𝑣𝑖 ≠ 0) y también como en el caso anterior conocemos su
𝑚
𝑓𝑡
aceleración la cual es (𝑔⃗ = −9,8 𝑠2 = −32 𝑠2 ) y se mantiene constante. Debemos tener presente las
condiciones iniciales del problema:
 El objeto es lanzado (hacia arriba o abajo) con una velocidad inicial distinta de cero.
 Si es lanzado hacia arriba su velocidad irá disminuyendo hasta su altura máxima (donde su
velocidad cera de cero), posteriormente comenzará a caer aumentando su velocidad.
 Si el objeto es lanzado hacia abajo, su velocidad inicial será distinta de cero (no confunda
con caída libre) y recordar la dirección descendente de este vector.
 El objeto a la misma altura, es decir, cuando sube y después cuando baja, tiene el mismo
modulo de la velocidad pero con dirección contrarias.
Las relaciones matemáticas que usaremos para resolver problemas son las
siguientes:
𝑔⃗=
𝑣⃗⃗𝑓 −𝑣⃗⃗𝑖
∆𝑡
1
𝑦 = 𝑣⃗𝑖 𝑡 + 𝑔⃗ 𝑡 2
2
2𝑔
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑦 = 𝑣⃗𝑓2 − 𝑣⃗𝑖2
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Lanzamiento de Proyectil
Un objeto que se lanza al espacio sin propulsión propia recibe el nombre de
“proyectil”. Si despreciamos la resistencia producida por el aire, la única fuerza que actúa es su
peso, lo cual hace que su trayectoria se desvié de la línea recta.
El proyectil experimenta una aceleración constante hacia abajo, por efecto de la
gravedad (pero en general la dirección de la gravedad no coincide con la velocidad inicial), debido a
que ninguna fuerza actúa horizontalmente para cambiar la velocidad, esto implica que la
aceleración en esta dirección es cero (lo cual produce una velocidad horizontal constante), pero
como existe una fuerza vertical ( gravedad) esta hace que la velocidad en esta dirección cambie
uniformemente, por esto se dice que este fenómeno ocurre en dos dimensiones.
Del dibujo anterior, se debe analizar cuidadosamente ya que de ahí se obtiene
información valiosa acerca de este fenómeno, como el comportamiento durante su vuelo de cada
uno de los vectores involucrados:



El vector aceleración se encuentra en salmón y apunta siempre hacia abajo.
La componente de la velocidad vertical, va cambiando a medida que sube y baja.
La componente de la velocidad horizontal se mantiene constante.
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Proyección Horizontal
La mejor manera de analizar este fenómeno es describir su movimiento Horizontal
y vertical por separado. Ahora analicemos el siguiente caso; un objeto lanzado con velocidad
constante horizontal, mientras que otro de igual características es dejado caer (ambos de la misma
altura).
Utilizamos las ecuaciones de movimiento uniforme acelerado, las cuales también se
aplican al movimiento de proyectiles, pero conociendo el valor de la aceleración vertical la cual es
9,8 [m/s2] (debemos tener cuidado ya que este valor solo es aplicable en el eje vertical, ya que solo
aquí existe aceleración dirigida hacia abajo).
La ecuación general para representar la altura alcanzada en función del tiempo es la
siguiente:
1
𝑦 = 𝑣0𝑦 𝑡 + 𝑔𝑡 2
2
Para este caso especial de lanzamiento de proyectil, debemos tener presente las
condiciones iníciales, las cuales son:
1. Como se lanza de la altura máxima la velocidad inicial en el eje “y” es cero (𝑣𝑜𝑦 = 0).
2. Como sabemos la velocidad horizontal es constante, es decir, no cambia nunca durante su
trayecto, por lo cual no existe aceleración.
3. El tiempo en caer es el mismo (lanzado horizontalmente), que si se dejara caer desde la
misma altura.
4. La aceleración se mantiene constante en valor, el cual será 9,8 [m/s 2] incluso en la altura
máxima.
Podemos además conocer su desplazamiento horizontal reconociendo que la
velocidad horizontal se mantiene constante, dado por la siguiente ecuación:
𝑥 = 𝑣0𝑥 𝑡
Además podemos conocer las componentes de la velocidad horizontal y vertical
dada por las ecuaciones:
Componente horizontal
Componente vertical
𝑣𝑥= 𝑣0𝑥
𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 + 𝑔𝑡
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Problema general de trayectorias
El caso más general se presenta cuando el proyectil es lanzado con cierto ángulo y
con una velocidad inicial” 𝑣0 ” (igualmente que en el caso anterior, resulta conveniente tratarlo por
separado). Aquí debemos analizarlo como si fuera un lanzamiento vertical hacia arriba,
considerando las condiciones iníciales de este caso.




