149
APORTES
Boletin de Matemat{cas
Vol.
XX,
N'=. 3 (1986)
ALGUNOS ESPACIOS SEUDOMETRICOS
Y
LA TOPOLOGIA t DE R*
M. MW10z Q. - 19 ¥lauo
] 01l ~
RESUMEN.
En el presente
obtenida
a partir
cide
la topologla
por
la misma
juntos
de una
se demuestra
X'
un conjunto
6:X ~ ffi, coinsobre X inducida
se caracterizan
y se demuestra
la topologla
por
la relaci6n
que
X que
poseen
lamisma
imagen
sus
que
usual
ciente
con-
6
cuando
de ffi es
identifica
es
la co-
puntos
de
6·
per
emu est r a a de mas 'q u e 1a top 010 g i a
Sed
que
funcion
inicial
funcion;
compactos
sobreyectiva,
trabajo
se ud om e t r-Lc a sobre
la topologla
con
Mai'lLLU.a
'e
obre
.'.
los
reales
10gla
no-estandar
Est:lR
seudometrica
*
r
-+
lR,
finitos
obtenida
.~
f u nc i on
que
F,
es la topo-
ffi
a partir
.
a so c r a a .cada
de
*
a de lR'f-'
150
apo:rtes
su parte
estandar.
teriores,
Con
se obtienen
de algunas
esto
y los
resultados
demostraciones
caracterizaciones
en
a~
sencillas
[3].
I. SEUDOMETRICAS.
Una seudometrica
d
funcion
tes
XxX
de
sobre
en los
un conjunto
reales,
con
X es
las
una
siguie~
propiedades:
1)
d(x,y)
~ 0 y d(x,x)
2)
d(x,y)
=
3)
d(x,z)
~ d(x,y)+d(y,z)
d t.u;«)
X i
Si ademas
que
para
para
todo
x,
para
y implica
todo
x,y
en X.
y en X.
todo
d(x,y)
x,y,z
en X.
> 0, se dice
d es una metrica.
Es
cion
= 0
conocido
6:X
+ ~
Claramente
(ver
induce
6
si
una
metrica.
Es
una
seudometrica
las
bolas
es
[2J p. 9) que
la siguiente
inyectiva,
igualmente
sobre
X,
cualquier
seudometrica:
entonces
conocido
la
fu~
que
coleccion
do es
si des
de todas
151
ap o r t e e
cuando
X varia
es una
base
(X,d)
que
esta
en
para
X
una
y h en
reales
topologia
es un espacio
dotado
los
positivos,
sobre
X.
seud.om~trico
de la topologl
Se dice
cuando
generada
por
X
1
ba-
se anterior.
Para
Notese
ademas
10 cual
B(Z,h)
es
trica
usual
de ~.
Se deduce
POh
6,
~ a bhe.
sobre
30-32).
dicha
0
l~
6(/j)
~>
/jE:.
E
se t endr-a
de la
que
inic..ial
la menos
dejan
lna
son
las
a
los
..
.
r ma
d
I.lObhe.
dIs
continua
En consecuencia,
topologia,
d anterior que
~ e.udome.;thic..a
6
me
a
correspondiente
iguald
X POh la
B(6(X),h)
6 -1 (B(6(x),h»,
la bola
;t pologla
sea,
X que
~>
de presente
donde
c..il.lame.n;te.
do'
que
pone
de.6ivuda
s eu do m e t f i ca
la topologia
.e.a. ;topoiog..[a
6'
e.1.l
phe.-
X indu
ida
topologias
(ver
abiertos
n es
[lJ
pp.
de X para
r e c i p r-o c a s-jscr-
152
6
de los
abiertos
de
cas
los
cerrados
6
por
una
continua
y
1.
a una
cio
si
cerrados
(Y,T)
si
cualquiera,
• OTA
de X son
de los
Ademas,
6 -1 OR-A)
como
Analogamente,
bien
la topolog1a
es
solo
g:(Y,T)
Si se generaliza
6:X
funcion
metrico
definir
cualquiera
X
sobre
la
(X,d6)
+
m
+
anterior
es un espa-
d,
metrica
podemos
=
d6(X'Y)
seudometrica
sera
10 es .
Y
donde
con
rec1pr~
topologico
la situacion
(Y,d),
+
ta~
m.
6og:(Y,T)
si
(A),
imagenes
un espacio
funcion
m.
sobre
1
= X-6-
las
de
usual
d(6(x),6(Y»·
Entonces,
s
« B (x,Jt)
~d(6(x),6(Y»
6
~>6(Y)
~>Y
Es
decir,
10gla
B (x,Jt)
6
seudometrica
< Jt
e:
e:
Bd(6(x),Jt)
6 -1 (Bd(6(x),Jt».
