Problemario. Probblemas Aritmético-Algebraicos no rutinarios

Wilbert De Jesús López
Problemario
Números Enteros
1. Para numerar las páginas de un libro se utilizaron 2022 dígitos. ¿Cuántas páginas
tiene el libro?
2. A la suma de los primeros 2023 números pares se le resta la suma de los primeros
2022 números impares. ¿Cuál es el resultado?
3. ¿Para qué valores de 𝑎 y 𝑏, el número de 7 cifras 6𝑎74𝑏14 sea múltiplo de 9 y de
11?
4. En una feria hay una rueda de la fortuna que tiene 10 cabinas. El operador detiene
cada 7 cabinas la rueda para dejar que suba y baje gente. Desde que sube una
persona ¿cuántas vueltas tiene que dar la rueda antes de que pueda bajar?
5. Un entero positivo es triangular si es de la forma
𝑛(𝑛+1)
2
, donde 𝑛 es también un
entero positivo, por ejemplo, 2016 es triangular ya que 2016 =
63(64)
2
, ¿cuántos
números triangulares hay de más que el número de cuadrados perfectos, desde
el uno hasta el diez mil?
6. Un piso cuadrado es cubierto por azulejos cuadrados congruentes entre sí. Los
azulejos de las dos diagonales del piso son negros. Los azulejos restantes son
blancos. Si hay 101 azulejos negros, entonces ¿Cuál es el número de azulejos
blancos?
7. En un árbol con 1250 ramas hay un nido de pajaritos donde nace la primera
camada de 6 pajaritos. Pasado un año, cada una de las crías vuelan del nido y
crean el suyo propio en alguna otra de las ramas del árbol que este libre y ahí
tienen 6 pajaritos. Si cada año las crías repiten el proceso, ¿en cuántos años se
llenan todas las ramas del árbol?
8. En una tienda tienen la siguiente promoción: Al entregar 5 empaques de
“Locochoco” te dan gratis una “Ricafresa”. Al entregar 3 paquetes de “Ricafresa”
te dan gratis un “Locochoco”.
Wilbert De Jesús López
Si en principio se tienen 253 Locochocos y 2 Ricafresas y siempre que se pueda
cambiar empaques por producto se cambian, ¿Cuántos dulces en total se tendrán
cuando no se pueda cambiar nada más?
9. ¿Cómo justificarías que menos por menos da más?
10. Un número es pardo si cumple ser múltiplo de 2, 4, 7, 19 o 38. ¿Cuántos números
menores a 2018 son pardos?
11. Desde una ciudad A parten trenes hacia la ciudad B. Por otro lado, desde B parte
un tren hacia A cada hora a la hora exacta. En ambos casos el viaje dura 3 horas
45 minutos. Si uno toma el tren de A a B a las 12 en punto del mediodía, ¿cuántos
trenes procedentes de B ve pasar durante el viaje?
12. ¿Cuántos enteros positivos menores a 10000 cumplen que son capicúas pero que
no son divisibles por 11? Nota: Un número es capicúa si al leerse de izquierda a
derecha se obtiene el mismo número que al leerse de derecha izquierda.
13. ¿Cuánto es 00 ?
14. ¿Cuál es la suma de los 4 divisores primos de 216 − 1?
15. La suma de las cifras de un número 10𝑛 − 𝑎 es 2023. Si 𝑎 es un dígito, ¿Cuánto
vale 𝑛?
16. ¿Cuál es el dígito de las unidades de (12 + 1) + (22 + 2) + (32 + 3) + · · ·
+(20232 + 2023)?
17. ¿Cuáles son los últimos dos dígitos de 72023 ?
18. ¿Cuántas veces aparece el factor 2 en la descomposición en primos de 1 + 2 +
3 + ⋯ + 102023 ?
19. ¿Cuántos ceros hay al final de (102 + 103 + ⋯ + 1010 )2023 ?
20. Encuentra el residuo de 32023 cuando lo divides entre 7.
Wilbert De Jesús López
Números racionales e irracionales
21. En un laboratorio Melissa trabaja con una cubeta cilíndrica que mide 48 cm de alto;
dicha cubeta tiene agujeros iguales cada 12cm de altura (es decir, un agujero a
12cm de altura, otro a 24 cm, etc…). Si Melissa llena la cubeta de agua a una
rapidez de 1cm de altura por minuto y por cada agujero que quede bajo el nivel
del agua la cubeta pierde 1.5mm de altura cada 15 segundos. ¿En qué tiempo se
llenará la cubeta?
