Linealización

Teoría de Sistemas y Control Automático
Linealización de un sistema no lineal
Dr. Antonio Ferramosca - e-mail: [email protected]
Ing. Ivan Talijancic - e-mail: [email protected]
4o y 5o Ing. Electromecánica
UTN - Facultad Regional Reconquista
A. Ferramosca, I. Talijancic
Teoría de Sistemas y Control Automático
Reconquista, 12/04/2018
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Linealización
El procedimiento de linealización consiste en describir el comportamiento de un
sistema no lineal en torno a un punto de equilibrio (PE) concreto, mediante un
sistema lineal especifico.
Es sólo una aproximación del sistema original en el PE: si el sistema se aleja
mucho de este punto de equilibrio el error de aproximación será alto.
Es un procedimiento muy útil para tratar muchos problemas concretos, a los que
se pueden aplicar métodos de análisis y síntesis disponibles para sistemas
lineales.
Dado un PE (x̄, ū, ȳ), se plantea el sistema en variables incrementales, es decir
en incrementos con respeto al PE
A. Ferramosca, I. Talijancic
x(t)
= x̄ + δx(t)
u(t)
= ū + δu(t)
y(t)
= ȳ + δy(t)
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Linealización
Dado un sistema no lineal:
ẋ(t)
= f (x(t), u(t))
y(t)
= g(x(t), u(t))
por una entrada constante u(t) = ū, en el equilibrio tendremos
0
= f (x̄, ū)
ȳ
= g(x̄, ū)
El objetivo de la linealización es encontrar un sistema lineal:
˙
δx(t)
= Aδx(t) + Bδu(t)
δy(t)
=
Cδx(t) + Dδu(t)
tal que
A. Ferramosca, I. Talijancic
x(t)
= x̄ + δx(t)
u(t)
= ū + δu(t)
y(t)
= ȳ + δy(t)
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Tanque
Problema de la regulación del nivel de fluido en un tanque.
dh(t)
q(t)
Kp
=
−
gh(t)
dt
A
A
h: nivel de fluido
q: caudal en entrada
A: sección del tanque
K: coeficiente de perdidas
g: aceleración de gravedad
Tomando x = h y u = q podemos escribir la ecuación de estado:
ẋ =
u
K√
−
gx
A
A
Para encontrar el punto de equilibrio se asume que no haya variación
de nivel (ẋ):
K√
u
−
gx = 0
A
A
A. Ferramosca, I. Talijancic
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Tanque
Para encontrar el punto de equilibrio se asume que no haya variación de nivel:
K√
u
−
gx = 0
A
A
⇒
3
h=
q2
gK 2
3
2.5
2.5
2
2
h [m]
h [m]
1.5
1.5
1
0.5
1
0
0.5
-0.5
0
-1
0
1
2
3
4
0
1
q [m 3 /h]
A. Ferramosca, I. Talijancic
2
3
4
q [m 3 /h]
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Serie de Taylor
El desarrollo en serie de Taylor permite aproximar una función en un punto
como suma de una serie de potencias.
Para una función monovariable F(x), la serie de Taylor en un punto x = a será
F(x) ' F(a) +
dF(x)
dx
(x − a) +
x=a
1 d2 F(x)
2 d2 x
(x − a)2 + ....
x=a
En el caso de la linealización de un sistema paramos el desarrollo en los
términos de orden 1 (y por esa razón, cuanto más nos alejemos del PE mayor
será el error de aproximación que cometemos).
Para funciones multivariables F(x1 , x2 ), la serie de Taylor de orden 1 en un
punto x1 = a y x2 = b será
F(x1 , x2 ) ' F(a, b)+
A. Ferramosca, I. Talijancic
∂F(x1 , x2 )
∂x1
(x1 −a)+
x1 =a,x2 =b
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∂F(x1 , x2 )
∂x2
(x2 −b)
x1 =a,x2 =b
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Como linealizar
