Cinemática de mecanismos planos Teoría y Problemas resueltos Colección manuales uex - 113 Manuel Reino Flores Gloria Galán Marín 113 ÍNDICE ÍNDICE CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS ÍNDICE MANUALES UEX 113 ÍNDICE MANUEL REINO FLORES GLORIA GALÁN MARÍN CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 2020 ÍNDICE Esta obra ha sido objeto de una doble evaluación, una interna, llevada a cabo por el consejo asesor del Servicio de Publicaciones de la Universidad de Extremadura, y otra externa, efectuada por evaluadores independientes de reconocido prestigio en el campo temático de la misma. © Los autores © Universidad de Extremadura para esta 1ª edición Edita: Universidad de Extremadura. Servicio de Publicaciones C/ Caldereros, 2 - Planta 3ª. 10071 Cáceres (España) Tel. 927 257 041 ; Fax 927 257 046 E-mail: [email protected] http://www.unex.es/publicaciones ISSN 1135-870-X ISBN 978-84-09-25222-0 Maquetación: Control P - Cáceres - 927 233 223 - www.control-p.eu ÍNDICE A César A Juan y Hernán ÍNDICE ÍNDICE ÍNDICE GENERAL PRÓLOGO ÍN DI CE 1.CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS 11 13 1.1. Introducción 13 1.2. Eslabones, pares y cadena cinemática 13 1.3. Mecanismos y máquinas 15 1.4. Tipos de movimiento 16 1.5. Grados de libertad de un mecanismo 16 1.6. Inversión cinemática 19 1.7. M ecanismo de cuatro barras. Ley de Grashof21 1.8. Mecanismos de retroceso rápido 1.8.1. Mecanismo excéntrico de bielamanivela 1.8.2. Mecanismo de Whitworth 1.8.3. Mecanismo manivela-balancín 2.INTRODUCCIÓN A LA CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 24 24 25 26 27 2.1. Tipos de movimiento 27 2.2. Movimiento de traslación 28 2.3. M ovimiento de rotación alrededor de un eje fijo 29 2.4. Movimiento plano general 2.4.1. Velocidad absoluta y relativa 2.4.2. Aceleración absoluta y relativa 32 33 34 2.5. M ovimiento relativo respecto a un sistema en rotación 2.5.1. Velocidades 2.5.2. Aceleraciones 37 37 40 3.ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS PLANOS43 3.1. Introducción 43 3.2. Métodos gráficos 44 ÍNDICE ÍN DI CE 3.2.1. Movimiento relativo entre dos puntos. Polígonos de velocidades y aceleraciones 44 3.2.2. Centro instantáneo de rotación 51 4. 3.3. Métodos analíticos 3.3.1. Análisis trigonométrico 3.3.2. Álgebra vectorial 3.3.3. Análisis mediante números complejos. Ecuaciones de lazo 53 53 56 PROBLEMAS RESUELTOS 65 5.RESOLUCIÓN CINEMÁTICA DE UN MECANISMO CON AYUDA DE MATLAB ÍNDICE 59 135 PRÓLOGO El presente manual se presenta como resultado de diez años impartiendo la asignatura Mecanismos y Máquinas en la Escuela de Ingenierías Industriales de la Universidad de Extremadura. Mecanismos y Máquinas es común a las titulaciones de Grado de la Rama Industrial y es de carácter obligatorio. Se imparte en el segundo curso de cuatro titulaciones de la Universidad de Extremadura: Grado en Ingeniería Eléctrica, Grado en Ingeniería Electrónica y Automática, Grado en Ingeniería Mecánica y Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales. Durante el estudio cinemático, se analiza el movimiento sin tener en cuenta las causas que lo producen, mientras que en el estudio dinámico ya se incluyen las acciones que generan el movimiento. Este manual se dedicará al análisis de mecanismos, abordando el estudio cinemático de los mismos. Aunque existen muchos manuales dedicados al estudio cinemático de mecanismos, existe un cierto vacío en lo que se refiere a textos que, abordando todos los aspectos introductorios básicos de la cinemática del sólido rígido, apliquen al mismo tiempo los conceptos presentados sobre una extensa colección de mecanismos, abordando tanto la resolución gráfica del problema como sobre todo la resolución analítica para cualquier posición. El contenido del manual se inicia con un capítulo dedicado a presentar los conceptos básicos introductorios sobre la Teoría de Máquinas y Mecanismos. El segundo capítulo aborda la cinemática del sólido rígido sin presuponer conocimientos previos, de forma que el texto pueda utilizarse como iniciación en un curso semestral en el que la formación y los ÍNDICE MANUALES UEX A través de la asignatura Mecanismos y Máquinas, el alumno adquiere los fundamentos de la Teoría de Máquinas y Mecanismos, así como otros conocimientos conceptuales que sirven como base para aquellas materias y aplicaciones relacionadas con la Ingeniería Mecánica. La Teoría de Máquinas y Mecanismos estudia las relaciones existentes entre la geometría y el movimiento de un mecanismo o máquina, las acciones que generan dichos movimientos, así como la energía asociada. Esta ciencia aplicada puede abordarse de dos formas distintas, análisis y síntesis. La síntesis trata de diseñar un mecanismo o máquina que cumpla unas especificaciones dadas, mientras que el análisis desarrolla el estudio cinemático y dinámico de la máquina. 11 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN intereses de los alumnos sean heterogéneos, al pertenecer a especialidades muy distintas de un primer o segundo año de ingeniería. En el tercer capítulo se aplicarán los conceptos presentados sobre la cinemática del sólido rígido a los mecanismos planos. Se expondrán varios procedimientos, gráficos y analíticos, para el estudio cinemático de un mecanismo. Los métodos gráficos son muy intuitivos, y de gran ayuda a la hora de comprender fácilmente el movimiento de un mecanismo, aunque sólo son útiles en una posición dada. Los métodos analíticos, por el contrario, permiten obtener el análisis cinemático del mecanismo para todo el ciclo completo de movimiento, que es normalmente el objetivo. En el cuarto capítulo se presenta una extensa relación de casos prácticos resueltos, ordenados según una dificultad creciente, desde mecanismos con un movimiento básico hasta aquellos en los que aparece movimiento relativo. Se aplicarán siempre métodos analíticos en todos los problemas cinemáticos, que serán ilustrados también en algunos casos con la resolución gráfica para posiciones concretas. A través de su aplicación, se comprobará que los métodos analíticos tienen la ventaja de proporcionar planteamientos generales muy metódicos, resolubles por ordenador. Como ilustración, en el último capítulo se presenta la resolución cinemática completa de un mecanismo de retorno rápido con ayuda de Matlab. Se ha realizado así un manual que intenta integrar los distintos enfoques prácticos para la resolución cinemática de un mecanismo plano, primando la sencillez y la didáctica en la selección de contenidos tanto teóricos como aplicados. Por un lado, se presenta en cada mecanismo un método analítico que permite obtener una expresión matemática de las variables de posición, velocidad y aceleración de los eslabones de salida en función de las variables que describen el movimiento de los eslabones de entrada. Por otro lado, puesto que en ocasiones los métodos analíticos son poco intuitivos, se presenta también la interpretación vectorial en términos de las ecuaciones de cinemática del sólido rígido en la resolución de todos los casos prácticos, apoyándose en muchas ocasiones en métodos gráficos para comprender el movimiento en posiciones concretas. MANUALES UEX De este modo, atendiendo a criterios de facilidad pedagógica y con un nivel introductorio adecuado para una asignatura de grado común a distintas especialidades de ingeniería, se presentan los conceptos básicos de cinemática de mecanismos planos sobre una extensa relación de problemas resueltos, partiendo de un enfoque vectorial y gráfico, hasta llegar a un enfoque analítico que pueda ser fácilmente programable. 12 ÍNDICE 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS 1.1. INTRODUCCIÓN La Teoría de Máquinas y Mecanismos estudia las relaciones existentes entre la geometría y el movimiento de un mecanismo o máquina, las acciones (fuerzas y momentos) que generan dichos movimientos, así como la energía asociada. Esta ciencia aplicada puede abordarse de dos formas distintas, análisis y síntesis. La síntesis trata de diseñar un mecanismo o máquina que cumpla unas especificaciones dadas, mientras que el análisis desarrolla el estudio cinemático y dinámico de la máquina. Durante el estudio cinemático, se analiza el movimiento sin tener en cuenta las causas que lo producen, mientras que en el estudio dinámico ya se incluyen las acciones que generan el movimiento. Este libro se dedicará al análisis de mecanismos, abordando el estudio cinemático de los mismos. 1.2. ESLABONES, PARES Y CADENA CINEMÁTICA • Balancín: eslabón que oscila respecto de un eje fijo. • Manivela: eslabón que da vueltas completas alrededor de un eje fijo. •Biela: eslabón que no tiene ningún punto articulado fijo, es decir, con un movimiento general. • Soporte: eslabón fijo. MANUALES UEX Se denomina eslabón a cada uno de los sólidos rígidos que componen la máquina. En la literatura técnica suelen usarse también otros nombres como: elemento, miembro o barra. El concepto de pieza se halla en un nivel inferior al de eslabón, pues una sola pieza, o un conjunto de piezas unidas formando un sólido rígido constituyen un eslabón. Cada eslabón está unido a otros eslabones, los cuales pueden clasificarse en según el tipo de movimiento desarrollado: 13 ÍNDICE •• Biela: •Biela: Biela:eslabón eslabónque queno tieneningún ningúnpunto puntoarticulado articuladofijo, fijo,es decir,con conun movimiento eslabón que nonotiene tiene ningún punto articulado fijo, esesdecir, decir, con ununmovimiento movimiento general. general. general. • Biela: eslabón que no tiene ningún punto articulado fijo, es decir, con un movimiento MANUEL REINO FLORES, GLORIA •• Soporte: eslabón fijo. •general. Soporte: eslabón fijo. GALÁN MARÍN Soporte: eslabón fijo. • Soporte: eslabón fijo. a la Se par cinemático unión entre dos oo más eslabones. El movimiento relativo denomina par cinemático a la unión entre dos omás más eslabones. movimiento relativo SeSedenomina denomina par cinemático a la unión entre dos eslabones. ElEl movimiento relativo Se denomina par cinemático a la unión entre dos o más eslabones. El movimiento relatientre los eslabones unidos en el par cinemático está condicionado por el tipo de elemento entre los eslabones unidos en el par cinemático está condicionado por el tipo de elemento Se denomina par cinemático a la unión entre dos o más eslabones. El movimiento relativo entre los eslabones unidos en el par cinemático está condicionado por el tipo de elemento vo entre losen eslabones unidos en elen par está condicionado por tipo empleado de modo que algunos movimientos yy se otros. A empleado enel elenlace, enlace, modo que sepermiten permiten algunos movimientos yelpor seimpiden impiden otros. entre unidos else par cinemático está condicionado el de tipoelemende elemento empleado enlos eleslabones enlace, dede modo que secinemático permiten algunos movimientos se impiden otros. AA to empleado en el enlace, de modo que se permiten algunos movimientos y se impiden otros. través de los pares cinemáticos, un eslabón se une a otros para transmitir movimiento o fuertravés de los pares cinemáticos, un eslabón se une a otros para transmitir movimiento o fueren cinemáticos, el enlace, de un modo que se permiten algunos movimientos y se impiden otros. A travésempleado de los pares eslabón une a otros para transmitir movimiento o fuerAza. de los pares cinemáticos, un un eslabón se se une a otros za. través de los pares cinemáticos, eslabón une a otrospara paratransmitir transmitirmovimiento movimientooo fuerza.través fuerza.za. Se definen los grados de libertad de un par cinemático oo conectividad como el número de definen grados libertad par cinemático oconectividad conectividad como número SeSe definen loslos grados dede libertad dede unun par cinemático como elel número dede Se definen los grados de libertad de un par cinemático o conectividad como el número grados de libertad del movimiento relativo de los miembros del par. grados de libertad del movimiento relativo de los miembros del par. Se definen los grados de libertad de un par cinemático o conectividad como el número de grados de libertad del movimiento relativo los miembros del par. de grados de de libertad deldel movimiento relativo dede loslosmiembros del par. grados libertad movimiento relativo miembros del par. Si suponendos doseslabones eslabonesmóviles móvilesconectados conectadosmediante medianteun cinemático,se puede SiSise sesesuponen suponen dos eslabones móviles conectados mediante ununpar parparcinemático, cinemático, sesepuede puede Si se suponen dos eslabones móviles conectados mediante un par cinemático, se puede imaginar uno cualquiera de ellos como fijo, y calcular para el otro eslabón el número mínimo imaginar uno cualquiera de ellos como fijo, y calcular para el otro eslabón el número mínimo Si secualquiera suponen dos eslabones conectados un par cinemático, se puede imaginar uno de ellos como móviles fijo, y calcular para elmediante otro eslabón el número mínimo imaginar uno cualquiera de ellosde como fijo, y establecer calcular para elpara otro número mínimo de independientes que necesito para determinar su relativa. parámetros independientes que necesito establecer para determinar posición relativa. imaginar uno cualquiera ellos como fijo, y calcular eleslabón otro eslabón el número mínimo dedeparámetros parámetros independientes que necesito establecer para determinar suelsuposición posición relativa. de parámetros que necesito establecer para del determinar su posición relativa. De este se el de de libertad que limita el este modoindependientes obtienen número grados libertad delpar que limita movimiento demodo parámetros independientes que necesito establecer para determinar su posición relativa. DeDe este modo seseobtienen obtienen elelnúmero número dedegrados grados dede libertad del parpar que limita elelmovimiento movimiento De modo se obtienen elotro número de en grados de libertad del pardel que limita movimiento de un eslabón respecto aa otro (sin las restricciones al movimiento que implieslabón respecto aotro (sin tener restricciones movimiento que impliDe este modo se obtienen el tener número decuenta grados de libertad par que el limita el movimiento dedeeste unun eslabón respecto (sin tener enencuenta cuenta laslas restricciones alal movimiento que implide un eslabón respecto a otro (sin tener en cuenta las restricciones al movimiento que implican cinemáticos del mecanismo). Obsérvese entonces en apacanel elresto resto pares cinemáticos mecanismo). Obsérvese entoncesque planoque apaun de eslabón respecto a otro (sin tener en cuenta las restricciones alque movimiento implican elde resto dedepares pares cinemáticos deldel mecanismo). Obsérvese entonces que enenel elelplano plano apacan el resto de pares cinemáticos del mecanismo). Obsérvese entonces que en el plano recen pares con un grado de libertad y pares con dos grados de libertad. recen pares con un grado de libertad y pares con dos grados de libertad. can el resto de pares cinemáticos del mecanismo). Obsérvese entonces que en el plano aparecen pares con un grado de libertad y pares con dos grados de libertad. aparecen pares concon unun grado dedelibertad y ypares con dos grados de libertad. recen pares grado libertad pares con dos grados de libertad. Reuleaux clasificó los pares cinemáticos en dos grupos, superiores ee inferiores, atendiendo Reuleaux clasificó pares cinemáticos dos grupos, superiores e inferiores, atendiendo Reuleaux clasificó loslos pares cinemáticos enen dos grupos, superiores inferiores, atendiendo Reuleaux clasificó los pares cinemáticos en dos grupos, superiores e inferiores, atendienal tipo de contacto entre eslabones. A continuación, se describen sus características: al tipo de contacto entre eslabones. A continuación, se describen sus características: clasificó los paresA cinemáticos grupos, sus superiores e inferiores, atendiendo al tipo de Reuleaux contacto entre eslabones. continuación,ensedos describen características: do al tipo de de contacto entre eslabones. AA continuación, sesedescriben sus características: al tipo contacto entre eslabones. continuación, describen sus características: Paresinferiores: inferiores:los eslaboneshacen hacencontacto contactoen unasuperficie. superficie.Los Losmás máshabituales habitualesen Pares Pares inferiores: losloseslabones eslabones hacen contacto enenuna una superficie. Los más habituales enenel elel Pares inferiores: los eslabones hacen contacto en una superficie. Los más habituales en plano son: plano son: Pares inferiores: los eslabones hacen contacto en una superficie. Los más habituales en el plano son: el plano son: plano son: •• Par •ParParrotatorio: rotatorio:sólo sólopermite permiteel movimientoangular angularθθ θentre entrelos eslabones,es decir,la rotatorio: sólo permite elelmovimiento movimiento angular entre losloseslabones, eslabones, esesdecir, decir, la laroro-rotación relativa. Por tanto, sólo tiene un grado de libertad. tación relativa. Por tanto, sólo tiene un grado de libertad. •rotatorio: Par Por rotatorio: permite movimiento angular θ entre los eslabones, es decir, la rotación relativa. tanto, tiene un el grado de libertad. • Par sólo sólo permite el movimiento tación relativa. Por tanto, sólo tiene un grado de angular q entre los eslabones, es decir, la libertad. rotación relativa. Por tanto, sólo tiene un θθ θ grado de libertad. θ •• Par •ParParprismático: prismático:sólo sólopermite permiteel movimientorelativo relativode deslizamiento,es decir,el moviprismático: sólo permite elelmovimiento movimiento relativo dededeslizamiento, deslizamiento, esesdecir, decir, elelmovimovi• Par prismático: sólo permite el movimiento miento lineal entre dos eslabones. Por tanto, miento lineal entre dos eslabones. Por tanto, • Parentre prismático: sólo permite movimiento relativo de deslizamiento, es decir, el movimiento lineal dos eslabones. Por el tanto, relativo degrado deslizamiento, es decir, Por el movisólo tiene un grado de libertad. sólo tiene de libertad. miento lineal entre dos eslabones. tanto, sólo tiene unun grado de libertad. miento lineal entre dos eslabones. Por tanto, sólo tiene un grado de libertad. sólo tiene un grado de libertad. MANUALES UEX Pares los eslabones punto. Existe una Paressuperiores: superiores: eslaboneshacen hacencontacto contactoen enuna unalínea líneaooooen punto. Existe una superiores: los contacto una línea ununpunto. Existe una Pares Pares superiores: loslos eslabones hacen contacto enen una línea enenun punto. Existe una cantidad infinita de pares superiores, y como ejemplo se cantidad infinita de pares superiores, y como ejemplo se infinita de pares superiores, y como ejemplo cantidad Pares los eslabones hacen contacto cantidad infinitasuperiores: de pares superiores, y como ejemplo seen una línea o en un punto. Existe una presenta rodadura oo o se presenta elmovimiento movimiento rodadura (condeslizamiento) deslizamiento) se el el movimiento de (con rodadura (con deslizacantidad infinita dede pares superiores, y como ejemplo presenta elpresenta movimiento dede rodadura (con deslizamiento) la conexión entre una leva y su seguidor. Ambos pares conexión unaleva levayde ysurodadura suseguidor. seguidor. pares o miento)entre oentre la conexión entre una leva yAmbos su seguidor. presenta el movimiento (con deslizamiento) la laconexión una Ambos pares poseen dos grados libertad. poseen dos grados de libertad. paresde poseen grados libertad. Ambos pares laAmbos conexión entre unadosleva y sudeseguidor. poseen dos grados de libertad. poseen dos grados de libertad. 99 9 14 ÍNDICE 9 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS Se define una cadena cinemática como un conjunto de eslabones unidos mediante pares Se define una cadena cinemática como un conjunto de eslabones unidos mediante pares cinemáticos. Las cadenas cinemáticas pueden ser abiertas o cerradas. En una cadena cinemácinemáticos. Las cadenas cinemáticas pueden ser abiertas o cerradas. En una cadena cinemática no existe ningún eslabón fijo, y los pares limitan el movimiento relativo entre eslabones. tica no existe existe ningún ningún eslabón eslabónfijo, fijo,yylos lospares pareslimitan limitanelelmovimiento movimientorelativo relativoentre entreeslabones. eslabones. 1.3. Mecanismos y máquinas 1.3. Mecanismos y máquinas 1.3. MECANISMOS Y MÁQUINAS Se denomina mecanismo a una cadena cinemática cerrada en la que establecemos como Se denomina denomina mecanismo mecanismo aa una una cadena cinemática cinemática cerrada cerrada en en la la que que establecemos establecemos como como fijo Se uno de los eslabones. El objetocadena principal del funcionamiento de un mecanismo es la fijo uno de los eslabones. El objeto principal del funcionamiento de un mecanismo es la la fijo uno de ylosmodificación eslabones. Eldelobjeto principalEndella funcionamiento un mecanismo es transmisión movimiento. figura siguiente de se presenta una cadena transmisión y modificación del movimiento. En la figura siguiente se presenta una cadena transmisión y modificación En laobtenemos figura siguiente se presenta cadena cinemática en la que, al fijar del unomovimiento. de los eslabones, un mecanismo queuna transforma cinemática en la que, que, al al fijar fijar uno uno de de los los eslabones, eslabones, obtenemos obtenemos un un mecanismo mecanismo que que transforma transforma cinemática en la un movimiento de rotación en una oscilación. La cadena cinemática de cuatro eslabones se un movimiento movimiento de de rotación rotación en en una una oscilación. oscilación. La La cadena cadena cinemática cinemática de de cuatro cuatro eslabones eslabones se se un convierte así en un mecanismo de cuatro barras del tipo manivela-balancín, en el que la convierte así en un mecanismo de cuatro barras del tipo manivela-balancín, en el que la convierte asíentrada en un da mecanismo de cuatro manivela-balancín, en elrespecto que la manivela de vueltas alrededor de barras un eje del fijo, tipo y el balancín de salida oscila manivela de entrada da vueltas alrededor de un eje fijo, y el balancín de salida oscila respecto manivela de entradafija. da vueltas alrededor de un eje fijo, y el balancín de salida oscila respecde una articulación de de unauna articulación fija.fija. to articulación Un plano es Un mecanismo mecanismo plano es aquel aquel en en el el que que todos todos sus sus puntos puntos describen describen curvas curvas planas, planas, yy éstas éstas Un mecanismo plano es aquel en caso, el queeltodos sus puntos describen curvas planas, ymecaéstas se hallan en planos paralelos. En este movimiento real de todos los puntos se hallan en planos paralelos. En este caso, el movimiento real de todos los puntos del del mecase hallan en planos paralelos. En este caso, elplano, movimiento real deeliminar todos losuna puntos del mecanismo puede proyectarse sobre un único permitiendo dimensión al nismo puede proyectarse sobre un único plano, permitiendo eliminar una dimensión al analinismo puede proyectarseLasobre un único plano, permitiendo eliminar una dimensión al analianalizar el movimiento. mayoría de mecanismos empleados son planos. zar el movimiento. La mayoría de mecanismos empleados son planos. zar el movimiento. La mayoría de mecanismos empleados son planos. Existen muchas definiciones para establecer el concepto de máquina. Una definición Existen muchas definiciones para establecer el concepto de máquina. Una definición cocomúnmente aceptada es el mecanismo o conjunto de mecanismos diseñado para llevarco-a Existen muchas definiciones para establecer el concepto de máquina. Una definición múnmente aceptada es el mecanismo o conjunto de mecanismos diseñado para llevar a cabo cabo una tarea determinada, la cual conlleva la de transmisión de fuerza y movimiento múnmente aceptada es el mecanismo o conjunto mecanismos diseñado para llevar adesde cabo una tarea determinada, la cual conlleva la transmisión de fuerza y movimiento desde una una fuente de energía, alauna resistencia realizando un trabajo. Un ejemplo de esta tarea determinada, cual conllevaalavencer transmisión de fuerza y movimiento desde una definición es el motor de combustión interna. 10 Se pueden clasificar las máquinas atendiendo 10 a muchos criterios. Uno de ellos es el tipo de energía recibida, según el cual se divididen las máquinas en dos grandes grupos: ÍNDICE MANUALES UEX A se presenta habitual como como es es el el biela-manivela, en el A continuación continuación se presenta otro otro mecanismo mecanismo habitual biela-manivela, en el que que A continuación se presentade otro como es eluna biela-manivela, en el que se consigue la transformación transformación unmecanismo movimientohabitual traslación rotación,o viceversa: o viceversa: se consigue la de un movimiento dedetraslación enenuna rotación, se consigue la transformación de un movimiento de traslación en una rotación, o viceversa: 15 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN • Motrices: reciben la energía procedente de una fuente natural y la transforman en energía mecánica. Como ejemplos están la turbina hidráulica o un motor de explosión. • Operadoras: reciben la energía mecánica o eléctrica producida por una máquina motriz y la transforman en trabajo. Un ejemplo de ello son las máquinas herramientas. 1.4. TIPOS DE MOVIMIENTO Un mecanismo ha completado un ciclo cinemático cuando inicia su movimiento desde algún conjunto de posiciones relativas, y vuelve a la misma posición inicial, habiendo pasado sus eslabones por todas las posiciones posibles que pueden tomar cada uno de ellos. El tiempo empleado en completar un ciclo se denomina periodo. Se define como fase al conjunto de posiciones relativas simultáneas que ocupan los eslabones del mecanismo en un instante cualquiera del ciclo cinemático. Obsérvese que el concepto de ciclo cinemático difiere del de ciclo energético. Por ejemplo, el motor de combustión interna de cuatro tiempos realiza dos ciclos cinemáticos por cada ciclo energético. Si se consideran los eslabones de un mecanismo atendiendo al tipo de movimiento que realizan durante un ciclo cinemático, se pueden clasificar según los siguientes modos de funcionamiento: • Continuo: el eslabón presenta un movimiento sin interrupción ni parada durante cada ciclo. Un ejemplo sería una manivela o eje de motor en rotación constante. • Intermitente: el eslabón permanece parado un tiempo durante cada ciclo. Ejemplos de este tipo de movimiento son las válvulas con tiempo determinado de apertura y cierre, o el eslabón Cruz de Malta. • Alternativo: el eslabón se caracteriza por presentar ciclo de avance y retroceso, e invierte el sentido de su movimiento durante cada ciclo. Como ejemplos se tiene el balancín en el mecanismo de cuatro barras, o el pistón en el biela-manivela. MANUALES UEX 1.5. GRADOS DE LIBERTAD DE UN MECANISMO 16 Se definen los grados de libertad o movilidad de un mecanismo como el número de parámetros independientes de entrada que es necesario utilizar para definir completamente su posición. Considérese en primer lugar un eslabón libre en el plano. Puesto que se necesitan tres parámetros para fijarlo en una posición, el eslabón tendrá tres grados de libertad en el plano. Por tanto, antes de conectar los eslabones entre sí, un mecanismo plano de n eslabones tendrá 3.(n-1) grados de libertad, dado que hay que restar los tres grados de libertad que pierde el eslabón fijo o soporte del mecanismo. ÍNDICE CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS Si se conectan los eslabones mediante pares cinemáticos, se observa que cada par con un grado de libertad implica dos restricciones de movimiento entre los eslabones conectados (pues permite un único movimiento). Si se conectan los eslabones mediante un par con dos grados de libertad, se observa que ello implica una sola restricción de movimiento entre los eslabones del par cinemático (pues permite dos movimientos). Si se restan las restricciones que conllevan los pares cinemáticos del número total de grados de libertad que tendrían los eslabones no conectados, se obtiene el criterio de Grübler en el plano, que proporciona el número de grados de libertad m de un mecanismo plano de n eslabones: m = 3 . (n – 1) – 2 . j1 – j2 donde j1 representa el número de pares con un grado de libertad, y j2 el número de pares con dos grados de libertad. Hay que señalar que el criterio de Grübler es válido para la mayoría de mecanismos planos, exceptuando algunos mecanismos con restricciones o pares redundantes, o mecanismos con características geométricas especiales. Cuando el número total de grados de libertad de un mecanismo es cero, o negativo, no es posible el movimiento relativo entre eslabones, por lo que se transforma en una estructura. Si la movilidad es cero, se trata de una estructura estáticamente determinada. Si la movilidad es negativa, la estructura es estáticamente indeterminada. Cuando el número total de grados de libertad de un mecanismo es mayor que cero, entonces es posible el movimiento relativo entre eslabones. Un mecanismo se denomina desmodrómico si al definir el movimiento del eslabón considerado como entrada, queda completamente definido el movimiento de todos los demás, que se repite en cada ciclo y siempre será el mismo. Este tipo de mecanismos constituyen por ello la base del funcionamiento de las máquinas. Por último, aquellos mecanismos con un número total de grados de libertad igual o superior a dos se denominan libres o no desmodrómicos, puesto que, si se define el movimiento del eslabón considerado como entrada, los movimientos relativos del resto de eslabones no están determinados. Esto implica que los puntos de los eslabones no se mueven, en general, siempre sobre las mismas trayectorias. Sin embargo, obsérvese que si en un mecanismo no desmodrómico con m grados de libertad, se define el movimiento de m eslabones considerados como entradas, se consigue un mecanismo desmodrómico, puesto que el movimiento del resto de los eslabones queda ya determinado. ÍNDICE MANUALES UEX Si en un mecanismo el número total de grados de libertad es uno, entonces, definiendo el movimiento un eslabón, todos los puntos del resto de los eslabones se mueven sobre unas líneas determinadas que siempre son las mismas. Por tanto, será desmodrómico. 17 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN A continuación, se presentan una serie de ejemplos que ilustran cada uno de los casos ante‐ A continuación, se presentan una serie de ejemplos que ilustran cada uno de los casos ante‐ riores: riores: A m = continuación, 0 serie El sistema es presentan unaque estructura determinada. continuación, presentan una serie de ejemplos que ilustran cada uno de los ante‐ ntinuación, se presentan deseejemplos ilustran cada uno de los casos Auna se una estáticamente serie de ejemplos queante‐ ilustran cada unocasos de los casos anteriores: m = 0 El sistema es una estructura estáticamente determinada. riores: mestructura = 0• mEl=sistema estructura determinada.determinada. El sistema es una estáticamente determinada. 0 ð es El una sistema es unaestáticamente estructura estáticamente m=‐1 m=‐1 El sistema es una estructura estáticamente indeterminada. El sistema es una estructura estáticamente indeterminada. • m = - 1 ð El sistema es una estructura estáticamente indeterminada. m estructura = ‐ 1 El sistema es una indeterminada. estructura estáticamente indeterminada. El sistema es una estáticamente m = 1 El mecanismo es desmodrómico, puesto que fijando una variable de entrada quedan • m = 1 ð El mecanismo es desmodrómico, puesto que fijando una variable de entra m = 1 El todas mecanismo es desmodrómico, puesto que fijando una variable de entrada quedan determinadas las demás. da quedan determinadas todas las demás. determinadas todas las demás. = 1 El mecanismo desmodrómico, puestode queentrada fijandoquedan una variable de entrada quedan El mecanismoesmdesmodrómico, puestoes que fijando una variable determinadas todas las demás. nadas todas las demás. • m = 2 ð El mecanismo es no desmodrómico, a no ser que se definan simultánea El mecanismo es no desmodrómico, a mente dos variables de entrada para determinar el resto. El se mecanismo no desmodrómico, que definan essimultáneamente dosa no ser que se definan simultáneamente variables de entrada para determinar el resto. dos = desmodrómico, 2 El mecanismo es no desmodrómico, a El mecanismo esmno variables de entradaa para determinar el resto. ser que se definan que se definan no simultáneamente dos simultáneamente dos variables deelentrada de entrada para determinar resto. para determinar el resto. MANUALES UEX m=2 m ser =2 no 18 13 13 13 13 ÍNDICE CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS A través de los ejemplos anteriores se observa que, cuando se unen varios eslabones en un A través de los ejemplos anteriores se observa que, cuando se unen varios eslabones en se debenque, considerar recuento paresen un único parAcinemático conejemplos un gradoanteriores de libertadsej1,observa través de los cuando en se el unen varios tantos eslabones un único par cinemático con un grado de libertad j1, se deben considerar en el recuento eslabones unidos menos j1 como único par cinemático con ununo. grado de libertad j1, se deben considerar en el recuento tantos pares tantos pares j1 como eslabones unidos menos uno. j1 como eslabones unidos menos uno. En lasEnsiguientes figurasfiguras aparecen dos mecanismos con movilidad uno en losuno queen aparecen las siguientes aparecen dos mecanismos con movilidad los quepa‐ apare: de mecanismos res superiores dos grados libertad lascon siguientes figuras aparecen cen En pares superiores condedos gradosj2dos libertad j2: con movilidad uno en los que aparecen pa‐ res superiores con dos grados de libertad j2: 1.6. Inversión cinemática 1.6. Inversión cinemática 1.6. INVERSIÓN CINEMÁTICA Tal y como se ha expuesto anteriormente, partiendo de una cadena cinemática y establecien‐ Tal como seobtiene haexpuesto expuesto anteriormente, partiendo deuna una cadena cinemática y establedo un eslabón fijo, sese un mecanismo. Si se toma comodeeslabón fijo, soporte o deyreferen‐ Tal yy como ha anteriormente, partiendo cadena cinemática establecien‐ ciendo un eslabón fijo, se obtiene un mecanismo. Si se toma como eslabón fijo, soporte o de cia otro eslabón diferente mecanismo, el movimiento del mecanismo obtenido puede ocambiar do un eslabón fijo, se del obtiene un mecanismo. Si se toma como eslabón fijo, soporte de referen‐ referencia otro eslabón diferente del mecanismo, el movimiento del mecanismo obtenido completamente. cia otro eslabón diferente del mecanismo, el movimiento del mecanismo obtenido puede cambiar puede cambiar completamente. completamente. 14 14 ÍNDICE MANUALES UEX A continuación, se presenta un mecanismo con movilidad dos: AA continuación, continuación,sesepresenta presentaununmecanismo mecanismo movilidad concon movilidad dos: dos: 19 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN Al proceso el el eslabón considerado comocomo soporte se le se denomina inver‐ Al procesoque queconsiste consisteenenvariar variar eslabón considerado soporte le denomina sión de una cadena cinemática. Si una cadena cinemática tiene n eslabones, se pueden obtener inversión de una cadena cinemática. Si una cadena cinemática tiene n eslabones, se puedenn inversiones cinemáticascinemáticas y, por tanto,y,n mecanismos obtener n inversiones por tanto, n distintos. mecanismos distintos. mecanismo de laslas inversiones cinemáticas que que se pre‐ Para el mecanismo debiela‐manivela biela-manivelaseseobtendrían obtendrían inversiones cinemáticas se Al proceso que consiste en variar el eslabón considerado como soporte se le denomina inver‐ sentan en laensiguiente figura. En la En inversión (1), en (1), la que fijo es el fijo cilindro, obtiene presentan la siguiente figura. la inversión en ellaeslabón que el eslabón es elsecilindro, sión de una cadena cinemática. Si una cadena cinemática tiene n eslabones, se pueden obtener n el mecanismo básico de biela‐manivela empleado en la empleado mayoría deen loslamotores dede combustión. La se obtiene el mecanismo básico de biela-manivela mayoría los motores inversiones cinemáticas y, por tanto, n mecanismos distintos. entrada sería el pistón empujado por los gases en expansión y la salida la manivela. Invirtiendo de combustión. La entrada sería el pistón empujado por los gases en expansión y la salida entrada y salida se tiene unentrada mecanismo de compresión. Parala elmanivela. mecanismo de biela‐manivela se obtendrían las un inversiones cinemáticas que se pre‐ Invirtiendo y salida se tiene mecanismo de compresión. sentan en la siguiente figura. En la inversión (1), en la que el eslabón fijo es el cilindro, se obtiene Estableciendo ahora como comoeslabón eslabónfijo fijoelelque queanteriormente anteriormentefuncionaba funcionabacomo comomanivela, manivela, Estableciendo ahora se el mecanismo básico de biela‐manivela empleado en la mayoría de los motores de combustión. La obtiene la inversión (2), (2), denominada mecanismo de Witworth, que esque un mecanismo de retorno se obtiene la inversión denominada mecanismo de Witworth, es un mecanismo de entrada sería el pistón empujado por los gases en expansión y la salida la manivela. Invirtiendo rápido que será que estudiado más adelante. aplicación habitual más es enhabitual máquinaesherramienta. retorno rápido será estudiado másSu adelante. Sumás aplicación en máquina entrada y salida se tiene un mecanismo de compresión. herramienta. Considerando como único eslabón fijo el eslabón que en la inversión (1) funcionaba como bie‐ Estableciendo ahora como eslabón fijo el que anteriormente funcionaba como manivela, se como (3), único eslabónenque en la inversión (1) funcionaba la, seConsiderando obtiene la inversión que eslabón se empleófijo porelejemplo las primeras locomotoras de vapor. obtiene la inversión (2), denominada mecanismo de Witworth, que es un mecanismo de retorno como biela, se obtiene la inversión (3), que se empleó por ejemplo en las primeras locomorápido que será estudiado más adelante. Su aplicación más habitual es en máquina herramienta. torasPor de último, vapor. partiendo de la inversión (1), estableciendo ahora el pistón como el eslabón fijo, se obtiene la inversión (4) que se puede emplear en una bomba de agua manual. Considerando como partiendo único eslabón fijoinversión el eslabón(1), queestableciendo en la inversiónahora (1) funcionaba Por último, de la el pistón como comobie‐ el eslabón la, se obtiene la inversión (3), que se empleó por ejemplo en las primeras locomotoras de fijo, se obtiene la inversión (4) que se puede emplear en una bomba de aguavapor. manual. Por último, partiendo de la inversión (1), estableciendo ahora el pistón como el eslabón fijo, se obtiene la inversión (4) que se puede emplear en una bomba de agua manual. (1) (2) MANUALES UEX (1) 20 (2) (3) (4) (3) (4) 15 15 ÍNDICE CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 1.7. de cuatro barras. Ley de Grashof 1.7. Mecanismo MECANISMO DE CUATRO BARRAS. LEY DE GRASHOF Partiendo de simple formada porpor cuatro eslabones articula‐ Partiendo de lala cadena cadenacinemática cinemáticacerrada cerradamás más simple formada cuatro eslabones artidos, se obtiene el mecanismo de cuatro barras o cuadrilátero articulado, queque tiene un un grado de culados, se obtiene el mecanismo de cuatro barras o cuadrilátero articulado, tiene grado libertad. Se trata de uno de los mecanismos más usados, por su sencillez y versatilidad. de libertad. Se trata de uno de los mecanismos más usados, por su sencillez y versatilidad. Una articulado es es confirmar Una consideración consideraciónimportante importantea alalahora horadel deldiseño diseñodeldelcuadrilátero cuadrilátero articulado confirque funcionamiento alguno alguno de los eslabones pueda darpueda una vuelta completa. este modo, mar en quesuen su funcionamiento de los eslabones dar una vuelta De completa. De por se asegura manivela pueda efectuarpueda revoluciones si el esteejemplo, modo, por ejemplo,que se la asegura quedelaentrada manivela de entrada efectuarcompletas revoluciones mecanismo poresunimpulsado motor. Existe unamotor. ley muyExiste sencilla este que punto, que completas sieselimpulsado mecanismo porun unaque ley garantiza muy sencilla garanes la denominada Ley de Grashof. tiza este punto, que es la denominada Ley de Grashof. La ley queque al menos unouno de de los los eslabones pueda dar ley de de Grashof Grashofindica indicaque, que,para paragarantizar garantizar al menos eslabones pueda vueltas completas en un mecanismo plano de cuatro barras, se debe cumplir que la suma de las dar vueltas completas en un mecanismo plano de cuatro barras, se debe cumplir que la suma longitudes de la barra más larga y de la barra más corta debe ser menor o igual que la suma de las de las longitudes de la barra más larga y de la barra más corta debe ser menor o igual que la longitudes delongitudes las dos barras suma de las de restantes. las dos barras restantes. Es decir expresión: decirque quedebe debeverificarse verificarsela la expresión: a +ad+ d≤ ≤c c++bb donde el eslabón más corto a, el eslabón máseslargo esresto d, y eltienen restolas tienen las longitudes es a, eleseslabón más largo d, y el longitudes b y c. donde el eslabón más corto b y c. b c a Obsérvese que asíasí como los los otros dos,dos, pueden estarestar co‐ Obsérvese quelos loseslabones eslabonesmás máscorto cortoy más y máslargo, largo, como otros pueden locados en cualquier posición, es decir que la ley de Grashof no especifica el modo en el que colocados en cualquier posición, es decir que la ley de Grashof no especifica el modo en se el conectan los eslabones. que se conectan los eslabones. Si verifica la ley anterior, ningún eslabón podrápodrá dar vueltas com‐ Si un uncuadrilátero cuadriláteroarticulado articuladonono verifica la ley anterior, ningún eslabón dar vueltas pletas. Los mecanismos de no‐Grashof también tienen aplicaciones interesantes, como por ejem‐ completas. Los mecanismos de no-Grashof también tienen aplicaciones interesantes, como plo controlar movimiento de las ruedas automóvil, los eslabones un por para ejemplo para el controlar el movimiento de de lasun ruedas de unempleando automóvil,enempleando en los movimiento oscilatorio de corto alcance. En este caso el eslabón fijo es el chasis o bastidor y la eslabones un movimiento oscilatorio de corto alcance. En este caso el eslabón fijo es el chabiela uniday alalabiela rueda.está unida a la rueda. sis o está bastidor 16 ÍNDICE MANUALES UEX d 21 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN Sienenun unmecanismo mecanismo de de cuatro cuatro barras barras se variando eleleslabón considerado como fijo, se se ob‐ sevava va variando eslabón considerado como SiSien undistintas mecanismo de cuatro barras seque variando el eslabón considerado como fijo, fijo, se ob‐ tienen las inversiones del mismo se describen a continuación: obtienen las distintas inversiones del mismo se describen a continuación: tienen las distintas inversiones del mismo que seque describen a continuación: y 2)y Mecanismo de manivela‐balancín: el eslabón más corto contiguo al eslabónal fijo. Como 1) 1) 2)Mecanismo de manivela-balancín: el eslabón másescorto es contiguo eslabón y 2) Mecanismo de manivela‐balancín: el eslabón más corto es contiguo al eslabón fijo. Comode 1) aplicaciones se Como tienen las bicicletasseelípticas, máquinas de elípticas, coser, limpiaparabrisas, bombas fijo. aplicaciones tienen las bicicletas máquinas de coser, limaplicaciones se tienen las bicicletas elípticas, máquinas de coser, limpiaparabrisas, bombas de petróleo, muelas de afilar, etc. piaparabrisas, bombas de petróleo, muelas de afilar, etc. petróleo, muelas de afilar, etc. MANUALES UEX 1) 2) 1) 2) Mecanismo de doble manivela: el eslabón más corto el eslabón fijo. Como aplica-se 3) 3) Mecanismo de doble manivela: el eslabón más corto es el es eslabón fijo. Como aplicaciones 3)tienen Mecanismo desedoble el eslabón más corto es el eslabón Como aplicaciones se ciones tienen mecanismos de máquinas transportadoras ofijo. máquinas de ejercicio. mecanismos de manivela: máquinas transportadoras o máquinas de ejercicio. tienen mecanismos de máquinas transportadoras o máquinas de ejercicio. 4) Mecanismo de doble balancín: el eslabón más corto es el opuesto al eslabón fijo. 4) Mecanismo de doble balancín: el eslabón más corto es el opuesto al eslabón fijo. Como ejemplo 4)están Mecanismo deejemplo doble balancín: el eslabón máspescante cortoque es elplegable. al eslabón ejemplo Como están las grúas Obsérvese con Obsérvese que en un doble las grúas con pescante plegable. enopuesto un doble balancínfijo. de Como Grashof sería el están las grúas con pescante plegable. Obsérvese que en un doble balancín de Grashof sería el balancín de Grashof sería el eslabón más corto el que actúa como biela y podría eslabón más corto el que actúa como biela y podría efectuar revoluciones completas. eslabón más corto el que actúa como biela y podría efectuar revoluciones completas. efectuar revoluciones completas. 22 4) 3) 17 17 ÍNDICE 3) 4) CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS Uncaso casoparticular particularsucede sucedecuando cuandoen enelelmecanismo mecanismode decuatro cuatrobarras barrascada cadabarra barraes esigual igualaasu su Un Un caso particular sucede cuando en el mecanismo de cuatro barras cada barra es igual opuesta,es esdecir decirque quese severifica: verifica: opuesta, a su opuesta, es decir que se verifica: aa==cc bb==dd Se obtiene así así un cuadrilátero articulado articulado de de manivelas manivelas paralelas paralelas oo paralelogramo paralelogramo articulado, articulado, Se Seobtiene obtiene asíununcuadrilátero cuadrilátero articulado de manivelas paralelas o paralelogramo articuen el que las dos barras contiguas al soporte son manivelas. Este mecanismo de doble manivela es en el que dos barras al soportealson manivelas. Este mecanismo de doble manivela es lado, en las el que las doscontiguas barras contiguas soporte son manivelas. Este mecanismo de doble muy útil, ya que dado un movimiento de entrada se obtiene el mismo movimiento en la barra de muy útil, yaesque entrada se obtiene el mismo movimiento en la barra de manivela muydado útil,un yamovimiento que dado undemovimiento de entrada se obtiene el mismo movimiensalida, mientras mientras que que lala biela biela se se mueve mueve en en traslación curvilínea. curvilínea. Una Una aplicación aplicación común común es es elel aco‐ aco‐ salida, to en la barra de salida, mientras que la traslación biela se mueve en traslación curvilínea. Una aplicaplamiento de los balancines del limpiaparabrisas de un automóvil. El movimiento de un eslabón plamiento de los balancines del limpiaparabrisas de undel automóvil. El movimiento un eslabónEl ción común es el acoplamiento de los balancines limpiaparabrisas de undeautomóvil. en traslación traslación curvilíneatambién también tiene múltiples múltiples aplicaciones aplicacionescomo como por ejemplo ejemplo en enrobots robots indus‐ indus‐ en movimiento curvilínea de un eslabón entiene traslación curvilínea también por tiene múltiples aplicaciones triales o en elevadores de carga para camiones. triales en elevadores carga industriales para camiones. comoopor ejemplo enderobots o en elevadores de carga para camiones. Un punto importante para garantizar el correcto funcionamiento delmecanismo mecanismo decuatro cuatro ba‐ Un garantizar el correcto funcionamiento del de ba‐ Unpunto puntoimportante importantepara para garantizar el correcto funcionamiento del mecanismo de cuarras es el estudio de las posiciones límites. Tal y como muestra la siguiente figura, en un mecanis‐ rras es el estudio de las posiciones límites. Tal y como siguiente figura, en figura, un mecanis‐ tro barras es el estudio de las posiciones límites. Tal muestra y como lamuestra la siguiente en un mo demanivela‐balancín manivela‐balancín lasposiciones posiciones límites delbalancín balancín se producen cuando bielacuando mani‐ mo de las del lalabiela yylalamani‐ mecanismo de manivela-balancín laslímites posiciones límitesse delproducen balancíncuando se producen la vela están alineadas. vela bielaestán y laalineadas. manivela están alineadas. a +aa+b+b=b==ccc+++ddd este caso casonormalmente normalmente existe posición en la que el mecanismo trabaja Eneste este existe unauna posición límitelímite enlalaque que mecanismo trabajacomo como es‐ caso normalmente existe una posición límite en elelmecanismo trabaja es‐ En como estructura. Como aplicación de de estemecanismos tipo de mecanismos se tienen las sillas oplegables tructura. Como aplicación de este tipo se tienen las sillas plegables algunos tructura. Como aplicación de este tipo de mecanismos se tienen las sillas plegables o algunos o algunos de maleteros de En automóvil. En caso, este último caso, el chasissería del vehículo maleteros automóvil. esteúltimo último chasis delvehículo vehículo eslabónsería fijoyyellalaeslabón bielaelel maleteros de automóvil. En este caso, elelchasis del sería eleleslabón fijo biela fijo y la biela el portón del maletero. En la posición cerrada del maletero, el mecanismo portóndel delmaletero. maletero.En Enlalaposición posicióncerrada cerradadel delmaletero, maletero,elelmecanismo mecanismose seencuentra encuentraplegado. plegado. se portón encuentra plegado. 18 18 ÍNDICE MANUALES UEX Tambiénes es interesante estudio dedeaquellos aquellos mecanismos decuatro cuatro barras concon capacidad También esinteresante interesanteelelelestudio estudiode aquellos mecanismos de cuatro barras la capaTambién mecanismos de barras con lalacapacidad de ser plegables, es decir que existe una posición en la que todas las barras están alineadas. Para cidad de ser plegables, es decir unaenposición en lalas quebarras todasestán las barras estánPara alide ser plegables, es decir que existeque unaexiste posición la que todas alineadas. ello debePara cumplirse condición: neadas. ello debe cumplirse la condición: ello debe cumplirse lalacondición: 23 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN 1.8. Mecanismos de retroceso rápido 1.8. MECANISMOS DE RETROCESO RÁPIDO 1.8. Mecanismos de retroceso rápido En muchas operaciones industriales se requieren mecanismos que realicen tareas repetitivas En muchas operaciones industriales se requieren mecanismos que realicen tareas repeticomo parte de su ciclo de movimiento, como por ejemplo sujetar o empujar piezas en una cadena tivasEn como parteoperaciones de su cicloindustriales de movimiento, como mecanismos por ejemploque sujetar o empujar repetitivas piezas en muchas se requieren realicen de montaje, o en máquinas‐herramienta. Habitualmente existe una parte del ciclo,tareas llamada carre‐ una cadena de montaje, o en máquinas-herramienta. Habitualmente existe una parte del parteode ciclo deenmovimiento, como porseejemplo o empujar piezas en una cadena ra como de avance desu trabajo, la que el mecanismo sometesujetar a una carga. De este modo, el resto ciclo, llamada carrera de avance o de trabajo, en la que el mecanismo se somete a una carga. montaje, o en lamáquinas‐herramienta. Habitualmente existedel unaciclo parte ciclo,el llamada carre‐ deldeciclo constituye llamada carrera de retorno, que es la parte endel la que mecanismo De este modo, el trabajo, resto delenciclo constituye la llamada carrera decarga. retorno, que es la parte del ra de avance o de la que el mecanismo se somete a una De este modo, el resto no realiza trabajo y se limita a volver a la posición inicial. ciclo en constituye la que el mecanismo no realiza trabajoque y seeslimita a volver a la del ciclo la llamada carrera de retorno, la parte del ciclo enposición la que el inicial. mecanismo noEnrealiza trabajo y resulta se limita a volver a laútil posición estos casos resulta especialmente queque elinicial. mecanismo vuelva rápidamente a la posición En estos casos especialmente útil el mecanismo vuelva rápidamente a la posiinicial realizar nuevo un trabajo. decir, interesa diseñar un mecanismo emplee una ciónpara inicial paraun realizar nuevoEs trabajo. Es decir, interesa diseñar unque mecanismo que En estos casos resulta especialmente que de el mecanismo vuelva rápidamente la posición fracción ciclo mayor para llevarmayor a cabopara laútiltarea máquina (carrera avance),a(carrera que parade empleedeluna fracción del ciclo llevar alacabo la tarea de lademáquina inicial para volver realizara launposición nuevo trabajo.(carrera Es decir, diseñar mecanismo emplee una simplemente de interesa retorno). De(carrera esteunmodo evita que elDe desperdicio avance), que para simplementeinicial volver a la posición inicial de se retorno). este modo fracción del ciclo mayor para llevar a cabo la tarea de la máquina (carrera de avance), que para desetiempo y el mecanismo es más eficaz. evita el desperdicio tiempoinicial y el (carrera mecanismo es más eficaz. simplemente volver a lade posición de retorno). De este modo se evita el desperdicio deDenominando tiempo y el mecanismo esempleado másempleado eficaz.en laencarrera Denominando al tiempo la carrera de avance tβ al tiempo utilizado de avance y tβ aly tiempo utilizado en la en ca‐ la tα altαtiempo carrera de retorno, se define la de razón de tiempos de un mecanismo del modo: siguiente modo: de un mecanismo del siguiente rrera de retorno, se define la razón tiempos Denominando tα al tiempo empleado en la carrera de avance y tβ al tiempo utilizado en la ca‐ mecanismo del siguiente modo: rrera de retorno, se define la razón de tiempos de tun E t t E t Esteparámetro parámetro indica lo adecuado un mecanismo para realizar estedetipo de opeEste indica lo adecuado que que es unesmecanismo para realizar este tipo operacio‐ repetitivas. Los mecanismos que verifican E>1 se denominan mecanismos retorno nesraciones repetitivas. Los mecanismos que verifican E>1 se denominan mecanismos de retornodeo retro‐ Este parámetro adecuadola se que esde untiempos mecanismo para realizar este tipomecanismos de operacio‐ o retroceso rápido.indica A continuación, describe la razón demecanismos tiempos enhabituales. tres ceso rápido. A continuación, selo describe razón en tres nes repetitivas. Los mecanismos que verifican E>1 se denominan mecanismos de retorno o retro‐ habituales. ceso rápido. A continuación, se describe la razón de tiempos en tres mecanismos habituales. 1.8.1. Mecanismo excéntrico de biela‐manivela. 1.8.1. Mecanismo excéntrico de biela-manivela. 1.8.1. excéntrico de biela‐manivela. EnEnelMecanismo mecanismo de de la siguiente figura se observa queque las dos posiciones límitelímite se producen el mecanismo la siguiente figura se observa las dos posiciones se producuando la biela y la manivela están alineadas. La posición que se corresponde con el principio de el cen cuando la biela y la manivela están alineadas. La posición que se corresponde con En elsemecanismo de latrazo siguiente figuraysela observa que las dos posiciones límite se producen la principio carrera representa con continuo, correspondiente al final de la carrera con trazo de la carrera se representa con trazo continuo, y la correspondiente al final de la cuando la biela y la manivela están alineadas. La posición que se corresponde con el principio de discontinuo. carrera con trazo discontinuo. la carrera se representa con trazo continuo, y la correspondiente al final de la carrera con trazo discontinuo. MANUALES UEX 24 Avance Retorno Avance Retorno 19 19 ÍNDICE CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS Suponiendo que para impulsar la manivela se emplea un motor de periodo t que gira a Suponiendo que la manivela se emplea motor de periodo que a velo‐de avance, velocidad constante, y αpara es impulsar el ángulo recorrido por launmanivela durante lagira carrera cidadSuponiendo constante, que y α es el ángulo recorrido por lasemanivela durante carrera de avance, se apuede para impulsar la manivela emplea un motorlade periodo que gira velo‐ se puede determinar elα estiempo derecorrido lalaavance carrera de avance tα: la de Suponiendo para impulsar manivela emplea un motor periodo que gira a velo‐ : se determinar el tiempo de carrera de cidad constante, yque ellaángulo portαla manivela durante carrera de avance, se puede cidad constante, y α es determinar el tiempo de ella ángulo carrerarecorrido de avancepor tα: la manivela durante la carrera de avance, se puede determinar el tiempo de la carrera de avance t tα=: t = 2. 