22. En una cena de navidad, cada persona consumió la mitad de un plato de
espagueti, un tercio de un plato de romeritos y un cuarto de un plato de pavo. En
total se sirvieron 65 platos de comida. ¿Cuál era el número de personas en la
cena?
23. Dos misiles se desplazan en una misma línea en sentidos contrarios de tal forma
que chocarán en algún punto. Uno viaja a 2000 kilómetros por hora el otro a 1000
kilómetros por hora. ¿A qué distancia se encuentran un minuto antes del impacto?
1
24. Tengo un reloj que adelanta un minuto por día y otro que atrasa 1 2 minuto por día.
Si los pongo simultáneamente en hora, ¿cuántos días pasarán para que ambos
den simultáneamente la hora correcta?
25. Angélica dice que el 25% de sus libros son novelas, mientras que
1
9
de sus libros
son de poesía. Si sabemos que el total de sus libros está entre 50 y 100, ¿cuál es
ese total?
26. Un licuado especial se prepara siempre de la siguiente manera: primero se
mezclan dos vasos de leche con seis de chocolate, luego se toman 3/4 de esta
mezcla y se le agregan 2 vasos de vainilla. ¿Cuántos vasos de leche se requieren
tener inicialmente para preparar 64 vasos de licuado?
27. Yo rompí un papel en 10 pedazos. Mi hermanito tomó algunos de ellos y los rompió
a su vez en 10 pedazos –cada uno–. Si al final quedaron 46 pedazos, ¿cuántos
pedazos rompió mi hermanito?
1 1
−
1 1
−
1 1
−
1
1
49
1
−
49 50
28. ¿A qué es igual el producto (21 31) (41 51) (61 71) . … . (48
1
−
3 4
−
5 6
−
7 8
−
)?
Wilbert De Jesús López
29. ¿Cuánto es
20222 − 20212 + 20202 − 20192 + ...+ 32 – 22 +1
2022−2021+2020−2019+⋯+3−2+1
?
30. ¿Cuál es el valor de √17 + 12√2 + √17 − 12√2 en su forma más simple?
Patrones y fórmulas
31. Si 4, 16, 38, 70, 112, … son los primeros términos de una sucesión, ¿Cuál es el
término general de la sucesión?
32. Se tiene la siguiente lista de números: 1, 2, 2, 3 ,3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5,...
¿Qué número se encuentra en la posición 2023?
33. Si se tiene una retícula como la que se muestra en la imagen, ¿Cuántos triángulos
estarían construidos si hubiera 99 segmentos construidos en cada lado de la
misma?
34. Un caminante realiza el siguiente experimento: en el primer minuto camina a 1
km/h, en el segundo minuto camina a 2 km/h, el tercero a 3 km/h, y así
sucesivamente. ¿A qué velocidad estará caminando cuando haya recorrido 1000
metros?
35. En una reunión hay diez amigos juntos. Cada persona al irse de la reunión se
despide de las personas presentes. Si no hay dos personas que se vayan al mismo
tiempo ¿Cuántas despedidas hay en la reunión?
36. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono convexo de 𝑛 lados?
37. En la siguiente figura la longitud del segmento 𝑂𝐴1 es 1, y cada segmento 𝐴𝑛 𝐴𝑛+1
es perpendicular al 𝑂𝐴𝑛 y de longitud 1 para 𝑛 > 1. ¿Cuál es la longitud del
segmento 𝑂𝐴2023 ?
Wilbert De Jesús López
38. A continuación, se muestran los primeros cuatro números pentagonales, ¿cuál
sería el número pentagonal que ocupará la posición 2023?
39. ¿Cuántos lados y picos tendrá la sexta figura en la siguiente secuencia?
40. El siguiente problema es famoso en la historia de las matemáticas y apareció por
primera vez en Liber Abaci, un libro del matemático italiano Leonardo de Pisa
(mejor conocido como Fibonacci) en 1202.
Alguien puso en un corral una pareja de conejos recién nacidos con el propósito
de averiguar cuántas parejas habrá al cabo de un año. La naturaleza de estos
animales indica que cada pareja recién nacida requiere un mes de maduración,
durante el cual no se reproduce, pero al finalizar el segundo mes da a luz una
nueva pareja, y luego sigue pariendo cada mes otra pareja. ¿Cuántas parejas
habrá al término de un año, suponiendo que ningún conejo muere en este tiempo?
Wilbert De Jesús López
Ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales
41. Demuestra que el producto de tres números consecutivos siempre es divisible
entre 6.