Consideramos ahora la transformación de estados de nuestro sistema no lineal
⇒
ẋ(t) = f (x(t), u(t))
ẋ(t) − f (x(t), u(t)) = 0
Definimos F(ẋ, x, u) como
F(ẋ, x, u) = ẋ(t) − f (x(t), u(t)) = 0
Calculamos la serie de Taylor de orden 1 de F(ẋ, x, u) en el punto de equilibrio
(0, x̄, ū)
F(ẋ, x, u) '
F(0, x̄, ū)
∂F(ẋ, x, u)
+
∂ ẋ
(0,x̄,ū)
∂F(ẋ, x, u)
∂x
(0,x̄,ū)
∂F(ẋ, x, u)
∂u
(0,x̄,ū)
+
+
A. Ferramosca, I. Talijancic
(ẋ − 0)
(x − x̄)
(x − ū)
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Como linealizar
Recordemos la definición de las variables incrementales
x(t) = x̄ + δx(t),
y
u(t) = ū + δu(t)
Vamos a analizar los terminos de la aproximación de
F(ẋ, x, u) = ẋ(t) − f (x(t), u(t))
(recordemos que en el equilibrio f (x̄, ū) = 0)
F(0, x̄, ū) = 0 − f (x̄, ū) = 0
∂F(ẋ, x, u)
∂ ẋ
(ẋ − 0) = δ ẋ
(0,x̄,ū)
∂F(ẋ, x, u)
∂x
(0,x̄,ū)
∂F(ẋ, x, u)
∂u
(0,x̄,ū)
(x − x̄) = −
(u − ū) = −
∂f (x, u)
∂x
(x̄,ū)
∂f (x, u)
∂u
(x̄,ū)
δx
δu
Finalmente (recordemos que F(ẋ, x, u) = ẋ(t) − f (x(t), u(t)) = 0)
δ ẋ −
A. Ferramosca, I. Talijancic
∂f (x, u)
∂x
δx −
(x̄,ū)
∂f (x, u)
∂u
δu = 0
(x̄,ū)
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Sistema linealizado
Haciendo el mismo razonamiento para la transformada de salida y(t) = g(x, u),
llegamos al sistema linealizado:
δ ẋ(t)
δy(t)
=
=
∂f (x, u)
∂x
∂g(x, u)
∂x
δx(t) +
(x̄,ū)
δx(t) +
(x̄,ū)
∂f (x, u)
∂u
(x̄,ū)
∂g(x, u)
∂u
(x̄,ū)
δu(t)
δu(t)
De estas últimas ecuaciones se concluye que:
˙
δx(t)
=
Aδx(t) + Bδu(t)
δy(t)
=
Cδx(t) + Dδu(t)
donde
A=
∂f (x, u)
∂x
A. Ferramosca, I. Talijancic
B=
(x̄,ū)
∂f (x, u)
∂u
C=
(x̄,ū)
∂g(x, u)
∂x
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D=
(x̄,ū)
∂g(x, u)
∂u
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(x̄,ū)
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Ejemplo: 2 Tanques
Consideramos dos tanques de secciones A1 y A2 dispuestos verticalmente. Entrada al sistema: caudal que
alimenta el tanque 1, Q(t). Salida del sistema: caudal de salida Qs2 (t).
Modelo del tanque 1:
dV1 (t)
dt
=
Qs1 (t)
=
Q(t) − Qs1 (t), V1 (t) = A1 H1 (t)
p
K1 p1 (t) − ps1 (t), p1 (t) = pa + ρgH1 (t)
Tomando ps1 (t) = pa y ρ = 1 (agua), entonces:
Qs1 (t) = K1
p
p
p
p1 (t) − pa = K1 pa + ρgH1 (t) = K1 gH1 (t)
con lo cual el modelo dinámico del tanque 1 queda:
dH1 (t)
Q(t)
K1 p
=
−
gH1 (t)
dt
A1
A1
A. Ferramosca, I. Talijancic
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Ejemplo: 2 Tanques
Consideramos dos tanques de secciones A1 y A2 dispuestos verticalmente. Entrada al sistema: caudal que
alimenta el tanque 1, Q(t). Salida del sistema: caudal de salida Qs2 (t).
Modelo del tanque 2:
dV2 (t)
dt
=
Qs1 (t)
=
Qs2 (t)
=
Qs1 (t) − Qs2 (t), V2 (t) = A2 H2 (t)
p
K1 gH1 (t)
p
K2 gH2 (t)
con lo cual el modelo dinámico del tanque 2 queda:
dH2 (t)
K1 p
K2 p
=
gH1 (t) −
gH2 (t)
dt
A2
A2
Modelo completo:
dH1 (t)
dt
dH2 (t)
dt
A. Ferramosca, I. Talijancic
=
=
Q(t)
K1 p
−
gH1 (t)
A1
A1
K1 p
K2 p
gH1 (t) −
gH2 (t)
A2
A2
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Ejemplo: 2 Tanques
Sean: x = (x1 , x2 ) = (H1 , H2 ), u = Q, y = Qs2 . Entonces
x˙1 (t)
=
x˙2 (t)
=
y(t)
=
A. Ferramosca, I. Talijancic
u(t)
K1 p
−
gx1 (t)
A1
A1
K1 p
K2 p
gx1 (t) −
gx2 (t)
A2
A2
p
K2 gx2 (t)