2. Suponiendo que para impulsartla manivela se emplea un motor de periodo que gira a velo‐ =por la manivela el ángulo recorrido durante la carrera de retorno, el de retorDel mismo modo, 2.por Del mismo modo, si sibyesesα el porla la manivela durante la carrera cidad constante, es ángulo el ángulorecorrido recorrido manivela durante la carrera de avance, se puede es el tángulo Del de mismo modo,desiretorno tiempo la carrera es: recorrido por la manivela durante la carrera de retorno, el el tiempo deángulo la carrera de avance no, el tiempo de la modo, carrera tb es: α: el recorrido por la tmanivela durante la carrera de retorno, el Deldeterminar mismo si dees retorno tiempo de la carrera de retorno t es: tiempo de la carrera de retorno t es: t = 2. t = 2. De esta forma, la razón de tiempos será: t = 2. t = 2. Del mismo modo, si es el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de retorno, el tiempo de la carrera de retorno t es: E esta forma, la razónde de tiempos será: De estaDe forma, la razón será: De esta forma, la razón de tiempos tiempos será: E E t = Aunque el cálculo de y es distinto en cada mecanismo, la expresión anterior es válida en manivela se obtiene movimiento de oscilate de la un manivela se obtiene un movi‐ ción en la guía. posiciones en lalímites guía. Lasdel posi‐ mientoLas de oscilación ciones límites del mecanismo mecanismo también se describen en latambién figura20se describen en situaciones la figura y coinciden las y coinciden con las dos en las con que20 dos situaciones en las que la manivela y 20 la manivela y la guía son perpendiculares. la d guía son perpendiculares. Es necesario observar que, para que el movimiento de la guía sea de oscilación, deberá verificarse que la longitud r de la manivela 20 ÍNDICE 2 MANUALES UEX 2. todos. Puedeelobservarse de tiempos únicamente de la geometría meca‐ Aunque cálculo de que y larazón es distinto en cadadepende mecanismo, la expresión anterior esdel válida en Aunque el cálculo de y es distinto en cada mecanismo, anterior esdelválida enanterior es nismo. Por tanto, este valor no varía con la velocidad del motor ni la conexpresión el de trabajo realizado. todos. Puede observarse que la razón de tiempos depende únicamente la geometría meca‐ Aunque el cálculo de a layrazón b esde distinto en cada mecanismo, la expresión De esta forma, tiempos será: todos. Por Puede observarse que lavaría razón delatiempos depende únicamente de la geometría del meca‐ nismo. tanto, este valor no con velocidad del motor ni con el trabajo realizado. válida ennismo. todos. Puede observarse que razón de motor tiempos depende únicamente Nótese laseste dos posiciones límite el ángulo 2.π girado la manivela en dos par‐ de la geoPor que tanto, valor no varía con dividen lalavelocidad del el trabajo realizado. ni conpor E 2.π con Nótese queTomando las dosPor posiciones límite girado por la manivela en dos par‐ ni con el yángulo elvaría menor como , se consigue un tes no iguales. el tanto, ángulo mayor como metría del mecanismo. este dividen valorelno la velocidad del motor girado por la manivelamecanismo que laspuesto dos posiciones límite recorrido dividen ángulo 2.πcomo en par‐ de retorno rápido, el ángulo la manivela durante la carrera de dos avance elypor el menor , se consigue un mecanismo noNótese iguales. Tomando el que ángulo mayor como trabajo tes realizado. ypor el menor , de se consigue mecanismo tesretorno no iguales. elrecorrido ángulo como será mayor que Tomando el ángulo por larecorrido manivela durante la como carrera retorno, lounque de rápido, puesto que el ángulo manivela durante la de implica avance Aunque el cálculo de mayor y es distinto enlacada mecanismo, la carrera expresión anterior es válida en de retorno rápido, puesto que el ángulo recorrido por manivela durante la carrera avance en dos será que el ángulo recorrido porlalarazón manivela durante la carrera degirado retorno, lodeque implica >todos. tβ. las que tmayor αque Nótese dos posiciones límite dividen ellaángulo 2.π por lalademanivela Puede observarse que de tiempos depende únicamente geometría del meca‐ serátαmayor que el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de retorno, lo que implica > t . que β partes noqueiguales. Tomando el ángulo mayor a y el menor como b, se consigue un nismo. Por tanto, este valor nodevaría con como ladevelocidad del motor ni con el trabajo realizado. Nótese que si se invierte el sentido rotación la manivela se invierten también y De tα > tβ. mecanismo de se retorno rápido, puesto que ángulo por la manivela esteNótese modo tendría un mecanismo conde E<1, queelyade nolasería derecorrido retorno rápido. que si se invierte el sentido rotación manivela se invierten también y De durante la Nótese las dos posiciones límite dividen el ángulo 2.π girado por lamanivela Nótesese que si seque invierte el sentido de de sería la manivela se invierten y De en dos par‐ modo tendría un mecanismo conángulo E<1,rotación querecorrido ya no depor retorno rápido. también carrera este de avance será mayor que la manivela launcarrera de de y elretorno menor como, durante se consigue mecanismo tes no iguales. elelángulo este modo se tendría unTomando mecanismo con E<1,mayor que yacomo no sería rápido. Mecanismo Whitworth. durante la carrera de avance retorno,1.8.2. lo que que tαpuesto > tβ. que el ángulo recorrido por la manivela de implica retornoderápido, 1.8.2. Mecanismo de Whitworth. será mayorde que el ángulo recorrido la manivela durante la carrera de retorno, lo que implica Este mecanismo (también llamado de de por 1.8.2. Mecanismo Whitworth. invierten también a y Nótese que si se invierte el sentido rotación de la manivela se tα > tβ. (también limadora), presentado en la figura, es una Esteque mecanismo llamado de r b. De este modo semecanismo tendría mecanismo Este mecanismo (también llamado de con E<1, que ya no sería de retorno rápido. inversión del biela‐manivela limadora), presentado en laun figura, es una r Nótese que si se invierte el sentido de rotación de la manivela se invierten también y De limadora), presentado en la figura, es una en el que, del a través de la rotación constan‐ inversión mecanismo biela‐manivela r modo sesela tendría unun mecanismo con E<1, que ya no sería de retorno rápido. mecanismo biela‐manivela teinversión deque, laeste manivela obtiene movi‐ en el adel través de rotación constan‐ 1.8.2. Mecanismo de Whitworth. el que, a través de constan‐ larotación guía. un Las posi‐ miento oscilación teende lademanivela seenlaobtiene movi‐ te de límites la manivela se obtiene un movi‐ ciones del mecanismo también se en la guía. Las posi‐ miento de oscilación 1.8.2. Mecanismo de Whitworth. la guía. Las miento deenoscilación en ladel figura y coinciden conposi‐ las ciones límites mecanismo también se Estedescriben mecanismo (también llamado de ciones límites mecanismo también se mecanismo (también dos situaciones en las que la manivela lallamado describen enEste ladel figura y coinciden conylas limadora), presentado en la figura, es unade d describen en laenfigura y coinciden guía sonlimadora), perpendiculares. dos situaciones las que la manivela y las la es una presentado en laconfigura, d r 2 inversión del mecanismo biela-manivela en el dos son situaciones en las que la manivela y la guía perpendiculares. inversión del mecanismo biela‐manivela d 2 que, a través de la rotación constante de la guía son perpendiculares. 2 en el que, a través de la rotación constan‐ 25 por la manivela en dos partes no iguales. Tomando el ángulo mayor como , es decir, como el correspondiente a la carrera de trabajo, y el menor como o correspondiente a la carrera de retorno, se obtiene un mecanismo de retorno rápido. MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN EsEsnecesario que elelmovimiento de guía verifi‐ necesarioobservar observar que, para que movimiento delalalasiguiente guíasea seade deoscilación, oscilación, deberá verifi‐ A través que, de lapara figura anterior se deduce expresión quedeberá relaciona la longitud de la carse que la longitud r de la manivela sea menor que la distancia d entre las articulaciones fijas. carse que la longitud manivelaentre sea menor d entre En : las articulaciones fijas.En manivelar de r, laladistancia centrosque fijosla ddistancia y el ángulo elel caso contrario, elelcada que lade llevaría aacabo vueltas lugar sea menor que laen distancia d entre las articulaciones fijas.completas En el casoen contrario, en el que r>d, caso contrario, en quer>d, r>d, laguía guía llevaría cabo vueltas completas en lugarde deoscilar. oscilar. con la horizontal en una las posiciones límite: conguía la horizontal en cada una de las posiciones límite: oscilar. r la llevaría a cabo vueltas completas de r en = dos dlugar . cos = 2 . arccos Nótese que, como en el caso anterior, las límite Nótese que, como en el caso anterior, las dosposiciones posiciones límitedividen dividenelelángulo ángulo 2.π girado girado 2 d 2.π Nótese que, como en el caso anterior, las dos posiciones límite dividen el ángulo , es decir, elel por la manivela en dos partes no iguales. Tomando el ángulo mayor como como2.π por la manivela en dos partes no iguales. Tomando el ángulo mayor como , es decir,como girado por la manivela en dos partes no iguales. Tomando el ángulo mayor como a, es decir, razón oo correspondiente aa lala carrera correspondiente de yy elquiere como correspondiente carrera de de correspondiente aPuesto a lala carrera carrera de=trabajo, trabajo, el menor menor comola , sidese mejorar de tiempos E Es necesarioretorno, observar que, para quemecanismo elque movimiento guía sea de oscilación, deberá verifi‐se puede disminuir la distancia como elsese correspondiente a la carrera delatrabajo, retorno obtiene de rápido. retorno, obtieneun un mecanismo de retorno rápido.y el menor como b, o correspondiente a la carse que la longitud r dede la manivela sea menor que la distancia ddeentre laselarticulaciones fijas. Ende la manivela r, de forma que carrera retorno, un mecanismo retorno rápido. d entrese lasobtiene articulaciones fijas, o aumentar valor de la longitud de la figura anterior se deduce la siguiente expresión que relaciona lalalongitud de lala el movimien‐ el caso contrario, en AelAtravés que r>d, la guía llevaría a cabo vueltas completas en lugar de oscilar. través de la figura anterior se deduce la siguiente expresión que relaciona longitud de .seHay que tener en cuentaexpresión que se debe que disminuya el ángulo A través de la figura anterior deduce la siguiente quemantener relacionar<d la para longitud : manivela r,r,laladistancia entre centros fijos d y el ángulo : manivela distancia entre centros fijos d y el ángulo to de la guía siga siendo oscilante. Nótese que, como en el caso las dos posiciones límite el ángulo de la manivela r,anterior, la distancia entre centros fijos ddividen y el ángulo b: 2.π girado MANUALES UEX rr como el por la manivela en dos partes no iguales. Tomando el ángulo mayor como , es decir, rr ==dd. .cos cos ==22. .arccos arccos 22 o correspondiente a la dcarrera de correspondiente a la carrera de trabajo, y el menor como 1.8.3. Mecanismo manivela‐balancín. d retorno, se obtiene un mecanismo de retorno rápido. cálculo de la razón de tiempos E en un mecanismo de cuatro barras del tipo manivela‐ == el sesequiere quiere mejorar razón de tiempos puede disminuir distancia Puesto Puestoque que EEPara ,, ,sisisise lalalarazón sesesepuede disminuir lalaladistancia quieremejorar mejorar razónde detiempos tiempos puede disminuir distanciad A través de la figura anterior se deduce la siguiente expresión la longitud de la balancínse determinarán en primer que lugarrelaciona los ángulos correspondientes a las posiciones límites, las articulaciones fijas, aumentar valor de la longitud de la manivela r, de forma manivela r, la distancia centros fijos dfijas, y el ángulo ddentre entre las oooen aumentar que son aquellas las:que elelelvalor entreentre lasarticulaciones articulaciones fijas, aumentar valorde delalalongitud longitudrde delalamanivela manivelar,r,de deforma forma que que 2 que disminuya el ángulo b. Hay que tener en cuenta que se debe mantener r<d para que el ..Hay tener disminuya la biela y laque manivela se Hay que teneren encuenta cuentaque queseser debe debemantener mantenerr<d r<dpara paraque queelelmovimien‐ movimien‐ disminuyaelelángulo ángulo r3 movimiento de la. guía siga siendo rsiga = dsiendo cos = 2 . arccos toto de oscilante. hallan alineadas, tal y oscilante. como delalaguía guíasiga siendo 2oscilante. d se representa en la figura. A r4 1.8.3. Mecanismo manivela-balancín. partirmanivela‐balancín. de las longitudes de los 2 Mecanismo manivela‐balancín. = Mecanismo , si se quiere mejorar la razón de tiempos se puededisminuir la distancia Puesto que 1.8.3. E1.8.3. eslabones, y empleando el2 el cálculo 2 2 barras del tipo Para de la razón 2 r122 + (de r3 +tiempos r2 )2 - r422E en un mecanismo r122 + ( r3de- rcuatro 2 ) - r42 r + r + r r r + r r -del r4 tipo teorema del coseno, se ( ) ( ) Para el cálculo de la razón de tiempos E en un mecanismo de cuatro barras manivela‐ γ γ cos = ; cos = 1 de tiempos 3 la 2longitud 4 un 1 r,cuatro 3 barras 2 que d entre las articulaciones o aumentar el valor de de la manivela de forma Parafijas, el cálculo de la E en mecanismo de del 1razón 2ángulos manivela-balancín se determinarán en primer lugar los correspondientes las posicosγ1 = 2 . r1 . ( r3 + r2 ) ; cosγ 2 = 2 . r1 . ( r3 - r2 ) tipoamanivela‐ r 1 calculan los ángulos que 2 . r . r + r 2 . r . r r balancín se determinarán en primer lugar los ángulos correspondientes a las posiciones límites, (debe ) alineadas, . Hay tener que1en selugar mantener para que el1 movimien‐ disminuya el ángulo 3 que 2 ) la 3 las2 posiciones balancín seque determinarán en primer los ángulos correspondientes límites, ciones límites, que en soncuenta aquellas las bielar<d y la manivela se( ahallan tal y forma la biela con la horizon‐ que son aquellas en las que y empleando to de la guía siga siendo oscilante. que son aquellas en en las laque rr22 como se representa figura. A partir de las longitudes de los eslabones, el 1 talmanivela en cada una de las posi‐ lateorema yy lala se la biela biela del manivela se coseno, se calculan los ángulos que forma la biela con la horizontal rr33 en cada una ciones límite: hallan tal yy como hallan alineadas, tal como las alineadas, posiciones límite: 1.8.3. Mecanismode manivela‐balancín. sese representa 2 representa en en lala figura. figura.rA2A + r + r 2 - r 2 r12 + r3 - r2 - r42 rr44 1 3 2 4 partir de las longitudes de los cos = ; cos = partir de las longitudes de los 1 2 2 Para el cálculo de la razón de tiempos E en2 un mecanismo de cuatro barras del tipo manivela‐ 2 . r1 . r3 + r2 2 . r1 . r3 - r2 eslabones, empleando elel ángulos eslabones,enyyprimer empleando balancín se determinarán lugar los correspondientes a las posiciones límites, del teorema del coseno, coseno, sese que son aquellasteorema en las que r2 rr11 calculan los ángulos que calculan los ángulos queel ángulo = - , se deduce a través la biela y la manivela se Si se define de la figura que = 180º + y análo‐ 2 1 r3 forma la biela con la horizon‐ forma la biela con la horizon‐ hallan alineadas, tal y como 11 cada de gamente, = 180º - , lo que permite hallar la razón de tiempos E = . tal en cadaAuna una de las lasposi‐ posi‐ se representa ental laen figura. r4 ciones cioneslímite: límite: partir de las longitudes de los 2 2 eslabones, y empleando el r 22 + r + r 22 - r 22 r1r22 ++ r3r --r2r 2 --r4r22 3 2 cos == 1r1 + 3r3 + 2r2 - 4r4 ;; cos 21 4 teorema del coseno, cos11 se cos22 == 1 22. .r1r . . r3r ++r2r 22. .r1r . . r3r --r2r 1 3 2 1 3 2 r1 calculan los ángulos que forma la biela con la horizon‐ 1 tal en cada una de Silasseposi‐ Si sedefine defineelelángulo ángulo ==22 --11, ,sesededuce deduceaatravés travésde delalafigura figuraque que ==180º análo‐ 180º++ yyanálo‐ ciones límite: gamente, gamente, 2 ==180º 180º--, ,loloque quepermite permitehallar hallar2lalarazón razónde detiempos tiempos EE== . . ángulo aa través de = 180º + φ y φ r=12 γ+2 -r3γ1-,r2se deduce r12 + r3Si +se r2 define - r42 el - r42 que Si se define el ángulo , se deduce través de la la figura figura que α α = 180º + φ y φ = γ γ cos1 = ; cos 2 = 2 1 2 . r1 . r3 + r2 2 . r . r - r 3 2 análogamente, hallar la razón de tiempos 180º - φ , lo que1 permite análogamente, ββ = = 180º - φ , lo que permite hallar la razón de tiempos 21 21 26 α E= α . E= β . β Si se define el ángulo = 2 - 1 , se deduce a través de la figura que = 180º + y análo‐ 22 22 gamente, = 180º - , lo que permite hallar la razón de tiempos E = ÍNDICE 21 . 2. INTRODUCCIÓN A LA CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 2. INTRODUCCIÓN A LA CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO 2.1. TIPOS DE MOVIMIENTO 2.1. Tipos de movimiento En el presente capítulo se realiza una introducción a la cinemática del sólido rígido, con En el presente capítulo se realiza una introducción a la cinemática del sólido rígido, con el ob‐ el objetivo de sentar las bases del análisis cinemático de mecanismos planos que se llevará a jetivo de sentar las bases del análisis cinemático de mecanismos planos que se llevará a cabo en el cabo en el siguiente capítulo. Se comienza estudiando los diferentes tipos de movimiento que siguiente capítulo. Se comienza estudiando los diferentes tipos de movimiento que cualquier cualquier sólido rígido puede realizar en un sistema plano. El posterior análisis se realizará sólido rígido puede realizar en un sistema plano. El posterior análisis se realizará de acuerdo con la de acuerdo con la siguiente clasificación: siguiente clasificación: • Movimiento traslación:ocurre ocurrecuando cuando cualquier cualquier línea que cuer Movimiento dedetraslación: que une unedos dospuntos puntosdeldel cuerpo po permanece en su dirección lo movimiento. largo del movimiento. como se en muespermanece invariable invariable en su dirección a lo largo adel Tal como Tal se muestra las figu‐ tra en lassefiguras se puede tener movimiento de traslación rectilínea de o un ras siguientes, puedesiguientes, tener un movimiento de un traslación rectilínea o un movimiento trasla‐ movimiento desean traslación curvilínea,descritas según sean trayectorias por cualquier ción curvilínea, según las trayectorias porlas cualquier puntodescritas del cuerpo. • Movimiento de rotación: todos los puntos del cuerpo describen trayectorias circulares con centro en el eje de rotación, tal como se representa en la figura siguiente. 22 ÍNDICE MANUALES UEX punto del cuerpo. 27 MANUEL Movimiento de rotación: losMARÍN puntos del cuerpo describen trayectorias circulares con REINO FLORES, GLORIAtodos GALÁN centro en el eje de rotación, tal como se representa en la figura siguiente. Movimiento de rotación: todos los puntos del cuerpo describen trayectorias circulares con centro Movimiento derotación, rotación:taltodos puntos delencuerpo describen en el eje de comolos se representa ladefigura siguiente.trayectorias circulares con rotación • Movimiento de rotación: todos los puntos delEjecuerpo describen trayectorias circulares centro en el eje de rotación, tal como se representa en la figura siguiente. con centro en el eje de rotación, tal como se representa en la figura siguiente. Eje de rotación A Ejede derotación rotación Eje A A A Trayectoria de A Trayectoria de A Trayectoriadede Trayectoria Movimiento plano general: se trata de un movimiento que puede ser representado enA Aun • M ovimiento plano general: se trata de un movimiento que puede ser representado sistema bidimensional como una combinación de los dos anteriores. En las figuras siguientes en se Movimiento plano general: secomo trata de un movimiento de quelospuede ser representado en un un sistema bidimensional combinación dos anteriores. las figuras representan el movimiento de una barra una apoyada en dos superficies ortogonales y elEnmovimiento sistema bidimensional como unase los dos anteriores. En ser las figuras siguientes seun • rodadura Movimiento plano general: secombinación trata de movimiento que puede representado enenun de Movimiento plano general: de un unde movimiento puede representado de un siguientes sedisco. representan el trata movimiento de una barraque apoyada enserdos superficies ortorepresentan el movimiento de una barra apoyada en dos superficies ortogonales y el movimiento sistema bidimensional bidimensionalcomo comouna combinación combinacióndedeloslosdos dosanteriores. anteriores.EnEnlaslasfiguras figurassiguientes siguientesse sistema gonales yun movimiento de rodadura un disco.en dos superficies ortogonales y el de demovimiento se rodadura representan eleldisco. movimiento una apoyada barradeapoyada representan el de unadebarra en dos superficies ortogonales y el movimiento movimiento deun rodadura de rodadura de disco. de un disco. A C C C C A A A C C C C MANUALES UEX 2.2. Movimiento de traslación 28 2.2. Movimiento de traslación 2.2. MOVIMIENTO DEsólido TRASLACIÓN figura muestra rígido que realiza un movimiento de traslación. Respecto a un sis‐ 2.2.LaMovimiento de un traslación temaMovimiento de ejes cartesia‐ 2.2. de traslación y La figura muestra un sólido rígido que realiza un movimiento de traslación. Respecto a un sis‐ figura muestra nos,La la relación existen‐un sólido rígido que realiza un movimiento de traslación. Respecto a tema de ejes cartesia‐ y de ejes unentre sistema te los vectores de muestra nos,Lalafigura relación existen‐un sólidoyrígido que realiza un movimiento de traslación. Respecto a un sis‐ cartesianos, relaposición de dosla puntos B tema de los ejes cartesia‐ y te entre vectores de B ción existente entre del cuerpo, A y B, es: nos, la relación existen‐ posición de dos puntos B rB/A vectores losentre de posiB B tedel losrAvectores de rcuerpo, rB/A A yB,res: B B/A B ción de dos puntos posición de dos puntos B rB/A rB/AA rBcuerpo, res: B delcuerpo, rB rB/A res: donde el rvector A B/A B/ A del AAyyB,B, rB/AA B define la posición de = A + rB/A rB/A rB rA A donde rBrB el rrAvector r rB/ A rB/A rB A respecto de A. B/A A A define rA rB/ AB donde laelposición vector de x rB rA A rB/ A donde O respectoeldevector A. A define la posición de x define la posición de B rA x O B respecto de A. O respecto de A. O 23 23 23 23 ÍNDICE x CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS Derivando respecto del tiempo: Derivando respecto del tiempo: Derivando Derivando respecto respecto del del tiempo: tiempo: Derivando respecto del tiempo: dr B dr Derivando respecto del tiempo: drB Como: Como: Como: Como: Como: Como: se tiene: tiene: se se se tiene: tiene: se tiene: se tiene: drB dr drBB dt dr dtB dt dr dr dr dtBAA dr A dt dt dr dtA dt dr A dr dr dtB/A dr B/A B/A dt dt dr B/A dt dt dr B/A dt dt B dt dr dt B dt dr dtB dt v B vv BB vB vvB A vv AA v A v 0 A 0 0 0 0 dr A dr drAA dt dr dt dtAA dr dt dt dr B/A dr drB/A B/A dt drdt B/A drdt B/A dt dt (el vector no varía ni su módulo ni su dirección) (el (el vector vector no no varía varía ni ni su su módulo módulo ni ni su su dirección) dirección) (el vector no varía ni su módulo ni su dirección) (el vector no varía ni su módulo ni su dirección) vv B v A v BB vv AA v B v A Por de un cuerpo que realiza un movimiento de Por tanto, tanto, la la velocidad velocidad de de cada cada uno uno de de los los vpuntos puntos B vde A un cuerpo que realiza un movimiento de Por tanto, la velocidad de uno loslospuntos dede unun cuerpo queque realiza un movimiento de Por tanto, lamisma. velocidad decada cada unode puntos cuerpo realiza un movimientraslación es la Si se vuelve aauno derivar respecto del traslación es la misma. Si se vuelve derivar respecto del tiempo: Por tanto, la velocidad de cada dedelos puntos de tiempo: un cuerpo que realiza un movimiento de traslación es la misma. Si se vuelve a derivar respecto del tiempo: tanto, la es velocidad de cada de los puntos de un cuerpo que realiza un movimiento de to dePortraslación la misma. Si seauno vuelve arespecto derivar respecto del tiempo: traslación es la misma. Si se vuelve derivar del tiempo: B dv AA dv dv traslación es la misma. Si se vuelvedv del tiempo: aaB aa A dvaBBderivar dvrespecto A B a a dt dt B AA dv dv B A dt dt dt dt aB a A dv dv B A puntos aB de un aA cuerpo que realiza un movi‐ dt cadadtuno de los En consecuencia, la aceleración dtde En de En consecuencia, consecuencia, la la aceleración aceleración de cada cadadtuno uno de de los los puntos puntos de de un un cuerpo cuerpo que que realiza realiza un un movi‐ movi‐ miento de traslación es la misma. miento de traslación es la misma. En consecuencia, la aceleración de cada uno de los puntos de un cuerpo que realiza un movi‐ miento de traslación es la misma. En consecuencia, la aceleración de cada uno de los puntos de un cuerpo que realiza un movi‐ En consecuencia, de cada uno de los puntos de un cuerpo que realiza un miento de traslación es la la aceleración misma. miento de traslación es la misma. movimiento de traslación es la misma. 2.3. Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo 2.3. 2.3. Movimiento Movimiento de de rotación rotación alrededor alrededor de de un un eje eje fijo fijo 2.3. Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo 2.3. En Movimiento rotación alrededor eje alrededor fijo la figura figura sede representa un cuerpo cuerpode queungira gira de un un eje eje LL. LL. Como ya ya se ha ha indicado En la un que de En la figura se se representa representa un cuerpo que gira alrededor alrededor deEJE unFIJO eje LL. Como Como ya se se ha indicado indicado 2.3. MOVIMIENTO DE ROTACIÓN ALREDEDOR DE anteriormente, todos los puntos puntos del cuerpo describen unaUN trayectoria circular alrededor de dicho anteriormente, todos los del cuerpo describen una trayectoria circular alrededor dicho En la figura se representa un cuerpo que gira alrededor de un eje LL. Como ya se ha de indicado anteriormente, todos los puntos del cuerpo describen una trayectoria circular alrededor de dicho En se representa un cuerpo giracualquiera alrededorAdedeluncuerpo, eje LL. tomando Como ya se ha indicado eje. Se la va figura a analizar analizar ellos movimiento decuerpo unque punto como referen‐ eje. Se va a el movimiento de un punto cualquiera A del cuerpo, tomando como referen‐ anteriormente, todos puntos del describen una trayectoria circular alrededor de dicho eje. Se va a analizar el movimiento de un punto cualquiera A del cuerpo, tomando como referen‐ En lapunto figuraOtodos se representa cuerpo que gira alrededor de un eje LL. Como ya se de ha dicho indianteriormente, los puntosun cuerpo describen una trayectoria circular alrededor cia otro perteneciente al del eje deunrotación. rotación. cia otro punto O perteneciente al eje de eje. Se va a analizar el movimiento de punto cualquiera A del cuerpo, tomando como referen‐ cia otro punto O perteneciente ejededeundel rotación. cado losalpuntos cuerpo describen unacuerpo, trayectoria circular eje. Seanteriormente, va a analizar eltodos movimiento punto cualquiera A del tomando comoalrededor referen‐ cia otro punto O perteneciente al eje de rotación. cia O perteneciente de rotación.de un punto cualquiera A del cuerpo, tomando de otro dichopunto eje. Se va a analizaraleleje movimiento LL A como referencia otro punto O perteneciente al eje A de rotación. LLL L L L L L O O O O O Como trayectoria AA es circular, de radio r,r, se verifica: Comola trayectoriadel delpunto punto A es circular, de radio se verifica: Como la del punto circular, de Como lalatrayectoria trayectoria del punto A es es circular, de radio radio r, se se r,verifica: verifica: Como la trayectoria del punto A es circular, de radio se verifica: ds rr .. d r, ds Como la trayectoria del punto A es circular, dsde radio r.d d r, se verifica: ds r . d ds r . d 24 24 24 24 24 ÍNDICE MANUALES UEX A A A 29 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN Respecto del punto O del eje se tiene: r = del rA .punto senφ O del eje se tiene: Respecto rA . senφ a lo donde φ res= constante largo de toda la trayectoria donde φ es constante a lo circular de A. Por tanto: largo de toda la trayectoria φ . dθ dsde A.rAPor . sen circular= tanto: ds O dθ ds rA r rφA rC dθ L L ds rA .de senlaφ .velocidθ El = cálculo L φ C dad de A se obtiene deriO Trayectoria de A El cálculo de la velociL vando la expresión anterior dad de A se obtiene deriTrayectoria de A respecto del tiempo: vando la expresión anterior respecto del tiempo: d (rA . senφ . dθ ) dθ ds = vA = = rA . senφ ⋅ = vA dt ds = dt dt φ . dθ dt d (rA . sen ) dθ = rA . senφ ⋅ dt dt dθ es la velocidad angular del sólido y se representa por ω. La unidad de la dt dθ El término es la radvelocidad angular del sólido y se representa por ω. La unidad de la dt es velocidad angular , pudiéndose también expresar en revoluciones por minuto (rpm). s rad velocidad angular es de la velocidad , pudiéndose expresar en revoluciones por minuto (rpm). Por tanto, el módulo de Atambién es: s = vAA es: rA . senϕ . ω Por tanto, el módulo de la velocidad de El término = v Adel punto rA . senAϕes . ωnecesario también conocer su línea Para definir totalmente la velocidad y sentido. El vector v A , teniendo en cuenta que ω es un vector situado en el eje de acción Para definir totalmente la velocidad del punto A es necesario también conocer su línea la expresión vectorial: de determina mediante de rotación, acción y se sentido. El vector en cuenta que ω es un vector situado en el eje v A , teniendo × rA v de rotación, se determina mediante la expresión vectorial: A = ω MANUALES UEX × rAdel eje, se tendría un nuevo vector r ' v A = ω O’ Si se hubiera elegido otro punto de referencia A no varía, ya que el valor del radio de la trayecy unSinuevo ángulo φ ’, pero la velocidad de A se hubiera elegido otro punto de referencia O’ del eje, se tendría un nuevo vector r 'A toria circular es el mismo, dado que se tiene: y un nuevo ángulo φ’, pero la velocidad de A no varía, ya que el valor del radio de la trayecrA . sen = φ r'A . senφ' toria circular es el mismo, dado = quer se tiene: 30 = r rA . sen = φ r'A . senφv' A Por tanto, el estudio del movimiento de A es independiente del punto del eje vA Por tanto, el estudio del movimiento tomado como referencia. En la figura de A es independiente del punto del eje siguiente se representa el vector v en el r tomado como referencia. En la A figura Como plano definido por su trayectoria. ω siguientese representa el vector v A en el r se ve, v A siempre será tangente a la plano definido por su trayectoria. Como ω trayectoria el puntoserá A, y tangente de móduloa vlaA se ve, v A ensiempre =trayectoria ω . r. en el punto A, y de módulo v A = ω . r. 25 25 ÍNDICE A A Eje de rotación Eje de rotación CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS Paraelelestudio estudiodedela la aceleración punto es necesario derivar respecto del tiempo su Para aceleración del del punto A esAnecesario derivar respecto del tiempo su velo‐ velocidad: Para el estudio de la aceleración del punto A es necesario derivar respecto del tiempo su cidad: velocidad: ddvv A dd(ω × rArA) ddω ddrrA aAA la aceleración = = = ω × Adel A × rArderivar ade A + Para el estudio respecto ddtω d del × rA )A es necesario ( ωdtdtpunto ddt vA ddtr tiempo su velo‐ dt dt × r + ω a = = = × dt A A A cidad: dt dt dt dt dω por α . La la aceleración define término d define del . La unidad ElEltérmino d angular rA angular yse representa vlaA aceleración d rpor del cuerpo, yse representa dcuerpo, A d dtωaA d dt r A y se representa dtdel cuerpo, define la aceleración angular por α . La El término dt dt dt rad dt rad unidad de la aceleración es tanto, .elPor tanto, el término: de la aceleración angular es angular . Por término: 2 rad s2 s d unidad de la aceleración angular es 2 angular . Por tanto, el término: define la aceleración del cuerpo, y se representa por . La unidad El término s ddω × rArA = α × rArA rad dt d ω de la aceleración angular es 2 . Por tanto, dt el× término: rA = α × rA s dt representalalaaceleración aceleración tangencial Es la componente de la aceleración, representa tangencial del del punto A. EsA.la componente de la aceleración, tangentetanen punto la componente d A. gente en A la a su trayectoria circular, conlleva la variación del módulo de la velocidad de aceleración tangencial punto Es de la aceleración, tanArepresenta a su trayectoria circular, que conllevaque ladel variación del módulo de la velocidad de A. r r A A dt la variación del módulo A. gente en A a su trayectoria circular, que conlleva de la velocidad de Si el cuerpo gira a velocidad constante , la aceleración angular es0 y, por tanto, la ace‐ A. representa la aceleración delque punto componente dede la Aaceleración, tangente la la aceleración angular es 0 y, por tanto, en la Si eltangencial cuerpo gira ωA., Es αpermanece leración de Aa velocidad estangencial nula, porconstante lo el módulo de la velocidad constante de A. A a su trayectoria circular, que conlleva la variación del módulo de la velocidad aceleración tangencial de A es nula, por lo que el módulo de la velocidad de A permanece Si eltodo cuerpo gira a velocidad constante ω , la aceleración angular α es 0 y, por tanto, la durante su movimiento. que el módulo de la velocidad constante durante su movimiento. aceleración tangencial de A es constante nula, por lo permanece , la aceleración angular es 0 y, de porAtanto, la ace‐ Si el cuerpo giratodo a velocidad d rA constante durante todo su movimiento. Obsérvese que el término define el vector velocidad del punto A. Por tanto, el término: leración tangencial de A es nula,dtpor que el módulo de la velocidad de A permanece constante d rlo A Obsérvese que el término define el vector velocidad del punto A. Por tanto, el durante todo su movimiento. ddtrA Obsérvese que el término del punto A. Por tanto, el el vector velocidad ddtrA define término: drA v A x rA dt Obsérvese que el término define término: el vector velocidad del punto A. Por tanto, el término: dt d rA x ( ω × rA ) de la aceleración, siem‐ ω × × v A de= laωcomponente =A. ω representa la aceleración normal Se trata del dpunto r dt d rA = ω × v = ω x (ω × r ) × que pre dirigida hacia el eje de rotación, variación dtAconlleva rAA de la velocidad de A. v AA de x ladirección ω la dt punto representa la aceleración normal del A. Se trata de la componente de la aceleración, , la velocidad del punto su dirección Aunque un cuerpo velocidad constante siempre dirigida haciagireel aeje de rotación, que conlleva la variación deAlavaría dirección de la dt representa la aceleración aceleraciónnormal normaldeldelpunto punto Se trata decomponente la componente la aceleración, representaa la A. A. Se trata de la de un lade aceleración, siem‐ tangencial la A. trayectoria a eje lo largo del movimiento, existiendo, por tanto, valor no nulode de velocidad de siempre dirigida hacia el de rotación, que conlleva la variación de la dirección pre dirigida hacia el eje de rotación, que conlleva la variación de la dirección de la velocidad de A.la esta aceleración normal. En resumen: velocidad de A. , la velocidad del punto A varía su diAunque un cuerpo cuerpogire constante Aunque constante un girea avelocidad velocidad ,ω la velocidad del punto A varía su dirección arección un rA cuerpo a la trayectoria a velocidad arAlo largo tangencial A Aunque del movimiento, existiendo, porvalor tanto, valor gire constante , la velocidad del punto A varía su diω tangencial a la trayectoria a lo largo del movimiento, existiendo, por tanto, un noun nulo de no nulo de esta aceleración normal. En resumen: rección tangencial a la trayectoria a lo largo del movimiento, existiendo, por tanto, un valor esta aceleración normal. En resumen: no nulo de normal. En resumen: aesta aceleración a × ( nω A × rA ) ω [α t×A rrAA ] + rA α × rA ] + ω × ( ω × rA ) [ En la figura se representan las componen‐ aaA = A aA = vA 26 ÍNDICE 26 A ω ω at avAn A vA vA A A aan A A nA an A α α aat t at aA aA de rotación Eje aA aA Eje de rotación Eje de rotación Eje de rotación MANUALES UEX tes de la aceleración del puntoA, consideran‐ ataAt A an A an A do, para este acaso, que la aceleración an A angu‐ tA la figura se representan las compoy la velocidad angular llevan sentidos lar En En la figura se representan las componen‐ nentes de la aceleración del punto A, consiEn la figura se representan las compoopuestos. tes de la aceleración del punto A, consideran‐ derando, para este caso, que la aceleración nentes de la aceleración del punto A, consido,Considerando para este caso, que la aceleración angu‐ exclusivamente movimien‐ laelaceleración y la velocidad angular llevan angular α ω derando, para este caso, que yrotación la velocidad angularrígido llevan larde sentidos tosentidos cuerpo alrededor de y ladel velocidad angular angular αopuestos. ω llevan opuestos. un eje fijo, y no las características cinemáticas sentidos opuestos. Considerando exclusivamente el movimien‐ to de rotación del cuerpo rígido alrededor de 26 un eje fijo, y no las características cinemáticas26 31 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN Considerando exclusivamente el movimiento de rotación del cuerpo rígido alrededor de Considerando exclusivamente el movimiento de rotación del cuerpo rígido alrededor de un eje fijo, y no las características cinemáticas de ningún punto en particular, existen dos un eje fijo, y no las características cinemáticas de ningún punto en particular, existen dos tipos de movimiento de rotación del cuerpo muy usuales: tipos de movimiento de rotación del cuerpo muy usuales: • Movimiento de rotación uniforme • Movimiento de rotación uniforme En este tipo de movimiento la aceleración angular del cuerpo α es igual a 0 y, por tanEn este tipo de movimiento la aceleración angular del cuerpo α es igual a 0 y, por tan es constante. El valor del ángulo recorrido por el cuerpo en un to, la velocidad angular ω to, la velocidad angular ω es constante. El valor del ángulo recorrido por el cuerpo en un tiempo t vendrá dado por la expresión: tiempo t vendrá dado por la expresión: θ = θ0 + ω . t θ = θ0 + ω . t donde θ 0 representa el ángulo recorrido por el cuerpo en el instante inicial correspondiente donde θ 0 representa el ángulo recorrido por el cuerpo en el instante inicial correspondiente a t = 0. a t = 0. • • Movimiento de rotación uniformemente acelerado Movimiento de rotación uniformemente acelerado En este tipo de movimiento la aceleración angular del cuerpo α es constante. La veloEn este tipo de movimiento la aceleración angular del cuerpo α es constante. La velo que lleva el cuerpo después de un intervalo de tiempo t vendrá dada por la cidad angular ω cidad angular ω que lleva el cuerpo después de un intervalo de tiempo t vendrá dada por la expresión: expresión: ω = ω0 + α . t ω = ω0 + α . t donde ω0 representa la velocidad angular del cuerpo en el instante inicial correspondiente a donde ω0 representa la velocidad angular del cuerpo en el instante inicial correspondiente a t=0 . El ángulo recorrido por el cuerpo en el intervalo de tiempo t será: t=0 . El ángulo recorrido por el cuerpo en el intervalo de tiempo t será: 1 θ = θ0 + ω0 . t + 1 ⋅ α . t22 θ = θ0 + ω0 . t + 2 ⋅ α . t 2 donde θ 0 representa el ángulo recorrido por el cuerpo en el instante inicial correspondiente donde θ 0 representa el ángulo recorrido por el cuerpo en el instante inicial correspondiente a t=0 . Eliminando el tiempo de las dos expresiones anteriores se deduce la siguiente ecuaa t=0 . Eliminando el tiempo de las dos expresiones anteriores se deduce la siguiente ecuación para el movimiento de rotación uniformemente acelerado: ción para el movimiento de rotación uniformemente acelerado: ω22 = ω220 + 2 . α . ( θ - θ0 ) ω = ω0 + 2 . α . ( θ - θ0 ) MANUALES UEX 2.4. Movimiento plano general 2.4. Movimiento plano general 2.4. MOVIMIENTO PLANO GENERAL Tal y como se ha mencionado anteriormente, existen casos en los que el movimiento de Tal y como se ha mencionado anteriormente, existen casos en los que el movimiento de un cuerpo se puede analizar en un sistema bidimensional, ya que todos sus puntos se mueun cuerpo se puede analizar en un sistema bidimensional, ya que todos sus puntos se mueven en planos paralelos. El movimiento de traslación y el movimiento de rotación alrededor ven en planos paralelos. El movimiento de traslación y el movimiento de rotación alrededor de un eje fijo, vistos en los apartados anteriores, se pueden estudiar en el plano de movide un eje fijo, vistos en los apartados anteriores, se pueden estudiar en el plano de movimiento de un punto cualquiera. miento de un punto cualquiera. Como se verá a continuación, un movimiento plano general se puede considerar como Como se verá a continuación, un movimiento plano general se puede considerar como una combinación de una traslación y una rotación alrededor de un eje perpendicular al una combinación de una traslación y una rotación alrededor de un eje perpendicular al plano del movimiento. plano del movimiento. 32 27 27 ÍNDICE CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 2.4.1. Velocidad absoluta y relativa 2.4.1. Velocidad absoluta y relativa En la figura siguiente se muestra un cuerpo que describe un movimiento plano general, En la figura se muestra un cuerpodeque movimientoAplano general, en en donde se hansiguiente representado las trayectorias dosdescribe puntos un cualesquiera, y B, del cuerpo. donde se han representado las trayectorias de dos puntos cualesquiera, A y B, del cuerpo. y y B B rB rB B B rB/A rB/A rA rA rB rB A A rA rA rB/A rB/A A A x x O O La relación entre los vectores de posición de los puntos respecto a un sistema de ejes La relación cartesianos, es:entre los vectores de posición de los puntos respecto a un sistema de ejes carte‐ sianos, es: r= rA + rB/A B rB rA rB/A siendo rB/A el vector que define la posición de B respecto de A. Derivando respecto del siendo tiempo:rB/A el vector que define la posición de B respecto de A. Derivando respecto del tiempo: dr drBB = dt dt drB/A drA dr dr B/A + A dt dt dt dt donde: donde: • • d rB d rB = v B velocidad absoluta del punto B dt vB velocidad absoluta del punto B dt d rA d rA = v A velocidad absoluta del punto A dt v A velocidad absoluta del punto A dt d rB/A d dt rB/A = v rel B/A velocidad relativa del punto B respecto de A vrel B/A velocidad relativa del punto B respecto de A dt La velocidad relativa del punto B respecto de A representa la variación del vector que La punto Como B respecto A representa la variación vectormovimiento que une los une losvelocidad puntos Arelativa y B deldel cuerpo. este de cuerpo es un sólido rígido, del el único puntos A y B del cuerpo. Como este cuerpo es un sólido rígido, el único movimiento posible de un posible de un punto respecto del otro es el de una rotación, en este caso, de B respecto de punto respecto del otro es el de una rotación, en este caso, de B respecto de A. Luego: A. Luego: d rB/A dt vrel B/A rB/A 28 28 ÍNDICE MANUALES UEX • 33 d dt rB/A = vrel B/A = ω × rB/A dt En resumen, la ecuación vectorial que relaciona las velocidades de dos puntos de un dun rB/Amovimiento dplano rB/A es: las velocidades vectorial general cuerpo que realiza En resumen, la ecuación de dos puntos de un = vrelGALÁN ω que × = rB/Arelaciona vrel B/A = ω × rB/A MANUEL REINO FLORES, GLORIA B/A = MARÍN dt movimiento plano dt general es: cuerpo que realiza un En resumen, la ecuación vecto v= v A + vrel B/A = v A + ( ω × rB/A ) B cuerpo vectorial lasque velocidades de puntos En resumen, la ecuación relaciona las dos velocidades derealiza un un movimiento En resumen, la ecuación vectorial que relaciona dedeundos puntosque v= v A + vrel B/A = v A + ( ω × rB/A ) B cuerpo que realizaplano un movimiento cuerpo que realiza un movimiento general es:plano general es: Por lo tanto, la velocidad absoluta de un punto de un cuerpo se puede determinar sav= B biendo velocidad absoluta de otro de punto del la velocidad mismo sumándole absoluta un punto de uncuerpo, cuerpo Por la lo tanto, la velocidad se puede determinar sav= v A + vrel B/A v= = vvAA ++ (vrelωB/A = × rB/A )v A + ( ω × rB/A ) B B relativa del primero respecto biendo la velocidad absolutadel desegundo. otro punto del mismo cuerpo, sumándole la velocidad Por lo tanto, la velocidad abso relativa del primero respecto del segundo. biendo la velocidad absoluta de Por lo tanto, la velocidad Por tanto, absoluta lapermite velocidad de un punto absoluta de de un cuerpo puntosede puede un cuerpo determinar se puede sa-puede determinar saEsta loexpresión deducir que unun movimiento plano general se componer relativa del primero respecto del se biendo la velocidad biendo absoluta laexpresión velocidad dedeotro puntodeducir de otro delyasumándole mismo cuerpo, lageneral sumándole la componer velocidad como resultante la absoluta suma dedel dosmismo movimientos estudiados, talvelocidad como representa en la Esta permite que punto uncuerpo, movimiento plano sesepuede relativa del primero relativa respecto del primero del segundo. respecto deldos segundo. figura siguiente: como resultante de la suma de movimientos ya estudiados, tal como se representa en la Esta expresión permite deducir figura siguiente: como resultante de la suma de dos Esta expresiónMovimiento permite Esta expresión deducir permite que un deducir movimiento un movimiento general seplano puedeMovimiento general componer se puede componer de traslación vB que de rotación = vplano A figura siguiente: estudiados, la suma de dos como resultante de como resultante de movimientos la suma de dos ya movimientos tal ya como estudiados, se representa tal como en se la representa en la de traslación vB = v A Movimiento de rotación vMovimiento ω × rB/A B = figura siguiente: figura siguiente: vB = ω × rB/A Movimiento de traslación vB Movimiento de traslación Movimiento de vtraslación y B = vA ω × rB/A vB y= vB = ω × rB/A B y rB rB B rA OrB/A rB O rA rB A rA BB vB rotación = ω × rB/A Movimiento de rotación Movimiento de y y B B B y vB = v A rB/A rB/A A A rB/A rB/A A + rB/A A A + + B rB/A y rB/A A B A x x + y O rB O rB B rB/A rA rA Aceleración absoluta y relativa x O B rB/A rB B y rB/A rB/A rA B rA rB A rB/A B B rB/A rB/A A B A rB rB/A A rA O B B rB/A r x x A rA MANUALES UEX 2.4.2. x x x O O O 2.4.2. Aceleración absoluta y relativa Como se ha visto anteriormente, la relación de velocidades entre dos puntos cualesquie2.4.2. Aceleración absoluta y relati ra AComo y B de un cuerpo rígido que realiza un movimiento plano general viene dada por la se ha visto anteriormente, la relación de velocidades entre dos puntos cualesquie2.4.2. Aceleración 2.4.2. absoluta Aceleración y relativa absoluta y relativa ecuación vectorial: ra A y B de un cuerpo rígido que realiza un movimiento plano general viene dada por la Como se ha visto anteriormente ecuación vectorial: ra A y B de un cuerpo rígido que de velocidades entre Como se ha vistoComo anteriormente, se ha vistolaanteriormente, relación de vvelocidades dos puntos cualesquiedos puntos cualesquiev= v Ala+relación vrel B/A =entre B A + ( ω × rB/A ) ecuación vectorial: general dada ra A y B de un cuerpo ra A y Brígido de unque cuerpo realizarígido un movimiento que realiza plano un movimiento general viene plano por la viene dada por la v= v A + vrel B/A = v A + ( ω × rB/A ) B ecuación vectorial: ecuación vectorial: Para el análisis de aceleraciones se deriva respecto del tiempo la expresión anterior danv= B do como resultado el siguiente desarrollo: de aceleraciones se deriva respecto del tiempo Para el análisis la expresión anterior danv= v + v v = = v v + + v ω = × r v + ω × r ( ) ( ) B A rel B/AB AA rel B/A B/A A B/A do como desarrollo: el siguiente resultado d v A + ( ω × rB/A ) d ( v A + vrel B/A ) d ( ω × Para rB/A ) el análisis de aceleracione d vB d vA = = =+ =el siguiente desa do como Para el análisis dePara aceleraciones el análisis de se aceleraciones deriva respectosedel deriva tiempo respecto la expresión del tiempo anterior la expresión dan- anteriorresultado dandt dt do como resultado doelcomo siguiente resultado desarrollo: el siguiente desarrollo: 34 = donde: • • • dt 29 29 d rB/A d vA dω + × rB/A + ω × dt dt dt 29 29 d vB = aB aceleración absoluta del punto B dt d vA = aA aceleración absoluta del punto A dt ÍNDICE dω aceleración angular del cuerpo = α dt dt d v A + dt d ( v A +dt vrel B/A ) d ( ωdt ( ω × rB/A ) ddt vA dt dt dt× rB/A ) = = dt = =+ dt dt dt dt d r d v d ω B/A A d r r + ω d v A + d ω = B/A × B/A × = ddt rPLANOS v A + CINEMÁTICA ddtω × rB/A + ω × ddt dt . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS ω × dtB/A = + dt × rB/A DE+MECANISMOS dt dt dt ddt vB dt dt donde: donde: donde: d v •• dd vvBBB == aaB aceleración absoluta del punto B aceleración aceleraciónabsoluta absoluta punto ddtvB aBB deldel punto B B dt = a aceleración absoluta del punto B dt • B • • • • • • •• • dt d d vvv AA = a aceleración absoluta del punto A d aceleración aceleraciónabsoluta absoluta punto = aaAA deldel punto A A dt ddt vA A dtA = aA aceleración absoluta del punto A dt ω d = α dω aceleración angular del cuerpo d aceleración aceleraciónangular angular cuerpo α dtω = ddt deldel cuerpo aceleración angular del cuerpo = α dt dt d d rrB/A B/A == vv rel B/A == ω d rrB/A velocidad velocidad relativa relativa de de B B respecto respecto de de A A ω × rrB/A × rel B/A B/A d dt B/A velocidad relativa dede B respecto de de A A v rrB/A dt = vrel B/A = ω velocidad relativa B respecto × rel B/A B/A dt dt Por Por tanto, tanto, la la ecuación ecuación vectorial vectorial que que relaciona relaciona las las aceleraciones aceleraciones de de dos dos puntos puntos de de un un Por tanto, lalaecuación vectorial que relaciona las de dosdepuntos de un cuerpo cuerpo realiza un plano general es: Por que tanto, ecuación vectorial que relaciona las aceleraciones dos puntos de un cuerpo que realiza un movimiento movimiento plano general es:aceleraciones que realiza un movimiento plano general es: cuerpo que realiza un plano movimiento general es: aa= B B = aa = B B aaA A aaAA + + + (( αα ×× rr )) ( α × rr ) B/A B/A B/A B/A + + ω ω + ω a ) B/A ) att ((B/A at aB/A ) t (B/A × × × (( ωω ×× rr )) ( ω × rr ) B/A B/A B/A B/A aan (B/A ) n (B/A ) an B/A a n (B/A ) arel B/A aarel B/A rel B/A arel B/A Un Un caso caso particular particular de de movimiento movimiento plano plano general general es es el el movimiento movimiento de de rodadura rodadura sin sin deslideslizamiento de un disco, de radio r, a lo largo de una superficie horizontal. En la figura se Un caso particular de movimiento plano general es el movimiento de rodadura sindesliza‐ desliUn caso particular de movimiento plano general es el movimiento de rodadura sin zamiento de un disco, de radio r, a lo largo de una superficie horizontal. En la figura se representan la posición del disco en el instante inicial y la posición del disco al cabo de un zamiento de un disco, de radio r, a lo largo de una superficie horizontal. En la figura se miento de unladisco, de radio a lo largo una superficie En ladel figura se al representan la representan posición delr,disco en eldeinstante inicial horizontal. y la posición disco cabo de un tiempo, en el que el centro O ha representan la posición del disco en el instante inicial y la posición del disco al cabo de un posición en el el instante inicial tiempo, del en disco el que centro O ha y la posición del disco al cabo de un tiempo, en el que el xx0 recorrido xxdistancia O ,, mientras tiempo,O ha enuna el distancia que elunacentro O xha centro recorrido recorrido una distancia 0 O, O mientras el disco ha girado un ángulo θ . Si el x00 recorrido una distancia x , mientras O mientras el disco un θángulo el disco ha giradohaungirado ángulo . Si el C ω realiza un C el. disco ha girado ángulo θ. Side el ω disco Si el disco realiza unmovimiento movimiento disco realiza un un movimiento de debe ser rodadura, la distancia x ω C O disco realiza un movimiento de ser igual rodadura, xO debe ser rodadura, laladistancia distancia x O debe O O O θ aa la recorrida por el rodadura, la recorrida distancia x O eldebe aigual la distancia por punto θ O igual la distancia distancia recorrida porser elC O largo del perímetro θ O igual aC pordel el apunto lo largo dello punto Cla aadistancia lo perímetro largorecorrida delcircular perímetro C circular del disco. Es decir: punto a disco. lo largo del perímetro C disco. EsCdel decir: circular Es decir: C circular del disco. Es decir: Para el análisis de velocidades se x O= del r .tiempo: θ a el análisis de velocidades deriva la anterior expresiónrespecto anterior respecto deriva laseexpresión 30 30 30 del tiempo: Para el análisis d de r . θvelocidades se deriva la expresión anterior respecto del tiempo: d xO = dt O ( dt ) = r⋅ dθ dt d d xxOO = dt dt d d (rr .. θ) = dt dt donde: donde: velocidad del centro O del disco dx O • velocidad del centro O del disco dt velocidad angular ω del disco 30 tanto: • dθ dt velocidad angular ω del disco Por tanto: v O= r . ω ÍNDICE d rr ⋅ dθ dt dt MANUALES UEX x O r . x O= r . θ 35 Para el análisis de velocidades se derivaxla anterior respecto del tiempo: =expresión r.θ O Para el análisis de velocidades se deriva la expresión anterior respecto del tiempo: . θ) dθ respecto del tiempo: Para el análisis de velocidadesdsexOderivaddla(rrexpresión anterior .