42. En la Revista del Consumidor del 2006, PROFECO descubrió que el producto que
Jumex anunciaba como “jugo 100% natural de manzana” contenía solamente
6.4% de jugo natural. De acuerdo con la normatividad gubernamental, para que
una bebida se anuncie como “natural” deberá contener por lo menos 10% de jugo
natural. ¿Cuánto jugo de manzana debe agregar Jumex a 10 000 litros de su
producto para cumplir con la reglamentación?
43. Luis se dedica al embalaje y envío de productos. Acaban de realizar un pedido de
cierta cantidad de tazas para sublimar. Luis se dio cuenta que si coloca cinco tazas
en cada caja, le sobrarían cuatro tazas; en cambio, si coloca seis tazas en cada
caja, le sobrarían dos cajas vacías, ¿Cuántas cajas y tazas tiene a su disposición?
44. Un niño tiene tantas hermanas como hermanos, pero cada hermana tiene la mitad
de hermanas que de hermanos. ¿Cuántos hermanos y hermanas hay en la
familia?
45. Una mezcla de concreto guarda las siguientes proporciones: dos partes de
cemento requieren 3 de arena y la cantidad de grava es dos veces la cantidad de
arena. Si se requiere 1100 Kg. de mezcla seca de concreto. ¿Cuántos kilogramos
de cemento se requieren?
46. Roberto tenía entre 10 y 1000 monedas de plata, pero un día se las robaron, si
Roberto recuerda que en una semana se puso a jugar con sus monedas haciendo
varios montones de la misma cantidad con ellas, el primer día hizo montones de 3
en 3, al día siguiente de 5 en 5, al día siguiente de 7 en 7 y el último día de 9 en 9
y los cuatros días siempre le sobró una moneda. ¿Cuál es el máximo número de
monedas que pudo haber tenido Roberto?
47. Se tiene un barril lleno de vino con capacidad de 64 litros. Se reemplazan 16 litros
de vino con 16 litros de agua y se revuelve hasta obtener una mezcla uniforme.
Después se reemplazan 16 litros de la mezcla con 16 litros de agua y se revuelve
bien. ¿Cuántos litros de vino quedan en el barril?
48. ¿Para qué entero positivo 𝑛 se satisface la ecuación siguiente?
Wilbert De Jesús López
1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑛 − 1) 2021
=
2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛
2022
49. Un cohete viaja de la Tierra a la Luna. Si usa el propulsor A, llega en 200 horas.
Si usa el propulsor A y el propulsor B llega en 150 horas y si usa el propulsor A y
el propulsor C llega en 120 horas. ¿En cuánto tiempo llega si utiliza el propulsor B
y el propulsor C?
50. Juan es un excelente y honesto joyero, por lo que siempre ha tenido bastante
trabajo. Un cliente le acaba de encargar un anillo de oro de 14 quilates, sin
embargo, por el momento Juan solamente tiene en sus manos dos aleaciones de
oro; una de 18 quilates y otra de 12 (el oro de 24 quilates es oro puro, el de 12
12
18
quilates tiene 24 de pureza, el de 18 tiene 24 de pureza y así sucesivamente.)
Si el anillo debe pesar 10 gr, ¿Cuántos gramos de cada aleación se deben mezclar
para cumplir con el encargo?
Problemas opcionales
1. La Dra. Hadley, ayudante del Dr. House tiene el siguiente problema, requiere
medio litro de una solución de citrato de litio al 8%, sin embargo, en el laboratorio
del hospital solo cuentan con soluciones de citrato de litio al 6% y al 15%. ¿Cómo
obtendrá la solución requerida?
2. Un número es amigo de 2023 si es de cuatro cifras y la cuarta de éstas es el doble
de la suma de la primera con la tercera. ¿Cuántos números amigos tiene 2023?
3. Un canguro es capaz de saltar 2m cuando se impulsa con su pierna izquierda, 4m
cuando se impulsa con la pierna derecha y 7m cuando se impulsa con las dos.
¿Cuál es la menor cantidad de saltos que tendría que hacer el canguro para
avanzar exactamente 1000m?
4. Coloca los paréntesis en las siguientes expresiones para obtener el resultado que
se indica en cada inciso:
a) 7 × 2 + 10 − 4 ÷ 2 = 17
b) 7 × 2 + 10 − 4 ÷ 2 = 10
c) 7 × 2 + 10 − 4 ÷ 2 = 28
Wilbert De Jesús López
d) 7 × 2 + 10 − 4 ÷ 2 = 70
e) 7 × 2 + 10 − 4 ÷ 2 = 40
5. Demuestra que √2 es irracional.
6. Demuestra que si p es primo, entonces √𝑝 es irracional.
7. Encuentra el último dígito de 12 + 22 + 32 + . . . +992 .
8. ¿Cuál es mayor 3385 , 7165 , 2605 o 1399 ?