⇒








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ẋ(t)
y(t)
=
=
f (x(t), u(t))
g(x(t), u(t))
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Ejemplo: 2 Tanques
Sean: x = (x1 , x2 ) = (H1 , H2 ), u = Q, y = Qs2 . Entonces
x˙1 (t)
=
x˙2 (t)
=
y(t)
=
u(t)
K1 p
−
gx1 (t)
A1
A1
K1 p
K2 p
gx1 (t) −
gx2 (t)
A2
A2
p
K2 gx2 (t)









⇒








ẋ(t)
y(t)
=
=
f (x(t), u(t))
g(x(t), u(t))
Cual es la expresión del punto de equilibrio del sistema x̄ = (H1o , H2o ), para una entrada constante
u(t) = ū = Qo ?
A. Ferramosca, I. Talijancic
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Ejemplo: 2 Tanques
Sean: x = (x1 , x2 ) = (H1 , H2 ), u = Q, y = Qs2 . Entonces
x˙1 (t)
=
x˙2 (t)
=
y(t)
=
u(t)
K1 p
−
gx1 (t)
A1
A1
K1 p
K2 p
gx1 (t) −
gx2 (t)
A2
A2
p
K2 gx2 (t)









ẋ(t)
y(t)
⇒








=
=
f (x(t), u(t))
g(x(t), u(t))
Cual es la expresión del punto de equilibrio del sistema x̄ = (H1o , H2o ), para una entrada constante
u(t) = ū = Qo ?
0 = f (x̄, ū) ⇒

 0
=
Qo − K1
0
=
K1

A. Ferramosca, I. Talijancic
p
gH1o
p o
p
gH1 − K2 gH2o
⇒



Ho


 1
=




 H2o
=
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(Qo )2
gK12
K12
K22
H1o =
(Qo )2
gK22
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Ejemplo: 2 Tanques
Sean: x = (x1 , x2 ) = (H1 , H2 ), u = Q, y = Qs2 . Entonces
x˙1 (t)
=
x˙2 (t)
=
y(t)
=
u(t)
K1 p
−
gx1 (t)
A1
A1
K1 p
K2 p
gx1 (t) −
gx2 (t)
A2
A2
p
K2 gx2 (t)









ẋ(t)
y(t)
⇒








=
=
f (x(t), u(t))
g(x(t), u(t))
Cual es la expresión del punto de equilibrio del sistema x̄ = (H1o , H2o ), para una entrada constante
u(t) = ū = Qo ?
0 = f (x̄, ū) ⇒

 0
=
Qo − K1
0
=
K1

La salida de equilibrio es:
A. Ferramosca, I. Talijancic
p
gH1o
p o
p
gH1 − K2 gH2o
ȳ = Qos2 = K2
⇒



