Origen de las Integrales: En el último cuarto del siglo XVII sucedió el nacimiento del calculo infinitesimal, Newton y Leibnitz, de manera independiente, sintetizaron el confucionismo de los métodos infinitesimales usados por sus predecesores dos conceptos, los que hoy llamamos la derivada y la integral, desarrollaron unas reglas para manipular la derivada (reglas de derivación)y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo). Para resolver todos los problemas de cuadraturas, máximos y mínimos, tangentes, centros de gravedad, que habían ocupado a sus predecesores bastaba echar a andar estos dos conceptos mediante sus correspondientes reglas de cálculo. El primero en descubrirlo fue Newton, su primera obra sobre el cálculo ”De analyse per aequationes numero terminorum infinitas” publicada en 1711. Siendo destacable de dicha obra el cálculo del área bajo la parábola X m/n usando el teorema fundamental del cálculo mediante primitivas. Leibnitz, fue el otro inventor del cálculo. Su descubrimiento fue posterior al de Newton, aunque Leibnitz fue el primero en publicar el invento. Lo hizo además usando una vía ciertamente novedosa en aquella época: para facilitar la difusión de sus resultados los publicó en una de las recién creadas revistas científico filosóficas el Acta Eroditorum. Publica en las mencionadas Actas con el título "Un nuevo método para los máximos y los mínimos, así como para las tangentes, que no se detiene ante cantidades fraccionarias o irracionales, y es un singular género de cálculo para estos problemas". En este artículo de 6 páginas Leibnitz recoge de manera esquemática sin demostraciones y sin ejemplos su cálculo diferencial y ademas aparece por primera vez la notación para la integral que todavía hoy usamos a la fecha. Primero introduce la notación "dx" para el diferencial-. Encima a la derecha podemos admirar este trabajo aunque por razones tipográficas en vez de la S alargada para la integral aparece una especie de f. En resumidas cuentas se puede destacar los siguientes puntos sobre el origen del calculo integral: 1. Las integrales tienen su origen en el cálculo infinitesimal, desarrollado por matemáticos como Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz en el siglo XVII. 2. Newton utilizó integrales para resolver problemas relacionados con áreas bajo curvas y la acumulación de cantidades variables. 3. Leibniz introdujo la notación moderna de integrales (∫) y desarrolló reglas para calcularlas. Significado de las Integrales: Según el libro "Cálculo de una variable" de James Stewart, se define el cálculo integral como "una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades y aplicaciones de las integrales. En particular, el cálculo integral se utiliza para determinar áreas, volúmenes, longitud de arcos, y otros conceptos geométricos mediante el proceso de integración de funciones". El cálculo integral se enfoca en el estudio de las propiedades y aplicaciones de las integrales. En términos generales, el cálculo integral se utiliza para encontrar áreas bajo una curva, volúmenes de sólidos de revolución, longitudes de arcos, y otros conceptos geométricos relacionados con el cambio acumulado de una función. En el cálculo integral, se emplea el concepto de integral definida para determinar la acumulación de una cantidad continua a lo largo de un intervalo dado. La integral definida se representa mediante el símbolo ∫ y se calcula mediante el proceso de integración de una función dada. La integral definida se interpreta geométricamente como el área bajo la curva de la función en un intervalo específico. Además de su importancia en la geometría y el análisis matemático, el cálculo integral tiene numerosas aplicaciones en la física, la ingeniería, la economía y otras ciencias. Permite modelar y resolver problemas que involucran cantidades variables en el tiempo o en el espacio, y proporciona herramientas poderosas para el análisis y la predicción de fenómenos naturales y artificiales. En resumen, el cálculo integral es una herramienta matemática fundamental que permite comprender y cuantificar el cambio acumulado de una función a lo largo de un intervalo, y tiene aplicaciones importantes en diversas áreas del conocimiento. 1. Una integral representa el área bajo una curva en un intervalo específico. 2. Nos permite encontrar la cantidad acumulada o la suma infinitesimal de pequeños cambios en una función. 3. En el contexto financiero, las integrales pueden representar la acumulación de flujos de efectivo a lo largo del tiempo. Aplicaciones en la Vida Real: 1. Áreas y Volúmenes: Las integrales se utilizan para calcular áreas de figuras planas y volúmenes de sólidos en el espacio. 2. Cinemática: En física, las integrales describen desplazamientos, velocidades y aceleraciones en movimiento. 3. Probabilidad y Estadística: Se aplican al cálculo de probabilidades en distribuciones continuas y al análisis de datos. 4. Ingeniería y Diseño: En ingeniería, las integrales modelan fenómenos como el flujo de fluidos y la resistencia de materiales. Aplicaciones en Finanzas: 1. Valor Presente Neto (VPN): Las integrales se utilizan para calcular el VPN de flujos de efectivo futuros, considerando tasas de descuento. 2. Intereses y Tasas de Crecimiento: En inversiones y préstamos, las integrales ayudan a determinar intereses acumulados y tasas de crecimiento. 3. Optimización de Inversiones: Al considerar rendimientos y riesgos, las integrales ayudan a tomar decisiones financieras óptimas. En resumen, comprender y efectuar las ecuaciones integrales proporcionan una ligera ventajas ya que aplicarlas en la vida cotidiana y en el ámbito financiero facilitan el manejo financiero. El legado de las matemáticas: de Euclides a Newton, los genios a través de sus libros. https://euler.us.es/~libros/calculo.html Referencia: Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable. Cengage Learning Editores.