6 -1 (Bd(6(x),Jt»
=
sobre
X aun
topologla
inicial
inducida
topolog1a
metrica
de
Y.
solo
resulta
ser
continua
sino
tambien
uniformemente
por
y
sigue
6
siendo
a partir
Ad e m a s , la
para
la topo-
esta
~pntinuat
la
de
la
6
no
f un c i Sn
topolog1a,
ya
que
si
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
apoY'tes
d (x,y)
6
< 6 entonces
1.
gla
< 6.
6:X ~ m.
Sea
X es compacto
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
trivialmente,
d(6(x),6(y»
PROPOSICION
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
,
Un subconjunto
cuasicompacto,
(0
C de
en la terminol~
de N. Bourbaki)
para
,
6(C) es un subconjunto
ca d
si y solo
6
de m (con
pacto
Demo e t r ac i on ,
la misma
sulta
su topologla
Como
inicial
ser
inducida
subconjunto
miento
se sigue
Puesto
que
que
6CC)
c;
C
6(
de
de~.
de C.De
Ai =
6
U
A,
c;
6,
-1
=
'1.{.
.{.€
6(C)
es un "
(Ai)i€1 un cubr~
anteriormente
Bi
con
1
U 6-
que
6CC)
que
CB
abierto
en
.i , se tiene
m.
que
.{.
.{.£
U 6-1(B-t))
si C es un
10 dicho
'1
re-
m.
Sea
(Bi),
6
entonces
inmediato
supongamos
compacta
abierto
seudo m e t r-Lca es
que
de X, es
compacta
Reclprocamente,
subconjunto
por
de manera
compacta
com-
usual).
la topologla
continua,
subconjunto
es un
si
la topologlaseudometr~
=
it1
Como
te
hemos
supuesto
un subcubrimiento
6(C);
es decir,
que
6(C) es compacto,
fin ito
6(C) S
Yl.
~U
1<.-1
(B;~)~=l
Bik
""
I<.
I<.
2
"
•••
' de donde,
exis,Yl.
de
apoY'tes
154
C
6- ( U
c:
COROLARIO
y
1, un
solo
DemostY'acion.
es compacta
Pero
por
este
condiclones
subconjunto
C de X es
conjunto
1,
es
6(C),
si
6-1(6(C»
10 es.
y nuevamente
si y solo
es compacto
no todo
de
reclproca
2.
A de
subconjunto
reciproca
m.
Por
por
Sea
por
que
si
6
Iremo et rac
es
si
m
no
es
6(a) = 6(b),
sobreyectiva.
para
es
inye~
entonces
de X que
no
de
es
m.
Un su~
su topologla
abierto
para
la
6.
d
ion . Si A es un abierto
un abierto
6
de
subconjun-
de un compacto
6:X ~ ~
seudometrica
compacta
de un
compacto
es abierto
si y solo si 6-1(A)
topologla
6
ejemplo,
b son tales
PROPOSICION
6-1(A)
compacta
10 es.
{a} es un subconjunto
usual,
de la prop~
la proposiclon
1,
1
si y solo si n(6- (6(C»)
imagen
y a,
conjunto
,
,
compacto
imagen
C.
Por
En general,
tiva
de
las
la proposicion
X es la
A '1k = 1 .-L tc
compacidad
Bajo
ultimo
C 10 e s.
to
la
6-1(6(C»
si
U
=
.-L
as!
1.1.
'f)
B
k=1
obteniendose
sicion
n
n
1
de X, ya
que
de
m,
entonces
la topolog!a
aport e~;
155
seudom~trica
d
inducida
6.
coincide
15
por
Reclprocamente,
X,
entonces
es
]\; es decir,
6
-1
6
=
(A)
A = B
o sea,
A
guiente
por
[11,
con
1
6-
en
-+
f"nal
X/
ponder
su c1ase
diente
a ~
obtenido
Y solo si
a cada
[X]
L1amemos
el espacio
Por
consi
y a X
entonces
la top~
la topologia
fi-
n.
a que
X la re1acion
A
de
6( X)
m
£;
es abier
de
n)
(X,d
por
equiva1encia
6 (y ) .
=
cociente
determinada
que
6
(B»,
j.
1 conjunto
Dotemos
6(n-
es un abierto
(A)
pp.33,34).
si
¢:X
por
Es evidente
Definamos
pologia
6,
de ]\ coincide
si
que
1
m es sobreyectiva
-+
d
to si y solo
de
•
Si n:X
Demostraei6n.