θ ( d xO = )= = dtMARÍN dt = MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN d (dt r . θ) ddt xO = = donde: dt dt donde: d xO •donde: d x O velocidad del centro O del disco • velocidad del centro O del disco dt ddt xO • dθ velocidad del centro O del disco • ddt θ velocidad angular ω del disco • dt velocidad angular ω del disco ddtθ • Por tanto: velocidad angular ω del disco dt tanto: Por v O= r . ω Por tanto: v= r . ω r ⋅ dθ r ⋅ dt ddtθ r⋅ dt O Se puede determinar la velocidad del punto v O= rC. en ω contacto con la superficie horizontal, Se puede determinar la velocidad del punto C en contacto con la superficie horizontal, ya que O y C son dos puntos del disco, y su relación de velocidades es: ya que O y C son dos puntos del disco,del y supunto relación velocidades Se puede determinar la velocidad C endecontacto con es: la superficie horizontal, ya que O y C sonvdos puntos = ω + velocidades v O + del rC/O=y su (relación r . ω) i de ×disco, ( - ω k ) × es:( - r j ) = C {{ ( {( ) ) }} } v= vO + ω × rC/O= (r . ω) i + - ω k × (- r j ) = C = (r . ω) i + { - (r . ω) i } = 0 = v= (r) . ωi }) i = + 0 - ω k × ( - r j ) = C = v(Or . + ω) ωi ×+ rC/O - (r . ω { + rodadura (r . ω) i de { - (r . ω)laivelocidad } = 0 del punto C del disco en contacto Por tanto, en un =movimiento Por tanto, en un movimiento de rodadura la velocidad del punto C del disco en contacto con la superficie es siempre 0, lo que implica que no exista deslizamiento entre el disco y la con Por la superficie 0, lo de querodadura implica la que no existadel deslizamiento y la tanto, en es unsiempre movimiento velocidad punto C del entre disco el endisco contacto superficie. superficie. con la superficie es siempre 0, lo que implica que no exista deslizamiento entre el disco y la Para el análisis de aceleraciones se vuelve a derivar respecto del tiempo: superficie. Para el análisis de aceleraciones se vuelve a derivar respecto del tiempo: d (ra. derivar ω) d v Ose vuelve dω del tiempo: Para el análisis de aceleraciones respecto d v = d ( r . ω ) = r ⋅ dω dtO = dt = d (dt r . ω) ddt vO = = dt dt donde: donde: dv donde: • d v OO aceleración del centro O del disco • aceleración del centro O del disco dt ddt v • dωO aceleración del centro O del disco • ddt ω aceleración angular α del disco • dt aceleración angular α del disco dt dω • Por tanto: aceleración angular α del disco dt tanto: Por aO= r . α Por tanto: a= r . α r ⋅ dt ddtω r⋅ dt O aO= r . α MANUALES UEX Para determinar la aceleración del punto de contacto C se relacionan las aceleraciones Para determinar la aceleración del punto de contacto C se relacionan las aceleraciones de O y C, considerando una aceleración angular en sentido horario: de OPara y C,determinar considerando una aceleración angular sentidoChorario: la aceleración del punto de en contacto se relacionan las aceleraciones de O y C, considerando una aceleración angular en sentido horario: 31 31 ( α × rC/O ) + ω × ( ω × rC/O )= 31 - α k × ( - r j ) + ( ω2 . r ) j = = (r . α ) i + = (r . α ) i + { - (r . α ) i } + ( ω2 . r ) j = ( ω2 . r ) j a= C aO + {( ) } 36 ÍNDICE 2.5. Movimiento relativo respecto a un sistema en rotación = (r . α ) i + { - (r . α ) i } + (ω . r ) 2 j = ( ω2 . r ) j 2.5. Movimiento relativo respecto a un sistema en rotación CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS Hasta el momento, en el presente capítulo se han analizado las relaciones de posición, veloci‐ 2.5. MOVIMIENTO RELATIVO RESPECTO AalUN EN ROTACIÓN dad y aceleración de dosrelativo puntos pertenecientes mismo sólido rígido, sea cual sea el movimiento 2.5. Movimiento respecto a un sistema enSISTEMA rotación de éste, 2.5. traslación, rotación alrededor eje fijo o movimiento plano general. Todo ello ha Movimiento relativo respecto ade unun sistema en rotación el momento, en elde presente capítulo han analizado posición, sido posibleHasta mediante el empleo un sistema desereferencia fijo, las querelaciones da lugardea los conceptos de velocidad y aceleración de dos puntos pertenecientes al mismo sólido rígido, sea cual sea el Hasta el momento, en el presente capítulo se han analizado las relaciones de posición, velocidadmovimiento y aceleración, tanto relativa como absoluta. de éste, traslación, rotación alrededor de un eje fijo o movimiento plano genevelocidad y aceleración de dos puntos pertenecientes al mismo sólido rígido, sea cual sea el ral. Todo ellodehaéste, posible mediante el empleo de de un un eje sistema referencia plano fijo, que movimiento traslación, rotación alrededor movimiento geneembargo, existensido numerosos problemas en los que nofijoesode posible el empleo dedalas lugar a los conceptos de velocidad y aceleración, tanto relativa como absoluta. ral. Todo ello ha sido posible mediante el empleo de un sistema de referencia fijo, que da Sin ecua‐ ciones vistas hasta ahora, ya que se necesita relacionar dos puntos que no pertenecen al mismo lugar a los conceptos de velocidad y aceleración, tanto relativa absoluta. embargo, numerosos problemas en los que no como posible las rotación sólido rígido,Sinpor lo que existen el movimiento relativo de uno respecto aesotro no el se empleo limita adeuna ecuaciones vistas hasta ahora, ya que se necesita relacionar dos puntos que no pertenecen al Sin embargo, existen numerosos problemas en losdeque no es posible ellosempleo de las como ocurre ensólido el movimiento plano general. Ejemplos estos casos son mecanismos conec‐ mismo rígido, por lo que el movimiento relativo de uno respecto a otro no se limita ecuaciones vistas hasta ahora, ya que se necesita relacionar dos puntos que no pertenecen ala tados pormismo deslizaderas que por se mueven amovimiento lo largo plano derelativo eslabones guías, o porotro pasadores una rotación el elmovimiento general. Ejemplos casos sonque losa se mue‐ sólidocomo rígido,ocurre loen que de uno respectodea estos no se limita mecanismos conectados por deslizaderas que se mueven a lo largo de eslabones guías, ven en ranuras pertenecientes a otras piezas. una rotación como ocurre en el movimiento plano general. Ejemplos de estos casos son loso por pasadoresconectados que se mueven en ranuras pertenecientes a otras mecanismos por deslizaderas que se mueven a lopiezas. largo de eslabones guías, o El estudio de estos se plantea mediante la utilización de un sistema de ejes cartesianos por El pasadores quecasos se mueven ranuras pertenecientes a otras piezas. estudio de estos casos seenplantea mediante la utilización de un sistema de ejes cartelos puntos característicos del móvil, cuyo origen coordenadas se hace coincidir con uno sianos móvil,de cuyo origen de se coordenadas se hacelacoincidir conde los puntos caracteEl estudio de estos casos plantea mediante utilización deuno un de sistema de ejes carteproblema, deduciendo la velocidad y aceleración relativa de otro punto característico respecto al rísticos del problema, deduciendo la velocidad y aceleración relativa punto caractecaractesianos móvil, cuyo origen de coordenadas se hace coincidir con uno de de otro los puntos al anterior. anterior.rístico rísticosrespecto del problema, deduciendo la velocidad y aceleración relativa de otro punto característico respecto al anterior. 2.5.1. Velocidades 2.5.1. Velocidades 2.5.1. Velocidades La figura representa dos puntos cualesquiera, P y O, que se encuentran en movimiento. Se considera sistema de ejes cartesianos fijos en espacio, talencuentran como el XYZ, yenunmovimiento. sistema La figura dos dos puntos cualesquiera, PP elyy O, O, quesese encuentran Se Larepresenta figura un representa puntos cualesquiera, que en movimiento. deun ejessistema cartesianos móviles xyz, cartesianos con origen en que giran tal contal una velocidad consideraSe ejes cartesianos fijos en elenespacio, como elelXYZ, un considera unde sistema de ejes fijosO, el espacio, como XYZ,yyyaceleración un sistema sistema de ejes determinadas. Los móviles vectoresxyz, que en definen posición de velocidad estos ejes ymóviles son de O,con quelauna giran con una aceleración cartesianos móviles xyz, con origenunitarios enconO,origen que giran velocidad y aceleración determinadas. cartesianos ejes . i , j,k determinadas. Los vectores unitarios que definen la posición de estos ejes móviles son unitarios que definen la posición de estos ejes móviles son i , j,k . Los vectores i , j,k . Y x y Y yy i j j j k r0 r0 r0 Z Z Oii O O kz 32 z 32 z k x x P r r rP rP P r rP P X X X Z MANUALES UEX Y 37 Llamando rP al vector de posición de P respecto al sistema de ejes fijos, r0 al vector de posi‐ ción de O y r al vector de posición de P respecto de O, se tiene: ÍNDICE MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN Llamando rP Llamando r posición de O yP posición de O y donde: donde: al vector de posición de P respecto al sistema de ejes fijos, r0 al vector de al vector de posición de P respecto al sistema de ejes fijos, r0 al vector de r al vector de posición de P respecto de O, se tiene: de O, se tiene: r al vector de posiciónde P respecto rP r0 + r = = rP r0 + r r = x i + y j + z k r= x i+ y j+ zk siendo x, y, z las coordenadas de posición de P respecto al sistema móvil. Derivando : siendo x, y, z las coordenadas de posición de P respecto al sistema móvil. Derivando : dr0 dr + dr dr 0 dt + dt dt dt drP = dr dtP = dt donde: donde: dr • drP = v P velocidad absoluta de P • dtP = vP velocidad absoluta de P • • dt dr0 = v 0 velocidad absoluta de O dr dt0 = v 0 velocidad absoluta de O dt dr Para calcular el valor dr se deriva : Para calcular el valor dt se deriva : dt dx dr d i i x = + ⋅ dx dr d i + dt = dt i + x ⋅ dt + dt dt dt dz dy dj dk dy j + y ⋅ d j + dz k + z ⋅ dk dt j + y ⋅ dt + dt k + z ⋅ dt dt dt dt dt Con el objetivo de hallar la derivada respecto al tiempo de los vectores i y el objetivo de la derivada al tiempo de los vectores i y guraCon se representan loshallar vectores unitariosrespecto de J gura se representan los vectores j un sistema de ejes cartesianos XYunitarios fijo, I y de J J , j un sistema ejes cartesianos fijo, I y xy J, θ y los de undesistema de ejes XY cartesianos sistema de ejes cartesianos xy θ ymóvil, los dei un y j . Las componentes cartesianas móvil, i y j . Las componentes cartesianas de i y j son: de i y j son: i = cosθ I + senθ J ω i = cosθ I + senθ J ω j = -senθ I + cosθ J j = -senθ I + cosθ J j , en la fij , en la fi- i i θ θ I I MANUALES UEX Las derivadas de estos vectores son: di d i dθ = ⋅ = ( -senθ dt dθ dt dj d j dθ = ⋅ = ( -cos θ dt dθ dt dθ I 33 + cosθ J ) ⋅ = j ω = ω× i dt 33 dθ = -i ω = ω × j I − senθ J ) ⋅ dt Extendiendo lo anterior a un sistema de ejes cartesianos tridimensional: di = dt 38 ω× i ; dj = dt ω× j ; dk = dt ω× k Luego: dr = dt ( ) ( ) ( ) dx dy dz i+ j+ k + x ÍNDICE . ω( xyz) × i + y. ω( xyz) × j + z . ω( xyz) × k dt dt dt ddtj = dθj ⋅ ddtθ = = ⋅ = θ (( -cos -cos θ × j I − senθ J ) ⋅ ddtθ = - i ω = ω I − senθ J ) ⋅ = -i ω = ω × j dt anterior dθ adt Extendiendo lo un sistema de ejes cartesianosdt dt dθ dt dttridimensional: Extendiendo lo anterior a un sistema de ejes cartesianos tridimensional: Extendiendo de cartesianos tridimensional: j cartesianos dk Extendiendo lo lo anterior anteriord aai un un sistema sistema dedejes ejes tridimensional: d i = dt = dt = dt ω× i ; ω× i ; ω× i ; dj = dt = dt = dt ω× j ; ω× j ; ω× j ; dk = dt = dt = dt ω× k ω× k ω× k ; dk = ω× dt ddti = ω× i DE; MECANISMOS ddtj = ω× jPLANOS Yk PROBLEMAS RESUELTOS CINEMÁTICA .TEORÍA di dj dk Luego: Luego: Luego: Luego: (( (( (( (( )) )) )) )) (( (( )) )) dr dx dy dz = ( xyz) × i + y. ω ( xyz) × j + z . ω ( xyz) × k dr dx i + dy j + dz k + x . ω dt i + dy dt j + dz dt k + x . ω ( xyz) × i + y. ω ( xyz) × j + z . ω ( xyz) × k dx ( xyz) × i + y. ω ( xyz) × j + z . ω ( xyz) × k dr dt dt i + dy dt j + dz dt k + x . ω = dx = dt dt j + dz dt k + x . ω dt i + dy ( xyz ) × i + y. ω ( xyz ) × j + z . ω ( xyz ) × k dr dt se tiene: dt dt dt por lo que dx i j k x . xyz i y. xyz j z . xyz k se tiene: por lo que dt tiene: dt dt dt por dr dy dz por lo lo que que se se tiene: dx = + + + ω × + + = i j k (x i y j z k) ( xyz) dr dy dz dx por lo que se tiene: dt dt i + dy dt j + dz dt k + ω = = ( xyz) × (x i + y j + z k) dr dx ( xyz) × (x i + y j + z k) dr dt dt i + dy dt j + dz dt k + ω = = dx = + + + ω × + + = i j k (x i y j z k) ( xyz) dx dy dz dt dt dt dt dr dx dy dz ( xyz) × r dt dt i + dy dt j + dz dt k + ω = dx i j k (x i y j z k) dt i + dy dt j + dz dt k + ω = dx xyz × r (xyz dt dt i + dy dt j + dz dt k + ω )) × r dt dt dt = dx = dt i + dt j + dt k + ω(( xyz × r xyz) dtdy dy dt dt dz j dx dx dz velocidad r relativa de P respecto al sisk la El término representa xyz dz k dt dx i +dtdyi j+ dt El término dx la velocidad relativa de P respecto al sisdt i + dy dt j + dz dt k representa El término dt i + dy dt j + dz dt k representa la velocidad relativa de P respecto al sis dx término representa la velocidad relativa P respectoque al sisi j k + + temaEl de coordenadas xyz, es decir, la velocidad que podría medir un de observador se dt dt dt dy dz dt xyz, dtes decir, dt la dx velocidad que podría medir un observador que se temaEl de coordenadas i j k representa la velocidad relativa de P respecto al siste‐ término moviera con O solidario con el sistema de ejes móviles. Llamando a esta velocidad, v velocidad que podría medir P/(xyz) tema de coordenadas xyz, un que dt dt es dt la velocidad tema de con coordenadas xyz, eseldecir, decir, la que podría medirv P/(xyz) un observador observador que se se moviera O solidario con sistema de ejes móviles. Llamando a esta velocidad, moviera con O solidario con el sistema de ejes móviles. Llamando v P/(xyz) a esta velocidad, queda: moviera con O solidario con el sistema de ejes móviles. Llamando a esta velocidad, v ma de coordenadas xyz, es decir, la velocidad que podría medir un observador que se moviera con P/(xyz) queda: queda: O solidario con el sistema de ejes móviles. vP/(xyz) velocidad, queda: a esta dr Llamando queda: = v P/ (xyz) + ω ( xyz) × r dr dt = v P/ (xyz) + ω ) × r dr dr (( xyz dt = vP/ (xyz) + ω × r xyz ) × r = + ω v dt relaciona P/ (xyz) ( xyz ) Por tanto, la ecuación vectorial dt que las velocidades de los puntos P y O es: Luego: dt = dr (( (( )) )) (( (( )) )) Por tanto, la ecuación vectorial que relaciona las velocidades de los puntos P y O es: Por tanto, la ecuación vectorial velocidades los P y O es: de que relaciona las ecuaciónvectorial vectorial que relaciona las depuntos los puntos puntos Por tanto, lalaecuación relaciona P y O Pes:y O es: = vque v P/(xyz) +lasv 0velocidades + velocidades ω r los ( xyz ) × de P = v P = v = vPP xyz ) xyz ) xyz ) × r × r ×r )) )) v ar P/O v ar P/O v ar P/O v ar P/O se denomina velocidad de arrastre de P, y vdescribe la velocidad absoar P/O El término v ar P/O El término v ar P/O se denomina velocidad de arrastre de P, y describe la velocidad absov PP/Oenseausencia denomina velocidad de de P, yy describe la Elque término luta El tendría movimiento relativo; la velocidad de P absovista denominade velocidad de arrastre arrastre P,decir, describe la velocidad velocidad término término vvarararP/O sesedenomina velocidad de arrastre de P,deyes la velocidad absoluta que luta que tendría PP/Oen ausencia de movimiento relativo; esdescribe decir, la velocidad de P absovista desde el sistema de ejes fijo si P se fijase, en la posición en que se halla, al sistema de coorluta que tendría P en ausencia de movimiento relativo; es decir, la velocidad de P vista el de luta que tendría P en de fijase, movimiento relativo; decir, la velocidad vista desde elP sistema de ejesausencia fijo si P se enesladecir, posición enesque se Phalla, al sistema deP coortendría en ausencia movimiento relativo; la velocidad de vista desde sistema de denadas xyz. Adepartir este significado se puede calcular fácilmente v ar P/O aplicando desde el móvil sistema de fijode si se fijase, en la en que se halla, sistema de desde sistema de Aejes ejes si PPeste seensignificado fijase, laseposición posición en de quecoordenadas se halla, al almóvil sistema deA coorcooraplicando denadas xyz. de puede calcular fácilmente v ar P/Oxyz. ejes fijoelsimóvil P se fijase, enpartir lafijo posición que seenhalla, al sistema partir se puede calcular fácilmente v ar P/O aplicando denadas móvil partir de aplicando denadas móvil xyz. xyz.seA Apuede partir calcular de este este significado significado puede calcular fácilmente v ar P/O vista aplicando la ecuación vectorial ante‐ de este significado fácilmente vsear P/O la ecuación vectorial vista anteriormente que relaciona las velocidades de dos puntos de un riormente que relaciona las velocidades de dos puntos de un mismo sólido. 34 mismo sólido. 34velocidades de una deslizadera B que se mueve En la figura siguiente se dibuja el diagrama de 34 de velocidades 34 figura siguiente se dibujaconocida, el diagrama de una deslizadera B que se v desl.B/A vB/AC con En unalavelocidad de deslizamiento , a lo largo de una guía AC. Se toma mueve con una velocidad de deslizamiento conocida, v desl.B/A = vB/AC , a lo largo de una guía un sistema de referencia móvil xy con origen de coordenadas en A, de tal forma que el eje x se coordenadas en A, de tal forma AC. Se toma un referencia xy conorigen de hace coincidir consistema la guía,depor lo que móvil xy = AC, y v B/xy vB/AC . Conociendo la velocidad del que el eje x se hace coincidir con la guía, porlo que ω xy = ω AC , y vB/xy = vB/AC . Conocienabsoluta de la punto A, v A , y la velocidad angular de la pieza, AC , se puede calcular la velocidad do la velocidad del punto A, v A , y la velocidad angular de la pieza, ωAC , se puede calcular deslizadera B, vB , mediante la ecuación vectorial: la velocidad absoluta de la deslizadera B, vB , mediante la ecuación vectorial: vB = vB vB/AC vB/AC + v ar B/A v ar B/A = vB/AC vB/AC + v A vA + rB/A AC × rB/A ) (ω AC MANUALES UEX (( ω ( ((ωω (( v P/(xyz) + v 0 + v P/(xyz) + v 0 + + v0 + vP/(xyz) 39 x 34 ωAC . rB/A ÍNDICE C vB/AC ωAC. rB/A eje x se hace coincidir la guía, por lo que ω xy =de ω AC y vB/xy ω Conocien= ACvB/AC doque la el velocidad del punto A, vcon la, pieza, , se. puede calcular A , y la velocidad angular la velocidad del punto angular delalaecuación pieza, ωvectorial: v A , y la velocidad lado velocidad absoluta de laA,deslizadera B, vB , mediante AC , se puede calcular la ecuación la velocidad absoluta de la deslizadera B, vB , mediante vectorial: = vB vB/AC + v ar B/A = vB/AC + v A + ( ωAC × rB/A ) MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN = vB vB/AC + v ar B/A = vB/AC + v A + x ωAC . rB/A ωAC . rB/A y C B y C (ω AC × rB/A ) x ωAC. rB/A vB/AC ωAC. rB/A vB/AC vB B vB vB/AC vB/AC vvA A vA vA ωωACAC A 2.5.2.Aceleraciones Aceleraciones 2.5.2. Partiendode de lala expresión expresión obtenida Partiendo obtenidaanteriormente: anteriormente: dx dy dz vP = v0 + dx i + dyj + dzk + ( ω(xyz) ×r) vP = v 0 + dt i +dt j +dt k + ω(xyz) × r dt dt dt y derivando cada término respecto del tiempo se obtiene: y derivando cada término respecto del tiempo se obtiene: ( ) dv dr × r + ω P dv= 0 + d2 x i + dx ⋅ d i + d 2y j+ dy ⋅ d j + d z2 k + dz ⋅ dk + dω(xyz) (xyz) dω(xyz) 2 2y 2 z dvdt dv d x dx d i d dy d j d dzdtdk dt × dt dr P 0 dt dt dt dt dt dt dt dt dt = + i + ⋅ + 2 j + ⋅ + 2 k + ⋅ + × r + ω(xyz) × dt dt dt2 dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt Teniendo en cuenta el valor de las derivadas de los vectores unitarios y ordenando queen cuenta el valor de las derivadas de los vectores unitarios y ordenando quedaTeniendo la expresión: 2 2 2 da la expresión: MANUALES UEX dvP = dt 40 d2 x d2 y d2 z dv 0 + 2 i + 2 j + 2 k + dt dt dt 35 dt dy dz35 dω(xyz) dr dx × r + ω(xyz) × + ⋅ (ω(xyz) × i ) + ⋅ (ω(xyz) × j) + ⋅ (ω(xyz) × k) + dt dt dt dt dt donde el significado de cada término es: • • • dvP = aP dt dv 0 = a0 dt aceleración absoluta del punto P. aceleración absoluta del punto O. d2x d2 y d2z aP/(xyz) 2 i + 2 j + 2 k = dt dt dt aceleración relativa del punto P respecto al sistema de ejes xyz con origen en O, es decir, la aceleración que mediría un observador solidario con estos ejes. ÍNDICE dx dy dz dx dy dz ⋅ ( ω(xyz) × i ) + ⋅ ( ω(xyz) × j ) + ⋅ ω(xyz) × k = ω(xyz) × ⋅ i + ⋅ j + ⋅ k = ( ) donde donde el el significado significado de de cada cada término término es: es: donde el significado de cada término es: donde el significado de cada término es: dv •• dv PP == aaP aceleración absoluta del aceleración absoluta del punto punto P. P. P dv dt dtPP = •• dv aceleración absoluta del punto P. a P aceleración absoluta del punto P. PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS = a P dt CINEMÁTICA DE MECANISMOS dt dv dv 00 = a0 aceleración absoluta del punto O. = a0 aceleración absoluta del punto O. dv dt dv dt00 = aceleración aceleración absoluta absoluta del del punto punto O. O. = aa00 dt dt2 2 2 d d22xx d d22yy d d22zz aceleración relativa del PP respecto al = k 22 k P/(xyz) aaP/(xyz) •• ddt22x222 ii ++ ddt22 y222 jj ++ dt relativa del punto P respecto al sistema aceleración aceleración relativa del punto punto respecto al = d P/(xyz) dx i+d y j + dt d2zz22 k = dt •• dt aceleración relativa del punto P respecto a aceleración relativa del punto P respecto al al aP/(xyz) dt22 i + dt22 j + dt22 k = P/(xyz) sistema de ejes xyz en es la que un dtorigen dt dtxyz es decir, de ejes en O,origen mediría un observador solidario con estos sistema decon ejes xyz con con origen enlaO, O,aceleración es decir, decir, que la aceleración aceleración que mediría mediría un observador observador •• •• sistema xyz con solidario con estos sistema de de ejes xyzejes. con origen origen en en O, O, es es decir, decir, la la aceleración aceleración que que mediría mediría un un observador observador ejes. solidario conejes estos ejes. solidario con estos ejes. solidario con estos ejes. dy dz dx dx dy dy dz dz (xyz) × j ) + dz (xyz) × k ) = (xyz) × dx dx ⋅ ( ω(xyz) × ii ) + dy ⋅⋅ ( ω ⋅ ( ω ω + ⋅⋅ jj + ⋅⋅ kk = dx ⋅⋅ ii j k ⋅ ω × + ω × + ⋅ ω × = ω × + + ( ) ( ) ( ) dx dy dz dy (xyz) (xyz) (xyz) (xyz) dt ⋅ ω dt ⋅ ω dt ⋅ ω dt ⋅ i + dy dt ⋅ j + dz dt ⋅ k = dz × i ) + dy × j ) + dz × k ) = × dx dt dt dt dt dt dt ω •• dx ( ( ( (xyz) (xyz) (xyz) (xyz) × i + ⋅ ( ω(xyz) × j ) + dt ⋅ ( ω(xyz) × k ) = ω(xyz) × dt ⋅ i + dt ⋅ j + dt ⋅ k = = ( ω(xyz) ⋅(xyz) dt •• dt = ω × vv P/( xyz)) dt dt dt dt dt = ω × (xyz) P/(xyz ) dt × v = ω P/ xyz = (xyz) × v P/(( xyz )) ω(xyz) d ω (xyz) ω d (xyz) × r aceleración tangencial de P respecto de O debido a la acelera (xyz) × r =α aceleracióntangencial tangencialdedeP Prespecto respectodedeO O debido la acelera× r = α × r aceleración •• ddω debido a laa aceleración (xyz) dt ω (xyz) × r aceleración tangencial de P respecto de O debido a la acelera•• rr = α dt(xyz) × (xyz) × r aceleración tangencial de P respecto de O debido a la acelera× = α (xyz) dt ción del dtdel sistema ción angular angular del sistema sistema móvil. angular móvil. móvil. ción del sistema móvil. ción angular angular drdel sistema móvil. (xyz) × dr = (xyz) × v P/(xyz) + ( ω (xyz) × r ) =ω p/(xyz) ) + ω (xyz) × (ω (xyz) × r) en •• ω ω (( (xyz) (xyz) × ω × dr = ω × vP/(xyz) + ( ω × r ) =ω × vvp/(xyz) + ω × ( ω × r) ) en (xyz) (xyz) (xyz) (xyz) (xyz) (xyz) (xyz) P/(xyz) (xyz) (xyz) p/(xyz) (xyz) (xyz) dt dr •• ω ω(xyz) × × dt = = ω × v + ω × r =ω × v + ω × ( ω × r) ( ) ( ) (xyz) P/(xyz) + ( ω(xyz) × r ) (xyz) × v p/(xyz) ) + (xyz) × (ω(xyz) × r) vP/(xyz) en en =ω ( (xyz) (xyz) (xyz) × (xyz) p/(xyz) (xyz) de ω(xyz) dt elωúltimo esta expresión término representa aceleración normal de PP respecto O dt últimotérmino términorepresenta representalala laaceleración aceleración normal respecto dedebido O debido debido esta expresión expresión elelúltimo normal de de P respecto de O a la expresión el último término representa aaesta la angular del sistema móvil. esta expresión el del último término la aceleración aceleración normal normal de de PP respecto respecto de de O O debido debido la velocidad velocidad angular del sistema móvil. la velocidad angular sistema móvil.representa aa la velocidad angular del sistema móvil. la Por velocidad angular del sistema móvil. tanto, ecuación vectorial que relaciona las de los P y O es: Por tanto, tanto, lala laecuación ecuaciónvectorial vectorial que relaciona las aceleraciones aceleraciones los puntos puntos Por que relaciona las aceleraciones de losdepuntos P y O Pes:y O es: Por Por tanto, tanto, la la ecuación ecuación vectorial vectorial que que relaciona relaciona las las aceleraciones aceleraciones de de los los puntos puntos PP yy O O es: es: aa= P = P aa P = P a= P aaP/( xyz ) + + P/( xyz ) aaP/ xyz aP/( xyz) + + P/( xyz ) aa0 aa00 a0 0 + + + + ((αα (( ( αα(( xyz ) xyz ) xyz xyz ) xyz ) × × × × rr rr r ))) + + + + ω ( xyz ) × ω × xyz ) (xyz × ω )× ω(( xyz xyz ) aar P/O ((ωω (( ( ωω(( xyz ) xyz ) xyz xyz ) xyz ) × × × × rr rr r ))) + + + + ((222 ... ωω (( (22 .. ωω(( xyz ) xyz ) xyz xyz ) xyz ) × × × × ))) ) vv P/( xyz ) P/( xyz ) vvP/ xyz vP/( xyz) P/( xyz aaar P/O ar P/O aaar P/O acor P/xyz aacor P/xyz ar P/O cor P/xyz aacor P/xyz El término a se denomina aceleración de arrastre de P, y describe la aceleración absoluta cor P/xyz ar P/O denomina aceleración de arrastre de P, la aceleración El término aaar P/O se se denomina aceleración P, yy describe describe aceleración El término ar P/O que Eltendría P enaausencia de movimiento relativo;de esarrastre decir, lade aceleración de Pla vista desde el se denomina aceleración de arrastre de P, y describe la aceleración término ar P/O aceleración de arrastre de P, y describe la aceleración El término aar P/O Pseendenomina absoluta que tendría ausencia de movimiento relativo; es decir, la aceleración de absolutadeque ausencia de movimiento decir,de la coordenadas aceleración de PP sistema ejestendría fijo si PPseenfijase, en la posición en que serelativo; halla, alessistema móvil absoluta que tendría PPdeen ausencia de movimiento relativo; es decir, la aceleración de vista desde el sistema ejes fijo si P se fijase, en la posición en que se halla, al sistema absoluta que tendría en ausencia de movimiento relativo; es decir, la aceleración dedePP xyz. A partir de este significado se puede calcular fácilmente aar P/O aplicando la ecuación vectorial coordenadas móvil xyz. A partir de este significado se puede calcular fácilmente aar P/O ta aceleración al plano que forman la velocidad de los ejes y la velocidad relativa El términoesaperpendicular cor P/xyz se denomina aceleración complementaria o de Coriolis. Obsérvese de P respecto al sistema de referencia xyz. que esta aceleración es perpendicular al plano que forman la velocidad de los ejes y la En la figura siguiente se dibujaalelsistema diagrama velocidad relativa de P respecto decinemático referencia de xyz.la deslizadera B, vista anteriormen‐ te, que se mueve con velocidad y aceleración de deslizamiento conocidas, v desl.B/A vB/AC y En la figura siguiente se dibuja el diagrama cinemático de la deslizadera B, vista ante adesl.B/A aB/ACque respectivamente, a lo velocidad largo de unayguía AC. riormente, se mueve con aceleración de deslizamiento conocidas, v desl.B/A = vB/AC y adesl.B/A = aB/AC respectivamente, a lo largo de una guía AC. Tomando un sistema de referencia móvil xy con origen de coordenadas en A, de tal forma que Tomando un sistema de referencia móvil xy con origen de coordenadas en A, de tal forma que el eje x se hace coincidir con la guía, se tiene que ω xy = ωAC , α xy = α AC , 36 vB/xy = vB/AC y aB/xy = aB/AC . x ÍNDICE C aB/AC MANUALES UEX vista anteriormente que relaciona las aceleraciones de dos puntos de un mismo sólido. 36 aplicando la ecuación vectorial vista anteriormente que relaciona las aceleraciones de dos 36 El término acor P/xyzsólido. se denomina aceleración36 36complementaria o de Coriolis. Obsérvese que es‐ puntos de un mismo 41 que esta aceleración es perpendicular al plano que forman la velocidad de los ejes y la velocidad relativa de P respecto al sistema de referencia xyz. En la figura siguiente se dibuja el diagrama cinemático de la deslizadera B, vista anteMANUEL REINO GLORIAcon GALÁN MARÍN y aceleración de deslizamiento conocidas, riormente, queFLORES, se mueve velocidad v desl.B/A = vB/AC y adesl.B/A = aB/AC respectivamente, a lo largo de una guía AC. Tomando un sistema de referencia móvil xy con origen de coordenadas en A, de tal forma que el eje x se hace coincidir con la guía, se tiene que ω xy = ωAC , α xy = α AC , vB/xy = vB/AC y aB/xy = aB/AC . x aB/AC C 2.ωAC.vB/AC vB/AC B ωAC .(ωAC.rB/A) αAC . rB/A y ωAC αAC A aA Por tanto, conociendo la aceleración del punto A, aA , y la velocidad y aceleración an gular de la pieza, ωAC y α AC respectivamente, se puede calcular la aceleración absoluta de la deslizadera B, aB , mediante la ecuación vectorial: αAC . rB/A aB/AC aA aB 2.ωAC.vB/AC MANUALES UEX 37 42 ÍNDICE ωAC .(ωAC.rB/A) 3. ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS PLANOS 3.1. INTRODUCCIÓN Resolver el problema cinemático directo en un mecanismo consiste en calcular la posición, velocidad y aceleración del eslabón de salida o conducido, así como de aquellos otros eslabones y puntos de interés que se considere necesario. Para ello, si el mecanismo tiene m grados de libertad, se necesita conocer el movimiento de m eslabones de entrada o eslabones conductores. Este análisis cinemático es un paso previo imprescindible para realizar posteriormente el análisis dinámico del mecanismo, en el que ya se consideran las causas (fuerzas y momentos) que generan el movimiento. En el presente capítulo se aplicarán a los mecanismos planos los conceptos generales presentados en el capítulo anterior sobre la cinemática del sólido rígido. Los mecanismos planos son los más empleados, y en ellos, todos sus elementos se mueven paralelamente a un mismo plano, lo que permite eliminar una dimensión al analizar el movimiento. Se expondrán varios procedimientos, gráficos y analíticos, para el estudio cinemático de un mecanismo. Los métodos analíticos, sin embargo, permiten obtener una expresión matemática de las variables de posición, velocidad y aceleración de los eslabones de salida del mecanismo en función de las variables que describen el movimiento de los eslabones de entrada. Se obtiene así el análisis cinemático del mecanismo para todo el ciclo completo de movimiento, que es normalmente el objetivo. Por ello, en el capítulo siguiente, dedicado a la resolución de casos prácticos, se aplicarán siempre métodos analíticos en todos los problemas cinemáticos, que serán ilustrados también en algunos casos con la resolución gráfica para posiciones concretas. A través de su aplicación, se comprobará que los métodos analíticos tienen la ventaja de proporcionar plantea- ÍNDICE MANUALES UEX Los métodos gráficos son muy intuitivos, y de gran ayuda a la hora de comprender fácilmente el movimiento de un mecanismo en una posición dada. Tienen la clara ventaja de poseer una operativa fácil, pero sólo son válidos en una posición concreta, por lo que no son útiles para estudiar el movimiento completo de un mecanismo a lo largo de todo el ciclo de movimiento. 43 normalmente el objetivo. Por ello, en el capítulo siguiente, dedicado a la resolución de casos prácticos, se aplicarán siempre métodos analíticos en todos los problemas cinemáticos, que serán ilustrados también GALÁN MARÍN enMANUEL algunosREINO casosFLORES, con la GLORIA resolución gráfica para posiciones concretas. A través de su aplicación, se comprobará que los métodos analíticos tienen la ventaja de proporcionar planteamientos metódicos, resolubles pora ordenador. ilustración, en se el último Porgenerales ello, en elmuy capítulo siguiente, dedicado resoluciónComo de casos prácticos, mientos generales muy metódicos, resolubles porlaordenador. Como ilustración, en elaplicarán último capítulo se presenta la resolución cinemática completa de un mecanismo de retorno rápidoen siempre métodos analíticos en todoscinemática los problemas cinemáticos, serán ilustrados también capítulo se presenta la resolución completa de unque mecanismo de retorno rápido con ayudacasos de Matlab.la resolución gráfica para posiciones concretas. A través de su aplicación, se algunos con ayuda de con Matlab. comprobará que los métodos analíticos tienen la ventaja de proporcionar planteamientos genera‐ Hay loslosmétodos analíticos son poco intuitivos, porpor lo lo que Hayque queseñalar señalarque, que,enenocasiones, ocasiones, métodos analíticos son que les muy metódicos, resolubles por ordenador. Como ilustración, en el poco últimointuitivos, capítulo se presenta a ala lahora dedeaplicarlos esesnecesario dominar loslosconocimientos dedecinemática vectorial deldel hora aplicarlos necesario dominar conocimientos cinemática vectorial la resolución cinemática completa de un mecanismo de retorno rápido con ayuda de Matlab. sólido sólidorígido rígidoque quesubyacen subyacenbajo bajotodas todaslaslasecuaciones ecuacionesparamétricas, paramétricas,y apoyarse y apoyarseenenmétodos métodos Haypara que señalar que, en los en métodos analíticos son poco intuitivos, por lo que la gráficos el elocasiones, movimiento concretas. PorPor consiguiente, enenlaa la gráficos paracomprender comprender movimiento enposiciones posiciones concretas. consiguiente, hora de aplicarlos es necesario dominar los conocimientos de cinemática vectorial del sólido rígido resolución dede casos prácticos del del próximo capítulo se presenta en todos los problemas no sólono resolución casos prácticos próximo capítulo se presenta en todos los problemas que subyacen bajo todas las ecuaciones paramétricas, y apoyarse en métodos gráficos para la sólo aplicación del método analítico, sino también su interpretación vectorial en términos de com‐ las la aplicación del método analítico, sino también su interpretación vectorial en términos prender el movimiento en posiciones concretas. Por consiguiente, en la resolución de casos prác‐ ecuaciones de cinemática del sólido rígido. de las ecuaciones de cinemática del sólido rígido. ticos del próximo capítulo se presenta en todos los problemas no sólo la aplicación del método hora derealizar realizar lasíntesis síntesiso odiseño diseño unmecanismo, mecanismo, conocimiento detodos todoslosdel los A Ala lahora dedeunen analítico, sinodetambién sulainterpretación vectorial términos de el laselconocimiento ecuaciones de de cinemática métodos es importante, y serán las características del sistema las que indicarán el camino a métodos es importante, y serán las características del sistema las que indicarán el camino a sólido rígido. seguir. seguir. A la hora de realizar la síntesis o diseño de un mecanismo, el conocimiento de todos los mé‐ todos es importante, y serán las características del sistema las que indicarán el camino a seguir. 3.2. Métodos gráficos 3.2. Métodos gráficos 3.2. MÉTODOS GRÁFICOS 3.2. Métodos gráficos métodosgráficos gráficosconstituyen constituyen unaherramienta herramientacomplementaria complementaria muy potente a la hora LosLos métodos una muy potente a la hora realizar análisis cinemático. Aunque sóloson sonválidos válidosenenuna unaposición posición determinada, dederealizar el elanálisis cinemático. Aunque sólo determinada, Los métodos gráficos constituyen una herramienta complementaria muy potente a la hora de ayudan a comprender el movimiento cada eslabón enuna posiciones concretas de interés. ayudan el movimiento de de cada eslabón en en posiciones concretas de interés. realizara comprender el análisis cinemático. Aunque sólo son válidos posición determinada, ayudan a comprender el movimiento de cada eslabón en posiciones concretas de interés. En primer lugar, este apartado estudiarán métodos gráficos empleados. EnEn este apartado se se estudiarán loslos dosdos métodos gráficos masmas empleados. En primer lugar, a a través del apartado método de los polígonos de velocidades y aceleraciones, se obtiene el valor En se polígonos estudiarán losvelocidades dos métodosy aceleraciones, gráficos mas empleados. Enel primer lugar, través deleste método de los de se obtiene valor de lasdea las variables cinemáticas demecanismo un mecanismo en instante un instante dado. Aobtiene continuación, también través del método de de los un polígonos de velocidades y aceleraciones, el valortambién de las varia‐ variables cinemáticas en un dado. Asecontinuación, sese estudiará método deresolución resolución gráfico parael elcálculo cálculo develocidades velocidades basado centro bles cinemáticas dedeun mecanismo en un para instante dado. Adecontinuación, también seen estudiará el estudiará el el método gráfico basado en el elcentro instantáneo de rotación. método de resolución gráfico para el cálculo de velocidades basado en el centro instantáneo de instantáneo de rotación. rotación. 3.2.1. Movimiento relativo entre puntos. Polígonos de velocidades y aceleraciones 3.2.1. Movimiento relativo entre dosdos puntos. Polígonos de velocidades y aceleraciones 3.2.1. Movimiento relativo entre dos puntos. Polígonos de velocidades y aceleraciones y como se ha descrito en el capítulo anterior, la relación entre las velocidades y aceTalTal sese haha descrito enen elelcapítulo anterior, lalarelación entre las yy aceleTaly como y como descrito capítulo anterior, relación entrepor lasvelocidades velocidades acelera‐ leraciones absolutas de dos puntos cualesquiera A y B viene dada la expresión: raciones absolutas de dedos dospuntos puntoscualesquiera cualesquieraA Ay By viene B viene dada la expresión: ciones absolutas dada porpor la expresión: v= v A v A+ vB/AvB/A B vB a a a a= + aB/AB/A B B aA A MANUALES UEX 44 y aB/A representan la velocidad y aceleración relativa del movimiento de B respecto a donde vvB/A B/A y a B/A representan la velocidad y aceleración relativa del movimiento de B res37 según lasegún A. La avelocidad relativa tendrá componente dirección del deslizamiento, más la pecto A. La velocidad relativauna tendrá una componente la dirección del deslizamienexistente al giro relativo entre los puntos y B:puntos A y B: to, más ladebido existente debido al giro relativo entreAlos x r vvdesliz. vvB/A ω B/A = BA x rB/A B/A desliz. B/A B/A BA + Análogamente, la aceleración relativa sevvrotación obtiene sumando la aceleración debida a la rotarotación ción relativa, más la aceleración debida al deslizamiento, más el término complementario correspondiente a la aceleración de Coriolis. 37 Por consiguiente, la expresión vectorial que proporciona la aceleración relativa es: aB/A = αBA x rB/A + ωBA x ( ωBA x rB/A ) + adesliz. B/A + 2. ωBA x vdesliz. B/A ÍNDICE y a representan la velocidad y aceleración relativa del movimiento de B resdonde donde yy yaaB/A lalala velocidad yy aceleración relativa del movimiento de BB resB/A B/A dondevvvB/A representan velocidad yaceleración aceleración relativa movimiento BresresvB/A aB/Arepresentan donde representan velocidad relativa deldel movimiento dede B/A B/A pecto a A. La velocidad relativa tendrá una componente según la dirección del deslizamienpecto a A. La velocidad relativa tendrá una componente según la dirección del deslizamienpectoa aA.A.LaLavelocidad velocidadrelativa relativatendrá tendráuna unacomponente componentesegún segúnlaladirección direccióndeldeldeslizamiendeslizamienpecto to, más existente debido giro relativo entre los puntos B: to, más lala existente debido alal giro relativo los puntos AA CINEMÁTICA DEentre MECANISMOS PLANOS Y PROBLEMAS RESUELTOS más existente debido al giro relativo entre puntos y. TEORÍA B: to,to, más lala existente debido al giro relativo entre loslos puntos AyAyyB: B: = x r +v vvvB/A xx rB/A ωω B/A BA desliz. B/A vB/A= xrB/A rB/A vdesliz. = ωBA B/A vdesliz. = +v+ + B/A B/A desliz. B/AB/A ωBABA Análogamente, la aceleración relativa se obtiene sumando la aceleración debida a la Análogamente, aceleración relativa se obtiene sumando aceleración debida rotaAnálogamente, lala aceleración relativa se obtiene sumando lala aceleración debida aaa lala rotaAnálogamente, aceleración relativa se obtiene sumando aceleración debida alala rotaAnálogamente, lala aceleración relativa se obtiene sumando lala aceleración debida rotarotación vvvrotación vdeslizamiento, rotación rotación rotación relativa, más la aceleración debida al deslizamiento, más el término complementario ción relativa, más la aceleración debida al más el término complementario ción ciónrelativa, relativa,más máslalalaaceleración aceleracióndebida debidaalalaldeslizamiento, deslizamiento,más másel eltérmino términocomplementario complementario ción relativa, más aceleración debida correspondiente a aceleración la aceleración de Coriolis.deslizamiento, más el término complementario correspondiente aceleración de Coriolis. correspondiente aaalala de Coriolis. correspondiente a la aceleración Coriolis. correspondiente la aceleración dede Coriolis. Porconsiguiente, consiguiente, la expresión vectorial que proporciona la aceleración relativa es: Por expresión vectorial que proporciona aceleración relativa es: Por consiguiente, lala expresión vectorial que proporciona lala aceleración relativa es: Por consiguiente, expresión vectorial que proporciona aceleración relativa Por consiguiente, lala expresión vectorial que proporciona lala aceleración relativa es:es: = α ω ω rrB/Ar +++ +ω rrB/Ar)) + ++ +2. 2.ω aaaB/A == =αα xxx rxB/A xxx (x((ωω xxx rxB/A xxxvvvxdesliz. B/A BA desliz. B/A + desliz. B/A aB/A adesliz. vdesliz. αBA ωBA ωBA ωBA B/A B/A ω(BABA ωBABA ωBABA 2.2. ))++ +aaadesliz. B/A B/AB/A BA BA B/AB/A desliz. B/AB/A BA desliz. B/AB/A BABA rotación aaarotación arotación rotación Coriolis aaaCoriolis aCoriolis Coriolis Uniendo todas las ecuaciones descritas se obtienen las expresiones que se utilizarán Uniendo todas las ecuaciones descritas se obtienen las expresiones que se utilizarán duUniendo todas las ecuaciones descritas se obtienen las expresiones que se utilizarán duUniendo todas ecuaciones descritas obtienen expresiones que utilizarán duUniendo todas laslas ecuaciones descritas sese obtienen laslas expresiones que sese utilizarán dudurante este capítulo, que son las que proporcionan la relación entre las velocidades y acerante este capítulo, que son las que proporcionan la relación entre las velocidades y acelerarante este capítulo, que son las que proporcionan la relación entre las velocidades y aceleraranteeste estecapítulo, capítulo,que queson sonlaslasque queproporcionan proporcionanlalarelación relaciónentre entrelaslasvelocidades velocidadesy yaceleraacelerarante leraciones absolutas de los puntos A y B: ciones absolutas de los puntos B: ciones absolutas de los puntos AA ciones absolutas puntos y B: ciones absolutas dede loslos puntos AyAyyB: B: + ω + vvvdesliz. rxrB/Ar + xxx rB/A ωω desliz. B/A = vvvAAAv+ ωBA vdesliz. B/A BABA + + A+ + BA B/AB/A desliz. B/AB/A x r + ω x r + a ω BA xx ((ω ++ +2. 2.ω aaaBBa=B==aa=aAAaA++ xx rxB/A xx rxB/A xxxvvvxdesliz. αα ++ +ωω BA desliz. B/A + desliz. B/A ))))++ +aadesliz. rB/A rB/A adesliz. vdesliz. αBA ωBAx x( ω ωBA ωBA B/A B/A rB/A rB/A ω(BABA ωBABA 2.2. B A ++ B/A BA B/A desliz. B/AB/A BA desliz. B/AB/A αBABA BABA vvvBBv=B== B Representando gráficamente los vectores que aparecen en las expresiones anteriores, se Representando gráficamente los vectores que aparecen en las expresiones anteriores, se Representando gráficamente vectores que aparecen en las expresiones anteriores, se Representando gráficamente loslos vectores que aparecen enen laslas expresiones anteriores, sese Representando gráficamente los vectores que aparecen expresiones anteriores, puede resolver el análisis cinemático de un mecanismo para una posición determinada mepuede resolver el análisis cinemático de un mecanismo para una posición determinada mepuede resolver el análisis cinemático de un mecanismo para una posición determinada mepuede resolver el análisis cinemático de un mecanismo para una posición determinada mepuede resolver el análisis cinemático de un mecanismo para una posición determinada diante desarrollo de los polígonos de velocidades aceleraciones. se desadiante elel desarrollo de los polígonos de velocidades yyy aceleraciones. AA se desadiante desarrollo polígonos velocidades yaceleraciones. aceleraciones. Acontinuación, continuación, desadiante elel desarrollo dede loslos polígonos dede velocidades A continuación, continuación, sese desamediante el desarrollo de los polígonos de velocidades y aceleraciones. A continuación, se rrollan dichos polígonos para los tres casos posibles. rrollan dichos polígonos para los tres casos posibles. rrollan dichos polígonos para los tres casos posibles. rrollan dichos polígonos para los tres casos posibles. desarrollan dichos polígonos para los tres casos posibles. CASO 1: los puntos mismo eslabón. a)a) CASO 1: los puntos AA alal mismo a) CASO 1: los puntos Apertenecen y B pertenecen al eslabón. mismo eslabón. CASO puntos y pertenecen Bpertenecen mismo eslabón. a)a) CASO 1:1: loslos puntos AyAyyBBB pertenecen alal mismo eslabón. En este caso, el único movimiento relativo que es posible entre y ByBB es eses una rotación, de En este caso, elelel único movimiento relativo que es posible entre AA una rotación, de En este caso, único movimiento relativo que es posible entre una rotación, de EnEn este caso, único movimiento relativo que es posible entre A yA una rotación, dede este caso, el único movimiento relativoentre que A esyposible entre Aay través y BBeses una rotación, modo que la relación de velocidades absolutas B se obtiene de la expresión modo que lalala relación de velocidades absolutas entre AA yAy ByB se obtiene aa través de lalala expresión modo que relación de velocidades absolutas entre B se obtiene a través de expresión modo que relación de velocidades absolutas entre se obtiene través de expresión modo que la relación de velocidades absolutas entre A y B se obtiene a través de la expresión vectorial: vectorial: vectorial: vectorial: vectorial: r + v = v + ω vvvBBv==B= = vvvAAv+ v relvB/A B/A == = vvAAv+ (( ω(ABABABω AB××× ×rB/A ))) ) rB/A rB/A B A A+ +vrel rel rel B/AB/A A A+ + ( ω B/A Observar que para denominar velocidad angular deldel eslabón que contiene Observar que para denominar aaa laala velocidad angular del eslabón que contiene aaa AA Observar que para denominar velocidad angular eslabón que contiene aA yAyy BB yB se Bse Observar que para denominar lala velocidad que contiene sese angular del eslabón ω ω ω = AB ,, puesto puesto que dicho valor pueden utilizar indistintamente las notaciones = = que dicho valor pueden utilizar indistintamente las notaciones ω ω = ω AB BA eslabón , puestoque quedicho dichovalor valor puedenutilizar utilizarindistintamente indistintamentelaslasnotaciones notacionesωABAB ωAB= = ωBA= = ωeslabón , puesto pueden AB ωBABA ωeslabón eslabón AB AB es una característica del eslabón. es una característica del eslabón. una característica eslabón. eses una característica deldel eslabón. el La ecuación anterior está formada por tres vectores, indica que sumando vector La ecuación anterior está formada por tres vectores, eee indica que sumando alal vector ecuación anterior está formada por tres vectores, eindica indica que sumando vectorvvvAAAvel LaLa ecuación anterior está formada por tres vectores, que sumando alal vector Aelel ω v . La representación gráfica de esta suma de vectovector , se obtiene el vector × r ( ) vector obtiene elelel vector representación gráfica de esta suma de vectorB/A vector( ωωABAB , se obtiene vectorvvBBv..La . La representación gráfica esta suma vectoω ×× × vector se obtiene vector La representación gráfica dede esta suma dede vectorB/Ar) ,, se AB AB )) B/AB/A B B En la figura siguiente se dibuja el polígono de velocidades de un eslabón AB en un movi 38 miento plano general. Suponiendo conocida38 38la38velocidad absoluta del punto A, v A , y la velocidad angular del eslabón, ωAB , se puede calcular gráficamente la velocidad absoluta del punto B, vB , representando la ecuación vectorial de velocidades: MANUALES UEX (( rial constituye polígono de velocidades, que en este caso siempre será un triángulo, cuya rial constituye elel polígono de velocidades, que en este caso siempre será un triángulo, cuya rial constituye polígono velocidades, que este caso siempre será triángulo, cuya rial constituye elel polígono dede velocidades, que enen este caso siempre será unun triángulo, cuya construcción ayudará a resolver gráficamente el análisis de velocidades del mecanismo. construcción ayudará aaresolver gráficamente elelel análisis de velocidades del mecanismo. construcción ayudará a resolver gráficamente análisis velocidades mecanismo. construcción ayudará resolver gráficamente análisis dede velocidades deldel mecanismo. 45 Vrel B/A = ωΑΒ . rB/A B ÍNDICE Vrel B/A la ecuación vectorial velocidades: punto vB , representando EnB, la figura siguienteVrel seB/A dibuja dede velocidades de un eslabón AB en un movi. rpolígono = ωΑΒel B/A miento plano general. Suponiendo conocida la velocidad absoluta del punto A, v A , y la Vrel B/A = ωΑΒ . rB/A Vrel B/A = ω ΑΒ ,. se r velocidad angular del eslabón, ωAB B/Apuede calcular gráficamente la velocidad absoluta del Vrel B/A = ωΑΒ . rB/A B vectorial de velocidades: la ecuación punto B,REINO vB , representando MANUEL FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN Vrel B/A B B Vrel B/A Vrel B/A B Vrel B/A = ωΑΒ . rB/A vA vA vA vA ωAB vA vB rB/A rB/A rB/A A A A ωAB AωAB Vrel B/A rB/A B Vrel vB/A B vB vB vA vA vA vA ωAB vB rB/A vA ωAB Análogamente, es posible construir el polígono de aceleraciones de acuerdo con la ecuaA ción vectorial, aunque este caso esconstruir más complicado puesdelaaceleraciones resolución geométrica pasa Análogamente, es posible el polígono de acuerdo conporla elecuaAnálogamente, es posible el polígono aceleraciones de acuerdo con desarrollo de un cuadrilátero. Dado elcomplicado único de movimiento relativo posible entrelapasa AecuayB ción vectorial, aunque esteconstruir caso esque más pues la resolución geométrica por el Análogamente, es posible construir el polígono de aceleraciones degeométrica acuerdo con la por ecuación vectorial, aunque este caso es más complicado pues la resolución pasa el corresponde rotación, la relación de losrelativo dos puntos del entre eslabón desarrolloa una de un cuadrilátero. Dadoentre quelas el aceleraciones único movimiento posible AyB ción vectorial, aunque este casoDado es másque complicado pues la resolución geométricaentre pasa Apory el desarrollo cuadrilátero. únicolasmovimiento relativo B viene dadade porun la aecuación vectorial: corresponde una rotación, la relaciónel entre aceleraciones de losposible dos puntos del eslabón desarrollo dea un cuadrilátero. Dado queentre el único movimientoderelativo posible entre AyB corresponde una rotación, la relación las aceleraciones los dos puntos del eslabón viene dada por la ecuación vectorial: corresponde a una rotación,vectorial: la relación entre las aceleraciones de los dos puntos del eslabón viene dada por la ecuación Análogamente, es posible construir de aceleraciones de acuerdo con la ecua el polígono viene dada por la ecuación vectorial: ωAB × ( ωAB × rB/A ) a = a α ABcomplicado × rB/A ) + pues ( A + ción vectorial, aunque Beste caso es más la resolución pasa por el geométrica aA + × rB/A ) movimiento + ωAB × rB/A ) entre A y B ( αelAB único ( ωAB ×posible aB = Dado que relativo desarrollo de un cuadrilátero. aB = aA + ( α ) + ω AB × ( ωde rB/A ) AB × rB/Alas AB × dos corresponde a una rotación, aB = alaA relación + ( α AB entre × rB/A ) aceleraciones + ωAB × ( ωABlos × rB/A ) puntos del eslabón Observar que para denominar a la aceleración angular del eslabón que contiene a A y B viene dada por la ecuación vectorial: se puede utilizar lasa notaciones , puesto quecontiene dicho αABangular = αangular αeslabón Observar queindistintamente parapara denominar la aceleración del eslabón que que contiene a Avalor ya BA y B Observar que denominar a la aceleración delABeslabón BA = Observar que para denominar a las lalasaceleración angular del= eslabón que contiene adicho A y Bvalor se pueden utilizar indistintamente notaciones , puesto que dicho se puede utilizar indistintamente notaciones puesto que α = α α AB BA eslabón AB es una característica del eslabón. angular eslabón Observar queindistintamente para la del aAyB denominar lasa notaciones que contiene aceleración se puede utilizar α = α valor esuna una característica eslabón. α que dicho valor +AB = BA eslabón AB , puesto aB =deldel aeslabón. ω A + ( α AB × rB/A ) AB × ( ωAB × rB/A ) es característica se puede utilizar indistintamente las notaciones αAB = αBA = αeslabón AB , puesto que dicho valor es una característica del eslabón. es una del eslabón. En característica la figura siguiente se dibuja el polígono de aceleraciones de un eslabón AB en el que y laaceleraciones velocidad y de aceleración angular se conoce la aceleración absoluta A, aA ,angular En la figura siguiente se dibuja el polígono de un eslabón AB elB que Observar que para denominar adella punto aceleración del eslabón que contiene a Aenydel velocidad En la figura siguiente se dibuja el polígono de aceleraciones de un eslabón AB en angular el que del , y la y aceleración se conoce la aceleración absoluta del punto A, a lo que permite laABaceleración absoluta del eslabón, se puede utilizar indistintamente laselnotaciones , puesto queAB dicho ωAB ysiguiente α AB respectivamente, α = α calcular = αeslabónde A En la figura dibuja eslabón en elvalor que , y laBAvelocidad yunaceleración angular del se conoce la aceleración absoluta delpolígono punto A,deaAABaceleraciones se y respectivamente, lo que permite calcular la aceleración absoluta eslabón, ω α , mediante la ecuación vectorial anterior: punto B, a AB AB es una característica Bla aceleración del eslabón. se conoce absoluta del punto A, aA , y la velocidad y aceleración angular del del lo que permite calcular la aceleración absoluta del eslabón, ω AB y α B, AB respectivamente, mediante la ecuación vectorial anterior:calcular la aceleración absoluta del puntoω ayB , α respectivamente, lo que permite eslabón, AB AB anterior: punto B, aB , mediante la ecuación vectorial la ecuación anterior: punto EnB,la afigura siguiente se dibuja vectorial el polígono de aceleraciones de un eslabón AB en el que B , mediante 39 y la velocidad y aceleración angular del se conoce la aceleración absoluta del punto A, aA ,39 B 39 eslabón, ωAB y α AB respectivamente, lo que permite calcular la aceleración absoluta del 39 aA ΑΒ . rB/A anterior: punto B, aB , mediante la ecuaciónαvectorial MANUALES UEX ωΑΒ.(ωΑΒ.rB/A) 46 αΑΒ . rB/A 39 ωAB A αAB aB ωΑΒ.(ωΑΒ.rB/A) aA • Ejemplo: a continuación se analizará, mediante los polígonos de velocidades y aceleraciones, el problema cinemático del mecanismo biela-manivela. A ÍNDICE B αΑΒ . rB/A ωAB αAB aB CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS Ejemplo: a continuación se analizará, mediante los polígonos de velocidades y aceleraciones, ωΑΒ.(ωΑΒel .rB/A) aA problemaA cinemático del mecanismo biela‐manivela. • Ejemplo: velocidades yy aceleracioaceleracio• Ejemplo:aacontinuación continuaciónse se analizará, analizará, mediante mediante los los polígonos polígonos de de velocidades nes, el problema cinemático del mecanismo biela-manivela. nes, el problema cinemático del mecanismo biela-manivela. A A B B OA ωOA En este caso la manivela OA es el eslabón de entrada, cuyo movimiento se conoce al constituir cuyo movimiento se conoce al En este casoque la gira manivela OA es el angular eslabón constante de entrada, el eslabón motor a una velocidad de salida que hay OA . Las variables constituir el eslabón motor que gira a una velocidad angular constante ωOA . Las variables de que determinar son la velocidad y aceleración del pistón B y la velocidad y aceleración angular de hay que determinar son la velocidad y aceleración del pistón B y la velocidad y salida que la biela, AB y AB . aceleración angular de la biela, ωAB y α AB . EnEnla la siguiente siguientefigura figurasesedesarrolla desarrollagráficamente gráficamenteelelpolígono polígonodedevelocidades velocidadesque querelaciona relacionalos valores de los puntos A y B, pertenecientes en este caso a un mismo sólido que constituye la biela los valores de los puntos A y B, pertenecientes en este caso a un mismo sólido que constituye dellamecanismo. Nótese que previamente se puede calcular la velocidad de A, que es perpendicu‐ biela del mecanismo. Nótese que previamente se puede calcular la velocidad de A, que es larperpendicular a OA, y que se conoce la dirección velocidad B, que es de horizontal, como la de a OA, y que se conocede la la dirección de de la velocidad B, que esasí horizontal, así la velocidad relativa de B respecto de A, que es perpendicular a AB. De este modo, trazando el trián‐ como la de la velocidad relativa de B respecto de A, que es perpendicular a AB. De este gulo vectorial correspondiente se pueden calcular el módulo y sentido de laelvelocidad modo, trazando el triángulo vectorial correspondiente se pueden calcular módulo yangular sentidode AB y de laangular velocidad punto B. la biela y de la velocidad absoluta del punto B. de la velocidad de laabsoluta biela ωdel AB vA = ωOA . OA vA = OA . OA ωAB . AB AB . AB vB vB 40 Análogamente, enen la la siguiente figura se se desarrolla el el polígono de de aceleraciones, en en esteeste caso Análogamente, siguiente figura desarrolla polígono aceleraciones, un cuadrilátero, que relaciona los valores los puntos B. Observar previamen- se uncaso cuadrilátero, que relaciona los valores de losdepuntos A y AB.yObservar que,que, previamente, te, secalcular puede calcular la aceleración A, que lleva la dirección de la ymanivela y sentido puede la aceleración de A, quedelleva la dirección de la manivela sentido AO (puestoAOque (puesto que tangencial la aceleración de Alaesmanivela nula al girar manivela con velocidad angular la aceleración de Atangencial es nula al girar con la velocidad angular constante). constante). Al mismo tiempo, se conoce que la aceleración de B ha de ser horizontal, y que las componen‐ Al mismo tiempo, se conoce que la aceleración de B ha de ser horizontal, y que las comtes normal y tangencial de la aceleración relativa de B respecto de A deben llevar dirección AB y ponentes normal y tangencial de la aceleración relativa de B respecto de A deben llevar perpendicular a AB, respectivamente. dirección AB y perpendicular a AB, respectivamente. 