El objeto es lanzado con una velocidad inicial distinta de cero (𝑣0 ).
A medida que el objeto sube su velocidad disminuye, hasta llegar a cero en su altura
máxima.
El tiempo de vuelo se considera desde que sube hasta su altura máxima, hasta que baja
nuevamente a su posición inicial.
La velocidad a la misma altura, es decir, cuando sube y cuando baja, en modulo es igual,
solo cambia en dirección.
Por lo tanto, si la posición inicial esta por arriba del origen será “+” y por debajo
será “-“y en forma similar las velocidades, como la velocidad está aumentando a medida que cae la
aceleración será “-“.
Para este tipo de problemas utilizaremos las ecuaciones:
1. Componentes de la velocidad inicial de lanzamiento:
𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos 𝜃
𝑣𝑜𝑦 = 𝑣0 sin 𝜃
2. Las componentes horizontal y vertical del desplazamiento, en cualquier instante:
𝑋 = 𝑣𝑜𝑥 𝑡
1
𝑦 = 𝑣0𝑦 𝑡 + 𝑔𝑡 2
2
3. Cuando el objeto es lanzado y cae a la misma altura, se utiliza la ecuación:
𝑋=
𝑣02 sin 2𝜃
𝑔
𝑦=
𝑣02 sin 𝜃 2
2𝑔
4. Las componentes de la velocidad para cualquier tiempo:
𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥
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𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 + 𝑔𝑡
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Resumen
Si no existiera la gravedad cuando un objeto es lanzado con cierta inclinación, este
seguiría una trayectoria rectilínea (por la 1ª ley de Newton), pero como en la realidad esto no
ocurre, nos indica que debe existir una fuerza (que hace que esto ocurra) la cual es el peso del
objeto.
Además debemos tener presente que existe una relación entre lanzamiento de
proyectil y caída libre o lanzamiento vertical, la velocidad inicial de lanzamiento es la misma que
cuando llega al suelo, pero de signo contrario. La velocidad sobre el eje “X” se mantiene constante
durante todo su vuelo, solamente cambia la velocidad en “y” (ya que solo en esa dirección existe
aceleración).
Otro detalle que es muy importante, es que obtenemos igual alcance horizontal para
algunos ángulos (siempre que la suma de dichos ángulos sea de 90º), siempre y cuando sean
lanzados con igual rapidez inicial, algunos de los cuales son:




30º y 60º.
40º y 50º.
15º y 75º.
20º y 70º
Además tenemos un alcance máximo, para un ángulo de 45º, lo que hace la
diferencia en el alcance son los valores de las componentes de la velocidad para los diferentes
ángulos.
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Proyectiles con Movimiento Rápido
Veremos ahora que existe una relación entre lanzamiento de proyectil y el
movimiento de satélites, por otro lado conocemos, que de no existir gravedad actuando sobre un
objeto al ser lanzado este seguiría una trayectoria rectilínea, esto debemos tenerlo muy claro ya que
es la base para comprender el movimiento de los satélites.
1. Un satélite terrestre no es más que un proyectil que cae alrededor de la tierra y no cae
hacia ella.
2. La rapidez del satélite debe ser lo suficiente como para asegurar que su distancia de caída
coincida con la curvatura de la tierra (aprox. 8 [km/s])
3. Es un hecho geométrico que la tierra baja 5 [m] cada 8000 metros tangentes a la superficie
Con la rapidez necesaria el efecto de la atmosfera hacia el objeto seria que este se
quemara. Esta es la razón por la cual los satélites y transbordadores se lanzan a altitudes de 150
[km] o más de altura, para así no tener resistencia del aire.
Una idea equivocada es pensar que a esta altura los satélites están libres de
gravedad terrestre, por el contrario poseen casi la misma gravedad que en la superficie. Isaac
Newton comprendió que el movimiento de los satélites y dedujo que la luna no es más que un
proyectil que describe círculos alrededor de la tierra bajo la atracción de la gravedad.
1. Newton imagino que si lanzaba un objeto desde una montaña sobre la atmosfera, entre
mayor fuese su rapidez horizontal lograría que este objeto describiera círculos alrededor de
la tierra (estaría en órbita).
2. Cualquier objeto en órbita posee una velocidad tangencial (paralela a la tierra), suficiente
como para asegurar que su movimiento sea alrededor de la tierra y no hacia ella.
3. Al no haber resistencia del aire, cualquier satélite terrestre cae tirando y girando
indefinidamente alrededor de la tierra, al igual que los planetas lo hacen alrededor del sol.
4. De no existir velocidades tangenciales en los satélites estos caerían.
5. Observar que en una órbita circular, la rapidez de un satélite no varía debido a la gravedad,
solo cambia de dirección, esto es porque la gravedad está dirigida hacia abajo y no en la
dirección tangente de la rapidez.
6. Un satélite en órbita circular se mueve siempre perpendicularmente a la gravedad.
7. Para un satélite cercano a la tierra, su periodo es de 90 [min.] aprox., cuando su altura es
mayor, su rapidez orbital es menor y su periodo es mayor, así sucesivamente.
8. Para poner en órbita una carga se requiere controlar tanto su rapidez como su dirección
sobre la atmosfera, allí se apunta horizontalmente y se le aplica un empuje final para que
alcance su rapidez orbital y así caiga alrededor y no sobre la tierra.
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