=
sobreyectiva.
de la topologia
usual
en ]\, tal
1
(A»
6(15-
de
de un abierto
m abierto
6
ser
de ]\ determinada
(ver
£;
Luego,
1.2.
se Ie dota
nal
B
X
sabre
es un abierto
reciproca
es abierto.
COROLARIO
logia
imagen
(B).
IJ inicial
15-1(A)
si
existe
-1
con
6
1a funcion
elemento
1e hace
X
de equivalencia
al espacio
cociente
de 1a to-
X/
de ~
corres
correspon-
topo10gico
por
~
asi
apoY'tes
156
Aun
(6:X
en el caso
(Y,d)
-+
),
Luego,
d(6(1j),6(x»
que
Ij
Ij'
si
6
si Ij
que
=
= ¢(B (x,Jt».
COROLARIO
1.3.
considera
a
m
con
X
por
6:X
Si
con
=
-+
m
la topologla
usual.
En
_-,=-0 __ ,
~x~
se sabe
Z
quiera),
~sta
a,
ya que
la
X/
6
es homeomorfo
canonica:
m
[1],
con
el
(siendo
Z
X
d6'
seudometrica
descomposicion
p.44)
= 6(x),
g([xJ)
es tal
que
Corolario
un espacio
es continua
-+
y se
6
(ver
De acuerdo
S:m
d(6(x),6(1j»
la topologla
con
Si
oooiente enX/6
es sobreyectiva
cociente
X
-+
par~
la m e t r Lc a cociente
el espacio
Demostraei6n.
h:m
es saturada
6
entonces
a
si y solo si
la topologla
d (x,lj)
6
Ba([x],Jt)
Se sigue
B (x,Jt)
6
E::
1
6(1j)=6(1j')·
se tiene
B (x,Jt)
6
definida
a<[x],[Ij])
donde
Ij
decir
implica
coincide conla
Ij',
entonces
Es
10 cual
6
en la Nota
= d(6(1j'),6(x».
Ij',
e:B6(x,Jt).
i,
descrito
que
es necesariamente
9 es
una
b i y ec c Lo n ,
1.1,
una
funcion
topologico
si y solo
S06
es
si
h6
0
identidad
continua.
Por
cual10 es.
de
X.
10 tanto,
a po Y-I, e e
toda
.157
inversa
a
meomorfismo.
2.
NOTA
a n a Liz ar-
Al
resulta
claro
g:(XI
validez
como
a) ~
,
=
de
nGmero
real
ponder
su
la
las
0
bolas
st
ho-
(a,Jt)
=
=
reemplaza
(Y,d),
defini§~
1.
Nota
una
isometria,
=
d(6(x),6(z))
Rf*
SOBRE
funcion
0 rn~
corolarios,
se
es
=
6
los
6
no-estandar
log 1 a s cud
BE
e s un
•
e
parte
la
(Y,d)
d (x,z)
Particularicemos
top
9
cuando
en
ac[x],[z])
[x] ),gc[z] )).
caso
9)
sus
d6
6
II. LA TOPOLOGIA
al
como
m~trico
que
d(g(
y
continud
d e mo s t r a c i o n e s .d e las
espacio
esta,
Ademas
ya
J as
su
cualquier
dose,
es
p.LI.5,I'rop.
1 Y 2, aSl
evidente
por
6
de
•
proposiciones
m
([1],
c on s e c u e n c La
ell
S
izquierda
=
resultados
.'.
F ~
m
a,
Ie
Est:m
finito
estandar,
t ric a
anteriores
Est(a).
de m ~
est a
Una
q
e a
hace
base
cada
corres
de
la
con s tit u ida
por
a po r t e e
158
Las
de
dos
igualdades
ultimas
la linealidad
con
e1 valor
*
para
absoluto.
que
son
los
los
abiertos
de la topologla
existe
JRi:~
A de
subeonjuntos
a de A
todo
consecueneia
y de su conmutatividad
de Est
Recordemos
C so b r-e JRF
son
un real
tales
que
posit iva ~ tal
que
PROPOSICION
mente
.-.
F
JR
{T e::
<
a-~
par
positivo,
esta
es abierta
Veamos
que
una
en
tal
Si
{T E
JR.;:
BEst(a,h),
y
(JR~,
dEst)'
E
can
a e::
BEst(a,h).
<
que
existe
< s+n}
,'c
BEst(a,h)
, entonces
o sea,
< 1'-8
T
BEst(S,2n),
de
(s-n,s+n)
-It
S
bola
s-n
demastrado
T e:
sa-
determinada
JR.~
y h
Como
un real
que
es un sUbconjunto
quedara
seudametriea
Sean
a)
real
n
A.
dEst.