40 ÍNDICE MANUALES UEX ⊥ AB AB 47 (puesto que la aceleración tangencial de A es nula al girar la manivela con velocidad angular constante). (puesto que la aceleración tangencial de A es nula al girar la manivela con velocidad angular constante). constante). Al mismo tiempo, se conoce que la aceleración de B ha de ser horizontal, y que las comAl mismo tiempo, se conoce la aceleración de B de ha de ser horizontal, y que llevar las componentes normal y tangencial deque la aceleración relativa de A deben diAl mismo tiempo, se conoce que la aceleración de B ha Bderespecto ser horizontal, y que las componentes normal y tangencial de la aceleración relativa de B respecto de A deben llevar dirección AB y perpendicular a AB, respectivamente. MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN ponentes normal y tangencial de la aceleración relativa de B respecto de A deben llevar dirección AB y perpendicular a AB, respectivamente. rección AB ymodo, perpendicular AB, respectivamente. De este se puedeaya trazar el cuadrilátero correspondiente para calcular el módulo De este modo, se puedeangular ya trazar el correspondiente calcular el módulo y sentido de la aceleración de la cuadrilátero biela α AB y de la aceleración para absoluta del punto B. De este modo, se puede ya trazar el cuadrilátero correspondiente para calcular el módulo y sentido de la aceleración angular de la biela α AB y de la aceleración absoluta del punto B. y sentido de la aceleración angular de la biela α AB y de la aceleración absoluta del punto B. aB aB aB αAB . AB αAB . AB αAB . AB ⊥ AB ⊥ AB ⊥ AB ωAB2 ωAB22 ωAB . AB . AB . AB aA = ωOA2 . OA aA = ωOA22 . OA aA = ωOA . OA b) CASO 2: los puntos A y B, pertenecientes a dos eslabones distintos, se encuentran en conb) CASO 2: los puntos A y B, pertenecientes a dos eslabones distintos, se encuentran en contacto. b) CASO 2: los puntos A y B, pertenecientes a dos eslabones distintos, se encuentran en contacto.En este caso se tiene que rB/A = 0 y, dado que movimiento relativo entre A y B es únicatacto. Ende este caso se tiene laque dado que movimiento relativo A y B esa únicar = 0dey,velocidades mente deslizamiento, relación absolutas entre A y entre B se obtiene través En este caso se tiene que rB/A B/A = 0 y, dado que movimiento relativo entre A y B es únicamente de deslizamiento, la relación de velocidades absolutas entre A y B se obtiene a través de la expresión vectorial: mente de deslizamiento, la relación de velocidades absolutas entre A y B se obtiene a través de la expresión vectorial: de la expresión vectorial: v= v A + v desliz. B/A B v= v A + v desliz. B/A B v= v A + v desliz.B/A B aB = aA + adesliz. B/A + 2. ω x vdesliz. B/A aB = aA + adesliz. B/A + 2. ω x v B/A aB = aA + adesliz. B/A + 2. ω x vdesliz. desliz. B/A siendo ω la velocidad angular del eslabón en el que se produce el movimiento de desliza la velocidad angular del eslabón en el que se produce el movimiento de deslizasiendo ω miento. siendo ω la velocidad angular del eslabón en el que se produce el movimiento de deslizamiento. •miento. Ejemplo: como aplicación, se analizará mediante los polígonos de velocidades y acelera• Ejemplo: como aplicación, analizará mediante los polígonos velocidades y aceleraciones el problema cinemáticose mecanismo de corredera de la de figura. La manivela tiene • Ejemplo: como aplicación, sedelanalizará mediante los polígonos de velocidades y acelera mecanismo ciones el problema cinemático del de corredera de la figura. La manivela tiene una velocidad angular constante ω1 y la guía ciones el problema cinemático del mecanismo de corredera de la figura. La manivela tiene y la guía una velocidad angular constante ω poseevelocidad una velocidad y aceleración la guía una angular constante ω11 y angular velocidad posee unaω y aceleración angular y , cuya determinación se pide variables α 2 2 posee una velocidad y aceleración angular A y , cuya determinación se pide variables ω α 2 figura. en el instante variables ω22 ydeαla 2 , cuya determinación se pide A en el instante de la figura. A en el instante de la figura. MANUALES UEX Siendo A el punto extremo de la manivela 41 en contacto con la deslizadera, nótese que se41 Siendo A41 el punto extremo de laωmanivela en contacto con la deslizadera puede calcular su velocidad, puesto que este 1 Siendo nótese Siendo AA el el punto punto extremo extremo de de la la manivela manivela en en contacto contacto con con la laOdeslizadera, deslizadera, nótese que queO2se se 1puesto que este punto a manivela en contacto con la deslizadera, nótese que se puede calcular su velocidad, realiza un movimiento de punto realiza un movimiento de rotación alreω1de rotación alrepuede puede calcular calcular su su velocidad, velocidad, puesto puesto que que este este punto punto realiza realiza un un movimiento movimiento O2 Ofija ω 1 1 de rotación alreo que este puntodedor realiza un movimiento de rotación alrede la manivela. Dicha velocidad t dedor de la articulación O de la manivela. dedor delala articulación articulación fija OO 1 O2 O1 tendrá módulo de la la manivela. manivela. Dicha Dicha velocidad velocidad tendrá módulo dedor de de la articulación fija fija 1O11 de Dicha velocidad tendrá módulo dirección perpendicular ala manivela y sentido dado por ω1 = v A = O1 A . ω1 ,, dirección perpendicular a la manivela y Dicha velocidad tendrá módulo 1 de la manivela. =ω , dirección perpendicular a la manivela y sentido dado por . vvA == O A .. ω ω , dirección perpendicular a la manivela y sentido dado por . 1 1 1 O1A O A ω ω =ω 1 1 1 O1A ular a la manivela Ay sentido sentido por ω1 =ωO1A.. dado Análogamente, denominando B al punto de laen guía que en la posición con Análogamente, denominando BB al de guía que en considerada Análogamente, denominando alBpunto punto de la la guía queque en la la posición considerada en la la Análogamente, denominando al punto de lacontacto guía enposición la posición considerada en la al punto de la guía que en la posición considerada en la figura está en con la deslizadera, se puede escribir la expresión de figura está en con la se escribir la de su figura estáestá en contacto contacto concon la deslizadera, deslizadera, se puede puede escribir la expresión expresión de de su velocidad, velocidad, figura en contacto la deslizadera, se puede escribir la expresión su velocidad, izadera, se puede escribir la expresión de su velocidad, puesto que este punto realiza un movimiento de rotación alrededor de la artic puesto que este punto realiza un de alrededor de fija O puesto queque esteeste punto realiza un movimiento movimiento de rotación rotación alrededor de la la articulación fija fija O22 O2 puesto punto realiza un movimiento de rotación alrededor dearticulación la articulación ovimiento de rotación alrededor de la articulación fija O , dirección perp de la guía. Dicha velocidad tendrá de módulo v = O B . ω 2 B 2 2 dirección perpendicular de Dicha tendrá direcciónperpendicular perpendicular laguía de la la guía. guía. Dicha velocidad tendrá dedemódulo módulo O22BB .. ω ω22 ,,, dirección la guía. Dichavelocidad velocidad tendráde módulo vvBB == O aaalala , dirección perpendicular a la de módulo vB = Ode B . ω dado por la velocidad incógnita ω2 =ωO2B . guía y sentido 2 2 sentido dado por velocidad incógnita .. guía guíay yysentido sentidodado dadopor porlala lavelocidad velocidadincógnita incógnita ω ω22 =ω =ωO2B O2B . d incógnita ω2 =ωO2B . 48 A continuación, se aplican las relaciones de velocidades y aceleraciones AA continuación, continuación, se se aplican aplican las las relaciones relaciones de de velocidades velocidades yy aceleraciones aceleraciones vistas vistas anterioranteriorrelaciones de velocidades y aceleraciones vistas anteriormente para el caso en el que los puntos A y B, pertenecientes a dos eslabon mente para el caso en el que los puntos A y B, pertenecientes a dos eslabones distintos, mente para el caso en el que los puntos A y B, pertenecientes a dos eslabones distintos, se se untos A y B, pertenecientes a dos eslabones distintos, se encuentran en contacto. En la siguiente figura se representan las velocidades a encuentran encuentran en en contacto. contacto. En En la la siguiente siguiente figura figura se se representan representan las las velocidades velocidades absolutas absolutas de de los los ente figura se representan las velocidades absolutas de los puntos A y B, así como la velocidad relativa de B respecto de A consistente en l puntos BB respecto puntos AA yy B, B, así así como como la la velocidad velocidad relativa relativa de deÍNDICE respecto de de AA consistente consistente en en la la velocidad velocidad de de relativa de B respecto de A consistente en la velocidad de deslizamiento: deslizamiento: deslizamiento: figura está con laundeslizadera, de su velocidad, Análogamente, denominando B al puntosede larotación guíaescribir que enlala expresión posición considerada puesto que en estecontacto punto realiza movimiento depuede alrededor de la articulación fijaenOla22 perpendicular de la guía. Dicha velocidad tendrá de módulo vB = Oescribir B alrededor . ω2 ,ladirección puesto que este punto realiza un movimiento de rotación de la articulación fijaaOla2 2 figura está en contacto con la deslizadera, se puede expresión de su velocidad, de la guía. Dicha velocidad tendrá de módulo vB= O2B . ω2 , dirección perpendicular a la 2 rotación perpendicular de lay guía. Dicha velocidad tendrá de módulo vB=O2B O2.B alrededor . ω2 , dirección guía dado por la incógnita ω =ω puesto que este punto un movimiento de la articulación fijaaOla2 guía y sentido sentido dado porrealiza la velocidad velocidad incógnita de ω 2 =ω O2B . de lay guía. Dicha tendrá incógnita de módulo vB =O2B O2.B . ω2 , dirección perpendicular a la guía sentido dadovelocidad por la velocidad ω2 =ω CINEMÁTICA DE MECANISMOS Y PROBLEMAS RESUELTOS A continuación, se las de yy aceleraciones velocidades PLANOS . TEORÍA se aplican aplican las relaciones relaciones de velocidades aceleraciones vistas vistas anterioranteriorguíaAy continuación, sentido dado por la velocidad incógnita ω =ω 2 O2B . mente para el caso en el que los puntos A y B, pertenecientes a dos eslabones distintos, se A continuación, se aplican las relaciones de velocidades y aceleraciones vistas anteriormente para el caso en el que los puntos A y B, pertenecientes a dos eslabones distintos, se encuentran en contacto. En la siguiente figura se representan las velocidades absolutas de los mente para el caso en el que los puntos A y B, pertenecientes a dos eslabones distintos, se A continuación, se aplican las relaciones velocidades las y aceleraciones vistas anteriorencuentran en contacto. En la siguiente figura de se representan velocidades absolutas de los puntos A y B, así como la velocidad relativa de B respecto de A consistente en la velocidad de encuentran en contacto. En la siguiente figura se representan las velocidades absolutas de los mente caso en el que los puntos A de y B,B respecto pertenecientes a dos eslabones distintos, de se puntos para A y B,elasí como la velocidad relativa de A consistente en la velocidad deslizamiento: puntos A y B, como laEn velocidad relativa deseB respecto de Alasconsistente enabsolutas la velocidad de encuentran enasí contacto. la siguiente figura representan velocidades de los deslizamiento: deslizamiento: puntos A y B, así como la velocidad relativa de B respecto de A consistente en la velocidad de deslizamiento: vA = ω1 . O1A vA = ω1 . O1A vA = ω1 . O1A A A A vA = ω1 . O1A A vdesliz.B/A vdesliz.B/A vdesliz.B/A B B B vdesliz.B/A B O1 O1 O1 vB = ω2 . O2B vB = ω2 . O2B vB = ω2 . O2B O1 vB = ω2 . O2B ω2 ω2 ω2 O2 O2 O2 ω2 La relación relación entre entre las las velocidades velocidades anteriores anteriores puede puede expresarse expresarse aa través través del del polígono polígono Ode de2 la la La siguiente figura, que permitirá resolver el problema gráficamente. Observar que se conoce v La relación entre las velocidades anteriores puede expresarse a través del polígono de la siguiente figura, que permitirá resolver el problema gráficamente. Observar que se conoce v AA ,, Dibujando yy cerrando el en módulo yy sentido, así como las de vvgráficamente. B y de v desliz. B/A siguiente figura, que permitirá el problema Observar quepolígono se conocedev la A, La relación entre las anteriores puede a.. través del de v desliz. B/A Dibujando cerrando el en módulo sentido, así velocidades comoresolver las direcciones direcciones de B yexpresarse triángulo correspondiente se tiene: y de v . Dibujando y cerrando el en módulo y sentido, así como las direcciones de v B desliz. B/A siguiente correspondiente figura, que permitirá resolver el problema gráficamente. Observar que se conoce v A , triángulo se tiene: triángulo correspondiente se tiene: en módulo y sentido, así como las direcciones de v B y de v desliz. B/A . Dibujando y cerrando el vA = ωO A . O1A triángulo correspondiente se tiene: vA = ωO A . O1A 1 1 vA = ωO1A . O1A vA = ωO1A . O1A vdesliz.B/A vB = ωO2B . O2B vdesliz.B/A vB = ωO2B . O2B vdesliz.B/A vB = ωO2B . O2B vdesliz.B/A vDirección 2B B = ωO2B .OO 2B Dirección O2B ⊥ O2B ⊥ O2B Dirección O2B ⊥ O2B Dirección O2B ⊥ O2Bde la figura, los valores del módulo posición lo lo que que permitirá permitirá calcular, calcular, para para la la posición de la figura, los valores del módulo yy el el sentido sentido de de vlo y v . A partir de v se determina el módulo y el sentido de ω = ω . B 2 módulo O2B que permitirá calcular, Bpara la posición de la figura, los valores del y el sentido de v desliz.B/A desliz.B/A y v B . A partir de v B se determina el módulo y el sentido de ω 2 = ω O2B . v desliz.B/A y v B . A partir de v Bpara se determina el de módulo y el los sentido de ωdel ω O2B . y el sentido de 2 =módulo lo que permitirá calcular, la posición la figura, valores Análogamente, en los siguientes diagramas cinemáticos se representan las aceleraciones vabsolutas ω 2 = ω O2B .relativa de B resdesliz.B/A y v B . A partir de v B se determina el módulo 42 y el sentido de los puntos A y B, así como las componentes de lade aceleración 42 pecto de A, consistentes en la aceleración de deslizamiento y aceleración de Coriolis: 42 42 B B aA = ω122 . O1A aA = ω1 . O1A adesliz.B/A adesliz.B/A O1 O1 αα2 .. OO2BB 2 2 ωω222 .. OO2BB 2 2 αα2 2 B O2 políLa relación entre las aceleraciones anteriores puede expresarse a através del siguiente gono, que conduce a la resolución gráfica del problema: ÍNDICE ωO2B2 . O2B 2 MANUALES UEX 2 . ω2 . vdesliz.B/A 2 . ω2 . vdesliz.B/A A A 49 B aA = ω12 . O1A aA = ω12 . O1A ω22 . O2B ω22 . O2B α2 . O2B α2 . O2B adesliz.B/A adesliz.B/A O1 1 MANUELOREINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN α2 α2 B O2 políLa relación entre las aceleraciones anteriores puede expresarse a através del siguiente aB O2 polírelación entre aceleraciones anteriores puede expresarse del siguiente La relación entre las aceleraciones anteriores puede expresarse a través siguiente polí‐ gono, conduce a lalas resolución gráficaanteriores del problema: Laque relación entre aceleraciones puede expresarse a través del siguiente gono, que queconduce conducea alalaresolución resolución gráfica problema: gono, gráfica deldel problema: polígono, que conduce a la resolución gráfica del problema: ωO2B22 . O2B ωOO22BB2 .. O O22B B aA = ωO1A22 . O1A aaAA = OO11AA2 .. O O11A A =ω adesliz.B/A aadesliz.B/A desliz.B/A αO2B . O2B αOO22BB .. O O22B B 2 . ωO2B . vdesliz.B/A OO22BB .. vvdesliz.B/A 2 2 .. ω desliz.B/A Dirección Dirección Dirección ⊥ O2B ⊥ O2B Nótese que en el polígono anterior se conoce previamente la aceleración de A, así como Nótese en anterior seseconoce previamente la aceleración de A,A, asíasí como la Nótese que quenormal en el el polígono polígono conoce previamente aceleración como la aceleración de B y laanterior aceleración de Coriolis, puestolaque ya se handeresuelto anteaceleración normal de B y la aceleración de Coriolis, puesto que ya se han resuelto anteriormente la aceleración normal de BTrazando y la aceleración de Coriolis, puesto del queresto ya sedehan resuelto anteriormente las velocidades. las direcciones conocidas aceleraciones se las velocidades. Trazando lasTrazando direccioneslasconocidas del resto de aceleraciones se puede resolver se el riormente las velocidades. direcciones conocidas del resto de aceleraciones puede resolver el problema cinemático, calculando los valores del módulo y el sentido de problema cinemático, calculando los valores del módulo y el sentido de a y α = α . puede el . problema cinemático, calculando los valores del desl.B/A módulo 2y elO2B sentido de a desl.B/A yresolver α 2 = α O2B a desl.B/A y α 2 = α O2B . c) CASO 3: los puntos A y B pertenecen a dos eslabones distintos entre los que existe deslizamien‐ c) CASO 3: los puntos A y B pertenecen a dos eslabones distintos entre los que existe deslizato. c) CASO 3: los puntos A y B pertenecen a dos eslabones distintos entre los que existe deslizamiento. En este caso, el movimiento relativo entre A y B es una rotación más un deslizamiento, de miento. modo relación de velocidades y aceleraciones entre A más y B se a través de Enque estelacaso, el movimiento relativo entre A y Babsolutas es una rotación unobtiene deslizamiento, En este caso, el movimiento relativo entre A y B es una rotación más un deslizamiento, de las siguientes expresiones vectoriales generales, que engloban los dos casos a) y b) estudiados modo que la relación de velocidades y aceleraciones absolutas entre A y B se obtiene a través modo que la relación de velocidades y aceleraciones absolutas entre A y B se obtiene a través anteriormente: de las siguientes expresiones vectoriales generales, que engloban los dos casos a) y b) estude las siguientes expresiones vectoriales los dos casos a) y b) estudiados anteriormente: que engloban generales, vB = v A + ω + v desliz. B/A BA x rB/A diados anteriormente: v = v + ω x r + v B A desliz. B/A BA B/A x rB/A ++ x x43rrB/A ) adesliz. B/A ++ 2. x v desliz. B/A aaBB == aaAA + 2. α ω ω BA BA BA BA BA x r B/A BA x ( ω BA x B/A + a desliz. B/A BA x v B/A aB = aA + αBA x rB/A + ωBA x ( ωBA x43rB/A ) + adesliz. B/A + 2. ωBA x vdesliz. desliz. B/A MANUALES UEX En representan los diagramas cinemáticos de las velocidades acelera‐ En la la figura figura siguiente siguiente se se representan representanlos losdiagramas diagramascinemáticos cinemáticosde delas lasvelocidades velocidadesy yaceleraaceleEn de la una figura siguiente Bse representan losrelativo diagramas cinemáticos de las velocidades yAC. acelede una deslizadera B con movimiento relativo de deslizamiento respecto de la barra AC. ciones deslizadera con movimiento de deslizamiento respecto de la barra raciones de una deslizadera B con movimiento relativo de deslizamiento respecto de la barra raciones de una deslizadera B con movimiento relativo de deslizamiento respecto de la barra Velocidades Aceleraciones AC. AC. 50 BA . rB/A C Velocidades Velocidades ωBA . rB/A C ωBA . rB/A CB vA BA vA vA A ωBA ωBA rB/A rB/A rB/A vdesliz.B/A vdesliz.B/A vdesliz.B/A 2BA . vdesliz.B/A Aceleraciones C adesliz.B/A 2 . ωBA . vdesliz.B/A 2 . ωBA . vdesliz.B/A adesliz.B/A adesliz.B/A Aceleraciones C B C BA2. rB/A B B A B B ωBA2. rB/A ωBA2. rB/A BA aA αBA αBA aA aA BA . rB/A αBA . rB/A αBA . rB/A 3.2.2. Centro instantáneo de rotación 43 3.2.2. Centro instantáneo de rotación Obsérvese que, si fuera posible considerar el movimiento plano general de un sólido rígiObsérvese que, si fuera posible considerar el movimiento plano general de un sólido rígido o eslabón, en un instante determinado, como una rotación alrededor de algún punto perdo o eslabón, en un instante determinado, ÍNDICE como una rotación alrededor de algún punto perteneciente o no al eslabón, se conseguiría simplificar el análisis cinemático del mismo. A este teneciente o no al eslabón, se conseguiría simplificar el análisis cinemático del mismo. A este eje de rotación, perpendicular al plano del movimiento del eslabón, se le denomina centro A A A A C C vdesliz.B/A B B αBA . rB/A ω 2 BA . rB/A vA ωBA rB/A adesliz.B/A CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 3.2.2. Centro instantáneo instantáneodederotación rotación 3.2.2. Centro A αBA aA A movimiento plano general de un rígiObsérvese que, que, sisifuera fueraposible posibleconsiderar considerarel el movimiento plano general de sólido un sólido do o eslabón, en un determinado, como una una rotación alrededor de algún puntopunto perrígido o eslabón, en instante un instante determinado, como rotación alrededor de algún teneciente o noo al se conseguiría simplificar el análisis cinemático del mismo. A este perteneciente noeslabón, al eslabón, se conseguiría simplificar el análisis cinemático del mismo. A eje de rotación, perpendicular al plano del movimiento del eslabón, se le denomina centro este eje de rotación, perpendicular al plano del movimiento del eslabón, se le denomina instantáneo de rotación, y su localización simplifica la determinación de la magnitud y direccentro instantáneo de rotación, y su localización simplifica la determinación de la magnitud de la velocidad de cualquier punto del eslabón. yción dirección de la velocidad de cualquier punto del eslabón. Para demostrarlo, considérese el sólido rígido de la figura, donde se conocen las líneas de acción de v A y vB . Tomando como condición la localización de un punto de velocidad nula (eje de giro instantáneo) vI = 0 , se verifica: v B v A = vI + ω x rA/I = ω x rA/I vB = vI + ω x rB/I = ω x rB/I De las expresiones anteriores se deduce que los vectores rA/I y rB/I , y consiguientemente el B vA ⊥ vA A I Como aplicación, considérese el caso del movimiento de rodadura sin deslizamiento de un disco sobre una superficie fija. Nótese que la velocidad del punto C en contacto con la superficie es siempre cero, tal y como se vA= ω.CA A demostró en el capítulo anterior, lo que vF= ω.CF motiva que no exista deslizamiento entre vO el disco y la superficie. El punto C es E O F entonces el centro instantáneo de rotación vE ω del disco en su movimiento de rodadura. Obsérvese que, por el contrario, la acele C ración de C, aC= ( ω2 . r ) j , es distinta de cero. La figura muestra el diagrama cinemático de velocidades del disco, donde se han representado las velocidades de algunos puntos característicos. A continuación, se presentan dos ejemplos de resolución cinemática mediante el método gráfico basado en el centro instantáneo de rotación. • Ejemplo: para el sistema biela-manivela de la figura, la resolución cinemática mediante el centro instantáneo de rotación contemplaríaÍNDICE los siguientes pasos, partiendo del conocimiento de la posición indicada y de la velocidad angular ωOA de la manivela: MANUALES UEX punto I, se deben encontrar en el punto de inter⊥ vB sección de las perpendiculares a las líneas de acción de v A y vB . El empleo del centro instantáneo de rotación como método de resolución facilita, en El empleo instantáneo comocinemáticos método de resolución facilita,siempre en mumuchos casos,della centro determinación dedelosrotación parámetros de un eslabón, chos casos, determinación de losrígido parámetros cinemáticos de un eslabón, siempre posee teniendo teniendo en lacuenta que un sólido que realiza un movimiento plano general un en cuenta que un de sólido rígidodiferente que realiza un movimiento plano general posee de un un centro centro instantáneo rotación en cada momento, variando su situación insinstantáneo diferente cada momento, variando su situación de un implica instante laa tante a otro.deLarotación variación de las en posiciones del centro instantáneo de rotación otro. La variación de las posiciones del centro instantáneo de rotación implica la variación de variación de lasdecondiciones movimiento cuerpo. Porseñalar ello hay señalar quedel la las condiciones movimientodedel cuerpo. Pordelello hay que queque la aceleración aceleración del centro instantáneo de rotación en general es distinta de que cero.obtenemos De aquí que centro instantáneo de rotación en general es distinta de cero. De aquí un obtenemos un método gráfico válidovelocidades para calcular velocidades una posición método gráfico válido para calcular en una posiciónen determinada deldeterminada mecanismo, 44 del pero no para hallar aceleraciones. peromecanismo, no para hallar aceleraciones. 51 vE ω del disco en su movimiento de rodadura. Obsérvese que, por el contrario, la acele C ración de C, aC= ( ω2 . r ) j , es distinta MANUEL FLORES, GLORIA MARÍN de cero. REINO La figura muestra el GALÁN diagrama cinemático de velocidades del disco, donde se han representado las velocidades de algunos puntos característicos. A continuación, dede resolución cinemática mediante el método grá‐ A continuación,sesepresentan presentandos dosejemplos ejemplos resolución cinemática mediante el método fico basado en el centro instantáneo de rotación. gráfico basado en el centro instantáneo de rotación. Ejemplo: para para elel sistema sistemabiela-manivela biela‐manivela de de lala figura, figura, lala resolución resolución cinemática cinemática mediante mediante el el • Ejemplo: centro instantáneo de rotación contemplaría los siguientes pasos, partiendo del conocimiento de centro instantáneo de rotación contemplaría los siguientes pasos, partiendo del conocimiento la manivela: OA deω la posición indicada y de la velocidad angularangular de la posición indicada y de la velocidad OA de la manivela: a) Con se calcula v . a) Con ωOAOA se calcula Av A . b) b) c) d) e) se cortan en I. Se trazan dede acción de vde Se trazan las lasperpendiculares perpendicularesaav vA Ay ya alalalínea línea acción B , vque B , que se cortan en I. Como vvAA == ωABAB .. IA, tanto el módulo como el sentido. Como IA,sesecalcula calculaAB , definiendo tanto el módulo como el sentido. ωAB, definiendo Como vvBB == ωABAB .. IB, tanto el módulo como el sentido. Como IB,sesecalcula calculavBv,Bdefiniendo , definiendo tanto el módulo como el sentido. Se podría calcular calcularlalavelocidad velocidaddedecualquier cualquier punto biela mediante el producto punto dede la la biela AB,AB, mediante el producto del por la distancia de I a dicho punto, definiendo tanto el módulo como el del módulo ω por la distancia de I a dicho punto, definiendo tanto el módulo como el sentido de módulo de de AB AB sentido de la velocidad. la velocidad. ⊥ vB ⊥ vA I ω AB vA A 45 MANUALES UEX O 52 ω OA B vB Obsérvese que, obviamente, un eslabón que realiza un movimiento de rotación tendrá un Obsérvese que, obviamente, un que realiza de rotación tendrá un Obsérvese que,que obviamente, un eslabón eslabón quepermanente. realiza un un movimiento movimiento tendrá un centro de rotación no es instantáneo, sino Es el caso dedelarotación manivela OA del centro de rotación que no es instantáneo, sino permanente. Es el caso de la manivela OA del centro rotación que no es instantáneo, sino permanente. Es el caso de la manivela OA del ejemplodeanterior. ejemplo anterior. ejemplo anterior. Un eslabónque querealiza realiza un movimiento de traslación tiene su instantáneo centro instantáneo de Un eslabón un movimiento de traslación tiene su centro de rotación Un eslabón que realiza un movimiento de traslación tiene su centro instantáneo de rotación en el infinito. Por ello: en el infinito. ello: Por ello: rotación en elPor infinito. ω = ω = v vv= 0 ∞= 00 ∞ es decirque que el eslabón no posee velocidad como sería casodeldel pistón del es decir no posee velocidad angular,angular, como sería el caso del el ejemplo. es decir queel eslabón el eslabón no posee velocidad angular, como sería elpistón caso del pistón del ejemplo. ejemplo. • Ejemplo: la figura representa un mecanismo45de leva con seguidor de rodillo, en el que la un mecanismo de leva con seguidor de rodillo, en el que la •velocidad Ejemplo: la figura angular de larepresenta leva ω es conocida. Si se aplican los pasos descritos en el método velocidad angular de la leva ωOA OA es conocida. Si se aplican los pasos descritos en el método empleado en el ejemplo anterior, se podrá calcular el centro instantáneo I del rodillo, y a empleado en el ejemplo anterior, se podrá calcular el centro instantáneo I del rodillo, y a partir de él, la velocidad del seguidor v B . Debe notarse que se considera que el movimiento ÍNDICE partir de él, la velocidad del seguidor vB . Debe notarse que se considera que el movimiento entre leva y rodillo es de rodadura. entre leva y rodillo es de rodadura. ω = v = 0 ∞ DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA es decir que el eslabónCINEMÁTICA no posee velocidad angular, como sería YelPROBLEMAS caso del RESUELTOS pistón del ejemplo. • Ejemplo: la figura representa un mecanismo de leva con seguidor de rodillo, en el que la velocidad angular de la leva ωOA es conocida. Si se aplican los pasos descritos en el método empleado en el ejemplo anterior, se podrá calcular el centro instantáneo I del rodillo, y a partir de él, la velocidad del seguidor vB . Debe notarse que se considera que el movimiento entre leva y rodillo es de rodadura. seguidor I ωrodillo = ωAB vA B vseguidor = vB A ⊥ vA ωleva = ωOA O 3.3. MÉTODOS ANALÍTICOS 46 Este tipo de método puede abordarse basándose principalmente en tres enfoques matemáticos distintos: el análisis trigonométrico, la resolución vectorial y el método de números complejos. En cualquiera de los casos la base del método consiste en plantear las ecuaciones de lazo o de cierre del mecanismo, que sostienen las relaciones vectoriales entre las variables cinemáticas de los distintos puntos del mecanismo. 3.3.1. Análisis trigonométrico Este método consiste en definir las ecuaciones paramétricas de posición del punto de interés cuya cinemática se quiere obtener, y deducir por derivación sucesiva respecto del MANUALES UEX Los métodos analíticos permiten obtener una expresión matemática de las variables de posición, velocidad y aceleración de los eslabones de salida del mecanismo en función de las variables que describen el movimiento de los eslabones de entrada. De este modo se tiene el análisis cinemático para cualquier posición del mecanismo a lo largo de todo el ciclo completo de movimiento. 53 ÍNDICE MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN tiempo aceleración Asimismo, de dicho punto. Observar que, si estar el mecanismo un al gradoladevelocidad libertad dely mecanismo. dichas ecuaciones deben escritas entiene función grado libertad, conocidos las ecuaciones de posicióncomo estarán expresadas enyfunción de la de de los de parámetros del mecanismo, posición genérica dimensión devariable los eslabo‐ entrada correspondiente al grado de libertad mecanismo. Asimismo, dichas ecuaciones nes, o datos sobre la cinemática del elemento de del entrada. deben estar escritas en función de los parámetros conocidos del mecanismo, como posición Una vez que se tienen determinadas ecuaciones posición, velocidad y aceleración del genérica y dimensión de los eslabones, olasdatos sobre ladecinemática del elemento de entrada. punto de interés en función de la variable de entrada, se dan valores a dicho parámetro para Una vez que se tienen determinadas las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración del estudiar las posiciones deseadas. De este modo, se pueden discretizar los valores del parámetro punto de interés en función de la variable de entrada, se dan valores a dicho parámetro para de entrada con incrementos constantes y obtener valores para el ciclo de movimiento completo. estudiar las posiciones deseadas. De este modo, se pueden discretizar los valores del parámetro de entrada con salvo incrementos constantes y obtener valores para elen ciclo de movimiento completo. En general, excepciones, con este método se obtienen muchas ocasiones ecuaciones complicadas difíciles de manejar o derivar. En general, salvo excepciones, con este método se obtienen en muchas ocasiones ecuaciones complicadas de manejardeo yugo derivar. Ejemplo: obsérvesedifíciles que el mecanismo escocés de la figura, en el que la manivela gira con una velocidad angular , posee un grado de libertad. Por tanto, necesita fijar un • Ejemplo: obsérvese queconstante el mecanismo de yugo escocés de la figura, en elseque la manivela solo parámetro para llevarlo a una posición determinada. gira con una velocidad angular constante w, posee un grado de libertad. Por tanto, se necesita fijar un solo parámetro para llevarlo a una posición determinada. Horquilla Manivela Longitud = r Cilindro Pistón MANUALES UEX x 54 Si se considera como parámetro de entrada variable el ángulo θ que forma la manivela considerasecomo parámetro variable el ángulovelocidad θ que forma la manivela con Sila se horizontal, pueden calcular de las entrada ecuaciones de posición, y aceleración de con la horizontal, se pueden calcular las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración de la horquilla en función dicho parámetro, obtener el susángulo valores paraforma cualquier posición Si se considera comode parámetro de entraday variable que la manivela condel la la horquilla en función de dicho parámetro, y obtener sus valores para cualquier posición del θ. Asimismo, estas ecuaciones dependerán valores constantes como mecanismosedada por calcular horizontal, pueden las ecuaciones de posición, velocidad de y aceleración de la horquilla estas ecuaciones de valores mecanismo la velocidad angular deθ. laAsimismo, manivela, y la sus longitud ladependerán misma. en función dedada dichopor parámetro, y obtener valoresdepara cualquier posición delconstantes mecanismocomo dada la velocidad angular de la manivela, y la longitud de la misma. . través Asimismo, estas ecuaciones dependerán de valores constantes como la velocidad angular por A de la figura anterior se obtiene la expresión de la posición de la horquilla, que se de laAmanivela, ylala figura longitud de la misma. través anterior se la expresión posición de la horquilla, que se encuentra ende traslación, respecto deobtiene la articulación fija dedelalamanivela: encuentra en traslación, respecto de la articulación fija de la manivela: A través de la figura anterior se obtiene lax =expresión r . cos θ de la posición de la horquilla, que se en‐ cuentra en traslación, respecto de la articulación de θ la manivela: x = rfija . cos Derivando la expresión anterior respecto del tiempo se obtiene fácilmente la velocidad de Derivando la expresión anterior respecto x =del r . tiempo cos se obtiene fácilmente la velocidad de la horquilla: la horquilla: dx dθ se obtiene fácilmente la velocidad de la Derivando la expresión anterior delθ tiempo v = respecto = - r . sen = - r . ω . senθ ⋅ dx dθ dt horquilla: v= = - r . senθ ⋅ dt = - r . ω . senθ dt dt Análogamente, derivando la expresión de la velocidad respecto del tiempo se calcula la Análogamente, derivando la expresión de la47velocidad respecto del tiempo se calcula la aceleración: aceleración: dv dθ a= = - r . ω . cosθ ⋅ dv dθ dt a= =ÍNDICE - r . ω . cosθ ⋅ dt dt dt cuya expresión final paramétrica es: x = r . cos θ Derivando la expresión anterior respecto del tiempo se obtiene fácilmente la velocidad de la horquilla: dx d v= = ‐ r . sen = ‐ r . ..TEORÍA sen Y PROBLEMAS RESUELTOS CINEMÁTICA PLANOS dt DE MECANISMOS dx ddtθ v= dt = - r . senθ ⋅ dt = - r . ω . senθ Análogamente, derivando la expresión de la velocidad respecto del tiempo se calcula la acele‐ Análogamente, derivando la expresión de la velocidad respecto del tiempo se calcula la ración: aceleración: dv d a = dv = ‐ r . . cos dθ dt a= = - r . ω . cosθ ⋅ dt dt dt cuya expresión final paramétrica es: cuya expresión final paramétrica es: a = ‐ r . 2 . cos a = - r . ω2 . cos θ • Ejemplo: de de la figura, se desea determinar la posición, velo‐ Ejemplo: en en elelmecanismo mecanismodedebiela‐manivela biela-manivela la figura, se desea determinar la posición, cidad y aceleración del pistón para cualquier posición. El mecanismo posee un grado de libertad, velocidad y aceleración del pistón para cualquier posición. El mecanismo posee un grado de por lo quepor se lo necesita un solofijar parámetro llevarlopara a unallevarlo posicióna una determinada. libertad, que seentonces necesitafijar entonces un solopara parámetro posición queelforma la manivela con la la Si se consideraSicomo parámetro de entrada variable el ángulo θ que forma determinada. se considera como parámetro de entrada variable ángulo horizontal, se pueden calcularselas ecuaciones de las posición, velocidad y aceleración del pistón en manivela con la horizontal, pueden calcular ecuaciones de posición, velocidad y acelefunción de pistón dicho parámetro, sus valores ypara cualquier posiciónpara a locualquier largo del posiciclo ración del en función ydeobtener dicho parámetro, obtener sus valores cinemático. ción a lo largo del ciclo cinemático. Biela Longitud = Longitud = Manivela Longitud = r θ Cilindro φ 48 x Pistón partir de de las laslongitudes longitudesconocidas conocidasdedela la biela la manivela se puede deducir la siguienAA partir biela y lay manivela se puede deducir la siguiente ex‐ te expresión para determinar la posición x del pistón respecto de la articulación de la presión para determinar la posición x del pistón respecto de la articulación de la manivela:manivela: x = r . cos + x = r . cosθ + . cos . cosφ Nótese que la expresión anterior debe estar en función de un único parámetro variable. Pues‐ Nótese que la expresión anterior debe estar en función de un único parámetro variable. to que se ha seleccionado como parámetro el ángulo que forma la manivela con la horizontal, se Puesto que se ha seleccionado como parámetro el ángulo θ que forma la manivela con la debe expresar el ángulo que forma la biela con la horizontal en función de horizontal, se debe expresar el ángulo φ que forma la biela con la horizontal en función de θ : Sustituyendo x entre Sustituyendo la la expresión expresiónanterior anterior en en lalaecuación ecuacióndedeposición, posición,seseobtiene obtienelaladistancia distancia x en el pistón y el centro de rotación de la manivela en función de tre el pistón y el centro de rotación de la manivela en función de θ : x r . cos θ + = r 48 . 1 - ⋅ senθ 2 La expresión anterior debe derivarse respecto del tiempo para obtener la velocidad y aceleración del pistón. Puede comprobarse que las expresiones obtenidas son demasiado complejas y difíciles de manejar, incluso para un mecanismo sencillo como es el biela-manivela. Por ello, el análisis trigonométrico sólo se utiliza en casos muy concretos, como puede ser el caso del mecanismo de yugo escocés presentado ÍNDICEanteriormente. MANUALES UEX r = r sen = sen senθ senφ 55 Sustituyendo la expresión anterior en la ecuación de posición, se obtiene la distancia x entre el pistón y el centro de rotación de la manivela en función de θ : MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN r x r . cos θ + . 1 - ⋅ senθ = 2 La expresión anterior debe derivarse respecto del tiempo para obtener la velocidad y aceleración del pistón. Puede comprobarse que las expresiones obtenidas son demasiado complejas y difíciles de manejar, incluso para un mecanismo sencillo como es el biela-manivela. Por ello, el análisis trigonométrico sólo se utiliza en casos muy concretos, como puede ser el caso del mecanismo de yugo escocés presentado anteriormente. 3.3.2. Álgebra vectorial Este método consiste en la resolución de las ecuaciones vectoriales de velocidad y aceleración estudiadas en el tema anterior introductorio sobre la cinemática del sólido rígido, lo cual se puede lograr mediante la descomposición de cada uno de los vectores según los ejes x e y. De este modo, se dispone de dos ecuaciones escalares de velocidad (para la determinación de dos incógnitas de velocidad del problema), y análogamente dos ecuaciones escalares de aceleración (para obtener otras dos incógnitas de aceleración). Dichas ecuaciones deben estar expresadas en función de las variables de entrada para poder ser resolubles en cualquier posición. A continuación se desarrolla el método vectorial para un mecanismo de biela-manivela, planteando las ecuaciones a través de las cuales se obtienen la posición, velocidad y aceleración del pistón para cualquier posición del mecanismo. • Ejemplo: en el mecanismo de biela-manivela49de la siguiente figura, la manivela gira a una angular ω OA sentido antihorario. •velocidad Ejemplo: en el constante mecanismo deen biela-manivela de la siguiente figura, la manivela gira a una velocidad angular constante ω OA en sentido antihorario. A A ωOA O ωOA O MANUALES UEX • 56 B θ φ θ φ B Posición • Posición Empleando relaciones trigonométricas se pueden expresar dos ecuaciones con dos incógnitas,Empleando para obtener así el ángulo φ que forma la bielaexpresar y la posición x del pistóncon respecto a O, relaciones trigonométricas se pueden dos ecuaciones dos incógen cualquier posición definida por el ángulo θ : nitas, para obtener así el ángulo φ que forma la biela y la posición x del pistón respecto a O, en cualquier posición definida porOA el ángulo θ: AB . senφ . senθ = φ . senθ = AB . sen φ φ xφ x OA = OA . cosθ + AB . cos • Velocidad x = OA . cosθ + AB . cosφ x • Velocidad Puesto que la manivela OA se encuentra en rotación pura alrededor de O, se puede calcularPuesto la velocidad del punto OA A enselaencuentra forma: en rotación pura alrededor de O, se puede calque la manivela A en la forma: cular la velocidad v A del =ωpunto OA × rA/O =( ωOA k ) × ( OA . cos θ i + OA . senθ j ) = v= rA/O. sen . cos θ i + OA . senθ j ) = =θωiOA+k OAÍNDICE × . (ωOA - ωOA A = OA .×ωOA OA . cos θ j = - OA . ωOA . senθ i + OA . ωOA . cos θ j ( ) nitas, para obtener así el ángulo φ que forma la biela y la posición x del pistón respecto a O, en cualquier posición definida por el ángulo θ: OA .DE senθ = AB . sen φ φ Y PROBLEMAS RESUELTOS CINEMÁTICA MECANISMOS PLANOS . TEORÍA x = OA . cosθ + AB . cosφ x • Velocidad Puesto que la manivela OA se encuentra en rotación pura alrededor de O, se puede calcular la velocidad del punto A en la forma: v A =ωOA × rA/O = ωOA k × ( OA . cos θ i + OA . senθ j ) = = - OA . ωOA . senθ i + OA . ωOA . cos θ j ( ) El pistón B se encuentra en traslación, realizando siempre un movimiento alternativo en la dirección horizontal. Suponiendo su movimiento en el sentido positivo del eje x se tiene: vB = vB i Nótese que v B es una incógnita del problema, y en la resolución se puede obtener un valor negativo o positivo. Un valor negativo indica que el sentido real de la velocidad en esa posición será contrario al supuesto y, al contrario, un valor positivo indica que el movimiento se produce en el mismo sentido. Los puntos A y B pertenecen al mismo eslabón, es decir, la biela, y por tanto se pueden relacionar las velocidades absolutas de ambos puntos a través de la velocidad relativa de rotación de uno respecto de otro. La biela se encuentra realizando un movimiento plano general que consta de una traslación más una rotación con una velocidad angular variable ω AB desconocida, que se supondrá en sentido antihorario. Si al resolver las ecuaciones el valor de ω AB es negativo, esto indica que el giro real de la biela en el instante considerado sería en sentido horario. La velocidad relativa v B/A de B respecto de A viene dada por la exsería en sentido horario. La velocidad relativa v B/A de B respecto de A viene dada por la expresión: presión: 50 AB x rB/A = ωAB k × ( AB . cos φ i - AB . senφ j ) = ω . cos i AB . sen j) = ωAB x rB/A = ωAB k × ( AB φ φ = AB . ωAB . senφ i + AB . ωAB . cos φ j = AB . ωAB . senφ i + AB . ωAB . cos φ j (( )) Sustituyendo la velocidad relativa anterior en la siguiente expresión vectorial que relacioSustituyendo la velocidad relativa anterior en la siguiente expresión vectorial que relaciona las velocidades absolutas de A y B: na las velocidades absolutas de A y B: x rB/A v B = v A + ω vB = v A + ωAB AB x rB/A x v B = - OA . ω OA .senθ + AB . ω AB . senφ x v B = - OA . ω OA .senθ + AB . ω AB . senφ y 0 = OA . ωOA . cosθ + AB . ωAB . cosφ y 0 = OA . ωOA . cosθ + AB . ωAB . cosφ vB vB ωAB ωAB • • Aceleración Aceleración Puesto que la manivela OA se encuentra en rotación pura alrededor de O con velocidad Puesto que la manivela OA se encuentra en rotación pura alrededor de O con velocidad angular constante ωOA, el punto A sólo tiene aceleración normal en la dirección radial: angular constante ωOA, el punto A sólo tiene aceleración normal en la dirección radial: OA × ( ω OA × rA/O ) = ωOA k × ωOA k × ( OA . cosθ i + OA . senθ j ) = aA =ω aA =ωOA × ( ωOA × rA/O ) = ωOA k × ωOA k × ( OA . cosθ i + OA . senθ j ) = = - OA . ω22OA . cosθ i - OA . ω22OA . senθ j = - OA . ωOA . cosθ i - OA . ωOA . senθ j (( )) (( )) Tal y como ya se ha señalado, el pistónÍNDICE B se encuentra en traslación alternativa, realizanTal y como ya se ha señalado, el pistón B se encuentra en traslación alternativa, realizando siempre un movimiento horizontal. Si se supone una aceleración de B en el sentido positido siempre un movimiento horizontal. Si se supone una aceleración de B en el sentido positivo del eje x se tiene la expresión: MANUALES UEX se obtiene una ecuación vectorial en el plano que, desarrollada según sus componentes x e y, se obtiene una ecuación vectorial en el plano que, desarrollada según sus componentes x e y, proporciona dos ecuaciones escalares a partir de las cuales se despejan las incógnitas de proporciona dos ecuaciones escalares a partir de las cuales se despejan las incógnitas de velocidad v B y ω AB : velocidad v B y ω AB : 57 y 0 = OA . ωOA . cosθ + AB . ωAB . cosφ • ωAB Aceleración MANUEL REINO GLORIA MARÍN en rotación pura alrededor de O con velocidad Puesto que FLORES, la manivela OAGALÁN se encuentra angular constante ωOA, el punto A sólo tiene aceleración normal en la dirección radial: aA =ωOA × ( ωOA × rA/O ) = ωOA k × ωOA k × ( OA . cosθ i + OA . senθ j ) = = - OA . ω2OA . cosθ i - OA . ω2OA . senθ j ( ) ( ) Tal y como ya se ha señalado, el pistón B se encuentra en traslación alternativa, realizando siempre un movimiento horizontal. Si se supone una aceleración de B en el sentido positivo del eje x se tiene la expresión: aB = aB i La biela AB se encuentra realizando un movimiento plano general con una aceleración angular variable αAB desconocida, que se supondrá en sentido antihorario. Puesto que los puntos A y B pertenecen al mismo eslabón, se pueden relacionar las aceleraciones absolutas de ambos puntos a través de la aceleración relativa debida a la rotación de uno respecto de otro: aB/A = αAB × rB/A + ωAB × ( ωAB × rB/A ) = = αAB k × ( AB . cos φ i - AB . senφ j ) + + ωAB k × ωAB k × ( AB . cos φ i - AB . senφ j ) = = ( AB . αAB . senφ i + AB . αAB . cos φ j ) + ( - AB . ω2AB .cos φ i + AB . ω2AB . senφ j ) ( {( ) ) ( ) } Sustituyendo la aceleración relativa anterior en la siguiente expresión vectorial que rela51 ciona las aceleraciones absolutas de A y B: aB = aA + ( αAB × rB/A ) + ωAB × ( ωAB × rB/A ) se obtiene una ecuación vectorial en el plano que, desarrollada según sus componentes x e y, proporciona dos ecuaciones escalares a partir de las cuales se despejan las incógnitas de aceleración aB y αAB: x aB = - OA . ωOA2. cosθ + AB . αAB . senφ - AB . ωAB2. cosφ MANUALES UEX y 0 = - OA . ωOA2. senθ + AB . αAB . cosφ + AB . ωAB2. senφ aB αAB Puede observarse que, incluso en un mecanismo tan sencillo, el cálculo y desarrollo de las relaciones vectoriales para obtener las ecuaciones escalares puede resultar en ocasiones complicado. Por ello, en la resolución sistemática de ejercicios planteados en el próximo capítulo, se aplicará el método de los números complejos que se propone a continuación, el cual facilita el manejo de las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración aplicables a cualquier posición. Hay que tener en cuenta que bajo el método de los números complejos subyace siempre el álgebra vectorial, pues al establecer las ecuaciones de cierre o de lazo del mecanismo se establecen relaciones de velocidades y aceleraciones entre puntos del mismo. 58 3.3.3. Análisis mediante números complejos.ÍNDICE Ecuaciones de lazo. Como en el resto de métodos analíticos, a través de este método se obtienen las ecuacio- CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 3.3.3. Análisis mediante números complejos. Ecuaciones de lazo. 3.3.3. Análisis mediante números complejos. Ecuaciones de lazo. lazo. 3.3.3. Análisis mediante números complejos. Ecuaciones de lazo. 3.3.3. Análisis mediante números complejos. Ecuaciones de Como en el resto de métodos analíticos, a través de este método se obtienen las ecuaciones Como en en el resto resto de de métodos analíticos, través de este esteeste método se obtienen obtienen las ecuaciones ecuaciones Como el resto métodos analíticos, a través método se del obtienen las ecuacioComo en el de analíticos, aa través de método se las de posición, velocidad y métodos aceleración de los elementos y de puntos de interés mecanismo para de posición, velocidad y aceleración de los elementos y puntos de interés del mecanismo para nes de posición, velocidad ydeaceleración de los elementos y puntos de interés del mecanismo de posición, velocidad y aceleración de los elementos y puntos de interés del mecanismo para cualquier valor de las variables entrada. cualquier valor de de valor las variables variables de entrada. entrada.de entrada. para cualquier de las variables cualquier valor las de La base del método son las ecuaciones de cierre o ecuaciones de lazo del mecanismo, que se LaLa base deldel método sonson las ecuaciones ecuaciones de cierre cierre ecuaciones de lazo lazo de dellazo mecanismo, que se se base método lasque ecuaciones delos cierre o ecuaciones del mecanismo, La base del método las de oo diferentes ecuaciones de del mecanismo, que obtienen planteando losson vectores representan lazos o cierres formados por las obtienen planteando los vectores que representan los diferentes lazos o cierres formados por las que se planteando vectores que representan loslas diferentes lazos oposición, cierresporformaobtienen planteando losA vectores representan lossediferentes lazos o cierres formados las barras delobtienen mecanismo. través los deque estas ecuaciones obtienen ecuaciones de deri‐ barras del las mecanismo. A mecanismo. través de de estas estas ecuaciones se obtienen obtienen las se ecuaciones de posición, deri‐de dos por barras del A través de estas ecuaciones obtienen las ecuaciones barras del mecanismo. A través ecuaciones se las ecuaciones de posición, deri‐ vando las ecuaciones de posición se obtienen las de velocidad, y análogamente derivando las de vando las ecuaciones ecuaciones de de posición se obtienen obtienen las de dese velocidad, análogamente derivando las de de posición, de posición obtienenyy las de velocidad, y análogamenvando las se las velocidad, análogamente derivando las velocidad sederivando deducen laslasposición deecuaciones aceleración. velocidad se deducen las de aceleración. te derivando las delas velocidad se deducen las de aceleración. velocidad se deducen de aceleración. En mecanismos sencillos, normalmente bastará con plantear un cierre para resolver la cine‐ En mecanismos sencillos, normalmente bastará con plantear plantear un cierre cierre para resolver resolver la cine‐ cine‐ mecanismos sencillos, normalmente bastará con plantear un cierre para dos resolver EnEnmecanismos sencillos, bastará con un para la mática. Cuando se trata de unnormalmente mecanismo más complejo, a veces es necesario plantear o másla mática. Cuando se trata de un mecanismo más complejo, a veces es necesario plantear dos o más mática. Cuando se trata delazo. un mecanismo más complejo, a veces es necesario dos plantear o más cinemática. Cuando trata de un mecanismo más complejo, a veces esplantear necesario ecuaciones de cierre o dese ecuaciones de cierre o de lazo. ecuaciones cierre o de lazo. dos o másdeecuaciones de cierre o de lazo. A la hora de determinar el número necesario de ecuaciones de cierre para resolver la cinemá‐ A la hora hora de de determinar el el número número necesario necesario de de ecuaciones ecuaciones de de cierre cierre para para resolver resolver la la cinemá‐ cinemá‐ Aun la mecanismo, hora determinar de determinar el número necesario de ecuaciones de cierre para resolver tica Adela se ha de tener en cuenta que cada ecuación vectorial de cierre resuelvela tica de un mecanismo, se ha de tener en cuenta que cada ecuación vectorial de cierre resuelve tica de un mecanismo, se ha tener que cada ecuación devectorial cierre resuelve cinemática de mecanismo, se haen decuenta tener en cuenta cada vectorial ecuación de cierre dos incógnitas deun posición, sude derivada dos de incógnitas deque velocidad y su segunda derivada dos dos incógnitas incógnitas de de posición, posición, su su derivada derivada dos dos de de incógnitas incógnitas de de velocidad velocidad yy su su segunda segunda derivada derivada dos dos dos resuelve de dosaceleración. incógnitas En de este posición, su se derivada dos de incógnitas de velocidad y su segunda sentido, debe comprobar que el número de incógnitas coin‐ incógnitas de aceleración. aceleración. En En este este sentido, sentido, se debe debe comprobar que que el el número número de de incógnitas coin‐ coin‐ incógnitas de incógnitas cida con el número de ecuaciones escalaresse disponibles. derivada dos incógnitas de aceleración. En estecomprobar sentido, se debe comprobarincógnitas que el número cida con el número de ecuaciones escalares disponibles. cida el número de ecuaciones escalaresde disponibles. decon incógnitas coincida con el número ecuaciones escalares disponibles. Obsérvese que, en el caso más frecuente, en el que el mecanismo tenga un grado de libertad Obsérvese que, en el caso más frecuente, en el el que que el el mecanismo tenga tenga un un grado grado de de libertad libertad Obsérvese que,que, en elen caso más en se verifica: (m=1), y todos los pares sean un frecuente, grado de libertad (j2=0) Obsérvese el de caso más frecuente, en el mecanismo que el mecanismo tenga un grado de =0) se verifica: (m=1), y todos los pares sean de un grado de libertad (j verifica: (m=1), y todos los pares sean un grado (j22=0) libertad (m=1), y todos losdepares sean de delibertad un grado de se libertad (j2=0) se verifica: de donde se deduce que: dede donde se deduce deduce que:que: donde se deduce de donde se que: 1 3 n 1 2j 1 3 n 1 2j1 1 3 n 1 2j11 4 3n 2j 4 3n 2j1 4 3n 2j11 lo queque implica que, forzosamente, el número de eslabones n debe ser par. En este caso, el número implica forzosamente, el número de eslabones n debe sereste par.caso, En este caso, el lo lo que implica implica que,que, forzosamente, el número número de eslabones eslabones n debe debe ser ser par. En En el número número lo que que, forzosamente, el de n par. este caso, el NEnúmero de ecuaciones de lazo necesarias para resolver el mecanismo será: NE de ecuaciones de lazo necesarias para resolver el mecanismo será: NE de de ecuaciones ecuaciones de de lazo lazo necesarias necesarias para para resolver resolver el el mecanismo mecanismo será: será: NE puesto que,dedel delentrada, númerocuyos total de de eslabones se debe debe restar restar el eslabón eslabón deporque referencia fijo el esla‐ esla‐de eslabón datos son conocidos, ypor dividir por doscada cadafijo ecuación puesto número total eslabones nn se el de referencia yylazo el bón de que, entrada, cuyos datos son conocidos, y dividir dos porque ecuación de pro‐ bón de entrada, cuyos datos son conocidos, y dividir por dos porque cada ecuación de lazo pro‐ lazo proporciona dos incógnitas. bón de entrada, cuyos datos son conocidos, y dividir por dos porque cada ecuación de lazo pro‐ porciona dos incógnitas. porciona dos dos incógnitas. incógnitas. porciona realizar el planteamiento de las ecuaciones de lazo del mecanismo, hayolvidar que olvidar AlAl realizar el planteamiento de las ecuaciones de lazo del mecanismo, no haynoque que Al realizar el planteamiento de las ecuaciones de lazo del mecanismo, no hay que olvidar que que al derivar se obtienen en realidad relaciones entre las velocidades de puntos del mecanisAl realizar el planteamiento de relaciones las ecuaciones del mecanismo, no hay olvidar que al derivar se obtienen en realidad entredelaslazo velocidades de puntos del que mecanismo, las al mo, derivar secuales obtienen en realidad realidad relaciones entre las velocidades detravés puntosdel delálgebra mecanismo, las las deben coincidir siempre con alas lastravés obtenidas ade vectorial. al derivar se obtienen en relaciones entre velocidades puntos del mecanismo, las cuales deben coincidir siempre con las obtenidas del álgebra vectorial. Análogamente cuales deben coincidir coincidir siempre con las obtenidas obtenidasAaatravés travésdedel dellosálgebra álgebra vectorial. Análogamente Análogamente sucede conAlas aceleraciones. sucesivos resueltoslase cuales deben siempre con las través vectorial. Análogamente sucede con las aceleraciones. través de los sucesivos ejemplos resueltos se ejemplos mostrará siempre sucede con las aceleraciones. A través de los sucesivos ejemplos resueltos se mostrará siempre lade mostrará siempre la interpretación vectorial de lasejemplos derivadas ecuaciones de lazo ola sucede con las aceleraciones. través de se del mostrará siempre interpretación vectorial de las Aderivadas deloslassucesivos ecuaciones de lazoresueltos ode delas cierre mecanismo. interpretación vectorial de las derivadas de las ecuaciones de lazo o de cierre del mecanismo. cierre del mecanismo. interpretación vectorial de las derivadas de las ecuaciones de lazo o de cierre del mecanismo. Para facilitar las operaciones en las expresiones obtenidas, se sustituyen los vectores por nú‐ Para facilitar laslas operaciones en las las expresiones obtenidas, se sustituyen sustituyen los vectores vectores por nú‐ nú‐por Para facilitar operaciones enexponencial. las expresiones obtenidas, se obtiene sustituyen vectores Para facilitar las operaciones en expresiones obtenidas, se los por meros complejos expresados en forma De esta forma, se unalos notación más meros complejos expresados en forma exponencial. De esta forma, se obtiene una notación más números complejos expresados en forma exponencial. esta forma, se obtiene una notación meros complejos expresados en forma exponencial. De estaDeforma, se obtiene una notación más 52 52 52 ÍNDICE MANUALES UEX n2 NE n 2 NE n 2 2 NE 2 puestoque, que, número de eslabones se 2debe el eslabón de referencia y el puesto deldel número totaltotal de eslabones n se ndebe restarrestar el eslabón de referencia fijo y elfijo esla‐ 59 Análogamente sucede con las aceleraciones. A través de los sucesivos ejemplos resueltos se Para facilitar las operaciones en las expresiones obtenidas, se sustituyen los vectores por mostrará siempre la interpretación vectorial de las derivadas de las ecuaciones de lazo o de úmeros complejos expresados en forma exponencial. De esta forma, se obtiene una notación cierre del mecanismo. MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN más compacta y las derivadas se realizan más fácilmente. A continuación, separando la parte Para facilitar las operaciones en las expresiones obtenidas, se sustituyen los vectores por eal y la parte imaginaria, y planteando unensistema de ecuaciones, despejan lasuna incógnitas números complejos expresados forma exponencial. De esta se forma, se obtiene notación más compacta y las derivadas derivadas se realizan más fácilmente. A continuación, separando la parte parte ue se deseen calcular. Este método también recibe el nombre de método de Raven. se realizan A continuación, separando la real y la parte imaginaria, imaginaria, yy planteando planteando un un sistema sistema de de ecuaciones, ecuaciones, se se despejan despejan las las incógnitas incógnitas real Hay que tenerque ensecuenta que el Este espacio de los números complejos y el espacio que deseen calcular. calcular. Este métodovectorial también recibe el nombre de método de Raven. método también ectorial que formanHaylosque vectores en el que plano son isomorfos, lo que justifica queyy elel seespacio pueda que tener en en cuenta cuenta que espacio vectorial de de los los números números complejos espacio tener elel espacio vectorial complejos perar de forma indistinta con el vector o su número complejo equivalente. Por ello, con este forman los vectores vectores en el el plano plano son isomorfos, isomorfos, lo que que justifica justifica que se se pueda vectorial que forman los en son lo que pueda demismas forma indistinta indistinta vector su número número complejo Por ello, ello, con con este este operar forma con el vector oo su complejo equivalente. Por método se obtienen lasde expresiones y relaciones entre puntos que se obtendrían con se obtienen obtienen las las mismas mismas expresiones expresiones y relaciones relaciones entre puntos que se se obtendrían obtendrían con con método se l álgebra vectorial, pero sin necesidad de realizar productos vectoriales y con una operativa álgebra vectorial, vectorial, pero pero sin sin necesidad necesidad de de realizar realizar productos productos vectoriales y con una operativa operativa el álgebra mucho más sencilla. mucho más sencilla. En la se un ,, que un antihorario que forma forma un ángulo ángulo antihorario qθcon con la figura figuraun se representa representa un vector vector cualquiera cualquiera un ángulo antihorario con En la figura se representa vector cualquiera rA , que rAforma la horizontal yytiene módulo a.a.EnEnelelsistema dede coordela horizontal tiene módulo sistema Imaginaria a horizontal y tiene módulopresentado a. En el se sistema de coordecoordenadas la componadas presentado se define ladefine componente horizontal del Imaginaria adas presentadonente se define horizontal horizontal del vector como la parte realdel equivavector como la la componente parte real del número complejo Vector r del número complejo equivalente, análogaector como la parte real del número complejo equiva- vertical Vector r lente, y análogamente, se define la ycomponente A mente, se vertical del ente, y análogamente, se define definela lacomponente componente vertical A A A a vector como la parte imaginaria del número complejo asociado. θ Real a 53 del vector como la parte imaginaria del número complejo asociado. Por tanto, laparte notación empleada para complejo asociado. del del vector como la imaginaria del número del vector vector como como la la parte parte imaginaria imaginaria del del número número complejo complejo asociado. asociado. θ Real definir eltanto, número complejo es la siguiente: Por la notación empleada para definir el númeroasociado. complejo es la siguiente: del vector como la parte imaginaria del número complejo 53 del vector como la parte imaginaria del número complejo asociado. Por tanto, la notación empleada para definir el número complejo es la siguiente: del vector como la parte imaginaria del número complejo asociado. Por tanto, la notación empleada para definir el número complejo es la siguiente: Por tanto, la notación empleada para definir el número complejo es la siguiente: Por tanto, la notación el número la rA = a= .empleada e j.j.j.