9. ¿Para cuántos enteros positivos 𝑛 se cumple que 𝑛 − 17 divide a 𝑛 + 4?
10. Si 2 es el residuo cuando 𝑚 es dividido por 5, ¿cuál es el residuo cuando 3𝑚 se
divide por 5?
11. Un número se llama actual si es de cuatro dígitos, el número formado por los dos
últimos dígitos es el cuadrado de un número entero n, y el número formado por los
primeros dos dígitos es múltiplo de n, ¿cuántos números actuales hay?
12. Miré la hora un poco después de las 6 AM y las agujas formaban un ángulo de
110. Volví a mirarla antes de las 7 AM y nuevamente se formaba un ángulo de
110. ¿Cuántos minutos habían pasado?
13. La abuela le dijo a sus nietos: Si horneo 2 panquecitos para cada uno de ustedes
me sobrará masa para 3 panquecitos más. Si quisiera hornear 3 panquecitos para
cada uno de ustedes me haría falta masa para hornear 2 panquecitos. ¿Cuántos
nietos tiene la abuela?
14. En el planeta Naboo, un año dura 500 días, los cuales se numeran del 1 al 500 y
los días festivos son los días múltiplos de 6. Un nuevo gobierno cambia el
calendario, dividiendo el año en 10 meses de 50 días cada uno. Los días de cada
mes se numeran ahora del 1 al 50, pero los días festivos siguen siendo los
múltiplos de 6. ¿Cuántos días festivos menos habrá?
15. ¿Cuántos números primos de dos dígitos hay tales que al leerse al revés también
resultan primos?
Wilbert De Jesús López
16. Un conejo da 5 saltos mientras que un perro que lo persigue da 4, pero 8 saltos
del perro equivalen a 11 saltos del conejo (en distancia). Si el conejo le lleva 66
saltos de ventaja, ¿Cuántos saltos ha de dar el perro para alcanzar al conejo?
17. Samantha planea gastar 800 pesos diarios durante sus vacaciones, pero nota que
si ahorra 80 pesos diarios puede quedarse un día más. ¿Cuántos días se quedará
de vacaciones en total, si es que ahorra los 80 pesos diarios?
18. Decimos que un número de tres dígitos es siamés si el número formado por los
dos primeros dígitos es un cuadrado perfecto y también lo es el último dígito. ¿Cuál
es la suma de todos los números siameses?
19. Se sabe que Gerardo tiene 𝑎 novias. Si se sabe que 𝑎 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 , 𝑥 + 𝑦 +
𝑧 = 6, 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 = 18. ¿Cuántas novias tiene Gerardo?
20. ¿Cuántas soluciones enteras tiene la ecuación 𝑎2 = 1999 – 𝑏 2 ?
21. ¿Por cuál número se debe sustituir la letra “𝑎” para que el número 9758236642𝑎2
sea divisible entre 4?
22. Si 𝑥 = √6 + √6 + √6 + ⋯ y 𝑦 = √6 − √6 − √6 − ⋯, ¿cuánto vale 𝑥 − 𝑦?
23. El reloj de mi papá se atrasa un minuto cada hora. El reloj de mi mamá se adelanta
un minuto cada dos horas. Al salir de casa puse ambos relojes a la misma hora y
les dije que volvería cuando la diferencia entre sus relojes fuera exactamente una
hora. ¿Cuánto tiempo estaré fuera de casa?
24. Contra un muro de altura desconocida se apoya una escalera. Si el pie de la
escalera está a 5 metros del muro, el tramo de escalera que sobresale por encima
del muro mide 10 metros; en cambio, si el pie de la escalera está a 9 metros del
muro, sobresale un tramo de 8 metros de escalera. ¿Cuál es la altura del muro?
1
25. Si 𝑎 y 𝑏 son números enteros positivos, ¿cuántas soluciones tiene la ecuación 𝑎 +
1
𝑏
1
= 500?
Wilbert De Jesús López
2
1 𝑥 −2𝑥
26. ¿Cuál es el valor máximo de (2)
?
27. Determinar la suma de los dígitos de (104𝑛
positivo.
2 +8
2
+ 1) , donde 𝑛 es un entero