Ho


 1
=




 H2o
=
(Qo )2
gK12
K12
K22
H1o =
(Qo )2
gK22
p o
gH2
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Ejemplo: 2 Tanques
Vamos a calcular el sistema linealizado en el punto de equilibrio x̄ = (H1o , H2o ) y ū = Qo , es decir,
calculemos las matrices (A, B, C, D) tal que
˙
δx(t)
=
Aδx(t) + Bδu(t)
δy(t)
=
Cδx(t) + Dδu(t)
con δx(t) = x(t) − x̄, δu(t) = u(t) − ū y δy(t) = y(t) − ȳ
A. Ferramosca, I. Talijancic
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Ejemplo: 2 Tanques
Vamos a calcular el sistema linealizado en el punto de equilibrio x̄ = (H1o , H2o ) y ū = Qo , es decir,
calculemos las matrices (A, B, C, D) tal que
˙
δx(t)
=
Aδx(t) + Bδu(t)
δy(t)
=
Cδx(t) + Dδu(t)
con δx(t) = x(t) − x̄, δu(t) = u(t) − ū y δy(t) = y(t) − ȳ
Empezamos por la ecuación diferencial de estado:

A=
∂f (x, u)
∂x
(x̄,ū)

=

∂f1 (x1 ,x2 ,u)
∂x1
(x̄,ū)
∂f1 (x1 ,x2 ,u)
∂x2
(x̄,ū)
∂f2 (x1 ,x2 ,u)
∂x1
(x̄,ū)
∂f2 (x1 ,x2 ,u)
∂x2
(x̄,ū)




y

B=
A. Ferramosca, I. Talijancic
∂f (x, u)
∂u
(x̄,ū)

=

∂f1 (x1 ,x2 ,u)
∂u
(x̄,ū)
∂f2 (x1 ,x2 ,u)
∂u
(x̄,ū)
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



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Ejemplo: 2 Tanques
El sistema no lineal es:
A. Ferramosca, I. Talijancic
x˙1 (t)
=
x˙2 (t)
=
u(t)
K1 p
−
gx1 (t)
A1
A1
K1 p
K2 p
gx1 (t) −
gx2 (t)
A2
A2
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Ejemplo: 2 Tanques
El sistema no lineal es:
x˙1 (t)
=
x˙2 (t)
=
u(t)
K1 p
−
gx1 (t)
A1
A1
K1 p
K2 p
gx1 (t) −
gx2 (t)
A2
A2
Entonces:
∂f1 (x1 ,x2 ,u)
∂x1
(x̄,ū)
∂f1 (x1 ,x2 ,u)
∂x2
(x̄,ū)
∂f2 (x1 ,x2 ,u)
∂x1
(x̄,ū)
∂f2 (x1 ,x2 ,u)
∂x2
(x̄,ū)
A. Ferramosca, I. Talijancic
=
K1
− 2A
=
0
=
=
q
1
K1
2A2
q
K2
− 2A
2
g
H1o
g
Ho
q1 g
,
∂f1 (x1 ,x2 ,u)
∂u
(x̄,ū)
∂f2 (x1 ,x2 ,u)
∂u
(x̄,ū)
=
1
A1
=
0
H2o
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Ejemplo: 2 Tanques
El sistema no lineal es:
x˙1 (t)
=
x˙2 (t)
=
u(t)
K1 p
−
gx1 (t)
A1
A1
K1 p
K2 p
gx1 (t) −
gx2 (t)
A2
A2
Entonces:
∂f1 (x1 ,x2 ,u)
∂x1
(x̄,ū)
∂f1 (x1 ,x2 ,u)
∂x2
(x̄,ū)
∂f2 (x1 ,x2 ,u)
∂x1
(x̄,ū)
∂f2 (x1 ,x2 ,u)
∂x2
(x̄,ū)
con lo cual