θθθ a . para (cosθdefinir + j . sen θ) = a .complejo cosθ + a es . sen θsiguiente: .j Por tanto, la notación empleada el la rrA aa= ..empleada e aa .. para (cos θdefinir + j . sen θ ) = a .complejo cos θ+ a es .. sen .. jj Por tanto, la= notación el número número la θθθsiguiente: siguiente: (cos cos = + θ = a= = . ee j.j.θθ a . para (cosθ θdefinir + jj .. sen sen θ)) == aa ..complejo cosθ θ+ + aa es . sen sen .j rAA j.θ = r a = . e a . (cos θ + j . sen θ ) = a . cos θ + a . sen θ .. jj A r a . e a . (cos j . sen ) = a . cos a . sen = = θ + θ θ + θ j.θ pueda evaluarse numéricamente, se utiliza simplemente . Aunque j no como donde j= −1 = A rA a= e pueda a . (cos senθ) = a . cosθse a . senθsimplemente .j θ + j .numéricamente, + utiliza jjj . no evaluarse como donde jjj=== −−−111 ... Aunque Aunque no pueda evaluarse numéricamente, se utiliza simplemente como donde Aunque no pueda evaluarse numéricamente, se utiliza simplemente como donde operador. . Aunque j no pueda evaluarse numéricamente, se utiliza simplemente como donde j = − 1 operador. . Aunque j no pueda evaluarse numéricamente, se utiliza simplemente como donde j = − 1 operador. operador. donde j= −1 . Aunque j no pueda evaluarse numéricamente, se utiliza simplemente como A continuación, se desarrolla la determinación de la velocidad del punto A, a través de la operador. operador. A se la determinación de la velocidad operador. A continuación, continuación, sededesarrolla desarrolla la determinación dedel la tiempo: velocidad del del punto punto A, A, aaa través través de de la la A continuación, desarrolla determinación la velocidad del punto A, través de la derivación del vectorse posición la complejo respectode derivación del vector de posición complejo respecto del tiempo: A continuación, se desarrolla la determinación de la velocidad del punto A, a través de la derivación del vector vectorsede dedesarrolla posición la complejo respectodedel del tiempo: A continuación, determinación la velocidad del punto A, a través de derivación del posición complejo respecto tiempo: A continuación, sededesarrolla la determinación dedel velocidad del punto A, a través de la la j.θ j.θla tiempo: vector derivación del posición complejo respecto d( ade . eposición d( edel derivación del respecto ) dacomplejo ) tiempo: j.j.θ j.j.θ A vector dr da j.θ j.θ j.θ θ θ tiempo: d ade . eposición d edel derivación del vector complejo respecto MANUALES UEX v A= vv A== v AA= vv A== v AA= 60 drA dr dr dtAA dr dtA dt dr dt drAA dt dt dt = == = == = (eej.θ )) == da da ⋅ e j.j.θθ + a ⋅ d da ⋅ e j.j.θθ + a . ω . j . e j.j.θθ d .. ee j.θ )) = da d(( aadt da aa ⋅⋅ d(dt a . ω .. jj .. ee j.θ == da j.θ dt ⋅⋅⋅ eee j.θ + dt ⋅⋅⋅ eee j.θ + + + θ j. a = + ⋅ + aa .. ω ω . j . e j.θ d a . e d ee j.j.j.θθθ ) == da ( dt dt dt dt da d( adt . e j.θ ) d θ j. j.θ dt dt dt dt da θ j.θ + a ⋅ d (dt j. dt dt d( a . e ) == da e e e ⋅ = ⋅ + ) da ⋅ e j.θ + a ⋅ da ⋅ e j.θ + aa .. ω = ω .. jj .. ee j.θ dt dt = dt ⋅e + a⋅ = dt ⋅ e + a . ω . j . e j.θ dt da dt dt dt da ⋅ θ + θ + ω θ + θ v= cos j . sen a . . j . cos j . sen ( dtθ + j . senθ)) + dt ( dt θ + j . senθ)) A dt da da = a . ω .. jj .. (( cos dt ⋅⋅⋅ ((( cos A vvv= cos A θ + + jj .. sen θ )) + + aa .. ω ω . j . ( cos θ + + jj .. sen θ )) cosθ senθ cosθ senθ dt A = da dt da dt ⋅ θ + θ + ω θ + θ vv= cos j . sen a . . j . cos j . ( ) ( da ⋅ ( cosθ + j . senθ ) + a . ω . j . ( cosθ + j . sen A = θ )) sen A dt 1 ,v= se obtiene la siguiente expresión absoluta θ + j . sen θ ) + a . que ω . j proporciona θ) . ( cosθ + j . la senvelocidad dt ⋅ ( cos 111 ,,, Ase obtiene la siguiente expresión que proporciona la velocidad dt se la absoluta se obtiene obtiene la siguiente siguiente expresión expresión que que proporciona proporciona la la velocidad velocidad absoluta absoluta Como j222 = − Como j2 = Como = Como = −−− de un puntojj2 cualquiera A: 2 de un punto cualquiera A: Como = −− 11 ,, se obtiene la siguiente expresión que proporciona la velocidad absoluta de punto A: Como = se obtiene la de un un puntojjj2 cualquiera cualquiera A: Como = − 1 , se obtiene la siguiente siguiente expresión expresión que que proporciona proporciona la la velocidad velocidad absoluta absoluta de un punto cualquiera da da A: de un punto cualquiera A: da ω ω v A da cos sen . j a . . sen a . . cos . j = ⋅ θ + ⋅ θ + θ + θ [ ] de un punto cualquiera A: da da da vv A da - a . ω .. sen a . ω .. cos = θ + θ .. jj + θ + θ .. jj]] dt ⋅⋅⋅ cos dt ⋅⋅⋅ sen cos sen = ω . sen ω . cos v AA da cosθ senθ senθ cosθ = θ + + da θ . j + + [[[ -- aa .. ω θ + + aa .. ω θ . j] dt dt dt dt da da dt ⋅⋅ cos dt ⋅⋅ sen ω ω vv A da .. jj + a . . sen a . . cos = θ + θ θ + θ [ da ω ω cos sen a . . sen a . . cos = θ + θ + θ + θ .. jj] [ A dt dt ⋅ senθse. jcorresponde v A real dt cosθ + complejo a . ω . cosθ x. j]]del vector = + [ - a . ω . sen donde la parte del⋅ número conθla+componente dt donde la parte real del número complejo se corresponde con la componente xxx del dt dt donde la parte parte real del dely lanúmero número complejo equivale se corresponde corresponde con la la componente componente del vector vector donde la real complejo se con del vector velocidad en el plano, parte imaginaria a la componente y. velocidad en el plano, y la parte imaginaria equivale a la componente y. donde la parte real del número complejo se corresponde con la componente x del vector vector velocidad en el plano, yy la parte imaginaria equivale aa la componente y. donde la parte real del número complejo se corresponde con la componente x del velocidad en el plano, la parte imaginaria equivale la componente y. donde la parte real dely lanúmero complejo sedelcorresponde con lalacomponente x del vector Derivando la expresión anterior respecto tiempo se obtiene aceleración de A: velocidad en el plano, parte imaginaria equivale a la componente y. velocidad en plano, yy la imaginaria equivale aa la componente y. Derivando la expresión anterior respecto del tiempo se obtiene la aceleración de A: velocidad en el ella la parte parte imaginaria lase y. Derivando expresión anterior respecto del obtiene de Derivando laplano, expresión anterior respectoequivale del tiempo tiempo secomponente obtiene la la aceleración aceleración de A: A: Derivando la expresión anterior respecto del tiempo se obtiene la aceleración de A: Derivando la expresión anterior respecto del tiempo se obtiene la aceleración de A: Derivando la expresión anterior respecto del tiempo se obtiene la aceleración de A: d22a aA= aaA== aAA= aaA== aAA= j.θ dv A A dv dv dv AA dt dv dt AA dt dv dt dv A dt dt da dt = == = == = d da d da ⋅ e j.j.j.θθθ d d da da dt dt ⋅⋅⋅ eee j.θ da dt dt d dt dt d da ÍNDICE dt dt ⋅⋅ ee j.j.θθ d da j.θ dt dt dt dt ⋅ e dtj.θ dt da + + + + + + + a . ω . j. e j.j.j.θθθ aa .. ω .. j.j. ee j.θ ω a . ω . j. e j.θ aa .. ω ω .. j.j. ee j.θ a . ω . j. e j.θ j.θ j.θ 2 2 j.θ dt dt dt dt real da da donde del⋅ número con donde la la parte parte del número complejo se. jcorresponde corresponde conθla la+componente componente del vector vector v A real cosθ + complejo a . ω . cosθ xx. j]del = ⋅ senθse + [ - a . ω . sen dt dt velocidad en el plano, y la parte imaginaria equivale a la componente y. velocidad en el plano, y la parte imaginaria equivale a la componente y. CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOScon . TEORÍAcomponente Y PROBLEMASx RESUELTOS donde la partela del número complejo Derivando expresión anterior respecto tiempo A: Derivando lareal expresión anterior respectosedel delcorresponde tiempo se se obtiene obtienelala la aceleración aceleración de dedel A: vector velocidad en el plano, y la parte imaginaria equivale a la componente y. Derivando la expresión anterior respecto del tiempo se obtiene la aceleración de A: dv A d j.θ j.θ dv d da da A = = dt dt ⋅⋅ ee j.θ + + aa .. ω ω .. j.j. ee j.θ dt dt dt dt dv A d da aA= = ⋅ e j.θ + a . ω . j. e j.θ 2 da 2a d da dt dt dt θ θ θ j. j. j. . j . e j.j.θθ + a . ω22 . j22 . e j.j.θθ da da aaA d a2 ⋅⋅ ee j.θ + = = + dt ⋅⋅ ω ω .. jj .. ee j.θ + + dt ⋅⋅ ω ω .. jj .. ee j.θ + + aa .. α α . j . e + a . ω . j . e A dt 2 dt dt dt 2 d a da da aA 2 ⋅ e j.θ + = ⋅ ω . j . e j.θ + ⋅ ω . j . e j.θ + a . α . j . e j.θ + a . ω2 . j2 . e j.θ yy por por tanto: tanto: dt dt dt 2 2 2a 2a d d da da aaA d a2 ⋅⋅ cos = θ + d a ⋅ senθ . j + - 2 ⋅ da ⋅ ω . senθ + 2 ⋅ da ⋅ ω . cos θ . j + = y por dt2 cos θ + dt22 ⋅ senθ . j + - 2 ⋅ dt ⋅ ω . senθ + 2 ⋅ dt ⋅ ω . cos θ . j + A tanto: dt dt dt dt 2 2 d a da da da aA 2 ⋅ cos θ + 2 ⋅ senθ . j + - 2 ⋅ = ⋅ 2ω . senθ + 2 2⋅ ⋅ ω . cos θ . j + dt dt dt dt 2 2 + α θ + α θ + ω θ ω θ a . . sen a . . cos . j a . . cos a . . sen . j ( ) + ( - a . α . senθ + a . α . cosθ . j ) + (( - a . ω . cos θ - a . ω . senθ . j )) aaA== A donde del xx del donde la la parte parte real del número número complejo complejo se se corresponde corresponde con con la la componente componente del vector vector + en + ( - a . ω2 . cos con θ - a . componente ω2 . senθ . j ) . α . senyθla+parte a . α . cos θ . j ) se ( - areal aceleración aceleración en el el plano, plano, y la parte imaginaria imaginaria se corresponde corresponde con la la componente y. y. donde la parte real del número complejo se corresponde con la componente x del vector aceleración en el plano, y la parte imaginaria se54 corresponde con la componente y. 54 Ejemplo: como aplicación del método se analizará la cinemática del mecanismo de cuatro Ejemplo: aplicación deldonde método se analizará de la los cinemática cuatro barras decomo la siguiente figura, las dimensiones eslabonesdel sonmecanismo conocidas. de Suponemos que eslabón figura, de entrada (barra 2), tiene54unadelongitud a y girason conconocidas. una velocidad y barras de laelsiguiente donde las dimensiones los eslabones Suponemos que el eslabón de entrada (barra 2), ω2 ytiene α2. una longitud a y gira con una velocidad y aceleración angular variables conocidas aceleración angular variables conocidas ω2 y α2. A través de las ecuaciones de lazo y el análisis mediante números complejos, se calculará la A relación variables cinemáticas los eslabones denúmeros salida (barras 3 y 4) yselas variatravés entre de laslas ecuaciones de lazo y elde análisis mediante complejos, calculará de entrada relativas a la barra 2. De este modo, las expresiones lables relación entre las variables cinemáticas de los eslabones de salidaobtenidas (barras 3 deben y 4) y permitir las variacalcular, para cualquier la posición, velocidad angular deben y aceleración bles de entrada relativas aposición la barradel 2. mecanismo, De este modo, las expresiones obtenidas permitir angular de los eslabones 3 y 4 en función de los valores del eslabón 2. calcular, para cualquier posición del mecanismo, la posición, velocidad angular y aceleración angular de los eslabones 3 y 4 en función de los valores del eslabón 2. Vector R3 Longitud = b Vector R3 Longitud = a Longitud = c Vector R4 θ3 ω2 Longitud = c θ4 θ2 α ω22 θ4 θ2 α2 Vector R1 Longitud = d Vector R1 • MANUALES UEX Longitud = a Vector R2 Vector R4 θ3 Longitud = b Vector R2 Longitud = d Posición Se plantea la ecuación vectorial de cierre o de lazo del mecanismo siguiendo las barras • Posición del mecanismo: Se plantea la ecuación vectorial de cierre o de lazo del mecanismo siguiendo las barras del mecanismo: R2 + R3 = R1 ÍNDICE + R4 + R = R + Ra cada vector R se establece por convenio en Obsérvese que el ánguloRθ correspondiente 61 Longitud = d ω2 θ4 θ2 Vector R1 • α2 Posición Vector R1 • Posición Longitud = d Longitud = d Se plantea la ecuación vectorial de MARÍN cierre o de lazo del mecanismo siguiendo las barras MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN Vector R1 Se plantea la ecuación vectorial de cierre o de lazo del mecanismo siguiendo las barras del mecanismo: • Posición Longitud = d del mecanismo: • Posición R2 + R3 = R1 + R4 • Se Posición plantea la ecuación vectorial de cierre o de lazo del mecanismo siguiendo las barras siguiendo R2 + R = R1 +o Rde Se plantea la ecuación vectorial de3 cierre las barras 4 lazo del mecanismo sición del mecanismo: Se plantea de cierrea ocada de lazo delR mecanismo siguiendo las barras del Obsérvese mecanismo: correspondiente vector quelaelecuación ángulo θivectorial establece por convenio en i se del mecanismo: θ correspondiente a cada vector se establece por convenio en Obsérvese que el ángulo R i i plantea la ecuación vectorial de cierre o de lazo del mecanismo siguiendo las barras eje =origen sentido antihorario partiendo del R2Rx+en R3el R1R+ del R4 vector. R + = R + 3 x en1 el origen 4 sentido antihorario partiendo2 del eje del vector. ecanismo: que puede tomarse el sentido sesedesee, siempre que se en PorObsérvese parte, para cada vector R otra i cada vector establece por Obsérvese que ángulo Restablece que elelángulo qθi correspondiente aacada vector establece porconvenio convenio i correspondiente i se θ correspondiente a cada vector se por siempre convenio en se Obsérvese que el ángulo R puede tomarse el sentido que se desee, que otra parte, para cada vector i R RPor + R = R + R i i 2 3 1 4 considere correctamente el ángulodel que corresponda endel cada caso según el convenio estableensentido sentido antihorariopartiendo partiendo del eje x en el origen del vector. antihorario eje x en el origen vector. sentido antihorario partiendoel del eje xque en origen del vector. considere correctamente ángulo en cada caso según el convenio estable elcorresponda cido. θPor cada vector vector Ri se establece porelconvenio en se desee, siempre que se bsérvese que el ángulo puede tomarse sentido que otra parte, paraa cada i correspondiente cido. tomarse el sentido que se desee, siempre Por otra parte, para cada vector Ri puede tomarse sentido se desee, siempre que que se se Por parte, para cada vector Ri puede considere el que corresponda enelcomplejos cada casoque según el convenio establecido. o antihorario partiendo delotra ejecorrectamente x enla elecuación origen del vector. Expresando ángulo en términos de números se tiene: considere correctamente elángulo que corresponda en cada el convenio estableExpresando la ecuación en términos de números complejos se según tiene: considere correctamente el ángulo corresponda en cada casocaso según el convenio estable Expresando la ecuación j enque términos de números complejos se tiene: jθ jθ jθ jθ cido. r otra parte, para cada . e + bque . e se= desee, d . e siempre + c . e que se cido. vector R puede tomarse ela sentido 3 2 i 1 4 a . e jθ2 + b . e jθ3 = d . e jθ1 + c . e jθ4 ere correctamente el ángulo que corresponda en cada según convenio estable- se tiene: Expresando laexpresión ecuación en caso términos deelnúmeros complejos Desarrollando Expresando la la ecuación anterior: en anterior: términos de números complejos se tiene: Desarrollando la expresión expresión Desarrollando la anterior: jθ jθ jθ jθ 4 . e θ2 +) b=jθ3.d.(cos e 3 = θdjθ+1. ej . 1sen + θcjθ4.)e+ c.(cos a.(cos θ + j . senθ ) + b.(cos θ + jajθ. 2sen θ + j . senθ ) 2 3e 4 a3 . e son + biguales .se = sid coinciden . e1 + c . een1 la parte real presando la ecuación Como en términos de2 números complejos tiene: números complejos y en la 4parte imaa.(cos θdos 2 + j . senθ2 ) + b.(cos θ3 + j . senθ3 ) = d.(cos θ1 + j . senθ1 ) + c.(cos θ4 + j . senθ4 ) Como dos números complejos iguales sien coinciden en laanterior, parte real y en la parte imaginaria, separando lalaparte real deanterior: lason imaginaria la ecuación igualando, y aplicanDesarrollando expresión Desarrollando la expresión jθanterior:jθ e jθ +oo b . e jθla = parte d . ereal +dec la . eimaginaria en la ecuación anterior, igualando, y aplicanginaria, 11 = 0 queda: do quea θ.separando 55 j . θsen θ2 ) + b.(cos θ3 + j . senθ3 ) =55d.(cos θ1 + j . senθ1 ) + c.(cos θ4 + j . senθ4 ) doa.(cos quea.(cos qθ1 =+θj02.o+sen queda: 2 2 ) + b.(cos θ3 + j . senθ3 ) = d.(cos θ1 + j . senθ1 ) + c.(cos θ4 + j . senθ4 ) esarrollando la expresión anterior: a . cos θ22 + b . cos θ33 = d + c . cos θ44 2 3 1 4 a . senθ2 + b . sen = θ33 c . senθ44 (cos θ2 + j . senθ2 ) + b.(cos θ3 + j . senθ3 ) = d.(cos θ1 + j . senθ2 1 ) + c.(cos θ55 4 + j . senθ4 ) 55 de donde resolviendo el sistema se obtienen los valores de θ33 y θ44 en función de θ22. Obsérvese que el sistema anterior no es resoluble analíticamente, puesto que no es lineal, por lo que se 55 necesita una herramienta de cálculo adicional, como puede ser por ejemplo Matlab. MANUALES UEX Las soluciones del sistema anterior para la salida θ44 pueden ser dos valores reales y distintos, un solo valor real, o dos raíces complejas conjugadas. Si se obtiene este último caso con valores complejos, se deduce que la solución no es posible, es decir que no se puede construir un mecanismo de cuatro barras que verifique todas las condiciones impuestas. Esto puede ocurrir porque el cuadrilátero articulado no se puede construir con las longitudes dadas de las barras o porque se halla fuera de las posiciones límite. El caso más habitual es aquel en el que se obtienen dos valores reales distintos para el ángulo θ44. Esto implica que para Configuración abierta abierta Configuración un valor dado de θ22 hay dos posiciones del eslabón de 4(1) y θ4(2) 4(2), tal y como salida 4, θ4(1) 4(2) θθ4(2) se representa en la figura. Dichas posiciones se denomi4(1) θθ4(1) nan, respectivamente, configuθθ22 ración abierta y configuración cruzada del cuadrilátero articulado. Configuración cruzada cruzada Configuración 62 • Velocidad ÍNDICE Se parte de la ecuación de cierre expresada en términos de números complejos, ya planteada en el apartado anterior relativo a posición: cruzada del cuadrilátero articulado. Velocidad Velocidad Velocidad Configuración cruzada CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS parte laecuación ecuación cierre expresada términos números complejos, planteada Se SeSe parte parte de dede lalaecuación de dede cierre cierre expresada expresada en enen términos términos de dede números números complejos, complejos, ya yaya planteada planteada en el apartado anterior relativo a posición: en enelelapartado apartadoanterior anteriorrelativo relativoaaposición: posición: • Velocidad jθ jθ jθ 3 aa..eaejθ.jθe22 2 bb..beejθ.jθe33 dd..deejθ.jθe11 1 cc..ecejθ.jθe44 jθ4 Se parte de la ecuación de cierre expresada en términos de números complejos, ya planrespecto del tiempo y considerando que: Derivando respecto respecto del delrelativo tiempo tiempo considerando considerando que: que: teada enDerivando elDerivando apartado anterior ayyposición: a . e jθ2 + ddb.di iejθi 3 = d . e jθ1 + c . e jθ4 paraii==i2,2, = 32,3yy344y 4 para i ii para dt dtdt Derivando respecto del tiempo y considerando que: obtiene: se sese obtiene: obtiene: dθi = ωi para i = 2, 3 y 4 dt jθjθ jθ jθ3 jθ jj..aja...a.22..2ee. e22 2 jj..bjb..b ..33..3ee.jθjθe33 jj..cjc...c.44..4ee.jθjθe44 4 jθ3 jθ2 jθ4 j . a . ω2 . e + j . b . ω3 . e = j . c . ω4 . e se obtiene: jθ3 jθ2 4 j . a . ω2 la .laeparte jreal .b .de eimaginaria .en e jθecuación + real ωde = j . c en ωen 3la 4la.ecuación Acontinuación, continuación, separando laparte parte real la imaginaria laecuación anterior eigualando, igualando, AA continuación, separando separando de la. imaginaria la anterior anterior ee igualando, A se continuación, separando la parte real de la imaginaria en la ecuación anterior e iguatiene: se tiene: tiene: Asecontinuación, separando la parte real de56 la imaginaria en la ecuación anterior e igualando, se tiene: lando, se tiene: .22..2sen . sen b.b . sen .44..4sen . sen aa..a. sen 222 b ..33..3sen sen 33− .ωcc..c. sen 444 3 c −a .ω 2 senθ2 − b . ω3 . senθ3 = 4 senθ4 −a . ω2 . senθ2 − b . ω3 . senθ3 = − c . ω4 . senθ4 .22..2θcos . cos . cos .44..4cos . cos cos 222 bb.b ..33..3cos cos 33c cc..c. cos 444 3. a . ωaa2 ..a. cos ω 2 + b . ω3 . cosθ3 = 4 cosθ4 a . ω2 . cosθ2 + b . ω3 . cosθ3 =c . ω4 . cosθ4 resolviendo el sesese obtienen los valores dede ωde dede .22.. 2. 2 donde resolviendo elsistema sistema se obtienen los valores yen función de de donde el sistema sistema obtienen los valores enen función de dede donde donde resolviendo resolviendo el elsistema se obtienen obtienen los los valores valores de y33ω yy3 en función función deθde 4función 44en de donde resolviendo el sistema se obtienen los valores de ω y ω en función de θ2. Es conveniente en todos los casos interpretar vectorialmente la ecuación de velocidades conveniente todos los casos interpretar vectorialmente laecuación ecuación velocidades Es EsEs conveniente conveniente enen todos todos los los casos casos interpretar interpretar vectorialmente vectorialmente lalaecuación ecuación de dede velocidades velocidades ob‐ ob‐ob‐ Es conveniente en en todos casos interpretar de velocidades obtenida por derivación de lalosecuación de cierre.vectorialmente Obsérvese que,laderivando la ecuación de tenida por derivación de la ecuación de cierre. Obsérvese que, derivando la ecuación de posición tenida tenida por por derivación derivación de de la la ecuación ecuación de de cierre. cierre. Obsérvese Obsérvese que, que, derivando derivando la la ecuación ecuación de de posición posición obtenida por la ecuación de vectorial cierre. Obsérvese que, derivando la ecuación de posición , sederivación obtiene lade siguiente relación entre velocidades: se lasiguiente siguiente relación vectorial entre velocidades: , ,se se, obtiene obtiene lalasiguiente relación relación vectorial vectorial entre entre velocidades: velocidades: posición , obtiene se obtiene la siguiente relación vectorial entre velocidades: v= 4 v 2 + v 3 v= + vv22v vv33v 3 4 vv44vv4 2 23 donde v1 = 0 , puesto que el vector R1 es fijo y son constantes tanto su ángulo como su longi y son constantes tanto su ángulo como su longi 0 ,puesto que elque vector es fijo dondedonde v1 = R1 ,0,puesto , puesto elvector vector fijo y son constantes tanto ángulo como longitud. tud.donde La interpretación de que la ecuación anterior en términos de velocidades de puntos del mevv11v1 00 puesto que elelvector RR11Res es fijo fijo yyson son constantes constantes tanto tanto su susu ángulo ángulo como como su susu longitud. longitud. donde 1 es tud. La interpretación de la ecuación anterior en términos de velocidades de puntos del mecanismo es la siguiente: interpretación laecuación ecuación anterior términos velocidades puntos mecanismo La LaLa interpretación interpretación de dede lalaecuación anterior anterior en enen términos términos de dede velocidades velocidades de dede puntos puntos del deldel mecanismo mecanismo es eses canismo es la siguiente: lasiguiente: siguiente: lalasiguiente: 3 4 3 4 lo que yindica cuál interpretar es la relación entre velocidades subyacente a la derivada de la ecuación de cierre, permitirá correctamente los resultados del problema. cierre, y permitirá interpretar correctamente los resultados del problema. que indica cuál relación entre velocidades subyacente derivada ecuación lololo que que indica indica cuál cuál es eses lala la relación relación entre entre velocidades velocidades subyacente subyacente aa laala la derivada derivada de dede lala la ecuación ecuación de dede ω3 y ω4 se puede determinar la velocidad relativa de B respecto de A, Una vez cierre, yconocidas permitirá interpretar correctamente los resultados del problema. cierre, cierre, y y permitirá permitirá interpretar interpretar correctamente correctamente los los resultados resultados del del problema. problema. ω4 se puede determinarecuaciones la velocidadmuestran relativa el decálculo B respecto de A, vez conocidas 3 ypunto y la Una velocidad absoluta ωdel B. Las siguientes en térmiynos la de velocidad absoluta del punto B. Las siguientes ecuaciones muestran el cálculo en términúmeros complejos en álgebralalavectorial: yequivalencia puede determinar lavelocidad velocidad relativa Brespecto respecto y la Una conocidas ysu yy3 se se puede puede determinar determinar velocidad relativa relativa de dede BB respecto de dede A,A,A, yy lala Una Una vez vezvez conocidas conocidas 4 se 44 nos de números complejos y33su equivalencia en álgebra vectorial: términos en velocidad absoluta del punto B. Las siguientes ecuaciones muestran el cálculo en de velocidad velocidad absoluta absoluta del punto punto B. B. Las Las siguientes siguientes ecuaciones ecuaciones muestran muestran el el cálculo cálculo en términos términos de de jθ del jθ rA= R 2= a . e ⇒ v A= a . ω2 . j . e = a . ω2 . (−senθ2 + j . cos θ2 )= ω 2 × r2 jθ yysu jθálgebra complejos y su equivalencia en vectorial: números números complejos complejos su equivalencia equivalencia en en álgebra álgebra vectorial: vectorial: rnúmeros = R = a . e ⇒ v = a . ω . j . e = a . ω . ( − sen θ + j . cos θ ) = ω × r A 2 A 2 2 2 2 2 2 • • 2 2 2 2 rB/A= R 3= b . e jθ3 ⇒ v B/A= b . ω3 . j . e jθ3= b . ω3 . (−senθ3 + j . cos θ3=) ω 3 jθ3 jθ3 rB/A= R3= b . e ⇒ vB/A= b . ω3 . j . e = 56 b56 . ω3 . (−senθ3 + j . cos θ3=) ω3 56 rB = R 4 = c . e jθ4 ⇒ v B = c . ω4 . j . e jθ 4 = c . ω4 . (−senθ4 + j . cos θ4 ) = ω 4 × jθ4 jθ 4 rB = R 4 = c . e ⇒ vB = c . ω4 . j . e = c . ω4 . (−senθ4 + j . cos θ4 ) = ω4 × × r3 × r3 r4 r4 Aceleración Aceleración Con objeto de calcular las aceleraciones, se deriva dos veces la ecuación de cierre expreobjeto dedecalcular lascomplejos, aceleraciones, se deriva dos veces la ecuación de cierre expresadaCon en términos números obteniéndose: sada en términos de números complejos, obteniéndose: ÍNDICE a . α2 . j . e jθ2 − a . ω22 . e j θ2 + a . α2 . j . e jθ2 j −θ a . ω22 . e2 j θ2 j θ+ 4 4 b . α3 . j . e j θ3 − b . ω32 . e j θ3 = b . α3 . j . e j θ3 − b . ω32 . e j θ3 = MANUALES UEX v= v A + v B/A B v= + vB/A B v A v a la derivada de la ecuación de vvBBvB vsubyacente vAAv A vvB/A B/AB/A lo que indica cuál es la relación entre velocidades 63 rA= R2= a . e ⇒ v A= a . ω2 . j . e = a . ω2 . (−senθ2 + j . cos θ2 )= ω2 × r2 Se parte de la ecuación de cierre expresada en términos de números complejos, ya planteada en Aceleración Aceleración el rB/A= apartado R3= b .anterior e jθ3 ⇒relativo vB/A= abposición: . ω3 . j . e jθ3= b . ω3 . (−senθ3 + j . cos θ3=) ω3 × r3 MANUELCon REINO FLORES, GLORIAlas GALÁN MARÍN objeto de de calcular calcular aceleraciones, se deriva veces ecuación de de cierre cierre expresada expresada a . e jθ jθ 4b .se e jθderiva d dos .dos e jθ veces c .la elajθecuación Con objeto las aceleraciones, jθ r = R = c . e ⇒ v = c . ω . j . e = c . ω . ( − sen θ + j . cos θ4 ) = ω4 × r4 4 4 B 4 obteniéndose: en enBtérminos términos de de números números complejos, complejos, obteniéndose: 4 Derivando respecto del tiempo y considerando que: • Aceleración 2 3 1 4 4 aa .. .. jj .. eejθjθ22 aa .. 22 .. eejjθθ22 bb .. .. jj .. eejjθθ33 bb .. 22 .. eejjθθ33 22 33 33 d22i se deriva Con objeto de calcular las aceleraciones, 2, 3 y la 4 ecuación de cierre expre i jjθθ paradosi =veces jjθθ 22 cc .. 44 .complejos, . jj .. ee ccobteniéndose: .. 44 .. ee dt sada en términos de números 44 44 se obtiene: a . α2 . j . e − a . ω2 . e + b . α3 . j . e − b . ω3 . e = AA continuación, continuación, separando separando lala parte parte2 real realj θde de lala imaginaria imaginaria en en lala ecuación ecuación anterior anterior ee igualando, igualando, jθ se se tiene: tiene: = c . α4 . j . e j . a −. c . .ωe4jθ. e j. b . . e jθ j . c . . e jθ jθ2 2 j θ3 j θ2 4 2 j θ3 4 2 2 3 3 4 4 A continuación, separando la parte real de la imaginaria en la ecuación anterior e igua2 2 .. ω .. α cosθ − ω 2 . cosθ 2 − 2 2 − 3 .. senθ 3 − 3 = 22 22 senθ . cosθ bla senθ bla.. ecuación cosθ − aa ..α αaa22 ....senθ − aa ωaaparte −deb αimaginaria − b ωbb3322 .... = continuación, separando la real en e igualando, . . senθ senθ . . . . cosθ cosθ b b . . . . senθ senθ . . cosθ cosθ 2 2 2 3 3 3anterior lando, seAtiene: 22 22a . ω . 2cosθ 22 22b . α . senθ 33 33b . ω . cosθ 33 33 a . . senθ − α − − − 2 α . senθ 2 2 2 3 3 3 3 = = c . c . . cosθ − − ω 2 2 2 4 a 4cosθ 4 b . α . senθ 22 se tiene: =− a−=.=cα.2α.cc44senθ . senθ c . . cosθ − ω . . b . . cosθ − ω − − ω = .. 2.. senθ senθ 2 cc24 .. 2.. cosθ cosθ 4 4 3 3 3 3 44 44 44 44 = − c . α4 . senθ 4 − c . ω4 . cosθ 4 = − c . α4 . senθ4 − c . ω24 . cosθ4 aa. .ω2 222. .sen bb57 . .α3 3. .sen 3 3 − b .cω. 223.4 senθ .22sen34= aa .. α senθ 2 − 22 2 2 + cosθ . ωaa2 ... senθ . αbb3 ...cosθ cosθ senθ αaa22 ....cosθ .. cosθ cosθ . . senθ senθ .. cosθ cosθ . ωbb23 ... senθ 2 − 22a 2 + 22b 3 − 33b 3 = 2 2 2 2 3 3 33 .. senθ 33 2 senθ a= .cα. 2α. cosθ a . . b . . cosθ b . . senθ − ω + α − ω 2 2 2 3 3 3 3 = . cosθ c . − 2ω24 . senθ 2 4 4 4 2 2 . senθ =a .cα.==2αcc.4 .cosθ .2ωcc.24.senθ −a .cω b . . cosθ b . . senθ − + α − ω = . . senθ senθ ..cosθ . . cosθ cosθ . 4 4 2 2 3 3 3 3 44 a 4.4 . cos44 2 4 b .44 3 . cos3 c . 4 . cos4 = c . α4 . cosθ 4 − c .2 ω4 . senθ = c . α4 . cosθ4 − c . ω24 . senθ4 de de donde donde resolviendo resolviendo el el sistema sistema obtenemos obtenemos los los valores valores de de α α yy αα en en función función de de θθ22.. dedonde donde resolviendo elsistema sistema se obtienen los valores en función de de donde resolviendo sistema obtenemos los valores función resolviendo elelsistema obtenemos los valores dede αy3 αyαen función dede de de donde resolviendo resolviendo elel sistema obtenemos obtenemos los los valores valores deαdeααy3 en función función deθde .22.. 2. 4en 2 3y 4 4 en de donde resolviendo el sistemalaobtenemos losvelocidad, valores de se α obtiene y α en función de θ2relación . Obsérvese que, derivando ecuación de la siguiente Obsérvese que, derivando la ecuación de velocidad, se obtiene la siguiente relación vecvecEs aceleraciones: conveniente en todos casos interpretar vectorialmente ecuación de velocidades Obsérvese que,que, derivando la los ecuación dede velocidad, se obtiene lalalasiguiente relación vec- ob‐ torial entre Obsérvese Obsérvese que, derivando derivando la la ecuación ecuación de velocidad, velocidad, se se obtiene obtiene siguiente siguiente relación relación vectorial vectorial torialObsérvese entre aceleraciones: derivando ecuación velocidad, se obtiene la siguiente relacióndevectenida por que, derivación de la laecuación de de cierre. Obsérvese que, derivando la ecuación posición torial entre aceleraciones: entre entre aceleraciones: aceleraciones: torial aceleraciones: a = a + a entre , se obtiene la siguiente relación vectorial entre velocidades: B A B/A a= a + a 3 4 3 4 3 4 3 4 B A B/A a = A + B/A B a a a= a + a aBBv aaAAv B/A aaBBv B a A //AA MANUALES UEX que derivada 4 2 a la segunda 3 que indica indica la la relación relación entre entre aceleraciones aceleraciones subyacente subyacente a la segunda derivada de de la la ecuación ecuación que indica la relación entre aceleraciones subyacente a la segunda derivada de la ecuación de cierre. de cierre. que indica la relación entre aceleraciones subyacente a la segunda derivada de la ecuación de cierre. v1 la la0relación , puestoentre que elaceleraciones vector R1 es subyacente fijo y son constantes tantoderivada su ángulode su longitud. donde que que indica indica relación entre aceleraciones subyacente aa lala segunda segunda derivada decomo lala ecuación ecuación de de de cierre. Una vez conocidas α 3 y α4 se puede determinar la aceleración relativa de B respecto de A, cierre. cierre. La interpretación anterior en términos de velocidades de puntos del mecanismo Una vez conocidasdeαla α4 se puede determinar la aceleración relativa de B respecto de A, es 3 yecuación Una vez conocidas αabsoluta determinar la aceleración relativa muestran de B respecto de A, 3 y α4 se puede así la aceleración del punto B. Las siguientes ecuaciones el cálculo la siguiente: así como como la aceleración absoluta del punto B. Las siguientes ecuaciones muestran el cálculo Una vez conocidas αabsoluta 3 y α4 se puede determinar la aceleración relativa de B respecto de A, así términos como la aceleración delypunto B. Las siguientes ecuaciones muestran el cálculo en de números complejos su equivalencia en álgebra vectorial, partiendo de en términos de conocidas números absoluta complejos ypunto su equivalencia vectorial, dede las sedel puede puede determinar determinar aceleración aceleración relativa relativamuestran de departiendo BB respecto respecto delas A, A, así así Una Una vez conocidas αα33 yy αα44 se así como la vez aceleración B. ecuaciones el cálculo Las siguientes lalaen álgebra en términos develocidad números correspondientes: complejos y su equivalencia en álgebra vectorial, partiendo de las ecuaciones de v v v ecuaciones de velocidad correspondientes: como como la la aceleración aceleración absoluta absoluta del del punto punto B. B. Las Las siguientes siguientes ecuaciones ecuaciones muestran muestran el el cálculo cálculo en en térmi‐ térmi‐ B A en álgebra B/A en términosde develocidad números correspondientes: complejos y su equivalencia vectorial, partiendo de las ecuaciones nos nos de de números números complejos yyjθsu su equivalencia equivalencia en en álgebra álgebra vectorial, vectorial, partiendo partiendo de de las las ecuaciones ecuaciones de de complejos ecuaciones de velocidad correspondientes: jθ jθ 2 vv A = aa .. ω jθ ⇒ aA = a . α 2 . j . e jθ - a . ω2 2 . e jθ = 2 .. jj .. e e a a . . j . e a . . e = ω ⇒ = α ω = velocidad velocidad correspondientes: correspondientes: lo que indicaA cuál es2 la relación entre velocidades jθ jθsubyacente jθ derivada de la ecuación de 2 a la 2 - a . ω2 . e v A== aa .. α . esen a θ. α22 .- ja. e. ω ω2.. j − ⇒ aj AA. = = jθ θ2 + jθ 2 22 + jjθ. senθ2 = cos .. [acos θ ] 2α 2 cierre, y permitirá correctamente los resultados del problema. v A== a .interpretar . esen a a . . j . e . . e ω22. j[[ − = ω = θ2 =]] j . cos a . cos j . sen α θ⇒ + θ ω θ + ] [ A 2 2 2 2 2 2 64 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . α2 . [ −senθ2 + j . cos θ2 ] - a . ω2 . [cos θ2 + j . senθ2 =] == a α × r + ω × (ω × a57. ω22 . [cos θ2 + j . senθ2 =] == a(( α + [[θ ω × rrθ22 ))2]]] - 57 . 22α×2 . r[22 −)) sen 222 +× j(ω . 22cos puede la velocidad relativa de B respecto de A, y la Una vez conocidas = (α r2 3) +y [4ω r2 )] 2 × se 2 × determinar 2 × (ω = ( α2del × r2punto + [ ωB.2 ×Las(ωsiguientes ) 2 × r2 )] velocidad absoluta ecuaciones muestran el cálculo en términos de jθ3 jθ3 2 jθ 3 vv B/A = b . . j . e b . . j . e ω = α jθ3 - b . ω23 . e jθ3 = jθ 3 ⇒ a 3 B/A 3 números complejos y su equivalencia en álgebra vectorial: =b . ω3 . j . e jθ3 ⇒ aB/A =b . α 3 . j . e jθ3 - b . ω23 . e jθ3 = b .θω23+. je.jθsen = v B/A .ω ⇒+ ajB/A =bθ . α-3 .bj .. eωjθ2 . - cos B/A =b 3. j . e jθ 3 .. cos α θ 3 3 +a b .θω33 3+. je. sen = vB/A= =bθ33.]]α-3 .bj . eω22333 . -[[cos senθ jB/A cos ==bb .. ω α333.. j[[.− −esen θ⇒ θ3= =] 3 . α 3 . [ −senθ3 + j . cos θ3 ] - b . ω3 . [cos θ3 + j . senθ33=]] == bα 2 r ( r ) × + ω × ω × ( ) [ ] 3 × θr3 )] -56 == b( α + [θω ) sen 33 ] b . ω3 . [cos θ3 + j . senθ3=] . 33α×3 . r33[ − 3 33+×j (.ω cos 3 = (α 3 × r3 ) + [ ω 3 × (ω 3 × r3 )] = ( α 3 × r3 ) + [ ω3 × (ω3 × r3 )] vv B = c . ω . j . e jjθθ 44 ⇒ a = c . α . j . e jjθθ4 - c . ω22 . e jjθθ4 = B = c . ω44 . j . e jθ 4 ⇒ aBB = c . α 44 . j . e jθ44 - c . ω244 . e jθ44 = 2 - c . ω . e v B == cc ..αω4.. j−. sen e jθ 4θ ⇒ aB = cθ. α 4-. jc. .eω = jθ424 . [ cos θ244 + jjθ4. senθ4 ] = + vB == cc ..αω444.. [[j−. sen e θ44⇒ c.ω = cθ.44α]] 4-. jc. .eω cos θ4 .+e j . = senθ = + jja..B cos 4 .- [ cos 2 α 4 . [ −senθ4+ j . cos θ4 ] - c . ω4 . [cos θ4 + j . senθ44 ]] = == c . α rr−4 sen + ω × ((ω × rr4]))] - c . ω2 . [cos θ + j . senθ ] = ) [ 4× 4 4 j . cos θ . = c ((. α α θ + × + ω × ω × [ 44 4 ) [4 4 4 44 ] 4 4 4 = (α 4 × r4 ) + [ ω 4 × (ω 4 × r4 )] = ( α 4 × r4 ) + [ ω4 × (ω4 × r4 )] ÍNDICE 4. PROBLEMAS RESUELTOS 4. PROBLEMAS RESUELTOS 4.1. En el mecanismo de la figura la manivela OA está girando en sentido horario con una velocidad angular constante ω = 8 rad/s. Considerando que el disco, con centro en B, rueda sin deslizar, determinar: A a) grados del mecanismo. gradosde libertad de libertad del mecanismo. b) sentido de rotación de todos los b) sentidopara de rotación de representatodos los 0,2 m eslabones la posición eslabones para gráficos. la posición ω da mediante métodos representada mediante métodos O B c) ecuaciones que permitan determigráficos. nar la posición, velocidad y acelerac) ecuaciones permitan ción de todos losqueeslabones para determinar la posición, velocidad y aceleración los eslabones cualquier cualquier posición en función del ángulo girado pordela todos manivela. Interpretar para vectorialmente posición en función del ángulo girado por la manivela. Interpretar vectorialmente dichas dichas ecuaciones. ecuaciones. d) velocidad y aceleración angular del disco para la posición representada en la figura. d) velocidad y aceleración angular del disco para la posición representada en la figura. Datos: OA = 0,5 m; AB = 1,2 m. Solución a) m = 3 xx (4-1) – 2 xx 3 – 1 = 2 Como el disco rueda sin deslizar: m = 3 xx (4-1) – 2 xx 4 = 1 b) Dado el sentido de rotación de la velocidad angular de la manivela la velocidad de A será: ωOA OA O 61 ÍNDICE MANUALES UEX vAA A 65 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN Para la posición de la biela el centro instantáneo de rotación estará en el infinito, ya que la velocidad del extremo B debe ser horizontal. Por tanto: CIR(AB) ∞ (ωAB = 0) vA A vB B Sabiendo el sentido de la velocidad de B y teniendo en cuenta que el centro instantáneo de rotación del disco es el punto de contacto con la superficie se tiene: ωdisco B vB CIR(disco) c) Se considera el siguiente polígono vectorial de cierre para el mecanismo: A r3 r2 θ2 O θ3 r1 B POSICIÓN MANUALES UEX La ecuación vectorial de polígono es: 66 r1 + r3 = r2 Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las siguientes ecuaciones, a través de las cuales se obtienen r 1 y θ 3 para cada valor de θ 2 : r1 + 1,2 x cosθ3 = 0,5 x cosθ2 1,2 x senθ3 = 0,5 x senθ2 r1 , θ3 62 VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del polígono se tiene la relación de velocidades entre los puntos A y B de la biela: dr 3 dr 2 dr 1 + = dt dt dt ÍNDICE vB + v A /B = vA vB + ω3 x r3 = ω2 x r2 CINEMÁTICA DEθ3MECANISMOS . TEORÍA r1 + 1,2 x cos = 0,5 x cosθPLANOS r1 , θ3Y PROBLEMAS 2 RESUELTOS 1,2 x senθ3 = 0,5 x senθ2 r1 + 1,2 x cosθ3 = 0,5 x cosθ2 r1 , θ3 VELOCIDAD 1,2 x senθ3 = 0,5 x senθ2 r1 + 1,2 x cosθ3 = 0,5 x cosθ2 r1 , θ3 Derivando la ecuación vectorial del polígono se tiene la relación de velocidades entre VELOCIDAD 1,2 x senθ3 = 0,5 x senθ2 los puntos A y B de la biela: r1 + 1,2 x cosθ3 = 0,5 x cosθ2 r1 , θ3 Derivando laecuación vectorial del polígono se tiene la relación de velocidades entre VELOCIDAD 1,2 x senθ = 0,5 xsenθ 3 2 dr 1A y Bdrde3 la dr 2 los puntos = biela: + vA vB + v A /B = vB + ω3 x r3 = ω2 x r2 Derivando ladt dt dt ecuación vectorial del polígono se tiene la relación de velocidades entre VELOCIDAD dr 1A y Bdrde3 la dr los puntos biela: + = 2 seresuelve vB + vmediante v A las siguientes ω3 x r3 = ω x r2 de las vB +ecuaciones, A /B = Esta ecuación vectorial a 2través Derivando la ecuación vectorial del polígono se tiene la relación de velocidades entre dt dt dt cuales se obtienen v y ω para cada valor de θ : dr dr dr B 3 2 3 1 2 los puntos A y+ B de la = biela: seresuelve vB + vmediante v A las siguientes ω3 x r3 = ω x r2 de las vB +ecuaciones, A /B = Esta ecuación vectorial a 2través dt dt v dt 1,2 x ω x senθ =- 0,5 x (-8) x senθ 3 2 valor de θ vB , ω cuales sedrobtienen y ω3 para3 cada dr 3 v B Bdr 2: 3 1 + =1,2 x2ω se v= vmediante = v A lasθ siguientes ω3 x r3 = ω x r2 de las vB +ecuaciones, B + A /B 2través x cos θ 0,5 x (-8) x cos Esta ecuación vectorial resuelve a 3 3 2 dt dt dt x ω3 x senθ3 = - 0,5 x (-8) x senθ2 cuales se obtienen v BvBy -ω1,2 vB , ω3 3 para cada valor de θ 2 : ACELERACCIÓN 1,2 x ω3 se x cos θ3 =0,5 x (-8) x cos Esta ecuación vectorial resuelve mediante lasθ2siguientes ecuaciones, a través de las x ω3 x senθ3 = - 0,5 x (-8) x senθ2 cuales se obtienen v BvBy -ω1,2 de θ 2A: y B de la biela es: vB , ω3 3 para cada La relación de aceleraciones entre valor los puntos ACELERACCIÓN 1,2 x ω3 x cos θ3 =0,5 x (-8) x cos θ2 vB 2- 1,2 x ω23 x senθ23 =- 0,5 x (-8) x senθ2 d rentre d r1 dlos r 2 puntos A y B La relación de aceleraciones de la biela es: vB , ω3 3 ACELERACCIÓN + = a +2 aA/B = aA 1,2 x 2ω3 x cos θ2 3 =0,5 B θ 2 x (-8) x cos dt dt dt la biela es: rentre d2 r 1 d2 d 2 r puntosA La relación de aceleraciones 3 ACELERACCIÓN + = los22 = a a y+B ade 2 2 dtaB + dt α3 x r3dt + ω3 x ω3 Bx r3 =A/Bω2 x Aω2 x r2 y B es: rentre d2 r 1 d2 d 2 r puntosA La relación de aceleraciones de la biela 3 + = los22 + aA/B= aA aBlas 2 2 Esta ecuación vectorial se resuelve mediante siguientes a través de las dtaB + dt α3 x r3dt + ω3 x ω3 x r3 = ω2 x ωecuaciones, 2 x r2 2 2 2 d r d r d r cuales se obtienen a B y α13para cada deθ 2 : 3 valor 2 + = a + aA/B= a Esta ecuación vectorial resuelve a través de las dt2 aB se + dt α23 x r3dt+2mediante ω3 x ω3 Blas x r3 siguientes = ω2 x Aωecuaciones, 2 x r2 2 2 θpara x ω3 x cosθ3 =-0,5 x (-8) x cosθ2 B - 1,2 x α 3 - 1,2 cuales se aobtienen a3B xysen α 3 cada valor de θ : aB , α3 2 Esta ecuación vectorial se resuelve las a través de las θ3 - a1,2 α323 xxsen r3 θ+3mediante ω x ωx3(-8) x r32 siguientes ωθ x ωecuaciones, 1,2 x α3 x cos = x=sen B +x ω 3 -0,5 2 x r2 2 2 2 2 x ω3 x cosθ3 =-0,5 x (-8) x cosθ2 B - 1,2 x α 3 - 1,2 cuales se aobtienen a3B xysen α 3θpara cada valor de θ 2 : aB , α3 2 Resolviendo para θ = 90º: Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las 2siguientes ecuaciones, a través de las 1,2 x α3 x cosθ23 - 1,2 x ω3 x sen θ = -0,5 x (-8) x senθ2 3 2 2 x ω3 x cosθ3 =-0,5 x (-8) x cosθ2 B - 1,2 x α 3 - 1,2 cuales se aobtienen a3B xysen α 3θpara cada valor de θ 2 : aB , α3 POSICIÓN: las ecuaciones ofrecen dos soluciones:2 2 Resolviendo 90º: 1,2 x α3 para θ23 =- 1,2 x cosθ x ω3 x senθ3 =-0,5 x (-8) x senθ2 2 2 aB - 1,2 x α3 x senθ3 - 1,2 x ω3 x cosθ3 =-0,5 x (-8) x cosθ2 aB , α3 r 1 = -1,0909 m ; θ 3 = 24,624º POSICIÓN: las ecuaciones ofrecen dos soluciones: 2 2 Resolviendo 90º: 1,2 x α3 para θ23 =- 1,2 x cosθ x ω3 x senθ3 =-0,5 x (-8) x senθ2 ) ) ) ) ( ( ( ( 1,0909 mm ; ; θ 3θ 3==155,376º rr11 == -1,0909 POSICIÓN: las ecuaciones ofrecen dos soluciones: 24,624º Resolviendo para θ 2 = 90º: La solución compatible con rla =configuración mecanismo es: 1,0909 mm ; del r 11 = -1,0909 ; θ 3θ 3==155,376º 24,624º POSICIÓN: las ecuaciones ofrecen dos soluciones: 1,0909 m ; delθ 3mecanismo = 155,376ºes: 1 = La solución compatible con rrla configuración 1,0909 mm ; ; θ 3θ 3==155,376º r 1 == -1,0909 24,624º VELOCIDAD: las ecuaciones r1permiten obtener los valores: = 1,0909 m ; θ = 155,376º 3 1 La solución compatible con rla = configuración 1,0909 m ; delθ3mecanismo = 155,376ºes: 1 vB = 4 m/s ω3 valores: = 0 rad/s i ; los VELOCIDAD: las ecuaciones r permiten obtener 1,0909 m ; delθ 3mecanismo = 155,376ºes: 1 = La solución compatible con la configuración vB = 4 m/s ω3 valores: = 0 rad/s i ; los VELOCIDAD: las ecuaciones r permiten obtener 1 = 1,0909 m ; θ 3 = 155,376º vB = 4 m/s ω3 valores: = 0 rad/s i ; los VELOCIDAD: las ecuaciones permiten obtener 63 vB = 4 m/s 63 i ; ω3 = 0 rad/s 63 63 ÍNDICE ) ) ) ) MANUALES UEX ( ( ( ( 67 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN ACELERACIÓN: las ecuaciones dan como resultados: aB = 14,667 m/s2 i ; α3 = 29,334rad/s2 k Como el disco rueda sin deslizar: vB = ωdisco x rB/CIR(disco) ; aB = αdisco x rB/CIR(disco) Por tanto: ωdisco = 4 m/s 0,2 m ; MANUALES UEX ωdisco = - 20 rad/s k ; 68 64 ÍNDICE αdisco = 14,667 m / s2 0,2 m αdisco = - 73,335 rad/s2 k CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 4.2. La figura representa un mecanismo de doble biela-manivela. Si la manivela OAB gira con una velocidad angular constante ω = 600 rpm, calcular: a) grados de libertad. b) sentido del movimiento de cada uno de los eslabones, mediante métodos gráficos, para la posición representada en la figura. c) ecuaciones que permitan calcular la posición, velocidad y aceleración de todos los eslabones en función del movimiento de OAB. Interpretar vectorialmente dichas ecuaciones. d) velocidad y aceleración de las deslizaderas C y D para la posición en la que OA forma 60º con el sentido positivo del eje x. Datos: OA = OB = AB = 20 cm; AC = BD = 40 cm. C A 30 cm B ω O D 25 cm Solución a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1 vB manivela se obtienen las velocidades v A y v B : A : vA B ωOAB O 65 ÍNDICE MANUALES UEX b) Con la velocidad angular ω OAB de la 69 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN La velocidad angular de la biela AC se puede calcular mediante su centro instantáneo de con el de que se puede determinar posteriormente la velocidad de de la rotación CIR AC , angular La velocidad la biela AC se puede calcular mediante su centro instantáneo deslizadera C. con el de que se puede determinar posteriormente la velocidad de de la rotación CIR AC , angular La velocidad la biela AC se puede calcular mediante su centro instantáneo deslizadera C.AC , con el que CIR se ACpuede determinar posteriormente la velocidad de de la rotación CIR La velocidad angular de la biela AC se puede calcular mediante su centro instantáneo CIRC. deslizadera AC rotación CIR , con el que se puede determinar posteriormente la velocidad de la CIRAC AC CIRC. AC deslizadera CIRAC CIRAC CIRAC ωAC CIRAC ωAC ωAC vC ωAC A vA A vA C vC C vC C vC C vC C vC C C vC vC C A vA de la biela BD se puede calcular mediante su centro instantáneo de La velocidad angular rotación CIR BD , angular con velA de que se puede determinar posteriormente la velocidad de de la LaAvelocidad la biela BD se puede calcular mediante su centro instantáneo deslizadera D. rotación CIR BD , angular con el de que se puede determinar posteriormente la velocidad de de la La velocidad la biela BD se puede calcular mediante su centro instantáneo deslizadera D.BD , con el vque se puede determinar posteriormente la velocidad de la rotación CIR La velocidad angular deBla biela BD se puede calcular mediante su centro instantáneo de deslizadera D. , con el que se puede determinar posteriormente la velocidad de la rotación CIR vB BD deslizadera D. vB B vD vD vB B vD B vD B vD vD D vD vD ωBD D ωBD ωBD D MANUALES UEX D 70 ωBD CIRBD CIRBD CIRBD D D D CIRBD D c) Es necesario considerar dos polígonos vectoriales de cierre, tal como se representa en las figuras siguientes:considerar dos polígonos vectoriales de cierre, tal como se representa en las c) Es necesario figuras siguientes:considerar dos polígonos vectoriales de cierre, tal como se representa en las c) Es necesario figuras siguientes: c) Es necesario considerar dos polígonos vectoriales de cierre, tal como se representa en las figuras siguientes: 66 66 66 66 ÍNDICE CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS r3 B A θ3r3 A r2 θ3 r2 B r5 r5 r8 D θ8 D θ8 r4 C r4 θ5 θ2θ5 O O r8 C r1 θ2 r1 r6 r6 r7 r7 POSICIÓN POSICIÓN Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: Las ecuaciones vectoriales de cada uno son: r1 +de r4 los =r2polígonos + r3 r1 + r4 =r2 + r3 r5 = r6 + r7 + r8 r5 = r6mediante + r7 + r8las ecuaciones: Estas ecuaciones vectoriales se resuelven Estas ecuaciones vectoriales se xresuelven mediante r1 = 0,2 cosθ2 + 0,4 x cosθ3las ecuaciones: = 0,2 x senθ2 + 0,4 x senθ3 r0,3 1 = 0,2 x cosθ2 + 0,4 x cosθ3 0,3 = 0,2 x senθ2 + 0,4 x senθ3 donde θ 5 = θ 2 + 60º 0,2 x cos = θ5 -0,25 + 0,4 x cosθ8 0,2 sen -r6 + 0,4 x senθ8 5 0,2 xx cos = θθ= -0,25 + 0,4 x cosθ8 5 0,2 x senθ= -r + 0,4 sen θ8 x 5 6 r1 , θ3 r1 , θ3 r6 , θ8 r6 , θ8 VELOCIDAD 67 Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de velocidades entre los puntos A y C de la biela:67 dr 3 dr 1 dr 4 dr 2 + = + dt dt dt dt v= C v A + v C/A vC i = ω2 x r2 + ω3 x r3 71 Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: 2 xπ vC = -0,2 x -600 x x senθ2 - 0,4 x ω3 x senθ3 60 2 xπ 0 = 0,2 x -600 x x cosθÍNDICE 2 + 0,4 x ω3 x cosθ3 60 MANUALES UEX donde θ 5 = θ 2 + 60º VELOCIDAD vC , ω3 Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la Derivando la los ecuación velocidades entre puntos Avectorial y C de la del biela:primer polígono se obtiene la velocidades entre los puntos A y C de la biela:primer la del polígono se obtiene la vectorial Derivando REINO FLORES, ecuación Derivando la ecuación vectorial MANUEL GLORIA GALÁN MARÍN del primer polígono la dr Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se se obtiene obtiene la dr dr dr 3 1 4 2 velocidades entre los puntos A y C de la biela: v = v + v + = + v i velocidades entre los puntos A y C de la C biela: A C/A C = ω 2 x r 2 dr dr dr dr velocidades y C devla biela: 2 dt dt 3 A 1 + dt 4entre los = vA + v = dt +puntos vC i = ω C C/A 2 x r 2 dr dr dr dt dt dt dt 3 1 4 dr 2 dr dr vv vv vv vvC ii = ω rr2 = A + 3 se resuelve 1 + ecuación 4 = dr 2 + dr Esta vectorial las ecuaciones: Cmediante C/A 2 x dr dr dr dr = + + = + = ω x 3 1 4 2 C dt dt v= v AA + las v C/A + dt vCC i = ω22 x r22 Cmediante C/A dtEsta+ ecuación dt = dt dtvectorial dt se resuelve ecuaciones: dt dt dt dt 2 π x seresuelve mediante Esta ecuación resuelve las ecuación mediante ecuaciones: =vectorial x xecuaciones: ω3 x senθ3 vC vectorial -0,2 x se-600 - 0,4 x senθ2 las Esta vectorial 260 x π mediante las ecuaciones: se Esta ecuación ecuación se resuelve resuelve las ecuaciones: mediante x x senθ - 0,4 x ω x senθ v =vectorial -0,2 x -600 v ,ω relación de relación de relación de relación de relación de + + + + + ω 3 ω 3 ω 3 ω ω33 x r3 x r3 xx rr3 x r33 C 2 3 3 C 3 πxx 2x 2x260 x ‐600 π π x cos vC , ω3 θ ω θ -0,2 -600 x sen xω x cos ‐0,2 ‐ 0,4 sen θ + θ x x x x 0vvCC== 0,2 -600 0,4 2 3 3 2 π x = -0,2 x -600 2x x 60 2θ2 - 0,4 x ω33 x senθ33 π xx sen θ2+ - 0,4 x -600 x6060 -0,2 sen 0,4 xx ωω3 xx cos senθθ3 ω v , θ x x x 0vC==0,2 -600 cos C 3 2 3 3 60 vC , ω3 π vC , ω3 x -600 2260 x π x cos θ + ω θ x x vectorial x 00 = 0,4 ‐600 x cos Para el segundo se análogamente, deduciendo la relación de 2opera 3 xx cos 3 = 0,2 θ + ω θ x x 2 xπ x 0,2polígono -600 0,4 cos 2 + 0,4 x ω3 x cosθ3 -600 x 60 = θ x x 0 0,2 cos 60 2opera análogamente, 3 3 la se Para el segundo deduciendo la relación de velocidades entre los polígono puntos B yvectorial D de biela: 60 velocidades entre puntos Byvectorial D de la se biela: opera relación el los polígono vectorial Para segundo polígono opera análogamente, análogamente, deduciendo deduciendo la relación de Para el segundo segundo polígono vectorial se deduciendo la de opera Para segundo polígono se operaanálogamente, análogamente, deduciendo la relación relación de dr5 el entre dr6 los dr Dyvectorial 8 de 7 +B dr velocidades entre los puntos B D de la biela: velocidades puntos y la biela: = + ω x = r -v j + ω v = v + v velocidades entre los puntos B y D de la biela: 8 x r8 5 5 D B D B/D dr dr dr dr velocidades entre los puntos B y D de la biela: 5 6 8 7 dt dt dt dt = r5 -vD j + ω = vD + vB/D ω 5 x 8 x r = dt + dt v + dt B 8 dt 5 6 8 7 dr dr dr dr = + dr dr dr dr = + + ω = -v + ω v 5 6 8 7 x r ‐v j rr8 v v = B resolver DD + v B/D dondedrω55 == ωdr2 .6Las ecuaciones son: dr 7 + dr 8 quepermiten 5 x 5 D j + ω8 x Bel /D mecanismo + ω = r -v x v v B dt = dt + dt = r55 -vDD j + ω88 x r88 ω55 xson: v= vDD + vB/D dt + dt dt quepermiten B B/D donde dt ω 5 = ωdt resolver el mecanismo 2 . Las ecuaciones dt dt dt dt 2que xπ donde Las ecuaciones resolver donde ω555 == ω ecuaciones permiten θresolver ωel8 mecanismo x -600 xque x sen= x senθ8 son: son: - 0,2 - 0,4elx mecanismo permiten 5 donde ω22. ..Las Las ecuaciones que 260 x π permiten resolver el mecanismo son: donde ω ω5 = = ω 22 . Las ecuaciones que son: permiten θ5 resolver x senθ8 - 0,2 x -600 x - 0,4 x ωel8 mecanismo x sen= vD , ω8 260 xπ x2πxx 2 π = θ ω θ x ‐600 x x sen x x sen -600 vD , ω8 ‐ 0,2 ‐ 0,4 x x x x x 5 8 8 θ5= + 0,4 x x-600 x x 2 xπx xxω x θcos 0,2 cos -600 5 - v-D 0,4 8 θ8 = θ x sen x ω8 - 0,2 sen 8 5 8 8 xπ 60 x -6002x60 θ5 - v- 0,4 x sen= x ω8 x senθ8 - 0,2 60 xcos x x x x θ = + ω θ 0,2 -600 0,4 cos ω D 8 v , 5 D 8 8 60 vDD , ω88 π xx vD , ω8 -600 x 2260 xπ xx cos + ω θ ACELERACIÓN 0,2 xπ θ555= =‐-- vvDDD + 0,4 ω888 xxx cos θ888 x cos θ 0,2 xxx ‐600 -600 xx 260 0,4 xxx cos x x 60 x cos θ5= - vD + 0,4 x ω8 x cos θ8 0,2 -600 ACELERACIÓN 60 Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se MANUALES UEX ACELERACIÓN ACELERACIÓN ACELERACIÓN Realizando unadesegunda derivada la ecuación del primer polígono se deduce la relación aceleraciones entrepara los puntos A y C vectorial de la biela: ACELERACIÓN deduce la relación de aceleraciones entre los puntos A y C de la biela: Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono la ecuación derivada para Realizando una segunda derivada para la 2ecuación vectorial del primer polígono se deduce se la Realizando una del polígono se 2 segunda 2 2 vectorial primer Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se d r d r d r d r 3 1 4 2 deduce la relación de aceleraciones entre los puntos A y C de la biela: relación derelación aceleraciones entre puntos A y la biela: + = + a = a + a 2C de 2de aceleraciones 2 los 2 entre deduce la los puntos A y C de la biela: C de laAbiela: C/A ddtr23puntos A y r21 aceleraciones d r24 ddtr2entre deduce la relaciónddtde 2 2 + dt 2 = 22 2 + los aA + a aC= C C/A 2 22 22 22 d r d r d r d r 2 2 2 2 33 ddt ddt + a ddt ddt 2 r 2 r 111 2 r444 = 2 r 222 + + = 3 a a C+ ω aA A ω C // A A dx rr22223 ) + d r dC r222i4 == ω d2r222x2 (+ω C C a 221 + a α C 3 x r3a 3aAx + 2 dt dt 2 +2 dt + dt = a= = +( a3C /xA r3 ) dt 2 adt i = ωdt x ( ω2 dt x r22 ) + α3 x r3 C+ ω3 Ax ( ω3C /xA r3 ) dt2 dt dt dt C 2 mediante +lasα ecuaciones: + ω ω Esta ecuación vectorial = ω ω 22 xx ( 22 xx rr22 ) 33 xx rr33 33 xx ( 33 xx rr33 ) aCCsei resuelve = ω ω + α + ω ω = ω22 x ((mediante ω22 x r22 )) +lasα33ecuaciones: x r33 + ω33 x (( ω33 x r33 )) aaCCseii resuelve Esta ecuación vectorial 2 2 x π mediante las ecuaciones: seresuelve 2 Esta ecuación resuelve Esta ecuación mediante las 2 x cos θ =vectorial x x α3 x senθ3 - 0,4 x ω3 x cos θ3 aC vectorial - 0,2 x se -600 -ecuaciones: 0,4 Esta vectorial resuelve ecuaciones: mediante 2 las 260 x π mediante las ecuaciones: se Esta ecuación ecuación vectorial se resuelve x cos θ a = - 0,2 x -600 x - 0,4 x α x senθ - 0,4 x ω2 x cos θ 2 C 2 3 3 3 3 602 222 2 x -6002 x2x 2 2x xxππ πx cos θ θ θ x cos x α x sen x2 ω x cos aa0C== 0,2 0,4 0,4 2cos x ‐600 x x x x x aC ‐=0,2 ‐ 0,4 sen ‐ 0,4 2 3 3 3 2θθ +- 0,4 x3 α x sen 3 θ - 0,4 x3 ω2 x sen 3 θ3 x π 2 xxsen - -0,2 cos 0,2x x -600 -600x x 260 cos cos x2 60 aCC = - 0,2 x -600 60 x π x cos θ2 22 - 0,4 x α33 x senθ33 - 0,4 x ω332 x cos θ33 θ + α θ ω θ x x x x x 0 = - 0,2 x -600 x 60 sen 0,4 cos 0,4 sen 60 2 2 3 3 3 3 602 22 2 x -6002 xx 2 π x sen 2 xxπ = θ + θ θ x sen x α x cos x2 ω x sen 0 0,2 0,4 0,4 2 x x x x x x 0 ‐ 0,2 ‐600 0,4 cos ‐ 0,4 sen 2 3 3 3 De estas ecuaciones pueden deducir valores de igual 2 los 3 θ3 para el θ + x 2 xπ x sen x3 α xacos x3 ω2 x sen 0 = - 0,2 x se 0,4 0,4 -600 c 3y θα 3 .