Demostraai6n.
positivo
c:
C de JR~ es preeisa-
La topalogla
J.
la tapalogla
bre JR~
< a+~}
T
<
n .
=
can
es
.'.
(s-n,s+n)"
10 eual
un ~ -ab i e r-t o .
B-n <
T
<
B+~,
aportes
Pero
15.9
la diferencia
y, en consecuencia,
tesimal
luto
Est(T-B)-(T-B)
que
menor
(1) y
< Est(T-B)
o equivalenternente,
< 2h,
!Est(T-B)
Reciprocamente,
to de F~ y a ~
que
I
<
2h.
Luego,
A. Existe
ca de
JR;.
positivo
h tal
similar
al anterior
nos
per~i-
~':
te concluir
A
un real
e-abie~
A.
(a-2h,a+2h)"'~
Luego
A un subconjunto
sean
Un argumento
III.
< h.
BEst(B,2h).
E::
b)
abso
(2) se obtiene
-2h
T
en valor
Es decir,
h.
-h < Est(T-B)-(T-B)
De
es un infini-
que
BEst(a,h)
e:;::
abierto
c: (a-2h,
a+2h)
p ar a la topologia
c:
A.
s eudom e t r L>
CONSECUENCIAS.
Muchas
propiedades
gla ~ pueden
obtenerse
las
caracteristicas
Por
ejemplo,
si
A
importantes
de manera
de la topolosencilla
de la topologia
es r-abierto,
u ando
seudometrica.
entonces
es abier
160
to para
cion
la topologia
Est.
tal
Por
inducida
inicial
10 tanto
Ao
existe
pur
abierto
la
lun
en ~
que
I:st-1(x) =
U
x€Ao
ya
que
Est
-1
(x)
es precisamente
Un resultado
juntos
an&logo
~-cerrados
demostrada,
vale
de ~~.
caracteriza
la monada
para
los
subcon-
La proposicion
los
x.
de
1 antes
subconjuntos
~-com-
.'.
pactos
~F
de
como
sigue:
C es e-compacto
{Est(T):T
(para
E
tamente
sido
piedades
Una
y solo
La
ciente
Sl
subconjunto
usual).
obtenidos
en
Estos
[3J por
Est(C)
=
compacto
de ~
resultados
ya
m e t o d o s compl~
diferentes.
Otras
fica
C} es un
la topologia
habian
si y solo
consecuencias
obtenidas
funcion
inmediatas
en
II,
g:(Y,T)
si Estog:(Y,T)
topologla
de
puntos
~
~ ~
usual
(m~,e) por
de
son
las
pro-
siguientes:
(~;,e)es
continua
si
10 es.
ffi
es la topologia
la relacion
infinitamente
de las
~
Est
proximos.
que
co-
identi
aportes
161
Ademas,
dorff
y np
en este
a pesar
de que
se puede
aplicar
espacio
se puede
tinuas
de codominio
Ho'
H
y
lograr
de Uryshon,
de cerrados
mediante
dis-
funciones
~-con
[0,1].
F cerrados
H,
no es Haus-
el lema
la separacion
yuntos
Sean
C~~,e)
disyuntos
en ~~.
Existen
Fo subconjuntos
cerrados
de ~ tales
que
1
F = Est- CFo)'
Naturalmente,
Ho
disyuntos.
Ahora bien, sea 6::rn.-+
1
= Est- CH )
y
o
Fo t amb i en son
[0,1]
continua
6CHo)
= {a}
~F
s:
Est
y
-+ [0,1J,
10 es,
que
separa
6(Fo)
que
a H
= {1}).
o
H
a
F .
(Es decir,
0
Entonces,
es e-continua
separa
y
60Est
en virtud
de que
F.
y
*
BIBLIQGRAFIA
[1J
Bourbaki,
N.,
Topologi~
Structures
Gene~al~,
Topologiques.
Chap.
Hermann,
I
Paris,
1961.
[2J Bourbaki,
N.,
Topologie.
Utiljzation
gie
[3] Mantilla,
des
generale.
.'.
d~ ffin,
Munoz,
Boletin
NO. 2, 1986.
G~ne~ale.,
nombres
Hermann,
Takeuchi.
reels
Paris,
Chap.
en topol~
1958.
La topologia
de Matematicas,
IX,
e
Vol. XX,
162
Jose
apoY'tes
M. Munoz
Profesor
Asociado
Departamento
Universidad
Ignacio
Profesor
Q.
de Matematicas
y Estadlstica
Nacional.
Mantilla.
Asistente
Departamento
Universidad
de Matematicas
Nacional.
y Estadlstica