=
K1
− 2A
=
0
A. Ferramosca, I. Talijancic
K1
2A2
q
q
q
K2
− 2A
2
=
1

A=

K1
2A2
=
K1
− 2A
q
1
g
H1o
g
Ho
q1 g
=
1
A1
=
0
H2o
g
H1o
g
H1o
∂f1 (x1 ,x2 ,u)
∂u
(x̄,ū)
∂f2 (x1 ,x2 ,u)
∂u
(x̄,ū)
,

0
K2
− 2A
2
q
g
H2o


, B = 

Teoría de Sistemas y Control Automático
1
A1


0
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Ejemplo: 2 Tanques
La ecuación de salida es y(t) = K2
∂g(x1 ,x2 ,u)
∂x1
(x̄,ū)
p
gx2 (t), entonces:
=
0
=
− K22
,
∂g(x1 ,x2 ,u)
∂x2
(x̄,ū)
A. Ferramosca, I. Talijancic
q
g
H2o
∂g(x1 ,x2 ,u)
∂u
(x̄,ū)
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=
0
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15 / 17
Ejemplo: 2 Tanques
La ecuación de salida es y(t) = K2
∂g(x1 ,x2 ,u)
∂x1
(x̄,ū)
p
gx2 (t), entonces:
=
0
=
− K22
q
0
K2
2
∂g(x1 ,x2 ,u)
∂u
(x̄,ū)
,
∂g(x1 ,x2 ,u)
∂x2
(x̄,ū)
con lo cual
C=
A. Ferramosca, I. Talijancic
h
g
H2o
q
g
H2o
i
=
0
, D=0
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Ejemplo: 2 Tanques
La ecuación de salida es y(t) = K2
p
gx2 (t), entonces:
∂g(x1 ,x2 ,u)
∂x1
(x̄,ū)
=
0
=
− K22
q
0
K2
2
∂g(x1 ,x2 ,u)
∂u
(x̄,ū)
,
∂g(x1 ,x2 ,u)
∂x2
(x̄,ū)
con lo cual
C=
h
g
H2o
q
g
H2o
i
=
0
, D=0
El sistema linealizado completo es:


δx˙ 1 (t)
δx˙ 2 (t)



=

K1
− 2A
q
1
K1
2A2
q
h

0
K2
− 2A
g
H1o
y(t) =
A. Ferramosca, I. Talijancic
g
H1o
q
2
0
K2
2
q
g
H2o
g
H2o

  1 
δx1 (t)
A


 +  1  δu(t)

δx2 (t)
0
i δx (t) 1
δx2 (t)
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Ejemplo: 2 Tanques
3
3
/s
/s
Sean A1 = 0.2[m2 ], A2 = 0.5[m2 ], K1 = 0.0032[ mm1/2
], K2 = 0.0036[ mm1/2
]. Sea
o
3
el caudal de entrada Q = 0.01[m /s].
Calculamos los niveles de equilibrio:
H1o =
(Qo )2
(Qo )2
o
=
1[m],
H
=
= 0.7874[m]
2
gK12
gK22
Calculamos la salida de equilibrio:
ȳ = Qos2 = K2
A. Ferramosca, I. Talijancic
p o
gH2 = 0.01[m3 /s]
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Ejemplo: 2 Tanques
3
3
/s
/s
Sean A1 = 0.2[m2 ], A2 = 0.5[m2 ], K1 = 0.0032[ mm1/2
], K2 = 0.0036[ mm1/2
]. Sea
o
3
el caudal de entrada Q = 0.01[m /s].
Calculamos los niveles de equilibrio:
H1o =
(Qo )2
(Qo )2
o
=
1[m],
H
=
= 0.7874[m]
2
gK12
gK22
Calculamos la salida de equilibrio:
ȳ = Qos2 = K2
p o
gH2 = 0.01[m3 /s]
Las matrices del sistema linealizado son:
−0.025
0
5
A=
, B=
, C= 0
0.01
−0.013
0
A. Ferramosca, I. Talijancic
Teoría de Sistemas y Control Automático
0.0064
, D=0
Reconquista, 12/04/2018
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