- Operando 2 3 3 3 3 60 x 60 0 = - 0,2 x -600 60 x senθ2 + 0,4 x α3 x cos θ3 - 0,4 x ω3 x senθ3 De estas ecuaciones los valoresentre de alos α 3 . Operando para el c y puntos segundo polígono se tienese relación de B y D deigual la biela: 60deducir lapueden aceleraciones segundo polígono se tiene la relación de aceleraciones entre los puntos B y D de la biela: De estas ecuaciones se pueden deducir los valores de a y α . Operando igual para el sese deducir los valores 3 De estas ecuaciones pueden de a de y a3cc. Operando igual para el segundo De ecuaciones yα Operando igual para 2 2 pueden 2deducir 2los valores c 3 . dse r5tienese dla rpueden d los r8 valoresentre De estas estas ecuaciones de alos α igual para el el d deducir rde c y puntos 3 . Operando 6 7 segundo polígono relación aceleraciones B y D de la biela: polígono se tiene la se entre los puntos DaDde = de + d2 r2de+aceleraciones a= +la abiela: 2relación 2 aceleraciones 2 segundo entre puntos de la biela: B B ylos B/DB y D 2 tienedlar2relación ddt r28 segundo polígono polígonoddt ser la relación de aceleraciones entre los puntos B y D de la biela: 5tiene dt 6 7 dt aD + aB/D a= 2 = 22 2 + 22 2 2 2 2 + ddt 2 2 B d d ddt 2 r 2 r 2 r 5 7 = + ddt ddt d22 rr888 2r 5 2 r 666 + d2 r 7 = + 5 7 a a a B D B/D ddtr2225 = ddtr2226 + ddtr2227 + ddtr2228 B D B /D a B = aDD + + a aB/D dt = dt dt + dt aa= B B/D dt dt + dt dt 2 dt 2 dt 2 dt 2 dt68 68 r5 ‐ a68 j 5 x 5 x 8 x r8 8 x 8 x r8 D ω5 x ω5 x= r5 - a68 D j + α8 x r8 + ω8 x ω8 x r8 68 ( ) ( 72 68 las ecuaciones: Esta ecuación vectorial se resuelve mediante 2 xπ -0,2 x -600 x 60 ÍNDICE 2 x cos= θ5 - 0,4 x α 8 x senθ8 - 0,4 x ω28 x cosθ8 ) ω r5 - aD j + α 5 x ω 5 x= 8 x r8 + ω 8 x ω 8 x r8 ω x ω x = r a j + α x r + ω x ω 5 5 5 D 8 8 8 8 x r8 ω x ω x = r a j + α x r + ω x r8 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y8 PROBLEMAS RESUELTOS D 8 x ω 5 5 5 8 8 ω5 x ω5 x= r5 - aD j + α8 x r8 + ω8 x ω8 x r8 ( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ( ( Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: Esta ecuación vectorial2 se resuelve mediante las ecuaciones: 2 x π se resuelve mediante las ecuaciones: Esta ecuación -0,2 θ5 - 0,4 x α 8 x senθ8 - 0,4 x ω28 x cosθ8 x -600 vectorial x 2 x cos= 260 xπ Esta ecuación resuelve mediante lasθ8ecuaciones: -0,2 = θ5 - 0,4 - 0,4 x ω28 x cosθ8 x -600 vectorial x x α 8 x sen 2 xsecos ) ) ) ) 260 x π 2 2θ -600 x 2 x π 2 xx cos = θθ= -- 0,4 θ - 0,4 x ω28 x cos 5 8 x sen sen aD +x α0,4 x α 8 x8 cosθ8 - 0,4 x ω8 x8 senθ8 2 -600 x 2 5 60 xx π 2 π x cos= -600 x 260 2θ θ 0,4 α sen θ 0,4 ω cos x x x x - aD + 0,4 x α 8 x8 cosθ8 - 0,4 x ω8 x8 senθ8 55 8 8 -600 x 260 2 x senθ= xπ 60 2 -0,2se - aD + 0,4 x α 8 x cosθ8 - 0,4 x ω8 x senθ8 x -600 x 5 de donde calculan60 a y2 αx sen . θ= 2 x πD 8 2 -0,2se -600 x a D y αx 8sen - aD + 0,4 x α 8 x cosθ8 - 0,4 x ω8 x senθ8 x calculan de donde . θ= 5 d) Para θ 2 = 60º: 60 de donde se calculan a D y α 8 . d) Para θ 2 = 60º: de donde se las calculan a D y α POSICIÓN: ecuaciones 8 . ofrecen dos soluciones: d) Para θ 2 = 60º: POSICIÓN: las ecuaciones ofrecen dos soluciones: d) Para θ 2 = 60º: r 1 = 0,479 m ; θ 3 = 18,481º POSICIÓN: las ecuaciones ofrecen dos soluciones: r 1 = 0,479 m ; θ 3 = 18,481º r 1 = -0,279 m ; θ 3 = 161,519º dos soluciones: POSICIÓN: las ecuaciones ofrecen r 1 = 0,479 m ; θ 3 = 18,481º r 1 = -0,279 m ; θ 3 = 161,519º La solución compatible con la r 1 configuración = 0,479 m ; delθ 3mecanismo = 18,481º es: r 1 = -0,279 m ; θ 3 = 161,519º La solución compatible con la configuración del mecanismo es: 0,479 m ; θ = 18,481 ºº rr ==-0,279 161,519 La solución compatible con la11configuración del3mecanismo es: r 1 = 0,479 m ; θ 3 = 18,481º La solución compatible con se la configuración mecanismo es: con la disposición Y de las ecuaciones obtienen los del valores posibles r 1 = 0,479 m ; θ 3 = 18,481º mecanismo: Y de las ecuaciones se obtienen los valores posibles con la disposición r 1 = 0,479 m ; θ 3 = 18,481º mecanismo: Y de las ecuaciones se obtienen los valores posibles con la disposición r 6 = 0,198 m ; θ 8 = 67,98º mecanismo: Y de las ecuaciones se obtienen los valores posibles con la disposición r 6 = 0,198 m ; θ 8 = 67,98º VELOCIDAD: mecanismo: las ecuaciones permiten obtener los valores: r 6 = 0,198 m ; θ 8 = 67,98º VELOCIDAD: las ecuaciones los valores: permitenobtener r 6 =m/s 0,198 67,98ºrad/s k i m ; ; ωθ38 == 16,56 vC = 8,783 -0,2 -0,2 xx -0,2 -0,2 xx VELOCIDAD: las ecuaciones los valores: permitenobtener ; ω 16,56 rad/s k vC = 8,783 m/s i 3 = VELOCIDAD: las ecuaciones permiten obtener los valores: Para el segundo polígono, a través serad/s obtienen los valores v D = m/sdei las ecuaciones ; ω3 = 16,56 k vC = 8,783 v D indica ω 8 = -29,35 rad/s. El valor negativo de que el sentido real de vdicha 10,68 m/sel ysegundo Para polígono, a través de las ecuaciones se obtienen D = ; ω3 = 16,56 rad/s k los valores vC = 8,783 m/s i . Análogamente, elvalor negativo de valores ωreal indica velocidad contrario al definido rde Para eles segundo polígono, apara través de ecuaciones seelobtienen valores ω rad/s.aEltravés valor de v D indica que sentido de 10,68 m/sel ysegundo Para polígono, las las ecuaciones se obtienen los vdicha =6negativo 8los 8 = -29,35 D que -10,68 m/s y=ω-29,35 -29,35 rad/s. Elangular valor negativo indica que sentido real vvelocidad . Análogamente, valor negativo ωreal contrario al definido para rde ω rad/s. valor dede v DvDindica elel sentido deθv8dicha 10,68 m/seles ysegundo elD =sentido real dicha velocidad es ecuaciones contrario alel para eldeángulo .D que Por 8= 6negativo 8 indica 8 de Para polígono, aEltravés las definido seque obtienen los valores =. Análogamente, indica velocidad tanto, se como resultado: el valor negativo de ω que es al definido para r el sentido real de dicha velocidad angular es contrario al definido para el ángulo θ . Por 6 8 = -29,35 rad/s. El valor negativo de v indica que el sentido real de dicha 10,68 m/sobtiene y ωcontrario 8 8 D real dedecomo dicha velocidad angular contrario el el sentido Porθ 8tanto, tanto, se obtiene sentido real dicha velocidad angular es contrario alel definido para eldeángulo . que Por ángulo Análogamente, valorpara negativo ωθ88.indica velocidad es contrario alresultado: definido para r 6.es al definido j 10,68 m/s ; 29,35 rad/s k v = ω = como resultado: se obtiene D 8 tanto, se obtiene como resultado: el sentido real de dicha velocidad angular es contrario al definido para el ángulo θ 8 . Por ; ω8 = - 29,35 rad/s k vD = 10,68 m/s j tanto, se obtiene como resultado: ACELERACIÓN: resolviendo ecuaciones 10,68 m/s j se ; tiene: vD = las ω8 = - 29,35 rad/s k las ecuaciones ACELERACIÓN: resolviendo se tiene: v = 10,68 m/s j ; ω8 = - 29,35 rad/s 2 k 2 D - 739 m/s ; 1.894,1 rad/s i k a = α = se tiene: ACELERACIÓN: resolviendo C las ecuaciones 3 2 2 aC = - 739 m/s i α3 = 1.894,1 rad/s k ACELERACIÓN: resolviendo ;se tiene: las ecuaciones 2 Y para las ecuaciones ; α3 = 1.894,1 rad/s2 k aC =-: 739 m/s i 2 Y para las ecuaciones ; α3 = 1.894,1 rad/s2 k aC =-: 739 m/s i Y para las ecuaciones : 69 Y para las ecuaciones : 69 69 2 ; α8 = - 1.413,08 rad/s2 k aD = - 152,43 m/s j 69 ÍNDICE 4.3. En el mecanismo de la figura, que se utiliza en motores en V, la manivela OA gira con una velocidad angular constante en sentido horario ω OA = 300 rad/s. Determinar: MANUALES UEX del del del del 73 aD = - 152,43 m/s 2 j ; α8 = - 1.413,08 rad/s 2 k MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN 4.3. En el mecanismo de la figura, que se utiliza en motores en V, la manivela OA gira con una velocidad angular constante en sentido horario ω OA = 300 rad/s. Determinar: a) grados de libertad del mecanismo. b) ecuaciones que permitan calcular la posición, velocidad y aceleración de todos los eslabones en función del movimiento de la manivela OA. Interpretar vectorialmente dichas ecuaciones. c) velocidad y aceleración de B y D para la posición representada. Datos: OA = 20 cm; AB = BC = 60 cm; AC = CD = 30 cm. D B C 60º A ωOA 60º 60º O Solución a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 – 0 = 1 MANUALES UEX b) Son necesarios dos polígonos vectoriales de cierre: 70 74 ÍNDICE CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS B r3 θ3 r1 A r2 θ1=120º θ2 O D r5 C θ5 r6 r4 θ4 r2 O θ2 θ6 = 60º MANUALES UEX A 75 ÍNDICE MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN Como AC = 30 cm y AB = BC = 60 cm se deduce que: Como AC = 30 cm y AB = BC = 60 cm se deduce que: B θ= θ4 + 75,52º 3 B θ= θ4 + 75,52º 3 C POSICIÓN C 75,52º Las ecuaciones vectoriales de POSICIÓN cada uno de los polígonos son: Las ecuaciones de vectoriales cada uno de losr= r2 + r3 son: 1polígonos 75,52º 1= r2r+ 2 + r6r= r4 +r3r5 r6 = r2 +vectoriales r4 + r5 Estas ecuaciones se resuelven mediante las ecuaciones: r1 x cos120 0,2mediante x cos θ2 + x cos θ3 Estas ecuaciones vectoriales se= resuelven las0,6 ecuaciones: r1 x sen120 = 0,2 x senθ2 + 0,6 x senθ3 r1 x cos120 = 0,2 x cos θ2 + 0,6 x cos θ3 r1 x sen120 + θ0,6 r6 x cos60 == 0,2 x cosθ0,2 0,3θx2cos 0,3 θx 3cosθ5 2 +x sen 4 +x sen r6 x sen60 = 0,2 x senθ2 + 0,3 x senθ4 + 0,3 x senθ5 r6 x cos60 = 0,2 x cosθ2 + 0,3 x cosθ4 + 0,3 x cosθ5 r6 xº.sen60 = 0,2 x senθ2 + 0,3 x senθ4 + 0,3 x senθ5 siendo θ 3 = θ 4 + 75,52 A A r1 , θ3 r1 , θ3 r6 , θ5 r6 , θ5 VELOCIDAD siendo θ 3 = θ 4 + 75,52º. Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de VELOCIDAD velocidades entre los puntos A y B de la biela: Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de velocidadesdrentre los dr 3A y B de labiela: dr 2puntos 1 = + v= v A + vB/ A vB = ω2 x r2 + ω3 x r3 B dt dt dt dr 3 dr 1 dr 2 = + v= v A + vB/ A vB = ω2 x r2 + ω3 x r3 B Ecuacióndtvectorial se resuelve mediante las ecuaciones: dt que dt vB= x cos120 - 0,2mediante x (-300) x las senecuaciones: θ2 - 0,6 x ω3 x senθ3 Ecuación vectorial que se resuelve vB x sen120 = 0,2 x (-300) x cosθ2 + 0,6 x ω3 x cosθ3 vB= x cos120 - 0,2 x (-300) x senθ2 - 0,6 x ω3 x senθ3 vB x sen120 = 0,2 x (-300) x cosθ2 + 0,6 x ω3 x cosθ3 vB , ω3 vB , ω3 72 Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de 72 velocidades: MANUALES UEX dr 6 dr dr dr = 2 + 4 + 5 vD = v A + v C/A + vD/C dt dt dt dt vD = ω2 x r2 + ω4 x r4 + ω5 x r5 76 donde ω 3 = ω 4 . Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son: v= - 0,2 x (-300) x senθ2 - 0,3 x ω4 x senθ4 - 0,3 x ω5 x senθ5 D x cos60 vD= 0,2 x (-300) x cosθ2 + 0,3 x ω4 x cosθ4 + 0,3 x ω5 x cosθ5 x sen60 ACELERACIÓN ÍNDICE vD , ω5 dr6 dr dr dr + v = dr 2 + dr 4 + dr 5 vD = vA + v C/A D/C dr 6 5 2 4 dt = dt + dt + dt vD = v A + v C/A + vD/C dt dt dt dt vD = ω 2 x r2 + ω 4 x r4 + ω 5 x r5 CINEMÁTICA vD = DE ω2 MECANISMOS x r2 + ω4 x PLANOS r4 + ω.5TEORÍA x r5 Y PROBLEMAS RESUELTOS donde ω 3 = ω 4 . donde ω 3 = ω 4 . Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son: Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son: v= - 0,2 x (-300) x senθ2 - 0,3 x ω4 x senθ4 - 0,3 x ω5 x senθ5 D x cos60 v= - 0,2 x (-300) x senθ2 - 0,3 x ω4 x senθ4 - 0,3 x ω5 x senθ5 D x cos60 vD , ω5 vD , ω5 vD= 0,2 x (-300) x cosθ2 + 0,3 x ω4 x cosθ4 + 0,3 x ω5 x cosθ5 x sen60 vD= 0,2 x (-300) x cosθ2 + 0,3 x ω4 x cosθ4 + 0,3 x ω5 x cosθ5 x sen60 ACELERACIÓN ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se Realizando una segunda derivada para deduce que la relación de aceleraciones entrelalosecuación puntos Avectorial y B de la del bielaprimer es: polígono se deduce que la relación deaceleraciones entre los puntos A y B de la biela es: d2 r3 d2 r1 d2 r2 2 2 aA + a B a= B/A ddt r21 = ddt r2 + d2 r2 aA + aB/A = 22 + dt23 a= B 2 dt dt dt aB = ω 2 x ω 2 x r2 + α 3 x r3 + ω 3 x ω 3 x r3 aB = ω2 x ω2 x r2 + α3 x r3 + ω3 x ω3 x r3 ( ( ) ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: aB = x cos120 aB = x cos120 aB x sen120 = aB x sen120 = ( ( ) ) - 0,2 x (-300)2 x cosθ2 - 0,6 x α3 x senθ3 - 0,6 x ω23 x cosθ3 - 0,2 x (-300)22 x cosθ2 - 0,6 x α3 x senθ3 - 0,6 x ω23 x2 cosθ3 - 0,2 x (-300) x senθ2 + 0,6 x α3 x cosθ3 - 0,6 x ω3 x senθ3 - 0,2 x (-300)2 x senθ2 + 0,6 x α3 x cosθ3 - 0,6 x ω32 x senθ3 aB , α3 aB , α3 Operando igual para el segundo polígono se deduce la relación de aceleraciones: Operando igualpara el segundo se deduce la relación de aceleraciones: polígono d2 r6 2 ddt r26 = = dt2 aD = ω 2 x aD = ω2 x d2 r2 2 ddt r22 + + dt2 ω 2 x r2 ω2 x r2 ( ( ) ) d2 r5 d2 r4 2 2 aD = aA + a + a C/A D/C r25 ddt r24 + ddt + aD = aA + aC/A + aD/C 2 2 dt dt + α 4 x r4 + ω 4 x ω 4 x r4 + α 5 x r5 + ω 5 x ω 5 x r5 + α 4 x r4 + ω4 x ω4 x r4 + α 5 x r5 + ω5 x ω5 x r5 ( ( ) ) donde α 3 = α 4 . Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: donde α 3 = α 4 . Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: aD x cos60 = - 0,2 x (-300)2 x cosθ2 - 0,3 x α4 x senθ4 x α x senθ4 aD x cos60 = - 0,2 x (-300)2 x cosθ2 - 0,3 - 0,3 x α5 x senθ5 - 0,3 x ω25 x cos4θ5 2 x x θ ω - 0,3 x α5 x sen 0,3 cosθ aD x sen60 = - 0,2 x (-300)2 x 5senθ2 + 50,3 x α4 5 x cosθ4 2 x α x cosθ4 aD x sen60 = - 0,2 x (-300) x senθ2 + 0,3 + 0,3 x α5 x cosθ5 - 0,3 x ω52 x sen4θ5 2 + 0,3 x α5 x cosθ5 - 0,3 x ω5 x senθ5 ( ( 0,3 x ω24 x cosθ4 0,3 x ω24 x cosθ4 0,3 x ω24 x senθ4 + 0,3 x ω24 x senθ4 + ) ) de donde se calculan a D y α 5 . de donde se calculan a D y α 5 . c) Para θ 2 = 90º: c) Para θ 2 = 90º: 73 ofrecen una 73 solución compatible con la configuración del r 1 = 0,7648 m ; θ 3 = 129,59º Y de las ecuaciones se obtienen los valores: θ 4 = 54,07º ; r 6 = 0,7636 m ; θ 5 = 46,7º MANUALES UEX POSICIÓN: las ecuaciones mecanismo: 77 VELOCIDAD: las ecuaciones permiten obtener: vB = 38,78 m/s 60º ; ÍNDICE ω3 = ω4 = 87,83 rad/s k Para el segundo polígono las ecuaciones dan como resultado: r 1 = 0,7648 m ; θ 3 = 129,59º Y de las ecuaciones se obtienen los valores: θ 4 = 54,07 ; r 6 = 0,7636 m ; θ 5 = 46,7º MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁNº MARÍN VELOCIDAD: las ecuaciones permiten obtener: vB = 38,78 m/s ω3 = ω4 = 87,83 rad/s k ; 60º Para el segundo polígono las ecuaciones dan como resultado: vD = 38,81 m/s ; ω5 = 88,21 rad/s k 60º ACELERACIÓN: resolviendo las ecuaciones se tiene: 2 aB = 18761,9 m/s ; α3 = α4 = -13909,2 rad/s2 k 60º Y para las ecuaciones : 2 aD = 17668 m/s ; α5 = 42384,5 rad/s2 k 60º MANUALES UEX 74 78 ÍNDICE CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 4.4. En el mecanismo representado en la figura, la velocidad angular del eslabón triangular 4.4. el mecanismo representado en la figura, la velocidad angular del eslabón triangular O 2 BCEn es ω O2BC = 150 rpm, O BC es ω = 150 rpm, 2 constante yO2BC en sentido D constante Deducir: y en sentido antihorario. D antihorario. Deducir: a) grados de libertad del a) grados de libertad del mecanismo. mecanismo. b) si es posible que el eslabón b) si es posible el eslabón pueda quedar una O 2 BC BC pueda dar una O 2 revolución completa. revolución completa. c) sentido del movimiento de B c) de B cadasentido uno del de movimiento los eslabones, cada uno de los eslabones, mediante métodos gráficos, C mediante métodos gráficos, para la posición representada. C para la posición representada. O1 d) carrera de trabajo del ωO2BC O1 d) carrera ωO2BC eslabón O 1 A.de trabajo del O2 eslabón O 1 A. O2 e) velocidad y aceleración de e) velocidad y aceleración de todos los eslabones para las todos los eslabones las posiciones límite del para eslabón posiciones límite del eslabón A O 1 A. A O 1 A. Datos: O 1 O 2 = O 1 A = 50 cm; Datos: O1O A = 50 cm; 2 =OO cm; O 2 C = 30 2 B1 = BC = 20 cm; AB = CD = 70 cm O 2 C = 30 cm; O 2 B = BC = 20 cm; AB = CD = 70 cm Solución Solución a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1 a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1 b) Considerando el cuadrilátero articulado O 1 ABO 2 se comprueba si verifica la Ley de b) Considerando el cuadrilátero articulado O 1 ABO 2 se comprueba si verifica la Ley de Grashof: Grashof: c + b la(OLey O 1 Grashof, A ≤ O 1 O 2siendo <AB) el eslabón 20 O + 270 + 50 a +se d ≤verifica 2 B <de Nótese que BC≤ la50manivela del 20 + 70 ≤ 50 + 50 a + d ≤ c + b (O 2 B < O 1 A ≤ O 1 O 2 <AB) A cuadrilátero articulado, y por tanto puede efectuar una revolución completa. El eslabón O Nótese que se verifica la Ley de Grashof, siendo el eslabón O 2 BC la manivela 1 del sería el balancín. 75 cuadrilátero articulado, y por tanto puede efectuar una revolución completa. El eslabón O 1 A 75 el balancín. c)sería Dada la velocidad angular del eslabón velocidad de la deslizadera D. vC vB vB B B C O2 O2 C ωO2BC ωO2BC 79 vD vD ÍNDICE CIR(CD) MANUALES UEX se tienen velocidades de B ydel C. eslabón Oc)2 BCDada la las velocidad angular BC selatienen las velocidades y C. O 2Para biela CD se determinadesuB velocidad angular mediante el centro instantáneo de Para la biela CD se determina su velocidad rotación y posteriormente se calcula angular mediante el centro instantáneo lade velocidad D. se calcula la rotación deyla deslizadera posteriormente vC vD las velocidades B y C. O velocidad de la deslizadera D. de 2 BC se tienen angular mediante el centro instantáneo de rotación y posteriormente se calcula la Para la biela CD se determina su velocidad velocidad de la deslizadera D. angular mediante el centro instantáneo de rotación REINO y posteriormente se calcula MANUEL FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN la velocidad de la deslizadera D. vD vB O2 ωO2BC B C O2 ωO2BC C O2 ωO2BC vD vD CIR(CD) D vD vD CIR(CD) D ω vC D D vD CD CIR (CD) vC vC D ωCD CIR(CD) ωCD CIR(CD) C D CIR(CD) C Para la biela AB se determina su velocidad angular mediante el centro instantáneo de calcular la velocidad de A y, por tanto, la rotación CIR (AB) que permite, a continuación, C velocidad delse balancín O 1 A.su velocidad angular mediante el centro instantáneo de Para laangular biela AB determina vB a continuación, calcular la velocidad de A y, por tanto, la rotación CIR (AB) que permite, velocidad angular del balancín O 1 A.su velocidad angular mediante el centro instantáneo de Para la biela AB se determina v B B calcular la velocidad de A y, por tanto, la rotación CIR (AB) que permite, a continuación, velocidad angular del balancín O 1 A. vB B O1 B A vA vA MANUALES UEX vA ωAB A ωAB A ωAB CIR(AB) ωO1A O1 76 ωO1A O1 76 vA ωO1A 76 vA CIR(AB) vA CIR(AB) 80 ÍNDICE A A A d) Son necesarios dos polígonos vectoriales de cierre: CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS d) Son necesarios dos polígonos vectoriales de cierre: d) Son necesarios dos polígonos vectoriales de cierre: B 20 cm B 41,41º B O2 20 cm 20 cm 30 cm 41,41º 41,41º O22 30 cm O2 30 cm 20 cm O1 r1 O11 O1 r11 r1 r3 r33 r3 D D 20 cmC 20 cm C C r44 r4 r6 r7 B O2 r66 r6 r77 r7 r2 B Bθ2 r22 r2 r4 θ3 θ33 θ3 D r5 O2 θ22 θ2 r55 r5 O22 O2 θ5 θ55 θ5 θ6 C θ66 θ6 C C O22 O2 θ4 A θ44 θ4 POSICIÓN A Las ecuacionesAvectoriales de cada uno de los polígonos son: POSICIÓN POSICIÓN r1 + r2 = r3 + r4 POSICIÓN Las ecuaciones ecuacionesvectoriales vectorialesdede cada de polígonos son: cada unouno de los los polígonos de polígonos son: son: Las ecuaciones vectoriales de cada uno los r5 + r6 = r7 r11 + r22 = r33 + r44 r1 + r2 = r3 + r4 Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: + r6 = r5 r7 r5 + r6 = r7 77 ecuacionesvectoriales vectorialesseseresuelven resuelven mediante ecuaciones: Estas ecuaciones mediante laslas ecuaciones: Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: 2 77 3 4 30 00 30 xx cos cosθθ55 + 70 70 xx cos cosθθ66 = x x 30 sen θ 70 sen θ rr77 30 x senθ55 + 70 x senθ66 = siendo º.º. siendo θ55 == θ22––41,41 41,41 Las O1O A 1seA obtienen cuando O2 B O y AB están alineadas, es decir, Las posiciones posicioneslímite límitedel delbalancín balancín se obtienen cuando AB están alineadas, es 2B y = y = + 180 º . para decir, 2para 4θ 2 = θ2 4 y 4 θ 2 = θ 4 + 180º. MANUALES UEX 50 50 + 20 20 xx cos cosθθ22 = 50 50 xx cos cosθθ33 + 70 70 xx cos cosθθ44 77 xx sen 20 50 20 = senθθ2 50 xx sen senθθ3 + 70 70 xx sen senθθ4 81 Para θ22 ==θ4:4 : 50 + 20 x cosθ2 = 50 x cosθ3 + 70 x cosθ2 20 x senθ2 50 x senθ3 = + 70 x senθ2 ÍNDICE 50 - 50 x cos θ2 = 50 x cosθ3 77 -50 x senθ2 = 50 x senθ3 siendo º. del balancín O 1 A se obtienen cuando O 2 B y AB 5 = θ 2 – 41,41 Las θposiciones límite están alineadas, es 30 x senθ 5 + 70 x senθ6 = r7 siendo θ = θ – 41,41 5 2 Laspara posiciones límite del balancín O A se se obtienen obtienen cuando cuando O O 22 B B yy AB AB están están alineadas, alineadas, es es decir, y θºº..2 del = θbalancín . 11 A siendo θposiciones 2 2=– θ41,41 4 límite 4 + 180ºO 5 =θθ Las siendo θ = θ – 41,41 º . decir, para θ = θ y θ = θ + 180 º . 5 2 2 4 2 4 Laspara posiciones límite del balancín O A se se obtienen obtienen cuando cuando O O 22 B B yy AB AB están están alineadas, alineadas, es es decir, y θ 2 del = θbalancín . 11 A 4 + 180ºO Las posiciones θ 2 θ=2 θ=4 :θ 4 límite Para decir, para θ = θ y θ = θ + 180 º . 2 4 2 4 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN Las posiciones límite del balancín O A se obtienen cuando O B y AB están alineadas, es =2 θθ=44 ::θ 4 y θ 2 = θ 4 + 180º. 1 Para 2 decir, para θθ 22 θ= Para 50 + 20 x cosθ2 = 50 x cosθ3 + 70 x cosθ2 decir, para θ 2 θ=4 :θ 4 y θ 2 = θ 4 + 180º. Para 50 20 50 70θx cosθ2 θθ2 x== sen = θ4: Para θθ 22 = = 20 + θθ70 3 x+sen 50 x+ +sen 20θ2xx cos cos50 50θxx3 cos cos 2 3 + 70 x2 cosθ2 Para θ 2 = θ 4 : = 20 sen 50 sen + θ70 70 xx+sen sen 50 xx+sen 20θθ2x cos50 50θθx3 cos 70θθx2 cosθ θ xx= sen = 20 + 2 = 50 x3 cosθ 3 + 70 x2 cosθ2 50 + 20502x cos 2 - 50θx2 cos θ2 = 50 3x cosθ3 = 20 sen 50 + θ70 70 θθ2x cos50 θθx3 cos θθx2 cosθ2 x= sen x+sen 50 xx+sen 2050 50 70 θ = 20 sen + sen x x 2 3 -x50 50 cos θ=2 50 x cos 2 3= x50 -50 senxx θcos sen θ3 θθ33 2 50 2 θ 2 = 50 x cos = 20 x sen-50 50 θx sen +x sen 70 θx senθ2 θ2 x sen θ50 3 = 50 50 cos = x50 x cos 2 θ -50--x50 senxx θcos =2 50 sen θ33 θ3 2 θ 50 2 = 50 x cosθ 3 Elevando al cuadrado las dos ecuaciones anteriores: x50 x50 -50 sen θ = 50 sen 50 cos = cos x θ x 2 -50 x senθ2 anteriores: =2 50 x senθθ33 θ3 Elevando al Elevando al cuadrado cuadrado las las dos dos ecuaciones ecuaciones anteriores: 2 2500 + 2500 x cos2θ2 - 5000 x cos θ = 2500 x 2500 x sen2θ2 = 2500 x sen2θ3 -502 x senθ2 =cos 50θx3senθ3 2 2 Elevando al cuadrado las dos ecuaciones anteriores: 2 2 Elevando al cuadrado dosx cos ecuaciones 2500 x cos2θ2 -las 5000 θ = 2500 x cos2θ 3 2500 2500 ++ 2500 2500 x cos θ2 - 5000 x cosθ22 = 2500anteriores: x cos θ 3 2500 xx sen sen2θθ22 = = 2500 2500 xx sen sen2θθ33 Sumando ambas ecuaciones: 2 2 Elevando al cuadrado las dosx cos ecuaciones anteriores: 2 2 2500 = 2500 2500 2500 ++ 2500 2500 xx cos cos2θθ2 -- 5000 5000 x cosθθ2 = 2500 xx cos cos2θθ3 2500 xx sen sen2θθ2 = = 2500 2500 xx sen sen2θθ3 Sumando 2 2 3 2 Sumando ambas ambas ecuaciones: ecuaciones: 2 2 2 2 + x2500 θ2x cos + sen θ2500 θ2 = 2500 x (xcos 25002500 + 2500 cos2θx2 (-cos 5000 θ2 = x cos xθcos 2500 sen2θθ32 += 2 ) - 5000 3 Sumando ambas ecuaciones: 2 2 2 Sumando ambas ecuaciones: 2500 + 2500 + sen + 2500 + 2500 xx ( cos cos2θθ22 + sen2θθ22 ) -- 5000 5000 xx cos cosθθ22 == 2500 2500 xx ( cos cos2θθ33 + Sumando ambas ecuaciones: 2 2 2 2500 cos x cosθ2 = 2500 x ( cos2θ 3 + + 2) 2500 + + 2500 2500 xx ((2500 cos2θθ+2 2500 + sen sen-2θθ5000 5000 θ 2500 = 2500 x ( cos θ + x cosxθcos = ) -- 5000 2 sen 2500θx3 sen ) 2θ 3 2 2θ sen sen θ3 ) 3 3 2 sen sen2θθ33 )) 2 2 2 3 2 2500 + 2500 x (2500 cos2θ+ + sen--2θ5000 θ22500 = 2500 x ( cos2θ3 + sen2θ3 ) x cosxθcos 2500 +2 2500 2500 5000 = 2500 2 ) - 5000 x cosθ22 = de donde se obtiene el valor θ 2 = θ 4 = 60º. De las ecuaciones y se calculan x cosθ2 = 2500 + - 5000 2500 2500 posición +θθ 2 2500 2500 2500 de donde se obtiene obtiene el valor = θ - límite: =5000 60º.x cos Deθ2las= ecuaciones y se calculan demás valores de esta el primera de donde se valor 2 = θ 44 = 60º. De las ecuaciones y se calculan x 2500 + 2500 5000 cos θ = 2500 2 demás valores de esta el primera posición límite: demás valores de esta primera posición límite: de donde se obtiene valor θ = θ = 60 º. De las ecuaciones de donde se obtiene el valor θ 22 = θ 44 = 60º. De las ecuaciones yy se se calculan calculan demás valores de esta primera posición límite: 2 = θ4 de donde se obtiene valor posición θ 2 =POSICIÓN θ 4 límite: = 60º.LÍMITE De las θecuaciones y se calculan demás valores de esta el primera POSICIÓN = θθ 44θ 6 (º) POSICIÓN LÍMITE demás valores de esta primera θ 2 (º) θ 3 (º)posición θ 4límite: (º) LÍMITE θ 5 (º) θθ 22 = r 7 (cm) (º) (º) POSICIÓN (º) LÍMITE (º) θθ 22 = (º) (cm) θθ 22 (º) θθ 33 (º) θθ 44 (º) θθ 55 (º) rr 77 (cm) = θθ 44θθ 66 (º) POSICIÓN LÍMITE 60 300 60 18,59 113,97 73,53 θ 2 = θ113,97 POSICIÓN LÍMITE 4θ 6 (º) θθ 60 θθ300 θθ 4460(º) θθ 55 (º) rr73,53 2 (º) 3 (º) 7 (cm) 18,59 (º) (º) (º) (º) θ (º) 2 3 6 7 (cm) 60 300 60 18,59 113,97 73,53 + 180º,θ 3resolviendo medianteθ 5el(º)mismo113,97 Para θ 2 = θθ60 (º) θ 460(º) θprocedimiento r73,53 24(º) 6 (º) 7 (cm)de 60 + 180º, 300 300 60mediante18,59 18,59 113,97 73,53 de θ = θ resolviendo el mismo procedimiento Para deducen los valores de esta segunda posición límite: 2 4 Para θ 2 = θ60 4 + 180º, resolviendo mediante el mismo procedimiento de 300 60 18,59 113,97 73,53 deducen los valores de esta posición límite: deducen los valores esta segunda posición límite:el θ = θ 180 ºº,, segunda resolviendo mediante Para 2 + de 180 resolviendo mediante el mismo mismo procedimiento procedimiento de de Para θ 2 = θ 44 + deducen esta posición límite: θ 2 valores = θ 4 + de 180 º, segunda resolviendo mediante procedimiento de Para los deducen los valores de esta segunda posición límite: POSICIÓN LÍMITE θel2 =mismo θ 4 + 180º deducen los valores de esta segunda posición límite: θ 4 + 180º POSICIÓN LÍMITE θ θθ5 22(º)= = θ 4 + 180º θ 2 (º) θ 3 (º)POSICIÓN θ 4 (º)LÍMITE θ 6 (º) θ (º) θ (º) θ (º) θ (º) θθ 66 (º) POSICIÓN LÍMITE θ = θ + 180º 2 3 4 5 2 4 θ 2 (º) θ 3 (º)POSICIÓN θ 4 (º)LÍMITE164,43 θ θ5 2(º)= θ 4 + 180º (º) 205,84 231,68 25,84 65,62 cálculo, cálculo, cálculo, cálculo, cálculo, los los los los los los se se se se se cálculo, se r 7 (cm) rr71,81 7 (cm) 7 (cm) MANUALES UEX 205,84 231,68 25,84 65,62 θθ 22 (º) θθ 33 (º) θθ 44 (º) θθ θ55 2(º) θθ 66 (º) rr71,81 7 (cm) 205,84 231,68 25,84 164,43 65,62 71,81 (º) (º)POSICIÓN (º)LÍMITE164,43 (º)= θ 4 + 180º (º) 7 (cm) La carrera de trabajo del balancín O 1 A será: 205,84 231,68 25,84 164,43 65,62 71,81 Carrera = ∆ θ = 300 º º = º θ θ θ θ (º) θ (º) r 2 (º) 3 (º) 43(º) 5231,68 668,32 7 (cm) 205,84 231,68 25,84 La carrera carrera de de trabajo del del balancín O Carrera = ∆O θ 113A 300º 164,43 - 231,68º =65,62 68,32º 71,81 La trabajo balancín A=será: será: 205,84 231,68 25,84 164,43 65,62 71,81 VELOCIDAD La 78 La carrera carrera de de trabajo trabajo del del balancín balancín O O 11 A A será: será: VELOCIDAD 78 78 La carrera delatrabajo del balancín A será: Derivando ecuación vectorialO 1del primer polígono se obtiene la relación de Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de velocidades entre los puntos A y B de la biela:78 los puntos velocidades entre A y B de labiela:78 78 dr1 dr2 dr3 dr4 B 2 x r2 = ω 3 x r3 + ω 4 x r4 vA + v v= ω dr 1 + dr 2 = dr 3 + dr 4 B/A dt + dt = dt + dt v = v + v B ω2 x r2 = ω3 x r3 + ω4 x r4 A B/A 82 dt dt dt dt Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: 2 x π -20 x 150 x 2 x π x senθ= 2 -20 x 150 x 60 x senθ= 2 60 2 x π 20 x 150 x 2 x π x cosθ= 2 20 x 150 x 60 x cosθ= 2 60 - 50 x ω3 x senθ3 - 70 x ω4 x senθ4 - 50 x ω3 x senθ3 - 70 x ω4 x senθ4 50 x ω3 x cosθ3 + 70 x ω4 x cosθ4 50 x ω3 x cosθ3 + 70 x ω4 x cosθ4 de donde se calculan ω 3 y ω 4 . Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, de donde selacalculan 3 y ω 4 . Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo relaciónωde velocidades entre los puntos C y D de la biela: deduciendo la relación de velocidades entre los puntos C y D de la biela: dr5 dr6 dr7 5 x r5 + ω 6 x r6 = vD = vD j vD ω vC + v dr 5 + dr 6 = dr 7 D/C = ÍNDICE dt + dt = dt vD ω5 x r5 + ω6 x r6 = vD = vD j v C + vD/C = dt dt dt donde ω = ω = 150 rpm. Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son: Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: 2 x π -20 x 150 x 2 x π x senθ= - 50 x ω3 x senθ3 - 70 x ω4 x senθ4 2 -20 x 150 x 60 x senθ= - 50 x ω3 x senθ3 - 70 x ω4 x senθ4 2 x π DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 2 60 CINEMÁTICA x x x x 20 x 150 x 2 x π x cosθ= 50 ω cos θ + 70 ω cos θ 2 3 3 4 4 60 20 x 150 x 50 x ω3 x cosθ3 + 70 x ω4 x cosθ4 x cosθ= 2 60 de donde se calculan ω 3 y ω 4 . Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, de donde selacalculan ω 4 . Para elentre segundo polígono se opera análogamente, 3 yvelocidades deduciendo relaciónωde los puntos C y vectorial D de la biela: deduciendo la relación de velocidades entre los puntos C y D de la biela: dr5 dr6 dr7 vD + = ω vC + v 5 x r5 + ω 6 x r6 = vD = vD j D/C = dr dr dr dt5 + dt6 = dt7 vD ω5 x r5 + ω6 x r6 = vD = vD j v C + vD/C = dt dt dt donde ω 2 = ω 5 = 150 rpm. Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son: donde ω 2 = ω 5 = 150 rpm. Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son: 2 x π - 30 x 150 x 2 x π x senθ5 - 70 x ω6 x senθ6 - 30 x 150 x 60 x senθ5 - 70 x ω6 x senθ6 2 x60 π 30 x 150 x 2 x π x cosθ5 + 70 x ω6 x cosθ6 30 x 150 x 60 x cosθ5 + 70 x ω6 x cosθ6 60 =0 =0 =vD =vD que permiten determinar v D y ω 6 . Los valores de velocidad que resultan de las ecuaciones que determinarlímite vD y ω Los valores de velocidad que resultan de las ecuaciones 6 . balancín para las posiciones del son: y permiten y para las posiciones límite del balancín son: ω 2 (rad/s) ω 2 (rad/s) 15,71 15,71 ω 2 (rad/s) ω 2 (rad/s) 15,71 15,71 VELOCIDAD POSICIÓN LÍMITE θ 2 = θ 4 VELOCIDAD POSICIÓN LÍMITE θ 2 = θ 4 ω 3 (rad/s) ω 3 (rad/s) 0 0 ω 4 (rad/s) ω 4 (rad/s) 4,49 4,49 ω 5 (rad/s) ω 5 (rad/s) 15,71 15,71 ω 6 (rad/s) ω 6 (rad/s) -2,35 -2,35 VELOCIDAD POSICIÓN LÍMITE θ 2 = θ 4 + 180º VELOCIDAD POSICIÓN LÍMITE θ 2 = θ 4 + 180º ω 3 (rad/s) ω 3 (rad/s) 0 0 ω 4 (rad/s) ω 4 (rad/s) -4,49 -4,49 ω 5 (rad/s) ω 5 (rad/s) 15,71 15,71 ω 6 (rad/s) ω 6 (rad/s) -1,98 -1,98 v D (cm/s) v D (cm/s) 513,44 513,44 v D (cm/s) v D (cm/s) -511,28 -511,28 ACELERACIÓN ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se Realizando una segunda derivada para deduce que la relación de aceleraciones entrelalosecuación puntos Avectorial y B de la del bielaprimer es: polígono se deduce que la relación de aceleraciones entre los puntos A y B de la biela es: 2 d2 r 1 d2 r 2 d2 r 3 d79 r4 79 + = + dt2 dt2 dt2 dt2 a= B aA + aB/A ω2 x ω2 x r2 = α3 x r3 + ω3 x ω3 x r3 + α 4 x r4 + ω x ω4 x r4 ( ) ( ) ( ) 2 x π -20 x 150 x 60 2 x cosθ2 = - 50 x α3 x senθ3 - 50 x ω23 x cosθ3 - 70 x α4 x senθ4 - 70 x ω24 x cosθ4 2 x π -20 x 150 x 60 2 x 2 3 x senθ2 =50 x α3 x cosθ3 - 50 x ω senθ3 + + 70 x α4 x cosθ4 - 70 x ω24 x senθ4 de donde se calculan α 3 y α 4 . Operando igual para el segundo polígono se deduce que la relación de aceleraciones entre los puntos C y D de la biela es: d2 r 5 d2 r 6 d2 r 7 + = aD aC + aD/C = dt2 dt2 dt2 ÍNDICE MANUALES UEX Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: 83 60 - 70 x α4 x senθ4 - 70 x ω24 x cosθ4 2 2 x π 2 -20 x 150 x x senθ2 =50 x α3 x cosθ3 - 50 x ω3 x senθ3 + MANUEL REINO FLORES, MARÍN 60GALÁN GLORIA + 70 x α4 x cosθ4 - 70 x ω24 x senθ4 de donde se calculan α 3 y α 4 . Operando igual para el segundo polígono se deduce que la relación de aceleraciones entre los puntos C y D de la biela es: d2 r 5 d2 r 6 d2 r 7 + = dt2 dt2 dt2 ω5 x ω5 x r5 + α 6 x r6 + ( ) aC + aD/C = aD ω6 x ω6 x r6 = ( ) aD= aD j Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: 2 x π -30 x 150 x 60 2 2 x π -30 x 150 x 60 2 x cosθ5 - 70 x α6 x senθ6 - 70 x ω26 x cosθ6 = 0 x senθ5 + 70 x α6 x cosθ6 - 70 x ω26 x senθ6 =aD de donde se calculan a D y α 6 . Los valores de aceleración que resultan de las ecuaciones y para las posiciones límites del balancín son: ACELERACIÓN POSICIÓN LÍMITE θ 2 = θ 4 α 2 (rad/s ) α 3 (rad/s2) α 4 (rad/s2) α 5 (rad/s2) α 6 (rad/s2) a D (cm/s2) 0 -81,40 -29,07 0 -107,23 336,55 2 ACELERACIÓN POSICIÓN LÍMITE θ 2 = θ 4 + 180º α 2 (rad/s2) α 3 (rad/s2) α 4 (rad/s2) α 5 (rad/s2) α 6 (rad/s2) a D (cm/s2) 0 291,13 187,16 0 110,06 942,75 MANUALES UEX 80 84 ÍNDICE CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 4.5. En la plataforma elevadora hidráulica de la figura O 1 O 2 es la base fija y el accionamiento se realiza a través del cilindro hidráulico O 2 B. Si el cilindro O 2 B se expande con una velocidad constante igual a 0,1 m/s, determinar la velocidad y aceleración de la plataforma cuando θ = 40º. Datos: O 1 A = AC = AD = AB = 0,6 m. C D A B θ O2 O1 0,1 m/s Solución Se consideran dos polígonos vectoriales de cierre: A r3 r2 θ3 θ2 O1 B r1 81 r4 r5 MANUALES UEX D θ4 A r2 θ2 O1 85 POSICIÓN Las ecuaciones vectoriales de cada unoÍNDICE de los polígonos son: A r2 r5 A r2 θ 2 O1 θ2 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN O1 POSICIÓN POSICIÓN Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: polígonos Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los son: Por tanto: Por tanto: r1 r1 r2 r2 r1 + r3 = r5 − r1 + r3 = r5 − + + + + r4 r4 r3 r3 r4 r4 = r2 = r2 = r5 = r5 r1 + r3 + r1 + r3 + r4 = r5 r4 = r5 siendo θ 3 = θ 4 = 180°- θ 2 . Nótese entonces que el mecanismo puede resolverse con un solo cierre, θque es4 =una combinación lineal deque loseldos cierres planteados. Estas con ecuaciones siendo 180°θ 2 . Nótese entonces mecanismo puede resolverse un solo 3 = θ vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: cierre, que es una combinación lineal de los dos cierres planteados. Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: r1 + ( 0,6 + 0,6 ) x cos(180 - θ2 ) = 0 r(10,6 + ( 0,6 + )0,6 ) x cos(180 - θ2 -) θ= + 0,6 x sen(180 2 ) r5= 0 ( 0,6 + 0,6 ) x sen(180 - θ2 ) = r5 Para θ 2 = 40° se deducen los valores: Para θ 2 = 40° se deducen los valores: r 1 = 0,9192 m ; r 5 = 0,7713 m r 1 = 0,9192 m ; r 5 = 0,7713 m VELOCIDAD VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de velocidades entre y B: Derivando la Aecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de entre A y B : velocidades dr 1 dr dr 2 + 3 = dt1 dt3 dt2 dr dr dr + = dt dt dt vB + v A/B = v A vB + v A/B = vA vB + ω3 x r3 = ω2 x r2 vB + ω3 x r3 = ω2 x r2 donde vB = - 0,1 i m/s, de valor constante. donde vB = - 0,1 i m/s, de valor constante. Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de velocidades entre A ypolígono D: Para el segundo vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de velocidades entre A y D: dr 2 dr 4 dr 5 + = dt dt dt 82 82 v A + vD/A = vD ω2 x r2 + ω4 x r4= vD= vD j MANUALES UEX Despejando de y se tiene: vB + ω3 x r3 + ω4 x r4= vD= vD j donde ω 3 = ω 4 . Esta ecuación vectorial que se resuelve mediante las ecuaciones: − 0,1 − ( 0,6 + 0,6 ) x ω3 x sen(180 - θ2 ) = 0 ( 0,6 + 0,6 ) x ω3 x cos(180 - θ2 ) = vD 86 Para θ 2 = 40° se deducen los valores: ω3 = - 0,1296 rad/s k ÍNDICE ACELERACIÓN ; vD = 0,1192 m/s j B 3 3 4 4 D D donde ω 3 = ω 4 . Esta ecuación vectorial que se resuelve mediante las ecuaciones: donde ω 3 = ω 4 . Esta ecuación mediante ecuaciones: − 0,1vectorial − ( 0,6 +que 0,6se ω x sen(180 - θ )las= 0 ) xresuelve 3 2 0,1+− (0,6 0,6) x+ω0,6 0 - θ2 ) = vD- θ2 ) = ) x ω3 x sen(180 (−0,6 3 x cos(180 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS ( 0,6 + 0,6 ) x ω3 x cos(180 - θ2 ) = vD Para θ 2 = 40° se deducen los valores: los valores: Para θ 2 = 40° se deducen ω3 = - 0,1296 rad/s ω3 = - 0,1296 rad/s ACELERACIÓN k k vD = 0,1192 m/s vD = 0,1192 m/s ; ; j j ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce la relación aceleraciones entrepara los puntos A y B:vectorial del primer polígono se Realizando unadesegunda derivada la ecuación deduce la relación de aceleraciones entre 2los puntos Ay B: d2r 1 d2 r 3 d r2 aB + aA/B = aA 2 + 2 = 2 2 ddt r1 dt2 ω3 x ω3 x 2 2 ddt r3 ddt r2 a + a = a + = 2 dt dt2 B A/B A ω3 x r3 + α 3 x r3 = ω2 x ω2 x r2 + α2 x r2 ω3 x r3 + α 3 x r3 = ω2 x ω2 x r2 + α2 x r2 ( ) ( ) ( ) ( ) = 0. Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la donde a B relaciónade aceleraciones entre A y D: donde B = 0. Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la entre Ay D: relación de aceleraciones d2r 2 d2 r 4 d2 r 5 aD aA + aD/A = + = 2 2 2 2 ddt r 2 ddt r 2 ddt r 2 4 5 a a + aD/A = + = 2 dt2 A D dt2 dt ω2 x ω2 x r2 + α2 x r2 + ω4 x ω4 x r4 + α 4 x r4= aD= aD j ω2 x ω2 x r2 + α2 x r2 + ω4 x ω4 x r4 + α 4 x r4= aD= aD j Despejando de y : y: Despejando de ω3 x ω3 x r3 + α3 x r3 + ω4 x ω4 x r4 + α 4 x r4 = aD= aD j ω3 x ω3 x r3 + α3 x r3 + ω4 x ω4 x r4 + α 4 x r4 = aD= aD j donde α 3 = α 4 . Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) donde α 3 = α 4 . −Esta se resuelve mediante las 2 ecuaciones: + 0,6 ) x αvectorial 0 ( 0,6ecuación 3 x sen(180 - θ2 ) − ( 0,6 + 0,6 ) x ω3 x cos(180 - θ 2 ) = - θ-2θ) 2−) (−0,6 - θ-2θ)2 )= aD0 = x sen(180 x cos(180 (−0,6 ) x) ωx 23ωx23 sen(180 ( 0,6+ +0,60,6) x) αx 3αx3 cos(180 ( 0,6+ +0,60,6 2 - θ ) − ( 0,6 + 0,6 ) x ω3 x sen(180 - θ2 ) = aD ( 0,6 + 0,6 ) x α3 x cos(180 Para θ 2 = 40° se deducen los valores: 2 los valores: Para θ 2 = 40° se deducen α 3 = 0,02 rad/s2 k α 3 = 0,02 rad/s2 k ; ; aD = - 0,0314 m/s2 aD = - 0,0314 m/s2 j j MANUALES UEX 83 83 87 ÍNDICE MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN 4.6. En el mecanismo representado en la figura, la manivela AB gira en sentido antihorario con una velocidad angular constante ω AB = 8 rad/s. En el instante representado, en el que θ AB = 30º, θ CB = 150º y θ DE = 45º, determinar: a) grados de libertad del sistema. b) ecuaciones que permiten calcular la posición, velocidad y aceleración de todos los eslabones en cada instante en función del movimiento de la manivela AB. Interpretar vectorialmente dichas ecuaciones. c) velocidad de las deslizaderas C y E en el instante que se muestra en la figura, así como las velocidades absolutas de los puntos B y D. d) aceleración de las deslizaderas C y E en el instante que se muestra en la figura, así como las aceleraciones de los centros de masa de las barras AB y BC. Datos: AB = 75 mm; BC = 300 mm; BD = DC = DE. E ωAB B θAB A θDE D θCD C 84 Solución MANUALES UEX a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1 b) Son necesarios dos polígonos vectoriales de cierre: 88 B r3 A θ3 r4 ÍNDICE a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1 b) Son necesarios dos polígonos vectoriales de cierre: CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS B r3 A θ3 r4 D r1 θ4 r2 C E r8 r5 θ5 D 85 r7 r6 θ6 C MANUALES UEX POSICIÓN Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: r1 + r2 + r4 = r3 r6 + r5 + r8 = r7 89 Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: r2 + 300 x cosθ 4 = 75 x cosθ3 - r1 + 300 x senθ 4 = 75 x senθ3 150 x cosθ6 +ÍNDICE 150 x cosθ 5 + r8 = 0 150 x senθ6 + 150 x senθ 5 = r7 POSICIÓN Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: los polígonos Las ecuaciones vectoriales de cada uno de son: r1 + r2 + r4 = r3 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN r1 + r2 + r4 = r3 r6 + r5 + r8 = r7 r6 + r5 + r8 = r7 Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones: r2 + 300 x cosθ 4 = 75 x cosθ3 r-2 r1+ +300 θ 4θ 4= 7575x cos θ3θ3 x sen x sen 300x cos = - r1 + 300 x senθ 4 = 75 x senθ3 150 x cosθ6 + 150 x cosθ 5 + r8 = 0 θ x θ 150 xx cos + 150 cos + r = 0 x senθ55 = sen 66 78 150 x senθ6 + 150 x senθ 5 = r7 siendo θ 4 = θ 6 . siendo θ 4 = θ 6 . VELOCIDAD VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se Derivando la los ecuación del primer polígono se velocidades entre puntos Bvectorial y C de la biela: los puntos velocidades entre B y C de la biela: dr1 dr dr dr3 + 2 + 4 = vC + v vB B/C = dr dr dr dr dt1 dt2 dt4 dt3 + + = v C + vB/C = vB dt dt dt dt Ecuación vectorial que se resuelve mediante las ecuaciones: Ecuación vectorial que se resuelve mediante las ecuaciones: obtiene la relación de obtiene la relación de v C + ω4 x r4 = v C + ω4 x r4 = x senθ4 v C - 300 x ω4= - 75 x 8 x senθ3 v C - x 300 ω4= 300 ω4 = θx4senθ75 cosx θ83 x senθ3 x xcos 4 x 8- x75 300 x ω4 = 75 x 8 x cosθ3 x cosθ4 vC , ω4 vC , ω4 ω3 x r3 ω3 x r3 Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de velocidades: velocidades: dr6 dr5 dr8 dr7 + + = +v v v D/C E/D + v C = E dr dr dr dr dt6 dt dt dt7 + 5 + 8= vE vD/C + vE/D + vC = dt dt dt dt ω6 x r6 + ω5 x r5 + v C = vE ω6 x r6 + ω5 x r5 + v C = vE Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son: Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son: vC - 150 x ω6 x senθ6 - 150 x ω5 x senθ5 =0 vC - x150 θ6 - 150 θ5vE=0 150 ω6 x ω cos cos x ω5 xx ω 6 xθsen 5 xθsen 6 + 150 5 = 150 x ω6 x cosθ6 + 150 x ω5 x cosθ5 =vE donde ω 4 = ω 6 . donde ω 4 = ω 6 . MANUALES UEX ACELERACIÓN vE , ω 5 vE , ω 5 86 86 Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono, se deduce que la relación de aceleraciones entre los puntos B y C de la biela es: d2 r 3 d2 r 1 d2 r 2 d2 r 4 + + = aB aC + aB/C = 2 2 2 2 dt dt dt dt ac + α4 x r4 + ω4 x ω4 x r4 = ω3 x ω3 x r3 ( ) ( ) 90 Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: aC - 300 x α4 x senθ4 - 300 x = ω24 x cosθ4 - 75 x 82 x cosθ3 ÍNDICE 300 x α4 x cosθ4 - 300 x = ω24 x senθ4 - 75 x 82 x senθ3 aC , α4 d r3 d r1 d r 2 d r 4 2 2 a + d22 r 2 + d22 r 2 = a C + a B/C = d dddt 2 r23 2 r21 B 2 4 ddtr 3 r 1 + ddtr 2 + ddtr 4 = a + a = a C B/C B 2 2 2 2 + + = a + a = a dt dt dt dt2 dt2 dt dt2 dt2 C B/C B ac + α x r + ω x ω x r = ω x ω x r 4 3 3 4 xDEr4 MECANISMOS 4 4 PLANOS 3Y PROBLEMAS CINEMÁTICA TEORÍA RESUELTOS aac + α == .ω 4 4 + ω4 x ω4 x r4 ω33 xx ω ω33 xx rr33 c + α 4 x r4 + ω4 x ω4 x r4 ( (( ) )) ( (( ) )) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: Esta las Esta ecuación ecuación vectorial vectorial se se resuelve resuelve mediante mediante las ecuaciones: ecuaciones: 2 2 ω4 x cosθ4 - 75 x 8 x cosθ3 aC - 300 x α4 x senθ4 - 300 x = 2 2 a ω θ 75 x α 4 x senθ4 - 300 2 x= 2 x 82 x cosθ3 aCC -- x300 300 sen θ 300 = ω244 xxθcos cos θ- 4475 --x 8 75 8 xθcos θ3 x α4 x α θ = ω 300 cos 300 sen x x xx sen 4 4 4 4 4 3 2 2 300 ω 75 x α 4 x cosθ4 - 300 x = x senθ4 x 82 x senθ3 2 4 300 x α x cosθ - 300 x = ω x senθ - 75 x 8 x senθ aC , α4 aaC ,, α 4 C α4 4 4 3 Operando igual4 para el4segundo polígono se deduce la relación de aceleraciones: Operando igual para el segundo polígono se deduce la relación Operando2 igual para el segundo polígono se deduce la relación de de aceleraciones: aceleraciones: d r6 d2 r5 d2 r8 d2 r7 2 2 2 2 + + = a + a + a a D/C E/D C = d d d d 2 r26 2 r25 2 r28 2 r27 E ddtr 6 + ddtr 5 + ddtr 8 = ddtr 7 a + a + a = a D/C E/D C E 2 2 2 2 + dt2 + dt2 = a aD/C + aE/D + aC = dt dt E dt2 dt dt dt2 xr + ω x ω6 x r6 + α xr + ω x ω5 x r5 + aC =aE α 6 6 ω 6 5 5 ω 5 a α66 xx rr66 + + ω66 xx ω ω66 xx rr66 + + α α55 xx rr55 + + ω55 xx ω ω55 xx rr55 + + aaCC = =aEE α Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: Esta Esta ecuación ecuación vectorial vectorial se se resuelve resuelve mediante mediante las las ecuaciones: ecuaciones: - 150 x α6 x senθ6 - 150 x ω26 x cosθ6 - 150 x α5 x senθ5 - 150 x ω52 x cosθ5 + aC =0 2 2 -- 150 x α6 x senθ6 - 150 x ω x cos 150 x x sen θ α θ - 150 xx ω 2 x cosθ5 + aC =0 150x α x α6x cos x sen 150x xωω26 662x xsen cosθθ6 66 + - 150 150 150 xxαα555 xxsen cosθθ555 -- 150 150 x ω senθθ55 +=aaCE =0 ω5552 xx cos θ6θ-6 -150 6 2 2 150 150 xx α cosθ 150 xx ω senθ 150 xx α cosθ 150 xx ω senθ ω266 xx sen θ66 + + 150 α55 xx cos θ55 -- 150 ω552 xx sen θ55 = =aaEE α66 xx cos θ66 -- 150 de donde se calculan a E y α 5 , ya que α 4 = α 6 . de α 5 ,, ya ya que que α α4 = =α α 6 .. de donde donde se se calculan calculan aa E yy α c) Para θAB= θ3 = 30º, θE CB= θ5 4 = θ6 = 1504 º y 6θDE= θ5 = 45º : c) = ºº,, θθ = 150 θθ = c) Para Para θθ = =deθθ las = 30 30 = θθ = =θθse= = deducen 150ºº yy θθlos= =valores: = 45 45ºº :: POSICIÓN: ecuaciones POSICIÓN: de de las las ecuaciones ecuaciones se deducen los valores: POSICIÓN: deducen r 1 =se112,5 mmlos; valores: r 2 = 324,76 mm rr 1 = 112,5 mm ;; rr 2 = 324,76 mm = 112,5 mm 1 2 = 324,76 mm Y de las ecuaciones se obtiene: Y Y de de las las ecuaciones ecuaciones se se obtiene: obtiene: r 7 = 181,07 mm ; r 8 = 23,84 mm r7 = mm = 181,07 181,07calcular: mm ;; rr 88 = = 23,84 23,84 mm mm VELOCIDAD: las ecuaciones r 7permiten VELOCIDAD: las ecuaciones permiten calcular: VELOCIDAD: las ecuaciones permiten calcular: v ; ω 6 = - 2 rad/s k C = - 600 mm/s i 4 = ω v ;; ω vCC = = -- 600 ω44 = = ω ω66 = = -- 2 600 mm/s mm/s ii 2 rad/s rad/s kk Las ecuaciones del segundo polígono dan como resultado: Las polígono Las ecuaciones ecuaciones del del segundo segundo polígono dan dancomo como resultado: resultado: ω vE = - 190,19 mm/s j ; 5 =- 4,24 rad/s k ω5 = =-- 4,24 vvE = - 190,19 mm/s j ;; ω 4,24 rad/s rad/s kk E = - 190,19 mm/s j 5 Para calcular la velocidad absoluta de B se tiene: Para Para calcular calcular la la velocidad velocidad absoluta absoluta de de B B se se tiene: tiene: ( (( ) )) ( (( AB 3 CB 4 6 DE 5 AB 3 CB 4 6 DE 5 AB 3 CB 4 6 DE 5 ) )) 87 vB = ω3 x r3 = 8 k x 75 x cos30 i +87 75 x sen30 j = - 300 i + 519,62 j (mm/s) 87 ) Nótese que para calcular la velocidad absoluta de B, en lugar de realizar los productos vectoriales anteriores, puede alternativamente utilizarse la expresión . Estas ecuaciones proporcionan directamente las componentes x e y de v B , tal y como indica la interpretación vectorial realizada: vBx = - 75 x 8 x senθ3 = vBy 75 x 8 x cosθ3 De aquí la importancia (no sólo conceptual) de realizar la interpretación vectorial de las ecuaciones obtenidas en todos los problemas, pues a través ella se pueden deducir los términos correspondientes a la velocidad o aceleración de muchos puntos de interés. En este caso, por ejemplo, se puede obtener la velocidad de D a través de la expresión ÍNDICE . Conociendo v c , se puede, a través de , identificar los términos correspondientes a la velocidad v D/C y aplicar que: MANUALES UEX ( 91 vectoriales anteriores, puede alternativamente utilizarse la expresión . Estas ecuaciones Nótese que para calcular la velocidad absoluta de B, en lugar de realizar los productos proporcionan directamente las componentes x e y de v B , tal y como indica la interpretación vectoriales anteriores, puede alternativamente utilizarse la expresión . Estas ecuaciones vectorial realizada: proporcionan directamente las componentes x e y de v B , tal y como indica la interpretación vectorialREINO realizada: vBx = - 75 x 8 x senθ3 MANUEL FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN = vBy 75 x 8 x cosθ3 vBx = - 75 x 8 x senθ3 = vBy 75 x 8dex cos θ3 la interpretación vectorial de las De aquí la importancia (no sólo conceptual) realizar ecuaciones obtenidas en todos los problemas, pues a través ella se pueden deducir los De aquí la importancia (no sólo conceptual) de realizar la interpretación vectorial de las términos correspondientes a la velocidad o aceleración de muchos puntos de interés. ecuaciones obtenidas en todos los problemas, pues a través ella se pueden deducir los En este caso, por ejemplo, se puede obtener la velocidad de Dpuntos a través la expresión términos correspondientes a la velocidad o aceleración de muchos de de interés. . Conociendo v c , se puede, a través de , identificar los términos correspondientes a la En este caso, por ejemplo, se puede obtener la velocidad de D a través de la expresión velocidad v D/C y aplicar que: . Conociendo v c , se puede, a través de , identificar los términos correspondientes a la velocidad v D/C y aplicar que: vD /C + vC = vD vD /C vectorialmente + vC = vD se obtiene: Si la velocidad absoluta de D se calcula Si la velocidad absoluta devD se calcula vectorialmente obtiene: v= vD= vse D C + vD/C C + ω6 x r6 v= v + v vD= vC + ω6 x r6 vD = D- 600 iC + - 2D/C k x 150 x cos150 i + 150 x sen150 j - 2 k x 150 x cos150 i + 150 x sen150 j vD = - 600 i + = vD - 450 i + 259,81 j (mm/s) ( ( ) ) - 450 i + 259,81 ACELERACIÓN: resolviendo= lasvDecuaciones para jla(mm/s) posición de los eslabones del apartado anterior se obtiene: ACELERACIÓN: resolviendo las ecuaciones para la posición de los eslabones del apartado anterioraseC obtiene: = - 4156,92 mm/s2 i ; α4 = α6 = 6,928 rad/s2 k - 4156,92: mm/s2 i ; α4 = α6 = 6,928 rad/s2 k Y resolviendoalas ecuaciones C = Y resolviendo las ecuaciones aE = - : 9175,04 mm/s2 j ; α5 =- 57,19 rad/s2 k 2 2 aE = -absoluta = 9175,04del mm/s ; αde5 la - 57,19 rad/s Para calcular la aceleración centroj de masa manivela AB: k la aaceleración absoluta del centro de masa de la manivela Para calcular AB: B aG (AB) = = ω3 x ( ω3 x rG (AB) ) = 8 k x 8 k x ( 37,5 x cos30 i + 37,5 x sen30 j ) 2 aB aG (AB) = = ω3 x ω3 x rG (AB) = 8 k x 8 k x 37,5x cos30 i + 37,5 x sen30 j 2 aG (AB) = - 2078,46 i - 1200 j (mm/s2) 2 (mm/s ) = -de 2078,46 G (AB) La aceleración absoluta adel centro masa dei -la1200 bielaj BC, es decir, el punto D, puede ( ) ( ) MANUALES UEX obtenerse a través de las ecuaciones , o bien desarrollarse vectorialmente a través de las La aceleración absoluta del centro de masa de la biela BC, es decir, el punto D, puede expresiones: obtenerse a través de las ecuaciones , o bien desarrollarse vectorialmente a través de las expresiones: 88 a= aC + aD /C aD= aC + α6 x r6 + ω6 x ω6 x r6 D ( 88 ) aD = - 4156,92 i + 6,928 k x 150 x cos150 i + 150 x sen150 j + + -2 k x -2 k x 150 x cos150 i + 150 x sen150 j aG (BC) = a= - 4156,9 i - 1200 j (mm/s2) D ( ( ) ) 92 4.7. En el mecanismo de la figura, la manivela AOB gira alrededor de O con una velocidad angular constante de 200 rpm en sentido horario. En el instante representado en la figura, en el que OA forma con el sentido positivo del eje x un ángulo θ OA = 315°, se pide: ÍNDICE a) grados de libertad del sistema. + -2 k x -2 k x 150 x cos150 i + 150 x sen150 j (mm/s2Y) PROBLEMAS RESUELTOS aG (BC) = a= - 4156,9 i PLANOS - 1200 .jTEORÍA D MECANISMOS CINEMÁTICA DE ( ) 4.7. En el mecanismo de la figura, la manivela AOB gira alrededor de O con una velocidad angular constante de 200 rpm en sentido horario. En el instante representado en la figura, en el que OA forma con el sentido positivo del eje x un ángulo θ OA = 315°, se pide: a) grados de libertad del sistema. b) determinar las ecuaciones que permiten calcular la posición, velocidad y aceleración de todos los eslabones en cada instante en función del movimiento de la manivela AOB. Interpretar vectorialmente dichas ecuaciones. c) velocidad de los puntos A y C en el instante que se muestra en la figura, donde θ AD = 99o. d) velocidad del pistón F y del punto D en el instante de la figura. Datos: OA = 135 mm; OB = 315 mm; AC = 390 mm; CD = 120 mm; CE = 450 mm; DF = 540 mm; OE x = 480 mm; OE y = 225 mm; EF y = 225 mm. y D F x C E ωOAB O θAD A B Solución a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1 b) Son necesarios dos polígonos vectoriales de cierre: MANUALES UEX 89 93 ÍNDICE MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN C C 4 r4 E 4 r4 r3 2 E r3 O r1 r5 3 2 r1 r2 O r5 A 3 r2 8 A 8 r8 D F r8 D F r7 r’3 2 2 3 MANUALES UEX O 94 r6 r’3 O r6 r2 A r7 3 r2 A POSICIÓN Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: POSICIÓN 90 Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: ÍNDICE CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS POSICIÓN POSICIÓN Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son: r22 r222 r22 r222 + r33 r333 + '33 + rr' + rr''333 = = = = r11 r111 r66 r666 + r55 + r44 + r555 + r444 + r77 + r88 + r777 + r888 ecuacionesvectoriales vectorialesseseresuelven resuelven mediante ecuaciones: Estas ecuaciones mediante laslas ecuaciones: Estas ecuaciones mediante laslas ecuaciones: ecuacionesvectoriales vectorialesseseresuelven resuelven mediante ecuaciones: 135 x cosθ2 135 xxx sen cosθθ22 135 2 135 xx senθ22 135 x cosθ2 135 135 xxx cos senθθ222 135 xx senθ22 + + + + + + + + 390 x cosθ3 390 390 xxx cos senθθ333 390 xx senθ33 510 x cosθ3 510 510 xxx cos senθθ333 510 xx senθ33 = + 450 x cosθ 4 480 480 = + = + 450 225 450 xxx cos senθθ444 225 = + 450 xx senθ 44 = + 540 x cosθ8 r6 r450 xx cosθ 8 = + 540 6 = + 540 x sen 6 8 θ8 450 = + 540 xx senθ88 VELOCIDAD VELOCIDAD VELOCIDAD VELOCIDAD Derivando lalaecuación ecuación vectorial del primer polígono se laobtiene de Derivando vectorial del primer polígono se obtiene relaciónladerelación velocidades Derivando del polígono se laobtiene de Derivando laAlaecuación vectorial dellaprimer polígono se obtiene relaciónladerelación velocidades velocidades entre puntos Avectorial y C de biela:primer entre los puntos ylos Cecuación de la biela: velocidades puntos A y entre A ylos labiela: C de entre los puntos C de la biela: dr dr dr dr dr dr dr11 dr 5 4 33 = dr 22 + dr 5 + + 4 + = v ω x r22 + ω x r33 = ω x r44 v v A C/A C C 22 x r 33 x r 44 x r dr dr dr dr dr dr dr dr dr dr dt dt22 + dt dt33 = dt dt11 + dt dt55 + dt dt44 vCC ω22 xx rr22 + ω33 xx rr33 = ω44 xx rr44 vCC//AA = v AA + dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt Ecuaciónvectorial vectorialque queseseresuelve resuelve mediante ecuaciones: Ecuación mediante las las ecuaciones: Ecuaciónvectorial vectorialque queseseresuelve resuelve mediante ecuaciones: Ecuación mediante las las ecuaciones: Para el segundo segundo el Para segundo velocidades: el segundo velocidades: velocidades: velocidades: polígono polígono polígono polígono vectorial vectorial vectorial vectorial se se se opera opera análogamente, análogamente, opera opera análogamente, análogamente, dr' drdr drdr drdr dr' 6 8 2 7 33 = drdr 6 + 8 2 + 7 + v v A A dr' dr dr dr dr' dr dr dr dr dt dt dt2 22 + dt dt3 33 = dt dt6 66 + dr dt7 77 + dt dt8 88 vvAAA dtdt dtdt dtdt dt dt dtdt ω33 ω33 deduciendo deduciendo deduciendo deduciendo , , ω44 ω44 la la la relación relación relación relación =v v + = v + vvDD// AA vvDD/F /F v D FF D =vvFFF + vvDDD/F =vvDDD + vvDDD/// AAA /F /F ω x r22 + ω x r' vFF + v 3= 3 22 x r 33 x r' ω22 xx rr22 + ω33 xx r' r'3 vvFF + 3= Las ecuaciones ecuacionesque quepermiten permitenresolver resolver mecanismo Las el el mecanismo son:son: Las ecuaciones ecuacionesque quepermiten permitenresolver resolver mecanismo el el mecanismo son:son: Las ω x r88 88 x r ω88 xx rr88 2 x x sen2 510 x 91 3 x sen3 ‐ 135 x ‐200 x vF 540 x 8 x sen8 260 2xx x π xx x x x x x x sen 8θ8 x x x xω - 135xx x ‐200 -200 sen 510 sen 540xx θ − ω θ = x x x ‐ 135 sen 510 sen v 91 2 3 3 FFv 8 F −540 2 2 3 3 3 3 8 8x sen 8 60 2 x60 x cos2 510 x 3 x cos 135 x ‐200 x 540 x 8 x cos8 3 2xx x π 260 x x cos x x cosθ x cos xω xω 135xx x ‐200 510xx θ= 540 540xx 135 22θ2 +510 3 3 8 -200xx x60 xx cos 3 3x cos 3 3 8 8x cos8 8 8 60 de de de de donde se calculan vF y 8. dondese secalculan calculanvFvyF y8.ω 8 . de donde ACELERACIÓN ACELERACIÓN ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce Realizando una segundaderivada derivada para laA yecuación vectorial del primer polígono se una segunda para la ecuación del primer polígono se deduce que Realizando la relación de aceleraciones entre los puntos C devectorial la biela es: deduce que la de relación de aceleraciones entre Alosy Cpuntos A y Ces:de la biela es: que la relación aceleraciones entre los puntos de la biela ÍNDICE 91 d 2 d2 r 3 d2 r 5 d2 r 2 d2 r 1 r4 + = + + 91 dt 2 dt 2 dt 2 dt 2 dt 2 aA + aC / A = aC MANUALES UEX 2 xπ 135x x‐200 -200x x2 x x xsen senθ2 2 −390 390x xω3 3x xsen senθ3 3 450x xω4 4x xsen senθ4 4 = ‐ -135 −450 260 x π 2 xx xx xsen 135xx x‐200 -200xx x 60 390xx xω33 3xx xsen senθ33 3 450xx xω44 4xx xsen senθ44 4 = ‐ -135 −450 senθ22 2 −390 x60 π 22x60 135x x‐200 -200x x cosθ2 2 + 390 390x xω3 3x xcos cos θ3= 450x xω4 4x xcos cosθ4 4 135 450 3 x xcos x π 2260 xx xx xcos x xcos x xcos 135xx x‐200 -200xx x 60 cos θ + 390 ω cos θ = 450 ω cosθ44 4 135 390 450 x x x x x x x x 2 3 3 4 2 3 3 4 2 3 3 4 60 60 95 - 135 x -200 x vF − 540 x ω8 x senθ8 x senθ2 − 510 x ω3 x senθ3 = 60 2 xπ 135 x -200 x 540 x ω8 x cosθ8 3 x cosθ2 + 510 x ω3 x cosθ= 60 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN de donde se calculan v F y ω 8 . ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce que la relación de aceleraciones entre los puntos A y C de la biela es: 2r 2r dd222rr dd222rr dd2 dd222rr dd2 2 r2 2 r4 33 55 11 2 d 2r 2 + d 2r 3 = d 2r 1 + d 2r 5 + d 2r 44 2 2 2 2 2 dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt 2 dt 2 dt 2 dt 2 dt 2 ω x 222 xx a + a = aCC aa aa AAA aa CCC///AAA C (ω xxx rrr ) + α xxx rrr + ω xxx (ω xxx rrr ) = α xxx rrr + ω xxx (ω xxx rrr) 22 2 22 2 33 3 33 3 33 3 33 3 33 3 44 4 44 4 44 4 44 4 44 4 ecuaciónvectorial vectorialse resuelve mediante ecuaciones: Esta mediante las ecuaciones: Esta ecuación ecuación vectorial seseresuelve resuelve mediante laslas ecuaciones: 2 2 x 2 x2π 2 2 2 ‐‐ 135 ‐200 x x 2 xx x 3x α x sen x 2 x cos x -200 x cos - 135 - 390 - 390 3x ω 3 x sen 3 x cos 3 = xx cos 135 cos 390 390 22 θ‐‐ 2 390 33 ‐‐θ3390 33 θ x x x 3 x sen x 3 x cos ‐200 60 60 60 2 2 ‐‐ = 450 x 4x α x sen x 2 x cos - 450 - 450 4x ω 4 x sen 4 x cos 44 ‐‐θ4450 44 θ4 450 450 x 4 x sen x 4 x cos 2 2 2 2 2 2 2 x πx sen 2 xxx 2x ω ‐‐ 135 ‐200 390 cos ‐ 390 sen x x x x x x x x x x x 135 -200 sen 390 cos 390 sen θ + α θ θ = 3 ‐ 3 3 x sen 3 3 3 3 x sen22 2 390 x 33 x cos x 135 x ‐200 390 x 3 3 3 60 60 60 2 2 2x ω 450 x cos ‐ 450 x x sen x 4x α x cos θ 450 x sen θ 450 = 4 4 450 x x cos 4 ‐ 4450 x 4 x sen 4 4 4 4 4 4 de dondese secalculan calculan de donde donde se calculan 33αyy3 y44..α 4 . Operando polígono se la de Operandoigual igualpara parael segundo polígono se deduce la relación de aceleraciones: Operando igual para elelsegundo segundo polígono se deduce deduce la relación relación de aceleraciones: aceleraciones: 22 22 22 22 22 2 r' 2r 2r 2r 2r d d d d d r' d r d r dd r d r 3 6 2 7 d r22 + d r'33 = d r66 + d r77 + d r888 dt222 dt222 dt222 dt222 22 dt dt dt dt dt dt dt 2 dt dt dt dt ω222 xxx ‐‐- aa /F aAAA =aaaFFF =aaD +aaaDDD/// AAA +aaaDDD/F /F aDD 2 22 2 22 3 33 3 33 3 33 3 33 3 33 ( ) ω xxx rrr ) ω xxx ( ω xxx rrr''' = + α xxx rrr''' + aa aFFF ω888 xxx + α888 xxx rrr888 + 8 88 8 88 ( ω xxx rrr ) Esta mediante las ecuaciones: ecuaciónvectorial vectorialse resuelve mediante ecuaciones: Esta ecuación ecuación vectorial seseresuelve resuelve mediante laslas ecuaciones: 2 x π2 2 2 22xx ‐200 x 2 cos 135 510 sen 510 cos ‐‐ -135 α33 3xx xsen θ33 3‐‐ -510 ω233 23xx xcos θ33 3 135xx x ‐200 -200x x 60 xx xcos cosθ22 2 ‐‐ -510 510xx x sen 510xx x cos = 60 60 2 540 sen 540 cos α88 8xx xsen θ88 8‐‐ -540 ω288 28xx xcos θ88 8 540xx x sen 540xx x cos = aaaFF F ‐‐ -540 2 2 x 2 2 22x x π sen2 510 x 3 x cos3 ‐ 510 x 223 2x sen3 135 ‐200 ‐‐ -135 135xx x ‐200 -200xx x 60 xx xsen senθ2 2 +510 510x xα3 3x xcos cosθ3 3‐ -510 510x xω3 3x xsen senθ3 3 = 60 60 2 540 = 540 α8 xx xcos cos θ8 ‐‐ -540 540 ω28 2xx xsen sen θ8 cos 540xx x sen 540xx x MANUALES UEX 88 96 88 88 88 que permiten calcular y 88α.. 8 . que que permiten permitencalcular calcularaaFFayyF o o c) Para Para θ OA== θ=2 = 315 o o y θ AD = θ 3 o= 99o: c) 315 o y o yADθ= 3== θ99o=: 99o: OA ==2θ= = 315 c) 315 y = = 99 : OA = 2θ 2 = AD 3 = AD 3 c) Para Para θθOA 315 y θ = θ 99 : OA 2 AD 3 POSICIÓN: de las ecuaciones se deducen 92 los valores: POSICIÓN: de las ecuaciones se deducen los POSICIÓN: ecuaciones se los POSICIÓN: laslas ecuaciones se los valores: valores: POSICIÓN:dede de las ecuaciones deducen se deducen deducen los valores: valores: θ 4 = 171,9ooo = 171,9 o 4 θθ444 = 171,9 == 171,9 171,9o Y de las ecuaciones se obtiene: YYY de las ecuaciones obtiene: de las ecuaciones sese obtiene: Y de delas lasecuaciones ecuaciones se seobtiene: obtiene: θ 8 = 184,43 ooo ; r 6 = 554 mm 184,43 θθ 88= 554 mm 184,43oo ;;; rrrr6666=== 554 mm =88 ==184,43 184,43 =554 554mm mm VELOCIDAD: las ecuaciones permiten calcular: VELOCIDAD: las ecuaciones permiten calcular: VELOCIDAD: las ecuaciones permiten calcular: VELOCIDAD: ecuaciones permiten calcular: VELOCIDAD: laslas ecuaciones permiten calcular: ω ω - 4,55 rad/s k ; 4 =3,86 rad/s k 3 = ω = ω44 =3,86 4,55 rad/s 3,86rad/s rad/s kk kk ‐‐ 4,55 rad/s 3 3= ω = -- 4,55 3,86 rad/s ω 4,55rad/s rad/s kkkk ;; rad/s 3 3 44 3,86 La velocidad absoluta de A puede obtenerse identificando los términos correspondientes ÍNDICEidentificando los términos correspondientes La ecuaciones velocidad absoluta absoluta de A A puede puede obtenerse obtenerse La velocidad de identificando los términos correspondientes en las : 92 en las las ecuaciones ecuaciones :: 92 en POSICIÓN: de las ecuaciones se deducen los valores: θ 4 = 171,9o Y de las ecuaciones CINEMÁTICA se obtiene:DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS θ 8 = 184,43 o ; r 6 = 554 mm VELOCIDAD: las ecuaciones permiten calcular: ω3 =- 4,55 rad/s k ; ω4 =3,86 rad/s k La velocidad absoluta de A puede obtenerse identificando los términos correspondientes en las ecuaciones : 2 xπ v Ax = - 135 x -200 x x senθ2 60 2 xπ v Ay = 135 x -200 x x cosθ2 60 o bien desarrollarse vectorialmente a través de la expresión: 2 xπ vA = ω2 x r2 = -200 x k x 135 x cos315 i + 135 x sen315 j = - 1999,3 i -1999,3 j 60 ( ) (mm/s) Análogamente, la velocidad absoluta de C se puede obtener identificando los términos en las ecuaciones : − 450 vCx = x vCy = ω4 450 x ω4 x x senθ4 cosθ4 o bien desarrollarse vectorialmente empleando la expresión: vC = ω4 x r4 = 3,86 k x 450 x cos171,9 i + 450 x sen171,9 j = - 244,75 i-1719,67 j (mm/s) ( ) d) Para el segundo polígono las ecuaciones dan como resultado: vF = 163,764 mm/s i ; ω8 =3,036 rad/s k Para calcular la velocidad absoluta de D se puede emplear el sistema : vDx = vF − 540 x ω8 x senθ8 vDx = 540 x ω8 x cosθ8 o bien desarrollar la expresión vectorial: = vD v= D vF + vD /F vF + ω8 x r8= 163,764 i + 3,036 k x 540 x cos184,43 i + 540 x sen184,43 j ( ) 93 MANUALES UEX vD = 294,53 i -1634,22 j (mm/s) 97 4.8. En el mecanismo de Cruz de Malta de la figura, el pivote P es solidario a la rueda motriz con centro en A. Si la velocidad angularÍNDICE de dicha rueda es ω = 20 rpm, constante y MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN 4.8. En el mecanismo de Cruz de Malta de la figura, el pivote P es solidario a la rueda motriz con centro en A. Si la velocidad angular de dicha 4.8. En el mecanismo de Cruz de Malta de la figura, el pivote P es solidario a la rueda motriz rueda es = 20 rpm, constante y en sentido con centro en A. Si la velocidad angular horario, determinar: de dicha rueda es ω = 20 rpm, constante y B grados de libertad del mecanismo. a) en sentido horario, determinar: B b) aceleración de la rueda de a) velocidad grados de ylibertad del mecanismo. salida para la posición en la que AP forma b) velocidad y aceleración de la rueda de 100o con el sentido positivo del eje horizontal salida para la posición en la que AP forma que opasa por A. 100 con el sentido positivo del eje Datos: AP =que 60 cm. horizontal pasa por A. P 80 cm P 80 cm A ω A Datos: AP = 60 cm. Solución Solución a) m = 3 x (3‐1) – 2 x 2 ‐ 1 = 1 a) Se m =toma 3 x (3-1) – 2 x 2vectorial - 1 = 1 cerrado representado en la figura: b) el polígono b) Se toma el polígono vectorial cerrado representado en la figura: 3 θB3 r3 B Pr3 r1 P r2 r1 r2 2 θ2 A A POSICIÓN La ecuación vectorial del polígono es: MANUALES UEX r1 + r3 = r2 POSICIÓN 94 POSICIÓN La ecuación vectorial del polígono es: La ecuación vectorial del polígono es: 98 r + r = r r11 r33 r22 Las ecuaciones que resuelven este polígono son: r3 x cosθ3 = 0,6 x cosθ2 0,8 + r3 x senθ3 = 0,6 x senθ2 r3 , θ3 r3 , θ3 Las ecuaciones que resuelven este polígono 94 son: VELOCIDAD r3 x cosθ3 = 0,6 x cosθ2 0,8 + del r3 xpolígono senθ3 = x senθ2 Derivando la ecuación vectorial se0,6obtiene: VELOCIDAD dr dr 1 dr 2 + 3 = dt dt dt = vP/B ÍNDICE v= vP P/A ω3 x r3 + vdesl.P/B = ω2 x r2 Las ecuaciones que resuelven este polígono son: r3 x este cosθpolígono = 0,6 x son: cosθ2 Las ecuaciones que resuelven , θ3 RESUELTOS CINEMÁTICA DE3 MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Yr3PROBLEMAS 0,8 + r3 x senθ3 = 0,6 x senθ2 r3 x cosθ3 = 0,6 x cosθ2 r3 , θ3 0,8 + r3 x senθ3 = 0,6 x senθ2 VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene: VELOCIDAD Derivando del polígono seobtiene: drla ecuación dr 1 dr 2 vectorial + 3 = ω3 x r3 + vdesl.P/B = ω2 x r2 = vP/B v= vP P/A dt dt dt dr dr 1 dr 2 + 3 = ω3 x r3 + vdesl.P/B = ω2 x r2 = vP/B v= P/A Estadtecuación mediante lasvPecuaciones: dt vectorial dt se resuelve 2 x π las xecuaciones: Esta- ecuación mediante x cosθ x senθ r x ω x senvectorial θ + v se resuelve =- 0,6 x -20 2 60 2 x 2π x π x senθ x -20 x ω3x cos x sen x cos vdesl.P/Bx sen = x -20 r-3r3x ω 0,6- 0,6 θ3θ3+ +vdesl.P/B θ3θ3 = θ2 2 x x x cos 3 60 60 2 x π r3 x ω3 x cosθ3 + vdesl.P/B x senθ3 =0,6 x -20 x ACELERACIÓN x cosθ2 60 3 3 3 desl.P/B 3 vdesl.P/B , ω3 vdesl.P/B , ω3 Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del polígono se deduce: ACELERACIÓN 2 vectorial del polígono Realizando unadsegunda la ecuación se deduce: d2derivada r3 r1 d2 rpara 2 a= a= aP + = P/B P/A 2 2 2 dt dt dt d2 r 3 d2 r 1 d2 r 2 2 + 2 = 2 a= a= aP P/B P/A dt dt dt ω3 x ω3 x r3 + α3 x r3 + adesl.P/B + 2 . ω3 x vdesl.P/B = ω2 x ω2 x r2 ( ) ( ) ( ) ω vectorial x ( ω x rse) resuelve + ( α x mediante r ) + a las ecuaciones: + 2.ω x v = ω x (ω x r ) Esta ecuación 3 3 3 3 3 desl.P/B 3 desl.P/B 2 2 2 Esta ecuación vectorial se resuelve mediante 95 las ecuaciones: - r3 x ω23 x cosθ3 - r3 x α3 x senθ3 + adesl.P/B x cosθ3 - 95 2 2 x π - 2 x vdesl.P/B x ω3 x senθ3 =- 0,6 x -20 x x cosθ2 60 - r3 x ω32 x senθ3 + r3 x α3 x cosθ3 + adesl.P/B x senθ3 + adesl.P/B , α3 2 2 x π + 2 x vdesl.P/B x ω3 x cosθ3 =- 0,6 x -20 x x senθ2 60 Para la posición correspondiente a θ 2 = 100 o la solución de las ecuaciones es: ; r 3 = 23,36 cm A través de las ecuaciones se calculan los valores: ω3 = 4,325 rad/s k ; v desl P/B = 0,747 m/s 63,52º De las ecuaciones se deducen los valores: α3 = 34,353 rad/s2 k ; 2 adesl P/B = 6,484 m/s 63,52º 4.9. La figura representa un mecanismo con accionamiento hidráulico. Si el eslabón O 1 B gira con una velocidad angular B constante en sentido antihorario ω = 0,8 ÍNDICE rad/s, determinar: MANUALES UEX θ 3 = 243,52 o 99 2 θ 3 = 243,52 o ; r 3 = 23,36 cm A través de las ecuaciones se calculan los valores: MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN ; v desl P/B ω3 = 4,325 rad/s k = 0,747 m/s 63,52º De las ecuaciones se deducen losunvalores: 4.9. La figura representa mecanismo con accionamiento hidráulico. Si el eslabón O1B gira 63,52º con una velocidad angular = 0,8 rad/s, determinar: 2 constante en sentido antihorario 2 ω 34,353 rad/s k ; a = 6,484 m/s α3 = desl P/B a) grados de libertad del mecanismo. 4.9. La figura representa un mecanismo con accionamiento hidráulico. Si el eslabón O 1 B velocidad de llenado del cilindro cuando O1B forma 0°, 30°, 60° y 90° con la horizontal. gira con b) una velocidad angular B constante en sentido antihorario ω = 0,8 rad/s, determinar: a) grados libertad mecanismo. A de del b) velocidad de llenado del cilindro cuando O 1 B forma 0°, 30°, 60° y 90° con la horizontal. ω O1 O2 Datos: O 1 A = 1,5 m; O 1 O 2(x) = 1 m; O 1 O 2 (y) = 0,5 m; AB = 0,5 m. Datos: O1A = 1,5 m; O1O2(x) = 1 m; O1O2 (y) = 0,5 m; AB = 0,5 m. Solución Solución a) m = 3 x (4-1) – a) 2 x 4 –m0 == 31 x (4-1) – 2 x 4 – 0 = 1 Se considera polígono vectorial cerrado representado en la figura: b) Se considera elb)polígono vectorial el cerrado representado en la figura: 96 A MANUALES UEX r2 100 O1 r4 θ2 r1 θ4 r3 O2 POSICIÓN La ecuación vectorial del polígono es: r1 + rÍNDICE 2 = r3 + r4 Las ecuaciones que resuelven este polígono son: Or111 r1 r1 r1 r1 θ4 θ4 θ4 r3 θ4 r3 r3 O2 θ4 r3 O2 θ4 O2 r3 O2 r3 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS O2 O2 POSICIÓN POSICIÓN POSICIÓN POSICIÓN La POSICIÓN La ecuación ecuación vectorial vectorial del del polígono polígono es: es: La ecuación vectorial del polígono es: POSICIÓN La ecuación vectorial del polígono es: r1 + r2 = r3 + r4 La ecuación vectorial del polígono es: r1 + r2 = r3 + r4 La ecuación vectorial del polígono es: r1 + r2 = r3 + r4 r1 + r2 = r3 + r4 Las r1 + r2 =son: r3 + r4 Las ecuaciones ecuaciones que que resuelven resuelven este este polígono polígono son: r1 + r2 =son: r3 + r4 Las ecuaciones que resuelven este polígono Las ecuaciones que resuelven este polígono son: 1,5 x cosθ= 1 + r4 x cosθ4 2 Las ecuaciones que resuelven este 1,5 xpolígono cosθ= 1son: + r4 x cosθ4 2 1,5 1son: r4r x xcos xpolígono θ4 Las ecuaciones son: ecuacionesque queresuelven resuelveneste este 2x sen 0,5polígono +cos 1,5θ= θ2+ = 4 senθ 4 r4 r4 r4 r4 r rr444 1,5 1θ2+ = r4r4 x xcos 0,5 x+cos 1,5θ= senθθ4 4 2x sen 1,5 1θ2+ = r4r4 x xcos 0,5 x+cos 1,5θ= senθθ4 4 2x sen 1,5 1 r xx xcos 0,5 xx+cos 1,5θ = r senθθ44 4 1,5 cos = 1θ + r cos 22x sen 4 2 44 0,5 + 1,5 x senθ2 = r x senθ4 0,5 rr444 xx sen 0,5 + 1,5 1,5 xx sen senθ22 = senθ 44 , , , , , ,, θ4 θ4 θ4 θ4 θ4 44 θ VELOCIDAD VELOCIDAD VELOCIDAD VELOCIDAD Derivando VELOCIDAD Derivando la la ecuación ecuación vectorial vectorial del del polígono polígono se se obtiene: obtiene: VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene: VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene: dr dr dr dr Derivandolalaecuación ecuación vectorial polígono se v obtiene: 3 del 1 +vectorial 2 = del 4 seobtiene: dr dr dr dr + = v = v Derivando polígono 3 1 2 4 A /O A /O A Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene: dr dr dr dr + = + v = v = v 3 1 2 4 dt dt dt dt A /O A /O A dr dr dr dr + dt2 = dt3 + dt v= v= v A dt 4 A /O A /O 3 11 + dr 2 = + v = v = v dr dr dr dt dt dt dt ω4 x A /O A /O A dr 3 + dr dr 1 dr 2 dr dr 4 = ω r2+ = r dt dt dt v= v = 2 x 4 desl.A/O 4 ++ vv dr dr A /O v A /O x r v A 3 ω x r = ω r 1 2 44 x dt v v 2 2 4 desl.A/O A / O A / O A 2 2 + = + 4 x r4 vdesl.A/O v = v = v dtdt dtdt ωdt dt ω4 x r4 + vdesl.A/O A /O A /O A dt dt 2 x r 2 = dt 4 x r4 + v dt dt dt ω ω 2 x r2 = desl.A/O x r2mediante x r4 las Esta ecuación ω = ω + ecuaciones: v Esta ecuación ecuación vectorial vectorialsese se resuelve resuelve ω22 xmediante r2mediante = ω44 xlas r4 las + ecuaciones: vdesl.A/O Esta ecuaciones: desl.A/O Esta ecuaciónvectorial vectorial seresuelve resuelve mediante las ecuaciones: Esta ecuación seθ= resuelve mediante las ecuaciones: - 1,5 vectorial - r4 x ω x (0,8) x sen 2 4 x senθ4 + v desl.A/O x cosθ4 - 1,5x (0,8) θ= +v vecuaciones: x (0,8) x sen x ω x senθ4las x cosθ4 Esta ecuación vectorial se resuelve mediante vdesl.A/O2 , ω4 2 ‐ r- rx4 desl.A/Ox cos ‐ 1,5 x sen x4 sen 4 2θ 4 r x 4ω -1,5 1,5x (0,8) = sen θ + desl.A/O vecuaciones: x (0,8) x sen x x cos4θ4 ω44 Esta ecuación vectorial se resuelve mediante desl.A/O22 ,, 2 r x 4ω x 4cosθ +4las vvdesl.A/O θ= θ4 θ 2θ 4- r x4 ω x sen 4 θ v - 1,5 x (0,8). cos = +desl.A/O vdesl.A/Ox sen x sen x cos 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 vdesl.A/O2 , 2 x senθ 2 r x 4ω x 4cosθ +4 v desl.A/O 4 x (0,8) . cosθ= 1,5x (0,8) 2 2θ 4 4 x2 sen 1,5 . cos cosxsen vdesl.A/O2 , - 1,5x (0,8) =r4 x4-r 4 x4x ω +desl.A/O vdesl.A/O x (0,8) x sen xcos 2θ= 4 θv desl.A/O 4θ θ4 x 2sen 1,5 . cos 2 2 2 r4 x 4ω4 x 4cosθ4 +4 v desl.A/O 4 2 vdesl.A/O2 , - 1,5x (0,8) θ = r θ + v θ x (0,8) x sen x ω x sen x cos x x x 1,5 . cos θ= r ω cos θ + v sen θ 2 4 4 4 desl.A/O 4 2 4 4 4 desl.A/O2 4 2 vdesl.A/O 2 , • Para la posición correspondiente = 0° solución las x sen 1,5 x (0,8) . cosθ= r4 aax ωθ θla vdesl.A/O2 de θecuaciones 2 42 x=cos 4 + 4 Para lalaposición posición correspondiente θ 0° la solución de las ecuaciones es: es: 2 xcorrespondiente x x x 1,5 (0,8) . cos θ = r ω cos θ + v sen θ •• Para a = 0 la solución de las ecuaciones es: 2 4 a2 θ42 = 0° la 4 solución desl.A/O2 de las ecuaciones 4 Para la posición correspondiente es: • Para la posición correspondiente θ 2 = 0° ;la solución de las m ecuaciones es: θθ 4 aa= r 4 = 0,7071 • Para la posición correspondiente = 0° ;la de las ecuaciones es: 245 =θ45° 45° 0,7071 ; solución rrr44== 0,7071 mm • Para la posición correspondiente de las ecuaciones es: θ 44a=4 θ=45° = 0,7071 m 2 = 0° ;la solución 4 •• • θ 4 = 45° ; r 4 = 0,7071 m De θ 4 = 45° ; r 4 = 0,7071 m se se calculan: calculan: De las las ecuaciones ecuaciones De calculan: De las lasecuaciones ecuacionessesecalculan: m θ 4 = 45° ; r 4 = 0,7071 De las ecuaciones se calculan: = 0,848 m/s 4 = 1,2 rad/s k ;; v ω desl.A/O De las ecuaciones se calculan: 1,2 rad/s 0,848m/s m/s v ω = k rad/s k v = 0,848 e s l.A / O 44 ; vddesl.A/O = 0,848 m/s De las ecuaciones se calculan: ω = 1,2 rad/s k desl.A/O Para la posición correspondiente a θ = 30° la solución de las ecuaciones es: 1,2 rad/s ; 0,848 m/s v = ω = k 2 desl.A/O Para posición θθ 22 = 30° de las es: 44 =aa 1,2 Para la posición correspondiente correspondiente =rad/s 30° la la solución de las ecuaciones ecuaciones m/s es: ; de las 0,848 v = ω k solución desl.A/O Para lalaposición correspondiente a = 30 la solución ecuaciones es: 2 1,2 rad/s ; 0,848 m/s v = ω = k 97 desl.A/O 4 θθ 44 = 76,54° ; r = 1,2853 m 4 97 = 76,54° 76,54° = 1,2853 1,2853 m m θ4 = ;; rr 44 = 4 = 76,54 97 97; r4 = 1,2853 m De las ecuaciones se calculan: 97 De De las las ecuaciones ecuaciones se se calculan: calculan: 97 De las ecuaciones se calculan: 4 = 0,642 rad/s k ; v = 0,871 m/s ω ω = 0,642 rad/s ; v = k desl.A/O ω4 = 0,642 rad/s k ; vdesl.A/O 0,871 m/s m/s = 0,871 44 0,642 rad/s k ; v ddesl.A/O 0,871 m/s e s l.A / O Para la la posición correspondiente correspondiente a θ 2 = 60° 60° la solución solución de las las ecuaciones es: Para Para la posición posición correspondiente aa θθ 22 = = 60° la la solución de de las ecuaciones ecuaciones es: es: Para la posición correspondiente a 2 = 60 la solución de las ecuaciones es: θθ 44 = 97,91° ; r = 1,8163 m rr 444 = θ4 = = 97,91° 97,91° ;; = 1,8163 1,8163 m m ; r 4 = 97,91 4 = 1,8163 m De las ecuaciones se se calculan: calculan: De las ecuaciones De las ecuaciones se calculan: De las ecuaciones se calculan: = 0,737 m/s ω v 4 = ω = 0,521 0,521 rad/s rad/s kkk ;;; 0,737 m/s m/s v desl.A/O = 0,737 4 = desl.A/O ω 0,521 rad/s v = 4 4 0,521 rad/s k ; v ddesl.A/O 0,737 m/s e s l.A / O Para la posición correspondiente aa θθ 22 = 90° la solución de las ecuaciones es: Para Para la la posición posición correspondiente correspondiente a θ 2 = = 90° 90° la la solución solución de de las las ecuaciones ecuaciones es: es: Para la posición correspondiente a = 90 la solución de las ecuaciones es: 2 θθ 44 = 116,56° ; r = 2,2361 m 4 = 116,56° 116,56° ;; = 2,2361 2,2361 m m θ4 = rr 44 = 4 = 116,56 ; r4 = 2,2361 m De las ecuaciones se calculan: De De las las ecuaciones ecuaciones se se calculan: calculan: De las ecuaciones se calculan: 4 = 0,48 rad/s k ; v = 0,537 m/s ω ω = 0,48 rad/s ; v = k desl.A/O ω 0,537 m/s m/s v desl.A/O = 0,537 44 = 0,48 rad/s k ; desl.A/O 4 0,48 rad/s k ; v d e s l.A / O 0,537 m/s 2 22 2 2 2 2 2 2 2 ••• 2 2 2 2 •• • ω4 ω4 ω4 ω4 45º 45º 45º 45º 45º 45º 76,54º 76,54º 76,54º 76,54º 97,91º 97,91º 97,91º 97,91º 2 2 2 2 116,56º 116,56º 116,56º 116,56º 2 4.10. La La figura representa representa el mecanismo mecanismo de una una bomba bomba oscilante de de pistón, en en el que que OA = = 4.10. 4.10. La figura figura representa el el mecanismo de deÍNDICE una bomba oscilante oscilante de pistón, pistón, en el el que OA OA = 10 cm. Si la velocidad angular motriz es constante de valor ω = 500 rpm, en sentido 10 cm. cm. Si Si la la velocidad velocidad angular angular motriz motriz es es constante constante de de valor valor ω ω = = 500 500 rpm, rpm, en en sentido sentido 10 horario, determinar: 97 MANUALES UEX 2 101 De las ecuaciones se calculan: ω4 = 0,48 rad/s k v desl.A/O2 = 0,537 m/s ; 116,56º MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN 4.10. La figura representa el mecanismo de una bomba oscilante de pistón, en el que OA = 4.10. La figura representa el mecanismo de una bomba oscilante de pistón, en el que OA = 10 cm. 10 cm. Si la velocidad angular motriz es constante de valor ω = 500 rpm, en sentido Si la velocidad angular motriz es constante de valor = 500 rpm, en sentido horario, determinar: horario, determinar: a) grados de libertad del mecanismo. a) grados de libertad del mecanismo. b) sentido del movimiento de cada uno de los eslabones, mediante métodos gráficos, para la b) sentido del movimiento de cada uno de los eslabones, mediante métodos gráficos, para posición indicada en la figura. la posición indicada en la figura. c) ecuaciones que permitan calcular la posición, velocidad y aceleración de todos los eslabones c) ecuaciones que permitan calcular la posición, velocidad y aceleración de todos los en función del movimiento de OA. Interpretar vectorialmente dichas ecuaciones. eslabones en función del movimiento de OA. Interpretar vectorialmente dichas ecuaciones. d) velocidad y aceleración del pistón para la posición en la que OA forma 90 con el sentido d) velocidad y aceleración del pistón para la posición en la que OA forma 90° con el positivo del eje x. sentido positivo del eje x. A A O O ω 15 cm 15 cm B B 30 cm 30 cm 98 Solución a) m = 3 x (4‐1) – 2 x 4 = 1 Solución b) Con la velocidad angular OA de la manivela se obtiene la velocidad vA: a) m = 3 x (4-1) – 2 x 4 = 1 b) Con la velocidad angular ω OA de la manivela se A obtiene la velocidad v A : O AOA O ωOA vA MANUALES UEX Relacionando la velocidad de A con B: v A v B AB Relacionando la velocidad de A con B: x v A = vB + ωAB 0 0 vA rA/B v desl . A / B x rA/B Dirección AB Dirección ⊥ AB + v desl. A / B Dirección AB Dirección AB 102 98 ÍNDICE Dirección ⊥ AB 0 Dirección ⊥ AB Dirección AB CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS Dirección ⊥ AB ωAB.rA/B Dirección AB vA vdesl.A/B Conocida ω AB . r A/B se deduce la velocidad angular ω AB = ω cilindro = ω pistón : A ωAB.rA/B c) Se considera el polígono vectorial cerrado representado en la figura:B ωAB =ωcilindro = ωpistón c) Se considera el polígono vectorialA cerrado representado en la figura: r2 O 99 θ2 A r4 r1 r2 θ2 O θ4 r3 r4 r1 B θ4 r3 POSICIÓN B La ecuación vectorial del polígono es: POSICIÓN r1 + r2 = r3 + r4 r1 + r2 = r3 + r4 Las ecuaciones que resuelven este polígono son: θ2 0,1 x cos= 0,3 + r4 x cosθ4 0,15 + 0,1 x senθ2 = Las ecuaciones que resuelven este polígono son: r4 x senθ4 r4 , θ4 103 VELOCIDAD θ2 0,1 x cos= 0,3 + r4 x cosθ4 0,15del + 0,1 r4 x senθ4 x senθ2 = Derivando la ecuación vectorial polígono se obtiene: dr 3 dr 1 dr 2 dr 4 ÍNDICE + = + v= v= A /O A /B dt dt dt dt Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene: VELOCIDAD MANUALES UEX La ecuación vectorial del polígono es: r4 , θ4 vA Las ecuaciones que resuelven este polígono son: θ2 0,1este x MARÍN cos = 0,3 Las ecuaciones queGLORIA resuelven polígono son:+ r4 x cosθ4 MANUEL REINO FLORES, GALÁN 0,15 + 0,1 x senθ2 = r x senθ θ2 0,1 x cos= 0,3 + r4 4x cosθ4 4 0,15 + 0,1 x senθ2 = r4 x senθ4 VELOCIDAD r4 , θ4 r4 , θ4 Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene: VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial polígono se obtiene: drdel dr 1 dr 2 dr 4 3 + = + v= v= A /O A /B dt dt dt dt dr 1 dr 2 dr 3 dr + =ω2 x r2 += v= ω4 x r + vv= A /O A /B desl.A/B dt dt dt dt4 4 ω2 x r2 mediante = ω4 x rlas vdesl.A/B Esta ecuación vectorial se resuelve 4 +ecuaciones: vA vA 2 x π se resuelve mediante las ecuaciones: Esta ecuación vectorial x senθ x cosθ = - r x ω x senθ + v - 0,1 x -500 x 2 4 4 4 desl.A/B 4 60 2 x π -500 x2 x π x senθ= - r x ω x senθ + v -0,1 0,1x x -500 2 4 4 4 desl.A/B x cosθ4 x 60 . cosθ2= r4 x ω4 x cosθ4 + vdesl.A/B x senθ4 60 2 x π 0,1 x -500 x . cosθ2= r4 x ω4 x cosθ4 + vdesl.A/B x senθ4 60 ACELERACIÓN vdesl.A/B , ω4 vdesl.A/B , ω4 Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial polígono se deduce: ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial polígono se deduce: 100 d2 r 3 d2 r 1 d2 r 2 d2 r 4 100 + = + dt2 dt2 dt2 dt2 a= A /O a = A /B aA ω2 x ω2 x r2 = ω4 x ω4 x r4 + α4 x r4 + adesl.A/B + 2 . ω4 x vdesl.A/B ( ) ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: 2 x π -0,1 x -500 x 60 2 x cosθ2= - r4 x ω24 x cosθ4 - r4 x α4 x senθ4 + + adesl.A/B x cosθ4 - 2 x vdesl.A/B x ω4 x senθ4 adesl.A/B , α4 2 x π -0,1 x -500 x 60 2 x senθ2= - r4 x ω24 x senθ4 + r4 x α4 x cosθ4 + + adesl.A/B x senθ4 + 2 x vdesl.A/B x ω4 x cosθ4 d) Para la posición correspondiente a θ 2 = 90° la solución de las ecuaciones es: MANUALES UEX r 4 = 0,3905 m 104 ; θ 4 = 140,19° De las ecuaciones se calculan: ω4 =ωpistón =ωcilindro = - 8,58 rad/s k v desl A/B = 4,022 m/s ; 39,81º De las ecuaciones se deducen: α4 =αpistón =αcilindro = 362,49 rad/s2 k ; 2 adesl A/B = 146,74 m/s 39,81º 4.11. El mecanismo de la figura se diseña como dispositivo que mueve paquetes. El accionamiento es manual, a través de OA, que realiza un movimiento de oscilación de 50° a partir de la posición correspondiente a θ= 180°. Si ω = 30 rpm (constante), determinar: a) ecuaciones que permitan determinar la posición, velocidad y aceleración de P para ÍNDICE cualquier posición. Interpretar vectorialmente dichas ecuaciones. b) longitud de carrera del empujador P. De las ecuaciones se calculan: ω4 =ωpistón =ωcilindro = - 8,58 rad/s k ; v desl A/B = 4,022 m/s 39,81º De las ecuaciones se deducen: CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS α4 =αpistón =αcilindro = 362,49 rad/s2 k que; mueve 146,74 m/s2 39,81º adeslpaquetes. 4.11. El mecanismo de la figura se diseña como dispositivo El accionamiento A/B = es manual, a través de OA, que realiza un movimiento de oscilación de 50 a partir de la posición 4.11. El mecanismo de la figura se diseña como dispositivo que mueve paquetes. El correspondiente a = 180. Si = 30 rpm (constante), determinar: accionamiento es manual, a través de OA, que realiza un movimiento de oscilación de 50° a) ecuaciones queposición permitancorrespondiente determinar la posición, velocidad aceleración de P para cualquier a partir de la a θ= 180°. Si ω =y30 rpm (constante), determinar: posición. Interpretar vectorialmente dichas ecuaciones. a) ecuaciones que permitan determinar la posición, velocidad y aceleración de P para cualquierdeposición. dichas ecuaciones. carrera delInterpretar empujadorvectorialmente P. b) longitud b) longitud de carreradedel empujador P. c) velocidad y aceleración P cuando a = 130. c) OAvelocidad Datos: = 35 cm. y aceleración de P cuando a θ= 130°. Datos: OA = 35 cm. B P B P A 50 cm A 50 cm ω 101 θ O O Solución a) El polígono vectorial cerrado es: Solución r 4 es: a) El polígono vectorial cerrado B r3 A B 3 r1 r4 2 r3 MANUALES UEX A r2 θ3 r1 O θ2 r2 O 101 105 POSICIÓN La ecuación vectorial de polígono es: ÍNDICE r +r = r +r r2 θ2 r2 O θ2 O GALÁN MARÍN MANUEL REINO FLORES, GLORIA POSICIÓN POSICIÓN La ecuación vectorial de polígono es: r2 + r3 r1 + r4 = vectorial r2 + r3 son: Las ecuaciones que resuelven este polígono La ecuación vectorial de polígono es: r1 + r4 = x cosθvectorial θ3 = 0,35 Las ecuaciones que resuelvenr4este polígono son: 2 + r3 x cos 0,5 = 0,35 x senθ + r x senθ r4 = 0,35 x cosθ2 2+ r3 x3 cosθ3 3 Como θ 3 = θ 2 - 90° se tiene: 0,5 = 0,35 x senθ2 + r3 x senθ3 Como θ 3 = θ 2 - 90° se tiene: r4 = 0,35 x cosθ2 + r3 x cos ( θ2 - 90 ) = 0,35 x senθ2 + r3 x sen ( θ2 - 90 ) r0,5 4 = 0,35 x cosθ2 + r3 x cos ( θ2 - 90 ) 0,5 = 0,35 x senθ2 + r3 x sen ( θ2 - 90 ) VELOCIDAD r3 , r4 r3 , r4 VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene la relación de velocidades entre los puntos A y B: Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene la relación de velocidades entre los puntos A y B: 102 dr 1 dr 4 dr 2 dr 3 + = + v= v= v A + vB/A B P 102 dt dt dt dt dr 1 dr 4 dr 2 dr v + = += ω3 x r + ω = v= v A + vB/A Bx r P v v + P 2 2 3 3 desl.B/A dt dt dt dt donde ω 3 = ω 2 . Esta ecuación se2 resuelve mediante las ecuaciones: vectorial vP = ω x r2 + ω 3 x r3 + v desl.B/A 2 xπ xπ se resuelve donde = ωx2 . -30 Estax 2ecuación mediante x vP = ω- 30,35 θ2 − r3 x -30 v desl.B/A x cos ( θ2 - 90 ) ( θ2 - 90las ) +ecuaciones: x senvectorial x sen MANUALES UEX 60 60 2 2 x π -302xx π x senθ − r x -302 xx π xπ x sen ( θ - 90 ) + v x cos - 0,35 x x-30 x sen 0vP ==0,35 desl.B/A x x ( θ2( θ- 290- 90 ) ) xcosθ2 +2 r3 x 3 -30 x cos ( θ2 - 290 ) + v desl.B/A 6060 6060 2 xπ 2 xπ = 0,35 x -30 θ2 + r3 x -30 x x 0 permiten x cos .x cos ( θ2 - 90 ) + v desl.B/A x sen ( θ2 - 90 ) que desl.B/A 60 los deducir valores dev P y v60 ACELERACIÓN que permiten deducir los valores de v P y v desl.B/A . Realizando una segunda derivada para la ecuación ACELERACIÓN relación de aceleraciones entre los puntos A y B: Realizandouna derivada para segunda la ecuación 2 d2r 1 d2 r 4 entredlos r 2 puntos d2 r 3A y B: relación de aceleraciones + = + a= 2 dt dt2 dt2 2 2 d r1 dr d2 r + 24 = 22 + 2 aP = ω2 x dtω2 x r2 dt dt aP = ω2 x ω2 x r2 ( ( ) ) vectorial polígono se deduce la ) aA + aB/A ) 106 Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: 2 2 ÍNDICE 2 xresuelve 2 xπ π las ecuaciones: Esta aecuación vectorial se mediante P = - 0,35 x -30 x x cosθ2 - r3 x -30 x x cos ( θ2 - 90 ) + 60 2 60 2 aA + a 2 . ω3 x vB/A desl.B/A + ω3 x ω3 x r3 + adesl.B/A + 2 . ω3 x v desl.B/A ( vectorial polígono se deduce la a= B P dt2 2 d r 3 a= a= P + 2ω3 x ω3 x r3 B + adesl.B/A + dt ( ( ) ( ) aP = ω2 x ω2 x r2 + ω3 x ω3 x r3 + adesl.B/A + 2 . ω3 x v desl.B/A CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: 2 xπ aP = - 0,35 x -30 x 60 + adesl.B/A 2 2 xπ cosθ2 - r3 x -30 x x cos ( θ2 - 90 ) + 60 2 xπ x cos ( θ2 - 90 ) - 2 x -30 x x v desl.B/A x sen ( θ2 - 90 ) 60 2 xπ 0 = - 0,35 x -30 x 60 + adesl.B/A 2 x 2 2 2 xπ senθ2 - r3 x -30 x x sen ( θ2 - 90 ) + 60 2 xπ x sen ( θ2 - 90 ) + 2 x -30 x x v desl.B/A x cos ( θ2 - 90 ) 60 x que permiten deducir los valores de a P y a desl.B/A . b) De las ecuaciones se tiene: Para θ 2 = 180° r 4(180) = - 0,35 m ; r 3(180) = 0,50 m Para θ 2 = 130° r 4(130) = 0,0514 m ; r 3(130) = 0,3608 m Carrera de trabajo = │ r 4(180) - r 4(130) │= 0,4014 m 103 c) Para θ 2 = 130°: r 4 = 0,0514 m ; r 3 = 0,3608 m ; v desl.B/A = 0,25 m/s De las ecuaciones se deducen: aP = 7,82 m/s2 i ; adesl.B/A = 9,55 m/s2 40º 40º MANUALES UEX De las ecuaciones se calculan: vP = 1,76 m/s i 4.12. La figura presenta una plataforma elevadora de vehículos accionada por un cilindro hidráulico. Si la velocidad de expansión del cilindro O 2 E es constante y de módulo v expansión = 20 cm/s, calcular: a) sentido del movimiento de cada uno de los eslabones, mediante métodos gráficos, para ÍNDICE la posición representada. b) velocidad y aceleración del automóvil para la posición en la que θ = 30°. 107 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN 4.12. vehículos accionada accionada por cilindro 4.12. La La figura figura presenta presenta una plataforma elevadora de vehículos por un un cilindro es2 Econstante y de ymódulo vexpansión = 20 hidráulico. de de expansión del del cilindro O2E O es constante de módulo v expansión hidráulico.SiSilalavelocidad velocidad expansión cilindro cm/s, = 20 calcular: cm/s, calcular: sentidodel delmovimiento movimientodedecada cadauno unodedelosloseslabones, eslabones, mediante métodos gráficos, mediante métodos gráficos, parapara la a)a) sentido la posición representada. posición representada. velocidady yaceleración aceleración automóvil la posición θ = 30°. deldel automóvil parapara la posición en la en quelaque = 30. b)b) velocidad Datos:OO A == AD BA= =2 m; ACAE = =2 1m;m.AE = 1 m. Datos: =25=m;5 Om;1AO= 1AD BA ==AC 1O12O CC DD EE AA expansión VVexpansión 104 θ OO11 BB OO22 Solución Solución a) Relacionando la velocidad de E con la velocidad del apoyo fijo O2 (vO2 = 0) se puede dibujar el la velocidad de E con la velocidad del apoyo fijo O 2 (v O2 = 0) se puede a) Relacionando polígono de velocidades: de velocidades: dibujar el polígono vE v v O2 v desl. E/O2 cilindro x rE/O2 expansión cilindro x rE/O2 vE= v O2 + v desl. E/O2 + ωcilindro x rE/O2 = v expansión + ωcilindro x rE/O2 ( vexpansión vexpansión ( ) Línea de acción vE (O1E) Línea de acción vE (⊥O1E) cilindro x rE/O2 ωcilindro x rE/O2 Línea de acción (cilindro x rE/O2) Línea de acción (ωcilindro x rE/O2) vE vE vexpansión vexpansión MANUALES UEX E E 108 ) O2 O2 Una vez deducidos los sentidos, se obtienen 104 la velocidad angular del cilindro ω cilindro y la velocidad del punto E: vE ÍNDICE vexpansión CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS O2 Una vez deducidos los sentidos, se obtienen la velocidad angular del cilindro ω cilindro y la velocidad del punto E: vE E ωcilindro O2 105 Con la velocidad v E se determinan la velocidad angular ω O1D y las velocidades v A y v D : vD vE vA D E O1 ωO1D A partir de la velocidad v A se pueden deducir la velocidad angular ω BC y las velocidades v B y v C mediante el centro instantáneo de rotación de la biela BC: ÍNDICE MANUALES UEX A 109 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN vC ωBC vA C CIR(BC) A Línea de acción vB vB B 106 Como la plataforma no gira (ω plataforma = 0), la relación Como la plataforma no gira (ω plataforma = 0), la relación implica que: implica que: (ω Como la plataforma no gira plataforma = 0), la relación vD= vC + v + ω desl. D/C plataforma x r D/C= implica que: vD= v C + v desl. D/C + ωplataforma x rD/C= vD= v C + v desl. D/C +vDωplataforma x rD/C= vC vC ( ( ( v vC vD ) ) ) D entre las velocidades de D y C entre las velocidades de D y C entre las velocidades de D y C vC + v desl. D/C v C + v desl. D/C v C + v desl. D/C vdesl. D/C vdesl. D/C vdesl. D/C vD vD vD vdesl. D/C vdesl. D/C C C D D vdesl. D/C C D MANUALES UEX También se verifica que v desl. D/C = v B . También se verifica que v desl. D/C = v B . b) También Se debe operar con dos cerrados: se verifica que polígonos v desl. D/C = vvectoriales B. b) Se debe operar con dos polígonos vectoriales cerrados: b) Se debe operar con dos polígonos vectoriales cerrados: 110 E E ÍNDICE r2 E r3 r3 vC vC vC vdesl. D/C C D CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS También se verifica que v desl. D/C = v B . b) Se debe operar con dos polígonos vectoriales cerrados: E r3 r2 2 3 r1 O1 r2 C O2 E r3 D r4 θ2 θ3 r1 r5 r6O1 O2 5 C r4 D O1 POSICIÓN r5 POSICIÓN POSICIÓN r6 La La ecuación ecuación vectorial vectorial del del primer primer polígono polígono es: es: La ecuación vectorial del primer polígonoes: 107r + r rr= 2 = r11 + r33 2 r= r1 + r3 2 θ5 Las que Las ecuaciones ecuaciones que resuelven resuelven este este polígono polígono vectorial vectorial son: son: O1 Las ecuaciones que resuelven este polígono vectorial son: Para θ2 = 30°: Para 30°: Para θ22 == 30: 3 = 2 3 xx cos cosθθ= 2 3 xx cos θθ= 2 3 sen 3 x senθ22 = = 3 x senθ2 = 5 + rr3 xx cos 5 + cosθθ3 5r +x sen r33 xθcosθ33 r33 x senθ33 r3 x senθ3 2,832 m 148,015° rr3 = m ;;; θθ333 == =148,015 148,015° 3r==2,832 3 2,832 m La ecuación vectorial del segundo polígono es: La vectorialdeldelsegundo segundo polígono es: La ecuación ecuación vectorial polígono es: r4 + + rrr66 rr44 + 6 Las ecuaciones que resuelven este polígono vectorial son: Las queresuelven resuelven este polígono vectorial Las ecuaciones ecuaciones que este polígono vectorial son:son: 4 x cosθ 5 = 4 4 xx cos cosθθ55 = = x senθ 5 = 4 x senθ 5 = 4 4 x senθ = Para θ2 = θ5 = 30°: Para 30°: Para θ22 == θ55== 30: 5 m rr44r4= ==3,464 3,464 3,464 m m rr4 r44 rr6 r6 6 ; r6 = 2 m ;; rr66==22mm VELOCIDAD VELOCIDAD 107 Derivando Derivando la la ecuación ecuación vectorial vectorial del del primer primer polígono polígono se se obtiene: obtiene: dr dr dr 22 dr 11 + dr dr 33 v = ÍNDICE = v = v E/O E/O E = + v = v = v E/O E/O E dt dt dt dt dt dt 1 1 x r = x r + v ω ω 2 2 MANUALES UEX rr= 5 5 r= = 5 111 4 x cosθ 5 = 4 x cosθ 5 = 4 x senθ 5 = 4 x senθ 5 = r4 r4 r6 r6 Para θ = θ = 30°: Para REINO θ = θ FLORES, = 30°: GLORIA GALÁN MARÍN MANUEL r = 3,464 m ; r = 2 m r = 3,464 m ; r = 2 m VELOCIDAD VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene: Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene: dr2 dr1 dr E = dr 2 dr 1 + dr 33 v = v = v E/O E/O = = v = vE dt dt + dt v E/O E/O dt dt dt 2 5 2 5 4 6 4 6 1 2 1 2 2 x r2 = 3 x r3 + v ω ω desl.E/O 2 ω2 x r2 = ω3 x r3 + v desl.E/O2 donde v desl.E/O2 = v expansión . Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: donde v desl.E/O2 = v expansión . Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: -3 x ω2 x sen= θ - r x ω x senθ + 0,2 x cosθ -3 x ω2 x sen= θ22 - r33 x ω33 x senθ33 + 0,2 x cosθ33 3 x ω x cosθ= r x ω x cosθ + 0,2 x senθ 2 3 x ω22 x cosθ= r33 x ω33 x cosθ33 + 0,2 x senθ33 2 MANUALES UEX Para θ 2 = 30°: Para θ 2 = 30°: 112 2 =0,0755 rad/s k 3 =- 0,0376 rad/s k ω ω ; ω2 =0,0755 ω3 =- 0,0376 rad/s k opera ; rad/s k Para vectorial deduciendo Para el el segundo segundo polígono polígono vectorial se se opera análogamente, análogamente, deduciendo la la relación relación de de Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de velocidades entre los puntos C y D: velocidades entre los puntos C y D: 108 velocidades entre lospuntosC y D: 108 dr dr dr 5 4 6 + v dr dr dr 5 4 6 = + = v v D D/C + v = + = v v CC dr dr dr D D/C dt dt dt 5 4 6 dt dt + dt = = vD vD/C + v C dt dt dt ω v ii + 5 desl.D/C 55 x + CC= ω x rr= = v + v v = v v desl.D/C + v v CC jj 5 desl.D/C desl.D/C ω5 x r= v desl.D/C + v C= v desl.D/C i + v C j 5 Las Las ecuaciones ecuaciones que que permiten permiten resolver resolver el el mecanismo mecanismo son: son: Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son: -- 4 4 xx ω ω55 xx sen senθ θ55 = =vv desl.D/C desl.D/C -44x ω x ω5 x senθ5 = v x cos θ = 4 x ω55 x cosθ55 =vv CC desl.D/C 4 x ω5 x cosθ5 =v C donde ω = ω . Para θ = θ = 30°: 2 5 2 5 donde ω 2 = ω 5 . Para θ 2 = θ 5 = 30°: donde ω 2 = ω 5 . Para θ 2 = θ 5= 30°: -- 0,151 m/s ;; 0,2616 m/s v = ii v desl.D/C C = 0,151 m/s 0,2616 m/s v = v = jj desl.D/C C ; v desl.D/C = - 0,151 m/s i v C = 0,2616 m/s j ACELERACIÓN ACELERACIÓN ACELERACIÓN Realizando Realizando una una segunda segunda derivada derivada para para la la ecuación ecuación vectorial vectorial del del primer primer polígono polígono se se Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce la relación de aceleraciones: deduce la relación de aceleraciones: deduce la relación de aceleraciones: 2 2 2 2r 2r 2r d d d 22 1 3 d= r d r d r + 1 a a = a = a 2 2 2 2 + 2 23 E/O E/O = EE = a = a ddtr22 ddtr21 ddtr23 E/O E/O dt2 dt2 + dt2 = a= a = aE E/O E/O dt dt dt ω 22 .. ω desl.E/O 2 + desl.E/O 2 22 xx ω 22 xx rr22 ++ α 22 xx rr22 == ω 33 xx ω 33 xx rr33 ++ α 33 xx rr33 ++ aa 33 xx vv ω ω α ω ω α + ω desl.E/O 2 desl.E/O 2 ω2 x ω2 x r2 + α2 x r2 = ω3 x ω3 x r3 + α3 x r3 + adesl.E/O2 + 2 . ω3 x v desl.E/O2 donde = 0. Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: donde aa desl.E/O2 desl.E/O2 = 0. Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: donde a desl.E/O2 = 0. Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: 2 2 -3 xx ω cosθ sen= θ cosθ senθ 0,2 xx ω senθ -3 ω2222 xx cos θ22 -- 33 xx α α22 xx sen = θ22 -- rr33 xx ω ω2233 xx cos θ33 -- rr33 xx α α 33 xx sen θ33 -- 22 xx 0,2 ω33 xx sen θ33 2 -3 x ω22 x cosθ2 - 3 x α 2 x sen= θ r x ω θ3θ- r3+x rα 3x xαsen θ3 θ- 2 +x 0,2 x ω3 x senθ3 3r x ω 3 2x cos -3 = sen cos 2 0,2 ω x ω22 x senθ2 + 3 x α 2 x cos2θ x x x x x 2 -3 x ω22 x senθ2 + 3 x α2 x cosθ= - r33 x ω233 x senθ33 + r33 x α 33 x cosθ33 + 2 x 0,2 x ω33 x cos cosθ θ33 2 -3 x ω2 x senθ2 + 3 x α2 x cosθ= r ω sen θ + r α cos θ + 2 0,2 ω x x x x x x x 2 3 3 3 3 3 3 3 cosθ3 Para Para θθ 22 = = 30°: 30°: Para θ 2 = 30°: 2 2 α α ;; 22 = 33 = α =-- 0,00454 α =0,0129 0,00454 rad/s rad/s22 kk 0,0129 rad/s rad/s22 kk α2 =- 0,00454 rad/s k α 3 =0,0129 rad/s k ; ÍNDICE Para la Para el el segundo segundo polígono polígono vectorial vectorial se se tiene tiene la relación relación de de aceleraciones aceleraciones entre entre los los puntos puntos Para el segundo polígono vectorial se tiene la relación de aceleraciones entre los puntos C y D: C y D: ((( ))) ((( ))) 1 1 2 2 1 2 donde a desl.E/O2 = 0. Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: -3 x ω22 x cosθ2 - 3 x α2 x sen= θ2 - r3 x ω23 x cosθ3 - r3 x α 3 x senθ3 - 2 x 0,2 x ω3 x senθ3 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS -3 x ω22 x senθ2 + 3 x α2 x cosθ= - r3 x ω23 x senθ3 + r3 x α 3 x cosθ3 + 2 x 0,2 x ω3 x cosθ3 2 Para θ 2 = 30°: α2 =- 0,00454 rad/s2 k ; α 3 =0,0129 rad/s2 k Para el segundo polígono vectorial se tiene la relación de aceleraciones entre los puntos C y D: d2r 5 = dt2 d2 r 4 d2 r 6 + dt2 dt2 aD = aD/C + aC ω5 x ω5 x r5 + α= adesl.D/C = + aC 5 x r5 ( ) adesl.D/C i + aC j Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: - 4 x α 5 x senθ5 -109 4 x ω25 x cosθ5 =adesl.D/C 4 x α 5 x cosθ5 - 4 x ω25 x senθ5 =aC donde α 2 = α 5 . Para θ 2 = θ 5 = 30°: adesl.D/C = - 0,0107 m/s2 i ; 2 aC = - 0,02714 m/s j Por tanto: ; 2 aautomóvil = - 0,02714 m/s j MANUALES UEX v automóvil = 0,2616 m/s j 113 4.13. En la figura se representa un mecanismo de Whitworth que acciona una cepilladora. Determinar: ÍNDICE a) grados de libertad del mecanismo. b) ecuaciones que permitan calcular la posición, velocidad y aceleración de todos los MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN 4.13. En la figura se representa un mecanismo de Whitworth que acciona una cepilladora. 4.13. En la figura se representa un mecanismo de Whitworth que acciona una cepilladora. Determinar: Determinar: de libertad del mecanismo. a) a)grados grados de libertad del mecanismo. b) b)ecuaciones que que permitan calcular la posición, velocidadvelocidad y aceleración de todos los de eslabones. ecuaciones permitan calcular la posición, y aceleración todos los Interpretar vectorialmente dichas ecuaciones. eslabones. Interpretar vectorialmente dichas ecuaciones. velocidad y aceleración del Ccepillo C manivela cuando Ola1Amanivela 20° con la 1 Ala forma y aceleración del cepillo cuando la forma 20 O con horizontal. c) c)velocidad horizontal. Datos: O1A = 25 cm; O1O2 = 15 cm; O2B = 10 cm; BC = 30 cm; OA = 40 rad/s (constante). Datos: O 1 A = 25 cm; O 1 O 2 = 15 cm; O 2 B = 10 cm; BC = 30 cm; ω OA = 40 rad/s (constante). A O1 110 A O1 OA ωOA B C O2 Solución a) m = 3 x (6‐1) – 2 x 7 – 0 = 1 Solución b) Son necesarios dos polígonos de cierre: a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 – 0 = 1 b) Son necesarios dos polígonos de cierre: A r2 MANUALES UEX O1 r1 2 O1 r1 A r2 θr23 θ3 O2 114 r4 r3 3 O2 B 4 r6 B r4 O2 θ4 r6 r5 C r5 O2 6 110 POSICIÓN La ecuación vectorial del primer polígono es: ÍNDICE r1 + r2 = r3 θ6 C r6 r4 θ3 θ6 θ4 O2 r5 2 C CINEMÁTICAODE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS POSICIÓN La ecuación vectorial del primer polígono es: r1 + r2 = r3 Las ecuaciones que resuelven este polígono vectorial son: 0,25 x cosθ2 = r3 x cosθ3 0,15 + 0,25 x senθ2 = r3 x senθ3 r3 , θ3 La ecuación vectorial del segundo polígono es: La ecuación vectorial del segundo polígono es: La ecuación vectorial del segundo polígono 111es: r5 + r6 = r4 r5 + r6 = r4 r5 + r6 = r4 Las ecuaciones que resuelven este polígono vectorial son: Las ecuaciones que resuelven este polígono vectorial son: Las ecuaciones que resuelven reste+ polígono vectorial son: 0,3 x cosθ = 0,1 x cosθ r5 , r5 , r5 , r55 + 0,3 x cosθ66 = 0,1 x cosθ 44 sen = 0,1 senxθcos x x θ r0,3 + 0,3 cos = 0,1 x θ θ4 6 4 5 6 x senθ 6 = 0,1 x senθ 4 0,3 0,3 x senθ6 = 0,1 x senθ 4 θ6 θ6 θ6 donde θ 3 = θ 4 . donde θ 3 = θ 4 . donde θ 3 = θ 4 . VELOCIDAD VELOCIDAD VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene la relación de velocidades: Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene la relación de velocidades: la ecuación Derivando vectorial del polígono seobtiene la relación de velocidades: dr1 dr dr3 x r = x r + v dr1 + dr22 = dr3 ω ω v = v = v 2 2 desl.A/O A/O A/O A 2 ω2 x r2 = ω33 x r33 + v v = v = vA dt1 + dr dt2 = dt3 desl.A/O dr dr A/O A/O dt + dt = dt ω2 x r2 = ω3 x r3 + v desl.A/O222 v= v= vA A/O A/O dt dt dt Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: - 0,25 x (-40) x senθ= - r x ω x senθ + v x cosθ 2 - 0,25 x (-40) x senθ= 2 - 0,25 xx (-40) xx cos senθθ= = 22 0,25 x (-40) x cosθ= 2 0,25 x (-40) x cosθ= 2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 2 - r33 x ω33 x senθ33 + v des.A/O des.A/O x cosθ3 -r3r3x xωω3 3x xcos sen v des.A/O222x sen x cos θ3 3 θ3θ3++v des.A/O θ r3 x ω3 x cosθ3 + v des.A/O222 x senθ3 r3 x ω3 x cosθ3 + v des.A/O2 x senθ3 vdesl.A/O2 , ω3 vdesl.A/O2 , ω3 vdesl.A/O2 , ω3 Para el segundo polígono se obtiene la relación de velocidades entre B y C: Para el segundo polígono se obtiene la relación de velocidades entre B y C: el segundo Para polígono se obtiene la relación de velocidades entre B y C: dr5 dr dr4 + v = + ω x r = ω dr5 + dr66 = dr4 v v v C B/C B C 6 6 C + v B 6 x r6 = ω 44 xx rr44 v v vC + ω dr dr dt5 + dr dt6 = dt4 B/C = dt + dt = dt v C + vB/C = vB v C + ω6 x r6 = ω4 x r4 dt dt dt cuya resolución da lugar a las ecuaciones: cuya resolución da lugar a las ecuaciones: cuya resolución da lugar a las ecuaciones: vC , ω6 vC , ω6 vC , ω6 donde ω 3 = ω 4 . donde ω 3 = ω 4 . donde ω 3 = ω 4 . ACELERACIÓN ACELERACIÓN ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce la relación aceleraciones: Realizando unadesegunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce la relación de aceleraciones: deduce la relación de2 aceleraciones: 2 d2 r1 d d22 r3 2r 2 d2 r d r d r = a = a a + = A/O A/O 21 + 2 22 = 2 23 AA = a = a a A/O A/O ddtr21 ddtr22 ddtr23 dt2 + dt2 = dt2 a= aA a= A/O A/O dt dt dt x ω x r = ω x ω x r + α x r + a + 2 . ω x v ω desl.A/O 2 desl.A/O2 22 x ω 22 x r22 = ω 33 x ω 33 x r33 + α 33 x r33 + a 33 x v + 2 . ω ω desl.A/O 22 desl.A/O 22 ω2 x ω2 x r2 = ω3 x ω3 x r3 + α3 x r3 + adesl.A/O2 + 2 . ω3 x v desl.A/O2 ÍNDICElas ecuaciones : Esta ecuación vectorial se resuelve mediante Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones : Esta ecuación vectorial se2 resuelve mediante las ecuaciones : 2 (( ( )) ) (( ( -0,25 x (- 40) x cosθ= - r x ω x cosθ - r x α )) ) x senθ + a 1 1 1 2 2 2 1 2 x cosθ - 2 x v x ω x senθ MANUALES UEX v C - 0,3 x ω6 x sen= θ6 - 0,1 x ω4 x senθ4 v C - 0,3 x ω6 x sen= θ6 - 0,1 x ω4 x senθ4 v C -x ω 0,3 x cos ω x sen = θ 0,1 x ω x senθ4 0,3 x = θ 0,1 6 6 6 x -ω 4 x cos4θ4 0,3 x ω66 x cos = θ6 0,1 x ω4 x cosθ4 0,3 x ω6 x cos= θ6 0,1 x ω4 x cosθ4 115 donde ω 3 = ω 4 . ACELERACIÓN MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce la relación de aceleraciones: d2 r 1 d2r 2 d2 r 3 + = dt2 dt2 dt2 a= A/O 1 a= A/O 2 aA ω2 x ω2 x r2 = ω3 x ω3 x r3 + α3 x r3 + adesl.A/O2 + 2 . ω3 x v desl.A/O2 ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones : -0,25 x (- 40)2 x cosθ= - r3 x ω23 x cosθ3 - r3 x α3 x senθ3 + adesl.A/O2 x cosθ3 - 2 x v desl.A/O2 x ω3 x senθ3 2 x senθ3 + 2 x v desl.A/O x ω3 x cosθ3 -0,25 x (- 40)2 x senθ= - r3 x ω23 x senθ3 + r3 x α3 xde cosdonde θ3 + adesl.A/O 2 se deducen los valores de α 3 y a desl.A/O2 . 2 2 de dedonde dondesesededucen deducenlos losvalores valoresde deαα3 3yyaadesl.A/O2 desl.A/O2. . Para el segundo polígono vectorial se tiene la relación de acel 112y C: Para Paraelelsegundo segundopolígono polígonovectorial vectorialsesetiene tieneBlala relación relaciónde deaceleraciones aceleracionesentre entrelos lospuntos puntos BByyC:C: d2r 5 d2 r 6 d2 r 4 + = aC + aB/C 2 2 2 dt dt dt dd2 r2 r5 5 dd2 r2 r6 6 dd2 r2 r4 4 = ++ 2 2 = aaCC ++ aaB/C = aaBB B/C = 22 22 dtdt dtdt dtdt aC + ω6 x ω6 x r6 + α 6 x r6 = ω4 x ω4 x aaC C ++ ωω6 6xx ωω6 6xxr6r6 ++ αα6 6xxr6r6 = = ωω4 4xx ωω4 4xxr4r4 ++ αα4 4xxr4r4 (( )) (( ( )) ) ( Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones 2 Esta Estaecuación ecuaciónvectorial vectorialseseresuelve resuelvemediante mediantelas lasecuaciones ecuaciones : aC - 0,3: x ω6 x cosθ6 - 0,3 x α 6 x senθ = - 0,1 x ω24 x cosθ 6 2 0,3 ω6θθ θ6 x x+ = θ6 x sen x α aaC C - -0,3 0,3x xωω26 26x xcos cosθθ6 6- -0,3 0,3x xαα6 6x xsen senθ= θ6= - -0,1 0,1x- xω ω24 24x xxcos cos 0,1 αα40,3 sen θθ 64 4x cos 6 4 4- -0,1 4x xsen - 0,1 x ω24 x senθ - -0,3 0,3x xωω26 26x xsen senθθ6 6 ++ 0,3 0,3x xαα6 6x xcos cos = θθ6 6 - -0,1 0,1x xωω2 2x xsen senθθ ++ 0,1 0,1x xαα4 4x xcos cosθθ4 4 = donde α 3 = 4α4 4 . Estas4 4ecuaciones permiten calcular los valores de donde dondeαα3 3==αα4 .4 .Estas Estasecuaciones ecuacionespermiten permitencalcular calcular los losvalores de deαα6 6yyaaCC. . c) Para θvalores 2 = 20°, de las ecuaciones y se obtiene: MANUALES UEX c)c) Para Paraθθ2 2==20°, 20°,de delas lasecuaciones ecuaciones yyseseobtiene: obtiene:r 3 = 0,3326 m 116 ; θ 3 = θ 4 = 45,071º ; θ 6 = 166,35º 0,3326mm ; ; θθ3 3==θθ4 4==45,071º 45,071º ; ; θθ6 6==166,35º 166,35º ; ; r 5r 5== 0,3621 0,3621mm r 3r 3==0,3326 Y de las ecuaciones y : YYde delas lasecuaciones ecuaciones yy: : v desl.A/O2 = 4,237 m/s 45,071º ; ω3 = ω4 = - 27,23 rad/s k vvdesl.A/O == 4,237 ωω6 6= = 4,237m/s m/s 45,071º ; ; ωω3 3== ωωsiendo 27,23 rad/s rad/s ; ; 6,596 6,596rad/s rad/s kk k k 45,071º desl.A/O 4 4==- -27,23 2 2 la velocidad del cepillo: siendo siendolalavelocidad velocidaddel delcepillo: cepillo: v C = 2,395 m/s i vvCC ==2,395 2,395m/s m/slas i i ecuaciones y : De De Delas lasecuaciones ecuaciones yy: : adesl.A/O2 = 115,67 m/s2 45,071º ; α 3 = α 4 = - 184,197 rad/s2 aadesl.A/O == 115,67 = 115,67m/s m/s2 2 45,071º ; ; αα3 3==αα4 4==- -184,197 184,197rad/s rad/s2 2 kk ; ; αα6 6= 214,122 214,122rad/s rad/s2 2k 45,071º desl.A/O 2 2 kksiendo la aceleración del cepillo: siendo siendolalaaceleración aceleracióndel delcepillo: cepillo: aaCC==- -36,85 36,85m/s m/s2 2 i i aC = - 36,85 m/s2 i 4.14. El mecanismo de la figura mueve la herramienta de una ce angular ω de es y antihoraria, de valor 30 rpm, determinar: 4.14. 4.14.ElElmecanismo mecanismode delalafigura figuramueve muevelalaherramienta herramienta deconstante una unacepilladora. cepilladora. SiSilalavelocidad velocidad ÍNDICE angular angularωωesesconstante constanteyyantihoraria, antihoraria,de devalor valor30 30 rpm, determinar: determinar: a) rpm, grados de libertad. siendo la aceleración del cepillo: aC = - 36,85 m/s2 i CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 4.14. El mecanismo de la figura mueve la herramienta de una cepilladora. Si la velocidad angular ω es constante y antihoraria, de valor 30 rpm, determinar: a) grados de libertad. b) ecuaciones que permitan calcular la posición, velocidad y aceleración de todos los eslabones en función del movimiento de OA. Interpretar vectorialmente dichas ecuaciones. c) velocidad y aceleración de la cuchilla para la posición en la que OA y CB forman con el c) velocidad y aceleración de la de cuchilla la posición en la que OA y CB forman con el sentido positivo del eje x ángulos 180° ypara 101,795°, respectivamente. 113 sentido positivo del eje x ángulos de 180° y 101,795°, respectivamente. Datos: OA = 10 cm, BC = 100 cm. Datos: OA = 10 cm, BC = 100 cm. B B 50 cm 50 cm Cuchilla Cuchilla A A ω ω O O C C Solución Solución a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1 a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1 b) Se van a considerar dos polígonos vectoriales cerrados: b) Se van a considerar dos polígonos vectoriales cerrados: r5 r5 B B r4 r4 r2 r2 θ2 θ2 O O r1 r1 C C θ3 θ3 C C POSICIÓN POSICIÓN La ecuación vectorial del primer polígono es: La ecuación vectorial del primer polígono es: = r2 = r2 r1 + r3 r1 + r3 ÍNDICE Las ecuaciones que resuelven este polígono vectorial son: Las ecuaciones que resuelven este polígono vectorial son: θ4 θ4 MANUALES UEX A A r3 r3 r6 r6 117 r1 θ4 θ3 MANUEL REINO FLORES, C GLORIA GALÁN MARÍN C POSICIÓN La ecuación vectorial del primer polígono es: = r2 r1 + r3 Las ecuaciones que resuelven este polígono vectorial son: 0,1 x cosθ2 = r3 x cosθ3 0,1 = -r3r x cos θθ2114 θ3 0,1 xx cos sen= 2 1 + r3 x senθ 3 0,1 x sen= θ2 - r1 + r3 x senθ3 La ecuación vectorial del segundo polígono es: La ecuación vectorial del segundo polígono es: r4 + r5 + r6 = 0 r4 + r5 + r6 = 0 Las ecuaciones que resuelven este polígono vectorial son: Las ecuaciones que resuelven este polígono vectorial son: 1 x cosθ 4 + r5 = 0 11 xx sen cosθθ4 -+r r5 == 0 0 4 6 1 x senθ 4 - r6 = 0 donde θθ44 ==θθ3 3y ry6 =r 0,5 = 0,5 . De ecuaciones y calculan valores donde + r+1. rDe laslas ecuaciones y se se calculan loslos valores deder1,rr,3,r yyr5r.. donde θ 4 = θ 3 y r = 0,5 + r . De las ecuaciones y se calculan los valores de r , r y r . VELOCIDAD VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene la relación de velocidades entre la ecuación vectorial del polígono se obtiene la relación de velocidades entre A y Derivando C: A y C: dr2 dr1 dr3 = + dr v = v A C + v A/C dr dr dt2 dt1 + dt3 = v= v C + v A/C A dt dt dt ω 2 x r2= v C + ω 3 x r3 + v desl.A/C ω2 x r2= v C + ω3 x r3 + v desl.A/C Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: 6 1 1 3 5 6 1 1 3 5 2 xπ 30 x 2 x π x sen= θ2 - r3 x ω3 x senθ3 + v des.A/C x cosθ3 60 x sen= θ2 - r3 x ω3 x senθ3 + v des.A/C x cosθ3 30 x xπ 260 θ2 - v C + r3 x ω3 x cosθ3 + v des.A/C x senθ3 0,1 x 30 x 2 x π x cos= θ2 - v C + r3 x ω3 x cosθ3 + v des.A/C x senθ3 0,1 x 30 x 60 x cos= 60 MANUALES UEX - 0,1 x - 0,1 x 118 Para el segundo polígono se obtiene la relación de velocidades entre B y C: Para el segundo la relación de velocidades entre B y C: polígono se obtiene dr4 dr5 dr6 + dr + dr = 0 v 0 C = B/C - v B + v dr dt4 + dt5 + dt6 = 0 vB/C - vB + v C = 0 dt dt dt ω 0 4 x r4 - v B + v C = ω4 x r4 - vB + v C = 0 Nótese que r es el vector que va desde B hasta la referencia vertical fija que pasa por O. r5 es eldel vector que5 va desdeuna B hasta la referencia fija que por O. v 5 cuando B sepasa mueve en Por Nótese ello, la que derivada vector implica velocidad positivavertical derivada una velocidad positiva Por ello, la del vector 5 implica v cuando B se mueve en 5 5 sentido contrario al del vector 5. Por tanto, v 5 = - v B . sentido contrario al del vector 5. 5. Por Por tanto, tanto, vv55 ==--vvB .B. 5 5 Esta ecuación se resuelve mediante las ecuaciones: Esta ecuación se resuelve mediante las ecuaciones: - 1 x ω4 x senθ4 x ω4 x senθ4 1- 1x ω 4 x cosθ4 1 x ω4 xÍNDICE cosθ4 - - vB = 0 -v vB= = 0 0 C vC = 0 donde ω 4 = ω 3 . De las ecuaciones y se calculan los valores de v desl.A/C , ω 3 , v B y v C . ω4 x r4 - vB + v C = 0 Nótese que r es el vector que va desde B hasta la referencia vertical fija que pasa por O. Por ello, la derivada del vector 5 implica una velocidad positiva v 5 cuando B se mueve en v 5 = - v B . PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS sentido contrario al del vector 5. Por tanto, CINEMÁTICA DE MECANISMOS 5 Esta ecuación se resuelve mediante las ecuaciones: - 1 x ω4 x senθ4 - vB = 0 1 x ω4 x cosθ4 - v C = 0 donde ω 4 = ω 3 . De las ecuaciones y se calculan los valores de v desl.A/C , ω 3 , v B y v C . 115 ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce la relación de aceleraciones entre A y C: d2r 2 d2 r 1 d2 r 3 = + a= aC + aA/C A 2 2 2 dt dt dt ω2 x ω2 x r2 = aC + ω3 x ω3 x r3 + α 3 x r3 + adesl.A/C + 2 . ω3 x v desl.A/C ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: 2 xπ -0,1 x 30 x 60 2 x cosθ= - r3 x ω23 x cosθ3 - r3 x α 3 x senθ3 + 2 + adesl.A/C x cosθ3 - 2 x vdesl.A/C x ω3 x senθ3 2 2 xπ - aC - r3 x ω23 x senθ3 + r3 x α 3 x cosθ3 + -0,1 x 30 x x senθ2 = 60 + adesl.A/C x senθ3 + 2 x vdesl.A/C x ω3 x cosθ3 Para el segundo polígono vectorial se tiene la relación de aceleraciones entre B y C: d2 r 4 d2r 5 d2 r 6 + + = 0 aB/C - aB + aC = 0 2 2 2 dt dt dt ω4 x ω4 x r4 + α 4 x r4 - aB + aC =0 ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: - 1 x ω24 x cosθ4 - 1 x α 4 x senθ4 - aB = 0 - 1 x ω24 x senθ4 + 1 x α 4 x cosθ4 - aC =0 d) d) Para Para θθ2 == 180° 180º yy θθ3==101,795°, 101,795º,dedelas lasecuaciones ecuaciones yyseseobtiene: obtiene: 2 3 m m; ; r3 r= =0,4892 r1 =r 0,4789 = 0,4789 0,4892mm ; ; r5r ==0,2044 0,2044mm 1 3 De las ecuaciones y : ω3 = ω4 = 0,1435 rad/s k 5 ; v C = 0,0293 m/s j siendo la velocidad de la cuchilla: vB = v cuchilla = - 0,1405 m/s i ÍNDICE De las ecuaciones y : MANUALES UEX donde α 3 = α 4 . De las ecuaciones y se calculan los valores de a desl.A/C , α 3 , a B y a C . 119 1 3 5 De las ecuaciones y : ω3 = ω4 = 0,1435 rad/s k MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN ; v C = 0,0293 m/s j siendo la velocidad de la cuchilla: vB = v cuchilla = - 0,1405 m/s i De las ecuaciones y : α 3 = α 4 = - 1,9343 rad/s2 k siendo la aceleración de la cuchilla: 116 ; aC = - 0,3752 m/s2 j MANUALES UEX aB = acuchilla = 1,8977 m/s2 i 120 4.15. La figura representa un mecanismo de compresión que es accionado por una manivela. Si dicha manivela AB gira con una velocidad angular constante ω AB = 30 rad/s en sentido antihorario, determinar: a) número de grados de libertad del mecanismo. ÍNDICE 117 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 4.15. La figura representa un mecanismo de compresión que es accionado por una manivela. Si dicha manivela AB gira con una velocidad angular constante ω AB = 30 rad/s en sentido antihorario, determinar: b) número deducir,dedemediante gráficos, el sentido del movimiento de cada uno de los a) grados libertad número gradosdedemétodos libertaddel delmecanismo. mecanismo. eslabones en la posición b) deducir, mediante métodos gráficos, el sentido del movimiento de cada de los b) deducir, mediante métodos gráficos, el sentido del movimiento de cada uno de losuno eslaboindicada. en indicada. la posición 117 neseslabones en la posición b) deducir, mediante métodos gráficos, el sentido del movimiento de cada uno de los c) indicada. ecuaciones que permitan ωAB c) ecuaciones quela permitan calcueslabones en posición calcular la posición, c) ecuaciones que permitan lar la posición, velocidad ydeaceleA indicada. ωAB velocidad y aceleración calcular lalos eslabones posición,en ración de todos B todos los eslabones en A c) ecuaciones que permitan C velocidad aceleración función del ymovimiento dede la ωAB función del movimiento de la calcular posición, B todos AB. loslaInterpretar eslabones en manivela vectorialC A manivela AB. Interpretar velocidad y aceleración de función del movimiento de la mente dichas ecuaciones. E D vectorialmente dichas B todos los eslabones en manivela AB. Interpretar C ecuaciones. d) velocidad y aceleración del pisE función del movimiento dedichas la D vectorialmente tón E para la posición en la que AB manivela AB. Interpretar d) ecuaciones. velocidad y aceleración E forma con Ela para horizontal un ángulo D vectorialmente dichas del pistón la posición d) velocidad y aceleración de 40º. ecuaciones. en la AB forma la horizontal un ángulo de 40°. delque pistón E paracon la posición d) velocidad y aceleración en laAB que ABcm; forma horizontal uncm; ángulo Datos: = 10 ACcon = 15la cm; CD = 10 DE =de4040°. cm; CE (y) = 15 cm. del pistón E para la posición Datos: AB forma = 10 cm; = 15 cm; CD 10 cm; = 40 cm; CE (y) = 15 cm. en la que AB conAC la horizontal un = ángulo deDE 40°. Solución Datos: AB = 10 cm; AC = 15 cm; CD = 10 cm; DE = 40 cm; CE = 15 cm. (y) a) Solución m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1 a)Conmla= velocidad 3 x (6-1) – angular 2 x 7 = 1ω AB de la manivela se obtiene la velocidad v B : b) Solución la velocidad ω AB de la manivela se obtiene la velocidad v B : a) b)m =Con 3 x (6-1) – 2 x 7 =angular 1 vB b) Con la velocidad angular ω AB de la manivela se obtiene la velocidad v B : vB vB ωAB A B ωAB A ωAB B B Relacionando la velocidad de B de la manivela con la velocidad del punto B balancín que coincide con el anterior en ese instante, se puede dibujar el polígono de velocidades: Relacionando la velocidad de B de la manivela con la velocidad del punto B balancín que coincide con el anterior en ese instante, se puede dibujar polígono de velocidades: el = vB balancín = ωcon x rB/C + vdel Relacionando lavBvelocidad de B+devla manivela la velocidad punto B balancín que desl.B/C balancín desl.B/C en ese se de velocidades: coincide con el anterior instante, puede dibujar el polígono v = v + v = ω xr + v B B balancín desl.B/C balancín B/C desl.B/C vB = vB balancín + v desl.B/C = ωbalancín x rB/C + v desl.B/C vdesl.B/C Línea de acción vB balancín Línea de acción vB balancín Línea de acción vB balancín C vdesl.B/C Bbalancín 118 Bbalancín ÍNDICE 118 v Línea de acción 121 vB vdesl.B/C vB balancín vB vB balancín MANUALES UEX A vB MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN vdesl.B/C Línea de acción vB balancín vdesl.B/C Línea de acción vB balancín Bbalancín vB vB balancín Bbalancín C vB vB balancín Línea de acción vdesl. B/C C Línea de acción vdesl. B/C Una el el sentido la velocidad del punto BbalancínB balancín se obtiene la velocidad angular Una vez vezdeducido deducido sentido la velocidad del punto se obtiene la velocidad y seguidamente la velocidad del punto D. del balancín angular del balancín ω y seguidamente la velocidad del punto D. balancín balancín Una vez deducido el sentido la velocidad del punto Bbalancín se obtiene la velocidad angular vB balancín del punto D. del balancín balancín y seguidamente la velocidad vB balancín Bbalancín ωbalancín C Bbalancín balancín C D D vD vD Se puede determinar de conociendo las ) conociendo determinar el el centro centro instantáneo instantáneo derotación rotaciónde delalabiela bielaDEDE(CIR (CIR DE)DE líneas de acción de las velocidades de D y E. Conocido el sentido de la velocidad del punto D se las líneas de acción de las velocidades de D y E. Conocido el sentido de la velocidad del Se puede determinar el centro instantáneo de rotación de la biela DE (CIRDE) conociendo las obtiene el sentido de rotación de la velocidad angular de la biela , y seguidamente el sentido punto D se obtiene el sentido de rotación de la velocidad angular de la biela ω , DE líneas de acción de las velocidades de D y E. Conocido el sentido de la velocidad del puntoDED sey de la velocidad desentido E.de rotación seguidamente el de lade velocidad de E.angular de la biela DE, y seguidamente el sentido obtiene el sentido la velocidad de la velocidad de E. CIRDE CIRDE ωDE DE E MANUALES UEX E vE D D c) vE vD E vE vD Línea de acción vE E Se consideran dos polígonos vectoriales cerrados: Línea de acción vE 122 118 118 θ2 A r2 r3 C vE r1 θ3 B 119 θ6 ÍNDICE CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS considerandos dospolígonos polígonosvectoriales vectoriales cerrados: c)c) Se consideran cerrados: 2 A r2 B r3 C r1 6 3 r5 r6 r7 C D 4 r4 E POSICIÓN POSICIÓN La ecuación vectorial del primer polígono es: La ecuación vectorial del primer polígono es: POSICIÓN r1 + r2 = r3 0,1 x cosθ21 = r3 x2cosθ33 0,1 x +cos0,1 r3 xθcos θ2 =x sen θr33 x senθ3 2 = Las ecuaciones que resuelven0,15 este polígono vectorial son: 0,15 + 0,1 x senθ2 = r3 x senθ3 x cosθ 2 = La ecuación vectorial del segundo0,1 polígono es:r3 x cosθ3 La ecuación vectorial del segundo polígono es:θ2 = 0,15 + 0,1 x sen r3 x senθ3 r5 + r7 + r4= r6 r5 + r7 +es:r4 = r6 La ecuación vectorial del segundo polígono Las ecuaciones que resuelven este polígono vectorial son: Las ecuaciones que resuelven este polígono r5 + r7 +vectorial r4 = r6 son: 0,1 x cosθ= 6 0,1 x cosθ= θ6 0,1 x sen = 0,1 x cosθ= 6 θ6 0,1 x sen = r5 + 0,4 x cosθ4 r + 0,4 x cosθ - 0,15 + 0,4 x senθ 4 r5 + 0,4 x cosθ 4 - 0,15 + 0,4 x senθ 4 5 4 θ 0,1este = θ66 - 0,15 + 0,4 xson: sen x sen Las ecuaciones que resuelven polígono vectorial 4 r3 , 3 r3 , θ3 r3 , θ3 r5 , 4 r5 , θ4 donde 6 = 3 + 180. r5 , θ4 donde θ 6 = θ 3 + 180°. VELOCIDAD VELOCIDAD donde θ 6 = θ 3 + 180°. Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene la relación de velocidades: Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene la relación de velocidades: VELOCIDAD dr 1 dr 2 dr 3 delv= r = xvelocidades: dr 1 + dr 2 la dr 3 vectorial = v= vBse de r3 + v Derivando ecuación polígono obtiene B/C 2laxrelación 2 3 desl.B/C B/A v= v= vB ω ω dt + dt = dt B/A B/C 2 x r2 = 3 x r3 + v desl.B/C dt dt dt dr 1 dr 2 dr 3 + = dt dt dt v= B/A v= B/C vB ω2 x r2 = ω3 x r3 + v desl.B/C MANUALES UEX r1 + es: r2 = r3 La ecuaciones ecuación vectorial del primer polígono Las que resuelven este polígono vectorial son: Las ecuaciones que resuelven este polígono r + rvectorial = r son: 123 Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: 119 - 0,1 x 30 x senθ= - r3 x ω3 x senθ3 + v desl.B/C x cosθ3 2 Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: 0,1 x 30 x cosθ= r3 x ω3 x cosθ3ÍNDICE + v desl.B/C x senθ3 2 - 0,1 x 30 x senθ= - r3 x ω3 x senθ3 + v desl.B/C x cosθ3 2 0,1 x 30 x cosθ= r x ω x cosθ + v x senθ vdesl.B/C , ω3 vdesl.B/C , ω3 dr 1 dr 2 dr 3 + = dt dt dt v= B/A v= B/C vB ω2 x r2 = ω3 x r3 + v desl.B/C MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN Esta ecuación ecuaciónvectorial vectorialseseresuelve resuelve mediante ecuaciones: Esta mediante laslas ecuaciones: 0,1xx 30 x 30x sen x sen θ = x ω3x sen x sen x cos ‐ -0,1 θ θ33 3 2 ‐ -r3r3xx 3 +v v desl.B/Cx cos x 2 3 3 desl.B/C 2 3 3 x 3 desl.B/C x x 30x xcos x sen 0,1xx 30 θ = r x ω x cosθ + v desl.B/Cxx sen 0,1 θ x cos 2 2 r3 3xx 3 3xx cos 3 3 v desl.B/C 33 2 3 3 3 desl.B/C ω333 desl.B/C , vdesl.B/C desl.B/C Para la relación de velocidades entre D y E: Para el el segundo segundopolígono polígonoseseobtiene obtiene la relación 120 de velocidades entre D y E: el segundo se obtienela relación Para polígono velocidades D y E: de entre dr dr x r dr555 dr dr777 dr dr444 dr666 vE v vv vEE D /E /E D 4 x r4 4 = E + vD D 4 + + = = v v + ω D/E dt dt dt dt E D E 4 4 dr dr dt5 + dr dt7 + dr dt4 = dt6 vE + vD/E = vD vE + ω4 x r4 = dt dt dt dt cuya ecuaciones: cuya resolución resolucióndadalugar lugara las a las ecuaciones: cuya resolución da lugarvEa ‐las ecuaciones: vEE - 0,4 0,4 xxx ω444 xxx sen sen= θ444 ‐- 0,1 0,1 xxx ω666 xxx sen sen θ666 vvEE ,, 4 E ω44 vE , ω4 xx 6 xx cos6 0,4 cos 4 vE -xxx0,4 θ0,1 0,1 ω6 θx66senθ6 4 = 6 x xcos 0,4 ω444 xxxx ω cos θsen 0,1 x- ω 4 x= 4 4 6 0,4 x ω4 x cos= θ4 0,1 x ω6 x cosθ6 MANUALES UEX x r ω666 x r666 ω6 x r6 donde donde ω666 ==ω33.3 . donde ω 6 = ω 3 . ACELERACIÓN ACELERACIÓN ACELERACIÓN derivada parapara la ecuación vectorial del primer se deduce se la Realizando Realizandouna unasegunda segunda derivada la ecuación vectorial del polígono primer polígono relación de aceleraciones: deduce la relación aceleraciones: Realizando unadesegunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce la relación de aceleraciones: 2 2 2 2 2 2 2r dd2 rr1 11 dd r 2 22 dd2 rr3 33 a aa= aaBB B/A B/C 2 + 2 = 2 a = B/A B/C 2dt 2dt 2dt B/A B/C 22 22 22 B ddtr 1 ddtr 2 ddtr 3 + = a= a= aB 2 dt2 dt dt2 B/A B/C x x r x x r x r a 2 . x vdesl.B/C 2 2 3 3 ω + 2 . ω 22 x ( ω2 22 x r 22 ) = ω3 33 x ( ω3 33 x r 33 ) + α3 33 x r3 33 + adesl.B/C desl.B/C 33 x vdesl.B/C desl.B/C desl.B/C ω2 x ( ω2 x r2 ) = ω3 x ( ω3 x r3 ) + α 3 x r3 + adesl.B/C + 2 . ω3 x v desl.B/C Esta mediante laslas ecuaciones : : Esta ecuación ecuaciónvectorial vectorialseseresuelve resuelve mediante ecuaciones : x Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones 2 2 2 2 ‐0,1 ‐- rr333 xxx xx cos3 ‐ 2 x vdesl.B/C xx 3 xxx sen 33 2 -0,1 xxx 30 302 xxx cos cos θ= ω3323 xxx cos cos θ333 ‐- rr333 xxx α333 xxx sen sen θ333 + aadesl.B/C 22 desl.B/C desl.B/C x cosθ3 3 - 2 x v desl.B/C desl.B/C x ω3 3 senθ3 22 2 222 x cosθ 22 x cosθ - r x α x senθ + a ω θ3 -0,1 30 = r ω cos θ 2 v x sen x x x x x x cos desl.B/C xx v ‐0,1 ‐- rr333 xxx 33 adesl.B/C xxx sen 2desl.B/C 22 33 xxx sen 3 r3 xxx 3 33 3xx 3 xxx cos -0,1 xxx 30 30 xxx sen sen θ= 22 33 xx cos3θ3 33 + adesl.B/C desl.B/C 33 3 ω3 3 senθ3 3 + r3 3 α3 desl.B/C senθ3 3 + 2 x v desl.B/C desl.B/C x ω3 3 cosθ3 2 2 -0,1 x 30 x senθ= - r3 x ω3 x senθ3 + r3 x α 3 x cosθ3 + adesl.B/C x senθ3 + 2 x v desl.B/C x ω3 x cosθ3 2 de dede 33αy3aydesl.B/C . . a desl.B/C de donde dondese sededucen deducenloslosvalores valores y a desl.B/C . de donde se deducen los valores de αse3 tiene Para la relación de aceleraciones entreentre D y E:D y E: Para el el segundo segundopolígono polígonovectorial vectorial se tiene la relación de aceleraciones polígono Para el segundo vectorial se tiene la relación de aceleraciones entre D y E: 2 2 2 2 2 2 2 22 dd rr5 55 dd2 rr7 77 dd2 rr4 44 dd2 rr6 66 aaDDD aaEEE + aaDDD/E + 2 2 22 + 2 2 22 = /E 2 22 2 22 /E = dt dt ddt r 52 ddtdt r7 ddtdt r4 ddt r 62 + + = aD aE + aD/E = 2 2 2 2 dt dt dt dt aaEEE + ω444 xx (ω444 xx rr444 ) + α444 xx rr444 = ω666 xx (ω666 xx rr666 ) + α666 xx rr666 aE + ω4 x ( ω4 x r4 ) + α 4 x r4 = ω6 x ( ω6 x r6 ) + α 6 x r6 Esta mediante laslas ecuaciones : : Esta ecuación ecuaciónvectorial vectorialseseresuelve resuelve mediante ecuaciones : Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones 2 2 aaEE ‐- 0,4 0,4 xx ω244 xx cos cos θ44 ‐- 0,4 0,4 xx α 44 xx sen sen = θ44 ‐- 0,1 0,1 xx ω266 xx cos cos θ66 ‐- 0,1 0,1 xx sen θ66 α66 xx sen 2 2 2 2 2x ω x cosθ - 0,4 x α x sen 2ω x cosθ x x x a‐- E0,4 0,4 = θ 0,1 0,1 sen α 4 0,4 xx ω44 xx sen sen θ44 +4 0,4 0,4 xx α 44 xx4 cos cos = θ44 4 ‐- 0,1 0,1 xx ω66 xx6 sen sen θ66 6 + 0,1 0,1 xx cos θθ α66 6xx cos 6 6 6 2 2 - 0,4 x ω4 x senθ4 + 0,4 x α 4 x cos= θ4 - 0,1 x ω6 x senθ6 + 0,1 x α 6 x cosθ6 donde calcular los los valores de de 44 yαa4E.y a E . donde α666 == α33.3 .Estas Estasecuaciones ecuacionespermiten permiten calcular valores donde α 6 = α 3 . Estas ecuaciones permiten calcular los valores de α 4 y a E . 124 3 d) Para θ = 40°, de las ecuaciones y se obtiene: d) Para θ = 40°, de las ecuaciones y 120 se obtiene: 2 r = 0,2276 m ; θ =70,328° ; θ = 171,976° ; r = 0,3624 m r = 0,2276 m ; θ =70,328° ; θ = 171,976° ; r = 0,3624 m De las ecuaciones y : ÍNDICE De las ecuaciones y : 2 3 3 4 5 3 3 4 5 121 70,328º aE - 0,4 x ω24 x cosθ4 - 0,4 x α 4 x sen= θ4 - 0,1 x ω26 x cosθ6 - 0,1 x α 6 x senθ6 - 0,4 x ω24 x senθ4 + 0,4 x α 4 x cos= θ4 - 0,1 x ω26 x senθ6 + 0,1 x α 6 x cosθ6 donde α 6 = α 3 . Estas ecuaciones calcularPLANOS los valores de αY4PROBLEMAS y aE. CINEMÁTICApermiten DE MECANISMOS . TEORÍA RESUELTOS Para 40°,dedelaslasecuaciones ecuaciones y obtiene: d) d) Para θ2 θ= =40º, y sese obtiene: 2 r = 0,2276 θ =70,328° = 171,976°; r;5 =r 0,3624 = 0,3624 m ; m θ3; = 70,328º ; θ;4 =θ171,976º m m r3 = 0,2276 3 3 4 5 las ecuaciones De lasDe ecuaciones y : y : ω3 = 11,379 rad/s k ; ω4 = 0,967 rad/s k ; v desl.B/C = 1,5148 m/s 121 70,328º siendo la velocidad del pistón: vE = vpistón = 1,1255 m/s i De las ecuaciones y : α 3 = 48,207 rad/s2 k ; α 4 = - 26,818 rad/s2 2 70,328º k ; adesl.B/C = 48,2176 m/s70,328º siendo la aceleración del pistón: MANUALES UEX aE = apistón = 7,0304 m/s2 i 4.16. En el mecanismo representado en la figura, la manivela O 1 A gira con una velocidad angular constante ω O1A = 50 rad/s en sentido horario. Determinar: a) grados de libertad. ÍNDICE 122 125 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN 4.16. En el mecanismo representado en la figura, la manivela O1 A gira con una velocidad b) sentido del movimiento cada de los eslabones, mediante métodos gráficos, para angular constante ωO1A = 50de rad/s en uno sentido horario. Determinar: la posición representada. a) grados de libertad. c) sentido ecuaciones que permitan calcular la posición, velocidad y aceleración de todos b) del movimiento de cada uno de los eslabones, mediante métodos gráficos, paralos la A. Interpretar vectorialmente dichas eslabones en función del movimiento de la manivela O 1 posición representada. ecuaciones. c) ecuaciones que permitan calcular la posición, velocidad y aceleración de todos los eslabones ecuaciones. en del ymovimiento de del la manivela d) función velocidad aceleración balancínO1OA.2 BInterpretar y de la vectorialmente deslizadera C dichas para la posición representada. d) velocidad y aceleración del balancín O B y de la deslizadera C para la posición representada. 2 35 cm; cm; Datos: O 1A = 35 cm; AB = 15 cm; AC = 35 B O2 A C 40 cm ωO A 1 15 cm O1 70 cm Solución a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1 b) Con la velocidad angular ω O1A de la manivela se obtienen las velocidades v A y v B : B MANUALES UEX A vB vA ωO A 1 O1 126 123 ÍNDICE CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS La La velocidad velocidad angular angular de de la la biela biela AC AC se se puede puede determinar determinar mediante mediante su su centro centro instantáneo instantáneo La velocidad angular de la biela AC se puede determinar mediante su la centro instantáneo ), conociendo la velocidad de A y línea de acción de de rotación (CIR biela velocidad de de C. C. de rotación (CIR biela ), conociendo la velocidad de A y línea de acción de la velocidad ), conociendo la velocidad de A y línea de acción de la velocidad de C. de rotación (CIR biela Seguidamente se calcula la velocidad de C. Seguidamente se calcula la velocidad de C. Seguidamente se calcula la velocidad de C. CIR CIRbiela biela CIRbiela CIR CIRbiela biela CIRbiela ω ωbiela biela ωbiela ω ωbiela biela ωbiela A A A A A A v vAA vA Línea Línea de de acción acción vvC Línea de acción vCC C C C C C C v vCC vC v vCC vC C C C Relacionando Relacionando la la velocidad velocidad del del punto punto B B de de la la deslizadera deslizadera con con la la del del punto punto coincidente coincidente Relacionando la velocidad del punto B de la deslizadera con la del punto coincidente , se puede dibujar el polígono de velocidades: del balancín, v B balancín del balancín, v B balancín , se puede dibujar el polígono de velocidades: dibujar el polígono de velocidades: del balancín, v B balancín , se puede vvB = = vv + v = ω rr + vv B balancín + v desl.B/O2 = balancín x B/O2 + desl.B/O2 ω x desl.B/O2 B/O2 desl.B/O2 vBB = vBB balancín ωbalancín balancín + v desl.B/O2 = balancín x rB/O2 + v desl.B/O2 v vBB vB v vBB balancín balancín vB balancín v vdesl.B/O2 desl.B/O2 vdesl.B/O2 ω ωbalancín balancín ωbalancín B Bbalancín balancín Bbalancín v vBB balancín balancín vB balancín 124 124 124 ÍNDICE O O22 O2 MANUALES UEX Conocida se deduce deduce la la velocidad velocidad angular angular del del balancín: balancín: Conocida la la velocidad velocidad del del punto punto B B balancín se Conocida la velocidad del punto B balancín balancín se deduce la velocidad angular del balancín: 127 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN c) Se consideran dos polígonos vectoriales cerrados: c) Se consideran dos polígonos vectoriales cerrados: A A r2 Cθ4 r4 r2 ωO A 1 O1 θ4 r4 ωO A 1 C θ2 r3 θ2 r3 r1 O1 θ3 θ3 r1 θ7 B r7 B r7 θ7 O2 O2 r8 r8 ωO A r6 θ8 1 ωO A O1 r6 θ6 θ8 1 r5 O1 θ6 r5 POSICIÓN La ecuación vectorial del primer polígono es: POSICIÓN La ecuación vectorial del primer polígono r1 + r3es: + r4 = r2 MANUALES UEX r1 + r3 +vectorial r4 = r2 son: Las ecuaciones que resuelven este polígono 128 Las ecuaciones que resuelven polígono son: r1 +este 0,35 x cosθ 4 vectorial = 0,35 x cos θ2 0,15 + 0,35 x senθ4 = 0,35 x senθ r + 0,35 x cosθ = 0,35 x cosθ 2 1 4 2 0,15 + polígono 0,35 x senes: θ4 = 0,35 x senθ2 La ecuación vectorial del segundo La ecuación vectorial del segundo polígono r5 + r6 +es:r7 = r8 r5 + r6 + r7 = r8 125 125 ÍNDICE CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS Las ecuaciones que resuelven este polígono vectorial son: 0,7 + r7 x cosθ7 = 0,5 x cosθ8 0,4 + r7 x senθ7 = 0,5 x senθ8 donde θ 8 = θ 2 . VELOCIDAD Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene la relación de velocidades entre los puntos A y C: dr 1 dr 3 dr 4 dr 2 + + = dt dt dt dt v C + v A/C = vA v C + ω4 x r4 = ω2 x r2 Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: v C - 0,35 x ω4 x senθ4 =- 0,35 x (-50) x senθ2 0,35 x ω4 x cosθ4 =0,35 x (-50) x cosθ2 donde ω 2 = ω O1A = - 50 rad/s. Para el segundo polígono se obtiene la relación de velocidades: dr 5 dr dr dr 8 + 6 + 7 = dt dt dt dt v= vB v= B/O2 B/O1 ω7 x r7 + v desl.B/O2 = ω8 x r8 cuya resolución da lugar a las ecuaciones: - r7 x ω7 x senθ7 + v desl.B/O2 x cosθ7 =- 0,5 x (-50) x senθ8 r7 x ω7 x cosθ7 + v desl.B/O2 x senθ7 =0,5 x (-50) x cosθ8 ya que ω 8 = ω 2 . ACELERACIÓN d2 r 1 d2r 3 + + dt2 dt2 aC + d2r 4 d2 r 2 aA aC + aA/C = = 2 2 dt dt ω4 x ω4 x r4 + α 4 x r4 = ω2 x ω2 x r2 ( ) ( ) Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones: aC - 0,35 x ω24 x cosθ4 - 0,35 x α 4 x senθ4 =- 0,35 x (-50)2 x cosθ2 - 0,35 x ω24 x senθ4 + 0,35 x α 4 x cosθ4 =- 0,35 x (-50)2 x senθ2 126 ÍNDICE MANUALES UEX Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce la relación de aceleraciones entre los puntos A y C: 129 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN Para el segundo polígono vectorial se tiene la relación de acele 2aceleraciones: Paraelelsegundo segundopolígono polígonovectorial vectorialsesetiene tienelalarelación relaciónde dedaceleraciones: Para r5 d2 r 6 d2 r 7 d2 r 8 a= a + + = B/O2 2 2 2 2 dt dt dt dt dd2 r2 r5 5 dd2 r2 r dd2 r2 r dd2 r2 r8 8 a= a= a = a= aaBB = ++ 2626 ++ 2727 = B/O B/O B/O B/O 22 22 22 1 1 dt dt dt dt dt dt dt dt ω7 x ω7 x r7 + α 7 x r7 + adesl.B/O2 + 2 . ω7 x v desl.B ωω7 7xx ωω7 7xxr7r7 ++ αα7 7xxr7r7 ++ aadesl.B/O ++22. .ωω7 7xxvvdesl.B/O == ωω8 8xx ωω8 8xxr8r8 desl.B/O desl.B/O 2 2 2 2 (( ( ) ( ( ) )mediante las ecuaciones Esta ecuación vectorial se resuelve )) 2 Esta Estaecuación ecuaciónvectorial vectorialseseresuelve resuelvemediante mediantelas ecuaciones : : -las r7 ecuaciones x ω7 x cosθ7 - r7 x α 7 x senθ7 + adesl.B/O x cosθ7 - 2 x v desl.B/O x ω7 x senθ 2 2 2 - -r7r7x xωω27 27x xcos cosθθ7 7- -r7r7x xαα7 7x xsen senθθ7 7++aadesl.B/O x xcos cosθθ7 7- -22x-xvrvdesl.B/O xωω x xsen senθθ = = - -0,5 0,5x x(θ-50 x xcos cosθθ x ω7 xxsen ( -50 desl.B/O 7 7θ 7 desl.B/O 7 + r7 7x α 7 x cos 7 +) )adesl.B/O2 8 x8 senθ7 + 2 x v desl.B/O2 x ω7 x co 2 2 2 2 22 x xsen x xωω senθ8 8 - -r7r7x xωω27 27x xsen senθθ7 7 ++r7r7x xαα7 7x xcos cosθθ7 7++aadesl.B/O senθθ7 7 ++22x xvvdesl.B/O cosθθ7 7= = - -0,5 0,5x x( -50 ( -50) ) x xsenθ desl.B/O 7 7x xcos 2 2 donde αdesl.B/O 8 =2 2α 2 = 0. 22 donde dondeαα8 8==αα2 2==0.0. d) Para θ = 180°, de las ecuaciones y se tiene: 7 180°, de las ecuaciones tiene: d)d) Para Para Paraθθ 7===180°, 180º,de delas lasecuaciones ecuacionesyyysesesetiene: tiene: 7 7 r = 0,4 m ; θ = θ = 53,13º ; θ = 158,2º ; 7 2 8 4 53,13º ; ; De 158,2º 0,535 rr7 r===0,4 0,4 0,4mm ; ; θθ2 ===θθθ8==53,13º θθθ=4las ==158,2º 158,2º ; ; ; r r =r 0,535 1== ecuaciones y0,535 : mmm De Delas lasecuaciones ecuaciones yy: : v C = 18,2 m/s i ; ω4 =32,31 rad/s k ; v desl.B/O2 = 20 m vvCC==18,2 = = 18,2m/s m/s i i ; ; ωω44= 32,31 32,31rad/s rad/s kk ; ; vvdesl.B/O2 20m/s m/s i i ; ; ωω77= 37,5 37,5rad/s rad/sk desl.B/O2== 20 7 7 2 2 8 8 4 kk 4 1 1 De las ecuaciones y : aC = - 638,54 m/s2 i ; α 4 =1736,43 rad/s2 k ; adesl.B/O 2 = aaCC==- -638,54 638,54m/s m/s2 2 i i ; ; αα44= 1736,43 1736,43rad/s rad/s2 2 kk ; ; aadesl.B/O2 1312,5m/s m/s2α ; ;6250 rad/s2 k i 7i = desl.B/O2== - -1312,5 αα7 7= = 6250 6250rad/s rad/s2 2 kk MANUALES UEX : De Delas lasecuaciones ecuaciones yy: 130 127 127 127 ÍNDICE CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS 4.17. En la figura se muestra un mecanismo de carga-descarga impulsado por un cilindro 4.17. En laAB, figura se muestra de carga-descarga impulsado por horario un cilindro hidráulico donde A, C y Dun sonmecanismo articulaciones fijas. Si la pala gira en sentido con hidráulico AB, donde A, C y D son articulaciones fijas. Si la pala gira en sentido horario con una velocidad angular constante ω ω = 0,5 rpm, se pide: una velocidad angular constante ω = 0,5 rpm, se pide: a) determinar los grados de libertad del mecanismo. a) determinar los grados de libertad del mecanismo. b) ecuaciones que permitan obtener la posición, velocidad y aceleración de todos los b) ecuaciones que permitan obtener la posición, velocidad y aceleración de todos los eslabones en función del movimiento de la pala. Interpretar vectorialmente dichas eslabones en función del movimiento de la pala. Interpretar vectorialmente dichas ecuaciones. ecuaciones. c) determinar la velocidad y aceleración angulares de la barra CE en el instante c) determinaren la velocidad la barra CE en el instante representado la figura, en el yqueaceleración la pala está angulares en posicióndehorizontal. representado en la figura, en el que la pala está en posición horizontal. d) determinar la velocidad lineal del cilindro hidráulico AB que impulsa el sistema, d) determinar lineal del cilindro hidráulico el sistema, sabiendo que enlala velocidad posición representada en la figura forma θ =AB 30°que con impulsa la horizontal. sabiendo que en la posición representada en la figura forma θ = 30° con la horizontal. Datos: BC = 0,5 m; CD = 2,5 m; CE = 4,24 m. Datos: BC = 0,5 m; CD = 2,5 m; CE = 4,24 m. B B θ θ A A C C D D E E ω ω Solución Solución a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1 a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1 b) Se consideran dos polígonos vectoriales cerrados: b) Se consideran dos polígonos vectoriales cerrados: r4 r4 A A θ4 θ4 r5 r5 θ3 θ3 C C θ6 θ6 r3 r3 r1 r1 D D ω ω r2 r2 E E 128 128 ÍNDICE MANUALES UEX B rB6 r6 131 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN POSICIÓN La ecuación vectorial del primer polígono es: r1 + r3 = r2 POSICIÓN La vectorial del primer este polígono es: vectorial son: Lasecuación ecuaciones que resuelven polígono r23 r2 θ2 x cos 4,24 x cosθr13 = 2,5 + 4,24 x senθ3 = r2 x senθ2 r2 , θ3 r2 , 3 Las ecuaciones que resuelven este polígono vectorial son: La ecuación vectorial del segundo polígono 4,24 x cos θ res:x cosθ 3 2 2 x sen 2,5 4,24 r= r5 θ+3 r6 r2 x senθ2 4 La ecuación vectorial del segundo polígono es: Las ecuaciones que resuelven este polígono vectorial son: r4 r r5+ 0,5r6 x cosθ r4 x cosθ= 4 5 6 θ6 r4 xpolígono senθ 4 = vectorial 0,5 x senson: Las ecuaciones que resuelven este r4 , r5 Los lados la pieza BCE unr5 ángulo de 126,13º, de donde donde θ = θ3 –θ 6233,87º. r4 BCE x forman cosforman θ 0,5 x cos θde ladosBC BCy yCECEdede la pieza un ángulo = θ3 – 4 6 126,13°,r de 4 , r5 6 r4 x senθ 4 0,5 x senθ 6 233,87°. VELOCIDAD Los lados BC y CE de la pieza BCE forman un ángulo de 126,13, de donde 6 = 3 – 233,87. Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene la relación de velocidades: VELOCIDAD Derivando la ecuación polígono se obtiene develocidades: la relación dr 1 vectorial dr 3 deldr 2 = v= v= vE E/C E/D + dt dr 1 dr dr 2 3 dt dt dt dt dt v E /xC r = vω 3 x r3 2 x r2 v desl.E/D ω E /D x r v+E v 3 3 2 2 desl.E/D Esta ecuación mediante laslas ecuaciones: ecuaciónvectorial vectorialseseresuelve resuelve mediante ecuaciones: ‐ -4,24 3θ3 = ‐ -r2r2x x ‐( -0,05236 2θ2+vdesl.E/D 2θ2 4,24x xω x sen 0,05236 )x sen x sen v desl.E/Dx cos x cos 3 3x sen 4,24 3θ3 = r2r2x x ‐( -0,05236 2θ2+vdesl.E/D 2θ2 x cos xω x cos x sen 4,24x 0,05236 )x cos v desl.E/Dx sen 3 3x cos vvdesl.E/D ω33 desl.E/D ,, MANUALES UEX donde rad/s. donde ω22 == ω == ‐-0,5 0,5rpm rpm= =‐ 0,05236 - 0,05236 rad/s. 132 Para la relación de velocidades: Para el el segundo segundopolígono polígonoseseobtiene obtiene la relación de velocidades: dr dr dr 44 dr 55 dr dr 66 v v vvB rr4 vvdesl.B/A r6 B/A B/C 4 x 6 x v = v = ω x + = ω = + B/A B/C B 4 4 desl.B/A 6 x r6 dt dt dt dt dt dt cuya ecuaciones: cuya resolución resolucióndadalugar lugara las a las ecuaciones: -‐ rr4 xx ω4 xx sen sen θ4 + vv desl.B/A xx cos cos = θ4 ‐- 0,5 0,5 xx ω6 xx sen sen θ6 4 4 4 desl.B/A 4 6 6 x x rr4 xx ω4 xx cos cos θ4 + vv desl.B/A xx sen sen= θ 0,5 ω cos θ 129 44 0,5 x 66 x cos66 4 4 4 desl.B/A vvdesl.B/A , desl.B/A , ω44 donde ω66 ==ω3.3 . donde ACELERACIÓN ÍNDICE 128 Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se r4 x ω4 x cosθ4 + v desl.B/A x sen= θ4 vdesl.B/A , ω4 0,5 x ω6 x cosθ6 = θ4 - 0,5 x ω6 x senθ6 donde ω 6 = ω- 3r.4 x ω4 x senθ4 + v desl.B/A x cos vdesl.B/A , ω4 r4 x ω4 x cosθ4 + v desl.B/A x sen= θ4 0,5 x ω6 x cosθ6 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS donde ω 6 = ω 3 . ACELERACIÓN Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce la relación de aceleraciones: ACELERACIÓN 2 d2 r 1 d2r 3 dpara r 2 la ecuación Realizando una segunda derivada = aE/C + = 2 2 2 dt dt dt deduce la relación de aceleraciones: 2 d 3r 1x r3 d+2 rα3 3 x r3d2=r 2 ω2 x ω2 x r ω3 x ω = a2 ( dt2 +) dt2 ( = dt2 primer polígono se vectorial del a= aE E/D + adesl.E/D + 2 . ω2 x v desl.E/D a= a E/D E ) E/C ya que α 2 = 0. ω3 x ω3 x r3 + α3 x r3 = ω2 x ω2 x r2 + adesl.E/D + 2 . ω2 x v desl.E/D Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones : ( ) ( ) 2 ya que α = 0. - 4,242 x ω23 x cosθ3 - 4,24 x α 3 x senθ3 =- r2 x ( - 0,05236 ) x cosθ2 + adesl.E/D x cosθ2 Esta ecuación vectorial se resuelve mediante ecuaciones - 2 x las vdesl.E/D θ2 x ω2 x sen: 2 2 -- 4,24 4,24x xαα 3x xsen cosθθ3= =--rr2 x x (--0,05236 senθθ2++ aadesl.E/Dx xcos senθθ2- + 4,24 xx ω ω233 xx sen cosθθ33 -+ 4,24 ( 0,05236)) x xcos 3 3 2 2 desl.E/D 2 x v x ω x cosθ - +2 2 x v desl.E/D x ω x2 senθ 2 2 desl.E/D 2 2 x ωdeducen - 4,24 se senθ3 los + 4,24 x α 3de x cos - r2 x. ( - 0,05236 ) de donde valores α 3 θy3 a= desl.E/D 2 2 3 x senθ2 + adesl.E/D x senθ2 + x + 2 x vdesl.E/D x ω2 x cosθ2 Para el segundo polígono vectorial se tiene la relación de aceleraciones: de α 32 de donde se deducen los valores y a desl.E/D . d2r 4 d2 r 5 d r6 a= aB = + a= B/A B/C 2 2 2 Para el segundo polígono vectorial se tiene la relación de aceleraciones: dt dt dt 2 2 2 r 6 + 2 . ω4 r4 r 4 + α 4d xr 5r4 ++ addesl.B/A x v desl.B/Aa= = ω6 x aω6 x r6 + α6 x r6 ω4 x ω4 xd= a = B/A B/C B 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) dt dt dt Esta ecuación se mediante las : vectorial resuelve ecuaciones 2 ω4 x ω4 x r4 + α 4 x r4 + adesl.B/A + 2 . ω4 x v desl.B/A = ω6 x ω6 x r6 +2 α6 x r6 - r4 x ω4 x cosθ4 - r4 x α 4 x senθ4 + adesl.B/A x cosθ4 - 2 x v desl.B/A x ω4 x sen = θ4 - 0,5 x ω6 x cosθ6 - Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones : 2 24 x 4 x - r4 x ω - r4 x ω - 0,5 x α 6 x senθ6 senθ4 + r4 x α 4 x cosθ4 + adesl.B/A x senθ4 + 2 x v desl.B/A x ω4 x cos = θ - 0,5 x ω 2 x senθ + cosθ4 - r4 x α 4 x senθ4 + adesl.B/A x cosθ4 - 2 x v desl.B/A x ω4 x sen = θ4 4 - 0,5 x ω626 x cosθ6 6+ 0,5 x α x cosθ - 0,5 x α 6 x6 senθ6 6 - r x ω2 x senθ + r x α x cosθ + a x senθ + 2 x v x ω x cos - 0,5 x ω62 x senθ6 + = θ 4 4 4 4 4 desl.B/A 4 desl.B/A 4 donde α 6 = α43 . Estas ecuaciones permiten calcular los valores de α44 y a des.B/A . + 0,5 x α 6 x cosθ6 c) Para θ = 0°, de las ecuaciones se obtiene: 2 130 c) Para θ 2 == 0°, 0º, de de las las ecuaciones ecuaciones se seobtiene: obtiene: 2 r 2==3,424 323,87° 3,424mm ; θθ3 = 323,87º 2 De las ecuaciones : ω3 =- 0,052351 rad/s k 130 ; 3 v desl.E/D = - 0,13087 m/s i MANUALES UEX donde α 6 = α 3 . Estas ecuaciones permiten calcular los valores de α 4 y a des.B/A . 133 Por tanto, la velocidad angular de la barra CE es: ÍNDICE ωCE = ω3 = - 0,052351 rad/s k De las ecuaciones : ω3 =- 0,052351 rad/s k v desl.E/D = - 0,13087 m/s i ; MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN Por tanto, la velocidad angular de la barra CE es: ωCE = ω3 = - 0,052351 rad/s k De las ecuaciones se calcula la aceleración angular de la barra CE: α CE = α 3 = 2x10-3 rad/s2 k d) Para Para θ 4==30° 30º,, de las ecuaciones , , se se obtiene: 4 90º ; ; r4== 1 m ; rr5 = 0,867 θθ6==90° 0,867 m m 6 4 5 De las ecuaciones : ω4 =- 0,01309 rad/s k ; v desl.B/A = 0,02267 m/s MANUALES UEX Por tanto, la velocidad del actuador hidráulico AB es: v= v= 22,67 mm/s actuador desl.B/A 131 134 ÍNDICE 30º 30º SOLUCIÓN CINEMÁTICA DE UN MECANISMO CON AYUDA DE MATLAB 5. RESOLUCIÓN CINEMÁTICA DE UN MECANISMO CON AYUDA DE MATLAB 5. RESOLUCIÓN CINEMÁTICA DE UN MECANISMO CON AYUDA DE MATLAB omo aplicación práctica,Como en el aplicación presente capítulo seen llevará a cabocapítulo el análisis práctica, el presente se cinemático llevará a cabo el análisis cinemático ante métodos analíticos del mecanismo Whitworthdel de mecanismo la siguiente figura, proporcio- de la siguiente figura, mediante métodosdeanalíticos de Whitworth o las instrucciones en lenguaje Matlab resuelven de sencilla las que ecuaciones proporcionando lasque instrucciones en forma lenguaje Matlab resuelven de forma sencilla las antes y generan valores cinemáticos ecuaciones resultantes y generan valores cinemáticos para el ciclo completo. el ciclo completo. C omo dato de entrada, se conoce que nivela O 2 A, de longitud L 2 = 0,25 m, on una velocidad angular constante ntido antihorario ω2 =2k (rad / s) . La ud del eslabón O 1 B es L 3 = 1,1 m y eslabón BC es L 5 = 0,5 m. B 80 cm θ MANUALES UEX objetivo es encontrar las expresiones O2 Como aplicación práctica, en el presente capítulo se llevará a cabo el anális A permiten calcular, para cualquier mediante métodos analíticos del mecanismo de Whitworth de la siguiente figur ón del mecanismo, la posición, ω2 nando las instrucciones en lenguaje Matlab que resuelven de forma sencilla la dad y aceleración de todos los esla70 cm cinemáticos resultantes y generan valores en función de los valores del esla para el ciclo completo. de entrada o manivela O 2 A. Como C O1 ción, utilizando las ecuaciones Como dato de entrada, se conoce que ores, se determinará la velocidad y la manivela O 2 A, de longitud L 2 = 0,25 m, ación del pistón C cuando θ = 30°. gira con velocidad angular constante Como dato de entrada, se conoce que una la manivela O2A, de longitud L2 = 0,25 m, gira con smo, puesto que se deducirán las expresiones de la velocidad y aceleración del C pistón una velocidad angular constante en en sentido sentido antihorario antihorario ω2 =2k .(rad La longitud / s) . La del eslabón O1B B de cualquier posición de la manivela O 2 A, se representará gráficamente la evolución es L3 = 1,1 m y la del eslabón BClongitud es L5 = 0,5 m . delmecanismo. eslabón O 1 B es L 3 = 1,1 m y s valores a lo largo de todo el ciclo completo de movimiento del la del eslabón BC es L 0,5 m. para cualquier posición 5 =calcular, El objetivo es encontrar las expresiones que permiten del θ mecanismo, la posición, velocidad yElaceleración de todos los eslabones en función de los objetivo es encontrar las expresiones O2 aplicación, utilizando las ecuaciones valores del eslabón131 de entrada oque manivela O2A. Como A permiten calcular, para cualquier anteriores, se determinará la velocidad y aceleración del pistón C cuando q = 30°. Asimismo, posición del mecanismo, la posición, ω2 se deducirán las expresiones develocidad la velocidad y aceleración del los pistón y aceleración de todos esla-C para cualquier posición de la manivela O2A, obteniendo así la evolución de dichos valores a lo largo de bones en función de los valores del esla todo el ciclo completo de movimiento del mecanismo. bón de entrada o manivela O 2 A. Como 135 O1 aplicación, utilizando las ecuaciones anteriores, se determinará la velocidad y aceleración del pistón C cuando θ = 30°. Asimismo, puesto que se deducirán las expresiones de la velocidad y aceleración ÍNDICE para cualquier posición de la manivela O 2 A, se representará gráficamente la dichos valores a lo largo de todo el ciclo completo de movimiento del mecanism MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN El primer paso es el planteamiento de las ecuaciones vectoriales de cierre o de lazo del mecanismo. Obsérvese que, puesto que el que el mecanismo tiene un grado de libertad (m=1) y todos los pares son de un grado de libertad (j2=0), entonces el número NE de ecuaciones de lazo necesarias para resolver el mecanismo será: = NE n−2 = 2 2 dado que el número total de eslabones es n=6. Se necesitan, por tanto, dos cierres para resolver este mecanismo, que no son únicos. Esto implica que existen varias formas distintas de plantear las ecuaciones de lazo que conducirán a la misma solución. Dichas ecuaciones reflejan las diferentes relaciones que existen entre las velocidades y aceleraciones de los puntos del mecanismo. • Primer cierre La ecuación de cierre elegida es la que define el polígono vectorial de la figura, que va siguiendo las barras del mecanismo: r1 + r2 = r3 (1) θ2=210º Expresando la ecuación (1) en términos de números complejos se tiene: 0,7 x j + 0,25 x e jθ2 = r3 x e jθ3 (2) donde θ1 tiene un valor constante e igual a 90o. Separando las partes real e imaginaria se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, r3 y θ3 : 0,25 x cosθ2 = r3 x cosθ3 0,7 + 0,25 x senθ2 = r3 x senθ3 A r2 r3 O2 r1 θ3 O1 (3) Puesto que la variable de entrada es θ2 = θ + 180°, se resuelve el sistema anterior para θ2 = 210°. Sustituyendo valores, la resolución de dicho sistema en Matlab se reduce a la expresión: MANUALES UEX »t2=pi+pi/6;t3=atan((.7+.25*sin(t2))/(.25*cos(t2)));r3=(0.25*cos(t2))/cos(t3); 136 De las expresiones anteriores, en Matlab se obtiene el valor θ3 = t3 = - 1,211 rad = queexpresiones es una solución incorrecta. existen con=la- 69,38 mismao, 69,38 Deo, las anteriores, en MatlabObsérvese se obtieneque el valor θ3 =dos t3 =ángulos - 1,211 rad tangente, sólo uno de ellosObsérvese se corresponde con la mecanismo. En pero este solución incorrecta. que existen dosposición ángulos real con del la misma tangente, que es unapero caso, al ser longitud de la manivela que la distancia entre apoyos, la guía sólo uno delaellos se corresponde con menor la posición real del mecanismo. En este caso,realiza al serun la guía movimiento longitud de la manivelalo menor que laque distancia apoyos,θ3la> 0. Porrealiza tanto, un se debe añadir movimiento oscilante, que implica en todoentre momento en todo momento oscilante, queinstrucción implica que 0. Por se debe adecuada, añadir en Matlab una en Matlablouna condicional del tipo θ“if” elijatanto, la solución tal y como 3 >que se muestra en el códigodel proporcionado. De este modo se selecciona valor correcto realendel condicional tipo “if” que elija instrucción la solución adecuada, tal el y como se muestra el o o o selecciona el valor correcto real del ángulo corresponcódigo proporcionado. De este modo se ángulo correspondiente, esto es: θ3 = t3 = =180 – 69,38 = 110,6 = 1,9306 rad, y la solución o o o 0,613 r3 = r3 =esto diente, es: θm. 3 = t3 = =180 – 69,38 = 110,6 = 1,9306 rad, y la solución r3 = r3 = 0,613 m. 132 ÍNDICE CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS Obsérvese que todas las instrucciones de Matlab se plantearán para una variable genérica de entrada θ2 = t2, por lo que servirán para calcular las variables cinemáticas en cualquier posición del mecanismo definida por θ2. Derivando respecto al tiempo la expresión (2) y teniendo en cuenta que ω2 = 2 rad/s (constante), se tiene para las velocidades la ecuación: 0,25 x 2 x je jθ2 = r3 x ω3 x j x e jθ3 + vdesl. x e jθ3 (4) A partir de (4), igualando partes real e imaginaria, se llega al siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (ω3 y vdesl.): -0,25 x 2 x senθ2 = - r3 x ω3 x senθ3 + vdesl. x cosθ3 0,25 x 2 x cosθ2 = r3 x ω3 x cosθ3 + vdesl. x senθ3 (5) Obsérvese que la expresión anterior puede, de forma equivalente, obtenerse derivando las dos ecuaciones que aparecen en (3). Es conveniente en todos los casos interpretar vectorialmente la ecuación de velocidades (4) obtenida por derivación de la ecuación de cierre. Derivando la ecuación de lazo (1), se obtiene la siguiente relación vectorial entre velocidades: dr1 dr2 dr3 + = ⇒ 0 + v A/02 = v A/01 = v A ⇒ ( ω2 × r2 ) = ( ω3 × r3 ) + vdesl. dt dt dt a través de la cual se puede comprender el significado físico de cada uno de los términos que aparecen en las ecuaciones (4) y (5). La resolución del sistema (5) en Matlab para θ2 = 210o se puede realizar de la siguiente forma (dado que los valores de θ3 y r3 se encuentran en memoria): »solv=solve('-.25*2*sin(t2)+r3*w3*sin(t3)-vdes*cos(t3)=0', '.25*2*cos(t2)-r3*w3*cos(t3)-vdes*sin(t3)=0','w3,vdes'); »w3=eval(solv.w3);vdes=eval(solv.vdes); El valor negativo de ω3 indica que dicha velocidad angular es, en ese instante, contraria al sentido establecido para el ángulo θ3. Análogamente, el valor negativo de vdesl. indica que el sentido de la velocidad de deslizamiento es, para esa posición, contrario al que habíamos fijado para el vector r3 (cuya variación de longitud representa la velocidad de deslizamiento). Por tanto, en esa posición la deslizadera en A se mueve hacia O1 y se obtienen los resultados: ω3 = - 0,137 k (rad/s) ; vdesl. = 0,493 m/s 69,4º MANUALES UEX obteniéndose las soluciones ω3 = w3 = - 0,137 rad/s y vdesl.= vdes = - 0,493 m/s. Derivando la ecuación (4) se tiene para el cálculo de aceleraciones la expresión: 137 133 ÍNDICE MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN -0,25 x 22 x e jθ2 = (2 x vdesl. x ω3 + r3 x α3 ) x j x e jθ3 + (adesl. - r3 x ω32 ) x e jθ3 (6) Desarrollando la expresión (6), o de forma equivalente por simple derivación de las ecuaciones (5), se llega al siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (α3 y adesl.): -0,25 x 22 x cosθ2 = -(2 x vdesl. x ω3 + r3 x α3 ) x senθ3 + (adesl. - r3 x ω32 ) x cosθ3 -0,25 x 22 x senθ2 = (2 x vdesl. x ω3 + r3 x α3 ) x cosθ3 + (adesl. - r3 x ω32 ) x senθ3 (7) La interpretación vectorial de la ecuación de aceleraciones (6), obtenida a través de la segunda derivada de la ecuación de cierre, consiste en la siguiente relación entre aceleraciones: aA/02 = aA/01 = aA ⇒ [ ω2 × (ω2 × r2 )] = adesl. + acoriolis + ( α3 × r3 ) + [ ω3 × (ω3 × r3 )] La resolución del sistema (7) en Matlab se puede realizar de la siguiente forma (puesto que todos los valores necesarios se encuentran en memoria): »sola=solve('-.25*4*cos(t2)+(2*w3*vdes+r3*a3)*sin(t3)-(ades-r3*(w3^2))*cos(t3)=0', '-.25*4*sin(t2)-(2*w3*vdes+r3*a3)*cos(t3)-(ades-r3*(w3^2))*sin(t3)=0','a3,ades'); »a3=eval(sola.a3);ades=eval(sola.ades); obteniéndose los valores α3 = a3 = - 1,829 rad/s2 y adesl. = ades = 0,179 m/s2. Por tanto: α3 = - 1,829 k (rad/s2 ) ; • adesl. = 0,179 m/s2 69,4º Segundo cierre A continuación, se realiza el análisis cinemático del resto del mecanismo. Para ello se plantea el siguiente lazo representado en la figura: r3′ + r5 = r6 + r7 1,1 x e jθ3 + 0,5 x e jθ5 = -r6 + 1,5 x j (8) ya que θ6 = 180 y θ7 = 90 , con valores constantes. o r5 o B C r6 θ5 Separando las partes real e imaginaria se tiene el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, r6 y θ5 : MANUALES UEX 1,1 x cosθ3 + 0,5 x cosθ5 =- r6 1,1 x senθ3 + 0,5 x senθ5 = 1,5 r7 r3 ' El cálculo del ángulo θ5 en Matlab se reduce a la expresión: θ3 O1 » t5=asin((1.5-1.1*sin(t3))/.5); de donde se obtiene el valor θ5 = t5 = 1,225 rad = 70,2o (notar que el valor de θ3 = t3 se encuentra en memoria). 138 134 ÍNDICE CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS Derivando la ecuación de partida (8) se obtiene para el cálculo de velocidades la expresión: 1,1 x ω3 x j x e jθ3 + 0,5 x ω5 x j x e jθ5 = -v C (9) Para interpretar vectorialmente la ecuación de velocidades anterior, se deriva la ecuación de lazo de este segundo cierre, obteniendo la siguiente relación vectorial entre velocidades: dr'3 dr5 dr6 dr7 ⇒ vB + v C/B = v C + 0 ⇒ ( ω3 × r'3 ) + ( ω5 × r5 ) = v C (- i) + = + dt dt dt dt A partir de (9), igualando partes real e imaginaria, se llega al siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (ω5 y vC): -1,1 x ω3 x senθ3 - 0,5 x ω5 x senθ5 = -v C 1,1 x ω3 x cosθ3 + 0,5 x ω5 x cosθ5 = 0 La resolución de dicho sistema en Matlab se puede llevar a cabo en la forma: » solv2=solve('-1.1*(w3)*sin(t3)-0.5*w5*sin(t5)+vc=0', '1.1*(w3)*cos(t3)+0.5*w5*cos(t5)=0','w5,vc'); » w5=eval(solv2.w5);vc=eval(solv2.vc); obteniéndose las soluciones ω5 = w5 = -0,313 rad/s y v C = vc = -0,288 m/s, esto es, ω5 = - 0,313 k (rad/s) y vC = 0,288 i (m/s) (notar que el resto de valores t3, t5 y w3 se encuentran en memoria). Derivando la ecuación (9) se obtiene para el cálculo de aceleraciones la expresión: 1,1 x α 3 x j x e jθ3 - 1,1 x ω23 x e jθ3 + 0,5 x α 5 x j x e jθ5 - 0,5 x ω25 x e jθ5 = -aC (10) Obsérvese que la segunda derivada de la ecuación de lazo de este segundo cierre permite interpretar vectorialmente la ecuación anterior (10), obteniendo la siguiente relación vectorial entre aceleraciones: aB + aC/B = aC ⇒ ( α3 × r'3 ) + [ω3 × (ω3 × r') 3 ] + ( α 5 × r5 ) + [ ω5 × (ω5 × r5 )] = aC (- i) Desarrollando la expresión (10), o simplemente derivando las ecuaciones de velocidad, se consigue un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (α5 y aC): 1,1 x α 3 x cosθ3 - 1,1 x ω23 x senθ3 + 0,5 x α 5 x cosθ5 -0,5 x ω25 x senθ5 = 0 cuya resolución en Matlab se realizaría en la forma: »sola2=solve('ac-1.1*(a3)*sin(t3)-1.1*(w3^2)*cos(t3)-.5*a5*sin(t5).5*(w5^2)*cos(t5)=0','1.1*a3*cos(t3)-1.1*(w3^2)*sin(t3)+.5*a5*cos(t5).5*(w5^2)*sin(t5)=0','a5,ac');»a5=eval(sola2.a5);ac=eval(sola2.ac); 135 ÍNDICE MANUALES UEX -1,1 x α 3 x senθ3 - 1,1 x ω23 x cosθ3 - 0,5 x α 5 x senθ5 - 0,5 x ω25 x cosθ5 = -aC 139 MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN de donde se obtienen los valores α5 = a5 = - 3,794 rad/s2 y aC = ac = -3,658 m/s2, es decir, α5 = - 3,794 k (rad/s2 ) y aC = 3,658 i (m/s2 ) . A partir de las instrucciones de Matlab descritas, resulta inmediato calcular las variables cinemáticas deseadas para el ciclo completo de movimiento del mecanismo. Con el objetivo de calcular velocidades y aceleraciones a lo largo de todas las posiciones del mecanismo, se incluye una sentencia de control de bucle del tipo “for”, tal y como se muestra en el código de Matlab proporcionado. De este modo, se ejecuta repetidamente el bloque de código para cada uno de los valores del ángulo de entrada θ2 = t2. Este ángulo será discretizado entre 0 y 2.π radianes en tantos valores NI como se desee, según la velocidad de ejecución y la precisión que se desee obtener. De esta forma, se puede calcular y representar la evolución de cualquier variable cinemática, evaluando sus valores máximo y mínimo. A través del código de Matlab adjunto, se definen las variables vc_vector y ac_vector que representan, respectivamente, la evolución de la velocidad y aceleración del pistón C en una revolución completa del eslabón motor 2. Obsérvese que la velocidad es cero en las posiciones límite del mecanismo, las cuales se producen cuando los eslabones 2 y 3 son perpendiculares, es decir, θ2(Lim1) = 200,93o = 3,51 rad y θ2(Lim2) = 339,08o = 5,92 rad. • Cálculo de aceleraciones de los centros de gravedad A continuación, se va a determinar la aceleración del centro de gravedad de cada eslabón, suponiendo que éste se encuentra siempre en el punto medio de cada barra. El cálculo de este valor es necesario si se prevé realizar posteriormente el análisis dinámico. Para ello, se toma el vector de posición complejo de cada centro de gravedad y se deriva dos veces para obtener la expresión de la aceleración, en la que se sustituyen los valores obtenidos en el análisis cinemático anterior, que se encuentran en memoria en cada iteración para cada valor de θ2. Para el eslabón 2 se tiene: r rG2 = 2 x e jθ2 ; 2 vG2 = r r2 jθ2 ; = aG2 - 2 x ω22 x e jθ2 x ω2 x j x e 2 2 Con objeto de calcular dicha aceleración en Matlab la notación es: » aG2= - (.25/2)*4*exp(t2*i); MANUALES UEX » aG2x=real(aG2);aG2y=imag(aG2); obteniéndose: aG2 = 0,432 i + 0,252 j (m/s2 ) . Para el eslabón 3: r′ rG3 = 3 x e jθ3 ; 2 vG3 = r3′ jθ3 ; x ω3 x j x e 2 140 136 ÍNDICE = aG3 r3′ jθ3 2 x (α3 x j − ω3 ) x e 2 CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS Con objeto de calcular dicha aceleración se escribe en Matlab: » aG3=(1.1/2)*(a3*i-w3^2)*exp(t3*i); » aG3x=real(aG3);aG3y=imag(aG3); de donde: = aG3 0,944 i + 0,344 j (m/s2 ) . Para el eslabón 5: rG5 = r r 2 x rG3 + 5 x e jθ5 ; vG5= 2 x vG3 + 5 x ω5 x j x e jθ5 ; 2 2 r5 jθ5 2 = x (α5 x j − ω5 ) x e aG5 2 x aG3 + 2 Para calcular dicha aceleración en Matlab: » aG5=2*aG3+(.5/2)*(a5*i-w5^2)*exp(t5*i); » aG5x=real(aG5);aG5y=imag(aG5); obteniéndose: = aG5 2,772 i + 0,344 j (m/s2 ) . Para el eslabón 4: rG4 = r= A 2 x rG2 ; a= a= 2 x aG2 G4 A donde, para calcular la aceleración anterior, se escribe en Matlab: » aG4=2*aG2; » aG4x=real(aG4);aG4y=imag(aG4); y se obtiene: aG4 = 0,864 i + 0,504 j (m/s2 ) . Finalmente, para el eslabón 6, que se mueve en traslación, se tiene: a= C 3,658 i (m/s2 ) MANUALES UEX a= G6 141 137 ÍNDICE MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN • Código Matlab completo considerados •%Valores Código Matlab completo del angulo NI=input('Introduce el número de %Valores del angulo el ánguloconsiderados de entrada t2='); NI=input('Introduce el número de for j=1:(NI+1) el ángulo de entrada t2='); angulo2(j)=(j-1)*((2*pi)/NI); for j=1:(NI+1) t2=angulo2(j); angulo2(j)=(j-1)*((2*pi)/NI); t2=angulo2(j); %ANALISIS CINEMÁTICO de entrada t2 valores a considerar para discretizar de entrada t2 valores a considerar para discretizar %ANALISIS CINEMÁTICO %PRIMER CIERRE MANUALES UEX %PRIMER CIERRE %Posición tant3=(.7+.25*sin(t2))/(.25*cos(t2)); %Posición t3=atan(tant3); tant3=(.7+.25*sin(t2))/(.25*cos(t2)); if t3<0, t3=t3+pi; t3=atan(tant3); elseif t3>(2*pi), t3=t3-pi; if t3<0, t3=t3+pi; end elseif t3>(2*pi), t3=t3-pi; r3=(0.25*cos(t2))/cos(t3); endt2==pi/2, t3=pi/2;r3=0.95; if r3=(0.25*cos(t2))/cos(t3); elseif t2==3*pi/2, t3=pi/2;r3=0.45; if endt2==pi/2, t3=pi/2;r3=0.95; elseif t2==3*pi/2, t3=pi/2;r3=0.45; end %Velocidad syms w3 vdes %Velocidad solv=solve([-.25*2*sin(t2)+r3*w3*sin(t3)syms w3 vdes vdes*cos(t3)==0,.25*2*cos(t2)-r3*w3*cos(t3)solv=solve([-.25*2*sin(t2)+r3*w3*sin(t3)vdes*sin(t3)==0],[w3,vdes]); vdes*cos(t3)==0,.25*2*cos(t2)-r3*w3*cos(t3)w3=eval(solv.w3) vdes*sin(t3)==0],[w3,vdes]); vdes=eval(solv.vdes) w3=eval(solv.w3) vdes=eval(solv.vdes) %Aceleración syms a3 ades %Aceleración sola=solve([-.25*4*cos(t2)+(2*w3*vdes+r3*a3)*sin(t3)-(adessyms a3 ades r3*(w3^2))*cos(t3)==0,-.25*4*sin(t2)-(2*w3*vdes+r3*a3)*cos(t3)-(adessola=solve([-.25*4*cos(t2)+(2*w3*vdes+r3*a3)*sin(t3)-(adesr3*(w3^2))*sin(t3)==0],[a3,ades]); r3*(w3^2))*cos(t3)==0,-.25*4*sin(t2)-(2*w3*vdes+r3*a3)*cos(t3)-(adesa3=eval(sola.a3) r3*(w3^2))*sin(t3)==0],[a3,ades]); ades=eval(sola.ades) a3=eval(sola.a3) ades=eval(sola.ades) %SEGUNDO CIERRE 142 %SEGUNDO CIERRE %Posición sint5=(1.5-1.1*sin(t3))/.5;t5=asin(sint5); %Posición sint5=(1.5-1.1*sin(t3))/.5;t5=asin(sint5); %Velocidad syms w5 vc %Velocidad solv2=solve([-1.1*(w3)*sin(t3)syms w5 vc 0.5*w5*sin(t5)+vc==0,1.1*(w3)*cos(t3)+0.5*w5*cos(t5)==0],[w5,vc]); solv2=solve([-1.1*(w3)*sin(t3)w5=eval(solv2.w5) 0.5*w5*sin(t5)+vc==0,1.1*(w3)*cos(t3)+0.5*w5*cos(t5)==0],[w5,vc]); vc=eval(solv2.vc) w5=eval(solv2.w5) vc=eval(solv2.vc) %Aceleración syms a5 ac %Aceleración sola2=solve([ac-1.1*(a3)*sin(t3)-1.1*(w3^2)*cos(t3)-.5*a5*sin(t5)syms a5 ac .5*(w5^2)*cos(t5)==0,1.1*a3*cos(t3)-1.1*(w3^2)*sin(t3)+.5*a5*cos(t5)sola2=solve([ac-1.1*(a3)*sin(t3)-1.1*(w3^2)*cos(t3)-.5*a5*sin(t5).5*(w5^2)*sin(t5)==0],[a5,ac]); .5*(w5^2)*cos(t5)==0,1.1*a3*cos(t3)-1.1*(w3^2)*sin(t3)+.5*a5*cos(t5)a5=eval(sola2.a5) .5*(w5^2)*sin(t5)==0],[a5,ac]); ac=eval(sola2.ac) a5=eval(sola2.a5) ac=eval(sola2.ac) %ACELERACIONES DE LOS CENTROS DE GRAVEDAD %ACELERACIONES DE LOS CENTROS DE GRAVEDAD 138 138 ÍNDICE %Aceleración syms a5 ac sola2=solve([ac-1.1*(a3)*sin(t3)-1.1*(w3^2)*cos(t3)-.5*a5*sin(t5).5*(w5^2)*cos(t5)==0,1.1*a3*cos(t3)-1.1*(w3^2)*sin(t3)+.5*a5*cos(t5).5*(w5^2)*sin(t5)==0],[a5,ac]); CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS a5=eval(sola2.a5) ac=eval(sola2.ac) %ACELERACIONES DE LOS CENTROS DE GRAVEDAD MANUALES UEX aG2=-(.25/2)*4*exp(t2*i);aG2x=real(aG2);aG2y=imag(aG2); aG3=(1.1/2)*(a3*i-w3^2)*exp(t3*i);aG3x=real(aG3);aG3y=imag(aG3); 138 aG5=2*aG3+(.5/2)*(a5*i-w5^2)*exp(t5*i);aG5x=real(aG5);aG5y=imag(aG5); aG4=2*aG2;aG4x=real(1.5*aG4);aG4y=imag(aG4); aG6x=5*ac; vc_vector(j)=vc; ac_vector(j)=ac; end 143 139 ÍNDICE 113 ÍNDICE
